apendice 5

Versión 2014

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

AAPPEENNDDIICCEE 55

NNOOCCIIOONNEESS EELLEEMMEENNTTAALLEESS DDEE UUSSOO DDEELL PPRROOGGRRAAMMAA

DDEE CCAALLCCUULLOO SSIIMMBBOOLLIICCOO ““MMAATTHHEEMMAATTIICCAA””

Versión 2014


1. Introducción El presente apéndice tiene por objetivo suministrar al alumno información compendiada para

tomar un primer contacto con el uso de programas de cálculo simbólico y/o numérico tales

como MathematicaMR

.

El programa Mathematica posee en un mismo entorno diferentes facetas y capacidades que lo

ponen como uno de los estándares en el manejo de cálculo simbólico además de ser una

herramienta aceptable para ejecutar cálculos numéricos. Las notas de este apéndice están

orientadas a los rudimentos más elementales como para afrontar algunas fases de cálculo con

Mathematica Versión 4.0. En estas circunstancias se sugiere además recurrir a la bibliografía

suministrada y a los tutoriales adjuntos al programa para extender el conocimiento del mismo.

2. Presentación del programa y Primeros Pasos

El programa Mathematica Versión 4.0 posee un entorno de trabajo como el que se presenta en

la Figura A5.1. En ella se puede apreciar una ventana de trabajo, donde se desarrollan todos

los pasos de cálculo deseados, una ventana con una paleta de funciones básicas (similares a

las paletas de MathCAD). Se pueden abrir más de una ventana de trabajo y más de una

ventana con otras funciones de utilidad para trabajos determinados.

Figura A5.1. Entorno de trabajo de Mathematica

El primer paso cuando se inicia el programa, luego de seleccionar el icono de Mathematica es

cargar el denominado KERNEL del programa. El KERNEL es el motor de Mathematica y en

el están programadas la mayoría de las funciones más comunes de uso en la Matemática para

la ingeniería y otras áreas. El Kernel se carga con la primer función que se tipee en la ventana

de trabajo.

Versión 2014


A modo de ejemplo se muestra la elemental ejecución de una suma en el cuadro A5.1. Para

proceder a la ejecución de la suma la forma más fácil es una de dos, presionando la tecla

“Enter” del teclado numérico a la derecha o la combinación de las teclas “shift” y “Enter”

juntas.

Cuadro A5.1

Se puede ver que la ejecución da por resultado algo esperado como que 2+2 es igual a 4. Pero

se puede ver también la identificación de los datos de entrada y de salida con las palabras en

color azul In[1] y Out[1]. El número uno dentro de los corchetes significa la operación

primera desde que se arranco con el KERNEL. En el caso de que dentro de los corchetes de

In[] y Out[] figurare por ejemplo el número 25, se tratará de la operación vigésimo quinta.

Aritmética básica

Mathematica Reconoce los operadores básicos de la aritmética que se discriminan en el

siguiente cuadro A5.2

a + b suma

a – b resta

a * b o a b producto

a / b división

a ^ b potenciación

Cuadro A5.2.

Nótese que el producto también puede ser representado con una separación entre las variables

puestas en juego. A modo de ejemplo en el Cuadro A5.3 En el caso de operaciones

aritméticas se sigue con la secuencia de prioridad típica: paréntesis, productos o divisiones,

sumas o restas en ese orden

Cuadro A5.3

Los números que el programa manipula pueden ser los definidos en el campo del álgebra

numérica, es decir ENTEROS, RACIONALES (fracciones), REALES y COMPLEJOS. Sobre

los diferentes números se pueden ejecutar distintas funciones propias del programa para

redondear, truncar, y entregar la precisión de un número cualquiera en entre otras funciones.

Versión 2014


En el siguiente cuadro se puede apreciar la determinación de la precisión del número y de la

raíz cuadrada de 2 con 30 decimales cada una.

Cuadro A5.3

Algunas funciones Elementales

En la Tabla A5.1 se muestran algunas (de las más de 100) de las funciones elementales de

Mathematica aplicadas a un número cualquiera.

Función Acción

Round[a] redondea “a” a número entero

Ceiling[a] Mayor entero menor que “a”

Sign[a] signo de “a”

Abs[a] Valor absoluto de “a”

Sin[a] seno de “a” (radianes)

Cos[a] coseno de “a” (radianes)

Tan[a] Tangente de “a” (radianes)

ArcSin[a] arco seno de “a” (radianes)

ArcCos[a] arco coseno de “a” (radianes)

ArcTan[a] arco tangente de “a” (radianes)

Sinh[a] seno hiperbólico de “a” (radianes)

Cosh[a] coseno hiperbólico de “a” (radianes)

Tanh[a] Tangente hiperbólica de “a” (radianes)

Exp[a] función exponencial de a

Log[a] logaritmo neperiano de “a”

Log[a,b] Logaritmo en base “a” de “b”

Abs[Z] módulo del número complejo Z

Arg[Z] argumento del número complejo Z

Conjugate[Z] complejo conjugado de Z

Re[Z] Parte real del número complejo Z

Im[Z] Parte imaginaria del número complejo Z

Tabla A5.1. Funciones numéricas básicas de Mathematica

Nota: Mathematica es sensible a los caracteres en mayúscula. Todas las funciones del

programa tienen su primera letra mayúscula, según se ve en la tabla anterior.

Versión 2014


Definición de funciones de una o más variables

La definición de funciones de una o más variables se puede ver en los siguientes cuadros.

Nótese que la definición de h[x], exige la presencia de guión bajo “_” al lado de la “x” sólo en

el miembro de la izquierda.

Cuadro A5.4. Definición de función de una variable

Cuadro A5.5. Definición de función de varias variables

Nótese en Cuadro A5.5, que se ha efectuado una definición combinada de las potencias, para

la variable “y” con el operador apropiado y para la variable “z” empleando la paleta de

funciones (ver Figura A5.1).

La definición de una función como toda asignación puede efectuar de dos maneras distintas:

a) ASIGNACION INMEDIATA (=)

b) ASIGNACION DIFERIDA (:=)

Para distinguir estos tipos de asignación se mostrarán en los siguientes cuadros sus

diferencias. Nótese que en el Cuadro A5.6 sólo aparece la palabra In[16] y no Out[16], esto se

debe a la presencia del carácter “;” al final de cada renglón, que inhibe la salida de pantalla de

los resultados.

Cuadro A5.6. Definición de dos variables con diferente método de asignación

Versión 2014


En el Cuadro A5.7 se ve la comparación de los valores de las funciones en el punto x = 0, de

manera que ambas valen lo mismo. Sin embargo, si el valor de “a” es modificado, también se

modifica la función g[x] que fue definida con asignación diferida.

Cuadro A5.7.

Construcción y manipulación de listas

Una lista en Mathematica puede ser un conjunto de números o funciones u otras listas,

agrupados en una forma definida por el usuario. Los elementos del conjunto no son todos

necesariamente del mismo tipo, sin embargo para aplicar algunas funciones a la lista si es

necesario que sean todos del mismo tipo. En el Cuadro A5.8 se muestra la definición de una

lista a la cual se le aplica la función de seno.

Cuadro A5.8.

Nótese que en el Cuadro A5.8 el operador “// N” da salida numérica a la operación de calculo

del seno, que se ha aplicado directamente a cada elemento de la lista “f” manteniendo la

estructura de la misma. Esto se puede verificar revisando la secuencia de llaves. Sobre una

lista de números del mismo tipo se pueden ejecutar una serie de comandos para ordenar,

reducir, extraer elementos, etc. Algunos de tales comandos se muestran en la Tabla A5.2 y en

el cuadro A5.9 se muestran algunos ejemplos.

Versión 2014


Función Acción

Sort[lista] Ordena la lista

Reverse[lista] revierte el orden de la lista

Length[lista] entrega la cantidad de elementos de la lista

Take[lista, a] extrae los “a” primeros elementos de la lista

Append[lista, a] agrega “a” al final de la lista

Prepend[lista, a] agrega “a” al principio de la lista

Join[lista1, lista2] une dos listas

Tabla A5.2. Funciones básicas para manipulación de listas en Mathematica

Cuadro A5.9.

Definición de reglas

Otra posibilidad es efectuar sustituciones o transformaciones sobre cualquier tipo de

expresiones, en términos de reglas matemáticas, para ello se utiliza en símbolo “/.” y la regla

correspondiente, tal como se muestra en el Cuadro A5.10.

Cuadro A5.10.

Definición de Polinomios

Para definir un polinomio se puede recurrir tanto a la paleta de funciones básicas como a la

escritura con operadores. Así pues en el cuadro A5.11 se pueden distinguir las dos formas de

Versión 2014


definir un mismo polinomio en términos de la variable “x”. Sobre los polinomios se pueden

ejecutar distintas funciones para simplificar, agrupar, disgregar, expandir, extraer coeficientes,

etc. Algunas funciones elementales se disponen en la Tabla A5.3.

Cuadro A5.11.

Función Acción

Expand[polinomio] expresa el polinomio como suma de monomios

Factor[polinomio] Factoriza el polinomio

Collect[polinomio, x] expresa el polinomio en potencias de x

Variables[polinomio] da una lista de las variables dentro del polinomio

Exponent[polinomio, x] indica el máximo exponente de la variable x

Length[polinomio] da la cantidad de monomio que integral el polinomio

Simplify[polinomio] simplifica lo máximo que puede el polinomio

Coefficient[poli, var, n] entrega el coeficiente de potencia n de var en poli

Tabla A5.3. Funciones básicas de polinomios en Mathematica

Definición y manipulación de vectores y de matrices

Un vector y una matriz corresponden a casos particulares de listas, en el primer caso tenemos

una lista de orden [N,1] o [1,N] y en el segundo una lista de orden [M,N]. Normalmente se

definen como arreglos de entidades encerradas entre llaves “{“ y “}” y separados sus

elementos con comas según se muestra en el Cuadro A5.12, para “B” siendo vector y “Z”

siendo matriz:

Cuadro A5.12.

La matriz Z del Cuadro A5.12 se puede definir recurriendo a la paleta de funciones. Por

defecto la función tiene dos filas por dos columnas, pero para añadir filas o columnas hay que

presionar una secuencia de teclas determinada con el cursor actuando dentro del objeto (es

decir con uno de los elementos ennegrecido). Así será:

Versión 2014


a) teclas “control” y “Enter” para añadir filas

b) teclas “control” y ”,” (coma) para añadir columnas

Cuadro A5.13.

Para extraer un elemento de una lista se utiliza el comando Part o bien explícitamente con los

índices afectados al vector o la matriz correspondiente como se ve en el Cuadro A5.14,

ejemplificando para la matriz Z del Cuadro A5.13.

Cuadro A5.14.

Con respecto al producto de matrices, en el Cuadro A5.15 se puede notar la diferencia en el

empleo del operador “.” y el operador “*”.

Cuadro A5.15.

En el caso de A.V se tiene el clásico producto de matrices, en el caso A*V se tiene el

producto elemento a elemento de la matriz.

La salida de una operación con matrices puede ser formateada adecuadamente para ser

presentada como una matriz según se ve en el siguiente Cuadro A5.16.

Versión 2014


Cuadro A5.16.

En una matriz cualquiera se pueden ejecutar las funciones que se muestran en la Tabla A5.4

Función Acción

Det[matriz] calcula el determinante de matriz

Inverse[matriz] calcula la matriz inversa

Transpose[matriz] calcula la matriz transpuesta

MatrixPower[matriz, n] eleva la matriz cuadrada a la potencia n

Eigenvalues[matriz] calcula los autovalores de matriz

Eigenvectors[matriz] calcula los autovectores de matriz

Eigensystem[matriz] calcula el sistema de autovalores y autovectores de matriz

Tabla A5.4. Funciones básicas de matrices en Mathematica

Cuadro A5.17.

Versión 2014


Solución de ecuaciones de una variable

Con la Función Solve se pueden hallar las raíces de un polinomio. Con la Función NSolve se

hace lo mismo pero en forma numérica. Nótese que la ecuación se identifica no con el signo

“=”, sino con el símbolo “==”.

Cuadro A5.18

En el Cuadro A5.19 se muestra la forma de definir sistemas de ecuaciones

Cuadro A5.19

Calculo Diferencial e Integral

La derivada de una función se puede calcular de la siguiente manera (ver que se emplea la

forma estándar y la forma simbólica de la paleta de funciones):

Cuadro A5.20

En el Cuadro precedente se han calculado las derivadas sucesivas de la función “u”. En el

siguiente cuadro se calculan algunas derivadas parciales:

Versión 2014


Cuadro A5.21

Para calcular integrales se emplean las siguientes formas:

Cuadro A5.22

En el Cuadro A5.22, en Inte1 e Inte2 se ha calculado lo mismo con dos formas diferentes de

presentación, lo mismo se ha hecho con Inte3 e Inte4, para el caso en que se definan límites

de integración.

Solución de ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales no siempre tienen solución en términos de cuadraturas, pero para

algunos casos se puede usar la forma de solución simbólica DSolve o la forma numérica

NDSolve.

Cuadro A5.23

Versión 2014


Obsérvese que del cuadro A5.23 se tienen las dos constantes de integración C[1] y C[2]. De

definirse las condiciones iniciales o de borde para la ecuación diferencial se obtiene la

solución definitiva, es decir:

Cuadro A5.24

Formas de Graficación en Mathematica

Existen diferentes formas de graficación en 2D y 3D de funciones en el programa. Se emplea

la función Plot para graficar en el plano y la función Plot3D para graficar en el espacio.

Cuadro A5.25

Cuadro A5.26

Se pueden graficar dos o más funciones, poniéndolas entre llaves, por ejemplo:

Versión 2014


Cuadro A5.27

4. Bibliografía.

[1] E. Castillo, A. Iglesias, J.M. Gutiérrez, E Álvarez y A. Cobo, “Mathematica” Editorial

Paraninfo (1993)

[2] S. Wolfram “Mathematica. A system for doing mathematics by computer” 2nd

edition

Addison-Wesley (1993)

apendice 5

Documents