dualidad io

8/18/2019 Dualidad IO

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Modulo:INVESTIGACION DE OPERACIONES 1

Trabajo:Unidad 3- DUALIDAD Y ANALISIS DE SENSIBILIDAD

Nombre Docente:MARÍA DEL CARMEN GARCÍA TOSCANO

Nombre Alumno:LUIS ALBERTO MARTINEZ DOMINGUEZ

ISAIAS MORALES DIOSDADOJOSE LUIS TORRES ZAVALA

EDWIN EMMANUEL VARGAS AGUILERAVERENICE RAYA MANRIQUES

DIAZ SALDAÑA JOSE GUADALUPE

Semestre 4°

Carrera:ING. INDUSTRIAL


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INDICE

3.1. Teoría primal-dual

3.2. Formulación del problema dual.

3.3. Relación primal-dual.

3.4. Dual-Simplex

3.5. Análisis de sensibilidad: cambio en el vector recursos y sus limites,cambio en el vector y sus limites, adición de una variable (Xi), cambio encoeficientes tecnológicos, Adición de una nueva restricción

3.6. Interpretación del análisis de sensibilidad

INTRODUCCION

Encontrar el óptimo de un problema de optimización, es solo una parte del procesode solución. Muchas veces nos interesara saber cómo varia la solucion si varıa

alguno de los parámetros del problema que frecuentemente se asumen comodeterminísticos, pero que tienen un carácter intrínsecamente aleatorio. Másespecialmente nos interesara saber paraqué rango de los parámetros quedeterminan el problema sigue siendo válida la solución encontrada.


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UNIDAD 3 DUALIDAD Y ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

La asignación de probabilidades a los eventos es una tarea difícil que muchosgerentes pueden mostrarse difícil a hacer, por lo menos con cierto grado deexactitud. En algunos casos prefieren decir “creo que la probabilidad de que este

evento ocurra está entre 0.5 y 0.7”. Bajo estas circunstancias, como en c ualquieraspecto de decisión gerencial, es útil realizar un análisis de sensibilidad paradeterminar cómo afecta a la decisión la asignación de probabilidades.El análisis de sensibilidad concierne el estudio de posibles cambios en la soluciónóptima disponible como resultado de hacer cambios en el modelo original.

Definiciones generales del Análisis de sensibilidad

Efecto neto.- Es la ganancia o pérdida por unidad adicional de una variable queentra a la base. El efecto neto de una variable básica siempre será cero.

Cambios en los coeficientes de la función objetivo.

El cambio de una variable se interpretaría, por ejemplo, como en incremento en elprecio de un producto para un objetivo de maximización, o como la disminución enel costo de una materia prima para un objetivo de minimización.

Finalmente, se estudiara por separado si la modificación es para una variable no-básica o para una básica, ya que las consecuencias en cada caso son muydiferentes.

Cambios en el coeficiente Objetivo de una variable No-básica. Es importante mencionar que una variación en el coeficiente de una variable no-básica, no necesariamente conlleva a una infracción no mejorada a la soluciónóptima actual, aunque en ciertas ocasiones si lo haga.


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3.1. TEORÍA PRIMA-DUAL.

El problema dual se define sistemáticamente a partir del modelo de PL primal (uoriginal). Los dos problemas están estrechamente relacionados en el sentido de quela solución óptima de uno proporciona automáticamente la solución óptima al otro.

En la mayoría de los tratamientos de PL, el dual se define para varias formas delprimal según el sentido de la optimización (maximización o minimización), los tiposde restricciones (≤,≥, =), y el signo de las variables (no negativas o restrictivas).Requiere expresar el problema primal en la forma de ecuación (todas lasrestricciones son ecuaciones con lado derecho no negativo, y todas las variablesson negativas). Este requerimiento es consistente, de ahí que cualesquierresultados obtenidos a partir de la solución óptima primal se aplica diferente alproblema dual asociado.

Las ideas clave para construir el dual a partir del primal se resumen como sigue:1. Asigne un variable dual por cada restricción primal.2. Construya una restricción dual por cada variable primal.3. Los coeficientes de restricción y el coeficiente objetivo de la variable

primal j-ésima definen respectivamente los lados izquierdos y derechode la restricción dual j-ésima.

4. Los coeficientes objetivo duales son iguales a los lados derechos de lasecuaciones de restricción primales.

Las reglas rigen el sentido de la optimización de las desigualdades y los signos de

las variables en el dual.

3.2 FORMULACION DEL PROBLEMA DUAL

A cada problema de programación lineal (Primal), existe otro problematambién lineal llamado Dual. Entre estos dos problemas existen relacionesmuy útiles en el llamado análisis de sensibilidad, dado que todos losparámetros de ambos modelos son meras estimaciones o representardecisiones gerenciales de sus verdaderos valores.

La solución óptima del problema dual proporciona los precios en el mercadoo los beneficios de los recursos escasos asignados en el problema original.

Formulación del problema Dual a partir del primal


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En consecuencia; con el problema de maximización, el problema dual estáconformado por minimización. Aun más, el problema dual usa los mismosparámetros que el problema primal; pero en diferentes lugares, tal como se

resume a continuación.

1) Los coeficientes de la función objetivo del problema primal son los ladosderechos de las restricciones funcionales del problema dual.

La dualidad parte dependiendo de su origen:


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1.- El objeto de un problema debe ser opuesto al otro.

2.- El problema de Maximización. Debe contar con todas sus restricciones ≤y el de Min ≥.

3.- Las variables de ambos problemas deben ser no negativas.

4.-Cadarestricción en un problema tiene asociada una variable en el otro yviceversa.

5.- El vector de recursos (transporte) de un problema se convierte en el vector

de coeficientes objetivo del otro y viceversa.

6.- La matriz de coeficientes tecnológicos de un problema es la transpuestade la matriz de coeficientes tecnológicos de otros.

EJEMPLO:

Una compañía produce y vende 2 tipos de máquinas de escribir: manual yeléctrica. Cada máquina de escribir manual es vendida por un ingreso de 40

dls. Y cada máquina de escribir eléctrica produce un ingreso de 60 dls. Ambas máquinas tienen que ser procesadas (ensambladas y empacadas) através de 2 operaciones diferentes (O1 y O2).

La compañía tiene una capacidad de 2000 hrs. Mensuales para la operaciónO1 y 1000 hrs. Mensuales de la operación O2.

El número de horas requeridas de O1 y O2 para producir un modeloterminado se da en la siguiente tabla.


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Encuentre el número óptimo de unidades de cada tipo de máquina de escribirque se debe producir mensualmente para maximizar el ingreso.

OBJETIVO: Maximizar el ingreso total

RESTRICCIONES: horas mensuales de las operaciones

VARIABLE DE DECISION: número de máquinas de escribir a producir

X1 = número de máquinas de escribir manuales

X2 = número de máquinas de escribir eléctricas


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3.2 FORMULACION DEL PROBLEMA DUAL

A cada problema de programación lineal (Primal), existe otro problematambién lineal llamado Dual. Entre estos dos problemas existen relacionesmuy útiles en el llamado análisis de sensibilidad, dado que todos los

parámetros de ambos modelos son meras estimaciones o representardecisiones gerenciales de sus verdaderos valores.

La solución óptima del problema dual proporciona los precios en el mercadoo los beneficios de los recursos escasos asignados en el problema original.

Formulación del problema Dual a partir del primal


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En consecuencia; con el problema de maximización, el problema dual estáconformado por minimización. Aun más, el problema dual usa los mismosparámetros que el problema primal; pero en diferentes lugares, tal como seresume a continuación.

1) Los coeficientes de la función objetivo del problema primal son los ladosderechos de las restricciones funcionales del problema dual.

La dualidad parte dependiendo de su origen:

1.- El objeto de un problema debe ser opuesto al otro.

2.- El problema de Maximización. Debe contar con todas sus restricciones ≤y el de Min ≥.

3.- Las variables de ambos problemas deben ser no negativas.

4.-Cadarestricción en un problema tiene asociada una variable en el otro yviceversa.


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5.- El vector de recursos (transporte) de un problema se convierte en el vectorde coeficientes objetivo del otro y viceversa.

6.- La matriz de coeficientes tecnológicos de un problema es la transpuestade la matriz de coeficientes tecnológicos de otros.

EJEMPLO:

Una compañía produce y vende 2 tipos de máquinas de escribir: manual yeléctrica. Cada máquina de escribir manual es vendida por un ingreso de 40dls. Y cada máquina de escribir eléctrica produce un ingreso de 60 dls.

Ambas máquinas tienen que ser procesadas (ensambladas y empacadas) através de 2 operaciones diferentes (O1 y O2).

La compañía tiene una capacidad de 2000 hrs. Mensuales para la operaciónO1 y 1000 hrs. Mensuales de la operación O2.

El número de horas requeridas de O1 y O2 para producir un modeloterminado se da en la siguiente tabla.

Encuentre el número óptimo de unidades de cada tipo de máquina de escribirque se debe producir mensualmente para maximizar el ingreso.

OBJETIVO: Maximizar el ingreso total

RESTRICCIONES: horas mensuales de las operaciones


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VARIABLE DE DECISION: número de máquinas de escribir a producir

X1 = número de máquinas de escribir manuales

X2 = número de máquinas de escribir eléctricas


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3.4 Dual Simplex

Como sabemos, el método simplex es un algoritmo iterativo que iniciando enuna solución básica factible pero no óptima, genera soluciones básicasfactibles cada vez mejores hasta encontrar la solución óptima (sí esta existe).Nótese que la base de su lógica es mantener la factibilidad, mientras buscala optimalidad.

Pero surge la posibilidad de usar otro esquema igualmente iterativo, quecomo contraparte del simplex, comienza en una solución básica óptima, perono factible y mantiene la inmejorabilidad mientras busca la factibilidad. Coneste procedimiento se llega igualmente a la solución óptima.

El nuevo algoritmo fue desarrollo en 1954 por C. E. Lemke y se conoce conel nombre de Método Dual-Simplex.

A continuación se presenta su estructura y un ejemplo para ilustrar su

aplicación Algoritmo Dual-Simplex para un modelo de maximización Introducción

Primero se debe expresar el modelo en formato estándar, agregando las variablesde holgura y de exceso que se requieran.Enseguida, en las ecuaciones que tengan variables de exceso (resultantes derestricciones de tipo >), se debe multiplicar por (-1) en ambos lados, para hacer


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positivo el coeficiente de la variable de exceso, y formar así un vector unitario quenos permita tomar esta variable de exceso como una variable básica inicial. Sinnecesidad de agregar una variable artificial en esa restricción.

Al hacer lo anterior se logra que debajo de las variables básicas aparezca

una matriz identidad, que es la que el simplex siempre toma como baseinicial.

Obtendremos que los términos del lado derecho de las ecuacionesmultiplicadas por (-1) quedan con signo negativo, lo cual hace que la solucióninicial sea infactible.

Es importante destacar que este proceso es muy útil ya que en muchosmodelos evita la inclusión de variables artificiales en el momento detransformar un modelo a formato estándar.

El algoritmo para resolver un modelo de maximización es el siguiente:

Paso 1: Hallar una solución básica inicial infactible e inmejorable

Escribir el tablero inicial tomando a las variables de holgura y de exceso comovariables básicas iníciales

Paso 2: Prueba de factibilidad Si todas las variables básicas son no negativas, la actual solución es la

óptima.

Si hay al menos una variable básica negativa, seleccionar como variable desalida, (llamémosla (XB) s), a aquella con el valor más negativo. Los empatesse pueden romper arbitrariamente.

Paso 3: Prueba de inmejorabilidad

Sí en el renglón de la variable básica de salida (XB) s todos los coeficientesde reemplazo con las variables no básicas son no negativos, la solución delmodelo es óptima ¡limitada. Se termina el proceso.

Si en el renglón de la variable básica de salida (XB) s, hay al menos uncoeficiente de intercambio negativo, se efectúan los cocientes entre el efectoneto de cada variable no básicas y su correspondiente coeficiente deintercambio negativo.


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Es decir, siendo (XB)s la variable de salida se calculan todos los cocientes

Se toma como variable de entrada (llamémosla Xe) a aquella que corresponda almínimo de los cocientes del anterior conjunto

Si la variable de entrada es Xe el elemento pivote será el elemento (Se)s

El empate se puede romper arbitrariamente.

Aplicar la operación de pivoteo para generar la nueva tabla, en la cualaparezca Xe como variable básica en lugar de la variable de salida (XB)s

Repetir el algoritmo a partir del paso 2.


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3.6 cambio en vector costos cj


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3.7 CAMBIO EN Bi de las restricciones


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3.8 VARIACIÓN EN LOS COEFICIENTES TÉCNICOSDE LASRESTRICCIONES, aij

Los cambios o modificaciones en los coeficientes técnicos de las restriccionespueden afectar tanto a la condición de factibilidad como a la de optimalidad, segúnse trate de un coeficiente asociado a una variable no básica o a una variable básica.

Los coeficientes técnicos forman parte de los vectores asociados a las diferentesvariables, vectores Pi .Como la repercusión según se trate de una variable básica ono básica, puede ser muy distinta, estudiaremos los dos

Casos por separado.

Cuando Xi no es Básica

Aquí se efectúa el cambio sobre el coeficiente tecnológico de las variables, paramuchos problemas éste coeficiente tecnológico aij

Es el valor inverso de la productividad, concepto éste de vital importancia para eltomador de decisiones.

Productividad P= Q/t

Coef. Tecnológico aij= t/Q

Q= unidades

t= Tiempo

Para éste cambio y los siguientes, de nuevo se aplica el principio de que elcoeficiente de la variable de holgura de la ecuación donde ocurre el cambio, nos

indica el número de veces que cada ecuación ha sido sumada ó restada de lasdemás ecuaciones ó sea el número de veces que ocurre el cambio, siendo el cambiola diferencia entre el nuevo y el actual valor de aij


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Se propone hacer el cambio en la segunda restricción de la siguienteforma: 3X1+2X2< 18 por

X1+ 2X2< 18; El a2, 1

Ha cambiado de 3 a 1 y es el coeficiente de X1

Que en el óptimo es variable NO básica.

El cambio ocurre en la ecuación (2), que tiene la variable de holgura X4Que inició con coeficiente (1), luego su coeficiente en cada ecuación indica elnúmero de veces que ocurre el cambio en cada ecuación. Matemáticamente:


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Cuando Xi es Básica

Como el cambio se efectúa sobre el coeficiente de una variable que en el óptimo esBásica, ello hará que aparezca dicha variable con coeficiente diferente de cero (0)en la función objetivo, teniendo que ser eliminada. Éste proceso ocasionará cambiosen los Z j - C j de las variables NO – básicas que en caso de tomar valores menoresque cero (0), no mantienen la optimalidad y habrá que iterar empleando el métodosimplex; También pueden ocurrir cambios en los bi convirtiendo la solución en NO

factible, en cuyo caso debe emplearse el método Dual – Simplex

Se propone cambiar el a22 de 2 a 4, coeficiente de X2 en la segunda restricción,variable que en el óptimo actual es variable básica.

3X1 + 2X2 < 18 cambiar por 3X1 + 4X2 < 18


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La ecuación en donde ocurre el cambio es la segunda, y en ella la variable queempezó con coeficiente uno (1) es X4, luego los coeficientes de X4 en cada ecuaciónindican las veces que ocurre al cambio en cada ecuación, matemáticamente:


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3.9 ADICION DE UNA NUEVA VARIABLE

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.

El análisis de sensibilidad consiste en ver las variaciones que se pueden produciren

La solución óptima al variar alguna de las condiciones iníciales del problema. Comopueden

Ser:

a) Coeficientes de las variables.

b) Introducción de nuevas variables.

c) Adición de nuevas restricciones.

d) Etc.

Supongamos el problema del fabricante de patatas.

F.O.: Max 4 X1 + 5 X2 + 9 X3 + 11 X4

S.a.: X1 + X2 + X3 + X4≤ 15

7 X1 + 5 X2 + 3 X3 + 2 X4≤ 120

3 X1 + 5 X2 + 10 X3 + 13 X4 ≤100

Cuya tabla final queda:

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 bi

LO 0 3/7 0 11/7 13/7 0 5/7 695/7

L1 1 5/7 0 -5/7 10/7 0 -1/7 50/7L2 0 -6/7 0 13/7 -61/7 1 4/7 325/7

L3 0 2/7 1 12/7 -3/7 0 1/7 55/7

Calculamos su dual:

F.O.: Min 15 Y1 + 120 Y2 + 100 Y3


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S.a.: Y1 + 7 Y2 + 3 Y3≥ 4

Y1 + 5 Y2 + 5 Y3≥ 5

Y1 + 3 Y2 + 10 Y3≥ 9

Y1 + 2 Y2 + 13 Y3≥ 11

Cuya solución es:

Y1 = 13/7

Y2 = 0

Y3 = 5/7

Y4 = 0

Y5 = 3/7

Y6 = 0

Y7 = 11/7

VARIACIÓN DE LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO.

1) En las variables no básicas:

Veamos la variación, por ejemplo, del coeficiente de la variable no básica X2.

Queremos saber qué valor, P2, podemos incrementar al coeficiente para quenuestra

Solución continúe siendo factible.

La restricción del dual correspondiente será:

Y1 + 5 Y2 + 5 Y3 ≥ 5 + P2

Sustituyendo los valores:

P2 ≤ 3/7

Por tanto, mientras esta condición se cumpla, nuestra solución seguirá siendo

Factible.


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Para P2 ≥ 3/7 la solución deja de ser factible.

2) En las variables básicas:

Tomando por ejemplo, la variable básica X1 y sustituyendo los valores en la

Restricción correspondiente en el dual tenemos:

13/7 + 0 + 3 * 5/7 ≥ 4 + P1

13 + 15 – 28 ≥ 7 P1

P1 ≤ 0 que no nos indica nada.

Nota: si hubiésemos tomado otra variable básica (por ejemplo X3) habríamosobtenido el mismo resultado.

INTRODUCCIÓN DE UNA NUEVA VARIABLE.

La introducción de una nueva variable en el primal va a suponer incluir una

Restricción en el dual. Mientras esta restricción se cumpla en el dual, la variablenueva no entrará en la base.

Supongamos que en nuestro problema, don Francisco y doña Remedios, su mujer,deciden producir además patatas congeladas para ensaladilla.

Supongamos también que para cada kg fabricado necesita 3 horas y dos kg demateria prima. Además desea venderlo a 3ptas. /kg.

En estas condiciones nuestro modelo quedaría modificado de la siguiente manera:

F.O.: Max 4 X1 + 5 X2 + 9 X3 + 11 X4 + 3 X8

S.a.: X1 + X2 + X3 + X4 + X8 ≤ 15

7 X1 + 5 X2 + 3 X3 + 2 X4 + 2 X8 ≤ 120

3 X1 + 5 X2 + 10 X3 + 13 X4 + 3 X8 ≤ 100

Siendo la nueva restricción en el dual la siguiente:

Y1 + 2 Y2 + 3 Y3 ≥ 3


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Sustituyendo valores nos queda:

28/7 ≥ 3

Por tanto se cumple esta restricción y la variable que hemos introducido se queda

Fuera de la base.

Si don Francisco desea fabricar este producto, tendrá que obtener un beneficiounitario superior a 28/7 (provocando que la nueva variable introducida X8 entraseen la base). Supongamos que decide que este valor sea 10. Esto quiere decir quela restricción del dual, correspondiente a la nueva variable introducida en el primal,es no factible y por lo tanto, la solución de ambos se modificará.

Para poder continuar aplicando el método iterativo simplex – dual necesitamosconocer los valores de la columna, en la tabla, de la nueva variable.

El coeficiente de la LO (en el primal) sabemos que es el valor de la variable deholgura del dual, correspondiente a su restricción. Y este valor será:

13/7 + 3 * 5/7 – Y8 = 10

Y8 = -6

Los nuevos coeficientes de la variable Y8 para las líneas L1, L2 y L3 serán:

a18 a15 a16 a17 a18

a28 = a25 a26 a27 * a28

a38 a35 a36 a37 a38

Donde

a15 a16 a17

A = a25 a26 a27

a35 a36 a37


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A es la matriz de los coeficientes transformados de las variables de holgura y a18,a28

Y a38, son los nuevos coeficientes que la nueva variable tiene en cada una de lasrestricciones.

En estas condiciones obtenemos que:

a18

= 1 * 10/7 + 2 * 0 + 3 * (-1/7) =1

a28

= 1 * (-61/7) + 2 * 1 + 3 * (4/7) = - 5

a38

= 1 * (-3/7) + 2 * 0 + 3 * (1/7) = 0

Los coeficientes serán por tanto:

X8

LO -6

L1 1

L2 -5

L3 0

Por tanto, podemos aplicar el criterio1 del simplex – dual para proseguir lasiteraciones.


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3.10 Adición de una nueva restricciónLa adición de una nueva restricción a un modelo existente puede llevar a uno de losdos casos siguientes:

1. La nueva restricción es redundante, lo que quiere decir que se satisface conla solución optima actual y por consiguiente, se puede eliminar por completodel modelo.

2. La solución actual viola la nueva restricción, y en este caso se puede aplicar

el método simplex dual para recuperar la factibilidad

Ejemplo:

Suponga que TOYCO cambia el diseño de los juguetes, y que para el cambio serequerirá agregar una cuarta operación en las líneas de ensamble. La capacidaddiaria de la nueva operación es 500 minutos, y los tiempos por unidad, para los tresproductos en esta operación son 3, 1 y 1 minutos, respectivamente. La restricciónresultante se forma, por consiguiente, como sigue:

3X1 + X2 + X3


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Ahora suponga que los tiempos por unidad, en TOYCO, para la cuarta operaciónson 3, 3 y 1 minutos, respectivamente. Todos los datos restantes del modelopermanecen igual. En este caso la cuarta restricción:

3X1 + 3X2 + X3


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Básica X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 Solución

Z 4 0 0 1 2 0 0 1350

X2 - ¼ 1 0 ½ - 1/4 0 0 100

X3 3/2 0 1 0 ½ 0 0 230

X6 2 0 0 -2 1 1 0 20

X7 9/4 0 0 - 3/2 ¼ 0 1 -30

Otro ejemplo de este caso, suponga que se introduce la nueva restricción, al modelodado en la tabla: Z = - 4X1 - 5X2

Básica X1 X2 X3 X4 X5 Solución

Z 9/2 0 0 0 5/2 45

X3 1 0 1 0 0 4

X2 13/2 1 0 0 ½ 9

X4 -3 0 0 1 -1 6

Solución Óptima: X1 = 0, X2 =9

La solución óptima anterior viola la nueva restricción 2X1 + 3X2


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Básica X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución

Z 9/2 0 0 0 5/2 0 45

X3 1 0 1 0 0 0 4

X2 3/2 1 0 0 1/2 0 9

X4 -3 0 0 1 -1 0 6

X6 2 3 0 0 0 1 24

Básica X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución

Z 9/2 0 0 0 5/2 0 45

X3 1 0 1 0 0 0 4

X2 3/2 1 0 0 1/2 0 9

X4 -3 0 0 1 -1 0 6

X6 -5/2 0 0 0 -3/2 1 -3

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