03 - linijski elementi

71

3. LINIJSKI ELEMENTI

3.1.3.1.3.1.3.1. GREDNI NOSAČIGREDNI NOSAČIGREDNI NOSAČIGREDNI NOSAČI

3.1.1.3.1.1.3.1.1.3.1.1. KARAKTERISTIKE, PRIMKARAKTERISTIKE, PRIMKARAKTERISTIKE, PRIMKARAKTERISTIKE, PRIMENA I SISTEMIENA I SISTEMIENA I SISTEMIENA I SISTEMI

Grednim nosačima smatramo one linijske elemente koji su pretežno opterećeni na savijanje

silama. Javljaju se sastavnim delom praktično svih inženjerskih konstrukcija i najčešće su

horizontalnog pravca pružanja.

U zgradarstvu se primenjuju kao noseći elementi meñuspratnih konstrukcija, kao glavni

nosači krovnih konstrukcija većeg raspona, kao sastavni deo temeljnih konstrukcija

(temeljne kontragrede). Kod mostova grednog sistema primenjuju se kao glavni isekundarni

nosači mostovske konstrukcije. Pojavljuju se i kao sastavni deo složenijih armiranobetonskih

elemenata: rigle ramovskih konstrukcija, gredni nosači kombinovanih sistema, osnovni

elementi temeljnih roštilja itd. U konstrukcijama se gredni elementi najčešće javljaju u

sklopu sa drugim elementima: stubovima, pločama, zidovima (Sl. 77).

Sl. 76. Statički sistemi grednih nosača

Načelno, gredni nosači mogu biti projektovani preko jednog ili više raspona. Statički sistem

grednog nosača je odreñen rasporedom oslonaca, koji mogu biti formirani kao nepomerljivi

ili pomerljivi (potpuno, delimično). Reñi je slučaj da je greda na svom jednom kraju

uklještena u masivni zid ili neki drugi element konstrukcije. U konstrukcijama zgradarstva su

najčešće kruto vezane za vertikalne oslonce (stubove), čime se formiraju armiranobetonski

okviri (Sl. 76).

Sl. 77. Okvirne i roštiljne konstrukcije

Brujić - Betonske konstrukcije – radna verzija - 9. avgust 2011

72

Grednim nosačima se mogu smatrati elementi kod kojih je odnos visine poprečnog preseka i

raspona nosača manji od 0.20. U ovim slučajevima su zadovoljene osnovne pretpostavke

tehničke teorije savijanja (zanemarenje normalnih napona σy). Za veće odnose visine prema

rasponu, grede se tretiraju saglasno teoriji ploča opterećenih u svojoj ravni, kao zidni nosači

ili visoke grede. Ipak, u praksi je uobičajen gredni tretman elemenata sve do odnosa visine

prema rasponu od 0.40.

3.1.2.3.1.2.3.1.2.3.1.2. OBLIKOVANJEOBLIKOVANJEOBLIKOVANJEOBLIKOVANJE

Gredni nosači se najčešće projektuju punog pravougaonog poprečnog preseka. U slučaju

krute veze sa meñuspratnom pločom, preseci nosača postaju T-oblika, budući da, kao

pritisnuta, ploča saučestvuje u prenosu napona pritiska.

Za prefabrikovane gredne elemente je karakteristična optimizacija poprečnog preseka i za

manje raspona. Tada se koriste T-preseci, nesimetrični i simetrični I-preseci ili, zavisno od

namene i opterećenja neki drugi, razuñeni oblik poprečnog preseka.

Sl. 78. Karakteristični poprečni preseci grednih nosača

Kod većih raspona, u cilju uštede u težini, grede se mogu projektovati razuñenih ili

sandučastih preseka. Optimalan oblik preseka je odreñen potrebnom nosivošću pritisnute

zone betona, te minimiziranjem zategnute površine betonskog preseka na meru dovoljnu za

smeštaj i pravilno voñenje armature. Širina nosača je primarno funkcija zadovoljenja glavnih

napona zatezanja, ali se proporcionalno menja sa visinom nosača. Razuñeni oblici preseka

su karakteristika montažnih grednih elemenata, te većih raspona.

Uobičajene visine poprečnih preseka greda se nalaze u rasponu od 1/12 do 1/8 raspona.

Po dužini, gredni nosači mogu biti konstantnog ili promenljivog preseka. Silueta nosača se,

kada je to ekonomski opravdano, projektuje tako da približno prati promenu momenata

savijanja. Promenljiva silueta se može postići izvoñenjem vuta, što je čest slučaj kod

kontinualnih nosača u okolini oslonaca (mesta maksimalnih momenata savijanja). Vute su

obično vertikalne i mogu biti projektovane kao pravolinijski ili krivolinijske (Sl. 79). U

pojedinim situacijama kada je visina limitirana, opravdano je projektovanje horizontalnih

vuta proširenjem preseka (Sl. 79).

Vertikalne vute se izvode strmije od horizontalnih. Proračunski, vertikalne vute su limitirane

nagibom na 1:3, ma kako da su izvedene, dok horizontalne vute imaju uobičajene nagibe od

1:8 do 1:6. Uobičajene dužine vuta ne prelaze desetinu raspona grede.

3. Linijski elementi

73

Sl. 79. Vertikalne i horizontalne vute

Jedna vrsta horizontalne vute se često primenjuje u oslonačkim delovima grednih elemenata

(posebno karakteristično za montažne grede), kada se proširenjem preseka povećava moć

prijema glavnih napona zatezanja, koji u ovim zonama imaju maksimalne vrednosti (Sl. 80).

U konkretnoj situaciji, uobičajeno je proširenje rebra na širinu uže (donje) flanše.

Sl. 80. Oblikovanje oslonačkog dela grede nesimetričnog I-preseka

Sl. 81. Montažna greda promenljive visine

Osim vutama, promenljiva silueta može biti izvedena i promenom visine nosača duž cele

njegove dužine, na primer. Takav je slučaj kod krovnih grednih glavnih nosača, kada se

gornja ivica projektuje u nagibu, kojim je greda opskrbljena maksimalnim visinama preseka

na mestima maksimalnih momenata savijanja, a, sa druge strane, obezbeñen nagib za

krovne ravni (Sl. 81).

3.1.3.3.1.3.3.1.3.3.1.3. PRORAČUNPRORAČUNPRORAČUNPRORAČUN UTICAJAUTICAJAUTICAJAUTICAJA

Proračun statičkih uticaja grednih nosača se, načelno, sprovodi saglasno linearnoj teoriji

elastičnosti. Pri tome, za raspon grede se usvajaju odgovarajuća rastojanja sistemskih linija.

Meñutim, kada je širina oslonca veća od desetina raspona grede, ili kada nije moguće utvrditi

položaj sistemnih linija, teorijski raspon grede (raspon grede u statičkom sistemu) može se

usvojiti kao svetli raspon uvećan za 5%.

Sa ovako usvojenim rasponima formira se statički sistem nosača, za koji se odreñuju uticaji.

Iako je uobičajeno da se, za gredne elemente u konstrukcijama zgradarstva, uticaji odreñuju

za ukupno opterećenje25. Ipak, kad god to može dovesti do značajnijih promena u

25 Razlog je relativno mali udeo korisnog tereta u ukupnom u konstrukcijama zgradarstva.


74

rezultatima, neophodno je razmatrati različite rasporede korisnog opterećenja (skladišta,

biblioteke, sportski objekti...), te eventualnu povoljnost delovanja pojedinih dejstava (različiti

rasponi kod kontinualnih nosača, na primer).

Sl. 82. Teorijski rasponi grednog nosača

Kod kontinualnih greda, bez obzira na rezultat odreñivanja statičkih uticaja, prilikom

dimenzionisanja je, za pozitivne momente u polju, neophodno usvojiti vrednosti najmanje

jednake onima koje odgovaraju mometima u polju obostrano, odnosno jednostrano,

uklještene grede opterećene ravnomerno podeljenim opterećenjem (Sl. 83).

Sl. 83. Minimalne „proračunske“ vrednosti momenata u polju kontinualne grede

Uklještenje nad krajnjim osloncem kontinualne grede je opravdano usvojiti u statičkom

sistemu samo kada je ono konstruktivnim merama obezbeñeno i dokazano. Kontinualne

grede oslonjene na zidove ili stubove od opeke, kada rotacija grede nije sprečena, dakle, nad

osloncima treba dimenzionisati prema redukovanoj, paraboličnoj raspodeli momentnog

dijagrama (Sl. 84a). Češći slučaj je kruta veza grede sa stubovima, kada je opravdano

oslonački presek grede dimenzionisati na momente na ivici oslonca (Sl. 84b).

Sl. 84. Oslonački momenti kod kontinualnih greda zglobno i kruto spojenih sa osloncima

Sl. 85. Dijagrami momenata savijanja u grednim nosačima

Prikazani su (Sl. 85) karakteristični oblici dijagrama momenata savijanja za najčešće statičke

sisteme (prosta greda, kontinualna greda, okvir) u kojima se nalaze gredni elementi.

Načelno, greda kod koje je nad krajnjim osloncima ostvareno delimično ili potpuno


75

uklještenje je, statički, povoljnija od zglobne, jer joj odgovaraju manje ekstremne vrednosti

momenata savijanja. Ipak, kada postoji opasnost od neravnomernog sleganja oslonaca ili

nekog drugog deformacijskog opterećenja, statički odreñene ili manje statički neodreñene

konstrukcije su u prednosti. Kod montažnih konstrukcija, jednostavnije je izvoñenje

zglobnih od krutih veza (Okvir 3).

U okvirnim konstrukcijama grede su najčešće kruto vezane za stubove. Stepen elastičnog

uklještenja kraja grede u ostatak okvirne konstrukcije može biti približno odreñen -

procenjen (moment elastičnog uklještenja) korišćenjem prve iteracije Cross-ovog postupka,

na primer, kako je to pokazano na Sl. 86. Rezultat je dovoljne tačnosti za potrebe

dimenzionisanja, kada je o vertikalnom opterećenju reč, te o horizontalno ukrućenim

okvirima. Tada se momenti u srednjim stubovima mogu zanemariti.

Sl. 86. Odreñivanje momenta uklještenja kraja grede prvom iteracijom Cross-ovog postupka

Okvir 3Okvir 3Okvir 3Okvir 3 Montažni Montažni Montažni Montažni PPPP----okvirokvirokvirokvir

Optimalno formiran okvir od montažnih elemenata bi, saglasno rečenom, bio formiran

od stubova G-oblika, proizvedenih sa konzolnim ispustom dela grednog elementa,

kako je prikazano na prvoj skici.

Pozicioniranjem nastavaka/spojeva montažnih elemenata na mestima nultih

momentnih tačaka odgovarajućeg monolitnog P-okvira, uz obezbeñenje prenosa

aksijalne i transverzalne sile, bi omogućilo izostajanje potrebe za ostvarivanjem

momentnog kontinuiteta na mestu spoja. Dijagram momenata bi imao isti oblik kao da

je okvir monolitan.

Meñutim, značajno je jednostavnija (jeftinija) proizvodnja, transport i montaža pravih

elemenata, nego elemenata izlomljene ose. Ovo je najčešće odlučujući faktor

optimizacije u korist nepovoljnijeg statičkog sistema, kojim se momentno ne angažuje

spoj grede i stuba (desna slika). Odreñenu kompenzaciju može da predstavlja

racionalniji oblik poprečnog preseka, karakterističan za montažne elemente.


76

3.1.3.1.3.1.3.1.3.1.3.1.3.1.3.1. Preraspodela momenata savijanjaPreraspodela momenata savijanjaPreraspodela momenata savijanjaPreraspodela momenata savijanja i duktilnost presekai duktilnost presekai duktilnost presekai duktilnost preseka

Statički uticaji kod statički neodreñenih konstrukcija su funkcija krutosti elemenata i njihove

promene. Krutosti po dužini armiranobetonskih elemenata se menjaju u skladu sa

dostignutim naponsko-deformacijskim stanjem, isprskalošću preseka, promenom količine

armature... Na Sl. 87 su prikazana karakteristična naponsko-deformacijska stanja grednog

elementa opterećenog dvema koncentrisanim silama. Malim momentima savijanja odgovara

pravolinijska raspodela normalnih napona (Ia), i u pritisnutom i u zategnutom delu.

Momentima neposredno pred pojavu prslina (Ib) odgovara linearno promenljivo naponsko

stanje u pritisnutoj i nelinearno promenljivo u zategnutoj zoni. Za momente jednake i veće

od momenta pojave prsline, javljaju se prsline (na ovim mestima je zatežući normalni napon

u betonu jednak nuli), a raspodela napona pritiska po visini pritisnute zone je kvazi-linearna

(II). Daljim povećanjem opterečenja, šire se prsline, zategnuta podužna armatura je u

plastičnoj fazi rada, a pritisnuti beton trpi nelinearne deformacije, zbog čega se i naponski

dijagram odlikuje visokom nelinearnošću (III). Ovo stanje, stanje III, odgovara graničnom

kapacitetu nosivosti preseka i koristi se za proračun preseka prema graničnoj nosivosti.

Sl. 87. Karakteristična naponsko-deformacijska stanja grednog elementa

Uticaji odreñeni primenom linearne teorije elastičnosti su, kod armiranobetonskih elemenata

u statički neodreñenim konstrukcijama, „realni“ samo za male nivoe opterećenja. Razvoj

prslina i plastifikacija u čeliku za armiranje mogu, nekad, kvalitativno da promene stanje

naprezanja elementa. I pored toga, linearna teorija elastičnosti, odnosno uticaji odreñeni

njenom primenom, se koristi i za uticaje u stanju granične nosivosti. Kasnije, prilikom

dimenzionisanja poprečnih preseka, uvažavaju se činjenice nelinearnog deformisanja, ali sa

uticajima koji, još jednom, odgovaraju linearnoj teoriji elastičnosti.

Postavlja se pitanje koliko ovakva nedoslednost može biti održiva i opravdana. Sa stanovišta

jednostavnosti primene, nema dileme da je prednost na strani ovakvog pristupa. Ali, čak i

kad je opravdanost u pitanju, ovakav koncept je održiv. Naime, rezultati linearne teorije

elastičnosti predstavljaju jedno moguće ravnotežno stanje statički neodreñene konstrukcije.

Konstrukcija (i elementi) dimenzionisani i armirani saglasno ovim uticajima će se u velikoj

meri i ponašati na ovaj način. Posledica je ovo, pre svega, činjenice da se, kolokvijalno,

„armiranobetonski elementi ponašaju na način na koji su armirani“. Ovo ne znači da se u

tako armiranoj konstrukciji neće realizovati preraspodele naprezanja, naravno, ali svakako

ne u istoj meri u kojoj bi to bio slučaj da je sa ovakvim preraspodelama kalkulisano.


77

Preraspodela naprezanja izmeñu preseka i elemenata konstrukcije je moguća tek ukoliko je

najopterećenijim presecima (zonama) omogućena dovoljno „dugačka“ plastična rotacija26.

Preseci koji se odlikuju visokom sposobnošću postelastične (plastične) rotacije, duktilni

preseci, su, na osnovu iznetog u prethodnom paragrafu, neophodni i kod

konstrukcija/elemenata koji su proračunati i armirani saglasno uticajima linearne teorije

elastičnosti.

Pad krutosti preseka je funkcija nivoa naprezanja, oblika poprečnog preseka. Na Sl. 88 je

prikazano kako za tri različita poprečna preseka (jedan pravougaoni i dva T-preseka

zategnuta u različitim zonama) kvalitativno i kvantitativno izgleda pad krutosti sa prirastom

spoljašnjeg momenta savijanja.

Sl. 88. Promena krutosti sa prirastom momenta savijanja (na nivou preseka)

Za pravougaoni i T-presek zategnut u donjoj zoni karakterističan je relativno strm pad

krutosti sa pojavom i razvojem prslina, te održavanje konstantne krutosti isprskalog preseka

sve do pred lom. T-presek zategnut u gornjoj zoni se karakteriše mnogo dužim padom

krutosti, koji je karakteristika praktično celog intervala od pojave prslina do loma.

Kvantitativno, konstatujmo i da pad krutosti može biti vrlo velik, reda veličine 30 do 60%.

Sl. 89. Zavisnost moment savijanja – krivina preseka

Sada ćemo posmatrati kako se povećanje momenta savijanja koji deluje na poprečni presek,

na primer pravougaoni, odražava na promenu krivine preseka. Idealzovano, ovo je prikazano

na Sl. 89. Dijagram je, na neki način, analogan dijagramu napon-dilatacija, a nagib krive u

nekoj tački definiše krutost preseka.

U fazi malih vrednosti momenata, sve do pojave prslina, prirast krivine je, saglasno Hooke-

ovom zakonu, linearan. Pri momentu Mpr javljaju se prsline27, zbog čega krutost pada (nagib

26 Rotacija kritičnih preseka je osnova mehanizma transfera opterećenja u realizacij preraspodele.

27 Razvoj prslina nije trenutan fenomen i realna kriva nema ovako izražene tačke loma.


78

krive je manje strm), a prirast krivine sa povećanjem momenta savijanja je veći. Na ovaj

način su dve veličine povezane sve do trenutka dostizanja granice razvlačenja u zategnutom

čeliku. Čelik koji se do tada ponašao linearno prelazi u plastičnu fazu rada (pri krivini κv),

koja se karakteriše prirastom dilatacija bez (ili sa malim) prirasta napona. Povećanje

dilatacija u čeliku je praćeno, usled potrebe očuvanja ravnoteže preseka, (manjim)

povećanjem dilatacija u betonu i smanjenjem visine pritisnute zone betona. Kako sila u

armaturi, sa ovim povećanjem dilatacije, ostaje približno konstantna, a promena kraka

unutrašnjih sila (iako se povećava) nije značajna, to se i moment savijanja ne menja sa

povećanjem dilatacija. Ili, presek nije u stanju da prihvati svo ono momentno opterećenje

koje se javi nakon dostizanja plastifikacije u armaturi. Povećanje dilatacija, po definiciji,

znači i povećanje krivine preseka, što se na analiziranom dijagramu manifestuje kao

približno horizontalna grana – prirast krivine bez prirasta momenta savijanja. Krutost

preseka za ovaj nivo opterećenja je bliska nuli. Sam presek se, naponski, opire spoljašnjem

momentu koji odgovara momentu nosivosti preseka, ali se za dalji prirast opterećenja

ponaša kao zglob – plastični zglob (iznad nekog nivoa opterećenja rotacija je nesprečena).

Kako je povećanje krivine praćeno redukcijom visine pritisnute zone betona, to se lom

preseka dogaña, najčešće, imajući na umu vrlo visoku sposobnost čelika za dugu plastičnu

deformaciju, drobljenjem pritisnutog betona, za krivinu koja je na slici obeležena sa κu.

Dijagram na Sl. 89 direktno definiše faktor duktiliteta krivine preseka napregnutog na

savijanje, kao količnik dve krivine – krivine pri lomu i krivine pri kojoj počinje plastično

deformisanje čelika:

/u vD κ κ= . ..................................................................................................... (3.1)

Ova veličina predstavlja meru žilavosti preseka. Smatra se da je preraspodela uticaja u

statički neodreñenim konstrukcijama obezbeñena tek nakon ostvarenja duktiliteta većeg od

nekog koji je u intervalu izmeñu 3 i 6.

Mere kojima je duktilitet moguće povećati, prilikom projektovanja se, pre svega, odnose na

poboljšanje karakteristika pritisnute zone preseka, budući da je njegov kolaps najčešće

izazvan drobljenjem betona, te da je čelik „kritičan“ samo u situacijama vrlo jako armiranih

poprečnih preseka:

• Smanjenje procenta armiranja podužnom zategnutom armaturom. Ovim se ne želi

reći da preseke treba pod-armirati. Proračunom se odreñuje minimalno potrebna

količina armature u preseku i ona tamo mora biti i obezbeñena u elementu. Ideja je

da se ukaže na kontradiktornu situaciju kada višak čelika za armiranje ne rezultira

dodatnom sigurnošću (prikazano na Sl. 90, za dva procenta armiranja, µ1>µ2).

Duktilni preseci su armirani količinom zategnute armature koja je maksimalno bliska

potrebnoj, odreñenoj uz uvažavanje svih postojećih okolnosti koje mogu uticati i na

njeno smanjenje (na primer činjenica prisustva pritisnute armature u drugoj zoni).

• Armiranje pritisnute zone preseka. Čelik je, svojim nosivim karakteristikama,

superioran u odnosu na beton čak i kada je prijem pritiska u pitanju. Zato, dodavanje

čelika u pritisnutu zonu ima za posledicu povećanu mogućnost prijema pritiska, a

samim tim seodlaže i trenutak kolapsa preseka.

• Kvalitet betona. Očigledno je da više marke betona obezbeñuju prijem većih

napona/sila pritiska, te da povoljno utiču na duktilitet.


79

• Utezanje preseka gustom poprečnom armaturom. Poprečna armatura, obuhvatajući

pritisnutu zonu, sprečava bočno širenje unoseći napone pritiska i u ravni normalnoj

na pravac osnovnog pritiska. Ovako utegnut presek je sposoban za prijem većih

pritisnih naprezanja od slabije utegnutog preseka.

• Vrsta čelika. Načelno, čelici sa nižom granicom razvlačenja (GA ima granicu

razvlačenja na dilataciji od oko 1.2 promila) su duktilniji od onih sa višom (RA –

približno 2 promila). Sa Sl. 89 proizilazi da će krivina κv imati manju vrednost, te da

će time i duktilitet biti veći. Ipak, ovde treba biti oprezan. Za prijem istih uticaja

prilikom dimenzionisanja, glatkog čelika će biti oko 65% više, koliko proizilazi iz

odnosa njihovih granica razvlačenja (400/240~1.67). Na račun ovoga, konačni ishod

po pitanju duktiliteta ne mora uvek biti na strani GA. Uticaj količine armature (nivo

uticaja koji su je odredili) je sada presudan. Sa Sl. 91 ovo se, za nižu marku betona

može i očitati.

Sl. 90. Dijagram moment savijanja – krivina za dva različita koeficijenta armiranja

Ako je presek, osim momentom, opterećen i aksijalnom silom, treba imati u vidu da

aksijalna sila pritiska smanjuje, a zatezanja povećava duktilnost.

Sl. 91. Uticaj kvaliteta betona i vrste čelika na duktilitet preseka


80

Prepoznajmo, još jednom, na Sl. 89 tri veličine krutosti koje odgovaraju prirastu spoljašnjeg

momenta savijanja. Usvajajući ovakvu, skokovitu, promenu krutosti, na primeru obostrano

uklještene grede biće pokazan (Sl. 92) tok preraspodele.

Sl. 92. Preraspodela momenta savijanja obostrano uklještene grede

Posmatrana greda je, zbog jednostavnosti analize, usvojena konstantne krutosti i nosivosti,

kako po dužini, tako i za slučajeve zategnute gornje, odnosno donje zone. Analizira se

promena momenata savijanja u krajnjem i u preseku u sredini raspona sa prirastom

ravnomerno podeljenog opterećenja na gredi.

Saglasno linearnoj teoriji elastičnosti, oslonački moment je dva puta, apsolutno, veći od

momenta u polju. Sa prirastom opterećenja, do početka razvoja prslina, ovo će i biti slučaj.

Kada se dostigne moment pojave prslina (tačka A1, skica c) u oslonačkom preseku, doćiće i

do pada njegove krutosti. Kako je, sada, presek u sredini raspona (neisprskao) veće krutosti,

to će mu, pri daljem prirastu opterećenja, odgovarati i brži prirast momenta, sve do trenutka

formiranja prslina u središnjem delu elementa (tačka B2, skica d). Opet ravnopravnih

krutosti, preseci teže da uspostave momentnu sliku koja jednakim krutostima odgovara

(dvostruko veći oslonački moment). Zato je dalji prirast momenta u sredini vrlo mali, a nad

osloncem strm. Ovakvo ponašanje se prekida dostizanjem granice razvlačenja čelika u

oslonačkom preseku (tačka D1, skica e). Sada, dalje povećanje opterećenja ne može biti više

praćeno prirastom momenta nad osloncem, ovaj presek rotira na račun plastične

deformacije, a posledica ove rotacije je dalji „život“ grede, tj. preraspodela naknadnog

opterećenja ka preseku u sredini, koji još nije dostigao, u čeliku, granicu razvlačenja.

Konačno, kada je i ovaj presek dostigne (skica f), svako dalje povećanje opterećenja aktivira

statički sistem kritične konfiguracije, koji nije održiv. Ovim je definisan kraj nosivosti grede,

ali je očigledno da je greda, statički neodreñena, u stanju da primi viši nivo opterećenja od

onoga koji rezultira momentom nosivosti kritičnog (ili kritičnih) preseka. Krajnji dijagram

momenata savijanja ima jednake vrednosti momenta u polju i nad osloncem – momenat je

preraspodeljen.


81

U praksi, realizacija celog opisanog toka bi bila praćena vrlo velikim deformacijama čelika i,

samim tim, velikim otvorima prslina. Budući da je reč o plastičnim deformacijama, po

rasterećenju greda bi u znatnoj i vidljivoj meri bila oštećena.

3.1.3.2.3.1.3.2.3.1.3.2.3.1.3.2. Linearna teorija sa ograničenom preraspodelomLinearna teorija sa ograničenom preraspodelomLinearna teorija sa ograničenom preraspodelomLinearna teorija sa ograničenom preraspodelom

Iako je pokazano da primena linearne teorije elastičnosti za granično stanje nosivosti može

biti opravdana, valja primetiti da, pokrivajući jedno moguće ravnotežno stanje, na ovaj način

nije obezbeñeno najracionalnije projektovanje. Ili, utrošak materijala, eventualno i dimenzije

preseka, bi mogao biti manji.

Dimenzionisanje koje bi za cilj imalo ovu vrstu optimizacije je bazirano na preraspodeljenim

uticajima. Zbog velike meñuzavisnosti ulaznih i izlaznih faktora u ovoj analizi, do potpunog

optimuma nije lako doći, nego bi se rešenja morala tražiti zametnim iterativnim postupcima

u kojima je relativno velik broj variranih parametara.

Pravilnikom je dopušteno da se, pri proračunu prema graničnim stanjima loma, sile u

presecima (konkretno, momenti savijanja) statički neodreñenih nosača, sračunate prema

linearnoj teoriji elastičnosti, umanje ili povećaju za sledeću vrednost datu u procentima:

1 2

lim

20 1µ µ

µ −⋅ −

. ........................................................................................... (3.2)

µ1 koeficijent armiranja zategnutom podužnom armaturom,

µ2 koeficijent armiranja pritisnutom podužnom armaturom,

µlim granična vrednost (granica) procentna armiranja.

Povećanje momenata savijanja u jednom preseku zahteva njegovo povećanje u drugim

presecima, kako bi uslovi ravnoteže ostali zadovoljeni. Ili, na ovaj način se statički

neodreñena konstrukcija „podvrgava“ drugom ravnotežnom stanju. Granica procenta

armiranja je data u sledećem obliku:

lim 0.405 B

v

fµσ

= ⋅ , ............................................................................................ (3.3)

a mogućnost primene preraspodeljenih uticaja se ograničava sledećim uslovom:

1 2 lim0.5µ µ µ− ≤ ⋅ . .......................................................................................... (3.4)

Granica µlim je proistekla iz analize pravougaonog poprečnog preseka (ili, bar preseka sa

pritisnutom zonom pravougaonog oblika) i ograničenju pritisnute visine preseka na četvrtinu

statičke visine:

lim0.5 0.25x x h≤ ⋅ = ⋅ , ...................................................................................... (3.5)

gde je sa xlim obeležena visina pritisnute zone koja odgovara stanju dilatacija od εb/εa = -

3.5/3.5. Analizom izraza (3.2), može se zaključiti da se dozvoljena preraspodela kreće u

granicama izmeñu 10 i 20%:

• 10% za 1 2 lim0.5µ µ µ− = ,

• 20% za 1 2 0µ µ− = .

Povećanjem količine pritisnute armature se povećava duktilnost (smanjenjem pritisnute

visine preseka) i omogućuje preraspodela.


82

Efekti proračuna na bazi preraspodeljenih uticaja mogu biti: smanjenje ukupne količine

armature (slučaj kod nosača sa velikim udelom korisnog opterećenja) i/ili smanjenje razlike

u potrebnoj armaturi oslonačkih zona i preseka u polju, čime se postiže ujednačenije

armiranje dve zone i izbegavaju se jako armirani oslonački preseci. U oba slučaja, efekti su

pozitivni, te se primena preraspodele u ograničenom obliku preporučuje. Razlozi za

ograničenje stepena preraspodele su u činjenici da visokim duktilnostima (zahtevanim višim

stepenom preraspodele) mogu biti ugrožena granična stanja upotrebljivosti elementa.

3.1.3.3.3.1.3.3.3.1.3.3.3.1.3.3. Uticaj Uticaj Uticaj Uticaj vremenskih deformacijavremenskih deformacijavremenskih deformacijavremenskih deformacija

Dugotrajno delovanje opterećenja izaziva tečenja betona i promenu deformacije (ne samo

vrednosno, nego i kvalitativnu). U slučaju statički neodreñenih elemenata/konstrukcija, ovo

dovodi i do vremenske promene sila u presecima AB elemenata. O ovome je neophodno

voditi računa kad god je od značaja.

3.1.4.3.1.4.3.1.4.3.1.4. DIMENZIONISANJEDIMENZIONISANJEDIMENZIONISANJEDIMENZIONISANJE

Pod dimenzionisanjem se, u užem smislu, podrazumeva odreñivanje potrebnih količina

pojedinih armatura elementa, na bazi odreñenih uticaja i poznate geometrije betonskih

preseka.

Redovno je proračun prema graničnim stanjima loma merodavan za dimenzionisanje, ali ovo

je neophodno dokazati kontrolom graničnih stanja upotrebljivosti. Samo u retkim

situacijama (jako opterećeni i armirani elementi, strogi zahtevi po pitanju ugiba i/ili prslina)

granično stanje upotrebljivosti je „kritično“ i zahteva korekciju potrebnih količina armature

odreñene prema prvom.

Budući da je teorija proračuna elemenata prema graničnim stanjima već prikazana, na ovom

mestu su date samo neke dodatne napomene.

Podužna armaturaPodužna armaturaPodužna armaturaPodužna armatura grednih elemenata je, načelno, produkt proračuna grednog nosača prema

graničnom stanju loma na simultano dejstvo momenata savijanja i aksijalnih sila, saglasno

već izloženom (#2.3). Pri tome, granične vrednosti uticaja momenata savijanja i aksijalnih

sila odgovaraju istoj kombinaciji opterećenja.

Za praktičnu primenu razvijena su inženjerska pomagala u obliku tablica (bezdimenzionalni

koeficijent k, kao funkcija spoljašnjih uticaja, geometrije preseka i kvaliteta betona) ili

specijalizovanog softvera.

Osim toga, postupak obezbeñenja glavnih napona zatezanja, takoñe, rezultuje potrebom za

dodatnom količinom podužne armature: deo glavnog napona izazvan smicanjem zahteva

dodatnu količinu zategnute armature, dok torzionim uticajima odgovara potreba za

podužnom armaturom ravnomerno rasporeñenom po obimu poprečnog preseka.

Sl. 93. Sadejstvujuća širina ploče


83

U proračunu prema graničnom stanju nosivosti, za grede izložene raspodeljenom

opterećenju, sadejstvujuća širina pločesadejstvujuća širina pločesadejstvujuća širina pločesadejstvujuća širina ploče (debljine najmanje 10% visine grede ili 8cm), u

funkciji širine grede (b0), razmaka nultih momentnih tačaka grede (l0) i meñusobnog

rastojanja greda (e), iznosi za simetrične preseke (Sl. 93a):

0

0 0

20

min 0.25

b d

b b l

e

+ ⋅= + ⋅

....................................................................................... (3.6)

Za nesimetrične T-preseke, ako je sprečeno bočno pomeranje i torzija (Sl. 93b):

0 1

0 1 0

8

min 0.25 / 3

/ 2

b b d

b b b l

e

+ + ⋅′ = + + ⋅

........................................................................... (3.7)

Za ploče čija je debljina maja od desetine ukupne visine grede:

0 12

minb d

be

+ ⋅=

......................................................................................... (3.8)

0 1 5

min/ 2

b b db

e

+ + ⋅=

..................................................................................... (3.9)

U proračunima prema graničnim stanjima upotrebljivosti – ugiba, kao i za proračun statičkih

uticaja, preporuka je da se za simetrične T-preseka usvaja manja širina:

0 6b b d= + ⋅ .................................................................................................. (3.10)

Nesimetrične T-preseke, kada nije sprečena torzija i bočno pomeranje, treba dimenzionisati

na dejstvo kosog momenta savijanja (koso savijan presek).

Sl. 94. Prijem indirektnog opterećenja uzengijama

Proračunska poprečna armaturapoprečna armaturapoprečna armaturapoprečna armatura je rezultat proračuna grednog elementa na dejstvo glavnih

napona zatezanja izazvanih transverzalnim silama i momentima torzije. Najčešće se

projektuje u obliku vertikalnih uzengija, čija se potreba odreñuje posebno za dejstvo


84

smicanja, a posebno za dejstvo torzije. Višesečnost (više od 2) uzengija koje se prostiru

celom visinom preseka može biti obuhvaćena proračunom samo na dejstvo smicanja.

Iako je pravac pružanja kosih gvožña takav da se njima postiže efikasniji (sa manjom

količinom armature) prijem glavnih napona zatezanja, iskustveno se njihova primena

pokazala nepovoljnijom (veće širine prslina) od primene samo vertikalnih uzengija. Zato, ova

vrstu armature dobija preporuku primene samo kod preseka kod kojih bi armiranje

vertikalnim uzengijama ugrozilo dobru ugradnju betona. Dodatno, povijanjem armature iz

donje u gornju zonu, kosim delom redovno nije obezbeñeno i potrebno koso gvožñe, budući

da je, redovno, mesto povijanja locirano suviše daleko od oslonca, tj. od mesta potrebe za

kosim gvožñima. Kosa gvožña se mogu projektovati samo u cilju prijema dela glavnog

napona zatezanja izazvanog smicanjem.

Sl. 95. Prijem obešenog opterećenja uzengijama

U pojedinim situacijama, uzengijama je neophodno prihvatiti indirektno koncentrisano

opterećenje (Sl. 94) ili optrećenje po donjoj ivici grede („obešeno opterećenje“). Tada se

njihova potrebna dodatna količina odreñuje iz uslova da same mogu prihvatiti kompletno

predmetno opterećenje (Sl. 95). Sa ciljem prijema obešenog ili indirektnog opterećenja,

mogu se projektovati i kose šipke (Sl. 94).

Kod nosača promenljive visine (odnosi se i na nosače s vutama) potrebno je, prilikom

kontrole i obezbeñenja glavnih napona zatezanja imati na umu i prirast (pozitivan ili

negativan) smičuće sile izazvan dejstvom momenta savijanja na promenljivoj visini:

tanxx x

MV V

dxα′ = ± ⋅ . .................................................................................... (3.11)

Sl. 96. Redukovani dijagrami transverzalnih sila kod nosača promenljive visine


85

3.1.5.3.1.5.3.1.5.3.1.5. ARMIRANJEARMIRANJEARMIRANJEARMIRANJE28282828

Grede se mogu armirati glatkom GA, rebrastom ili Bi-armaturom. Prilikom usvajanja i

rasporeñivanjarasporeñivanjarasporeñivanjarasporeñivanja šipki podužne armature neophodno je izborom profila i njihovim razmakom

obezbediti uslove dobre ugradnje betona, dobre prionljivosti i postizanja kompaktnog

zaštitnog sloja. U Pravilniku, minimalni čist razmak dve šipke, i horizontalno i vertikalno, je

3cm, ali ne manje od prečnika najkrupnije šipke ili 80% prečnika najveće frakcije agregata

(Sl. 97a). Ovim se, izmeñu ostalog, obezbeñuje i prostor za prolaz igle pervibratora u sve

delove elementa prilikom ugradnje betona. Ipak, treba primetiti da je, na ovaj način

definisan, minimalni razmak premali, te da bi u praktičnim situacijama preporuka išla u

pravcu usvajanja većih razmaka. Posebno je diskutabilna, i teško ostvarljiva kod jače

armiranih preseka, odredba kojom se minimalni razmaci moraju obezbediti i na mestima

nastavljanja armature preklapanjem.

Sl. 97. Minimalni razmaci armaturnih šipki

Kako bi se postigla povoljnija slika prslina, maksimalni razmak šipki podužne armature je

ograničen na 15cm. U vertikalnom pravcu, ovaj limit je 30cm, za elemente čija visina nije

manja od 50cm (Sl. 97b), a obezbeñuje se ubacivanjem podužnih profila ne manjih od Ø8.

Sl. 98. Svežnjevi (cvasti)

Dopušteno je, ali ne i preporučljivo, grupisanje armaturnih prfoila u cvasti (maksimalno četiri

profila). U situacijama jako armiranih preseka, grupisanje armature može biti jedini način

obezbeñenja ugradnje betona. Sa druge strane, korišćenje svežnjeva ima za posledicu i sve

efekte analogne ugradnji profila velikog prečnika (granična stanja upotrebljivosti). Ako se

grupa šipki (cvast) zameni ekvivalentnim (po površini) prečnikom, onda se za cvasti

primenjuju ista pravila rasporeñivanja armature u poprečnom preseku (Sl. 98).

U cilju sprečavanja krtog loma u trenutku pojave prsline, definisan je minimalni procenat minimalni procenat minimalni procenat minimalni procenat armiranjaarmiranjaarmiranjaarmiranja glavnom zategnutom armaturom u funkciji marke betona (fbk) i vrste čelika (Sl. 99):

23

1,min 5.1 bk

v

fµ

σ= , bkf i vσ u MPa. ................................................................ (3.12)

28 Posebne odredbe koje se odnose na detalje armiranja greda konstrukcija u seizmičkim područjima

će biti prikazane u sklopu poglavlja Višespratne zgrade.


86

Dodatno, u karakterističnim (lokalno najopterećenijim) presecima, minimalni koeficijent

armiranja, bez obzira na prethodno, ne sme biti manji od 0.25% za glatku armaturu

GA240/360, 0.20% za rebrastu RA400/500 ili BiA680/800 (Sl. 99, isprekidane linije). Ove

odredbe se ne odnose na masivne betonske elemente.

Sl. 99. Minimalni procenti armiranja

Dimenzionisanjem su odreñene potrebe za podužnom armaturom samo u karakterističnim

presecima. Potreba za armaturom duž nosača, kada aksijalne sile mogu biti zanemarene, se

može odrediti prema liniji zatežućih silaliniji zatežućih silaliniji zatežućih silaliniji zatežućih sila, kojom se, grafički, odreñuje sila koju armaturom

treba prihvatiti duž nosača. Sila zatezanja u armaturi je količnik momenta savijanja i kraka

unutrašnjih sila:

/u uZ M z= . ................................................................................................. (3.13)

Sl. 100. Linija zatežućih sila

Kako bi se linijom zatežućih sila obuhvatila i potreba za dodatnom podužnom armaturom

usled smicanja, to se „radna“ linija zatežućih sila odreñuje horizontalnom translacijom

prethodne, momentne, za veličinu v, jednaku 75% statičke visine preseka kada se smicanje

osigurava samo vertikalnim uzengijama, odnosno 50% statičke visine ako se za prijem

smicanja koriste i kosa gvožña29.

29 Kosa gvožña, pravca pružanja bliskog pravcu glavnih napona zatezanja, ne zahtevaju dodatnu

podužnu armaturu.


87

Povijanje armature (i zategnute i pritisnute) izaziva skretne sileskretne sileskretne sileskretne sile, saglasno kotlovskoj formuli

(Sl. 101). Posledica skretnih sila je i pojava zatezanja upravno na ravan povijanja. U blizini

ivice betonskog preseka ovo je posebno opasno, zbog mogućnosti istiskivanja zaštitnog

sloja betona. Intenzitet skretnih sila je obrnuto proporcionalan radijusu povijanja, zbog čega

je od izuzetne važnosti poštovanje pravila datih u smislu oblikovanja armature (#1.9.5).

Sl. 101. Skretne sile izazvane povijanjem armature

Sl. 102. Korišćenje ploče za smeštaj oslonačke podužne armature

Kod oslonaca kontinualnih nosača T-preseka, deo oslonačke podužne armature (ne više od

50% ukupne) se može smestiti u ploču, van širine rebra, i, time, se obezbediti bolji uslovi

ugradnje betona. Kod projektovanja razuñenih (nepravougaonih) poprečnih preseka, po

pravilu sa tankim rebrom, često se donji deo preseka oblikuje proširen u vidu donje flanše,

čime se omogućava komforniji smeštaj podužne armature (Sl. 102). Deo armature u širini

rebra može biti povijen u gornju zonu (kosa gvožña ili prijem negativnih momenata), a

armatura van širine rebra se može postepeno ukidati, saglasno potrebi za armaturom.

Vertikalne vutevutevutevute se armiraju posebnom podužnom armaturom koja prati ivicu preseka, a

uzengije se na dužini vute projektuju promenljive visine. Podužna horizontalna armatura, u

ovom slučaju, ne mora biti preklopljena. Kod horizontalnih vuta, glavna armatura se vodi

neprekinuta (ili nastavljena) u širini nosača, a vuta dobija svoju podužnu armaturu po visini

nosača. Uobičajeno je da armatura vute ima posebne uzengije, dok prava armatura nosača

„zadržava“ svoje (Sl. 103).

Sl. 103. Armiranje vertikalnih i horizontalnih vuta

Sl. 104. Armiranje kraja prepusta


88

Kod slobodnih krajevaslobodnih krajevaslobodnih krajevaslobodnih krajeva grednih elemenata (konzole), koji su po pravilu opterećeni

koncentrisanim silama, podužnu glavnu armaturu iz gornje zone je poželjno poviti u donju

zonu, preko čela nosača, sidrenjem „unatrag“. Čelo nosača se obezbeñuje horizontalnim

ukosnicama (Sl. 104).

Nastavljanje podužne armatureNastavljanje podužne armatureNastavljanje podužne armatureNastavljanje podužne armature je neophodno kod greda velikog raspona ili kod kontinualnih

sistema. Pri izboru mesta nastavka, pravilno je armaturu nastavljati u pritisnutoj zoni, na

mestima najmanjih naprezanja. Tako se, u slučaju kontinualnih greda, armatura donje zone

nastavlja preklapanjem preko oslonca, dok je gornju poželjno nastavljati u središnjoj zoni

polja.

Sl. 105. Mesta nastavljanja armature kod kontinualnih greda

Po celoj dužini, gredni nosači se armiraju zatvorenim uzengijamauzengijamauzengijamauzengijama, načelno prema dijagramu

glavnih napona zatezanja. Osim vertikalnih uzengija, za prijem glavnih napona zatezanja

mogu biti upotrebljene i kose uzengije i kosa gvožña.

U linijskim AB nosačima uglavnom vlada ravno (ravansko) stanje napona. Glavni naponi,

saglasno Teoriji elastičnosti, nakon zanemarenja normalnih napona upravnih na podužnu

osu, mogu se odrediti na osnovu poznatih normalnih i smičućih napona, σb i τ. Kako se za

AB presek s prslinom, u zategnutoj zoni može zanemariti normalni napon, to celom visinom

zategnute zone postoje samo naponi smicanja30:

( )2 21,2

14

2 bσ σ τ= ⋅ ± ⋅ → nakon 0bσ = → 1,2σ τ= ± . .................................... (3.14)

Ovo je razlog čestom pogrešnom imenovanju problema kao smičućeg.

Na slici (Sl. 106) prikazan je smičući lom grede. Za kritičnu zonu karakteristične su kose

prsline (savijana sredina grede ima vertikalne prsline), koje se pružaju u pravcu prostiranja

glavnih napona pritiska (normalne na pravac glavnih napona zatezanja).

Sl. 106. Lom grede smicanjem, izvor [21]

30 Maksimalne vrednosti glavnih napona zatezanja, po visini preseka, su karakteristične za zategnutu

zonu i minimalnu širinu preseka.


89

Ipak, stalno valja imati na umu da lom nastupa usled prekoračenja glavnih napona zatezanja,

a ovi naponi, uprkos uvedenim idealizacijama, nisu posledica samo smicanja (generalno, reč

je o simultano dejstvujućoj kombinaciji smicanja, savijanja i torzije). Zato je ovu vrstu loma

teško precizno predvideti (treba ovde pomenuti i još uvek nedovoljno razumevanje

fenomena), a sam lom se redovno dešava kao iznenadan.

Sl. 107. Naponi izazvani torzijom

Sl. 108. Pravac pružanja torzionih prslina

Sl. 109. Širina kosih prslina u funkciji načina poprečnog armiranja

Eksperimentalnim ispitivanjima (Sl. 109) je utvrñeno da najmanjom širinom kosih prslina

rezultuje primena kosih uzengija, zatim vertikalnih, a da je najveća širina karakteristična za

primenu koso povijene podužne armature (kosih gvožña). Sa druge strane, primena kosih

uzengija je vezana sa problemima izvoñenja, zbog čega se ne primenjuju često. Uz

napomenute probleme vezane za kosa gvožña, armiranje vertikalnim uzengijama ostaje

dominantno i preporučeno.

Osim obezbeñenja glavnih napona zatezanja, uzengijama se postiže i utezanje poprečnog

preseka, što rezultira formiranjem troosnog stanja pritiska podužno pritisnutih elemenata (ili

delova preseka, pri savijanju) sprečavanjem širenja i, time, povećanu sposobnost prijema


90

pritiska. Pokazano je da se, u pojedinim situacijama, prima „obešeno“ opterećenje, kada one

imaju funkciju, lokalno, podužne zategnute armature (Sl. 95).

Sl. 110. Načini armiranja pravougaonog preseka uzengijama

Kod širokih preseka, kada se koriste višesečne uzengije, poželjno je jednom neprekinutom

spoljašnjom uzengijom obuhvatiti ceo presek, a unutrašnje uzengije povijati oko unutrašnjih

šipki (Sl. 111).

Sl. 111. Uzengije širokih greda

Maksimalno rastojanje uzengija je ograničeno na 2/3 visine grede, odnosno na 30cm,

odnosno na 15Ø, gde je Ø prečnik najtanje podužne armature (manju od ovih vrednosti),

kada nije prekoračena smičuća nosivost betona. U suprotnom, na dužini osiguranja,

maksimalan razmak uzengija je ograničen na 1/2 visine grede, odnosno na 25cm. Dodatno,

minimalni procenat armiranja uzengijama na dužini osiguranja iznosi 0.2%. Procenat

armiranja uzengijama je definisan na sledeći način, u funkciji površine preseka šipke

uzengije (auz) i razmaka uzengija (euz):

uzuz

uz

m a

b eµ ⋅

=⋅

, ................................................................................................ (3.15)

gde je sa m označena sečnost uzengija. Višesečne (više sečnosti od 2) se projektuju u istom

preseku i pružaju se celom visinom preseka (Sl. 110c). Poželjno je (jaka preporuka) da se

jednom uzengijom obuhvati ceo poprečni presek.

Uzengije se mogu projektovati kao zatvorene i preklopljene oko ugaone šipke ili

preklopljene oko kraće stranice. Ove druge su obavezne kod torziono opterećenih preseka,

ali i kod loših uslova sidrenja uzengija. Ukoliko se primenjuju, kosa gvožña moraju biti

postavljena na razmaku ne većem od 30cm ili 50% statičke visine preseka.

Kada se deo oslonačke armature preseka spojenog sa pločom smešta u ploču, uzengijama

je, oblikovanjem, potrebno obuhvatiti kompletnu podužnu armaturu, kako je prikazano na

Sl. 102. Ovakvo oblikovanje uzengija može biti opravdano i kada je njima potrebno primiti

momente savijanja u ploči, upravno na pravac pružanje grede (na primer kod rebrastih


91

tavanica). Kod razuñenih poprečnih preseka (T, I), formiraju se, u istom preseku, posebne

uzengije rebra i flanši. Uzengije flanši mogu biti zatvorene ili se sidriti u rebru (Sl. 112a).

Kod ovakvih preseka, glavne napone zatezanja je neophodno kontrolisati, osim u rebru, i u

ploči (Sl. 112b).

Sl. 112. Uzengije kod razuñenih preseka

U zoni osloncaosloncaosloncaoslonca, naponi pritiska (od reakcije oslonca) normalni na pravac armature

poboljšavaju uslove sidrenja, kao i formiranje pritisnutih dijagonala.

Sl. 113. Trajektorije napona pritiska

Sl. 114. Završetak horizontalne armature vertikalnim i horizontalnim kukama

Ivične šipke donje zategnute armature moraju, slobodnim krajem, biti produžene preko

slobodnog oslonca i sidriti kukom. Sidrenje može biti u horizontalnoj ili vertikalnoj (češće)

ravni (Sl. 114). U slučaju ograničenog prostora za sidrenje, početak kuke mora biti bar 3cm

udaljen od ivice oslonca, prečnik kuke Dr se proračunava, a čelo nosača se prožima

otvorenim horizontalnim uzengijama, za prijem sila cepanja. U slučaju potrebe, izuzetno

malih raspoloživih dužina, mogu se primeniti specijalni načini sidrenja armature, poput

zavarenih ploča ili šipki upravnog pravca (Sl. 115).

Sl. 115. Sidrenje podužne armature iznad oslonca

Oslonačke zone moraju biti projektovane dovoljne širine, a locirane na način koji ne

ugrožava ivični beton (Sl. 116).


92

Sl. 116. Loše projektovan položaj/širina oslonca

Indirektno oslonjenaIndirektno oslonjenaIndirektno oslonjenaIndirektno oslonjena gredagredagredagreda treba imati glavnu armaturu sidrenu u horizontalnoj ravni, kako

bi se izbeglo poklapanje efekta cepanja betona usidrenjem šipki sa pravcem prslina glavne

grede (Sl. 117).

Sl. 117. Sidrenje glavne armature indirektno oslonjene grede

Kod armiranja kontinualnih gredakontinualnih gredakontinualnih gredakontinualnih greda moguć je izbor izmeñu racionalnijeg (manji utrošak čelika)

armiranja povijanjem šipki iz donje u gornju zonu, kada deo povijene armature, u svojim

kosim delovima, može da preuzme i funkciju obezbeñenja glavnih napona zatezanja

(diskutabilno!), i jednostavnijeg armiranja odvojenom armaturom dve zone, te pravim

šipkama (Sl. 120). U oba slučaja, naravno, usvojenim načinom armiranja pokriva se potreba

za armaturom definisana „pomerenom“ linijom zatežućih sila.

Visoke gredeVisoke gredeVisoke gredeVisoke grede sa odnosom raspona prema visini u granicama izmeñu 2 i 5, orijentaciono,

armiraju se odvojenim šipkama gornje i donje zone, te vertikalnim uzengijama, kojima treba

prihvatiti ukupne glavne napone zatezanja. Od posebnog značaja kod ovih nosača je

(analogno zidnim nosačima) dobro usidrenje šipki glavne armature i obezbeñenje nosača

horizontalnom armaturom celom dužinom grede. Glavna armatura se celim ili većim

iznosom prostire celim rasponom, u formi zatege (Sl. 118).

Za nosače sistema proste grede relativno velikih raspona, zbog uštede u utrošku materijala,

često se koriste nosači promenljive visinenosači promenljive visinenosači promenljive visinenosači promenljive visine. Osim racionalizacije oblika (visina preseka prati,

otprilike, promenu momenata savijanja), nagib ivice siluete prouzrokovan promenom

visinom se može pogodno iskoristiti u cilju obezbeñenja nagiba krovne ravni. Otud se ovakvi

nosači najčešće primenjuju kao glavni krovni nosači konstrukcija tipa industrijskih hala,

pogotovu u situacijama kada su projektovane kao montažne konstrukcije. Tada se redovno

izvode horizontalne donje ivice i nagnutih gornjih ivica, a u cilju dalje racionalizacije

poprečni preseci se projektuju T ili I-oblika (Sl. 81).


93

Sl. 118. Armiranje visokih greda: prosta i kontinualna greda

Sl. 119. Dijagrami promene potrebe za podužnom armaturom za različite A-nosače

Kako je prirast visine kod ovakvih nosača, najčešće, linearan, a prirast momenta, opet

najčešće, paraboličan, to se maksimalna potreba za armaturom ne registruje u presecima sa

maksimalnim momentom savijanja. Na Sl. 119 prikazan je primer četiri simetrične grede

pravougaonog preseka raspona 10m, opterećene sopstvenom težinom i ravnomerno

raspodeljenim linijskim opterećenjem. Varirana je visina preseka u sredini: visina preseka na

krajevima je u svim slučajevima 60cm, a središnje visine su 70, 100, 130 i 160cm. Na slici su

prikazani dijagrami potrebe za podužnom armaturom u donjoj zoni preseka. Već iz

priloženog, očigledno je položaj preseka sa maksimalno potrebnom armaturom zavisi od

nagiba gornje ivice – većim nagibima odgovaraju „kritični“ preseci bliži osloncima.

U praksi, za grubu orijentaciju, mogu se kontrolisati preseci na trećini raspona. Čak i ako

ovim nije odreñena maksimalna potreba za armaturom, razlike nisu velike.

Prilikom armiranja ovakvih elemenata, pad potrebne armature u delu izmeñu kritičnih

preseka se odražava i na pad usvojene armature – presek u sredini će imati istu količinu

armature kao i kritični preseci.


94

Sl. 120. Dva varijantna rešenja armiranja kontinualnih greda


95

3.2.3.2.3.2.3.2. STUBOVISTUBOVISTUBOVISTUBOVI31313131

Stubovi su linijski elementi značajnih vrednosti aksijalnih sila pritiska. U betonskim

konstrukcijama se javljaju kao samostalni elementi ili u sklopu okvirnih sistema. Najčešće su

vertikalnog pravca pružanja.

3.2.1.3.2.1.3.2.1.3.2.1. OBLIKOVANJE STUBOVAOBLIKOVANJE STUBOVAOBLIKOVANJE STUBOVAOBLIKOVANJE STUBOVA

U konstrukcijama su, osim za prijem i prenos aksijalnih naprezanja, zaduženi i za prihvat

momenata savijanja, koji prvenstveno potiču od horizontalnih dejstava. Imajući na umu

alternatvni karakter horizontalnih dejstava, stubovi se najčešće, presekom i armiranjem,

projektuju kao dvoosno ili jednoosno simetrični. Najčešće se primenjuje pravougaoni oblik

poprečnog preseka, kao najjednostavniji za izvoñenje32. Alternativno, primenjuju se kružni i

poligonalni oblici, a kod montažnih stubova česta je primena razuñenih oblika preseka u

cilju racionalizacije utroška mateijala (Sl. 121). Načelno, stubom se smatraju elementi kod

kojih je odnos stranica poprečnog preseka manji od 5. U suprotnom, reč je o zidovima.

Sl. 121. Poprečni preseci stubova

U pojedinim situacijama, stubovi mogu biti opterećeni i značajnim momentima savijanja

nastalim kao posledica delovanja gravitacionog opterećenja. Tada može biti opravdano

usvajanje nesimetrične dispozicije poprečnog preseka.

Minimalne dimenzije preseka stubova su, osim uslovima dobre ugradnje betona i pravilnog

konstruisanja betona, odreñeni i efektima izvijanja. Saglasno osetljivosti na uticaje izazvane

deformacijom (izvijanje) stubovi se mogu klasifikovati na kratke, kod kojih ovi efekti mogu

biti zanemareni proračunom, i vitke, kod kojih to nije slučaj. Momenti savijanja mogu biti

orijentisani u pravcu jedne od glavnih osa preseka stuba, kada je stub jednoosno savijan, ili

u pravcu koji se ne poklapa ni sa jednim od glavnih, kada je stub dvoosno, koso, savijan.

3.2.2.3.2.2.3.2.2.3.2.2. DIMENZIONISANJE KRATDIMENZIONISANJE KRATDIMENZIONISANJE KRATDIMENZIONISANJE KRATKIH STUBOVAKIH STUBOVAKIH STUBOVAKIH STUBOVA

Kratki stubovi se dimenzionišu saglasno uticajima proizašlim iz analize

elementa/konstrukcije prvog reda. Preseci su u stanju centričnog ili ekscentričnog pritiska (u

fazi malog ili velikog ekscentriciteta), a merodavna kombinacija opterećenja je, po pravilu,

ona kojom se minimiziraju aksijalne sile pritiska, a maksimiziraju momenti savijanja. Kod

stubova sa malim vrednostima momenta savijanja, parcijalni koeficijenti sigurnosti mogu

uzeti povećane vrednosti, skladno rezultujućem dilatacionom stanju. Centrično pritisnutim

stubovima će, izvesno, odgovarati maksimalne vrednosti parcijalnih koeficijenata.

Potreba za podužnom armaturom stuba je u potpunosti odreñena osnovnim proračunskim

pretpostavkama graničnog stanja nosivosti i proizilazi kao rezultat zadovoljenja uslova

31 Aseizmički aspekti projektovanja stubova su obrañeni u #9.

32 S obzirom na silu pritiska, pravougaoni presek stubova je racionalniji ovde nego kod greda.


96

ravnoteže spoljašnjih i unutrašnjih sila na nivou preseka, za poznat odnos količina armatura

uz pojedine ivice poprečnog preseka. Meñutim, kalkulacija je, za praktične potrebe, zametna

i zahteva pomoć odgovarajućih inženjerskih pomagala. U slučaju jednoosno savijanih jednoosno savijanih jednoosno savijanih jednoosno savijanih

stubovastubovastubovastubova, to su interakcioni dijagrami, kojima se daje veza izmeñu graničnih vrednosti

momenata savijanja i aksijalne sile, sa jedne strane, i potrebe za armaturom i graničnih

dilatacija, sa druge. Daju se u formi familije izo-krivih kojima se na polju Mu-Nu spajaju

tačke iste potrebe za armaturom. Paralelno, linije kojima se povezuju tačke istog dilatacinog

stanja su prave. U cilju postizanja univerzalnosti, dijagrami se daju u bezdimenzionalnom

obliku, preko bezdimenzionalnih vrednosti aksijalne sile (nu), momenta savijanja (mu) i

količine armature (µ – mehanički koeficijent armiranja):

uu

B

Nn

b d f=

⋅ ⋅,

2u

u

B

Mm

b d f=

⋅ ⋅, v a v

B b B

A

f A f

σ σµ µ= ⋅ = ⋅ . ................................... (3.16)

Sl. 122. Interakcioni dijagram za pravougaoni poprečni presek

Projektantima danas, naravno, na raspolaganju stoji i lepeza specijalizovanih softverskih

alata kojima se rešavaju problemi ovog dimenzionisanja.

Sl. 123. Koso savijan presek

Kod koso savijanih presekakoso savijanih presekakoso savijanih presekakoso savijanih preseka, rešavanje problema odreñivanja potrebne količine podužne

armature je složeniji, već utoliko što, umesto dva, podrazumeva zadovoljenje tri uslova

ravnoteže. U opštem slučaju, presek opterećen momentom savijanja čiji se pravac (napadni

pravac) ne poklapa sa nekom od glavnih osa se savija oko ose (pravac savijanja) koja se ne

poklapa niti sa nekom od glavnih osa, niti sa napadnom osom momenta. Ugao ose savijanja

(rezultujuće neutralne linije) uvek pravi otklon od napadne ose momenta ka osi manjeg


97

momenta inercije idealizovanog preseka (Sl. 123). Samo u specijalnom slučaju rotaciono

simetričnog preseka napadna osa momenta i osa savijanja se poklapaju.

Granična nosivost nekog poprečnog preseka poznatog načina armiranja i količine armature,

te saglasno opštim proračunskim pretpostavkama, može biti definisana kao maksimalni

moment savijanja nekog napadnog ugla, α, pri odreñenoj vrednosti aksijalne sile. Rezultat

može biti prikazan kao tačka u troosnom koordinatnom sistemu Mxu-Myu-Nu, gde su Mxu i

Myu projekcije graničnog momenta na glavne pravce. Variranjem napadnog ugla i aksijalne

sile formiraju se interakcione površi za predmetni presek (Sl. 124a). Geometrijski, tačke koje

sad odgovaraju jednom stanju dilatacija ili jednoj vrednosti ugla savijanja nisu više krive u

ravni, iako odstupanja, često, nisu velika (Sl. 124b).

Sl. 124. Interakciona površ i kriva koja spaja tačke istog ugla savijanja

Rešenje problema odreñivanja graničnog stanja napona i dilatacija koso savijanog preseka

podrazumeva odreñivanje rezultujućeg nagiba neutralne linije i njenog visinskog položaja

zadovoljavanje uslova ravnoteže po momentima i aksijalnim silama (Sl. 125). Reč je o

zahtevnom problemu, zbog čega je na ovaj način samo korišćenjem odgovarajućeg softvera

moguće doći do rešenja.

Sl. 125. Ravnoteža spoljašnjih i unutrašnjih sila za jedan nagib neutralne linije

U praksi se i dalje koriste približna rešenja. U tom smislu se često koristi pomoć

interakcionih dijagrama za koso savijane preseke (datih i u Prilozima Priručnika PBAB) ili se

problem koso savijanog preseka razlaže na dva problema jednoosno savijanih preseka. U

ovom drugom slučaju, PBAB zahteva i, dodatno, zadovoljenje tzv. Bresler-ovog kriterijuma

„recipročne sile“.


98

Naime, Bresler je predložio aproksimaciju interakcione površi:

0

1 1 1 1

u ux uy uN N N N= + − , ................................................................................... (3.17)

Nu granična vrednost aksijalne sile,

Nux i Nuy granične vrednost sile za jednoosno savijan presek, u dva pravca,

Nu0 granična vrednost aksijalne sile za centrično opterećen presek.

Najjednostavnije je matematičku pozadinu predloženog izraza predstaviti modifikacijom

interakcione površi, kojom se umesto veze Mx–My–N, daje veza ex–ey–1/N (Sl. 126).

Novoformirana površ je, takoñe, konveksna. Tačka granične nosivosti na zadatim

ekscentricitetima se odreñuje kao tačka sekantne ravni odreñene sa tri tačke:

tačka A (0,0,1/Nu0) - odgovara maksimalnoj

graničnoj aksijalnoj sili za centrično opterećen

presek,

tačka B (ex,0,1/Nux) - odgovara maksimalnoj

graničnoj aksijalnoj sili na ekscentricitetu ex′, pri čemu je ey = 0,

tačka C (0,ey,1/Nuy) - odgovara maksimalnoj

graničnoj aksijalnoj sili na ekscentricitetu ey′, pri čemu je ex = 0.

1/N

u0

1/N

uy

1/N

ux

A

B

DD’

C

ex

1/Nu

ey

xe

ye

Sl. 126. Bresler-ov približni postupak

Greška koja se ovom aproksimacijom čini odgovara razlici položaja tačaka D (tačka na

interakcionoj površini) i D’ (tačka na sekantnoj ravni, koju odreñuje Bresler-ov kriterijum) na

Sl. 126. Iako je, zbog konveksnosti interakcione površi, prikazani trougao izvesno unutar

interakcione površi, ovim nije obezbeñena konzervativnost postupka a priori. Treba primetiti

da tačka sekantne ravni D’ nije unutar trougla.

3.2.3.3.2.3.3.2.3.3.2.3. ARMIRANJE STUBOVAARMIRANJE STUBOVAARMIRANJE STUBOVAARMIRANJE STUBOVA

Minimalni poprečni presek podužne armature stubova je Ø12, minimalni ukupni koeficijent

armiranja za kratke stubove je 0.6%, a maksimalni 6%. Ipak, projektantima je preporučena

primena nešto većih minimalnih koeficijenata u praksi, izmeñu 0.8 i 1.0%. Kod vitkih

elemenata, minimalni procenat armiranja je funkcija vitkosti, na sledeći način33:

min 50 0.4% 0.6%µ λ= − ≥ . ....................................................................... (3.18)

Šipke podužne armature treba da budu simetrično rasporeñene, tako da im se težište

poklapa sa težištem preseka. Kod razuñenih i nesimetričnih preseka, takoñe treba težiti

ispunjenju ovog zahteva, bar približno. Broj šipki podužne armature treba da zadovolji i

uslov da se u svakom uglu preseka nañe bar jedna (Sl. 127). Maksimalno meñusobno

rastojanje podužnih šipki ne sme biti veće od 40cm, a ne-ugaone šipke podužne armature

33 Dati izraz je čest predmet kritika i teško ga je opravdati.


99

treba obuhvatiti dodatnim zatvorenim uzengijama u cilju sprečavanja njihovog lokalnog

izvijanja (Sl. 128).

Sl. 127. Minimalan broj podužnih šipki

Sl. 128. Maksimalno rastojanje podužnih šipki

Kod jako armiranih preseka poželjno je grupisanje šipki podužne armature u uglovima

preseka, jer su tamo najefikasnije (Sl. 129, desno).

Sl. 129. Uzengije razuñenih preseka i grupisanje podužne armature

Minimalni profil uzengija je Ø6, za podužnu armaturu do Ø20, odnosno Ø8, za podužne

profile veće od Ø20. Uzengije na konkavnim uglovima stuba razuñenog preseka treba

prekinuti kako bi se izbegla mogućnost izbijanja zaštitnog sloja. Umesto toga, treba

predvideti preklapanje zatvorenih ili otvorenih uzengija (Sl. 129). U cilju obezbeñenja od

lokalnog izvijanja pritisnutih šipki, razmak izmeñu uzengija stubova je ograničen na 15

prečnika najtanje šipke podužne armature, manju dimenziju presek ili 30cm (najmanja od

ove tri). Maksimalni hod spirale spiralno armiranih stubova je ograničen na 20% prečnika

betonskog jezgra, odnosno na 8cm (Sl. 130). Minimalni hod spirale je definisan opštim

pravilima za armiranje.

Sl. 130. Razmak uzengija i hod spirale

Sl. 131. Sidrenje i nastavljanje spiralne armature


100

Primena spiralno armiranih stubova je, Pravilnikom, ograničena na centrično pritisnute

stubove vitkosti ne veće od 50, kružnog ili mnogougaonog poprečnog preseka prečnika ne

manjeg od 20cm. Spiralna armatura se završava punim krugom u ravni poprečnog preseka,

sidrenjem unutar mase betonskog preseka u minimalnoj dužini od 30Ø bez kuke.

Nastavljanje se sprovodi na dužini ne manjoj od 30Ø uz dodatno sidrenje krajeva bez kuka,

za dužinu ne manju od 20Ø (Sl. 131).

3.2.4.3.2.4.3.2.4.3.2.4. VITKI STUBOVIVITKI STUBOVIVITKI STUBOVIVITKI STUBOVI34343434

Uticaji na krajevima stuba, aksijalne sile i momenti ili, ekscentrična aksijalna sila (na

ekscentricitetu e = Mu/Nu35, izazivaju deformaciju (ugib) stuba. Ovim ugibom, ekscentricitet

aksijalne sile se povećava, a samim tim i momenat savijanja i, skladno, količina potrebne

podužne armature. Budući da su stubovi opterećeni značajnim aksijalnim silama, prirast

momenta izazvan ugibom može biti značajan, a njegovo zanemarenje može za posledicu

imati značajan podbačaj u količini armature. Problem je utoliko izraženiji ukoliko je stub

manjih dimenzija poprečnog preseka (vitkiji), te ukoliko je aksijalna sila veća, a prirast

ugiba/momenta sa aksijalnom silom je nelinearan (Sl. 132). Očigledno, moguće su situacije u

kojima razmatranje ravnotežnog stanja nedeformisanog stuba nije zadovoljavajuće tačnosti,

nego je od interesa analizirati ravnotežno stanje deformisanog elementa, saglasno teoriji

drugog reda (teorija velikih deformacija).

Pri tome, stub je armiranobetonski, što njegovo ponašanje čini i materijalno nelinearnim.

Simultano obuhvatanje dve nelinearnosti (prethodna je bila geometrijska) je, i na nivou

izdvojenog stuba, računski zametno, zbog čega se u praksi koriste pojednostavljene

metode, zasnovane na modifikovanim uticajima prvog reda (proisteklim iz analize

konstrukcije).

Sl. 132. Prirast ugiba sa porastom aksijalnog ekscentričnog opterećenja

Prema teoriji elastične stabilnosti, kritična sila Pc (Euler-ova kritična sila), pod kojom dolazi

do neograničeno velikog deformisanja (Sl. 132) aksijalno opterećenog elementa (do gubitka

stabilnosti), se izračunava u funkciji savojne krutosti (EI) i dužine izvijanja stuba (li):

2

2ci

EIP

l

π= , il k l= ⋅ , .................................................................................... (3.19)

34 Na ovom mestu, stub se smatra zasebnim elementom ili izdvojenim iz konstrukcije.

35 S obzirom da se razmatra granično stanje nosivosti, uticaji su dati u graničnom obliku (indeks – u).


101

gde se pod dužinom izvijanja razmak nultih tačaka momenta drugog reda ili, tačaka

infleksije. Dužina izvijanja je osnovni parametar – mera – osetljivosti elementa na efekte

izvijanja. Za aksijalno opterećene stubove sa nepomerljivim krajevima, faktor efektivne

dužine k nalazi se u granicama od 0.5 1.0k≤ ≤ (Sl. 133), dok je u slučaju stubova sa

pomerljivim krajevima njegova vrednost veća jednaka 1.0 (Sl. 134).

Sl. 133. Koeficijenti dužine izvijanja stubova sa horizontalno nepomerljivim krajevima

Sl. 134. Koeficijenti dužine izvijanja stubova sa horizontalno pomerljivim krajevima

Maksimalne poprečne deformacije ose stuba i maksimalni prirast momenta savijanja usled

uticaja normalnih sila najveći su u srednjoj trećini dužine izvijanja, te je ovo oblast stuba

koja može biti merodavna za kontrolu granične nosivosti preseka.

Uopšteno gledano, ako na neki način može da se proceni dužina izvijanja stuba36 dalji

proračun se može sprovesti na izdvojenom zglobno vezanom zamenjujućem stubu dužine li.

U bezdimenzionalnom obliku, dužina izvijanja relativizovana radijusom inercije daje

parametar vitkost stuba:

ii

l Al

i Iλ = = ⋅ . ............................................................................................ (3.20)

Kod armiranobetonskih konstrukcija stubovi su, u opštem slučaju, sastavni deo podužnih i

poprečnih okvira (ne figurišu kao samostalni elementi). Uslovi oslanjanja, a samim tim i

deformacije, u dva ortogonalna pravca su različiti. Pored ovoga, na veličinu i oblik

deformacione linije bitno utiče krutost greda (Sl. 135) i njena promena po dužini izazvana

pojavom prslina duž AB elementa. Ovo čini problem odreñivanja dužine izvijanja kod

stubova armiranobetonskih konstrukcija izuzetno kompleksnim, i samo približno rešivim.

36 U opštem slučaju, stubovi u konstrukcijama su na krajevima elastično uklješteni i različitog stepena

pomerljivosti, a prikazani Euler-ovi slučajevi, su neka vrsta idealizacije. Dodatno, stalno je prisutan i

problem obuhvatanja efekata prslina kroz redukciju savojne krutosti.


102

Sl. 135. Uticaj krutosti greda na dužinu izvijanja stubova u okvirnoj konstrukciji

U praksi je uobičajeno odreñivanje dužine izvijanja stubova saglasno nomogramima za

odreñivanje efektivne dužine stuba (Sl. 136) ili odgovarajućim izrazima kojima se koeficijent

dužine izvijanja stavlja analitički u funkciju stepena uklještenja krajeva stuba. Za uklješten

kraj stuba (vezan za beskonačno krutu gredu) biće k=0, dok će za zglobno vezan kraj stuba

koeficijent k težiti beskonačno velikoj vrednosti. Sa odreñenim koeficijentima k, iz

nomograma se očitava faktor efektivne dužine stuba. Vrednost k - koeficijenta treba

minimalno uzeti kao 0.4, jer se u protivnom dobijaju potcenjene vrednosti dužine izvijanja.

Takoñe, bez obzira na rezultat, ne preporučuje se usvajanje koeficijenta efektivne dužine

manjeg od 0.85.

Sl. 136. Nomogrami za odreñivanje efektivne dužine stuba: a) nepomerljivi; b) pomerljivi krajevi stuba

Sl. 137. Odreñivanje k – koeficijenata krajeva stuba S2


103

Očigledno je da stepen uklještenja kraja stuba zavisi i od načina oslanjanja suprotnih krajeva

greda kruto vezanih u posmatranom čvoru. Tako konzolna greda neće uopšte doprinositi

povećanju stepena uklještenja stuba, te njenu krutost ne treba uračunavati u sumu krutosti

greda. Greda koja je na suprotnom kraju zglobno vezana smanjuje stepen uklještenja stuba,

zbog čega, prilikom sračunavanja krutosti greda, njenu krutost treba redukovati. Evrokodom

je predložena redukcija krutosti za 50% preko faktora redukcije α (Sl. 137):

( )

( )/

/C C C

B B B

E I lk

E I lα=

⋅∑∑

. ................................................................................... (1.21)

Granična nosivost stuba opterećenog aksijalnom silom pritiska na ekscentricitetu e, za

različite vrednosti vitkosti stuba prikazana je na Sl. 138.

Sl. 138. Uticaj vitkosti na graničnu nosivost stuba i vrsta sloma u funkciji vitkosti

Spoljašnja, interakciona kriva odgovara maksimalnoj nosivosti poprečnog preseka u smislu

momenta savijanja za odreñi nivo aksijalnog naprezanja i za poznatu količinu armature u

preseku. Prava linija odgovara teorijskoj nultoj vitkosti stuba. Uticaji drugog reda ne postoje,

a nosivost preseka je uslovljena proračunom koji uvažava materijalnu nelinearnost37. Sa

porastom vitkosti, povećavaju se i uticaji drugog reda. Za niske vitkosti, deformacija štapa

ima zanemarljiv uticaj na njegovu graničnu nosivost, koja se dostiže iscrpljenjem nosivosti

kritičnog poprečnog preseka. Sa povećanjem vitkosti (λ2) raste i uticaj efekata drugog reda,

no granična nosivost je još uvek uslovljena nosivošću kritičnog preseka. Za stubove velikih

vitkosti (λ3), prirast momenta spoljašnjeg savijanja je brži nego što je to presek u stanju da

prati prirastom unutrašnjeg momenta savijanja. Granična ravnoteža je dostignuta pre

iscrpljenja nosivosti preseka, gubitkom stabilnosti.

Saglasno ovome postavljaju se i kriterijumi kojima se stubovi klasifikuju na kratke i vitke (Sl.

139). Prema Pravilniku, kratkima se smatraju oni stubovi kod kojih je zadovoljeno:

01

0225 2 M

Mλ ≤ ⋅ −

, ................................................................................ (3.22)

37 Dimenzionisanjem preseka saglasno graničnoj nosivosti uvažena je materijalna nelinearnost, preko

nelinearnih komponentnih zavisnosti napona i betona.


104

Momenti na krajevima stuba, M01 i M02, daju pozitivan odnos ukoliko zatežu istu stranu

stuba. Po apsolutnoj vrednosti, M02 je veći od M01, a ukoliko je stub centrično opterećen, ovaj

odnos se usvaja jednakim jedinici. Ovim čak i stub vitkosti 75, u situaciji najpovoljnije

distribucije momenta savijanja, može biti tretiran kao kratak.

Osim ovoga, stub se smatra kratkim i u situacijama kada je dominantno savijan. Pravilnik

ovo definiše sledećim uslovima, preko odnosa ekscentriciteta aksijalne sile i odgovarajuće

dužine stranice preseka (visine):

1

1

/ 3.5 za 75

/ 3.5 / 75 za 75

e d

e d

λλ λ

≥ ≤≥ ⋅ ≥

. ......................................................................... (3.23)

Sl. 139. Klasifikacija stubova

Momentima savijanja prvog reda, za nepromenljivu aksijalnu silu, odgovara ekscentricitet

aksijalne sile prvog reda, e1. Načelno, reč je o odnosu momenta savijanja i aksijalne sile. No,

kako je, u opštem slučaju, moment savijanja promenljiv po dužini stuba, ovaj ekscentricitet

se računa na bazi ekvivalentnog momenta savijanja prvog reda (Okvir 4):

1 02 01 02, 01,/ 0.65 0.35 , 0.65 0.35u u u u ue M N e e M M M= = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ,. ............... (3.24)

Ukoliko stub ne može biti klasifikovan kao kratak, stub je vitak i dodatna analiza kojom se

procenjuju dodatni uticaji (momenti savijanja) izazvani izvijanjem mora biti sprovedena.

Ovom analizom se razmatraju svi fenomeni koji mogu bitno da opredele ponašanje stuba

osetljivog na deformaciju. Osim efekata drugog reda, to su još i efekti geometrijskih

netačnosti (imperfekcija), kao i reološki efekti.

Okvir 4Okvir 4Okvir 4Okvir 4 Ekvivalentni ekscentricitet prvog redaEkvivalentni ekscentricitet prvog redaEkvivalentni ekscentricitet prvog redaEkvivalentni ekscentricitet prvog reda

Slično, i prema Evrokodu se odreñuje ekvivalentni ekscentricitet prvog reda:

1 02, 01,/ , 0.6 0.4u u u u ue M N M M M= = ⋅ + ⋅ .

Dijagramom je prikazana razlika, no treba imati na umu i da, saglasno Evrokodu, ovaj

ekscentricite ne može biti usvojen manjim od 40% ekscentriciteta e02.


105

3.2.4.1.3.2.4.1.3.2.4.1.3.2.4.1. Ukupni ekscentricitetUkupni ekscentricitetUkupni ekscentricitetUkupni ekscentricitet

Najpogodnije je problem analizirati preko ekscentriciteta aksijalne sile, kako je to već

učinjeno za ekscentricitet prvog reda. Tako, ukupni (totalni) ekscentricitet aksijalne sile,

nakon deformacije stuba, može biti prikazan kao zbir sledećih pojedinačnih ekscentriciteta

(Sl. 140): ekscentricitet prvog reda, e0, ekscentricitet usled geometrijskih imperfekcija

(slučajni), ea, ekscentricitet usled tečenja, eφ, i ekscentricitet drugog reda, e2:

0 2 2tot a Ie e e e e e eφ= + + + = + . ....................................................................... (3.25)

Sl. 140. Parcijalni ekscentriciteti i ukupni ekscentricitet

Prva tri imaju „karakter“ ekscentriciteta prvog reda, zbog čega su i grupisana u vidu

ekscentriciteta eI. Ekscentricitetom usled netačnosti pri izvoñenju obuhvataju se

dimenzionalne netačnosti i nepouzdanosti položaja i pravca delovanja aksijalnih sila. Domaći

propisi ga definišu kao (Sl. 141a):

02 cm / 300 10 cmae l< = < , ........................................................................ (3.26)

ili preko dodatnog nagiba38 (Sl. 141b):

1/150 za jednospratne okvire

1/ 200 za visespratne okviretgα =

. .......................................................... (3.27)

Sl. 141. Računska imperfekcija

Tečenje betona kod pritisnutih vitkih armiranobetonskih stubova izaziva povećanje ugiba, a

samim tim i smanjenje njihove nosivosti. Tačan proračun ovih efekata podrazumeva

upotrebu složenog matematičkog aparata (isprskao presek, nelinearan zakon tečenja,

redistribucija naprezanja beton-čelik i dr.). Zbog toga se može smatrati opravdanim

korišćenje približnih metoda proračuna, kao i postavljanje odgovarajućih kriterijuma kada

uticaj tečenja betona nije neophodno obuhvatiti proračunom. Zbog jednostavnosti primene,

analiza uticaja efekata tečenja betona se izdvaja posebno prilikom dokaza granične nosivosti

38 Za horizontalno pomerljive konstrukcije.


106

vitkog armiranobetonskog stuba. Efekti tečenja se u proračun uvode putem procene

ekscentriciteta usled tečenja39.

Prema PBAB87, efekti tečenja mogu biti zanemareni proračunom ako je ispunjen bar jedan

od sledeća tri uslova:

50λ < , 0 / 2e d > ili 0.2g qN N≤ ⋅ , ............................................................... (3.28)

gde su Ng i Nq eksploatacione vrednosti aksijalne sile pritiska usled stalnog i usled ukupnog

opterećenja. Ukoliko ni jedan od uslova nije ispunjen, efekti tečenja se uvode preko

dodatnog ekscentriciteta njime izazvanog:

( ) 10 e 1

E

Eg ae e e

αα

ϕ−

= + ⋅ −

, g

EE

N

Nα = ,

2

20

b bE

E IN

l

π= . ................................... (3.29)

NE je Euler-ova sila izvijanja za stub krutosti preseka EbIb i dužine izvijanja l0.

Konačno, ekscentricitet drugog reda je faktor koji primarno razlikuje metode proračuna

efekata vitkosti, a nekoliko postupaka je prikazano u nastavku.

Sa odreñenim parcijalnim i ukupnim ekscentricitetom, kritični presek stuba se dimenzioniše

prema aksijalnoj sili i uvećanom momentu savijanja, recimo Mu2, koji odgovara ukupnom

ekscentricitetu etot (moment savijanja I reda Mu odgovara ekscentricitetu I reda e0 < etot).

No, kako god odreñeni uvećani momenti bili, stub uvek treba proveriti i u presecima koji se

nalaze izvan dužine izvijanja. Naime, može se dogoditi da uticaji prvog reda na krajevima

nepomerljivog stuba (linearno promenljivi momenti po dužini stuba imaju maksimalne

vrednosti baš na krajevima) rezultuju većom potrebnom količinom armature nego preseci u

kritičnoj zoni dužine izvijanja.

3.2.4.2.3.2.4.2.3.2.4.2.3.2.4.2. Postupak dopunske ekscentričnostiPostupak dopunske ekscentričnostiPostupak dopunske ekscentričnostiPostupak dopunske ekscentričnosti

Domaćim Pravilnikom, za stubove u rasponu vitkosti izmeñu 25 i 75 (područje umereno

vitkih stubova, Sl. 139) dozvoljena je primena približnog postupka dopunske

ekscentričnosti40. Postupak bazira na izračunavanju ukupnog, uvećanog, ekscentriciteta

aksijalne sile kao zbira parcijalnih (3.25), tena gruboj proceni samog ekscentriciteta drugog

reda, e2, u funkciji vitkosti i ekscentriciteta prvog reda, e0, na sledeći način (Sl. 142):

Sl. 142. Zavisnost ekscentriciteta drugog reda od ekscentriciteta prvog reda

39 U praksi se, osim ovog, primenjuju i postupci kojima se modifikuje veza izmeñu napona i dilatacija u

betonu za dugotrajna opterećenja, kao i postupci kojima se redukuju krutosti AB elemenata (tečenje).

40 Ovim postupkom dozvoljeno je proračunavati i stubove pomerljivih konstrukcija.


107

0 02

250.1 , kada je 0 0.30

100

e ee d

d d

λ −= ⋅ ⋅ + ≤ ≤ , ....................................... (3.30)

02

25 , kada je 0.30 2.50

160

ee d

d

λ −= ⋅ ≤ ≤ , .................................................. (3.31)

0 02

253.5 , kada je 2.50< 3.50

160

e ee d

d d

λ − = ⋅ ⋅ − <

. .................................. (3.32)

3.2.4.3.3.2.4.3.3.2.4.3.3.2.4.3. Veza MVeza MVeza MVeza M----NNNN----κκκκ i mi mi mi modelodelodelodel----stub metodstub metodstub metodstub metod

Prethodni postupak, iako jednostavan za primenu, ne može biti primenjen kod stubova

vitkosti veće od 75 (na stranu činjenica da je ekscentricitet drugog reda njime vrlo grubo

procenjen). Za stubove veće vitkosti moraju biti primenjeni složeniji postupci, koji se

odlikuju većom tačnošću. Naravno, kao tačniji, ovi postupci mogu biti primenjeni i u polju

umereno vitkih stubova. Jedan od najpogodnijih (najmanje nepogodnih) za praktičnu

primenu je postupak model-stub. Kao osnovu, ovaj metod koristi poznatu vezu na nivou

preseka izmeñu momenta savijanja, aksijalne sile i njegove krivine, tzv MMMM----NNNN----κ vezuκ vezuκ vezuκ vezu, koju je

pogodno predstavljati u obliku M(κ), za različite vrednosti N. Pri tome, krivina preseka se

definiše kao (h je statička visina):

b a

h

ε εκ += . ................................................................................................. (3.33)

Za praksu je (zato što postaje nezavisan od kvaliteta betona i odnosa stranica pravougaonog

preseka) pogodniji bezdimenzionalni oblik M-N-κ veze, odnosno m-n-k veza, gde su m, n i

k bezdimenzionalne vrednosti momenta savijanja, normalne sile i krivine preseka:

3 , , 10u u

b b b b

M Nm n k hA df A f= = = κ⋅ ⋅ ................................................ (3.34)

Za uspostavljanje ove veze uvode se pretpostavke proračuna prema graničnom stanju loma,

s tim što se, prema PBAB87, dilatacije zategnute armature iz praktičnih razloga (Error! RefeError! RefeError! RefeError! Refer-r-r-r-

ence source not found.ence source not found.ence source not found.ence source not found.) ograničavaju na veličinu blisku pragu velikih izduženja čelika:

max va

aEσε = . ............................................................................................ (3.35)

Sl. 143. Spoljašnje i unutrašnje sile preseka pri krivini κi

Za presek poznatih karakteristika i za poznatu vrednost spoljašnje granične normalne sile Nu

moguće je odrediti maksimalnu nosivost preseka na savijanje (maxMu) i odgovarajuću

maksimalnu krivinu (maxκ). Svakoj krivini κi (u intervalu od 0 do maxκ), na osnovu uslova

ravnoteže spoljašnjih i unutrašnjih sila, odgovara jedinstveno stanje dilatacija (εai i εbi), a

time i moment unutrašnjih sila Mri, pri kojem ostaje očuvana ravnoteža spoljašnjih i

unutrašnjih sila (Sl. 143). Njemu mora da bude jednak spoljašnji moment savijanja Mu, čime


108

je definisana veličina spoljašnjeg momenta koji će, uz datu silu Nu, da izazove

pretpostavljenu krivinu:

ui riM M= ...................................................................................................... (3.36)

Ilustracije radi, prikazan je oblik m–n–k veze sračunate prema odredbama domaćih propisa

(Sl. 144a) i prema odredbama Evrokoda (Sl. 144b) za nivo aksijalnog opterećenja definisan

bezdimenzionalnom normalnom silom -0.30, uz pretpostavku korišćenja čelika RA400/500,

te za različite koeficijente armiranja preseka. Posmatrajući ovu drugu (za koju nije

primenjena pretpostavka ograničenja dilatacije zategnute armature), očigledno je da kriva

koja predstavlja ovu vezu ima dva loma. Oba odgovaraju lomu bilinearnog radnog dijagrama

čelika za armiranje. Prvi lom se javlja kada dilatacija gornje (pritisnute) armature dostigne

dilataciju na granici razvlačenja, a drugi kada se to dogodi sa dilatacijom donje (zategnute)

armature.

Sl. 144. Veze m-n-k

Kako je prema odredbama PBAB'87 dilatacija zatezanja ograničena baš na vrednost koja

odgovara granici razvlačenja, to je treći deo m–n–k veze, u slučaju domaćih propisa,

izostavljen. No, svakako, treba primetiti da je prirast momenta savijanja posle ove granice

minimalan što odgovara i ranije iznešenoj konstataciji.

Okvir 5Okvir 5Okvir 5Okvir 5 Ograničenje dilatacije zategnutOgraničenje dilatacije zategnutOgraničenje dilatacije zategnutOgraničenje dilatacije zategnute armaturee armaturee armaturee armature

Posledica ove pretpostavke je opravdanost upotrebe maksimalnih koeficijenata

sigurnosti, prilikom proračuna prema PBAB, iako samoj granici razvlačenja odgovaraju

nešto veće vrednosti.

Iako se uvedenom pretpostavkom maksimalna moguća krivina, k, drastično redukuje

sa 13.5 (10+3.5) promila na, za rebrasti čelik, na primer, 5.5 (2+3.5), posledice nisu

drastične. Najbolje je ovo ilustrovano narednim dijagramom gde su predstavljene

interakcione krive koje odgovaraju pojedinim vrednostima krivina.

Očigledno je da je već interakcionom linijom za krivinu (bezdimenzionalnu) od 5.5,

praktično, „pokrivena“ kompletna granična nosivost preseka.


109

Sa stanovišta teorije konstrukcija, kod analize pritisnutog vitkog stuba potrebno je rešiti

stanje unutrašnjih sila i deformacija elementa, problem koji je zbog uticaja normalnih sila na

stanje momenata savijanja geometrijski nelinearan, a zbog nelinearnih deformacija preseka

pri datim spoljnim opterećenjima još i materijalno nelinearan. Posmatrajmo konzolu sa Sl.

145.

Da bi se odredilo pomeranje vrha konzole opterećene horizontalnom silom H u vrhu, kod

koje, zbog materijalne nelinearnosti, spoljašnjim linearno promenljivim momentima savijanja

odgovara nelinearna raspodela krivina preseka, treba rešiti iz Teorije konstrukcija poznati

integral:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

/l l

a M x M x EI x dx M x x dx= = κ∫ ∫ .............................................. (3.37)

Ako se zna zakon promene krivine preseka u funkciji veličine momenta savijanja, veličine

normalne sile pritiska, količine i rasporeda armature u preseku date geometrije (m-n-k

veza), onda se pomeranje može sračunati korišćenjem Mohr-ove analogije ili numeričkom

integracijom. Ako je stub visok i pritisnut, tada se proračun u principu sprovodi iterativno,

jer svakom novosračunatom stanju pomeranja odgovara novo stanje momenata savijanja.

Ako proračun deformacija i sila ne konvergira - pomeranja usled normalnih sila rastu brže

od prirasta nosivosti preseka pri povećanju krivina - lom usled gubitka stabilnosti.

Sl. 145. Pomeranje vrha konzole – materijalna nelinearnost

Umesto ovakvog, egzaktnog, rešenja, može se iskoristiti iskustvo teorije elastične stabilnosti

kojim se oblik deformisane ose stuba može dovoljno tačno aproksimirati sinusnim zakonom.

Ovo je pretpostavka modelmodelmodelmodel----stub postupkastub postupkastub postupkastub postupka.

Model–stub je, dakle, konzolni stub za koji se pretpostavlja da je usled uticaja prvog i

drugog reda pretrpeo deformaciju u obliku sinusnog polutalasa. Najveći moment savijanja

prvog i drugog reda (stub je poprečno neopterećen izmeñu krajeva) se javlja u preseku u

uklještenju. Uz opravdano zaokruženje π2~10, pomeranje vrha stuba može da se izrazi u

funkciji, za sada nepoznate, krivine preseka u uklještenju (κ0):

2 22 0 0 0 00.4 0.1 , 2e l l l l= ⋅ κ ⋅ = ⋅ κ ⋅ = ............................................................. (3.38)

Ranije je (3.25) ukupni ekscentricitet definisan kao zbir početnog ekscentriciteta eI i

ekscentriciteta drugog reda e2:

21 2 1 0 00.1tote e e e l= + = + ⋅ κ ⋅ ........................................................................... (3.39)

ili, u bezdimenzionalnom obliku:

2 2

0 01 10 00.1 0.1tote l le e d

d kd d d d d a d

= + ⋅ κ ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⋅ − .................................... (3.40)


110

gde je: k0 – bezdimenzionalna krivina preseka u uklještenju, d – visina poprečnog preseka

stuba, a h=d-a – statička visina preseka stuba. U nastavku će bezdimenzionalni

ekscentriciteti biti obeležavani oznakama koje su korišćene za stvarne ekscentricitete:

2 12 1 , , tot

tot

e e ee e e

d d d→ → →

Na dijagramu etot-k0, linija promene ukupnog ekscentriciteta je prava i raste sa porastom

promenljive krivine. Podelimo li sada bezdimenzionalnu m–n–k vezu bezdimenzionalnom

normalnom silom n, svešćemo M–N–κ vezu na isti oblik bezdimenzionalnosti:

( )0

m M ef k

n N d d= = =

⋅ ................................................................................. (3.41)

Sada prava (3.40) daje zakon promene spoljašnjeg opterećenja za presek u uklještenju u

funkciji krivine tog preseka, dok kriva (3.41) daje zakon promene unutrašnjih sila poprečnog

preseka (Sl. 146). Pod uticajem spoljašnjeg opterećenja krivina u kritičnom preseku se

povećava dok ne bude zadovoljena ravnoteža spoljašnjih i unutrašnjih sila. Razvoj

deformacija će se zaustaviti na onoj vrednosti krivine k0’ koja odgovara jednakom

ekscentricitetu spoljašnje i unutrašnje aksijalne sile (jednakost momenata savijanja). Na Sl.

146 to je prikazano presekom krive unutrašnjeg i prave spoljašnjeg opterećenja.

Sl. 146. Presek linije spoljašnjeg i unutrašnjeg ekscentriciteta

Sl. 147. Slučaj koji odgovara gubitku stabilnosti, odnosno minimalnoj potrebnoj količini armature

Ukoliko kriva unutrašnjeg ekscentriciteta sve vreme ostaje ispod prave spoljašnjeg

ekscentriciteta (Sl. 147a), ne može doći do uravnoteženja spoljašnjeg i unutrašnjeg momenta

savijanja, te ovakav slučaj odgovara gubitku stabilnosti konstrukcije. Granični slučaj

odgovara situaciji u kojoj prava spoljašnjeg ekscentriciteta tangira krivu unutrašnjeg

ekscentriciteta (Sl. 147b). Ovim slučajem je definisan minimalni koeficijent armiranja

preseka, tj. potrebna količina armature u preseku. Ovo znači da bi iterativnim postupkom po

količini armature mogao da se reši problem dimenzionisanja stuba, a ne samo kontrole

usvojene armature.

Za druge tipove nepomerljivih stubova (stubovi koji nisu konzole) bez poprečnog

opterećenja, za "model-stub" se može usvojiti polovina "zglobno" vezanog dela stuba (deo


111

stuba izmeñu tačaka infleksije) - konzola - čija je visina jednaka polovini dužine izvijanja (Sl.

148). Primena model-stub metode je ograničena, prema PBAB87, na nepomerljive stubove sa

vitkošću manjom od 140 (maksimalna dozvoljena vitkost AB elemenata). Linearno

promenljivi moment prvog reda se mogu zameniti ekvivalentnim konstantnim momentom

duž ose stuba.

Sl. 148. Izdvajanje model–stuba

3.3.3.3.3.3.3.3. OKVIRNE KONSTRUKCIJEOKVIRNE KONSTRUKCIJEOKVIRNE KONSTRUKCIJEOKVIRNE KONSTRUKCIJE

3.3.1.3.3.1.3.3.1.3.3.1. UVODUVODUVODUVOD

Okvirni sistemi su meñu najčešće korišćenim konstruktivnim elementima kod

armiranobetonskih konstrukcija. Činjenica da je ostvarivanje monolitne veze elemenata,

kojom je omogućen prenos momenata savijanja, transverzalnih i/ili aksijalnih sila sa jednog

na drugi element, svojstveno i prirodno monolitno izvoñenim armiranobetonskim

konstrukcijama je značajno uticala na ovo. Okviri se najčešće primenjuju u konstrukcijama

zgrada i hala, ali i u praktično svim drugim vrstama armiranobetonskih konstrukcija.

Okvir (prost okvir) je element koji čine dva stuba povezana gredom na način da je izmeñu

elemenata ostvarena kruta, monolitna, veza. Različite dispozicije prostih okvira sa

vertikalnim ili kosim stubovima, horizontalnim ili nagnutim, pravolinijskim ili poligonalnim

gredama... prikazane su na Sl. 149.

Sl. 149. Karakteristični primeri okvirnih sistema

Sl. 150. Okvirno dejstvo


112

Zahvaljujući krutim vezama grede i stuba, te nepomerljivim osloncima, postiže se, takozvano

okvirno dejstvo: pod dejstvom vertikalnog opterećenja sa grede se, na stub, prenose i

momenti savijanja, što za posledicu ima manje apsolutne vrednosti momenata savijanja u

gredi (Sl. 150). Dalje, greda prima i odreñenu aksijalnu silu, čime je, takoñe, u povoljnijem

položaju od odgovarajuće proste grede. Sa druge strane, stubovi su sada izloženi i savijanju,

zbog čega moraju biti krući.

U statičkom smislu okviri mogu biti statički odreñeni ili neodreñeni, a osnovni tipovi su okvir

na tri zgloba, okvir na dva zgloba i uklješteni okvir (Sl. 151). Sa stanovišta konstruktivne

racionalnosti prednost je na strani uklještenih okvira, budući da se njima obezbeñuje

minimalan utrošak materijala. Opet uslovi fundiranja ili karakteristike tla, ali i neki drugi

faktori, mogu usloviti primenu dvozglobnih ili statički odreñenih, trozglobnih, sistema. Ovo

poslednje je slučaj kod konstrukcija fundiranih na tlu lošijih karakteristika ili kod okvira

izloženih velikim temperaturnim opterećenjima, kada je potrebno neutralisati utucaje

izazvane, na primer, neravnomernim sleganjem oslonaca.

Sl. 151. Statički sistemi prostih okvira

Očigledno, horizontalna nepomerljivost oslonaca je uslov okvirnog dejstva. Postiže se

konstruisanjem temelja u koje su stubovi uklješteni ili s njima zglobno nepomerljivo vezani.

Na temelje se time prenosi, osime vertikalne, horizontalna sila i, eventualno, moment

savijanja. Nepomerljivost temelja (Sl. 152) se obezbeñuje trenjem preko kontaktne površine

temelja i tla, za manja, ili povezivanjem temelja zategom, za veća horizontalna opterećenja

(sada se zategom primaju horizontalne komponente, a na tlo se prenosi samo vertikalna

reakcija).

Sl. 152. Nepomerljivost oslonava

Sl. 153. Brodovi i spratovi okvira

Složeni okvirni sistemi (takoñe ih zovemo okvirima) se formiraju povećanjem broja etaža i/ili

brodova (polja), „razigravanjem“ dispozicije (Sl. 155a) ali i umetanjem zglobova. Tako,


113

zavisno od broja polja i broja etaža, okviri mogu biti jednobrodni ili višebrodni, jednospratni

ili višespratni (Sl. 153), a u funkciji načina oslanjanja i veze sa temeljima, kao i meñusobne

veze pojedinih okvira, mogu biti sa krutim, sa zglobnim vezama ili kombinovani (Sl. 154).

Sl. 154. Zglobovi u okvirnim sistemima

Sl. 155. Karakteristični primeri okvira kod industrijskih hala

Kao specijalan slučaj ravanskih okvirnih sistema mogu se javiti i zatvoreni okviri, prikazani

na Sl. 156.

Sl. 156. Zatvoreni okvirni sistemi

Mogu biti formirani od linijskih elemenata ili, što je češći slučaj, mogu se delovi konstrukcija

formiranih od površinskih elemenata statički tretirati kao zatvoren okvir. To je često slučaj

kod analize konstrukcija silosa, tunela, cevi, podzemnih prolaza... (Sl. 157). Ovakve, najčešće

prizmatično oblikovane, konstrukcije velike dužine u odnosu na dimenzije preseka

dozvoljavaju izdvajanje preseka jedinične dužine forme zatvorenog okvira.

Sl. 157. Izdvajanje zatvorenih okvira iz površinskih konstrukcija

Okvir, načelno, prenosi opterećenje u svojoj ravni. Prostorni rad, mogućnost prijema

opterećenja proizvoljnog pravca, postiže se formiranjem prostornih okvira.

Sl. 158. Prostorne ramovske konstrukcije


114

Ovo se najčešće čini povezivanjem stubova gredama u dva ortogonalna pravca, ali raspored

stubova može usloviti i ramove drugačijih dispozicija (Sl. 158).

Iako danas primena softvera za strukturalnu analizu obezbeñuje brz proračun uticaja u

prostornim okvirima, za grubu kontrolu ili za orijentaciju, pogodno je prostorne okvire svesti

na pojedinačne ravanske.

Na Sl. 159 je prikazana prostorna okvirna jednospratna konstrukcija karakteristična za

industrijske hale, a označavanjem podužnih i poprečnih okvira je asocirana ravanska

dekompozicija prostornog sistema.

Sl. 159. Jednospratni prostorni okvir industrijske hale

Ekonomičnost jednospratnih ramovskih konstrukcija izvedenih u armiranom betonu ide do

raspona od oko 25m. Stubovi se najčešće projektuju pravougaonog preseka, a relativno

retko (montažne konstrukcije) se projektuju razuñenih oblika preseka. Gredni elementi se

konstruišu pravougaonog preseka za manje raspona, odnosno T ili I oblika preseka, za veće.

Višespratne okvirne konstrukcije se najviše primenjuju u konstrukcijama različitih vrsta

zgrada i formiraju se, načelno, „reñanjem“ jednospratnih okvira jedan na drugi, njihovim

zglobnim ili krutim povezivanjem u prostornu konstrukciju. Uobičajeni rasponi u

konstrukcijama zgradarstva se kreću u granicama 4 do 10m, a veze elemenata, zbog

monolitnog načina izvoñenja, su najčešće krute.

3.3.2.3.3.2.3.3.2.3.3.2. PRORAČUN I DIMENZIONPRORAČUN I DIMENZIONPRORAČUN I DIMENZIONPRORAČUN I DIMENZIONISANJE OKVIRAISANJE OKVIRAISANJE OKVIRAISANJE OKVIRA

Proračun uticaja u elementima okvirnih konstrukcija se sprovodi uobičajenim metodama

teorije elastičnosti. Za novije vreme je karakteristična primena softverskih alata, te prostorno

modeliranje ramovskih konstrukcija, zajedno sa površinskim elementima.

Pri formiranju proračunskog modela, za sistemske linije se usvajaju težišne linije elemenata,

a geometrijske karakteristike koje se modeliranim elementima pridružuju najčešće

odgovaraju homogenim betonskim presecima. Meñutim, izvesno je da se grede i stubovi

okvira meñusobno razlikuju u stepenu isprskalosti, a samim tim i u krutosti, te da već pri

eksploatacionom opterećenju dolazi do odreñene preraspodele uticaja u odnosu na rešenja

teorije elastičnosti. Ne samo to, deo opterećenja je aktivan i pre formiranja kompletne

konstrukcije, tečenje i skupljanje dodatno pospešuju preraspodele uticaja, a i granični uslovi

predstavljaju samo grubu idealizaciju stvarnih uslova fundiranja. Sve ovo vodi zaključku da

uticaji odreñeni primenom teorije elastičnosti mogu biti prihvaćeni samo kao približni, ali

praktično upotrebljivi.

Iako su danas (zbog razvoja računarske tehnike) od sve manjeg značaja, za grubu analizu

uticaja u pojedinim elementima, orijentacije radi, mogu poslužiti približne praktične metode.


115

Tako, za vertikalna dejstva, kruta veza stuba i grede može biti zanemarena i greda tretirana

kao kontinualna. Ivični stubovi i kraj grede mogu, uticajno, biti proračunati korišćenjem

jednostavnog modela na Sl. 160b. Tačnije rezultate obezbeñuje složeniji model na shemi Sl.

160c.

Sl. 160. Modeli približnog proračuna

Za horizontalna dejstva, raspodela uticaja je odreñena odnosom krutosti greda i stubova (Sl.

161). Grede male krutosti vode situaciji u kojoj se veći deo momenta spoljašnjih sila prihvata

uklještenjima, a manji spregom sila, i obrnuto.

Sl. 161. Uticaj odnosa krutosti greda i stubova na raspodelu momenata savijanja u stubovima

Dimenzionisanje elemenata okvira u potpunosti odgovara postupcima za dimenzionisanje

grednih elemenata i stubova. Sprovodi se prema odreñenim vrednostima uticaja (presečnih

sila). Prostorno modelirane konstrukcije se karakterišu koso savijanim stubovima.

3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3. NASTAVLJANJE ARMATUNASTAVLJANJE ARMATUNASTAVLJANJE ARMATUNASTAVLJANJE ARMATURE STUBOVARE STUBOVARE STUBOVARE STUBOVA

Na delu stuba na kome se nastavlja podužna armatura broj uzengija treba udvostručiti tako

da njihovo rastojanje ne prelazi 7.5 prečnika najtanje podužne šipke, niti 15cm (Sl. 162).

Ove uzengije treba da budu preklopljene preko kraće strane, a uloga im je prijem zatežućih

horizontalnih sila.

Sl. 162. Progušćenje uzengija stuba na mestu nastavka podužne armature


116

Nastavak armature stuba se najčešće izvodi preklapanjem, neposredno iznad meñuspratne

konstrukcije. Radi izvoñenja nastavka potrebno je predvideti ankere čija dužina iznad

meñuspratne konstrukcije odgovara dužini preklopa ili potrebnoj dužini za izvoñenje

zavarivanja (Sl. 163a). Ukoliko je stub više etaže manjih dimenzija preseka, propuštanje

donjih šipki u gornji stub je moguće samo ukoliko nagib povijanja ne prelazi 6:1 (Sl. 163b).

U suprotnom, potrebno je predvideti posebne ankere za nastavljanje armature (Sl. 163c).

Sl. 163. Nastavljanje armature stubova iznad meñuspratne konstrukcije

3.3.4.3.3.4.3.3.4.3.3.4. ČVOROVI OKVIRNIH KONČVOROVI OKVIRNIH KONČVOROVI OKVIRNIH KONČVOROVI OKVIRNIH KONSTRUKCIJASTRUKCIJASTRUKCIJASTRUKCIJA

Postizanje krute veze elemenata u okvirnim konstrukcijama je odreñeno pravilnim

proračunom i armiranjem čvorova. Potrebno je obezbediti da nosivost čvorova bude jednaka

nosivosti priključnih elemenata, a takva da do krtog loma čvora ne doñe pre nego što se u

vezanim elementima razviju plastične deformacije (plastični zglobovi). Pojedini čvorovi mogu

biti izloženi dejstvu alternativnih momenata, što ih čini predmetom detaljnije analize.

Jednostavno armiranje bez nastavaka armature u čvoru, kao i dobar kvalitet i ugradnja

betona su osnov dobrog ponašanja čvora u eksploataciji. U nastavku su zasebno razmatrani

karakteristični čvorovi okvirnih konstrukcija.

Poseban problem predstavlja analiza čvorova u situacijama kada su opterećeni cikličnom

opterećenju i rasterećenju, kao što je slučaj pri delovanju seizmičkog opterećenja. Principi za

ovo vezani su razmatrani u poglavlju koje se odnosi na aseizmičko projektovanje

višespratnih zgrada.


117

3.3.4.1.3.3.4.1.3.3.4.1.3.3.4.1. Spoj krajnjeg stuba i krajnje gredeSpoj krajnjeg stuba i krajnje gredeSpoj krajnjeg stuba i krajnje gredeSpoj krajnjeg stuba i krajnje grede

Kod ugaonih čvorova okvirnih sistema opterećenih na način da im je spoljašnja strana

zategnuta (što je slučaj, na primer, za gravitaciona opterećenja), ispitivanja su pokazala

veliku koncentraciju napona pritiska na unutrašnjoj ivici, te maksimalna zatezanja locirana

bliže neutralnoj osi nego spoljašnjoj ivici preseka (Sl. 164).

Sl. 164. Naponsko stanje u čvoru i oblikovanje čvora sa vutama

Efekat koncentracije napona pritiska je moguće značajno ublažiti konstruisanjem vuta

(pravolinijskih ili krivolinijskih, Sl. 164). Potreba za vutama ove vrste raste sa povećanjem

momenta u čvoru, te sa krutošću stuba u odnosu na gredu.

Sl. 165. Skretne sile, lokalni naponi i armiranje čvora

Zategnuta armatura se kroz čvor vodi neprekinuta i povija se po odreñenom poluprečniku. S

jedne strane, ovaj poluprečnik mora biti takav da zadovolji uslove pravilnog oblikovanja

armature. U skladu s tim, treba primetiti da bi izbor velikih profila armature moga

orezultovati poluprečnicima kojima bi nosivost čvora, zbog „spuštanja“ armature po visini

preseka, mogla biti bitno narušena. Sa druge strane, povijanje zategnute armature po luku

izaziva skretne sile, kojima armaturna šipka lokalno napreže okolni beton (Sl. 165). Zato,

poluprečnikom povijanja (veći poluprečnik – manje skretne sile – kotlovska formula) mora

biti obezbeñeno da lokalni naponi pritiska nisu prekoračeni.

Sl. 166. Proračunski model čvora - naponi cepanja u betonu izazvani skretnim silama

Na Sl. 166 je prikazan model čvora. Ovako, idealizovano, posmatrano, glavni naponi su u

pravcima dijagonala čvora, a u jezgru čvora se javlja čisto smicanje. Zatežuće sile u armaturi


118

i pritiskujuće u betonu daju dijagonalnu rezultantu 2 V⋅ , koja izaziva cepanje u upravnom

pravcu ukoliko je dostignuta zatežuća čvrstoća betona.

Sl. 167. Armiranje čvora sa obezbeñenjem od cepanja

U cilju predupreñenja formiranja dijagonalne pukotine, čvor može biti i dodatno armiran

čelikom (mrežom), u dva ili tri reda obično, za prijem sila cepanja. Radijalno postavljene

uzengije učestvuju u prenosu pritiska, ukrućuju čvor i, horizontalnim delovima, prihvataju

poprečne sile cepanja (Sl. 167).

Sl. 168. Vertikalno i horizontalno opterećen uklješteni okvir

Horizontalno opterećeni okviri, na mestu posmatranog čvora, mogu biti u situaciji, zavisno

od smera horizontalnog opterećenja, da im je unutrašnja ivica zategnuta (Sl. 168). Ukoliko je

horizontalno opterećenje velikog intenziteta, pozitivni momenti mogu da budu veći od

negativnih koji odgovaraju gravitacionom, te da ceo čvor dovedu u stanje zategnute

unutrašnje ivice. Jasno, u tim situacijama čvor će naizmenično biti zatezan na spoljašnjoj i na

unutrašnjoj strani.

Sa stanovišta analize i armiranja ovo je znatno nepovoljniji slučaj. Pojedina ispitivanja su

pokazala da je nosivost ovako opterećenog čvora može biti znatno manja od prethodnog,

kada je zategnuta spoljašnja ivica. Posebno je to slučaj (Sl. 169) kada zategnuta armatura

nije pravilno usidrena, bilo po pitanju dužine, bilo načina (ne obuhvata čvor). Već za mali

nivo opterećenja, u ovako armiranim čvorovima se formiraju prsline i stvaraju mogućnosti za

odvajanje pritisnutog dela.

Sl. 169. Zategnuta unutrašnja strana čvora


119

Bolju nosivost je moguće obezbediti upravo dovoljnim dužinama sidrenja zategnute

armature i njenim povijanjem na način da uteže čvor. U tom smislu, korišćenje armaturnih

petlji (Sl. 170a) je idealno, ali je, zbog poluprečnika povijanja, ograničeno na manje

armaturne profile. Sličan efekat obezbeñuje i način armiranja dat na Sl. 170b.

Sl. 170. Pravilno armiranje čvora sa pozitivnim momentom

Dalje povećanje nosivosti čvora, u smislu približavanja nosivosti priključnih elemenata,

moguće je postići dodavanjem kose armature (Sl. 170c). Preporučuje se (Evrokod) da količina

dodatne kose armature (Asv) bude bar polovina veće od armatura As1, za slabije armirane

elemente (koeficijent armiranja manji od 1%), odnosno da joj bude jednaka za jače armirane

preseke (Sl. 171).

Sl. 171. Kosa armatura kod čvora opterećenog pozitivnim momentom

Ako za ovaj slučaj opterećenja čvora formiramo idealizovani proračunski model (Sl. 172),

opet se može konstatovati da su glavni naponi dijagonalnog pravca, suprotnog znaka od

onih na Sl. 166. Ako se, dodatno pretpostavi (potvrñeno ispitivanima) da su naponi zatezanja

raspodeljeni po paraboličnom zakonu i da deluju na širini bliskoj 0.8 visine preseka, može

se proračunati i maksimalni zatežući napon, te armatura potrebna za njegovo prihvatanje,

ukoliko je veći od zatežuće čvrstoće betona (Asd na Sl. 173).

Sl. 172. Proračunski model

Na Sl. 173 su prikazani pravilni načini armiranja čvora opterećenog pozitivnim momentom i

čvora opterećenog momentima alternativnog znaka.


120

Sl. 173. Armiranje čvora koji je ili može biti zategnut po unutrašnjoj ivici

Sl. 174. Armiranje kolenaste grede

Slična situacija se javlja i kod kolenastih delova grednih elemenata. Način prihvatanja

pozitivnih momenata armaturom je, ovde, zavisan od ugla koji priključni elementi zaklapaju

(Sl. 174). Za uglove bliske 180° (veće od 160°) dozvoljava se neprekinuto voñenje zategnute

armature. Nepovoljan uticaj skretnih sila (težnja odvaljivanju zaštitnog sloja betona) se

predupreñuje njihovim prihvatanjem dovoljnom količinom uzengija.

Za uglove manje od 160°, armiranje odgovara armiranju prethodno analiziranih ugaonih

čvorova opterećenih pozitivnim momentom savijanja.

3.3.4.2.3.3.4.2.3.3.4.2.3.3.4.2. Spoljašnji Spoljašnji Spoljašnji Spoljašnji i gornji i gornji i gornji i gornji čvorčvorčvorčvor

Na Sl. 175 su prikazani, uz detalje klasičnog armiranja, karakteristični oblici i smerovi

dijagrama momenata savijanja za spoljašnje i gornje čvorove okvirnih konstrukcija.

Nosivost spoljašnjeg čvora može biti narušena bilo dostizanjem čvrstoće prionljivosti izmeñu

betona i armature (Sl. 176a), bilo dostizanjem zatežuće čvrstoće betona u jezgru čvora.

Sl. 175. Momentni dijagrami u spoljašnjem i gornjem čvoru

Mala čvrstoća prionljivosti je karakteristična za gornju zonu grede neposredno uz čvor, gde

se očekuje pojava prsline, ali i gde je i beton lošiji. Veliki naponi prijanjanja pojavljuju se

izmeñu armature stuba i betona u području čvora. Sile, zatezanja i pritiska, Fs2g+Fs1d prenose


121

se prijanjanjem na visini ne većoj od visine grede hb. Malu visinu grede prate veliki naponi

prijanjanja, te vertikalne pukotine (odvaljivanje zaštitnog sloja) sa spoljašnje strane čvora.

Otud, mala visina grede može biti uzrokom male nosivosti čvora.

Sl. 176. Naponsko stanje u čvoru

Sa druge strane, pod dejstvom sila na čvor, pojavljuju se približno dijagonalni glavni naponi

zatezanja i pritiska (Sl. 176b). Ovi zatežući relativno brzo dostižu zateznu čvrstoću betona,

što ima za posledicu formiranje dijagonalne prsline.

U cilju prevencije ovih pukotina, eksperimentalno je pokazano, od najvećeg značaja su gusto

postavljene horizontalne zatvorene uzengije u čvoru (Sl. 177a, b, c).

Sl. 177. Armiranje spoljašnjeg čvora

Sl. 178. Armatura spoljašnjeg i unutrašnjeg čvora


122

Zategnuta, gornja, armatura grede može biti usidrena u stub (Sl. 177a), ali je ovo povezano

sa problemima izvoñenja, zbog prekida betoniranja neposredno ispod grede. Otud, rešenja

prikazana na slikama Sl. 177b i c mogu biti razmatrana kao alternativa.

3.3.4.3.3.3.4.3.3.3.4.3.3.3.4.3. Unutrašnji čvorUnutrašnji čvorUnutrašnji čvorUnutrašnji čvor

Na Sl. 179 je prikazan najnepovoljniji slučaj opterećenja unutrašnjeg čvora, koji odgovara

visokim intenzitetima horizontalnog dejstva. I ovde, zbog delovanja sila na čvor, u njegovom

jezgru se javljaju dijagonalno orijentisani glavni naponi pritiska i zatezanja. Ovi drugi su,

zbog malih zatežućih čvrstoća betona, razlog pojavi pukotina.

Sl. 179. Proračunski model

Najefikasniji način prijema napona zatezanja u čvoru podrazumeva propuštanja kroz čvor

uzengija i stuba i grede, iako je ovo, izvoñački posmatrano, vrlo zahtevno.

Podužna armatura optimalno neprekinuta prolazi pravo kroz čvor, bez povijanja iz stuba u

gredu (Sl. 179b).

3.3.4.4.3.3.4.4.3.3.4.4.3.3.4.4. Kruta veza stuba i temeljaKruta veza stuba i temeljaKruta veza stuba i temeljaKruta veza stuba i temelja

Na Sl. 180 prikazani su detalji armiranja stuba uklještenog u temelj. U prvom slučaju dato je

uklještenje stuba u nearmirani temelj preko temeljnog jastuka, a u drugom klasični primer

uklještenog temelja. Ukoliko se na spoju temeljnog jastuka i temelja mogu pojaviti i zatežući

naponi, njih je, kako je pokazano, potrebno prihvatiti posebnom armaturom.

Sl. 180. Veza temelja i stuba


123

3.3.5.3.3.5.3.3.5.3.3.5. ZZZZGLOBOVIGLOBOVIGLOBOVIGLOBOVI U OKVIRNIM KONSTRUKCU OKVIRNIM KONSTRUKCU OKVIRNIM KONSTRUKCU OKVIRNIM KONSTRUKCIJAMAIJAMAIJAMAIJAMA

Zglob (momentni zglob) je mesto u armiranobetonskoj konstrukciji koje dozvoljava relativnu

rotaciju delova sa njegove dve strane. Može biti projektovan u cilju smanjenja stepena

statičke neodreñenosti konstrukcije ili postizanja statički odreñenih sistema (Sl. 181).

Izložen je uticajima aksijalne i transverzalne sile (ne i momenta savijanja). Načelno, može biti

ostvaren naglim suženjem poprečnog preseka na maloj dužini elementa (pravi zglob) ili se

sličan efekat može ostvariti i promenljivom visinom preseka elementa, te izborom preseka

malog momenta inercije, u poreñenju sa susednim elementom (Sl. 182).

Sl. 181. Primena zglobova

Sl. 182. Način ostvarivanja zglobova

Zavisno od toga kakvu rotaciju omogućuju, zglobovi mogu biti linijski i tačkasti (Sl. 184).

Linijski zglob dozvoljava rotaciju samo u jednom pravcu, dok je tačkasti ekvivalent sfernom

zglobu.

Pravi zglobovi se projektuju naglim suženjem poprečnog preseka (najčešće stuba), kako je

prikazano na Sl. 183a. Visina poprečnog preseka zgloba, kao i širina preseka tačkastog

zgloba se usvajaju u sledećim granicama, ne manji od 15cm:

0

1 115cm

4 3d d

= ÷ ⋅ ≥

, 0

1 115cm

4 3b b

= ÷ ⋅ ≥

, .......................................... (3.42)

dok se visina zgloba (t) redovno usvaja kao petina manje dimenzije poprečnog preseka. Grlo

zgloba se projektuje zaobljeno, a visina zgloba se ka krajevima postepeno povećava za,

ukupno, 1 do 2cmm, kako bi se omogućilo lakše uklanjanje oplate. Prekid betoniranja ne

sme biti u samom zglobu.

Sl. 183. Pravi zglob – geometrija


124

Sl. 184. Linijski i tačkasti zglob

Na mestima gde se spoljašnja sila unosi u element preko relativno male površine javlhaju se

lokalni naponi pritiskalokalni naponi pritiskalokalni naponi pritiskalokalni naponi pritiska. Osim kod zglobova, karakterističan primer lokalnog naprezanja je

unos sile prednaprezanja na mestu ukotvljenja. Lokalni naponi se relativno brzo rasprostiru

na širinu elementa: smatra se da je već na dubini približno jednakoj širini elementa (z ≅ d)

raspodela napona po širini konstantna (Sl. 185a).

Sl. 185. Rasprostiranje lokalnog pritiska

Za veće dimenzije preseka na koji deluje, možda i nesimetrično, lokalni napon (ili za

delovanje više lokalnih napona), površina rasprostiranja može biti i manja od površine

preseka elementa. Može se računati sa nagibom rasprostiranja napona od približno 1:2 uz zadovoljenje: 1 03d d< , i, u drugom pravcu, 1 03b b< (Sl. 185b, c).

Zglob mora biti kontrolisan u smislu zadovoljenja lokalnih napona pritiska. Čvrstoća betona

pri lokalnom pritisku (f0) je veća od čvrstoće pri pritisku betonske kocke – marke betona (fbk).

Razlog ovome je sprečenost bočnog deformisanja okolnim betonom (ekvivalent utegnutosti

preseka) i, posledično, formiranje troosnog (kod linijskih - dvoosnog) stanja pritiska.

Saglasno Pravilniku, lokalna čvrstoća definisana je na sledeći način, za tačkasti, odnosno

linijski zglob:

10

0

1.6bB bk

b

Af f f

A= ⋅ ≤ ⋅ , 1

300

1.6bB bk

b

Af f f

A= ⋅ ≤ ⋅ ......................................... (3.43)

Ab0 i Ab1 površina preseka suženog i nesuženog dela (Sl. 183b).

Apsolutnim ograničenjem lokalnog napona sprečava se obračunavanje prevelike angažovane

površine.

Podužna armatura stuba se dodatno obavija ukosnicama koje prate njegovo donje čelo.

Kontrolisan na lokalna pritiskujuća naprezanja, zglob se, kao pritisnut, armira minimalnom


125

količinom podužne armature (0.8 do 1.0%). Usvajaju se tanji profili, koji moraju biti gusto

utegnuti preklopljenim uzengijama. U slučaju većih intenziteta aksijalne sile, podužnu

armaturu zgloba treba obuhvatiti i unutrašnjim uzengijama (Sl. 186, Sl. 188).

Sl. 186. Armiranje zgoba i okolnih elemenata

Otklon u prostiranju pritiskujućih napona σz (Sl. 185a) dovodi do pojave napona cepanjanapona cepanjanapona cepanjanapona cepanja

zatežućih napona σx u pravcima upravnim na trajektorije pritiska. Naponi u x-pravcu su do

dubine od približno z ≅ 0.1d pritiskujući, a tek za veće dubine zatežući. Maksimalnu

vrednost dostižu na dubini od približno z ≅ 0.6d (Sl. 187) i mogu se odrediti empirijskim

izrazom:

( )0 1 0

21 1

0.508x

F d d

b dσ

⋅ −≈ ⋅

⋅. ............................................................................. (3.44)

Sl. 187. Naponi cepanja kao posledica lokalnih napona pritiska

Ukupna sila zatezanja na dubini z = d1 može se odrediti iz proporcije, prema datom planu

sila na Sl. 187:

0 0 01 10

1

: : 0.25 12 4 4 2q q

F d dd dF F F

d

= − ⇒ = ⋅ ⋅ −

. ........................................ (3.45)

U praktičnim situacijama neophodno je preduprediti cepanje betona uzrokovano ovom silom

postavljanjem odgovarajuće količine armature. Za proračunske potrebe se koristi nešto veća,


126

empirijski odreñena, vrednost sile cepanja. Tako je, saglasno Pravilniku, armaturu jednog

pravca je potrebno proračunati iz granične zatužeće sile deinisane na sledeći način:

0

1

0.3 1u u

dZ N

d

= ⋅ ⋅ −

u

a

v

ZA

σ⇒ = . . ............................................................. (3.46)

Kako je sila Zu posledica pritiskujućih napona, to se njena granična vrednost odreñuje sa

maksimalnim vrednostima parcijalnih koeficijenata.

Ova armatura se obezbeñuje u obliku progušćenih uzengija na strani stuba, te u obliku

armaturne mreže ili zmijaste armature na strani temelja (Sl. 186). Dijagram rasprostiranja

napona cepanja po dubini elementa ukazuje i na potrebnu visinu zone obezbeñenja

(armatura postavljena samo uz lokalnim pritiskom opterećenu ivicu nije efikasna, a čak ni

zategnuta).

Ukoliko je zglob opterećen transverzalnom silom visokog intenziteta, tj. kada je

transverzalna sila veća od 0.75Nu, potrebno je projektovati i kosu armaturu za prijem

smicanja. Njen oblik je prikazan na Sl. 186b, a ovako armiran zglob se naziva Menager-ovim. Potrebna količina ove armature se odreñuje iz celokupne transverzalne sile:

2 sin

uak

v

TA

α σ=

⋅ ⋅. ......................................................................................... (3.47)

Sl. 188. Armiranje zgloba

Zglob u grednom elementu može biti izveden kao Gerber-ov, uzajamnim oslanjanjem dva

kratka elementa. Armiranje i proračun su povezani sa projektovanjem kratkih elemenata (Sl.

189).

Sl. 189. Armiranje Gerber-ovog zgloba


127

3.4.3.4.3.4.3.4. REŠETKASTI NOSAČIREŠETKASTI NOSAČIREŠETKASTI NOSAČIREŠETKASTI NOSAČI

3.4.1.3.4.1.3.4.1.3.4.1. UVOD, PRIMENAUVOD, PRIMENAUVOD, PRIMENAUVOD, PRIMENA

Rešetkasti nosač se formira od niza štapova povezanih u čvorovima u stabilnu strukturu.

Formiraju je pojasni štapovi – štapovi gornjeg i donjeg pojasa, i štapovi ispune – dijagonale i,

ne neophodno, vertikale (Sl. 190).

Sl. 190. Rešetkast nosači: elementi i geometrija

Odlikuju se malim utroškom betona i komplikovanom oplatom, zbog čega se primenjuju za

savladavanje većih raspona, kada su troškovi proizvodnje kompenzovani uštedom u

materijalu. Nalaze primenu u konstrukcijama zgradarstva, kao glavni krovni nosači, i kod

mostovskih konstrukcija, gde se koriste kao glavni nosači. U zgradarstvu, rasponi su

uobičajeno izmeñu 15 i 30m.

Rešetkasti nosači u zgradarstvu su, po pravilu, montažni elementi, a mogu da se proizvode

prefabrikovane u celini ili u delovima. Za raspone preko cca. 15m, u situacijama kada postoji

mogućnost (ako ne postoje visinska ograničenja, te ako postoje dovoljno snažne dizalice) za

njihovo izvoñenje, rešetkastim nosačem je, u odnosu na gredni, moguća ušteda čelika i do

40%. No, troškovi oplate, popravilu, anuliraju ovaj benefit.

Za mostovske rešetkaste nosače su karakteristična polumontažna ili monolitna rešenja.

Mogu se projektovati kao armiranobetonske ili prednapregnute.

Iako su, kod armiranobetonskih rešetkastih nosača, veze izmeñu štapova su krute, izborom

odgovarajućih oblika i dimenzija poprečnih preseka, te samom konfiguracijom strukture,

štapovi rešetke su pretežno aksijalno opterećeni. Pri tome, štapovi gornjeg pojasa su

izloženi pritisku, donjeg zatezanju, a štapovi ispune, zavisno od orijentacije, mogu biti

pritisnuti ili zategnuti. Mali utrošak materijala čini ih racionalnim elementima i, u polju

navedenih raspona, konkurentnim drugim vrstama nosača.

3.4.2.3.4.2.3.4.2.3.4.2. GEOMETRIJAGEOMETRIJAGEOMETRIJAGEOMETRIJA

Odnos ukupne visine rešetke (H) prema rasponu (L) naziva se stinjenost rešetke. Kod krovnih

konstrukcija, stinjenost ovih nosača se kreće u rasponu od 1/10 do 1/7. Stinjenost

opredeljuje nivo uticaja, pre svega, u pojasnim štapovima na način da manjim vrednostima

stinjenosti (rešetke manje visine) odgovaraju veće sile (manji krak unutrašnjih sila), i

obrnuto.

Oblik rešetke zavisi od nagiba krovne površine (štapovi gornjeg pojasa se obično projektuju

u nagibu koji prati nagib krovne ravni), visinskog položaja krovnog pokrivača u odnosu na

rešetku, kao i od stinjenosti. Uobičajeno je da se svi štapovi krovne rešetke projektuju

unutar zatvorene prostorije (Sl. 191a, b), čime se izbegavaju neprijatni prodori štapova kroz

krovni pokrivač (prokišnjavanje), eliminišu nejednaka temperaturna dejstva na štapove i

postiže bolji estetski efekat. Retko, rešetka može biti postavljena i izvan gabarita korisnog

prostora, kada krovni pokrivač opterećuje donji pojas nosača (Sl. 191c).


128

Sl. 191. Oblici rešetkastih nosača

Kako su rešetkasti nosači montažni elementi, to je od značaja obezbediti sigurnost od

njegovog prevrtanja u fazi montaže, kada još nije pričvršćen za ostatak konstrukcije (na

primer vetrom upravnim na ravan rešetke). Zato je izborom oblika zgodno obezbediti da se

ravan oslanjanja rešetke nalazi iznad težišta ukupne njene mase, kako je pokazano na Sl.

191a. U suprotnom, neophodno je kontrolisati stabilnost rešetke u fazi montaže, ali i

eksploatacije, te preduzeti privremene i/ili konstruktivne mere kojima se ona (stabilnost)

obezbeñuje. Po pravilu, rešetkasti nosač povezan rožnjačama sa drugim elementima krovne

konstrukcije (drugim rešetkastim nosačima, najčešće) je obezbeñen od preturanja u

eksploatacionoj fazi.

Kod krovova na jednu vodu ili, uopšte, kod „jednovodnih“ rešetki, pojasevi se najčešće

projektuju kao paralelni (Sl. 191b), a stubovi na koje se oslanja se rade različitih dužina.

Kao krovni pokrivači kojima se zatvara krovna ravan, a oslanjaju se na rešetkaste nosače,

koriste se najčešće laki krovni pokrivači koji se oslanjaju na sistem paralelno postavljenih

rožnjača, najčešće armiranobetonskih i/ili prednapregnutih. U ovom slučaju opterećenje se

sa pokrivača prenosi na rožnjače, a dalje, u vidu koncentrisanih sila, na rešetkasti nosač.

Alternativno, umesto rožnjača, mogu se koristiti i montažne betonske ploče ili ploče od

lakog betona, kojima se savladava raspon dva rešetkasta glavna nosača. U tom slučaju,

krovno opterećenje se na rešetkasti nosač prenosi kao ravnomerno raspodeljeno.

Pri odreñivanju oblika ispune i razmaka čvorova rešetke poželjno je imati situaciju u kojoj se

koncentrisano opterećenje sa krova na rešetku prenosi u njenim čvorovima, zbog čega valja

uskladiti razmak rožnjača sa razmakom čvorova rešetke. Iako su rešetke sa trougaonom

ispunom estetski prihvatljivije, često se njima ne obezbeñuje dovoljno mali razmak čvorova,

pa je neophodno projektovati i vertikalne štapove ispune, kao na Sl. 192.

Sl. 192. Potreba za vertikalama uzrokovana rasporedom rožnjača

Takoñe, dijagonalne štapove valja projektovati u nagibu što bližem uglu od 45°, a,

generalno, kod štapova ispune, poželjna je struktura u kojoj su dužištapovi zategnuti, a

kraći pritisnuti (zbog izvijanja). Štapovi pritisnutog pojasa se mogu projektovati

promenljivog nagiba, čime je, osim praćenja krovne ravni, moguće postići i statičke

pogodnosti (oblik potporne linije). Zategnuti pojas, pak, zbog nepovoljnog uticaja skretnih

sila, treba projektovati pravim.

Čvorovi rešetke se oblikuju tako da se ose svih štapova koji se u jednom čvoru sustiču seku

u jednoj tački (centrisanje štapova). Čvor treba da bude bez oštrih ivica kako bi se izbegli

nepovoljni uticaji koncentracije napona. U slučaju da se u čvoru sustiču štapovi različitih

širina, čvor treba da ima širinu najšireg štapa (Sl. 206).


129

Sl. 193. Oblikovanje čvora rešetkastog nosača

Poprečni preseci štapova rešetke zavise primarno od znaka i intenziteta aksijalne sile, te od

nivoa sekundarnih uticaja (momenti savijanja). Najčešće se štapovi projektuju konstantnog

poprečnog preseka po dužini, jednostavnih oblika preseka, najčešće pravougaonih. Zbog

većih sila, pojasni štapovi su obično većih površina preseka od štapova ispune.

Pritisnuti pojasni štapovi su projektuju pravougaonog ili T preseka (Sl. 194). Veći moment

inercije u ravni rešetke je logičan izbor u situacijama kada momenti savijanja nisu mali.

Savojnom krutošću van ravni rešetke, štapovi se odupiru bočnom izvijanju. Oblikovanjem

štapa u T obliku moguće je postići oba cilja.

Sl. 194. Mogući poprečni preseci štapova pritisnutog pojasa

Zategnuti pojasni štapovi su izloženi velikim aksijalnim silama zatezanja, a nedvosmisleno je

od interesa umanjiti momente savijanja. Zato se najčešće projektuju pravougaonog preseka

(oblik nije od posebnog interesa, a pravougaoni je najjednostavniji) na način da im se

minimizira savojna krutost (Sl. 194b).

Štapovi ispune se biraju pravougaonog ili kvadratnog oblika preseka. Poželjno je da

meñusobno budu jednake širine, radi lakšeg izvoñenja. Estetski, prednost imaju rešetkasti

nosači kojima su svi štapovi (i pojasni i štapovi ispune) jednake širine (Sl. 193a).

3.4.3.3.4.3.3.4.3.3.4.3. UTICAJIUTICAJIUTICAJIUTICAJI

Rešetke se najčešće konstruišu kao jednorasponske, a retko kao kontinualne. Dominantno

su opterećene u svojoj ravni.

S obzirom da su veze štapova, de facto, krute, rešetke su višestruko statički neodreñene

strukture. Kao dominantni, u štapovima rešetke se javljaju aksijalni uticaji, dok se, kao

posledica krutih veza u čvorovima, kao sekundarni javljaju relativno mali momenti savijanja

u ravni rešetke. Često se ovi uticaji savijanja nazivaju sekundarnim, a cilj projektovanja

rešetki je njihova minimizacija. To se postiže izborom preseka štapova sa malom savojnom

krutošću u ravni rešetke, te forsiranjem prenosa krovnog opterećenja u čvorove rešetke.

Ipak, rešetkasti nosači su neminovno, ako ničim onda sopstvenom težinom, opterećeni i van

čvorova, a prenos krovnog opterećenja van čvora, po dužini štapa, može da ima za posledicu

potrebu potrebu za većom savojnom krutošću štapa.

Iako je uobičajeno da se, statičkim proračunom, AB rešetkasti nosači tretiraju kao nosači sa

zglobno vezanim štapovima, danas, kada ni analiza znatno složenijih modela nije problem,


130

nema potrebe za ovom vrstom pojednostavljenja proračuna. Štapove rešetke valja modelirati

kruto spojenima u čvorovima.

Meñutim, pravilan izbor aksijalnih krutosti pojedinih štapova je od velikog značaja kad je o

deformacijama rešetkastog elementa reč, ali i, s njima vezano, preraspodeli uticaja unutar

elemenata samog nosača. Posebno je značajan pravilan izbor aksijalne krutosti zategnutih

štapova, pre svega štapova donjeg pojasa (videti deo kod Lučnih nosača, Sl. 211). Tako, kod

armiranobetonskih zatega (štapovi donjeg pojasa), aksijalna krutost je bliska onoj koja

potiče samo od armature, dok se kod prednapregnutih donjih pojaseva najčešće računa sa

aksijalnom krutošću bruto betonskog preseka.

Kako se u pojasnim (nekad i u štapovima ispune) realizuju velike sile pritiska, to problem

stabilnosti (izvijanja) postaje aktuelan. Za dužinu izvijanja štapa u ravni rešetke uvek, bez

obzira na krute veze, treba usvajati čvorno rastojanje, a dimenzije poprečnog preseka

pritisnutih štapova birati imajući na umu moguće izvijanje.

Mnogo većim problemom se može pojaviti izvijanje upravno na ravan rešetke, problem

aktuelan u fazi montaže rešetkastog nosača, kada pritisnuti pojas nije ničim bočno pridržan.

Iako je opterećenje u fazi montaže malo i isključuje težinu krovnog pokrivača, dužina

izvijanja je cela dužina pritisnutog pojasa. Naknadnim povezivanjem rešetke sa ostalim

elementima krovne konstrukcije problem bočnog izvijanja nestaje (osim ukoliko se krvno

opterećenje ne prenosi na donji pojas), ali za fazu montaže se potrebnim mogu pojaviti mere

privremenog obezbeñenja od izbočavanja.

Rešetkasti montažni elementi se najčešće izvode u horizontalnom položaju, u drvenoj ili

čeličnoj oplati. Nakon očvršćavanja i skidanja oplate, ispravljaju se u vertikalni položaj u

kojem se vrši njihov transport i montaža. Pri tome, iako poželjno, prihvatanje rešetke

najčešće ne odgovara njenom eksploatacionom oslanjanju, zbog čega pojedini štapovi u ovoj

fazi mogu biti izloženi aksijalnim silama suprotnog znaka od eksploatacionog. Zato,

rešetkasti nosači, kao uosatlom svi montažni elementi, moraju biti proračunski obezbeñeni i

za sve predeksploatacione faze.

3.4.4.3.4.4.3.4.4.3.4.4. DIMENZIONISANJE I ARDIMENZIONISANJE I ARDIMENZIONISANJE I ARDIMENZIONISANJE I ARMIRANJEMIRANJEMIRANJEMIRANJE

Preseci pritisnutih pojasnih štapova se, najčešće, nalaze u stanju pritiska malog

ekscentriciteta, čime je i njihovo armiranje odreñeno, poput odgovarajućih stubova. Presek

se armira (Sl. 195) minimalnom količinom podužne armatue, 0.8 do 1.0%. S obzirom da je

reč o montažnim elementima, te da se koristi pritisna čvrstoća betona, prednost ima

primena viših marki betona, preko 30 (naravno, u meri u kojoj je to limitirano stabilnošću

elementa).

Sl. 195. Armiranje poprečnih preseka pritisnutog pojasa

Zategnuti pojas se karakteriše velikim intenzitetima aksijalne sile, te vrlo malim momentima

savijanja. Dimenzionišu se kao centrično ili ekscentrično (faza malog ekscentriciteta)

zategnuti, po pravilu uz pretpostavljanje simetričnog rasporeda armature po površini


131

preseka. Kako kod zategnutih elemenata krak armature nije od interesa, to je, u cilju

smanjenja površine poprečnog preseka štapa, poželjno podužnu armaturu rasporeñivati po

celoj površini preseka, kako je dato na Sl. 196. „Zmijasta“ armatura na slici ima funkciju

obezbeñenja položaja (i razmaka) šipki podužne armature. Ukoliko je moguće, treba izbeći

nastavljanje podužne armature, a ukoliko nije, armaturu je poželjno nastavljati zavarivanjem.

Sl. 196. Armiranje preseka zatege

Aksijalne sile u štapovima ispune su znatno manjih intenziteta, a opet je reč o presecima koji

su centrično ili ekscentrično (mali ekscentricitet) pritisnuti ili zategnuti.

Generalno, minimalna armatura pritisnutih štapova može biti odreñena i njihovom vitkošću,

u skladu sa odredbom Pravilnika kojom se ove dve veličine dovode u vezu:

min 0.4 0.650

λµ = − ≥ . ................................................................................ (3.48)

Na narednim skicama su dati karakteristični detalji armiranja čvorova rešetkastih nosača.

Načelno, konstruisanje armature mora biti takvo da se obezbedi monolitnost i krutost uz što

jednostavnije izvoñenje. Armatura pritisnutog štapa se vodi do teorijskog čvora41, a

zategnuta se produžava za dužinu sidrenja. Sidrenje može biti pravim delom šipke, sa ili bez

kuke, ili talasasto (Sl. 197, Sl. 198). Na Sl. 199 prikazana su armiranja čvora u kojem se

sustiču dva zategnuta štapa i pritisnuta vertikala. Promena pravca sile zatezanja unosi veliku

aksijalnu (skretnu) silu u vertikalu.

Sl. 197. Čvor: gornji pojas – vertikala – dijagonala

Sl. 198. Čvor: donji pojas – vertikala - dijagonala

41 I pritisnuta armatura se sidri.


132

Sl. 199. Čvor: donji pojas – krajnja dijagonala – vertikala

Usidrenje zategnute armature u oslonački čvor, ukoliko ne postoji dovoljno prostora za

razvoj dužine sidrenja, može biti sprovedeno preko ploče za sidrenje (Sl. 200b). Sam donji

pojas može biti prednapregnut (Sl. 199b). Oslonački čvor se karakteriše prostornim stanjem

naprezanja usled unosa velik koncentrisanih sila. Zato ga treba armirati u sva tri pravca kako

bi se obezbedio od cepanja.

Sl. 200. Oslonački čvor

3.5.3.5.3.5.3.5. LLLLUČNI NOSAČIUČNI NOSAČIUČNI NOSAČIUČNI NOSAČI

3.5.1.3.5.1.3.5.1.3.5.1. UVOD, PRIMENAUVOD, PRIMENAUVOD, PRIMENAUVOD, PRIMENA

Lukovi su zakrivljeni ili izlomljeni nosači sa konveksnom stranom prema gore i sa

nepomerljivim (praktično nepomerljivim) osloncima. Primenjuju se kao glavni nosači srednjih

i velikih raspona industrijskih ili sportskih hala ili drugih objekata visokogradnje, te kao

glavni mostovski nosači.

Sl. 201. Elementi i geometrija luka


133

Osa luka je linija koja spaja središta njegovih poprečnih preseka, raspon (L) je horizontalno

rastojanje oslonaca, a strela (f) je visina luka merena u polovini raspona (Sl. 201). Odnos

strele i raspona se naziva stinjenost luka.

Na mestu oslanjanja, lukovi mogu biti zglobno nepomerljivo oslonjeni ili uklješteni.

Horizontalna, uz vertikalnu, nepomerljivost oslonaca obezbeñuje postojanje horizontalnih

reakcija pri vertikalnim opterećenjima, čime se oslonci odupiru težnji „ispravljanja“ luka.

Ovim se duž luka, od uticaja, javljaju dominantno sile pritiska i, ukoliko je pravilno

projektovane geometrije, relativno mali momenti savijanja, što, dalje implicira rad preseka u

fazi malog ekscentriciteta pritiska i odsustvo prslina. Ovim, armiranobetonski luk predstavlja

jedan od najracionalnih elemenata u betonskim konstrukcijama uopšte. U konstrukcijama

zgradarstva se primenjuju za raspone veće od 20m, dok se kod mostovskih konstrukcija

retko koriste za raspone manje od 30m (do nekoliko stotina metara). Primena betona visokih

čvrstoća je, u novije vreme, učinila lučne elemente još lakšim i racionalnijim i omogućila

savladavanje izuzetno velikih raspona (danas, kod mostovskih konstrukcija, višestruko

prevazilaze raspone od 100m). Danas se vrlo često primenjuju lučne konstrukcije sa krutom

armaturom (čelični profili ispunjeni betonom visoke čvrstoće), kada čelična armatura ima i

ulogu skele i oplate. Takoñe, za novije vreme je karakteristično i montažno izvoñenje lučnih

konstrukcija, spajanjem lamela u konzolnom načinu gradnje.

3.5.2.3.5.2.3.5.2.3.5.2. GEOMETRIJA LUKA I STGEOMETRIJA LUKA I STGEOMETRIJA LUKA I STGEOMETRIJA LUKA I STATIČKI SISTEMIATIČKI SISTEMIATIČKI SISTEMIATIČKI SISTEMI

Za poznatu konfiguraciju opterećenja, oblik ose luka je moguće pogodno izabrati na način

da se poklapa (da minimalno) sa potpornom linijom opterećenja i, time, da se minimiziraju

momenti savijanja, a preseci lukova pretežno aksijalno opterete. Kako je opterećenje tokom

eksploatacije promenljivo, to se oblik ose luka prilagoñava uglavnom stalnom opterećenju

kod konstrukcija zgradarstva, odnosno stalnom i polovini korisnog (prosek minimalnog i

maksimalnog eksploatacionog opterećenja), kod mostovskih konstrukcija.

Stinjenost lukova u konstrukcijama zgradarstva je uobičajeno u intervalu izmeñu 1/10 i 1/6.

Kod mostovskih sistema, zavisno od statičkog sistema, uslova oslanjanja ili nivoa

opterećenja, stinjenost može biti u širokom intervalu izmeñu 1/16 i 1/2. Pri tome, plići

lukovi odgovaraju slabo opterećenim, pešačkim mostovima, a duboki su karakteristični za

mostove visokog nivoa opterećenja, preko dubokih dolina (povezano sa dobrom

mogućnošću prijema horizontalnih sila na mestima oslanjanja).

Sl. 202. Statički sistemi prostih lukova

Mogući statički sistemi prostih lučnih nosačaprostih lučnih nosačaprostih lučnih nosačaprostih lučnih nosača su (Sl. 202):

• Uklješteni luk je najjednostavnija lučna konstrukcija i, ujedno, najpogodnija za

savladavanje velikih raspona. Negativna (loša) posledica uklještenih krajeva je pojava

većih momenata savijanja (tzv. sekundarni uticaji), posebno blisko krajevima.

Takoñe, kao višestruko statički neodreñena konstrukcija relativno velike savojne


134

krutosti, osetljiva je na deformacijska dejstva kakva su pomeranje oslonaca,

temperaturni uticaji ili uticaji skupljanja betona. Veličine sekundarnih uticaja su

srazmerne stinjenosti (veće su kod dubljih lukova).

• Dvozglobi luk se najčešće primenjuje kod plitkih lukova u cilju smanjenja statičke

neodreñenosti i redukcije intenziteta momenata savijanja.

• Trozglobni lukovi su statički odreñene konstrukcije minimalnih momenata savijanja i

imune na deformacione uticaje. Ovo i opredeljuje njihovu primenu na slučajeve kada

postoji realna opasnost od pomeranja/razmicanja oslonaca, ili na lukove velike

stinjenosti (plitke). Zglobovi komplikuju i usporavaju izvoñenje, izazivaju oštre

lomove deformacione linije (neprijatni udari vozila, kod mostova) i zahtevaju strožiji

režim održavanja tokom eksploatacije.

Kod svih ovih sistema neophodno je, kako je rečeno, obezbediti horizontalnu nepomerljivost

oslonaca, te je od posebnog značaja pravilan izbor načina i realizacija fundiranja, kojim je

potrebno primiti opterećenje uz minimiziranje deformacija tla.

U cilju dalje racionalizacije elementa, kao i oslobañanja temeljnih konstrukcija od velikih

horizontalnih sila, luk se često kombinuje sa ostalim elementima krovne ili mostovske

konstrukcije, čime se formiraju kombinovani lučni sistemikombinovani lučni sistemikombinovani lučni sistemikombinovani lučni sistemi. Osnovni reprezenti ovakvih

sistema su (Sl. 203):

Sl. 203. Kombinovani lučni sistemi

• Luk sa zategom je lučna konstrukcija čiji su krajevi spojeni zategom, koja preuzima

horizontalne reakcije luka i time oslobaña oslonce potrebe njihovog prijema.

Kombinovani sistem sada može biti samo prosto oslonjen. Ipak, ovde se mora puna

pažnja posvetiti izduženjima zatege: s jedne strane ovo je ekvivalent razmicanju

oslonaca, sa druge opredeljuje projektovanje oslonačkih elemenata. Sama zatega

može biti projektovana u armiranom ili prednapregnutom betonu, ili kao čelični

element. Primena ovakvog sistema je redovna kod industrijskih hala (Sl. 205a), gde bi

prenos horizontalnih reakcija u vrhove stubova za posledicu imala velike momente u

uklještenjima stubova. Radi smanjenja momenata savijanja u zatezi (usled sopstvene

težine), zatega se, takozvanim vešaljkama (Sl. 204), „veša“ o lučni element.

Sl. 204. Vešaljke luka sa zategom


135

• Greda ojačana vitkim lukom, ili Langer-ova greda, podrazumeva lučni deo male

savojne krutosti, zbog čega se u njemu generišu vrlo mali momenti savijanja, čime je

izložen skoro isključivo aksijalnom pritisku. Greda, koja se projektuje kao savojno

kruta, sada, osim uloge zatege, preuzima na sebe kompletno savijanje. Ovakav

sistem je pogodan za mostovske konstrukcije sa kolovoznom konstrukcijom

postavljenom preko ovih krutih greda. Reñe, u situacijama kada postoji potreba da se

sekundarni elementi oslone u horizontalnoj ravni, ovakvi sistemi se koriste i za

glavne krovne nosače konstrukcija hala (Sl. 205b).

Sl. 205. Luk sa zategom i Langer-ova greda kao glavni krovni vezači

• Luk sa zategom i kosim vešaljkama, ili Nilsen-ov luk, se projektuje sa kosim

vešaljkama, kako bi se i one angažovale u prijemu savijanja i, time, rasteretile lučni

nosač u izvesnoj meri.

• Vitki luk sa gredom za ukrućenje sa gornje strane, za razliku od prethodnih sistema,

nema zategu, nego se horizontalne reakcije predaju fundamentima. Kruta greda je

elastično oslonjena na stubove, kojima opterećenje predaje vitkom luku. Opet, mala

savojna krutost luka implicira i dominantno stanje pritiska u presecima luka. Sistem

se često primenjuje kod mostovskih konstrukcija.

Osa lukaOsa lukaOsa lukaOsa luka je najčešće zakrivljena, kružnog ili paraboličnog oblika, ili poligonalna na način da

aproksimira neku od ovih krivih. Većim stinjenostima (dubokim lukovima) odgovara

parabolični, a manjim oblik kružnog luka. Luk se može projektovati i kao poligonalni ili

kolenast, u situacijama kada je to iz nekog razloga pogodno ili potrebno (montažne

konstrukcije, velika koncentrisana opterećenja koja prave lomove u potpornoj liniji...).

Mogućnosti izbora oblika poprečnog presekaoblika poprečnog presekaoblika poprečnog presekaoblika poprečnog preseka lučnih nosača su velike, a neke od njih su

prikazane na Sl. 206. Najjednostavniji, i najstariji u primeni, je pravougaoni oblik. Zavisno od

statičkog sistema u kom se primenjuju, mogu se projektovati većih i manjih savojnih krutosti

(a ili b), zavisno od težnje za minimiziranjem momenata savijanja ili njenog odsustva. Većom

širinom preseka, u odnosu na visinu, postiže se veća stabilnost luka na izvijanje upravno na

svoju ravan, a minimizira se i savojna krutost luka u svojoj ravni.

Sl. 206. Poprečni preseci lučnih nosača


136

Visina preseka luka (Sl. 204), kod objekata zgradarstva je redovno u granicama izmeñu 1/40

do 1/30 raspona, dok je kod mostovskih konstrukcija manja (1/100 do 1/60 raspona).

Povećanje bočne stabilnosti se još efikasnije ostvaruje projektovanjem višesdelnih poprečnih

preseka, kojim se obezbeñuje velika krutost van ravni luka uz minimalan utrošak materijala.

Delovi poprečnog preseka su povezani poprečnim rebrima (c, d, e). Sa druge strane,

višedelni preseci zahtevaju i skupu i komplikovanu oplatu. Optimalno (najracionalnije)

rešenje podrazumeva primenu sandučastih preseka (f do i). I ovi preseci se projektuju velike

savojne krutosti na bočno savijanje, a karakterišu se i manjim vitkostima u ravni luka.

Primenjuju se kod mostovskih konstrukcija velikih raspona.

SiluetaSiluetaSiluetaSilueta luka može biti konstantne ili promenljive visine i/ili širine. Promenom momenta

inercije utiče se na raspodelu uticaja duž statički neodreñenog luka, a time je moguće postići

i efekat zglobnih veza. Zglobove je, naravno, moguće projektovati i u obliku naglog suženja

poprečnog preseka luka (Sl. 207). Pri izboru zakona promene visine/širine luka, teži se

maksimalnom iskorišćenju materijala. Kako se aksijalna naprezanja relativno malo menjaju

duž luka, to promenu otpornih momenata preseka treba uskladiti sa promenom

maksimalnih (anvelopa) momenata savijanja.

Sl. 207. Zglobovi

Na Sl. 208 prikazani su dijagrami momenata savijanja u lukovima različitih statičkih sistema:

1 – uklješteni luk sa prirastom momenta inercije ka osloncima (Sl. 202a), 2 – uklješteni luk sa

konstantnim momentom inercije, 3 – uklješteni luk u obliku srpa, 4 – luk na dva zgloba, i 5 –

luk na tri zgloba. U slučaju uklještenog luka, najracionalnije je srednje dve trećine

projektovati konstantnog preseka, a ka krajevima povećavati moment inercije. Dvozglobni

lukovi, optimalno, srednju polovinu imaju konstantne visine i sužavaju se ka krajevima.

Saglasno, luk na tri zgloba ima najveće momente inercije u četvrtinama i sužava se ka

zglobovima.

Sl. 208. Dijagrami momenata savijanja za lukove različitih statičkih sistema

Kako je horizontalna nepomerljivost krajeva element na kojem bazira racionalnost lučnih

elemenata, od izuzetnog je značaja njeno obezbeñenje. Kod prostih lučnih sistema, bez

zatege, kada se na oslonce luka prenose kosa sila i, eventualno, momenat savijanja, oslonci

se projektuju kao masivni temelji oblika prilagoñenog pravcu i veličini opterećenja. Dodatno,

oblik i dimenzije temelja su odreñene i vrstom i karakteristikama tla na kojem se fundira.


137

Kod kvalitetnog tla (npr. stena), temeljna stopa se obično konstruiše u nagibu, kako bi se

povećala otpornost na klizanje. Dodatno povećanje je moguće postići stepenastim

oblikovanjem kontaktne površine temelja (Sl. 209). Pri proračunu sigurnosti na klizanje,

dodatne sigurnosti radi, pretpostavlja se da ukupna horizontalna sila luka mora biti

primljena samo silama trenja na donjoj površini (A-B), a zanemaruje se, osim u slučaju

kvalitetne stene, doprinos (pasivni otpor tla) površine A-C. U slučaju kombinovanih sistema

kod kojih se horizontalna reakcija prima zategom, fundiranje je uobičajeno za prijem

vertikalnih opterećenja.

Sl. 209. Oslonci prostih lučnih sistema

Kod krovnih nosača u sistemu luka sa zategom, oslanjanje na stubove se projektuje preko

ležišta od tvrde gume ili preko metalnih valjaka, kada se želi postići pokretni oslonac.

Nepokretna veza se može ostvariti zavarivanjem čeličnih pločica ankerovanih u stub i u luk,

ili preko ispuštenih ankera i direktnog (preko sloja cementnog maltera) oslanjanja

oslonačkog dela luka na stub42 (Sl. 210).

Sl. 210. Oslanjanje lučnih krovnih nosača sa zategom na stubove

Kod lukova sa zategom koji se fundiraju u tlu, i zatega se redovno projektuje ispod nivoa

terena, u zatvorenom kanalu, kojim je obezbeñena zaštita i kontrola zatege. Unutar kanala,

zatega se oslanja na blisko postavljene pokretne (omogućuju rad zatege) oslonce (ekvivalent

vešaljki), opet u cilju minimiziranja momenata savijanja od sopstvene težine.


Preseci luka su izloženi centričnom pritisku ili pritisku u fazi malog ekscentriciteta, zbog

čega proračun saglasno uticajima proizašlim iz proračuna prema teoriji prvog reda daje

zadovoljavajuće rezultate. Ovi uticaji se odreñuju standardnim postupcima teorije

konstrukcija (metoda sila) ili, danas uobičajeno, uz pomoć odgovarajućih softverskih alata.

Pri tome, logično, lučne elemente je opravdano modelirati takvima da im savojna i aksijalna

krutost proizilaze iz bruto betonskog preseka. Doprinos armature, budući da preseci nisu

jako armirani, nema potrebe obuhvatati prilikom procene krutosti. Meñutim, pravilna

procena krutosti (aksijalne) zatege može biti od velikog značaja. Kod čeličnih zatega usvaja

se aksijalna krutost bruto čeličnog preseka. Kod zatega od prednapregnutog betona

obračunava se aksijalna krutost bruto betonskog ili idealizovanog (doprinos čelika) preseka.

42 Primetiti da su lučni nosači u zgradarstvu redovno montažni elementi.


138

Ovde je od interesa trenutak utezanja kablova – utezanje kablova nakon izvoñenja luka ima

za posledicu uticaje u luku izazvane silom prednaprezanja. Ovi uticaji izostaju ukoliko se

zatega prednapreže pre izvoñenja luka. Kod armiranobetonske zatege, procena aksijalne

krutosti je složenija. Zategnuta, armiranobetonska zatega će imati razvijene prsline, a samim

tim i krutost značajno redukovanu u odnosu na krutost bruto betonskog preseka. Sa druge

strane, beton koji se u eksploatacionom stanju karakteriše izvesnom zatežućom čvrstoćom,

izmeñu dve prsline saučestvuje u prijemu zatezanja, zbog čega napon u armaturi zatege nije

konstantan (Sl. 211), prosečan napon σap je manji od onog na mestu prsline σa, a samim tim

i izduženje čelika (ujedno i izduženje zatege) je manje nego što bi bio slučaj kada bi se

aksijalna krutost zatege izjednačila sa krutošću samo čelika za armiranje. Neka je sa ψ

obeležen odnos maksimalnog i prosečnog napona, a (EF)ef efektivna aksijalna krutost zatege:

ap

a

σψ

σ= . ( ) a a

ef

E FEF

ψ= . ............................................................................ (3.49)

Sl. 211. Promena napona u armaturi armiranobetonske zatege

Za odreñivanje koeficijenta ψ, modelom propisa CEB-FIP je predloženo:

2

1 z bz a a

a a bz bz

F E F

F E F

βψσ ⋅ ⋅= − ≥ ⋅ ⋅

, ........................................................................ (3.50)

βz čvrstoća betona na zatezanje,

Fbz površina betonskog preseka zatege,

Fa površina armature u zatezi,

Ebz modul deformacije betona pri zatezanju, okvirno oko polovine onoga koji

odgovara pritisku.

Treba primetiti da procena krutosti zatege zavisi od količine armature, koja u trenutku

odreñivanja uticaja nije poznata, čime je impliciran iterativni proračun.

Kod lučnih nosača velikog raspona43 neophodna je kontrola stabilnostikontrola stabilnostikontrola stabilnostikontrola stabilnosti luka, kako u ravni,

tako i upravno na ravan luka. U prilog ovoj „opreznosti“ idu i sve manje dimenzije poprečnih

preseka lukova sa porastom čvrstoća betona. Na Sl. 212 su prikazani karakteristični oblici

deformacije lukova u trenutku gubitka stabilnosti, za slučaj simetrične i antimetrične

deformacije. Načelno, za uklještene i dvozglobne lukove, merodavna je antimetrična

konfiguracija, a za trozglobne – simetrična za stinjenosti manje od 0.3, odnosno

antimetrična za stinjenosti veće od ove.

43 Prema Eurocode 2, proračun luka na izvijanje u sopstvenoj ravni je neophodna uvek kada je visina

preseka luka manja od 1/25 raspona.


139

Sl. 212. Karakteristični oblici pri gubitku stabilnosti

Za proračunske dužine izvijanja približno mogu biti usvojene sledeće dužine (sa s je

obeležena kriva/razvijena dužina luka):

0.58 za trozglobne lukove

0.54 za dvozglobne lukove

0.36 za ukljestene lukovei

s

l s

s

⋅= ⋅ ⋅

. .............................................................. (3.51)

Aksijalna sila pritiska koja odgovara pravom (ispravljenom) proračunskom, ekvivalentnom,

štapu, u trenutku gubitka stabilnosti iznosi:

2

2cm m

ci

E IN

l

π ⋅ ⋅= , ......................................................................................... (3.52)

Im srednja vrednost momenta inercije luka,

Ecm sekantni modul elastičnosti betona.

3.5.4.3.5.4.3.5.4.3.5.4. DIMENZIONISANJE I ARDIMENZIONISANJE I ARDIMENZIONISANJE I ARDIMENZIONISANJE I ARMIRANJEMIRANJEMIRANJEMIRANJE

Dimenzionisanje preseka luka se sprovodi saglasno uticajima proisteklim iz statičkog

proračuna. Preseci luka su najčešće pritisnuti u fazi malog ekscentriciteta, zbog čega se u

njima usvaja minimalna armatura, poput preseka stubova, oko 0.8%. Armatura se

rasporeñuje simetrično (Sl. 213), a retke su situacije (veliki momenti savijanja) kada je

opravdan njen nesimetričan raspored. Nastavljanje podužne armature se projektuje

preklopom ili zavarivanjem. Obuhvata se uzengijama, dvosečnim ili, za veće širine,

višesečnim, dodavanjem unutrašnjih, radi boljeg utezanja preseka.

Sl. 213. Armiranje poprečnih preseka lukova

Sl. 214. Uzengije, spoljašnje i unutrašnje

Pritisnuta armatura na spoljašnjoj i zategnuta na unutrašnjoj strani savijanih lukova, imaju

tendenciju ka izbacivanju zaštitnog sloja betona skretnim silama, zbog čega treba predvideti

uzengije kojima će ove sile biti primljene. Sila u uzengijama (po metru dužnom) se

odreñujeprema kotlovskoj formuli, ako je Fa sila u armaturi:


140

auz

FF

r= . ...................................................................................................... (3.53)

Sl. 215. Prihvatanje skretnih sila uzengijama

Zglobovi se dimenzionišu i armiraju () na način kako je to pokazano kod okvirnih

konstrukcija (#3.3.5).

Sl. 216. Armiranje zglobova lučnog nosača

Vešaljke kombinovanih lučnih sistema se dimenzionišu na centrično zatezanje (eventualno

na zatezanje u fazi malog ekscentriciteta) i armiraju simetrično uz pravilno obezbeñenje

dobrog sidrenja šipki (Sl. 217).

Sl. 217. Armiranje vešaljke

Sl. 218. Sidrenje armature zatege

Od velikog je značaja dobro usidrenje armature zatege (Sl. 218). Kod manjih raspona (a)

treba nastojati da se veći deo armature zatege prevede preko oslonca (tačka A) a ostatak,

bar, preko ivice oslonca. Kako bi se smanjile sile cepanja (posledica skretnih sila), savijanje

armature u čvoru mora biti po blagom luku, a ovu zonu treba ojačati i gustom poprečnom

armaturom. Ukoliko postoji mogućnost, dobro je obezbediti konzolno produženje zatege

preko oslonca, čime je omogućeno jednostavno pravo sidrenje šipki (b). U nedostatku


141

prostora za sidrenje, ankerovanje se može sprovesti zavarivanjem armature za čeličnu ploču

koja se postavlja na oslonački blok sa spoljašnje strane (c).

Oslonački blok i ovde, u cilju prihvatanja lokalnih napona, treba armirati gustom troosnom

mrežom formiranom od tanjih profila (Sl. 219).

Sl. 219. Armiranje oslonačkog bloka i sidrenje armature zatege

3.6.3.6.3.6.3.6. OOOOSTALI STALI STALI STALI KOMBINOVANI KOMBINOVANI KOMBINOVANI KOMBINOVANI LINIJSKI NOSAČILINIJSKI NOSAČILINIJSKI NOSAČILINIJSKI NOSAČI

3.6.1.3.6.1.3.6.1.3.6.1. ARMIRANOBETONSKI GREARMIRANOBETONSKI GREARMIRANOBETONSKI GREARMIRANOBETONSKI GREDNI ROŠTILJIDNI ROŠTILJIDNI ROŠTILJIDNI ROŠTILJI

Gredni roštilji su ravanske konstrukcije formirane od greda dva ili više pravca pružanja, koje

se meñusobno presecaju u čvorovima. Oslonjene su na krajevima greda i/ili u pojedinim

čvorovima (Sl. 220). Najčešća je primena roštilja sa ortogonalno postavljenim gredama, ali su

moguće i drugačije dispozicije, poput onih primenjivanih kod rebrastih meñuspratnih

konstrukcija (Sl. 221). U objektima zgradarstva se koriste u sklopu meñuspratnih

konstrukcija, kada su u čvorovima oslonjeni na stubove.

Sl. 220. Nekoliko primera statičkih sistema grednih roštilja

Sl. 221. Neki primeri grednih roštilja

U statičkom smislu, opterećenje koje deluje na jedan nosač se prenosi na susedne, budući

da je opterećena elastično oslonjena na poprečne elemente, a ovi, opet, na podužne... Ovo ih

čini racionalnim nosačima. Roštiljne konstrukcije se u zgradarstvu koriste za pokrivanje

većih površina, najčešće pravougaone, ali i trougaone, kružne, trapezne... osnove.

Poprečni preseci greda su najčešće pravougaoni, odnosno, u sadejstvu sa pločom, T oblika.

Grede dva pravca mogu biti iste ili različite visine, što je uslovljeno intenzitetom sila u

presecima, te uslovima pravilnog voñenja armature.

Pod dejstvom vertikalnog opterećenja, u gredama roštilja se javljaju i torzioni uticaji,

izazvani ugibom grede drugog pravca. Prilikom odreñivanja statičkih uticaja, od posebnog je

značaja procena torzione krutosti greda roštilja. Precenjivanjem (na primer usvajanjem


142

torzione krutosti homogenog betonskog preseka), mogu se značajno podceniti vrednosti

momenata savijanja.

Sl. 222. Uvrtanje grede roštilja

Za granično stanje nosivosti opravdano je zanemariti postojanje torzione krutosti. U

statičkom proračunu ovo može da znači značajnu redukciju statičke neodreñenosti, kako je

pokazano na Sl. 223.

Sl. 223. Redukcija statičke neodreñenosti zanemarenjem torzione krutosti greda

Armiranje grednih roštilja u svemu odgovara armiranju grednih elemenata. Zbog pojave

uvrtanja greda, uzengije treba izvoditi preklopljene preko kraće strane. Pogodno je da grede

dva pravca budu različite visine iz razloga nesmetanog prolaska podužne armature dva

pravca kroz čvor. U suprotnom, kada su grede dva pravca iste visine, na mestu ukrštanja

armatura se reña naizmenično, ukoliko je usvojena u više redova (Sl. 224).

Sl. 224. Podužna armatura u čvoru

3.6.2.3.6.2.3.6.2.3.6.2. GREDE SA ZATEGAMAGREDE SA ZATEGAMAGREDE SA ZATEGAMAGREDE SA ZATEGAMA (DVOPOJASNI NOSAČI)(DVOPOJASNI NOSAČI)(DVOPOJASNI NOSAČI)(DVOPOJASNI NOSAČI)

Kombinacijom grednog nosača i poligonalne zatege mogu se formirati vrlo racionalni

elementi sposobni da savladaju velike raspone uz minimalan utrošak materijala. Primena

ovakvih sistema je karakteristična za krovne konstrukcije velikog raspona, gde se

upotrebljavaju kao glavni ili sekundarni nosači.

Sl. 225. Dvopojasni nosači

Greda se projektuje kao armiranobetonski element, vertikale mogu biti armiranobetonske ili

čelične, a zatega se projektuje kao čelična, prednapregnuta ili armiranobetonska. Kod

nosača velikog raspona, u armiranobetonskoj zatezi, meka armatura može uspešno biti

zamenjena kablovima od visokokvalitetnog čelika. Meñutim, u takvim situacijama, znatno


143

većim vrednostima dopuštenih napona odgovaraju i znatno veća izduženja zatege, pa se

proračun saglasan teoriji drugog reda javlja neophodnim.

Statički, greda se oslanja kruto na krajevima, a elastično, na zategu, na mestima vertikala –

kontinualni nosač na elastičnim osloncima. Ovim se značajno redukuju momenti savijanja u

gredi, u odnosu na prostu gredu, a pošto je zatega usidrena u samu gredu, predaje joj i

značajne sile pritiska. Ovim, gredni element može da ostane u stanju pritiska u fazi malog

ekscentriciteta.

Kako je greda pritisnuta, to se i u ovom slučaju mora kontrolisati mogućnost bočnog

izvijanja. Ovo je razlog što su poprečni preseci greda često većeg momenta inerciju u ravni

normalnoj na ravan nosača, često i višedelni (Sl. 226). Za velike raspone povoljna je primena

sandučastih preseka.

Sl. 226. Poprečni preseci dvopojasnih nosača

Vertikale se obično projektuju u trećinama raspona u slučaju kolenaste grede, odnosno u

četvrtinama kod pravih greda. Stinjenost ovakvih nosača je u granicama izmeñu 1/15 i 1/7.

Dvopojasni nosači, osetljivi na deformacije generalno, moraju biti kontrolisani i u smislu

vremenskih deformacija betona – promene dužine (skraćenja) pritisnute grede. Skraćenje

grede ima za posledicu i skraćenje raspona zatege (lančanice), te povećanja ugiba kablova.

Primer uspešno izvedene konstrukcije velikog raspona sa ovim sistemom je konstrukcija

Hangara 2 na aerodromu u Surčinu, a u novije vreme, krovna konstrukcija Beogradske arene.

Sl. 227. Shematski prikaz konstrukcije Hangara 2 na aerodromu u Surčinu

3.6.3.3.6.3.3.6.3.3.6.3. VIRANDEL NOSAČIVIRANDEL NOSAČIVIRANDEL NOSAČIVIRANDEL NOSAČI

Virandel nosači su gredni elementi sastavljeni od mreže krutih četvorouglova, koji formiraju

gornji i donji pojas, te sistem vertikala. Mogu biti projektovani u sistemu proste ili

kontinualne grede, a primenjuju se kao krovni i meñuspratni glavni nosači u zgradarstvu, te

kao glavni nosači mostovskih konstrukcija. Pojasevi se konstruišu kao paralelni pravolinijski

ili poligonalni. Sve veze elemenata su krute.

Sl. 228. Pravolinijska i poligonalna konfiguracija


144

Nastali su u težnji da se racionalizuje puni gredni element formiranjem četvorougaonih

otvora. Postignuta je racionalna konstrukcija, koja u nekim situacijama može biti

konkurentna sa rešetkastim ili lučnim nosačima.

Forsirano krute veze izmeñu štapova imaju za posledicu izuzetno krutu konstrukciju velike

nosivosti, nezavisno od konfiguracije ili promene opterećenja. Sa druge strane, zbog

momenata savijanja i transverzalnih sila visokog nivoa, utrošak armature je neuporedivo veći

nego kod ostalih kombinovanih linijskih sistema.

Velika vertikalna opterećenja mogu usloviti projektovanje virandel nosača bez otvora u

krajnjim poljima, radi mogućnosti prijema smicanja.

3.7.3.7.3.7.3.7. KRUŽNI PRSTENASTI NOKRUŽNI PRSTENASTI NOKRUŽNI PRSTENASTI NOKRUŽNI PRSTENASTI NOSAČISAČISAČISAČI

3.7.1.3.7.1.3.7.1.3.7.1. UVOD, PRIMENA, OBLIKUVOD, PRIMENA, OBLIKUVOD, PRIMENA, OBLIKUVOD, PRIMENA, OBLIKOVANJE...OVANJE...OVANJE...OVANJE...

Kružni zatvoreni prstenasti nosač je čest element armiranobetonskih konstrukcija kružne

osnove i javlja se kao obodni oslonački element kružnih i prstenastih ploča, obodni nosač na

spoju ljuskastih elemenata, temeljni nosač (greda) ispod stubova rsporeñenih po obimu

kruga... (Sl. 229).

Sl. 229. Primena kružnog prstenastog nosača

U konstrukcijama, prstenasti nosač se koristi kao prelazni oslonački element, kojim se, na

primer, kružne ploče oslanjaju na niz stubova, a kada ploči, dovoljnom savojnom krutošću,

obezbeñuje linijske uslove oslanjanja po obodu, dok je sam oslonjen diskontinualno na

stubove. U tom slučaju, prstenasti nosač je dominantno savijan u vertikalnoj ravni, a kao

posledica zakrivljenosti realizuju se i momenti torzije po dužini prstena (Sl. 230a). U drugom

slučaju, prstenasti nosač može biti kontinualno oslonjen na zidove, bilo da je reč o zidovima

od opeke ili da je monolitno spojen sa armiranobetonskim ljuskastim elementom kružne

osnove. I tada, i pored obezbeñene vertikalne nepomerljivosti, usled momenata uvrtanja,

može biti izložen uticajima momenata savijanja. U oba slučaja, prstenasti element može biti

izložen i dejstvu horizontalnog opterećenja, u sopstvenoj ravni, kada se kao posledica

javljaju dominantno aksijalne sile. Šta više, neretka uloga prstenastog nosača je obezbeñenje

horizontalnog oslonca ljuskastim (sferični, konični) elementima, kada je nosač izložen

aksijalnim silama visokog intenziteta. U takvim situacijama, uobičajeno je njegovo

projektovanje u prednapregnutom betonu.


145

Kako se javlja elementom konstrukcija koje svojom geometrijom zadovoljavaju rotacionu

simetriju44, te kako su ovakve konstrukcije gravitaciono najčešće rotaciono-simetrično i

opterećene gravitacionim opterećenjem, to se i sam prsten često proračunava u uslovima

zadovoljene rotacione simetrije geometrije i opterećenja (Sl. 230b).

Sl. 230. Diskontinualno oslonjen prsten i rotaciono-simetrično opterećenje prstenastog nosača

U poprečnom preseku, prstenasti nosač se najčešće oblikuje pravougaonog oblika, mada su,

posebno kad je spoj ljuskastih elemenata u pitanju, mogući i drugi, nepravilni, oblici (Sl.

229b, na primer).


3.7.2.1.3.7.2.1.3.7.2.1.3.7.2.1. Kontinualno oslonjen kružni prstenKontinualno oslonjen kružni prstenKontinualno oslonjen kružni prstenKontinualno oslonjen kružni prsten

U uslovima rotacione simetrije, kontinualno oslonjen kružni prstenasti nosač može biti

opterećen ravnomerno podeljenim (linijskim) opterećenjem, koje se može razložiti na

vertikalnu i horizontalnu komponentu, te ravnomerno raspodeljenim momentima uvrtanja.

Membranski (statički odreñeni) uslovi oslanjanja prstena podrazumevaju nesmetanu

promenu prečnika ploče i sprečeno vertikalno ugibanje.

Sl. 231. Prsten opterećen u svojoj ravni (kotlovska formula)

Pod dejstvom horizontalnog rotaciono-simetričnog opterećenja (Sl. 231) koje deluje u

težištu prstena45, za „membranske“ uslove, u prstenu se realizuje aksijalna sila, prema

kotlovskoj formuli (direktno iz uslova ravnoteže):

Z H r= ⋅ . ..................................................................................................... (3.54)

Normalni naponi i dilatacije su, zapravougaoni presek:

Z H r

F b dσ ⋅= =

⋅, r

H r

E b dϕε ε ⋅= =⋅ ⋅

, ................................................................. (3.55)

dok je promena poluprečnika (∆r) data narednim izrazom, a obrtanje izostaje:

44 Rotaciona simetrija podrazumeva nezavisnost oblika od rotacije, ili, jednake karakteristike u svim

radijalnim pravcima.

45 Primetiti da je opterećenje ravnotežno.


146

2H r

r rE b d

ε ⋅∆ = ⋅ =⋅ ⋅

, 0χ = . ......................................................................... (3.56)

Uz zanemarenje širine b prema radijusu, može se smatrati da sve tačke preseka prstena

imaju jednaku deformaciju, tj. da se presek pomera kao kruto telo (Sl. 232).

Sl. 232. Deformacija prstena opterećenog u svojoj ravni

Sl. 233. Prsten opterećen rotaciono-simetričnim momentima uvrtanja i kombinovanim uticajima

Pod dejstvom rotaciono-simetričnih momenata uvrtanja (m), budući da je opet reč o

ravnotežnom opterećenju, ne ralizuju se nikakve oslonačke reakcije. Kako „membranski“

uslovi oslanjanja obezbeñuju nesmetanu rotaciju poprečnih preseka, uz ponovno

zanemarenje širine preseka prema radijusu, u prstenu se realizuju konstantni momenti

savijanja u vertikalnoj ravni46 (Sl. 233a):

M m r= ⋅ . .................................................................................................... (3.57)

Normalni naponi, linearno promenljivi, su funkcija položaja po visini preseka:

3

12M m ry y

I b dσ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅

⋅, ............................................................................... (3.58)

dok su naponi na ivici:

2

6 m r m r

b d Wσ ⋅ ⋅ ⋅= ± = ±

⋅. ................................................................................. (3.59)

46 Kao posledica zakrivljenosti, situacija je „pomalo“ paradoksalna: po dužini linijski element ne trpi

vertikalnu deformaciju, a izložen je momentima savijanja. Prikazanom smeru opterećenja odgovaraju

momenti savijanja koji zatežu donju stranu prstena.


147

Prsten se deformiše obrtanjem poprečnih preseka oko svog težišta za veličinu χ. Dilatacija,

odnosno promena poluprečnika, u funkciji položaja po visini preseka je:

3

12 m ry

E b dε ⋅ ⋅= ⋅

⋅ ⋅,

2

3

12 m rr r y

E b dε ⋅ ⋅∆ = ⋅ = ⋅

⋅ ⋅. ..................................................... (3.60)

Sada se do obrtanja preseka kao krutog tela može doći iz promene poluprečnika ivičnih

vlakana (∆r0):

2

0 2

6 m rr

E b d

⋅ ⋅∆ =⋅ ⋅

→ 2

0

/ 2

r m r

d EIχ ∆ ⋅= = . ........................................................... (3.61)

U opštem slučaju, kada na kontinualno, „membranski“ oslonjen, prsten deluju rotaciono-

simetrična opterećenja proizvoljnog pravca, i kada se širina preseka može zanemariti u

odnosu na radijus, svoñenjem spoljašnjih sila na težište preseka i dekompozicijom

(projekcijama) moguće je opšti slučaj opterećenja svesti na dva navedena (Sl. 233b). Uslovi

oslanjanja koji podrazumevaju slobodno horizontalno pomeranje redovno se ne javljaju u

realnim konstrukcijama, ali je moguće usvojiti ih u osnovnom, statički odreñenom sistemu, a

za statički prekobrojnu izabrati horizontalnu, rotaciono-simetričnu, reakciju.

3.7.2.2.3.7.2.2.3.7.2.2.3.7.2.2. Diskontinualno oslonjen prstenasti nosačDiskontinualno oslonjen prstenasti nosačDiskontinualno oslonjen prstenasti nosačDiskontinualno oslonjen prstenasti nosač

Uslovi ravnoteže za diferencijalno mali isečak diskontinualno oslonjenog prstenastog

nosača, prema Sl. 234, su:

0dQ

p rdα

+ ⋅ = , 0xy

dMdM

dα+ = , y

x

dMQ r M

dα= ⋅ + , .................................... (3.62)

Sl. 234. Analiza sila na elementarnom delu diskontinualno oslonjenog kružnog prstena

iz čega se sreñivanjem dolazi do diferencijalne jednačine, te njenog rešenja:

2

22

yy

d MM p r

dα+ = − ⋅ ,

2sin cosyM A B p rα α= ⋅ + ⋅ − ⋅ . ............................... (3.63)

Integracione konstante su u funkciji ivičnih uslova. Sile u presecima su, u opštem slučaju,

statički neodreñene, ali se za neke specijalne slučajeve opterećenja mogu izvesti samo iz

uslova ravnoteže. Primera radi, u nastavku su data rešenja za dva karakteristična slučaja

opterećenja.

Kružni nosač sa proizvoljnim brojem (n) ravnomerno po obimu rasporeñenih oslonaca i

opterećen ravnomerno raspodeljenim vertikalnim opterećenjem (p) (Sl. 235):

• 2

R r pn

π= ⋅ ⋅ , maxQ r pn

π= ± ⋅ ⋅ ,


148

• 2

0

cos1

sinyM rn

π απα

⋅= − ⋅ , 2

0

sin

sinxM rn

π απ αα

⋅= − − ⋅ , 02 2 / nα π= ,

• Q r π α= − ⋅ ⋅ .

Sl. 235. Ravnomerno vertikalno opterećenje; Dijagrami My, Mx i Tz

Kružni nosač sa parnim brojem oslonaca ravnomerno rasporeñenih po krugu, opterećen u

poljima naizmeničnim ravnomerno podeljenim opterećenjem ±p (Sl. 236):

• 0R = , maxQ r pn

π= ± ⋅ ⋅ ,

• 2

0

cos1

sinyM rαπα

= −

, 2

0

sin

sinxM rαπ αα

= − +

, 02 2 / nα π= ,

• Q r π α= − ⋅ ⋅ .

Sl. 236. Naizmenično opterećenje; Dijagrami My, Mx i Tz


149

3.7.3.3.7.3.3.7.3.3.7.3. DIMENZIONISANJE I DIMENZIONISANJE I DIMENZIONISANJE I DIMENZIONISANJE I ARMIRANJEARMIRANJEARMIRANJEARMIRANJE

Dimenzionisanje i armiranje kružnog prstenastog nosača u svemu odgovara onom kod

grednih elemenata napregnutih pomenutim uticajima momenata savijanja, torzije, aksijalne i

transverzalne sile. Pravila i preporuke za voñenje i nastavljanje armature su, takoñe,

identična.

3.8.3.8.3.8.3.8. KRATKI ELEMENTIKRATKI ELEMENTIKRATKI ELEMENTIKRATKI ELEMENTI

Kratki elementi su, načelno, kratki konzolni nosači opterećeni koncentrisanom silom, često

velikog intenziteta, na svom kraju. Raspon elementa (krak sile u odnosu na uklještenje), a,

nije veći od statičke visine elementa, h (Sl. 237a). Slično, kratkim elementima se, prilikom

proračuna, smatraju i delovi grednih nosača na kojima dolazi do znatne promene

transverzalne sile na dužini grede koja nije veća od njegove visine, kakav je, na primer,

slučaj kada u neposrednoj blizini oslonca deluje poprečna koncentrisana sila velikog

intenziteta (Sl. 237b). U praksi, kratki elementi se često primenjuju (Sl. 238): kao oslonci

podužnih nosača kranskih staza, kao oslonci prefabrikovanih elemenata u montažnom

načinu gradnje, ili na dilatacionim razdelnicama, pri oblikovanju Gerber-ovih zglobova...

Sl. 237. Kratki elementi

Zbog specifičnosti oblika, kratki elementi su pre površinski elementi opterećeni u svojoj

ravni nego linijski, zbog čega ni njihov proračun kao linijskih nije prihvatljiv. Takoñe,

primena teorije elastičnosti kod ovih elemenata nije primerena, zbog prslina koje su

karakteristika već eksploatacionih opterećenja, a za posledicu imaju plastične i viskozne

deformacije.

Sl. 238. Primena kratkih elemenata

Na Sl. 239 prikazane su trajektorije glavnih napona47 kod kratkih elemenata opterećenih

vertikalnom silom, koji se razlikuju u nagibu donje ivice. Punim linijama su, očigledno, date

trajektorije napona pritiska, a isprekidanim – zatezanja. Slika pravaca naprezanja je izuzetno

informativna i omogućava postavljanje aproksimativnih postupaka proračuna. Uporeñenjem

dva slučaja, može se zaključiti da je kosa ivica povoljnija u statičkom smislu, jer obezbeñuje

nešto povoljniji (male razlike) ugao unosa sile pritiska u stub. Kod ravne donje ivice

47 Trajektorije mogu biti odreñene, na primer, fotoelastičnim postupkom, eksperimentalno, ili

primenom metode konačnih elemenata, računski.


150

(jednostavnije za izvoñenje), dodatno, jedan deo elementa ostaje neiskorišćen i, pogotovu

izložen dinamičkim i udarnim opterećenjima, sklon odvaljivanju na spoju napregnutog i

nenapregnutog dela.

Sl. 239. Trajektorije naprezanja kratkih elemenata sa zakošenom i ravnom donjom ivicom48

Eksperimentalno je pokazano49 da su naponi zatezanja uz gornju ivicu konzole praktično

konstantni celom dužinom od ivice stuba do mesta dejstva sile. Samim tim, i ukupna

zatežuća sila Fs je nepromenljiva. Takoñe, sila pritiska, koja se pruža od napadne tačke sile

do korena kratkog elementa je približno konstantna, a već je konstatovan relativno mali

uticaj oblika konzolnog elementa na trajektornu sliku. Na osnovu iznetog kristalisao se

štapni mehanizam kao aproksimativni pristup proračunu kratkih elemenata (Sl. 240), koji

podrazumeva razlaganje spoljašnjeg koncentrisanog dejstva (u opštem slučaju – kosog) na

horizontalnu silu zatezanja i kosu silu pritiska.

Sl. 240. Štapni mehanizam kratkog elementa

Na Sl. 241 prikazani su mogući mehanizmi otkaza kratkih elemenata, intenzivno istraživani

od strane Kriz-a i Raths-a.

Slomu usled zatezanja gornje zone izazvanog momentom savijanja (slika a) prethode velike

deformacije horizontalne armature, a slom se „realizuje“ drobljenjem pritisnutog betona.

Dijagonalno cepanje po dužini pritisnutog štapa (slika b), nakon pojave pukotine uz lice

48 Visina nosača, a ne statička visina, na crtežima je obeležena sa hc (ovakvo obeležavanje, invertovane

oznake za ukupnu i statičku visinu, karakteristično je za Evrokod).

49 Najčešće se citiraju eksperimentalna istraživanja Franz-a i Niedenhoff-a.


151

stuba, rezultiraće slomom smicanjem u pritisnutoj zoni. Niz kratkih i odvojenih dijagonalnih

pukotina (slika c) vodi slomu usled klizanja, nakon spajanja ovih prslina. Opterećenje naneto

blizu kraja konzole (slika d) formira vertikalni pritisnuti štap i vodi slomu odsecanjem. Kod

malih površina podložnih pločica može doći do lokalnog preopterećenja i drobljenja betona

ispod pločice (slika e). Konačno, horizontalno, uz vertikalno, opterećenje može biti uzrok

vertikalnim prslinama i slomu po njoj (slika f).

Sl. 241. Mogući tipovi sloma kratkih elemenata

Armatura za prijem napona zatezanja izazvanih momentom savijanja se odreñuje i

konstruiše na isti način kao i kod ostalih konzola. Pri tome je, saglasno Sl. 240, moment

savijanja uz lice stuba:

v c cM F a H h= ⋅ + ⋅ ∆ . ................................................................................... (3.64)

Sl. 242. Armatura za prijem napona zatezanja od momenta savijanja

Granična vrednost ovog momenta i horizontalne sile rezultuje potrebnom količinom

armature, nakon što se za krak unutrašnjih sila, preporučeno, usvoji nešto niža vrednost od

one koja odgovara grednim elementima – oko 80% statičke visine. Ova armatura se oblikuje

na način prikazan na Sl. 242, i sidri se, dovoljnom dužinom, u stub, na oba kraja.

Armatura za prijem uticaja od transverzalne sile se sračunava direktno iz ukupne

transverzalne sile i, preporučeno, postavlja se kao kosa, potrebne površine:

2 cos

uak

v

TA

σ β=

⋅ ⋅, .................................................................................... (3.65)

gde je sa β obeležena razlika uglova nagiba kose armature i kosog pravca od 45º. Potrebna

količina kose armature treba da bude rasporeñena na način (prema tzv. Mehmel-ovom

modelu) da bude relativno ravnomerno rasporeñena duž linije koja spaja napadnu tačku sile

i koren elementa (Sl. 243a).


152

Sl. 243. Kosa armatura za prijem transverzalnih sila i armiranje kratkih kratkih elemenata

Kod vrlo kratkih konzola, kada je raspon znatno manji od visine, kosi glavni naponi

zatezanja, umesto kosom, mogu biti primljeni horizontalnom armaturom (otvorene uzengije)

rasporeñenom po visini elementa (Sl. 243b). Treba naglasiti i da mnogi savremeni propisi ne

preporučuju korišćenje kose armature za prijem glavnih napona zatezanja ni kod kratkih

elemenata. Razlog ovome je nemogućnost njenog potpunog iskorišćenja, ali i komplikovano

izvoñenje i otežano betoniranje. Shema armiranja u kojoj izostaju kose šipke je prikazana na

Sl. 244, za kratki element horizontalne donje ivice.

Sl. 244. Armiranje samo horizontalnom i vertikalnom armaturom

Osim proračunskom, kratki element, dodatno, mora biti gusto armiran i horizontalnim i

vertikalnim konstruktivnim uzengijama. Razlog ovome je i u mogućim drugačijim

mehanizmima sloma kratkog elementa.

Saglasno Evrokodu, kod kratkog elementa je neophodno dokazati i nosivost pritisnute

dijagonale/štapa. U tom cilju se granična vrednost sile pritiska deli površinom odreñenom

širinom preseka, b, i širinom (efektivnom) pritisnutog štapa, c, za koju se usvaja jedna petina

statičke visine (Sl. 240). Ovako odreñen napon se uporeñuje sa računskom vrednošću

pritisne čvrstoće pri savijanju.

Indirektno opterećeni kratki elementi (Sl. 245) mogu biti približno analizirani podelom

vertikalnog opterećenja na dva jednaka dela, od kojih jedan deluje u gornjem, a drugi u

donjem delu. Za silu na gornjoj ivici proračun odgovara iznetom, a donja polovina sile se


153

razlaže na jednu zatežuću, Fs2, i jednu pritiskujuću, Fc2. Zatežućoj sili, sada, odgovara i

dodatna količina armature.

Sl. 245. Indirektno opterećen kratki element

Podmetač, preko kojeg se prenosi sila na kratki element, mora biti dovoljno udaljen od ivice,

kako je slikom prikazano (Sl. 246a).

Proračun i armiranje grednog elementa opterećenog u blizini oslonca je u svemu analogno

proračunu i armiranju kratkog elementa (Sl. 246b).

Sl. 246. Udaljenje podmetača od ivice i deo grede koji se tretira kao kratki element

Oslabljeni deo grede kod Gerber-ovog zgloba se, takoñe, tretira kao kratki element. Jedan

način njegovog armiranja prikazan je na Sl. 247.

Sl. 247. Armiranje Gerber-ovog zgloba

03 - linijski elementi

Documents