fazi relacije -...

Fazi relacije

November 14, 2016

Fazi relacije

Kompletna reziduriana mreza

Reziduriana mreza

Algebra L = (L,∧,∨,⊗,→, 0, 1) takva da:(L1) (L,∧,∨, 0, 1) je mreza sa najmanjim elementom 0 i najvecim 1,(L2) (L,⊗, 1) je komutativni monoid sa jedinicom 1,(L3) ⊗ i→ formiraju adjungovani par tj vazi:

a ⊗ b 6 c ⇔ a 6 b→ c. (1)

Ako je jos (L,∧,∨, 0, 1) kompletna mreza, tada je L kompletna reziduirana mreza.

Mnozenje ⊗ i reziduum→ modeliraju konjukciju i implikaciju, respektivno.

Supremum∨

i infimum∧

modeliraju ekstenzivni i univerzalni kvantifikator.

Operacije na kompletnoj reziduiranoj mrezi

Biresiduum (ili biimplikacija) ↔ b = (a→ b) ∧ (b→ a).Negacija ¬a = a→ 0.N-ti stepen a0

= 1 i an+1= an ⊗ a.

Biimplikacija modelira ekvivalenciju istinitosnih vrednosti, a negacija komplement.

Fazi relacije

Reziduriana mreza

a ⊗ b 6 c ⇔ a 6 b→ c. (1)

Supremum∨

i infimum∧

= 1 i an+1= an ⊗ a.

Fazi relacije

Reziduriana mreza

a ⊗ b 6 c ⇔ a 6 b→ c. (1)

Supremum∨

i infimum∧

= 1 i an+1= an ⊗ a.

Fazi relacije

Strukture istinitosnih vrednosti

Najcesce proucavane strukture istinitosnih vrednosti, definisane su na intervalu [0, 1]sa:

a ∧ b = min(a, b) i a ∨ b = max(a, b)

su: Łukasijeviceva struktura:

a ⊗ b = max(a + b − 1, 0), a→ b = min(1 − a + b, 1),

Goguen-ova (proizvod) struktura:

a ⊗ b = a · b, a→ b =

1, ako a 6 b,b/a, inace,

i Godel-ova struktura:

a ⊗ b = min(a, b), a→ b =

1, ako a 6 b,b, inace.

Fazi relacije

Strukture istinitosnih vrednosti

Najcesce proucavane strukture istinitosnih vrednosti, definisane su na intervalu [0, 1]sa:

a ∧ b = min(a, b) i a ∨ b = max(a, b)

su: Łukasijeviceva struktura:

a ⊗ b = max(a + b − 1, 0), a→ b = min(1 − a + b, 1),

Goguen-ova (proizvod) struktura:

a ⊗ b = a · b, a→ b =

1, ako a 6 b,b/a, inace,

i Godel-ova struktura:

a ⊗ b = min(a, b), a→ b =

1, ako a 6 b,b, inace.

Fazi relacije

Bulova struktura

Sledeci vazan skup istinitosnih vrednosti je skup {a0, a1, . . . , an}, 0 = a0 < · · · < an = 1, sa

ak ⊗ al = amax(k+l−n,0) i ak → al = amin(n−k+l,n).

Specijalan slucaj ove algebre je dvoelementna Bulova algebra klasicne logike sa skupom{0, 1}.Jedini adjungovani par dvoelementne Bulove algebre cine klasicna konjunkcija

implikacija→.

Ova strukutura se naziva Bulova struktura.

Reziduum

Vazno je naglasiti da je reziduum izoton po drugom i antiton po prvom argumentu.

Fazi relacije

Bulova struktura

implikacija→.

Reziduum

Fazi relacije

Bulova struktura

implikacija→.

Reziduum

Fazi relacije

t-norma

t-norm je binarna operacija na intervalu [0, 1] koja je asocijativna, komutativna, mono-tona, sa jedinicom 1, tj. ⊗ je preslikavanje ⊗ : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] koje zadovoljavasledece uslove:

(a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c),

a ⊗ b = b ⊗ a,b1 6 b2 ⇒ a ⊗ b1 6 a ⊗ b2,

a ⊗ 1 = a.

Algebra ([0, 1],∨,∧,⊗,→, 0, 1) je kompletna reziduirana mreza ako i samo ako je ⊗ levo-neprekidna t-norma (tj. limn→∞(an ⊗ b) = (limn→∞an)⊗ b) i tada je reziduum definisan sax→ y =

∨{u ∈ [0, 1] |u ⊗ x 6 y}.

Sve strukture: the Łukasijeviceva, Goguen-ova i Godel-ova su reziduirane mrezeidnukovane t-normom.

Fazi relacije

t-norma

t-norm je binarna operacija na intervalu [0, 1] koja je asocijativna, komutativna, mono-tona, sa jedinicom 1, tj. ⊗ je preslikavanje ⊗ : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] koje zadovoljavasledece uslove:

(a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c),

a ⊗ b = b ⊗ a,b1 6 b2 ⇒ a ⊗ b1 6 a ⊗ b2,

a ⊗ 1 = a.

Algebra ([0, 1],∨,∧,⊗,→, 0, 1) je kompletna reziduirana mreza ako i samo ako je ⊗ levo-neprekidna t-norma (tj. limn→∞(an ⊗ b) = (limn→∞an)⊗ b) i tada je reziduum definisan sax→ y =

∨{u ∈ [0, 1] |u ⊗ x 6 y}.

Sve strukture: the Łukasijeviceva, Goguen-ova i Godel-ova su reziduirane mrezeidnukovane t-normom.

Fazi relacije

Osobine reziduiranih mreza

Za svaku reziduiranu mrezu vazi sledece:

b 6 a→ (a ⊗ b), a 6 (a→ b)→ b, (2)

a ⊗ (a→ b) 6 b, (3)

a 6 b ⇔ a→ b = 1, (4)

a→ a = 1, a→ 1 = 1, 1→ a = a, (5)

0→ a = 1, (6)

a ⊗ 0 = 0 ⊗ a = 0, (7)

a ⊗ b 6 a, a 6 b→ a, (8)

a ⊗ b 6 a ∧ b, (9)

a→ b je najmanji element skupa {c | a ⊗ c 6 b} (10)

a ⊗ b je najveci element skupa {c | a 6 b→ c}. (11)

Fazi relacije

a ⊗(∨

(a ⊗ bi), (12)

a→(∧

(a→ bi), (13)

ai)→ b =

(ai → b), (14)

(ai → b) =(∧

ai)→ b, (15)

a ⊗∧

bi 6∧

(a ⊗ bi). (16)

(ai → bi) 6(∧

ai)→(∧

(ai → bi) 6(∨

ai)→(∨

(a→ bi) 6 a→(∨

Fazi relacije

a ⊗(∨

(a ⊗ bi), (12)

a→(∧

(a→ bi), (13)

ai)→ b =

(ai → b), (14)

(ai → b) =(∧

ai)→ b, (15)

a ⊗∧

bi 6∧

(a ⊗ bi). (16)

(ai → bi) 6(∧

ai)→(∧

(ai → bi) 6(∨

ai)→(∨

(a→ bi) 6 a→(∨

Fazi relacije

Fazi skupovi i fazi relacije

Fazi podskup skupa A

Svako preslikavanje iz A u L.Obican podskup od A je fazi podskup od A koji uzima vrednost u skupu {0, 1} ⊆ L.

Jednakost fazi skupova

Neka su f i g fazi podskupovi skupa A.Jedankost f i g se definise kao jednakost preslikavanja tj.,

f = g ako i samo ako f (x) = g(x), za sve x ∈ A.

Inkluzija fazi skupova

Inkluzija f 6 g je definise na sledeci nacin:

f 6 g ako i samo ako f (x) 6 g(x), za sve x ∈ A.

Fazi relacije

Mreza fazi skupova

Zajedno sa operacijom inkluzije kao pracijalnim uredjenjem skup F (A) svih fazi pod-skupova od A cini kompletnu reziduiranu mrezu, u kojoj su presek

∧i∈I fi i unija

∨i∈I fi

proizvoljne familije {fi}i∈I fazi podskupovi od A definisani sa:

fi(x),

i proizvod f ⊗ g fazi podskupova definisan je sa

f ⊗ g(x) = f (x) ⊗ g(x), za svako x ∈ A.

Ceo deo

Fazi podskupa f ∈ F (A) je obican podskup od A:

f = {a ∈ A | f (a) = 1}

Fazi relacije

Fazi relacija

Izmedju skupova A i B ( tim redom) je preslikavanje iz A×B u L, tj. , svaki fazi podskupskupa A × B.Jednakost, inkluzija (uredjenje ), unija i presek fazi relacija se definisu isto kao u slucajufazi skupova.Skup svih fazi relacija izmedju A i B bice oznacen sa R(A,B).Specijalno, fazi relacija na skupu A je svaka funkcija iz A ×A u L, tj., svaki fazi podskupskupa A × A. Skup svih fazi relacija na A bice oznacen sa R(A).

Inverz

Fazi relacije ϕ ∈ R(A,B) is a fuzzy relation ϕ−1 ∈ R(B,A) defined by

ϕ−1(b, a) = ϕ(a, b), for all a ∈ A and b ∈ B.

Krisp relacija

Fazi relacija koja uzima vrednosti samo u skupu {0, 1}, i ako je ϕ krisp relacija iz A u B,tada izraz ”ϕ(a, b) = 1” i ”(a, b) ∈ ϕ” imaju isto znacenje.

Fazi relacije

Fazi relacija

Inverz

Krisp relacija

Fazi relacije

Fazi relacija

Inverz

Krisp relacija

Fazi relacije

Kompozicija fazi relacija

Neka su A, B i C neprazni skupovi, i neka je ϕ ∈ R(A,B) i ψ ∈ R(B,C).Kompozicija ϕ ◦ ψ je fazi relacija iz R(A,C) definisana sa

(ϕ ◦ ψ)(a, c) =∨

ϕ(a, b) ⊗ ψ(b, c), (20)

za sve a ∈ A i c ∈ C.Ako je f ∈ F (A), ϕ ∈ R(A,B) i g ∈ F (B), kompozicija f ◦ ϕ i ϕ ◦ g su fazi podskup od B iA, respektivno, definisani na sledeci nacin:

(f ◦ ϕ)(b) =∨

f (a) ⊗ ϕ(a, b), (ϕ ◦ g)(a) =∨

ϕ(a, b) ⊗ g(b), (21)

za svako a ∈ A i b ∈ B.Za fazi podskupove f i g od A pisemo

f ◦ g =∨

f (a) ⊗ g(a). (22)

Fazi relacije

Neka su A, B, C i D neprazni skupovi. Tada za sve ϕ1 ∈ R(A,B), ϕ2 ∈ R(B,C) iϕ3 ∈ R(C,D) imamo:

(ϕ1 ◦ ϕ2) ◦ ϕ3 = ϕ1 ◦ (ϕ2 ◦ ϕ3), (23)

i za ϕ0 ∈ R(A,B), ϕ1, ϕ2 ∈ R(B,C) i ϕ3 ∈ R(C,D) imamo:

ϕ1 6 ϕ2 povlaci ϕ0 ◦ ϕ1 6 ϕ0 ◦ ϕ2 i ϕ1 ◦ ϕ3 6 ϕ2 ◦ ϕ3. (24)

Za sve ϕ ∈ R(A,B), ψ ∈ R(B,C), f ∈ F (A), g ∈ F (B) i h ∈ F (C) lako je pokazati:

(f ◦ ϕ) ◦ ψ = f ◦ (ϕ ◦ ψ), (f ◦ ϕ) ◦ g = f ◦ (ϕ ◦ g), (ϕ ◦ ψ) ◦ h = ϕ ◦ (ψ ◦ h), (25)

i stoga zagrade u (25) mogu biti izostavljene, kao i u (23).

Fazi relacije

Za sve ϕ,ϕi ∈ R(A,B), (i ∈ I) i ψ,ψi ∈ R(B,C), (i ∈ I) imamo da vazi

(ϕ ◦ ψ)−1= ϕ−1 ◦ ψ−1 (26)

ϕ ◦(∨

(ϕ ◦ ψi),(∨

ϕi)◦ ψ =

(ϕi ◦ ψ) (27)

ϕi)−1=

ϕ−1i . (28)

Matricni prikaz

Ako su A, B i C konacni skupovi, kardinalnosti redom |A| = k, |B| = m i |C| = n, tadaϕ ∈ R(A,B) i ψ ∈ R(B,C) mogu biti posmatrani kao k × m i m × n fazi matrice nad L, iϕ ◦ ψ je proizvod matrica .Analogno, za f ∈ F (A) i g ∈ F (B), kompoziciju f ◦ϕ tretiramo kao prizvod 1× k matricef i k ×m matrice ϕ (vector-matrica proizvod), ϕ ◦ g kao proizvod k ×m matrice ϕ i m× 1matrice gt, transponovano g (matrica -vektor proizvod), i f ◦ g kao skalarni proizvodvektora f i g.

Fazi relacije

fazi relacije -...

Documents