01- dualidad 2012-1

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2012 12012 - 1

Optimización – Carmen Ortiz Z. © 1

EL PROBLEMA DUAL

Definición:

Problema Primal Problema Dual

(P) Min z = c·xs.a.

( D) Max ω = y·bs.a.

Ax ≥ bx ≥ 0

AT y ≤ cy ≥ 0


EL PROBLEMA DUAL

Problema Primal(P) Min z = c·x

Problema Dual( D) Max ω = y·b

s.a. Ax ≥ b

x ≥ 0

s.a.yT A ≤ c

y ≥ 0x ≥ 0 y ≥ 0

(D) Max ω = 4y + 3 y(P) Min z = 2x1 + 5x2 - x3

s.a.

(D) Max ω = 4y1 + 3 y2s.a.

2y1 + 5y2 ≤ 22x1 - x2 + 4x3 ≥ 45x1 + x2 - 2x3 ≥ 3

x1 x2 x3 ≥ 0

-y1 + y2 ≤ 54y1 - 2y2 ≤ -1

y1 , y2 ≥ 0


x1 , x2 , x3 ≥ 0 y1 , y2

El d l d l bl li l tá d

EL PROBLEMA DUAL

El dual del problema lineal estándar

Problema Primal(P) Min z = c·x

Problema Dual( D) Max ω = y·b

s.a. Ax = b

x ≥ 0

s.a.yT A ≤ c

x ≥ 0 y irrestricto


EL PROBLEMA DUAL

(D) Max ω = 4y1 + 6y2(P) Min z = 2x + 3x + 5x s.a.

4y1 + 3 y2 ≤ 23 2 ≤ 3

(P) Min z = 2x1+ 3x2+ 5x3s.a.

4x1 + 3x2 - 2x3 = 4 → (y1)3y1 - 2y2 ≤ 3-2y1 + y2 ≤ 53x1 - 2x2 + x3 = 6 → (y2)

y1 , y2 irrestricto.x1 , x2, x3 ≥ 0


EL PROBLEMA DUAL

Problema de minimización

Problema de maximización

Si la restricción es: la variable asociada es:

≥ ≥ 0 ≤=

≤ 0irrestricta

la restricción asociada es:Si la variable es:

≥ 0 ≤≥ 0 ≤ 0

irrestricta

≤≥=


EL PROBLEMA DUAL

El dual del dual es el primal

Problema Primal Problema Dual(P) Min z = c·x

s.a. A ≥ b

( D) Max ω = y·bs.a.

T A ≤ Ax ≥ bx ≥ 0

yT A ≤ cy ≥ 0


EL PROBLEMA DUAL

(P) Min z = 6x1 + 4x2+2x3 (D) Max ω = 6y1 + 8y2s.a.

x1 + 2x2 + 3x3 ≥ 6s.a.

y1 + 4y2 ≤ 6→ (y1)

4x1 - 2x2 + 2x3 = 8

0

2y1 - 2y2 ≤ 43y1 + 2y2 = 2

→ (y2)

x1 , x2 ≥ 0

x3 irrestrictay1 ≥ 0

y2 irrestricta.x3 irrestricta


T d bil d d lid dTeorema debil de dualidadSi •el problema primal es de minimización en x•el problema dual es de maximización en y

Entonces para todo ⎯x e ⎯y factiblesse cumple que:se cumple que:

z (⎯x ) ≥ ω(⎯y )z ( x ) ≥ ω( y )


RELACIONES DE DUALIDAD(P) Min z = 2x1 + 4x2 (D) Max ω = -4y1 + 3y2

s.a.-2x1 + x2 ≥ -46x1 + 2x2 ≥ 3

( ) y1 y2s.a.

-2y1 + 6 y2 ≤ 2y1 + 2 y2 ≤ 4

x2

x1 , x2 ≥ 0 y1 , y2 ≥ 0

y22

1

zy2

2ω

x11 2

1y1-1 1 2 3 4

1

-1

-2 x1* = ½ x2 ∗ = 0

y1* = 0 y2 ∗ = 1/3

y11 1 2 3 4


-3

-4

2 y2 3

ó

RELACIONES DE DUALIDAD

El valor de z para cualquier solución factible del problema deminimización, provee una cota superior del valor óptimo delproblema de maximización.

x2

2 z = 2x1 + 4x2

1 2

1 z = 101 2

∀ y factible: ω (y) ≤ 10

x11 2

-1

2-2

-3


-4


El valor de ω para cualquier solución factible del problema demaximización, provee una cota inferior del valor óptimo delproblema de minimización.

y2

4ω = - 4y1 + 3y2

2

1

ω =−4y1 y2

y11 1 2 3 4

1

y1-1 1 2 3 4

∀ x factible: z(x) ≥ -4


ó


El valor de z para cualquier solución factible del problema deminimización, provee una cota superior del valor óptimo delproblema de maximización.

x2

2

(P) Min z = 2x1 + 4x2

s.a.2

1-2x1 + x2 ≥ -46x1 + 2x2 ≥ 3

x1 x2 ≥ 0z = 12

⎯x = (2,2) ⇒ z( ⎯x ) = 12 ⇒ ω∗ ≤ 12x11 2

-1

x1 , x2 ≥ 0 z = 8z = 6

z = 1⎯x = (2,1) ⇒ z( ⎯x ) = 8 ⇒ ω∗ ≤ 8⎯x = (1,1) ⇒ z( ⎯x ) = 6 ⇒ ω∗ ≤ 6

-2

-3


⎯x = (1/2,0) ⇒ z( ⎯x ) = 1 ⇒ ω∗ ≤ 1 -4


El valor de ω para cualquier solución factible del problema demaximización, provee una cota inferior del valor óptimo delproblema de minimización.

(D) Max ω = - 4y1 + 3y2

s a

y2

2 ω = − 5ω =1

s.a.-2y1 + 6 y2 ≤ 2

y1 + 2 y2 ≤ 40

1 ω = − 16

⎯ y = (4 0) ⇒ ω(⎯y ) = -16 ⇒ z∗≥ -16

y1 , y2 ≥ 0y1-1 1 2 3 4

y (4,0) ⇒ ω( y ) -16 ⇒ z∗≥ -16

⎯ y = (2,1) ⇒ ω(⎯y) = -5 ⇒ z∗≥ -5


⎯ y = (0, 1/3) ⇒ ω(⎯y ) = 1⇒ z∗ ≥ 1


Corolario 1 del Teorema Débil

Dado un par de problemas primal-dual,

si uno de los problemas es factible,pero no acotado,

entonces, el otro problema es infactible.



(P) Min z = 2x1 - 3x2s.a.

3x1 + 2x2 ≥ 6

(D) Max ω = 6y1 + 8y2s.a.

3y1 + 2y2 ≤ 23x1 + 2x2 ≥ 62x1 + 4x2 ≥ 8

x1 , x2 ≥ 0

3y1 + 2y2 ≤ 22y1 + 4y2 ≤ −3

y1 , y2 ≥ 0

x2 z y2

yx1

y1


No acotado (z → − ∞) Infactible

¡¡ Ambos problemas pueden ser infactibles !!


(P) Min z = 2x1 - 3x2

¡¡ Ambos problemas pueden ser infactibles !!

(D) Max ω = 2y1 + y2s.a.

x1 - x2 = 2- x1 + x2 = 1

s.a.y1 - y2 ≤ 2-y1 + y2 ≤ − 31 2

x1 , x2 ≥ 0y1 y2

y1 , y2 irrestricta

x2 y2y1

x1




Dado un par de problemas primal-dual,

si uno es factible y el otro es infactible,entonces

el problema que admite solución factible es no acotado.


no acotado.


si uno es factible y el otro es infactible,entonces el problema que admite solución factiblees no acotado

(P) Min z = x1 - 2x2s a

es no acotado.

(D) Max ω = 3y1 + y2s as.a.

x1 - x2 ≤ 3- x1 + x2 ≤ 1

x1 , x2 ≥ 0

s.a.y1 - y2 ≤ 1-y1 + y2 ≤�� 2

y1 , y21 2 y1 y2≥ 0

x2 zy2

x1 y1




Dados un par de problemas primal-dual,

si ⎯x e ⎯y son soluciones factibles del primal y dual,

respectivamente, tales que:

z ( ⎯x ) = ω ( ⎯y ) ⇔ c ·⎯ x = y ·⎯ bz ( x ) ω ( y ) ⇔ c x y b

entonces ⎯x e ⎯y son las respectivas soluciones óptimas.


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