図形と計量math-aquarium【例題】図形と計量 1 図形と計量 1...

Math-Aquarium【例題】図形と計量

1

図形と計量

１直角三角形と三角比

木の先端を P，根元を Q とする。A 地点の目の位置 A' から

木の先端への仰角が 30° ，A から 7m 離れた∠AQB＝90° と

なる B 地点の目の位置 B' から木の先端への仰角が 45° であ

るとき，木の高さを求めよ。ただし，目の高さを 1.5m とし，

Q' を右の図のように定める。

・PQ' ＝x とおき，A' Q'，B' Q' を x を用いて表し，QA

QP

＝tan30°＝

3

1，

QB

QP

＝tan45°＝1 を利用します。

・△A' Q' B' において，三平方の定理を用いて x を求めます。

解答

PQ' ＝x とおく。∠PA' Q' ＝30°より QA

QP

＝tan30°，tan30°＝

3

1であるので A' Q' ＝ 3 x

∠PB' Q' ＝45°より QB

QP

＝tan45°，tan45°＝1 であるので B' Q' ＝x

△A' Q' B' は直角三角形なので，三平方の定理により

( 3 x)2＋x

2＝72 x

2＝4

49

x＞0 より x＝2

7＝3.5

したがって，木の高さは 3.5＋1.5＝5m

２ 90° －θ，180° －θの三角比

(1) 次の三角比を 45°より小さい角の三角比で表せ。

① sin70° ② cos165° ③ tan130°

(2) 0° ＜θ＜90° のとき，sin(90° ＋θ)，cos(90° ＋θ)，tan(90° ＋θ)を，θの三角比で表せ。

要点

Point

A

A'

B

B'

Q'

Q

P

7m

1.5m

30° 45°

7

x 3 x


2

θ＝－θ

θ＝－θ

θ＝－θ　

tan

1)90tan(

sin)90cos(

cos)90sin(

θ＝－－θ

θ＝－－θ

θ＝－θ　

tan)180tan(

cos)180cos(

sin)180sin(

解答

(1) ① 90°－20°＝70° であるから sin70°＝sin(90°－20°)＝cos20°

② 165°＝180°－15° であるから cos165°＝cos(180°－15°)＝－cos15°

③ 130°＝180°－50° であり，50°＝90°－40° であるから

tan130°＝tan(180°－50°)＝－tan50°＝－tan(90°－40°)＝40tan

1－

(2) 0° ＜θ＜90° のとき，90°＋θは鈍角になるから 180°－(90°＋θ)を考える。

180°－(90°＋θ)＝90°－θであるから sin(90°＋θ)＝sin{180°－(90°＋θ)}＝sin(90°－θ)＝cosθ

cos(90°＋θ)＝－cos{180°－(90°＋θ)}＝－cos(90°－θ)＝－sinθ

tan(90°＋θ)＝－tan{180°－(90°＋θ)}＝－tan(90°－θ)＝θ

－tan

1

３三角比の相互関係

(1) 0° ≦θ≦90° とする。cosθ＝7

2のとき，sinθと tanθの値を求めよ。

(2) 0° ≦θ≦180° とする。sinθ＝3

1のとき，cosθと tanθの値を求めよ。

(3) 0° ≦θ≦180° とする。tanθ＝－2 のとき，sinθと cosθの値を求めよ。

次の三角比の相互関係を用います。

0° ≦θ≦180° とする。ただし，tanθではθ≠90° とする。

sin2θ＋cos

2θ＝1 tanθ＝θ

θ

cos

sin 1＋tan

2θ＝θ2cos

1

要点

Point

要点

Point

x

y r

θ

90°−θ

y

90°−θ θ

x r

y

1

θ

1 x －x －1

180°−θ


3

解答

(1) sin2θ＋cos

2θ＝1から sin2θ＝1－cos

2θ＝1－

2

7

2

＝

49

45

sinθ＞0であるから sinθ＝

7

53

また tanθ＝θ

θ

cos

sin＝

7

53÷

7

2＝

2

53

(2) sin2θ＋cos

2θ＝1 から cos2θ＝1－sin

2θ＝1－

2

3

1

＝

9

8

(ⅰ) cosθ＞0 のとき

cosθ＝9

8＝

3

22

また tanθ＝

θ

θ

cos

sin＝

3

1÷

3

22＝

22

1＝

4

2

(ⅱ) cosθ＜0 のとき

cosθ＝－9

8＝－

3

22

また tanθ＝

θ

θ

cos

sin＝

3

1÷

3

22－＝－

22

1＝－

4

2

(ⅰ)，(ⅱ)から (cosθ，tanθ)＝

4

2

3

22，，

4

2

3

22－，－

(3) 1＋tan2θ＝

θ2cos

1

から

θ2cos

1＝1＋(－2)

2＝5 cos2θ＝

5

1

0° ≦θ≦180° ，tanθ＝－2＜0 であるから 90° ＜θ＜180° よって cosθ＜0

したがって cosθ＝5

1－＝

5

5－

また sinθ＝tanθ∙cosθ＝(－2)∙

5

5－＝

5

52

４三角方程式・三角不等式

0° ≦θ≦180° のとき，次の問いに答えよ。

(1) 等式 2sinθ＝ 3 を満たすθを求めよ。

(2) 不等式 2sinθ＞ 3 を満たすθの範囲を求めよ。

角θの三角比の値から，角θ(0° ≦θ≦180°)を求めることができます。

① sinθ＝s を満たすθ ② cosθ＝c を満たすθ ③ tanθ＝t を満たすθ

0≦s＜1 なら θ，180° －θ －1≦c≦1 t≠0 のとき，θはただ 1 つ

s＝1 なら θ＝90° θはただ 1 つ t＝0 なら θ＝0° ，180°

要点

Point

s

1

1 －1

θ

y＝s

180° －θ

1 －1

1

θ c －1 1

1

θ

t


4

解答

(1) 2sinθ＝ 3 から sinθ＝2

3

半径 1 の円周上で，y 座標が2

3となる

点は，右の図の 2 点 P，Q である。

求めるθは，∠AOP と∠AOQ である

から θ＝60°，120°

(2) 2sinθ＞ 3 から sinθ＞2

3

(1)より，sinθ＝2

3を満たすθは

θ＝60°，120°

よって，右の図から sinθ＞2

3を

満たすθの範囲は

60° ＜θ＜120°

５三角比の対称式の値

0° ≦θ≦180° ，sinθ＋cosθ＝2

3のとき，次の値を求めよ。

(1) sinθcosθ (2) sinθ－cosθ (3) tanθ

(1) sinθ＋cosθ＝2

3の両辺を 2 乗します。

(2) まず，(sinθ－cosθ)2の値を求めます。


3と(2)から，sinθ，cosθを求めます。

解答


3の両辺を 2 乗すると sin

2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝

4

3

sin2θ＋cos

2θ＝1 から 1＋2sinθcosθ＝4

3

よって，2sinθcosθ＝－4

1から sinθcosθ＝－

8

1

要点

Point

1

1

A

－1

P Q

60°

2

3

120°

1

1 －1

60°

2

3

120°


5

(2) (sinθ－cosθ)2＝sin

2θ－2sinθcosθ＋cos2θ

sin2θ＋cos

2θ＝1，(1)から sinθcosθ＝－8

1であるから (sinθ－cosθ)

2＝1－2∙

8

1－＝

4

5

ここで，0° ≦θ≦180° のとき sinθ≧0 であることと，sinθcosθ＝－

8

1＜0 から cosθ＜0

よって，sinθ－cosθ＞0 である。したがって sinθ－cosθ＝

4

5＝

2

5

(3) 条件と(2)から

2

5cossin

2

3cossin

θ＝θ－

θ＝θ＋

これを解くと sinθ＝4

53＋，cosθ＝

4

53－

よって tanθ＝θ

θ

cos

sin＝

4

53

4

53

－

＋

＝)53)(53(

)53( 2

＋－

＋＝

53

1528

－

＋＝－4－ 5

６三角比の 2次関数の最大・最小

0° ≦θ≦180° のとき，y＝cos2θ＋sinθの最大値，最小値を求めよ。また，そのときのθの値を求めよ。

① sin2θ＋cos

2θ＝1 を利用して，関数を 1 つの三角比で表します。

② sinθ＝t（または cosθ＝t ）とおき，変域に注意して 2 次関数のグラフをかきます。

解答

cos2θ＝1－sin

2θより y＝cos2θ＋sinθ＝1－sin

2θ＋sinθ＝－sin2θ＋sinθ＋1

sinθ＝t とおくと，0° ≦θ≦180° のとき 0≦sinθ≦1 であるから 0≦t≦1

y を t を用いて表すと

y＝－t2＋t＋1＝－(t

2－t)＋1＝

4

1

2

12

－－－ t ＋1＝4

1

2

12

＋－－

t ＋1＝

4

5

2

12

＋－－

t

t＝2

1で最大値

4

5，t＝0，1 で最小値 1 をとる。

t＝2

1 すなわち sinθ＝

2

1を満たすθは θ＝30° ，150°

t＝0 すなわち sinθ＝0 を満たすθは θ＝0° ，180°

t＝1 すなわち sinθ＝1 を満たすθは θ＝90°

よって，θ＝30° ，150° のとき最大値4

5，θ＝0° ，90° ，180° のとき最小値 1

要点

Point

2

1

4

5

1

1


6

７正弦定理・余弦定理

△ABC において，辺 BC，CA，AB の長さをそれぞれ a，b，c，

∠A，∠B，∠C の大きさをそれぞれ A，B，C で表すことにする。

(1) △ABC において，次のものを求めよ。

① A＝60° ，B＝45° ，a＝2 のとき，b および外接円の半径 R

② a＝3，B＝60° ，c＝4 のとき b

(2) △ABC において，B＝45° ，b＝，c＝3 のとき，a，A，C を求めよ。

正弦定理

A

a

sin＝

B

b

sin＝

C

c

sin＝2R

余弦定理

a2＝b

2＋c2－2bccosA，b

2＝c2＋a

2－2cacosB，c2＝a

2＋b2－2abcosC

解答

(1) ① 正弦定理により，60sin

2＝

45sin

bから

2

3

2＝

2

1

b

よって b＝

2

32 ×

2

1＝2×

3

2×

2

1＝

6

4＝

3

62

また，正弦定理により 2R＝60sin

2から 2R＝

2

3

2

よって R＝

2

32 ×

2

1＝2×

3

2×

2

1＝

3

2＝

3

32

② 余弦定理により

b2＝4

2＋32－2∙4∙3∙cos60°

＝16＋9－24∙2

1＝13

b＞0 から b＝ 13

要点

Point

a

b c

A

B C

a

b c

A

B C

R

A

B C 2

b

45°

60°

A

B C 3

4

60°


7

(2) 正弦定理により

45sin

6＝

Csin

3から

2

1

6＝

Csin

3

よって sinC＝3÷

2

16 ＝3×

6

1×

2

1＝

32

3＝

2

3

したがって C＝60° ，120°

△ABC は右の図のように

2 通りある。

余弦定理により

( 6 )2＝3

2＋a2－2∙3∙a∙cos45°

6＝9＋a2－6a∙

2

1 整理すると a

2－ 23 a＋3＝0

解の公式により a＝12

314)23(23 2

－－＝

2

623

また，C＝60° のとき A＝75° ，C＝120° のとき A＝15°

以上から (a，A，C)＝

6075

2

623，，

＋，

12015

2

623，，

－

８三角形の形状

△ABC において，sinA＝2cosBsinC が成り立っているとき，この三角形はどのような三角形か。

正弦定理，余弦定理を用いて，与えられた等式を辺だけの関係式に直します。

解答

与えられた式に sinA＝R

a

2，cosB＝

ac

bca

2

222 －＋，sinC＝

R

c

2 をそれぞれ代入すると

R

a

2＝2∙

ac

bca

2

222 －＋∙

R

c

2

両辺に 2aR を掛けると a2＝a

2＋c2－b

2 これから b2＝c

2 b＞0，c＞0 より b＝c

よって，△ABC は AB＝AC の二等辺三角形である。

９三角形の面積

次の△ABC の面積を求めよ。

(1) AB＝2，AC＝3，A＝60°

(2) AB＝6，AC＝5，BC＝7

要点

Point

B B

A A

C C

3 3 6 6

45°

45°

60°

120°


8

△ABC の面積を S とすると

S＝2

1bcsinA＝

2

1acsinB＝

2

1absinC

解答

(1) S＝2

1∙3∙2∙sin60° ＝

2

1∙3∙2∙

2

3＝

2

33

(2) 余弦定理により cosA＝562

756 222

－＋＝

5

1

sin2A＋cos

2A＝1，0° ＜A＜180° のとき，sinA＞0 から sinA＝

2

5

11

－＝

5

62

よって S＝2

1bcsinA＝

2

1∙5∙6∙

5

62＝ 66

別解ヘロンの公式を用いる。

s＝2

cba ＋＋＝

2

657 ＋＋＝9 であるから

S＝ ))()(( csbsass －－－＝ )69)(59)(79(9 －－－＝ 66

１０三角形の内角の二等分線の長さ

△ABC において，AB＝5，AC＝3，∠A＝60° とする。∠A の二等分線と辺 BC の交点を D とするとき，

線分 AD の長さを求めよ。

三角形の面積を利用します。

∠BAD＝∠DAC，△ABC＝△ABD＋△ACD であり，

△ABC＝2

1∙AB∙AC∙sin∠BAC

△ABD＝2

1∙AB∙AD∙sin∠BAD

△ACD＝2

1∙AD∙AC∙sin∠DAC

であることから AD を求めることができます。

要点

Point

要点

Point

A

B C a

b c

A

B D

C

・・


9

解答

△ABC＝△ABD＋△ACD であるので，それぞれ面積の公式から

2

1∙AB∙AC∙sin∠BAC＝

2

1∙AB∙AD∙sin∠BAD＋

2

1∙AD∙AC∙sin∠DAC

よって 2

1∙5∙3∙sin60° ＝

2

1∙5∙AD∙sin30° ＋

2

1∙AD∙3∙sin30°

すなわち 2

1∙5∙3∙

2

3＝

2

1∙5∙AD∙

2

1＋

2

1∙AD∙3∙

2

1

したがって AD＝8

315

１１内接円の半径

△ABC について，次の問いに答えよ。

(1) a＝7，b＝9，c＝10 のとき，△ABC の面積 S と内接円の半径 r を求めよ。

(2) a＝6，b＝8，∠C＝60° のとき，△ABC の内接円の半径 r を求めよ。

△ABC の内接円の中心，すなわち，内心を I，面積を S，

内接円の半径を r とすると

S＝△IBC＋△ICA＋△IAB

＝2

1ar＋

2

1br＋

2

1cr

＝2

1r(a＋b＋c)

内接円の半径は，3 辺の長さと面積から求めることができます。

解答

(1) s＝2

cba ＋＋＝

2

1097 ＋＋＝13 であるから，ヘロンの公式により

S＝ ))()(( csbsass －－－＝ 34613 ＝ 266

また，S＝2

1r(a＋b＋c) にそれぞれの値を代入すると

266 ＝2

1r(7＋9＋10) これを解いて r＝

13

266

要点

Point

B C

A

I r

r

r ・


10

(2) △ABC の面積を S とすると

S＝2

1absin∠C＝

2

1∙6∙8∙sin60° ＝

2

1∙6∙8∙

2

3＝ 312

また c2＝a

2＋b2－2abcos∠C＝6

2＋82－2∙6∙8∙cos60° ＝36＋64－2∙6∙8∙

2

1＝52

c＞0 から c＝ 132 S＝2

1r(a＋b＋c) にそれぞれの値を代入すると 312 ＝

2

1r(6＋8＋ 132 )

312 ＝(7＋ 13 )r から r＝137

312

＋＝

)137)(137(

)137(312

－＋

－＝

36

)137(312 －＝

3

)137(3 －

研究１円に内接する四角形の面積

円に内接する四角形 ABCD において，AB＝6，BC＝8，CD＝6，DA＝5 のとき，対角線 AC の長さ，

四角形 ABCD の面積 S をそれぞれ求めよ。

円に内接する四角形において，向かい合う角の和は 180° であることを利用します。

解答

△ABC において，余弦定理により

AC2＝6

2＋82－2∙6∙8∙cos∠ABC

＝100－96cos∠ABC ……①

△ADC において，余弦定理により

AC2＝6

2＋52－2∙6∙5∙cos∠ADC

＝61－60cos(180° －∠ABC)

＝61＋60cos∠ABC ……②

①，②から 100－96cos∠ABC＝61＋60cos∠ABC

これを解いて cos∠ABC＝4

1 ①に代入すると AC

2＝100－96∙4

1＝76

AC＞0 から AC＝ 192

また sin∠ABC＝2

4

11

－＝

4

15 sin∠ADC＝sin(180° －∠ABC)＝sin∠ABC より

S＝△ABC＋△ADC＝2

1∙6∙8∙

4

15＋

2

1∙6∙5∙

4

15＝

4

1539

要点

Point

B

A

C

D

6

8 6

5


11

研究２正四面体の体積

1 辺の長さが 2 の正四面体 ABCD の体積を求めよ。

頂点 A から底面△BCD に

垂線 AH を引くと，直角三角形の

斜辺と他の 1 辺が等しいから

△ABH≡△ACH≡△ADH

よって，BH＝CH＝DH であるから，

点 H は△BCD の外心であることを

利用します。

解答

頂点 A から底面△BCD に垂線 AH を引くと △ABH≡△ACH≡△ADH

これから，BH＝CH＝DH であるので，点 H は△BCD の外心である。

よって，BH は△BCD の外接円の半径であるから

60sin

2＝2BH これから BH＝

3

32

△ABH は直角三角形であるから，三平方の定理により

AH＝ 22 BHAB －＝

2

2

3

322

－＝

3

62

また △BCD＝2

1∙2∙2∙sin60° ＝ 3

以上から，正四面体の体積は 3

1∙△BCD∙AH＝

3

1∙ 3 ∙

3

62＝

3

22

要点

Point

C

B

D

A

H


12

研究３ 36°の三角比

A＝36° ，B＝C＝72° ，BC＝1 の

△ABC があり，∠ABC の二等分線と AC

の交点を D とする。

△ABC∽△BCD であることを利用して，

cos36° を求めてみよう。

解答

∠BAC＝∠CBD＝36° ，∠ABC＝∠BCD より △ABC∽△BCD

また，△BCD，△ABD は二等辺三角形であるから，BC＝BD＝AD＝1 である。

AB：BC＝BC：CD であるから，AB＝x とおくと CD＝x－1 より

x：1＝1：(x－1) よって x(x－1)＝1 x2－x－1＝0

これを解いて x＝2

51 x＞0 より x＝

2

51＋

△ABC において，余弦定理により 1＝x2＋x

2－2∙x ∙x ∙cos36° これから cos36° ＝ 2

2

2

12

x

x －

x2＝

2

2

51

＋＝

4

526＋＝

2

53＋であるから

cos36° ＝

2

532

12

532

＋

－＋

＝53

52

＋

＋＝

)53)(53(

)53)(52(

－＋

－＋＝

4

553526 －＋－＝

4

51＋

A

B C

D

1

36°

72° ・・

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