8/8/2019 La successi de Fibonacci expressada matricialment

1/2

Aritmetica Grup 2: Beihui Ye , Andreu Correa Tardor 2010

La successio de Fibonacci

Problema 65. Sigui U =

1 11 0

.

(i) Demostreu que Un =

un+1 unun un1

on les entrades de la matriu son donades

pels termes de la successio de Fibonacci.

(ii) Retrobeu el resultat un+1un1 u2n = (1)

n mitjancant el calcul de detUn.

Solucio.

(i) Ho demostrarem per induccio (comencant amb n = 1, i suposant que la suc-

cessio de Fibonacci comenca en n = 0).

Cas n = 1. Sabem que u0 = 0, u1 = 1, u2 = 1, que coincideix amb lesentrades de U1 = U, per tant aquest cas queda confirmat.

Suposem que es cert per tots els exponents menors o iguals a n. Voldremveure que tambe es compleix per n + 1. Aplicant la hipotesi dinducciotenim que:

Un+1 =

un+1 unun un1

1 11 0

=

un+1 + un un+1un + un1 un

I si ara apliquem la formula que descriu els termes de la successio deFibonacci (un+1 = un + un1) podem reescriure els termes de la matriuper obtenir:

Un+1 =

un+2 un+1un+1 un

per tant la proposicio queda demostrada per tot n N.

Fixem-nos en que aquest resultat ens pot servir per trobar una forma rapidaper calcular lelement n-essim de la successio de Fibonnacci, fent anar unalgorisme semblant als algorismes dexponenciacio rapids. Per exemple, si

volguessim coneixer un terme en una posicio parella de la successio (u2k),podem prendre les matrius Uk i multiplicar-les: Uk Uk = U2k, de forma que:

u2k = uk+1uk + ukuk1 = uk(uk+1 + uk1)u2k+1 = uk+1uk+1 + ukuk = u

2k+1 + u

2k

u2k1 = ukuk + uk1uk1 = u2k

+ u2k1

Per n grans aixo pot suposar un gran estalvi computacional.

Tot seguit podem veure un codi per SAGE (Python) dexemple que aplicaaquesta idea. Calculant el terme 100000 aquest algorisme ha anat 25 cops mesrapid que lalgorisme usual.

1

8/8/2019 La successi de Fibonacci expressada matricialment

2/2

Aritmetica Grup 2: Beihui Ye , Andreu Correa Tardor 2010

1 de f FI B ( n ) :2 if n == 0:3 return 04 if n