I. INTRODUCCINInvestigacin de operaciones tiene una gran importancia en la formacin profesional los ingenieros y otras especialidades.El concepto de dualidad indica que para cada problema de Programacin Lineal hay una asociacin y una relacin muy importante con otro problema de programacin lineal, llamado precisamente dual.El anlisis de dualidad es una herramienta til en la solucin de problemas de PL, por ejemplo: ms restricciones que variables.El problema dual tiene interpretaciones e informaciones importantes que muestran que los anlisis marginales estn siempre involucrados implcitamente al buscar la solucin ptima a un problema de PL.En este marco, la aplicacin de las matemticas aplicadas es fundamental y nuestra asignatura ocupa un sitial muy importante en este rol, involucrando una serie de herramientas con distintas orientaciones especialmente las relacionadas con el proceso de planeacin.

II. MARCO TERICO2.1. METODO DE DUALIDADEl concepto de dualidad tiene un rol muy importante, no solo en programacin lineal, sino en la teora de optimizacin en general.Ms aun, la teora de dualidad es ms amplia que la teora de programacin matemtica, nos interesa el concepto de dualidad restringido a la teora de optimizacin.Todo programa matemtico, lineal o no lineal, existe asociado con otro llamado programa dual. En particular todo programa lineal, tiene su correspondiente programa dual. En este tema se estudiara las relaciones matemticas entre un programa lineal y dual; y luego se dar la interpretacin fsica correspondiente. Es decir se tratara de interpretar el significado de las variables y funciones objetivas de ambos programas.

A. Reglas de obtencin de la dualidad El problema dual se construye simtricamente del primal de acuerdo a las siguientes reglas.

1. Para cada restriccin primal (m restricciones) existe una variable dual yi (m variables), la funcin objetivo se construye con los valores libres bi como coeficientes de las variables yi.

2. Para cada variable primal xj (n variables) existe una restriccin dual (n restricciones), la restriccin se construye con los m coeficientes de las restricciones primales de esa variable. Los valores libres son los n coeficientes cj.

3. Si la optimizacin primal es una Maximizacin, el problema dual es una Minimizacin y las restricciones son >=. (y a la inversa Minimizacin primal, Maximizacin dual, restricciones < ).

Si consideramos los excesos y holguras las variables duales (yi)no tienen restricciones de signo, en caso contrario en ambos problemas se considera variables >0. Por lo que las variables duales correspondientes a restricciones del tipo = deben ser sin restricciones de signo, recprocamente cuando una variable en el primal no tiene restriccin de signo, la restriccin correspondiente en el dual debe ser del tipo =.Si el modelo est escrito en la forma cannica, el dual resulta singularmente fcil de obtener. Por ejemplo, partiendo de la forma cannica del modelo de mximo:

PRIMAL(MN) z=c.xA.xb=0

DUAL(MAX) W=b.uA.uc=0De forma ms general, las reglas para obtener el dual de cualquier modelo lineal se indican en la tabla adjunta:PRIMAL DUALDUAL PRIMAL

Maximizar la F.O.Minimizar la F.O.

Una variable no negativaUna restriccin mayor o igual

Una variable no positivaUna restriccin menor o igual

Una variable no restringida en signoUna igualdad

Una restriccin menor o igualUna variable no negativa

Una restriccin mayor o igualUna variable no positiva

Una igualdadUna variable no restringida en signo

Por ejemplo:Max z = 3x1+ 5x2Sujeto a:x1 + 1025y1, y2, y3, y4>02. Max Z = 3x1+ 7x2Sujeto a:2x1+ 5x2= 15x1+ 8x201. Para cada restriccinprimal(2restricciones) existe una variabledualyi(2variables) y1y2, la funcin objetivo se construye con los valores libresbi(15, 30) como coeficientes de las variablesyi.2. Para cada variableprimalxj(2variables sin considerar las variables de holgura) existe una restriccindual(2restricciones), la restriccin se construye con los2coeficientes de las restricciones primales de esa variable. Los valores libres son los2coeficientes cj(3, 7).3.Aplicando las reglas y la nota:4.Nota: Para la segunda restriccion no hemos considerado las variables de excesos ni holguras las variables duales por lo que en el dual y2 0, la primera restriccin es de igualdad por lo que la primera variable no tiene restriccin de signo.Problema dual:Min Y= 15y1 + 30y2Sujeto a:2y1 + y2 35y1 + 8y2 7y sin restriccin de signo (irrestricta)y2 0.

B. TEOREMAS DE DUALIDADTeorema de existencia.La condicin necesaria y suficiente para que un problema de programacin lineal tenga solucin es que, tanto el conjunto de oportunidades del primal (S) como en conjunto de oportunidades del dual (S) no sean vacos, es decir, que ambos problemas sean factibles. ( x* , * ) S S

Corolario del teorema de existencia.Una vez analizadas las condiciones que han de cumplirse para que exista solucin optima, vamos a ver los diferentes casos posibles:a) S S Ambos problemas tienen solucin optima finita.b) S = S El programa primal es infactible, y el programa dual es no acotado.c) S S = El programa dual es infactible, y el programa primal es no acotado.d) S = S = Ambos problemas son infactibles.

La condicin necesaria y suficiente para que exista solucin ptima del primal ( x* ), es que exista una solucin ptima para el dual ( * ) y que valor de la funcin objetivo de ambos programas sea igual, es decir Z(x*) = G(*). x* * / Z(x*) = G(*)

Teorema del Holgura complementaria.La condicin necesaria y suficiente para que (x*, *) sean soluciones ptimas del programa primal y dual, es que satisfagan las condiciones de holgura complementaria:( c - * A ) x* = 0* ( b - A x* ) = 0

C. REGLAS PARA ESCRIBIR UN PROBLEMA DUAL

1.-FUNCION OBJETIVO

El dual de un problema de maximizacin es un problema de minimizacin. El dual de un problema de minimizacin es un problema de maximizacin.

2.-NUMERO DE INCOGNITAS O RESTRICCIONES:

El nmero de incgnitas del dual es el nmero de restricciones del primal El nmero de restricciones del dual es el nmero de incgnitas del primal.

3.-COEFICIENTES DE COSTE Y TERMINOS INDEPENDIENTES DE LAS RESTRICCIONES:

Los coeficientes de coste del dual son los trminos independientes de las restricciones del primal. Los trminos independientes de las restricciones del dual son los coeficientes de coste del primal.

4.-LAS MATRICES TECNOLGICAS DEL PRIMAL Y DUAL SON TRASPUESTAS ENTRE S.

5.-SIGNO DE LAS RESTRICCIONES Y DE LAS VARIABLES.

A cada restriccin de un problema viene asociado una variable del otro. Las reglas para cada escribir los signos de las restricciones y de las variables correspondientes vienen resumidas en la tabla siguiente:

REGLAS PARA UN PROBLEMA REAL1.Una restriccin de igualdad del primal (dual) implica que la variable dual (primal) correspondiente es no restringida.2.Una relacin de desigualdad >= (=(< 0,es decir, variables libres.

III. APLICACIONES DEL MTODO DUAL

IV. CONCLUSIONESV. RECOMENDACIONES