UniversidadNacionaldeCuyoFacultaddeIngenieraIngenieraCivil

HIDROLOGIAI

UNIDAD9:ESTADSTICAAPLICADAALAHIDROLOGA

Ing.CarlosD.SEGERERIng.Esp.RubnVILLODAS

2007

NDICEDETEMAS

UNIDAD9:ESTADSTICAAPLICADAALAHIDROLOGA................................................................................9-1TEMA9.a:CONCEPTOSGENERALES..........................................................................................................9-19.a.1.IMPORTANCIAENHIDROLOGA.................................................................................................9-19.a.2.CORRELACINYREGRESIN...................................................................................................9-29.a.2.i.ConceptosGenerales................................................................................................................9-29.a.2.ii.RegresinyCorrelacinLineal.................................................................................................9-2TEMA9.b:TRATAMIENTOPROBABILSTICODELAINFORMACINHIDROLGICA..............................9-69.b.1.FUNCIONESDEFRECUENCIAYPROBABILIDAD.....................................................................9-79.b.2.ANLISISDEFRECUENCIA.......................................................................................................9-149.b.3.TIEMPODERECURRENCIAOPERODODERETORNO........................................................9-149.b.4.SERIESDEINFORMACINHIDROLGICA..............................................................................9-16TEMA9.c:MTODOSESTADSTICOSPARAESTIMARVALORESEXTREMOS.....................................9-199.c.1.PLANTEAMIENTO........................................................................................................................9-199.c.2.DATOSAUTILIZAR.....................................................................................................................9-199.c.3.LEYESDEDISTRIBUCINDEVALORESEXTREMOS............................................................9-209.c.3.i.DistribucindeGumbel...........................................................................................................9-209.c.3.ii.DistribucinLog-PearsonIII....................................................................................................9-219.c.4.DETERMINACIONDELHIDROGRAMADELACRECIDADEDISEO....................................9-219.c.5.GRFICASDEPROBABILIDAD..................................................................................................9-229.c.5.i.PapeldeProbabilidad..............................................................................................................9-229.c.5.ii.PosicionesdeGraficacin.......................................................................................................9-23

NDICEDEFIGURAS

Figura70.SituacinRelativadeRectasdeRegresin........................................................................................9-2Figura71.SubconjuntosdelEspacioMuestral(EM)............................................................................................9-6Figura72.DiagramasdeRegistrosAnualesysuCorrespondienteHistogramadeFrecuencias........................9-8Figura73.FuncindeFrecuenciaRelativa(Muestra)..........................................................................................9-9Figura74.FuncindeFrecuenciaAcumulada(Muestra).....................................................................................9-9Figura75.FuncindeDistribucindeProbabilidad(Poblacin)..........................................................................9-9Figura76.FuncindeDensidaddeProbabilidad(Poblacin)............................................................................9-10Figura77.FuncionesdeFrecuenciasyProbabilidad.........................................................................................9-11Figura78.FuncindeDensidaddeProbabilidadNormal..................................................................................9-12Figura79.FuncindeDensidaddeProbabilidadLognormal.............................................................................9-13Figura80.FuncindeDensidaddeProbabilidadGamma.................................................................................9-13Figura81.IntrvalosdeRecurrenciatparaQ300m/s...............................................................................9-15Figura82.SeriedeDuracinCompleta74aos-26654valores..................................................................9-16Figura83.SeriedeDuracinParcial74aos-652valoresmayoresa90m/s............................................9-17Figura84.SeriedeExcedenciaAnual74aos-74valoresmayoresa134m/s..........................................9-17Figura85.SeriedeValoresExtremosAnual74aos74valores,losmximosdecadaao.....................9-18Figura86.DeterminacindelHidrogramadeunaCrecidadeRecurrenciaTr...................................................9-22

NDICEDECUADROS

Cuadro13:RangoAplicabilidaddelCoeficientedeCorrelacin............................................................................9-5Cuadro14:DimensionesyRangosdelaFuncionesdeFrecuenciayProbabilidad............................................9-12Unidad99-1

UNIDAD9:ESTADSTICAAPLICADAALAHIDROLOGA

TEMA9.a:CONCEPTOSGENERALESEnelcampodelainvestigacincientficaescomnlainquietudporintentarexpresarlaevolucindeundeterminadofenmenomedianteunaseriedemedidas,quelatraduzcanallenguajedelosnmeros.Altranscurrireltiempo,elinvestigadortropiezaconladificultaddeencontrarseenposesindeunagrancantidaddedatosque,perdidasuactualidad,serndemuypocoprovechosinosonsometidosauntratamientoadecuado.Laestadsticaseconstituyeentoncesenunaherramientaindispensableparaefectuarestetratamiento,afindeobtenerlamximautilidadenlasaplicacionesprcticasapartirdelosregistrosdediversotipodequesedispone(enespecialcaudalesyprecipitaciones).SonnumerosaslasdefinicionesdeEstadstica,nocorrespondiendoaqupresentarsunminanielegirunaqueresulteidnea.Sencambio,convienedistinguirdosramasquehanevolucionadoenformaseparada:a)EstadsticaDescriptivaEslaqueintentaobtenertodalainformacinposibledelosdatosrecogidos,mediantesuadecuadoordenamiento.Sonproductodeellalasclasificacionesdedatosenformadetablas,procesamientoyarchivomedianteprogramasdecomputacin,etc.b)EstadsticaMatemticaPretendeirmslejos,basndoseencomparacionesdelfenmenoconmodelosprobabilsticostericos,afindeobtenerunainformacinquenoresultaevidenteconelsimpleordenamientodelosdatos.Enestecamposehadesarrolladounateoramatemtica,avecesmuycompleja,basadaenlaTeoradeProbabilidades,delaquelaEstadsticaMatemticapuedeconsiderarsecomounaaplicacinprctica.

9.a.1.IMPORTANCIAENHIDROLOGALosdosconceptosexpuestosenelapartadoanteriorsondeimportanteaplicacinenelcampodelaHidrologa,sobretodoladesuperficie,porcorresponderaellalosciclosmsrpidosdecirculacindelagua.LamayoradelascausasqueactanenloscicloshidrolgicossuperficialessondecarctermeteorolgicoylapropiaMeteorologasedesarrollafundamentalmenteatravsdelaEstadstica,yaqueesmuydifcilllegaraunestudiomatemticoyprecisodelosproblemasfsicosquecondicionanlosfenmenoshidrolgicos.Sinembargo,comoloscaudalesdelosrosysuscaucesconstituyenuncomplejo,menoscomplicadoyamplio,quelaatmsfera,esmsfcilyviableestudiarestadsticamentelosrosatravsdesusestacionesdeaforo,almenosenloscursosprincipales.Portanto,laMeteorologaysuestadsticaaplicadaseutilizanparaextrapolardondelosaforosnopuedenalcanzar,portratarsederospequeosparalosquenopuedepretendersequecadaunotengasupropiaestacindeaforo,oparaampliarlaextensindelasseries,puestoquenormalmenteesmsantigualaestadsticameteorolgicaqueladeaforos.Larecopilacindedatoshidrolgicos,ysuordenamientoestadstico,tienencomofinprcticosuaplicacinparadimensionar,conelmayoraciertoposible,lasobrasquehandeutilizarlosrecursoshdricos(embalses,presas,captaciones,obrasdeconduccin,centraleshidroelctricas,etc.)ypreverelrgimendeexplotacin,demaneraqueseobtengaelmayorbeneficioposibledelasinstalacionesconstruidas.Sesuponesiempreque,enelfuturo,elrgimenhidrolgicodeunrotendrciertarelacinconelpasadoyseprocuraobtener,delconocimientodelaestadsticadecaudales,referenciasparapreverdentrodeciertosmrgenesdeseguridad,elrgimendecaudalesquepuedapresentareenelfuturo.

UniversidadNacionaldeCuyoFacultaddeIngenieraCtedra:HidrologaI

xsobreyortogonal

ysobrex

yUnidad99-29.a.2.CORRELACINYREGRESIN

9.a.2.i.ConceptosGeneralesEnlamayorpartedelosestudiosestadsticossepresentaelproblemadepredecirlosvaloresquepuedetomarunadeterminadavariable.Elplanteodelmtododesolucinpuederealizarsedevariasformas.Enocasionessetratadecompletar,odeampliar,unaseriededatosdelavariableproblemaapartirdeseriesdedatosdeuna,oms,variablesqueestnrelacionadasconaqulladealgunamanera.Enotraspalabras,setratasimplementedeconseguirunciertoconocimientosobrelosfactoresqueinfluyenenelvalordelavariableproblema,conelfindepoderrealizarhiptesisadecuadassobresusvaloresdesconocidos.Estosdosaspectossontratadosporlacorrelacinylaregresin,respectivamente.Esimportantedestacarelhechodequelaaplicacindeambosmtodosnoproporcionaporsmismaningunainformacindeltipocausa-efecto,yaquelosresultadosexpresannicamenterelacionesnumricasentrelasvariablesestudiadas.Sinembargo,apartirdeestasrelacionessepuedellegaraconclusionesdeaqultipo,porloquelafinalidadprimordialdeestosmtodosesaveriguarlosgruposdevariablesquepuedenestudiarseconjuntamenteyhallarseinterrelacionadas.Ladiferenciaentreregresinycorrelacinpuedeaclararsemediantelassiguientesconsideraciones:unproblemaderegresinconsideraladistribucindefrecuenciasdeunavariable(dependiente),cuandostauotrasvariables(independientes)sesuponenconocidas.unproblemadecorrelacin,porsuparte,consideralavariacinconjuntadedosvariablessinqueseapliquenrestriccionesaningunadeellas.Portanto,lacorrelacinobtieneelgradodeafinidadentredosvariables,representadonumricamenteporelcoeficientedecorrelacin,mientrasquelaregresinobtieneunaecuaciny=f(x)quepermitecalcularvaloresdelavariabledependienteyapartirdelaindependientex.

9.a.2.ii.RegresinyCorrelacinLinealEslateoraqueestudialarelacinlinealqueexisteentredosvariables,despreciandotodaposibleinfluenciadeotrasvariablesdistintas.

PlanteamientoTericoDadounconjuntodeparesdevalorescorrespondientesadosvariablesxey,laleymssencilladeregresinocorrelacinentreambaseslalineal:Figura70.SituacinRelativadeRectasdeRegresin

22.0017.6013.208.804.400.0004.48.8x13.217.622UniversidadNacionaldeCuyoFacultaddeIngenieraCtedra:HidrologaI

Unidad99-3

/176/

y=a+m*x

Larectadebesertalqueelmomentodesegundoordendelamasadepuntosdelplanoxy,conrespectoalamisma,seamnimo,esdecirquedebeserlolasumadeloscuadradosdelasdistanciasdetalespuntosalarecta.Estacondicinpermitirdeterminarlosparmetrosmyndelaecuacindelarecta,consloobtenerlasderivadasparcialesdedichasumarespectoambosparmetroseigualarlasacero.Ahorabien,puedenconsiderasetrescasos:i.quesemidanlasdistanciasdelospuntosalarectaparalelamentealejedelasy(regresinlinealdeysobrex)ii.paralelamentealejedelasx(regresinlinealdexsobrey)iii.operpendicularmentealapropiarecta(regresinortogonal)LosmomentosdeinerciamnimossernrespectivamenteIy,Ix,eI0.Deestoscasossetratarnicamenteeltercero,porsereldemayoraplicacinprctica,prescindiendodelasdemostracionesmatemticasinherentes,porlacomplejidadquelasmismaspresentan.

ParmetrosaUtilizar

ValorMedioElvalormediooesperanzamatemticadeunavariablealeatoriaeselcentrodegravedaddelamasadedistribucin.Enlacorrelacinlineal,losvaloresmediosdelasvariablesxey,estndadaspor:

xiyi/177/

x=

n

i=1n

;y=

n

i=1n

VarianzayCovarianzaLavarianzasedefinecomoelmomentodeinerciadelamasadedistribucin,siendolacovarianzaelmomentocentrfugo.Lavarianzaenxeyser:

(xix)(yiy)/178/

2x=

n

i=1

n

2

;2y=

n

i=1

n

2

(xix)*(yiy)ylacovarianza:

/179/

xy=

n

i=1

n

DesviacinTpicaLadesviacintpicaodesviacinstandardodesvomediocuadrtico,selodefinecomolarazcuadradapositivadelavarianza:

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