Licenciatura en Diseño Gráfico y Animación Digital (LDGAD)

MATEMATICAS BASICAMtro. Rubén Loya Yaguchi

UNIDAD VI.- Trigonometría

Tema: Ley de los Cosenos y SenosAlumno: Ernesto Silva Mendoza

Trigonometría

Es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, así como sus propiedades y las aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos; es por eso que la palabra trigonometría significa medida de triángulos. El triángulo es la figura más básica en el estudio de las matemáticas.

Ejemplos de cosas que podemos medir en un triángulo son las longitudes de los lados, los ángulos, el área, etc.

TEOREMA DEL SENO:

En todo triangulo se cumple que las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

Aplicacion

La ley de los seno se aplica cuando los datos que se conoces son: Dos ángulos y un lado (A-L-A)

Se halla la medida del tercer Angulo aplicando el teorema de la suma de los ángulos internos de un triangulo y los datos que faltan aplicando la se de los senos.

Dos Lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (L-L-A)

Se utiliza la ley de lo senos para encontrar uno de los dos ángulos que faltan y determinar si tiene una, dos o ninguna solución

TEOREMA DEL COSENO

En un triangulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.

Aplicación:

Esta ley de aplica cuando los datos conocidos son: Dos lados y el ángulo entre ellos

(L-A-L) Los tres lados (L-L-L)

Ley de los SenosEJEMPLOS 1 De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Determina

los restantes elementos.

Ley de los SenosEJEMPLOS 2 Dado ∆ABC con A = 30°, B = 20° y a = 45 m. Encuentre el

ángulo y los lados faltantes.  El tercer ángulo del triángulo es              C = 180° – A – B = 180° – 30° – 20 ° = 130°        Por la ley de los senos,

                      Por las propiedades de las proporciones              

Ley de los SenosEJEMPLOS 3 Dado A = 42°, B = 75° y c = 22 cm. Encuentre el ángulo y los lados

faltantes.

El tercer ángulo del triángulo es:              C = 180° – A – B = 180° – 42° – 75° = 63°       Por la ley de los senos,                      

Por las propiedades de las proporciones

                y 

Ley de los CosenosEjemplo 1 En el siguiente triángulo ABC, a = 13 cm,

c = 19cm, <B = 55° , Resuelva el triángulo

De esto resulta

Por lo que:

Para obtener ángulo A: Sin embargo, el valor del lado a, b y c ya los tengo, entonces procedo a despejar el coseno de A, para resolver. Despejando aún más…

Invirtiendo la ecuación

Ahora es momento de sustituir nuestros valores:

Ahora aplicando coseno inverso.

Por lo que el ángulo A, es de 42.69 grados.

Ahora mediante la suma de ángulos internos en un triángulo, aplicamos la propiedad para encontrar el ángulo restante:

Despejando a <C

Por lo que nuestro ejercicio está resuelto. Tenemos el triángulo completo

Ley de los CosenosEjemplo 2 Dado a = 11, b = 5 y C = 20°.

Encuentre el lado y ángulos faltantes.

 Para encontrar los ángulos faltantes, ahora es más fácil usar la ley de los senos.              

AplicacionesLey de los senos y los cosenos Dado a = 8, b = 19 y c = 14.  Encuentre las medidas de los ángulos.

       Es mejor encontrar el ángulo opuesto al lado más grande primero. En este caso, ese es el lado b.

                      Ya que el cos B es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso.              B ≈ 116.80°

Ya que B es un ángulo obtuso y un triángulo tiene a lo más un ángulo obtuso, sabemos que el ángulo A y el ángulo C ambos son agudos.       Para encontrar los otros dos ángulos, es más sencillo usar la ley de los senos.               

Bibliografía

Ley de los Senos, Disponible en Difusor 2015: http://www.ditutor.com/trigonometria/ley_seno.html (Consultado el día 03/10/16)

http://www.fisimat.com.mx/ley-de-cosenos/ (consultada el día 04/10/2016)

http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/law-of-sines.html (consultada el día 05/10/2016)