Fizik 101: Ders 18 Ajanda

Özet

Çoklu parçacıkların dinamiği

Makara örneği

Yuvarlanma ve kayma örneği

Verilen bir eksen etrafında dönme: hokey topu

Eğik düzlemde aşağı yuvarlanma

Bowling topu: kayan ve yuvarlanan

Makaralı Atwood makinesi

Özet: Yön & Sağ El Kuralı

Rotasyon vektörünün hangi yöne doğru olduğunu bulmak için sağ elinizin parmaklarını cismin döndüğü yönde kıvırın. Baş parmak rotasyonun yönünü yönünü gösterecektir!

Genelde z-eksenini rotasyon ekseni olarak seçeriz. (şekildeki gibi) = z

= z

= z

Gerekmediği sürece kolaylık olsun diye indisleri kullanmayız..

x

y

z

x

y

z

Özet: Tork ve Açısal İvme

NET = I

FNET = ma için rotasyon analoğu. Tork kuvvetin rotasyon analoğu:

Kuvvetçe sağlanan “burulma” miktarı. Eylemsizlik momenti I, kütlenin rotasyon analoğu.

Eğer I büyükse istenen ivmeye ulaşmak için daha büyük tork gereklidir.

Ders 18, Soru 1 Rotasyon

Şekildeki verilen 2 teker merkezlerindeki eksen etrafında serbestçe dönebilmektedir. Tekerlerin kütleleri eşitken birinin yarıçapı diğerininkinin yarısı kadardır.

Şekilde gösterildiği gibi F1 ve F2 kuvvetleri uygulanıyor. Tekerlerin açısal ivmeleri aynı ise F2 / F1 nedir?

(a) 1

(b) 2

(c) 4 F1

F2

Ders 18, Soru 1 Çözüm

Tork:

I mR2ama ve FR

I

mRF

mRFR 2

1

2

1

2

1

2

R

R

mR

mR

F

F

F1

F2

Zira R2 = 2 R1 2F

F

1

2

Özet: İş & Enerji

Tork etkisinde yer değiştirmesi için yapılan iş:

Sabit bir tork’un gücü:

W

PdW

dt

d

dt

Düşen Kütle & makara

m kütleli bir cisim bir ip ile bir makaraya asılıyor. İp R yarıçaplı makaranın etrafında sarılı olup makara merkezindeki bir bilye yardımıyla rahatlıkla dönebilmektedir. Makara ve bilye sisteminin eylemsizlik momenti I`dır. İp makarada kaymamaktadır.

Makara durgunken dönmeye başlar. Kütlenin L kadar düşmesi için ne kadar süre gereklidir.

I

m

R

T

mg

a

L

Düşen Kütle & makara...

Asılı kütle için F = ma

mg - T = ma

Makara ve bilye için = I

= TR = I

Anımsatma: a = R

Yukarıdakileri kullanarak a yı çekersek.

I

m

R

T

mg

a

L

amR

mRg

2

2 I

TRa

R I

Düşen Kütle & makara...

1-D kinematik kullanarak L kadar yol almak için gerekli zamanı bulabiliriz: I

m

R

T

mg

a

L

amR

mRg

2

2 I

L at1

2

2t

L

a

2

burada

Hareketli eksen etrafında dönme.

M kütleli ve R yarıçaplı bir diskin etrafına ip sarılır. Başlangıçta disk sürtünmesiz yatay bir düzlem üzerinde durgundur. İp bir F kuvveti ile çekilir ve kaymadan çözülür. Disk D kadar hareket ederse çözülen ip uzunluğu L

nedir?

F

R

M

Tepeden bakış

Hareketli eksen etrafında dönme...

Kütle merkezinin hareketi F = MA

F

M A

AF

M

D AtF

Mt

1

2 2

2 2 KM’nin aldığı mesafe

R I

1

2

2MR

MR

F2

MR2

1

RF

I 2

===

Disk KM etrafında = I

ya göre dönecek.

1

2

2 2tF

MRt Açısal yer değiştirme

Hareketli eksen etrafında dönme...

KMnin aldığı mesafe ve KM etrafında dönme zamanın bir fonksiyonudur:

D

F

DF

Mt

2

2

F

MRt 2

F

(b) yi (a)ya bölersek:

(a) (b)

D R

2R D 2

L

İpin uzunluğu L = R:

L D 2

Yuvarlanma

Yatay ile açısı yapan bir eğik düzlemde kütlesi M yarıçapı R ve eylemsizlik momenti I olan bir cisim kaymadan aşağı yuvarlanıyor. Cismin ivmesi nedir?

Öncekinde olduğu gibi burada da KM hareketini ve KM etrafındaki dönme hareketini birbirinden ayrı dikkate almamız gerek.

R

I

M

Yuvarlanma...

Yuvarlanma statik sürtünmeden dolayıdır. Statik sürtünme bilinmiyor, ilk onu bulmalıyız.

KM için serbest cisim diyagramı FNET = MAKM : x yönünde Mg sin - f = MA

2. adımda KM etrafındaki rotasyona bakalım ve

= I kullanalım. bilinenler = Rf ve A = R

R

M

f

Mg RfA

R I f

A

R I

2

Yuvarlanma...

2 denklemimiz var: Mg sin - f = MA

İkisinden f yi çekersek:

f IA

R2

+=

IMR

sinMRgA 2

2

A R

I

M

sing7

5

MR5

2MR

sinMRgA

22

2

=

+

=

Küre için

Ders 18, Soru 2 Rotasyon

İki adet katı alüminyumdan yapılmış silindirden büyüğünün yarıçapı küçüğünün 2 katı kadardır. İkisi de bir rampanın tepesinden serbest bırakılırsa

hangisi önce aşağı iner?

(a) büyük

(b) küçük

(c) aynı

Ders 18, Soru 2 Çözüm

Önce birini dikkate alalım. Yarıçapı R, kütlsi M eğim yüksekliği H olsun.

H

Enerji korunumundan: - DU = DK MgH MV 1

2

1

2

2 2I

I 1

2

2MR V

Rama ve

MgH MRV

RMV

1

2

1

2

1

2

2

2

22

MgH MV MV MV 1

4

1

2

3

4

2 2 2

Ders 18, Soru 2 Çözüm

H

MgH MV3

4

2yani: gH V

3

4

2

V gH4

3

(c) büyüklükten ve kütleden bağımsız,

Şekilleri aynı olduğu sürece!!

anımsatma küre için KM`nden geçen eksene göre:

Ders 18, Soru 3 Rotasyon

Bir bowling topu (düzgün küre) yerde kaymadan yuvarlanıyor. Rotasyon kinetik enerjisinin translasyon (yerdeğiştirme) kinetik

enerjisine oranı nedir?

I 2

5

2MR

(a) (b) (c) 2

55

1 1

2

Ders 18, Soru 3 Çözüm

Toplam KE kısmi olarak rotasyondan ve kısmi olarakta KM translasyonundan.

rotasyonal

K

translasyonal

K

1

2

2I 1

2

2MVK =

Ders 18, Soru 3 Çözüm

V

RKaymadan yuvarlandığından:

rotasyonal

K

translasyonal

K

1

2

2I 1

2

2MVK =

2

2

TRANS

ROT

MV2

1

I2

1

K

K

5

2

MV

R

VMR

5

2

2

2

22

Makaralı Atwood Makinesi :

Şekilde görüldüğü gibi 1 çift kütle disk şeklindeki bir makara üzerinden asılmıştır.

Kütlelerin ivmesi nedir?

m2 m1

R

M

y

x

m2g

a T1

m1g

a

T2

Asılı kütleler için F = ma

m1g - T1 = -m1a

-m2g + T2 = m2a

MRaR

a

2

1I

Ia

R

I 1

2

2MR(çünkü dik için)

Makara için = I

T1R - T2R

Makaralı Atwood Makinesi...

3 bilinmeyenli (T1, T2, a) 3 denklem den a yı çekeriz: -m1g + T1 = -m1a (1)

-m2g + T2 = m2a (2)

T1 - T2 (3)

am m

m m Mg

1 2

1 2 2

1

2Ma

m2 m1

R

M

y

x

m2 m1

m2g

a T1

m1g

a

T2

Özet

Özet

Çoklu parçacıkların dinamiği

Makara örneği

Yuvarlanma ve kayma örneği

verilen bir eksen etrafında dönme: hokey topu

Eğik düzlemde aşağı yuvarlanma

Bowling topu: kayan ve yuvarlanan

Makaralı Atwood makinası