libro ucv capitulo ii (limites)
DESCRIPTION
matematicaTRANSCRIPT
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
CAPITULO II:
LIMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Introducción:
La teoría de límites de una función es indispensable conocer, puesto que es la base sobre la cual se dan los conceptos fundamentales del Cálculo Diferencial e Integral, por ello es importante comprender correctamente lo que es un límite para poder entender con mayor facilidad las definiciones de derivada e integral de una función.
Recomendaciones: Al estudiar el límite de una función, se debe tener en cuenta lo siguiente:
1. Cuando se trata de calcular límites, el cuál es un valor numérico, el estudiante deberá usar correctamente tanto el álgebra elemental como la trigonometría, sobre todo lo concerniente a las factorizaciones, las racionalizaciones y las identidades trigonométricas.
2. En cambio, cuando se pide demostrar la existencia del límite de una función, entonces acudiremos al análisis usando las definiciones correctamente.
Límite de una Función
Analicemos algunos ejemplos para ayudar a comprender la idea de límite de una función:Dada la función , ¿Cómo se comportará esta función cuando x está próximo a 2, pero no exactamente a 2?
y
3
2 x -1
x 1.8 1.95 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.05 2.1f(x) 2.240 2.825 2.9601 2.996 3 3.004 3.041 3.202 3.410
De esta tabla se puede rescatar lo siguiente:
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
Para determinar esto, nos vamos a acercar tanto por derecha como por izquierda al número 2. De lo cual se observa, que , mientras más nos acercamos a 2, más se acerca a 3, de lo cual decimos que:
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
Sean y funciones definidas como:
y
o
x
- existe
-
y
1
x
-
- no existe
- Análisis de la función en :Se observa que no existe, sin embargo el comportamiento de esta función alrededor de 1 (en una vecindad de 1), excluyendo el punto 1, es exactamente el mismo, y podemos describirlo del siguiente modo:Para valores de próximos al punto , con , el valor de se aproxima a
; cuando esto ocurre, se dice que 1 es el límite de , cuando tiende a 1:
- Análisis de la función en En este caso se pude observar que , es decir si existe, sin embargo el comportamiento de la función en una vecindad de es distinto, ya que cuando nos acercamos a 0 por la derecha la función se acerca a 1, pero cuando nos acercamos por la izquierda, la función se acerca a 0, por lo tanto podemos decir que el límite de , cuando tiende a 0 no existe.
no existe
Definición.- El número “ ” se dice que es el límite de la función en , sí y solo sí, para todo , existe un , tal que, , siempre que esté en el dominio de y Simbólicamente:Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
Observaciones:
-) y representan números positivos pequeños que se acercan a 0, se expresa en función de .-) Las desigualdades y representan intervalos abiertos:
i.
ii.
-) El intervalo se llama vecindad de , de centro en y radio .
< I > L
-) El intervalo se llama vecindad de , de centro en y radio .
< I >
INTERPRETACION GEOMÉTRICA DEL LÍMITE
Veamos la definición de límite geométricamente:
y
L
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
x
Para efectos de los ejercicios prácticos, debemos recordar la siguiente definición:
Definición.- Sea , , se dice que es acotada sobre el conjunto , , si existe un número real tal que:
Ejemplos explicativos:
1. Demostrar que
Solución:Se tiene que ……..(1)Luego se acota:
……..(2)Se elige , entonces
, además Entonces , es decir ……..(3)
Reemplazando (1) y (3) en (2) se tiene
, de donde
2. Demostrar que
3. Demostrar que
4. Demostrar que
5. Demostrar que
Ejemplos para el aula:
1. Demostrar que
2. Demostrar que
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
3. Demostrar que el
4. Demostrar que el
5. Demostrar que el
Teorema. (Unicidad del Límite), El límite de una función cuando existe, es único, es decir:
Sea constante, además dos funciones tales que:
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Ejemplos explicativos:Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
Calcular los siguientes límites
1.- 4.-
2.- 5.-
3.-
Solución:
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
Ejemplos para el aula
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
Solución
1.-
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
2.-
3.-
TECNICAS DE SOLUCION DE LÍMITES
Límites Indeterminados:
Cuando se nos presenta límites indeterminados se deben tener en cuenta los siguientes casos:
i) Si y, y son polinomios, entonces la indeterminación
se elimina factorizando y y anulando el término que provoca la indeterminación.
ii) Si y, ó son radicales, entonces la indeterminación se
levanta tan solo racionalizando ó .
iii) Si , debemos efectuar la sustracción para salvar la
indeterminación.
Ejemplos Explicativos
Hallar los siguientes límites:
1.- 5.-
2.- 6.-
3.- 7.-
4.- 8.-
9.- 10.-
11.- 12.-
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
Ejemplos para el aula
Calcular:
1.- 8.-
2.- 9.-
3.- 10.-
4.-
5.-
6.-
7.-
LÍMITES TRIGONOMETRICOS
Se basan en los siguientes límites:
Además se requiere de las siguientes identidades trigonométricas:
Ejemplos Explicativos
Hallar los siguientes límites:
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
1.-
2.-
3.-
4.-
LÍMITES LATERALES
Y y L2 L L1
x x x0 x0
y y
Nota:
Definiciones:
i)
ii)
Ejemplos explicativos:
1) Hallar , si
2) Calcular
3) Hallar , si
Ejemplos para el aula
1) Hallar , si
2) Hallar , si
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
3) Hallar , si
LÍMITES INFINITOS Y AL INFINITO
Sea la función
y
2
x 2
Del gráfico podemos observar:
y
Ejemplos Explicativos
1.- 6.-
2.- 7.-
3.- 8.-
4.- 9.-
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
5.- 10.-
11.- 12.-
13.- 14.-
15.- 16.-
Ejemplos para el aula
1.- 6.-
2.- 7.-
3.- 8.-
4.- 9.-
5.- 10.-
ASINTOTAS DE UNA CURVA
Definición: La recta es una asíntota vertical de si cumple:
Gráficamente:
y y
x x a a
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
Definición: La recta es asíntota horizontal de si:
Gráficamente: y y
k k
x x
Definición: La recta es asíntota oblicua de si:
¿Cómo hallamos los valores de m y b?
Gráficamente:
y y
x x
Ejemplos explicativos
Hallar las asíntotas de las siguientes funciones:
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
1.- 4.-
2.- 5.-
3.-
Ejemplos para el aulaHallar las asíntotas de las siguientes funciones:
1.- 4.-
2.- 5.-
3.-
CONTINUIDAD DE FUNCIONESIdea Intuitiva:
Si y son dos funciones definidas en un mismo intervalo cuyas gráficas se muestran a continuación:
Y y x x x0 x0
Las funciones tienen un comportamiento distinto en el punto , se puede decir que la función es continua en (es ininterrumpida, no presenta saltos), mientras que la función es discontinua en el punto (ya que presenta un salto en ).
Definición: (Función Continua en un punto)
Sea , es continua en , si y solo si, cumple:
1) Existe
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
2) Existe
3)
Propiedades sobre continuidad
Consideremos dos funciones y contínuas en , entonces:1) es continua en 2) es continua en , 3) es continua en
Ejemplos explicativos
4) Dada
Analizar la continuidad de la función en
5) Si, Hallar y de tal modo que sea continua en y
6) Si
Analizar la continuidad en
Ejemplos para el aula:
1) Si Analizar la continuidad de las función en y
2) Dada,
Estudiar la continuidad de la función en el punto
3) Si
Determinar el valor de A, para que la función sea continua en HOJA DE PRÁCTICA 4
I.- Calcular los siguientes límites
1.- 9.-
2.- 10.-
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
3.- 11.-
4.- 12.-
5.- 13.-
6.- 14.-
7.- 15.-
8.- 16.-
II.- Calcular los siguientes límites:
1) , si
2) y , si
3) , si
4) y , si
5) , si
III.- Hallar los siguientes límites:
1) 11)
2) 12)
3) 13)
4) 14)
5) 15)
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
6) 16)
7) 17)
8) 18)
9) 19)
10) 20)
IV.- Hallar las asíntotas de las siguientes funciones:
1) 8)
2) 9)
3) 10)
4) 11)
5) 12)
6) 13)
HOJA DE PRÁCTICA 5
I.- Analizar la continuidad de las siguientes funciones, en los puntos dados:
1.- , en
2.- , en
3.- , en y en
4.- , en
5.- , en
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
6.- , en
7.- , en
8.- , en y , en
9.- , en
10.- , en
II. Determinar los valores de A y/o B para que las funciones sean continuas en los puntos dados:
1) , en y, en
2) , en
3) , en y, en
4) , en
5) , en y, en
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
HOJA DE PRÁCTICA 4 (SOLUCIONARIO) limites indeterminados
I.- Calcular los siguientes límites
1.-
Solución
2.-
Solución
3.-
Solución
4.-
Solución
5.-
Solución
6.-
Solución
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
7.-
Solución
8.-
Solución
9.-
Solución
10.-
Solución
11.-
Solución
12.-
Solución
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
13.-
Solución
14.-
Solución
15.-
Solución
16.-
Solución
17.-
Solución
18.-
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
Solución
19.-
Solución
20.-
Solución
21.-
Solución
22.-
Solución
23.-
Solución
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
24.-
Solución
25.-
Solución
26.-
Solución
27.-
Solución
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
28.-
Solución
29.-
Solución
30.-
Solución
31.-
Solución
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
32.-
Solución
33.-
Solución
34.-
Solución
35.-
Solución
36.-
Solución
37.-
Solución
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
38.-
Solución
39.-
Solución
40.-
Solución
41.-
Solución
42.- ; a > 0
Solución
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
43.-
Solución
44.-
Solución
45-
Solución
46.-
Solución
47.-
Solución
48.-
Solución
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
49.-
Solución
50.-
Solución
51.-
Solución
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
52.-
Solución
53.-
Solución
54.-
Solución
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
55.-
Solución
56.-
Solución
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
57.-
Solución
58.-
Solución
59.-
Solución
60.-
Solución
II.- Calcular los siguientes límites: (solucionario limites laterales)
1.- , si
Solución
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
2.- y , si
Solución
3.- , si
Solución
4.- , si
Solución
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
Limites al infinito (solucionario)
1.-
Solución
2.-
Solución
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
3.-
Solución
4.-
Solución
5.-
Solución
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
6.-
Solución
7.-
Solución
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA
8.-
Solución
9.-
Solución
10.-
Solución
Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz