CAPITULO UNO

APENDICE MATEMATICO

(MATEMATICAS UTILIZADAS EN MICROECONOMIA)

Nociones sobre funciones

Funciones de una variable

Los elementos básicos del álgebra se llaman variables, pueden asignárseles letras generalmente “x” y “y”, se les puede dar cualquier valor numérico, también algunas veces, los valores de una variable “y” pueden estar relacionados con los valores se otra variable “x” de acuerdo con una relación funcional específica.

Esta relación se señala por una notación funcional, entonces, se dice que:Una variable, y, es función de otra, x, si existe una relación entre ambas de forma tal que: para cada valor de x existe solamente uno de y

Y su expresión matemática es como sigue:

y = f(x) 1A.1

Se Lee como: “y en función de x”, lo cual significa que el valor de y va a depender del valor que se le dé a x. La forma de la ecuación también muestra la causalidad donde X es la variable independiente y toma cualquier valor, Y es una variable dependiente su valor está completamente determinado por X.

La relación funcional exacta entre X e Y puede asumir una amplia variedad de formas, dos posibilidades pueden ser, función lineal y función no lineal.

I. Función lineal

Se entiende como función lineal a una ecuación del tipo:

Y = a + bX (1A. 2)

donde:Y = variable dependienteX = variable independienteb = la pendientea = término independiente

Por ejemplo, sí a = 3 y b = 2, esta ecuación se escribe como:

Y = 3 + 2X (1A. 3)

Si se da una interpretación económica a la ecuación se puede suponer que Y son los costos del trabajo de una empresa y X el número de horas de trabajo contratadas, la ecuación registra la relación que existe entre los costos y los trabajadores contratados, se supone en este caso que hay un costo fijo de $ 3.00 pesos y una tasa de salario de $ 2.00 por hora. Por lo tanto si la empresa contrata 6 horas de trabajo tendrá que pagar $ 15.00, esto es:

Y = 3 + 2(6) = 3 + 12 = 15

II. Función no lineal

Este caso cubre una amplia variedad de posibilidades incluidas las funciones de segundo grado (X2), y los polinomios de orden superior que incluyen a (X3, X4,…, Xn) y aquellas basadas en funciones especiales, como los logaritmos, todas tienen la propiedad de que, un cambio dado en x puede tener diferentes efectos sobre Y. Esto contrasta con las funciones lineales para las cuales un cambio

determinado en X siempre cambia a Y en la misma cantidad, su expresión matemática es de la forma:

Y = X2 + bX + c

Para resolver la ecuación se puede utiliza la siguiente formula que permite hallar las raíces en una función de este tipo.

Para observar los diferentes cambios del valor de Y a partir de una función no lineal se consideran la siguiente función:

Función cuadrática ƒ(X) = - X2 + 15X

Los valores en Y en estas ecuaciones para valores en X que se encuentran entre (-3, 5) y se muestran en la siguiente tabla:

TABLA 1A.1 Valores de X y Y para funciones lineales y cuadráticas.

Valores de X Función linealY= f(X) = 3+2X Función cuadrática

Y = f(X) = - X2 + 15X

-- 3 - 3 - 54

- 2 - 1 - 34

- 1 1 - 15

0 3 0

1 5 14

2 7 26

3 9 36

4 11 44

5 13 50

GRAFICA DE LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Una gráfica es simplemente una forma de mostrar la relación existente entre dos variables. Usualmente, los valores de la variable dependiente (Y) se muestra en el eje vertical, y los valores de la variable independiente (X) se muestran en el eje horizontal. La figura 1A.1 utiliza esta forma para hacer la grafica de la ecuación (1A.3)

Funciones lineales: Intercepto y pendientes

Dos importantes características de lo gráfica de la figura 1A.1 son su pendiente (dirección de una recta que muestra el cambio de Y debido a un cambio en una unidad en el valor de X) y su intercepto (valor de Y cuando X es igual a cero), por ejemplo, se observa en la figura que cuando X = 0, Y = 3;

La pendiente puede definirse matemáticamente como:

Donde la notación Δ (“delta”) significa “un cambio en”. Se puede observar en las rectas punteadas, que representan los cambios en X y Y, que un cambio determinado en X implica un cambio de 2 veces esa cantidad en Y. La tabla 1A.1 que cuando X se incrementa de 0 a 1, Y aumenta de 3 a 5, esto se obtiene matemáticamente de la siguiente forma:

En cualquier parte de la recta, la pendiente es la misma, en general para cualquier función lineal, (b) indica la pendiente de la ecuación. Y puede ser positiva (como en la figura analizada) o negativa, una línea recta puede tener pendiente de 0 que es una recta horizontal.

Cambio en la pendiente

Con mucha frecuencia, en el texto interesan las modificaciones en los parámetros (a y b) de una función lineal. Se puede hacer de dos maneras: cambiando el intercepto Y o cambiando la pendiente. La figura 1A.2 muestra la gráfica de la función :

La función lineal tiene una pendiente de -1 y un intercepto en Y = 10, la figura 1A.2 también muestra la función: Y = - 2X + 10

Cambios en el intercepto

La figura 1A.3 también muestra una gráfica de la función Y = - X + 10. Está indica el efecto de los cambios en el término constante, es decir, únicamente del intercepto en Y, mientras que la pendiente permanece en – 1. La figura 1A.3 muestra las gráficas de:

a) Y = - X + 10 b) Y = - X + 12 c) Y = - X + 5

Las tres rectas son paralelas; tienen la misma pendiente. El cambio del intercepto en Y solamente hace que la recta se desplace hacia arriba y hacia abajo. Su pendiente no cambia. Naturalmente, los cambios en los interceptos Y hacen también que los interceptos X cambien, se pueden ver estos nuevos interceptos en la figura IA.3.

INTERPRETACION ECONOMICA

En muchas partes del texto se muestra que los cambios económicos se pueden representar mediante cambios en las pendientes o en los interceptos. Aunque el contexto económico puede variar, la forma matemática de estos cambios tendrá el tipo general indicado en las figuras analizadas.

Efectos medio y marginal

En la economía interesa con frecuencia el tamaño del efecto que X tiene sobre Y.

Existen dos formas diferentes de precisar este concepto. La más usual es observar el efecto Marginal (cambio en Y debido al cambio de una unidad de X ), es decir ¿cómo un pequeño cambio en X modifica a Y?. Para este tipo de efecto, la relación se centra en ∆Y/ ∆X, que es la pendiente de la función.

Para las ecuaciones lineales ilustradas en las figuras 1A.1 a 1A.3, este efecto es constante en términos económicos, el efecto marginal de X sobre Y es constante para todos los valores de X.

En la gráfica de la ecuación no lineal en la figura 1A.4, este efecto marginal disminuye cuando X aumenta: los rendimientos decrecientes y los efectos marginales decrecientes son la misma cosa.

Algunas veces, los economistas hablan del efecto medio (relación entre Y para un valor determinado de X) de X sobre Y. Con esto ello se refieren a la relación Y/X, como se verá más adelante.

Funciones de dos o más variables

Los economistas generalmente se preocupan por las funciones de más de una variable porque casi siempre existe más de una causa para el resultado económico.

Para examinar los efectos de muchas causas, los economistas deben trabajar con funciones de varias variables. Una función de dos variables puede escribirse en notación funcional como:

1. Y = f(X, Z)

Esta ecuación muestra que los valores de Y dependen de los valores de dos variables independientes, X y Z. Por ejemplo. El peso (Y) de un individuo depende no sólo de las calorías que consume (X), sino también del ejercicio que realiza (Z). Los incrementos en X generan aumentos en Y, pero los incrementos en Z generan disminuciones en Y.

La notación funcional de la ecuación (1) indica la posibilidad de que pueda haber contraposiciones entre comer y hacer ejercicio. Supongamos que la relación entre Y, X y Z se indica de la manera siguiente:

2. Y = X . Z

La forma de esta función se usa ampliamente en la economía. En texto se emplea esta forma para mostrar la utilidad de (Y) que un individuo recibe al consumir dos bienes (X,Z) y para mostrar la relación de producción entre un producto (Y) y dos insumos, trabajo (X) y capital (Z). Sin embargo, interesan principalmente las propiedades matemáticas de esta función.

Algunos valores de la función de la ecuación (1) están registrados en la tabla 1A.2. En esta tabla se muestran dos hechos importantes:

1. Si una de las variables se mantiene constante (X = 2), los cambios en la otra variable independiente (Z) harán que el valor de la variable dependiente (Y) cambie.

El valor de Y se incrementa de 4 a 6, cuando Z aumenta de 2 a 3, incluso si X se mantiene constante, en términos económicos esto ilustra la influencia “marginal” de la variable Z.

2. Las combinaciones de valores diferentes de X y Z darán como resultado el mismo valor en Y.

Por ejemplo, Y= 4 si X = 2, Z = 2 o sí X = 1, Z = 4 (o para un número infinito de combinaciones de X y Z, si se utilizan fracciones).

Utilizando esta igualdad de valores de Y para varias combinaciones de X y Z, las funciones de dos variables se pueden graficar de manera sencilla.

Tabla 1A.2

valores de x, z, y que satisfacen la relación de y =

x . z

x z y

1 1 1

1 2 2

1 3 3

1 4 4

2 1 2

2 2 4

2 3 6

2 4 8

3 1 3

3 2 6

3 3 9

3 4 12

Cada una de las líneas de contorno de la figura 1A.5 es una hipérbola rectangular. La línea de contorno señalada con “Y = 1” es una gráfica de:

(1.1) Y = 1= X . Z, “y = 4” es una gráfica de:(1.2) Y = 4 = X . Z,

y la línea señalada con, “Y = 9” es una gráfica de:(1.3) Y = 9 = X . Z.

GRAFICAS DE LAS FUNCIONES DE DOS VARIABLES

Se necesita utilizar tres dimensiones para elaborar completamente la gráfica de una función de dos variables: un eje para X, uno para Z y otro para Y. Dibujar gráficas tridimensionales en un libro bidimensional es muy difícil. Por lo tanto estas funciones se representan de una manera que se asemeja mucho a las técnicas utilizadas por los cartógrafos.

Los cartógrafos se ven limitados también a trabajar con dibujos bidimensionales y utilizan líneas de contorno (líneas de dos dimensiones que muestran el conjunto de valores de las variables independientes que producen el mismo valor para la variable dependiente) para mostrar la tercera dimensión.

Estas son líneas de igual altitud que muestran las características físicas del territorio cartografiado. Los economistas utilizan líneas de contorno, es decir líneas de igual altitud. La gráfica de la ecuación de 1A.13 puede elaborarse en dos dimensiones (una dimensión para los valores X y otra para los valores de Z), con líneas de contorno para mostrar los valores de Y, la tercera dimensión. La gráfica de esta ecuación se muestra en la figura 1A.5 , con tres líneas de contorno una para Y =1, otra para Y = 4 y otra para Y = 9.

ECUACIONES SIMULTANEAS

Otro concepto matemático que se utiliza con frecuencia en economía es el de las ecuaciones simultáneas (conjunto de ecuaciones con más de una variable que se deben resolver conjuntamente para obtener una solución particular). Cuando dos variables X y Y están relacionadas por dos ecuaciones diferentes, algunas veces es posible resolverlas de manera conjunta para obtener una sola serie de valores de X y Y que satisfaga ambas ecuaciones. Por ejemplo, es fácil ver que las dos ecuaciones:

X + Y = 3

X – Y = 11A.17

tienen una solución única igual a:

X = 2 1A.18

Y = 1

Estas ecuaciones operan “simultáneamente” para determinar las soluciones de X y Y. Una sola ecuación no puede determinar cada variable: la solución depende de ambas ecuaciones.

Resolución de sistemas de ecuaciones simultáneas

Se tienen dos ecuaciones y el objetivo será hallar los valores de x y de y tal que las dos ecuaciones sean verdaderas.

4x + 3y = 222x + 5y = 18

Técnicas de resolución:

1. Resolución por igualación:

Se despeja x o y en las dos ecuaciones, y se tiene que:

Y = 22 – 4x Y = 18 – 2x

3 5 Se igualan las dos expresiones anteriores de la siguiente manera:

22 – 4x = 18 – 2x3 5

Se multiplican en cruz las dos ecuaciones y se resuelve el sistema para encontrar el valor de X

5(22 – 4x) = 3(18 – 2x) - 14x = - 56

x = 4 Luego, se sustituye el valor obtenido para X en cualquiera de las dos ecuaciones para encontrar el valor de Y

Y = 22 – 4(4) = 6 = 2 entonces Y = 2

3 3Los valores obtenidos para X = 4 y Y = 2; (4,2) se pueden sustituir en las ecuaciones originales

para probar el sistema.

2. Resolución por sustitución.

Sea el mismo sistema de ecuaciones anterior:

1. 4X + 3Y = 222. 2X + 5Y = 18

despejando una variable de ecuación (1) se tiene que:

Y = 22 – 4X

3y sustituyendo este valor en la ecuación (2):

2X + 5(22 - 4X) = 18

3 resolviendo el sistema para X resulta:

2X + 110 – 20X = 183

- 14X = 56 3 3

14X = 56X = 56 = 4, entonces X = 4

14Se sustituye el valor (X = 4) en cualquiera de las dos ecuaciones:

2(4) + 5y = 18 8 + 5y = 18

5y = 10 y = 10

5

y = 2

3. Por suma y resta (eliminación):

Sea el mismo sistema de ecuaciones anterior:

1. 4X + 3Y = 22 2. 2X + 5Y = 18

Se elimina una variable del sistema, igualando el valor de su coeficiente y multiplicando con signo contrario toda la ecuación, esto es:

4X + 3Y = 22 (- 2 ) 2X + 5Y = 18 entonces

4X + 3Y = 22- 4X - 10Y = - 36

Se elimina la variable por suma o resta con coeficientes iguales pero con signos contrarios,

luego se resuelve el sistema como en los dos métodos anteriores, como sigue:

3Y = 22- 10Y = - 36

-7Y = - 14

-Y = 2

Y por consiguiente al sustituir este valor en cualquier ecuación del sistema original el valor de X debe ser X=4

Microeconomía empírica y Econometría

Como se analizó en el capítulo 1, los economistas no sólo se preocupan por elaborar los modelos del funcionamiento de la economía, sino que también establecen la validez de estos modelos observando los datos del mundo real utilizando la econometría que significa medición económica.

La econometría trata entre otros, dos temas importantes:

a) La influencia aleatoria

b) El supuesto ceteris paribus

En el primer punto trata de resolver funciones lineales de la forma:

Q = a – bP

Donde los valores de (a) y (b) están determinados por los datos, dado que se puede ubicar una

línea recta conociendo solamente dos puntos de la misma.

El investigador tendrá que:

a) Ubicar dos periodos, donde todo lo demás permanezca igual (ceteris paribus)b) Registrar los valores de Q y P para estas observacionesc) Calcular la recta que pasa a través de los puntos

Tenemos por tanto que resolver mediante la técnica de los Mínimos Cuadrados Ordinario (MCO) un sistema con dos ecuaciones y dos incógnitas). La solución a este sistema viene dada por la siguiente expresión:

Ecuaciones Normales:

1. ΣY = Na + b ΣX

2. ΣYX = a ΣX + ΣX2

Soluciones para “b” y para “a”

b = N ΣXY - ΣXΣY

N Σ X2 – (ΣX)2

a = ΣY – b ΣX N N

Ejemplo: Solución para la Aplicación 1A.3

a) Se asume que la demanda petróleo crudo está dada por:

Qd = 80 – 0.4 P donde Qd es la demanda de petróleo crudo exigido (en millones de barriles por día) y P precio en dólares por el barril. Se sabe que el suministro de petróleo crudo se da por:

Qo = 55 + 0.6 P La solución a estas ecuaciones, el equilibrio del mercado, es PE = 25 y QE = 70

y puede encontrarse mediante la solución del sistema de ecuaciones de oferta y demanda simultáneamente Igualando las funciones:

Qd = Qo sustituyendo por su valor

80 – 0.4 P = 55 + 0.6 P agrupando términos

80 - 55 = 0.6 P + 0.4 P solución para P

P E = 25

solución para Q

QE = 80 – 0.4 P sustituyendo el valor de P

QE = 80 – 0.4 (25)

QE = 70

Irak produce aproximadamente 2.5 millones de barriles de aceite por día. El impacto de la decisión de Irak de no vender, puede evaluarse asumiendo que la curva del suministro de petróleo en la Figura 1 cambio de S a S ' cuya ecuación se da por:

Qo = (55 – 2.5 ) + 0.6 P

Repitiendo el procedimiento algebraico para encontrar el nuevo equilibrio a partir de la nueva función de oferta, es como se muestra:

Qo = 52.5 + 0.6 PQd = 80 – 0.4 P los valores para P y Q de equilibrio son:

P = 27.50 y Q = 69

como se muestra en Figura 1. La reducción en el suministro del crudo subió el precio y disminuyó el consumo. El precio más alto causó que los productores de la OPEP no proporcionaran aproximadamente 0.5 millones de barriles adicionales.

FIGURA 1. Efecto en la reducción de la producción mundial de petróleo por la OPEP

Precio($/barril) S

D20

22

24

26

283032

Q(millonesbarriles)

66 68 70 68 70 72 74

S’

●

●

Análisis del equilibrio en Excel

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Cálculo Diferencial (La derivada)

Definición:

Para una función dada (f), la derivada (f ’ ) se designa a menudo por:

No hace falta decir que las distintas partes de esta expresión carecen de todo significado cuando se consideran separadamente; las d no son números, no pueden simplificarse, y la expresión completa no es el cociente de otros dos números df (x) y dx. Esta notación se debe a Leibniz (generalmente considerado como el codescubridor independiente del cálculo infinitesimal junto con Newton) y es llamada afectivamente notación de Leibniz.

La derivada de y = f (x) con respecto a x se puede representar por uno cualquiera de los símbolos:

Ayres, 23)

(En otras palabras, la derivada de una función en un punto nos da la pendiente de la tangente de dicha función en ese punto)

Antecedentes

La diferencial de una función surgió históricamente del concepto de 'indivisible'. Este concepto, que desde un punto de vista moderno nunca estuvo muy claramente definido, era en su tiempo (en el siglo XVIII) fundamental en el análisis matemático. Las ideas referentes a él sufrieron cambios esenciales en el transcurso de varios siglos.

Los indivisibles, y más tarde la diferencial de una función, se representaban como verdaderos valores infinitésimos, como algo de magnitud constante extremadamente pequeña, que sin embargo no era cero.

La definición dada en esta sección es la aceptada en el análisis moderno. De acuerdo con esta definición, la diferencial es una magnitud finita para cada incremento Δx, y al mismo tiempo proporcional a Δ x.

La otra propiedad fundamental de la diferencial, el carácter de su diferencia respecto a Δy, sólo puede reconocerse 'en movimiento', por así decirlo: si consideramos un incremento Δx que se aproxima a cero (que sea un infinitésimo), entonces la diferencia entre dy e Δy será tan pequeña como se desee incluso comparada con Δx. (Aleksandrov, 1, 152)]

Fórmulas de derivación

En las fórmulas siguientes u, v y w son funciones derivables de X.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Ejemplos: Dada la función

y = f(x),Encontrar la derivada de las siguientes funciones:

a. y(x) = x3 + x2 + x + 1

b. y(x) = 3/2 (x2) + x

c. y(x) = π x3 + π/2 (x2) + x + 1

d. y(x) = x / (x2 + 1)

Solución:

a) f´(x) = m x m-1 = 3 x 3-1 + 2 x 2-1 + 1 x 1-1 + 0 = 3x2 + 2x + 1

b) f´(x) = 3/2(2) x 2-1 + x 1-1 = 3 x 2-1 + 1 = 3x + 1

c) f´(x) = 3π x3-1 + 2/2 π x 2-1 + x 1-1 + 1 = 3 π x 2 + π x + 1

d) f´(x) = (x2 +1) d (x) - x d (x2 +1) = (x2 - 2x2 +1 ) = 1 - x2 (x2 +1)2 x4 + 2x2 + 1 (x4 + 2x2 + 1)