isaretler ve sistemler

8/10/2019 isaretler ve sistemler

1/55

Hafta 1:aretler ve Sistemler


2/55

Srekli-zaman ve ayrk-zaman iaretler

Bamsz deikenin dntrlmesi

stel ve sinzoidal iaretler

mpuls ve birim basamak fonksiyonlar

Srekli-zaman ve ayrk-zaman sistemler

Sistemlerin temel zellikleri

Ele Alnacak Ana Konular


3/55


aretlerbir olayndavranveya doashakkndabilgi iermektedir.

aretlerieitliekillerdeifade etmek mmkndr. aretler, matematiksel olarakbir veya daha fazlabamszdeikeninfonksiyonubiimindetemsil edilir.

rnein, ses iaretizamannfonksiyonu olarak akustikbasnlabelirtilir. Benzer

ekilde, bir grnt iki konum deikeninin fonksiyonu olarak parlaklklatanmlanr.

Bu derste, aksibelirtilmediisrecebirbamszdeikenliiaretleriinceleyecekve bamsz deikene ZAMAN diyeceiz. Ancak, tm fiziksel olaylardabamsz deikenin zaman olmad hatrda tutulmaldr. rnein, meteorolojik

aratrmalarda yksekliebal olarak hava basnc, scaklk ve rzgar hznndeiimihakknda bilgi nemlidir. Bu durumda bamszdeikenyksekliktir.nceleneniaretlerise havabasnc, scaklkve rzgarhzdr.


4/55


Bir ses kayd. aret, should we

chase kelimlerini, zamana balolarak akustik basn deiimlerieklinde temsil etmektedir. st satrshould,ikinci satrweve son ikisatr chase kelimlerine karlkgelmektedir.


5/55

Bu derste, srekli-zaman ve ayrk-zaman eklinde snflandrlan temel iki triareti inceleyeceiz. Srekli-zaman iaret durumunda, bamsz deikensreklidirve dolaysyla iaretbamszdeikenin tmdeerleri iin tanmldr.Dier yandan, ayrk-zaman iartler sadece belirli zamanlarda tanmldr vebamszdeikenayrkdeerleralr.

Zamann fonksiyonu olarak ses iareti ve yksekliin fonksiyonu olarakatmosferik basn srekli-zaman iaretlere rnektir. stanbul Menkul KymetlerBorsas(MKB)haftalkendeksi ve dnyadakilkeleregretoplam nfsayrk-zaman iaretlerernektir.

Srekli-zaman ve ayrk-zaman iaretlerini birbiriyle kartrmamak amacyla,

sreklive ayrkdurumlarda bamszdeiken iinsrasyla tve n; iaretler iindex(t) vex[n] notasyonlarnkullanacaz.



6/55


(a) Srekli-zaman ve (b) ayrk-zaman iaretlerinin grafikgsterilimi. 2.5 kiidenoluanbiraile iin ortalama kazantan szetmenin anlamsz olmas gibi birayrk-zaman iaretinin 3.5. rneihakknda sz etmek de anlamldeildir. Bu yzden, kayna neolursa olsun, ayrk-zamaniaretlerinin nnin tamsaydeerleri iin tanml olduunadikkat ediniz.


7/55

aretler eitli fiziksel olaylar temsil edebilir. ou uygulamada, ilgilenileniaret bir fiziksel sistemdeki g ve enerjiyi belirten fiziksel byklklerledorudanilikilidir.

Bir srekli-zaman iaretix(t)de t1 t t2aralndave bir ayrk-zaman iaretix[n]de n1 n n2 aralndaki TOPLAM ENERJ, |x| saynn genliinigstermekzere

ilikilerinden hesaplanr. ORTALAMA G, sonular ilgili aralklarn boyunablnr(sreklidurumda t2 - t1; ayrkdurumda n2 - n1+ 1) elde edilir.

Yukarda verilen ilikileri sonsuz aralk durumuna genelletirmek mmkndr.Aralnsonsuza gitmesi limit durumunda ilgili tanmlarelde edilir:


2

1

2

1

22 |][|,|)(|t

t

n

nnnxdttx

N

NnN

T

TT

N

NnN

T

TT

nxN

PdttxT

P

nxEdttxE

22

22

|][|12

1lim|)(|

2

1lim

|][|lim|)(|lim


8/55


Enerji ve gieriinegreiaretlersnfaayrlabilir.

Sonlu enerjiye sahip (E < ) iaretlere ENERJ ARET denir. Enerjiiaretlerinin gcsfrolmaldr. Bir rnekvermek gerekirse, [0,1] aralnda1,dier zamanlarda sfra eit olan bir srekli-zaman iaretinin enerji iaretiolduunugstermekzor deildir.

Sonlu gce sahip iaretlere (P< ) G ARET denir. G iaretlerininenerjisi sonsuz olmaldr. Deeri 4 olan sabit bir ayrk-zaman iareti (tm ndeerleriiinx[n] =4) giaretidir.

Dierbir grup iaretleriinne enerji ne de gsonlu bir deeresahiptir.x(t) = t

eklindebir iaretbu gruba girmektedir.


9/55

Bamsz deikenin dnm

aretve sistem analizindeki nemlibir kavram bir iaretindntrlmesidir.

rnein, bir uak kontrol sisteminde pilotun eylemlerine karlk iaretlerelektriksel ve mekanik sistemler araclyla uan hz veya konumundakideiiklikleredntrlr.

Dier bir rnek olarak, bir ses siteminde kaset veya CDye kaydedilmi mziitemsil eden bir giri iareti istenilen karakteristikleri iyiletirme, kaydetmegrltsngidermek amacyladeitirilebilir.

Aada,bamsz deikene yaplan basit deiikliklerden oluan dnmleriele alacaz.

Bu basit dnmler, iaretler ve sistemlerin temel zelliklerini tanmlamamzaimkan verecektir.


10/55


11/55

Bamsz deikenin dnm

Bamsz deikene yaplabilecek ikinci bir dnme ZAMANI TERSNE

EVRME denir ve srekli durumda matematiksel olarak x(-t) eklinde ifadeedilir. Orijinal iaretin dikey eksen (t = 0) etrafnda dndrlmesiyle zamantersine evrilmiiaretelde edilir.


12/55

Bamsz deikenin dnm

Bamsz deikene yaplabilecek nc dnme LEKLEME denir ve

srekli durumda x(t) biiminde temsil edilir. ya lekleme katsays denir.nn1denbykolmasdurumunda orijinal iaretineklinibozmadan iaretikadar daraltarak eklenmiiaretielde ederiz. Aksi durumda, orijinal iaretnntersi kadar geniletilir.


13/55


14/55

Bamsz deikenin dnm

TANIM: Bir srekli-zaman iareti tnin deerindenbamsz olarak x(t) = x(t+T)

eitliini pozitif bir Tdeeri iinsalyorsaTperiyodu ile periyodiktir. Eitliingeerli olduu en kk T deerine temel periyod (T0) denir. Periyodik olmayaniaretlereaperiyodik denir.

TANIM: Bir ayrk-zaman iareti nnin deerindenbamsz olarak x[n] = x[n+N]eitliini pozitif bir tamsayN deeri iinsalyorsaN periyodu ile periyodiktir.Eitliingeerliolduuen kkN deerinetemel periyod (N0) denir.

T0= T N0= 3.


15/55

Bamsz deikenin dnm

TANIM: Bir iaret zaman tersine evrilmihaline eitse(x(t) =x(-t)) FT; zamantersine evrilmihalinin negatifine eitse(x(t) = -x(-t)) TEK iarettir.

TANIM: Bir iaret ile zaman tersine evrilmi halinin toplamnn yarsna iaretinFT PARASI denir. Bener ekilde, iaret ile zaman tersine evrilmi halininfarknnyarsnaiaretinTEK PARASIdenir.

ift iaret tek iaret

)()(2

1)(

)()(2

1)(

txtxtxOd

txtxtxEv


16/55

Bamsz deikenin dnm

Bir ayrk-zaman iaretiile iaretiniftve tekparalaraadaverilmitir.


17/55

Srekli-zaman stel ve sinzoidal iaretler

Srekli-zaman karmaksteliaretingenel ifadesi, Cve akarmaksaylarolmakzere x(t) = Ceatdir. Bu iki parametrenin deerinebal olarak karmak steliaretfarkldavrangsterir.

Aadagsterildiigibi Cve agerelise, iki durum vardr. apozitif isex(t) artar,aksi halde azalr. Ayrca,a= 0 olduunda,x(t) sabit olmaktadr.

(a) a> 0, (b) a< 0.


18/55

agerelksmsfrolan karmakbir say(a= jw0

t), yani olsun. Bu

durumdax(t) periyodiktir.

Periyodiklik tanmndan,x(t)ninperiyodik olmasiin eitliinisalayanpozitif bir T deeribulunabilmelidir. stelsaylarnzelliinden

olduundan,periyodiklik iin olmaldr.

Tninalacadeerw0abaldr. w0= 0 ise,x(t) =1 olup Tninherhangi bir deeriiinperiyodiktir. w00 ise, en kkpozitif Tdeeri(temel periyod) iin

bulunur. O halde, iaretleriayntemel periyoda sahiptir.

tjetx 0)(

tjTtjee o 0

)(

TjtjTtj

eee000

)(

10Tj

e

||2

00T

tjtjee 00 ve



19/55

Periyodik karmaksteliaretleyakndanilikilibir iareteklindetanmlanansinzoidaliarettir.

tnin birimi saniye ise, ve 0n birimleri radyan ve saniye bana radyandr.

0= 2 f0yazlrsaf0nbirimi, saniyebanadeiimsaysveya hertz (Hz)dir.

Sinzoidaliaretperiyodik olup temel periyodu eklindedir.

)cos()(0tAtx

||

2

00

T



20/55

Euler ilikisikullanlarak,karmakstel ve sinzoidaliaretlerbirbiri cinsindenyazlabilir. likileraadaverilmitir:

Edeerolarak, sinzoidal iaretler,karmakstel iaretingerelve sanal ksmeklindeifade edilebilir:

stel iaretler atomik patlamalardaki zincir reaksiyonlar, karmak kimyasal

ilemleri,radyoaktif bozunumu, RC devrelerinin ve snmlmekanik sistemlerinyantn modellemede kullanlr. Benzer ekilde, sinzoidal iaretler enerjininkorunduufiziksel sistemlerde karmzakar. rnein,bir LC devresinin doalyantve bir mziktonuna karlkgelen akustikbasndeiimlerisinzoidaldir.

tjjtjj

tj

eeA

eeA

tA

tjte

00

0

22)cos(

)sin()cos(

0

00

}Im{)sin(

}Re{)cos()(

0

)(0

0

0

tj

tj

eAtA

eAtA



21/55

Bir srekli-zaman sinzoidal veya periyodik karmak stel iaretin temelperiyodu T0, TEMEL FREKANS olarak adlandrlan| 0| ile ters orantldr.

0= 0 ise,x(t) sabit olup herhangi bir positif T iinperiyodiktir. O halde, sabitbir iaretintemel periyodu tanmszdr. Ancak, sabit bir iaretintemel periyodunusfrkabul edebiliriz (sabit bir iaretindeiimhzsfrdr).



22/55

Periyodik karmakstelve sinzoidaliaretleringiaretiolduugsterilebilir.

Periyodik karmak stel iaretlerden ou dier iaret retilebilir. Ortak birperiyod ile periyodik olan periyodik stel iaretler kmesine HARMONKLKLKARMAIKSTELKMESdenir.

e

j t

iaretininT0ile periyodik olabilmesi iin T0= 2 k, k= 0, 1,2,... olmaldr.0= 2 / T0olarak tanmlanrsa, T0= 2 k koulununsalanmasiin , 0n

katolmaldr. O halde, harmonik ilikilibir karmakstelkmesi,pozitif bir 0frekansnnkatlarnaeittemel frekansa sahip periyodik steliaretlerkmesidir:

k = 0 iin k(t) sabittir, herhangi bir dier k deeri iin k(t), |k| 0 temelfrekansylaveya

temel periyodu ile periyodiktir. k(t)yek. HARMONKdenir.

,...2,1,0,)( 0 ket tjk

k

||||

2 0

0 k

T

k



23/55

Srekli-zaman karmaksteliaretingenel ifadesi, Cve akarmaksaylarolmakzere Ceatile verildiinihatrlaynz. C, kutupsal koordinatlarda C= |C|ej , aisekartezyen koordinatlarda a= r + j 0eklindeifade edilsin.

Cve ayerine konulup Euler ilikisikonulursa karmaksteliaret

eklindeyeniden dzenlenebilir. Bu ilikidenaadakigzlemleryaplabilir.

Karmaksteliaretingenlii|C|ertdir.

r= 0 ise, karmakstelingerelve sanal ksmlarsinzoidaldir.

r> 0 ise, gerelve sanal ksmlarartan stel iaret,aksi halde azalan steliaretile arplr. Azalan stel iaret ile arplan sinzoidal iaretlere SNMLsinzoidal denir. Snml sinzoidal iaretlerle RLC devrelerinde ve mekaniksistemlerde karlalr. Bu trsistemler, zamanla azalan salnmlenerji retir.

)sin(||)cos(|| 00 teCjteCCe rtrtat



24/55

(a)Artan sinzoidal iaretx(t) = Certcos( 0t + ), r> 0.(b) Azalan sinzoidal iaretx(t) = Certcos( 0t + ), r< 0.ekillerde kesikli eriler |C|ertfonksiyonlarna karlk gelmektedir.



25/55

Ayrk-zaman karmaksteliaretingenel ifadesi, Cve karmaksaylarolmakzere x[n] = Cndir. = e olmak zere, stel iaretx[n] = Cen eklinde deyazlabilir. C ve nnalddeerleregreiaretineklideiir.

Cve gerelise, aadakidurumlar mmkndr:

|| > 1 ise, iaretingenliinarttkastelolarak artar.|| < 1 ise, iaretingenliinarttkastelolarak azalr.pozitif ise, iaretintmdeerleriayniarete(hepsi pozitif veya negaif) sahiptir.negatif ise,x[n]niniaretirnektenrneedeiir.= 1 ise,x[n] sabittir (x[n] = C).= -1 ise,x[n] dnmlolarak CveCdeerlerinialr.

Ayrk-zaman gerelsteliaretdoumorannabalolarak nfusartve zamana(gn, ay, yl vb) bal olarak yatrm sonucunda elde edilen kar gibi olaylarmodellemede kullanlr.

Ayrk-zaman stel ve sinzoidal iaretler


26/55

Ayrk-zaman gerel stel iaretx[n] = Cn

(a)> 1(b) 0 < < 1.(c) -1 < < 0.(d)< -1



27/55

Sreklidurumda olduugibi, karmaksteliaretleyakndanilikilibir iareteklindetanmlanansinzoidaliarettir.

nboyutsuz ise, ve 0nbirimleri radyandr.

Euler ilikisi kullanlarak ayrk-zaman karmak stel ve sinzoidal iaretlerbirbirleri cinsinden yazlabilir:

Ayrk-zaman karmakstelve sinzoidaliaretlerin,sreklidurumda olduugibi

giaretleriolduunugstermekzor deildir.

)cos(][ 0nAnx

njjnjj

nj

eeA

eeA

nA

njne

00

0

22)cos(

)sin()cos(

0

00



28/55



29/55

Cve iinkutupsal koordinatlarda C= |C|ej

, yazlp Cn

ifadesindeyerine konulursa ayrk-zaman karmaksteliaretaadakigibi yazlabilir:

|| = 1 ise, karmaksteliaretingerelve sanal ksmlarsinzoidaldir. || < 1 ise,sinzoidal iaretler azalan bir stel iaretle, aksi halde ise artan bir stel iaretle

arplmaktadr.

0j

e

)sin()cos( 00 nCjnCC nnn



30/55

Srekli-zaman ve ayrk-zaman iaretlerarasndanemlifarklar vardr. Birinci farkolarak, aadagsterildiigibi , 2ile periyodiktir:

Srekli durumda 0nfarkldeerleri iin farkl iaretlerolmasnakarn,ayrk-durumda iaretinde0yerine 0 + 2, 0 + 4, 0 + 6yazldnda

aynsonuelde edilmektedir. Bu yzden,ayrk-zaman karmakstel iaretleri2uzunluundaki bir frekans aralnda incelemek yeterlidir. Genelde 0 0 < 2veya -0< seilir.

|0| arttka iaretinintemel freakansartyordu. Ayrkdurumda bu geerlideildir. 0, 0danyedoruartarken iaretininbirim zamandaki salnm

saysartarken den0adoruartarken salnmsaysazalr. O halde, ayrk-zamankarmak stel iaret, 0n 0 veya nin ift katlarna yakn deerleri iin dkfrekansl,nintek katlarnayakndeerleriiinseyksekfrekansldr.

nje 0

njnjnjnj eeee 000 2)2(

tje 0

nje 0

tje 0

nje 0



31/55



32/55


iaretininperiyodik olmas iin veya eitliinisalayan pozitif bir tamsayNbulunabilmeliydi. Karmaksteliaretin1 deerinialmas iin s 2nin kat olmaldr. O halde, m bir tamsay olmak zereperiyodiklik art olarak 0/2ninrasyonel bir sayomasgerektiinibelirten

yazlabilir(ikinci fark: srekliiaret0nherhangi bir deeriiinperiyodikti!). Bukoul,ayrk-zaman sinzoidaliaretleriinde geerlidir.

Ayrk-zaman karmakstel iaretintemel periyodu N ise, temel frekans2/Ndir.O halde, iaretinintemel frekans

olacaktr.

nje 0

njNnjee 00

)(10

Nje

N

mmN

22 00

nje 0

mN

02


33/55


0n farkldeerleri iin farkl iaretler 2ile periyodik

0n herhangibir deeri iin periyodik N> 0 ve m tamsaylariin 0= 2m/N ise periyodik

Temel frekans:0 Temel frekans: 0/ m

Temel periyod:

0=0 ise tanmszdr0 0 ise 2/ 0

Temel periyod:

0=0 ise tanmszdr0 0 ise m(2/ 0)

tje 0

nje 0

Son olarak, harmonik ilikili bir ayrk-zaman karmakstelkmesi,ortak birperiyodNyesahip periyodik steliaretlerkmesidir:

Srekli durumdan farkl olarak, periyodiklikten tr kmede N adet iaretolduunadikkat ediniz (sreklidurumda kmedesonsuz iaretvard!).

1,...,1,0,][ )/2( Nken nNjkk


34/55

Ayrk-zaman impuls ve birim basamak dizileri

TANIM: Ayrk-zaman MPULSdizisi [n] aadakieitlikletanmlanr:

Dizinin grafik gsterilimi:

TANIM: Ayrk-zaman BRMBASAMAK dizisi u[n] aadakieitlikletanmlanr:

Dizinin grafik gsterilimi:

0,1

0,0][

n

nn

0,1

0,0][

n

nnu


35/55


Ayrk-zaman impuls ve birim basamak dizileri arasndaaadakiilikilervardr:

Toplama ilemlerinin pozitif ve negatif n deerleri in hesaplanmas aada

gsterilmitir:

0

)gsterilim(2.][][

)gsterilim(1.][][

]1[][][

k

n

m

knnu

mnu

nunun

1. gsterilim, a) n< 0, b) n> 0. 2. gsterilim, a) n< 0, b) n> 0


36/55


Ayrk-zaman impuls dizisi, bir iaretin= 0 anndakideerinideerinirneklemedekullanlabilir:

x[n] [n] =x[0] [n]

Daha genel ifadeyle, n = n0 anndaki bir impuls iaretin n0 anndaki deerini

rneklemdekullanlabilir:

x[n] [n - n0] =x[n0] [n- n0]

mpuls dizisinin rnekleme zellii, dorusal ve zamanla deimeyen sistemlerinanalizi ile srekli-zaman iaretlerin ayrklatrld rnekleme konularnda ska

kullanlacaktr.


37/55

Srekli-zaman impuls ve birim basamak fonksiyonlar

TANIM: Srekli-zaman birim basamak fonkiyonu u(t) aadakieitlikletanmlanr:

Fonksiyonun grafik gsterilimi:

TANIM: Srekli-zaman impuls fonksiyonu (t) aadakieitlikletanmlanr:

Not: u(t), t= 0 anndasrekliolmayptrevihesaplanamayacandan (t)nintanmaslndageerlideildir. Ancak, limit durumda birim basamak fonksiyonuna eitolanyumuakgeiliiaretlerkullanlrsatanmgeerliolacaktr.

0,1

0,0)(

t

ttu

dt

tdut

)()(


38/55


Aada, 0 limit durumunda u(t)ye eit olan, trevi tm noktalarda

hesaplanabilir bir fonksiyon u(t) ve fonksiyonun trevi (t) verilmitir.

(t), nn deerindenbamsz olarak altndaki alan 1 olan ksa sreli birdarbedir. , 0ayaklatka (t) darlapdikleecekancak altndakalan alan hep1 olackatr. 0 limit durumunda darbenin sresi sfr, ykseklii sonsuzolacaktr. Bu durum grafiksel olarak ylegsterilir:

dt

tdutt

)(lim)(lim)(

00


39/55


Genel olarak, altndaki alan k olan leklenmi impuls fonksiyonu k (t) ile

gsterilirve grafik gsterilimdeokun yanna1 yerine kyazlr.

(t), u(t)nin trevi olduundan, u(t) (t)nin integralidir. ntegral edeer ikiekildeyazlabilir:

ntegrallerinpozitif ve negatif tdeerleriiinhesaplanmasaadagsterilmitir:

0

)gsterilim(2.)d-()(

)gsterilim(1.)()(

ttu

dtut

1. gsterilim, a) t< 0, b) t > 0. 2. gsterilim, a) t< 0, b) t> 0.


40/55


Srekli-zaman impuls fonksiyonunun da rnekleme zelliivardr. Aada, keyfibir x(t) iin,x1(t) = x(t) (t) arpm ve arpmn sfrdan farkl olduu ksmnbyltlmhali gsterilmitir.

Yeterince kk iin0 taralndax(t) yaklakolarak sabit olduundan

x(t) (t) x(0) (t) yazlabilir. 0 limit durumunda (t), (t)ye eitolduundan impulsun rneklemezelliix(t) (t) =x(0) (t) elde edilir.

Benzer admlarkullanarak, t = 0 yerine t= t0anndakibir impuls iinrneklemezelliix(t) (t - t0) =x(t0) (t - t0) eklindeolur.


41/55


Gerekbir fiziksel sistem, eylemsizliesahiptir ve uygulanan girilereaniden yantveremez. Dolaysyla, sistemin yant uygulanan darbenin sresi veya eklindenziyade darbenin altndakialandan (darbenin toplam etkisinden) etkilenecektir.

Hzl davran gsteren sistemler iin darbenin sresi, yant darbenin ekli veyasresinden etkilenmeyecek ekilde kk olmaldr. Herhangi bir gerek fiziksel

sistem iin sresi yeterince kk bir darbe bulabiliriz. mpuls fonksiyonu, bukavramnidealletirilmiidir(herhangi bir sistem iinyeterince kksrelidarbe!).

mpuls ve ilikli fonksiyonlara TEKL veya GENELLETRLM fonksiyonlardenilmektedir. Daha fazla bilgi aadakikaynaklardan edinilebilir:

A. H. Zemanian,Distribution theory and transform analysis, NY, McGraw-Hill, 1965.R. F. Hoskins, Generalised functions, NY, Halsted Press, 1979.

M. J. Lighthill,Fourier analysis and generalized functions, NY, Cambridge University Press, 1958.


42/55


Sreksizlikierensrekli-zaman iaretlerinintreviimpuls fonksiyonu kullanlarakhesaplanabilir. Sreksizlik noktalarndaki trev impuls fonksiyonu oluturur veimpulsun genliini sreksizlik noktasndaki srama miktar belirler. Aada birrnekverilmitir.

Trev doru ise, b)deki iaretin integrali

a)daki iareti vermelidir. c)de herhangibir t deeri iin integral aralgsterilmitir. Integral ilemininsonucu

t < 0 ise 0

1 t< 2 ise 2,2 t< 4 ise -1,t 4 ise 1

olup gerektende a)dakiiaretelde edilir.


43/55


SSTEM, giriineuygulanan bir iaretikndabakabir iaretedntrenbir

sreolarak deerlendirilebilir.

Srekli-zaman sistemlerde giri ve k iaretleri srekliyken; ayrk-zamansistemlerde ayrktr. Sistemler grafiksel olarak aadakiekildegsterilir:

Bir iaret,baka bir iaret haline dntrlmek istendiinde bir srekli-zamansistemi tasarlanabilir (analog zm). Ancak, iaretrneklenipayrk-zaman halinegetirildikten sonra ayn ilem bir ayrk-zaman sistem tasarlanarak da yaplabilir(saysal zm). Saysal zmde elde edilen sonuun tekrar srekli halegetirilmesi gerektiinedikkat ediniz.

Saysal zmn analog zme gre stnlkleri olduka fazladr. Bu konuSAYISAL ARETLEMEdersinde ele alnmaktadr.

x(t) y(t) y[n]x[n]

x(t) y(t) x[n] y[n]


44/55


rnek:Bir srekli-zaman sistemine rnekolarak, aadaverilenRCdevresinde giri

iaretivs(t) ile kiaretivc(t) arasndakiilikiyibulalm.

Ohm yasasndan,direnzerindengeenakm,direnzerindekigerilimin direnindeerineblnmesiyleelde edilir:

Kapasitenin tanmndan

Bu iki eitlikten,giriile karasndakiilikiaadaverilen diferansiyel denklemolarak elde edilir:

R

tvtvti cs

)()()(

dt

tdvCti c

)()(

)(1

)(1)(

tvRC

tvRCdt

tdvsc

c


45/55


rnek:Bir ayrk-zaman sistemine rnekolarak, ay sonunda banka hesabndakipara

miktarn ele alalm. x[n] ay boyunca net para girii (yatrlan-ekilen) ve y[n] aysonunda hesaptaki para olmak zere,y[n]nin aada verilen fark denklemiylebelirlendiinivarsayalm:

y[n] = 1.01y[n-1] +x[n]

Modeldeki 1.01y[n-1] terimi, ilgili ayda % 1 oranndafaizi modellemektedir.

Yukardaverilen basit iki rnek,daha karmaksistemlere uyarlanabilir. Genelde,giri ile k arasndaki iliki, srekli-zaman sistemlerde diferansiyeldenklemlerle, ayrk-zaman sistemlerde ise fark denklemleriyle verilir.

Bu derste, sistemleri analiz edebilmek iinetkili yntemler (Fourier dnm,z-dnmvb) tantlacaktr.


46/55


ou gerek sistem, birka alt sistemden olumaktadr. Dier bir deyile, basitsistemlerbirletirilerekkarmaksistemler oluturulabilir.

Sistemleri ok deiikbiimlerde birbirleriyle balamak mmkndr. Ancak,sklkla kullanlanbalamabiimleri SER, PARALEL ve SER-PARALEL olupbunlara karlkgelen blok diyagramlar aadaverilmitir.


47/55


Diernemlibir snf, aadagsterilenGERBESLEMELbalamadr.

Geribesleme sistemleri birokuygulamada kullanlmaktadr. rnein, saysalolarak kontroledilen bir uak sisteminde gerekve gerekli hz, ynve ykseklikarasndakifarklar gereklidzeltmeleriyapmak zeregeri besleme iaretleriolarak kullanlr. Elektrik devrelerinde degeribesleme mevcuttur. Aada bir elektrik devresi ve karlk gelen blok diyagramverilmitir


48/55


Herhangi bir andaki k, sadece o andaki giriine bal olan sistemlere

HAFIZASIZ, aksi halde HAFIZALI denir.

Hafzasssistemler:

y[n] = (2x[n]x2[n])2

y(t) =Rx(t)

Hafzalsistemler:

Hafzal sistemlerde, girii kn hesapland an dndaki zamanlarda saklayanmekanizmalar olmaldr. ou fiziksel sistemde, hafza enerjinin depolanmas iledorudanilikilidir. rnein,kondansatrelektriksel ykbiriktirerek enerji saklar.

t

n

k

dxC

ty

kxny

)(1

)(

][][


49/55


Herhangi bir andaki k, giriin gemitekiveya o andaki deerlerinebalolan

sistemlere NEDENSEL denir.

Nedensel sistemler:

Nedensel olmayan sistemler:

Bir sistemin nedensel olup olmad belirlenirken giri-k arasndaki iliki tmanlarda incelenmelidir. Ayrca, giri-k arasndaki ilikide giriten hari dierfonkiyonlar dikkate alnmamaldr.

t

n

k

dx

C

ty

kxny

)(1

)(

][][

)1()(

]1[][][

txty

nxnxny


50/55


Snrl giriler iin snrl klar oluturan sistemlere KARARLI, aksi halde

KARARSIZ denir.

Kararlsistemler:

Kararszsistemler:

Bir sistemin kararsz olduunu gstermek iin iyi bir yaklam, sonsuz bir kretensonlu bir giribulmaktr. Ancak, bu herzaman mmknolmayabilir. Bu gibidurumlarda, giriiaretindenbamszolarak alanbir yntemkullanlmaldr.

)()(

][12

1][

tx

M

Mk

ety

knxM

ny

)()(

][][

ttxty

kxny n

k


51/55


Bir sistemde, giriiaretineuygulanan bir telemekiaretindede aynmiktarda

telemeyeneden oluyorsa sisteme ZAMANLA DEMEYEN,aksi halde zamanladeiendenir.

rnek:Giri-kilikisiy(t) = sin[x(t)]

ile verilen sistemi ele alalm. Giriiaretinet0kadar bir telemeuygulayalm,yanix2(t) = x(t-t0) olsun. Sistemin x2(t)ye yant,y2(t) = sin [x2(t)] = sin[x(t-t0)]dir.kn t0 kadar telenmii, y(t-t0) = sin[x(t-t0)]dir. Giri iaretine uygulananteleme,ktada aynmiktarda telemeyesebep olup bu sistem nedenseldir.

rnek:Giri-kilikisiy[n] = nx[n]

olan sistemin zamanla deitii,benzer ilemlertakip edilerek gsterilebilir.

zamanla deimeyendir


52/55


kiveya daha fazla iaretintoplamndanoluanbir girieolan yant,giriiaretini

oluturanbileenlere yantlarnntoplamnaeitolan sistemlere DORUSALdenir.

Dorusalln matematiksel tanm, srekli-zaman sistemleri iin aadaverilmitir. Tanm,ayrk-zaman durumunda da geirlidir.

Bir sisteme uygulan xk(t) girilerine karlk gelen klaryk(t), k = 1,2,... olsun.

aklarkatsayolmak zere,sistemin

giriineyant

ise, sistem dorusaldr.

...)()()()()( 332211 txatxatxatxatxk

kk

...)()()()()( 332211 tyatyatyatyatyk

kk

uygulanan


53/55


rnek: Giri-k ilikisi y(t) = tx(t) olan sistemin dorusal olup olmadn

belirleyelim. Sistemin, keyfi iki giriiaretix1(t) vex2(t)yeolan yant

olsun. ave b katsaylarolmak zere,x1(t) vex2(t)ninarlkltoplamx3(t) olsun:

Sistemin x3(t)yeolan yant

eklindeolup sistem dorusaldr.

)()()(

)()()(

222

111

ttxtytx

ttxtytx

)()()( 213 tbxtaxtx

)()(

)()(

))()((

)()(

21

21

21

33

tbytay

tbtxtatx

tbxtaxt

ttxty


54/55


rnek: Giri-k ilikisi y(t) = x2(t) olan sistemin dorusal olup olmadn

belirleyelim. Sistemin, keyfi iki giriiaretix1(t) vex2(t)yeolan yant

olsun. ave b katsaylarolmak zere,x1(t) vex2(t)ninarlkltoplamx3(t) olsun:

Sistemin x3(t)yeolan yant

olup sistem dorusaldeildir.

)()()(

)()()(2

222

2

111

txtytx

txtytx

)()()( 213 tbxtaxtx

)()(2)()(

)()(2)()(

))()((

)()(

2122

12

212

222

12

221

233

txtabxtybtya

txtabxtxbtxa

tbxtax

txty


55/55


rnek:Giri-kilikisiy[n] = 2x[n]+3 olan sistemin dorusalolmadngstermek

zor deildir. Giri-kilikisidorusalolmasnaramen,sistemin dorusalolmamasilgintir. Bu sistemin k, aada gsterildii gibi dorusal bir sistemin kylasistemin SIFIR-GRyantnaeitolan bir iaretintoplamolarak dnlebilir:

rneimizde dorusal sistem x[n] 2x[n], sfr-giri yant y0[n] = 3dr. Bylesistemlerde, iki girie olan yantlar arasndaki fark, girilerin farknn dorusal birfonksiyonudur:

Bu trsistemlere ARTISALDORUSALsistem denilmektedir.

]}[][{2}3][2{3][2][][ 212121 nxnxnxnxnyny

isaretler ve sistemler

Documents