DUALIDAD.

Un concepto muy importante en la programación lineal es el de la dualidad. La dualidad en la programación lineal presenta grandes ventajas como se comprobará. Cada problema de programación l ineal tiene asociado un problema lineal denominado dual, entre los cuales existen importantes propiedades.

Antes de formularlo, vamos a distinguir dos formas básicas en que se puede presentar tanto un problema de minimización como de maximización , que son las formas canónicas y estándar , es decir:

Formas canónicas

Formas estándar

Se puede observar que la forma canónica de minimización todas las restricciones son del tipo “”, y en la maximización son “”, mientras que para la formas estándar todas son “=”.

Definición de la forma dual para un problema de minimización en forma canónica :

Vamos a denominar al problema del que se parte como el problema PRIMAL , mientras que al problema al que se llega se denomina como el problema DUAL .

Donde x y w son las variables de los problemas primal y dual, respectivamente. Mientras el primal tiene n variables y m restricciones , el dual tiene m variables y n restricciones .

Vamos a observar, que existe una relación entre una variable de uno de los problemas con la restricción del otro problema, y viceversa, entre la restricción de uno de los problemas con la variable del otro problema. Por ejemplo, a la 1ª variable primal se le relaciona con la 1ª restricción del dual (y viceversa) y la 1ª restricción del primal se le relaciona con la 1ª variable del dual (y viceversa), y así para las restantes variables y/o restricciones.Así por ejemplo:

1

Obsérvese que la 1ª restricción del primal t iene una desigualdad “≥”, luego a la 1ª variable toma valores w 1≥0(y viceversa), mientras que para la 1ª variable del primal x 1≥0, la 1ª restricción del dual t iene una desigualdad de la forma “≤”(y viceversa).

Vamos ahora a dar una nueva definición pero bajo la forma estándar de minimización, es decir , las restricciones son ecuaciones (formas de igualdad).

Definición de la forma dual para un problema de minimización en forma estándar :

En este caso cada restricción del primal en forma de igualdad, la correspondiente variable del dual es no restringida (la variable puede tomar cualquier valor, posit ivo, negativo o nulo), mientras que para variables no negativas, las restricciones son de la forma “≤” (lo mismo que la forma canónica).

Un problema que no esté en la forma canónica de minimización se puede manipular para que presente esa forma y luego aplicar la 1ª definición, o bien ponerla en forma estándar y aplicar la 2ª definición. Sin embargo, sin realizar esa transformación, bien a la forma canónica o a la forma estándar, vamos a construir un cuadro que permite realizar directamente.

Supongamos que tenemos un problema, con los tres t ipos de restricciones “≥”, “≤” y “=”, que ponemos en la forma estándar, y aplicando la 2ª definición de dualidad:

En el problema dual en principio las variables duales son no restringidas debido a que las correspondientes restricciones son en igualdad, pero si observamos la restricción –w 1I ≤ 0 , al multiplicar por -1 ambos lados, implica que w1≥0 , es decir no negativa y en vez de “no restringida” como en principio parecía, mientras que para w 2 I≤ 0, son negativas , en vez de “no restringidas”.

Por lo tanto, para restricciones del t ipo “ ≥” le corresponde variables del t ipo w1≥0 , mientras que para restricciones del t ipo “ ≤” le corresponde variables del tipo w 2≤0 , y por último restricciones del t ipo “ =” las variables son del tipo w 3 “no restringidas”. Y viceversa, desde el dual sobre el primal, para variables posit ivas

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del dual se corresponde con restricciones del t ipo “≥”, para las negativas restricciones del t ipo “≤”, y para variables no restringidas las restricciones son del tipo “=”,Luego podemos construir el cuadro siguiente que permite el paso directo del problema tal como se encuentra la forma de optimización (maximizar o minimizar) o el tipo de restricciones y el signo de las variables, sin reducir a la forma canónica o estándar.

MINIMIZAR MAXIMIZAR

0

0

No restringida =

0

0

= No restringida

En el cuadro anterior, tal como se puede observar, hay una correspondencia como indican las f lechas, entre el problema primal y dual, que se util izan de izquierda a derecha o viceversa (de derecha a izquierda), según el primal sea de minimizar o el de maximizar, respectivamente, así por ejemplo si el problema primal es de MAXIMIZACION entonces tal como indica la f lecha hacia la izquierda, el dual es de MINIMIZACION. El resto del cuadro indica una correspondencia entre las variables para indicar las desigualdades y/o igualdades de las restricciones y viceversa. Observando a las variables, entonces si la variable es no negativa (0) la correspondiente restricción dual es de la forma “ ” tal como indica la f lecha hacia la izquierda, del mismo modo si la variable es no posit iva (0) la restricción dual es “”, mientras que si la variables es “no restringida” (es decir , que pueda tomar cualquier valor, posit ivo, negativo o nulo) la correspondiente restricción es “=”. Por últ imo, si la restricción es de la forma “” entonces la correspondiente variable dual es no negativa ( 0), si la restricción es “”, la variable dual es no positiva (0), mientras que si la restricción es “=”, entonces la variable dual es “no restringida”. Si ahora el problema fuese de MINIMIZACIÓN, haríamos como en el caso anterior, es decir , el dual es de MAXIMIZAR. El resto sería igual que el caso anterior, pero ahora teniendo en cuenta las f lechas hacia el lado derecho. Ejemplo 1º:

3

Ejemplo 2º

Propiedades y relaciones entre el problema primal y el dual.

Una vez que se pueden obtener la forma dual de cualquier problema dado (primal), pasamos a enumerar diferentes relaciones entre el primal y el dual.

Lema 1 . “El dual del dual es el primal ”. Es decir si se obtiene el dual de un problema primal de partida, el dual del obtenido es el primal de partida.

Lema 2. Sea la forma canónica de dualidad y sean x 0 y w 0 soluciones factibles de los problemas primal y dual, respectivamente. Entonces Ax 0 b, x 0 0, w0A c y w 0 0. Multiplicando Ax 0 b por w 0 0 por la izquierda, y w 0A c por x 0 0 por la derecha se obtiene:

cx0 w0Ax0 w0b

El valor de la función objetivo, para cualquier solución factible x 0 del problema de minimización, es siempre mayor o igual que el valor de la función objetivo para cualquier solución factible w 0 del problema de maximización.

Los siguientes corolarios son consecuencia inmediata del Lema 2.

Corolario 1

Si x 0 y w 0 son soluciones factibles de los problemas primal y dual y son tales que cx0 = w 0b, entonces x 0 y w 0 son soluciones óptimas de sus respectivos problemas.

Corolario 2

Si uno de los problemas t iene un valor objetivo “NO ACOTADO” (valor infinito), entonces el otro no t iene ninguna solución factible (INFACTIBLE).

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Lema 3.

Si uno de los problemas tiene una solución óptima con valor objetivo finito, entonces el otro problema tiene el mismo valor objetivo y la variable también es óptima (ver el lema 2).

Combinando ahora los lemas y corolarios anteriores, obtenemos los dos teoremas fundamentales de la dualidad:

TEOREMA 1

Con relación a los problemas de programación lineal primal y dual, exactamente una de las siguientes proposiciones es cierta:

1ª. Ambos problemas t ienen soluciones óptimas x* y w* , con cx* = w*b .2ª. Uno de los problemas t iene valor objetivo “no acotado”, en cuyo caso el otro problema debe ser “no factible” (no tiene ninguna solución al ser la región factible vacía).3ª. Si uno es “infactible” el otro es “no acotado” o “infactible”.

TEOREMA 2 (o Teorema débil de holgura complementaria ).

Sean x* y w* las soluciones óptimas del primal y dual, respectivamente, en forma canónica.

Entonces por el lema 2, se cumple que:

cx* w*Ax * w*b

Y por el lema 3,

cx* = w*b , al ser x* y w* soluciones óptimas.

Entonces:cx* =w *Ax * = w *b

Restando ahora del primer miembro de la igualdad el segundo, o sea,

cx* - w*Ax * = (c - w *A)x* = 0

Restando ahora del segundo miembro de la igualdad el tercero, o sea,

(w*Ax* w *b) = w *(Ax* - b) = 0

Es decir , las expresiones: (c - w*A)x* = 0 y w *(Ax* - b) = 0

Analizando ahora la 1ª igualdad ,

Como (c - w*A) 0 y x* 0 ,

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Entonces como es un producto de dos factores donde ninguno es negativo, la única posibil idad de que sea igual a 0 cuando uno de ellos sea positivo, es que el otro sea nulo. Si ahora ponemos la expresión anterior en función de las componentes en vez de los vectores, queda

(c j - w *a j)x j* = 0 ; para j = 1, 2, ….n.

Luego, tal como vimos antes si uno de los factores es positivo el otro es nulo para ser 0 el producto. Es decir:

si (c j - w*a j) 0 x j* = 0

si x j* 0 (c j - w*a j) =0

La interpretación del 2º teorema dice, respecto a las expresiones anteriores:

“Que si la restricción del problema dual es en desigualdad, entonces la correspondiente variable primal es nula, mientras que si la variables primal es posit iva entonces la restricción correspondiente del dual es en igualdad ”.

Si ahora analizamos de la misma forma la 2º igualdad ,

como w* 0 y (Ax* - b) 0 ,

Por el mismo razonamiento anterior, si uno de ellos es posit ivo el otro t iene que ser nulo, y expresando el producto en forma de las componentes de los vectores, se t iene la expresión:

w*i(a ix* - b i) = 0 ; i = 1, 2,….m

Luego si uno de los factores es positivo el otro t iene que ser nulo al no poder ser ninguno de ellos negativo, es decir:

si w*i 0 (a ix* - b i) = 0

si (a ix* - b i) 0 w*i = 0

Ahora el teorema 2 dice:

“Que si la variable del dual es posit iva la correspondiente restricción del primal es en igualdad, mientras que si la restricción del primal es en desigualdad la variable dual es nula ”.

Tal como se ha visto en la exposición anterior, teniendo en cuenta que el problema primal o dual son términos relativos, es decir , nos referimos al primal como el problema que se parte mientras que el dual al que se l lega, pero como ambos son lineales, nos vamos a olvidar ahora cual es el primal y cual es el dual y referirnos simplemente a uno y el otro, entonces el teorema 2ª lo podemos enunciar de la siguiente forma sencilla, en forma verbal:

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“Si uno de los problemas tiene una variable positiva la correspondiente restricción del otro es en igualdad, mientras que si una restricción es en desigualdad la variable correspondiente en el otro problema es nula ”.

Este teorema de la holgura complementaria es de una gran uti lidad que permite entre otras cosas resolver uno cuando se t iene resuelto el otro como veremos.

Para conocer cuando una restricción se cumple en igualdad o en desigualdad no hay más susti tuir en las restricciones los valores de las variables de la solución óptima, y a las restricciones que se cumplen en igualdad se denominan restricciones conectantes (activas o fuertes), es decir la variable de holgura es nula, mientras que las restricciones en desigualdad se llaman no conectantes (no activas o débiles), es decir , la variable de holgura es mayor que 0. En realidad no hace falta susti tuir el valor óptimo en cada una de las restricciones ya que si la resolución fuese de forma gráfica, las restricciones que tienen el punto óptimo se cumplen en igualdad (activas), mientras que el punto no pertenece al punto óptimo es en desigualdad (no activa); en el caso de que el problema se resuelva mediante el método simplex , si la variable de holgura correspondiente a la restricción en el tableau óptimo es nula, indica que la restricción es en desigualdad, mientras que si la citada variable de holgura es posit iva, indica que la restricción es en desigualdad.

Vamos a uti lizar el teorema 1 y 2 para resolver un problema. Se quiere resolver el siguiente problema de programación lineal siguiente:

Minimizar z = 2x + 3x + 5x + 2x + 3xSujeto a: x + x + 2x + x + 3x 2x - 2x + 3x + x + x 3 x , x , x , x , x 0

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

4

Si ahora planteamos el dual del anterior vamos a ver que como tiene dos restricciones duales luego se podrá resolver gráficamente, luego el dual es:

Maximizar y = 4w + 3wSujeto a: w + 2w w - 2w 3 2w + 3w 5 w + w 2 3w + w 3 w , w 0

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

2

Si se representa gráficamente, numerando las restricciones del dual de 1 a 7, se puede observar que el punto óptimo dual se da para w 1

* = 4/5 y w 2* = 3/5 con

valor objetivo y * = 5. Como el valor objetivo es f inito, sabemos que el primal tiene también una solución óptima con valor objetivo z * = 5 por el teorema 1 de la dualidad. Util izando ahora el 2º teorema o teorema débil de la holgura complementaria, sabemos que si sustituimos los valores duales óptimos en las restricciones la 1ª y 5ª restricciones duales se cumplen en igualdad ( son fuertes)( o simplemente, observando que las restricciones 1 y 5 contienen al citado punto óptimo), mientras que las restantes son en desigualdad (débiles)(ya que no contienen al punto óptimo), entonces por el citado teorema 2 las variables primales x2

* = x 3* = x 4

* =0 ( al ser las respectivas restricciones débiles), mientras que al ser w1

* ,w 2* 0 , las correspondientes restricciones primales son en igualdad , luego

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queda el siguiente sistema determinado ya que son dos ecuaciones con dos incógnitas

x1* +3 x5

* =4

2x1* + x5

* =3

al resolverlo da x 1* = x 5

* =1, y z * =2x1* +3 x 5

* =2.1+3.1= 5, tal como ya adelantamos anteriormente por el teorema 1.

Normalmente cuando se aplica el método simplex a un problema de programación lineal, el esfuerzo computacional es mayor cuanto mayor es el número de restricciones, luego cuando un problema tiene mayor número de restricciones que el de variables, al plantear el dual para resolverlo, este presenta un menor número de restricciones que el primal y luego aplicar los teoremas de dualidad para resolver el primal.

Interpretación económica del problema dual.

La interpretación económica que se va a realizar tanto del problema primal como del dual es muy útil , tanto para entender la formulación realizada como para poder manipularlo en plan de mejorar la eficiencia del problema, es decir , los valores objetivos.

Sea el problema primal en forma canónica, y el dual correspondiente:

Primal DualMINIMIZAR z = cx MAXIMIZAR y = wbSujeto a: Ax b Sujeto a: wA c x 0 w 0

Si B es la base óptima del primal, entonces el valor objetivo del primal esz* = c x * = cB B - 1b = w * b = y*

luego si el valor objetivo del primal es f inito, coincide con el valor objetivo del dual, entonces ambas soluciones, tanto la del primal (x * ) como la del dual (w * ) son óptimas (corolario del lema2). Si ahora consideramos la variación del valor óptimo y * para un incremento unitario del vector b, obtenemos el vector w * , es decir ,

y* / b* = w * , ó bien si consideramos la componente i, será y*i / b*

i= w *i ,

Es decir , al ser w *i 0 (ver el problema dual), entonces w*

i representa el incremento del valor objetivo y *

por cada unidad que se incremente del lado derecho b i , o sea, como y * representa ganancia (unidades monetarias, ya que como el dual es un problema de maximizar, el valor objetivo y representa un beneficio) , entonces w *

i representa la ganancia por cada unidad se incremente el lado derecho bi. También al vector w (o variable del problema dual) se le denomina “vector de precios sombra” asociado al lado derecho b, ya que teniendo en cuenta el análisis dimensional, como y= wb, al ser y una ganancia (en unidades monetarias) y b (las componentes representan cantidades), entonces en w, las componentes representan las ganancias (precios de cada unidad de las componentes). También podemos definirlo “ como el valor incremental asociado por el aumento de cada unidad extra respectiva del lado derecho b una vez obtenido el valor óptimo y * ” .

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Una vez visto lo que representa w i , pasemos a plantear el siguiente problema de producción. Supongamos que un cliente encarga a una empresa la producción de m bienes en cantidades respectivas de (b 1 , b2 ,…b i ,…bm) . La empresa para poder realizar la citada producción debe de realizar n tareas o actividades con niveles x j

(j=1,2…n), cuyos costos unitarios de cada actividad son c j ( j=1,…n). El cliente desearía elegir tanto que actividades se deben realizar así como los niveles de las mismas para conseguir que el coste total de la producción de los m bienes sea lo más económico posible. Si tenemos en cuenta que a i j representa la cantidad que se consigue del bien i por cada unidad de la actividad j , y x j es la cantidad total de la actividad j empleada en toda la producción, entonces a i jx j es la cantidad del bien i producida por la actividad j , y si consideramos que en el bien i intervienen todas

las actividades, entonces representa la cantidad total del bien i producido

por todas las actividades. Luego el problema que hay que resolver es que la producción de los bienes sea al menos la demandada por el cliente y que la producción sea realizada con el menor coste total, es decir , surge el problema primal:

Si ahora la empresa desea realizar la citada producción para conseguir el mayor beneficio posible , donde el cliente está conforme en pagar por cada unidad del bien i el precio sombra w i ( que se analizó anteriormente), teniendo en cuenta que a i j representa la cantidad que se consigue del bien i por cada unidad de la actividad j , entonces el coste de tal cantidad es a i jw i , pero como una unidad de la

actividad j se util iza en la producción de todos los bienes, a wij ii=1

m

representa la

ganancia por cada unidad de la actividad j , el cual no debe de superar el coste unitario de la actividad j , es decir , c j . Luego el problema que hay que resolver es el dual:

Maximizar y = w b o bien Maximizar y = wb

Sueto a: a w c ; Sujeto a: wA c

w ; w 0

i ii=1

m

ij ii=1

m

j j = 1. . n

i i = 1. . . m

Conclusión: “Cuando se obtiene la producción con coste total mínimo se consigue la producción con máxima ganancia, y viceversa ”

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