MEDIDAS DE POSICION

Norma Patricia Gutiérrez MurilloRafael Muñoz MoncalenaoJulio César Tovar Cardozo

ContenidoObjetivos

Descripción

Bibliografía

Ejemplos

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

OBJETIVO GENERAL

Adquirir habilidades para identificar las medidas de posición y precisar los conceptos y análisis de un estudio de caso.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Proporcionar herramientas estadísticas para el análisis y la interpretación de datos numéricos.

• Identificar, interpretar y aplicar adecuadamente las medidas de posición más importante y comprender su aplicación.

• Utilizar las medidas de posición y precisar su análisis en un estudio de caso.

• Desarrollar destrezas para calcular algunas medidas de posición.• Comparar las medidas de posición y seleccionar la más útil para una

determinada aplicación.

MEDIDAS DE POSICION

Se trata de medidas que dan cuenta de una determinada posición dentro de la distribución de unos datos.

Su propósito son:• Resumir en un solo número la posición o

localización de la distribución de datos.• Caracterizar y representar un conjunto de

datos.

Medidas de tendencia central:• Media aritmética• Media geométrica y ponderada• Mediana y Moda

Medidas de posición no centrales o cuantiles:• Cuartiles• Deciles• Percentiles

MEDIDAS DE POSICION

«Son valores que permiten dividir la colección ordenada de datos en partes iguales con el mismo numero de datos en cada segmento» (Alvarado Verdín, 2014, pág. 3)

Las medidas de posición se usan para describir la posición que tiene un dato específico en relación con el resto de los datos.

Las medidas de posición mas usadas son: -- PERCENTILES-- DECILES-- CUARTILES

.

MEDIDAS DE POSICION

CUANTILES

Se define el cuantil de orden a como un valor de la variable por debajo del cual se encuentra una frecuencia acumulada a.

Casos particulares son los percentiles, cuartiles, deciles, quintiles,...

CUARTILES

El cuartil se utiliza a fin de conocer los intervalos dentro de los cuales quedan representados proporcionalmente los términos de una distribución, para esto, se divide la distribución de frecuencias en 4 partes iguales, cada una contiene igual número de observaciones (el 25% del total). Los puntos de separación de los valores de X se llaman CUARTILES.

Son valores que dividen la muestra en cuatro partes aproximadamente iguales.• Primer cuartil (Q1) : El 25% de los datos• Segundo cuartil (Q2): El 50% de los datos• Tercer cuartil (Q3): El 75% de los datos• Intervalo intercuartil: Q2 – Q3

CUARTILES

«Los cuales dividen la colección en 4 partes iguales, considerando que existen 3 cuartiles ( , , ).» (Alvarado Verdín, 2014, pág. 3)

Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos.

Q2 coincide con la mediana.

Cálculo de los cuartiles (Datos no agrupados)

1 Ordenamos los datos de menor a mayor.

2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión

CUARTILES

Q1 que se ubica en el lugar n/4, es el primer cuartil, deja el 25% de las unidades por debajo y el 75% por encima.Q2 que se ubica en el lugar (n * 2)/4, es el segundo cuartil, deja el 25%*2, o sea el 50% por debajo y el otro 50% por encima, es decir que coincide con la Mediana.Q3 que se ubica en el lugar (n *3)/4, es el tercer cuartil, deja el 25%*3, o sea el 75% por debajo y el 25% por encima.

Donde: k= 1,2,3Lim inf = Límite real inferior n = Número de datos = Frecuencia acumulada que antecede a la clase del cuartil k.F = Frecuencia absoluta del cuartil kA= amplitud

La fórmula para el calculo de los cuartiles cuando se trata de datos agrupados es la siguiente:

Para Datos AgrupadosComo los cuartiles adquieren su mayor importancia cuando contamos un número grande de datos y tenemos en cuenta que en estos casos generalmente los datos son resumidos en una tabla de frecuencia.

= Lim inf +{ } * A

Ejemplo 1Los siguientes datos fueron obtenidos en el laboratorio de suelos de la Universidad Cooperativa de Colombia midiendo con un termómetro eléctrico la temperatura (en °C) de 24 picnómetros, con el fin de calibrarlos, obteniendo:

Determine el Cuartil 1, y 3. Concluya.Solución:1) Organizamos los datos de menor a mayor25, 25, 25, 26, 26, 27, 27, 28, 28, 28, 28, 28, 29, 30, 30, 30, 31, 31, 31, 31, 31, 32, 32, 352) Aplicamos la formula : 6.2 63) Buscamos en los datos la posición dada (6), dando como = 27 °C * El 25% de los picnómetros usados en el laboratorio de suelos de la Universidad Cooperativa de Colombia tienen una temperatura de 27°C o menos y el otro 75% mas.

18.7 19 Buscamos en los datos la posición dada (19), dando 31 °C* EL 75% de los picnómetros usados en el laboratorio de suelos de la Universidad Cooperativa de Colombia tienen una temperatura de 31 °C o menos y el otro 25% mas.

Ejemplo 2

Hallar el primer y tercer cuartil en la siguiente tabla de frecuencias acumuladas:

Para el primer cuartil (k):El elementos i-ésimo en donde finaliza el cuartil = k (n/4) = 1(50/4) = 12,5Ubicamos la clase en donde la frecuencia acumulada es igual o sobrepasa este número.El elemento 13 (en la tabla ordenada) está en la tercera clase.Entonces: L1 = 58,5 n=50 F1=7 f1=9 c=3

Q1= L1 + ( k(n/4) – F1)/f1 * c

Q1 = 60,33

El 25% de las obreras tienen estatura por debajo de las 60,33 pulgadas. El 75% de las obreras tienen estatura por encima de las 60,33 pulgadas.

Q1 = Li +

Recordemos que partimos de una tabla ordenada.

Para el tercer cuartil (k):

El elementos i-ésimo en donde finaliza el cuartil = k (n/4) = 3(50/4) = 37,5

Ubicamos la clase en donde la frecuencia acumulada es igual o sobrepasa este número.

El elemento 38 (en la tabla ordenada) está en la quinta clase.Entonces: L3 = 64,5 n=50 F3=31 f3=12 c=3

Q3= L3 + ( k(n/4) – F3)/f3 * cQ3 = 66,13

El 75% de las obreras tienen estatura por debajo de las 66,13 pulgadas: El 25% de las obreras tienen estatura por encima de las 66,13 pulgadas.

Calcular los cuartiles de la distribución de la tabla.El elemento del cuartil está ubicado en la posiciónK (n/4) k= cuartil (1, 2, 3)n= suma de frecuencias (elementos)Para K=1, el elementos es k(n/4)=1*65/4 = 16,25

Aplicando la fórmula:

Se obtiene:

Para el segundo cuartil:El elementos es k(n/4) = 2*65/4 = 32,5Aplicando la fórmula se obtiene:

Para el tercer cuartil:El elementos es k(n/4) = 3*65/4 = 48,75Aplicando la fórmula se obtiene:

El 25% de las muestras están por debajo de 68,25. El 75% de las muestras están por encima de 68,25

El 50% de las muestras están por debajo de 79,06

El 75% de las muestras están por debajo de 90,75

Ejemplo 3

Qi = Li +

Q1 = 60 +

Q2 = 70 +

Q3 = 90 +

Ejemplo 4

DECILES

Los deciles son ciertos números que dividen la sucesión de datos (ordenados) en diez partes porcentuales iguales. Los deciles se denotan D1, D2,… D9 que se leen primer decil, segundo decil, etc.

Para datos agrupados los deciles se calculan mediante la fórmula:

+

Siendo:• K = 1, 2, Li el límite inferior del

intervalo de clase3, …9• Lk = El límite real del intervalo de la

clase del decil k.• N = Número de datos.• Fk-1 = Frecuencia acumulada de la

clase que antecede a la del decil k• fk = Frecuencia de la clase del decil

k• C = Longitud del intervalo de clase

del decil k

DECILES

«Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales» (Alvarado Verdín, 2014, pág. 3)

Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos.

D5 coincide con la mediana.

Cálculo de los deciles (Datos no agrupados)Buscamos el lugar que ocupa cada decil mediante la expresión:

K= 1,2….9 en los datos previamente organizados.

PARA DATOS AGRUPADOS

= Lim inf +{ } * A

Hallar el decil 7 para la tabla de frecuencias.

Para el decil 7(k):El elementos i-ésimo en donde finaliza el decil = k (n/10) = 7(50/10) = 35Ubicamos la clase en donde la frecuencia acumulada es igual o sobrepasa este número.El elemento 35 (en la tabla ordenada) está en la quinta clase.Entonces: L7 = 64,5 n=50 F7=31 f7=12 c=3

D7= L7 + ( k(n/4) – F7)/f7 * c

D7 = 65,5

El 70% de las obreras tienen estatura por debajo de las 65,5 pulgadas. El 30% de las obreras tienen estatura por encima de las 65,5 pulgadas.

Ejemplo 1

+

Km recorridos M.C F Fr f fr[50-90) 70 10 0.1724 10 0.1724

[90-130) 110 23 0.3966 33 0.569[130-170) 150 11 0.1897 44 0.7587[170-210) 190 10 0.1724 54 0.9311[210-250) 230 4 0.069 58 1.0001

58

La siguiente tabla de frecuencias muestra los km recorridos por una volqueta en 58 viajes realizados a diferentes canteras del Tolima en el año 2016:

Halle el D3 , D7 y D9.

Solución 1) se halla la posición del decil por medio de la formula: (dicha posición se busca en la frecuencia absoluta acumulada , escogiendo el intervalo a trabajar).

2) se utiliza la formula:

= Lim inf +{ } * A = 90+{ } * 40 = 103,39

*El 30% de los viajes realizados por la volqueta a diferentes canteras del Tolima en el año 2016 fueron en un recorrido de 103,39 km o menos y el otro 70% mayor.

Variable cuantitativa continua

Ejemplo 2

Calcular los deciles 5 y 7 de la distribución de la tabla.El elemento límite del primer decil es el elemento ubicado en la posición:K (n/10) k= decil (1, 2, …9)n= suma de frecuencias (elementos)El elementos es k(n/10) = 1*65/10 = 58,12

Aplicando la fórmula:

El 10% de las muestras están por debajo de 58,12. El 90% de las muestras están por encima de 58,12

Para el quinto decil:El elementos es k(n/10) = 5*65/10 = 32,5Aplicando la formula se tiene: El 50% de las muestras

están por debajo de 79,06

Para el séptimo decil:El elementos es k(n/4) = 7*65/10 = 88,21Aplicando la fórmula se tiene: El 70% de las muestras

están por debajo de 88,21

Ejemplo 3

+

50 +

70 +

80 +

= Lim inf +{ } * A = 130+{ } * 40 = 160,18

*El 70% de los viajes realizados por la volqueta a diferentes canteras del Tolima en el año 2016 fueron en un recorrido de 160,18 km o menos y el otro 30% mayor.

= Lim inf +{ } * A = 170+{ } * 40 = 206.4

*El 90% de los viajes realizados por la volqueta a diferentes canteras del Tolima en el año 2016 fueron en un recorrido de 206.4 km o menos y el otro 10% mayor.

PERCENTILES

Los percentiles son, tal vez, las medidas más utilizadas para propósitos de ubicación o clasificación de personas cuando se atienden características tales como peso, estatura, etc.

Los percentiles son ciertos números que dividen la sucesión de datos ordenados en cien pares porcentualmente iguales. Cuando los datos están agrupados en una tabla de frecuencias se calcula mediante la fórmula: +

Los elementos constitutivos de la fórmula tienen las interpretaciones análogas que se han visto

Es fácil ver que el primer cuartil coincide con el percentil 25, el segundo cuartil con el percentil 50 y el tercer cuartil con el percentil 75.

K=1,2,3,…99

PERCENTILES

«Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.» (Alvarado Verdín, 2014, pág. 3)

Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos.P50 coincide con la mediana.

Cálculo de los percentiles(Datos no agrupados)

Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión

k=1,2,3…99 en los datos previamente organizados.

PARA DATOS AGRUPADOS

= Lim inf +{ } * A

Hallar el percentil 8 de la tabla de frecuencias

Para el percentil 8 7(k):El elementos i-ésimo en donde finaliza el percentil = k (n/10) = 8(50/100) = 40Ubicamos la clase en donde la frecuencia acumulada es igual o sobrepasa este número.El elemento 40 (en la tabla ordenada) está en la quinta clase.Entonces: L8 = 64,5 n=50 F8=31 f8=12 c=3

P8= L8 + ( k(n/4) – F8)/f8 * c

P8 = 66,75

El 80% de las obreras tienen estatura por debajo de las 66,75 pulgadas. El 20% de las obreras tienen estatura por encima de las 66,75 pulgadas.

Ejemplo 1

+

En la siguiente tabla de frecuencia se muestra el peso en kg, de los trabajadores de la constructora CONSTRUYA SAS, establecida en la ciudad de Ibagué.Determinar:• P35 , P60

Solución:1. Se halla la posición del percentil P35, por medio de la formula.

23.12. Aplicamos la formula.

= Lim inf +{ } * A = 70+{ } * 10 = 73.19 El 35% de los trabajadores de la constructora COSTRUYA SAS, tienen un peso de 73.19 kg o

menos y el otro 65% mas de 73.19 Kg

1. Se halla la posición del percentil P60, por medio de la formula. 39.6

2. Aplicamos la formula.= Lim inf +{ } * A = 80+{ } * 10 = 84 El 60% de los trabajadores de la constructora CONSTRUYA SAS, tienen un peso

de 84 Kg o menos y el otro 40% tiene un peso mayor de 84 Kg.

CUANTITATIVA CONTINUA

Ejemplo 2

Ejemplo 3Percentil 45 (P45)Como (45 X 40) / 100 = 1800 / 100 = 18, corresponde al Marca de clase No. 3

vitutor. (no definido ). Cuartiles, Deciles, Percentiles. No definida, de Vitutor Net Sitio web: http://www.vitutor.net/2/11/cuartiles_percentiles.html

Profesor David. (sabado 24 de septiembre de 2011). Los cuartiles. sabado 24 de septiembre de 2011, de Blog spot Sitio web: http://estadisticapasoapaso.blogspot.com.co/2011/09/los-cuartiles.html

ANA MILENA GARCIA PORTO. (-). Medidas de posición para datos agrupados y no agrupados: cuartiles, deciles y percentiles Leer más: http://www.monografias.com/trabajos27/datos-agrupados/datos-agrupados.shtml#ixzz42XctUUyz. -, de Monografias Sitio web: http://www.monografias.com/trabajos27/datos-agrupados/datos-agrupados.shtml

BIBLIOGRAFIA

Coordinación De Innovación Educativa. (-). Medidas De posición. -, de Universidad Michoacana De san Nicolás Hidalgo Sitio web: http://dieumsnh.qfb.umich.mx/estadistica/medidasd%20de%20posicion.htmCompetencias Matemáticas. (-). Medidas de Posición. -, de Competencias matemáticas Sitio web: http://www.competenciasmatematicas.com.mx/download/2.4%20MEDIDAS%20DE%20POSICI%C3%93N.pdf

Alvarado Verdín, V. M. (2014). Probabilidad y estadística: Serie Universitaria Patria. México: Larousse - Grupo Editorial Patria.