LINIJSKI INTEGRALI

Da bi prirodnim putem došli do ovog tipa integrala razmotrimo jedan problem iz mehanike. Neka je u ravni data neprekidna prosta kriva (K) diž koje je raspoređena masa pri čemu je poznata linijska gustina ρ (M) = ρ (x,y) u svim tačkama M(x,y) krive. Treba odrediti masu m cijele krive (K). U tom cilju krivu (K) izdijelimo tačkama A=A0, A1, A2, ...,An = B na proizvoljan način

Na luku uočimo tačke Mi ∈ i izračunajmo ρ (Mi). Ako je ∆si dužina luka i ako smatramo da je

mi = ρ (Mi) ∙ ∆s

gdje je mi masa segmenta .

Ako se broj tačaka poveća tako da max ∆si = 0, onda masa cijele krive iznosi:

Posmatrajmo sada proizvoljnu funkciju f(x,y) u tačkama krive (K). Nakon diobe krive (K)

na elementarne lukove , izaberemo u svakom od tih lukova po jednu tačku Mi(ξ

i,ηi) i formirajmo integralnu sumu:

....(1)

Definicija: Ako integralna suma (1) pri max∆si 0 ima određenu konačnu graničnu

vrijednost I koja ne zavisi od načina podjele krive (K) ni od izbora tačaka Mi ∈ onda se I naziva linijski integral funkcije f(x,y) po krivoj (K) ili po putu i označava se:

... (2)

U skladu sa ovom definicijom masa krive (K) je .

Primjetimo da u datoj definiciji ne igra nikakvu ulogu pravac kretanja po krivoj (K), zato:

IZRAČUNAVANJE LINIJSKOG INTEGRALA PRVE VRSTE

Neka je linija (K) zadata jednačinom y = φ(x), a≤x≤b. Neka je f(x,y) funkcija koja je neprekidna i definisana u svim tačkama krive (K).

∆s – dužina dijela luka

∆

x = xi+1 – xi

∆y = yi+1 – yi

Neka je s dužina krive (K) i ds diferencijal luka. Pitamo se čemu je jednako ds?

formula za izračunavanje linijskog integrala prve vrste.

Ako je kriva (K) data u parametarskom obliku

(K) : x=x(t), y=y(t), t1≤t≤t2

(K) : x=x(t), y=y(t), z=z(t), t1≤t≤t2

Specijalno – ako je kriva (K) zadana kao presjek dva cilindra onda je to specijalan slučaj prethodnog

(K) : y=y(x); z=z(x), x=t

LINIJSKI INTEGRALI PO KOORDINATAMA DRUGE VRSTE

Ako je zadata neprekidna kriva (K) = AB u čijim tačkama je definisana funkcija f(x,y). Krivu AB razložimo tačkama A0=A, A1,A2, ..., An = B.

Izaberimo u segmentu neku tačku proizvoljno Mi (ξ i,ηi) ∈

Vrijednost funkcije f(ξ i,ηi) pomnožimo zatim sa projekcijom na osu x segmenta . Sastavimo integralnu sumu:

.....(1)

∆x – projekcija na x – osu segmenta

Definicija: Ako pri max integralna suma (1) ima konačnu graničnu vrijednost onda je ta granična vrijednost linijski integral druge vrste od funkcije f(x,y) dx na putu ( AB) i označava se:

Analogno se definiše linijski integral

f(x,y)dy :

Ako su duž krive definisane dvije funkcije P(x,y) i Q(x,y) i ako postoji i

onda njihovu sumu nazivamo linijski integral opšteg tipa drugog reda

Iz definicije linijskog integral ovog tipa jasno je da znak projekcije segmenta luka bitno zavisi od pravca kretanja po krivoj (K). Projekcija mijenja znak ako se pravac promijeni:

Računa se:

Ako je (A,B) u parametarskom obliku

(AB) : x=x(t), y=y(t), t1≤t≤t2

Ako je (A,B) zadata u prostoru u parametarskom obliku:

X=x(t); y=y(t); z=z(t); t1≤t≤t2

GREENOVA FORMULA

Daje vezu između dvojnog integrala po zatvorenoj konturi i dvojnog integrala po površini koja je omeđena tom konturom. Posmatrajmo oblast (D) koja je krivolinijski trapez PQRS ograničen konturom (L)

(L) se sastoji od

(L) = PQ + QR + SR + PS

Neka je u oblasti (D) zadata funkcija P(x,y) koja je neprekidna i ima neprekidan izvod ∂P∂ y

u (D).

Izračunajmo dvojni integral

Znači, ...(1)

Pošto želimo uzeti u razmatranje integral po cijeloj konturi (L), dodat ćemo na desnu stranu jednakosti (1) integrale

Koji su jednaki 0 (jer su odsječci PS i QR paralelni y-osi). Dobijamo

Desna strana je integral uzet po zatvorenoj konturi (L) koja ograničava oblast (D), ali u negativnom smjeru, pa je

....(1)

Ako je oblast složenijeg oblika, onda se ona može izdijeliti pravim paralelnim y-osi na konačan broj krivolinijskih trapeza pozmatranog oblika.

Za svaki od navedenih dijelova vrijedi formula, pa sabravši sve integrale dobijamo na desnoj strani integraciju po cijeloj konturi zadate oblasti.

Neka je u oblasti (D) zadata funkcija Q(x,y) koja je neprekidna i ima neprekidan izvod ∂Q∂x

u (D). Tada se može izvesti formula:

....(2)

Ako sada oblast (D) istovremeno zadovoljava uvjete oba slučaja, tj. u D su zadate dvije

neprekidne funkcije koje imaju parcijalne izvode ∂P∂ y

i ∂Q∂x

koji su također neprekidni.

Oduzimajući formulu (1) od formule (2) dobija se:

----(*)

Formula (*) naziva se Greenova formula.

POVRŠINSKI INTEGRALI

STRANA POVRŠI. ORJENTACIJA POVRŠI I PROSTORA.

Pojam strane površi je intuitivno jasan. Ako je z- osa usmjerena uvis, a površ zadata jednačinom oblika z = f(x,y), može se govoriti o gornjoj I donjoj strani površi. Ako je površ zatvorena, tj. ograničava neko tijelo, onda se također može govoriti o vanjskoj I unutrašnjoj strani površi. Polazeći od intuitivne predstave, daćemo tačno definisanje strane površi. Posmatrajmo glatku površinu (s), zatvorenu ili ograničenu sa dio po dio glatkom konturom. uzmimo na površini (S) određenu tačku M0 I u njoj postavimo normalu na površ, kojoj pripišemo određeni pravac (jedan od dva moguća).

Napravimo na površi proizvoljnu zatvorenu konturu polazeći od tačke M0 I vraćajući se u nju, uz pretpostavku da ne presijecemo granicu povrsi (S). krecuci se po konturi, posmatrajmo izabrani pravac normale.

Ako se nakon obilaska konture, pravac normale u tacki M0 nije promijenio, kazemo da je povrs (S) dvostrana, a ako je nakon obilaska konture pravac normale M0 suprotan polaznom, povrs

(S) je jednostrana. Primjer jednostrane povrsi je list Mebiusa. Cijelu jednostranu povrs mozemo obojiti sa obje strane ne dizuci cetku sa povrsi.

Definicija: Skup svih tacaka povrsi kroz koje prolaze normale sa određenim pravcem, nazivamo stranom povrsi.

Ako je povrs zadata eksplicitno vezom z=f(x,y), gdje je funkcija z neprekidna I ima

neprekidne parcijalne izvode

U nekoj oblasti D, onda je pravac normale određen cosinusima uglova koje ona zaklapa sa koordinatnim osama:

Odavde je jasno da izbor znaka ispred korjena određuje pravac normale, tj. Određuje stranu povrsi. Ako se izabere znak + pred korjenom je u tim tackama

Pa je ugao γ koji normala zaklapa sa z-osom, ostar ugao, a strana koja je ovim izborom određena – gornja strana povrsi. Suprotno, izbor znaka – određuje donju stranu povrsi.

Posmatrajmo jednu određenu stranu povrsi (S) I na njoj uocimo zatvorenu konturu (L). ako, krecuci se po konturi (L), dio povrsi koju opkoljava (L) ostaje sa lijeve strane, kaze se da je to pozitivan pravac kretanja po konturi (L). ako taj dio povrsi ostaje sa desne strane, onda je to negativan pravac kretanja po konturi (L).

Definise se i orjentacija prostora preko orjentacije koordinatnih osa. Ako gledajuci sa pozicije z- ose određujemo x i y ose u pozitivnom smjeru, dobijamo desnu orjentaciju, a

u negativnom smjeru, dobijamo lijevu orjentaciju. Zato se koordinatni sistem Oxyz na slici 4.4 a) zove desni, a na slici 4.4 b) lijevi koordinatni sistem.

POVRŠINSKI INTEGRALI PRVOG TIPA (PRVE VRSTE)

Neka je u nekoj dvostranoj glatkoj (ili dio po dio glatkoj) povrsi (S), koja je ograničena dio po dio glatkom konturom, definisan funkcija f(M) = f(x,y,z). podijelimo povrs (S) pomocu mreze proizvoljno postavljenih krivih na dijelove (S1),(S2), …, (Sn).

Mreza se, npr, moze dobiti kao presjek ravni paralelnih sa koordinatnim ravnima I povrsi (S). u svako dijelu (Si), i=1,…,n, izaberimo proizvoljno tačku Mi(xi,yi,zi) I izracunajmo u toj tacki vrijednost funkcije f(Mi)=f(xi,yi,zi).

Pomnozimo dobijenu vrijednost funkcije sa povrsinom Si odgovarajuceg dijela povrsi

(Si). Sastavimo integralnu sumu

I trazimo njenu granicnu vrijednost kad I najveci dijametar elementarne povrsine tezi 0,

tj. Trazimo

Definicija: granicna vrijednost integralne sume (ako postoji kao konacna vrijednost), naziva se površinski integral prvog tipa funkcije f(M) = f(x,y,z) po povrsi (S) I oznacava

se simbolom: Gdje je dS diferencijal povrsi.

Racunanje povrsinskog integrala prve vrste:

Ako je povrs (S) zadata eksplicitno vezom z=z(x,y) i onda je diferencijal povrsi

Pa se povrsinski integral po povrsi (S) moze svesti na obicni dvojni integral po oblasti (D) u koju se u xy-ravni projektuje povrs (S):

Kako je

Gdje je γ ugao između normale na povrs I z-ose, onda se formula moze zapisati I ovako

POVRŠINSKI INTEGRALI PO KOORDINATAMA DRUGE VRSTE

Posmatrajmo dvostranu povrs (S) koja je zadata eksplicitno z=z(x,y) pri cemu je tačka (x,y) iz oblasti (D) u xy-ravni, koja je ograničena dio po dio glatkom konturom. primjetimo da ako odredimo pozitivan pravac na nekoj zatvorenoj konturi na gornjoj strani povrsi (S), pa projektujemo tu konturu na npr xy-ravan, onda ce njena projekcija također imati pozitivan pravac kretanja.

Tada cemo povrsinu projekcije elementarne povrsi uzimati sa znakom +. Ako je zatvorena kontura na donjoj strani povrsi, onda ce kontura I njena projekcija iimati suprotne orjentacije pri kretanju po konturi neke tacke M. u ovom slucaju cemo povrsinu projekcije elementarne povrsi uzimati sa znakom -.

Neka je sada u tackama povrsi (S) definisana neka funkcija f(M)=f(x,y,z). razlozimo povrs (S) mrezom dio po dio glatkih krivih na elemente (S1), (S2), …, (Sn).

Izaberimo u svakom elementu (Si) po jednu tacku Mi(xi,yi,zi) I pomnozimo vrijednost f(xi,yi,zi) sa povrsinom Di projekcije na xy-ravan elementa (Si) sa znakom + ili -.

Sastavimo integralnu sumu

Definicija: Ako postoji konacna granicna vrijednost integralne sume, kad dijametar svih elementarnih povrsina tezi nuli, onda se ona naziva povrsinski integral druge vrste od f(x,y,z) dxdy po određenoj strani povrsi (S) I oznacava simbolom

(dxdy je povrsina projekcije elementa povrsi na xy-ravan).

Kada umjesto na xy- ravan projektujemo elemente povrsi na xz- ravan ili yz –ravan,

dobijamo druga dva integrala ovog tipa:

Neka su na (S) date tri neprekidne funkcije P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), onda se moze posmatrati integral

Koji se cesto susrece u tehnickim istrazivanjima.

Racunanje povrsinskog integrala druge vrste

Ako je povrs (S) data eksplicitno vezom z=z(x,y), I ako je f(x,y,z) neprekidna funckija na

(S) onda je

Gdje je (D) projekcija povrsi (S) na xy-ravan, a integracija se vrsi po gornjoj strani povrsi (S). Ako se integracija vrsi po donjoj strani povrsi (S) uzima se znak -, pa je

STOKESOVA FORMULA

Dio (S) glatke povrsi omeđen je zatvorenom prostornom krivom (L) koja lezi na toj povrsi.

Stokesova formula daje vezu između povrsinskog integrala po povrsi (S) I krivolinijskog integrala duž konture (L) koja omeđuje povrsinu (S).

Tacke povrsi (S) su x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)

Uzajamno jednoznacnim preslikavanjem povezane sa tackama oblasti (∆) u uv-ravni. Oblast (∆) je u uv-ravni omeđena konturom (⋀). Neka su na povrsi (S) zadate funkcije P(x,y,z), Q(x,y,z) i R(x,y,z) koje su neprekidne I imaju neprekidne parcijalne izvode po x,y i z. Tada je:

Kruznom zamjenom x,y,z dobijaju se jos dvije analogne jednakosti

Sabirajuci (1), (2) I (3) dobijamo oblike Stokesove formule.

FORMULA GAUSS-OSTROGRADSKOG

Formula Gauss-Ostrogradskog daje vezu između trojnog integrala po prostornoj oblasti (V) I povrsinskog integrala po povrsi koja omeđuje oblast (V).

Posmatrajmo oblast (V), ogranicenu povrsinama:

Neka su u oblasti (V) definisane tri funkcije P=P(x,y,z), Q=Q (x,y,z), R=R (x,y,z) koje su

neprekidne I imaju neprekidne izvode ∂P∂ x

, ∂Q∂ y

, ∂R∂z

u cijeloj oblasiti (V) ukljucujuci I

granicu (S) oblasti (V). tada je

Jer je prvi integral po gornjoj strani povrsi (S2), a drugi po donjoj strani povrsi (S1). Ako jos dodamo integral

Koji je jednak nuli, dobijamo formulu

Gdje je (S) = (S1) + (S2) + (S3)

Analogno dobijamo formule:

Sabravši te formule, dobijamo

Što je formula Gauss-Ostrogradskog. Svaka oblast moze se razbiti na konacan broj oblasti oblika (V), pa dobijena formula vrijedi za proizvoljnu oblast (V) I povrs koja je okruzuje.