esercizi geotecnica

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Esercizi utili per Geotecnica e Complementi di Geotecnica

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  • Politecnico di Milano Ingegneria per lAmbiente e il Territorio

    Insegnamento di Geotecnica 1 con Laboratorio prof. Cristina Jommi

    Raccolta di esercizi tratti dai vecchi temi desame e classificati per argomenti a cura di Carlo Pretara luglio 2006

    Indice

    CLASSIFICAZIONE DEI TERRENI .............................................................................................3

    Soluzioni degli esercizi sulla classificazione dei terreni ................................................................................................. 5

    FILTRAZIONE................................................................................................................................10

    Soluzioni degli esercizi sulla filtrazione ........................................................................................................................ 29

    STATO DI SFORZO GEOSTATICO ...........................................................................................58

    Soluzione degli esercizi sullo stato di sforzo geostatico................................................................................................ 65

    PROVE PER LA DETERMINAZIONE DELLE CARATTERISTICHE MECCANICHE ...73

    Prove edometriche ........................................................................................................................................................... 73

    Prove di taglio .................................................................................................................................................................. 79

    Soluzione degli esercizi sulle prove di taglio ............................................................................................................ 85

    Prove triassiali ................................................................................................................................................................. 89

    Soluzione degli esercizi sulle prove triassiali ........................................................................................................... 99

    CONSOLIDAZIONE.....................................................................................................................103

    Soluzione degli esercizi sulla consolidazione .............................................................................................................. 118

    SPINTE SU PARETI.....................................................................................................................126

    Soluzione degli esercizi sulle Spinte su pareti............................................................................................................. 129

  • Classificazione dei terreni Esercizio 1 Due campioni di sabbia vengono preparati in laboratorio utilizzando le medesime procedure e consolidati isotropicamente alla stessa pressione isotropa efficace. Il campione A ha grani arrotondati di dimensioni uniformi. Il campione B granulometricamente ben assortito e ha grani a spigoli vivi. a) quale campione avr lindice dei vuoti, e, pi alto a fine compressione isotropa? b) quale campione avr maggiore resistenza al taglio? Esercizio 2 Di un campione di limo argilloso vengono forniti i seguenti valori per le propriet indice: peso specifico delle particelle solide s = 2.72 g/cm3 peso dellunit di volume totale tot = 1.40 g/cm3 indice dei vuoti e = 1.000 grado di saturazione Sr = 0.85 contenuto in acqua w = 31.25% uno dei valori forniti inconsistente con gli altri; dire quale, e darne il valore corretto. determinare la porosit n del campione. determinare il valore del peso dellunit di volume dello stesso campione in condizioni secche d e in condizioni sature sat . Esercizio 3 Un campione di sabbia (a) secca di peso Ps = 750 g, contenuta in un cilindro di volume V0 = 500 cm3, viene assoggettato a un incremento di sforzo pari a 200 kPa, e subisce una variazione di volume V1 = 1%. Un identico campione di sabbia (b), sottoposto ad addensamento per vibrazione, mostra una diminuzione di volume V2 = 10%. Il peso specifico delle particelle solide pari a s = 2.65 g/cm3. Si calcolino la porosit n e il peso dellunit di volume d dei due campioni originali (uguali fra loro), del campione (a) dopo lapplicazione del carico, e del campione (b) dopo vibrazione. Esercizio 4 Un campione di terreno caratterizzato da un contenuto in acqua pari a w = 25 %, una porosit n = 0,46 ed un peso di volume dei costituenti solidi s = 29,6 kN/m3. Si determinino il grado di saturazione Sr ed il peso totale tot del campione. Esercizio 5 Un provino cilindrico di terreno completamente saturo (Sr = 1) di sezione A =100 cm2 viene sottoposto ad una prova di compressione in condizioni edometriche. Il provino ha una altezza iniziale di H0 =3,81 cm e un contenuto in acqua w0 = 31,40%. Al termine della prova la variazione di altezza pari a H = - 0,762 cm e il contenuto in acqua risulta wf =17,84%. Si misura il peso del provino in condizioni secche, che risulta pari a Ps = 561,8 g. Determinare:

  • a) il peso specifico dei grani s; b) lindice dei vuoti, e, nelle condizioni iniziale e finale. Esercizio 6 Uno strato superficiale di terreno, inizialmente non saturo, raggiunge, a seguito di una pioggia intensa, le condizioni di totale saturazione (Sr = 1) con w = 22.8%. Sapendo che per il terreno in oggetto s = 27 kN/m3, valutare: lindice dei vuoti nelle condizioni sature; il peso totale di volume nelle condizioni sature; il peso di volume immerso. Esercizio 7 Un terreno limo-argilloso, compattato allottimo, ha un peso di volume allo stato secco d = 15.5 kN/m3. Il suo contenuto in acqua pari a w = 24%. Il peso specifico delle particelle solide stato determinato in laboratorio e risulta s = 26.5 kN/m3. Si determini: il grado di saturazione Sr del materiale compattato allottimo; lindice dei vuoti, e; il peso di volume del terreno sat saturato a indice dei vuoti costante; se il terreno durante la fase di saturazione rigonfiasse, il peso di volume in condizioni sature sarebbe maggiore o minore del precedente? Esercizio 8 La costruzione di un rilevato viene effettuata compattando un limo argilloso e sabbioso con un contenuto in acqua pari a w = 26.5% in modo da raggiungere un indice dei vuoti pari a e = 0.786. Sapendo che il peso specifico delle particelle solide s = 2.71 g/cm3, determinare il grado di saturazione Sr del terreno compattato; il peso per unit di volume totale, tot; il peso dellunit di volume del terreno in condizioni secche d (Sr = 0). Domanda 1 Dare la definizione di peso di volume totale, peso di volume immerso e peso specifico delle particelle solide.

  • Soluzioni degli esercizi sulla classificazione dei terreni Esercizio 2 Ricordando che

    3

    3

    2.72 / 2.721 /

    s

    w

    g cmGsg cm

    = = = (1)

    ed essendo noti dai dati del problema i valori del grado di saturazione Sr, dellindice dei vuoti e, e del contenuto in acqua w, possibile facilmente verificare che risulta soddisfatta la relazione:

    Sr e Gs w = (2)in quanto

    0,85 1 2.72 0.31250.85 0.85

    = = (3)

    Conseguentemente il valore inconsistente quello del peso dellunit di volume totale tot. Poich:

    ( )1tot s wn n Sr = + (4)e

    0.51

    ene

    = =+ (5)

    si ricava

    ( ) 31 0.5 2.72 0.5 0.85 1 1.785 /tot g cm = + = (6)La valutazione del peso dellunit di volume in condizioni secche e in condizioni sature avviene impiegando la relazione (4), ove si sostituisce rispettivamente 0Sr = :

    ( ) 31 0.5 2.72 0.5 0 1 1.36 /d g cm = + = (7)e 1Sr = :

    ( ) 31 0.5 2.72 0.5 1 1 1.86 /d g cm = + = (8) Esercizio 3 La porosit n del terreno data da:

    v t s

    t t

    V V VnV V

    = = (9)

  • avendo indicato con pedice t, v, s, rispettivamente il volume totale, della parte solida e dei vuoti. Il volume della parte solida dei due campioni risulta essere il medesimo (i due campioni sono perfettamente identici) e pu essere calcolato mediante:

    3750 2832.65

    ss

    s

    PV cm= = = (10)

    Nelle condizioni iniziali il volume totale dei due campioni pari a V0 e conseguentemente:

    00

    0

    500 283 0.434500

    sV VnV = = = (11)

    Il peso dellunit di volume si pu quindi calcolare attraverso la (4), ricordando che il campione secco ( 0Sr = ):

    ( )0

    31 0.434 2.65 1.5 /d g cm = = (12) Il primo campione di sabbia dopo lincremento di carico avr raggiunto un volume pari a:

    1

    3500 (1 0.01) 495tV cm= = (13)ovvero

    1

    1

    1495 283 0.428

    495t s

    t

    V Vn

    V = = = (14)

    cui corrisponde un peso di volume:

    ( )1

    31 0.428 2.65 1.516 /d g cm = = (15)Il secondo campione di sabbia al termine delladdensamento per vibrazione occuper un volume totale pari a

    1

    3500 (1 0.1) 450tV cm= = (16)da cui

    2

    2

    2450 283 0.371

    450t s

    t

    V Vn

    V = = = (17)

    cui corrisponde un peso di volume:

    ( )2

    31 0.371 2.65 1.667 /d g cm = = (18)

  • Esercizio 5 Per la determinazione del peso specifico dei grani si tiene presente che prima di eseguire la prova di compressione il provino saturo e pertanto il volume occupato dallacqua, Vw, coincide con il volume dei vuoti, Vv. Essendo noto il contenuto in acqua w0, e il peso secco, possibile ricavare il peso dellacqua presente allinterno del campione:

    0 0561.8 0.3140 176.41= = =wP w Ps g (19)

    cui corrisponde un volume:

    0

    0

    33

    3

    176.41 176.411. /

    = = =www

    P cmV cmg cm (20)

    E pertanto possibile risalire al volume occupato dalla parte solida:

    0 0 0 0s t v t wV V V V V= = (21)

    con 0t

    V volume totale del provino:

    0

    30 100 3.81 381= = =tV A H cm (22)

    Sostituendo i valori nella (21) si ha:

    381 176.41 204.59= =sV (23)da cui poter ricavare il peso specifico dei grani:

    3561.8 2.75 /204.59

    = = =sss

    P g cmV

    (24)

    Lindice dei vuoti nelle condizioni iniziali e0 si ricava tenendo presente che:

    2.75 2.751

    = = =sw

    Gs (25)

    e che

    Sr e Gs w = (26)da cui

    02.75 0.3140 0.864

    1 = = =Gs we

    Sr (27)

    Al termine della prova varia il volume totale,

  • ( ) ( ) 30100 100 3.81 0.762 100 3.048 304.8= + = = =ftV H H cm (28)mentre il volume della parte solida rimane costante. Pertanto il volume dei vuoti pu essere calcolato come differenza tra

    ftV e sV :

    3304.8 204.59 100.21= = =f fv t s

    V V V cm (29)

    da cui:

    0100.21 0.490204.59

    = = =fvs

    Ve

    V (30)

    Esercizio 6 Lindice dei vuoti in condizioni sature si pu valutare mediante la (26):

    2.7 0.228 0.6161

    = = =sat Gs we Sr (31)

    essendo:

    3

    3

    27 / 2.710 /

    = =kN mGskN m

    (32)

    Ricordando poi che la porosit n data da:

    0.616 0.3811 1 0.616

    = = =+ +en

    e (33)

    si pu ricavare il peso dellunit di volume in condizioni sature mediante la:

    ( )1 s wn n Sr = + (34)ove si ponga 1Sr = , ovvero:

    ( ) 31 0.381 27 0.381 10 16.71 3.81 20.52 /= + = + =sat kN m (35)Il peso di volume immerso pari a:

    3' 20.52 10 10.52 /sat w kN m = = = (36)

  • Esercizio 7 Scrivendo

    ( )1 1 0.415 0.7091

    dd s

    s

    nn n en

    = = = = = (37)

    si ha

    0.896 89.6%w Gsw Gs Sr e Sre = = = = (38)

    Il peso di volume del campione saturo pari a: 319.65 /sat d wn kN m = + = (39)

    Se il terreno rigonfiasse il peso sat sarebbe minore del precedente: ( ) ( )[ ]

    2 12 1

    1 1sat w w w

    sat sat

    rigonfiamento

    n Gs n Gs n Gs

    n n

    = + =

    >

  • Filtrazione Esercizio 1 In figura rappresentato il reticolo di filtrazione nel terreno di fondazione di una traversa fluviale. Il terreno omogeneo e isotropo e il suo coefficiente di permeabilit e pari a k = 10-5 m/sec. a) calcolare la portata del moto di filtrazione b) determinare il valore della pressione nei punti A,B,C,D.

    Esercizio 2 Si calcolino il gradiente idraulico totale i, la portata del moto di filtrazione Q e landamento della pressione u lungo la direzione s del sistema costituito dai due strati rappresentati in figura.

    coefficienti di permeabilit: k1 = 10-5 m/sec k2 = 2*10-5 m/sec lunghezze: L1 = 20 cm L2 = 10 cm pressioni : uA = 10 kPa uB = 5 kPa area: A = 10 cm2 inclinazione direzione s: = 30

    Esercizio 3 Su un provino cilindrico di limo, di altezza L = 7.60 cm e diametro D = 3.80 cm, viene eseguita una prova di permeabilit a carico costante, imponendo un flusso idraulico dal basso verso lalto. Il provino assoggettato a uno sforzo verticale totale pari a v = 100 kPa e a uno sforzo di confinamento radiale totale r = 50 kPa. La differenza di carico idraulico totale, hAB = 1m, viene

  • imposta collegando la base del provino a un attuatore di pressione che mantiene la pressione di base uB = 30 kPa, mentre alla testa del campione viene mantenuta una pressione uA = 20 kPa. La portata misurata in unora pari a Q = 5.37 cm3/h. a) determinare il coefficiente di permeabilit k del limo. b) trascurando le componenti di sforzo dovute al peso proprio del provino, si tracci landamento

    degli sforzi efficaci v e r lungo laltezza del provino.

    Esercizio 4 Due bacini idrici sono collegati da uno strato permeabile confinato fra due strati impermeabili. La geometria e le propriet idrauliche degli strati sono schematizzati in figura. Si determini, a regime: a) il gradiente del moto di filtrazione b) la portata del moto

  • Esercizio 5 Con riferimento allo schema per la prova di permeabilit a carico costante gi presentato nellesercizio 3, si consideri la presenza alla testa e alla base del provino di due pietre porose di area uguale a quella del provino, di spessore tP = 2.5 mm con permeabilit kP = 10-6 cm/sec. La differenza di carico idraulico hAB = 1m viene imposta allintero sistema tramite una pressione di base uB = 30 kPa e una pressione in testa uA = 20 kPa. La portata attraverso lintero sistema (provino + pietre porose) misurata in unora pari a Q = 5.37 cm3/h. Determinare nuovamente la permeabilit del limo, tenendo in conto leffetto della presenza delle pietre porose.

    Esercizio 6 Data la situazione schematizzata in figura e supposto che il moto di filtrazione sia a regime:

    a) si determini la portata che transita dal serbatoio di monte verso il serbatoio di valle; b) si determini il valore della pressione nel punto P indicato in figura.

    Dati: hm = 30 m hv = 8 m sA = 3 m kA = 4 10-5 m/s sB = 1,5 m kB = 2 10-5 m/s L = 750 m LP = 250 m

  • sB

    sA

    BA

    L

    LP

    h m

    vh

    P

    Esercizio 7 Si consideri una prova di permeabilit a carico variabile eseguita su un provino di limo saturo avente sezione A=3800 mm2. Come rappresentato in figura, inizialmente (t=0) viene posta sul provino una buretta dacqua avente sezione a=80 mm2 imponendo un carico h0=800mm. Trascorso un tempo t1= 75 minuti dallinizio della prova, si osserva che la colonna dacqua al di sopra del provino si abbassata fino a raggiungere laltezza h1= 400 mm. Determinare il valore della permeabilit del campione di terreno sottoposto alla prova.

    a

    A

    h

    h0

    1

    t = t

    t = t

    0

    1

    provino

  • Esercizio 8 Si consideri la schematizzazione del moto di filtrazione in un terreno stratificato rappresentata in figura. Determinare landamento delle pressioni e la portata del moto di filtrazione nelle seguenti situazioni:

    - HA=2 m; - HB=4,5 m;

    h1=1,5 m h2=3 m h3=2 m k1= 4102 m/s k2= 8102 m/s k3= 4104 m/s Sezione: A=1 m2

    h1

    h2

    h3

    Ah

    Bh

    k1

    2k

    3k

    A

    Esercizio 9 Con riferimento al sistema in figura, si calcolino:

    a) il gradiente idraulico totale medio i; b) la portata del moto di filtrazione Q; c) landamento della pressione u lungo la direzione z del sistema costituito dai due strati

    rappresentati in figura.

    coefficienti di permeabilit: k1 = 10-5 m/sec k2 = 2*10-5 m/sec lunghezze: L1 = 60 cm L2 = 40 cm carico idraulico: ha = 1.5 m hb = 0.0 m area: A = 10 cm2

  • Esercizio 10 Su un provino cilindrico di sabbia limosa, di altezza L e area A, viene eseguita una prova di permeabilit a carico variabile, secondo lo schema indicato in figura. I dati geometrici e le misure di altezza piezometrica nel tempo sono riportati in tabella.

    d) determinare il coefficiente di permeabilit k della terra esaminata; e) dire quali condizioni devono essere verificate affinch la stima del coefficiente di

    permeabilit sia accurata con lassetto sperimentale proposto; f) determinare il massimo e il minimo gradiente idraulico a cui assoggetato il provino durante

    il corso della prova (t = 01h); g) determinare il modulo e la direzione della massima forza di filtrazione a cui assoggetato il

    provino durante il corso della prova.

    lunghezza: L = 10 cm carico idraulico h (t1=0) = 0.5 m h (t2=1 ora) = 0.4 m area provino: A = 20 cm2 area capillare: ac = 1 cm2

    Esercizio 11 Su un provino cilindrico di sabbia limosa, di altezza L e area A, viene eseguita una prova di permeabilit a carico costante, secondo lo schema indicato in figura. I dati geometrici e le misure di altezza piezometrica sono riportati in tabella.

    h) determinare il coefficiente di permeabilit k della terra esaminata; i) determinare il modulo e la direzione della massima forza di filtrazione a cui assoggettato il

    provino durante il corso della prova.

  • lunghezza: L = 10 cm carico idraulico h (a) = 2.5 m h (b) = 0.5 m area provino: A = 20 cm2 portata, Q: 4 10-3 m3/sec

    Esercizio 12 In figura rappresentato il reticolo di filtrazione alle spalle di un muro di sostegno, con dreno verticale in ghiaia. La permeabilit del terreno pari a k = 10-7 m/sec. a) Tracciare landamento qualitativo della pressione dellacqua lungo la retta inclinata a 45

    rispetto alla direzione orizzontale; b) determinare la portata del moto; c) determinare la spinta dellacqua sulla parete del muro di sostegno.

    Esercizio 13 Un deposito stratificato costituito da due strati sabbiosi separati da uno strato di argilla, cos come indicato in figura. Le caratteristiche di ciascuno strato sono riassunte in tabella.

    Strato Spessore (m) Sr n e Gs s (kN/m3) Permeabilit (m/s)1 3 1 0,4 ---- 2,7 ---- 10-3 2 5 1 0,8 ---- 26 210-9 3 ---- 1 0,35 ---- 2,7 ---- 10-3

  • Si determini:

    j) il gradiente idraulico all'interno dello strato di argilla; k) la portata del moto di filtrazione; l) l'andamento delle pressioni fino ad una profondit dal piano campagna z = 6 m. m) lo stato di sforzo verticale, totale ed efficace fino alla profondit z = 6 m;

    Si ipotizzi ora un abbassamento di 3 m del livello di falda nello strato sabbioso profondo rispetto alla situazione precedente. Determinare l'andamento delle pressioni nella nuova configurazione.

    Sabbia e ghiaia

    Argilla

    Sabbia

    3 m

    5 m

    6 m

    1,5 m

    3 m

    livello a seguitoabbassamento

    1

    2

    3

    z

    Esercizio 14 In figura rappresentato il reticolo di filtrazione all'interno di una diga in terra. Al piede della diga, come indicato in figura, posizionato un dreno in materiale ghiaioso. La diga stata realizzata impiegando un limo argilloso, la cui permeabilit pu essere assunta pari -82 10 /k m s= .

    n) Determinare la portata del moto di filtrazione per unit di lunghezza in direzione ortogonale al piano del moto.

    o) Determinare il valore della pressione nei punti A, A', P e P'.

  • Esercizio 15 Un deposito stratificato costituito da due strati sabbiosi separati da uno strato di argilla, cos come indicato in figura. Nel primo strato, il livello di falda coincide con il piano campagna. Nel secondo acquifero il livello piezometrico posizionato a 4.5. m dal piano campagna. Le caratteristiche di ciascuno strato sono riassunte in tabella.

    Strato Spessore (m) Sr n e Gs s (kN/m3) Permeabilit (m/s)1 3 1 0,4 ---- 2,7 ---- 10-3 2 5 1 0,8 ---- 26 210-9 3 ---- 1 0,35 ---- 2,7 ---- 10-3

    Si determini:

    p) il gradiente idraulico nello strato di argilla; q) la portata del moto di filtrazione; r) l'andamento delle pressioni fino ad una profondit dal piano campagna z = 8 m; s) landamento della componente verticale di sforzo, totale ed efficace, fino alla profondit z = 8

    m. Si ipotizzi ora un innalzamento di 3 m del livello di falda nel secondo strato sabbioso, mentre il livello della prima falda rimane inalterato a piano campagna. Si determini:

    t) landamento della pressione neutra a regime; u) la variazione della componente verticale di sforzo totale ed efficace a regime; v) il grado di sovraconsolidazione OCR dopo linnalzamento della falda, sapendo che il deposito

    era originariamente normalconsolidato.

  • Sabbia e ghiaia

    Argilla

    Sabbia

    3 m

    5 m

    6 m

    1,5 m

    3 m

    innalzamentodella falda

    1

    2

    3

    z

    Esercizio 16 In figura rappresentato il reticolo di filtrazione nellintorno di una traversa. Il terreno, sede del moto di filrazione un limo sabbioso, con conducibilit idraulica omogenea e isotropa pari a k = 10-6 m/s.

    w) determinare la portata del moto di filtrazione;

    x) eseguire la verifica a sifonamento a valle della traversa, secondo il meccanismo di Terzaghi.

    h = 3.5m0.75 m

    k = 10-6 m/s

    sat = 20 kN/m3

    h = 1.5 m

  • Esercizio 17 Su un provino cilindrico di limo, di altezza L e diametro D, viene eseguita una prova di permeabilit a carico idraulico costante, secondo lo schema indicato in figura (caso 1). I dati geometrici e le misure di altezza piezometrica sono riportati in tabella. Determinare il coefficiente di permeabilit k1 del limo.

    b

    L

    D

    a

    b

    L

    a

    D

    (1) (2)

    L = 7,60 cm h (a) = 1m h (b) = 2 m D = 3,80 cm

    Q = 5,37 cm3/h

    Lo stesso tipo di prova viene eseguita in presenza, alla testa e alla base del provino, di due pietre porose, di diametro pari a quello del provino, con permeabilit kp = 10-8 cm/s (caso 2). La differenza di carico idraulico, ancora pari a 1 m, viene applicata allintero sistema provino + pietre porose. La portata misurata attraverso lintero sistema ancora pari a 5,37 cm3/h. Dire se la permeabilit k2 del materiale sottoposto a prova maggiore, minore o uguale alla precedente, e giustificare la risposta.

  • Esercizio 18 In figura riportato il reticolo di filtrazione nellintorno di una paratia in terreno granulare omogeneo e isotropo, con peso di volume saturo sat = 20 kN/m3 e coefficiente di permeabilit k = 10-6 m/sec. Calcolare: a) la portata del moto di filtrazione; b) il coefficiente di sicurezza nei confronti del sifonamento a valle della paratia.

    Esercizio 19 Il deposito schematizzato in figura, costituito da uno strato sabbioso superficiale (1) di spessore 3 m e sede della falda F1, sovrastante due strati di argilla (2 e 3) di spessore 2m e 4m rispettivamente. Lo strato argilloso superiore risulta caratterizzato da un coefficiente di permeabilit doppio rispetto allo strato argilloso inferiore. Lo strato pi profondo del deposito costituito da ghiaia (4). Il carico idraulico totale dello strato di ghiaia 4 governato dal livello idrometrico F3. A seguito dellabbassamento del livello idrometrico di 1.5 m (da F3A a F3B) determinare, con riferimento alle condizioni di lungo termine:

    a) la portata del moto di filtrazione che viene a generarsi, essendo la permeabilit dello strato di argilla (3) pari a k3 = 210-10 m/s;

    b) landamento delle pressioni neutre lungo la direzione z; c) la variazione della componente verticale di sforzo efficace lungo lo spessore dei due strati

    argillosi.

  • Esercizio 20 In figura rappresentato il reticolo di filtrazione nel terreno alle spalle di unopera di sostegno. La

    permeabilit del terreno k = 5. 10 6 m/s.

    a) Tracciare landamento della pressione dellacqua lungo la retta inclinata diagrammata in

    figura.

    b) Determinare la portata del moto di filtrazione. c) Determinare la spinta dellacqua sulla parete di sostegno.

  • Esercizio 21 In figura rappresentato il reticolo di filtrazione nellintorno di una traversa fluviale. Il terreno, sede del moto di filrazione un limo sabbioso, con conducibilit idraulica omogenea e isotropa pari a k = 10-6 m/s.

    y) determinare la portata del moto di filtrazione;

    z) eseguire la verifica a sifonamento a valle della traversa, secondo il meccanismo di Terzaghi

    h = 3.5m0.75 m

    k = 10-6 m/s

    sat = 20 kN/m3

    h = 1.5 m

    Esercizio 22 Con riferimento al reticolo di filtrazione tracciato in figura 1: a) Tracciare landamento delle pressioni sulla paratia. b) Determinare la portata del moto di filtrazione. c) Effettuare la verifica a sifonamento a valle dellopera di sostegno.

  • Esercizio 23 Sapendo che k1 = 0.410-6 m/sec e k2 = 0.6 10-6 m/sec, nei due casi schematizzati in figura, a) determinare il gradiente idraulico totale. b) determinare landamento del carico idraulico lungo le rette s indicate in figura. c) determinare landamento delle pressioni lungo le stesse rette.

    caso (I) caso (II)

  • Esercizio 24 Rispondere alle stesse domande dellesercizio precedente, assumendo: k1 = 0.410-6 m/sec k2 = 0.6 10-10 m/sec Esercizio 25 Su un provino cilindrico di limo, di altezza L = 7.60 cm e diametro D = 3.80 cm, viene eseguita una prova di permeabilit a carico costante, imponendo un flusso idraulico dal basso verso lalto. Il provino assoggettato a uno sforzo verticale totale pari a v = 100 kPa e a uno sforzo di confinamento radiale totale r = 50 kPa. La differenza di carico idraulico totale, hAB = 1m, viene imposta collegando la base del provino a un attuatore di pressione che mantiene la pressione di base uB = 30 kPa, mentre alla testa del campione viene mantenuta una pressione uA = 20 kPa. La portata misurata in unora pari a Q = 5.37 cm3/h. c) determinare il coefficiente di permeabilit k del limo. d) trascurando le componenti di sforzo dovute al peso proprio del provino, si tracci landamento

    degli sforzi efficaci v e r lungo laltezza del provino. Esercizio 26 Con riferimento allo schema per la prova di permeabilit a carico costante gi presentato nellesercizio 4, si consideri la presenza alla testa e alla base del provino di due pietre porose di area uguale a quella del provino, di spessore tP = 2.5 mm con permeabilit kP = 10-6 cm/sec. La differenza di carico idraulico hAB = 1m viene imposta allintero sistema tramite una pressione di base uB = 30 kPa e una pressione in testa uA = 20 kPa. La portata attraverso lintero sistema (provino + pietre porose) misurata in unora pari a Q = 5.37 cm3/h. Determinare nuovamente la permeabilit del limo, tenendo in conto leffetto della presenza delle pietre porose. Esercizio 27 Determinare landamento delle pressioni lungo la direzione s nei quattro casi schematizzati in figura. In tutti i casi, il valore del carico idraulico nella sezione A, hA, pari a 10 m, mentre quello in corrispondenza della sezione B hB = 5 m. Lorigine del sistema di riferimento posta in corrispondenza della sezione A (zA = 0.)

  • Figura 1a Figura 1b

    Figura 1c Figura 1d ------------------------------------------------------------------------------------------------------- coefficienti di permeabilit: k1 = 4*10-5 m/sec k2 = 2*10-5 m/sec k3 = 2*10-9 m/sec lunghezze: a = 1 m b = 5 m carichi idraulici : hA = 10 m quota: zA = 0 hB = 5 m inclinazione direzione s: = 30 Esercizio 28 Il deposito in figura, costituito da due strati sabbiosi, sede di un moto di filtrazione. Il piano di falda coincide con il piano campagna. La misura della pressione alla quota del punto P fornisce uP = 65 kPa.

  • Si determini: a) la portata Q per unit di area che filtra attraverso il sistema; b) landamento della componente verticale di sforzo totale ed efficace da piano campagna, fino alla

    profondit di 5 metri (alla quota del punto P). Esercizio 29 Il versante in figura costituito da due strati di materiale colluviale, sovrastanti un substrato roccioso impermeabile. Lo strato superficiale, 1, pu essere considerato impermeabile. Lo strato inferiore, 2, ha elevata permeabilit. In tabella 1 sono riassunte le propriet dei due strati. Le caratteristiche geometriche del versante e le condizioni al contorno idrauliche sono riassunte in tabella 2. Inizialmente (caso 1) il livello idraulico nei due bacini coincide con linterfaccia fra i due strati. Successivamente (caso 2), entrambi i livelli risalgono fino al massimo, indicato in figura.

    Tabella 1 strato tot

    (kN/m3) k

    (m/sec) spessore H (m)

    1 22 ---- 5 2 20 10-5 10

    Tabella 2

    condizione L (m)

    H (m)

    carico idraulico di

    monte

    carico idraulico di

    valle 1 b a 2 400. 145.6 b a

    h a

    bh

    L

    12

    aa'

    bb'

    a'h

    b'h

    H

    z

    Determinare:

  • a) il gradiente idraulico, la portata, e la distribuzione delle pressioni in funzione di z nella condizione 1 (livelli idraulici: a-b);

    b) il gradiente idraulico, la portata, e la distribuzione delle pressioni in funzione di z nella condizione 2 (livelli idraulici: a-b).

    Esercizio 30 Con riferimento al sistema in figura, si calcolino:

    a) la portata del moto di filtrazione Q; b) landamento del carico idraulico h della pressione u lungo la direzione z del sistema costituito

    dai due strati rappresentati in figura

    coefficienti di permeabilit: k1 = 10-10 m/sec k2 = 10-5 m/sec lunghezze: L1 = 60 cm L2 = 40 cm carico idraulico: ha = 1.6 m hb = 0.0 m area: A = 10 cm2

    Domanda 1 Con riferimento a un moto di filtrazione monodimensionale in direzione s, dire sotto quali ipotesi landamento delle pressioni u (s) lineare Domanda 2 Definire i coefficienti di permeabilit equivalenti a un sistema composto da pi strati. Domanda 3 Con riferimento a un moto di filtrazione monodimensionale in direzione s, dire sotto quali ipotesi landamento delle pressioni u (s) lineare

  • Soluzioni degli esercizi sulla filtrazione Esercizio 2 Il sistema costituito da due strati di caratteristiche differenti posti in serie

    z

    zB

    Fig. 1 Assumendo come riferimento lasse z con origine in A, possibile valutare il carico idraulico nei punti A e B. In particolare si ha:

    ( ) ( )1 20

    15 0.15A

    B

    zz L L sen cm m

    == + = = (41)

    da cui:

    100 110

    50.15 0.6510

    AA A

    w

    BB B

    w

    uh z m

    uh z m

    = + = + =

    = + = + = (42)

    Ricordando quindi la legge di Darcy e che la portata risulta essere la medesima nei due strati si pu scrivere:

    ( ) ( )

    1 21 2

    1 2

    1 2

    1 2C A B C

    h hk kL L

    k kh h h hL L

    =

    = (43)

    e quindi

  • 5 51 2

    1 25 5

    1 2

    1 2

    10 2 101 0.650.2 0.1 0.72

    10 2 100.2 0.1

    A B

    C

    k kh hL Lh mk k

    L L

    + += = =+ +

    (44)

    La pressione nel punto C pertanto:

    ( ) ( )10 0.72 0.1 6.2C W C Cu h z kPa= = = (45)Landamento delle pressioni risulta essere pertanto quello riportato nelle figure seguenti:

    0 0.1 0.2 0.3s (m)

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4

    h, z

    (m)

    AC B

    A

    CB

    h(s)z(s)

    u/w

    Fig. 2

    0 0.1 0.2 0.3s (m)

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    u (k

    Pa)

    A

    C

    B

    z(s)

  • Fig. 3 Il gradiente idraulico nei due strati pari a:

    ( )

    ( )

    11

    1

    22

    2

    1 0.72 1.40.2

    0.72 0.65 0.70.1

    hiLhi

    L

    = = = = = =

    (46)

    mentre la portata che attraversa i due strati:

    5 5 311

    1

    0.280.001 10 0.0014 10 /0.2

    hQ A k m sL

    = = = (47)

    Esercizio 3 Per la legge di Darcy:

    Q k A i= (48)e risolvendo rispetto a k:

    52 10 /

    4

    Q Qk cm sD hA i

    L

    = = = (49)

    Landamento degli sforzi quello rappresentato in figura:

    z

    Fig. 4

  • 7.6

    0

    z (cm

    )

    100

    100

    50

    50

    20

    30

    80

    70

    30

    20

    v (kPa) r (kPa) 'v (kPa) 'r (kPa)u (kPa)

    Fig. 5 Esercizio 4 Il gradiente idraulico i pari a:

    0,18ABAB

    hiL

    = = (50)

    Per il calcolo della portata, lo strato permeabile pu essere schematizzato come costituito da due elementi in serie (fig. 6):

    lo strato 1;

    uno strato avente la permeabilit equivalente ottenuta tenendo presente che gli strati 2 e 3 sono in parallelo

  • (a)

    k1 keq_23

    (b)

    keq_1_23A B

    (c)

    Fig. 6 Conseguentemente occorrer determinare il valore di keq. Per due strati posti in parallelo questo dato da:

    i iieq

    ii

    k Hk

    H=

    & (51)

    Sostituendo i valori per gli strati 2 e 3: (fig. 6 a):

  • 8 88

    _ 2310 2 0.5 10 3 0.7 10 /

    2 3eqk m s

    + = = +

    & (52)

    Ora occorre valutare la permeabilit equivalente considerando lo strato 1 e quello equivalente agli strati 2 e 3 (fig. 6 c) posti in serie luno rispetto allaltro. Ricordando che per una sequenza di strati posti in serie:

    iieq

    ii

    i

    Lk L

    k

    = (53)si ottiene:

    8_123

    5 8

    6 5 1.54 10 /6 510 0.7 10

    eqk m s

    += = +

    (54)

    Pertanto, la portata del moto di filtrazione sar pari a:

    _123AB

    eqAB

    hQ k AL

    = (55)

    essendo hAB la perdita di carico tra i punti A e B (2 m, pari alla differenza di quota tra i bacini idrici di valle e di monte) e LAB la distanza (11 m). Sostituendo:

    8 8 321.4 10 5 1.4 10 /11

    Q m s = = (56)

    Esercizio 5 In questo caso occorre tenere presente che la filtrazione avviene allinterno del sistema costituito da tre strati posti in serie, e pertanto:

    9 3' '

    ' '

    1.49 10 /A BeqA B

    HQ k A m sL

    = = (57)

    da cui si ricava:

    7

    ' '

    ' '

    1.06 10 /eqA B

    A B

    Qk m sHAL

    = =

    (58)

    Ma per gli strati posti in serie eqk

    dato dalla (53) e quindi:

  • 22

    peq

    p

    p

    L tk t L

    k k

    +=+

    (59)

    da cui

    72 2

    8

    0.0811.06 100.25 10 7.6 102

    10 k

    = +

    (60)

    e quindi 72.88 10 /k m s= Esercizio 9 Il gradiente idraulico medio dato da:

    ( )( )

    1.5 0 1.5 1.50.6 0.4 1

    = = = =+ab

    ab

    hiL

    (61)

    La portata del moto di filtrazione invece data da:

    eqQ k A i= (62)

    con

    5

    5 5

    0.6 0.4 1.25 10 /0.6 0.410 2 10

    iieq

    ii

    i

    Lk m sL

    k

    += = = +

    (63)

    e: 2 4 2 3 310 10 10 10A cm m m = = = (64)

    Quindi: 5 3 8 31.25 10 10 1.5 1.875 10 / = = Q m s (65)

    Per la determinazione dellandamento delle pressioni possibile scrivere per un generico punto P:

    PP P

    w

    uh z = + (66)

    Per quanto riguarda il punto b, dai dati del problema si ricava 0bh = , e dal sistema di riferimento adottato 0bz = . Pertanto dalla (66) si ricava:

  • 0 0 0b bw

    u u= + = (67)

    za

    zc

    Fig. 7 Per il punto b si ha invece dai dati del problema 1.5=ah m e dal sistema di riferimento adottato

    1 2 1az L L m= + = e pertanto:

    ( )1.5 1 10 1.5 1 5= + = =a aw

    u u kPa (68)

    Landamento delle pressioni sar lineare tra a e c e tra b e c: occorre quindi determinare la pressione nel punto c. A tal scopo, dette Q1 e Q2 le portate che passano attraverso lo strato 1 e lo strato 2 si ha che:

    1 2Q Q Q= = (69)e pertanto

    1 1bchQ k A

    bc= (70)

    si ha:

    81

    5 31

    1.875 10 0.6 1.12510 10

    = = =bcQh bc m

    k A (71)

    Conseguentemente

    0 1.125 1.125= + = + =c b bch h h m (72)

  • e quindi essendo 1 0.6= =cz L m ( )1.125 0.6 10 5.25= =bcu kPa (73)

    Landamento delle pressioni in funzione della coordinata z riportato in fig.

    0 1 2 3 4 5 6u (kPa)

    00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

    1z (

    m)

    a

    c

    b

    u(z)

    Esercizio 10 La prova di permeabilit viene eseguita con un permeametro a carico variabile:

    ( )1

    2

    2 1

    lnc

    hhak L

    A t t

    = (74)

    Le misure effettuate consentono di stimare il coefficiente di permeabilit:

    ( )5 7

    0.5ln1 0.410 3.1 10 / 3.1 10 /20 3600 0

    = = = k cm s m s

    (75)

    Il massimo e il minimo gradiente idraulico in [ ]0,1t h= sono pari a:

    [ ]( ) ( )

    [ ]( ) ( )

    0, 1

    0,1

    max

    max 0 0.5 50.1

    min 1 0.4 40.1

    = = = = = = = =

    t h

    t h

    min

    h t hiL Lh t h hi

    L L

    (76)

  • La massima forza di filtrazione per unit di volume sar pari pertanto a: 3

    max 10 5 50 /max wf i kN m= = = (77)ed diretta come il vettore velocit (vedi fig):

    f

    Lassetto sperimentale consente una stima affidabile del coefficiente di permeabilit se: 1) la perdita di carico idraulico nelle pietre porose trascurabile kp >> k, o pu essere

    quantificata (conoscendo la permeabilit kp delle pietre porose). 2) la variazione di porosit durante il corso della prova trascurabile Esercizio 11 La permeabilit data da:

    ( ) ( ) 0.1 /' ''

    Q Qk m sh a h bA i A

    L

    = = =

    (78)

    mentre la forza di filtrazione, costante per tutta la durata della prova, diretta dallalto verso il basso e ha modulo:

    ( ) ( ) 3' ' 200 /'w w

    h a h bf i kN mL

    = = = (79)

    Esercizio 12 Considerando il tubo di flusso pi profondo, il carico idraulico da dissipare pari a 6.1 m e i salti di potenziale sono 8. Pertanto:

  • 6.1 0.7628maglia

    h m = = (80)

    Lo stessa informazione pu essere ricavata anche dalla scala graduata riportata in figura alla sinistra del muro. Sebbene nel testo del problema venga richiesto un andamento qualitativo, a titolo di completezza viene riportata la soluzione analitica. A tal scopo, prendendo in esame i punti da 1 a 9, (fig. 8) si costruisce la tabella seguente, ricordando che per il k-esimo punto:

    ( )( )

    6.1 1k maglia

    k w k k

    h k h

    u h z

    = = (81)

    87

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    9

    s

    Fig. 8

    PUNTO zk (m) hk (m) uk (kPa) 1 6.10 6.10 0 2 4.23 5.34 10.89 3 3.06 4.58 14.91 4 2.25 3.82 15.40 5 1.62 3.06 14.13 6 1.08 2.30 11.97 7 0.72 1.54 8.04 8 0.32 0.76 4.32 9 0 0 0

  • 01

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    s (m)

    20

    16

    12

    8

    4

    0

    u (kP

    a)

    Fig. 9 La portata del singolo tubo di flusso per unit di lunghezza in direzione ortogonale al moto pari a:

    8 27.6 10 /magliaq k h m s = = (82)mentre la portata complessiva (sempre per unit di lunghezza) pari a:

    274.56 10tubi

    mQ q Ns

    = = (83)

    La spinta esercitata dallacqua sulla parete nulla in quanto, per effetto della presenza del dreno la pressione dellacqua nulla. Esercizio 13 Data la differenza di permeabilit tra gli strati sabbiosi e quelli argillosi, si pu supporre che le perdite di carico siano tutte concentrate nello strato di argilla. In particolare il gradiente idraulico sar dato da:

    1.5 0.35m argilla

    hih

    = = = (84)

    da cui una portata per unit di area:

  • 39 9

    2

    12 10 0.3 0.6 10Q k i A mq k iA A s m

    = = = = = (85)

    I pesi di volume saturo per ciascuno strato possono essere ricavati dalle relazioni di fase e in particolare si ottiene:

    ( ) 31: 1 20.2sat s w w kNstrato G n n m = + = ( ) 32 : 0.444 1 18.91 sat s w

    e kNstrato n n ne m

    = = = + =+ (86)

    La componente verticale di sforzo totale, lineare a tratti, in equilibrio con i pesi di volume totali. La componenente efficace pu essere ricavata per differenza: 'v v u = Landamento delle pressioni idrostatico nello strato superiore sabbioso. E lineare nello strato di argilla, con un valore allinterfaccia con lo strato inferiore pari a 65 kPa. Il carico idraulico nel secondo acquifero , infatti pari a 6.5 m (fig. 10)

    8

    6

    4

    2

    0

    z (m

    )

    0

    60.6

    117

    155

    0

    30

    51

    65

    0

    30.6

    66.3

    90

    v (kPa) 'v (kPa)u (kPa)

    Fig. 10 Dopo labbassamento del livello di falda, a regime:

    aa) andamento della pressione neutra: landamento rimane idrostatico nello strato superiore sabbioso, e lineare nello strato di argilla. Il valore di pressione allinterfaccia con lo strato inferiore, governato dal nuovo carico idraulico nel secondo acquifero (3.5 m), scende a 35 kPa.

    bb) variazione della componente verticale di sforzo a regime, fino alla profondit z = 8m: la componente verticale di sforzo totale rimane ovunque invariata 0.v Nello strato 1, la pressione u rimane invariata e, di conseguenza, anche la componente verticale di sforzo efficace. Nello strato di argilla, la pressione varia linearmente da zero a 30 kPa. La variazione della componente verticale di sforzo efficace uguale ed opposta alla variazione di pressione:

    'v u . Gli andamenti sono riportati in grafico (fig. 11)

  • 030

    33

    35

    0

    0

    30

    'v (kPa)u (kPa)

    Fig. 11 Esercizio 14

    z

    Fig. 12 Dalla fig. 12 si possono ricavare le seguenti informazioni:

    differenza di carico idraulico totale: 35TOTh m = numero di salti di potenziale: 14saltiN = numero di tubi di flusso: 4tubiN =

    La perdita di carico idraulico per ciascun salto di potenziale vale pertanto:

    35 2.514

    TOTi

    salti

    hh mN = = = (87)

    La portata complessiva del moto di filtrazione, per unit di lunghezza di diga pari a:

  • 28 72 10 2.5 4 2 10i tubi

    mQ k h Ns

    = = = . (88)

    La pressione nel punto P nulla in quanto sul pelo libero. Anche la pressione nel punto A' nulla in quanto il punto si trova in corrispondenza del dreno. La pressione nel punto A data dal valore della pressione idrostatica, ovvero:

    35 350A wu kPa= = (89) La pressione nel punto P, assumendo il sistema di riferimento in fig. 12 ricavabile scrivendo che:

    ' ' 35 2.5 4 25P A AP A ih h h h h n m= = = = (90)da cui

    ( )' ' ' ' 25 10 250P P P w P wu h z h kPa = = = = (91) Esercizio 15 Data la differenza di permeabilit tra gli strati sabbiosi e quelli argillosi, si pu supporre che le perdite di carico siano tutte concentrate nello strato di argilla. In particolare il gradiente idraulico sar dato da:

    4.5 0.95m argilla

    hih

    = = = (92)

    da cui una portata per unit di area:

    39 9

    2

    12 10 0.9 1.8 10Q k i A mq k iA A s m

    = = = = = (93)

    I pesi di volume saturo per ciascuno strato possono essere ricavati dalle relazioni di fase e in particolare si ottiene:

    ( ) 31: 1 20.2sat s w w kNstrato G n n m = + = ( ) 32 : 0.444 1 18.91 sat s w

    e kNstrato n n ne m

    = = = + =+ (94)

    La componente verticale di sforzo totale, lineare a tratti, in equilibrio con i pesi di volume totali. La componente efficace pu essere ricavata per differenza: 'v v u =

  • Landamento delle pressioni idrostatico nello strato superiore sabbioso. E lineare nello strato di argilla, con un valore allinterfaccia con lo strato inferiore pari a 35 kPa. Il carico idraulico nel secondo acquifero , infatti pari a 3.5 m (fig. 10)

    8

    6

    4

    2

    0z (

    m)

    0

    60.6

    117.3

    155

    0

    30

    33

    35

    0

    30.6

    84.27

    120

    v (kPa) 'v (kPa)u (kPa)

    Fig. 13 Dopo linnalzamento del livello di falda, a regime:

    cc) andamento della pressione neutra: landamento rimane idrostatico nello strato superiore sabbioso, e lineare nello strato di argilla. Il valore di pressione allinterfaccia con lo strato inferiore, governato dal nuovo carico idraulico nel secondo acquifero (6.5 m), sale a 65 kPa.

    dd) variazione della componente verticale di sforzo a regime, fino alla profondit z = 8m: la componente verticale di sforzo totale rimane ovunque invariata 0.v Nello strato 1, la pressione u rimane invariata e, di conseguenza, anche la componente verticale di sforzo efficace. Nello strato di argilla, la pressione varia linearmente da zero a +30 kPa. La variazione della componente verticale di sforzo efficace uguale ed opposta alla variazione di pressione:

    'v u . Gli andamenti sono riportati in grafico (fig. 11)

    8

    6

    4

    2

    0

    z (m

    )

    0

    30

    51

    65

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    -18

    -30

    u (kPa) 'v (kPa)v (kPa)

    Fig. 14

  • In relazione al grado di sovraconsolidazione OCR, nello strato di sabbia non vi variazione di sforzo efficace e quindi, essendo il deposito inizialmente normalconsolidato OCR si mantiene pari ad 1. Per lo strato di argilla l'andamento con la profondit riportato in figura Errore. L'origine riferimento non stata trovata..

    0 0.4 0.8 1.2 1.6 2OCR

    8

    7

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    0

    z (m

    )

    1

    1.14

    1.22

    1.27

    1.306

    1.332

    Esercizio 16 Dalla fig. 15 si ricava:

    differenza di carico idraulico totale: 3.5TOTh m = numero di salti di potenziale: 7saltiN = numero di tubi di flusso: 3tubiN =

  • A B

    h = 3.5m0.75 m

    h = 1.5 m

    z

    A'

    Fig. 15 La portata complessiva del moto di filtrazione, per unit di lunghezza di paratia pari a:

    36 63 110 3.5 1.5 10

    7tubi

    salti

    N mQ k hN s m

    = = = . (95)

    Per la verifica al sifonamento, ricordiamo la definizione del fattore di sicurezza secondo Terzaghi:

    ' / 2B

    ecc

    A

    h hFSu dx

    =

    (96)

    con ecc pressione in eccesso. Nel caso in esame:

    ( ) ' 10ecc idrA A A w A A w w A A A wsalti

    hu u u h z h h n z h kPan = = = =

    (97)

    con nA numero di salti da A ad A' e zA quota del punto a con riferimento al sistema in figura. Con analogo ragionamento per il punto B:

    5eccBu kPa= (98)da cui:

    ( ) ( )' / 2 ' / 2 10 1.5 2

    10 5/ 2 22

    B ecc eccecc A B

    A

    h h h hFSu uu dx h

    = = = =++

    (99)

  • Esercizio 27 Indipendentemente dalla configurazione dei due strati nei differenti casi il calcolo della pressione nei punti A e B pu essere effettuato una sola volta in virt del fatto che la distanza AB e linclinazione non varia nelle differenti situazioni analizzate.

    zzB

    Fig. 16 Con riferimento alla fig. 16, e ricordando che per un generico punto P si ha:

    PP P

    w

    uh z = + (100)

    possibile scrivere:

    A AA A

    w w

    u uh z = + = (101)

    essendo 0Az = , mentre

    ( ) ( )sinB BB Bw w

    u uh z a b = + = + + (102)

    Sostituendo il valori numerici:

    ( ) ( )10

    10

    5 5 1 sin 3010

    A

    B

    u

    u

    = = + + (103)

    da cui si ricava:

  • 10020

    A

    B

    u kPau kPa

    = = (104)

    Vengono ora presi in esame i differenti casi. Le situazioni 1a) e 1c) (fig. 17) sono sostanzialmente identiche, potendo essere schematizzate come due strati posti in parallelo tra loro (la permeabilit dei due strati anche se differente nei due casi non influisce sullandamento delle pressioni, ma solo sulla portata). Con questa configurazione landamento della pressione sar di tipo lineare (fig. 18).

    Caso 1a) Caso 1c)

    Fig. 17

    0 2 4 6s (m)

    0

    20

    40

    60

    80

    100

    120

    u (k

    Pa)

    A

    B

    ucaso_ac(s)

    Fig. 18 Viceversa per quanto riguarda i casi 1b) e 1d), il sistema costituito da due strati posti in serie. Pertanto per determinare landamento delle pressioni occorre valutare la pressione uC nel punto C, che risulter differente in entrambi i casi. Valutato hC in ogni situazione si avr per la (66)

    ( )C C C wu h z = (105)con, in entrambi i casi:

    ( )sin 0.5Cz a m= = (106)

  • zzB

    zC C

    zzB

    CzC

    Caso 1b) Caso 1d)

    Fig. 19 Prendendo in esame il caso 1d) si pu osservare che 1 3k k : conseguentemente la perdita di carico nel tratto AC pu ritenersi del tutto trascurabile e quindi:

    C Ah h= (107)da cui sostituendo nella (105) si ottiene:

    ( )10 0.5 10 95Cu kPa= = (108)Landamento delle pressioni rappresentato in fig. 20. Analizzando il caso 1a) occorre invece valutare la perdita di carico nel tratto AC. A tal scopo ricordando la legge di Darcy, si ha che:

    eqv k i= (109)

    con

    5 0.8336

    ABhiAB

    = = = (110)

  • 0 2 4 6s (m)

    0

    20

    40

    60

    80

    100

    120

    u (k

    Pa)

    A C

    B

    ucaso_d(s)

    Fig. 20 Ricordando che per una sequenza di strati posti in serie:

    iieq

    ii

    i

    Lk L

    k

    = (111)si ottiene:

    5

    5 5

    1 5 2.18 10 /1 54 10 2 10

    eqk m s

    += = +

    (112)

    In questo caso occorre tenere presente che la filtrazione avviene allinterno del sistema costituito da due strati posti in serie, e pertanto:

    5 52.18 10 0.833 1.817 10v = = (113) Considerando ora le velocit v1 e v2 dellacqua nei due strati, poich sono posti in serie si ha:

    1 2v v v= = (114)e poich:

    1 1AChv k

    AC= (115)

    si ha:

    51

    51

    1.817 10 1 0.4544 10AC

    vh AC mk

    = = = (116)

  • Conseguentemente

    10 0.454 9.546C A ACh h h= = = (117)e quindi

    ( )9.546 0.5 10 90.5Cu kPa= = (118)Landamento delle pressioni riportato in figura 21.

    0 2 4 6s (m)

    0

    20

    40

    60

    80

    100

    120

    u (k

    Pa)

    AC

    B

    ucaso_b(s)

    Fig. 21 Esercizio 28

    P'P''

    z

    Fig. 22 Per il punto P:

    65 6.510

    = + = + = +PP P P Pw

    uh z z z (119)

    mentre per il punto P':

  • '' ' '

    PP P P

    w

    uh z z= + = (120)

    poich ' 0Pu = , essendo sul pelo libero. Sottraendo membro a membro la (119) e la (120) si ottiene:

    ( ) ( )' ' 6.5 5 6.5 1.5 = + = + =P P P Ph h z z m (121) La filtrazione avviene attraverso due strati posti in serie di caratteristiche geometriche note. Pertanto possibile valutare la permeabilit equivalente:

    5

    5 5

    3 2 1.47 10 /3 210 5 10

    += = = +

    iieq

    ii

    i

    Lk m sL

    k

    (122)

    da cui, ricordando che la portata per unit di area Qq vA

    = = ,

    5 61.51.47 10 4.41 10 /5

    = = = eqv k i m s (123)

    essendo:

    '

    '

    PP

    PP

    HiL

    = (124)

    Per valutare landamento verticale degli sforzi efficaci, occorre determinare la distribuzione delle pressioni, procedendo in maniera del tutto analoga allesercizio 3 con riferimento al punto P'':

    1 2= =v v v (125)Pertanto:

    ''1 1 1 1''

    = =PPHv k k iPP

    (126)

    da cui

    61

    '' 51

    4.41 10'' 3 1.3210

    = = =PP vH PP mk (127)

    Scrivendo ora

    '''' ''

    PP P

    w

    uh z = + (128)

  • e sottraendo membro a membro la (119) e la (128) si ottiene:

    ( ) ( ) '''' '' 6.5 10 = +

    PP P P P

    uh h z z (129)

    Ricordando che ( )'' 1.32 =P Ph h m e che ( )'' 3P Pz z m = si ricava che:

    ''''1.32 3 6.5 21.7610

    = + =P Pu u kPa (130)

    Landamento della componente verticale della pressione, degli sforzi verticali totali ed efficaci sono rappresentati in fig. 23. Per il calcolo degli sforzi verticali si fa riferimento alle prime tre relazioni delle (145).

    5

    0

    (m

    )

    0

    40

    103

    0

    21.76

    65

    0

    18.24

    38

    v (kPa) u (kPa) 'v (kPa)

    Fig. 23 Esercizio 29 Il gradiente idraulico del moto di filtrazione, parallelo al pendio, pari a:

    ( )sen 0.342i = = (131)con 20 = , inclinazione del pendio. La portata specifica per unit di lunghezza in direzione ortogonale al piano di filtrazione data da:

  • [ ]5 5 210 110 0.342 3.42 10 /1 1

    m mA mq k i m ss m

    = = = (132)

    Per il calcolo dellandamento della pressione, si fa riferimento solo allo strato 2 , in quanto nello strato 1 , nulla lungo tutto lo spessore. Si introduce a tal scopo la coordinata z.

    L

    12

    a'

    b'

    a'h

    b'h

    H

    z

    P

    A

    zP'

    B

    P'

    zP

    12

    z

    Fig. 24 Con riferimento alla fig. 24 si pu scrivere ( ' 0Pu = essendo P' sul pelo libero):

    '' '

    P PP P P P

    w w

    u uh h z z = + = +N' 0Pu =

    (133)

    quindi

    ( )'P w P Pu z z= (134)Ma da considerazioni geometriche:

  • ( )' cosPPP z = (135)e

    ( ) ( ) ( )2' ' cos cosP P Pz z PP z = = (136) da cui:

    ( ) ( )2cosP w Pu z z = (137)ottenendo:

    Punto z (m) u (kPa) A 0 0 B 10.6 94

    Landamento di u lungo lasse z riportato in figura 25.

    u (kPa)

    z

    0

    0

    94

    A

    B

    1

    2

    Fig. 25 Per effetto della risalita dei livelli idraulici il gradiente del moto di filtrazione e la portata che attraversa lo strato 2 rimane la medesima (si ricorda che lo strato 1 impermeabile e pertanto non interessato da fenomeni di filtrazione). Per quanto riguarda landamento delle pressioni, si osservi la fig. 26.

  • h a

    bh

    L

    12

    aa'

    bb'

    a'h

    b'h

    H

    z

    z

    P

    AzP'

    B

    P'

    zP

    1

    2

    P''

    l

    ( )1 cosH

    ( )senl

    P'''

    Fig. 26 Si ha:

    ( )' '' senP P Ph h h l = = (138)

    e allo stesso tempo,

    '' '''P Ph h= (139)Quindi si pu scrivere:

    ( )' ''' senP Ph h l = (140)

    da cui:

    ( ) ( )( ) ( ) ( )

    ''' '

    ''' '''' '

    sen

    sen

    P P

    P PP P

    w

    h h l

    u uz z l

    = + = (141)

    e dalla geometria

  • ( ) ( ) ( )1''' ' sen cosP Pz z l H + = (142)e quindi, ricordando che ''' 0Pu =

    ( )1' cosP wu H = (143)

    Noto ora 'Pu si procede in maniera del tutto analoga al caso precedente:

    ( ) ( )

    ( ) ( )( )( ) ( )

    '' '

    12

    21

    cos0 cos

    cos cos

    P PP P P P

    w

    P wP

    w

    P w P w

    u uh h z z

    u Hz

    u z H

    = + =

    = +

    (144)

    Punto z (m) u (kPa)

    A 0 47 B 10.6 141

    La pressione nel primo strato continuer ad essere nulla poich essendo impermeabile non risentir delleffetto della risalita della falda. Il nuovo andamento delle pressioni in funzione di z rappresentato in fig. 27.

    u (kPa)

    z

    0

    0 47

    141

    A

    B

    1

    2

    Fig. 27

  • Stato di sforzo geostatico Esercizio 1 Il livello medio di un lago di 5 m rispetto al fondo (fig. 3). Determinare landamento dello sforzo efficace geostatico ('v e 'h) al di sotto del letto del lago fino ad una profondit di 10 m (punto C), note le caratteristiche di ogni strato sotto riportate.

    Strato 1 (NC): sat=20 kN/m3 K0=0,5 Strato 2 (NC): sat= 18 kN/m3 K0=0,6 =0,5

    ( ) ( ) OCRNCKOCRK = 002

    1

    5 m2 m

    5 m

    5 m

    A

    B

    C Un periodo di secca causa un abbassamento del livello dellinvaso di 3 m in maniera pressoch istantanea. Qual landamento degli sforzi verticali totali ed efficaci nella nuova configurazione? Qual ora lo sforzo orizzontale totale ed efficace nei punti A e B?

    Esercizio 2 Con riferimento al deposito rappresentato in fig.1, si determini lo stato di sforzo geostatico, totale ed efficace, in corrispondenza dei punti medi dei due strati, denominati A e B. Le caratteristiche degli strati di terreno rappresentati sono riassunte in tabella 1.

    argilla

    A

    B

    2m

    4m

    1

    2

    sabbia fine

    Figura 1

  • tot [ kN/m3] H [m] OCR strato 1 16 30 2 1,6 strato 2 20 25 4 1

    Tabella 1

    Esercizio 3 Con riferimento al deposito argilloso normalconsolidato di figura a, si determini lo stato di sforzo geostatico in corrispondenza del punto A e si individui nel piano degli sforzi q - p il punto corrispondente. I dati relativi al deposito sono raccolti in tabella. In un secondo momento (t = 0), sulla superficie dello strato viene applicato, in maniera pressoch istantanea, un carico uniformemente distribuito pari a 50 kPa (fig. 8b). Si individuino nel piano q - p i punti rappresentativi degli stati tensionali efficaci del punto A, relativi agli istanti t = 0+ e t = :.

    d [kN/m3] sat [kN/m3] h1 [m] h2 [m] hA [m] K0 Argilla 15 21 2 1,5 0,5 0,53

    Ah2

    1h

    Ah

    Figura a

    2

    1h

    hhA A

    50 kPa

    Figura b

    Esercizio 4

  • Il deposito stratificato, schematizzato in figura, costituito da uno strato superficiale di sabbia di spessore H0 = 2 m con peso di volume sat = 20 kN/m3 e angolo di resistenza al taglio = 30, sovrastante un banco argilloso di spessore H0 = 10 m con peso di volume sat = 18 kN/m3 e angolo di resistenza al taglio = 25, appoggiato su uno strato di ghiaia. Il deposito inizialmente normalconsolidato e saturo. Il piano di falda coincide con il piano campagna e il regime di pressione idrostatico.

    K0 = (1-sin ) * OCR0.5 Si determini: lo stato di sforzo, totale ed efficace, ad una profondit di 2m dal piano campagna (allinterfaccia fra lo strato sabbioso e quello argilloso); lo stato di sforzo, totale ed efficace, in corrispondenza del punto medio dello strato argilloso (z = -7m dal piano campagna). Sul deposito viene costruito un rilevato su unarea molto estesa rispetto allo spessore degli strati, il cui peso equivale a un carico verticale uniforme per unit di area pari a q = 40 kPa.

    determinare la variazione di sforzo, totale ed efficace, indotta a lungo termine dalla costruzione del rilevato in corrispondenza del punto medio dello strato argilloso (z = -7m dal piano campagna). Il rilevato viene successivamente rimosso. determinare lo stato di sforzo, totale ed efficace a lungo termine, dopo la rimozione del rilevato in corrispondenza del punto medio dello strato argilloso (z = -7m dal piano campagna). Infine, il livello della falda presente nello strato ghiaioso si abbassa di due metri, mentre quello della falda superiore nello strato sabbioso rimane inalterato.

  • determinare lo stato di sforzo, totale ed efficace finale in corrispondenza del punto medio dello strato argilloso (z = -7m dal piano campagna), dopo la rimozione del rilevato e labbassamento del livello di falda. Esercizio 5 Stimare lo spostamento a livello di piano campagna a seguito della costruzione del rilevato: a seguito della rimozione del rilevato: a) a seguito dellabbassamento del livello di seconda falda.

    Si ricorda che lo spostamento richiesto somma delle variazioni di altezza dei due strati deformabili. Nel calcolo si assuma il modulo edometrico Eed/carico se il terreno in condizioni normalconsolidate, e Eed/scarico se, invece, si trova in condizioni sovraconsolidate. Esercizio 6 Un deposito normalconsolidato costituito da due strati di terreno granulare separati da uno strato di argilla, cos come indicato in figura. Le caratteristiche di ciascuno strato sono riassunte in tabella.

    Strato Spessore (m) ()

    tot (kN/m3) 1 2 30 16 2 4 25 21 3 ---- 32 ----

    Si determini lo stato di sforzo, totale ed efficace, ed i valori della pressione interstiziale in corrispondenza dei punti A e B.

    Sabbia

    Argilla

    Ghiaia

    2 m

    4 m

    1

    2

    3

    A

    B

    Sabbia

    Argilla

    Ghiaia

    2 m

    4 m

    1

    2

    3

    B

    A

    scavo

  • A seguito di uno scavo, lo strato 1 di sabbia viene completamente rimosso. I livelli di falda rimangono inalterati. Si determini lo stato di sforzo, totale ed efficace, ed i valori della pressione interstiziale a regime, in corrispondenza dei punti A e B. Si determini, inoltre, il grado di sovraconsolidazione OCR in corrispondenza dei punti A e B. Si ricorda che K0 = (1-sin ) * OCR0.5.

    Esercizio 7 Dato il deposito schematizzato in figura 1, si diagrammino gli andamenti dello stato di sforzo geostatico, totale ed efficace, fino ad una profondit di 10 m dal piano campagna, con riferimento alla condizione (a). Il deposito inizialmente normalconsolidato. Il primo strato sede di una falda con livello piezometrico coincidente con il piano campagna. Lo strato inferirore di sabbia anchesso sede di una falda con livello piezometrico indicato dal piezometro in figura. I coefficienti di spinta a riposo, in condizione di normale consolidazione, possono essere assunti pari a: K0 = 0.4 per lo strato superficiale di sabbia, K0 = 0.5 per il banco di argilla e K0 = 0.3 per lo strato sabbioso pi profondo. I pesi per unit di volume sono indicati in figura.

    Fig.1 Successivamente, il livello piezometrico della falda profonda si innalza fino a piano campagna

    (condizione (b)). Dire quanto vale il grado di sovraconsolidazione in corrispondenza del punto P.

    Esercizio 8 Il deposito stratificato, schematizzato in figura (a), costituito da uno strato superficiale di sabbia di spessore H0 = 2 m con peso di volume sat = 20 kN/m3 e angolo di resistenza al taglio = 30, sovrastante un banco argilloso di spessore H0 = 10 m con peso di volume sat = 18 kN/m3 e angolo di resistenza al taglio = 25, appoggiato su uno strato di ghiaia. Il deposito inizialmente normalconsolidato e saturo. Il piano di falda coincide con il piano campagna e il regime di pressione idrostatico.

  • K0 = (1-sin ) * OCR0.5 Sul deposito (fig. (b)) viene costruito un rilevato su unarea molto estesa rispetto allo spessore degli strati, il cui peso equivale a un carico verticale uniforme per unit di area pari a q = 40 kPa.

    z

    Si determini: la variazione di sforzo totale ed efficace a breve e lungo termine nel punto medio dello strato argilloso; il grado di sovraconsolidazione OCR ad una profondit z = 9,5 m dal piano campagna dopo la costruzione del rilevato. Esercizio 9 Il deposito stratificato, schematizzato in figura, originariamente costituito da uno strato superficiale 1 sovrastante uno strato sabbioso 2, a sua volta poggiante su uno strato argilloso 3. Il deposito originariamente normalconsolidato. I dati relativi ai tre strati sono riassunti in tabella (si ricorda che K0OC = K0NC * OCR0.5 ). Originariamente il piano di falda posto a 2 m dal piano campagna (figura 2a). STRATO 0 sat d K0NC

    [m] [kN/m3] [kN/m3] --- 1 2. --- 15. 0.6 2 2. 20. 18. 0.4 3 4. 18. --- 0.5

    a) determinare landamento degli sforzi efficaci (V0 , H0 ) su tutto lo spessore del deposito nella

    configurazione originaria b) lo strato superficiale viene successivamente eroso. Determinare il grado di sovraconsolidazione

    OCR e la componente orizzontale di sforzo efficace,H0 alla fine del processo di erosione (figura b) in corrispondenza della profondit A

    c) nel corso del tempo, il piano di falda subisce un abbassamento di 2m rispetto alla sua posizione originaria (figura c). Determinare OCR e H0 in A

  • d) infine sul deposito vengono riportati 4m di terreno con peso di volume totale tot = 18 kN/m3. Determinare nuovamente OCR e H0 in A (figura d)

    Figura a Figura b

    Figura c Figura d

  • Soluzione degli esercizi sullo stato di sforzo geostatico Esercizio 4 Ai fini della determinazione dello stato di sforzo nelle condizioni iniziali, si fa riferimento alle seguenti relazioni:

    0

    '' '

    '

    v

    w

    v v

    h v

    h h

    zu z

    uk

    u

    = =

    = =

    = +

    (145)

    con k0 dato dalla formula di Jaky:

    ( )0 1 sen 'k = (146)

    A

    B 5m

    zC

    Fig. 28 Individuando il punto A e il punto B rispettivamente ad una profondit di 2m e di 7m dal piano campagna (fig. 28), possibile scrivere la seguente tabella riassuntiva:

    Punto z (m) 0v

    (kPa) u0 (kPa) 0

    'v (kPa) 0NCk 0'h (kPa) 0h (kPa) sabbia: 0.500 10 30

    A 2 40 20 20 argilla: 0.577 11.5 31.5

    B 7 130 70 60 0.577 34.6 104.6

    Occorre osservare che essendo il punto A di interfaccia tra lo strato di sabbia e lo strato di argilla, occorre valutare lo sforzo orizzontale con riferimento ad entrambi, essendo un punto di discontinuit per ( )'h z . Con riferimento alle condizioni di lungo termine, la variazione degli sforzi verticali totali ed efficaci a seguito della costruzione del rilevato indipendente da z e pari al carico q:

    ' 40v v kPa = = (147)

  • Analogamente anche la variazione degli sforzi orizzontali totali ed efficaci coincidono:

    'h h = (148)e poich il terreno si trova in condizioni normalconsolidate sia prima che dopo la realizzazione del rilevato tale variazione pu essere espressa nella forma:

    0'NC

    h h k q = = (149)ovvero

    ' 0.577 40 23.08 = = =h h (150) La successiva rimozione del rilevato, porta, a lungo termine, ad avere sforzi verticali coincidenti con quelli valutati nelle condizioni iniziali.

    Punto z (m) 0dv v

    = (kPa) u (kPa) 0

    ' 'dv v

    = (kPa) B 7 130 70 60

    La componente orizzontale di sforzo sar invece differente rispetto a quella in condizioni indisturbate in quanto il terreno, a seguito dello scarico, risulta essere sovraconsolidato. Il grado di sovraconsolidazione OCR nel generico punto P pari a:

    ( ) ( )( )''

    max

    attuale

    v

    v

    POCR P

    P= (151)

    con 'maxv

    , massimo sforzo verticale efficace cui stato soggetto il terreno in quel punto e 'attualev

    sforzo verticale efficace cui soggetto il terreno nelle condizioni attuali. Quindi ricordando che

    0.50 0OC NCk k OCR= (152)

    le componenti di sforzo orizzontale totale ed efficace a seguito della rimozione del rilevato sono indicate nella tabella seguente:

    0

    ' 'maxv v

    q = + (kPa) ' 'attuale dv v

    = (kPa) OCR 0OCk 'dh

    (kPa) dh

    (kPa) B 100 60 1,667 0,745 44,7 114,7

    Il successivo abbassamento della falda presente nello strato ghiaioso provoca una variazione della pressione nel punto B e conseguentemente una variazione degli sforzi efficaci. Poich la permeabilit dello strato argilloso risulta essere notevolmente pi bassa rispetto a quella dello strato sabbioso e dello strato ghiaioso, possibile schematizzare la situazione nel seguente modo (fig. 29):

    la distribuzione delle pressioni di tipo idrostatico sia nello strato sabbioso che in quello ghiaioso;

  • allinterno dello strato di argilla si instaura un moto di filtrazione caratterizzato da un andamento lineare delle pressioni tra A e C.

    A

    B

    C

    20

    100

    0

    20

    0

    0

    100

    z

    sabbia

    argilla

    ghiaia

    falda sup. falda inf. complessiva.

    Fig. 29 Pertanto per la determinazione dellandamento delle pressioni si valuteranno le pressioni nei punti A e C considerando le distribuzioni idrostatiche nei due strati indicati e successivamente il conseguente andamento nel tratto AC. Pertanto essendo il punto B di interesse a met dello strato argilloso, ovvero punto medio di AC:

    (100 20) (100 20)20 5 6010 2 += + = =

    eBu kPa (153)

    Quindi il nuovo valore di sforzo verticale efficace nel punto B sar (quelli totali sono invariati):

    0' 60 70= =

    ev vkPa (154)

    Poich il massimo sforzo efficace sopportato dal terreno nel punto B risulta essere stato pari a 100 kPa (dopo la costruzione del rilevato), ci si viene a trovare ancora in condizioni di sovraconsolidazione:

    0

    ' 'maxv v

    q = + (kPa) ' 'attuale ev v

    = (kPa) OCR 0OCk 'eh

    (kPa) eh

    (kPa) B 100 70 1.43 0.690 48.3 108.3

  • Esercizio 5 La componente verticale di deformazione v (z) nel punto P a seguito di una variazione dello sforzo efficace v (z) data da:

    ( ) ( )( )' = vv

    ed

    zz

    E z (155)

    con ( ) ( ) ( )' ' ' = v v fin vinizz z z . La variazione di altezza di ciascuno strato, Hi, lintegrale della componente verticale di deformazione sullaltezza iniziale dello strato. Se la variazione di sforzo e il modulo edometrico sono costanti sullo spessore dello strato, questultima semplicemente data dal prodotto

    ( )/ = = i v i v ed iH H E H . Se la variazione di sforzo lineare, e il modulo edometrico costante, lintegrale pu essere semplicemente calcolato con il valor medio delle variazioni di sforzo e deformazione:

    = i puntomedio iH H (156)Lo spostamento del p.c. sar dato da:

    iiH H = (157)

    A seguito della costruzione del rilevato il terreno si mantiene in condizioni normalconsolidate e pertanto andr utilizzato /

    ied caricoE .

    La variazione di sforzo verticale efficace nella soluzione dellesercizio precedente stata vista essere indipendente dalla profondit z e pari a q. Quindi si potr scrivere:

    1 1 3/

    2 2 3/

    40 0.00220 10

    40 0.022 10

    = = = = = =

    ed carico

    ed carico

    qE

    qE

    (158)

    da cui un abbassamento del piano campagna:

    11 2

    2

    0.002 2 0.0040.204 20.4

    0.02 10 0.2 = = = + = = = =

    H mH H H m cm

    H m (159)

    La rimozione del rilevato provoca una variazione di carico anchessa costante con la profondit e pari a q. Pertanto, trovandosi in condizioni sovraconsolidate (vedi esercizio precedente) sar:

    1 1 3/

    2 2 3/

    40 0.0002200 10

    40 0.00410 10

    = = = = = =

    ed scarico

    ed scarico

    qE

    qE

    (160)

    da cui un innalzamento del piano campagna (indicato dal segno negativo di H):

  • 11 2

    2

    0.0002 2 0.00040.0404 4

    0.004 10 0.04 = = = + = = =

    H mH H H m cm

    H m (161)

    La successiva variazione del livello della falda, non provoca alcuna variazione del regime delle pressioni, e quindi dello sforzo efficace, nei punti dello strato sabbioso (vedi esercizio precedente). Lo spostamento a livello del piano campagna in questo caso sar pari a:

    2H H = (162)La variazione di sforzo efficace lineare lungo lo spessore dello strato. Nel suo punto medio pari a:

    ' ' ' 70 60 10 = = =e dv v

    kPa (163) Sempre dallesercizio precedente si osserva che il terreno si mantiene in condizioni sovraconsolidate e pertanto:

    2 2 3/

    ' 10 0.00110 10

    = = =ed scaricoE (164)

    da cui un abbassamento del piano campagna:

    2 20.001 10 0.01 0.01 1 = = = = =H m H H m cm (165)

    Esercizio 8 Con riferimento alle condizioni di breve termine, la variazione degli sforzi efficaci totali, a seguito della costruzione del rilevato indipendente da z e pari al carico q:

    40v kPa = (166)mentre:

    40h u kPa = = (167) Con riferimento alle condizioni di lungo termine invece, si ha:

    ' 40v v kPa = = (168)La variazione degli sforzi orizzontali totali ed efficaci coincidono e si ha:

    'h h = (169)

  • e poich il terreno si trova in condizioni normalconsolidate sia prima che dopo la realizzazione del rilevato tale variazione pu essere espressa nella forma:

    0'NC

    h h k q = = (170)ovvero

    ' 0.577 40 23.08 = = =h h (171)Il terreno rimane ovunque normalconsolidato poich

    0' '

    fv v > e conseguentemente anche alla

    profondit z=9,5 m OCR=1. Esercizio 9

    z

    AH2

    Fig. 1 Il calcolo dellandamento degli sforzi verticali totali ed efficaci, quelli orizzontali e la pressione dellacqua prima nella configurazione originaria (fig.1) sono rappresentati in fig. 2, tenendo presente che:

    0

    '' '

    '

    v

    v v

    h v

    h h

    zu

    ku

    = = =

    = + (172)

    ove d = per lo strato 1 (secco) e sat = per gli strati 2 e 3.

  • 87

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    0

    z (m

    )

    0

    3030

    7070

    142

    0

    00

    2020

    60

    0

    3030

    5050

    82

    v (kPa) 'h (kPa)'v (kPa)u (kPa)

    41

    25

    15A 12

    20

    Fig. 2 Il grado di sovraconsolidazione OCR nel generico punto P pari a:

    ( ) ( )( )''

    max

    attuale

    v

    v

    POCR P

    P= (173)

    con 'maxv

    , massimo sforzo cui stato soggetto il terreno in quel punto e 'attualev

    sforzo cui soggetto il terreno nelle condizioni attuali. Dopo il processo di erosione, poich il terreno si trova inizialmente in condizioni normalconsolidate, '

    maxv coincide con lo sforzo valutato nelle condizioni precedenti allerosione

    ( ' 50maxv

    kPa = ) mentre ( )2 2' ' 20 10 2 20attualev H kPa = = = (174)

    Pertanto il grado di sovraconsolidazione e lo sforzo orizzontale efficace nella nuova configurazione sono indicati nella tabella seguente:

    'attualev

    (kPa) OCR 0OCk 'attualeh

    (kPa)

    max''

    attuale

    v

    v

    OCR=

    0.50 0OC NCk k OCR= 0' 'fin finOCh vk =

    strato 2: 0.63 12.65 A 20 2.5

    strato 3: 0.79 15.81

    Occorre osservare che essendo il punto A di interfaccia tra lo strato 2 e lo strato 3, occorre valutare lo sforzo orizzontale con riferimento ad entrambi, essendo un punto di discontinuit per ( )'h z . Il successivo abbassamento del piano di falda, provoca una ulteriore variazione dello sforzo efficace nel punto A. Lo strato 2 si viene a trovare in condizioni secche e la pressione dellacqua sempre nel punto A nulla. Pertanto:

  • 2 2' 18 2 36

    attualev dH kPa = = = (175)

    Il massimo sforzo 'maxv

    risulta essere ancora quello valutato nella configurazione originaria (50kPa) e pertanto il terreno in condizioni sovraconsolidate. Pertanto le quantit richieste nel punto C sono riassunte nella tabella seguente:

    'attualev

    (kPa) OCR 0OCk 'attualeh

    (kPa)

    max''

    attuale

    v

    v

    OCR=

    0.50 0OC NCk k OCR= 0' 'fin finOCh vk =

    strato 2: 0.47 16.98 A 36 1.39

    strato 3: 0.59 21.22

    A seguito del posizionamento del riporto, nel punto A, lo sforzo attuale dato da:

    2 2' 18 4 18 2 92

    attualev tot riporto dH H kPa = + = + = (176)

    Si osserva che in questo caso, lo sforzo verticale valutato supera il massimo sforzo mai sopportato dal terreno fino ad ora (che si ricorda essere stato valutato in 50 kPa). Conseguentemente il terreno ritorna ad essere in condizioni normalconsolidate e pertanto:

    'attualev

    (kPa) OCR 0NCk 'attualeh

    (kPa)

    max''

    attuale

    v

    v

    OCR=

    0' 'fin finOC

    h vk =

    strato 2: 0.4 36.8 A 92 1

    strato 3: 0.5 46

  • Prove per la determinazione delle caratteristiche meccaniche

    Prove edometriche

    Esercizio 1 In figura 1 sono riportati gli abbassamenti misurati allapplicazione di un incremento di sforzo v = 1600 kPa in un passo di carico di una prova edometrica eseguita su un campione di limo indisturbato. Per lintervallo tensionale v = 1600 3200 kPa si determini: a) il modulo edometrico Eed b) il coefficiente di consolidazione cv (si ricorda che TV50 = 0.197) c) il coefficiente di permeabilit k

    0.01 0.1 1 10 100 1000 10000tempo, t (min)

    2.6

    2.5

    2.4

    2.3

    2.2

    2.1

    2.0

    1.9

    1.8

    1.7

    abba

    ssam

    ento

    , (

    mm

    )

    PROVA EDOMETRICA altezza iniziale del provino: H0 = 23.0mmlettura di zero del passo: 0 = 1.71mm

    passo di carico: 1600-3200 kPa

    t1 4t1

    0

    Figura 1

    Esercizio 2 Uno strato di limo normalconsolidato saturo, di altezza H0 = 6m viene sottoposto ad un incremento di sforzo verticale q = 50 kPa su unarea molto estesa rispetto al suo spessore (figura a). Si consideri il processo di carico istantaneo. Le caratteristiche dello strato sono riassunte in tabella. STRATO k tot e0 IC cv 0

    [m/sec] [kN/m3] [---] [---] [m2/sec] [m] LIMO 10-9 20. 0.500 0.05 0.33*10-6 6.0

    ARGILLA 10-11 18. 0.900 0.40 0.55*10-9 0.2

  • Si determini: a) il cedimento istantaneo dello strato di limo BT b) il cedimento a lungo termine LT c) il tempo t90 necessario per raggiungere un grado di consolidazione pari al 90% (si ricorda che

    TV90 = 0.848) d) il cedimento accumulato dopo 100 giorni (si faccia riferimento alla figura c). e) si valuti linfluenza sul cedimento complessivo e sui tempi di consolidazione della eventuale

    presenza di una intercalazione continua di argilla (figura 2b) le cui caratteristiche sono riportate nella tabella precedente ( sufficiente una risposta qualitativa).

    Figura a Figura b

    Figura c Esercizio 3 Il deposito, schematizzato in figura, costituito da uno strato sabbioso superficiale (1) sede della falda F1, sovrastante uno strato di argilla (2) di spessore 3m, a sua volta poggiante su uno strato di sabbia (3). Il carico idraulico totale dello strato di sabbia 3 governato dal livello idrometrico F3. In tempi brevi rispetto ai tempi di risposta dello strato argilloso il livello idrometrico F3 scende di 1.5m (da F3A a F3B). Si consideri labbassamento del livello idrometrico F3 istantaneo. La falda superficiale F1 mantiene inalterato il suo livello. Si valuti: a) la variazione della componente verticale di sforzo efficace a breve termine vBT lungo lo

    spessore dello strato argilloso b) la variazione della componente verticale di sforzo efficace a lungo termine vLT lungo lo

    spessore dello strato argilloso c) il valore della pressione u a 130 giorni di distanza dallabbassamento idrometrico ( sufficiente

    fornire i valori in corrispondenza delle quote corrispondenti ai punti A, B, C). Si faccia

  • riferimento alla soluzione analitica riportata in figura. Il coefficiente di consolidazione dello strato argilloso pari a cv = 1. *10-7 m2/sec.

    Esercizio 4 Sul deposito stratificato schematizzato in figura 1 deve essere realizzato un rilevato di altezza H=7m costipando della terra con peso di volume di 18 kN/m3 su unarea molto estesa rispetto allo spessore H1=8m dello strato argilloso saturo superficiale ( argilla=20 kN/m3) al di sotto del quale si trova un strato impermeabile. Per la caratterizzazione meccanica dello strato argilloso intermedio stata eseguita una prova edometrica su un campione indisturbato che ha fornito i dati riportati in fig. 2. Stimare la variazione di altezza dello strato argilloso a lungo termine indotta dalla costruzione del rilevato.

    8m argilla

    7m

    edo4m

    Figura 1

  • 1 10 100 1000'v (kPa)

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1

    Indi

    ce d

    ei v

    uoti,

    e1 10 100 1000

    'vmax

    Figura 2

    Esercizio 5 In figura sono riportati i dati di una prova edometrica eseguita su un provino indisturbato, prelevato a una profondit di 4.0 metri dal piano campagna in un deposito saturo di argilla limosa. Il livello di falda, in regime idrostatico, coincidente con il piano campagna. Il peso saturo pari a 20 kN/m3. Lindice dei vuoti iniziale, e0, pari a 0.950. a) Si determini il grado di sovraconsolidazione OCR del deposito alla quota di prelievo del

    campione; b) si determini graficamente la curva di compressibilit del materiale naturale.

  • 1 10 100 1000sforzo verticale efficace, 'v (kPa)

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1

    indi

    ce d

    ei v

    uoti,

    e1 10 100 1000

  • Soluzione degli esercizi sulle prove edometriche

    Esercizio 5 La costruzione per la determinazione di

    max'v (pari a 110 kPa) riportata in figura 30.

    Conseguentemente:

    100 2.540

    OCR = = (177)

    1 10 100 1000'v (kPa)

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1

    Indi

    ce d

    ei v

    uoti,

    e

    1 10 100 1000

    'vmax 100 kPa

    Fig. 30

  • Prove di taglio

    Esercizio 1 In figura sono riportati i dati di una prova di taglio radiale. Determinare i parametri di resistenza al taglio di picco e residua.

    0 1 2 3 4 5 6 7 8spostamento relativo, x (cm)

    0

    20

    40

    60

    80

    100

    120

    140

    tens

    ione

    tang

    enzi

    ale

    med

    ia,

    (kP

    a)

    'n=50 kPa

    'n=150 kPa

    'n=200 kPa

    Esercizio 2 In tabella sono riportati i dati di rottura relativi a prove di taglio diretto eseguite su provini di un campione indisturbato aventi sezione circolare di diametro D = 60 mm.

    Prova v (kPa) T (N) 1 50 147 2 100 218 3 150 277 4 200 350

    a) Determinare i parametri di resistenza al taglio che possono essere ricavati dai dati a

    disposizione. b) Considerando una prova sul medesimo campione condotta a sforzo verticale di 350 kPa,

    qual il valore dello sforzo tangenziale a rottura max che ci si aspetta di rilevare?

    Esercizio 3 In tabella sono riportati i dati di rottura relativi a prove di taglio diretto eseguite su provini di un campione indisturbato aventi sezione circolare di diametro d = 60 mm. Determinare i parametri di resistenza al taglio che possono essere ricavati dai dati a disposizione.

  • Prova (kg) Tp (kg) Tres (kg)

    1 14.13 8.54 4.60 2 28.27 14.18 9.10 3 56.54 26.10 18.55

    Se sul medesimo terreno si eseguisse una prova triassiale standard consolidata drenata (CD) in cui si misura qf = 180 kPa, determinare i valori degli sforzi efficaci assiale e radiale a rottura af e rf.

    Esercizio 4 In figura sono riportati i risultati di una prova di taglio anulare. Determinare i parametri di resistenza al taglio di picco e residua.

    n=200 kPa

    n=150 kPa

    n=100 kPa

    I dati relativi a unulteriore prova, eseguita a sforzo normale pari a 50 kPa sono riportati in fig. 9.2. Sono consistenti con i precedenti? Perch?

  • Esercizio 5 In figura sono riportati i dati della fase di taglio di prove triassiali standard su sabbia di media densit relativa. Determinare i parametri di resistenza al taglio.

    0 0.02 0.04 0.06 0.08deformazione assiale, a

    0

    0.4

    0.8

    1.2

    1.6

    2

    devi

    ator

    e, q

    (M

    Pa)

    'r = 0.1 MPa

    'r = 0.3 MPa

    'r = 0.5 MPa

    Esercizio 6 In tabella sono riportati i dati a rottura di una serie di prove di taglio diretto effettuate su campioni del medesimo terreno.

    Provino n (kPa) p (kPa) 1 100 87 2 200 123 3 400 195

    Determinare i parametri di resistenza al taglio. Dire inoltre, motivando la risposta, di che tipo di terreno si tratta.

  • Esercizio 7 Considerati i seguenti risultati ottenuti da prove di taglio diretto:

    Prova n (kPa) f (kPa) 1 100 56 2 200 105 3 400 215

    a) valutare i parametri di resistenza al taglio del terreno; b) Ipotizzando di eseguire su un campione del medesimo materiale una prova TXCU che a rottura

    fornisce i valori q=180 kPa, e r= 210 kPa dire se il valore u=110 kPa indicato dal trasduttore di pressione risulta essere consistente sulla base dell'inviluppo di rottura ricavato precedentemente.

    Esercizio 8 La resistenza al taglio di un terreno stata caratterizzata mediante lesecuzione di tre prove di taglio diretto eseguite su tre provini cilindrici aventi sezione circolare di diametro 60 mm. Le tre prove eseguite a tre differenti livelli di carico verticale, pari rispettivamente a 300 N, 560 N e 700 N, hanno fornito i risultati riportati in figura, ove si riporta landamento della forza T in funzione dello spostamento orizzontale x.

  • Si determinino i parametri di resistenza al taglio del terreno in esame.

    Esercizio 9

    In figura sono riportati i dati di prove di taglio diretto eseguite su campioni indisturbati saturi di argilla. Si ricavino i parametri di resistenza a taglio del materiale.

    0 2 4 6 8 10spostamento orizzontale, x (mm)

    0

    20

    40

    60

    80

    100

    120

    140

    sfor

    zo d

    i tag

    lio,

    (kPa

    )

    'v = 275 kPa

    'v = 151 kPa

    'v = 69 kPa

  • Domanda 1 Descrivere brevemente una prova di taglio diretto. Dire a che scopo pu essere eseguita e quali parametri possono essere deteminati.

  • Soluzione degli esercizi sulle prove di taglio

    Esercizio 2 Dividendo i valori di T per larea del provino (28.27 cm2) si ottiene:

    Prova v (kPa) p (kPa) 1 50 52 2 100 77 3 150 98 4 200 124

    Diagrammando tutte le prove nel medesimo piano , 'n:

    0 200 400 600' (kPa)

    0

    200

    400

    600

    (kP

    a)

    20

    Fig. 31 da cui graficamente ' 27 e ' 20c kPa . Pertanto linviluppo di rottura dato da:

    ( )20 ' tan 'max = + (178)ovvero, eseguendo una prova a sforzo verticale di 350 kPa, 198max kPa .

    Esercizio 4 Dai dati sperimentali riportati per ciascuna prova si ricavano i valori di resistenza a taglio di picco e residui:

    Provino n (kPa) p (kPa) r (kPa) 1 100 45 26 2 150 63 42 3 200 82 50

    Diagrammando i valori di picco e residui nel medesimo piano , 'n:

  • 0 100 200 300'n (kPa)

    0

    40

    80

    120

    (kP

    a)

    10

    Punti sper piccoInv. piccoPunti sper residuoInv. residuo

    Fig. 32 da cui, interpolando i dati sperimentali mediante due opportune rette:

    picco: ' 20picco , ' 10c kPa residuo: ' 15res

    Ricordando poi linviluppo di rottura:

    ( )( )

    ' tan ' '

    ' tan '

    picco picco

    res res

    c

    = += (179)

    si ricava, per che per la quarta prova picco consistente con gli inviluppi trovati mentre non lo res .

  • 0 100 200 300'n (kPa)

    0

    40

    80

    120

    (kP

    a)

    10

    Inv. piccoInv. residuoPunti sper picco 50 kPaPunti sper residuo 50 kPa

    Fig. 33

    Esercizio 5 Dai grafici riportati nel testo del problema si ricava al picco:

    ' r (MPa) q (MPa) 0.1 0.39 0.3 1.08 0.5 1.63

    Quindi per ogni prova si ricava

    'r ' 'a r q = + 0.1 0.49 0.3 1.38 0.5 2.13

    Disegnando i cerchi di Mohr rappresentativi dello stato di sforzo limite nel medesimo piano , ':

  • 0 1 2 3' (MPa)

    0

    0.4

    0.8

    1.2

    1.6

    (M

    Pa)

    0.490.1 2.1350.495 1.380.3

    Fig. 34 si ricava graficamente: ' 40 e ' 0c = . Esercizio 6 Diagrammando tutte le prove nel medesimo piano , 'n:

    0 200 400 600'n (kPa)

    0

    200

    400

    600

    (kP

    a)

    50

    Fig. 35 si ricava graficamente: ' 20 e ' 50c kPa= . Dai dati sperimentali ottenuti si pu ipotizzare che il terreno sia un'argilla sovraconsolidata (c'>0).

  • Prove triassiali

    Esercizio 1 In tabella sono riportati i dati a rottura relativi a prove triassiali eseguite su provini di un campione indisturbato: a) determinare i parametri di resistenza al taglio che possono essere ricavati dai dati (c, , cu) b) dire che tipo di terreno stato presu