UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANAVICE-RECTORADO ACADEMICO

DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGIAAREA DE MATEMATICAS

GUIA DE MATEMATICAS I,

CAPITULO III

Prof. Orlando Baisdem Perez

Puerto Ordaz, Mayo del 2010.

Capıtulo 3

Limites y Continuidad

3.1 Limites

Definicion 3.1 Formal de Limite. Sea f una funcion definida en un intervalo abierto que

contiene a c (salvo posiblemente en c) y L un numero real. La afirmacion

limx→cf(x) = L

significa que para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que sı

0 < |x− c| < δ, entonces |f(x)− L| < ε

Ejemplo 1 Dado el lımite

limx→32x− 5 = 1

encontrar δ tal que |(2x− 5)− 1| < 0.01, siempre que 0 < |x− 3| < δ

Solucion

En este problema trabajaremos con un ε = 0.01 para encontrar un δ apropiado, se ob-

serva que:

|(2x− 5)− 1| = |2x− 6| = 2|x− 3|

62

Como la desigualdad |(2x− 5)− 1| < 0.01 es equivalente a 2|x− 3| < 0.01, se puede escoger

δ = 12(0.01) = 0.005. Esta opcion funciona porque

0 < |x− 3| < 0.005

lo que implica que

|(2x− 5)− 1| = 2|x− 3| < 2(0.005) = 0.01

Ejemplo 2 Utilizar la definicion ε− δ de limite para demostrar que

limx→2(3x− 2) = 4

Solucion

Probar que para todo ε > 0, existe un δ > 0 tal que |(3x − 2) − 4| < ε siempre que

0 < |x − 2| < δ. Puesto que la eleccion de δ depende de ε, es necesario establecer una

relacion entre los valores absolutos |(3x− 2)− 4| y |x− 2|.

|(3x− 2)− 4| = |3x− 6| = 3|x− 2|

De tal manera, para cada ε > 0 dado, se puede tomar δ = ε3. Esta opcion funciona porque

0 < |x− 2| < δ =ε

3

implica que

|(3x− 2)− 4| = 3|x− 2| < 3(ε

3) = ε

Definicion 3.2 Intuitiva de Limite. Decir que limx→cf(x) = L significa que cuando x esta

cerca, pero difiere de c, f(x) esta cerca de L.

Ejemplo 3 Encuentre el limx→3(4x− 5) =

63

Solucion

Cuando x esta cerca de 3, 4x− 5 estara cerca de 4 ∗ 3− 5 = 7 y escribimos

limx→3(4x− 5) = 7

Ejemplo 4 Encuentre el limx→3x2−x−6

x−3

Solucion

limx→3x2 − x− 6

x− 3= limx→3

(x− 3)(x + 2)

x− 3= limx→3(x + 2) = 3 + 2 = 5

Teorema 1 Teorema principal sobre lımites. Sea n un entero positivo, k una cons-

tante, y f y g funciones con lımites en c. Entonces,

1. limx→ck = k

2. limx→cx = c

3. limx→cf(x) = f(c)

4. limx→ckf(x) = klimx→cf(x)

5. limx→c[f(x)± g(x)] = limx→cf(x)± limx→cg(x)

6. limx→c[f(x) ∗ g(x)] = limx→cf(x) ∗ limx→cg(x)

7. limx→cf(x)g(x)

limx→cf(x)limx→cg(x)

, dado que limx→cg(x) 6= 0

8. limx→c[f(x)]n = [limx→c[f(x)]]n

9. limx→cn√

f(x), dado que limx→cf(x) > 0 cuando n es par.

Ejemplo 5 Encuentre limx→27x5−10x4−13x+6

3x2−6x−8

64

Solucion

limx→27x5 − 10x4 − 13x + 6

3x2 − 6x− 8=

7(2)5 − 10(2)4 − 13(2) + 6

3(2)2 − 6(2)− 8= −11

2

Ejemplo 6 Encuentre limx→25√

3x2 − 2x

Solucion

limx→25√

3x2 − 2x = 5√

limx→23x2 − 2x =5√

8

Teorema 2 Teorema del Encaje.

Supongamos que

f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)

para todo x en algun intervalo (c, d), excepto posiblemente en el punto a ∈ (c, d) y que

limx→af(x) = limx→ah(x) = L

para algun numero L. Entonces, tambien

limx→ag(x) = L

Ejemplo 7 Hallar el valor de limx→0[x2cos( 1

x)]

Solucion:

Relacionamos la funcion parte de ella con un desigualdad sencilla

−1 ≤ cos(1

x) ≤ 1

Multiplicamos todo por x2

−x2 ≤ −x2cos(1

x) ≤ x2

65

para todo x 6= 0. Ademas

limx→0 − x2 = 0 = limx→0x2

Por tanto, por el teorema del encaje asegura que

limx→0x2cos(

1

x) = 0

3.2 Limites Laterales (Limites por la derecha y por la

izquierda)

Definicion 3.3 Decir que limx→c+f(x) = L significa que cuando x esta cerca, pero a la

derecha de c, entonces f(x) esta cerca de L. En forma semejante, decir que limx→c−f(x) = L

significa que cuando x esta cerca, pero a la izquierda de cf(x) esta cerca de L.

Teorema 3 Existencia de un lımite. Si f es una funcion y c y L son numeros reales,

el lımite de f(x) cuando x se aproxima a c es L si y solo sı

limx→c−f(x) = L y limx→c+f(x) = L

Ejemplo 8 Calcular limx→0f(x) para la funcion

f(x) = {x2+2cosx+1,parax<0ex−4,parax≥0

Solucion:

Como f esta dada por expresiones distintas para x < 0 y x ≥ 0, debemos investigar los

lımites laterales.

limx→0−f(x) = limx→0−(x2 + 2cosx + 1) = 2cos0 + 1 = 3

por otra parte

limx→0+f(x) = limx→0+(ex − 4) = e0 − 4 = 1− 4 = −3

66

Como los limites laterales no coinciden, concluimos que limx→0+f(x) no existe.

Ejemplo 9 Determinar si existe el siguiente limite: limx→22x1√x−2

Solucion:

En primer lugar verificamos si existe el lımite por la derecha:

limx→2+

2x1√x− 2

= ∞

Ahora verificamos si existe el limite por la izquierda

limx→2−2x1√x− 2

= ∞

Este lımite no existe ya que cualquier valor que tome la x menor que 2 no genera ningun valor

real para la raız cuadrada. De hecho, los valores menores que 2 no pertenecen al dominio de

la funcion definida por el cociente.

En conclusion el lımite buscado no existe.

3.3 Limites Infinitos

Definicion 3.4 Sea f una funcion definida en todo numero real de un intervalo abierto que

contiene a c (salvo, posiblemente, en el propio c). La expresion:

limx→cf(x) = ∞significa que para toda M > 0 existe una δ > 0 tal que f(x) > M , siempre que 0 < |x−c| < δ.

Del mismo modo, la expresion:

limx→cf(x) = −∞significa que para todo N > 0 existe un δ > 0 tal que f(x) < N , siempre que 0 < |x− c| < δ.

Para definir el limite infinito por la izquierda, sustituir 0 < |x−c| < δ por c−δ < x < c

Y para definir el lımite infinito por la derecha, basta sustituir 0 < |x − c| < δ por

c < x < c + δ.

67

Ejemplo 10 Analizar limx→01x

El comportamiento de f(x) es muy distinto en x > 0 y en x < 0. Concretamente, cuando

x → 0+, 1x

crece sin tope, mientras que cuando x → 0−, 1x

decrece sin tope.

x 1x

0.1 10

0.01 100

0.001 1000

0.0001 10000

0.00001 100000

x 1x

−0.1 −10

−0.01 −100

−0.001 −1000

−0.0001 −10000

−0.00001 −100000

Es claro que el Limite no existe, sin embargos utilizaremos limites laterales para analizar

el problema.

limx→0+

1

x= ∞

limx→0−1

x= −∞

Esto significa que la grafica de y = 1x

se acerca a la recta vertical x = 0 cuando x → 0.

Cuando esto ocurre decimos que la recta x = 0 es una asintota vertical.

3.3.1 Asintotas Verticales

Definicion 3.5 Si f(x) tienede a infinito (o menos infinito) cuando x tiende a c por la

derecha o por la izquierda, se dice que la recta x = c es una asintota vertical de la grafica

68

Figura 3.1: El limite no existe

de f.

Teorema 4 Asintotas Verticales. Sean f y g funciones continuas en un intervalo abier-

to que contiene a c. Si f(c) 6= 0, g(c) = 0, y existe un intervalo abierto que contiene a c tal

que g(x) 6= c, entonces la grafica de la funcion

h(x) =f(x)

g(x)

tiene una asıntota vertical en x = c.

Ejemplo 11 Determinar todas las asıntotas verticales de la grafica de

f(x) =x2 + 2x− 8

x2 − 4

Solucion

Simplificamos la expresion

f(x) =x2 + 2x− 8

x2 − 4

f(x) =(x + 4)(x− 2)

(x + 2)(x− 2)

69

f(x) =(x + 4)

(x + 2)

x 6= −2

En consecuencia existe una asintota vertical en x = −2.

Figura 3.2: El limite no existe

A partir de la grafica se ve que

limx→−2−

x2 + 2x− 8

x2 − 4= −∞

y

limx→−2+

x2 + 2x− 8

x2 − 4= ∞

Ejemplo 12 Evaluar

limx→0

1

x2

70

3.4 Limites al Infinito

Definicion 3.6 Si los valores de la funcion f(x) tieneden al numero L cuando x aumenta

sin limites, se escribe

limx→+∞

f(x) = L

De manera similar se escribe

limx→−∞

f(x) = M

cuando los valores de la funcion f(x) tienden al numero M cuando x disminuye sin limites.

3.5 Algunas indeterminaciones

3.5.1 Limites ∞∞

Cunado la expresion dada es una fraccion y al sutituir la varianble por su valor (∞), el

limites es ∞∞ . Para eliminar la indeterminacion se suele dividir tanto el numerador como el

denominador por la variable de mayor grado.

1. Si la variable de mayor grado esta en el numerador el resultado es infinito.

2. Si la variable de mayor grado esta en el denominador el resultado es cero.

3. Si la variable de mayor grado esta en el numerador y en el denominador el resultado

es el cociente de los coeficientes.

Ejemplo 13 Hallar

limx→∞

5x− 4√3x2 − 7

limx→∞

5x− 4√3x2 − 7

= limx→∞

5x−44√

3x2−7x

=−5√

3=−5√

3

3

71

3.5.2 Limites 00

Cuando la expresion dada es una fraccion por su valor (numero real) el limite es (0/0)

para eliminar la indeterminacion se procede de la siguiente forma:

1. Factorizar el numerador y el denominador y simplifique la expresion dada hasta donde

sea posible.

2. Si aparecen radicales en el denominador se multiplica por la expresion conjugada, hasta

eliminar la indeterminacion.

Ejemplo 14 Hallar

1. limx→2x2−4

x2−3x+2

2. limx→72−√x−3x2−49

3. limx→1

3√

x2−2 3√x+1

(x−1)2

Solucion

limx→2

x2 − 4

x2 − 3x + 2=

0

0

limx→2

x2 − 4

x2 − 3x + 2= lim

x→2

(x− 2)(x + 2)

(x− 2)(x− 1)= 4

limx→72−√x−3x2−49

= 2−√472−49

= 00

Multiplicamos y dividimos por la conjugada del numerador

limx→7

(2−√x− 3)(2 +√

x− 3)

(x2 − 49)(2 +√

x− 3)= lim

x→7

4− (x− 3)

(x2 − 49)(2 +√

x− 3)

72

limx→7

(7− x)

(x− 7)(x + 7)(2 +√

x− 3)= lim

x→7

−(7 + x)

(x− 7)(x + 7)(2 +√

x− 3)= lim

x→7

−1

(x + 7)(2 +√

x− 3)=−1

56

Solucion

limx→1

3√

x2 − 2 3√

x + 1

(x− 1)2=

0

0

Se hace un cambio de variable x = y3

limy→1

3

√(y3)2 − 2 3

√(y3) + 1

((y3)− 1)2= lim

y→1

y2 − 2y + 1

(y3 − 1)2

limy→1

(y − 1)(y − 1)

(y − 1)2(y2 + y + 1)2=

1

9

3.5.3 Limites ∞−∞1.− Hallar

limx→∞

(√

x2 + 8x + 3−√

x2 + 4x + 3) = ∞−∞Multiplicamos y dividimos por la expresion conjugada

limx→∞

(√

x2 + 8x + 3−√x2 + 4x + 3)(√

x2 + 8x + 3 +√

x2 + 4x + 3)

(√

x2 + 8x + 3 +√

x2 + 4x + 3)

limx→∞

(x2 + 8x + 3− x2 − 4x− 3)

(√

x2 + 8x + 3 +√

x2 + 4x + 3)

limx→∞

4x

(√

x2 + 8x + 3 +√

x2 + 4x + 3)=∞∞

Como seguimos encontrando una indeterminacion dividimos toda la expresion por la variable

de mayor potencia.

limx→∞

4xx√

x2

x2 + 8xx2 + 3

x2 +√

x2

x2 + 4xx2 + 3

x2

= limx→∞

4√1 + 8

x+ 3

x2 +√

1 + 4x

+ 3x2

=4

2= 2

73

3.6 Limites de Funciones Trigonometricas

Limites Basicos

limx→0

sin x

x= 0

limx→0

1− cosx

x= 0

Hallar los siguientes lımites:

1. limx→01−cosx

x

2. limx→0 xcotx

3. limx→0Tg3xTg5x

Solucion

1. limx→01−cosx

x= 0

0Para romper la indeterminacion multiplicamos y dividimos por la

conjugada del numerador

limx→0

1− cosx

x∗1 + cosx

1 + cosx= lim

x→0

1− cos2x

x(1 + cosx)= lim

x→0

sen2x

x(1 + cosx)= lim

x→0(senx

x

senx

1 + cosx) = 1∗0 = 1

2. limx→0 xcotx Al aplicar el limite encontramos una indeterminacion, en consecuencia,

obtamos por la siguiente estrategia:

limx→0

xcotx = limx→0

(xcosx

senx) = lim

x→0(

x

senxcosx) = lim

x→0

cosxsenx

x

=1

1= 1

74

3. limx→0Tg3xTg5x

= 00

Para romper la inderminacion transformamos las tangentes en senos y cosenos, recor-

dando que:

Tagx =senx

cosx

limx→0

Tg3x

Tg5x= lim

x→o

sen3xcos3xsen5xcos5x

= limx→0

Sen3xCos5x

Sen5xCos3x

Ahora es importante obtener las expresiones: Sen3x3x

y Sen5x5x

Para ello incorporamos 3x y 5x al limite sin alterarlo:

lim x → 03x sen3x

3xcos5x

5x sen5x5x

cos3x

35

Sale del limite y las x se cancelan; aplicando las propiedades de los lımites de un

cociente y de un producto, se obtiene finalmente

=3

5∗ 1

1∗ 1

1=

3

5

3.7 Limites de Funciones Exponenciales y Logaritmi-

cas

Limites Basicos

1. limx→∞ xk

ex = 0

2. limx→∞ ex

xk = ∞

3. limx→0ex−1

x= 1

75

4. limx→∞(1 + kx)x = ek

5. limx→0(1 + kx)1x = ek

6. limx→a(g(x)h(x)

)h(x) = elimx→a h(x)(f(x)h(x)

−1)

7. limx→∞ lnxx

= 0

8. limx→0ln(1+kx)

x= k

Hallar los siguientes Lımites

1. limx→0e2x−1

x

2. limx→∞(2x+1x+2

)1

x−1

3. limx→∞(3x+23x−1

)x

4. limx→1lnx

x2−1

Solucion

1. limx→0e2x−1

x= 0

0

A continuacion factorizamos

limx→0

e2x − 1

x= lim

x→0

(ex − 1)(ex + 1)

x

76

Aplicando propiedades de los limites

limx→0

(ex − 1)(ex + 1)

x= lim

x→0

(ex − 1)

x∗ lim

x→0ex + 1 = 1 ∗ 2 = 2

2. limx→1(2x+1x+2

)1

x−1 = 1∞

limx→1

(2x + 1

x + 2)

1x−1 = elimx→1

1x−1

( 2x+1x+2

−1) = elimx→11

x−1( 2x+1−x−2

x+2) = elimx→1

1x−1

(x−1x+2

) = elimx→11

x+2 = e13

3. limx→∞(3x+23x−1

)x

Solucion

limx→∞

(3x + 2

3x− 1)x = 1∞ = ∞

Ahora bien, trataremos de romper la icon el siguiente procedimiento:

Aplico una de polinomios

limx→∞

(3x + 2

3x− 1)x = lim

x→∞(1− 4

x + 3)x+3−1

Aplicamos un cambio de variable

x + 3 = y ∴ y = −4z

limz→∞

(1− 4

−4z)−4z−1 = lim

z→∞(1 +

1

z)−4z−1 = e−4 ∗ 1 = e−4

4. limx→1lnx

x2−1

Solucion

limx→1

lnx

x2 − 1=

0

0

Eliminamos la indeterminacion haciendo el siguiente cambio de variable

x = 1 + y → y = x− 1

77

En consecuencia, cuando x → 1 entonces y → 0

limx→1

lnx

x2 − 1= lim

y→0

ln(1 + y)

y(y + 2)= lim

y→0[ln(1 + y)

y

1

y + 2]

limy→0

[ln(1 + y)

y] ∗ lim

y→0

1

y + 2] = 1 ∗ 1

0 + 2=

1

2

3.8 Continuidad en un Punto y en un intervalo abierto

Definicion 3.7 Una funcion f es continua en c su se satisfacen las tres condiciones:

1. f(c) esta definida

2. limx→c f(x) existe

3. limx→c f(x) = f(c)

Definicion 3.8

Figura 3.3: Continuidad de funciones

Continuidad en un intervalo abierto: Una funcion es continua en un intervalo abierto

(a, b) si es continua en cada punto del intervalo. Una funcion continua en la recta de los

numeros reales enteros (−∞,∞) es continua en todas sus partes

78

3.9 Tipos de discontinuidades

Si una funcion f esta definida en I (excepto, posiblemente, en c) y no es continua en c, se

dice que f tiene una discontinuidad en c. Las discontinuidades se clasifican en dos categorias:

evitables o removibles e inevitables o no removibles. Se dice que una discontinui-

dad en c es evitable o removible si f se puede hacer continua definiendo (o redefiniendo)

apropiadamente f(c).

Teorema 5 Continuidad de un polinomio. Una funcion polinomica es continua en todo

numero real.

Teorema 6 Una funcion racional es continua en todos los numeros reales de su dominio.

Ejemplo 15 Discutir la continuidad de:

f(x) =

{5− xsi − 1 ≤ x ≤ 2

x2 − 1si 2 < x ≤ 3

Solucion:

Como 5 − x y x2 − 1 son funciones polinomicas, entonces son continuas en los intervalos

[−1, 2) y (2, 3] respectivamente. Podriamos deducir que g(x) es continua en [−1, 3]; por lo

que comprobaremos el comportamiento de g para x = 2.

limx→2−

(5− x) = 3

limx→2+

(x2 − 1) = 3

Como ambos limites son iguales

limx→2

g(2) = 3

En consecuencia la funcion es continua.

79

Ejemplo 16 Analizar la continuidad de :

f(x) =x2 + 2x− 3

x− 1

Solucion:

Observemos que:

f(x) =x2 + 2x− 3

x− 1=

(x− 1)(x + 3)

x− 1= x + 3, parax 6= 1

Por lo tanto la grafica de f es una recta con un agujero en x = 1, f es discontinua en x = 1

y continua en todos los demas puntos.

Figura 3.4: Continuidad de una funcion racional

Ejemplo 17 Redefina la funcion anterior en un unico punto de modo tal que la nueva fun-

cion sea continua en todas partes :

Solucion:

La funcion del ejemplo anterior era discontinua en x = 1 porque no estaba definida en ese

valor de x, ahora la definiremos

80

g(x) =

{x2+2x−3

x−1si x 6= 1

a, si x = 1.

para algun numero real a.

Por tanto, si elegimos a = 4, tenemos

limx→1 g(x) = 4 = g(1)

y, en consecuencia, g es continua en x = 1

Figura 3.5: Una discontinuidad que se puede evitar

Ejemplo 18 Ejercicios

Hallar

1. limx→2

√x3+2x+3

x2+5

2. limr→1

√8r+1r+3

81

3. Dada

f(x) =

4− x2si x ≤ 1

2 + x2si x > 1

20, si x = 1

.

Encontrar

(a) Grafica

(b) Limite bilateral para x → 1

4. limn→∞(1 + 12)

2n+12

5. limn→∞(1 +3− 2

n

2+n)n+2

6. Dado f(x) = 3x2

x2+1

Hallar

(a) limx→3

(b) limx→∞

(c) limx→−∞

7. limx→∞ 5x3−3x2−47x3+x−2

82

8. limx→∞ 7x3+x−25x3−3x2−4

9. limx→∞ 7x2+x−25x3−3x2−4

10. limx→∞3√5x3−3

x

11. Dado f(x) = 5(x−2)2

Hallar

(a) Grafica

(b) limx→0

(c) limx→2+

(d) limx→2−

12. limx→1

3√x−14√x−1

13. limx→1

3√x2−2 3√x+1(x−1)2

14. limx→1

√x−1

x−1

15. limx→0

√1+senx−√1−senx

x

83

16. limx→0

5√

(1+x)3−1

x

17. limx→0sin mx

x

18. limx→∞(√

x2 + 8x + 3−√x2 + 4x + 3)

19. limx→14x2−3x+1

x2−1

20. limx→∞ 4−(x+5)

21. limx→2x2−16x3−8

22. limx→81x−81√

x−9

23. limx→∞(x+1)(x+2)(x+4)(x+3)

24. limx→π2

cosx1+senx

25. limx→2

√x2+5−3x2−2x

26. limx→0(1 + 3x)2x

27. limx→0ex−e−x

ex+e−x

84

28. limx→∞(2x−12x+1

)x

29. limx→0(1− 2x)1x

30. limx→0ex−e−x

ex+e−x

31. limx→0(1+ 1

5x

)

x

32. limx→+∞(x2−x−1x2+2

)−3−x

33. limθ→0tan θ−sin θ

θ3

34. limθ→π3

sin(θ−π3)

1−2cosθ

35. limx→0sin4x

3x

36. limx→0cosx+3x−1

5x

37. limt→0t+tantsent

Analizar la continuidad de las siguientes funciones:

Dado f(x) = 5(x−2)3

Hallar

85

1. Grafica

2. limx→0

3. limx→2+

4. limx→2−

limx→∞ 2x−x2

3x+5

Dada

f(x) =

{3 + xsi x < 1

3− xsi x ≥ 1.

Encontrar

1. Analizar la continuidad de:

Dada

f(x) =

{3x− 2si x < 2

6− xsi x ≥ 2.

Dada

f(x) =

{x2 − 1si x ≤ 2

2x + 1si x > 2.

Dada

f(x) =

{exsi x < 1

lnxsi x ≥ 1.

Dada

f(x) =

{1xsi x < 1

2x− 1si x ≥ 1.

86