mecÁnica analÍtica -...

1

MECÁNICA ANALÍTICA

Profesor: José Manuel Donoso

Dto. Física Aplicada.

Material: Apuntes ETSIA de la asignatura (Prof. Javier Sanz)

Calificación: Examen Final (convocatoria oficial según ordenación)

Dos problemas (10+10) sin libros ni apuntes

Opción de test teórico a mediados de cuatrimestre

3

En cada tema podrán darse referencias específicas a textos o a artículos científicos relacionados con el temario que sean accesibles desde la web ETSIA-Biblioteca.

4

Introducción

• Mecánica de Newton. Leyes de conservación.

• Conservación del momento cinético.• Conservación de la energía mecánica (fuerzas

conservativas)

• ¿Qué tienen en común?

44

55

Formulación variacional de la Mecánica:

Principio de Hamilton

5

66

Cálculo de variaciones. Principios Variacionales

•Problema: extensión del proceso de minimizar (maximizar) una función f(x) a minimizar (maximizar) un FUNCIONAL, integral definida sobre x de una función de f(x), df/dx y de x. •Del mismo modo que en cálculo ordinario se busca x para que f(x) sea extremo analizando el entorno de x:

•Una función (continuous and diferenciable) de n variables presenta un extremo en si para toda variación infinitesimal en torno al punto es nula:

1 2( , , , )nz F x x x= 1 2, , , ,m m m n mx x x x x= ≡ K

xδmx

1( ) 0,

n

m jj j m

Fz z F x xx

δ δ=

∂≡ − = ∂ ∑; 0, 1, , .

j m

F j nx

∂ = = ∂ K

77

•Valor estacionario de un funcional

Consideremos la integral definida de la forma:2

1

( , , ) ,t

t

I F y y t dt= ∫ &

Donde es función de e .y tdyydt

=&

tiene valor que depende de la function usada para evaluar la integral, Se llama funcional de I ( )y t

I

• Si se busca ahora la función que cumpla

y que haga estacionario el funcional ,

( )y t1 2( ) , ( )y t a y t b= =

I

( ) ( ) 0I I y h I yδ = + − = →

t

y

1t 2t

a

b

( )y t

( ) ( )y t h t+

8

2 2

1 1

( , , ) ( , , )t t

t t

F y h y h t dt F y y t dt

F

→ = + + −∫ ∫&& & ;

; ( )2 2

1 1

( , , )t t

y yt t

F h F h dt F y y t dt+ + −∫ ∫&& & ( )

2

1

2 2 22

11 1 1

t

y yt

t t tt

y y y y tt t t

F h F h dt

F hdt F dh F hdt F h

= + =

= + = +

∫

∫ ∫ ∫

&

& &

&

2

1

2

1

0,

ty

t

t

t

dFh dt

dt

hdtd F Fdt y y

∂ ∂− ∂

− =

=∂

−

=

∫

∫

&

&

8

t

y

1t 2t

a

b

( )y t

( ) ( )y t h t+1 2( ( ) ( ) 0)h t h t= =

También suele tomarse h con variación paramétrica

h

99

• Y como es arbitrario, la integral es cero si (es suficiente y también necesario)

( )h t

0,d F Fdt y y

∂ ∂− =∂ ∂&

• Para variables la generalización es inmediata: n2

1

1 1( , , , , , ) ,t

n nt

I F y y y y t dt= ∫ & &K K1 2( ) , ( ) , 1, , .j j j jy t a y t b j n= = = K

0, 0, 1, , .j j

d F FI j ndt y y

δ ∂ ∂= ⇔ − = =∂ ∂

K&

La función que satisface tal l ecuación se dice extremo del funcional .

( )y t I

Las funciones son los extremos (estacionarios) del funcional .( )jy t I

1010

• Ejemplo.Encontrar la curva que minimiza la distancia entre dos puntos

• Hallar tal que la distancia entre los puntos y sea mínima

( )y x

0,d F Fdx y y

∂ ∂⇒ − =′∂ ∂

21 ( ) , ( ) , ( ) ,B

A

xB

AB A A B BA x

s ds y x dx with y x y y x y′= = + = =∫ ∫

( , )A Ax y( , )B Bx y

21 ( )F y x′≡ +

2

20, 1

1d y ydx y

′ ′ ⇒ = ⇒ + = ′+

cte,2 1 ,y c c x⇒ = +

B A B AA A

B A B A

y y y yy y x xx x x x

− −= − + − −

1111

•Para un sistema mecánico existe una función de las posiciones y velocidades y del tiempo

llamada lagrangiana , tal que el funcional , llamado “acción”

0, 0, 1, , .j j

d L LS j ndt q q

δ ∂ ∂= ⇔ − = =∂ ∂

K&

El Principio de Hamilton( , , )L q q t&

2

1

1 1( , , , , , , ) ,t

n nt

S L q q q q t dt= ∫ & &K K

S

Es tal que sus extremos son las soluciones de las ecuaciones (de Lagrange) :

q q&

¿Cuál es L? ¿es única? ¿pueden obtenerse las ecuaciones de Newton? 21

2L m r Uii

Ejm i= −∑r& 1 ( )

2 ,c U V r rij io

i jn

i= −∑

r r

1414

El Principio de Hamilton establece que:

De todas las trayectorias posibles (compatibles con posibles ligaduras) un sistema dinámico de desplaza en el tiempo de un estado a otro siguiendo sólo la trayectoria que minimiza la integral temporal de T-U.

Ejm. Oscilador armónico y péndulo simple.

La lagrangiana (aquí sistema conservativo newtoniano) es escalar y formulable en coordenadas GENERALIZADAS

No se usan vectores, no aparecen fuerzas ¡¡

El cálculo de variaciones permite extender las ecuaciones de Euler-Lagrange incluyendo condiciones en las variables, LIGADURAS, y más allá de sistemas conservativos: Tarea del Curso.

15

1.- No necesitan ser derivadas de principios variacionales, pero hoy es más riguroso (Lagrange 1788, Hamilton 1834, Jacobi (1837) … Weierstrass, etc

2.- No da una teoría nueva, pero sí una formulación nueva ¿por qué usarla? Está asociada a problemas de MINIMOS usuales en Física.

3.- Maneja un escalar L, da ecuaciones de movimiento sin pasar por F, no usa idea de fuerza (fuerzas a veces imposibles de determinar si ligaduras en Newton).

4.- L es invariante (no cambia en sistemas coordenados), las variables pueden no ser posiciones de espacio físico (ejm. ángulos, energía...)

5.-Energía versus Fuerza: en física moderna persiste "energía", como en Cuántica, Hamilton relaciona hoy física clásica y moderna.

6.- ¿Viola principio de causalidad? lo lleva a principio más último.

7.- Idea ya avanzada en la Antigüedad en óptica -Herón. II AC de distancia mínima) y posteriormente Fermat 1657 (Ley de Snell). En Mecánica "ímpetu mínimo" de Maupertius 1747, luego hasta hoy conectando Newton y teoría de campos.

15

1717

A veces pueden ser integrables, son holónomas.

Conviene usar un conjunto de f=3N-M coordenadas generalizadas, relacionadas con las cartesianas, por una transformación invertible (Jacobiano no nulo) y para que las ligaduras holónomas se satisfagan de forma automática.

18

donde los vectores constituyen una base (Jacobiano de transformación no nulo)

en la que expresar las componentes de la fuerza F , así se tienen coordenadas, velocidades y fuerzas generalizadas. Por ejemplo:

Algunas relaciones importantes:

Que permiten deducir las Ecuaciones de Lagrange para “una” partícula (no necesariamente en espacio 3D) a partir de la la Ley de Newton:

18

19

Lo que lleva a

Ecuaciones de Lagrange (de “una partícula”) donde las Q cuentan, en principio, con todas las contribuciones de fuerzas naturales o vinculadas a ligaduras.

Como caso particular, de F deriva de un potencial newtoniano, se tienen las ecuac. de Euler-Lagrange.

También , la fuerza puede derivar de un potencial generalizado según

Lo que lleva a

y si toda fuerza activa se expresa así (sin ligaduras), L=T-U, es la Lagrangiana de la partícula (o sistema), pero U no es potencial newtoniano en

general. 19

20

Para el caso de un sistema de N partículas, puede seguirse un proceso análogo, en este caso se tienen 3N variables cartesianas. Si el número de ligaduras holónomas es M, se pueden elegir

f=3N-M variables generalizadas, es el número de grados de libertad, para que tales ligaduras se cumplan automáticamente. 1, 2( ,..., , ) ( , ) 0 , 1, 2,...,l N lr r r t r t l Mφ φ= = =r r r r

Suponiendo 3N variables {q} (de las que M pueden ser constantes de movimiento)

Las ecuaciones de Lagrange se obtendrán, como para una partícula, pero ahora i va de 1 a N.

21

Se obtiene:Donde las fuerzas generalizadas pueden contener tanto las fueras de ligaduras como las activas. Pero las de ligadura holónomas pueden NO ligadura holónomas pueden NO aparecer aparecer en las ecuaciones.Un caso particular: si F deriva de un potencial generalizado U(r,v,t) función de las 3N+3N+1 variables de {r},{v} y t. Para 1D:

(demo.). Un caso especial es la fuerza de Lorentz sobre carga en campo electromagnético, se obtiene del potencial U y el lagrangiano: (probarlo pag.10)

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )U r v t d U r v t U q q t d U q q tQ f a a ar dt v q d t qα α α α

α α

∂ ∂ ∂ ∂≡ ⋅ = − ⋅ + ⋅ = − + ∂ ∂ ∂ ∂

IMPORTANTE: L no es única, si se toma como lagrangiana otra L´ tal que

Se obtienen las mismas ecuaciones de movimiento. (basta ver que el operador de L sobre tal función es nulo)

22

Se Observa que las mismas ecuaciones de movimiento de la carga se obtienen con otros potenciales según

Otro ejemplo es el potencial generalizado centrífugo:

23

Conviene expresar la energía cinética •T en función de coordenadas y velocidades generalizadas.

Notas sobre I1 (apuntes) :

Derivación geométrica de las ecua. De Lagrane. Ley de Newton en espacio de configuration 3N-D

1 2 1: ( , , ) ( , ,..., , ,..., , )NNNOTA para un sistema U U r v t U r r r v v t≡ ≡ur ur uur ur rr r

( , , ) ( , , ). nn n

U r v t d U r v tf sobre la part n fr dt v

∂ ∂≡ = − + ∂ ∂

r r r rrr r

24

1.Ley de Newton en el espacio de configuración 3N-D

Ver artículo: J. Casey, Am. J. Phys. 62 (9), 1994.

1,2,3; 1,2,i n N= = K

1( ) ,F n 2 ( ) ,F n 3( )F n

( ) ( ) ( )i iF n M n x n= &&

Espac.físico 3D1x

3x

2x

1 2

3

P

{ }1 2 3 1 2 3(1), (1), (1), , ( ), ( ), ( )x x x x N x N x N≡ K}{ 1 2 3 4 3, , , , , Nx x x x x ≡

P

3N-dimensional

Espacio configuración cartesiano.

25

{ }(1), (1), (1), , ( ), ( ), ( )M M M M N M N M N≡ K

}{ 1 2 3 3, , , Nm m m m ≡K

P

3N-D

3N-Dcartesiano

Se asocian 3N masas cartesianas según :

{ }1 2 3 1 2 3(1), (1), (1), , ( ), ( ), ( )F F F F N F N F N≡ K

}{ 1 2 3 3, , , Nf f f f ≡KY 3N componentes de una fuerza f :

26

P

3N-dimensional

Las componentes de f en el espacio de configuración son :

1, 2, , 3 ,

,kk k

k N

f m x=

=K

&&

La correspondenciaentre ambos espacios se logra renumerando índices:

3 3

3 3

3 2 3 1 3

( ) , 1,2,....,( ) , 1, 2,3( ) ,

n ii

i n i

n n n

x n x con n NF n f donde iM n m m m

− +

− +

− −

= == == = =

( )2 2 21 2 3

1

1 ( ) ( ) ( ) ( )2

N

nT M n x n x n x n

=

= + + =∑ & & &

La energía Cinética:3

2

1

1 ( )2

Nk

kk

m x=

∑ &

2727

P

3N-dimensional

Espacio vectorial de configuración:

• Se definen coordenadas de un punto P:

,k k kmx xm

=%

Conla masa total 1

( ),N

im M i

=

= ∑•Y una métrica (norma) en espacio 3N-D:

3 32 2 2

1 1

1( ) ( ) ,N N

k kOP k

k kd x m x

m= =

= ≡∑ ∑%

•P puede representar un vector de posición en el espacio de configuración

•Con la base ortonormal

rr

2 .OPr r d⋅ =r r{ }1 1 3, , , Ne e er r r% % %K

3

1,

Nk

kk

r x e=

= ∑rr % %

2828

P

Espacio de configuración:

•Y con un par de bases fijas recíprocas { }ker { }ker

/ ,k k ke e m m=rr % / ,k

k ke e m m=rr %

( 1, 2, ,3 ; 1, 2, ,3 ),k kj j j N k Ne e δ = =⋅ = K K

r r

•Posición y velocidad de P son : rr

3

1,

Nk

kk

r x e=

= ∑r r 3

1,

Nk

kk

drv x edt =

= = ∑rr r&

• lo que permite construir la fuerza del espacio de configuración sobre “una” partícula como

3

1

,N

kk

kf f e

=

= ∑r r

2929

• Lo que lleva a relaciones de partícula en el espacio de configuración, con su métrica ds, como las de una partícula en espacio 3D (formalmente idéntico al caso del movimiento una partícula) :

3 3

1 1

1 1 ,2 2

N Nk j

k jk j

mv v m x x e e T= =

⋅ = ⋅ ≡∑ ∑r r r r& &

,dvf mdt

=rr

,dTf vdt

⋅ =r r

2 22 ,Tds dr dr dtm

= ⋅ =r r

3030

Variedades en el espa. De conf. y geometría•Si las N partículas se someten a M ligaduras holónomas (geométricas)

( 1, 2, , 3 )( , ) 0 ,j j M Nr tφ = <= Kr

•Cada relación define una hipersuperficie de dimension 3N-1 .

•La intersección de ellas es un subconjunto S de dimensión

f = 3N - M.

P permanece en S descrito con un mínimo número de variables f para localizar a P en t en S. Las f coordeandas gaussianas se llaman variables generalizadas, y f es el número de grados de libertad del sistema. S es una variedad con geometría de Riemann.

1, 2, , .fα = K1 2, , , .( , ), fq q q qr r q t == K

r r,ra

qαα

∂=∂

rr

P

S

3131

• Y con las relaciones de la Sección I.1.3, la energía cinética se puede descomponer según:

( , ) ,r q tv q atα α

α

∂= +∂∑rr r& 2 1 0 ,T T T T= + +

21 1

1 ( ) 0,2

f f

T m a a q qα β α βα β= =

= ⋅ ≥∑ ∑ r r & &11( ) ,

f rT m a qt α α

α =

∂= ⋅∂∑r r &

2

01 .2

rT mt

∂ = ∂

r

2 22

1 1

2: ( ) 0,f f Tmétrica ds a a dq dq dt

mα β α βα β= =

= ⋅ = ≥∑ ∑ r r

• T2 es función homogénea de grado 2, forma cuadrática definida positiva.

• T debe coincidir con la energía cinética de las N partículas:

•Se llega a las ecuaciones de Lagrange como se hizo para una partícula.

2

1 1

1 ( )2

fNn n

n

r rT m qq tα α

α α= =

∂ ∂= +∂ ∂∑ ∑ur ur&

3232

• Con los vectores del espacio tangente como base: (Secc. I.1.4, pág. 5)

,f a mv aα α⋅ = ⋅r r r r&

• Y de

P

S

aα

,Q f aα α= ⋅r r

( ) ,d damv a mv a mvdt dt

αα α⋅ = ⋅ − ⋅

rr r r r r&

,r vaq qα

α α

∂ ∂= =∂ ∂

r rr&

,da vdt q

α

α

∂=∂

r r( ) ,d v vQ mv mv

dt q qαα α

∂ ∂= ⋅ − ⋅∂ ∂

r rr r&

( ) ,d T TQdt q qα

α α

∂ ∂= −∂ ∂&

* ,U d USi fr dt v

∂ ∂= − +∂ ∂

rr r

( , , ) ( , , ) ( , , )Se definela lagrangiana L q q t T q q t U q q t= −& & &

( ) 0, 1, , .d L L fdt q qα α

α∂ ∂− = =∂ ∂

L&

33

La derivación geométrica simplifica la notación y demostraciones teóricas.La derivación geométrica simplifica la notación y demostraciones teóricas.

Introducción de las ligaduras.En general, no todas las fuerzas derivan de un potencial generalizado U. Hay que

partir de la ecuación general de Lagrange para T y descomponer cada Q en contribuciones.

Las ligaduras implican fuerzas sobre el sistema ¿Cuáles? A) Si sólo hay M ligaduras holónomas éstas pueden usarse para definir 3N-M=f

variables independientes {q}, el Principo Variacional da las ec. de Lagrange como en ausencia de ligaduras , pero se pierde información de fuerzas asociadas.

Otro procedimiento: Principio variacional condicionado y método de multiplicadores de Lagrange. Ejm. Caso en dos variables.

Pero las dos no son independientes si hay una ligadura

1, 2( ,..., , ) ( , ) 0 , 1, 2,...,l N lr r r t r t l Mφ φ= = =

1 2 1 222

11

( , , , , ) 0

[ ( ) ]t

t

L L q q q q t Id L LLdt q dtdt q q α

α α α

δ

δ δ=

= → = =∂ ∂= −

∂ ∂∑∫ ∫

& &

&

qαδ

1 2 1 21 2

( , ) 0 0l ll q q q q

q qφ φφ δ δ∂ ∂= ⇒ + =

∂ ∂

34

Hay que eliminar una variación de q en función de la otra para tener una variableIndependiente.

Así , se elige:

Da dos ecuaciones , más la de ligadura para tres incógnitas.

En general:

Se tienen 3N+M ecuaciones (de Lagrange más ligaduras si todas se incluyen) e incógnitas (pueden incluirse sólo algunas ligaduras y multiplicadores)

Significado físico: se obtienen las mismas ecuaciones que si se hubiera usado el lagrangiano

Los multiplicadores están relacionados con las fuerzas generalizadas de ligadura (normales a superficies definidas por ligaduras, no hacen trabajo virtual).

(( ) ( )):N dOTACIÓN o L LLdt q q

perador αα α

∂ ∂= −∂ ∂

l&

1 11 2

1 2

( )( ) ( )( ) ( )L L tq qφ φ λ− −∂ ∂= =

∂ ∂l l

( ) ( ) , 1, 2d L LLdt q q qα

α α α

φλ α∂ ∂ ∂= − = =∂ ∂ ∂

l&

1

( , )( )( ) ( ) , 1,...,3M

ll

l

q ttq

d L LL Ndt q qα

α α α

φλ α=

∂ ∂= − =∂∂

=∂ ∂ ∑l&

)( ) ( , )l l

lt tL qL λ φ= + ∑

( .( , ) ( , )( ) ( ) , .)CHl ll l

l lesp configq t r t r rt t F

q r q qα α α

φ φλ λ∂ ∂ ∂ ∂= ⋅ = ⋅∂ ∂ ∂ ∂∑ ∑

r r rrr

35

Se obtienen así las fuerzas de ligadura en sistema holónomo de lagrangiana LB) Ligaduras anholónomas. No hay procedimiento general, podría operase igual pero

estas ligaduras tienen a las velocidades

Y en el cálculo variacional no se prescriben las variaciones virtuales de las velocidades. Aún así, daría

Con derivadas primeras de los multiplicadores, de los que no se conocen condiciones iniciales

Cada caso ha de estudiarse independientemente. Un caso particular simple es el de ligadura semiholónoma:

Por comparación y extensión del caso holónomo, pueden introducirse multiplicadores

( , , ) 0, 1,...,r q q t r Lφ = =&

1

[ ( )( ) ( ) ( ) ]( ) ll

L

l ll

d L LLdt q q q

t tα αα α α

λ λ φφ=

∂∂ ∂= − = − +∂ ∂ ∂∑l l& &

&

)( ) ( , )l l

lt tL qL λ φ= + ∑

1( , ) ( , ) 0 (57)r

f

rq B q tB q t α

α

αα

=

=

+ =∑ &

36

Conviene descomponer (si es posible) las fuerzas según procedencia y partir de las ecuaciones generales de Lagrange para la T.

Por ejemplo:

Fuerzas generalizadas:derivadas de un potencial, asociadas a ligaduras holónomas,

anholónomas y otras, como las disipativas de Rayeigh , giroscópicas etc.

Algunos casos de fuerzas: a) giroscópicas, aquellas de potencia nula, es decir

con caso particular de potencial generalizado:

b) disipativas a aquellas cuya potencia es negativa y pueden derivar de una función W (potencial de Rayleigh) :

Si el sistema es holónomo y todas las fuerzas derivan de potenciales generalizados se dice SISTEMA LAGRANGIANO y si es newtoniano se le dice NATURAL.

*( ) ( ) U CH CNd T TT Q Q Q Qdt q qα α α α α

α α

∂ ∂= − = + + +∂ ∂

0

1=∑

=

=

fi

iii qQ

0

1

<∑=

=

fi

iiiqQ

ii q

tqqWQ

∂∂−= ),,(

, 1

12

f

ik i ki k

W b q q=

= ∑

∑=

=−=

fk

kkiki qbQ

1

∑=

Π=f

iii qqqqU

1)(),( ( )Ud o Qn Ua d α α= l

Sistemas Lagrangianos, sus ecuaciones de movimiento derivan de un lagrangiano de forma general L=L0+L1+L2 :

y sus ecuaciones de movimiento son:

Ejm. L=T-U(r).

Constantes del Movimiento. Simetrías y Conservación. Constantes del Movimiento. Simetrías y Conservación.

Constante del movimiento ,integral primera: Cualquier función que permanece constante durante el movimiento del sistema. Ejm. Si una coordenada no aparece explícitamente en L, se dice cíclica o ignorable,cíclica o ignorable, entonces su momento generalizado asociado en constante:

( ) ( ) ( )2 1 0 0, 1 1

1 , , , , ,2

f f

i k i iiki k i

L c q t q q L c q t q L c q t= =

= = =∑ ∑

0),,( =

∂

∂

αqtqqL

dtd

.),,( ctep

qtqqL =≡

∂∂

αα

2, 0 .L d LEjm si L q L p q H Ctet dt q α α α

α αα

∂ ∂= − = ⇒ − = − = ∂ ∂ ∑ ∑ &&

Las leyes de conservación están relacionadas con simetrías y con las llamadas transformaciones invariantes del sistema.

A veces la Lagrangiana es independiente de t, o de una coordenada q siendo entonces L invariante ante traslaciones temporales o espaciales.

El IMPORTANTE Teorema de Noether (Amelie Emmy Noether, 1832-1935)

establece que

A cada simetría de la lagrangiana le corresponde una ley de conservación

Si L es invariante ante traslaciones en el tiempo, en el espacio o ante rotaciones, se dan las leyes de conservación de la energía, del momento lineal o del angular, respectivamente (consecuencias de la homogeneidad del tiempo, y de la homogeneidad e isotropíadel espacio) .

I.2.5 Transformaciones invariantes. (Teorema de Noether) Existen transformaciones puntuales invertibles dando ecuaciones explicitas de Lagrange exactamente iguales en la nuevas coordenadas: Se dice que las ecuaciones son invariantes a este tipo de transformaciones (la transformación de invariancia, se dice entonces que es una “simetría”).

( , , ) ( , , ) 0d L q q t L q q tdt q q

′ ′ ′ ′ ′ ′∂ ∂− =′ ′∂ ∂

( )q t′⇒ ( ) ( ( ), )q t q q t t′ ′≡

una transformación con -cambiar las q como

funciones de q`- es de invariancia si la Lagrangiana lo es

de forma trivial, pero, más general es la condición:

Ejm. Partículas libressin interacción

( , , ) ( ( , ), ( , , ), )L q q t L q q t q q q t t′ ′ ′ ′ ′ ′=

( , , ) ( , , )L q q t L q q t′ ′ ′ ′ ′=

( , )( , , ) ( , , ) d q tL q q t L q q tdt

ψ ′′ ′ ′ ′ ′= + ( , )( , , ) ( , , ) d q tL q q t L q q tdt

ψ ′′ ′= +

0

2

´

´

(́ ,́ ,́ ) ( , , ) ( ´ , ´ , )1 | ´ |2

n n

n n

n n n

n nn

r r Vt r

v v V

L r v t L r v t L r Vt r v v V t

m v V

= − −

= −

= = − − = − =

−∑

rr r rrr r

r rr r r r r r r r

rr

Ejm. Transformación de Galileo: En todos los sistemas inerciales se verifican las mismas leyes de la mecánica.

Leyes invariantes ante transformaciones de Galileo. Ejm. Sistema newtoniano (natural) de partículas interactuando con potenciales U.

Ambas lagrangianas dan las mismas ecuaciones del movimiento, y difieren sólo en una constante. Y la transformación … ¿es invariante?

0

20 0

,

2

,

2

´

´

( ´ , ´ , )1 | ´ | (| ´ ( ´ ) |)21 | ´ | (| ´ ´

(́ ,́ ,́ )

( ´|)2

( ,́

, )( ,́

)

,

(

´ )

n n

n n

n n

n n n kn n k

n n n kn n k

nn

r r Vt r

v v V

L r Vt r v V t

m v V U r Vt r

L r v t

d r tL r v tdt

r Vt r

m v V U r r

con r t m V t

ψ

ψ

= − −

= −

− − − =

− − − − − − − =

− − − =

=

=

+

∑ ∑

∑ ∑

∑

rr r rrr r

r rr r r

r r rr r r r r

rr rr

r

rr r

r

r

/ 2 )́nV r− ⋅r r

20

1´ ; ´2n n n nr r a t V t r v v a t V= − − − = − −

r rr r r r r r r

Transformaciones infinitesimales. El cambio paramétrico

Para transformación infinitesimal invariante (pág. 16),

A cada transformación infinitesimal invariante se le asocia una ley de A cada transformación infinitesimal invariante se le asocia una ley de conservación o constante del movimientoconservación o constante del movimiento

Debido a la homogeneidad e isotropía del espacio para un sistema aislado se deducen la conservación del momento lineal y del angular por

transformaciones invariantes ante traslación y rotación global del sistema.

{ }1( , ; ) con p parámetros , , y ,...,1 2 fq q q t q q qpα α α α α′ ′≡ ≡ =K

siendo ( , ; ) con variación , ( )0 0q q t qα α α δ α δ α ε′ = = + <

( , ; )0 0 0

q qq q q t q q qα δ α δ α δα αα α

′ ′∂ ∂′ ′= + = + ≡ +∂ ∂

( , , ) ( , , ) dL q q t L q q q q tdtδ ψδ δ= + + +

.L Lq cte q ctejq qj jδ δ ψ δ δ ψ∂ ∂+ = ⇒ + =∑

∂ ∂

Sistema de partículas aislado Newtoniano

Invariancia ante traslaciones: Aplicando Noether para una traslación del sistema:

Puede conservarse sólo alguna(s) componente(s) del momento incluso en sistemas no aislados: aquellas en las que la traslación del sistema está en dirección de fuerza invariante (Ejm. Coordenada cíclica) También con ligaduras holónomas (si son invariantes también).

Invariancia ante rotaciones: Ante una rotación global del sistema entorno al eje u

La conservación de la energía es consecuencia de la homogeneidad del tiempo y de la invariancia de la L ante traslaciones temporales, también válida si hay ligaduras No-holónomas ideales, ver (83):

121 ( )2 2 ,

i jL m r V r ri i iji i j= − −∑ ∑

r r r&

r r ai i′ = + ,L Lr a m r a P a cte P ctei i ir ri i ii iδ δ δ δ∂ ∂⋅ = ⋅ = ⋅ ≡ ⋅ = ⇒ =∑ ∑ ∑

∂ ∂

( )r r r r u ri i i i iδ ω δ θ′ = + × = + ×

( ) ( ) ,L Lr u r m r u r L cte L ctei i i i i ur ri i ii iδ δ θ δ θ δ θ∂ ∂⋅ = ⋅ × = ⋅ × ≡ = ⇒ =∑ ∑ ∑

∂ ∂

2 2 22 ( )r r r u r ri i i i iδ θ′ = + ⋅ × ≡

. si 0.H p q L Cte Ltα α

α

∂ =∂

= − =∑ &

01

=∑=

=α

α

αα qB

f

r

Transformaciones infinitesimales. El cambio paramétrico

Para transformación infinitesimal invariante (pág. 16),

A cada transformación infinitesimal invariante se le asocia una ley de A cada transformación infinitesimal invariante se le asocia una ley de conservación o constante del movimientoconservación o constante del movimiento

Debido a la homogeneidad e isotropía del espacio para un sistema aislado se deducen la conservación del momento lineal y del angular por

transformaciones invariantes ante traslación y rotación global del sistema.

{ }1( , ; ) con p parámetros , , y ,...,1 2 fq q q t q q qpα α α α α′ ′≡ ≡ =K

siendo ( , ; ) con variación , ( )0 0q q t qα α α δ α δ α ε′ = = + <

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q qq q q t q q qα δ α δ α δα αα α

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∂ ∂

Sistema de partículas aislado Newtoniano

Invariancia ante traslaciones: Aplicando Noether para una traslación del sistema:

Puede conservarse sólo alguna(s) componente(s) del momento incluso en sistemas no aislados: aquellas en las que la traslación del sistema está en dirección de fuerza invariante (Ejm. Coordenada cíclica) También con ligaduras holónomas (si son invariantes también).

Invariancia ante rotaciones: Ante una rotación global del sistema entorno al eje u

La conservación de la energía es consecuencia de la homogeneidad del tiempo y de la invariancia de la L ante traslaciones temporales, también válida si hay ligaduras No-holónomas ideales, ver (83):

121 ( )2 2 ,

i jL m r V r ri i iji i j= − −∑ ∑

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r r ai i′ = + ,L Lr a m r a P a cte P ctei i ir ri i ii iδ δ δ δ∂ ∂⋅ = ⋅ = ⋅ ≡ ⋅ = ⇒ =∑ ∑ ∑

∂ ∂

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∂ ∂

2 2 22 ( )r r r u r ri i i i iδ θ′ = + ⋅ × ≡

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α

∂ =∂

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01

=∑=

=α

α

αα qB

f

r

Tema II : Mecánica Hamiltoniana

Como en Termodinámica, pueden aplicarse transformaciones de Legendre para tener funciones con variables independientes distintas:

Ejm. F es transformada de Legendre de la energía interna U:

Análogamente,puede definirse otra función H con otras variables independientes distintas las de la Lagrangiana:

Diferenciando H(q,p,t) se obtendrán 2f ecuaciones diferenciales de primer grado:

Equivalentemente, puede pasarse de H a L:

, seadU TdS PdV F U PV dF PdV SdT= − = − ⇒ = − −

Ecuaciones de Hamilton. Notación y comentarios.Nota:Las 2n ecuaciones pueden derivarse del Principio variacional de Hamilton

(modificado) sin imponer que p(t) esté fijo en los instantes finales. (II.1.3 Principio de Hamilton modificado)

Se pueden escribir en notación matricial o simpléctica (II. 1):

( , , )

( , , )

ii

ii

H q p tqp

H q p tpq

∂=∂

∂= −∂

&

&

( ) ( )

( ) ( )

2

1

2 2 22

11 1 1

2

1

1 2( , , ) con y fijados:

( , , ) ( ) (

) 0

)

( 0

t

t

t t tt

tt t t

kt k

t

S L q q t dt q t q t

HHS p qp

q H q p t dt p q dt p dt p qq

Hp q tqqHpd

δ δ δ δ δ

δ ∂+ =

∂−∂

=

∂= − ≡ − + + +∂

∂= − + = ⇒ ⇒∂ ∂

∫

∫ ∫ ∫

∫

&

& &g g

&

g g

& g

&

1

1

0 1J

-1 0n

n

q

qq d H Hp p d t

p

ηηη η

∂ ∂= = ⇒ = ⋅ = ∂ ∂

M

g

M

1J −=2 , 1JJ =⋅T , ( JJJT −== 1- )

Para evaluar la derivada temporal de una función u(q,p,t) a lo largo de las soluciones del sistema hamiltoniano, en el espacio de fases asociado, conviene formalizar cálculos con el Corchete de Poisson.

II.1.1 Constantes del movimiento. Corchete de Poisson

El corchete de Poisson de dos funciones u, v se define:

Entonces:

Los corchetes fundamentales son:

[qj, qk ] = [pj, pk ] = 0 ; [qj, pk ] = -[pk, qj ]

Y las ecuaciones de Hamilton quedan: Y las ecuaciones de Hamilton quedan:

tuHu

tu

tddu

dtdu

TT

∂∂+

∂∂⋅⋅

∂∂=

∂∂+⋅

∂∂=

ηηη

ηJ

[ ] ∑=

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂=

n

i iiiipq q

vpu

pv

quvu

1,,

[ ]ηηη ∂

∂⋅⋅

∂∂= vuvu

T

J,

[ ]tuHu

dtdu

pq ∂∂+= ,,

jkδ=

Propiedades (corchete nulo,, antisimetría, linealidad, producto e Identidad de Jacobicorchete nulo,, antisimetría, linealidad, producto e Identidad de Jacobi):

Aplicado a H , y si u(p,q,t) es una constante del movimiento:Si u y v son dos constantes de movimeinto ¿lo será [u,v]?

[ ][ ] [ ]

,J ,

,i i

i i

q q H d Ho bien Hd tp p H

η ηη

= ∂ = ⋅ ≡ ∂=

&

&

tdH

tddH ∂=

[ ]tuuH

∂∂=,

Ejm. Problemas. 1: La tensión es el multiplicador de Lagrange

mecÁnica analÍtica -...

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