Geotecnica Esercitazione 2a/2019

# 1 Con riferimento allo stato di tensione piano indicato in figura, tracciare il cerchio di Mohr e

determinare le tensioni principali ed i piani sui quali esse agiscono.

# 2 - Con riferimento allo stato di deformazione piano indicato in figura (v: direzione verticale; h: direzione orizzontale), tracciare il cerchio di Mohr delle deformazioni e determinare le

direzioni lungo le quali non vi sono allungamenti o accorciamenti.

# 3 Un provino cilindrico di terra viene sottoposto alla sequenza di stati tensionali (simmetria assiale) riportati di seguito. La variazione di stato tensionale totale, a partire dal secondo step

di carico (terzo stato tensionale), è applicata in condizioni di drenaggio impedito (condizioni

non drenate): la pressione interstiziale u, misurata, quindi varia. Rappresentare graficamente: - i percorsi di carico (stress path) nel piano degli invarianti di tensione, in termini di tensioni

totali (piano q-p) ed in termini di tensioni efficaci (piano q-p'); - l’evoluzione dei cerchi di Mohr nel piano di Mohr (un cerchio per ogni stato tensionale), in

termini di tensioni totali (τ - σ) ed efficaci (τ - σ’);

- l’evoluzione degli stati tensionali nel piano delle tensioni principali, in termini di tensioni

totali (σ1 - σ3) ed in termini di tensioni efficaci (σ1 - σ3’);

- l’evoluzione degli stati tensionali nel piano degli invarianti del cerchio di Mohr, in termini di

tensioni totali (t - s) ed in termini di tensioni efficaci (t - s’). Utilizzare grafici con scale isometriche. σa (kPa) σr (kPa) u (kPa)

150 150 100 200 200 100

300 300 200 320 300 210 340 300 225 355 300 237 360 300 245

x = 200 kPa

z = 100 kPa

zx= 75 kPa

1 = 0.40

3 = -0.20

 

 

 

ESERCITAZIONE 2a ‐ Risoluzione  #1 – Cerchi di Mohr del tensore delle tensioni  

x =  200.0 kPa  segno positivo perché di compressione 

z =  100.0 kPa  segno positivo perché di compressione 

xz =  75.0 kPa  segno positivo perché da rotazione antioraria 

zx =  ‐75.0 kPa  segno negativo perché da rotazione oraria 

s = (z + x)/2 =  150.0 kPa  Centro 

2t = ((z ‐ x)2 + (zx ‐ xz)2)0.5 =  180.3 kPa  Diametro 

t =  90.1 kPa  Raggio 

1 = s + t =  240.1 kPa  Tensione principale maggiore 

3 = s – t =  59.9 kPa  Tensione principale minore 

tan  =|xz|/(1 ‐ x) =  1.868

 =  61.85 °  Piano principale maggiore 

 = 180 ‐ 90 ‐ =  28.15 °  Piano principale minore  

 

    

 

 

  

#2 – Cerchi di Mohr del tensore delle deformazioni  

v =  0.0    

z =  0.0    

xz =  0.283    

zx =  ‐0.283    

C = (1 + 3) /2 =  0.10   Centro 

D = 1 ‐ 3 =  0.60   Diametro 

R = D/2 =  0.30   Raggio 

1 = C + R =  0.40   Deformazione principale maggiore 

3 = C – R =  59.9   Deformazione principale minore  tan  =|xz|/(1 ‐ h) =  0.707

 =  35.26 °  Piano principale maggiore 

 = 180 ‐ 90 ‐ =  54.74 °  Piano principale minore  

  

 

    

 

 

  

#3 – Percorsi tensionali  

a  r  u  p  'a  'r  p'  q  s  s'  t 

[kPa]  [kPa]  [kPa]  [kPa]  [kPa]  [kPa]  [kPa]  [kPa]  [kPa]  [kPa]  [kPa] 

150.0  150.0  100.0  150.0  50.0  50.0  50.0  0.0  150.0  50.0  0.0 

200.0  200.0  100.0  200.0  100.0  100.0  100.0  0.0  200.0  100.0  0.0 

300.0  300.0  200.0  300.0  100.0  100.0  100.0  0.0  300.0  100.0  0.0 

320.0  300.0  210.0  306.7  110.0  90.0  96.7  20.0  310.0  100.0  10.0 

340.0  300.0  225.0  313.3  115.0  75.0  88.3  40.0  320.0  95.0  20.0 

355.0  300.0  237.0  318.3  118.0  63.0  81.3  55.0  327.5  90.5  27.5 

360.0  300.0  245.0  320.0  115.0  55.0  75.0  60.0  330.0  85.0  30.0  

#3a – percorso tensionale nel piano degli invarianti 

 #3b – percorso tensionale nel piano degli invarianti del cerchio di Mohr 

 

     

 

 

#3c – cerchi di Mohr 

  

#3d – percorso tensionale nel piano delle tensioni principali