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Introduccin a la mecnica analtica

Prof. Jess Hernndez Trujillo Facultad de Qumica, UNAM

1. Mecnica analtica y fisicoqumica.

La mecnica clsica estudia los movimientos de los cuerpos macroscpicos y las

fuerzas que los originan. Hay dos tratamientos generales en el estudio de esta rama

de la fsica. En la dinmica vectorial se aplican directamente las leyes de Newton,

que en general son de caracter vectorial, siempre que se cuente con informacin

explcita sobre las fuerzas involucradas en los componentes de un sistema. Adi-

cionalmente, se define un conjunto de conceptos tiles tales como los de trabajo,

energa y momento lineal, entre otros, para analizar mediante ellos el movimiento

de los objetos en una gran variedad de situaciones. Con estas cantidades escalares

y vectoriales y con las leyes de Newton, se disean procedimientos de solucin pa-

ra una gran diversidad problemas. Esta es la manera habitual de abordar el tema

en los libros de fsica para ciencias e ingenieras. Por otro lado, en la mecnica

analtica se enfatiza el uso de cantidades escalares para el sistema como un todo

y se introducen funciones adicionales el Lagrangiano y el Hamiltoniano en un

tratamiento que conduce a formas alternas de las ecuaciones de movimiento. Es-

ta metodologa es utilizada con ms frecuencia por los fsicos y presenta algunas

ventajas para la solucin de problemas especficos y tambin para el desarrollo de

la estructura formal de la teora.

Lejos de ser exhaustivo, este texto hace una breve presentacin de algunos as-

pectos del formalismo de la mecnica analtica como base fsica de la fisicoqumica

(en particular, de la qumica cuntica y la termodinmica estadstica) la cual a su

vez da un firme soporte a la qumica. A lo largo del texto se resuelven ejercicios

que, aunque sencillos, permiten ilustrar la correspondencia que hay entre la aplica-

cin de la mecnica newtoniana y la mecnica analtica. Tambin, se aprovecha la

oportunidad que ofrece la mecnica analtica para la aplicacin de la transformada

1

2. SEGUNDA LEY DE NEWTON. 2

de Legendre (la cual se describe en el Apndice A) al pasar de la representacin La-

grangiana a la Hamiltoniana. Se debe aclarar que en este documento no se discute

la relacin entre la mecnica analtica y la fisicoqumica sino que slo se presentan

algunos de sus fundamentos. Dos objetivos particulares importantes son: (1) defi-

nir el espacio de fase y (2) describir las circunstancias en que la energa mecnica

de un sistema est dada por su Hamiltoniano, como se hace en con frecuencia en

qumica cuntica y termodinmica estadstica. Para un tratamiento detallado de

la mecnica analtica, se proporcionan algunas referencias bibliogrficas al final del

documento.

2. Segunda ley de Newton.

En mecnica clsica, las fuerzas cuantifican las interacciones. Para un sistema

de N partculas con masas {mi} {mi|i = 1, 2, . . . , N}, la ecuacin de movimiento

para la i-sima de ellas es la segunda ley de Newton:

Fi = midvidt

=d[mvi]

dt, (1)

donde vi es el vector velocidad y Fi es la fuerza resultante ejercida sobre la part-

cula. Adems, la aplicacin de esta ley supone que el movimiento de las partculas

se analiza en relacin a un sistema de referencia inercial.a Esta ecuacin tambin

puede expresarse en trminos del momento lineal, pi = mivi, para tomar la forma:

Fi = pi . (2)

Es decir, la fuerza que acta sobre la partcula es la derivada temporal de su

momento lineal, pi. De esta manera, la fuerza mide la razn de cambio del estado

de movimiento de la partcula debido a las interacciones de sta con su entorno.

Adicionalmente, la fuerza resultante proviene de la accin de las fuerzas internas

ejercidas por las dems partculas del sistema y posiblemente algn agente externo.

Adems, las velocidad de la i-sima partcula es la derivada temporal del vector

de posicin que define su trayectoria, dvi = dri/dt, donde ri(t) = (xi(t), yi(t), zi(t)).

Si se cuenta con informacin suficiente sobre el conjunto de fuerzas que actan so-

bre las partculas, {Fi}, es posible conocer la evolucin temporal de un sistema al

aUn sistema de referencia inercial es aqul que se mueve a velocidad constante respecto a otro

inercial.

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3. TRABAJO Y ENERGA. 3

resolver la ecuacin (2) para condiciones iniciales especficas dadas por posiciones

y momentos en t = t0, es decir, los conjuntos {ri,0 = ri(t0)} y {pi,0 = pi(t0)}.

Como resultado, se obtiene el conjunto {ri(t)} que comprende las trayectorias de

las partculas.

Ejemplo:

Considerar una partcula de masa m que se mueve en una dimensin bajo la

influencia de una fuerza regida por la ley the Hooke, F = kx. En este caso, la

ecuacin de movimiento es

kx = md2x

dt2

con solucin

x(t) = A sen(t+ ) ,

donde =

k/m es la frecuencia circular. En este caso, la amplitud, A, y la fase,

, son las constantes de integracin de la ecuacin diferencial. La anterior, es la

expresin general de la trayectoria que sigue la partcula. El siguiente paso consiste

en involucrar las condiciones iniciales, es decir, la posicin y el momento lineal (o

la velocidad, la cual conduce a p = mv) en un instante dado,

x0 = x(t0) y v0 = v(t0)

para obtener una solucin particular de la ecuacin de movimiento. Con ellas, se

resuelve el sistema de ecuaciones

x0 = A sen(t0 + )

v0 = A cos(x+ )

y se obtienen los valores de A y y, por lo tanto, una trayectoria especfica del

sistema. O sea, al resolver la ecuacin de movimiento del oscilador armnico y

definir las condiciones iniciales, es posible conocer el movimiento futuro del sistema

oscilatorio en cualquier instante.

3. Trabajo y energa.

Hasta este punto, el uso de la segunda ley de Newton de manera directa requiere

el conocimiento de informacin explcita de las fuerzas que actan sobre un sistema.

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3. TRABAJO Y ENERGA. 4

Mediante las definiciones de trabajo y energa, en combinacin con la segunda ley,

es posible estudiar la dinmica de los sistemas sin involucrar directamente a las

fuerzas.

El trabajo realizado por las fuerzas que actan sobre el sistema para llevarlo

de un arreglo espacial 1 a otro 2, se define mediante la integral de lnea

W =

i

2

1

Fi dri . (3)

Por lo tanto, el trabajo depende de la trayectoria ri(t) que sigue cada partcula al

ir del arreglo 1 al 2.

Adems,b dado que d(v v)/dt = 2v dv/dt, entonces

Fi dri = Fi dridtdt

dri=vi dt

= midvidt

ec. (1)

vi dt (4)

=mi2

d(vi vi)

dtdt =

mi2

dv2idt

dt ,

donde v2i = vi vi es el cuadrado de la magnitud del vector velocidad, es decir, de

la rapidez. Al sustituir este resultado en (3), se obtiene

W =

i

2

1

Fi dri =

i

2

1

mi2

dv2idt

dt

Y como la diferencialc de v2i es d[v2i ] = [d(v

2i )/dt] dt, entonces:

W =

i

2

1

mi2d[v2i ] =

i

mv2i,22

2

1

.

Es decir,

W =

i

mv2i,22

i

miv2i,1

2, (5)

donde vi,1 es la rapidez de la partcula en el estado 1 y vi,2 en el estado 2. Ahora,

es conveniente definir la energa cintica de la i-sima partcula,

Ki =miv

2i

2, (6)

bUtilizar d(a b)/dt = a (db/dt) + (da/dt) b.cLa diferencial de una funcin de una variable, f(t), se define como df = [df(t)/dt] dt.

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3. TRABAJO Y ENERGA. 5

y la del sistema completo,

K =

i

Ki . (7)

Al sustituir (6) y (7) en (5) se obtiene el teorema del trabajo y la energa:

W = K2 K1 = K , (8)

donde K1 y K2 son las energas cinticas del sistema en el estado inicial y final,

respectivamente. Este resultado establece que el trabajo realizado sobre un sistema

de partculas es igual al cambio en la energa cintica debido al proceso.

Ntese que no se ha agregado ninguna ley fsica adicional a la teora sino que

se ha reescrito la ecuacin de movimiento en la forma (8). As, se abre la puerta

para estudiar las interacciones que ocurren a un sistema en trminos energticos

sin necesidad de conocer la forma explcita de las fuerzas que actan sobre l sino

utilizando informacin energtica accesible experimentalmente.d

Un caso especial es aqul donde las fuerzas pueden ser obtenidas a partir de

un potencial,

Fi = iV (r1, r2, . . . , rN), (9)

donde el gradiente se calcula respecto a las coordenadas ri. En este caso, el trabajo,

(3), toma la forma:e

i

2

1

F(e)i dri =

i

2

1

iV dri =

i

2

1

dVi =

i

(Vi,2 Vi,1))

donde Vi,1 y V1,2 son los valores del potencial en las configuraciones 1 y 2, respec-

tivamente. Por lo tanto, en trminos de energa potencial, el trabajo es

W = V2 + V1 = V. (10)

dEn qumica, la situacin ms habitual consiste en estudiar los procesos en trminos energ-

ticos (por medio de las leyes de la termodinmica) y no en trminos de fuerzas. Y aunque con

frecuencia se habla de fuerzas de interaccin, en realidad se obtienen conclusiones basadas en

informacin energtica. Por ejemplo, al hablar de la fu