La successió de Fibonacci expressada matricialment

Download La successió de Fibonacci expressada matricialment

Post on 10-Apr-2018

231 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

<ul><li><p>8/8/2019 La successi de Fibonacci expressada matricialment</p><p> 1/2</p><p>Aritmetica Grup 2: Beihui Ye , Andreu Correa Tardor 2010</p><p>La successio de Fibonacci</p><p>Problema 65. Sigui U =</p><p>1 11 0</p><p>.</p><p>(i) Demostreu que Un =</p><p>un+1 unun un1</p><p>on les entrades de la matriu son donades</p><p>pels termes de la successio de Fibonacci.</p><p>(ii) Retrobeu el resultat un+1un1 u2n = (1)</p><p>n mitjancant el calcul de detUn.</p><p>Solucio.</p><p>(i) Ho demostrarem per induccio (comencant amb n = 1, i suposant que la suc-</p><p>cessio de Fibonacci comenca en n = 0).</p><p> Cas n = 1. Sabem que u0 = 0, u1 = 1, u2 = 1, que coincideix amb lesentrades de U1 = U, per tant aquest cas queda confirmat.</p><p> Suposem que es cert per tots els exponents menors o iguals a n. Voldremveure que tambe es compleix per n + 1. Aplicant la hipotesi dinducciotenim que:</p><p>Un+1 =</p><p>un+1 unun un1</p><p>1 11 0</p><p>=</p><p>un+1 + un un+1un + un1 un</p><p>I si ara apliquem la formula que descriu els termes de la successio deFibonacci (un+1 = un + un1) podem reescriure els termes de la matriuper obtenir:</p><p>Un+1 =</p><p>un+2 un+1un+1 un</p><p>per tant la proposicio queda demostrada per tot n N.</p><p>Fixem-nos en que aquest resultat ens pot servir per trobar una forma rapidaper calcular lelement n-essim de la successio de Fibonnacci, fent anar unalgorisme semblant als algorismes dexponenciacio rapids. Per exemple, si</p><p>volguessim coneixer un terme en una posicio parella de la successio (u2k),podem prendre les matrius Uk i multiplicar-les: Uk Uk = U2k, de forma que:</p><p>u2k = uk+1uk + ukuk1 = uk(uk+1 + uk1)u2k+1 = uk+1uk+1 + ukuk = u</p><p>2k+1 + u</p><p>2k</p><p>u2k1 = ukuk + uk1uk1 = u2k</p><p>+ u2k1</p><p>Per n grans aixo pot suposar un gran estalvi computacional.</p><p>Tot seguit podem veure un codi per SAGE (Python) dexemple que aplicaaquesta idea. Calculant el terme 100000 aquest algorisme ha anat 25 cops mesrapid que lalgorisme usual.</p><p>1</p></li><li><p>8/8/2019 La successi de Fibonacci expressada matricialment</p><p> 2/2</p><p>Aritmetica Grup 2: Beihui Ye , Andreu Correa Tardor 2010</p><p>1 de f FI B ( n ) :2 if n == 0:3 return 04 if n </p></li></ul>