linijski elementi

81

4. LINIJSKI ELEMENTI

4.1.4.1.4.1.4.1. GREDNI GREDNI GREDNI GREDNI NOSAČINOSAČINOSAČINOSAČI

4.1.1.4.1.1.4.1.1.4.1.1. KARAKTERISTIKE, PRIMKARAKTERISTIKE, PRIMKARAKTERISTIKE, PRIMKARAKTERISTIKE, PRIMENA I SISTEMIENA I SISTEMIENA I SISTEMIENA I SISTEMI

Grednim nosačima smatramo one linijske elemente koji su pretežno opterećeni na

savijanje silama. Javljaju se sastavnim delom praktično svih inženjerskih

konstrukcija i najčešće su horizontalnog pravca pružanja.

U zgradarstvu se primenjuju kao noseći elementi meñuspratnih konstrukcija, kao

glavni nosači krovnih konstrukcija većeg raspona, kao sastavni deo temeljnih

konstrukcija (temeljne kontragrede). Kod mostova grednog sistema primenjuju se

kao glavni isekundarni nosači mostovske konstrukcije. Pojavljuju se i kao sastavni

deo složenijih armiranobetonskih elemenata: rigle ramovskih konstrukcija, gredni

nosači kombinovanih sistema, osnovni elementi temeljnih roštilja itd. U

konstrukcijama se gredni elementi najčešće javljaju u sklopu sa drugim elementima:

stubovima, pločama, zidovima (Sl. 73).

Sl. 72. Statički sistemi grednih nosača

Načelno, gredni nosači mogu biti projektovani preko jednog ili više raspona. Statički

sistem grednog nosača je odreñen rasporedom oslonaca, koji mogu biti formirani

kao nepomerljivi ili pomerljivi (potpuno, delimično). Reñi je slučaj da je greda na

svom jednom kraju uklještena u masivni zid ili neki drugi element konstrukcije. U

konstrukcijama zgradarstva su najčešće kruto vezane za vertikalne oslonce

(stubove), čime se formiraju armiranobetonski okviri (Sl. 72).

Grednim nosačima se mogu smatrati elementi kod kojih je odnos visine poprečnog

preseka i raspona nosača manji od 0.20. U ovim slučajevima su zadovoljene

osnovne pretpostavke tehničke teorije savijanja (zanemarenje normalnih napona σy).

Za veće odnose visine prema rasponu, grede se tretiraju saglasno teoriji ploča

opterećenih u svojoj ravni, kao zidni nosači ili visoke grede. Ipak, u praksi je

uobičajen gredni tretman elemenata sve do odnosa visine prema rasponu od 0.40.

Brujić – Betonske konstrukcije - radna verzija - 3 jun 2010

82

Sl. 73. Okvirne i roštiljne konstrukcije

4.1.2.4.1.2.4.1.2.4.1.2. OBLIKOVOBLIKOVOBLIKOVOBLIKOVANJEANJEANJEANJE

Gredni nosači se najčešće projektuju punog pravougaonog poprečnog preseka. U

slučaju krute veze sa meñuspratnom pločom, preseci nosača postaju T-oblika,

budući da, kao pritisnuta, ploča saučestvuje u prenosu napona pritiska.

Za prefabrikovane gredne elemente je karakteristična optimizacija poprečnog

preseka i za manje raspona. Tada se koriste T-preseci, nesimetrični i simetrični I-

preseci ili, zavisno od namene i opterećenja neki drugi, razuñeni oblik poprečnog

preseka.

Sl. 74. Karakteristični poprečni preseci grednih nosača

Kod većih raspona, u cilju uštede u težini, grede se mogu projektovati razuñenih ili

sandučastih preseka. Optimalan oblik preseka je odreñen potrebnom nosivošću

pritisnute zone betona, te minimiziranjem zategnute površine betonskog preseka na

meru dovoljnu za smeštaj i pravilno voñenje armature. Širina nosača je primarno

funkcija zadovoljenja glavnih napona zatezanja, ali se proporcionalno menja sa

visinom nosača. Razuñeni oblici preseka su karakteristika montažnih grednih

elemenata, te većih raspona.

Uobičajene visine poprečnih preseka greda se nalaze u rasponu od 1/12 do 1/8

raspona.

4. Linijski elementi

83

Po dužini, gredni nosači mogu biti konstantnog ili promenljivog preseka. Silueta

nosača se, kada je to ekonomski opravdano, projektuje tako da približno prati

promenu momenata savijanja. Promenljiva silueta se može postići izvoñenjem vuta,

što je čest slučaj kod kontinualnih nosača u okolini oslonaca (mesta maksimalnih

momenata savijanja). Vute su obično vertikalne i mogu biti projektovane kao

pravolinijski ili krivolinijske (Sl. 75). U pojedinim situacijama kada je visina

limitirana, opravdano je projektovanje horizontalnih vuta proširenjem preseka (Sl.

75).

Sl. 75. Vertikalne i horizontalne vute

Vertikalne vute se izvode strmije od horizontalnih. Proračunski, vertikalne vute su

limitirane nagibom na 1:3, ma kako da su izvedene, dok horizontalne vute imaju

uobičajene nagibe od 1:8 do 1:6. Uobičajene dužine vuta ne prelaze desetinu

raspona grede.

Jedna vrsta horizontalne vute se često primenjuje u oslonačkim delovima grednih

elemenata (posebno karakteristično za montažne grede), kada se proširenjem

preseka povećava moć prijema glavnih napona zatezanja, koji u ovim zonama imaju

maksimalne vrednosti (Sl. 76). U konkretnoj situaciji, uobičajeno je proširenje rebra

na širinu uže (donje) flanše.

Sl. 76. Oblikovanje oslonačkog dela grede nesimetričnog I-preseka

Sl. 77. Montažna greda promenljive visine

Osim vutama, promenljiva silueta može biti izvedena i promenom visine nosača duž

cele njegove dužine, na primer. Takav je slučaj kod krovnih grednih glavnih nosača,


84

kada se gornja ivica projektuje u nagibu, kojim je greda opskrbljena maksimalnim

visinama preseka na mestima maksimalnih momenata savijanja, a, sa druge strane,

obezbeñen nagib za krovne ravni (Sl. 77).

4.1.3.4.1.3.4.1.3.4.1.3. PRORAČUNPRORAČUNPRORAČUNPRORAČUN UTICAJAUTICAJAUTICAJAUTICAJA

Proračun statičkih uticaja grednih nosača se, načelno, sprovodi saglasno linearnoj

teoriji elastičnosti. Pri tome, za raspon grede se usvajaju odgovarajuća rastojanja

sistemskih linija. Meñutim, kada je širina oslonca veća od desetina raspona grede, ili

kada nije moguće utvrditi položaj sistemnih linija, teorijski raspon grede (raspon

grede u statičkom sistemu) može se usvojiti kao svetli raspon uvećan za 5%.

Sl. 78. Teorijski rasponi grednog nosača

Sa ovako usvojenim rasponima formira se statički sistem nosača, za koji se odreñuju

uticaji. Iako je uobičajeno da se, za gredne elemente u konstrukcijama zgradarstva,

uticaji odreñuju za ukupno opterećenje22. Ipak, kad god to može dovesti do

značajnijih promena u rezultatima, neophodno je razmatrati različite rasporede

korisnog opterećenja (skladišta, biblioteke, sportski objekti...), te eventualnu

povoljnost delovanja pojedinih dejstava (različiti rasponi kod kontinualnih nosača,

na primer).

Sl. 79. Minimalne „proračunske“ vrednosti momenata u polju kontinualne grede

Kod kontinualnih greda, bez obzira na rezultat odreñivanja statičkih uticaja,

prilikom dimenzionisanja je, za pozitivne momente u polju, neophodno usvojiti

vrednosti najmanje jednake onima koje odgovaraju mometima u polju obostrano,

odnosno jednostrano, uklještene grede opterećene ravnomerno podeljenim

22 Razlog ovome je relativno mali udeo korisnog tereta u ukupnom u konstrukcijama

zgradarstva.


85

opterećenjem (Sl. 79). Uklještenje nad krajnjim osloncem kontinualne grede je

opravdano usvojiti u statičkom sistemu samo kada je ono konstruktivnim merama

obezbeñeno i dokazano. Kontinualne grede oslonjene na zidove ili stubove od

opeke, kada rotacija grede nije sprečena, dakle, nad osloncima treba dimenzionisati

prema redukovanoj, paraboličnoj raspodeli momentnog dijagrama (Sl. 80a). Češći

slučaj je kruta veza grede sa stubovima, kada je opravdano oslonački presek grede

dimenzionisati na momente na ivici oslonca (Sl. 80b).

Sl. 80. Oslonački momenti kod kontinualnih greda zglobno i kruto spojenih sa osloncima

Prikazani su (Sl. 81) karakteristični oblici dijagrama momenata savijanja za najčešće

statičke sisteme (prosta greda, kontinualna greda, okvir) u kojima se nalaze gredni

elementi. Načelno, greda kod koje je nad krajnjim osloncima ostvareno delimično ili

potpuno uklještenje je, statički, povoljnija od zglobne, jer joj odgovaraju manje

ekstremne vrednosti momenata savijanja. Ipak, kada postoji opasnost od

neravnomernog sleganja oslonaca ili nekog drugog deformacijskog opterećenja,

statički odreñene ili manje statički neodreñene konstrukcije su u prednosti. Kod

montažnih konstrukcija, jednostavnije je izvoñenje zglobnih od krutih veza (Okvir

3).

Sl. 81. Dijagrami momenata savijanja u grednim nosačima

U okvirnim konstrukcijama grede su najčešće kruto vezane za stubove. Stepen

elastičnog uklještenja kraja grede u ostatak okvirne konstrukcije može biti približno

odreñen - procenjen (moment elastičnog uklještenja) korišćenjem prve iteracije

Cross-ovog postupka, na primer, kako je to pokazano na Sl. 82. Rezultat je dovoljne

tačnosti za potrebe dimenzionisanja, kada je o vertikalnom opterećenju reč, te o

horizontalno ukrućenim okvirima. Tada se momenti u srednjim stubovima mogu

zanemariti.


86

Sl. 82. Odreñivanje momenta uklještenja kraja grede prvom iteracijom Cross-ovog postupka

Okvir 3Okvir 3Okvir 3Okvir 3 Montažni Montažni Montažni Montažni PPPP----okvirokvirokvirokvir

Optimalno formiran okvir od montažnih elemenata bi, saglasno rečenom, bio

formiran od stubova G-oblika, proizvedenih sa konzolnim ispustom dela

grednog elementa, kako je prikazano na prvoj skici.

Pozicioniranjem nastavaka/spojeva montažnih elemenata na mestima nultih

momentnih tačaka odgovarajućeg monolitnog P-okvira, uz obezbeñenje

prenosa aksijalne i transverzalne sile, bi omogućilo izostajanje potrebe za

ostvarivanjem momentnog kontinuiteta na mestu spoja. Dijagram momenata bi

imao isti oblik kao da je okvir monolitan.

Meñutim, značajno je jednostavnija (jeftinija) proizvodnja, transport i montaža

pravih elemenata, nego elemenata izlomljene ose. Ovo je najčešće odlučujući

faktor optimizacije u korist nepovoljnijeg statičkog sistema, kojim se

momentno ne angažuje spoj grede i stuba (desna slika). Odreñenu

kompenzaciju može da predstavlja racionalniji oblik poprečnog preseka,

karakterističan za montažne elemente.

4.1.3.1.4.1.3.1.4.1.3.1.4.1.3.1. Preraspodela momenata savijanjaPreraspodela momenata savijanjaPreraspodela momenata savijanjaPreraspodela momenata savijanja i duktilnost presekai duktilnost presekai duktilnost presekai duktilnost preseka

Statički uticaji kod statički neodreñenih konstrukcija su funkcija krutosti elemenata i

njihove promene. Krutosti po dužini armiranobetonskih elemenata se menjaju u

skladu sa dostignutim naponsko-deformacijskim stanjem, isprskalošću preseka,

promenom količine armature... Na Sl. 83 su prikazana karakteristična naponsko-

deformacijska stanja grednog elementa opterećenog dvema koncentrisanim silama.

Malim momentima savijanja odgovara pravolinijska raspodela normalnih napona (Ia),

i u pritisnutom i u zategnutom delu. Momentima neposredno pred pojavu prslina (Ib)

odgovara linearno promenljivo naponsko stanje u pritisnutoj i nelinearno

promenljivo u zategnutoj zoni. Za momente jednake i veće od momenta pojave


87

prsline, javljaju se prsline (na ovim mestima je zatežući normalni napon u betonu

jednak nuli), a raspodela napona pritiska po visini pritisnute zone je kvazi-linearna

(II). Daljim povećanjem opterečenja, šire se prsline, zategnuta podužna armatura je

u plastičnoj fazi rada, a pritisnuti beton trpi nelinearne deformacije, zbog čega se i

naponski dijagram odlikuje visokom nelinearnošću (III). Ovo stanje, stanje III,

odgovara graničnom kapacitetu nosivosti preseka i koristi se za proračun preseka

prema graničnoj nosivosti.

Sl. 83. Karakteristična naponsko-deformacijska stanja grednog elementa

Uticaji odreñeni primenom linearne teorije elastičnosti su, kod armiranobetonskih

elemenata u statički neodreñenim konstrukcijama, „realni“ samo za male nivoe

opterećenja. Razvoj prslina i plastifikacija u čeliku za armiranje mogu, nekad,

kvalitativno da promene stanje naprezanja elementa. I pored toga, linearna teorija

elastičnosti, odnosno uticaji odreñeni njenom primenom, se koristi i za uticaje u

stanju granične nosivosti. Kasnije, prilikom dimenzionisanja poprečnih preseka,

uvažavaju se činjenice nelinearnog deformisanja, ali sa uticajima koji, još jednom,

odgovaraju linearnoj teoriji elastičnosti.

Postavlja se pitanje koliko ovakva nedoslednost može biti održiva i opravdana. Sa

stanovišta jednostavnosti primene, nema dileme da je prednost na strani ovakvog

pristupa. Ali, čak i kad je opravdanost u pitanju, ovakav koncept je održiv. Naime,

rezultati linearne teorije elastičnosti predstavljaju jedno moguće ravnotežno stanje

statički neodreñene konstrukcije. Konstrukcija (i elementi) dimenzionisani i armirani

saglasno ovim uticajima će se u velikoj meri i ponašati na ovaj način. Posledica je

ovo, pre svega, činjenice da se, kolokvijalno, „armiranobetonski elementi ponašaju

na način na koji su armirani“. Ovo ne znači da se u tako armiranoj konstrukciji neće

realizovati preraspodele naprezanja, naravno, ali svakako ne u istoj meri u kojoj bi

to bio slučaj da je sa ovakvim preraspodelama kalkulisano.

Preraspodela naprezanja izmeñu preseka i elemenata konstrukcije je moguća tek

ukoliko je najopterećenijim presecima (zonama) omogućena dovoljno „dugačka“


88

plastična rotacija23. Preseci koji se odlikuju visokom sposobnošću postelastične

(plastične) rotacije, duktilni preseci, su, na osnovu iznetog u prethodnom paragrafu,

neophodni i kod konstrukcija/elemenata koji su proračunati i armirani saglasno

uticajima linearne teorije elastičnosti.

Pad krutosti preseka je funkcija nivoa naprezanja, oblika poprečnog preseka. Na Sl.

84 je prikazano kako za tri različita poprečna preseka (jedan pravougaoni i dva T-

preseka zategnuta u različitim zonama) kvalitativno i kvantitativno izgleda pad

krutosti sa prirastom spoljašnjeg momenta savijanja.

Sl. 84. Promena krutosti sa prirastom momenta savijanja (na nivou preseka)

Za pravougaoni i T-presek zategnut u donjoj zoni karakterističan je relativno strm

pad krutosti sa pojavom i razvojem prslina, te održavanje konstantne krutosti

isprskalog preseka sve do pred lom. T-presek zategnut u gornjoj zoni se karakteriše

mnogo dužim padom krutosti, koji je karakteristika praktično celog intervala od

pojave prslina do loma. Kvantitativno, konstatujmo i da pad krutosti može biti vrlo

velik, reda veličine 30 do 60%.

Sl. 85. Zavisnost moment savijanja – krivina preseka

Sada ćemo posmatrati kako se povećanje momenta savijanja koji deluje na poprečni

presek, na primer pravougaoni, odražava na promenu krivine preseka. Idealzovano,

ovo je prikazano na Sl. 85. Dijagram je, na neki način, analogan dijagramu napon-

dilatacija, a nagib krive u nekoj tački definiše krutost preseka.

23 Rotacija kritičnih preseka je osnova mehanizma transfera opterećenja u realizacij

preraspodele.


89

U fazi malih vrednosti momenata, sve do pojave prslina, prirast krivine je, saglasno

Hooke-ovom zakonu, linearan. Pri momentu Mpr javljaju se prsline24, zbog čega

krutost pada (nagib krive je manje strm), a prirast krivine sa povećanjem momenta

savijanja je veći. Na ovaj način su dve veličine povezane sve do trenutka dostizanja

granice razvlačenja u zategnutom čeliku. Čelik koji se do tada ponašao linearno

prelazi u plastičnu fazu rada (pri krivini κv), koja se karakteriše prirastom dilatacija

bez (ili sa malim) prirasta napona. Povećanje dilatacija u čeliku je praćeno, usled

potrebe očuvanja ravnoteže preseka, (manjim) povećanjem dilatacija u betonu i

smanjenjem visine pritisnute zone betona. Kako sila u armaturi, sa ovim

povećanjem dilatacije, ostaje približno konstantna, a promena kraka unutrašnjih sila

(iako se povećava) nije značajna, to se i moment savijanja ne menja sa povećanjem

dilatacija. Ili, presek nije u stanju da prihvati svo ono momentno opterećenje koje se

javi nakon dostizanja plastifikacije u armaturi. Povećanje dilatacija, po definiciji,

znači i povećanje krivine preseka, što se na analiziranom dijagramu manifestuje kao

približno horizontalna grana – prirast krivine bez prirasta momenta savijanja.

Krutost preseka za ovaj nivo opterećenja je bliska nuli. Sam presek se, naponski,

opire spoljašnjem momentu koji odgovara momentu nosivosti preseka, ali se za

dalji prirast opterećenja ponaša kao zglob – plastični zglob (iznad nekog nivoa

opterećenja rotacija je nesprečena). Kako je povećanje krivine praćeno redukcijom

visine pritisnute zone betona, to se lom, kolaps, preseka dogaña, najčešće, imajući

na umu vrlo visoku sposobnost čelika za dugu plastičnu deformaciju, drobljenjem

pritisnutog betona, za krivinu koja je na slici obeležena sa κu.

Dijagram na Sl. 85 direktno definiše faktor duktiliteta krivine preseka napregnutog

na savijanje, kao količnik dve krivine – krivine pri lomu i krivine pri kojoj počinje

plastično deformisanje čelika:

u

v

Dκκ

= . .............................................................................................. (4.1)

Ova veličina predstavlja meru žilavosti preseka. Smatra se da je preraspodela uticaja

u statički neodreñenim konstrukcijama obezbeñena tek nakon ostvarenja duktiliteta

većeg od nekog koji je u intervalu izmeñu 3 i 6.

Mere kojima je duktilitet moguće povećati, prilikom projektovanja se, pre svega,

odnose na poboljšanje karakteristika pritisnute zone preseka, budući da je njegov

kolaps najčešće izazvan drobljenjem betona, te da je čelik „kritičan“ samo u

situacijama vrlo jako armiranih poprečnih preseka:

• Smanjenje procenta armiranja podužnom zategnutom armaturom. Ovim se

ne želi reći da preseke treba pod-armirati. Proračunom se odreñuje

minimalno potrebna količina armature u preseku i ona tamo mora biti i

obezbeñena u elementu. Ideja je da se ukaže na kontradiktornu situaciju

24 Razvoj prslina nije trenutan fenomen i realna kriva nema ovako izražene tačke loma.


90

kada višak čelika za armiranje ne rezultira dodatnom sigurnošću (prikazano

na Sl. 86, za dva procenta armiranja, µ1>µ2). Duktilni preseci su armirani

količinom zategnute armature koja je maksimalno bliska potrebnoj,

odreñenoj uz uvažavanje svih postojećih okolnosti koje mogu uticati i na

njeno smanjenje (na primer činjenica prisustva pritisnute armature u drugoj

zoni).

• Armiranje pritisnute zone preseka. Čelik je, svojim nosivim karakteristikama,

superioran u odnosu na beton čak i kada je prijem pritiska u pitanju. Zato,

dodavanje čelika u pritisnutu zonu ima za posledicu povećanu mogućnost

prijema pritiska, a samim tim seodlaže i trenutak kolapsa preseka.

• Kvalitet betona. Očigledno je da više marke betona obezbeñuju prijem većih

napona/sila pritiska, te da povoljno utiču na duktilitet.

• Utezanje preseka gustom poprečnom armaturom. Poprečna armatura,

obuhvatajući pritisnutu zonu, sprečava bočno širenje unoseći napone pritiska

i u ravni normalnoj na pravac osnovnog pritiska. Ovako utegnut presek je

sposoban za prijem većih pritisnih naprezanja od slabije utegnutog preseka.

• Vrsta čelika. Načelno, čelici sa nižom granicom razvlačenja (GA ima granicu

razvlačenja na dilataciji od oko 1.2 promila) su duktilniji od onih sa višom (RA

– približno 2 promila). Sa Sl. 85 proizilazi da će krivina κv imati manju

vrednost, te da će time i duktilitet biti veći. Ipak, ovde treba biti oprezan. Za

prijem istih uticaja prilikom dimenzionisanja, glatkog čelika će biti oko 65%

više, koliko proizilazi iz odnosa njihovih granica razvlačenja (400/240~1.67).

Na račun ovoga, konačni ishod po pitanju duktiliteta ne mora uvek biti na

strani GA. Uticaj količine armature (nivo uticaja koji su je odredili) je sada

presudan. Sa Sl. 87 ovo se, za nižu marku betona može i očitati.

Sl. 86. Dijagram moment savijanja – krivina za dva različita koeficijenta armiranja

Ako je presek, osim momentom, opterećen i aksijalnom silom, treba imati u vidu da

aksijalna sila pritiska smanjuje, a zatezanja povećava duktilnost.


91

Sl. 87. Uticaj kvaliteta betona i vrste čelika na duktilitet preseka

Prepoznajmo, još jednom, na Sl. 85 tri veličine krutosti koje odgovaraju prirastu

spoljašnjeg momenta savijanja. Usvajajući ovakvu, skokovitu, promenu krutosti, na

primeru obostrano uklještene grede biće pokazan (Sl. 88) tok preraspodele.

Sl. 88. Preraspodela momenta savijanja obostrano uklještene grede

Posmatrana greda je, zbog jednostavnosti analize, usvojena konstantne krutosti i

nosivosti, kako po dužini, tako i za slučajeve zategnute gornje, odnosno donje

zone. Analizira se promena momenata savijanja u krajnjem i u preseku u sredini

raspona sa prirastom ravnomerno podeljenog opterećenja na gredi.

Saglasno linearnoj teoriji elastičnosti, oslonački moment je dva puta, apsolutno, veći

od momenta u polju. Sa prirastom opterećenja, do početka razvoja prslina, ovo će i

biti slučaj. Kada se dostigne moment pojave prslina (tačka A1, skica c) u oslonačkom

preseku, doćiće i do pada njegove krutosti. Kako je, sada, presek u sredini raspona


92

(neisprskao) veće krutosti, to će mu, pri daljem prirastu opterećenja, odgovarati i

brži prirast momenta, sve do trenutka formiranja prslina u središnjem delu elementa

(tačka B2, skica d). Opet ravnopravnih krutosti, preseci teže da uspostave momentnu

sliku koja jednakim krutostima odgovara (dvostruko veći oslonački moment). Zato je

dalji prirast momenta u sredini vrlo mali, a nad osloncem strm. Ovakvo ponašanje se

prekida dostizanjem granice razvlačenja čelika u oslonačkom preseku (tačka D1,

skica e). Sada, dalje povećanje opterećenja ne može biti više praćeno prirastom

momenta nad osloncem, ovaj presek rotira na račun plastične deformacije, a

posledica ove rotacije je dalji „život“ grede, tj. preraspodela naknadnog opterećenja

ka preseku u sredini, koji još nije dostigao, u čeliku, granicu razvlačenja. Konačno,

kada je i ovaj presek dostigne (skica f), svako dalje povećanje opterećenja aktivira

statički sistem kritične konfiguracije, koji nije održiv. Ovim je definisan kraj

nosivosti grede, ali je očigledno da je greda, statički neodreñena, u stanju da primi

viši nivo opterećenja od onoga koji rezultira momentom nosivosti kritičnog (ili

kritičnih) preseka. Krajnji dijagram momenata savijanja ima jednake vrednosti

momenta u polju i nad osloncem – momenat je preraspodeljen.

U praksi, realizacija celog opisanog toka bi bila praćena vrlo velikim deformacijama

čelika i, samim tim, velikim otvorima prslina. Budući da je reč o plastičnim

deformacijama, po rasterećenju greda bi u znatnoj i vidljivoj meri bila oštećena.

4.1.3.2.4.1.3.2.4.1.3.2.4.1.3.2. Linearna teorija sa ograničenom preraspodelomLinearna teorija sa ograničenom preraspodelomLinearna teorija sa ograničenom preraspodelomLinearna teorija sa ograničenom preraspodelom

Iako je pokazano da primena linearne teorije elastičnosti za granično stanje

nosivosti može biti opravdana, valja primetiti da, pokrivajući jedno moguće

ravnotežno stanje, na ovaj način nije obezbeñeno najracionalnije projektovanje. Ili,

utrošak materijala, eventualno i dimenzije preseka, bi mogao biti manji.

Dimenzionisanje koje bi za cilj imalo ovu vrstu optimizacije je bazirano na

preraspodeljenim uticajima. Zbog velike meñuzavisnosti ulaznih i izlaznih faktora u

ovoj analizi, do potpunog optimuma nije lako doći, nego bi se rešenja morala tražiti

zametnim iterativnim postupcima u kojima je relativno velik broj variranih

parametara.

Pravilnikom je dopušteno da se, pri proračunu prema graničnim stanjima loma, sile

u presecima (konkretno, momenti savijanja) statički neodreñenih nosača, sračunate

prema linearnoj teoriji elastičnosti, umanje ili povećaju za sledeću vrednost datu u

procentima:

1 2

lim

20 1µ µ

µ −⋅ −

. ................................................................................ (4.2)

µ1 koeficijent armiranja zategnutom podužnom armaturom,

µ2 koeficijent armiranja pritisnutom podužnom armaturom,

µlim granična vrednost (granica) procentna armiranja.


93

Povećanje momenata savijanja u jednom preseku zahteva njegovo povećanje u

drugim presecima, kako bi uslovi ravnoteže ostali zadovoljeni. Ili, na ovaj način se

statički neodreñena konstrukcija „podvrgava“ drugom ravnotežnom stanju. Granica

procenta armiranja je data u sledećem obliku:

lim 0.405 B

v

fµσ

= ⋅ , .................................................................................. (4.3)

a mogućnost primene preraspodeljenih uticaja se ograničava sledećim uslovom:

1 2 lim0.5µ µ µ− ≤ ⋅ . ............................................................................... (4.4)

Granica µlim je proistekla iz analize pravougaonog poprečnog preseka (ili, bar

preseka sa pritisnutom zonom pravougaonog oblika) i ograničenju pritisnute visine

preseka na četvrtinu statičke visine:

lim0.5 0.25x x h≤ ⋅ = ⋅ , ........................................................................... (4.5)

gde je sa xlim obeležena visina pritisnute zone koja odgovara stanju dilatacija od

εb/εa = -3.5/3.5. Analizom izraza (4.2), može se zaključiti da se dozvoljena

preraspodela kreće u granicama izmeñu 10 i 20%:

• 10% za 1 2 lim0.5µ µ µ− = ,

• 20% za 1 2 0µ µ− = .

Povećanjem količine pritisnute armature se povećava duktilnost (smanjenjem

pritisnute visine preseka) i omogućuje preraspodela.

Efekti proračuna na bazi preraspodeljenih uticaja mogu biti: smanjenje ukupne

količine armature (čest slučaj kod nosača sa velikim udelom korisnog opterećenja)

i/ili smanjenje razlike u potrebnoj armaturi oslonačkih zona i preseka u polju, čime

se postiže ujednačenije armiranje dve zone i izbegavaju se jako armirani oslonački

preseci. U oba slučaja, efekti su pozitivni, te se primena preraspodele u

ograničenom obliku preporučuje. Razlozi za ograničenje stepena preraspodele su u

činjenici da visokim duktilnostima (koje zahtevaju viši stepeni preraspodele) mogu

biti ugrožena granična stanja upotrebljivosti elementa (prsline, ugibi).

4.1.4.4.1.4.4.1.4.4.1.4. DIMENZIONISANJEDIMENZIONISANJEDIMENZIONISANJEDIMENZIONISANJE

Pod dimenzionisanjem se, u užem smislu, podrazumeva odreñivanje potrebnih

količina pojedinih armatura elementa, na bazi odreñenih uticaja i poznate

geometrije betonskih preseka.

Redovno je proračun prema graničnim stanjima loma merodavan za

dimenzionisanje, ali ovo je neophodno dokazati kontrolom graničnih stanja

upotrebljivosti. Samo u retkim situacijama (jako opterećeni i armirani elementi,

strogi zahtevi po pitanju ugiba i/ili prslina) granično stanje upotrebljivosti je

„kritično“ i zahteva korekciju potrebnih količina armature odreñene prema prvom.

Budući da je teorija proračuna elemenata prema graničnim stanjima već prikazana,

na ovom mestu su date samo neke dodatne napomene.


94

Podužna armatPodužna armatPodužna armatPodužna armaturaurauraura grednih elemenata je, načelno, produkt proračuna grednog

nosača prema graničnom stanju loma na simultano dejstvo momenata savijanja i

aksijalnih sila, saglasno već izloženom (#3.3). Pri tome, granične vrednosti uticaja

momenata savijanja i aksijalnih sila odgovaraju istoj kombinaciji opterećenja.

Za praktičnu primenu razvijena su inženjerska pomagala u obliku tablica

(bezdimenzionalni koeficijent k, kao funkcija spoljašnjih uticaja, geometrije preseka

i kvaliteta betona) ili specijalizovanog softvera.

Osim toga, postupak obezbeñenja glavnih napona zatezanja, takoñe, rezultuje

potrebom za dodatnom količinom podužne armature: deo glavnog napona izazvan

smicanjem zahteva dodatnu količinu zategnute armature, dok torzionim uticajima

odgovara potreba za podužnom armaturom ravnomerno rasporeñenom po obimu

poprečnog preseka.

U proračunu prema graničnom stanju nosivosti, za grede izložene raspodeljenom

opterećenju, sadejstvujuća širina pločesadejstvujuća širina pločesadejstvujuća širina pločesadejstvujuća širina ploče (debljine najmanje 10% visine grede ili 8cm),

u funkciji širine grede (b0), razmaka nultih momentnih tačaka grede (l0) i

meñusobnog rastojanja greda (e), iznosi za simetrične preseke (Sl. 89a):

0

0 0

20

min 0.25

b d

b b l

e

+ ⋅= + ⋅

............................................................................ (4.6)

Za nesimetrične T-preseke, ako je sprečeno bočno pomeranje i torzija (Sl. 89b):

0 1

0 1 0

8

min 0.25 / 3

/ 2

b b d

b b b l

e

+ + ⋅′ = + + ⋅

.................................................................. (4.7)

Sl. 89. Sadejstvujuća širina ploče

Za ploče čija je debljina maja od desetine ukupne visine grede:

0 12min

b db

e

+ ⋅=

............................................................................... (4.8)

0 1 5min

/ 2

b b db

e

+ + ⋅=

........................................................................... (4.9)

U proračunima prema graničnim stanjima upotrebljivosti – ugiba, kao i za proračun

statičkih uticaja, preporuka je da se za simetrične T-preseka usvaja manja širina:

0 6b b d= + ⋅ ...................................................................................... (4.10)


95

Nesimetrične T-preseke, kada nije sprečena torzija i bočno pomeranje, treba

dimenzionisati na dejstvo kosog momenta savijanja (koso savijan presek).

Proračunska poprečna armaturapoprečna armaturapoprečna armaturapoprečna armatura je rezultat proračuna grednog elementa na dejstvo

glavnih napona zatezanja izazvanih transverzalnim silama i momentima torzije.

Najčešće se projektuje u obliku vertikalnih uzengija, čija se potreba odreñuje

posebno za dejstvo smicanja, a posebno za dejstvo torzije. Višesečnost (više od 2)

uzengija koje se prostiru celom visinom preseka može biti obuhvaćena proračunom

samo na dejstvo smicanja.

Sl. 90. Prijem indirektnog opterećenja uzengijama

Iako je pravac pružanja kosih gvožña takav da se njima postiže efikasniji (sa

manjom količinom armature) prijem glavnih napona zatezanja, iskustveno se

njihova primena pokazala nepovoljnijom (veće širine prslina) od primene samo

vertikalnih uzengija. Zato, ova vrstu armature dobija preporuku primene samo kod

preseka kod kojih bi armiranje vertikalnim uzengijama ugrozilo dobru ugradnju

betona. Dodatno, povijanjem armature iz donje u gornju zonu, kosim delom

redovno nije obezbeñeno i potrebno koso gvožñe, budući da je, redovno, mesto

povijanja locirano suviše daleko od oslonca, tj. od mesta potrebe za kosim

gvožñima. Kosa gvožña se mogu projektovati samo u cilju prijema dela glavnog

napona zatezanja izazvanog smicanjem.

Sl. 91. Prijem obešenog opterećenja uzengijama


96

U pojedinim situacijama, uzengijama je neophodno prihvatiti indirektno

koncentrisano opterećenje (Sl. 90) ili optrećenje po donjoj ivici grede („obešeno

opterećenje“). Tada se njihova potrebna dodatna količina odreñuje iz uslova da

same mogu prihvatiti kompletno predmetno opterećenje (Sl. 91). Sa ciljem prijema

obešenog ili indirektnog opterećenja, mogu se projektovati i kose šipke (Sl. 90).

4.1.5.4.1.5.4.1.5.4.1.5. ARMIRANJEARMIRANJEARMIRANJEARMIRANJE25252525

Grede se mogu armirati glatkom GA, rebrastom ili Bi-armaturom.

Prilikom usvajanja i rasporeñivanjarasporeñivanjarasporeñivanjarasporeñivanja šipki podužne armature neophodno je izborom

profila i njihovim razmakom obezbediti uslove dobre ugradnje betona, dobre

prionljivosti i postizanja kompaktnog zaštitnog sloja. U Pravilniku, minimalni čist

razmak dve šipke, i horizontalno i vertikalno, je 3cm, ali ne manje od prečnika

najkrupnije šipke ili 80% prečnika najveće frakcije agregata (Sl. 92a). Ovim se,

izmeñu ostalog, obezbeñuje i prostor za prolaz igle pervibratora u sve delove

elementa prilikom ugradnje betona. Ipak, treba primetiti da je, na ovaj način

definisan, minimalni razmak premali, te da bi u praktičnim situacijama preporuka

išla u pravcu usvajanja većih razmaka. Posebno je diskutabilna, i teško ostvarljiva

kod jače armiranih preseka, odredba kojom se minimalni razmaci moraju obezbediti

i na mestima nastavljanja armature preklapanjem.

Sl. 92. Minimalni razmaci armaturnih šipki

Kako bi se postigla povoljnija slika prslina, maksimalni razmak izmeñu šipki glavne

podužne armature je ograničen na 15cm. U vertikalnom pravcu, ovaj limit je 30cm,

za elemente čija visina nije manja od 50cm (Sl. 92b), a obezbeñuje se ubacivanjem

dodatnih podužnih profila ne manjih od Ø8.

Sl. 93. Svežnjevi (cvasti)

25 Posebne odredbe koje se odnose na detalje armiranja greda konstrukcija u seizmičkim

područjima će biti prikazane u sklopu poglavlja Višespratne zgrade.


97

Dopušteno je, ali ne i preporučljivo, grupisanje armaturnih prfoila u cvasti

(maksimalno četiri profila). U situacijama jako armiranih preseka, grupisanje

armature može biti jedini način obezbeñenja ugradnje betona. Sa druge strane,

korišćenje svežnjeva ima za posledicu i sve efekte analogne ugradnji profila velikog

prečnika (granična stanja upotrebljivosti). Ako se grupa šipki (cvast) zameni

ekvivalentnim (po površini) prečnikom, onda se za cvasti primenjuju ista pravila

rasporeñivanja armature u poprečnom preseku (Sl. 93).

U cilju sprečavanja krtog loma u trenutku pojave prsline, definisan je minimalniminimalniminimalniminimalni

procenat armiranjaprocenat armiranjaprocenat armiranjaprocenat armiranja glavnom zategnutom armaturom u funkciji marke betona (fbk) i

vrste čelika (Sl. 94):

23

1,min 5.1 bk

v

fµ

σ= , bkf i vσ u MPa. ...................................................... (4.11)

Dodatno, u karakterističnim (lokalno najopterećenijim) presecima, minimalni

koeficijent armiranja, bez obzira na prethodno, ne sme biti manji od 0.25% za

glatku armaturu GA240/360, 0.20% za rebrastu RA400/500 ili BiA680/800 (Sl. 94,

isprekidane linije). Ove odredbe se ne odnose na masivne betonske elemente.

Sl. 94. Minimalni procenti armiranja

Dimenzionisanjem su odreñene potrebe za podužnom armaturom samo u

karakterističnim presecima. Potreba za armaturom duž nosača, kada aksijalne sile

mogu biti zanemarene, se može odrediti prema liniji zatežućih silaliniji zatežućih silaliniji zatežućih silaliniji zatežućih sila, kojom se,

grafički, odreñuje sila koju armaturom treba prihvatiti duž nosača. Sila zatezanja u

armaturi je količnik momenta savijanja i kraka unutrašnjih sila:

uu

MZ

z= . ......................................................................................... (4.12)


98

Sl. 95. Linija zatežućih sila

Kako bi se linijom zatežućih sila obuhvatila i potreba za dodatnom podužnom

armaturom usled smicanja, to se „radna“ linija zatežućih sila odreñuje

horizontalnom translacijom prethodne, momentne, za veličinu v, jednaku 75%

statičke visine preseka kada se smicanje osigurava samo vertikalnim uzengijama,

odnosno 50% statičke visine ako se za prijem smicanja koriste i kosa gvožña26.

Povijanje armature (i zategnute i pritisnute) izaziva skskskskretne sileretne sileretne sileretne sile, saglasno kotlovskoj

formuli (Sl. 96). Posledica skretnih sila je i pojava zatezanja upravno na ravan

povijanja. U blizini ivice betonskog preseka ovo je posebno opasno, zbog

mogućnosti istiskivanja zaštitnog sloja betona. Intenzitet skretnih sila je obrnuto

proporcionalan radijusu povijanja, zbog čega je od izuzetne važnosti poštovanje

pravila datih u smislu oblikovanja armature (#2.9.5).

Sl. 96. Skretne sile izazvane povijanjem armature

Sl. 97. Korišćenje ploče za smeštaj oslonačke podužne armature

Kod oslonaca kontinualnih nosača T-preseka, deo oslonačke podužne armature (ne

više od 50% ukupne) se može smestiti u ploču, van širine rebra, i, time, se

obezbediti bolji uslovi ugradnje betona. Kod projektovanja razuñenih

(nepravougaonih) poprečnih preseka, po pravilu sa tankim rebrom, često se donji

deo preseka oblikuje proširen u vidu donje flanše, čime se omogućava komforniji

smeštaj podužne armature (Sl. 97). Deo armature u širini rebra može biti povijen u

26 Kosa gvožña, pravca pružanja bliskog pravcu glavnih napona zatezanja, ne zahtevaju

dodatnu podužnu armaturu.


99

gornju zonu (kosa gvožña ili prijem negativnih momenata), a armatura van širine

rebra se može postepeno ukidati, saglasno potrebi za armaturom.

Vertikalne vutevutevutevute se armiraju posebnom podužnom armaturom koja prati ivicu

preseka, a uzengije se na dužini vute projektuju promenljive visine. Podužna

horizontalna armatura, u ovom slučaju, ne mora biti preklopljena. Kod horizontalnih

vuta, glavna armatura se vodi neprekinuta (ili nastavljena) u širini nosača, a vuta

dobija svoju podužnu armaturu po visini nosača. Uobičajeno je da armatura vute

ima posebne uzengije, dok prava armatura nosača „zadržava“ svoje (Sl. 98).

Sl. 98. Armiranje vertikalnih i horizontalnih vuta

Kod slobodnih krajevaslobodnih krajevaslobodnih krajevaslobodnih krajeva grednih elemenata (konzole), koji su po pravilu opterećeni

koncentrisanim silama, podužnu glavnu armaturu iz gornje zone je poželjno poviti u

donju zonu, preko čela nosača, sidrenjem „unatrag“. Čelo nosača se obezbeñuje

horizontalnim ukosnicama (Sl. 99).

Sl. 99. Armiranje kraja prepusta

Nastavljanje podužne armatureNastavljanje podužne armatureNastavljanje podužne armatureNastavljanje podužne armature je neophodno kod greda velikog raspona ili kod

kontinualnih sistema. Pri izboru mesta nastavka, pravilno je armaturu nastavljati u

pritisnutoj zoni, na mestima najmanjih naprezanja. Tako se, u slučaju kontinualnih

greda, armatura donje zone nastavlja preklapanjem preko oslonca, dok je gornju

poželjno nastavljati u središnjoj zoni polja.

Sl. 100. Mesta nastavljanja armature kod kontinualnih greda

Po celoj dužini, gredni nosači se armiraju zatvorenim uzengijamauzengijamauzengijamauzengijama, načelno prema

dijagramu glavnih napona zatezanja. Osim vertikalnih uzengija, za prijem glavnih

napona zatezanja mogu biti upotrebljene i kose uzengije i kosa gvožña.


100

Sl. 101. Širina kosih prslina u funkciji načina poprečnog armiranja

Eksperimentalnim ispitivanjima (Sl. 101) je utvrñeno da najmanjom širinom kosih

prslina rezultuje primena kosih uzengija, zatim vertikalnih, a da je najveća širina

karakteristična za primenu koso povijene podužne armature (kosih gvožña). Sa

druge strane, primena kosih uzengija je vezana sa problemima izvoñenja, zbog čega

se ne primenjuju često. Uz napomenute probleme vezane za kosa gvožña, armiranje

vertikalnim uzengijama ostaje dominantno i preporučeno.

Osim obezbeñenja glavnih napona zatezanja, uzengijama se postiže i utezanje

poprečnog preseka, što rezultira formiranjem troosnog stanja pritiska podužno

pritisnutih elemenata (ili delova preseka, pri savijanju) sprečavanjem širenja i, time,

povećanu sposobnost prijema pritiska. Pokazano je da se, u pojedinim situacijama,

prima „obešeno“ opterećenje, kada one imaju funkciju, lokalno, podužne zategnute

armature (Sl. 91).

Sl. 102. Načini armiranja pravougaonog preseka uzengijama

Maksimalno rastojanje uzengija je ograničeno na 2/3 visine grede, odnosno na

30cm, odnosno na 15Ø, gde je Ø prečnik najtanje podužne armature (manju od ovih

vrednosti), kada nije prekoračena smičuća nosivost betona. U suprotnom, na dužini

osiguranja, maksimalan razmak uzengija je ograničen na 1/2 visine grede, odnosno

na 25cm. Dodatno, minimalni procenat armiranja uzengijama na dužini osiguranja

iznosi 0.2%. Procenat armiranja uzengijama je definisan na sledeći način, u funkciji

površine preseka šipke uzengije (auz) i razmaka uzengija (euz):

uzuz

uz

m a

b eµ ⋅=

⋅, .................................................................................... (4.13)

gde je sa m označena sečnost uzengija. Višesečne (više sečnosti od 2) se projektuju

u istom preseku i pružaju se celom visinom preseka (Sl. 102c). Poželjno je (jaka

preporuka) da se jednom uzengijom obuhvati ceo poprečni presek.


101

Uzengije se mogu projektovati kao zatvorene i preklopljene oko ugaone šipke ili

preklopljene oko kraće stranice. Ove druge su obavezne kod torziono opterećenih

preseka, ali i kod loših uslova sidrenja uzengija. Ukoliko se primenjuju, kosa gvožña

moraju biti postavljena na razmaku ne većem od 30cm ili 50% statičke visine

preseka.

Kada se deo oslonačke armature preseka spojenog sa pločom smešta u ploču,

uzengijama je, oblikovanjem, potrebno obuhvatiti kompletnu podužnu armaturu,

kako je prikazano na Sl. 97. Ovakvo oblikovanje uzengija može biti opravdano i

kada je njima potrebno primiti momente savijanja u ploči, upravno na pravac

pružanje grede (na primer kod rebrastih tavanica). Kod razuñenih poprečnih preseka

(T, I), formiraju se, u istom preseku, posebne uzengije rebra i flanši. Uzengije flanši

mogu biti zatvorene ili se sidriti u rebru (Sl. 103a). Kod ovakvih preseka, glavne

napone zatezanja je neophodno kontrolisati, osim u rebru, i u ploči (Sl. 103b).

Sl. 103. Uzengije kod razuñenih preseka

U zoni osloncaosloncaosloncaoslonca, naponi pritiska (od reakcije oslonca) normalni na pravac armature

poboljšavaju uslove sidrenja, kao i formiranje pritisnutih dijagonala.

Sl. 104. Trajektorije napona pritiska

Sl. 105. Završetak horizontalne armature vertikalnim i horizontalnim kukama

Ivične šipke donje zategnute armature moraju, slobodnim krajem, biti produžene

preko slobodnog oslonca i sidriti kukom. Sidrenje može biti u horizontalnoj ili

vertikalnoj (češće) ravni (Sl. 105). U slučaju ograničenog prostora za sidrenje,

početak kuke mora biti bar 3cm udaljen od ivice oslonca, prečnik kuke Dr se

proračunava, a čelo nosača se prožima otvorenim horizontalnim uzengijama, za

prijem sila cepanja. U slučaju potrebe, izuzetno malih raspoloživih dužina, mogu se

primeniti specijalni načini sidrenja armature, poput zavarenih ploča ili šipki

upravnog pravca (Sl. 106).


102

Sl. 106. Sidrenje podužne armature iznad oslonca

Oslonačke zone moraju biti projektovane dovoljne širine, a locirane na način koji ne

ugrožava ivični beton (Sl. 107).

Sl. 107. Loše projektovan položaj/širina oslonca

Indirektno oslonjena gredaIndirektno oslonjena gredaIndirektno oslonjena gredaIndirektno oslonjena greda treba imati glavnu armaturu sidrenu u horizontalnoj

ravni, kako bi se izbeglo poklapanje efekta cepanja betona usidrenjem šipki sa

pravcem prslina glavne grede (Sl. 108).

Sl. 108. Sidrenje glavne armature indirektno oslonjene grede

Kod armiranja kontinualnih gredakontinualnih gredakontinualnih gredakontinualnih greda moguć je izbor izmeñu racionalnijeg (manji

utrošak čelika) armiranja povijanjem šipki iz donje u gornju zonu, kada deo povijene

armature, u svojim kosim delovima, može da preuzme i funkciju obezbeñenja

glavnih napona zatezanja (diskutabilno!), i jednostavnijeg armiranja odvojenom

armaturom dve zone, te pravim šipkama (Sl. 111). U oba slučaja, naravno, usvojenim

načinom armiranja pokriva se potreba za armaturom definisana „pomerenom“

linijom zatežućih sila.

Visoke gredeVisoke gredeVisoke gredeVisoke grede sa odnosom raspona prema visini u granicama izmeñu 2 i 5,

orijentaciono, armiraju se odvojenim šipkama gornje i donje zone, te vertikalnim

uzengijama, kojima treba prihvatiti ukupne glavne napone zatezanja. Od posebnog

značaja kod ovih nosača je (analogno zidnim nosačima) dobro usidrenje šipki glavne

armature i obezbeñenje nosača horizontalnom armaturom celom dužinom grede.

Glavna armatura se celim ili većim iznosom prostire celim rasponom, u formi zatege

(Sl. 109).

Za nosače sistema proste grede relativno velikih raspona, zbog uštede u utrošku

materijala, često se koriste nosači promenljive visinenosači promenljive visinenosači promenljive visinenosači promenljive visine. Osim racionalizacije oblika

(visina preseka prati, otprilike, promenu momenata savijanja), nagib ivice siluete


103

prouzrokovan promenom visinom se može pogodno iskoristiti u cilju obezbeñenja

nagiba krovne ravni. Otud se ovakvi nosači najčešće primenjuju kao glavni krovni

nosači konstrukcija tipa industrijskih hala, pogotovu u situacijama kada su

projektovane kao montažne konstrukcije. Tada se redovno izvode horizontalne

donje ivice i nagnutih gornjih ivica, a u cilju dalje racionalizacije poprečni preseci se

projektuju T ili I-oblika (Sl. 77).

Sl. 109. Armiranje visokih greda: prosta i kontinualna greda

Kako je prirast visine kod ovakvih nosača, najčešće, linearan, a prirast momenta,

opet najčešće, paraboličan, to se maksimalna potreba za armaturom ne registruje u

presecima sa maksimalnim momentom savijanja. Na Sl. 110 prikazan je primer četiri

simetrične grede pravougaonog preseka raspona 10m, opterećene sopstvenom

težinom i ravnomerno raspodeljenim linijskim opterećenjem. Varirana je visina

preseka u sredini: visina preseka na krajevima je u svim slučajevima 60cm, a

središnje visine su 70, 100, 130 i 160cm. Na slici su prikazani dijagrami potrebe za

podužnom armaturom u donjoj zoni preseka. Već iz priloženog, očigledno je

položaj preseka sa maksimalno potrebnom armaturom zavisi od nagiba gornje ivice

– većim nagibima odgovaraju „kritični“ preseci bliži osloncima.

Sl. 110. Dijagrami promene potrebe za podužnom armaturom za različite A-nosače

U praksi, za grubu orijentaciju, mogu se kontrolisati preseci na trećini raspona. Čak

i ako ovim nije odreñena maksimalna potreba za armaturom, razlike nisu velike.


104

Prilikom armiranja ovakvih elemenata, pad potrebne armature u delu izmeñu

kritičnih preseka se odražava i na pad usvojene armature – presek u sredini će imati

istu količinu armature kao i kritični preseci.

Sl. 111. Dva varijantna rešenja armiranja kontinualnih greda


105

4.2.4.2.4.2.4.2. STUBOVISTUBOVISTUBOVISTUBOVI

Stubovi su linijski elementi značajnih vrednosti aksijalnih sila pritiska. U betonskim

konstrukcijama se javljaju kao samostalni elementi ili u sklopu okvirnih sistema.

Najčešće su vertikalnog pravca pružanja.

4.2.1.4.2.1.4.2.1.4.2.1. OBLIKOVANJE STUBOVAOBLIKOVANJE STUBOVAOBLIKOVANJE STUBOVAOBLIKOVANJE STUBOVA

U konstrukcijama su, osim za prijem i prenos aksijalnih naprezanja, zaduženi i za

prihvat momenata savijanja, koji prvenstveno potiču od horizontalnih dejstava.

Imajući na umu alternatvni karakter horizontalnih dejstava, stubovi se najčešće,

presekom i armiranjem, projektuju kao dvoosno ili jednoosno simetrični. Najčešće

se primenjuje pravougaoni oblik poprečnog preseka, kao najjednostavniji za

izvoñenje27. Alternativno, primenjuju se kružni i poligonalni oblici, a kod montažnih

stubova česta je primena razuñenih oblika preseka u cilju racionalizacije utroška

mateijala (Sl. 112). Načelno, stubom se smatraju elementi kod kojih je odnos

stranica poprečnog preseka manji od 5. U suprotnom, reč je o zidovima.

Sl. 112. Poprečni preseci stubova

U pojedinim situacijama, stubovi mogu biti opterećeni i značajnim momentima

savijanja nastalim kao posledica delovanja gravitacionog opterećenja. Tada može

biti opravdano usvajanje nesimetrične dispozicije poprečnog preseka.

Minimalne dimenzije preseka stubova su, osim uslovima dobre ugradnje betona i

pravilnog konstruisanja betona, odreñeni i efektima izvijanja. Saglasno osetljivosti

na uticaje izazvane deformacijom (izvijanje) stubovi se mogu klasifikovati na kratke,

kod kojih ovi efekti mogu biti zanemareni proračunom, i vitke, kod kojih to nije

slučaj. Pri tome, momenti savijanja mogu biti orijentisani u pravcu jedne od glavnih

osa preseka stuba, kada je stub jednoosno savijan, ili u pravcu koji se ne poklapa ni

sa jednim od glavnih, kada je stub dvoosno, koso, savijan.

4.2.2.4.2.2.4.2.2.4.2.2. DIMENZIONISANJE KRATDIMENZIONISANJE KRATDIMENZIONISANJE KRATDIMENZIONISANJE KRATKIH STUBOVAKIH STUBOVAKIH STUBOVAKIH STUBOVA

Kratki stubovi se dimenzionišu saglasno uticajima proizašlim iz analize

elementa/konstrukcije prvog reda. Preseci su u stanju centričnog ili ekscentričnog

pritiska (u fazi malog ili velikog ekscentriciteta), a merodavna kombinacija

opterećenja je, po pravilu, ona kojom se minimiziraju aksijalne sile pritiska, a

27 S obzirom na silu pritiska, pravougaoni presek stubova je znatno racionalniji u odnosu na

gredne elemente.


106

maksimiziraju momenti savijanja. Kod stubova sa malim vrednostima momenta

savijanja, parcijalni koeficijenti sigurnosti mogu uzeti povećane vrednosti, skladno

rezultujućem dilatacionom stanju. Centrično pritisnutim stubovima će, izvesno,

odgovarati maksimalne vrednosti parcijalnih koeficijenata.

Potreba za podužnom armaturom stuba je u potpunosti odreñena osnovnim

proračunskim pretpostavkama graničnog stanja nosivosti i proizilazi kao rezultat

zadovoljenja uslova ravnoteže spoljašnjih i unutrašnjih sila na nivou preseka, za

poznat odnos količina armatura uz pojedine ivice poprečnog preseka. Meñutim,

kalkulacija je, za praktične potrebe, zametna i zahteva pomoć odgovarajućih

inženjerskih pomagala. U slučaju jednoosno savijanih stubovajednoosno savijanih stubovajednoosno savijanih stubovajednoosno savijanih stubova, to su interakcioni

dijagrami, kojima se daje veza izmeñu graničnih vrednosti momenata savijanja i

aksijalne sile, sa jedne strane, i potrebe za armaturom i graničnih dilatacija, sa

druge. Daju se u formi familije izo-krivih kojima se na polju Mu-Nu spajaju tačke iste

potrebe za armaturom. Paralelno, linije kojima se povezuju tačke istog dilatacinog

stanja su prave. U cilju postizanja univerzalnosti, dijagrami se daju u

bezdimenzionalnom obliku, preko bezdimenzionalnih vrednosti aksijalne sile (nu),

momenta savijanja (mu) i količine armature (µ – mehanički koeficijent armiranja):

uu

B

Nn

b d f=

⋅ ⋅,

2u

uB

Mm

b d f=

⋅ ⋅, v a v

B b B

A

f A f

σ σµ µ= ⋅ = ⋅ . .............................. (4.14)

Projektantima danas, naravno, na raspolaganju stoji i lepeza specijalizovanih

softverskih alata kojima se rešavaju problemi ovog dimenzionisanja.

Sl. 113. Interakcioni dijagram za pravougaoni poprečni presek

Kod koso savijanih presekakoso savijanih presekakoso savijanih presekakoso savijanih preseka, rešavanje problema odreñivanja potrebne količine

podužne armature je složeniji, već utoliko što, umesto dva, podrazumeva

zadovoljenje tri uslova ravnoteže. U opštem slučaju, presek opterećen momentom

savijanja čiji se pravac (napadni pravac) ne poklapa sa nekom od glavnih osa se

savija oko ose (pravac savijanja) koja se ne poklapa niti sa nekom od glavnih osa,

niti sa napadnom osom momenta. Ugao ose savijanja (rezultujuće neutralne linije)

uvek pravi otklon od napadne ose momenta ka osi manjeg momenta inercije

idealizovanog preseka (Sl. 114). Samo u specijalnom slučaju rotaciono simetričnog

rotaciono simetrično armiranog preseka napadna osa momenta i osa savijanja se

poklapaju.

Granična nosivost nekog poprečnog preseka poznatog nači

armature, te saglasno opštim proračunskim pretpostavkama, može biti definisana

kao maksimalni moment savijanja nekog napadnog ugla,

aksijalne sile. Rezultat može biti prikazan kao tačka u troosnom koordina

sistemu Mxu-Myu-Nu, gde su

pravce. Variranjem napadnog ugla i aksijalne sile formiraju se

predmetni presek (Sl. 115a)

dilatacija ili jednoj vrednosti ugla savijanja nisu više krive u ravni, iako odstupanja,

često, nisu velika (Sl. 115b)

Sl. 115. Interakciona površ i

Rešenje problema odreñivanja graničnog stanja napona i dilatacija koso savijanog

preseka podrazumeva odreñivanje

visinskog položaja zadovoljavanje uslova ravnoteže po momentima i aksijalnim

silama (Sl. 116). Reč je o zahtevnom problemu, zbog čega je na ovaj način samo

korišćenjem odgovarajućeg softvera moguće doći do rešenja.


Sl. 114. Koso savijan presek

Granična nosivost nekog poprečnog preseka poznatog načina armiranja i količine


kao maksimalni moment savijanja nekog napadnog ugla, α, pri odreñenoj vrednosti

aksijalne sile. Rezultat može biti prikazan kao tačka u troosnom koordina

, gde su Mxu i Myu projekcije graničnog momenta na glavne

pravce. Variranjem napadnog ugla i aksijalne sile formiraju se interakcione površi

a). Geometrijski, tačke koje sad odgovaraju jednom stanju


b).

Interakciona površ i kriva koja spaja tačke istog ugla savijanja

ma odreñivanja graničnog stanja napona i dilatacija koso savijanog

preseka podrazumeva odreñivanje rezultujućeg nagiba neutralne linije i njenog


). Reč je o zahtevnom problemu, zbog čega je na ovaj način samo

korišćenjem odgovarajućeg softvera moguće doći do rešenja.


107


na armiranja i količine


, pri odreñenoj vrednosti

aksijalne sile. Rezultat može biti prikazan kao tačka u troosnom koordinatnom

projekcije graničnog momenta na glavne

interakcione površi za

govaraju jednom stanju


kriva koja spaja tačke istog ugla savijanja

ma odreñivanja graničnog stanja napona i dilatacija koso savijanog

rezultujućeg nagiba neutralne linije i njenog


). Reč je o zahtevnom problemu, zbog čega je na ovaj način samo

Brujić – Betonske konstrukcije - radna verzija

108

Sl. 116. Ravnoteža spoljašnjih i unutrašnjih sila za jedan nagib neutralne linije

U praksi se i dalje koriste približna rešenja.

interakcionih dijagrama za koso savijane preseke (datih i u Prilozima Priručnika

PBAB) ili se problem koso savijanog preseka razlaže na dva problema jednoosno

savijanih preseka. U ovom drugom slučaju, PBAB zahteva i, dod

tzv. Bresler-ovog kriterijuma „recipročne sile“.

Naime, Bresler je predložio aproksimaciju interakcione površi sledećim izrazom:

1 1 1 1

u ux uy uN N N N= + −

Nu granična vrednost aksijalne sile,

Nux i Nuy granične vrednost sile za jednoosno savijan presek, u dva pravca,

Nu0 granična vrednost aksijalne sile za centrično op

Najjednostavnije je matematičku pozadinu predloženog izraza predstaviti

modifikacijom interakcione površi, kojom se umesto veze

ey–1/N (Sl. 117). Novoformirana površ je, takoñe, konveksna.

nosivosti na zadatim ekscentricitetima se odreñuje kao tačka sekantne ravni

odreñene sa tri tačke:

tačka A (0,0,1/Nu0) - odgovara maksimalnoj

graničnoj aksijalnoj sili za centrično

opterećen presek,

tačka B (ex,0,1/Nux) - odgovara

maksimalnoj graničnoj aksijalnoj sili na

ekscentricitetu ex′, pri čemu je

tačka C (0,ey,1/Nuy) - odgovara


ekscentricitetu ey′, pri čemu je

Greška koja se ovom aproksimacijom čini odgovara razlici položaja tačaka

na interakcionoj površini) i

radna verzija - 3 jun 2010

Ravnoteža spoljašnjih i unutrašnjih sila za jedan nagib neutralne linije

U praksi se i dalje koriste približna rešenja. U tom smislu se često koristi pomoć



savijanih preseka. U ovom drugom slučaju, PBAB zahteva i, dodatno, zadovoljenje

ovog kriterijuma „recipročne sile“.


0

1 1 1 1

u ux uy uN N N N, ................................................................

granična vrednost aksijalne sile,

granične vrednost sile za jednoosno savijan presek, u dva pravca,

granična vrednost aksijalne sile za centrično opterećen presek.


modifikacijom interakcione površi, kojom se umesto veze Mx–My–

). Novoformirana površ je, takoñe, konveksna.


odgovara maksimalnoj

graničnoj aksijalnoj sili za centrično

odgovara

lnoj graničnoj aksijalnoj sili na

, pri čemu je ey = 0,

odgovara


, pri čemu je ex = 0.

1/N

u0

1/N

uy

A

DD’

C

1/Nu

ey

ye

Sl. 117. Bresler-ov približni postupak

eška koja se ovom aproksimacijom čini odgovara razlici položaja tačaka

na interakcionoj površini) i D’ (tačka na sekantnoj ravni, koju odreñuje Bresler

Ravnoteža spoljašnjih i unutrašnjih sila za jedan nagib neutralne linije

U tom smislu se često koristi pomoć



atno, zadovoljenje


........................................ (4.15)

granične vrednost sile za jednoosno savijan presek, u dva pravca,

terećen presek.


–N, daje veza ex–

). Novoformirana površ je, takoñe, konveksna. Tačka granične


1/N

ux

B

DD’

exxe

ov približni postupak

eška koja se ovom aproksimacijom čini odgovara razlici položaja tačaka D (tačka

(tačka na sekantnoj ravni, koju odreñuje Bresler-ov


109

kriterijum) na Sl. 117Error! Reference source not found.. Iako je, zbog konveksnosti

interakcione površi, prikazani trougao izvesno unutar interakcione površi, ovim nije

obezbeñena konzervativnost postupka a priori. Treba primetiti da tačka sekantne

ravni D’ nije unutar trougla.

4.2.3.4.2.3.4.2.3.4.2.3. ARMIRANJE STUBOVAARMIRANJE STUBOVAARMIRANJE STUBOVAARMIRANJE STUBOVA

Minimalni poprečni presek podužne armature stubova je Ø12, minimalni ukupni

koeficijent armiranja za kratke stubove je 0.6%, a maksimalni 6%. Ipak,

projektantima je preporučena primena nešto većih minimalnih koeficijenata u

praksi, izmeñu 0.8 i 1.0%. Kod vitkih elemenata, minimalni procenat armiranja je

funkcija vitkosti, na sledeći način28:

min 0.4% 0.6%50

λµ = − ≥ . ................................................................ (4.16)

Šipke podužne armature treba da budu simetrično rasporeñene, tako da im se

težište poklapa sa težištem preseka. Kod razuñenih i nesimetričnih preseka, takoñe

treba težiti ispunjenju ovog zahteva, bar približno. Broj šipki podužne armature

treba da zadovolji i uslov da se u svakom uglu preseka nañe bar jedna (Sl. 118).

Sl. 118. Minimalan broj podužnih šipki

Maksimalno meñusobno rastojanje podužnih šipki ne sme biti veće od 40cm, a ne-

ugaone šipke podužne armature treba obuhvatiti dodatnim zatvorenim uzengijama

u cilju sprečavanja njihovog lokalnog izvijanja (Sl. 119).

Sl. 119. Maksimalno rastojanje podužnih šipki

Kod jako armiranih preseka poželjno je grupisanje šipki podužne armature u

uglovima preseka, jer su tamo najefikasnije (Sl. 120, desno).

28 Dati izraz je čest predmet kritika i teško ga je opravdati.


110

Sl. 120. Uzengije razuñenih preseka i grupisanje podužne armature

Minimalni profil uzengija je Ø6, za podužnu armaturu do Ø20, odnosno Ø8, za

podužne profile veće od Ø20. Uzengije na konkavnim uglovima stuba razuñenog

preseka treba prekinuti kako bi se izbegla mogućnost izbijanja zaštitnog sloja.

Umesto toga, treba predvideti preklapanje zatvorenih ili otvorenih uzengija (Sl. 120).

U cilju obezbeñenja od lokalnog izvijanja pritisnutih šipki, razmak izmeñu uzengija

stubova je ograničen na 15 prečnika najtanje šipke podužne armature, manju

dimenziju presek ili 30cm (najmanja od ove tri). Maksimalni hod spirale spiralno

armiranih stubova je ograničen na 20% prečnika betonskog jezgra, odnosno na 8cm

(Sl. 121). Minimalni hod spirale je definisan opštim pravilima za armiranje.

Sl. 121. Razmak uzengija i hod spirale

Primena spiralno armiranih stubova je, Pravilnikom, ograničena na centrično

pritisnute stubove vitkosti ne veće od 50, kružnog ili mnogougaonog poprečnog

preseka prečnika ne manjeg od 20cm. Spiralna armatura se završava punim krugom

u ravni poprečnog preseka, sidrenjem unutar mase betonskog preseka u minimalnoj

dužini od 30Ø bez kuke. Nastavljanje se sprovodi na dužini ne manjoj od 30Ø uz

dodatno sidrenje krajeva bez kuka, za dužinu ne manju od 20Ø (Sl. 122).

Sl. 122. Sidrenje i nastavljanje spiralne armature

4.2.4.4.2.4.4.2.4.4.2.4. VITKI STUBOVVITKI STUBOVVITKI STUBOVVITKI STUBOVIIII29292929

Uticaji na krajevima stuba, aksijalne sile i momenti ili, ekscentrična aksijalna sila (na

ekscentricitetu e = Mu/Nu30, izazivaju deformaciju (ugib) stuba. Ovim ugibom,

29 Na ovom mestu, stub se smatra zasebnim elementom ili izdvojenim iz konstrukcije.

ekscentricitet aksijalne sile se povećava, a samim tim i momenat savijanja i, skladno

količina potrebne podužne armature. Budući da su stubovi opterećeni značajnim

aksijalnim silama, prirast momenta izazvan ugibom može biti značajan, a njegovo

zanemarenje može za posledicu imati značajan podbačaj u količini armature.

Problem je utoliko izraženiji ukoliko je stub manjih dimenzija poprečnog preseka

(vitkiji), te ukoliko je aksijalna sila veća, a prirast ugiba

silom je nelinearan (Sl. 123

ravnotežnog stanja nedeformisanog stuba nije zadovoljavajuće tačnosti, nego je od

interesa analizirati ravnotežno stanje deformisanog elementa, saglasno teoriji

drugog reda (teorija velikih deformacija).

Pri tome, stub je armiranobetonski, što njegovo pon

nelinearnim. Simultano obuhvatanje dve nelinearnosti (prethodna je bila

geometrijska) je, i na nivou izdvojenog stuba, računski zametno, zbog čega se u

praksi koriste pojednostavljene metode, zasnovane na modifikovanim uticajima

prvog reda (proisteklim iz analize konstrukcije).

Sl. 123. Prirast ugiba sa porastom aksijalnog ekscentričnog opterećenja

Prema teoriji elastične stabilnosti, kritična sila

dolazi do neograničeno velikog deformisanja (

elementa (do gubitka stabilnosti), se izračunava u funkciji savojne krutosti (

dužine izvijanja stuba (li):

2

2ci

EIP

l

π= , il k l= ⋅

gde se pod dužinom izvijanja razmak nultih tačaka momenta drugog reda ili, tačaka

infleksije. Dužina izvijanja je osnovni

efekte izvijanja. Za aksijalno opterećene stubove sa nepomerljivim krajevima, faktor

efektivne dužine k nalazi se u granicama od

stubova sa pomerljivim krajevima njegova vrednost veća jednaka 1.0 (

30 S obzirom da se razmatra granično stanje nosivosti, uticaji su dati u graničnom obliku

(indeks – u).

ekscentricitet aksijalne sile se povećava, a samim tim i momenat savijanja i, skladno




raženiji ukoliko je stub manjih dimenzija poprečnog preseka

(vitkiji), te ukoliko je aksijalna sila veća, a prirast ugiba/momenta

Sl. 123). Očigledno, moguće su situacije u kojima razmatranje



drugog reda (teorija velikih deformacija).

Pri tome, stub je armiranobetonski, što njegovo ponašanje čini i materijalno




rvog reda (proisteklim iz analize konstrukcije).

Prirast ugiba sa porastom aksijalnog ekscentričnog opterećenja

Prema teoriji elastične stabilnosti, kritična sila Pc (Euler-ova kritična sila), pod kojom

dolazi do neograničeno velikog deformisanja (Sl. 123) aksijalno opterećenog

elementa (do gubitka stabilnosti), se izračunava u funkciji savojne krutosti (

l k l= ⋅ , ................................................................


Dužina izvijanja je osnovni parametar – mera – osetljivosti elementa na


nalazi se u granicama od 0.5 1.0k≤ ≤ (Sl. 124),

stubova sa pomerljivim krajevima njegova vrednost veća jednaka 1.0 (

S obzirom da se razmatra granično stanje nosivosti, uticaji su dati u graničnom obliku


111

ekscentricitet aksijalne sile se povećava, a samim tim i momenat savijanja i, skladno,




raženiji ukoliko je stub manjih dimenzija poprečnog preseka

/momenta sa aksijalnom

Očigledno, moguće su situacije u kojima razmatranje



ašanje čini i materijalno




Prirast ugiba sa porastom aksijalnog ekscentričnog opterećenja

ova kritična sila), pod kojom

) aksijalno opterećenog

elementa (do gubitka stabilnosti), se izračunava u funkciji savojne krutosti (EI) i

.......................................... (4.17)


osetljivosti elementa na


), dok je u slučaju

stubova sa pomerljivim krajevima njegova vrednost veća jednaka 1.0 (Sl. 125).

S obzirom da se razmatra granično stanje nosivosti, uticaji su dati u graničnom obliku


112

Sl. 124. Koeficijenti dužine izvijanja stubova sa horizontalno nepomerljivim krajevima

Sl. 125. Koeficijenti dužine izvijanja stu

Maksimalne poprečne deformacije ose stuba i maksimalni prirast momenta savijanja

usled uticaja normalnih sila najveći su u srednjoj trećini dužine izvijanja, te je ovo

oblast stuba koja može biti merodavna za kont

Uopšteno gledano, ako na neki način može da se proceni dužina izvijanja stuba

dalji proračun se može sprovesti na izdvojenom zglobno vezanom zamenjujućem

stubu dužine li. U bezdimenzionalnom obliku, dužina izvijanja relat

radijusom inercije daje parametar

ii

l Al

i Iλ = = ⋅ . ................................

31 U opštem slučaju, stubovi u konstrukcijama su na krajevima elastičn

različitog stepena pomerljivosti, a prikazani Euler

Dodatno, stalno je prisutan i problem obuhvatanja efekata prslina kroz redukciju savojne

krutosti.


Koeficijenti dužine izvijanja stubova sa horizontalno nepomerljivim krajevima

Koeficijenti dužine izvijanja stubova sa horizontalno pomerljivim krajevima



oblast stuba koja može biti merodavna za kontrolu granične nosivosti preseka.

Uopšteno gledano, ako na neki način može da se proceni dužina izvijanja stuba


U bezdimenzionalnom obliku, dužina izvijanja relat

radijusom inercije daje parametar vitkost stuba:

................................................................

U opštem slučaju, stubovi u konstrukcijama su na krajevima elastičn

različitog stepena pomerljivosti, a prikazani Euler-ovi slučajevi, su neka vrsta idealizacije.


Koeficijenti dužine izvijanja stubova sa horizontalno nepomerljivim krajevima

bova sa horizontalno pomerljivim krajevima



rolu granične nosivosti preseka.

Uopšteno gledano, ako na neki način može da se proceni dužina izvijanja stuba31


U bezdimenzionalnom obliku, dužina izvijanja relativizovana

................................................. (4.18)

U opštem slučaju, stubovi u konstrukcijama su na krajevima elastično uklješteni i

ovi slučajevi, su neka vrsta idealizacije.


Sl. 126. Uticaj krutosti greda na dužinu izvijanja stubova u okvirnoj konstrukciji

Kod armiranobetonskih konstrukcija stubovi su, u opštem slučaju, sastavni deo

podužnih i poprečnih okvira (ne figurišu kao samostalni elementi). Uslovi oslanjanja,

a samim tim i deformacije, u dva ortogonalna pravca su različiti. Pored ovoga, na

veličinu i oblik deformacione linije bitno utiče krutost greda (

promena po dužini izazvana pojavom prslina duž AB elementa. Ovo čini problem

odreñivanja dužine izvijanja kod stubova armiranobetonskih konstrukcija izuzetno

kompleksnim, i samo približno rešivim.

U praksi je uobičajeno odreñivanje dužine izvijanja stubova saglasno nomogramima

za odreñivanje efektivne dužine stuba (

Ovim je uveden uticaj stepena uklještenja krajeva stubova na dužinu izvijanja. Za

uklješten kraj stuba (vezan za beskonačno krutu gredu) biće

vezan kraj stuba koeficijent

koeficijentima k, iz nomograma se očitava faktor efektivne dužine stuba. Vrednost

k - koeficijenta treba minimalno uzeti kao 0.4, jer se u protivnom dobijaju

potcenjene vrednosti dužine izvijanja. Takoñe, bez obzira na rezultat, ne

preporučuje se usvajanje koeficijenta efektivne dužine manjeg od 0.85.

Sl. 127. Nomogrami za odreñivanje efektivne dužine stuba: a) nepomerljivi; b) pomerljivi krajevi stuba

Očigledno je da stepen uklještenja kraja stuba zavisi i od načina oslanjanja

suprotnih krajeva greda kru

Uticaj krutosti greda na dužinu izvijanja stubova u okvirnoj konstrukciji



rmacije, u dva ortogonalna pravca su različiti. Pored ovoga, na

veličinu i oblik deformacione linije bitno utiče krutost greda (


ivanja dužine izvijanja kod stubova armiranobetonskih konstrukcija izuzetno

snim, i samo približno rešivim.


za odreñivanje efektivne dužine stuba (Sl. 127).


uklješten kraj stuba (vezan za beskonačno krutu gredu) biće k=0, dok će za zglobno

vezan kraj stuba koeficijent k težiti beskonačno velikoj vrednosti. Sa od

, iz nomograma se očitava faktor efektivne dužine stuba. Vrednost

koeficijenta treba minimalno uzeti kao 0.4, jer se u protivnom dobijaju


svajanje koeficijenta efektivne dužine manjeg od 0.85.

Nomogrami za odreñivanje efektivne dužine stuba: a) nepomerljivi; b) pomerljivi krajevi stuba


suprotnih krajeva greda kruto vezanih u posmatranom čvoru. Tako konzolna greda


113

Uticaj krutosti greda na dužinu izvijanja stubova u okvirnoj konstrukciji



rmacije, u dva ortogonalna pravca su različiti. Pored ovoga, na

veličinu i oblik deformacione linije bitno utiče krutost greda (Sl. 126) i njena


ivanja dužine izvijanja kod stubova armiranobetonskih konstrukcija izuzetno



=0, dok će za zglobno

težiti beskonačno velikoj vrednosti. Sa odreñenim

, iz nomograma se očitava faktor efektivne dužine stuba. Vrednost

koeficijenta treba minimalno uzeti kao 0.4, jer se u protivnom dobijaju


svajanje koeficijenta efektivne dužine manjeg od 0.85.

Nomogrami za odreñivanje efektivne dužine stuba: a) nepomerljivi; b) pomerljivi krajevi stuba


to vezanih u posmatranom čvoru. Tako konzolna greda


114

neće uopšte doprinositi povećanju stepena uklještenja stuba, te njenu krutost ne

treba uračunavati u sumu krutosti greda. Greda koja je na suprotnom kraju zglobno

vezana smanjuje stepen uklještenja stuba,

krutosti greda, njenu krutost treba redukovati. Evrokodom je predložena redukcija

krutosti za 50% preko faktora redukcije

( )

(/

/C C C

B B B

E I lk

E I lα=

⋅∑∑

Sl. 128. Odreñivanje k

Granična nosivost stuba opterećenog aksijalnom silom pritiska na ekscent

za različite vrednosti vitkosti stuba prikazana je na

Sl. 129. Uticaj vitkosti na graničnu nosivost stuba

Spoljašnja, interakciona kriva odgovara maksimalnoj nosivosti popreč

smislu momenta savijanja za odreñi nivo aksijalnog naprezanja i za poznatu

količinu armature u preseku. Prava linija odgovara teorijskoj nultoj vitkosti stuba.

Uticaji drugog reda ne postoje, a nosivost preseka je uslovljena proračunom koji

uvažava materijalnu nelinearnost

32 Dimenzionisanjem preseka saglasno graničnoj

nelinearnost, preko nelinearnih komponentnih zavisnosti napona i betona.




vezana smanjuje stepen uklještenja stuba, zbog čega, prilikom sračunavanja


krutosti za 50% preko faktora redukcije α (Sl. 128):

))/

C C C

B B B

E I l

E I l. ................................................................

Odreñivanje k – koeficijenata krajeva stuba S2

Granična nosivost stuba opterećenog aksijalnom silom pritiska na ekscent

za različite vrednosti vitkosti stuba prikazana je na Sl. 129.

Uticaj vitkosti na graničnu nosivost stuba i vrsta sloma u funkciji vitkosti

Spoljašnja, interakciona kriva odgovara maksimalnoj nosivosti popreč




važava materijalnu nelinearnost32. Sa porastom vitkosti, povećavaju se i uticaji

Dimenzionisanjem preseka saglasno graničnoj nosivosti uvažena je materijalna




zbog čega, prilikom sračunavanja


......................................... (1.19)

Granična nosivost stuba opterećenog aksijalnom silom pritiska na ekscentricitetu e,

i vrsta sloma u funkciji vitkosti

Spoljašnja, interakciona kriva odgovara maksimalnoj nosivosti poprečnog preseka u




. Sa porastom vitkosti, povećavaju se i uticaji

nosivosti uvažena je materijalna


drugog reda. Za niske vitkosti, deformacija štapa ima zanemarljiv uticaj na njegovu

graničnu nosivost, koja se dostiže iscrpljenjem nosivosti kritičnog poprečnog

preseka. Sa povećanjem vitkosti (

nosivost je još uvek uslovljena nosivošću kritičnog preseka. Za stubove velikih

vitkosti (λ3), prirast momenta spoljašnjeg savijanja je brži nego što je to presek u

stanju da prati prirastom unutrašnjeg momenta savijanja. Granična ravnoteža je

dostignuta pre iscrpljenja nosivosti preseka, gubitkom stabilnosti.

Saglasno ovome postavljaju se i kriterijumi kojima se stubovi klasifikuju na kratke i

vitke (Sl. 130). Prema Pravilniku, kratkima se sma

zadovoljeno:

0125 2 MMλ ≤ ⋅ −

Momenti na krajevima stuba,

stranu stuba. Po apsolutnoj vrednosti,

opterećen, ovaj odnos se usvaja jednakim jedinici. Ovim čak i stub vitkosti 75, u

situaciji najpovoljnije distribucije momenta

Osim ovoga, stub se smatra kratkim i u situacijama kada je dominantno savijan.

Pravilnik ovo definiše sledećim uslovima, preko odnosa ekscentriciteta aksijalne sile

i odgovarajuće dužine stranice preseka (visine)

1

1

/ 3.5 za 75

/ 3.5 / 75 za 75

e d

e d

λλ λ

≥ ≤≥ ⋅ ≥

Momentima savijanja prvog reda, za

ekscentricitet aksijalne sile prvog reda

savijanja i aksijalne sile. No, kako je, u opštem slučaju, moment savijanja promenljiv

po dužini stuba, ovaj ekscentricitet se računa na bazi

savijanja prvog reda (Okvir 4

1 02 01 02, 01,/ 0.65 0.35 , 0.65 0.35u u u u ue M N e e M M M= = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

Ukoliko stub ne može biti klasifikovan kao kratak, stub

kojom se procenjuju dodatni uticaji (momenti savijanja) izazvani izvijanjem mora

biti sprovedena. Ovom analizom se razmatraju svi fenomeni koji mogu bitno da



većanjem vitkosti (λ2) raste i uticaj efekata drugog reda, no granična


), prirast momenta spoljašnjeg savijanja je brži nego što je to presek u

astom unutrašnjeg momenta savijanja. Granična ravnoteža je

dostignuta pre iscrpljenja nosivosti preseka, gubitkom stabilnosti.


Pravilniku, kratkima se smatraju oni stubovi kod kojih je

02M

, ................................................................

Momenti na krajevima stuba, M01 i M02, daju pozitivan odnos ukoliko zatežu istu

stranu stuba. Po apsolutnoj vrednosti, M02 je veći od M01, a ukoliko je stub centrično


situaciji najpovoljnije distribucije momenta savijanja, može biti tretiran kao kratak.



i odgovarajuće dužine stranice preseka (visine):

/ 3.5 za 75

/ 3.5 / 75 za 75

λλ λ

≥ ≤≥ ⋅ ≥

. ...............................................................

Sl. 130. Klasifikacija stubova

Momentima savijanja prvog reda, za nepromenljivu aksijalnu silu, odgovara

ekscentricitet aksijalne sile prvog reda, e1. Načelno, reč je o odnosu momenta


po dužini stuba, ovaj ekscentricitet se računa na bazi ekvivalentnog momenta

Okvir 4):

1 02 01 02, 01,/ 0.65 0.35 , 0.65 0.35u u u u ue M N e e M M M= = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

Ukoliko stub ne može biti klasifikovan kao kratak, stub je vitak i dodatna analiza




115



) raste i uticaj efekata drugog reda, no granična


), prirast momenta spoljašnjeg savijanja je brži nego što je to presek u

astom unutrašnjeg momenta savijanja. Granična ravnoteža je


traju oni stubovi kod kojih je

...................................... (4.20)

, daju pozitivan odnos ukoliko zatežu istu

, a ukoliko je stub centrično


savijanja, može biti tretiran kao kratak.



............................... (4.21)

nepromenljivu aksijalnu silu, odgovara

. Načelno, reč je o odnosu momenta


ekvivalentnog momenta

1 02 01 02, 01,u u u u u ,. ........... (4.22)

je vitak i dodatna analiza




116

opredele ponašanje stuba osetljivog na deformaciju. Osim efekata drugog

su još i efekti geometrijskih netačnosti (imperfekcija), kao i reološki efekti.

Okvir 4Okvir 4Okvir 4Okvir 4

Slično, i prema Evrokodu se odreñuje ekvivalentni ekscentricitet prvog reda:

1 02, 01,e M N M M M= = ⋅ + ⋅

Dijagramom je prik

Evrokodu, ovaj ekscentricite ne može biti usvojen manjim od 40%

ekscentriciteta

4.2.4.1.4.2.4.1.4.2.4.1.4.2.4.1. Ukupni ekscentricitetUkupni ekscentricitetUkupni ekscentricitetUkupni ekscentricitet

Najpogodnije je problem analizirati preko ekscentriciteta aksijalne

već učinjeno za ekscentricitet prvog reda.

aksijalne sile, nakon deformacije stuba, može biti prikazan kao zbir sledećih

pojedinačnih ekscentriciteta

• ekscentricitet prvog reda,

• ekscentricitet usled geometrijskih imperfekcija (slučajni),

• ekscentricitet usled tečenja,

• ekscentricitet drugog reda,

0 2 2tot a Ie e e e e e eφ= + + + = +

Sl. 131. Parcijalni ekscentriciteti i ukupni ekscentricitet

Prva tri imaju „karakter“ ekscentriciteta prvog reda, zbog čega su i grupisana u vidu

ekscentriciteta eI. Ekscentricitetom usled netačnosti

dimenzionalne netačnosti i nepouzdanosti položaja i pravca delovanja aksijalnih

sila. Domaći propisi ga definišu kao (

02 cm / 300 10 cmae l< = <


opredele ponašanje stuba osetljivog na deformaciju. Osim efekata drugog


Okvir 4Okvir 4Okvir 4Okvir 4 Ekvivalentni ekscentricitet prvog redaEkvivalentni ekscentricitet prvog redaEkvivalentni ekscentricitet prvog redaEkvivalentni ekscentricitet prvog reda


1 02, 01,/ , 0.6 0.4u u u u ue M N M M M= = ⋅ + ⋅ .

Dijagramom je prikazana razlika, no treba imati na umu i da, saglasno


ekscentriciteta e02.

Ukupni ekscentricitetUkupni ekscentricitetUkupni ekscentricitetUkupni ekscentricitet

Najpogodnije je problem analizirati preko ekscentriciteta aksijalne

o za ekscentricitet prvog reda. Tako, ukupni (totalni) ekscentricitet


pojedinačnih ekscentriciteta (Sl. 131):

ekscentricitet prvog reda, e0,

ricitet usled geometrijskih imperfekcija (slučajni), ea,

ekscentricitet usled tečenja, eφ, i

ekscentricitet drugog reda, e2:

0 2 2tot a Ie e e e e e e= + + + = + . .............................................................

Parcijalni ekscentriciteti i ukupni ekscentricitet


Ekscentricitetom usled netačnosti pri izvoñenju obuhvataju se


sila. Domaći propisi ga definišu kao (Sl. 132a):

2 cm / 300 10 cm< = < , ..............................................................

opredele ponašanje stuba osetljivog na deformaciju. Osim efekata drugog reda, to



azana razlika, no treba imati na umu i da, saglasno


Najpogodnije je problem analizirati preko ekscentriciteta aksijalne sile, kako je to

Tako, ukupni (totalni) ekscentricitet


,

............................. (4.23)


pri izvoñenju obuhvataju se


.............................. (4.24)


117

ili preko dodatnog nagiba33 (Sl. 132b):

1/150 za jednospratne okvire

1/ 200 za visespratne okviretgα

=

. .................................................. (4.25)

Sl. 132. Računska imperfekcija

Tečenje betona kod pritisnutih vitkih armiranobetonskih stubova izaziva povećanje

ugiba, a samim tim i smanjenje njihove nosivosti. Tačan proračun ovih efekata

podrazumeva upotrebu složenog matematičkog aparata (isprskao presek,

nelinearan zakon tečenja, redistribucija naprezanja beton-čelik i dr.). Zbog toga se

može smatrati opravdanim korišćenje približnih metoda proračuna, kao i

postavljanje odgovarajućih kriterijuma kada uticaj tečenja betona nije neophodno

obuhvatiti proračunom. Zbog jednostavnosti primene, analiza uticaja efekata tečenja

betona se izdvaja posebno prilikom dokaza granične nosivosti vitkog

armiranobetonskog stuba. Efekti tečenja se u proračun uvode putem procene

ekscentriciteta usled tečenja34.

Prema PBAB87, efekti tečenja mogu biti zanemareni proračunom ako je ispunjen bar

jedan od sledeća tri uslova:

50λ < , 0 / 2e d > ili 0.2g qN N≤ ⋅ , ...................................................... (4.26)

gde su Ng i Nq eksploatacione vrednosti aksijalne sile pritiska usled stalnog i usled

ukupnog opterećenja.

Ukoliko ni jedan od uslova nije ispunjen, efekti tečenja se uvode preko dodatnog

ekscentriciteta njime izazvanog:

( ) 10 e 1

E

Eg ae e e

αα

ϕ−

= + ⋅ −

, gE

E

N

Nα = ,

2

20

b bE

E IN

l

π= . ............................. (4.27)

NE je Euler-ova sila izvijanja za stub krutosti preseka EbIb i dužine izvijanja l0.

33 Za horizontalno pomerljive konstrukcije.

34 U praksi se, osim na ovaj način, primenjuju i postupci kojima se modifikuje veza izmeñu

napona i dilatacija u betonu za dugotrajna opterećenja, kao i postupci kojima se, na račun

tečenja, redukuju krutosti armiranobetonskih elemenata.


118

Konačno, ekscentricitet drugog reda

proračuna efekata vitkosti, a nekoliko postupaka je prikazano u nastavku.

Sa odreñenim parcijalnim i ukupnim ekscentricitetom, kritični presek stuba se

dimenzioniše prema aksijalnoj sili i uvećanom momentu savijanja, recimo

odgovara ukupnom ekscentricitetu

ekscentricitetu I reda e0 <

No, kako god odreñeni uvećani momenti bili, stub uvek treba

koji se nalaze izvan dužine izvijanja. Naime, može se dogoditi da uticaji prvog reda

na krajevima nepomerljivog stuba

imaju maksimalne vrednosti baš na krajevima)

količinom armature nego preseci u kritičnoj zoni dužine izvijanja.

4.2.4.2.4.2.4.2.4.2.4.2.4.2.4.2. Postupak dopunske ekscentričnostiPostupak dopunske ekscentričnostiPostupak dopunske ekscentričnostiPostupak dopunske ekscentričnosti

Domaćim Pravilnikom, za stubove u rasponu vitkosti izmeñu 25 i 75 (područje

umereno vitkih stubova,

dopunske ekscentričnosti35

Postupak bazira na izračunavanju ukupnog, uvećanog, ekscentriciteta aksijalne sile

kao zbira parcijalnih (4.23)

e2, u funkciji vitkosti i ekscentriciteta prvog reda,

2

250.1 , kada je 0 0.30

100e d

λ −= ⋅ ⋅ + ≤ ≤

2

25 , kada je 0.30 2.50

160e d

λ −= ⋅ ≤ ≤

2

253.5 , kada je 2.50< 3.50

160e d

λ − = ⋅ ⋅ − <

Sl. 133. Zavisnost ekscentriciteta drugog reda od ekscentriciteta prvog reda

35 Ovim postupkom dozvoljeno je proračunavati i stubove pomerljivih konstrukcija.


ekscentricitet drugog reda je faktor koji primarno razlikuje metode



menzioniše prema aksijalnoj sili i uvećanom momentu savijanja, recimo

odgovara ukupnom ekscentricitetu etot (moment savijanja prvog reda

< etot).

No, kako god odreñeni uvećani momenti bili, stub uvek treba proveriti i u presecima


na krajevima nepomerljivog stuba (linearno promenljivi momenti po dužini stuba

imaju maksimalne vrednosti baš na krajevima) rezultuju većom potrebn

nego preseci u kritičnoj zoni dužine izvijanja.

Postupak dopunske ekscentričnostiPostupak dopunske ekscentričnostiPostupak dopunske ekscentričnostiPostupak dopunske ekscentričnosti


umereno vitkih stubova, Sl. 130) dozvoljena je primena približnog postupka 35.


), tena gruboj proceni samog ekscentriciteta drugog reda,

, u funkciji vitkosti i ekscentriciteta prvog reda, e0, na sledeći način (

0 00.1 , kada je 0 0.30e e

d d= ⋅ ⋅ + ≤ ≤ , ................................

0 , kada je 0.30 2.50e

d= ⋅ ≤ ≤ , ................................

0 03.5 , kada je 2.50< 3.50e e

d d = ⋅ ⋅ − <

. ............................

avisnost ekscentriciteta drugog reda od ekscentriciteta prvog reda

Ovim postupkom dozvoljeno je proračunavati i stubove pomerljivih konstrukcija.

je faktor koji primarno razlikuje metode



menzioniše prema aksijalnoj sili i uvećanom momentu savijanja, recimo Mu2, koji

(moment savijanja prvog reda Mu odgovara

proveriti i u presecima


(linearno promenljivi momenti po dužini stuba

rezultuju većom potrebnom


primena približnog postupka


, tena gruboj proceni samog ekscentriciteta drugog reda,

, na sledeći način (Sl. 133):

.................................. (4.28)

.......................................... (4.29)

............................ (4.30)

avisnost ekscentriciteta drugog reda od ekscentriciteta prvog reda

Ovim postupkom dozvoljeno je proračunavati i stubove pomerljivih konstrukcija.

4.2.4.3.4.2.4.3.4.2.4.3.4.2.4.3. Veza MVeza MVeza MVeza M----NNNN----κκκκ i mi mi mi modelodelodelodel

Prethodni postupak, iako jednostavan za primenu, ne može biti primenjen kod

stubova vitkosti veće od 75 (na stranu činjenica da je ekscentricitet drugog reda

njime vrlo grubo procenjen). Za stubove veće vitkosti moraju biti primenjeni

složeniji postupci, koji se odlikuju većom tačnošću. Naravno, kao tačniji, ovi

postupci mogu biti primenjeni i u polju umereno vitkih stubova. Jedan od

najpogodnijih (najmanje nepo

stub. Kao osnovu, ovaj metod koristi poznatu vezu na nivou preseka izmeñu

momenta savijanja, aksijalne sile i njegove krivine, tzv

predstavljati u obliku M(κ), za različite vrednost

definiše kao (h je statička visina):

b a

h

ε εκ += . ................................

Za praksu je u pogodniji bezdimenzionalni oblik

gde su m, n i k bezdimenzionalne vrednosti momenta savijanja, normalne sile i

krivine preseka:

, , 10u u

b b b b

M Nm n k hA df A f= = = κ ⋅ ⋅

Prednost bezdimenzionalnog oblika veze je njena nezavisnost od kvaliteta betona,

te dimenzija poprečnog preseka.

Okvir 5Okvir 5Okvir 5Okvir 5

Posledica ove pretpostavke je opravdanost upotrebe maksimalnih koeficijenata

sigurnosti, prilikom pro

odgovaraju nešto veće vrednosti.

Iako se uvedenom pretpostavkom maksimalna moguća krivina, k, drastično

redukuje sa 13.5 (10+3.5) promila na, za rebrasti čelik, na primer, 5.5 (2+3.5),

posledice nisu drast

su predstavljene interakcione krive koje odgovaraju pojedinim vrednostima

krivina.

Očigledno je da je već interakcionom linijom za krivinu (bezdimenzionalnu) od

5.5, praktično, „pokrivena“ komplet

odelodelodelodel----stub metodstub metodstub metodstub metod



jime vrlo grubo procenjen). Za stubove veće vitkosti moraju biti primenjeni



najpogodnijih (najmanje nepogodnih) za praktičnu primenu je postupak model


momenta savijanja, aksijalne sile i njegove krivine, tzv MMMM----NNNN----κ vezuκ vezuκ vezuκ vezu, koju je pogodno

κ), za različite vrednosti N. Pri tome, krivina preseka se

je statička visina):

.....................................................................................

Za praksu je u pogodniji bezdimenzionalni oblik M-N-κ veze, odnosno

bezdimenzionalne vrednosti momenta savijanja, normalne sile i

3 , , 10u u

b b b b

M Nm n k hA df A f= = = κ ⋅ ⋅ ................................


te dimenzija poprečnog preseka.

Okvir 5Okvir 5Okvir 5Okvir 5 Ograničenje dilatacije zategnute armatureOgraničenje dilatacije zategnute armatureOgraničenje dilatacije zategnute armatureOgraničenje dilatacije zategnute armature


sigurnosti, prilikom proračuna prema PBAB, iako samoj granici razvlačenja

odgovaraju nešto veće vrednosti.



posledice nisu drastične. Najbolje je ovo ilustrovano narednim dijagramom gde


krivina.


5.5, praktično, „pokrivena“ kompletna granična nosivost preseka.


119



jime vrlo grubo procenjen). Za stubove veće vitkosti moraju biti primenjeni



godnih) za praktičnu primenu je postupak model-


κ vezuκ vezuκ vezuκ vezu, koju je pogodno

Pri tome, krivina preseka se

..................... (4.31)

veze, odnosno m-n-k veza,

bezdimenzionalne vrednosti momenta savijanja, normalne sile i

.......................................... (4.32)



računa prema PBAB, iako samoj granici razvlačenja



ične. Najbolje je ovo ilustrovano narednim dijagramom gde



na granična nosivost preseka.


120

Za uspostavljanje ove veze

stanju loma, s tim što se, prema PBAB87,

razloga (Okvir 5) ograničavaju na v

max va

aEσε = . ................................

Za presek poznatih karakteristika i za poznatu vrednost spoljašnje granične

normalne sile Nu moguće je odrediti maksimalnu nosivost preseka na savijanje

(maxMu) i odgovarajuću maksimalnu krivinu (

0 do maxκ), na osnovu uslova ravno

jedinstveno stanje dilatacija (

ostaje očuvana ravnoteža spoljašnjih i unutrašnjih sila (

bude jednak spoljašnji moment savijanja

momenta koji će, uz datu silu

ui riM M= ................................

Sl. 134. Spoljašnje i unutrašnje sile preseka pri krivini

Ilustracije radi, prikazan je oblik

propisa (Sl. 135a) i prema odredbama Evrokoda (

opterećenja definisan bezdimenzionalnom normalnom silom

korišćenja čelika RA400/500, te za različite koeficijente armiranja preseka.

Posmatrajući ovu drugu (za koju nije primenjena pretpostavka ograničenja dilatacije

zategnute armature), očigledno je da kriva koja predstavlja ovu vezu ima dva loma.

Oba odgovaraju lomu bilinearnog radnog dijagrama čelika za armiranje. Prvi lom se

javlja kada dilatacija gornje (pritisnute) armature dostigne dilataciju na granici

razvlačenja, a drugi kada se to dogodi sa dilatacijom donje (zategnute) armature.

Kako je prema odredbama PBAB'87 dilatacija zatezanja ograničena baš na vrednost

koja odgovara granici razvlačenja, to je treći deo


ove veze uvode se pretpostavke proračuna prema graničnom

, s tim što se, prema PBAB87, dilatacije zategnute armature

ograničavaju na veličinu blisku pragu velikih izduženja čelika:

................................................................

tih karakteristika i za poznatu vrednost spoljašnje granične

moguće je odrediti maksimalnu nosivost preseka na savijanje

) i odgovarajuću maksimalnu krivinu (maxκ). Svakoj krivini

), na osnovu uslova ravnoteže spoljašnjih i unutrašnjih sila, odgovara

jedinstveno stanje dilatacija (εai i εbi), a time i moment unutrašnjih sila

ostaje očuvana ravnoteža spoljašnjih i unutrašnjih sila (Sl. 134). Njemu mora da

ak spoljašnji moment savijanja Mu, čime je definisana veličina spoljašnjeg

momenta koji će, uz datu silu Nu, da izazove pretpostavljenu krivinu:

.........................................................................................

Spoljašnje i unutrašnje sile preseka pri krivini κi

Ilustracije radi, prikazan je oblik m–n–k veze sračunate prema odredbama domaćih

a) i prema odredbama Evrokoda (Sl. 135b) za nivo aksijalnog

opterećenja definisan bezdimenzionalnom normalnom silom -0.30, uz pretpostavku


rajući ovu drugu (za koju nije primenjena pretpostavka ograničenja dilatacije



ilatacija gornje (pritisnute) armature dostigne dilataciju na granici


Sl. 135. Veze m-n-k


ovara granici razvlačenja, to je treći deo m–n–k veze, u slučaju domaćih

uvode se pretpostavke proračuna prema graničnom

dilatacije zategnute armature iz praktičnih

eličinu blisku pragu velikih izduženja čelika:

................................................ (4.33)

tih karakteristika i za poznatu vrednost spoljašnje granične

moguće je odrediti maksimalnu nosivost preseka na savijanje

). Svakoj krivini κi (u intervalu od

teže spoljašnjih i unutrašnjih sila, odgovara

), a time i moment unutrašnjih sila Mri, pri kojem

). Njemu mora da

, čime je definisana veličina spoljašnjeg

, da izazove pretpostavljenu krivinu:

......................... (4.34)

veze sračunate prema odredbama domaćih

b) za nivo aksijalnog

0.30, uz pretpostavku


rajući ovu drugu (za koju nije primenjena pretpostavka ograničenja dilatacije



ilatacija gornje (pritisnute) armature dostigne dilataciju na granici



veze, u slučaju domaćih


121

propisa, izostavljen. No, svakako, treba primetiti da je prirast momenta savijanja

posle ove granice minimalan što odgovara i ranije iznešenoj konstataciji.

Sa stanovišta teorije konstrukcija, kod analize pritisnutog vitkog stuba potrebno je

rešiti stanje unutrašnjih sila i deformacija elementa, problem koji je zbog uticaja

normalnih sila na stanje momenata savijanja geometrijski nelinearan, a zbog

nelinearnih deformacija preseka pri datim spoljnim opterećenjima još i materijalno

nelinearan. Posmatrajmo konzolu sa Sl. 136.

Da bi se odredilo pomeranje vrha konzole opterećene horizontalnom silom H u

vrhu, kod koje, zbog materijalne nelinearnosti, spoljašnjim linearno promenljivim

momentima savijanja odgovara nelinearna raspodela krivina preseka, treba rešiti iz

Teorije konstrukcija poznati integral:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

/l l

a M x M x EI x dx M x x dx= = κ∫ ∫ ....................................... (4.35)

Ako se zna zakon promene krivine preseka u funkciji veličine momenta savijanja,

veličine normalne sile pritiska, količine i rasporeda armature u preseku date

geometrije (m-n-k veza), onda se pomeranje može sračunati korišćenjem Mohr-ove

analogije ili numeričkom integracijom. Ako je stub visok i pritisnut, tada se proračun

u principu sprovodi iterativno, jer svakom novosračunatom stanju pomeranja

odgovara novo stanje momenata savijanja. Ako proračun deformacija i sila ne

konvergira - pomeranja usled normalnih sila rastu brže od prirasta nosivosti

preseka pri povećanju krivina - lom usled gubitka stabilnosti.

Sl. 136. Pomeranje vrha konzole – materijalna nelinearnost

Umesto ovakvog, egzaktnog, rešenja, može se iskoristiti iskustvo teorije elastične

stabilnosti kojim se oblik deformisane ose stuba može dovoljno tačno aproksimirati

sinusnim zakonom. Ovo je pretpostavka modelmodelmodelmodel----stub postupkastub postupkastub postupkastub postupka.

Model–stub je, dakle, konzolni stub za koji se pretpostavlja da je usled uticaja prvog

i drugog reda pretrpeo deformaciju u obliku sinusnog polutalasa. Najveći moment

savijanja prvog i drugog reda (stub je poprečno neopterećen izmeñu krajeva) se

javlja u preseku u uklještenju. Uz opravdano zaokruženje π2~10, pomeranje vrha

stuba može da se izrazi u funkciji, za sada nepoznate, krivine preseka u uklještenju

(κ0):

2 22 0 0 0 00.4 0.1 , 2e l l l l= ⋅ κ ⋅ = ⋅ κ ⋅ = ..................................................... (4.36)


122

Ranije je (4.23) ukupni ekscentricitet definisan kao zbir početnog ekscentriciteta

ekscentriciteta drugog reda

1 2 1 0 0tote e e e l= + = + ⋅ κ ⋅

ili, u bezdimenzionalnom obliku:

1 10 00.1 0.1tote l le e

d d d d d a d= + ⋅ κ ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⋅

gde je: k0 – bezdimenzionalna krivina preseka u uklještenju,

preseka stuba, a h=d-a

bezdimenzionalni ekscentriciteti biti obeležavani oznakama koje su korišćene za

stvarne ekscentricitete:

2 1 , , tottot

e e ee e e

d d d→ → →

Na dijagramu etot-k0, linija prome

porastom promenljive krivine.

bezdimenzionalnom normalnom silom

bezdimenzionalnosti:

m M e

f kn N d d

= = =⋅

Sada prava (4.38) daje zakon promene spoljašnjeg opterećenja za presek u

uklještenju u funkciji krivine tog preseka, dok kriva

unutrašnjih sila poprečnog preseka (

krivina u kritičnom preseku se povećava dok ne bude zadovoljena ravnoteža

spoljašnjih i unutrašnjih sila. Razvoj deformacija će se zaustaviti na onoj vrednosti

krivine k0’ koja odgovara jednakom ekscentricitetu spoljašnje i unutrašnje aksijalne

sile (jednakost momenata savijanja). Na

unutrašnjeg i prave spoljašnjeg opterećenja.

Sl. 137. Presek linije spoljašn


ukupni ekscentricitet definisan kao zbir početnog ekscentriciteta

ekscentriciteta drugog reda e2: 2

1 2 1 0 00.1e e e e l= + = + ⋅ κ ⋅ ................................................................

u bezdimenzionalnom obliku: 2 2

0 01 10 00.1 0.1

e l le e dd k

d d d d d a d = + ⋅ κ ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⋅ −

...............................

bezdimenzionalna krivina preseka u uklještenju, d –

a – statička visina preseka stuba.


2 12 1 , ,

e ee e e

d d d→ → →

, linija promene ukupnog ekscentriciteta je prava i raste sa

porastom promenljive krivine. Podelimo li sada bezdimenzionalnu

bezdimenzionalnom normalnom silom n, svešćemo M–N–κ vezu

( )0f k ................................................................

daje zakon promene spoljašnjeg opterećenja za presek u

uklještenju u funkciji krivine tog preseka, dok kriva (4.39) daje zakon promene

čnog preseka (Sl. 137). Pod uticajem spoljašnjeg opterećenja



koja odgovara jednakom ekscentricitetu spoljašnje i unutrašnje aksijalne

sile (jednakost momenata savijanja). Na Sl. 137 to je prikazano presekom krive

unutrašnjeg i prave spoljašnjeg opterećenja.

Presek linije spoljašnjeg i unutrašnjeg ekscentriciteta

ukupni ekscentricitet definisan kao zbir početnog ekscentriciteta eI i

................................. (4.37)

............................... (4.38)

visina poprečnog

statička visina preseka stuba. U nastavku će


ne ukupnog ekscentriciteta je prava i raste sa

Podelimo li sada bezdimenzionalnu m–n–k vezu

κ vezu na isti oblik

....................................... (4.39)

daje zakon promene spoljašnjeg opterećenja za presek u

daje zakon promene

Pod uticajem spoljašnjeg opterećenja



koja odgovara jednakom ekscentricitetu spoljašnje i unutrašnje aksijalne

to je prikazano presekom krive

jeg i unutrašnjeg ekscentriciteta

Sl. 138. Slučaj koji odgovara gubitku stabilnosti, odnosno minimalnoj potrebnoj količini armature

Ukoliko kriva unutrašnjeg ekscentriciteta sve vreme ostaje ispod prave spoljašnjeg

ekscentriciteta (Sl. 138a), ne može doći do uravnoteženja spoljašnjeg i unutrašnjeg

momenta savijanja, te ovakav slučaj odgovara gubitku stabilnosti konstrukcije.

Granični slučaj odgovara situaciji u kojoj prava spoljašnjeg ekscentriciteta tangira

krivu unutrašnjeg ekscentri

koeficijent armiranja preseka, tj. potrebna količina armature u preseku. Ovo znači

da bi iterativnim postupkom po količini armature mogao da se reši problem

dimenzionisanja stuba, a ne samo kontrole usvojene armature.

Za druge tipove nepomerljivih stubova (stubovi koji nisu konzole) bez poprečnog

opterećenja, za "model-stub" se može usvojiti polovina "zglobno" vezanog dela

stuba (deo stuba izmeñu tačaka infleksije)

dužine izvijanja (Sl. 139). Primena model

PBAB87, na nepomerljive stubove sa vitkošću manjom od 140 (maksimalna

dozvoljena vitkost AB elemenata). Linearno pr

zameniti ekvivalentnim konst

4.3.1.4.3.1.4.3.1.4.3.1. UVODUVODUVODUVOD

Okvirni sistemi su meñu najčešće korišćenim konstruktivnim elementima kod

armiranobetonskih konstrukcija. Čin

elemenata, kojom je omogućen prenos momenata savijanja, transverzalnih i/ili

aksijalnih sila sa jednog na drugi element, svojstveno i prirodno monolitno

izvoñenim armiranobetonskim konstrukcijama je značajno uticala

Slučaj koji odgovara gubitku stabilnosti, odnosno minimalnoj potrebnoj količini armature


a), ne može doći do uravnoteženja spoljašnjeg i unutrašnjeg



krivu unutrašnjeg ekscentriciteta (Sl. 138b). Ovim slučajem je definisan minimalni



a stuba, a ne samo kontrole usvojene armature.


stub" se može usvojiti polovina "zglobno" vezanog dela

stuba (deo stuba izmeñu tačaka infleksije) - konzola - čija je visina jednaka polovini

). Primena model-stub metode je ograničena, prema


dozvoljena vitkost AB elemenata). Linearno promenljivi moment prvog reda se mogu

zameniti ekvivalentnim konstantnim momentom duž ose stuba.

Sl. 139. Izdvajanje model–stuba

4.3.4.3.4.3.4.3. OKVIRNE KONSTRUKCIJEOKVIRNE KONSTRUKCIJEOKVIRNE KONSTRUKCIJEOKVIRNE KONSTRUKCIJE


armiranobetonskih konstrukcija. Činjenica da je ostvarivanje monolitne veze



izvoñenim armiranobetonskim konstrukcijama je značajno uticala na ovo.


123

Slučaj koji odgovara gubitku stabilnosti, odnosno minimalnoj potrebnoj količini armature


a), ne može doći do uravnoteženja spoljašnjeg i unutrašnjeg



b). Ovim slučajem je definisan minimalni




stub" se može usvojiti polovina "zglobno" vezanog dela

čija je visina jednaka polovini

stub metode je ograničena, prema


omenljivi moment prvog reda se mogu

OKVIRNE KONSTRUKCIJEOKVIRNE KONSTRUKCIJEOKVIRNE KONSTRUKCIJEOKVIRNE KONSTRUKCIJE


jenica da je ostvarivanje monolitne veze



na ovo.


124

Okviri se najčešće primenjuju u konstrukcijama zgrada i hala, ali i u praktično svim

drugim vrstama armiranobetonskih konstrukcija.

Okvir (prost okvir) je element koji čine dva stuba povezana gredom na način da je

izmeñu elemenata ostvarena kruta, monolitna, veza. Različite dispozicije prostih

okvira sa vertikalnim ili kosim stubovima, horizontalnim ili nagnutim, pravolinijskim

ili poligonalnim gredama... prikazane su na Sl. 140.

Sl. 140. Karakteristični primeri okvirnih sistema

Zahvaljujući krutim vezama grede i stuba, te nepomerljivim osloncima, postiže se,

takozvano okvirno dejstvo: pod dejstvom vertikalnog opterećenja sa grede se, na

stub, prenose i momenti savijanja, što za posledicu ima manje apsolutne vrednosti

momenata savijanja u gredi (Sl. 141). Dalje, greda prima i odreñenu aksijalnu silu,

čime je, takoñe, u povoljnijem položaju od odgovarajuće proste grede. Sa druge

strane, stubovi su sada izloženi i savijanju, zbog čega moraju biti krući.

Sl. 141. Okvirno dejstvo

U statičkom smislu okviri mogu biti statički odreñeni ili neodreñeni, a osnovni tipovi

su okvir na tri zgloba, okvir na dva zgloba i uklješteni okvir (Sl. 142). Sa stanovišta

konstruktivne racionalnosti prednost je na strani uklještenih okvira, budući da se

njima obezbeñuje minimalan utrošak materijala. Opet uslovi fundiranja ili

karakteristike tla, ali i neki drugi faktori, mogu usloviti primenu dvozglobnih ili

statički odreñenih, trozglobnih, sistema. Ovo poslednje je slučaj kod konstrukcija

fundiranih na tlu lošijih karakteristika ili kod okvira izloženih velikim temperaturnim

opterećenjima, kada je potrebno neutralisati utucaje izazvane, na primer,

neravnomernim sleganjem oslonaca.


125

Sl. 142. Statički sistemi prostih okvira

Očigledno, horizontalna nepomerljivost oslonaca je uslov okvirnog dejstva. Postiže

se konstruisanjem temelja u koje su stubovi uklješteni ili s njima zglobno

nepomerljivo vezani. Na temelje se time prenosi, osime vertikalne, horizontalna sila

i, eventualno, moment savijanja. Nepomerljivost temelja (Sl. 143) se obezbeñuje

trenjem preko kontaktene površine temelja i tla, za manja, ili povezivanjem temelja

zategom, za veća horizontalna opterećenja (sada se zategom primaju horizontalne

komponente, a na tlo se prenosi samo vertikalna reakcija).

Sl. 143. Nepomerljivost oslonava

Složeni okvirni sistemi (takoñe ih zovemo okvirima) se formiraju povećanjem broja

etaža i/ili brodova (polja), „razigravanjem“ dispozicije (Sl. 146a) ali i umetanjem

zglobova. Tako, zavisno od broja polja i broja etaža, okviri mogu biti jednobrodni ili

višebrodni, jednospratni ili višespratni (Sl. 144), a u funkciji načina oslanjanja i veze

sa temeljima, kao i meñusobne veze pojedinih okvira, mogu biti sa krutim, sa

zglobnim vezama ili kombinovani (Sl. 145).

Sl. 144. Brodovi i spratovi okvira

Sl. 145. Zglobovi u okvirnim sistemima


126

Sl. 146. Karakteristični primeri okvira kod industrijskih hala

Kao specijalan slučaj ravanskih okvirnih sistema mogu se javiti i zatvoreni okviri,

prikazani na Sl. 147.

Sl. 147. Zatvoreni okvirni sistemi

Mogu biti formirani od linijskih elemenata ili, što je češći slučaj, mogu se delovi

konstrukcija formiranih od površinskih elemenata statički tretirati kao zatvoren

okvir. To je često slučaj kod analize konstrukcija silosa, tunela, cevi, podzemnih

prolaza... (Sl. 148). Ovakve, najčešće prizmatično oblikovane, konstrukcije velike

dužine u odnosu na dimenzije preseka dozvoljavaju izdvajanje preseka jedinične

dužine forme zatvorenog okvira.

Sl. 148. Izdvajanje zatvorenih okvira iz površinskih konstrukcija

Okvir, načelno, prenosi opterećenje u svojoj ravni. Prostorni rad, mogućnost prijema

opterećenja proizvoljnog pravca, postiže se formiranjem prostornih okvira.

Sl. 149. Prostorne ramovske konstrukcije

Ovo se najčešće čini povezivanjem stubova gredama u dva ortogonalna pravca, ali

raspored stubova može usloviti i ramove drugačijih dispozicija (Sl. 149).

Iako danas primena softvera za strukturalnu analizu obezbeñuje brz proračun

uticaja u prostornim okvirima, za grubu kontrolu ili za orijentaciju, pogodno je

prostorne okvire svesti na pojedinačne ravanske.


127

Na Sl. 150 je prikazana prostorna okvirna jednospratna konstrukcija karakteristična

za industrijske hale, a označavanjem podužnih i poprečnih okvira je asocirana

ravanska dekompozicija prostornog sistema.

Sl. 150. Jednospratni prostorni okvir industrijske hale

Ekonomičnost jednospratnih ramovskih konstrukcija izvedenih u armiranom betonu

ide do raspona od oko 25m. Stubovi se najčešće projektuju pravougaonog preseka,

a relativno retko (montažne konstrukcije) se projektuju razuñenih oblika preseka.

Gredni elementi se konstruišu pravougaonog preseka za manje raspona, odnosno T

ili I oblika preseka, za veće.

Višespratne okvirne konstrukcije se najviše primenjuju u konstrukcijama različitih

vrsta zgrada i formiraju se, načelno, „reñanjem“ jednospratnih okvira jedan na drugi,

njihovim zglobnim ili krutim povezivanjem u prostornu konstrukciju. Uobičajeni

rasponi u konstrukcijama zgradarstva se kreću u granicama 4 do 10m, a veze

elemenata, zbog monolitnog načina izvoñenja, su najčešće krute.

4.3.2.4.3.2.4.3.2.4.3.2. PRORAČUN I DIMENZIONPRORAČUN I DIMENZIONPRORAČUN I DIMENZIONPRORAČUN I DIMENZIONISANJE OKVIRAISANJE OKVIRAISANJE OKVIRAISANJE OKVIRA

Proračun uticaja u elementima okvirnih konstrukcija se sprovodi uobičajenim

metodama teorije elastičnosti. Za novije vreme je karakteristična primena

softverskih alata, te prostorno modeliranje ramovskih konstrukcija, zajedno sa

površinskim elementima.

Pri formiranju proračunskog modela, za sistemske linije se usvajaju težišne linije

elemenata, a geometrijske karakteristike koje se modeliranim elementima

pridružuju najčešće odgovaraju homogenim betonskim presecima. Meñutim,

izvesno je da se grede i stubovi okvira meñusobno razlikuju u stepenu isprskalosti,

a samim tim i u krutosti, te da već pri eksploatacionom opterećenju dolazi do

odreñene preraspodele uticaja u odnosu na rešenja teorije elastičnosti. Ne samo to,

deo opterećenja je aktivan i pre formiranja kompletne konstrukcije, tečenje i

skupljanje dodatno pospešuju preraspodele uticaja, a i granični uslovi predstavljaju

samo grubu idealizaciju stvarnih uslova fundiranja. Sve ovo vodi zaključku da uticaji

odreñeni primenom teorije elastičnosti mogu biti prihvaćeni samo kao približni,

alipraktično upotrebljivi.

Iako su danas (zbog razvoja računarske tehnike) od sve manjeg značaja, za grubu

analizu uticaja u pojedinim elementima, orijentacije radi, mogu poslužiti približne


128

praktične metode. Tako, za vertikalna dejstva, kruta veza stuba i grede može biti

zanemarena i greda tretirana kao kontinualna. Ivični stubovi i kraj grede mogu,

uticajno, biti proračunati korišćenjem jednostavnog modela na Sl. 151b. Tačnije

rezultate obezbeñuje složeniji model na shemi Sl. 151c.

Sl. 151. Modeli približnog proračuna

Za horizontalna dejstva, raspodela uticaja je odreñena odnosom krutosti greda i

stubova (Sl. 152). Grede male krutosti vode situaciji u kojoj se veći deo momenta

spoljašnjih sila prihvata uklještenjima, a manji spregom sila, i obrnuto.

Sl. 152. Uticaj odnosa krutosti greda i stubova na raspodelu momenata savijanja u stubovima

Dimenzionisanje elemenata okvira u potpunosti odgovara postupcima za

dimenzionisanje grednih elemenata i stubova. Sprovodi se prema odreñenim

vrednostima uticaja (presečnih sila). Prostorno modelirane konstrukcije se, u opštem

slučaju, karakterišu koso savijanim stubovima.

4.3.3.4.3.3.4.3.3.4.3.3. NASTAVLJANJE ARMATURNASTAVLJANJE ARMATURNASTAVLJANJE ARMATURNASTAVLJANJE ARMATURE STUBOVAE STUBOVAE STUBOVAE STUBOVA

Na delu stuba na kome se nastavlja podužna armatura broj uzengija treba

udvostručiti tako da njihovo rastojanje ne prelazi 7.5 prečnika najtanje podužne

šipke, niti 15cm (Sl. 153). Ove uzengije treba da budu preklopljene preko kraće

strane, a uloga im je prijem zatežućih horizontalnih sila.


129

Sl. 153. Progušćenje uzengija stuba na mestu nastavka podužne armature

Nastavak armature stuba se najčešće izvodi preklapanjem, neposredno iznad

meñuspratne konstrukcije. Radi izvoñenja nastavka potrebno je predvideti ankere

čija dužina iznad meñuspratne konstrukcije odgovara dužini preklopa ili potrebnoj

dužini za izvoñenje zavarivanja (Sl. 154a). Ukoliko je stub više etaže manjih

dimenzija, propuštanje donjih šipki u gornji stub je moguće samo ukoliko nagib

povijanja ne prelazi 6:1 (Sl. 154b). U suprotnom, potrebno je predvideti posebne

ankere za nastavljanje armature (Sl. 154c).

Sl. 154. Nastavljanje armature stubova iznad meñuspratne konstrukcije

4.3.4.4.3.4.4.3.4.4.3.4. ČVOROVI OKVIRNIH KONČVOROVI OKVIRNIH KONČVOROVI OKVIRNIH KONČVOROVI OKVIRNIH KONSTRUKCIJASTRUKCIJASTRUKCIJASTRUKCIJA

Postizanje krute veze elemenata u okvirnim konstrukcijama je odreñeno pravilnim

proračunom i armiranjem čvorova. Potrebno je obezbediti da nosivost čvorova bude

jednaka nosivosti priključnih elemenata, a takva da do krtog loma čvora ne doñe pre

nego što se u vezanim elementima razviju plastične deformacije (plastični zglobovi).

Pojedini čvorovi mogu biti izloženi dejstvu alternativnih momenata, što ih čini

predmetom detaljnije analize. Jednostavno armiranje bez nastavaka armature u

čvoru, kao i dobar kvalitet i ugradnja betona su osnov dobrog ponašanja čvora u

eksploataciji. U nastavku su zasebno razmatrani karakteristični čvorovi okvirnih

konstrukcija.


130

Poseban problem predstavlja analiza čvorova u situacijama kada su opterećeni

cikličnom opterećenju i rasterećenju, kao što je slučaj pri delovanju seizmičkog

opterećenja. Principi za ovo vezani su razmatrani u poglavlju koje se odnosi na

aseizmičko projektovanje višespratnih zgrada.

4.3.4.1.4.3.4.1.4.3.4.1.4.3.4.1. Spoj krajnjeg stuba i krajnje gredeSpoj krajnjeg stuba i krajnje gredeSpoj krajnjeg stuba i krajnje gredeSpoj krajnjeg stuba i krajnje grede

Kod ugaonih čvorova okvirnih sistema opterećenih na način da im je spoljašnja

strana zategnuta (što je slučaj, na primer, za gravitaciona opterećenja), ispitivanja

su pokazala veliku koncentraciju napona pritiska na unutrašnjoj ivici, te maksimalna

zatezanja locirana bliže neutralnoj osi nego spoljašnjoj ivici preseka (Sl. 155).

Sl. 155. Naponsko stanje u čvoru i oblikovanje čvora sa vutama

Efekat koncentracije napona pritiska je moguće značajno ublažiti konstruisanjem

vuta (pravolinijskih ili krivolinijskih, Sl. 155). Potreba za vutama ove vrste raste sa

povećanjem momenta u čvoru, te sa krutošću stuba u odnosu na gredu.

Sl. 156. Skretne sile, lokalni naponi i armiranje čvora

Zategnuta armatura se kroz čvor vodi neprekinuta i povija se po odreñenom

poluprečniku. S jedne strane, ovaj poluprečnik mora biti takav da zadovolji uslove

pravilnog oblikovanja armature. U skladu s tim, treba primetiti da bi izbor velikih

profila armature moga orezultovati poluprečnicima kojima bi nosivost čvora, zbog

„spuštanja“ armature po visini preseka, mogla biti bitno narušena. Sa druge strane,

povijanje zategnute armature po luku izaziva skretne sile, kojima armaturna šipka

lokalno napreže okolni beton (Sl. 156). Zato, poluprečnikom povijanja (veći

poluprečnik – manje skretne sile – kotlovska formula) mora biti obezbeñeno da

lokalni naponi pritiska nisu prekoračeni. Na Sl. 157 je prikazan model čvora. Ovako,

idealizovano, posmatrano, glavni naponi su u pravcima dijagonala čvora, a u jezgru

čvora se javlja čisto smicanje. Zatežuće sile u armaturi i pritiskujuće u betonu daju

dijagonalnu rezultantu 2 V⋅ , koja izaziva cepanje u upravnom pravcu ukoliko je

dostignuta zatežuća čvrstoća betona.


131

Sl. 157. Proračunski model čvora - naponi cepanja u betonu izazvani skretnim silama

Sl. 158. Armiranje čvora sa obezbeñenjem od cepanja

U cilju predupreñenja formiranja dijagonalne pukotine, čvor može biti i dodatno

armiran čelikom (mrežom), u dva ili tri reda obično, za prijem sila cepanja. Radijalno

postavljene uzengije učestvuju u prenosu pritiska, ukrućuju čvor i, horizontalnim

delovima, prihvataju poprečne sile cepanja (Sl. 158).

Sl. 159. Vertikalno i horizontalno opterećen uklješteni okvir

Horizontalno opterećeni okviri, na mestu posmatranog čvora, mogu biti u situaciji,

zavisno od smera horizontalnog opterećenja, da im je unutrašnja ivica zategnuta (Sl.

159). Ukoliko je horizontalno opterećenje velikog intenziteta, pozitivni momenti

mogu da budu veći od negativnih koji odgovaraju gravitacionom, te da ceo čvor

dovedu u stanje zategnute unutrašnje ivice. Jasno, u tim situacijama čvor će

naizmenično biti zatezan na spoljašnjoj i na unutrašnjoj strani.

Sa stanovišta analize i armiranja ovo je znatno nepovoljniji slučaj. Pojedina

ispitivanja su pokazala da je nosivost ovako opterećenog čvora može biti znatno

manja od prethodnog, kada je zategnuta spoljašnja ivica. Posebno je to slučaj (Sl.

160) kada zategnuta armatura nije pravilno usidrena, bilo po pitanju dužine, bilo


132

načina (ne obuhvata čvor). Već za mali nivo opterećenja, u ovako armiranim

čvorovima se formiraju prsline i stvaraju mogućnosti za odvajanje pritisnutog dela.

Sl. 160. Zategnuta unutrašnja strana čvora

Bolju nosivost je moguće obezbediti upravo dovoljnim dužinama sidrenja zategnute

armature i njenim povijanjem na način da uteže čvor. U tom smislu, korišćenje

armaturnih petlji (Sl. 161a) je idealno, ali je, zbog poluprečnika povijanja,

ograničeno na manje armaturne profile. Sličan efekat obezbeñuje i način armiranja

dat na Sl. 161b.

Sl. 161. Pravilno armiranje čvora sa pozitivnim momentom

Dalje povećanje nosivosti čvora, u smislu približavanja nosivosti priključnih

elemenata, moguće je postići dodavanjem kose armature (Sl. 161c). Preporučuje se

(Evrokod) da količina dodatne kose armature (Asv) bude bar polovina veće od

armatura As1, za slabije armirane elemente (koeficijent armiranja manji od 1%),

odnosno da joj bude jednaka za jače armirane preseke (Sl. 162).

Sl. 162. Kosa armatura kod čvora opterećenog pozitivnim momentom

Ako za ovaj slučaj opterećenja čvora formiramo idealizovani proračunski model (Sl.

163), opet se može konstatovati da su glavni naponi dijagonalnog pravca,

suprotnog znaka od onih na Sl. 157. Ako se, dodatno pretpostavi (potvrñeno

ispitivanima) da su naponi zatezanja raspodeljeni po paraboličnom zakonu i da

deluju na širini bliskoj 0.8 visine preseka, može se proračunati i maksimalni


133

zatežući napon, te armatura potrebna za njegovo prihvatanje, ukoliko je veći od

zatežuće čvrstoće betona (Asd na Sl. 164).

Sl. 163. Proračunski model

Na Sl. 164 su prikazani pravilni načini armiranja čvora opterećenog pozitivnim

momentom i čvora opterećenog momentima alternativnog znaka.

Sl. 164. Armiranje čvora koji je ili može biti zategnut po unutrašnjoj ivici

Sl. 165. Armiranje kolenaste grede

Slična situacija se javlja i kod kolenastih delova grednih elemenata. Način

prihvatanja pozitivnih momenata armaturom je, ovde, zavisan od ugla koji priključni

elementi zaklapaju (Sl. 165). Za uglove bliske 180° (veće od 160°) dozvoljava se

neprekinuto voñenje zategnute armature. Nepovoljan uticaj skretnih sila (težnja

odvaljivanju zaštitnog sloja betona) se predupreñuje njihovim prihvatanjem

dovoljnom količinom uzengija.

Za uglove manje od 160°, armiranje odgovara armiranju prethodno analiziranih

ugaonih čvorova opterećenih pozitivnim momentom savijanja.


134

4.3.4.2.4.3.4.2.4.3.4.2.4.3.4.2. Spoljašnji Spoljašnji Spoljašnji Spoljašnji i gornji i gornji i gornji i gornji čvorčvorčvorčvor

Na Sl. 166 su prikazani, uz detalje klasičnog armiranja, karakteristični oblici i

smerovi dijagrama momenata savijanja za spoljašnje i gornje čvorove okvirnih

konstrukcija.

Nosivost spoljašnjeg čvora može biti narušena bilo dostizanjem čvrstoće

prionljivosti izmeñu betona i armature (Sl. 167a), bilo dostizanjem zatežuće čvrstoće

betona u jezgru čvora.

Sl. 166. Momentni dijagrami u spoljašnjem i gornjem čvoru

Mala čvrstoća prionljivosti je karakteristična za gornju zonu grede neposredno uz

čvor, gde se očekuje pojava prsline, ali i gde je i beton lošiji.

Veliki naponi prijanjanja pojavljuju se izmeñu armature stuba i betona u području

čvora. Sile, zatezanja i pritiska, Fs2g+Fs1d prenose se prijanjanjem na visini ne većoj

od visine grede hb. Malu visinu grede prate veliki naponi prijanjanja, te vertikalne

pukotine (trend odvaljivanja zaštitnog sloja) sa spoljašnje strane čvora. Otud, mala

visina grede može biti uzrokom male nosivosti čvora.

Sl. 167. Naponsko stanje u čvoru

Sa druge strane, pod dejstvom sila na čvor, pojavljuju se približno dijagonalni glavni

naponi zatezanja i pritiska (Sl. 167b). Ovi zatežući relativno brzo dostižu zateznu

čvrstoću betona, što ima za posledicu formiranje dijagonalne prsline.

U cilju prevencije ovih pukotina, eksperimentalno je pokazano, od najvećeg značaja

su gusto postavljene horizontalne zatvorene uzengije u čvoru (Sl. 168a, b, c).


135

Sl. 168. Armiranje spoljašnjeg čvora

Zategnuta, gornja, armatura grede može biti usidrena u stub (Sl. 168a), ali je ovo

povezano sa problemima izvoñenja, zbog prekida betoniranja neposredno ispod

grede. Otud, rešenja prikazana na slikama Sl. 168b i c mogu biti razmatrana kao

alternativa.

4.3.4.3.4.3.4.3.4.3.4.3.4.3.4.3. Unutrašnji čvorUnutrašnji čvorUnutrašnji čvorUnutrašnji čvor

Na Sl. 169 je prikazan najnepovoljniji slučaj opterećenja unutrašnjeg čvora, koji

odgovara visokim intenzitetima horizontalnog dejstva. I ovde, zbog delovanja sila na

čvor, u njegovom jezgru se javljaju dijagonalno orijentisani glavni naponi pritiska i

zatezanja. Ovi drugi su, zbog malih zatežućih čvrstoća betona, razlog pojavi

pukotina.

Sl. 169. Proračunski model

Najefikasniji način prijema napona zatezanja u čvoru podrazumeva propuštanja kroz

čvor uzengija i stuba i grede, iako je ovo, izvoñački posmatrano, vrlo zahtevno.

Podužna armatura optimalno neprekinuta prolazi pravo kroz čvor, bez povijanja iz

stuba u gredu (Sl. 169b).

4.3.4.4.4.3.4.4.4.3.4.4.4.3.4.4. Kruta veza stuba iKruta veza stuba iKruta veza stuba iKruta veza stuba i temeljatemeljatemeljatemelja

Na Sl. 170 prikazani su detalji armiranja stuba uklještenog u temelj. U prvom slučaju

dato je uklještenje stuba u nearmirani temelj preko temeljnog jastuka, a u drugom

klasični primer uklještenog temelja. Ukoliko se na spoju temeljnog jastuka i temelja

mogu pojaviti i zatežući naponi, njih je, kako je pokazano, potrebno prihvatiti

posebnom armaturom.


136

Sl. 170. Veza temelja i stuba

4.3.5.4.3.5.4.3.5.4.3.5. ZZZZGLOBOVIGLOBOVIGLOBOVIGLOBOVI U OKVIRNIM KONSTRUKCU OKVIRNIM KONSTRUKCU OKVIRNIM KONSTRUKCU OKVIRNIM KONSTRUKCIJAMAIJAMAIJAMAIJAMA

Zglob (momentni zglob) je mesto u armiranobetonskoj konstrukciji koje dozvoljava

relativnu rotaciju delova sa njegove dve strane. Može biti projektovan u cilju

smanjenja stepena statičke neodreñenosti konstrukcije ili postizanja statički

odreñenih sistema (Sl. 171). Izložen je uticajima aksijalne i transverzalne sile (ne i

momenta savijanja). Načelno, može biti ostvaren naglim suženjem poprečnog

preseka na maloj dužini elementa (pravi zglob) ili se sličan efekat može ostvariti i

promenljivom visinom preseka elementa, te izborom preseka malog momenta

inercije, u poreñenju sa susednim elementom (Sl. 172).

Sl. 171. Primena zglobova

Sl. 172. Način ostvarivanja zglobova

Zavisno od toga kakvu rotaciju omogućuju, zglobovi mogu biti linijski i tačkasti (Sl.

173). Linijski zglob dozvoljava rotaciju samo u jednom pravcu, dok je tačkasti

ekvivalent sfernom zglobu.


137

Pravi zglobovi se projektuju naglim suženjem poprečnog preseka (najčešće stuba),

kako je prikazano na Sl. 174a. Visina poprečnog preseka zgloba, kao i širina

preseka tačkastog zgloba se usvajaju u sledećim granicama, ne manji od 15cm:

0

1 115cm

4 3d d = ÷ ⋅ ≥

, 0

1 115cm

4 3b b = ÷ ⋅ ≥

, .................................... (4.40)

dok se visina zgloba (t) redovno usvaja kao petina manje dimenzije poprečnog

preseka. Grlo zgloba se projektuje zaobljeno, a visina zgloba se ka krajevima

postepeno povećava za, ukupno, 1 do 2cmm, kako bi se omogućilo lakše uklanjanje

oplate.

Prekid betoniranja ne sme biti u samom zglobu.

Sl. 173. Linijski i tačkasti zglob

Sl. 174. Pravi zglob – geometrija

Zglob mora biti kontrolisan u smislu zadovoljenja lokalnih napona pritiska. Čvrstoća

betona pri lokalnom pritisku (f0) je veća od čvrstoće pri pritisku betonske kocke –

marke betona (fbk). Razlog ovome je sprečenost bočnog deformisanja okolnim

betonom (ekvivalent utegnutosti preseka) i, posledično, formiranje troosnog (kod

linijskih - dvoosnog) stanja pritiska. Saglasno Pravilniku, lokalna čvrstoća definisana

je na sledeći način, za tačkasti, odnosno linijski zglob:

10

0

1.6bB bk

b

Af f f

A= ⋅ ≤ ⋅ , 1

300

1.6bB bk

b

Af f f

A= ⋅ ≤ ⋅ ................................... (4.41)

Ab0 i Ab1 površina preseka suženog i nesuženog dela (Sl. 174b).


138

Apsolutnim ograničenjem lokalnog napona sprečava se obračunavanje prevelike

angažovane površine.

Podužna armatura stuba se dodatno obavija ukosnicama koje prate njegovo donje

čelo. Kontrolisan na lokalna pritiskujuća naprezanja, zglob se, kao pritisnut, armira

minimalnom količinom podužne armature (0.8 do 1.0%). Usvajaju se tanji profili,

koji moraju biti gusto utegnuti preklopljenim uzengijama. U slučaju većih intenziteta

aksijalne sile, podužnu armaturu zgloba treba obuhvatiti i unutrašnjim uzengijama

(Sl. 175, Sl. 176).

Sl. 175. Armiranje zgoba i okolnih elemenata

U pravcu upravnom na pravac rasprostiranja napona pritiska, javljaju se zatežući

naponi (sile cepanja), koji mogu prouzrokovati cepanje betonskih elemenata, te

moraju biti obezbeñeni armaturom. Saglasno pravilniku, armaturu je potrebno

proračunati iz granične zatužeće sile36 deinisane na sledeći način:

0

1

0.3 1u u

dZ N

d

= ⋅ ⋅ −

u

av

ZA

σ⇒ = . . .................................................... (4.42)

Ova armatura se obezbeñuje u obliku progušćenih uzengija na strani stuba, te u

obliku armaturne mreže ili zmijaste armature na strani temelja.

36 Kako je sila posledica pritiskujućih napona, to se njena granična vrednost odreñuje sa

maksimalnim vrednostima parcijalnih koeficijenata.


139

Ukoliko je zglob opterećen transverzalnom silom visokog intenziteta, tj. kada je

transverzalna sila veća od 0.75Nu, potrebno je projektovati i kosu armaturu za

prijem smicanja37. Njen oblik je prikazan na Sl. 175b. Potrebna količina ove

armature se odreñuje iz celokupne transverzalne sile:

2 sin

uak

v

TA

α σ=

⋅ ⋅. .............................................................................. (4.43)

Sl. 176. Armiranje zgloba

Sl. 177. Armiranje Gerber-ovog zgloba

Zglob u grednom elementu može biti izveden kao Gerber-ov, uzajamnim

oslanjanjem dva kratka elementa. Armiranje i proračun su povezani sa

projektovanjem kratkih elemenata (Sl. 177).

4.4.4.4.4.4.4.4. REŠETKASTI NOSAČIREŠETKASTI NOSAČIREŠETKASTI NOSAČIREŠETKASTI NOSAČI

4.4.1.4.4.1.4.4.1.4.4.1. UVOD,UVOD,UVOD,UVOD, PRIMENAPRIMENAPRIMENAPRIMENA

Rešetkasti nosač se formira od niza štapova povezanih u čvorovima u stabilnu

strukturu. Formiraju je pojasni štapovi – štapovi gornjeg i donjeg pojasa, i štapovi

ispune – dijagonale i, ne neophodno, vertikale (Sl. 178).

37 Menager-ov zglob.


140

Sl. 178. Rešetkast nosači: elementi i geometrija

Odlikuju se malim utroškom betona i komplikovanom oplatom, zbog čega se

primenjuju za savladavanje većih raspona, kada su troškovi proizvodnje

kompenzovani uštedom u materijalu. Nalaze primenu u konstrukcijama zgradarstva,

kao glavni krovni nosači, i kod mostovskih konstrukcija, gde se koriste kao glavni

nosači. U zgradarstvu, rasponi su uobičajeno izmeñu 15 i 30m.

Rešetkasti nosači u zgradarstvu su, po pravilu, montažni elementi, a mogu da se

proizvode prefabrikovane u celini ili u delovima. Za raspone preko cca. 15m, u

situacijama kada postoji mogućnost (ako ne postoje visinska ograničenja, te ako

postoje dovoljno snažne dizalice) za njihovo izvoñenje, rešetkastim nosačem je, u

odnosu na gredni, moguća ušteda čelika i do 40%. No, troškovi oplate, popravilu,

anuliraju ovaj benefit.

Za mostovske rešetkaste nosače su karakteristična polumontažna ili monolitna

rešenja. Mogu se projektovati kao armiranobetonske ili prednapregnute.

Iako su, kod armiranobetonskih rešetkastih nosača, veze izmeñu štapova su krute,

izborom odgovarajućih oblika i dimenzija poprečnih preseka, te samom

konfiguracijom strukture, štapovi rešetke su pretežno aksijalno opterećeni. Pri

tome, štapovi gornjeg pojasa su izloženi pritisku, donjeg zatezanju, a štapovi

ispune, zavisno od orijentacije, mogu biti pritisnuti ili zategnuti. Mali utrošak

materijala čini ih racionalnim elementima i, u polju navedenih raspona,

konkurentnim drugim vrstama nosača.

4.4.2.4.4.2.4.4.2.4.4.2. GEOMETRIJAGEOMETRIJAGEOMETRIJAGEOMETRIJA

Odnos ukupne visine rešetke (H) prema rasponu (L) naziva se stinjenost rešetke. Kod

krovnih konstrukcija, stinjenost ovih nosača se kreće u rasponu od 1/10 do 1/7.

Stinjenost opredeljuje nivo uticaja, pre svega, u pojasnim štapovima na način da

manjim vrednostima stinjenosti (rešetke manje visine) odgovaraju veće sile (manji

krak unutrašnjih sila), i obrnuto.

Oblik rešetke zavisi od nagiba krovne površine (štapovi gornjeg pojasa se obično

projektuju u nagibu koji prati nagib krovne ravni), visinskog položaja krovnog

pokrivača u odnosu na rešetku, kao i od stinjenosti. Uobičajeno je da se svi štapovi

krovne rešetke projektuju unutar zatvorene prostorije (Sl. 179a, b), čime se

izbegavaju neprijatni prodori štapova kroz krovni pokrivač (prokišnjavanje),

eliminišu nejednaka temperaturna dejstva na štapove i postiže bolji estetski efekat.

Retko, rešetka može biti postavljena i izvan gabarita korisnog prostora, kada krovni

pokrivač opterećuje donji pojas nosača (Sl. 179c).


141

Sl. 179. Oblici rešetkastih nosača

Kako su rešetkasti nosači montažni elementi, to je od značaja obezbediti sigurnost

od njegovog prevrtanja u fazi montaže, kada još nije pričvršćen za ostatak

konstrukcije (na primer vetrom upravnim na ravan rešetke). Zato je izborom oblika

zgodno obezbediti da se ravan oslanjanja rešetke nalazi iznad težišta ukupne njene

mase, kako je pokazano na Sl. 179a. U suprotnom, neophodno je kontrolisati

stabilnost rešetke u fazi montaže, ali i eksploatacije, te preduzeti privremene i/ili

konstruktivne mere kojima se ona (stabilnost) obezbeñuje. Po pravilu, rešetkasti

nosač povezan rožnjačama sa drugim elementima krovne konstrukcije (drugim

rešetkastim nosačima, najčešće) je obezbeñen od preturanja u eksploatacionoj fazi.

Kod krovova na jednu vodu ili, uopšte, kod „jednovodnih“ rešetki, pojasevi se

najčešće projektuju kao paralelni (Sl. 179b), a stubovi na koje se oslanja se rade

različitih dužina.

Kao krovni pokrivači kojima se zatvara krovna ravan, a oslanjaju se na rešetkaste

nosače, koriste se najčešće laki krovni pokrivači koji se oslanjaju na sistem

paralelno postavljenih rožnjača, najčešće armiranobetonskih i/ili prednapregnutih. U

ovom slučaju opterećenje se sa pokrivača prenosi na rožnjače, a dalje, u vidu

koncentrisanih sila, na rešetkasti nosač. Alternativno, umesto rožnjača, mogu se

koristiti i montažne betonske ploče ili ploče od lakog betona, kojima se savladava

raspon dva rešetkasta glavna nosača. U tom slučaju, krovno opterećenje se na

rešetkasti nosač prenosi kao ravnomerno raspodeljeno.

Pri odreñivanju oblika ispune i razmaka čvorova rešetke poželjno je imati situaciju u

kojoj se koncentrisano opterećenje sa krova na rešetku prenosi u njenim čvorovima,

zbog čega valja uskladiti razmak rožnjača sa razmakom čvorova rešetke. Iako su

rešetke sa trougaonom ispunom estetski prihvatljivije, često se njima ne obezbeñuje

dovoljno mali razmak čvorova, pa je neophodno projektovati i vertikalne štapove

ispune, kao na Sl. 180.

Sl. 180. Potreba za vertikalama uzrokovana rasporedom rožnjača

Takoñe, dijagonalne štapove valja projektovati u nagibu što bližem uglu od 45°, a,

generalno, kod štapova ispune, poželjna je struktura u kojoj su dužištapovi

zategnuti, a kraći pritisnuti (zbog izvijanja). Štapovi pritisnutog pojasa se mogu

projektovati promenljivog nagiba, čime je, osim praćenja krovne ravni, moguće

postići i statičke pogodnosti (oblik potporne linije). Zategnuti pojas, pak, zbog

nepovoljnog uticaja skretnih sila, treba projektovati pravim.


142

Čvorovi rešetke se oblikuju tako da se ose svih štapova koji se u jednom čvoru

sustiču seku u jednoj tački (centrisanje štapova). Čvor treba da bude bez oštrih ivica

kako bi se izbegli nepovoljni uticaji koncentracije napona. U slučaju da se u čvoru

sustiču štapovi različitih širina, čvor treba da ima širinu najšireg štapa (Sl. 194).

Sl. 181. Oblikovanje čvora rešetkastog nosača

Poprečni preseci štapova rešetke zavise primarno od znaka i intenziteta aksijalne

sile, te od nivoa sekundarnih uticaja (momenti savijanja). Najčešće se štapovi

projektuju konstantnog poprečnog preseka po dužini, jednostavnih oblika preseka,

najčešće pravougaonih. Zbog većih sila, pojasni štapovi su obično većih površina

preseka od štapova ispune.

Pritisnuti pojasni štapovi su projektuju pravougaonog ili T preseka (Sl. 182). Veći

moment inercije u ravni rešetke je logičan izbor u situacijama kada momenti

savijanja nisu mali. Savojnom krutošću van ravni rešetke, štapovi se odupiru

bočnom izvijanju. Oblikovanjem štapa u T obliku moguće je postići oba cilja.

Sl. 182. Mogući poprečni preseci štapova pritisnutog pojasa

Zategnuti pojasni štapovi su izloženi velikim aksijalnim silama zatezanja, a

nedvosmisleno je od interesa umanjiti momente savijanja. Zato se najčešće

projektuju pravougaonog preseka (oblik nije od posebnog interesa, a pravougaoni je

najjednostavniji) na način da im se minimizira savojna krutost (Sl. 182b).

Štapovi ispune se biraju pravougaonog ili kvadratnog oblika preseka. Poželjno je da

meñusobno budu jednake širine, radi lakšeg izvoñenja. Estetski, prednost imaju

rešetkasti nosači kojima su svi štapovi (i pojasni i štapovi ispune) jednake širine (Sl.

181a).

4.4.3.4.4.3.4.4.3.4.4.3. UTICAJIUTICAJIUTICAJIUTICAJI

Rešetke se najčešće konstruišu kao jednorasponske, a retko kao kontinualne.

Dominantno su opterećene u svojoj ravni.

S obzirom da su veze štapova, de facto, krute, rešetke su višestruko statički

neodreñene strukture. Kao dominantni, u štapovima rešetke se javljaju aksijalni

uticaji, dok se, kao posledica krutih veza u čvorovima, kao sekundarni javljaju

relativno mali momenti savijanja u ravni rešetke. Često se ovi uticaji savijanja


143

nazivaju sekundarnim, a cilj projektovanja rešetki je njihova minimizacija. To se

postiže izborom preseka štapova sa malom savojnom krutošću u ravni rešetke, te

forsiranjem prenosa krovnog opterećenja u čvorove rešetke. Ipak, rešetkasti nosači

su neminovno, ako ničim onda sopstvenom težinom, opterećeni i van čvorova, a

prenos krovnog opterećenja van čvora, po dužini štapa, može da ima za posledicu

potrebu potrebu za većom savojnom krutošću štapa.

Iako je uobičajeno da se, statičkim proračunom, AB rešetkasti nosači tretiraju kao

nosači sa zglobno vezanim štapovima, danas, kada ni analiza znatno složenijih

modela nije problem, nema potrebe za ovom vrstom pojednostavljenja proračuna.

Štapove rešetke valja modelirati kruto spojenima u čvorovima.

Meñutim, pravilan izbor aksijalnih krutosti pojedinih štapova je od velikog značaja

kad je o deformacijama rešetkastog elementa reč, ali i, s njima vezano, preraspodeli

uticaja unutar elemenata samog nosača. Posebno je značajan pravilan izbor

aksijalne krutosti zategnutih štapova, pre svega štapova donjeg pojasa (videti deo

kod Lučnih nosača, Sl. 199). Tako, kod armiranobetonskih zatega (štapovi donjeg

pojasa), aksijalna krutost je bliska onoj koja potiče samo od armature, dok se kod

prednapregnutih donjih pojaseva najčešće računa sa aksijalnom krutošću bruto

betonskog preseka.

Kako se u pojasnim (nekad i u štapovima ispune) realizuju velike sile pritiska, to

problem stabilnosti (izvijanja) postaje aktuelan. Za dužinu izvijanja štapa u ravni

rešetke uvek, bez obzira na krute veze, treba usvajati čvorno rastojanje, a dimenzije

poprečnog preseka pritisnutih štapova birati imajući na umu moguće izvijanje.

Mnogo većim problemom se može pojaviti izvijanje upravno na ravan rešetke,

problem aktuelan u fazi montaže rešetkastog nosača, kada pritisnuti pojas nije

ničim bočno pridržan. Iako je opterećenje u fazi montaže malo i isključuje težinu

krovnog pokrivača, dužina izvijanja je cela dužina pritisnutog pojasa. Naknadnim

povezivanjem rešetke sa ostalim elementima krovne konstrukcije problem bočnog

izvijanja nestaje (osim ukoliko se krvno opterećenje ne prenosi na donji pojas), ali

za fazu montaže se potrebnim mogu pojaviti mere privremenog obezbeñenja od

izbočavanja.

Rešetkasti montažni elementi se najčešće izvode u horizontalnom položaju, u

drvenoj ili čeličnoj oplati. Nakon očvršćavanja i skidanja oplate, ispravljaju se u

vertikalni položaj u kojem se vrši njihov transport i montaža. Pri tome, iako

poželjno, prihvatanje rešetke najčešće ne odgovara njenom eksploatacionom

oslanjanju, zbog čega pojedini štapovi u ovoj fazi mogu biti izloženi aksijalnim

silama suprotnog znaka od eksploatacionog. Zato, rešetkasti nosači, kao uosatlom

svi montažni elementi, moraju biti proračunski obezbeñeni i za sve

predeksploatacione faze.


144

4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4. DIMENZIONISANJE I ARDIMENZIONISANJE I ARDIMENZIONISANJE I ARDIMENZIONISANJE I ARMIRANJEMIRANJEMIRANJEMIRANJE

Preseci pritisnutih pojasnih štapova se, najčešće, nalaze u stanju pritiska malog

ekscentriciteta, čime je i njihovo armiranje odreñeno, poput odgovarajućih stubova.

Presek se armira (Sl. 183) minimalnom količinom podužne armatue, 0.8 do 1.0%. S

obzirom da je reč o montažnim elementima, te da se koristi pritisna čvrstoća

betona, prednost ima primena viših marki betona, preko 30 (naravno, u meri u kojoj

je to limitirano stabilnošću elementa).

Sl. 183. Armiranje poprečnih preseka pritisnutog pojasa

Zategnuti pojas se karakteriše velikim intenzitetima aksijalne sile, te vrlo malim

momentima savijanja. Dimenzionišu se kao centrično ili ekscentrično (faza malog

ekscentriciteta) zategnuti, po pravilu uz pretpostavljanje simetričnog rasporeda

armature po površini preseka. Kako kod zategnutih elemenata krak armature nije od

interesa, to je, u cilju smanjenja površine poprečnog preseka štapa, poželjno

podužnu armaturu rasporeñivati po celoj površini preseka, kako je dato na Sl. 184.

„Zmijasta“ armatura na slici ima funkciju obezbeñenja položaja (i razmaka) šipki

podužne armature. Ukoliko je moguće, treba izbeći nastavljanje podužne armature,

a ukoliko nije, armaturu je poželjno nastavljati zavarivanjem.

Sl. 184. Armiranje preseka zatege

Aksijalne sile u štapovima ispune su znatno manjih intenziteta, a opet je reč o

presecima koji su centrično ili ekscentrično (mali ekscentricitet) pritisnuti ili

zategnuti.

Generalno, minimalna armatura pritisnutih štapova može biti odreñena i njihovom

vitkošću, u skladu sa odredbom Pravilnika kojom se ove dve veličine dovode u vezu:

min 0.4 0.650

λµ = − ≥ . ...................................................................... (4.44)

Na narednim skicama su dati karakteristični detalji armiranja čvorova rešetkastih

nosača. Načelno, konstruisanje armature mora biti takvo da se obezbedi

monolitnost i krutost uz što jednostavnije izvoñenje. Armatura pritisnutog štapa se

vodi do teorijskog čvora38, a zategnuta se produžava za dužinu sidrenja. Sidrenje

može biti pravim delom šipke, sa ili bez kuke, ili talasasto (Sl. 185, Sl. 186). Na Sl.

38 I pritisnuta armatura se sidri.


145

187 prikazana su armiranja čvora u kojem se sustiču dva zategnuta štapa i

pritisnuta vertikala. Promena pravca sile zatezanja unosi veliku aksijalnu (skretnu)

silu u vertikalu.

Sl. 185. Čvor: gornji pojas – vertikala – dijagonala

Sl. 186. Čvor: donji pojas – vertikala - dijagonala

Sl. 187. Čvor: donji pojas – krajnja dijagonala – vertikala

Usidrenje zategnute armature u oslonački čvor, ukoliko ne postoji dovoljno prostora

za razvoj dužine sidrenja, može biti sprovedeno preko ploče za sidrenje (Sl. 188b).

Sam donji pojas može biti prednapregnut (Sl. 187b). Oslonački čvor se karakteriše

prostornim stanjem naprezanja usled unosa velik koncentrisanih sila. Zato ga treba

armirati u sva tri pravca kako bi se obezbedio od cepanja.


146

Sl. 188. Oslonački čvor

4.5.4.5.4.5.4.5. LLLLUČNI NOSAČIUČNI NOSAČIUČNI NOSAČIUČNI NOSAČI

4.5.1.4.5.1.4.5.1.4.5.1. UVOD, PRIMENAUVOD, PRIMENAUVOD, PRIMENAUVOD, PRIMENA

Lukovi su zakrivljeni ili izlomljeni nosači sa konveksnom stranom prema gore i sa

nepomerljivim (praktično nepomerljivim) osloncima. Primenjuju se kao glavni nosači

srednjih i velikih raspona industrijskih ili sportskih hala ili drugih objekata

visokogradnje, te kao glavni mostovski nosači.

Sl. 189. Elementi i geometrija luka

Osa luka je linija koja spaja središta njegovih poprečnih preseka, raspon (L) je

horizontalno rastojanje oslonaca, a strela (f) je visina luka merena u polovini

raspona (Sl. 189). Odnos strele i raspona se naziva stinjenost luka.

Na mestu oslanjanja, lukovi mogu biti zglobno nepomerljivo oslonjeni ili uklješteni.

Horizontalna, uz vertikalnu, nepomerljivost oslonaca obezbeñuje postojanje

horizontalnih reakcija pri vertikalnim opterećenjima, čime se oslonci odupiru težnji

„ispravljanja“ luka. Ovim se duž luka, od uticaja, javljaju dominantno sile pritiska i,

ukoliko je pravilno projektovane geometrije, relativno mali momenti savijanja, što,

dalje implicira rad preseka u fazi malog ekscentriciteta pritiska i odsustvo prslina.

Ovim, armiranobetonski luk predstavlja jedan od najracionalnih elemenata u

betonskim konstrukcijama uopšte. U konstrukcijama zgradarstva se primenjuju za

raspone veće od 20m, dok se kod mostovskih konstrukcija retko koriste za raspone

manje od 30m (do nekoliko stotina metara). Primena betona visokih čvrstoća je, u

novije vreme, učinila lučne elemente još lakšim i racionalnijim i omogućila

savladavanje izuzetno velikih raspona (danas, kod mostovskih konstrukcija,

višestruko prevazilaze raspone od 100m). Danas se vrlo često primenjuju lučne

konstrukcije sa krutom armaturom (čelični profili ispunjeni betonom visoke

čvrstoće), kada čelična armatura ima i ulogu skele i oplate. Takoñe, za novije vreme


147

je karakteristično i montažno izvoñenje lučnih konstrukcija, spajanjem lamela u

konzolnom načinu gradnje.

4.5.2.4.5.2.4.5.2.4.5.2. GEOMETRIJA LUKA I STGEOMETRIJA LUKA I STGEOMETRIJA LUKA I STGEOMETRIJA LUKA I STATIČKI SISTEMIATIČKI SISTEMIATIČKI SISTEMIATIČKI SISTEMI

Za poznatu konfiguraciju opterećenja, oblik ose luka je moguće pogodno izabrati na

način da se poklapa (da minimalno) sa potpornom linijom opterećenja i, time, da se

minimiziraju momenti savijanja, a preseci lukova pretežno aksijalno opterete. Kako

je opterećenje tokom eksploatacije promenljivo, to se oblik ose luka prilagoñava

uglavnom stalnom opterećenju kod konstrukcija zgradarstva, odnosno stalnom i

polovini korisnog (prosek minimalnog i maksimalnog eksploatacionog opterećenja),

kod mostovskih konstrukcija.

Stinjenost lukova u konstrukcijama zgradarstva je uobičajeno u intervalu izmeñu

1/10 i 1/6. Kod mostovskih sistema, zavisno od statičkog sistema, uslova oslanjanja

ili nivoa opterećenja, stinjenost može biti u širokom intervalu izmeñu 1/16 i 1/2. Pri

tome, plići lukovi odgovaraju slabo opterećenim, pešačkim mostovima, a duboki su

karakteristični za mostove visokog nivoa opterećenja, preko dubokih dolina

(povezano sa dobrom mogućnošću prijema horizontalnih sila na mestima

oslanjanja).

Sl. 190. Statički sistemi prostih lukova

Mogući statički sistemi prostih lučnih nosačaprostih lučnih nosačaprostih lučnih nosačaprostih lučnih nosača su (Sl. 190):

• Uklješteni luk je najjednostavnija lučna konstrukcija i, ujedno, najpogodnija

za savladavanje velikih raspona. Negativna (loša) posledica uklještenih

krajeva je pojava većih momenata savijanja (tzv. sekundarni uticaji), posebno

blisko krajevima. Takoñe, kao višestruko statički neodreñena konstrukcija

relativno velike savojne krutosti, osetljiva je na deformacijska dejstva kakva

su pomeranje oslonaca, temperaturni uticaji ili uticaji skupljanja betona.

Veličine sekundarnih uticaja su srazmerne stinjenosti (veće su kod dubljih

lukova).

• Dvozglobi luk se najčešće primenjuje kod plitkih lukova u cilju smanjenja

statičke neodreñenosti i redukcije intenziteta momenata savijanja.

• Trozglobni lukovi su statički odreñene konstrukcije minimalnih momenata

savijanja i imune na deformacione uticaje. Ovo i opredeljuje njihovu primenu

na slučajeve kada postoji realna opasnost od pomeranja/razmicanja

oslonaca, ili na lukove velike stinjenosti (plitke). Zglobovi komplikuju i


148

usporavaju izvoñenje, izazivaju oštre lomove deformacione linije (neprijatni

udari vozila, kod mostova) i zahtevaju strožiji režim održavanja tokom

eksploatacije.

Kod svih ovih sistema neophodno je, kako je rečeno, obezbediti horizontalnu

nepomerljivost oslonaca, te je od posebnog značaja pravilan izbor načina i

realizacija fundiranja, kojim je potrebno primiti opterećenje uz minimiziranje

deformacija tla.

U cilju dalje racionalizacije elementa, kao i oslobañanja temeljnih konstrukcija od

velikih horizontalnih sila, luk se često kombinuje sa ostalim elementima krovne ili

mostovske konstrukcije, čime se formiraju kombinovani lučni sistemikombinovani lučni sistemikombinovani lučni sistemikombinovani lučni sistemi. Osnovni

reprezenti ovakvih sistema su (Sl. 191):

Sl. 191. Kombinovani lučni sistemi

• Luk sa zategom je lučna konstrukcija čiji su krajevi spojeni zategom, koja

preuzima horizontalne reakcije luka i time oslobaña oslonce potrebe njihovog

prijema. Kombinovani sistem sada može biti samo prosto oslonjen. Ipak,

ovde se mora puna pažnja posvetiti izduženjima zatege: s jedne strane ovo je

ekvivalent razmicanju oslonaca, sa druge opredeljuje projektovanje

oslonačkih elemenata. Sama zatega može biti projektovana u armiranom ili

prednapregnutom betonu, ili kao čelični element. Primena ovakvog sistema je

redovna kod industrijskih hala (Sl. 193a), gde bi prenos horizontalnih reakcija

u vrhove stubova za posledicu imala velike momente u uklještenjima stubova.

Radi smanjenja momenata savijanja u zatezi (usled sopstvene težine), zatega

se, takozvanim vešaljkama (Sl. 192), „veša“ o lučni element.

Sl. 192. Vešaljke luka sa zategom

• Greda ojačana vitkim lukom, ili Langer-ova greda, podrazumeva lučni deo

male savojne krutosti, zbog čega se u njemu generišu vrlo mali momenti

savijanja, čime je izložen skoro isključivo aksijalnom pritisku. Greda, koja se

projektuje kao savojno kruta, sada, osim uloge zatege, preuzima na sebe

kompletno savijanje. Ovakav sistem je pogodan za mostovske konstrukcije sa


149

kolovoznom konstrukcijom postavljenom preko ovih krutih greda. Reñe, u

situacijama kada postoji potreba da se sekundarni elementi oslone u

horizontalnoj ravni, ovakvi sistemi se koriste i za glavne krovne nosače

konstrukcija hala (Sl. 193b).

Sl. 193. Luk sa zategom i Langer-ova greda kao glavni krovni vezači

• Luk sa zategom i kosim vešaljkama, ili Nilsen-ov luk, se projektuje sa kosim

vešaljkama, kako bi se i one angažovale u prijemu savijanja i, time, rasteretile

lučni nosač u izvesnoj meri.

• Vitki luk sa gredom za ukrućenje sa gornje strane, za razliku od prethodnih

sistema, nema zategu, nego se horizontalne reakcije predaju fundamentima.

Kruta greda je elastično oslonjena na stubove, kojima opterećenje predaje

vitkom luku. Opet, mala savojna krutost luka implicira i dominantno stanje

pritiska u presecima luka. Sistem se često primenjuje kod mostovskih

konstrukcija.

Osa lukaOsa lukaOsa lukaOsa luka je najčešće zakrivljena, kružnog ili paraboličnog oblika, ili poligonalna na

način da aproksimira neku od ovih krivih. Većim stinjenostima (dubokim lukovima)

odgovara parabolični, a manjim oblik kružnog luka. Luk se može projektovati i kao

poligonalni ili kolenast, u situacijama kada je to iz nekog razloga pogodno ili

potrebno (montažne konstrukcije, velika koncentrisana opterećenja koja prave

lomove u potpornoj liniji...).

Mogućnosti izbora oblika poprečnog presekaoblika poprečnog presekaoblika poprečnog presekaoblika poprečnog preseka lučnih nosača su velike, a neke od njih

su prikazane na Sl. 194. Najjednostavniji, i najstariji u primeni, je pravougaoni oblik.

Zavisno od statičkog sistema u kom se primenjuju, mogu se projektovati većih i

manjih savojnih krutosti (a ili b), zavisno od težnje za minimiziranjem momenata

savijanja ili njenog odsustva. Većom širinom preseka, u odnosu na visinu, postiže se

veća stabilnost luka na izvijanje upravno na svoju ravan, a minimizira se i savojna

krutost luka u svojoj ravni.


150

Sl. 194. Poprečni preseci lučnih nosača

Visina preseka luka (Sl. 192), kod objekata zgradarstva je redovno u granicama

izmeñu 1/40 do 1/30 raspona, dok je kod mostovskih konstrukcija manja (1/100

do 1/60 raspona).

Povećanje bočne stabilnosti se još efikasnije ostvaruje projektovanjem višesdelnih

poprečnih preseka, kojim se obezbeñuje velika krutost van ravni luka uz minimalan

utrošak materijala. Delovi poprečnog preseka su povezani poprečnim rebrima (c, d,

e). Sa druge strane, višedelni preseci zahtevaju i skupu i komplikovanu oplatu.

Optimalno (najracionalnije) rešenje podrazumeva primenu sandučastih preseka (f do

i). I ovi preseci se projektuju velike savojne krutosti na bočno savijanje, a karakterišu

se i manjim vitkostima u ravni luka. Primenjuju se kod mostovskih konstrukcija

velikih raspona.

SiluetaSiluetaSiluetaSilueta luka može biti konstantne ili promenljive visine i/ili širine. Promenom

momenta inercije utiče se na raspodelu uticaja duž statički neodreñenog luka, a

time je moguće postići i efekat zglobnih veza. Zglobove je, naravno, moguće

projektovati i u obliku naglog suženja poprečnog preseka luka (Sl. 195). Pri izboru

zakona promene visine/širine luka, teži se maksimalnom iskorišćenju materijala.

Kako se aksijalna naprezanja relativno malo menjaju duž luka, to promenu otpornih

momenata preseka treba uskladiti sa promenom maksimalnih (anvelopa) momenata

savijanja.

Sl. 195. Zglobovi

Na Sl. 196 prikazani su dijagrami momenata savijanja u lukovima različitih statičkih

sistema: 1 – uklješteni luk sa prirastom momenta inercije ka osloncima (Sl. 190a),

2 – uklješteni luk sa konstantnim momentom inercije, 3 – uklješteni luk u obliku

srpa, 4 – luk na dva zgloba, i 5 – luk na tri zgloba. U slučaju uklještenog luka,

najracionalnije je srednje dve trećine projektovati konstantnog preseka, a ka

krajevima povećavati moment inercije. Dvozglobni lukovi, optimalno, srednju

polovinu imaju konstantne visine i sužavaju se ka krajevima. Saglasno, luk na tri

zgloba ima najveće momente inercije u četvrtinama i sužava se ka zglobovima.


151

Sl. 196. Dijagrami momenata savijanja za lukove različitih statičkih sistema

Kako je horizontalna nepomerljivost krajeva element na kojem bazira racionalnost

lučnih elemenata, od izuzetnog je značaja njeno obezbeñenje. Kod prostih lučnih

sistema, bez zatege, kada se na oslonce luka prenose kosa sila i, eventualno,

momenat savijanja, oslonci se projektuju kao masivni temelji oblika prilagoñenog

pravcu i veličini opterećenja. Dodatno, oblik i dimenzije temelja su odreñene i

vrstom i karakteristikama tla na kojem se fundira.

Kod kvalitetnog tla (npr. stena), temeljna stopa se obično konstruiše u nagibu, kako

bi se povećala otpornost na klizanje. Dodatno povećanje je moguće postići

stepenastim oblikovanjem kontaktne površine temelja (Sl. 197). Pri proračunu

sigurnosti na klizanje, dodatne sigurnosti radi, pretpostavlja se da ukupna

horizontalna sila luka mora biti primljena samo silama trenja na donjoj površini (A-

B), a zanemaruje se, osim u slučaju kvalitetne stene, doprinos (pasivni otpor tla)

površine A-C. U slučaju kombinovanih sistema kod kojih se horizontalna reakcija

prima zategom, fundiranje je uobičajeno za prijem vertikalnih opterećenja.

Sl. 197. Oslonci prostih lučnih sistema

Kod krovnih nosača u sistemu luka sa zategom, oslanjanje na stubove se projektuje

preko ležišta od tvrde gume ili preko metalnih valjaka, kada se želi postići pokretni

oslonac. Nepokretna veza se može ostvariti zavarivanjem čeličnih pločica

ankerovanih u stub i u luk, ili preko ispuštenih ankera i direktnog (preko sloja

cementnog maltera) oslanjanja oslonačkog dela luka na stub39 (Sl. 198).

Sl. 198. Oslanjanje lučnih krovnih nosača sa zategom na stubove

39 Primetiti da su lučni nosači u zgradarstvu redovno montažni elementi.


152

Kod lukova sa zategom koji se fundiraju u tlu, i zatega se redovno projektuje ispod

nivoa terena, u zatvorenom kanalu, kojim je obezbeñena zaštita i kontrola zatege.

Unutar kanala, zatega se oslanja na blisko postavljene pokretne (omogućuju rad

zatege) oslonce (ekvivalent vešaljki), opet u cilju minimiziranja momenata savijanja

od sopstvene težine.


Preseci luka su izloženi centričnom pritisku ili pritisku u fazi malog ekscentriciteta,

zbog čega proračun saglasno uticajima proizašlim iz proračuna prema teoriji prvog

reda daje zadovoljavajuće rezultate. Ovi uticaji se odreñuju standardnim postupcima

teorije konstrukcija (metoda sila) ili, danas uobičajeno, uz pomoć odgovarajućih

softverskih alata.

Pri tome, logično, lučne elemente je opravdano modelirati takvima da im savojna i

aksijalna krutost proizilaze iz bruto betonskog preseka. Doprinos armature, budući

da preseci nisu jako armirani, nema potrebe obuhvatati prilikom procene krutosti.

Meñutim, pravilna procena krutosti (aksijalne) zatege može biti od velikog značaja.

Kod čeličnih zatega usvaja se aksijalna krutost bruto čeličnog preseka. Kod zatega

od prednapregnutog betona obračunava se aksijalna krutost bruto betonskog ili

idealizovanog (doprinos čelika) preseka. Ovde je od interesa trenutak utezanja

kablova – utezanje kablova nakon izvoñenja luka ima za posledicu uticaje u luku

izazvane silom prednaprezanja. Ovi uticaji izostaju ukoliko se zatega prednapreže

pre izvoñenja luka. Kod armiranobetonske zatege, procena aksijalne krutosti je

složenija. Zategnuta, armiranobetonska zatega će imati razvijene prsline, a samim

tim i krutost značajno redukovanu u odnosu na krutost bruto betonskog preseka. Sa

druge strane, beton koji se u eksploatacionom stanju karakteriše izvesnom

zatežućom čvrstoćom, izmeñu dve prsline saučestvuje u prijemu zatezanja, zbog

čega napon u armaturi zatege nije konstantan (Sl. 199), prosečan napon σap je manji

od onog na mestu prsline σa, a samim tim i izduženje čelika (ujedno i izduženje

zatege) je manje nego što bi bio slučaj kada bi se aksijalna krutost zatege

izjednačila sa krutošću samo čelika za armiranje. Neka je sa ψ obeležen odnos

maksimalnog i prosečnog napona, a (EF)ef efektivna aksijalna krutost zatege:

ap

a

σψ

σ= . ( ) a a

ef

E FEF

ψ= . .................................................................. (4.45)

Sl. 199. Promena napona u armaturi armiranobetonske zatege


153

Za odreñivanje koeficijenta ψ, modelom propisa CEB-FIP je predloženo:

2

1 z bz a a

a a bz bz

F E F

F E F

βψσ ⋅ ⋅= − ≥ ⋅ ⋅

, .............................................................. (4.46)

βz čvrstoća betona na zatezanje,

Fbz površina betonskog preseka zatege,

Fa površina armature u zatezi,

Ebz modul deformacije betona pri zatezanju, okvirno oko polovine onoga

koji odgovara pritisku.

Treba primetiti da procena krutosti zatege zavisi od količine armature, koja u

trenutku odreñivanja uticaja nije poznata, čime je impliciran iterativni proračun.

Kod lučnih nosača velikog raspona40 neophodna je kontrola stabilnostikontrola stabilnostikontrola stabilnostikontrola stabilnosti luka, kako u

ravni, tako i upravno na ravan luka. U prilog ovoj „opreznosti“ idu i sve manje

dimenzije poprečnih preseka lukova sa porastom čvrstoća betona. Na Sl. 200 su

prikazani karakteristični oblici deformacije lukova u trenutku gubitka stabilnosti, za

slučaj simetrične i antimetrične deformacije. Načelno, za uklještene i dvozglobne

lukove, merodavna je antimetrična konfiguracija, a za trozglobne – simetrična za

stinjenosti manje od 0.3, odnosno antimetrična za stinjenosti veće od ove.

Sl. 200. Karakteristični oblici pri gubitku stabilnosti

Za proračunske dužine izvijanja približno mogu biti usvojene sledeće dužine (sa s je

obeležena kriva/razvijena dužina luka):

0.58 za trozglobne lukove

0.54 za dvozglobne lukove

0.36 za ukljestene lukovei

s

l s

s

⋅= ⋅ ⋅

. ..................................................... (4.47)

Aksijalna sila pritiska koja odgovara pravom (ispravljenom) proračunskom,

ekvivalentnom, štapu, u trenutku gubitka stabilnosti iznosi:

2

2cm m

ci

E IN

l

π ⋅ ⋅= , .............................................................................. (4.48)

Im srednja vrednost momenta inercije luka,

Ecm sekantni modul elastičnosti betona.

40 Prema Eurocode 2, proračun luka na izvijanje u sopstvenoj ravni je neophodna uvek kada

je visina preseka luka manja od 1/25 raspona.


154

4.5.4.4.5.4.4.5.4.4.5.4. DIMENZIONISANJE I ARDIMENZIONISANJE I ARDIMENZIONISANJE I ARDIMENZIONISANJE I ARMIRANJEMIRANJEMIRANJEMIRANJE

Dimenzionisanje preseka luka se sprovodi saglasno uticajima proisteklim iz

statičkog proračuna. Preseci luka su najčešće pritisnuti u fazi malog ekscentriciteta,

zbog čega se u njima usvaja minimalna armatura, poput preseka stubova, oko 0.8%.

Armatura se rasporeñuje simetrično (Sl. 201), a retke su situacije (veliki momenti

savijanja) kada je opravdan njen nesimetričan raspored. Nastavljanje podužne

armature se projektuje preklopom ili zavarivanjem. Obuhvata se uzengijama,

dvosečnim ili, za veće širine, višesečnim, dodavanjem unutrašnjih, radi boljeg

utezanja preseka.

Sl. 201. Armiranje poprečnih preseka lukova

Sl. 202. Uzengije, spoljašnje i unutrašnje

Pritisnuta armatura na spoljašnjoj i zategnuta na unutrašnjoj strani savijanih lukova,

imaju tendenciju ka izbacivanju zaštitnog sloja betona skretnim silama, zbog čega

treba predvideti uzengije kojima će ove sile biti primljene. Sila u uzengijama (po

metru dužnom) se odreñujeprema kotlovskoj formuli, ako je Fa sila u armaturi:

auz

FF

r= . ......................................................................................... (4.49)

Sl. 203. Prihvatanje skretnih sila uzengijama

Zglobovi se dimenzionišu i armiraju () na način kako je to pokazano kod okvirnih

konstrukcija (#4.3.5).

Sl. 204. Armiranje zglobova lučnog nosača


155

Vešaljke kombinovanih lučnih sistema se dimenzionišu na centrično zatezanje

(eventualno na zatezanje u fazi malog ekscentriciteta) i armiraju simetrično uz

pravilno obezbeñenje dobrog sidrenja šipki (Sl. 205).

Od velikog je značaja dobro usidrenje armature zatege (Sl. 206). Kod manjih

raspona (a) treba nastojati da se veći deo armature zatege prevede preko oslonca

(tačka A) a ostatak, bar, preko ivice oslonca. Kako bi se smanjile sile cepanja

(posledica skretnih sila), savijanje armature u čvoru mora biti po blagom luku, a ovu

zonu treba ojačati i gustom poprečnom armaturom. Ukoliko postoji mogućnost,

dobro je obezbediti konzolno produženje zatege preko oslonca, čime je omogućeno

jednostavno pravo sidrenje šipki (b). U nedostatku prostora za sidrenje, ankerovanje

se može sprovesti zavarivanjem armature za čeličnu ploču koja se postavlja na

oslonački blok sa spoljašnje strane (c).

Sl. 205. Armiranje vešaljke

Sl. 206. Sidrenje armature zatege

Oslonački blok i ovde, u cilju prihvatanja lokalnih napona, treba armirati gustom

troosnom mrežom formiranom od tanjih profila (Sl. 207).

Sl. 207. Armiranje oslonačkog bloka i sidrenje armature zatege


156

4.6.4.6.4.6.4.6. OOOOSTALI STALI STALI STALI KOMBINOVANI KOMBINOVANI KOMBINOVANI KOMBINOVANI LINIJSKI NOSAČILINIJSKI NOSAČILINIJSKI NOSAČILINIJSKI NOSAČI

4.6.1.4.6.1.4.6.1.4.6.1. ARMIRANOBETONSKI GREARMIRANOBETONSKI GREARMIRANOBETONSKI GREARMIRANOBETONSKI GREDNI ROŠTILJIDNI ROŠTILJIDNI ROŠTILJIDNI ROŠTILJI

Gredni roštilji su ravanske konstrukcije formirane od greda dva ili više pravca

pružanja, koje se meñusobno presecaju u čvorovima. Oslonjene su na krajevima

greda i/ili u pojedinim čvorovima (Sl. 208). Najčešća je primena roštilja sa

ortogonalno postavljenim gredama, ali su moguće i drugačije dispozicije, poput

onih primenjivanih kod rebrastih meñuspratnih konstrukcija (Sl. 209). U objektima

zgradarstva se koriste u sklopu meñuspratnih konstrukcija, kada su u čvorovima

oslonjeni na stubove.

Sl. 208. Nekoliko primera statičkih sistema grednih roštilja

Sl. 209. Neki primeri grednih roštilja

U statičkom smislu, opterećenje koje deluje na jedan nosač se prenosi na susedne,

budući da je opterećena elastično oslonjena na poprečne elemente, a ovi, opet, na

podužne... Ovo ih čini racionalnim nosačima. Roštiljne konstrukcije se u zgradarstvu

koriste za pokrivanje većih površina, najčešće pravougaone, ali i trougaone, kružne,

trapezne ili nekog drugog oblika osnove.

Poprečni preseci greda su najčešće pravougaoni, odnosno, u sadejstvu sa pločom, T

oblika. Grede dva pravca mogu biti iste ili različite visine, što je uslovljeno

intenzitetom sila u presecima, te uslovima pravilnog voñenja armature.

Sl. 210. Uvrtanje grede roštilja

Pod dejstvom vertikalnog opterećenja, u gredama roštilja se javljaju i torzioni uticaji,

izazvani ugibom grede drugog pravca. Prilikom odreñivanja statičkih uticaja, od

posebnog je značaja procena torzione krutosti greda roštilja. Precenjivanjem (na

primer usvajanjem torzione krutosti homogenog betonskog preseka), mogu se

značajno podceniti vrednosti momenata savijanja. Za granično stanje nosivosti

opravdano je zanemariti postojanje torzione krutosti. U statičkom proračunu ovo


157

može da znači značajnu redukciju statičke neodreñenosti, kako je pokazano na Sl.

211.

Sl. 211. Redukcija statičke neodreñenosti zanemarenjem torzione krutosti greda

Armiranje grednih roštilja u svemu odgovara armiranju grednih elemenata. Zbog

pojave uvrtanja greda, uzengije treba izvoditi preklopljene preko kraće strane.

Pogodno je da grede dva pravca budu različite visine iz razloga nesmetanog

prolaska podužne armature dva pravca kroz čvor. U suprotnom, kada su grede dva

pravca iste visine, na mestu ukrštanja armatura se reña naizmenično, ukoliko je

usvojena u više redova (Sl. 212).

Sl. 212. Podužna armatura u čvoru

4.6.2.4.6.2.4.6.2.4.6.2. GREDE SA ZATEGAMAGREDE SA ZATEGAMAGREDE SA ZATEGAMAGREDE SA ZATEGAMA (DVOPOJASNI NOSAČ(DVOPOJASNI NOSAČ(DVOPOJASNI NOSAČ(DVOPOJASNI NOSAČI)I)I)I)

Kombinacijom grednog nosača i poligonalne zatege mogu se formirati vrlo

racionalni elementi sposobni da savladaju velike raspone uz minimalan utrošak

materijala. Primena ovakvih sistema je karakteristična za krovne konstrukcije velikog

raspona, gde se upotrebljavaju kao glavni ili sekundarni nosači.

Sl. 213. Dvopojasni nosači

Greda se projektuje kao armiranobetonski element, vertikale mogu biti

armiranobetonske ili čelične, a zatega se projektuje kao čelična, prednapregnuta ili

armiranobetonska. Kod nosača velikog raspona, u armiranobetonskoj zatezi, meka

armatura može uspešno biti zamenjena kablovima od visokokvalitetnog čelika.

Meñutim, u takvim situacijama, znatno većim vrednostima dopuštenih napona

odgovaraju i znatno veća izduženja zatege, pa se proračun saglasan teoriji drugog

reda javlja neophodnim.

Statički, greda se oslanja kruto na krajevima, a elastično, na zategu, na mestima

vertikala – kontinualni nosač na elastičnim osloncima. Ovim se značajno redukuju

momenti savijanja u gredi, u odnosu na prostu gredu, a pošto je zatega usidrena u


158

samu gredu, predaje joj i značajne sile pritiska. Ovim, gredni element može da

ostane u stanju pritiska u fazi malog ekscentriciteta.

Kako je greda pritisnuta, to se i u ovom slučaju mora kontrolisati mogućnost

bočnog izvijanja. Ovo je razlog što su poprečni preseci greda često većeg momenta

inerciju u ravni normalnoj na ravan nosača, često i višedelni (Sl. 214). Za velike

raspone povoljna je primena sandučastih preseka.

Sl. 214. Poprečni preseci dvopojasnih nosača

Vertikale se obično projektuju u trećinama raspona u slučaju kolenaste grede,

odnosno u četvrtinama kod pravih greda. Stinjenost ovakvih nosača je u granicama

izmeñu 1/15 i 1/7.

Dvopojasni nosači, osetljivi na deformacije generalno, moraju biti kontrolisani i u

smislu vremenskih deformacija betona – promene dužine (skraćenja) pritisnute

grede. Skraćenje grede ima za posledicu i skraćenje raspona zatege (lančanice), te

povećanja ugiba kablova.

Primer uspešno izvedene konstrukcije velikog raspona sa ovim sistemom je

konstrukcija Hangara 2 na aerodromu u Surčinu, a u novije vreme, krovna

konstrukcija Beogradske arene.

Sl. 215. Shematski prikaz konstrukcije Hangara 2 na aerodromu u Surčinu

4.6.3.4.6.3.4.6.3.4.6.3. VIRANDEL NOSAČIVIRANDEL NOSAČIVIRANDEL NOSAČIVIRANDEL NOSAČI

Virandel nosači su gredni elementi sastavljeni od mreže krutih četvorouglova, koji

formiraju gornji i donji pojas, te sistem vertikala. Mogu biti projektovani u sistemu

proste ili kontinualne grede, a primenjuju se kao krovni i meñuspratni glavni nosači

u zgradarstvu, te kao glavni nosači mostovskih konstrukcija. Pojasevi se konstruišu

kao paralelni pravolinijski ili poligonalni. Sve veze elemenata su krute.

Sl. 216. Pravolinijska i poligonalna konfiguracija


159

Nastali su u težnji da se racionalizuje puni gredni element formiranjem

četvorougaonih otvora. Postignuta je racionalna konstrukcija, koja u nekim

situacijama može biti konkurentna sa rešetkastim ili lučnim nosačima.

Forsirano krute veze izmeñu štapova imaju za posledicu izuzetno krutu konstrukciju

velike nosivosti, nezavisno od konfiguracije ili promene opterećenja. Sa druge

strane, zbog momenata savijanja i transverzalnih sila visokog nivoa, utrošak

armature je neuporedivo veći nego kod ostalih kombinovanih linijskih sistema.

Velika vertikalna opterećenja mogu usloviti projektovanje virandel nosača bez otvora

u krajnjim poljima, radi mogućnosti prijema smicanja.

4.7.4.7.4.7.4.7. KRUŽNI PRSTENASTI NOKRUŽNI PRSTENASTI NOKRUŽNI PRSTENASTI NOKRUŽNI PRSTENASTI NOSAČISAČISAČISAČI

4.7.1.4.7.1.4.7.1.4.7.1. UVOD, PRIMENA, OBLIKUVOD, PRIMENA, OBLIKUVOD, PRIMENA, OBLIKUVOD, PRIMENA, OBLIKOVANJE...OVANJE...OVANJE...OVANJE...

Kružni zatvoreni prstenasti nosač je čest element armiranobetonskih konstrukcija

kružne osnove i javlja se kao obodni oslonački element kružnih i prstenastih ploča,

obodni nosač na spoju ljuskastih elemenata, temeljni nosač (greda) ispod stubova

rsporeñenih po obimu kruga... (Sl. 217).

Sl. 217. Primena kružnog prstenastog nosača

U konstrukcijama, prstenasti nosač se koristi kao prelazni oslonački element, kojim

se, na primer, kružne ploče oslanjaju na niz stubova, a kada ploči, dovoljnom

savojnom krutošću, obezbeñuje linijske uslove oslanjanja po obodu, dok je sam

oslonjen diskontinualno na stubove. U tom slučaju, prstenasti nosač je dominantno

savijan u vertikalnoj ravni, a kao posledica zakrivljenosti realizuju se i momenti

torzije po dužini prstena (Sl. 218a). U drugom slučaju, prstenasti nosač može biti

kontinualno oslonjen na zidove, bilo da je reč o zidovima od opeke ili da je

monolitno spojen sa armiranobetonskim ljuskastim elementom kružne osnove. I

tada, i pored obezbeñene vertikalne nepomerljivosti, usled momenata uvrtanja,

može biti izložen uticajima momenata savijanja. U oba slučaja, prstenasti element

može biti izložen i dejstvu horizontalnog opterećenja, u sopstvenoj ravni, kada se

kao posledica javljaju dominantno aksijalne sile. Šta više, neretka uloga prstenastog

nosača je obezbeñenje horizontalnog oslonca ljuskastim (sferični, konični)


160

elementima, kada je nosač izložen aksijalnim silama visokog intenziteta. U takvim

situacijama, uobičajeno je njegovo projektovanje u prednapregnutom betonu.

Kako se javlja elementom konstrukcija koje svojom geometrijom zadovoljavaju

rotacionu simetriju41, te kako su ovakve konstrukcije gravitaciono najčešće

rotaciono-simetrično i opterećene gravitacionim opterećenjem, to se i sam prsten

često proračunava u uslovima zadovoljene rotacione simetrije geometrije i

opterećenja (Sl. 218b).

Sl. 218. Diskontinualno oslonjen prsten i rotaciono-simetrično opterećenje prstenastog nosača

U poprečnom preseku, prstenasti nosač se najčešće oblikuje pravougaonog oblika,

mada su, posebno kad je spoj ljuskastih elemenata u pitanju, mogući i drugi,

nepravilni, oblici (Sl. 217b, na primer).


4.7.2.1.4.7.2.1.4.7.2.1.4.7.2.1. Kontinualno oslonjen kružni prstenKontinualno oslonjen kružni prstenKontinualno oslonjen kružni prstenKontinualno oslonjen kružni prsten

U uslovima rotacione simetrije, kontinualno oslonjen kružni prstenasti nosač može

biti opterećen ravnomerno podeljenim (linijskim) opterećenjem, koje se može

razložiti na vertikalnu i horizontalnu komponentu, te ravnomerno raspodeljenim

momentima uvrtanja.

Membranski (statički odreñeni) uslovi oslanjanja prstena podrazumevaju nesmetanu

promenu prečnika ploče i sprečeno vertikalno ugibanje.

Sl. 219. Prsten opterećen u svojoj ravni (kotlovska formula)

Pod dejstvom horizontalnog rotaciono-simetričnog opterećenja (Sl. 219) koje deluje

u težištu prstena42, za „membranske“ uslove, u prstenu se realizuje aksijalna sila,

prema kotlovskoj formuli (direktno iz uslova ravnoteže):

41 Rotaciona simetrija podrazumeva nezavisnost oblika od rotacije, ili, jednake karakteristike

u svim radijalnim pravcima.

42 Primetiti da je opterećenje ravnotežno.


161

Z H r= ⋅ . ......................................................................................... (4.50)

Normalni naponi i dilatacije su, zapravougaoni presek:

Z H r

F b dσ ⋅= =

⋅, r

H r

E b dϕε ε ⋅= =⋅ ⋅

, ....................................................... (4.51)

dok je promena poluprečnika (∆r) data narednim izrazom, a obrtanje izostaje:

2H r

r rE b d

ε ⋅∆ = ⋅ =⋅ ⋅

, 0χ = . ................................................................ (4.52)

Uz zanemarenje širine b prema radijusu, može se smatrati da sve tačke preseka

prstena imaju jednaku deformaciju, tj. da se presek pomera kao kruto telo (Sl. 220).

Sl. 220. Deformacija prstena opterećenog u svojoj ravni

Sl. 221. Prsten opterećen rotaciono-simetričnim momentima uvrtanja i kombinovanim uticajima

Pod dejstvom rotaciono-simetričnih momenata uvrtanja (m), budući da je opet reč o

ravnotežnom opterećenju, ne ralizuju se nikakve oslonačke reakcije. Kako

„membranski“ uslovi oslanjanja obezbeñuju nesmetanu rotaciju poprečnih preseka,

uz ponovno zanemarenje širine preseka prema radijusu, u prstenu se realizuju

konstantni momenti savijanja u vertikalnoj ravni43 (Sl. 221a):

M m r= ⋅ . ........................................................................................ (4.53)

Normalni naponi, linearno promenljivi, su funkcija položaja po visini preseka:

43 Kao posledica zakrivljenosti, situacija je „pomalo“ paradoksalna: po dužini linijski element

ne trpi vertikalnu deformaciju, a izložen je momentima savijanja. Prikazanom smeru

opterećenja odgovaraju momenti savijanja koji zatežu donju stranu prstena.


162

3

12M m ry y

I b dσ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅

⋅, ..................................................................... (4.54)

dok su naponi na ivici:

2

6 m r m r

b d Wσ ⋅ ⋅ ⋅= ± = ±

⋅. ....................................................................... (4.55)

Prsten se deformiše obrtanjem poprečnih preseka oko svog težišta za veličinu χ.

Dilatacija, odnosno promena poluprečnika, u funkciji položaja po visini preseka je:

3

12 m ry

E b dε ⋅ ⋅= ⋅

⋅ ⋅,

2

3

12 m rr r y

E b dε ⋅ ⋅∆ = ⋅ = ⋅

⋅ ⋅. .............................................. (4.56)

Sada se do obrtanja preseka kao krutog tela može doći iz promene poluprečnika

ivičnih vlakana (∆r0):

2

0 2

6 m rr

E b d

⋅ ⋅∆ =⋅ ⋅

→ 2

0

/ 2

r m r

d EIχ ∆ ⋅= = . ................................................... (4.57)

U opštem slučaju, kada na kontinualno, „membranski“ oslonjen, prsten deluju

rotaciono-simetrična opterećenja proizvoljnog pravca, i kada se širina preseka može

zanemariti u odnosu na radijus, svoñenjem spoljašnjih sila na težište preseka i

dekompozicijom (projekcijama) moguće je opšti slučaj opterećenja svesti na dva

navedena (Sl. 221b). Uslovi oslanjanja koji podrazumevaju slobodno horizontalno

pomeranje redovno se ne javljaju u realnim konstrukcijama, ali je moguće usvojiti ih

u osnovnom, statički odreñenom sistemu, a za statički prekobrojnu izabrati

horizontalnu, rotaciono-simetričnu, reakciju.

4.7.2.2.4.7.2.2.4.7.2.2.4.7.2.2. Diskontinualno oslonjen prstenasti nosačDiskontinualno oslonjen prstenasti nosačDiskontinualno oslonjen prstenasti nosačDiskontinualno oslonjen prstenasti nosač

Uslovi ravnoteže za diferencijalno mali isečak diskontinualno oslonjenog

prstenastog nosača, prema Sl. 222, su:

0dQ

p rdα

+ ⋅ = , 0xy

dMdM

dα+ = , y

x

dMQ r M

dα= ⋅ + , .............................. (4.58)

Sl. 222. Analiza sila na elementarnom delu diskontinualno oslonjenog kružnog prstena

iz čega se sreñivanjem dolazi do diferencijalne jednačine, te njenog rešenja:

2

22

yy

d MM p r

dα+ = − ⋅ , 2sin cosyM A B p rα α= ⋅ + ⋅ − ⋅ . .......................... (4.59)


163

Integracione konstante su u funkciji ivičnih uslova. Sile u presecima su, u opštem

slučaju, statički neodreñene, ali se za neke specijalne slučajeve opterećenja mogu

izvesti samo iz uslova ravnoteže. Primera radi, u nastavku su data rešenja za dva

karakteristična slučaja opterećenja.

Sl. 223. Ravnomerno vertikalno opterećenje; Dijagrami My, Mx i Tz

Kružni nosač sa proizvoljnim brojem (n) ravnomerno po obimu rasporeñenih

oslonaca i opterećen ravnomerno raspodeljenim vertikalnim opterećenjem (p) (Sl.

223):

• 2

R r pn

π= ⋅ ⋅ , maxQ r pn

π= ± ⋅ ⋅ ,

• 2

0

cos1

sinyM rn

π απα

⋅= − ⋅ , 2

0

sin

sinxM rn

π απ αα

⋅= − − ⋅ , 02 2 / nα π= ,

• Q r π α= − ⋅ ⋅ .

Kružni nosač sa parnim brojem oslonaca ravnomerno rasporeñenih po krugu,

opterećen u poljima naizmeničnim ravnomerno podeljenim opterećenjem ±p (Sl.

224):

• 0R = , maxQ r pn

π= ± ⋅ ⋅ ,

• 2

0

cos1

sinyM rαπα

= −

, 2

0

sin

sinxM rαπ αα

= − +

, 02 2 / nα π= ,

• Q r π α= − ⋅ ⋅ .


164

Sl. 224. Naizmenično opterećenje; Dijagrami My, Mx i Tz

4.7.3.4.7.3.4.7.3.4.7.3. DIMENZIONISANJE I DIMENZIONISANJE I DIMENZIONISANJE I DIMENZIONISANJE I ARMIRANJEARMIRANJEARMIRANJEARMIRANJE

Dimenzionisanje i armiranje kružnog prstenastog nosača u svemu odgovara onom

kod grednih elemenata napregnutih pomenutim uticajima momenata savijanja,

torzije, aksijalne i transverzalne sile. Pravila i preporuke za voñenje i nastavljanje

armature su, takoñe, identična.

4.8.4.8.4.8.4.8. KRATKI ELEMENTIKRATKI ELEMENTIKRATKI ELEMENTIKRATKI ELEMENTI

Kratki elementi su, načelno, kratki konzolni nosači opterećeni koncentrisanom

silom, često velikog intenziteta, na svom kraju. Raspon elementa (krak sile u odnosu

na uklještenje), a, nije veći od statičke visine elementa, h (Sl. 225a). Slično, kratkim

elementima se, prilikom proračuna, smatraju i delovi grednih nosača na kojima

dolazi do znatne promene transverzalne sile na dužini grede koja nije veća od

njegove visine, kakav je, na primer, slučaj kada u neposrednoj blizini oslonca deluje

poprečna koncentrisana sila velikog intenziteta (Sl. 225b). U praksi, kratki elementi

se često primenjuju (Sl. 226): kao oslonci podužnih nosača kranskih staza, kao

oslonci prefabrikovanih elemenata u montažnom načinu gradnje, ili na dilatacionim

razdelnicama, pri oblikovanju Gerber-ovih zglobova...

Sl. 225. Kratki elementi


165

Zbog specifičnosti oblika, kratki elementi su pre površinski elementi opterećeni u

svojoj ravni nego linijski, zbog čega ni njihov proračun kao linijskih nije prihvatljiv.

Takoñe, primena teorije elastičnosti kod ovih elemenata nije primerena, zbog

prslina koje su karakteristika već eksploatacionih opterećenja, a za posledicu imaju

plastične i viskozne deformacije.

Sl. 226. Primena kratkih elemenata

Na Sl. 227 prikazane su trajektorije glavnih napona44 kod kratkih elemenata

opterećenih vertikalnom silom, koji se razlikuju u nagibu donje ivice. Punim linijama

su, očigledno, date trajektorije napona pritiska, a isprekidanim – zatezanja. Slika

pravaca naprezanja je izuzetno informativna i omogućava postavljanje

aproksimativnih postupaka proračuna. Uporeñenjem dva slučaja, može se zaključiti

da je kosa ivica povoljnija u statičkom smislu, jer obezbeñuje nešto povoljniji (male

razlike) ugao unosa sile pritiska u stub. Kod ravne donje ivice (jednostavnije za

izvoñenje), dodatno, jedan deo elementa ostaje neiskorišćen i, pogotovu izložen

dinamičkim i udarnim opterećenjima, sklon odvaljivanju na spoju napregnutog i

nenapregnutog dela.

Sl. 227. Trajektorije naprezanja kratkih elemenata sa zakošenom i ravnom donjom ivicom45

Eksperimentalno je pokazano46 da su naponi zatezanja uz gornju ivicu konzole

praktično konstantni celom dužinom od ivice stuba do mesta dejstva sile. Samim

44 Trajektorije mogu biti odreñene, na primer, fotoelastičnim postupkom, eksperimentalno,

ili primenom metode konačnih elemenata, računski.

45 Visina nosača, a ne statička visina, na crtežima je obeležena sa hc (ovakvo obeležavanje,

invertovane oznake za ukupnu i statičku visinu, karakteristično je za Evrokod).

46 Najčešće se citiraju eksperimentalna istraživanja Franz-a i Niedenhoff-a.


166

tim, i ukupna zatežuća sila Fs je nepromenljiva. Takoñe, sila pritiska, koja se pruža

od napadne tačke sile do korena kratkog elementa je približno konstantna, a već je

konstatovan relativno mali uticaj oblika konzolnog elementa na trajektornu sliku. Na

osnovu iznetog kristalisao se štapni mehanizam kao aproksimativni pristup

proračunu kratkih elemenata (Sl. 228), koji podrazumeva razlaganje spoljašnjeg

koncentrisanog dejstva (u opštem slučaju – kosog) na horizontalnu silu zatezanja i

kosu silu pritiska.

Sl. 228. Štapni mehanizam kratkog elementa

Na Sl. 229 prikazani su mogući mehanizmi otkaza kratkih elemenata, intenzivno

istraživani od strane Kriz-a i Raths-a.

Sl. 229. Mogući tipovi sloma kratkih elemenata

Slomu usled zatezanja gornje zone izazvanog momentom savijanja (slika a)

prethode velike deformacije horizontalne armature, a slom se „realizuje“

drobljenjem pritisnutog betona. Dijagonalno cepanje po dužini pritisnutog štapa

(slika b), nakon pojave pukotine uz lice stuba, rezultiraće slomom smicanjem u

pritisnutoj zoni. Niz kratkih i odvojenih dijagonalnih pukotina (slika c) vodi slomu

usled klizanja, nakon spajanja ovih prslina. Opterećenje naneto blizu kraja konzole

(slika d) formira vertikalni pritisnuti štap i vodi slomu odsecanjem. Kod malih

površina podložnih pločica može doći do lokalnog preopterećenja i drobljenja

betona ispod pločice (slika e). Konačno, horizontalno, uz vertikalno, opterećenje

može biti uzrok vertikalnim prslinama i slomu po njoj (slika f).


167

Armatura za prijem napona zatezanja izazvanih momentom savijanja se odreñuje i

konstruiše na isti način kao i kod ostalih konzola. Pri tome je, saglasno Sl. 228,

moment savijanja uz lice stuba:

v c cM F a H h= ⋅ + ⋅ ∆ . ......................................................................... (4.60)

Sl. 230. Armatura za prijem napona zatezanja od momenta savijanja

Granična vrednost ovog momenta i horizontalne sile rezultuje potrebnom količinom

armature, nakon što se za krak unutrašnjih sila, preporučeno, usvoji nešto niža

vrednost od one koja odgovara grednim elementima – oko 80% statičke visine. Ova

armatura se oblikuje na način prikazan na Sl. 230, i sidri se, dovoljnom dužinom, u

stub, na oba kraja.

Armatura za prijem uticaja od transverzalne sile se sračunava direktno iz ukupne

transverzalne sile i, preporučeno, postavlja se kao kosa, potrebne površine:

2 cos

uak

v

TA

σ β=

⋅ ⋅, .......................................................................... (4.61)

gde je sa β obeležena razlika uglova nagiba kose armature i kosog pravca od 45º.

Potrebna količina kose armature treba da bude rasporeñena na način (prema tzv.

Mehmel-ovom modelu) da bude relativno ravnomerno rasporeñena duž linije koja

spaja napadnu tačku sile i koren elementa (Sl. 231a).

Sl. 231. Kosa armatura za prijem transverzalnih sila i armiranje kratkih kratkih elemenata

Kod vrlo kratkih konzola, kada je raspon znatno manji od visine, kosi glavni naponi

zatezanja, umesto kosom, mogu biti primljeni horizontalnom armaturom (otvorene

uzengije) rasporeñenom po visini elementa (Sl. 231b). Treba naglasiti i da mnogi

savremeni propisi ne preporučuju korišćenje kose armature za prijem glavnih


168

napona zatezanja ni kod kratkih elemenata. Razlog ovome je nemogućnost njenog

potpunog iskorišćenja, ali i komplikovano izvoñenje i otežano betoniranje. Shema

armiranja u kojoj izostaju kose šipke je prikazana na Sl. 232, za kratki element

horizontalne donje ivice.

Sl. 232. Armiranje samo horizontalnom i vertikalnom armaturom

Osim proračunskom, kratki element, dodatno, mora biti gusto armiran i

horizontalnim i vertikalnim konstruktivnim uzengijama. Razlog ovome je i u

mogućim drugačijim mehanizmima sloma kratkog elementa.

Saglasno Evrokodu, kod kratkog elementa je neophodno dokazati i nosivost

pritisnute dijagonale/štapa. U tom cilju se granična vrednost sile pritiska deli

površinom odreñenom širinom preseka, b, i širinom (efektivnom) pritisnutog štapa,

c, za koju se usvaja jedna petina statičke visine (Sl. 228). Ovako odreñen napon se

uporeñuje sa računskom vrednošću pritisne čvrstoće pri savijanju.

Sl. 233. Indirektno opterećen kratki element

Indirektno opterećeni kratki elementi (Sl. 233) mogu biti približno analizirani

podelom vertikalnog opterećenja na dva jednaka dela, od kojih jedan deluje u

gornjem, a drugi u donjem delu. Za silu na gornjoj ivici proračun odgovara iznetom,

a donja polovina sile se razlaže na jednu zatežuću, Fs2, i jednu pritiskujuću, Fc2.

Zatežućoj sili, sada, odgovara i dodatna količina armature.

Podmetač, preko kojeg se prenosi sila na kratki element, mora biti dovoljno udaljen

od ivice, kako je slikom prikazano (Sl. 234a).


169

Proračun i armiranje grednog elementa opterećenog u blizini oslonca je u svemu

analogno proračunu i armiranju kratkog elementa (Sl. 234b).

Sl. 234. Udaljenje podmetača od ivice i deo grede koji se tretira kao kratki element

Oslabljeni deo grede kod Gerber-ovog zgloba se, takoñe, tretira kao kratki element.

Jedan način njegovog armiranja prikazan je na Sl. 235.

Sl. 235. Armiranje Gerber-ovog zgloba

linijski elementi

Documents