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  • Enrique Cantera del Ro Introduccin a la Mecnica Analtica 1

    INTRODUCCIN A LA MECNICA ANALTICA Enrique Cantera del Ro INTRODUCCION : PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES 2 1-LIGADURAS 3 2-VARIACIONES VIRTUALES 5 3-PLANTEAMIENTO FORMAL DEL PROBLEMA VARIACIONAL PARA LA MECANICA DE UNA PARTCULA 7 4-COORDENADAS GENERALIZADAS 8 5-MECNICA ANALTICA EN SISTEMAS DE COORDENADAS NO INERCIALES 10 6-SISTEMAS DE PARTCULAS Y DENSIDAD LAGRANGIANA 12 7-LAGRANGIANA Y RELATIVIDAD 14 8-LAGRANGIANA Y CAMPO ELECTROMAGNTICO 18 9-LAGRANGIANA Y MECNICA CUNTICA 20 10-PLANTEAMIENTO DE HAMILTON 22 11-NOTAS FINALES 25

    Apndice I : Fuerzas de ligadura con trabajo no nulo 27 Apndice II :Equilibrio mecnico en un slido rgido y principio de los trabajos virtuales. 29

    Apndice III : Lagrangiana de una partcula en un campo Electromagntico 32 Apndice IV : Hamiltoniano y movimiento de una partcula en un campo gravitatorio de Swartzschild. 33 Apndice V : Ecuacin de Binet y Relatividad General: 35 Precesin del perihelio y curvatura de un rayo de luz Apndice VI : El principio de Fermat. 37 REFERENCIAS 39

  • Enrique Cantera del Ro Introduccin a la Mecnica Analtica 2

    INTRODUCCION : PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES En la historia de la fsica, uno de los primeros problemas que se abordaron fue el anlisis de los sistemas en equilibrio mecnico y uno de los primeros principios fue el principio de los trabajos virtuales. Este principio es el resultado de muchas contribuciones a lo largo del tiempo. Inicialmente se aplic en forma intuitiva a problemas de esttica comenzando por Aristteles (384-322 AC) y pasando por Stevinus(1598-1620) y Galileo (1564-1642). Juan Bernoulli (1667-1748) dio la forma mas consciente o explcita al principio, alrededor de 1717. Fue D Alembert (1717-1785) quien ampli el principio mas all de la esttica, permitiendo su uso en casos dinmicos. Un sistema mecnico est en equilibrio esttico cuando las fuerzas externas y las de ligadura del sistema estn balanceadas de tal forma que las distintas partes del sistema estn en reposo. Un instinto natural en el estudio de estos sistemas es intentar modificar la posicin de una de las partes y ver como se comporta el sistema. Segn el principio de los trabajos virtuales, cualquier pequeo desplazamiento, compatible con las restricciones geomtricas o ligaduras del sistema, hecho sobre una parte o el conjunto del sistema es tal que el trabajo total hecho por las fuerzas que actan en el sistema en equilibrio es nulo. Si imaginamos el sistema como un conjunto de puntos afectados por fuerzas entonces el principio de los trabajos virtuales es

    0i

    ii rf

    donde i numera al conjunto de partculas del sistema, f es la fuerza sobre cada partcula y r cualquier desplazamiento de la partcula i compatible con las restricciones geomtricas. A r tambin se le llama desplazamiento virtual. En el caso de equilibrio mecnico en slidos elsticos, podemos dividir las fuerzas en ligaduras externas y reacciones elsticas internas y el principio de los trabajos virtuales dice que el trabajo de las fuerzas externas mas el trabajo de las fuerzas elsticas internas es nulo para cualquier desplazamiento virtual del sistema compatible con las restricciones geomtricas. Esta alternativa del principio de los trabajos virtuales es muy utilizada en el clculo de estructuras en ingeniera y arquitectura. Note el lector que lo que se anula es la suma de

    los trabajos virtuales que realiza cada fuerza en el estado de equilibrio, no el trabajo individual de cada una de ellas. Imaginemos un sistema mecnico en equilibrio como el de la figura. La masa inferior est ensartada en una cuerda y la cuerda est atada a dos puntos fijos (a,b). La masa inferior ocupa la mnima altura posible y existe un desplazamiento virtual que seguira una trayectoria elptica; con suma de distancias constante a los focos (a,b). En el punto

    de equilibrio la condicin de altura mnima indica que la tangente a la elipse es horizontal (h) y por tanto perpendicular al peso P. Aplicando el principio de los trabajos virtuales tenemos

    0)()( 2121 rTTrPrTT

    T1 T2

    P h

    v a b

  • Enrique Cantera del Ro Introduccin a la Mecnica Analtica 3

    de esta expresin deducimos que las tensiones compensan sus componentes horizontales. Un desplazamiento virtual tambin posible es hacia arriba en la vertical y aplicado a la frmula anterior tenemos que la suma de las componentes verticales de las tensiones es igual al peso. Por ahora tenemos las mismas conclusiones que la fsica est tica derivada de la 2 ley de Newton

    021 PTTF Pero el anlisis de los movimientos virtuales proporciona un mejor conocimiento de las fuerzas de ligadura que las leyes de Newton. En nuestro caso la recta horizontal h es tangente a la trayectoria elptica virtual de focos a y b, y la recta v es la perpendicular correspondiente. La elipse tiene la propiedad de que la recta v divide en dos partes iguales el ngulo formado por las rectas T1 y T2 . Si la elipse fuese un espejo, un rayo que partiese del foco a por la recta T1 llegara, una vez reflejado en el punto correspondiente de la elipse, al foco b por la recta T2 : ngulo de incidencia igual a ngulo de reflexin. De este resultado deducimos inmediatamente que el mdulo de las fuerzas de tensin es el mismo

    21 TT

    1-LIGADURAS Imaginamos una partcula, una bolita, movindose sin rozamiento y en contacto continuo con una superficie fija ligeramente ondulada determinada por una expresin f(x,y,z)=0, arbitraria en principio, a la que llamaremos ligadura. Consideramos la expresin siguiente

    0

    rdfF

    dt

    pdL

    El hecho de la existencia de una restriccin geomtrica al movimiento de la partcula supone que debe haber cierta componente de la fuerza que siente la partcula cuyo origen es la existencia de dicha restriccin geomtrica o ligadura. El smbolo fL representa la fuerza asociada a la ligadura, F el resto de fuerzas externas y p=mv la cantidad de movimiento de la bolita. En la expresin anterior, si partimos de principio con la 2 Ley de Newton, entonces el contenido del parntesis es nulo siempre y por tanto la igualdad se cumple trivialmente. Note el lector que la expresin anterior es vlida en un sistema de coordenadas en que la ley de Newton es tambin vlida; es decir en un sistema de coordenadas inercial. El trmino dr corresponde a un desplazamiento de la partcula en su trayectoria en un instante de tiempo dt. Un simple cambio de miembro en la ecuacin anterior nos da

    rdfrdFdt

    pdL

  • Enrique Cantera del Ro Introduccin a la Mecnica Analtica 4

    Recordando la fuerza normal en el contacto entre dos slidos podemos ver intuitivamente, en este caso, que las fuerzas de ligadura sern normales a la superficie de ligadura y por tanto el producto escalar fL*dr se anula, ya que dr es un vector contenido en la ligadura f(x,y,z)=0. Por tanto la ecuacin anterior es equivalente a esta otra

    0

    rdF

    dt

    pdrdf

    L

    en este caso el contenido del parntesis no es nulo en general. Pero la expresin anterior presenta cierta falta de generalidad matemtica y podemos poner

    0)()(

    rrdF

    dt

    pdrrdf

    L

    donde r es un campo vectorial adicional con un valor que podemos considerar tan pequeo como queramos y que verifica fL*r=0, pero por lo dems arbitrario y sin relacin fsica (causal) con el movimiento de la partcula real, de modo que la expresin queda

    )1.1(0)( rfrFdt

    pdL

    con las condiciones sealadas para r. Vamos a considerar ahora la siguiente integral

    )1.2(0)()()()(2

    1

    2

    1

    2

    1

    t

    t

    t

    t

    t

    t

    dtrFdt

    pddtrdF

    dt

    pddtrrdF

    dt

    pdA

    Dado un campo vectorial r podemos en principio hacer este clculo si conocemos el movimiento real de la partcula por medio de la aproximacin de las sumas de Riemann para las integrales. En este caso ser til considerar un intervalo de tiempo dt constante en todo el intervalo temporal (t1,t2) para el paso al lmite de las sumas de Riemann. El campo r se puede concebir realmente a partir de un campo de vectores (x,y,z,t) cuyos vectores son perpendiculares a la fuerza de contacto fL entre la bolita y la superficie en el punto (x,y,z) y en el instante t. Este campo debe tambin aceptar algunos procedimientos de anlisis matemtico, como veremos. Podemos definir r as

    dt

    rtzyxtzyxdtr

    ),,,(),,,(

    donde utilizamos el valor dt para conseguir un valor tan pequeo como queramos en el paso al lmite de las sumas de Riemann.

  • Enrique Cantera del Ro Introduccin a la Mecnica Analtica 5

    2-VARIACIONES VIRTUALES

    Hasta ahora solo se ha hecho un desarrollo abstracto ampliando al mximo el dominio de actuacin de una expresin que es cierta en base a la 2 Ley de Newton por medio de la introduccin de un campo vectorial que verifica unas condiciones bastante amplias, de modo que es independiente del movimiento de la partcula. Veremos ahora

    que podemos interpretar este campo vectorial como una variacin virtual de la posicin de la partcula real a medida que esta se mueve en su trayectoria. En el dibujo vemos el campo r, representado como flechas punteadas, interpretado c