introduccin a la mecnica analtica - aero.upm.es ??introduccin a la mecnica analtica mecnica ii tema...

Download Introduccin a la Mecnica Analtica - aero.upm.es ??Introduccin a la Mecnica Analtica Mecnica II Tema 5 Manuel Ruiz Delgado Escuela Tecnica Superior de Ingenieros Aeron auticos Universidad

Post on 05-Mar-2018

216 views

Category:

Documents

1 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Introduccin a la Mecnica Analtica

    Mecnica IITema 5

    Manuel Ruiz Delgado

    Escuela Tecnica Superior de Ingenieros Aeronauticos

    Universidad Politecnica de Madrid

    Introduccion a la Mecanica Analtica p. 1/24

  • Mecnica analtica

    Sistemas materiales

    LigadurasSistemas holnomosSistemas no holnomos

    Coordenadas generalizadas

    Espacio de configuracin

    Desplazamientos, velocidades y trabajosDesplazamientos virtualesDesplazamientos posiblesDesplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras

    Fuerzas de ligadura

    Trabajo virtual

    Ligaduras ideales y fuerzas de ligadura

    Introduccion a la Mecanica Analtica p. 2/24

  • Sistemas materiales

    Sistema formado por N partculas materiales sujetas a ligaduras3N coordenadas: (x1, y1, z1, . . . , xN , yN , zN )g ligaduras independientesn = 3N g grados de libertad (GDL)

    Mecnica Newtoniana: introducirincgnitas/ecuaciones de ligadura

    3N + g ecuaciones3N + g incgnitas

    Mecnica Analtica: 1 ecuacin para cada grado delibertad

    3N g ecuaciones3N g incgnitas

    Superficie: proyectar sobre el plano tangenteCurva: proyectar sobre la tangente

    3N

    g

    3N

    +g

    3N

    g

    Introduccion a la Mecanica Analtica p. 3/24

  • Ligaduras: Clasificacin

    Ligadura Descripcin SistemaFinita/geomtrica f(ri, t) = 0

    HolnomoCinemtica

    Ai vi +D = 0

    integrable = ddtf(ri, t)

    no integrable 6= ddtf(ri, t) No Holnomo

    Estacionaria f(ri) = 0 EsclernomoNo estacionaria f(ri, t) = 0 RenomoBilateral f(ri, t)=0 Igual siempreUnilateral f(ri, t)0 Libre/ligado

    Introduccion a la Mecanica Analtica p. 4/24

  • Ligaduras finitas: f (r1, r2, . . . , rN , t) = 0

    Partcula sobre superficie esfrica: N = 1; coordenadas: 3N ;ligaduras: g = 1; GDL: n = 3N g = 2

    Esfera fija: f(r) x2 + y2 + z2 R2 = 0

    Globo esfrico: f(r, t) x2 + y2 + z2 R(t)2 = 0

    Dos partculas unidas por una barra: N = 2; coordenadas: 3N ;ligaduras: g = 1; GDL: n = 3N g = 5

    f(r1, r2) (y1 y2)2 + (z1 z2)

    2 + (x1 x2)2 L2 = 0

    Si la barra es telescpica:

    f(r1, r2, t) (y1 y2)2 + (z1 z2)

    2 + (x1 x2)2 L(t)2 = 0

    Introduccion a la Mecanica Analtica p. 5/24

  • Ligaduras independientes: Jacobiano

    g ligaduras independientes: Jacobiano [fi/xj ] rango =g

    g ligaduras redundantes: Jacobiano [fi/xj ] rango

  • Ligaduras independientes: Jacobiano

    Ej.: Dos partculas (N = 2) en el plano (2N en vez de 3N ) sujetas a:

    f1 (x2 x1)2 + (y2 y1)

    2 4R2 = 0

    f2 y2 = 0

    f3 x2

    1 + (y1 R)2 R2 = 0

    GDL: n = 2N g = 4 3 = 1. Calculamos el jacobiano:

    JJJ =

    2 (x2 x1) 2 (y2 y1) 2 (x2 x1) 2 (y2 y1)

    0 0 0 1

    2x1 2 (y1 R) 0 0

    Obviamente, Rango(JJJ) = 3 independientes

    Introduccion a la Mecanica Analtica p. 7/24

  • Ligaduras independientes: Jacobiano

    Son independientes en generalPero pueden hacerse redundantes en algunos puntos:

    Si colocamos la varilla vertical, x1 = x2 = 0, y1 = 2R, el jacobianose reduce a:

    JJJ =

    0 4R 0 4R

    0 0 0 1

    0 2R 0 0

    Obviamente, Rango(JJJ) = 2 redundantes.

    2

    1

    Introduccion a la Mecanica Analtica p. 8/24

  • Ligaduras unilaterales/bilaterales

    z 0 z = 0

    Ligadas (=)|r1 r2| = L

    Libres (

  • Ligaduras finitas cinemticas

    Toda limitacin de las coordenadas limita tambin las posiciones

    f(ri, t) = 0 d

    dtf(ri, t) = 0

    f

    x1x1 +

    f

    y1y1 + +

    f

    yNyN +

    f

    zNzN +

    f

    t=

    = 1f r1 + + Nf rN +f

    t=

    N

    i=1

    Ai vi +B = 0

    f z h = 0 f v +

    f

    t= 0 z = 0

    Ascensor: sistema renomo z h(t) = 0

    f zh = 0 f v+ft = 0 vn = z = ft/ |f |

    v

    f

    Introduccion a la Mecanica Analtica p. 10/24

  • Ligaduras finitas cinemticas

    Partcula sobre superficie esfrica: f x2 + y2 + z2 R2 = 0.

    f v = 0 2xx+ 2yy + 2zz = 0

    f = (2x, 2y, 2z) ur, la velocidad es tan-gente a la superficie.Si la ligadura fuera no estacionaria porejemplo, un globo que se hincha la velo-cidad no es tangente:

    f(r, t) x2 + y2 + z2 R(t)2 = 0

    f v + ft = 0 vn = ft

    |f |= R

    v

    f

    Introduccion a la Mecanica Analtica p. 11/24

  • Ligaduras cinemticas no integrables

    Hay ligaduras cinemticas que no son la derivada de una finita:

    g (ri,vi, t) N

    i=1

    Ai(ri, t) vi +B(ri, t) = 0

    f(ri, t) / g (ri,vi, t) =d

    dtf(ri, t)

    Todas finitas o cinemticas integrables Sistema holnomoAl menos 1 cinemtica no integrable Sistema no holnomoLas ligaduras finitas se puede usar para despejar coordenadas ydejar slo las independientes (n)Las cinemticas no sirven, pues aparecen las velocidadesSi son integrables, se integran reducir coordenadasEn los sistemas no holnomos no es posible reducir el nmero deecuaciones al mnimo

    Introduccion a la Mecanica Analtica p. 12/24

  • Ligaduras cinemticas no integrables

    No integrable: Patn / Esqu / Rueda /Patn de hielo. Slo puedemoverse en la direccin de la cuchilla. No impone condiciones a lascoordenadas: puede ponerse en cualquier punto y orientarse encualquier direccin.

    A v = ( sin , cos ) (x, y) =

    = sin x+ cos y = 0

    No integrable: 1 ec., 3 v.d.(x, y, ), 1 v.i. (t).Aunque se tomara la como v. i., dividiendopor , seguira sin poderse integrar.

    A (x, y)

    Slido libre en el plano: 3 GDL, x, y, . Con ligadura cinemtica:n = 3 1 = 2 GDL. Anlogo al de un automvil o una bicicleta: 2 GDL direccin(manillar/volante) y el avance (pedales/motor).

    Introduccion a la Mecanica Analtica p. 13/24

  • Ligadura cinemtica integrable

    Integrable: Rodadura sin deslizamiento en el plano:

    vI = vC + CI =(

    x R)

    i + y j = 0

    Ligadura integrable segn y:

    g1 A1 vI21 +B1 =

    = j vI21 + 0 = y = 0 y = R

    Ligadura integrable segn x:

    g2 A2vI21+B2 = iv

    I21+0 = x R = 0 x = R+

    Cte.

    xO I

    C R

    De las tres coordenadas, slo queda una independiente: x , puesslo hay un grado de libertad: n = 3 2.

    Introduccion a la Mecanica Analtica p. 14/24

  • Ligadura cinemtica no integrable

    No integrable: Disco que ruedasin deslizar sobre un plano .( =

    2Lig. finita)

    vI21 = vC21 + 21 CI = 0 =

    =

    x

    y

    z

    1

    +

    i0 j0 k0

    0

    0 0 R

    =

    I

    C

    x1

    y1

    z1

    x0

    y0

    z0

    =

    x R cos

    y R sin

    z

    1

    =

    x cos + y sin R

    x sin + y cos

    z

    0

    =

    0

    0

    0

    g1 i0 vI21

    g2 j0 vI21

    g3 k0 vI21

    g1 i1 vI21

    g2 j1 vI21

    g3 k1 vI21

    g1g2g3

    = QQQ10

    g1g2g3

    Introduccion a la Mecanica Analtica p. 15/24

  • Ligadura cinemtica no integrable

    La ligadura de z es integrable: eldisco no se levanta del suelo:

    g3 k0 vI21 = g3 k1 v

    I21 =

    = z = 0 z = R

    Las de x e y no son integrables:

    I

    C

    x1

    y1

    z1

    x0

    y0

    z0

    g1 i0 vI21 = x cos + y sin R = 0;

    g2 j0 vI21 = x sin + y cos = 0

    Proyectadas en ejes 1 2 Ecs, 4 Var. Dep, 1 Var. Indep.

    g1 i1 vI21 = x R cos = 0;

    g2 j1 vI21 = y R sin = 0

    Introduccion a la Mecanica Analtica p. 16/24

  • Ligaduras cinemticas no integrables

    s

    (x, y)

    x1

    y1

    g21

    + g22 s = R s = R+ C : Rueda sin deslizar

    g2/g1 dydx

    = tan : direccin de la rueda: libre!

    No puede integrarse: no est determinado por la ligadura(si no, el recorrido del coche estara fijado antes de arrancar)

    Est determinado si se da una ley (s) fijar la trayectoria

    Introduccion a la Mecanica Analtica p. 17/24

  • Coordenadas generalizadas

    N partculas, g ligaduras slo n = 3N g coordenadasindependientesSistema holnomo: las ligaduras se usan para eliminar lasdependientesSistema no holnomo: no se pueden usar las ligaduras nointegrables para eliminar las dependientes

    Partcula sobre esfera lisa: f(r) x2 + y2 + z2 R2 = 0Sistema holnomo, GDL = n = 3 1 1 = 2.Eliminar una: z =

    R2 x2 y2; (x, y) independientesCompleja e incmoda: raz, no uniforme.Mejor coordenadas esfricas:

    ligadura

    =

    x2 + y2 + z2 = R

    independientes

    tan =y

    xsin =

    z

    R

    Introduccion a la Mecanica Analtica p. 18/24

  • Coordenadas generalizadas: sist. holnomos

    N partculas, g ligaduras finitas: n = 3N g independientes.Sin prdida de generalidad, se puede suponer que lasindependientes son las n primeras,

    n

    x1, y1, z1, x2, . . . , xk,

    g

    yk, zk, . . . , xN , yN , zN

    3N

    La configuracin del sistema se puede expresar como:

    ri = ri (x1, y1, z1 . . . xk, t) , i = 1 . . . N

    yk, zk, . . . xN , yN , zN salen de las ecuaciones de las ligaduras.Olvidamos las ligaduras: ya estn contadas

    Introduccion a la Mecanica Analtica p. 19/24

  • Coordenadas generalizadas: sist. holnomos

    Se puede trabajar con las coordenadas cartesianas independientes(para slidos, tambin ngulos de Euler)

    ri = ri (x1, y1, z1 . . . xk, t) , i = 1 . . . N

    Con frecuencia es ms cmodo usar otros n parmetrosindependientes, las coordenadas generalizadas:

    ri = ri (q1, . . . , qn, t) , i = 1 . . . N

    Tienen que estar relacionadas como cambio de variable:

    (x1, y1, . . . , xk)

    (q1, q2, . . . , qn)

    6= 0

    El movimiento del sistema estar perfectamente determinadocuando se conozcan q1(t), . . . , qn(t)

Recommended

View more >