introducción a la mecánica - massmann

Departamento de F sica, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile. n Las Palmeras 3425, Nuoa. Casilla 653, Correo 1, Santiago fono: 562 678 7276 fax: 562 271 2973 e-mail: [email protected]

INTRODUCCION A LA MECANICAHerbert Massmann

Transcriptores: V ctor Muoz G. n Max Ram G. rez

Indice general1. Expansiones y Trigonometr a 1.1. Expansiones y series . . . . . . . . . 1.2. Elementos de trigonometr . . . . . a 1.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Solucin a algunos de los problemas o 1 1 4 11 20 25 25 33 36 37 47 54 57 57 62 68 70 81

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2. Cinemtica en una dimensin a o 2.1. Posicin, velocidad y aceleracin . . . . . . . o o 2.2. El camino inverso . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Mximos y m a nimos . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Solucin a algunos de los problemas . . . . . o 2.6. Elementos del clculo innitesimal e integral . a 3. Cinemtica en dos y tres dimensiones a 3.1. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Cinemtica . . . . . . . . . . . . . . . a Coordenadas polares . . . . . . . . . 3.3. 3.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Solucin a algunos de los problemas . o 4. Las 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. leyes de Newton Espacio y tiempo . . . . . . . . . . . Las leyes de Newton . . . . . . . . . Uso de las leyes de Newton . . . . . Roce cintico y esttico . . . . . . . e a Problemas . . . . . . . . . . . . . . . Solucin a algunos de los problemas o

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87 . 87 . 88 . 91 . 96 . 100 . 112 123 123 129 132 135 147

5. Trabajo y Energ a 5.1. Trabajo y energ para movimientos en una dimensin a o 5.2. Trabajo para un movimiento en tres dimensiones . . . 5.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Solucin a algunos de los problemas . . . . . . . . . . o

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II

INDICE GENERAL 155 155 157 160 162 169 174 183 183 186 188 190 192 196 204 213 213 215 220 224 229 229 232 237 249 259 259 262 265 268 273 273 273 274 277 280 283 289 291 295 296

6. Momento lineal y colisiones 6.1. Conservacin del momento lineal . . o 6.2. Colisiones . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Solucin a algunos de los problemas o 6.6. Colisin de dos discos . . . . . . . . o

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7. Torque, centro de masas y equilibrio 7.1. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . 7.2. Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Centro de masas . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Evaluacin numrica del centro de masas o e 7.5. Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7. Solucin a algunos de los problemas . . . o 8. Momento angular 8.1. Momento angular de una part cula . . 8.2. Momento angular de varias part Iculas 8.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Solucin a algunos de los problemas . o 9. Rotacin de un cuerpo r o gido 9.1. Las ecuaciones bsicas . . . . . . . . a 9.2. Momento de inercia . . . . . . . . . 9.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Solucin a algunos de los problemas o 10.Fuerzas cticias 10.1. Referencial uniformemente acelerado 10.2. Referencial en rotacin uniforme . . o 10.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . 10.4. Solucin a algunos de los problemas o

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11.Gravitacin o 11.1. Elipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1. Elipse en coordenadas cartesianas . 11.1.2. Elipse en coordenadas polares . . . . 11.2. Las leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Satlites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 11.4. Potencial efectivo . . . . . . . . . . . . . . . 11.5. Trayectorias de los satlites . . . . . . . . . e 11.6. El campo y potencial gravitacional . . . . . 11.7. El caso elctrico: la ley de Coulomb . . . . . e 11.8. Campo gravitacional de una cscara esfrica a e

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INDICE GENERAL 11.9. Campo gravitacional de una esfrica slida . e o 11.9.1. Densidad media de la Tierra . . . . 11.10. roblemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 11.11. olucin a algunos de los problemas . . . . S o 12.Fluidos 12.1. Conceptos Preliminares . . . . . . . . 12.2. La presin atmosfrica P0 . . . . . . . o e 12.3. Principio de Arqu medes . . . . . . . . 12.4. La frmula baromtrica . . . . . . . . o e 12.5. Tensin supercial . . . . . . . . . . . o 12.6. Capilaridad . . . . . . . . . . . . . . . 12.7. Fluidos en movimiento . . . . . . . . . 12.8. Aplicaciones del principio de Bernoulli 12.9. *Viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . 12.10. roblemas . . . . . . . . . . . . . . . . P 12.11. olucin a algunos de los problemas . S o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III

300 301 302 310 317 317 318 320 323 326 328 329 331 335 338 349 353 353 356 358 361 364 368 372 383

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13.Oscilador Armnico o 2 13.1. La ecuacin diferencial x(t) + 0 x(t) = 0 o 13.2. El oscilador armnico simple . . . . . . o 13.3. El oscilador armnico atenuado . . . . . o 13.4. El oscilador armnico forzado . . . . . . o 13.5. Osciladores armnicos acoplados . . . . o 13.6. Modos normales de una cuerda . . . . 13.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.8. Solucin a algunos de los problemas . . o

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Cap tulo 1

Expansiones y Trigonometr aEn este primer cap tulo se recopilarn algunos resultados de las matemticas que son bsicos a a a para los cap tulos que siguen.

1.1.

Expansiones y series

Consideremos las expansiones: (1 + x)1 = 1 + x (1 + x)2 = 1 + 2x + x2 (1 + x)3 = 1 + 3x + 3x2 + x3 (1 + x)4 = 1 + 4x + 6x2 + 4x3 + x4 (1 + x)5 = 1 + 5x + 10x2 + 10x3 + 5x4 + x5 Generalizando, para un entero n positivo arbitrario, la expansin del binomio (1+x)n puede o escribirse en la forma (1 + x)n = 1 + n n (n 1) 2 n (n 1) (n 2) 3 x+ x + x 1! 2! 3! n (n 1) (n 2) (n 3) 4 + x + + nx(n1) + xn , 4! (1.1) donde n! 1 2 3 . . . (n 1) n. Por denicin 0! 1. La expansin 1.1 es vlida para o o a cualquier valor de x y cualquier valor de n entero no negativo. Una expresin anloga tambin se puede escribir para (1 + x) , donde es ahora cualquier o a e nmero real. En efecto, en ese caso u (1 + x) = 1 + ( 1) 2 ( 1) ( 2) 3 x+ x + x 1! 2! 3! ( 1) ( 2) ( 3) 4 + x + . 4!

(1.2)

2

Expansiones y Trigonometr a

Sin embargo, si no es nulo o un entero positivo, hay una diferencia importante entre las dos expresiones: la expansin (1.1), con n entero no negativo siempre tiene una cantidad o nita de trminos y se puede usar para cualquier valor de x; la serie (1.2), por otra parte, e posee innitos trminos (sumandos) y slo se puede usar (en el lenguaje tcnico, converge) e o e si |x| < 1. Ejemplos: 1. Usando la ecuacin (1.2) con = 1 se obtiene la serie geomtrica o e (1 x)1 = 1 = 1 + x + x2 + x3 + x4 + 1x (1.3)

Si bien el lado izquierdo est bien denido para cualquier valor de x, el lado derecho a slo da un resultado nito si |x| < 1. o Para x = 1/2 el lado izquierdo es igual a 2, mientras que el lado derecho da la serie 1+ 1 1 1 1 + + + + ... 2 4 8 16

que, obviamente, al sumarla, tambin da 2. e Para x = 1/10 el lado izquierdo es igual a 10/9, mientras que el lado derecho da la serie 1 + 0, 1 + 0, 01 + 0, 001 + . . . = 1, 1111 . . . . que es el desarrollo decimal de 10/9. 2. Evaluemos la suma nita SN = 1 + x + x2 + x3 + + xN . Para ello restemos de esta serie la misma serie, pero multiplicada por x, es decir: SN x SN = 1 + x + x2 + x3 + + xN = x + x2 + x3 + + xN + xN +1 .

Al restar, al lado izquierdo queda (1 x) SN , mientras que al lado derecho queda 1 xN +1 , o sea, (1 x) SN = 1 xN +1 . 1 xN +1 . 1x Si hacemos N cada vez ms grande, es decir lo hacemos tender a innito, en el lado a derecho se tendr algo nito slo si |x| < 1. En efecto, en ese caso l N xN +1 = 0 a o m y entonces 1 , l SN = 1 + x + x2 + x3 + = m N 1x resultado consistente con el del ejemplo 1. SN = Despejando SN se obtiene

1.1 Expansiones y series 3. Escribamos la relacin (1.2) para = 1/2. En ese caso se obtiene o (1 + x)1/2 = 1 1 1 1 + x = 1 + x x2 + x3 2 8 16

3

La razn por la cual esta expresin es util es que con frecuencia se requerir evaluar o o a la ra de (1 + x) para situaciones en que x es un nmero muy pequeo. En ese caso z u n los trminos sucesivos de la serie son cada vez ms pequeos y es posible obtener un e a n resultado satisfactorio usando slo los dos o tres primeros trminos del lado derecho. o e La tabla adjunta muestra un pequeo anlisis para x = 0,1: n a lado izquierdo 1,04880884817 lado derecho 1,0 1,05 1,04875 1,0488125 # de trminos e 1 2 3 4 error 4,9 % 0,11 % 0,0059 % 0,00037 %

Ejercicio: Verique que para valores de x ms pequeos, la convergencia del resultado a n de la serie truncada hacia el resultado exacto es aun ms rpida. a a 4. Sea = 0 un nmero real arbitrario y evaluemos [(1 + x) 1]/x para valores de u x muy pequeos. Observe que para valores de x cada vez ms pequeos, tanto el n a n numerador como el denominador tienden a cero. De acuerdo a la ecuacin (1.2), para x muy pequeo vale la aproximacin o n o (1 + x) 1+x

(o sea, estamos despreciando todos los trminos de la serie excepto los dos primeros). e Usando esta aproximacin se encuentra que (para x muy pequeo) o n (1 + x) 1 x 1 + x 1 x = = . x x

Verique numricamente este resultado usando una calculadora. e

Algunas aproximaciones que se obtienen a partir de la ecuacin (1.2) para |x| pequeo, que o n se usarn con frecuencia, y conviene tener siempre presentes, son: a (1 + x) 1 1+x 1 1x 1+x 1 + x , (1.4)

1x, 1+x, 1+ x . 2

(1.5) (1.6) (1.7)

4


Figura 1.1

Para abreviar la escritura de series, se usa frecuentemente la letra griega sigma mayscula u ( ). Ilustramos el uso de este s mbolo con algunos ejemplos:6

j = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 ,j=1 4

j 2 = 12 + 22 + 32 + 42 = 30 ,j=1 2

j k = j 2 + j 1 + 1 + j + j 2 ,k=2 n=0

1 2

n

=1+

1 1 1 + + + = 2 . 2 4 8

1.2.

Elementos de trigonometr a

Consideremos los tringulos rectngulos (ABC) y (AB C ) mostrados en la gura 1.1. a a De acuerdo a un teorema de la geometr elemental, la razn (entre trazos) AC : AB es a o e o a igual a la razn AC : AB , dependiendo sta slo del valor del ngulo . Se ha convenido o llamar a tal razn cos ; o sea, en un tringulo rectngulo, el cuociente entre el cateto o a a adyacente y la hipotenusa dene el coseno del ngulo que forman esos dos lados: a longitud del lado adyacente AC = . longitud de la hipotenusa AB Tambin el cuociente entre el cateto opuesto al ngulo y la hipotenusa es independiente e a del tamao del tringulo rectngulo y slo depende del valor de . A esta razn se la llama n a a o o seno del ngulo, tenindose a e cos = sin = BC longitud del lado opuesto = . longitud de la hipotenusa AB

1.2 Elementos de trigonometr a Es util denir tambin la funcin tangente: e o tan longitud del lado opuesto sin = . longitud del lado adyacente cos

5

Evaluemos sin2 + cos2 . Se tiene:2 2

cos + sin = =

2

2

AC BC + AB AB 2 + (BC)2 (AC) . (AB)2

Pero, de acuerdo al teorema de Pitgoras, (AC)2 + (BC)2 = (AB)2 , luego a cos2 + sin2 = 1 . Dos relaciones trigonomtricas importantes son: e sin( + ) = sin cos + sin cos y cos( + ) = cos cos sin sin . (1.9) (1.8)

Figura 1.2

Demostremos al menos una de ellas; la primera. Para ello consideremos la gura 1.2. Partiendo del tringulo (ABC), prolongamos el lado BC y gracamos las alturas CD y AE. a Note que el ngulo < ACE resulta ser igual a + . El rea de un tringulo es la mitad del a ) a a producto de su base por la altura. De la gura 1.2, para el rea del a (ABC), obtenemos 2 Area [ (ABC)] = BC EA = AB CD .

6


En la ultima ecuacin hemos escrito el producto base por altura del tringulo (ABC) de o a dos maneras distintas: en la primera igualdad, BC es la base y EA la altura, mientras que en la segunda, AB es la base y CD la altura. Partiendo de la ultima igualdad, dividiendo ambos lados por AC y CB, se obtiene BC EA AB CD = , BC AC AC CB o sea,

EA AC

= =

(AD + DB) CD AC BC AD CD DB CD + . AC BC BC AC

Usando las deniciones de seno y coseno, se deduce nalmente que sin( + ) = sin cos + sin cos . Como casos particulares de las ecuaciones (1.8) y (1.9), se encuentra cos(2) = cos2 sin2 y sin(2) = 2 cos sin . (1.11) (1.10)

Existen muchas identidades trigonomtricas de este tipo que resultan ser utiles para llee var adelante diferentes tipos de clculos. Dejamos que el lector demuestre las siguientes a identidades: sin sin = 2 sin cos , (1.12) 2 2 cos + cos = 2 cos + 2 + 2 cos 2 2 , (1.13)

cos cos = 2 sin

sin

,

(1.14)

tan 2 =

2 tan . 1 tan2

(1.15)

La denicin del seno y coseno que hemos dado es vlida para ngulos entre 0 y 90 o a a grados. Para denir estas funciones para otros ngulos es conveniente considerar un c a rculo de radio R = 1 centrado en el origen (ver gura 1.3). Por convencin, los ngulos se miden o a desde el eje x en el sentido contrario a los punteros del reloj.

1.2 Elementos de trigonometr a

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Figura 1.3 Consideremos el punto A sobre el c rculo, formando un ngulo con el eje x. Usando el a hecho que la hipotenusa vale 1, es fcil convencerse de que las coordenadas x e y del punto a A coinciden con los valores de cos y sin , respectivamente. Es sta la propiedad que se usa para denir el valor del seno y coseno para cualquier ngulo e a . El procedimiento es el siguiente: i) Encontrar el punto P sobre el c rculo que forma un a ngulo con el eje x (en la gura 1.3, esto se muestra para = 210 ); ii) luego, proyectar el punto P sobre los ejes para encontrar xp e yp . Entonces cos = xp y sin = yp . Para el caso mostrado en la gura 1.3, cos(210 ) = 3/2 = 0, 8660 . . . y sin(210 ) = 1/2. Es evidente que, para todos los ngulos , siempre se cumple a 1 cos 1 y 1 sin 1 . Podemos gracar las proyecciones del punto P a medida que variamos . De esta manera se obtiene el grco de las funciones coseno y seno (ver gura 1.4). a

Figura 1.4 Recordemos que los ngulos tambin pueden ser medidos en radianes (unidad adimensional a e que se abrevia por rad ). El valor del ngulo , en radianes, es igual al largo del arco a subtendido sobre el c rculo unitario desde donde lo cruza el eje x hasta el punto A (ver

8


gura 1.3). De acuerdo a la denicin, un ngulo de 360 , o sea, la circunferencia completa, o a corresponder a un ngulo igual a 2 rad. El ngulo recto es igual a /2. No es dif a a a cil vericar que 360 1 rad = = 57, 3 . 2 Para llegar al punto P (gura 1.3) originalmente se recorri un ngulo desde el eje x o a positivo. Al continuar y dar una vuelta completa para volver al punto P , habremos recorrido desde el eje x un ngulo 2 + . Sucesivas rotaciones nos llevarn nuevamente al punto P , a a habindose recorrido ngulos 4 + , 6 + , etc. Cada vez que, desde el eje x positivo, e a recorremos un ngulo ms un mltiplo de 2, estaremos en el punto P . Se trata de un a a u movimiento que se repite y se dice que es peridico en el ngulo , con per o a odo igual a 2. Se tiene (ver gura 1.4) que, para cualquier ngulo , a cos( + n 2) = cos y sin( + n 2) = sin , donde n es un entero. Note que, cuando el ngulo se expresa en radianes, se cumplen las a siguientes relaciones: sin( ) = sin sin(/2 ) = cos cos( ) = cos cos(/2 ) = sin cos( + /2) = sin sin( + /2) = cos . Cuando el argumento (en radianes) de una funcin trigonomtrica es muy pequeo, sta o e n e puede aproximarse con una expresin simple. En efecto, consideremos el tringulo rectnguo a a lo ABC mostrado en la gura 1.5. A medida que decrece, el cateto opuesto a se hace cada vez ms parecido al arco de c a rculo s con centro en A.

Figura 1.5

1.2 Elementos de trigonometr a Usando la denicin de la funcin seno se tiene o o sin = a c s . c

9

Pero el cuociente s/c es precisamente el ngulo en radianes, luego, para ngulos pequeos a a n (y stos expresados en radianes) e sin Sabemos que cos2 = 1 sin2 . Luego, para ngulos pequeos a n cos2 o sea, cos Ejemplo: Evale, usando una calculadora, las funciones sin y cos para = 5 . Compare los valores u obtenidos con aqullos que resultan de usar las expresiones aproximadas escritas ms arriba. e a = 5 2/360 rad en una calculadora, obtenemos: Ingresando el valor = 5 sin 5 = 0, 0871557 y cos 5 = 0, 9961947 . Si ahora hacemos uso de las expresiones aproximadas, obtenemos sin 5 y cos 5 = 1 5 2 = 0, 087266 360 1 2 5 2 3602

.

(1.16)

1 2 , 1 1 2 . 2

1 2

(1.17)

= 0, 9961923

Note que los valores aproximados dieren poco de los obtenidos con la calculadora. Para el coseno el error es inferior al 0,003 %. Cabe destacar que las funciones sin y cos pueden ser expresadas como una suma innita de trminos proporcionales a diferentes potencias del ngulo (expresado en radianes): e a cos = 1 y sin = 2 4 6 + + , 2! 4! 6! 3 5 7 + + , 3! 5! 7! (1.18)

10


donde n! n (n 1) (n 2) . . . 3 2 1. Para || 1, estas series convergen rpidamente, a lo que permite representar las funciones seno y coseno con pocos trminos. e Ejemplo: Representemos en un mismo grco, para el intervalo t [, 2] , las siguientes cinco a funciones: i) ii) iii) iv) v) f0 (t) = cos t f1 (t) = 1 f2 (t) = 1 t2 /2! f3 (t) = 1 t2 /2! + t4 /4! f4 (t) = 1 t2 /2! + t4 /4! t6 /6!

Observe que de acuerdo a la ecuacin (1.18), las funciones f1 (t), f2 (t), etc., para t pequeo o n son aproximaciones cada vez mejores de f0 (t) = cos t. Este comportamiento se observa claramente en la gura 1.6 (pgina siguiente) donde se han gracado las diversas funciones. a

Figura 1.6 Funciones trigonomtricas inversas e En ocasiones, lo que se conoce es x = cos y lo que se desea conocer es el ngulo . Esta a operacin inversa se denota por o = arccos(x) . Es importante darse cuenta de que esta funcin inversa, llamada arcocoseno, es una o funcin multivaluada, o sea, que la respuesta no es unica. Hay varios ngulos distintos o a para los cuales el coseno del ngulo tiene el mismo valor. Las calculadoras, al evaluar las a

1.3 Problemas

11

funciones trigonomtricas inversas, slo dan la solucin que est en el intervalo [0, ] para el e o o a arcocoseno y el intervalo [/2, +/2] para la funcin arcoseno y la funcin arcotangente. o o En ocasiones la solucin entregada por la calculadora no es la f o sicamente aceptable, en cuyo caso uno debe preocuparse de encontrar la solucin correcta (en el lenguaje tcnico: o e elegir la rama adecuada). Algo similar ocurre cuando uno extrae ra ces: puede ocurrir que la ra de 9 de inters f z e sico sea 3 y no la solucin que entrega la calculadora (que es +3). o Para la funcin arcocoseno la calculadora, al evaluar = arccos(x) con |x| 1, siempre o dar la respuesta que se ubica en el intervalo [0, ] (si est usando la calculadora en a a radianes) o en el intervalo [0, 180 ] si la calculadora est calculando en grados. a Ejercicio: Sea |x| 1 cierto valor dado y suponga que deseamos encontrar todos los a ngulos (en radianes) para los cuales cos = x. Suponga adems que hemos, de alguna a manera, encontrado una solucin = 0 (por ejemplo, el ngulo que muestra la calculadora o a al evaluar arccos(x) ). Demuestre que todas las dems soluciones a nuestro problema vienen a dadas por = 0 + j 2 y = 0 + j 2, con j cualquier valor entero. Para la funcin arcoseno la calculadora, al evaluar = arcsin(x) con |x| 1, siempre o dar la respuesta que se ubica en el intervalo [/2, /2] (si est usando la calculadora a a en radianes) o en el intervalo [90 , +90 ] si la calculadora est calculando en grados. a Ejercicio: Sea |x| 1 cierto valor dado y suponga que deseamos encontrar todos los a ngulos (en radianes) para los cuales sin = x. Suponga adems que hemos, de alguna a manera, encontrado una solucin = 0 (por ejemplo, el ngulo que muestra la calculadora o a al evaluar arccos(x) ). Demuestre que todas las dems soluciones a nuestro problema vienen a dadas por = 0 + j 2 y = ( 0 ) + j 2, con j cualquier valor entero. Por ser frecuentemente fuente de errores reiteramos lo dicho unos prrafos antes: al evaluar a funciones trigonomtricas inversas la solucin entregada por la calculadora no es siempre e o la f sicamente aceptable. El alumno debe asegurarse de que la respuesta mostrada por la calculadora efectivamente resuelve completamente su problema, en caso contrario, debe analizar si alguna de las otras soluciones, que se obtuvieron en los dos ejercicios anteriores, sirve.

1.3.1.

ProblemasEvale las siguientes sumatorias u a) S=n = 1, 2 m = 1, 2, 3

nm

b)

S=j=3,...,8

1

12


c)

N

S=j=0

j

d)

S=i, j = 1, . . . , 4 i>j

1 |i j|

Respuestas: a) 17 , b) 12 , c) N (N + 1)/2 , d) 13/3 2. Encuentre una expresin para [ (x + ) x ]/, en el l o mite en que tiende a cero. En otras palabras, tiene un valor nito pero peque nsimo (tan pequeo como n se quiera); al nal del clculo se permite poner = 0. a Usando una notacin y un lenguaje ms tcnico, el enunciado de este problema ser o a e a: Evale u f (x) = l m0

1 [ (x + ) x ] .

Respuesta: f (x) = x1 . cos(x + ) cos x sin x.

3.

Evale u

para ||

1.

Respuesta:

4.

Represente en forma cuidadosa, en un mismo grco, para el intervalo t [1, 1] , a las siguientes cuatro funciones: a) b) c) d) f0 (t) = 1/(1 t) f1 (t) = 1 + t f2 (t) = 1 + t + t2 f3 (t) = 1 + t + t2 + t3

Observe que, de acuerdo a la ecuacin (1.3), f1 (t), f2 (t) y f3 (t) son sucesivamente o aproximaciones cada vez mejores (para t pequeo) de la funcin f0 (t). n o

5.

Demuestre las siguientes relaciones trigonomtricas: e (a) sin = tan 1 + tan2

1.3 Problemas

13

(b)

tan( + ) =

tan + tan 1 tan tan + 2 cos 2 .

(c)

sin + sin = 2 sin

6.

Sea r el radio del c rculo circunscrito de un pentgono regular (ver gura 1.7). a a) b) c) Cunto mide el ngulo interior (en radianes)? a a Determine el largo del lado s en funcin de r. o Determine el rea del pentgono. a a

Figura 1.7 Respuestas: a) = 3/5 radianes ; 7. c) rea = a5 2

Figura 1.8 r2 sin(2/5).

Una camionada de arena seca se descarga formando un cono de 4 metros de dimetro. a 3 y el el ngulo del cono (ver gura 1.8) Si la densidad de la arena seca es =1.7 g/cm a es de = 32 , calcule la masa de la arena (en toneladas). Encuentre todos los valores de x en el intervalo [5, +5] (cuando no se especica nada se asume que las unidades son radianes) para los cuales se cumple la relacin o sin x tan x = Respuesta: x = 4/3 , 2/3 , 2/3 , 4/3 . 3 . 2

8.

9.

Represente en un mismo grco, para t en el intervalo [, 2] , las siguientes cuatro a funciones: a) b) f0 (t) = sin t f1 (t) = t

14 c) d) f2 (t) = t t3 /3! f3 (t) = t t3 /3! + t5 /5!


Aqu nuevamente f1 (t), f2 (t) y f3 (t) son sucesivamente aproximaciones cada vez mejores (para t pequeo) de la funcin f0 (t). n o 10. Al incidir luz sobre una interfase, por ejemplo, al pasar del aire al vidrio o viceversa, sta generalmente sufre un cambio de direccin (ver gura 1.9). Este fenmeno se e o o conoce con el nombre de refraccin de la luz. La ecuacin que describe este fenmeno o o o es la Ley de Snell: sin v = aire , sin vvidrio donde vaire y vvidrio corresponden a la velocidad de la luz en el aire y el vidrio, respectivamente. (Para el vidrio comn se tiene vaire /vvidrio 1,5 .) u

Figura 1.9 a) Supongamos que un haz de luz incide sobre un vidrio de 2 cm de espesor, con un ngulo de incidencia = 40 . Encuentre la distancia d por la cual el haz de a luz emergente se encontrar paralelamente desplazado respecto al haz incidente a (ver gura 1.10). Considere ahora un haz de luz incidiendo sobre un prisma en la forma que se muestra en la gura 1.11. Encuentre el ngulo para = 20 , 40 , 50 y a 70 . Para qu ngulo = 0 se obtiene = 90 ? Para > 0 el haz de luz es ea reejado especularmente (como si fuese un espejo) por la supercie interior del prisma, fenmeno conocido con el nombre de reexin total. o o

b)

Figura 1.10

Figura 1.11

1.3 Problemas 11.

15

La gura 1.12 adjunta indica la diferencia entre un d sideral y un d solar. Para a a facilitar la explicacin supongamos que es posible observar las estrellas durante el o d (Por supuesto que las estrellas estn all y de hecho los radioastrnomos observan a. a o algunas de ellas.) Para un observador en el Ecuador, el d solar es el per a odo que transcurre entre dos pasos consecutivos del sol por el zenit (posicin del sol justo sobre nuestras cabezas). o El d sideral consiste en el mismo fenmeno pero que ahora ocurre con una estrella a o muy lejana. La diferencia entre ambas deniciones se debe a la traslacin de la tierra o alrededor del sol. Determine el valor del ngulo que se muestra en la gura y calcule a la diferencia entre el d sideral y el d solar en segundos. a a

Figura 1.12

Figura 1.13

12.

Un tambor de 50 cm de radio y 1.5 m de largo se encuentra acostado y lleno con parana hasta una altura h =60 cm (ver gura 1.13). Cuntos litros de parana hay a en el tambor?

13.

La esfericidad de la tierra fue postulada por Pitgoras y conrmada por Aristteles a o al observar la forma circular de la sombra que proyecta la tierra en la supercie de la luna durante un eclipse lunar. El primer clculo que se conoce del radio de la tierra se debe a Eratstenes (276 A.C. a o 194 A.C.), quien a la fecha estaba a cargo del Museo de Alejandr El mtodo que a. e us se bas en observar el ngulo con que inciden los rayos solares sobre la supercie o o a de la tierra, el mismo d y a la misma hora, en dos lugares separados entre s por a una gran distancia. Los lugares elegidos fueron Siena (S) (hoy Asun) y Alejandr a a (A).

16


Figura 1.14 Eratstenes sab que al mediod del 22 de junio el Sol ca verticalmente en Siena, o a a a pues la luz se reejaba directamente en el fondo de una noria. El mismo d a la misma a, hora, midi la sombra que proyectaba en Alejandr un alto obelisco, que le indic que o a o los rayos solares formaban un ngulo de 7,2 con la vertical (ver gura 1.14). a Dado que el sol est a gran distancia de la tierra se puede suponer que los rayos que a llegan a ambas ciudades son paralelos. Eso quiere decir que la separacin angular entre o Siena y Alejandr medida con respecto al centro de la tierra es tambin 7,2 . Sabiendo a e que la distancia entre Siena y Alejandr (arco de c a rculo) es de aproximadamente 800 km, estime el radio de la tierra. Respuesta: Radio 6100 km. (El resultado que obtuvo Eratstenes en su poca fue o e incorrecto, debido a la imprecisin con que estim la distancia entre los dos lugares.) o o 14. Una persona ubicada en el punto P observa dos montaas que la rodean, una a la n derecha y la otra a la izquierda. Sean y los ngulos de elevacin, respectivamente a o (ver gura 1.15). Si la montaa de la izquierda tiene una altura h y la separacin entre n o las proyecciones de las cimas sobre el nivel de la supercie terrestre es D, calcule la altura del otro monte.

Figura 1.15 15. En el ao 1752 los astrnomos Landale y Lacaille determinaron en Berl (B) y en la n o n ciudad del Cabo (C), a la misma hora, el ngulo entre la normal y la recta entre su a

1.3 Problemas

17

posicin y un punto predeterminado del borde de la luna. Los ngulos que determinao a ron fueron = 32,08 en Berl y = 55,72 en El Cabo. Ambas ciudades se ubican n en el mismo meridiano y se encuentran en las latidudes B = 52,52 y C = 33,93 , respectivamente (ver gura 1.16). Usando para el radio terrestre el valor de 6370 km, determine la distancia entre la tierra y la luna.

Figura 1.16 16. 17. Encuentre el ngulo entre dos diagonales de un cubo. a a) Teorema del seno. Demuestre que en un tringulo cualquiera se cumplen las a siguientes relaciones: a b c = = , sin sin sin donde , y son los ngulos interiores del tringulo y a, b y c los lados opuestos a a a cada uno de estos ngulos. a b) Teorema del coseno. Demuestre que en un tringulo cualquiera se cumplen las a siguientes relaciones:

c2 = a2 + b2 2ab cos b2 = a2 + c2 2ac cos y a2 = b2 + c2 2cb cos

18 18. Determine el largo m nimo que debe tener una cadena para unir dos poleas de radios R y r, separadas por una distancia D (ver gura 1.17).


Respuesta: Rr D

Figura 1.17

L = 2 (R r) arcsin

+2

D2 (R r)2 + (r + R) .

19.

Un tetraedro regular es la gura geomtrica que se obtiene al formar una pirmide con e a cuatro tringulos equilteros idnticos. Encuentre el ngulo entre dos de sus caras. a a e a

20.

La altura de un edicio se puede determinar midiendo su ngulo de elevacin y la a o distancia a la que uno se encuentra del edicio. Suponga que el instrumento que tiene a disposicin le permite medir ngulos con un error de 1 . Determine el menor error o a porcentual con que, con tal instrumento, usted puede medir la altura de un edicio.

21.

Dos observadores A y B miden a ngulos de elevacin de un avin que o o los sobrevuela a una altura constante. En cierto instante los ngulos a medidos por A y B son = 60 y = 40 , respectivamente. Diez segundos ms tarde, A mide un ngua a (ver gulo de elevacin = 110 o ra 1.18). La separacin entre A y B o es D = 1 km. A qu altura vuela el e avin? Cul es su velocidad? o a

Figura 1.18

22.

Graque, usando un computador, la funcin f (t) = cos(t) + cos(0, 9t) para t o [0, 40] y observe el fenmeno de pulsaciones. o

23.

Para qu latitud el paralelo terrestre tiene 1/3 de la longitud del Ecuador? e

1.3 Problemas 24. Una cuneta de forma angular est caracterizada por los ngulos a a y respecto a la horizontal. Una bola de acero de radio R posa sobre la cuneta, ver gura 1.19. Determine el nivel m nimo de agua, medido desde el punto ms bajo de la cuneta, a necesario para cubrir la bola completamente.

19

Figura 1.19

25.

Son las 12 del d Determine en cunto rato ms se vuelven a juntar los punteros del a. a a reloj. a) Calcule la razn entre las reas del c o a rculo y del tringulo equiltero que lo cira a cunscribe (ver gura 1.20a). b) Haga el mismo clculo anterior pero para el caso en que el tringulo contenga a a n(n + 1)/2 discos de radio R dispuestos como se muestra en la gura 1.20b.

26.

Figura 1.20a 27.

Figura 1.20b

Usted se plantea tener un atardecer de 24 horas de duracin en el Ecuador, para lo cual o cuenta con un aeroplano. Calcule la velocidad con que deber volar y la direccin a o que debe tomar para lograr su propsito. Si un amigo viaja a la misma velocidad o relativa a la tierra, pero en sentido opuesto, calcule el tiempo que transcurrir hasta a encontrarse nuevamente con l. e Hay que decidir el tipo de empaque que se le va a dar a pelotas de tenis en una bandeja de forma cuadrada. Decida cual de las dos conguraciones mostradas en la gura 21 resulta ms conveniente. Justique su respuesta cuantitativamente. a

28.

20


Figura 1.21a

Figura 1.21b

1.4.

Solucin a algunos de los problemas o

Solucin al problema 15 o

Figura 1.22 Inspeccionando la gura 1.22 se deduce de inmediato que = + y = + B |C | . Usando el teorema del seno (ver problema 17) en los tringulos OBL y OLC, se obtienen a las expresiones sin sin( ) = R D

1.4 Solucin a algunos de los problemas o y sin sin( ) = . R D Como y son ngulos pequeos podemos usar las aproximaciones a n sin y sin De esta manera se obtienen y Sumando estas ecuaciones se deduce que = + o sea, R (sin + sin ) R (sin + sin ) = . + B |C | Sustituyendo en esta ecuacin los valores numricos se encuentra que o e D D 367,000 km , R (sin + sin ) , D R sin . D .

21

R sin D

valor muy cercano al actualmente aceptado para el radio de la rbita lunar, que es de o 384.000 km. Solucin al problema 16 o Consideremos un cubo de lados a. Sea A un vrtice de una diagonal y B el vrtice de otra e e diagonal del cubo. De los dos vtices de la segunda diagonal, denotaremos por B vrtice e al e que est a una distancia a de A (el otro vrtice se encontrar a una distancia a 2 de A). a e a Sea O el punto central del cubo. El tringulo AOB es issceles: con base a o AB = a y lados b AO = BO = 23 a. El a ngulo =< (AOB) es el ngulo buscado. ) a Se tiene que sin a/2 1 = = , 2 b 3

de donde se deduce que = 70,529 . El ngulo complementario < (AOC) = a ) . 109,47 Figura 1.23

22 Solucin al problema 21 o


Sea a = AP y d = P Q. Usando el teorema del seno en el tringulo AP B se obtiene a sin sin ( ) = , a D o sea, a=D sin . sin( )

Usando el teorema del seno en el tringulo AQP se deduce que a sin( ) sin( ) = . a d Usando las dos ecuaciones anteriores se obtiene para d la expresin o d=D sin sin( ) . sin( ) sin

Reemplazando los valores numricos se encuentra que la distancia recorrida por el avin en e o 10 segundos es d = 1, 53 km. La velocidad del avin es, por lo tanto, v = 552 km/h. La o altura a la que vuela el avin viene dada por o h = a sin = 1628 [m] .

Figura 1.24

Solucin al problema 24 o Primero giremos la cuneta de manera que quede simtrica respecto a la horizontal, es decir, e con un ngulo ( + )/2 a cada lado (ver gura 25a). a

1.4 Solucin a algunos de los problemas o

23

Figura 1.25a El ngulo < a )ABC tambin es ( + )/2, luego e AB = R cos + 2 .

Figura 1.25b

Para volver a poner la cuneta en la orientacin original debemos girarla en un ngulo o a ( )/2. Por lo tanto, (ver gura 1.25b) 2

BD = AB cos

=R

cos 2 cos + 2

.

Para la altura del nivel de agua se obtiene nalmente la expresin o h = R 1 + cos 2 cos + 2 .

24


Cap tulo 2

Cinemtica en una dimensin a o2.1. Posicin, velocidad y aceleracin o o

Cinemtica es la descripcin del movimiento de un cuerpo sin considerar las causas que lo a o producen. Ms tarde, al estudiar las leyes de Newton, analizaremos el origen del movimiento. a Para simplicar la discusin, comenzaremos por estudiar el movimiento de objetos cuya o ubicacin queda determinada especicando la posicin de un solo punto. Este tipo de objeto o o recibe el nombre de part cula. Contrariamente a lo que pudiera pensarse, no es necesario que los objetos sean pequeos para que puedan ser considerados part n culas. Por ejemplo, cuando se estudia el movimiento de la tierra en torno al sol, la distancia relevante es la distancia Tierrasol. En este caso, el tamao de la Tierra no es importante, pudindose n e tratar como una part cula ubicada en el centro de la tierra. El movimiento ms simple de una part a cula se tiene cuando la posicin de sta viene descrita o e por una unica coordenada; por ejemplo, el movimiento de una part cula que se traslada a lo largo de una l nea recta. (En el presente cap tulo nos restringiremos a este tipo de movimientos.) La eleccin de un origen divide naturalmente a la recta en dos zonas. En o forma arbitraria llamamos a una de ellas el lado positivo y a la otra el lado negativo (ver gura 2.1).

Figura 2.1 La posicin de una part o cula queda determinada dando simplemente un nmero (la cooru denada x). La descripcin de su movimiento es completa si conocemos la funcin x(t) que o o indica la posicin que ocupa en cada instante t. o La diferencia entre la coordenada de una part cula entre dos instantes t1 y t2 (con t2 > t1 ) se denomina desplazamiento:Desplazamiento x2 x1 x .

26

Cinemtica en una dimensin a o

El desplazamiento es una cantidad que tiene signo. Si la coordenada x de la part cula se incrementa durante cierto intervalo de tiempo, entonces el desplazamiento es positivo; si, por el contrario, decrece, el desplazamiento es negativo. Se dene velocidad media de una part cula durante el intervalo [t1 , t2 ] como la razn entre o el desplazamiento y la duracin del intervalo de tiempo, o v(t1 , t2 ) = x(t2 ) x(t1 ) . t2 t1

En un grco x(t) en funcin de t, esta denicin corresponde a la tangente del ngulo que a o o a forma la recta que une (x1 , t1 ) y (x2 , t2 ) con el eje del tiempo (ver gura 2.2).

Figura 2.2 La velocidad promedio entrega una informacin global sobre el movimiento que realiza una o part cula en un cierto intervalo de tiempo. Si se desea tener una informacin ms precisa o a acerca de la velocidad durante el movimiento, es necesario subdividir el intervalo de tiempo original en subintervalos y calcular en cada uno de ellos una velocidad media. Mientras ms pequeo es el tamao de esos subintervalos, ms precisa es la informacin acerca de a n n a o las variaciones que experimenta la velocidad de la part cula mientras se desplaza. El valor que se mide para la velocidad media en un cierto intervalo de tiempo pequeo, donde n es nito pero tan pequeo como nosotros deseamos, se denomina velocidad instantnea. n a Para determinar la velocidad instantnea de la part a cula en un instante t, se evala la u velocidad promedio durante un intervalo muy pequeo que comienza en t y termina en n t + , donde es un incremento de tiempo innitesimal (ms adelante, al nalizar el clculo, a a haremos 0). Expl citamente: v(t, t + ) = x(t + ) x(t) .

Al hacer 0, se obtiene la velocidad instantnea de la part a cula en el instante t. Esta la denotaremos por v(t) o x(t). Se tiene v(t) = l m x(t + ) x(t) = x(t) . (2.1)

0

2.1 Posicin, velocidad y aceleracin o o

27

Este proceso de l mite est ilustrado en la Figura 2.3. All se observa cmo cambia el valor a o de la velocidad media de la part cula en un intervalo [t, t + t] cuando es evaluada para diferentes valores de t. En el caso l mite, cuando 0, se observa que la velocidad instantnea queda representada por la tangente del ngulo (pendiente) que forma la recta a a tangente a la curva x(t) vs. t con el eje del tiempo. De aqu en adelante el trmino velocidad siempre se referir a la velocidad instantnea. e a a

Figura 2.3

Ejemplos: 1. Supongamos que la posicin de una part o cula viene dada por x(t) = x0 + v0 t, con m . El grco x(t) en funcin de t da lugar a la recta que se x0 = 1 m y v0 = 0,5 s a o muestra en la gura 2.4. Esa curva corresponde a una part cula que se mueve con velocidad uniforme. La inclinacin de la recta con respecto al eje del tiempo es una medida de la velocidad de o la part cula. Una recta horizontal corresponde a una part cula en reposo mientras que una recta perpendicular al eje del tiempo representa un objeto que tiene velocidad innita. Evaluemos expl citamente la velocidad en un instante t cualquiera. Usando la ecuacin o (2.1) y la expresin para x(t) de este ejercicio, se obtiene o x(t + ) x(t) [x0 + v0 (t + )] [x0 + v0 t] = l m 0 0 v0 = l m = l v0 = v0 . m 0 0

v(t) = l m

28


Figura 2.4 Este resultado indica que la expresin para x(t) escrita ms arriba efectivamente o a corresponde al movimiento de una part cula con velocidad constante v0 (i.e., independiente del tiempo). 2. Supongamos ahora que la posicin de una part o cula viene dada por z(t) = z0 1 2 gt , 2

con z0 = 10 m y g = 9,81 m . Al gracar la posicin en funcin del tiempo se encuentra o o s2 la curva (parbola) mostrada en la gura 2.5. a Evaluemos la velocidad en un instante t cualquiera. Usando la ecuacin (2.1), se o obtiene [z0 1 g (t + )2 ] [z0 1 g t2 ] z(t + ) z(t) 2 2 = l m 0 0 1 g (2t + ) g (2t + ) 2 = l m = g t . = l m 0 0 2

v(t) = l m

La gura 2.6 muestra el grco de la velocidad instantnea en funcin del tiempo. a a o Se observa que sta decrece linealmente a medida que transcurre el tiempo. El signo e negativo de la velocidad signica que la part cula se est desplazando en el sentido a negativo del eje z. Sin embargo, el mdulo de la velocidad de la part o cula (magnitud que en algunos textos es denominada rapidez) aumenta a medida que transcurre el tiempo: |v(t)| = g t . El movimiento descrito por la funcin z(t) de este ejemplo corresponde a la ca o da libre de una part cula en el campo gravitacional terrestre y desde una altura z0 .

2.1 Posicin, velocidad y aceleracin o o

29

Figura 2.5

Figura 2.6

Si la velocidad de una part cula cambia a medida que transcurre el tiempo, entonces la part cula tiene una aceleracin. o La aceleracin media (o promedio) que tiene la part o cula durante el intervalo [t1 , t2 ] es igual al cambio de velocidad que ocurre durante el intervalo, dividido por la duracin de ste, es o e decir v(t2 ) v(t1 ) a(t1 , t2 ) = . t2 t1 Para determinar en un instante t la aceleracin instantnea de la part o a cula, evaluamos la aceleracin promedio durante un intervalo muy pequeo que comienza en t. Sea [t, t + ] ese o n intervalo, donde es un tiempo innitesimal (de hecho, al nalizar el clculo nuevamente a tomaremos 0). Entonces a(t, t + ) = v(t + ) v(t) .

Al hacer 0 se obtiene la aceleracin instantnea de la part o a cula (en el instante t). Esta la denotaremos con a(t), x(t) o v(t). Se obtiene a(t) = l m v(t + ) v(t) = x(t) = v(t) . (2.2)

0

De aqu en adelante el trmino aceleracin siempre se referir a la aceleracin instantnea. e o a o a Ejemplos: 1. Para el movimiento rectil neo uniforme, la posicin de una part o cula viene dada por x(t) = x0 + v0 t. Ya hemos visto que, en ese caso, su velocidad es constante e igual a v0 . Demostremos ahora, usando la ecuacin (2.2), que en este caso la part o cula efectivamente no tiene aceleracin. De hecho, o a(t) = l m v(t + ) v(t) v0 v0 = l m = l 0 = 0 . m 0 0

0

30 2.

Cinemtica en una dimensin a o En un ejemplo anterior vimos que la posicin y velocidad de una part o cula que cae libremente bajo la accin de la aceleracin de gravedad terrestre estn dadas por las o o a siguientes ecuaciones 1 2 gt 2

z(t) = z0 y

v(t) = g t . Evaluemos la aceleracin: o a(t) = l m [g (t + )] (g t)] v(t + ) v(t) = l m 0 0 g = l m = l (g) = g . m 0 0

El resultado indica que la aceleracin es constante y negativa. Eso signica que la o part cula acelera en el sentido negativo del eje z. Generalizando, podemos concluir que cuando el grco v(t) en funcin del tiempo t es a o una recta, el movimiento de la part cula corresponde a un movimiento uniformemente acelerado. El caso particular en que la recta es horizontal corresponder a la situacin a o donde la aceleracin es nula. o En el grco x(t) en funcin de t, las aceleraciones se maniestan en la curvatura del a o grco. Se dice que un grco tiene curvatura positiva, si sta tiene la misma oriena a e tacin que la curvatura de un pocillo, y negativa si la curvatura tiene la orientacin o o de la de un paraguas. Si en un grco x(t) vs. t la curvatura es positiva dentro de un cierto intervalo, a entonces tambin lo ser la aceleracin en ese intervalo. Por ejemplo, en la gura 2.5 e a o (que corresponde a la ca libre) la curvatura es negativa, luego tambin lo ser la da e a aceleracin. o 3. Consideremos una part cula de masa m, cuya posicin a medida que transcurre el o tiempo viene dada por z(t) = A cos(t) , donde A y son constantes. Tal movimiento de la part cula es un movimiento oscilatorio peridico. La amplitud de las oscilaciones es A y el per o odo del movimiento (es decir, el tiempo que debe transcurrir hasta que una conguracin se vuelva a repetir) o es T = 2/ . Al inverso de T se le llama frecuencia: = 1/T . A la magnitud se le llama frecuencia angular. Se tiene que = 2.

2.1 Posicin, velocidad y aceleracin o o Evaluemos la velocidad de la part cula: v(t) = l m = = z(t + ) z(t) 0 1 l m [A cos((t + )) A cos(t)] 0 A l m [cos(t) cos() sin(t) sin() cos(t)] 0 A 2 2 l m cos(t) 1 sin(t) () cos(t) 0 2 2 2 A cos(t) sin(t) () l m 0 2 2 l A cos(t) m sin(t) 0 2 A sin(t)

31

= = =

Una vez conocida la velocidad podemos, en forma anloga, calcular la aceleracin: a o a(t) = l m v(t + ) v(t) 0 1 = l m [A sin((t + )) (A) sin(t)] 0 A [sin(t) cos() + cos(t) sin() sin(t)] = l m 0 2 2 A sin(t) 1 + cos(t) sin(t) l m 0 2 2 = l A sin(t) m + cos(t) 0 2 = A 2 cos(t) La gura 2.7 muestra la posicin, velocidad y aceleracin de la part o o cula en funcin o del tiempo.

32 Figura 2.7


Notemos que para todo t, a(t) = 2 z(t). El lector ya familiarizado con la ecuaciones de Newton (que analizaremos recin en el cap e tulo 4) puede establecer una interesante relacin con la Ley de Hooke. En efecto, al hacer uso de la ecuacin de Newton o o F = m a, se encuentra que la fuerza neta que acta sobre la part u cula de masa m debe satisfacer la relacin o F = (m 2 ) z . Denotando a la constante (m 2 ) por k, se tiene F = kz. Esto nos muestra que la fuerza neta sobre la part cula es proporcional al desplazamiento. El signo negativo indica que la direccin en que acta la fuerza es opuesta al desplazamiento. Un ejemplo o u concreto en que aparece una fuerza del tipo F = kz es una masa m colgando de un resorte. En ese caso k es la constante del resorte y a F = kz se le llama Ley de Hooke.

4.

Una persona levanta un peso P , sujetando una cuerda que pasa por una polea y caminando horizontalmente con velocidad v0 . Cul es la a velocidad del peso P ? Supongamos que el largo de la cuerda es 2h (o sea, cuando la persona est en x = 0, el cuerpo P est en a a el suelo encontrndose la cuerda esa tirada). Se tiene Figura 2.8

(h y) + o sea, y(t) =

h2 + x2 = 2h ,

h2 + x2 (t) h =

2 h2 + v0 t2 h .

Para la velocidad obtenemos

2.2 El camino inverso

33

y(t) = v(t) = l m

y(t + ) y(t) 0 1 2 2 = l m h2 + v0 (t + )2 h h2 + v0 t2 h 0 1 2 2 2 2 = l m (h2 + v0 t2 ) + (2v0 t + v0 2 ) h2 + v0 t2 0 = l m 1 0 2 h2 + v0 t2

1+ 1+

2 2 2v0 t + v0 2 2 t2 1 h2 + v0

= l m

1 0

2 h2 + v0 t2

2 2 1 2v0 t + v0 2 1 2 2 h2 + v0 t2

= l m =

2 2 1 1 2v0 t + v0 2 2 0 2 h2 + v0 t2 2 v0 t 2 h2 + v0 t2

Ejercicio: Demuestre que la aceleracin de P viene dada por: o

2 a(t) = y (t) = v0

h22 h2 + v0 t2 3/2

.

2.2.

El camino inverso

En la seccin anterior se present el procedimiento que permite evaluar, partiendo del o o conocimiento de la posicin en funcin del tiempo, la velocidad y luego la aceleracin. En o o o esta seccin analizaremos el camino inverso, es decir, conociendo la aceleracin en funcin o o o del tiempo, calcular la velocidad y posicin. o Suponga que la velocidad de una part cula en funcin del tiempo viene dada por el grco o a mostrado en la gura 2.9.

34


Figura 2.9 Cul ser la distancia recorrida por la part a a cula entre los instantes ti y tf ? Entre esos dos instantes la velocidad de la part cula es constante (igual a v0 ), por lo tanto la distancia recorrida ser x(tf ) x(ti ) = v0 (tf ti ). Podemos escribir a x(tf ) = x(ti ) + v0 (tf ti ) , o sea, si una part cula entre dos instantes (inicial y nal) se mueve a una velocidad constante, entonces la posicin nal es igual a la posicin inicial ms el rea de la funcin v(t) entre o o a a o los instantes ti y tf . Cuando la funcin v(t) no es constante la situacin es ms compleja. Intentemos evaluar o o a la distancia que recorre la part cula entre los instantes t1 y t4 . Como la velocidad no es constante, tomaremos algunas mediciones intermedias, separadas por un intervalo de tiempo t. Entre t1 y t2 la distancia recorrida ser aproximadamente v(t1 ) (t2 t1 ) = v(t1 ) t, a entre t2 y t3 ser v(t2 )(t3 t2 ) = v(t2 )t, y nalmente entre t3 y t4 ser aproximadamente a a v(t3 ) (t4 t3 ) = v(t3 ) t. La distancia total recorrida ser aproximadamente a3

x(t4 ) x(t1 )j=1

v(tj ) t ,

(2.3)

donde t = (t4 t1 )/3. Observe que el lado derecho de la ecuacin (2.3) es igual al o a rea de los rectngulos mostrados en la gura 2.10. Evidentemente el resultado anterior es a slo aproximado: hemos tomado 3 mediciones intermedias y hemos supuesto que entre las o mediciones la velocidad es constante (igual al valor de la ultima medicin). Tambin es claro o e que si aumentamos el nmero de mediciones intermedias obtendremos un resultado ms u a preciso. Para un nmero muy grande (innito) de mediciones intermedias, el procedimiento u ser exacto; en ese caso el rea de los rectngulos ser igual al rea entre la funcin v(t) a a a a a o y el eje . De esta manera hemos encontrado un resultado completamente general: t x(tf ) = x(ti ) + (Area entre v(t) y el eje t entre t = ti y tf ) . (2.4)

Otra manera de proceder es la siguiente: dividir el intervalo [ti , tf ] en much simos (innitos) intervalos de ancho dt. Entonces v(t)(dt) es igual a la distancia recorrida entre los instantes

2.2 El camino inverso

35

t y t + dt. Para obtener la distancia recorrida entre ti y tf , habr que sumar todas las a contribuciones. Se tiene entonces quetf

x(tf ) = x(ti ) +ti t

v(t) dt .

(2.5)

a a mbolo desde t = ti El s mbolo tif signica sume las contribuciones que estn detrs del s hasta t = tf . Por supuesto quetf ti

v(t) dt = (Area delimitada por v(t) y el eje t entre t = ti y tf ) .

Ejemplos: 1. Movimiento uniforme: Consideremos una part cula cuya velocidad es constante v(t) = v0 en todo instante. Si la part cula en el instante t = 0 se encuentra en xi , dnde se encontrar en el o a instante t? Usando la ecuacin (2.4) se obtiene o x(t) = x(0) + Area entre v0 y el eje t, entre t = 0 y t .

= x(0) + v0 t 2. Movimiento uniformemente acelerado: Consideremos una part cula cuya velocidad viene dada por v(t) = v0 + a0 t , (ver gura 2.10). Observe que v0 es la velocidad de la part cula en el instante t = 0. Al calcular la aceleracin se encuentra que o a(t) = l m v(t + ) v(t) = a0 ,

0

o sea, la expresin para la velocidad corresponde a una part o cula que en todo instante sufre una aceleracin constante a0 . o Encontremos el desplazamiento entre los instantes t = 0 y el instante t = tf . Usando la ecuacin (2.4) se obtiene o x(tf ) = x(0) + Area entre v(t) y el eje t, entre t = 0 y t = tf 1 = x(0) + v0 tf + (v(tf ) v0 ) tf 2 1 = x(0) + v0 tf + a0 t2 . f 2

36


Figura 2.10 Conociendo la posicin x(t) de una part o cula, siempre es posible determinar su velocidad. El rec proco no es cierto: si se conoce la velocidad v(t) no es posible determinar la posicin; o lo unico que se puede determinar es el desplazamiento entre dos instantes. En otras pala bras, si conocemos v(t), debemos conocer adems la posicin en algn instante para poder a o u determinar x(t). Las relaciones que permiten obtener la velocidad si se conoce la aceleracin a(t), son anloo a gas a las que relacionan la posicin con la velocidad: o v(tf ) = v(ti ) + Area entre a(t) y el eje t entre t = ti y tf .

(2.6)

o v(tf ) = v(ti ) +

tf

a(t) dt .ti

(2.7)

Ejemplo: Movimiento uniformemente acelerado. Suponga que la aceleracin de una part o cula es constante (a(t) = a0 , t). Usando (2.6) se deduce que v(t) = v(0) + a0 t . Haciendo uso del resultado obtenido en el ejemplo anterior se obtiene nalmente que 1 x(t) = x(0) + v(0) t + a0 t2 . 2 Observe que x(0) y v(0) son la posicin y la velocidad de la part o cula en el instante t = 0.

2.3.

Mximos y m a nimos

Considere una funcin f (t) suave (o sea, sin saltos ni puntas). Ya sabemos (ver ultimo o (t) est relacionado con la pendiente de las tangentes problema de la seccin anterior) que f o a

2.4 Problemas

37

de la funcin f (t). Observemos que para valores de t en los cuales f(t) = 0, la funcin f (t) o o tiene un mximo o m a nimo (local). Tambin podemos invertir la argumentacin: encontrar e o los mximos y m a nimos de una funcin f (z) es equivalente a encontrar los ceros de la funcin o o derivada f (z + ) f (z) g(z) = l m . 0

Ejemplo: Suponga que un agricultor tiene L metros de malla para construir un corral rectangular. El agricultor desea aprovechar una muralla de piedra (recta) para obtener un corral mayor. Qu dimensioe nes deber tener el corral para que su rea a a sea mxima? a Figura 2.11 Solucin: Sean a y b los largos del gallinero (ver gura 2.11). El largo de la malla es o L = 2a + b, mientras que el rea del gallinero es A = a b. Despejando b de la primera a ecuacin y sustituyndolo en la segunda se obtiene: o e A = a (L 2a) . El rea es una funcin de a. Tanto para a = 0 como para a = L/2 se tiene que A = 0. a o Para algn valor intermedio el rea del gallinero ser mxima. Para resolver el problema u a a a debemos encontrar el mximo de la funcin f (a) = a (L 2a). Para ello encontremos los a o ceros de la funcin derivada o g(a) = l m0

1 f (a + ) f (a) = l m [(a + ) (L 2(a + )) a (L 2a)] = L 4a . 0

La funcin g(a) tiene un (nico) cero para a = L/4. Luego para ese valor de a el rea del o u a gallinero ser mxima. a a

2.4.1.

ProblemasSuponga que la altura de cierto proyectil en funcin del tiempo viene dada por la o relacin z(t) = a0 (t t0 )2 + z0 , con z0 = 125 m, t0 = 5 s y a0 = 5 m/s2 . o a) b) c) Graque la altura del proyectil en funcin del tiempo desde t = 0 hasta t = 12 s. o En qu instante choca el proyectil contra el suelo? e Encuentre grcamente la velocidad instantnea (es decir, mida las pendientes a a de las tangentes) en los instantes t=0 s, t=2 s, t=4 s, t=6 s, t=8 s y t=10 s. Graque su resultado.

2.

Un conductor maneja su coche 10 km a una velocidad de 90 km/h y luego otros 10 km a 70 km/h. Cul es la rapidez promedio durante el trayecto de 20 km? a (La respuesta no es 80 km/h.)

38 3.

Cinemtica en una dimensin a o La gura 2.12 muestra la posicin de una part o cula en funcin del tiempo. Encuentre o la velocidad promedio durante los siguientes intervalos de tiempo: a) b) c) d) 0s < t

introducción a la mecánica - massmann

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