Anlisis de Sensibilidad y Dualidad

Objetivos: Los participantes al finalizar la unidad sern capaces de:

Analizar la importancia del problema Dual y su relacin con el Primal. (Comprender el principio de solucin del Mtodo Simplex Dual.

Resolver problemas de Programacin Lineal mediante el Simplex Dual.

Efectuar Anlisis de Sensibilidad a una solucin dada de un PPL.

Hacer valoraciones cuando los recursos de un PPL cambian.

Introduccin.

La asignacin de probabilidades a los eventos es una tarea difcil que muchos gerentes pueden mostrarse difcil a hacer, por lo menos con cierto grado de exactitud. En algunos casos prefieren decir creo que la probabilidad de que este evento ocurra est entre 0.5 y 0.7.

Bajo estas circunstancias, como en cualquier aspecto de decisin gerencial, es til realizar un anlisis de sensibilidad para determinar cmo afecta a la decisin la asignacin de probabilidades.

El anlisis de sensibilidad concierne al estudio de posibles cambios en la solucin ptima disponible como resultado de hacer cambios en el modelo original.

Variaciones que podemos realizar en el modelo general:

Mediante el anlisis de sensibilidad pueden existir diferentes tipos de cambios en el modelo original como:

1. Cambios en los coeficientes de la funcin objetivo, Cij

2. Cambios en los recursos, bi

3. Cambios en los coeficientes tecnolgicos, aij

4. Adicin de una nueva variable y Xi

5. Adicin de una nueva restriccin. aij >= bi

Dualidad y anlisis de sensibilidad Teora de dualidad:

La teora de dualidad parte de que asociado a todo problema de PL, existe otro problema lineal llamado Dual.

Las relaciones entre el problema dual y el problema original o (primal) son en extremos tiles en una gran variedad de situaciones.

Uno de los aspectos ms importantes de la teora de dualidad es la interpretacin y realizacin del anlisis de sensibilidad.

Dualidad y anlisis de sensibilidad Esencia de la teora de dualidad: Dada la forma estndar para el problema primal (izquierda), su problema dual tiene la forma que se muestra a la derecha.

max min

El problema dual usa exactamente los mismos parmetros que el problema primal, pero en diferentes lugares.

Esencia de la teora de dualidad: Dada la forma matricial del problema primal (izquierda), y del problema dual.

max min

Donde C y Y son vectores fila y b y x son vectores columna.

La Wyndor lass Co. Produce artculos de vidrio de alta calidad, entre ellos ventanas y puertas de vidrio. Tiene tres. Plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la planta 1, los de madera en la planta 2; la planta 3 produce el vidrio y ensambla los productos. Debido a una reduccin de las ganancias, la alta gerencia ha decidido reorganizar la lnea de produccin de la compaa. Se descontinuarn varios productos no rentables y se dejar libre una parte de la capacidad de produccin para emprender la fabricacin de dos productos nuevos que tienen ventas potenciales grandes:

Producto 1: una puerta de vidrio de 8 pies con marco de aluminio.

Producto 2: una ventana corrediza con marco de madera de 4 pies x 6. El producto 1 requiere capacidad de produccin en las plantas 1 y 3 y nada en la planta 2. El producto 2, solo necesita trabaja en las plantas 2 y 3. La divisin de comercializacin ha concluido que la compaa pede vender todos los productos que se puedan fabricar en las plantas. Sin embargo, como ambos productos competirn por la misma capacidad de produccin en la planta 3, no se est claro cual es la mezcla de productos que sera mas rentable.

Se conoce que el nmero de horas disponible en la semana para las plantas 1,2 y 3, para los nuevos productos son las siguientes: Planta 1: 4 horas; planta 2: 12 horas y planta 3: 18 horas. Cada producto se fabricar en lotes de 20 unidades totales. En la tabla siguiente se detalla el tiempo requerido en horas en cada planta para producir un lote de cada producto.

X1: nmero de lotes del producto 1 ( puertas de vidrios)

X2: nmero de lotes del producto 2 (ventas corredizas)

Z= ganancia semanal total (miles de dlares) al producir puertas y ventas de vidrio.

Es un problema tpico de mezcla de programacin lineal de maximizacin.

Problema primal y dual para el ejemplo Wyndor Glass Co.

Max

min

A la izquierda se muestra el problema primal en forma algebraica y a la derecha el problema dual en forma algebraica.

Max

Min

A la izquierda se muestra el problema primal en forma matricial y a la derecha el problema dual en forma matricial.

Solucin del P. dual, para el ejemplo Wyndor Glass Co.

La solucin ptima es: Y1=0 , Y2=1.5, Y3=1 para z= 36

La solucin ptima es: x1=2 y x2=6 para z= 36 Esto es, se debe producir 40 puertas(dos lotes) y 120( 6 lotes) ventanas para una utilidad mxima de U$36,000 .

El costo reducido identifica el costo que genera incrementar una unidad para cada variable no bsica.

La columna Dficit o Supervit muestra los valores de las variables de holgura.

La columna precio sombra: esto es, cuanto se estara dispuesto a pagar por una hora extra para producir mas puertas y/o ventanas.

Dualidad y anlisis de sensibilidad