estadistica medidas de tendencia central.docx
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UNIVERSIDAD DEL VALLE
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Agosto-Diciembre 2012
Prof. Victoria E. Bastidas Guzmán [email protected]
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Utilizando el material suministrado, a través del link que se les enviará a su correo electrónico, deberán construir un informe de máximo 10 páginas (para las preguntas 1-4) donde respondan, las preguntas planteadas. Los grupos de trabajo serán de máximo 3 personas. El informe se entregará impreso, el próximo 26 de octubre, con el objetivo de realizar la socialización correspondiente a través de la práctica en la sala de sistemas.
1. ¿Qué son las medidas de tendencia central?
2. ¿Cuáles son las medidas de tendencia central más utilizadas?
3. Para cada una de las medidas de tendencia central mencionadas en la pregunta anterior:
- Definición y Características generales de la medida
- Notación – Símbolos
- Formula ó Cálculo para Datos agrupados y no agrupados (cuando aplique)
- Propiedades (Cuando aplique)
- Ejemplo de Aplicación
- Ventajas y Desventajas
4. Describa y ejemplifique la relación entre las diferentes medidas de tendencia central.
5. Seleccionar y resolver 3 ejercicios asociados a cada una de las medidas de tendencia central, que encontrarán en el archivo correspondiente al libro 1.
1) MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Una Medida de Tendencia Central es un valor único que resume un conjunto e datos. Señala el centro de los valores. No existe solamente una medida de tendencia central, sino varias, las que se tratarán son: la media aritmética, la media ponderada, la mediana, la moda y la media geométrica.
2) LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL MAS UTILISADAS SON:
la media aritmética, la media ponderada, la mediana, la moda y la media geométrica.
3) Y 4)
A) MEDIA POBLACIONAL
La media poblacional de datos sin procesar, datos que no han sido agrupados en una distribución de frecuencias o en una representación de tallo y hoja, es la suma de todos los valores de la población, dividida entre el número total de tales datos. Para realizar el cálculo de una población se utiliza la fórmula que se muestra a continuación:
Media poblacional = Suma de todos los valores en la poblacionNumerode valores en la poblacion
Usando símbolos matemáticos, la ecuación
MEDIA POBLACIONAL
µ = ∑XN
donde:
µ = es la media de la población. Es la letra griega “mu” minúscula. N = es el número total de elementos en la poblaciónX = es cualquier valor en particular ∑ = es la letra griega “sigma” mayúscula e indica la operación de sumar.∑X = es la suma de todos los valores X Cualquier característica medible de una población se llama parámetro, por lo tanto la media de una población es un parámetro.
Ejemplo:Hay 12 empresas fabricantes de autos en EU. A continuación se presenta el número de patentes otorgadas el año pasado por el gobierno de EU a cada negocio. Empresa General Motors Nissan Daimier Chrysler Toyota Honda Ford Número de patentes otorgadas 511 385 275 257 249 234 Mazda Chrysler Porsche Mitsubishi Volvo BMW 210 97 50 36 23 13 Empresa Número de patentes otorgada
¿Esta información es una muestra o una población? ¿Cuál es el número medio de patentes otorgadas? Esta es una población, pues se consideran todas las compañías Automovilísticas que obtuvieron patentes. Se suma el número de patentes de cada una de las12 empresas. La cantidad total de patentes de las 12 compañías es 2,340. Para evaluar la media aritmética, se divide ese total entre 12. Por lo tanto, la media es 195. Este resultado se obtiene de dividir 2,340 de 12, utilizando la fórmula anterior.
µ=
511 + 385 + ... + 13 2, 340 = = 195 12 12
El resultado, 195, es el número típico de patentes recibido por una empresa. Ya que se consideró a todas las compañías que recibieron patentes, este resultado es un parámetro poblacional.
MEDIA MUESTRAL
En muchas situaciones se selecciona una muestra de una población con el objeto de evaluar algo acerca de una característica específica de dicha población. Para datos no agrupados, la media es la suma de todos los valores, dividida entre el número total de los mismos. Para encontrar la media de una muestra se tiene la siguiente fórmula:
X = Suma de todos los valores de lamuestraNumerode valores de lamuestra
La media de una muestra y la media de una población se calculan de la misma manera, pero su simbología es diferente. La fórmula para la media muestral es:
X= ∑Xn
= 9 .50%+7 .25%+...+8 .30%=48 .3%=8 .05%
n
X = Símbolo de la media muestral (X con barra).n = es el número total de valores en la muestra. A la media de una muestra o cualquier otra medida basada en datos muestrales se les denomina dato estadístico.
DATO ESTADÍSTICO: Una característica de una muestra
Ejemplo. Una empresa se especializa en obligaciones a largo plazo de países extranjeros. Interesa saber la tasa de interés de estas obligaciones. Una muestra aleatoria de seis bonos reveló lo siguiente: Artículo Bonos del gobierno de Australia Bonos del gobierno de Bélgica Bonos del gobierno de Canadá Bonos del gobierno de Francia Bonos del gobierno de Italia Bonos del gobierno de España Tasa de Interés 9.50% 7.25 6.50 4.75 12.00 8.30
¿Cuál es la media de las tasas de interés en esta muestra de obligaciones a largo plazo? Utilizando la fórmula de la media muestral:Medidas de Tendencia Central X∑ X = 9.50% + 7.25% + ... + 8.30% = 48.3% = 8.05% n 6 6
La tasa de interés media (aritmética) en la muestra de obligaciones a largo plazo es 8.05%.
PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA
La media aritmética es una medida de tendencia central y se utiliza ampliamente. Tiene importantes propiedades:1. Todo conjunto de datos de nivel de intervalo tiene un valor medio. 2. Para evaluar la media deben considerarse todos los datos. 3. Un conjunto de datos sólo tiene una media, es un valor único. . La media aritmética es la única medida de tendencia central donde la suma de las desviaciones de cada valor, respecto de la media, es igual a cero. En forma simbólica, esto significa que:
∑ (X − X) = 0
De modo que la media se considera como un punto de equilibrio de un conjunto de datos. La media tiene también desventajas, pues para su cálculo se utiliza el valor de cada elemento en una muestra o en una población y si uno o dos de estos valores es muy grande o muy pequeño, la media podría no ser un promedio adecuado para representar los datos. La media también es inadecuada si hay una clase de extremos abiertos en el caso de datos agrupados en una distribución de frecuencias. Si una distribución tiene una clase de extremo abierto “100,000 dólares y más”, y si hay 10 personas en esa clase, en realidad no se sabe si sus ingresos se aproximan a 100,000, 500,000 o 16 millones de dólares. Como no se tiene información de sus ingresos, no es posible determinar la media aritmética del ingreso para esta distribución de extremo abierto.
Ejercicios. 1. El ingreso anual (en dólares) para una muestra de varios empleados de gerencia de nivel medio en una empresa es: 62,900, 69,100, 58,300 y 76,800. a. Exprese la fórmula para la media muestral. b. Obtenga la media de la muestra. c. ¿La media que obtuvo en b) es un dato estadístico o un parámetro? Explique por qué.
d. ¿Cuál es su mejor estimación de la media poblacional?
2. Los estudiantes de un curso de ciencia de la Computación se consideran como una población. Sus calificaciones en el curso son 92, 96, 61, 86, 79 y 84. a. Indique la fórmula para calcular la media poblacional. b. Determine la calificación media del curso. c. ¿La media que obtuvo en b) es un valor estadístico o un parámetro? ¿Por qué? 3. Evalúe la media de la siguiente población de valores: 6, 3, 5, 7, 6. 4. Calcule la media de la población de valores: 7, 5, 7, 3, 7, 4. 5. a) Determine la media de los siguientes valores muestrales: 5, 9, 4, 10; b) Demuestre que
∑ (X − X) = 0 .6.a) Calcule la media de los siguientes valores muestrales: 1.3, 7.0, 3.6, 4.1, 5.0; b)Demuestre que ∑ (X − X) = 0 .7. 8.Calcule la media de los siguientes valores muestrales: 16.25, 12.91, 14.58. Determine el salario medio por hora pagado a carpinteros que obtuvieron los siguientes ingresos (en dólares): $15.40, $20.10, $18.75, $22.76, $30.67, $18.00. alcule la media aritmética e indique si es un dato estadístico muestral o un parámetro poblacional para los siguientes incisos:a.9.Se tienen 10 vendedores empleados en una agencia de venta de automóviles Ford. Las cantidades de autos nuevos vendidos el ems pasado por cada vendedor fueron: 15, 23, 4, 19, 18, 10, 10, 8, 28, 19. El departamento de contabilidad de una compañía de pedidos por correo, contó en número de llamadas que entraron por día al teléfono de uso sin cargo de la empresa, durante los primeros siete días de mayo de 2010: 14, 24, 19, 31, 36, 26, 17. La empresa de servicio eléctrico local seleccionó 20 clientes residenciales al azar. Los siguientes son los importes (en dólares, redondeados a unidades), que se cargaron a los clientes por el servicio eléctrico en el último mes:54 67 48 68 58 39 50 35 25 56 47 66 75 3 46 62 60 65 70 67b.c.
10 El director de personal en un hospital local inició un estudio acerca de las horas de tiempo extra de las enfermeras. Se seleccionaron al azar 15 de ellas, y durante el mes de junio se anotaron las siguientes horas extras laboradas: 13 6 13
7 12 12 15 10 7 9 15 13 5 12 12
MEDIA PONDERADA
Es un caso especial de la media común (o media aritmética). Se presenta cuando hay varias observaciones con un mismo valor, lo cual puede ocurrir si los datos se han agrupado en una distribución de frecuencias. Ejemplo: Supóngase que en un restaurante se venden refrescos medianos, grandes y extragrandes, y que sus precios (en dólares) son los siguientes: 0.90, 1.25 y 1.50 respectivamente. De los últimos 10 refrescos que se vendieron 3 eran medianos, 4 grandes y 3 extragrandes. Para calcular el precio promedio de los últimos 10 refrescos vendidos se puede utilizar la siguiente fórmula:
=
$12.20 = $1.22 10 $0.90 + $0.90 + $0.90 + $1.25 + $1.25 + $1.25 + $1.25 + $1.50 + $1.50 + $1.50 X= 10 $12.20 = $1.22 10
=
El precio medio de venta de los últimos 10 refrescos es $1.22. Una forma fácil de calcular el precio medio de venta es determinar la media ponderada. Cada observación se multiplica por el número de veces que se presenta. A la media ponderada se la representa con el símbolo X y se lee “X barra subíndice w”. Xw =3($0.90) + 4($1.25) + 3($1.50) $12.20 $1.22 10
10La media ponderada de un conjunto de números designados por 1, X2, X3, …, Xn con las ponderaciones(o “pesos”) correspondientes a w1, w2, 3, …, wn, se calcula como:
ONDERADA Xw =w1 X 1 + w 2 X 2 + w 3 X 3 + ... + wnXn w1 + w 2 + w 3 + ... + nEsto puede escribirse de la forma:
Xw =
∑(wX) ∑w
Ejemplo: Una constructora paga a sus empleados 6.50, 7.50, o bien 8.50 dólares por hora. Hay 26 empleados contratados por hora; 14 reciben la tarifa de $6.50, 10 reciben la de $7.50 y 2 la de $8.50. ¿Cuál es la media de la tarifa por hora que se paga a los 26 trabajadores? Para encontrar la media de las tarifas por hora, se multiplica cada una por el número de empleados que ganen ese importe. Utilizando la fórmula anterior, la tarifa de la media por hora es
Xw =
14($6.50) + 10($7.50) + 2($8.50) $183.00 = = $7.038 14 + 10 + 2 26
La media ponderada de los sueldos por hora es (con redondeo) $7.04. Ejercicios. 1. En junio una inversionista compró 300 acciones de Oracle a un precio de $20 dólares por acción; en agosto compró 400 acciones más a $25 cada una y en noviembre, 400 a $23 por acción. ¿Cuál es el precio medio ponderado por acción?. 2. Una librería especializada se dedica principalmente a la venta de libros usados. Los libros de pasta suave cuestan 1.00 dólar cada uno, y los de pasta dura, 3.50 dólares. De 50 libros que se vendieron el pasado martes por la mañana, 40 fueron de pasta suave y el resto
de pasta dura. ¿Cuál fue el precio medio ponderado de un libro? 3. En un hospital se emplean 200 personas en un cuerpo de enfermeras. De ese personal, 50 s0n ayudantes de enfermería, 50 son enfermeras prácticas y 100 son enfermeras generales. Las primeras reciben un sueldo de $8 dólares por
hora; las segundas, ganan $10 dólares por hora y las últimas $14 dólares por hora. ¿Cuál es el valor medio ponderado del sueldo por hora? 4. Un bufete jurídico se especializa en derecho corporativo. Cobra $100 dólares por hora por la investigación de un caso. $75 dólares por hora por una asesoría y $200 dólares por hora por la redacción de un informe. La semana pasada uno de los socios dicho 10 horas para asesorar a un cliente, 10 horas a la investigación del caso y 20 horas a la elaboración del informe. ¿Cuál fue el valor medio ponderado de los servicios legales por hora?
MEDIANA
La Mediana es el valor que corresponde al punto medio de los valores después de ordenarlos de menor a mayor, o de mayor a menor. Cincuenta por ciento de las observaciones son mayores que la mediana, y cincuenta por ciento son menores que ella. La mediana se utiliza cuando uno o dos valores en un conjunto de datos son muy grandes o muy pequeños y por tanto el cálculo de la media aritmética no es representativa. Por templo, supóngase que se intenta adquirir un condominio
en una zona residencial. El agente de bienes raíces indica que el precio promedio de las unidades disponibles en este momento es de $110,000 dólares. ¿De todas formas querríamos considerar lo anterior?. Si se tuviera un presupuesto máximo entre $60,000 y $75,000, pensaremos seguramente que estamos fuera de toda posibilidad. Sin embargo, al verificar los precios individuales de los condominios podríamos cambiar de parecer pues los precios son $60,000, $65,000, $70,000, $80,000 y un penthouse muy lujoso de $275,000. La media aritmética del precio es $110,000 pero un valor ($275,000) está haciendo que la media aritmética se incline hacia arriba, por lo que el promedio no es representativo. La mediana del precio de las unidades disponibles es $70,000. Para determinar esto, los precios se ordenan de menor ($60,000) a mayor ($275,000) y se selecciona el valor intermedio ($70,000). Precios ordenados de menor a mayor $60,000 65,000 70,000 80,000 275,000 Precios ordenados de mayor a menor $275,000 80,000 70,000 65,000 60,000
La mediana no es afectada por las observaciones extremadamente bajas o muy altas. En la tabla anterior hay un número impar de observaciones. ¿Cómo se determina la mediana cuando el número de observaciones es par? Igual que antes, se ordenan los valores y después se calcula la media aritmética de las dos observaciones centrales. Cuando el número de observaciones es par, la mediana puede no ser uno de los valores dados.
PROPIEDADES IMPORTANTES DE LA MEDIANA
1. Es única pues sólo existe una mediana para un conjunto de datos. 2. No se ve afectada por valores extremadamente grandes o pequeños. 3. Puede calcularse para una distribución de frecuencias con una clase de extremo abierto. 4. Puede calcularse para datos de nivel de razón, de intervalo y ordinal.
MODA
La moda es otra medida de tendencia central. Moda: Es el valor de la observación que aparece con más frecuencia.
La moda es utilizada para describir los niveles de medición nominales y ordinales. Ejemplo. A continuación se muestran los sueldos anuales en dólares de gerentes de control de calidad en algunos estados. ¿Cuál es el valor modal de los sueldos? Estado Arizona California Colorado Florida Idaho Sueldo $35,000 49,100 60,000 60,000 40,000 Estado Illinois Louisiana Maryland Massachusetts New Jersey Sueldo $58,000 60,000 60,000 40,000 65,000 Estado Ohio Tenessee Texas West Virginia Wyoming Sueldo $50,000 60,000 71,400 60,000 55,000
Un análisis revela que el sueldo anual de $60,000 aparece con mayor frecuencia (seis veces) que cualquier otra percepción. Por lo tanto, la moda es $60,000. La moda se puede determinar para datos de cualquiera de los niveles nominal, ordinal, de intervalo
y de razón. La moda tiene la ventaja de no verse afectada por valores extremadamente altos o muy bajos. Sin embargo, la moda es utilizada con menos frecuencia que la media o la mediana pues en muchos conjuntos de datos no hay valor modal debido a que ningún valor aparece más de una vez o dos o más datos aparecen igual número de veces. Cuando no aparece ningún valor repetido, se dice que cada dato es modal. Ejercicios: 1. Una muestra de personas solteras en Towson, Texas, que recibe pagos por seguridad social, reveló los siguientes ingresos en dólares 426, 299, 290, 687, 480, 439 y 565. a. ¿Cuál es la mediana de los ingresos? b. ¿Cuántas observaciones son inferiores a la mediana? ¿Cuántas son superiores a la mediana?
2. El número de paros laborales en la industria automotriz en los meses seleccionados es 6, 0, 10, 14, 8 y 0. a. ¿Cuál es la mediana del número de paros? b. ¿cuántas observaciones son menores que la mediana? ¿cuántas son mayores? c. ¿cuál es el valor modal de los paros en el trabajo? 3. Indique el valor modal de un conjunto de observaciones si en total hay: a. 10 observaciones y no hay dos valores iguales. b. 6 observaciones y todas son iguales. c. 6 observaciones y los valores son 1, 2, 3, 3, 4 y 4. 4. A continuación se presenta el número de cambios de aceite en los últimos siete días en el taller de un mecánico. 41 15
39 54 31 15 33
5. Las siguientes son variaciones porcentuales en los ingresos netos del año 2009 a 2010, en una muestra de 12 compañías constructoras con sede en Orizaba. 5 1 -10 -6 5 12 7 8 2 5 -1 11
6. A continuación se presentan las edades de 10 personas que acuden a una tienda de vídeos en un centro comercial a las 10 a.m. 12 8 17 6 11 14 8 17 10 8
7. A continuación se presentan varios indicadores del crecimiento económico a
largo plazo en EU. Las proyecciones son hasta el año 2010.Indicador económico Inflación Exportaciones Importaciones Ingreso real disponible Consumo Cambio porcentual (%) 4.5 4.7 2.3 2.9 2.7 Indicador económico PIB real Inversión (residencial) Inversión (no residencial) Productividad (total) Productividad (fabricación) Cambio porcentual (%) 2.9 3.6 2.1 1.4 5.2
a. ¿Cuál es la mediana del cambio porcentual? b. ¿Cuál es la moda del cambio porcentual?
8. A continuación se indican los totales en ventas de automóviles en millones de dólares en EU durante los últimos 14 años. Durante este período, ¿cuál fue el número mediano de automóviles vendidos? ¿cuál es el valor modal? 9.0 8.5 8.0 9.1 10.3 11.0 11.5 10.3 10.5 9.8 9.3 8.2 8.2 8.5
Media geométrica
Esta medida es útil para encontrar el promedio de porcentajes, razones, índices o tasas de crecimiento. Es utilizada ampliamente en los negocios y la
economía, debido a que frecuentemente interesa determinar el cambio porcentual en ventas, sueldos o cifras económicas, como el Producto Nacional Bruto. La media geométrica de un conjunto de n números positivos se define como la raíz n-ésima del producto de los n valores. Su fórmula es: MEDIA GEOMÉTRICA
MG = n (x1)(x 2 )...(xn )
La media geométrica siempre será menor que o igual a (nunca mayor que) la media aritmética. Además, todos los valores de datos deben ser positivos para determinar la media geométrica. Ejemplo: supóngase que se recibe un pequeño aumento de sueldo del 5% este año, y se recibirá uno del 15% en año próximo. El aumento porcentual promedio es 9.886, y no 10.0. ¿Por qué?Debe recordarse que un aumento de 5% en el sueldo es 105, o bien 1.05, así que éste será el valor a usar:
MG = (1.05)(1.15) = 1.09886Para verificar lo anterior, supóngase que el ingreso mensual inicial era de $3,000 dólares y que se recibieron los dos aumentos de 5% y 15%. Aumento 1 = $3,000(0.05) = Aumento 2 = $3,150(0.15) = Total $150.00 472.50 $622.50
El aumento total en el sueldo es de $622.50. Esto equivale a: $3,000.00(0.09886) = $296.58
$3,296.58(0.09886) = 325.90 $622.48; redondeado a $622.50
Ejemplo: Las ganancias obtenidas por una constructora en cuatro proyectos recientes fueron: 3%, 2%, 4% y 6%. ¿cuál es la media geométrica
de la ganancia? La media geométrica es 3.46%, que se obtiene de
MG = n (x1)(x 2 )...(xn ) = 4 (3)(2)(4)(6) = 4 144La media geométrica es la raíz cuarta de 144, o 3.46. La media geométrica de las ganancias es 3.46%. La media aritmética de las utilidades es 3.75%, que se obtiene de (3+2+4+6)/4. Aunque la ganancia de 6% no es extremadamente grande, hace u la media aritmética se vaya hacia arriba. La media geométrica se utiliza también para hallar aumentos porcentuales promedio en un intervalo de tiempo. Por ejemplo, si se ganaron $30,000 dólares al año en 2000 y $50,000 en el año 2010, ¿cuál es la tasa de aumento anual en el periodo? La tasa de aumento se determina mediante la siguiente fórmula: AUMENTO PORCENTUAL PROMEDIO EN UN PERIODO DETERMINADO
MG =
n
Valor _ al _ final _ del _ periodo −1 Valor _ al _ inicio _ del _ periodo
En la ecuación anterior, n es el número de periodos. Ejemplo: Supóngase que una población en Alaska, en 2000 era de 2 personas, y en 2010 eran 22. ¿Cuál fue la tasa del incremento porcentual anual promedio para el periodo? Hay 10 años entre 2000 y 2010, por tanto, n = 10. La fórmula para la media geométrica aplicada a este tipo de problemas es:
MG =
n
Valor _ al _ final _ del _ periodo − 1 Valor _ al _ inicio _ del _ periodo
= 10
22 − 1 = 1.271 − 1 = 0.271 2
La tasa
de aumento anual es 27.1%. Esto significa que la tasa de crecimiento de la población es 27.1% al año. Ejercicios. 1. Los rendimientos anuales, en
porcentaje, de cuatro acciones de petróleo son: 4.91, 5.75, 8.12 y 21.60. a. Obtenga la media geométrica de los rendimientos. b. Determine su media aritmética. c. ¿La media aritmética es igual a, o bien, mayor que la media geométrica? 2. La producción de camiones Mercedes Benz aumentó de 23,000 unidades en 1990, a 120,520 en el 2010. Obtenga la media geométrica del incremento porcentual anual. 3. Calcule la media geométrica de los siguientes valores: 8, 12, 14, 26 y 5. 4. Calcule la media geométrica de los valores que siguen: 2, 8, 4, 10, 6, 8 y 4. 5. A continuación se presentan los aumentos porcentuales en las ventas de la corporación MG durante los últimos 5 años. Determine el incremento medio geométrico de las ventas en ese período: 9.4 13.8 11.7 11.9 14.7
6. En 2007 los ingresos obtenidos en juegos de azar fue %651 millones de dólares. En el año 2010 el ingreso aumentó a 2.4 millones. ¿cuál es la media geométrica del aumento anual en ese período? 7. En 1990 había 9.19 millones de suscriptores de TV por cable. En el año 2000 el número había aumentado a 54.87 millones. ¿Cuál es la media geométrica del incremento anual en ese período? 8. En 1996 había 42.0 millones de suscriptores en los servicios de localización de personas. En 2001 esa cifra aumentó a 70.0 millones de suscriptores. ¿Cuál es la media geométrica del incremento anual en ese
período? 9. En el cuadro que se muestra a continuación se indica el costo (en dólares) de un año de estudios en una universidad pública y en una privada, en 1990 y 1998. ¿Cuál es la media geométrica del incremento anual en tal período en ambas universidades? Tipo de Universidad Pública Privada 1990 $4,975 12,284 1998 $7,628 19,143
Media, mediana y moda de datos agrupadosEn muchas ocasiones, los datos con los que se cuenta están agrupados y se presentan en una distribución de frecuencias donde generalmente no se puede contar con los datos originales. Por tanto, si interesa calcular un valor típico que representa a tales datos, es necesario estimarlo basándose en la distribución de frecuencias.
Media aritméticaPara calcular la media aritmética de un conjunto de datos organizados en una distribución de frecuencias, se considera que las observaciones en cada clase están representadas por el punto medio de la clase. La media de una muestra de datos organizados en una distribución de frecuencias se calcula de la siguiente manera:
MEDIA ARITMÉTICA DE DATOS AGRUPADOS
X=
∑ fXn
Donde:
X
X f fX
es la media aritmética es el valor central, o punto medio, de cada clase es la frecuencia en cada clase es la frecuencia en cada clase multiplicada por el punto medio de la clase ∑ fX es la suma de esos productos n es el número total de frecuencias
Ejemplo: Las operaciones necesarias para calcular la media aritmética de datos agrupados en una distribución de frecuencias se mostrarán con base en los datos del ejemplo de la agencia Whitner Pontiac. Determinar la media aritmética del precio de venta de los vehículos. Precio de venta (miles de dólares) 12 hasta 15 15 hasta 18 18 hasta 21 21 hasta 24 24 hasta 27 27 hasta 30 30 hasta 33 Total Frecuencia 8 23 17 18 8 4 2 80
La media del precio de venta de los vehículos se calcula a partir de los datos agrupados en una distribución de frecuencias. Supóngase que el punto medio de cada clase es representativo de todos los valores de los datos en esa clase. Por ejemplo, el punto medio de la primera clase es $13.5. Se supone que el valor $13.5 es representativo de los ocho valores en esta clase. Es decir, se supone que la verdadera suma de los ocho valores en esta clase es $108, que se obtiene de 8($13.5). La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos: Precio de venta (miles de dólares) 12 hasta 15 15 hasta 18 18 hasta 21 21 hasta 24 24 hasta 27 27 hasta
30 30 hasta 33 Total 8 23 17 18 8 4 2 80 $13.5 16.5 19.5 22.5 25.5 28.5 31.5 $ 108.0 379.5 331.5 405.0 204.0 114.0 63.0 $ 1,605.0 Frecuencia (f) Punto medio (X) fX
La media aritmética se obtiene de la siguiente forma:
X=
∑ fX = $1, 605 = $20.1(miles)n 80
Se concluye entonces que la media del precio de venta de los vehículos es aproximadamente $20,100. La media de datos agrupados en una distribución de frecuencias puede ser diferente de la media de los datos reales. El hecho de agrupar los datos produce una pérdida de información.
En el ejemplo anterior, la media de los datos sin procesar es de $20,218. Este valor se encuentra muy cercano a la media que se acaba de calcular. La diferencia es $118, o bien, aproximadamente 0.58%. Ejercicios: 1. cuando se calcula la media de una distribución de frecuencias, ¿por qué se le designa como media estimada? 2. Determine la media estimada de la siguiente distribución de frecuencias:
Clase 0 hasta 5 5 hasta 10 10 hasta 15 15 hasta 20 20 hasta 25 Frecuencia 2 7 12 6 3
3. Calcule la media designada para la siguiente distribución de frecuencias: Clase 20 hasta 30 30 hasta 40 40 hasta 50 50 hasta 60 60 hasta 70 Frecuencia 7 12 21 18 12
4. Los precios de venta de una muestra de 60 antigüedades vendidas en Orizaba, Veracruz, el mes pasado, fueron organizados en la siguiente distribución
de frecuencias. Estimar el precio de venta medio. Precio de venta (miles de dólares) 70 hasta 80 80 hasta 90 90 hasta 100 100 hasta 110 110 hasta 120 3 7 18 20 12 Frecuencia
5. Los gastos publicitarios son una componente importante del costo de las mercancías que se venden. A continuación se presenta una distribución de frecuencias que muestra los gastos en publicidad de 60 compañías productoras ubicadas en el centro de México. Estimar la media de los gastos de publicidad. Precio en publicidad (millones de dólares) 25 hasta 35 35 hasta 45 45 hasta 55 5 10 21 Frecuencia55 hasta 65 65 hasta 75 Total 16 8 60
MedianaLa mediana se define como el valor abajo del cual se encuentra la mitad de los valores, y arriba del cual se encuentra la otra mitad. Dado que los datos sin agrupar se han organizado en una distribución de frecuencias, parte de la información ya no es identificable. Como resultado, no es posible determinar la mediana exacta. Puede estimarse sin embargo: 1) localizando la clase en la que se encuentra la mediana y, 2) realizando interpolaciones dentro de esa clase para obtener dicho valor. Este enfoque supone que los elementos de la clase en que se encuentra la mediana están espaciados de manera uniforme en toda la clase. La fórmula es:
MEDIANA DE DATOS AGRUPADOS
n − FA 2 Mediana = L + (i) f
Donde: L
n f FA I es el límite inferior de la clase que contiene a la mediana es el número total de frecuencias es la frecuencia de la clase que contiene a la mediana es el número acumulado de frecuencias en todas las clases que preceden a la clase que contiene a la mediana es la amplitud (o anchura) de la clase en que se encuentra la mediana
Primero se estimará la mediana localizando la clase en la cual se encuentra, e interpolando. Después se aplicará la fórmula para el cálculo de la mediana a fin de verificar la respuesta. ejemplo. Los datos que incluyen los precios de venta de los vehículos en la agencia Whitner Pontiac se utilizarán nuevamente para mostrar el procedimiento a seguir para calcular la mediana. Las frecuencias
acumuladas en la columna de la derecha se utilizarán en breve. ¿Cuál es la mediana del precio de venta de los vehículos nuevos en la agencia Whitner Pontiac?
Precio de venta (miles de dólares) 12 hasta 15 15 hasta 18 18 hasta 21 21 hasta 24 24 hasta 27 27 hasta 30 30 hasta 33 Total
Número vendido (f) 8 23 17 18 8 4 2 80
Frecuencia acumulada (FA) 8 31 48 66 74 78 80
Para obtener la mediana de los precios de venta se necesita localizar la observación número 40 (hay un total de 80 observaciones) en los datos ordenados de menor a mayor ¿Por qué la número 40? Debemos recordar que la mitad de las observaciones de
un conjunto de datos son inferiores a la mediana, y la mitad sn mayores que ésta. Por tanto, si se ordenan todos los precios de venta de los vehículos, del menor al mayor, el del centro (en número 40) será la mediana. Para ser técnicamente correctos y consistentes con la forma en que se obtuvo la mediana de datos no agrupados, debería utilizarse (n+1)/2 en vez de n/2. Sin embargo, ya que el número de observaciones generalmente es grande, cuando se tienen datos agrupados en una distribución de frecuencias, se omite esa pequeña diferencia. La clase que contiene el precio de venta del vehículo número 40, se localiza en la columna de la derecha en la tabla anterior, la cual es la frecuencia acumulada. Había 31 vehículos que se vendieron en menos de $18,000 dólares y 48 que vendieron en menos de $21,000. En consecuencia, el vehículo número 40 debe estar en el intervalo de $18,000 a $21,000, y el precio de venta mediano se encuentra en algún punto entre los dos límites de $18,000 y $21,000. Para localizar la mediana con mayor exactitud, se necesita interpolar en la clase que contiene la mediana. Debemos recordar que hay 17 vehículos en la clase de “$18,000 a $21,000”. Suponer que los precios de venta se distribuyen de manera uniforme entre los límites inferior ($18,000) y superior ($21,000) de la clase. Existen nueve precios de venta de los vehículos entre el 31 y el 40. Por tanto, la mediana está a 9/17 de la distancia entre $18,000 y $21,000. Consúltese el siguiente diagrama. El ancho de
clase es $3,000, y la porción 9/17 de ·3,000 es $1,588. Se suma $1,588 al límite inferior de la clase de $18,000, por lo que la mediana estimada del precio de venta de los vehículos es $19,588.
También puede utilizarse la fórmula ya conocida:
n − FA Mediana = L + 2 (i)
f80 − 31 2 = $18, 000 + ($3, 000) 17= $18,000 + $1,588 = $19,588 La consideración en que se basa la aproximación de la mediana (que las frecuencias en la clase que contiene a la mediana se distribuyen de modo uniforme entre $18,000 y $21,000) puede no ser correcta. En consecuencia, es más seguro decir que aproximadamente la mitad de los precios de venta son inferiores a $19,588, y la otra mitad son mayores. Nuevamente, es probable que exista una diferencia entre la mediana estimada de datos agrupados y la mediana determinada a partir de datos sin agrupar. En este caso, la mediana que se calculó a partir de datos sin agrupar es $19,831, y la mediana que se evaluó a partir de la distribución de frecuencias es $19,588. La diferencia entre ambos valores es $243, o aproximadamente 1%.
ModaLa moda se define como el valor que ocurre con más frecuencia. Para datos agrupados en una distribución de frecuencias, es posible aproximar la moda usando el punto medio de la clase que contiene el mayor número de frecuencias
de clase. Si el conjunto de datos tiene más de dos valores modales, la distribución se denomina multimodal. En tales casos probablemente no se consideraría ninguna de las modas como representativa del valor central de los datos.
Ejemplo. Las ventas netas de una muestra de pequeñas plantas de estampado se organizaron en la siguiente distribución de frecuencias porcentuales. ¿Cuál es la mediana estimada de las ventas netas? Ventas netas (millones de dólares) 1 hasta 4 4 hasta 7 7 hasta 10 10 hasta 13 13 y superior Porcentaje del total 13 14 40 23 10
El valor modal de las venas netas se obtiene localizando primero la clase con el mayor número de porcentajes. Es la clase que comprende de 7 a 10 millones de dólares, porque el mayor número de porcentajes (40) se encuentra en dicha clase. El punto medio de ésta (8.5 millones de dólares) es la moda estimada. Esto indica que más plantas de estampado tuvieron ventas netas de 8.5 millones de dólares que cualquier otra cantidad. Ejercicios: 1. Una muestra de la producción diaria de transmisores/receptores de comunicación marca Scott Electronics se organizó en la distribución que sigue. Calcule la mediana de la producción diaria. Producción diaria 80 hasta 90 90 hasta 100 100 hasta 110 110 hasta 120 120 hasta 130 130 hasta 140 Frecuencia 5 9 20 8 6 2
2. El contador en jefe de una empresa
desea elaborar un informe acerca de las cuentas por cobrar de la compañía. A continuación se presenta una distribución de frecuencias que muestra las cantidades pendientes.
Cantidad $0 hasta $2,000 $2,000 hasta $4,000 $4,000 hasta $6,000 $6,000 hasta $8,000 $8,000 hasta $10,000 $10,000 hasta $12,000
Frecuencia 4 15 18 10 4 3
a. Determine la cantidad mediana b. ¿Cuál es el monto modal adeudado? 3. En la actualidad hay cerca de 1.2 millones de hombres y mujeres adscritos al servicio activo del ejército, la Infantería de Marina y la fuerza Aérea de EU. A continuación se muestra una clasificación porcentual de la edades. Determine la edad mediana del personal alistado en el servicio activo. ¿Cuál es la moda? Edad (años) Hasta 20 20 hasta 25 25 hasta 30 30 hasta 35 35 hasta 40 40 hasta 45 45 y mayores Porcentaje 15 33 19 17 11 4 1
4. El siguiente gráfico apareció en USA Today. Este gráfico indica el número de páginas de Internet impresas por día y por persona en una oficina. Basándose en esta información, ¿cuál es el número mediano de páginas de Internet impresas por día y por empleado?