teoria de dualidad
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Teoria de DualidadTRANSCRIPT
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Teora de la Dualidad
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Facultad de Ingeniera Industrial2015-0
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IntroduccinDado un problema de PL, denominado problema Primal existe otro problema en PL denominado problema Dual, ntimamente relacionado a el, se dice que ambos problemas son mutuamente duales.
Bajo ciertas hiptesis los problemas primal y dual dan lugar al mismo valor optimo de la FO, por tanto se puede resolver indirectamente el problema primal resolviendo el dual.
En este captulo se efectuar el estudio de la teora de la dualidad; as como tambin, su uso como un mtodo para resolver un segundo problema de PL, conocido como problema dual.
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Teora de la dualidad
El problema dual:
Sea el PL en su forma cannica:
Mx. z = cx
sa:
Ax b
x 0
La matriz A o matriz tecnolgica, est definida como una relacin recurso por producto; es decir cuanto de recurso se requiere por cada producto; as a12, significa la cantidad del recurso 1 utilizado en el producto:
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Teora de la dualidad
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Teora de la dualidad
siendo bi el nivel del recurso para la actividad i.
Desde el punto de vista del anlisis de las actividades: cada producto viene dado por un vector de componentes de cada uno de los recursos, es decir aj es el vector de componentes de todos los recursos para cada producto j( j =1,2,...,n)
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Teora de la dualidad
Suponga que un negocio, considera muy valioso a sus recursos. En el caso de que pueda dejar de producir; ya sea por algn accidente o alguna parada de su personal, dejar de obtener una ganancia. De donde se puede plantear lo siguiente:
Costo de los recursos utilizados ganancia del producto
para producir un artculo
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Teora de la dualidad
As:
producto 1:
producto 2:
...........
producto j:
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Teora de la dualidad
Vale decir que para el producto j, viene dada la expresin:
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Teora de la dualidad
El costo total de los recursos a utilizar deber ser mnimo:
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Teora de la dualidad
luego el problema es :
Min w = yb
sa:
yA c
y 0
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Teora de la dualidad
De la simetra de ambos problemas, se deduce:
El vector costos es en uno y en el otro, es el vector de la mano derecha.
El vector de la mano derecha, es el vector costos.
Las restricciones son transpuestas.
Ambos problemas de PL son duales,
y para diferenciarlos, uno se
denomina primal y el otro dual
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Teora de la dualidad
Ambos problemas de PL son duales, y para diferenciarlos, uno se denomina primal y el otro dual
Desde la forma estndar para la maximizacin:
ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn = bi ,i= 1,2, ... ,m
transformando a dos desigualdades :
ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn bi ,i= 1,2, ... ,m
y
ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn bi ,i= 1,2, ... ,m
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Teora de la dualidad
Equivalentes a :
ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn bi ,i= 1,2, ... ,m asociado a yi
-ai1x1 - ai2x2 - ... - ainxn -bi ,i= 1,2, ... ,m asociado a yi
cuando se aplica dualidad a las dos restricciones
... + ( ai1yi - ai1yi ) + ... + c1
... + ( ai2yi - ai2yi ) + ... + c2
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Teora de la dualidad
Se observa que :
( ai1yi - ai1yi ) = ( yi - yi )ai1
( ai2yi - ai2yi ) = ( yi - yi )ai2
luego se puede reemplazar:
yi = yi - yi
Es decir: + ai1yi + ... + c1
+ ai2yi + ... + c2
siendo yi una variable sin restriccin al signo, toda vez que (yi - yi) puede tomar cualquier valor (cero, mayor o igual a cero y menor o igual a cero).
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Teora de la dualidad
Se puede decir que si una restriccin es de sentido contrario a la forma cannica, esta produce una variable dual negativa.
Mx. z = x1
sa:
x1 9 asociado a y1
x1 4 asociado a y2
x1 0
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Teora de la dualidad
Su dual es :
Min w = 9y1+ 4y2
sa:
y1 + y2 1
y1 0
y2 0
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Relacin Primal y Dual (1)
A continuacin, se presentan algunas relaciones que satisfacen un par de problemas primal-dual.
Relacin 1: El Dual del Dual es el Primal.
Sea el problema dual:
Min w = yb
sa
yA c
y 0
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Equivalente a:
Max w = -yb
sa
-yA -c
y 0
Aplicando el Dual:
Min z = -cx
sa
-Ax -b
x 0
Relacin Primal y Dual (1)
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Equivalente a:
Max z = cx
sujeto a
Ax b
x 0
Relacin Primal y Dual (1)
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Relacin 2: Si x0 es una BFS al primal y y0 es una BFS al dual, se cumple que
Z0=cx0 y0b=W0
Sea el PL en x = x0
Max z = cx0
sa
Ax0 b
x0 0
Relacin Primal y Dual (2)
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En cualquier par de soluciones Primal y Dual factibles:
Relacin Primal y Dual (2)
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Relacin 3: Si x0 y y0 son soluciones ptimas, se cumple que: cx0 = y0b
Como un problema de Max, comienza con una solucin inicial (0,...,0), entonces el valor de z comienza desde cero; en el otro caso un problema de Min, comienza con variables artificiales en la solucin inicial, w es un valor muy grande. Se deduce que z crece hacia el ptimo y w decrece. En el ptimo se cumple que :
z = w
Relacin Primal y Dual (3)
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Cuando aj es un vector unitario (por ejemplo la columna de la solucin inicial )
zj-cj = yaj - cj
Cuando se est ante la relacin:
Se cumple la condicin de optimalidad.
Relacin Primal y Dual (3)
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Dual - Cannico
Sea el PL expresado en forma Primal:
Mx Z = 4x1+3x2+1x3
sa.
2x1+1x2 40
3x2+2x3 50
x1,x2,x3 0
Expresar el problema dual asociado
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Solucin - Cannico
Dual:
Min W = 40y1+50y2
sa.
2y1 > 4
y1+3y2 > 3
2y2 > 1
y1,y2 0
Primal:
Mx Z = 4x1+3x2+1x3
sa.
2x1+1x2 40
3x2+2x3 50
x1,x2,x3 0
y1
y2
x1
x2
x3
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Dual - Estandar
Sea el PL expresado en forma Primal:
Mx Z = 4x1+3x2+1x3
sa.
2x1+1x2 = 40
3x2+2x3 = 50
x1,x2,x3 0
Expresar el problema dual asociado
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Solucin - Estandar
Dual:
Min W = 40y1+50y2
sa.
2y1 > 4
y1+3y2 > 3
2y2 > 1
y1,y2 Irr
Irr : Irrestricta
Primal:
Mx Z = 4x1+3x2+1x3
sa.
2x1+1x2 = 40
3x2+2x3 = 50
x1,x2,x3 0
y1
y2
x1
x2
x3
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Dual - Mixto
Sea el PL expresado en forma Primal:
Min Z = 2x1+5x2-3x3+4x4
sa.
-2x1+ x2 +5x4 < 20
3x2+ 2x3-3x4 = 50
x1 + x3+2x4 > 10
x1 Irr ; x2 0 ; x3
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Solucin - Mixto
Dual:
Max W = 20y1+50y2+10y3
sa.
-2y1 + y3 = 2
y1+3y2 < 5
2y2+ y3 > -3
5y1-3y2+2y3 < 4
y1 0
Primal:
Min Z = 2x1+5x2-3x3+4x4
sa.
-2x1+ x2 +5x4 < 20
3x2+ 2x3-3x4 = 50
x1 + x3+2x4 > 10
x1 Irr;x2 0;x3
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Ejercicio
Sea el PL expresado en forma Primal:
Mx Z = 3x1+5x2-2x3+4x2
sa:
2x1+x2-2x3+5x4 50
x1+5x2-x3+3x4 = 60
3x1 +5x3+2x4 40
x1,x2,x3, 0 , x4 irr
Expresar el problema dual asociado
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Solucin
Solucin Dual:
Min w = 50y1+60y2+40y3
sa:
2y1+y2+3y3 3
y1+5y2 5
-2y1-y2+5y3 -2
5y1+3y2+2y3 = 4
y1 0 ,y2 irr ,y3 0
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Ejercicios
Sea el PL expresado en forma Primal:
Mx Z = 3x1+5x2-2x3
sa:
2x1 +x3 =50
x1+x2-x3 = 40
x1,x2,x3 0
?
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SolucinSolucin Dual:
resolver...
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Teorema de la holgura complementaria
El teorema de la holgura complementaria, establece:
Sea cualquier par de soluciones ptimas ( primal y dual), se tiene:
1. Si una restriccin es con holgura, entonces la variable dual asociada es cero; si es sin holgura , la variable dual es positiva.
si = 0 , yi > 0
si > 0 , yi = 0
2. El producto de una variable primal y la holgura dual es cero.
xj = 0 , vj > 0
xj > 0 , vj = 0
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Dualidad en Programacin Lineal.
Mtodo Simplex Dual:
La idea de este mtodo consiste en resolver de alguna manera el problema dual asociado a P) en la tabla y variables del problema primal P), segn veremos en su aplicacin a un problema primal
Min3x1 + 4x2 + 5x3
sa:x1+ 2x2 + 3x3 5
2x1 + 2x2 + x3 6
x1, x2, x3 0
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II.5. Dualidad en Programacin Lineal.
Mtodo Simplex Dual:
Min3x1 + 4x2 + 5x3 + 0x4 + 0x5
sa:x1 + 2x2 + 3x3 - x4 5x(-1)
2x1 + 2x2 + x3 - x5 6x(-1)
x1, x2, x3, x4, x5 0
x1x2x3x4x5-1-2-310-5-2-2-101-6345000 -
II.5. Dualidad en Programacin Lineal.
Mtodo Simplex Dual:
En la tabla anterior se toman dos variables de exceso x4 y x5 , y se multiplica por un nmero negativo con la finalidad de encontrar la matriz identidad IRn, adems es necesaria la condicin de que los costos reducidos de la tabla sean mayores que cero ( lo que en este caso se cumple).
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II.5. Dualidad en Programacin Lineal.
Mtodo Simplex Dual:
En la tabla anterior se escoge, usando el lado derecho, alguna variable con valor negativo.
Escogemos x5 , variable que dejar la base. Enseguida , se obtiene la variable entrante calculando:
Min { (-3/-2) , (-4/-2),(-5/-1)} = 3/2.
De donde resulta que x1 entra a la base.
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II.5. Dualidad en Programacin Lineal.
Mtodo Simplex Dual:
La tabla posee an un lado derecho negativo (costos reducidos negativos del problema dual), por lo cual no es factible en P).
x5
x4
x3
x2
x1
-2
-1/2
1
-5/2
-1
0
1
1
0
1
-9
3/2
0
7/2
3
-1/2
0
1/2
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II.5. Dualidad en Programacin Lineal.
Mtodo Simplex Dual:
x4 (=-2) deja la base, luego calculamos :
Min {(-1/-1),((-7/2)/(-5/2)),((-3/2)/(-1/2))} = 1, por lo que x2 entra a la base.
x1x2x3x4x5015/2-1210-21-1100111-11 -
II.5. Dualidad en Programacin Lineal.
Mtodo Simplex Dual:
La tabla posee lados derechos no-negativos (costos reducidos positivos del problema dual) y tambin los costos reducidos de las variables no bsicas x3, x4 y x5 son no-negativos , por lo que tenemos una solucin factible en P) que es la solucin ptima del problema.
recurso
producto
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
m
m
mn
11
12
1
21
22
2
1
2
L
L
M
M
L
L
=
mj
j
j
j
a
a
a
a
M
2
1
a
y
a
y
a
y
c
m
m
11
1
21
2
1
1
+
+
+
L
a
y
a
y
a
y
c
m
m
12
1
22
2
2
2
+
+
+
L
a
y
a
y
a
y
c
j
j
mj
m
j
1
1
2
2
+
+
+
L
y
a
c
i
ij
j
i
m
=
1
(
)
c
yA
j
mj
j
j
m
c
a
a
a
y
y
y
M
L
2
1
2
1
w
b
u
b
u
b
u
b
u
m
m
i
i
i
m
=
+
+
+
=
=
1
1
2
2
1
L
=
yb
valor
de
la
FO
de
maximizaci
n
valor
de
la
FO
de
minimizaci
n
z
c
to
unitario
del
recurso
j
ren
iento
por
unidad
de
j
j
j
-
=
-
cos
dim
j
de
unidad
por
imiento
rend
j
recurso
del
unitario
osto
c
11
)
P
(
v
0
2
1
x
x
x
x
3
2
1
=
=
=