Fizik 101: Ders 20 Ajanda

= I konusunda yorumlar Bir sistemin açısal momentumu için genel ifade Kayan kiriş örneği Açısal momentum vektörü

Bisiklet tekeri ve döner iskemle

Jiroskobik hareket Hareketli dönme hakkında yorum

Ders 20, Soru 1 Açısal Momentum

Dönen iki disk aynı açısal momentuma sahipken disk 1, disk 2den daha çok kinetik enerjiye sahiptir.

Hangisinin eylemsizlik momenti daha büyüktür??

(a) disk 1 (b) disk 2 (c) veri yetersiz

Ders 20, Soru 1 Çözüm

K 1

2

2I 1

2

2 2

II

1

2

2

IL

L ikisinde de aynı ise en büyük I ya sahip olanın kinetik enerjisi en az olacaktır.

L I1 1

2

disk 2

L I2 2

1

disk 1

I1 < I2

(L = I kullanarak)

= I eşitliği ne zaman geçersiz ?

Anımsatma: dt

dLτDIŞ

Rotasyonun anlaşılmasında bu en temel denklemdir.

Eğer L = I yazarsak:

dt

d

dt

dL

I I

Id

dt

d

dt

I

I

d

dt

Eylemsizlik momenti değişirse = I denklemi geçersizdir!

IατDIŞ dt

dIω

= I eşitliği ne zaman geçersiz ?

Farzı muhal DIŞ = 0 :

II

d

dt0

I

Id

dt

Ancak bu durumda dış tork olmadan açısal ivme vardır!

IατDIŞ dt

dIω

Örnek...

Eğer düzgün dairesel hareket yapan bir hokey topunun eylemsizlik momenti değişirse, topa açısal ivme etki edecektir.

Yarıçapını değiştirmek eylemsizlik momentini değiştirecek ama hiç bir tork meydana gelmez, zira kuvvet radyal yöndedir. (yani rx F = 0)

1 2

2 > 1

Top dış tork olmadan ivmelenir!!

I1 > I2

Tekrar: Açısal Momentum

burada ve

Dışardan etki eden tork yoksa:

Toplam açısal momentum korunur!

dt

dLτDIŞ DIŞDIŞ Frτ L r p

0dt

dLτDIŞ

Bu bir vektör denklemidir.

Her bir bileşeni için geçerlidir.

Tekrar...

Genel olarak sabit bir (z) ekseni etrafında dönen bir cisim için LZ = I yazabiliriz!

Açısal momentumun LZ sağ el kuralı ile verilir.

LZ I

z

Tekrar...

Serbestçe hareket eden bir parçacık herhangi bir eksen etrafında belirli bir açısal momentuma sahiptir.

Parçacığa dışardan bir tork etki etmiyorsa açısal momentumu korunur.

Aşağıda verilen örnekte L nin yönü z ekseni boyuncadır ve büyüklüğü LZ = pd = mvd ile verilir!

y

x

v

d

m

Ders 20, Soru 2 Rotasyon

Sürtünmesiz yatay bir masada, bir hokey topu masanın ortasından geçirilen bir ipe bağlı olarak sabit bir uzaklıkta (yarıçapta) düzgün dairesel hareket yapmaktadır. Eğer ipi çekip yarıçap yarısına düşerse topun açısal momentumu hangi faktörle artar?

(a) 2 (b) 4 (c) 8

Ders 20, Soru 2 Çözüm

İp dönme merkezindeki bir delikten çekildiğinden tork yoktur, dolayısıyla açısal momentum korunur.

L1 = I11 = mR21

1 m R 2 m

R/2

L2 = I22 = m 2 = 2

2

R

mR21 = m R22 4

1

4

11 = 2 2 =41

Bir sistemin açısal momentumu için genel bir ifade:

Bir parçacıklar sistemi için açısal momentum:

Konum ve hızı KM ne göre ifade edersek:

Burada ri* ve v*i KM gözlem çerçevesinde konum ve hız.

L r p r v ii

i i i ii

m

ri = Rkm + ri*

vi = Vkm + v*i

r

Rcm

r *

Bir sistemin açısal momentumu için genel bir ifade...

Yerine koyarsak: i

ikmiikm *vVm*rRL

i

i

iikm

i

iii

i

ikmkm

i

ikm *vm*rVm*r*vmRVmRL

Açarsak:

i

i

iikm

i

iiiikmkmtopkm *vm*rV*rm

i

*vmRVMRL

Sadeleştirirsek:

=MV*km = 0

=MR*km = 0

Lkm L*

Bir sistemin açısal momentumu için genel bir ifade...

Sonuç olarak elde ettiğimiz ifade

Burada KM’nin açısal momentumu!

ve L* KM etrafındaki açısal momentum.

Bir sistemin verilen bir eksene göre açısal momentumu, bu eksene göre KMnin açısal momentumu ve kütle merkezinden gecen bir eksene göre açısal momentumun toplamına eşittir.

KMKMKM PRL

L = Lkm+ L*

Bir sistemin açısal momentumu için genel bir ifade...

Gösterdik ki: L = Lkm+ L*

Bunun resmi:

y

x

v

d m,I

KM

kmvdKMˆ Lk ˆI* L

KMzinin hareketinden dolayı KM etrafında dönmeden dolayı

Orijin (eksen)

Örnek 1 Uzunluğu d ve kütlesi m1 olan bir çubuk sürtünmesiz

bir yüzeyde şekilde gösterildiği gibi vo hızı ile dönmeden kaymaktadır. Durgun halde bulunan m2, kütleli bir blok çubuk kayarken ucuna takılır.

Blok çubuk sisteminin son durumdaki açısal hızı F nedir?

m1 m2

d

F

km

Önce (tepe bakışı) sonra(tepe bakışı)

vo

Örnek 1 Orijini bloğun çarpışmadan önceki konumunda seçelim.

KMnin çarpışmadan önceki y-pozisyonunu belirleyebiliriz.

d/2

Önce (tepe bakış)

vo

m1

y

x

Örnek 1... Açısal momentumun z bileşenini (0,ykm) noktası etrafında

almak en uygunudur. Çubuk dönmediğinden çarpışmadan önceki açısal momentum tamamen çubuğun KM hareketinden dolayıdır.

d/2

Önce (tepe bakış)

vo

m1

y

x

ykm

kmyd 2

Örnek 1...

Çarpışmadan sonra, (0,ykm) noktası etrafında açısal momentumun z bileşeni çubuk+blok sisteminin KM etrafındaki dönmesinden dolayıdır.

Fkm

km

fZfZfZ ILLL ,

*

,,

F

sonra (tepe bakış)

vF

x

(0,ykm)

Ikm

y

0

Örnek 1... Sistemin KM etrafındaki eylemsizlik momentini Ikm

bilmeliyiz.

Sistemin KM

m1

m2

Çubuğun KM

ykm

d/2 d/2 - ykm

Örnek 1...

Açısal momentum korunumunu kullanarak:

F

sonra (tepe bakış)

vF

y

x

ykm

Ikm

21

11 1I2 mm

mdvm

km

oF

ve Ikm ve ykm için yerine koyarsak

Örnek 1...

Farzedelim ki: m1 = 2m2 = 2m

Fov

d2

3

1I mdkm

2m m

d

F

km

vo

Ikm

önce sonra

Açısal momentum bir vektördür! Bisiklet tekerleğini döndermek

Bir öğrenci dönebilen bir tabureye oturur ve eline aldığı bisiklet tekerini yatay olarak döndürür. Sonra dönme eksenini 180o döndürdüğünde kendisinin de dönmeye başladığını görür.

Sizce ne oluyor?

Bisiklet tekerleği döndürmek...

Öğrenci tabure sistemine etki eden dış tork olmadığından açısal momentum korunur.

Önce: LI= LW,I

Sonra: LF = LW,F + LS

LW,F

LS

LW,I LW,I = LW,F + LS

Ders 20, Soru 2 Rotasyon

Dönebilen bir taburede oturan öğrenci başlangıçta durgun ve elinde şekil (1)deki gibi dönen bir bisiklet tekeri tutmaktadır. Sonra tekerin dönme eksenini şekil (2)deki gibi değiştirir. Son adımda geri çevirir şekil (3)teki gibi döndürür. Kendi dönmesi nasıldır?

(a) dönmez (b) 2 katlanır (c) aynı kalır ??

(1) (2) (3)

Ders 20, Soru 2 Çözüm

[1]

LW

LNET

[2]

LW LS

LNET

[3]

LW

LNET

Dönmez!

Jiroskop Hareketi:

Aşağıda verilen jiroskop düzeneğini döndürdüğümüzü farz edelim.

Eğer sağdaki destek çekilirse ne olur? ?

eksen destek

g

Jiroskop Hareketi...

Aşağıda verilen jiroskop düzeneğini döndürdüğümüzü farz edelim.

Eğer sağdaki destek çekilirse ne olur?

Jiroskop düşmez!!

eksen

g

Jiroskop Hareketi...

... Dönme ekseni etrafında presesyon hareketi yapar!

Bu olayı açısal momentum ve de tork kullanılarak anlayabiliriz.

eksen

Jiroskop Hareketi...

Dönme ekseni etrafında torkun büyüklüğü: = mgd. Sağ eli kuralını kullanarak torkun yönünü bu anda

sayfadan dışa buluruz. Bu anda açısal momentumdaki değişimde sayfadan dışa

doğru olmalıdır.

L eksen

d

mg

d

dt

L

Jiroskop Hareketi...

Jiroskop’a tepeden bakarsak: dt zamanında açısal momentumun büyüklüğü dL = Ld.

Dolayısıyla Burada “presesyon frekansıdır”

Tepe bakış

L(t)

L(t+dt)

dL d eksen

dL

dtL

d

dtL

Jiroskop Hareketi...

Bu örnekte, = mgd ve L = I:

Presesyonun yönünü bulmak için sağ el kuralını uygularız ve buradan ve dL/dt yönüde bulunur.

dL

dtL

L pivot

d

mg

mgd

I

L