MA 2231 Kalkulus Peubah BanyakUTS - Semester II - 2010 / 2011

21 Maret 2011

1. Sebuah partikel bergerak menurut persamaan berikut :

r(t) = cos eti + sin etj +√

3etk, t ≥ 0

Partikel ini kemudian menumbuk sebuah penghalang pada saat t = ln 5.

(a) Tentukan laju partikel saat menumbuk penghalang.

(b) Berapa jarka yang telah ditempuh partikel sebelum menumbuk penghalang?

2. Diketahui fungsi dua peubah f (x, y) = x4 + y4, (x, y) ∈ R2.

(a) Tentukan semua titik stasioner f .

(b) Tentukan nilai diskriminan f , yakni ∆ := fxx fyy − ( fxy)2, di titik stasioner terse-but.

(c) Selidiki apakah f mencapai nilai ekstrim di titik stasioner tersebut dan tentukanjenisnya.

3. Tunjukkan bahwa u(x, t) = 12 [ f (x− ct) + f (x + ct)] memenuhi persamaan gelom-

bang utt = c2uxx dengan syarat awal u(x, 0) = f (x).

4. Tentukan daerah di mana persamaan

u = x3 + y3, v = xy,

mempunyai invers lokal. Tentukan ∂x∂u dan ∂x

∂v .

5. Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi f (x, y) = y2 − x2, dengan x, y yangterleta pada elips x2

4 + y2 = 1.