cap.3 hidrologia estadistica funciones teoricas

HIDROLOGÍA INC5101

CAPÍTULO 3. HIDROLOGÍA ESTADÍSTICA. PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE Y

FUNCIONES TEÓRICAS.

Dr. Enrique MuñozDepartamento de Ingeniería CivilUniversidad Católica de la Santísima Concepció[email protected]://civil.ucsc.cl/academicos/emunoz.html

mailto:[email protected]

http://civil.ucsc.cl/academicos/emunoz.html

FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN TEÓRICAS

DISTRIBUCIONES TEÓRICAS COMÚNMENTE UTILIZADAS EN HIDROLOGÍA.

– D. NORMAL– D. LOG-NORMAL DE 2 Ó 3 PARÁMETROS– D. GAMMA DE 2 Ó 3 PARÁMETROS– D. LOG-PEARSON TIPO III– D. GUMBEL– D. LOG-GUMBEL


CÓMO O PORQUÉ UTILIZAR UNA FUNCIÓN TEÓRICA EN UN PROBLEMA EN PARTICULAR EN HIDROLOGÍA?

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS

REGISTRO DE DATOS

SELECCIÓN DE UN FUNCIÓN TEÓRICA

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE

UTILIZAR FUNCIÓN ELEGIDA CON FINES PREDICTIVOS O DE TOMA DE DECISIÓN

AJUSTE OKNO SÍ


DISTRIBUCIÓN NORMAL


DISTRIBUCIÓN NORMAL

O LA FDA DE LA F. NORMAL ESTÁNDAR


DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR


DISTRIBUCIÓN NORMAL - PARÁMETROS


DISTRIBUCIÓN LOG-NORMAL– LOS LOGARITMOS DE LOS DATOS SE DISTRIBUYEN NORMAL.– “SI LA VARIABLE ALEATORIA X TIENE UNA DISTRIBUCIÓN LOG-

NORMAL, ENTONCES LA VARIABLE ALEATORIA Y = LOG(X) SE DISTRIBUYE NORMAL”.

– ESTA FUNCIÓN TAMBIÉN SE DENOMINA LOG-NORMAL DE DOS PARÁMETROS (MEDIA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR, O DE POSICIÓN Y DE ESCALA RESPECTIVAMENTE).

– TAMBIÉN EXISTE LA FUNCIÓN LOG-NORMAL DE TRES PARÁMETROS, LA CUAL ADEMÁS CONSIDERA UN PARÁMETRO DE POSICIÓN X0.


DISTRIBUCIÓN LOG-NORMAL DE TRES PARÁMETROS– CONSIDERA UN TERCER PARÁMETRO DE POSICIÓN EL CUAL

ESTABLECE UN LÍMITE INFERIOR DE LA FUNCIÓN.


DISTRIBUCIÓN LOG-NORMAL DE TRES PARÁMETROS – PARÁMETROS

COEFICIENTE DE SESGO

DONDE LOS PARÁMETROS DE LA FUNCIÓN LOG-NORMAL DE TRES PARÁMETROS SON


DISTRIBUCIÓN GAMMA


DISTRIBUCIÓN GAMMA - PARÁMETROS


DISTRIBUCIÓN GAMMA DE TRES PARÁMETROS - PEARSON– CONSIDERA ADEMÁS UN PARÁMETRO DE POSICIÓN X0.


DISTRIBUCIÓN GAMMA DE TRES PARÁMETROS - PEARSON


DISTRIBUCIÓN LOG-PEARSON TIPO III– UNA FUNCIÓN SE DISTRIBUYE LOG-PEARSON3 SI LOS LOGARITMOS

DE LOS DATOS SE DISTRIBUYEN PEARSON3.


DISTRIBUCIÓN GUMBEL– CORRESPONDE A UNA FUNCIÓN DE VALORES EXTREMOS. TAMBIÉN

SE DENOMINA FVE TIPO I O DE FISHER.


DISTRIBUCIÓN GUMBEL – PARÁMETROS

– LA FUNCIÓN GUMBEL SE UTILIZA GENERALMENTE PARA TRABAJAR CON VALORES EXTREMOS COMO CAUDALES Y PRECIPITACIONES MÁXIMAS ANUALES.


DISTRIBUCIÓN LOG-GUMBEL– UNA SERIE DE DATOS SE DISTRIBUYE LOG-GUMBEL, SI LOS

LOGARITMOS DE LOS DATOS SE DISTRIBUYEN GUMBEL.

EJERCICIO

PARA LOS DATOS ENTREGADOS CONSTRUIR EL HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS RELATIVAS Y ACUMULADAS Y CALCULAR LOS CAUDALES DE 5, 10, 20, 50 Y 100 AÑOS DE PERÍODO DE RETORNO UTILIZANDO LAS FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN NORMAL, LOG-NORMAL, LOG-NORMAL3, GAMMA, LOG-GAMMA, PEARSON, LOG-PEARSON, GUMBEL, LOG-GUMBEL.

ENTREGA 30 DE MAYO DE 2013. MÁX. 2 PERSONAS POR TAREA. DEFINIR DISTRIBUCIÓN DE GRUPOSEN CLASES (1 GRUPO POR MES). EVAL. 40% TAREA 6.

TAREA PARTE 1 DE 2

1. PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE

• LAS PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE SE UTILIZAN PARA COMPROBAR GRÁFICA Y ESTADÍSTICAMENTE SI LA FRECUENCIA EMPÍRICA DE LA SERIE ANALIZADA SE AJUSTA A UNA DETERMINADA FUNCIÓN DE PROBABILIDADES TEÓRICA (SELECCIONADA A PRIORI), CUYOS PARÁMETROS QUE CARACTERIZAS DICHA DISTRIBUCIÓN SON ESTIMADOS EN BASES A VALORES MUESTRALES.

• TÉCNICAMENTE, LAS PRUEBAS ESTADÍSTICAS TIENEN COMO OBJETIVO MEDIR LA CERTIDUMBRE QUE SE OBTIENE AL HACER UNA HIPÓTESIS ESTADÍSTICA SOBRE UNA POBLACIÓN, ES DECIR, VALIDAR O CLASIFICAR EL HECHO DE ASUMIR QUE UNA VARIABLE ALEATORIA (MUESTRA) SE DISTRIBUYE DE ACUERDO A UNA FUNCIÓN DE PROBABILIDADES TEÓRICA (POBLACIÓN).

• EN ESTE CURSO SE ANALIZARÁN COMO PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE LAS SIGUIENTES PRUEBAS:

− AJUSTE GRÁFICO (PDF Y CDF)− TEST CHI-CUADRADO (NO PARAMÉTRICO)− TEST K-S (NO PARAMÉTRICO).


1.1. AJUSTE GRÁFICOEL AJUSTE GRÁFICO SE PUEDE REALIZAR DE LAS SIGUIENTES FORMAS:− COMPARACIÓN HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS RELATIVAS VS FUNCIÓN DE

DENSIDAD TEÓRICA. A PARTIR DE DICHA COMPARACIÓN SE PUEDE OBTENER UNA OPINIÓN CUALITATIVA RESPECTO DEL NIVEL DE AJUSTE, COHERENCIA ENTRE LA MUESTRA Y LA FUNCIÓN TEÓRICA SELECCIONADA (ANALIZADA) Y ZONAS DE “ADECUADO”/”MAL” NIVEL DE AJUSTE ENTRE SERIE Y FUNCIÓN TEÓRICA.

0 1000 2000 3000 4000 5000 60000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

(a) Normal0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

(b) EV o Gumbel


• 1.1. AJUSTE GRÁFICOEL AJUSTE GRÁFICO SE PUEDE REALIZAR DE LAS SIGUIENTES FORMAS:− COMPARACIÓN FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA CON

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS ACUMULADAS. AL IGUAL QUE EL CASO ANTERIOR, PERMITE IDENTIFICAR AQUELLAS ZONAS DONDE SE TIENE UN “BUEN” O “MAL” AJUSTE. EN ESTE CASO SE CONTRASTAN PROBABILIDADES ACUMULADAS, POR LO QUE SU INTERPRETACIÓN ES DE LECTURA MÁS FÁCIL PARA EL CASO DE PROBABILIDADES DE OCURRENCIA O EXCEDENCIA. DESDE ESTE PUNTO DE VISTA PERMITE IDENTIFICAR AQUELLAS ZONAS DONDE LAS PROBABILIDADES DE LA SERIE SE ALEJAN CON LA DE LA FUNCIÓN TEÓRICA SELECCIONADA.


1.2. AJUSTE ESTADÍSTICO PRUEBA CHI-CUADRADO (Χ2). LA PRUEBA CHI-CUADRADO SE BASA EN LA

COMPARACIÓN O CÁLCULO DE LAS FRECUENCIAS TANTO OBSERVADAS COMO ESPERADAS (CALCULADA DE ACUERDO CON LA HIPÓTESIS NULA FORMULADA) PARA UN NÚMERO DETERMINADO DE INTERVALOS. ESTA PRUEBA PERMITE DETERMINAR SI LOS DATOS MUESTRALES SE AJUSTAN A UNA DETERMINADA DISTRIBUCIÓN TEÓRICA. PERMITE ANALIZAR TANTO DISTRIBUCIONES DISCRETAS COMO CONTINUAS.

DONDE VALOR CALCULADO DE CHI-CUADRADO A PARTIR DE LOS DATOS. NÚMERO DE VALORES OBSERVADOS EN EL INTERVALO DE CLASE I. NÚMERO DE VALORES ESPERADOS EN EL INTERVALO DE CLASE I. NÚMERO DE INTERVALOS DE CLASE.


EL VALOR OBTENIDO DE REFLEJA LA SUMA DE LAS DIFERENCIAS ENTRE LAS FRECUENCIAS RELATIVAS DEL HISTOGRAMA (MUESTRA) CON LOS VALORES DE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD TEÓRICA DE LOS DIFERENTES INTERVALOS DE CLASE. ESTO TAMBIÉN PUEDE SER INTERPRETADO COMO LA SUMA DE LAS DIFERENCIAS ENTRE LAS PROBABILIDADES DE OCURRENCIA (PROBABILIDADES ACUMULADAS) DE LOS DIFERENTES INTERVALOS DE CLASE.

COMO CRITERIO DE DECISIÓN SE COMPARA EL VALOR OBTENIDO CON UN VALOR LÍMITE QUE DEPENDE DE LA DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO, DEL NIVEL DE SIGNIFICANCIA (Α) ELEGIDO Y DE LOS GRADOS DE LIBERTAD (GL). SI SE ACEPTA LA HIPÓTESIS NULA, Y POR LO TANTO SE ASUME QUE LOS DATOS MUESTRALES SIGUEN LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN TEÓRICA PRE-SELECCIONADA. DE LO CONTRARIO SE ACEPTA LA HIPÓTESIS ALTERNATIVA (LOS DATOS NO SIGUEN LA FUNCIÓN TEÓRICA PRE-SELECCIONADA).

PROBABILIDAD DE RECHAZAR LA HIPÓTESIS NULA CUANDO ESTA ES VERDADERA. EL COMPLEMENTO, (1- Α) SE DENOMINA EL NIVEL DE CONFIANZA Y SE TRADUCE EN LA PROBABILIDAD DE ACEPTAR LA HIPÓTESIS NULA CUANDO ESTA ES VERDADERA.


VENTAJAS Y LIMITACIONES:– EN LA PRÁCTICA SE UTILIZA PARA CUALQUIER FUNCIÓN TEÓRICA,

PERO ESTRICTAMENTE ES VÁLIDA SÓLO PARA LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL, PUESTO QUE FUE DESARROLLADA EN BASE A DATOS NORMALES E INDEPENDIENTES.

– LA PRUEBA SE REALIZA SOBRE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD.– REQUIERE DE UN CONOCIMIENTO A PRIORI DE LA FUNCIÓN A

COMPARAR.– ES DE FÁCIL APLICACIÓN.– PARA SU VALIDEZ, REQUIERE QUE LA FRECUENCIA ABSOLUTA SOBRE

CADA CLASE SEA MAYOR O IGUAL QUE 5 DESVENTAJA. REQUIERE GRAN CANTIDAD DE INFORMACIÓN PUESTO QUE COMPARA EL HISTOGRAMA MUESTRAL CON EL TEÓRICO.


• EJEMPLO: ANALICE SI LA SERIE DE CAUDALES MEDIOS ANUALES INDICADOS EN LA TABLA 1 SE AJUSTAN A UNA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL. ¿Y A UNA FUNCIÓN DE VALORES EXTREMOS TIPO I?

Tabla 1. Serie de caudales medios anuales.

AñoCaudal

(m3/s)Año

Caudal

(m3/s)Año

Caudal

(m3/s)Año

Caudal

(m3/s)1971 121.3 1981 79 1991 52.3 2001 144.71972 144.9 1982 76.9 1992 36.3 2002 109.21973 142.4 1983 110.1 1993 88 2003 48.51974 205.8 1984 95.6 1994 122.4 2004 59.61975 114.5 1985 48.8 1995 162.1 2005 40.31976 72.5 1986 148.3 1996 97.2 2006 112.21977 26.7 1987 67.5 1997 52.5 2007 137.11978 92.8 1988 70 1998 165.6 2008 32.91979 58.8 1989 63.4 1999 64.21980 57.4 1990 76.3 2000 110.2


• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS (IZQ) Y RELATIVAS (DCHA). ADEMÁS EN EL GRÁFICO DE LA DERECHA SE SUPERPONE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD DE UNA FUNCIÓN NORMAL CON MEDIA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE LA MUESTRA. D INDICA LA DIFERENCIA QUE BUSCA MEDIR LA PRUEBA CHI-CUADRADO.


PRUEBA DE KOLMOGOROV-SMIRNOV (K-S TEST). EL K-S TEST CONSISTE COMPARAR LAS DIFERENCIAS QUE EXISTEN ENTRE LA PROBABILIDAD LA PROBABILIDAD EMPÍRICA (DE LOS DATOS DE LA MUESTRA) CON LA PROBABILIDAD TEÓRICA DE LA FUNCIÓN PRE-SELECCIONADA. UTILIZA COMO VALOR DE COMPARACIÓN LA MÁXIMA DIFERENCIA EN VALOR ABSOLUTO DE LA PROBABILIDAD EMPÍRICA Y TEÓRICA, Y LUEGO DICHO VALOR SE COMPARA CON UN VALOR LÍMITE QUE PROVIENE DE LA FUNCIÓN K-S. LA EXPRESIÓN QUE DEFINE DICHA DIFERENCIA ES LA SIGUIENTE.

DONDE ES EL ESTADÍSTICO DE COMPARACIÓN, LA PROBABILIDAD DE LA FUNCIÓN TEÓRICA Y LA PROBABILIDAD EXPERIMENTAL O EMPÍRICA (DE LA MUESTRA).

UNA FORMA RECOMENDAD PARA CALCULAR LA PROBABILIDAD EXPERIMENTAL O EMPÍRICA ES MEDIANTE LA FÓRMULA DE WEIBULL.

AL COMPARAR PROBABILIDADES OPERA DIRECTAMENTE SOBRE LAS CURVAS DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA EMPÍRICA Y TEÓRICA.


DONDE M CORRESPONDE AL NÚMERO DE ORDEN Y N AL NÚMERO DE DATOS.

LUEGO ES NECESARIO CONOCER EL VALOR QUE TOMARÍA LA FUNCIÓN TEÓRICA EN EL MISMO VALOR X, Y QUE CARACTERIZA MEDIANTE LOS PARÁMETROS MEDIA, DESVIACIÓN ESTÁNDAR, COEFICIENTE DE ASIMETRÍA, ETC. VALORES OBTENIDOS DE LA MUESTRA. CON ESTO SE ASUME QUE LA DISTRIBUCIÓN TEÓRICA TIENE LOS MISMOS PARÁMETROS QUE LA MUESTRA DE DATOS UTILIZADA.

CONOCIDO EL VALOR DE , ES NECESARIO COMPARARLO CON UN VALOR LÍMITE () QUE DEPENDE DE LA FUNCIÓN K-S, DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA Y DEL NIVEL DE SIGNIFICANCIA (Α). SI SE ACEPTA LA HIPÓTESIS NULA CON EL NIVEL DE SIGNIFICANCIA Α. ES DECIR SE ACEPTA QUE LOS DATOS MUESTRALES SIGUEN LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN PRESELECCIONADA. DE LO CONTRARIO SE ACEPTA LA HIPÓTESIS ALTERNATIVA (LOS DATOS NO SIGUEN LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN PRESELECCIONADA) Y POR LO TANTO SE DEBE PROBAR CON UNA FUNCIÓN TEÓRICA DIFERENTE.


PARA MUESTRAS DE MÁS DE 35 DATOS, EL ESTADÍGRAFO LÍMITE DE KOLMOGOROV-SMIRNOV SE PUEDE CALCULAR SEGÚN LAS SIGUIENTES FÓRMULAS.

VENTAJAS Y LIMITACIONES:– NO REQUIERE UN CONOCIMIENTO A PRIORI DE LA FUNCIÓN DE

DISTRIBUCIÓN TEÓRICA.– NO REQUIERE HACER INTERVALOS DE CLASE, LO QUE SIMPLIFICA SU

UTILIZACIÓN. SE APLICA SOBRE LA CDF Y NO SOBRE LA PDF COMO EL CASO DE CHI-CUADRADO.

– ES VÁLIDO PARA CUALQUIER FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN. EJEMPLO: ANALICE SI LA SERIE DE CAUDALES MEDIOS ANUALES

INDICADOS EN LA TABLA 1 SE AJUSTAN A UNA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL. ¿Y A UNA FUNCIÓN DE VALORES EXTREMOS TIPO I?

α = 0.20 α = 0.15 α = 0.10 α = 0.05 α = 0.01


CURVAS DE FRECUENCIAS ACUMULADAS (MUESTRAL) Y DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA (TEÓRICA, NORMAL). D INDICA LA DIFERENCIA QUE BUSCA MEDIR LA PRUEBA K-S.

2. APLICACIÓN DE MODELOS PROBABILÍSTICOS A FENÓMENOS

HIDRO-METEOROLÓGICOS

EL USO DE FUNCIONES DE PROBABILIDAD TEÓRICAS Y SU POSTERIOR APLICACIÓN DE MODELOS PROBABILÍSTICOS A FENÓMENOS HIDROMETEOROLÓGICOS NORMALMENTE SE UTILIZA PARA EXTENDER EL RANGO DE APLICABILIDAD DE LA SERIE DE DATOS OBSERVADOS (MUESTRA). ES DECIR, PARA TRABAJAR CON PROBABILIDADES DE EXCEDENCIA Y OCURRENCIA QUE NO ES POSIBLE DE DETERMINAR A TRAVÉS DE LA MUESTRA.

POR EJEMPLO, SI SE TIENE UNA MUESTRA DE 30 AÑOS DE DATOS DE CAUDAL MÁXIMO INSTANTÁNEO (SERIE DE MÁXIMOS ANUALES), Y ESTOS SE ORDENAN DE MENOR A MAYOR, EL MENOR DATO HA SIDO IGUALADO O SUPERADO 30 VECES EN 30 AÑOS, POR LO QUE SU PERÍODO DE RETORNO ES 1 AÑO (30 AÑOS/30 VECES SUPERADO). DE MANERA ANÁLOGA, EL DATO NÚMERO 25 HA SIDO IGUALADO O SUPERADO 6 VECES EN 30 AÑOS, POR LO QUE DICHO VALOR TIENE ASOCIADO, SEGÚN LA MUESTRA UTILIZADA, UN PERÍODO DE RETORNO DE 5 AÑOS (30/6). ASÍ, ESTE ANÁLISIS SE PODRÍA EXTENDER HASTA UN MÁXIMO DE 30 AÑOS DE PERÍODO DE RETORNO QUE CORRESPONDERÍA AL MÁXIMO VALOR OBSERVADO EN LA SERIE. PERO, ¿QUÉ SUCEDE SI SE QUIERE ESTIMAR EL CAUDAL DE 100 AÑOS DE PERÍODO DE RETORNO?, O ¿CÓMO PODRÍA ESTIMAR AQUEL CAUDAL QUE TIENE PROBABILIDAD DE OCURRENCIA DE 99%?



PARA ABORDAR ESTE PROBLEMA, LOS DATOS MUESTRALES SE AJUSTAN A FUNCIONES DE PROBABILIDAD TEÓRICAS, Y A PARTIR DE ESTAS ÚLTIMAS, ES POSIBLE ABORDAR DICHOS PROBLEMAS.

A CONTINUACIÓN SE MUESTRAN ALGUNOS EJEMPLOS DEL AJUSTE DE DATOS HIDROMETEOROLÓGICOS A MODELOS DE PROBABILIDAD, DONDE SE APLICAN Y ANALIZAN LOS CONCEPTOS DE PROBABILIDAD DE EXCEDENCIA, PROBABILIDAD DE OCURRENCIA Y RIESGO, Y SE ANALIZA SU IMPLICANCIA EN EL DISEÑO HIDROLÓGICO. LUEGO SE UTILIZAN DICHOS MODELOS PARA LA CONSTRUCCIÓN DE CURVAS DE VARIACIÓN ESTACIONAL.



2.1 CURVAS DE VARIACIÓN ESTACIONAL EJEMPLO 1. ESTE EJEMPLO MUESTRA LA CONSTRUCCIÓN DE LAS CURVAS DE

VARIACIÓN ESTACIONAL (CVE) PARA LAS PROBABILIDADES DE OCURRENCIA DE 5, 10, 15, 50, 85, 90 Y 95% DE LA ESTACIÓN RÍO COYHAIQUE EN TEJAS VERDES.

PARA ELLO SE CALCULAN LOS CAUDALES ASOCIADOS A CADA PROBABILIDAD CONSIDERANDO LAS FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN NORMAL, LOGNORMAL, GUMBEL, LOGGUMBEL, PEARSON, LOGPEARSON, GAMMA Y LOGGAMMA.ADEMÁS, COMO REFERENCIA, SE ESTIMA LA CVE UTILIZANDO LA PROBABILIDAD DE OCURRENCIA SEGÚN WEIBULL E INTERPOLACIÓN LINEAL.JUNTO CON EL CÁLCULO DE LAS CVE SE GRAFICAN LAS CURVAS DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA (CDF) TEÓRICAS Y DE LA MUESTRA (CALCULADA SEGÚN WEIBULL) A FIN DE DISCRIMINAR (DESDE UN PUNTO DE VISTA CUALITATIVO) EL NIVEL DE AJUSTE EN LAS DIFERENTES PARTES DEL HIDROGRAMA.ADICIONALMENTE, PARA OBTENER UNA MEDIDA DE BONDAD DE AJUSTE DE LAS FUNCIONES TEÓRICAS CON LA MUESTRA, SE REALIZAN LAS PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE CHI-CUADRADO Y K-S.



EJEMPLO 2. CORRESPONDE A UN EJEMPLO SIMILAR AL ANTERIOR, CON LA DIFERENCIA QUE LOS CÁLCULOS SE REALIZAN SOBRE LOS CAUDALES MEDIOS MENSUALES DE LA ESTACIÓN RÍO IBAÑEZ EN DESEMBOCADURA.



2.2 PROBABILIDAD DE EXCEDENCIA Y PERÍODOS DE RETORNO. EJEMPLO 3. SE MUESTRA EL AJUSTE DE CAUDALES MÁXIMOS

INSTANTÁNEOS (SERIE DE MÁXIMOS ANUALES) A DISTINTAS FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN. SE MUESTRAN LAS CDF DE LA MUESTRA Y TEÓRICAS, Y SE REALIZA LAS PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE CHI-CUADRADO Y K-S. FINALMENTE SE MUESTRA UNA TABLA RESUMEN DE LOS CAUDALES DE DIFERENTES PERÍODOS DE RETORNO, LOS CUALES PUEDEN SER UTILIZADOS (SEGÚN CORRESPONDA EL OBJETIVO DEL ESTUDIO) COMO CAUDALES DE DISEÑO.

3. RELLENO Y TRANSFERENCIA DE CAUDALES INTRA- E INTER-

CUENCAS

PARA DESARROLLAR ESTUDIOS HIDROLÓGICOS ES NECESARIO DISPONER DE UNA CANTIDAD ADECUADA DE REGISTROS FLUVIOMÉTRICOS, DONDE, COMO REGLA GENERAL SE CONSIDERA ADECUADA UNA ESTADÍSTICA DEL ORDEN DE 30 REGISTROS O SUPERIOR.

SIN EMBARGO, EN MUCHAS OCASIONES NO SE DISPONE DE DATOS EN EL PUNTO QUE SE QUIERE ESTUDIAR, EL RÍO NO POSEE UNA ESTACIÓN DE CONTROL, O LA ESTADÍSTICA DE CAUDALES ESTÁ INCOMPLETA.

PARA ELLO SE REQUIERE, LA TRANSFERENCIA DE CAUDALES ENTRE DIFERENTES PUNTOS DE UNA CUENCA, TRANSFERENCIA DE CAUDALES HACIA UNA CUENCA VECINA, O SIMPLEMENTE SE REQUIERE COMPLETAR UNA SERIE INCOMPLETA.

PARA LLEVAR A CABO ESTA TAREA, LAS FORMA MÁS PRECISA ES SIMULANDO EL COMPORTAMIENTO HIDROLÓGICO DE UNA CUENCA POR MEDIO DE LA MODELACIÓN, PERO ESTO REQUIERE CONOCER LA ZONA QUE SE QUIERE ESTUDIAR Y DEMANDA GRAN CANTIDAD DE TIEMPO Y RECURSOS ADEMÁS DE INFORMACIÓN DE ENTRADA, LA CUAL EN MUCHOS CASOS PUEDE NO ESTAR DISPONIBLE O ES INEXISTENTE. UNA ALTERNATIVA MÁS SIMPLE ES LA DE TRANSPOSICIÓN DE CAUDALES.


CUENCAS

TRANSPOSICIÓN DE CAUDALES.CONSISTE EN TRANSFERIR LOS CAUDALES QUE PRODUCE UNA CUENCA, A UN PUNTO CERCANO DENTRO DE LA MISMA O A UNA CUENCA VECINA. PARA ELLO SE DEBE VERIFICAR QUE LA PRODUCCIÓN ESPECÍFICA (CAUDAL POR UNIDAD DE ÁREA) Y QUE LOS PATRONES HIDRO-CLIMÁTICOS SEAN HOMOGÉNEOS ENTRE LOS PUNTOS QUE SE ESTÁ REALIZANDO LA TRANSPOSICIÓN.

RECOMENDACIONES:– CAUDAL ESPECÍFICO EQUIVALENTE (EN EL CASO DE DISPONER DE REGISTROS DE

CAUDALES EN AMBOS PUNTOS DE ANÁLISIS).– GEOLOGÍA Y MORFOLOGÍA SIMILAR. TIPOS DE SUELO, PERMEABILIDAD,

PENDIENTES DE LAS LADERAS, CARACTERÍSTICAS GEOLÓGICAS, FORMACIONES SIMILARES (ORIGEN SIMILAR DE LAS CUENCAS).

– PATRONES CLIMÁTICOS SIMILARES. MISMO PATRÓN ORIGINADOR DE PRECIPITACIONES.

– PATRONES HIDROLÓGICOS SIMILARES. CARACTERÍSTICAS HIDROLÓGICAS, RELATIVAS A LA GENERACIÓN DE ESCORRENTÍA, ALMACENAMIENTO SUPERFICIAL Y SUBTERRÁNEO SIMILARES.


CUENCAS

LA TRANSPOSICIÓN DE CAUDALES SE PUEDE REALIZAR DE MEDIANTE DOS MÉTODOS. EL PRIMERO CONSIDERA SÓLO LA PRODUCCIÓN ESPECÍFICA DE LAS CUENCAS, Y POR LO TANTO ASUME QUE EL CAUDAL A ESTIMAR ES PROPORCIONAL AL DE LA CUENCA VECINA Y A SU RELACIÓN DE ÁREAS (EC.1). EL SEGUNDO CONSIDERA ADEMÁS EL FACTOR METEOROLÓGICO, AGREGANDO EN LA ECUACIÓN LA RELACIÓN DE AGUA RECIBIDA POR LA CUENCA (EC.2).

EN EL CASO DE CAUDALES MÁXIMOS INSTANTÁNEOS CONVIENE TAMBIÉN CONSIDERAR EL EFECTO DE DESFASE ENTRE LAS ONDAS DE CRECIDA DEL RÍO PRINCIPAL CON SUS TRIBUTARIOS, POR LO QUE LA RELACIÓN DE ÁREAS SE PUEDE REDUCIR. UNA APROXIMACIÓN ADECUADA PARA CUENCAS SUPERIORES A 100 KM2 ES LA OBTENIDA DE LA FÓRMULA DE VERNI Y KING DONDE LA RELACIÓN DE ÁREAS SE REDUCE POR UN EXPONENTE DE 0.88 (EC.3).


CUENCAS

[EC.1]

[EC.2][EC.1]

DONDE Q, A, Y P REPRESENTAN EL CAUDAL, ÁREA Y PRECIPITACIÓN A TRANSPONER O ESTIMAR (TRANSP.) A PARTIR DE VARIABLES OBSERVADAS (OBS.).


CUENCAS

LA FIGURA SIGUIENTE MUESTRA UN EJEMPLO DE CUENCAS DE LA VIII REGIÓN QUE SE UBICAN EN ZONAS CERCANAS, PERO QUE TIENEN DIFERENTES TASAS DE CAUDAL ESPECÍFICO.


CUENCAS

DIFERENTES TASAS DE CAUDAL ESPECÍFICO.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

RIO ÑIREGUAO EN VILLA MAÑIGUALES

RIO EMPERADOR GUILLERMO ANTES JUNTA MAÑIGUALES

RIO MAGNIGUALES ANTES JUNTA RIO SIMPSON

RIO GRANDE EN CARRETERA AUSTRALEjemplo 4

4. MODELACIÓN HIDROLÓGICA

UN MODELO INTENTA REPRODUCIR BAJO DIFERENTES FORMAS Y PROCESOS UN FENÓMENO FÍSICO QUE OCURRE SOBRE UN OBJETO O TERRITORIO. POR LO TANTO, EN HIDROLOGÍA, UN MODELO BUSCA REPRESENTAR UN TERRITORIO DELIMITADO POR UNA DIVISORIA DE AGUAS (CUENCA), Y LOS FENÓMENOS DE TRANSFERENCIA DE LLUVIA A CAUDAL Y DE AGUA EN EL INTERIOR DE ESTA.

LA MAYORÍA DE LOS MODELOS SE BASAN EN EL CONCEPTO DE BALANCE HÍDRICO, DEFINIENDO QUE EL VOLUMEN DE AGUA QUE ENTRA A UNA UNIDAD HIDROLÓGICA (CUENCA) EN UN TIEMPO T (I), MENOS LA QUE SALE EN EL MISMO BLOQUE DE TIEMPO (O) EQUIVALE AL CAMBIO EN EL ALMACENAMIENTO (ΔS) DE LA CUENCA SOBRE DICHO PERÍODO (T) (EC.4).

BAJO ESTE CONCEPTO SE HAN DEFINIDO DIFERENTES MODELOS UNOS MÁS SIMPLE COMO TURC O THORNTHWAITE QUE PERMITEN LLEVAR A CABO ESTIMACIONES DE BALANCE HÍDRICO ANUAL O A MAYOR ESCALA TEMPORAL, DONDE EL REQUISITO PRINCIPAL ES ASUMIR QUE EL CAMBIO EN EL ALMACENAMIENTO ENTRE DIFERENTES BLOQUES DE TIEMPO ES NULO, O MODELOS MÁS COMPLEJOS QUE PERMITEN CUANTIFICAR CAMBIOS EN EL ALMACENAMIENTO DE LA CUENCA ENTRE BLOQUES DE TIEMPO (MODELOS NUMÉRICOS CONCEPTUALES O FÍSICAMENTE BASADOS).


BAJO ESTE CONCEPTO SE HAN DEFINIDO DIFERENTES MODELOS– TURC– THORNTHWAITE (ETP)

PERMITEN LLEVAR A CABO ESTIMACIONES DE BALANCE HÍDRICO ANUAL O A MAYOR ESCALA TEMPORAL, DONDE EL REQUISITO PRINCIPAL ES ASUMIR QUE EL CAMBIO EN EL ALMACENAMIENTO ENTRE DIFERENTES BLOQUES DE TIEMPO ES NULO.

MODELOS MÁS COMPLEJOS PERMITEN CUANTIFICAR CAMBIOS EN EL ALMACENAMIENTO DE LA CUENCA ENTRE BLOQUES DE TIEMPO MENORES COMO MESES O DÍAS (MODELOS NUMÉRICOS CONCEPTUALES O FÍSICAMENTE BASADOS).


CLASIFICACIÓN DE MODELOS: SEGÚN SU DISTRIBUCIÓN ESPACIAL.

– MODELOS AGREGADOS. MODELOS CON DISTRIBUCIÓN ESPACIAL UNIFORME EN LA CUENCA, UTILIZA COMO VARIABLE LA PRECIPITACIÓN MEDIA Y ASUME QUE LOS PARÁMETROS DE LOS DIFERENTES SUB-MODELOS DE LOS PROCESOS HIDROLÓGICOS SON UNIFORMES PARA TODA LA CUENCA Y PERMANECEN CONSTANTES A LO LARGO DE UN PASO DE TIEMPO O DE UNA SIMULACIÓN.

– MODELOS SEMI-DISTRIBUIDOS. SON AQUELLOS QUE PERMITEN UNA CIERTA VARIABILIDAD ESPACIAL DE LA LLUVIA Y DE LOS PARÁMETROS DE LOS SUB-MODELOS QUE LO COMPONEN MEDIANTE LA DIVISIÓN DE LA CUENCA EN MULTITUD DE PEQUEÑAS SUB-CUENCAS CON LLUVIA Y PARÁMETROS CONSTANTES EN CADA UNO DE ELLOS.

– MODELOS DISTRIBUIDOS. SON AQUELLOS QUE PERMITEN LA VARIABILIDAD ESPACIAL DE LA LLUVIA Y DE LOS PARÁMETROS, MEDIANTE LA DIVISIÓN DE LA CUENCA EN CELDAS O PIXELES, EN LAS QUE SE SIMULAN LOS DIFERENTES PROCESOS HIDROLÓGICOS.


CLASIFICACIÓN DE MODELOS: SEGÚN SU FORMA DE REPRESENTAR LOS PROCESOS

HIDROLÓGICOS.– MODELOS MÉTRICOS. SON MODELOS DEPENDIENTES DE LOS

DATOS OBSERVADOS. CARACTERIZAN LA RESPUESTA DEL SISTEMA MEDIANTE UN MÉTODO DE EXTRACCIÓN DE LA INFORMACIÓN A PARTIR DE DATOS EXISTENTES. ESTOS MODELOS PRESENTAN UNA CONSIDERACIÓN BAJA O NULA DE LOS PROCESOS FÍSICOS QUE OCURREN EN EL SISTEMA HIDROLÓGICO.

– MODELOS CONCEPTUALES. SON MODELOS QUE REPRODUCEN LOS PROCESOS HIDROLÓGICOS PREDOMINANTES MEDIANTE UNA BASE DE CONOCIMIENTO INICIAL EN FORMA DE REPRESENTACIÓN CONCEPTUAL DE LOS MISMOS. LA REPRESENTACIÓN HIDROLÓGICA SE REALIZA MEDIANTE RELACIONES SIMPLIFICADAS CON PARÁMETROS QUE NO SE PUEDEN MEDIR FÍSICAMENTE EN LA REALIDAD. SU APLICACIÓN ESTÁ CONDICIONADA A LA CALIBRACIÓN CON DATOS OBSERVADOS EN LA CUENCA.


CLASIFICACIÓN DE MODELOS: SEGÚN SU FORMA DE REPRESENTAR LOS PROCESOS

HIDROLÓGICOS.– MODELOS FÍSICAMENTE BASADOS. ESTOS MODELOS INCLUYEN

EL COMPORTAMIENTO FÍSICO DE LOS PROCESOS HIDROLÓGICOS, REALIZANDO LA SIMULACIÓN DE UNA CUENCA MEDIANTE EL USO DE LAS ECUACIONES DE CONTINUIDAD CLÁSICAS, RESOLVIENDO ECUACIONES DIFERENCIALES DE FORMA NUMÉRICA MEDIANTE LA APLICACIÓN DE MÉTODOS DE DIFERENCIAS FINITAS O ELEMENTOS FINITOS. ESTOS MODELOS SON NECESARIAMENTE DE TIPO DISTRIBUIDO.LA PRINCIPAL VENTAJA DE UN MODELO FÍSICAMENTE BASADO ES QUE UTILIZA PARÁMETROS QUE PUEDEN SER MEDIDOS EN TERRENO Y QUE TIENEN UN SIGNIFICADO FÍSICO DIRECTO, POR TANTO, SI LOS VALORES DE ESTOS PARÁMETROS SE PUEDEN DETERMINAR A PRIORI, ESTOS MODELOS PUEDEN SER APLICADOS A CUENCAS SIN DATOS OBSERVADOS, E INCLUSO SE PUEDEN TENER EN CUENTA LOS CAMBIOS EN LA MISMA CUENCA.


FÓRMULA DE TURC ESTA FÓRMULA SE DESARROLLÓ EN BASE A ESTUDIOS ESTADÍSTICOS SOBRE

254 CUENCAS ALREDEDOR DEL MUNDO. RELACIONA LA EVAPOTRANSPIRACIÓN REAL ANUAL (ETREAL) CON LA PRECIPITACIÓN ANUAL (P) Y TEMPERATURA MEDIA ANUAL DEL AIRE (T).

CONOCIENDO LA EVAPOTRANSPIRACIÓN REAL ANUAL Y LOS MONTOS DE AGUA PRECIPITADA SOBRE LA CUENCA ES POSIBLE REALIZAR UN BALANCE HÍDRICO ANUAL Y POR LO TANTO ESTIMAR LOS CAUDALES DE SALIDA DE UNA CUENCA, PERO ES NECESARIO SABER QUE DICHOS CÁLCULOS ASUMEN DE MANERA IMPLÍCITA QUE EL CAMBIO EN EL ALMACENAMIENTO ENTRE UN AÑO HIDROLÓGICO Y EL SIGUIENTE ES NULO, LO CUAL NO NECESARIAMENTE SE CUMPLE.

NO CONSIDERA OTRO TIPO DE SALIDAS O APORTES DESDE Y HACIA LA CUENCA, COMO POR EJEMPLO CONEXIONES DE AGUAS SUBTERRÁNEAS.


MODELO HIDROLÓGICO MHM

Precpitación (PM)

Evaporación Potencial (EM)

Percolación Profunda Directa (PPD)

Infiltración (I)

Hmax

H

Humedad Suelo (H)

Humedad Máxima del Suelo (Hmax)Percolación

Profunda (PP)

Evapotranspiración Real (ER)

Escorrentía Inmediata (EI)

Escorrentía Subterránea (ES)

Escorrentía Total (ETOT)

= EI + ES

Capa Superficial(No de almacenamiento)

Capa Subsuperficial(De almacenamiento)

Capa Subterránea(De almacenamiento)

cap.3 hidrologia estadistica funciones teoricas

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