dreapta plan

5/12/2018 Dreapta Plan

1/30

Capitolul 1Dreapta si plan1.1 Not iuni teoretice elementare

1. Ecuatiilo unei drepte ce trece printr-un punct M (xo , Y o , zo ) i are 0dircctio data v = li + mj + nk.Ecuatiile canonice ale unei drepte sunt ecuatiile pentru care este precizatun punct prin care trece dreapta M o(xo , Y o , zo ) i directia dreptei d(l, m, n)

x - X o Y - Yo z - Z od: l = m = -n-2. Ecuatiilo parametrice ale unei drepte.

Pornind de la ecuatiile canonice ale unei drepte putem deduce ecuatiileparametrice ale dreptei. Astfel

x - X o Y - Yo z - Z o {d: l = m = n =t-= '?d:x = X o + It,y = Yo +mt,z = Zo + tit; t E R

3. Ecuati'lle unei drepte ce trece prin doua puncte date A (XA ' YA , ZA ),B (XB ' YB , ZB ).Directia unei drepte d deterrninata de doua puncte A (XA ' YA , ZA ) iB (XB ' Y B , ZB )este data de vectorul

7


2/30

8Dreapta si plan Algebdt-Geometrie 1. Dragomirescu, februarie 2011astfel incat ecuatiile dreptei determinate de celedoua puncte se scriu

x - XA Y - YA Z - ZAd: = =---.X B - X A YB - Y A Z B - Z A4. Ecuatia unui plan tt ce trece printr-un punct M (xo , Y o , zo ) i are 0

directte norrnala data N = Ai + Bj + Ck.tt : A (x - x o ) + B (y - Y o ) + C(z - z o ) = o .

Ecuatia carteziana generala a planului are forma A x + B y + CZ + D= O.5. Distanta de la un punct la un plan.

Distanta de la un punct O (xo , Y o , zo ) la un plan P : A x + B y + C z +D= 0se calculeaza folosind formulad (O , P) =A xo + B yo + CZ o + D I.y'A 2 + B 2 + C2

6. Ecuatia unui plan determinat de un punct prin care trece M (xo , Y o , zo )i de doua dircctii date VI = (h, ml, nd i V2 = ( l2 ' m 2, n2 ) .

x - X o Y - Y o Z - Z o7r : h ml nl = O .

l2 m2 n27. Ecuatia unui plan ce trece prin trei puncte date.

Ecuatia unui plan ce trece prin trei puncte: Ml (X l, Y l, Z l) , M 2(X 2 , Y 2 , Z 2 ) ,M 3(X 3 , Y 3 , Z 3 ) este

x Y Z 1Xl Yl Zl 1 = O . (1.1)X 2 Y 2 Z 2 1X 3 Y3 Z 3 1

8. Douadrepte dl id2 devectori directori dl (h, ml, nd , respectiv d2 (l2 ' m 2, n2 ) ,v h ml nlsunt paralele daca - =- =-.l2 m2 n2

Douadrepte d1id2 devectori directori d1(h, ml, nd , respectiv d2 (l2 ' m 2, n2 ) ,sunt perpendiculare daca h l2 + mlm2 + nln2 =O.


3/30

Algebra-Geometrie 1. Dragomirescu, 201191.2 Probleme rezolvate

1. Scrieti ecuatiile dreptei determinate de punctele A(I, 1, 1) i B(O, 1, -1).

Sohrtie. Particularizand coordonatele punctelor A i B in ecuatia uneidrepte ce trece prin doua puncte date, obtinern:

x-I y-l z-1 x-I y-l z-1d------ :?d--------. 0 - 1 - 1 - 1 - -1 - 1 . -1 - 0 - -2 .2. Se considera planul P : x + 2y - 5z + 1=O. Scrieti ecuatiile normalei la

plan ce contine punctul A(I, 2, 0).Solutio. Directia normalei la un plan P : Ax + By + Cz +D = 0 este datade vectorul v = Ai + Bj + Ck. In acest caz, directia normalei la plan estedata de vectorul VN = i+ 2j - 5k.Ecuatiile normalei sunt ecuatiile dreptei ce contine punctul A(I, 2, 0) i are

x-I y-2 zdirectia data de vectorul VN: N: -- = -- = -.1 2 -5

b) Scrieti ecuatia planului ce contine punctele AI, A2, A3;c) Deterrninati distanta de la 0 la planul AIA2A3;d) Volumul tetraedrului OA1A2A3.


4/30

10Dreapta si plan Algebra-Geometrie 1. Dragomirescu, februarie 2011Solutie. a) Aria triunghiului A1A2A3 este jumatate din aria paralelogra-mului determinat de directiile A1A2, i respectiv A1A3.Avem

b) Considerarn ecuatia carteziana generala a planului P : Ax + By + Cz +D =. Punctele A1(2, 1,2), A2(0, 4,1), A3(1, 1,2) apartin planului P, deciverifica ecuatia acestuia i, astfel:

{2A + B + 2C + D=4B+C+D = 0A + B + 2C + D = O.

D 3DDe aici A =0 B =-- C=--., , 7' 7Inlocuind valorile obtinute in ecuatia planului i simplificand cu D i- 0,gasim

P : y + 3z - 7 = o .Mai simplu, ecuatia unui plan ce trece prin trei punete date este definitade formula (1.1),

x y z212041

111 = 0 {:} Y + 3z - 7 = O .1 121

c) Inlocuind in formula de calcul a distantei de la un punet la un plan val-orile numerice cunoscute, obtinem: d(O A A A ) = h = 1 0 + 0 + 0 + 7 1~ ,123 .J1+97 V 1 o10

d) Tinand cont de faptul c a inaltirnea tetraedrului h este chiar distanta dela 0 la planul A1A2A3, volumul acestuia se deterrnina


5/30

Algebra-Geometrie I.Dragomirescu, 201111o

4 F d Id {2X - Z = 0 d . { x + y + Z - 3 = 0. ie repte e I: 3x + y _ 2z + 1 = 0' 2 2x + y - 2 = 0a) Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei dl;b) Sa se scrie ecuatiile parametrice ale dreptei d 2;c) Scrieti ecuatia planului ce contine punctul de intersectie al dreptelor

d . d . di I d d {2X + y + 2z - 1 = 0I l 2 leste perpen ICU ar pe reapta : 3 0x+y+z+ = .Sohrtie. a) Dreapta d l se afia la intersectia planelor g:2x - Z = 0i P 2 : 3x + y - 2z + 1 = o . Astfel, fiecare din cele doua normale aleplanelor g i P2 , de vectori directo~i NI(2, 0, -1), respectiv N2(3, 1, -2),este perpendiculara pe dreapta d- : In aceste conditii consideram directiadreptei d1 data de vectorul produs vectorial

1 J kNl X N2 = 2 0 -1 = i+j+ 2k.

3 1 -2

Fie M(O , -1,0) un punct ce apartine dreptei d1. Cunoscand un punctce apartine dreptei i expresia analitica a vectorului director al dreptei,.... x y+1 zecuatiile canomce ale dreptei d1 sunt de forma d1 : - = -- = -.1 1 2b) Directia dreptei d 2 sedeterrnina in acelasi mod ca lapunctul a). Expresiaanalitica a vectorului director este d2 = -i+ 2j - k. Un punct pe care


6/30

12Dreapta si plan Algebra-Geometrie 1. Dragomirescu, februarie 2011dreapta il contine este M 1(1 , 0, 2), astfel c a ecuatiile parametrice aledrepteid 2 sunt

{x=l-t

d2 : Y =t, 'z = 2 - t.c) Sadeterrninam punetul de intersectie al celor doua drepte, {A } =d1nd 2.Rezolvand sistemul

{

x+y+z-3=02x + y - 2=2x - z = 03x+ y - 2z + 1 = 0

obtinern punetul de intersectie A(l, 0, 2).

A ( I , O ,

Fig. 1.2. Intersectia dreptelor db d2Planul a carui ecuatie se cere este perpendicular pe drepta d , astfel incatnormala planului N are aceeasi directie cu a dreptei. Similar punctului a),directia dreptei este data de veetorul

1 J kv =2 1 2 =+ 2k + 2j - k - 2j - 2i=i + k.

1 1 1Ecuatia planului considerat este ecuatia unui plan ce trece printr-un puneti are 0 directie norrnala data. Pentru datele din problema obtinem

P : -x + z - 1 = O.


7/30

Algebra-Geometrie I.Dragomirescu, 201113

Fig. 1.3. Planul determinat de A i dreapta d.

5. Sedau dreptele d1 : x -53 = Y -41 = z -21, d2 : { x2+ y + 2z - 21= 0x+y+z- = .a) Scrieti un punct A care apartine dreptei d2;b) Deterrninati distanta de la A la dreapta d1;c) Precizati daca celedoua drepte sunt paralele sau concurente.

Solutio.a) Consideram x = i, inlocuind in cele doua ecuatii ale dreaptei d2,

obtinem un punet ce apartine dreptei d2

{ y + 2z - 1= 2 =?y=3,z=-1=?A(0,3,-1).y+z- = .b) Fie B(3, 1,1) un punet al dreptei d.

dh

E(3,1,1)

Fig. 1.4. Dist.anta h de la punctul A la dreapta a;


8/30

14Dreapta si plan Algebra-Geometrie 1. Dragomirescu, februarie 2011Distanta de la punctul A la dreapta dl este

dist(A d ) = h= I I A B x T t l l ., I I l d l l l

Vectorul AB =3i - 2j + 2k, iar directia dreptei este data de vectorulv = 5i + 4j + 2k.

1 J kAB x v=3 -2 2 =12i + 4j + 22k =? IIAB x v i i = 6 4 4 .

542f 6 4 4Astfel, distanta de la punctul A la dreapta dl este dl = V 45;

c) Directia dreptei d2 este data de vectorul v = NI X N2, unde N1, N2sunt directiile normalelor celor doua plane ce definesc dreapta d .

J kv = 1 1 2 = -i+ 3j - k.

211-1 3Cum5- 4 " ' dreptele nu sunt paralele.

Verificamdaca dreptele sunt concurente. Ecuatiile celor doua dreptetrebuie sa determine in acest caz un sistem compatibil.In cazul de fata acest lucru nu se intampla, i.e., dreptele nu sunt con-curente, deci dreptele nu sunt coplanare.

6. Fie planul P : x + 3y + 5z - 8 = 0 i dreapta d perpendiculara pe planul P.a) Scrieti ecuatiile dreptei d stiind c a trece prin punctul A(2, 2, 2);b) Deterrninati unghiul dintre dreapta d idreapta dl : ~ = J ! _ = _ _ ! _ ;3 4 -3c) Deterrninati unghiul dintre dreapta d l iplanul P;d) Este dreapta dl inclusa in planul P ?

Sohrtie. a) Dreapta d este perpendiculara pe planul P i directia sa estex-2 y-2 z-2directia normalei planului. Atunci d: - - = -- = --.135


9/30

Algebra-Geometrie I.Dragomirescu, 201115b) Unghiul dintre cele doua drepte este unghiul dintre vectorii directori aicelor doua drepte, i.e., d = i + 3j + 5k, d1= 3i + 4j - 3k.Astfel cosL(d,d1) = cosL(d ,dd = Ild~:~IiI = 0, ceea ce implica un unghide 90.c) Pentru a deterrnina unghiul dintre dreapta d1 iplanul Peste necesar sadeterminam unghiul dintre dreapta d1i norrnala planului P. Astfel,

1 3 + 3 4+ 5 . (-3)cosL(dl,n) = v ' 3 5 v ' 3 4 = o : : : : } L(d l ,n ) = 90::::}35 34:: :: }L (d 1, P ) = 90 - L(d1, N) = 0.

Fig. 1.5. Planul P i dreptele d, a..d) Dreapta d1 este inclusa in planul P daca orice punet al dreptei este deasernenea inclus in plan. Fie M( x , y, z ) un punct arbitrar al dreptei d1,x = 3t, Y = 4t, z = -3t. Punctul apartine i planului P daca coordonatelesale verifica ecuatia planului. Avern

3t + 3 . 4t + 5 . (-3t) - 8 = 0 {:} -8 = O.Relatia nu se verifica, i.e., d1 nu este inclusa in planul P.

7. a) Determinati valoarea pararnetrului l pentru care planeleH: (l - 2)x + 3y + 3lz - 1 = 0,P2 : lx + 2y - z + 5= 0

sunt perpendiculare.


10/30

16Dreapta si plan Algebra-Geometrie 1. Dragomirescu, februarie 2011b) Deterrninati valorile parametrilor l i m pentru care planele

H:8x + ly + 3z - 8 = 0, P2 : mx - 6y + 9z - 1 = 0sunt paralele.

Solutie. a) Daca planele H i P2 sunt perpendiculare, atunci normalelelor sunt de asemenea, perpendiculare:

(l - 2)l + 3 . 2 - 3l = 0 {:} l2 - 5l + 6 = 0 {:} it = 2, l2 = 3.b) Doua plane

v Al e, C1 8 l 1sunt paralele daca - = - = - {:}- = - = - ::::}m = 24, l = -2.A 2 B 2 C2 m -6 38. Sa se scrie ecuatiile dreptei ce contine punctul A(l, 1, 1) i se sprijina pe

dreptelex y z d2 .. x-1 __ y+1 __ z+1.d1 : " 2 = " 3 = " 1 ' 1 2 3

10

-I

Fig. 1.6. Dreapta MN se sprijina pe db d2


11/30

Algebra-Geometrie I.Dragomirescu, 201117Solutie. Dreptele care se sprijina pe d1, d2 sunt de tipul M N cu M E d1,N E d2.Fie

ME a; M(2u,3u,u) i N Ed2, N(v + 1,2v -1,3v -1), u,v E 1 F tAtunci dreapta M N se scrie

x - 2uMN:----v - 2u + 1 y - 3u z-u----, u; v E IR .u + 3v - 1v - 3u - 19. a) Deterrninati pozitia dreptei d: x " 2 1 = * = z ! 1 fata de planul

p : x + y + z - 7 = 0.;b) Deterrninati proiectia dreptei d pe planul P.

Sohrtie. a) Pentru a determina pozitia dreptei fata de plan deterrninampozitia dreptei fata de normala planului. Directia dreptei este data devectorul director d1 = 2i + 3j + 2k, iar normala planului are directia datade vectorul N = i+ j + k.Dreapta d este paralela cu planul P daca vectorul director al dreptei esteperpendicular pe norrnala, i.e. < (2,3,2), (1, 1,1) >= O.Aceasta relatie nueste verificata astfel incat dreapta nu este paralela cu planul.Dreapta d intersecteaza planul daca sistemul

{x-l_Y_z+l-2--3 " - -2-x+y+z-7=0

este compatibil. Transforrnam ecuatiile canonice in ecuatii parametrice.x-I y z+1Avem -2- =3 =-2- =, de unde x =2t + 1, y =3t, z =2t - 1, si,inlocuind in ecuatia planului obtinern t = 1.Asadar, d nP = {A(3, 3, I)}.b) Fie BEd, B(I, 0, -1) un alt punct al dreptei d. Prin B construim 0drepta d' perpendiculara pe planul P, i.e., directia sa este data de normala


12/30

ISDreapta si plan Algebra-Geometrie 1. Dragomirescu, februarie 2011la planul P. Dreapta d' intersecteaza planul P intr-un punet B' ale caruieoordonate le deterrninam rezolvand sistemul

d'nP:1 + 1

{X = t + 1,x - y z

d ' : -1- = 1= -1- = t =? ~ : ;' _ 1,7P : x + y + z - 7 = 0 =? 3t - 7 = 0 =? t = -.3

Obtinem B' (10~~)., 3 ' 3' 3Proiectia pe planul P a dreptei d este dreapta deterrninata de punetele AiB', iar ecuatiile sale sunt

AB': x-3 y-3 z-1 ,x-3 y-3 z-110 = -7-= -4-{:}B : -1- = - - - - = 2 = -1---3 --3 --13 3 3

Fig. 1.7. Proiectia pe plan a dreptei d.10.Sase serie ecuatiile dreptei care se sprijina pe dreptele

x-I y+l z-2 x y-l z-1d1 : -2-= -3-= -4-' d2 : 1= -2-= -3-i este paralela eu planele

(Pd : 2x - y - z=1, (P2) : x + 2y+ 3z+ 1=.Solutio. Fie M(2u + 1,3u - 1,4u + 2), u E lR . un punet arbitrar al drepteid1 i N (v, 2v + 1,3v + 1), v E l R . un punet arbitrar al dreptei d2.


13/30

Algebra-Geometrie I.Dragomirescu, 201119Consideram dreapta ce se sprijina pe d 1 i d 2 ca fiind dreapta ce trece princele doua puncte. Atunci ecuatiile dreptei se scriu

x-vMN----2u - v + 1 y - 2v - 1 z - 3v - 13u - 2v - 2 4u - 3v + 1Daca MNI IP t atunci normala planului este perpendiculara pe dreapta, iavem2 (2u - v + 1) - (3u - 2v - 2) - (4u - 3v + 1) = 0 =* u - v-I = O .

In mod analog procedam pentru planul P2 i obtinern lOu - 7v =O.10

A 7 10 x +-3In acest fel u = --, v = -- iMN-------"'---3 3 -117y+-3

-7z+9

5x y-1 z-211. Se considera dreapta d, d: " 2 = -3- = -1- ipunctul A(l, 1,1).

a) Scrieti ecuatia planului ce contine dreapta d ipunctul A ;b) Deterrninati distanta de lapunctul B(O, 2,0) la planul obtinut la punc-

tul a).

Sohrtie. a) Solut ia 1. Fie B(O, 1,2) un alt punct de pe dreapta d. Atuncio prima directie in planul cerut este AB( -1,0,1). Cea de-a doua directieeste cea a dreptei d , d = (2,3,1). Eouatia planului este ecuatia unui plandeterminat de un punct A(l, 1, 1) i doua directii date AB, d, i.e.,

2z-l1 = :} x - Y + z - 1 =O .1

x-I y-1-1 9

3

Sohrtia 2. Scriem pentru inceput dreapta d ca intersectie de doua plane

{

x_y-1 _" 2 - -3- :} 3x - 2y +2- 0,y-1 z-2-3-= -1- :} Y - 3z +50

3x - 2y + 2 =y - 3z + 5 = O .


14/30

20Dreapta si plan Algebra-Geometrie 1. Dragomirescu, februarie 2011Ecuatia unui plan ce contine dreapta d este

0:(3x - 2y + 2) + (3 (y - 3z + 5) = o .Punctul A apartine planului i, inlocuind coordonatele punctului A in ecuatiaplanului, obtinern (3 = -0:. In acest fel, ecuatia planului care continedreapta d i punctul A este P : x - y + z - 1= .b) Distanta de la B la planul Peste

d(B P) = 1 0 - 2 + 0 - 1 1 = vi, V I + 1+ 112. Sa se determine simetricul punctului A(2, -1, 1) fata de dreapta

d. x-l_ y+l_ z-23 - 2 - 2

Sohrtie. Simetricul punctului A, A', se afla situat pe 0 dreapta perpendic-ulara pe dreapta d, astfel incat distanta de la A la dreapta d sa fieegala cudistanta de la A'Ia dreapta d. Dreapta AA' este perpendiculara pe dreaptad . Punctul de intersectie al celor dona drepte este C(o : , (3,I), punct ce seafla la mijlocul segmentului AA' i pe dreapta d.Punctul C verifica ecuatiile dreptei d :

0:-1 (3+1 ,-2---------t3 - 2 - 2 -, {0 : = 3t + 1de unde (3= 2t - 1, = 2t + 2

Ecuatia dreptei AC este ecuatia unei drepte ce trece prin doua puncte date:AC . x - 2 _ y + 1 _ z - 1

0:-2 - (3+1 -,-ITinand cont de faptul c a dreapta AC este perpendiculara pe dreapta d,produsul scalar al vectorilor directori ai celor doua drepte este 0,

3( 0 : - 2) + 2((3+ 1) + 2(r - 1) = O.(20 -15 36)Obtinem C -, --, - . Din relatiile17 17 17

2Y A + Y A '

2Z A + Z A ' I ( 6 64 4)--- obtinem A - -- - .2 ~ 17' 17'17c =


15/30

Algebra-Geometrie I.Dragomirescu, 20112113. Fie A(O, 1,2), B(2, 1,3), C(O , 0,1).

a) Scrieti ecuatia planului ce trece prin punctele A, B, C;b) Deterrninati ecuatia unui plan paralel cu planul P icare contine punc-

tul M(l, 1, 1);c) Calculati aria triunghiului ABC.

Sohrtie. a) Inlocuirn coordonatele punctelor in ecuatia planului ce treceprin trei puncte date. Avern

x y z012213

111 = 0 {:} x + 2y - 2z + 2 = O .

001 1

-I

Fig. 1.8. Planul ce trece prin punctele A, B, C.b) Pentru doua plane paralele directia norrnalei este aceeasi, N =i+2j- 2k.Ecuatia planului este

P: 1 (x - X M ) + 2 (y - Y M ) - 2 (z - Z M ) = x + 2y - 2z -1 = O.c) Aria triunghiului ABC este jumatate din aria paralelograrnului deterrni-

- - I--nat de directiile AB i AC, A""ABC =2 1 1 AB x AC I I . Avern- - 3IIAB x A C I I = i+ 2j - 2k =* A""ABC = " 2 .


16/30

22Dreapta si plan Algebra-Geometrie 1. Dragomirescu, februarie 201114. Se considera dreptele

x-I y-2 z+1 x y zd:-2-= -3-= -1-' d2: " 2 = " 4 = " 3iplanele

g:x + y - 2z - 5 = 0, P2 : x - y + z + 1 = o .a) Deterrninati unghiul dintre dreapta dl iplanul P2;b) Deterrninati eoordonatele punetului de intersectie al dreptei d2 eu

planul P2;c) Scrieti ecuatiile sirnetrieei dreptei dl fata de planul g;

d) Scrieti ecuatiile proiectiei ortogonale a dreptei dl pe planul g;e) Calculati distanta dintre dreptele d2 i {d3} = r, n P2.Solutio. a) Unghiul dintre dreapta dl i planul P2 este eornplernentulunghiului dintre dreapta i norrnala planului. Fie aeeasta NI, de directieNI :i-j + k. Avern

/ ( - d -N) _ 2 1+ 3 . (-1) + 1 . 1 _cos L\_ I I - - o ., V 4 + 9 + I V I + 1 + 1Rezulta c a unghiul dintre dreapta i norrnala planului este de 900, adicaunghiul dintre dreapta i plan este 00. Dreapta nu este insa continuta inplanul P2, ei este doar paralela eu planul P2 (nu oriee punet al drepteiverifica ecuatia planului).b) Coordonatele punetului A de intersectie al dreptei d2 eu planul P2 seobtin rezolvand sisternul

{d2 : ~ = * = ~ = tP2 : x - y + z + 1= 0::::}= -1.

ObtinemA ( -2, -4, -3).c) Deterrninam punetul de intersectie al dreptei dl eu planul g:

{x-l_y-2_z_tB =dlnPI : -2---3--1- ::::}(I, 21).x + y - 2z - 5 = O .


17/30

Algebra-Geometrie I.Dragomirescu, 201123Consideram pe drepta dl punetul C i= E, C(3, 5, -1) (eoordonatele sale seobtin dand lui t valoarea 1).Simetriea dreptei dl fata de planul P, este dreapta ee treee prin E i prinsimetrieul punetului C fata de planul Pl. Fie aeest simetrie C'. Dreaptaee treee prin C ieste perpendicluara pe plan are directia data de normalaplanului, N = i + j - 2k. Avem

d. x-3 _ y-5 _ z+1. 1 - 1 - -2 .Dreapta d intersecteaza planul intr-un punet D, mijloeul segmentului CC'.

{X-3 y-5 z--------tD: 1 - 1 - -2 -x + y - 2z - 5 = eu xc ' =XD - Xc =2, YC ' =YD - Yc =4, ZC ' =ZD - Zc =2.

Ecuatiile simetrieei dreptei dl fata de planul P, sunt:x - XB Y - YB Z - ZB X - 1dsim : = = =:::}sim : --xc ' - XB YC ' - YB ZC ' - ZB 1

y-22

z+13

d) Proiectia ortogonala a dreptei dl pe planul P, este deterrninata depunetele E i D: ED . x - 1 _ Y - 2 _ Z + 1. 3 - 5 - 4'

{X + Y - 2z - 5 = e) Dreapta d3 are ecuatiile d3 : 1 -y+z+ =

data de veetorul d 3 = -i - 3j - 2k.Distants dintre dreptele d2 i d3 se calculeaza folosind relatia

, eu directia dreptei

unde M2 un punet pe drepta d 2, M 3 un punet pe dreapta d3, d2, d3 veetoriidireetori ai eelor doua drepte, iar I (M2M3 , d2, d3 1 reprezinta volumul par-alelipipedului ee se poate eonstrui pe segmentele reprezentative, eu originecomuna, ale celor trei veetori: M2M3, d2, d3.Avem M 2(O ,O,O), M 3(2,3,O), d2 = 2i+4j+3k, d3 = -i-3j-2k. Distantadintre eele dona drepte este d (d 2, d3) = ~.


18/30

24Dreapta si plan Algebra-Geometrie 1. Dragomirescu, februarie 201115. Scrieti ecuatia unui plan ce contine originea reperului i este perpendicular

pe planele P, : x + y + z - 2 = 0, P2 : 2x + 5y - 3z + 3 = o .Solutie. Doua plane sunt perpendiculare dad normalele lor sunt perpen-diculare.

0.5 1 -05 y

Fig. 1.9. Planul P.Consideram ecuatia planului de forma P : Ax + By + Cz + D = o . Dadplanul contine originea reperului (0(0,0,0)), atunci D = o . Avem

P .L P, ::::} .L N, : : : : } < N, N, >= 0 :}A + B + C = 0,P .L P2 ::::}N .L N2 ::::}< N, N2 >= 0 :} 2A + 5B - 3C = 0

8 5::::}A = --C B = -C ::::} : -8x + 5y + 3z = o .3' 316. Se considera planele

P, :x + y + z + 2 = 0, P2 : 2x - y + z + 1 = 0,P3 : 3x - 2y - z - 5 = 0, P4: x - y - z - 3 = o .

Deterrninati ecuatia planului ce trece prin punctele {A} = P, nP2 nP3 iB (1, 1, 1) i este perpendicular pe planul P4.Solutio. Metoda I. Punctul de intersectie al celor trei plane verificaecuatiile acestor plane astfel incat coordonatele sale se obtin din rezolvareasistemului

{x+y+z+2=02x - y + z + 1 = 03x - 2y - z - 5 = 0


19/30

Algebra-Geometrie I. Dragomirescu, 201125(5 1 18)Obtinem A - -- -- .~ 7' 7' 7

Fig. 1.10. Intcrsectia planelor PIll P2, P3Daca consideram normala planului ce trebuie determinat de directie datade vectorul N (a , b, c), atunci ecuatia planului ce trece prin punctul B iarenormala N (a , b, c) este

P : a(x - 1) + b(y - 1) + c(z - 1)=O.Planul fiind perpendicular pe P4 avem: a - b - c = 0 (1).Punctul A apartine planului P astfel incat: 2a + 8b + 25c = 0 (2). Din

17c 27crelatiile (1) i (2), obtinern a = --, b = --.10 10Inlocuind aceste expresii in ecuatia planului P obtinem

P : 17x + 27y - 10z - 34 = .Metoda II. Ecuatia unui plan cetrece prin punctul de intersectie al planelorPI, P2, P3 are forma

P : x + y + z + 2 + '\(2x - y + z + 1) + f1(3x - 2y - z - 5) = 0 :}:} x(1 + 2, \ + 3f1) + y(1 - ,\ - 2f1) + z(1 +,\ - f1) + 2 +,\ - 5f1 = O.

Daca planul Peste perpendicular pe planul P4, atunci i normalele celordoua plane sunt perpendiculare i avem:1 . (1 + 2'\ + 3f1) - (1 - ,\ - 2f1) - (1 + ,\ - f1) = 0 :} 2'\ + 6f1 - 1 = 0 (1)


20/30

26Dreapta si plan Algebra-Geometrie 1. Dragomirescu, februarie 2011Punctul B(I, 1, 1) E P deci,1+ 2), + 3 f - L + I), - 2 f - L + 1+ ). - f- L + 2+). - 5 f - L = 0 {:}3), - 5 f - L + 5= 0 (2)

25 13 ADin relatiile (1) i (2) obtinern ). = --, f- L = -. Inlocuind aceste valori28 28in ecuatia planului P, obtinem P : 17x + 27y - 10z - 34 = o .17. In sistemul de coordonate carteziene xOy se considera 0 dreapta dm vari-

abila, de ecuatiedm : x + (m - 2)y - m + 5 = 0, mER

Sa se calculeze distanta maxima de la originea axelor la dreapta Dm.Solutio. Pentru a determina un punct comun al dreptelor dm sa consideramm = 0 im = 1 i deterrninam punctul de intersectie al celor doua drepte:V( -3,1). Pentru orice m din IR, punctul V apartine dreptei dm. Asadar,V este varful fascicolului de drepte Dm.Distanta maxima este OV intrucat orice distanta din origine la 0 dreaptadin fascicol este cateta in triunghiul dreptunghic de ipotenuza OV,

OV =J(xo - xv)2 + (Yo - Yv)2 =v'9+1=V l O .18. Sa se arate c a dreptele

x-I Y z. x+l y-l z+1d1 : -- =-=- Sl d2 : -- =-- =--2 3 2 ~ -2 3 2sunt oarecare in spatiu i aflati distanta dintre ele.

Solutio. Punctele M1(1 , 0,0), M 2( -1,1, -1) apartin dreptei d1, respectivd2, iar vectorii directori ai celor doua drepte sunt d1 = 2i+3j+2k, respectivd 2 = - 2i + 3j + 2k.In acest fel, produsul mixt (M1M2 ' d1, d2) = -20 = I - 0, i.e. dreptele suntoarecare in spatiu intrucat determina un paralelipiped de volum nenul.Paralelipipedul este determinat de segmentele reprezentative ale directiilor

I(M1M2,d1,d2 1 5M1M2, d1, d2, d= 11"0.I ld l x d 2 1 v 13


21/30

Algebra-Geometrie I.Dragomirescu, 20112719. Se dau punctele A (O , 1,0), B(2 , 1,0), C(O,0,1). Deterrninati coordonatele

punctului D din spatiu, astfel incat volumul piramidei DABC, de inaltimeDA s a fi e V=~.Solutio. Consideram punctul D(a, / 3 , I)' Daca DA este inaltimea pi-ramidei, atunci avem DA .L AB i DA .L AC, i.e., unghiul format dedirectiile celor doua drepte este de 90. Directiile dreptelor DA, AB,AC sunt date respectiv de vectorii DA = ai + ( / 3 - l)j + ,k, AB = 2i,AC = -j+ k.Aria triunghiului ABC este A""ABC=~IIAB x A C I I .

JIIAB x A C I I =2 0o -1

ko = -2j - 2k =? A""ABC = 2V2 = V 2 .21In aceste conditii,

V _ A b . h _ J a2 + ( / 3 - 1) 2 + ,2 V2 _ ~- 3 - 3 - 3'Avem DA .L AB =? L(DA, AB) = 90 =? cosL(DA, AB) = 0 =? a .2+( / 3 -1)0+, 0 = 0 =? a = o . In mod analog, DA .L AC =? L(DA,AC) =90 =? cosL(DA, AC) = 0 =? a .0+ ( / 3 - 1) . (-1) + , . 1 = 0 =? / 3 = , + 1.

(1.2)

Inlocuind in relatia (1.2), obtinem , = 2.Obtinem dona puncte D: D1(0, 3, 2), D 2(0 , -1, -2).

20. Sedau dreptelex-I y z-1 d .x_y+l_z-2d: -2- = :3 = -4-' 2'"3 - -1--- - - - = 1 '

planul P : x + y - z + 3=0 i punctul Ao (l, 0, -1).a) Scrieti ecuatiile perpendicularei comune dreptelor d1i d2;b) Scrieti ecuatiile dreptei ce contine punctul Ao, intersecteaza dreapta

d2 i este paralela cu planul P.


22/30

2SDreapta si plan Algebra-Geometrie 1. Dragomirescu, februarie 2011Solutie. a) Sa stabilim dad cele dona drepte sunt coplanare, i.e., suntparalele sau concurente.Directia dreptei dl este data de vectorul dl = i+3j+4k, iar directia drepteid 2 este data de vectorul d2 = 3i + j - k, deci dreptele nu sunt paralele.Sa verificam dad dl n d2 i- 0. Cele doua drepte sunt concurente dadsistemul x-I y z-1--=-=--=t234 este compatibil.x y+l z-2

3 1 -1In acest caz, sistemul nu este compatibil, deci cele doua drepte nu suntcoplanare.Pentru scrierea ecuatiei perpendicularei comune intre celedoua drepte avemnevoie de vectorul perpendicular pe directiile dreptelor dl i d2,

1 J kN =dl X d2 =2 3 4 =-7(i - 2j + k)

3 1 -1Fie A l(1 , 0,1) E a; A2 E d2. Fie P t planul determinat de punctul AI,de directia vectorului N i de directia dreptei dl, iar P2 planul determinatde punctul A2, de directia vectorului N i de directia dreptei d2. Atunciperpendiculara comuna a dreptelor dl i d 2 se afla la intersectia celor douaplane PI i P2. Astfel,

x-I Y z-1P t : 1 -2 1 =0 :} llx + 2y- 7z - 4=0,

2 3 4

x y+l z-2P2 : 1 -2 1 =0 :} x + 4y+ 7z - 10=O.3 1 -1

{ llx + 2y - 7z - 4 = 0Asadar, ecuatia perpendicularei comune este d : x+4y+7z-10=0


23/30

Algebra-Geometrie I.Dragomirescu, 201129b) Daca A o E d atunci

x-I y z+1d-------. l -m- n'cu d = li + mj + nk vectorul director al dreptei.Dreapta d este paralela cu planul P, i.e., dreapta formeaza cu normalaplanului un unghi de 900, astfel incat produsul scalar al directiilor normaleii dreptei este null + m - ti = o .Fie B punctul de intersectie al dreptelor d i d2. Coordonatele sale sedeterrnina rezolvand sistemul

x = It+ 1,y =mt,z = nt - 1,x y+l z-23 1 -1

Inlocuind x, y, z din primele trei relatii ale sistemului in ultima obtineml - 4m - ti = o . Folosind

{ l- 4m - n = 0l+m-n=Oobtinern (l, m, n) = (l, 0, l) = l(l, 0,1), de unde ecuatiile dreptei d au forma

dx-l_y_z+l.-1--0 - -1-

{X + y - 2z + 1=21. a) Scrieti ecuatia unui plan P cecontine dreapta d : 0x-y=

i care se afla la egala distanta punctele A(I, 2, -1) i B(O, -1, 2).b) Precizati unghiul pe care dreapta AB 11face cu planul P;c) Scrieti ecuatiile simetricei dreptei AB fata de planul P.Solutio. a) Ecuatia unui fascicol de plane ce contine dreapta d este:Pnf 3 : a(x+y-2z+1)+p(x-y) = 0 :} (a+p)x+(a-p)y-2az+a = o .


24/30

30Dreapta si plan Algebra-Geometrie 1. Dragomirescu, februarie 2011Impunand conditia ca d(A, Pa ( 3 ) =(B, Pa ( 3 ) obtinern

100+ 1 3 + 2 ( 0 0 - 1 3 ) + 200+ 001 1(00+ 1 3 ) 0- (a - 1 3 ) - 2 0 0 2 + 001-:----:-:-::--:------:':--::--:------:-::- {:}(a + 1 3 ) 2 + (a - 1 3 ) 2 + ( - 2 0 0 ) 2 (a + 1 3 ) 2 + (a - 1 3 ) 2 + ( - 2 0 0 ) 2100+13+200-213+200+001 = 1-00+13-400+001 {:}1600-131= 1-400+131,de unde 1 3 = 500sau a = O. Astfel, exista doua plane, g, P 2, ce contindreapta d i se afia la distanta egala de punctele A i B. Ecuatiile celordoua plane sunt

PI : 6x - 4y - 2z + 1 = 0, P2 : x - y = O.b) Directia dreptei AB este AB = - i-3j + 3k.Unghiul dintre 0 dreapta i un plan este complementul unghiului dintredreapta i normala planului. Astfel

{ L(AB, Pd = 90 - L(AB, NpdL(AB, P2) = 90 - L(AB, Np2)Avem

7rcosL(AB, Npl) = 0 ::::;.L(AB, Npd = - ::::;.ABIIPI2 2 2cosL(AB, NP2) = MO::::;' L(AB, Np2) = arccos MO::::;'v 38 v 38L(AB, P2) = 90 - arccos ! O .v38

c) Simetrica dreptei AB fata de planul g. Intrucat dreapta AB esteparalela cu planul, simetrica sa fata de plan va fi , de asemenea, paralela cuacesta. Normala planului este perpendiculara pe dreapta ipe simetrica, iarpunctul de intersectie al normalei cu planul este situat la mijlocul distanteidintre dreapta i simetrica sa.Considerarn dreapta norrnala la plan ce trece prin punctul A:

x-I y-l z+1Npl: -- = -- = --.6 -4 -2


25/30

Algebra-Geometrie I.Dragomirescu, 201131Aceasta dreapta intersecteaza planul in punetul A ' ale carui eoordonate ledeterrninam rezolvand sistemul

{x-I y-2 z+1--=--=--=t6 -4 -26x - 4y - 2z + 1=

v (25 58 27)Rezulta punctul A ' 28' 28' - 28 .Un punet A " de pe dreapta simetrica va avea eoordonatele:

22 2 1XA"=2XA' - XA=-, YA"=2YA' - YA=-, ZA"=2zA, - ZA=-28 28 28

In aeest fel, ecuatiile simetrieei dreptei AB fata de planul P, sunt:22x--d : _ - - -= 2 - " '. . 8-1

2Y--281Z+- 28

-3 3Simetrica dreptei AB fata de planul P2. In aeest eaz dreapta inter-secteaza planul P2.

{x-I y-2

AB n P2 : -1 -3x-y=Oz+1

3

Punetul de intersectie Al are eoordonatele Al (~, ~, ~). Normala planului222P2 ee treee prin A are ecuatiax-I y-2 z+1Np2: -- =-- =--I -1 0

i intersecteaza planul in punctul A ' (~ , ~ , - 1 ) . Coordonatele simetrieuluipunetului A fata de planul P2 sunt A"(2, 1,-1). Simetriea dreptei AB fatade plan este dreapta ee treee prin Al i A", iar ecuatiile sale sunt:

x-2 y-l z+1d--------. -3 - -1 - 3 .


26/30

32Dreapta si plan Algebra-Geometrie 1. Dragomirescu, februarie 2011

Fig. 1.11. Simetrica dreptei AB fata de planul P2

1.3 Probleme prop useu x-2 y+l z1. Seconsidera dreapta dl :-3-=-0-=4 ' planul P : x + 5y - z - 1=0

ipunctul M(O , 1,1).a) Deterrninati distanta de la punctul M la dreapta dl;b) Deterrninati distanta de la punctul M la planul g;c) Unghiul dintre dreapta dl iplanul PI este un unghi ascutit?d) Scrieti ecuatia planului ce contine dreapta dl ipunctul M.

J22 I 1R: a ) --; b) /0; c ) nu; d) P : 8x + lly - 6z - 5 = O .5 v3. .. x-3 y z+l.2. FIe dreapta dl de ecuatii dl :-2- = " 1 = -3-Ipunctul A(O, 0,2).a) Scrieti ecuatia planului P ce contine dreapta dl ipunctul A;b) Deterrninati ecuatiile unei drepte perpendiculare pe dreapta dl icare

trece printr-un punet al planului P, diferit de A;x-I y z-1R: a) P: x - 5y + z - 2=0;b)-1- =-5=-1-'


27/30

Algebra-Geometrie I.Dragomirescu, 2011333. Se considera dreapta d : ~ = ! ! _ = ~ si planul P : 3x + 5y - z + 3 = 0.2 3 4 ~

a) Precizati pozitia dreptei d fata de planul P;b) Scrieti ecuatia planului ce contine dreapta d i intersecteaza planul P

dupa dreaptad1 : x + 6 = y - 3 = ~.-8 5 1

U A 6 9 12R: a) dreapta intersecteaza planul in punctul P( --, --, --); b) x +17 17 172y - 2z = 0.x y-1 z-24. Se considera dreapta d : " 2 = -3- = -1- ipunctul A(l, 1,1).

a) Scrieti ecuatia planului ce contine dreapta d ipunctul A;b) Deterrninati distanta de la punctul B(O, 2, 0) la planul obtinut la punc-

tul a);c) Deterrninati unghiul dintre dreapta d iplanul P: 3x+y-2z+13 = 0.

R: a ) x - y + z - 1= 0; b) y'3; c) 30.{

X = 1+ 2 t,5. Seconsideradreapta de ecuatii d : y = -1+ t,

z = 3 - t, t E ~ipunctul A(O, 1,0).

a) Scrieti ecuatia planului P ce contine dreapta d ipunctul A;b) Scrieti ecuatiile dreptei d1 perpendiculare pe planul P ce contine punc-

tul M(O, 0, 2);c) Deterrninati distanta de la punctul A la dreapta d1.

x y z-2 VI22R: a ) P: x -7y - 5z + 7 = 0; b) d1 : - = - = --; c) --.1 -7 -5 56. Fie planul P :x-2y+2z-5 = i0dreapta d ce contine punctul B(O, 1,0)

i face cu planul P un unghi de 60.a) Scrieti ecuatia normalei planului;b) Fie A punctul de intersectie al dreptei d cu planul P. Deterrninati

lungimea proiectiei segmentului AB pe planul P.


28/30

34Dreapta si plan Algebra-Geometrie 1. Dragomirescu, februarie 2011R: a) :_ = y - 1 = .:. b) 7 V 3 .

1 -2 2' 37. a) Determinati ecuatia planului P, ce contine dreapta

d : { x + 3y - 5z + 2 = y+1=0ipunctul A(2,0,0).b) Deterrninati valoarea parametrului real 0: astfel incat planele g, P2, P3sa se intersecteze dupa 0 dreapta D, unde geste planul determinat lapunctul a ), iar planele P2, P3 sunt definite mai jos

PI : 2x + y - z = 0, P2: 0: + y + 3z = 0.c) Scrieti ecuatiile proiectiei dreptei D pe planul P : 2x - y + z + 8 = 0.R: a) P : x - y - 5z - 2 = 0; b) Indicatie: sistemul format din ecuatiile celor8 44 x 2 y-- z+-trei plane trebuie sa aiba solutie, 0: = -; c) pr i.D : _ _ _ _ = __ 3 = __ 3.~ 3 2 5 1

8. Se considera planeleP, :x - y + z + 3 = 0, P2 : 2x - y + 5 = 0, P3 : z - 3 = 0.

a) Deterrninati unghiul dintre planele P2 i P3 i coordonatele punctuluiA de intersectie al planelor r; P2, P3;b) Deterrninati simetricul punctului B(l, 2, 0) fata de dreapta d aflata la

intersectia planelor P, i P2.

10.

10 10 5R:a) unghiuldintre planeeste de 90;A(l, 7,3) b) B' = simdB(-3' 3' " 3 ) .9. Fie punctele A(O , 0,1), B(2 , 1,0), C( -1,3,2), D(O, -7,0). Demonstrati c a

punctele sunt coplanare ideterrninati ecuatia planului ce contine punctele.R: Ecuatia planului cecontine celepatru puncte este P : 4x-y+ 7z-7 = 0.

v { X - 2y + 2 z + 4 = e considera dreapta d : 2 Deterrninati valoarea- x+y+z-a=parametrului a astfel incat dreapta d sa intersecteze dreapta Oz.R: a =-2.


29/30

Algebra-Geometrie I.Dragomirescu, 201135S id v d d x-I y z + 1 D .. 111. e consi era reapta : 2 3 -2- eterrninati parametru aastfel incat dreapta d sa fie inclusa in planul P :4x - 2y - z + a = o .R: a = -5.

12. Sa se arate c a drepteleY z+1 d2 .. _X __ y+l __ z-ld1: x-I = " 2 = -3-' -1 1 2

sunt oarecare in spatiu. Sa se determine distanta minima dintre ele lecuatia perpendicularei comune a celor doua drepte.R: Fie A un punet pe dreapta d1 i B un punct pe dreapta d2. Volu-mul paralelipipedului determinat de directiile AB, d1, d2 este nenul, decidreptele sunt oarecare in spatiu, Distanta dintre drepte este distanta estedistanta de la punctul A la planul ce contine dreapta d2 i este paralel cud1, i.e. d (d 1, d 2) = 2~. Dreapta perpendiculara comuna pe cele douadrepte se afia la intersectia planelor P t i P2, unde P t este este determinat- -de directia n =d1x d2 i directia dreptei d1, P2 este determinat de directia

. di . d . d . d { 3 X - z - 4 = 0,n l irectia reptei 2, i.e. : 13 3 4 1 0x+ y+ z+ =.13. Scrieti ecuatia planului ce trece prin centrul de greutate al triunghiului ABC

si este perpendicular pe dreapta d : { ~x+! y-~ 1+~ (; 0 ,unde A( 1,3, -1),B( -2,0,1), C(I, 3,3).R: Centrul de greutate G(O,2,1). Planul are ecuatia P : x+2y+3z-7 = O.

14. Fie planul P : 8x + 4y - 8z + 1 = 0 si dreapta d : { 2x - y + 3 =10 0 .~ x+y+z+ =a) Deterrninati distanta de la origine la planul P i distanta de la origine

la dreapta d;b) Precizati pozitia dreptei Ox fata de planul P;c) Verificati daca dreapta d taie cel put in una din axele sistemului de

coordonate.


30/30

36Dreapta si plan Algebra-Geometrie 1. Dragomirescu, februarie 20111 y'gl . V AR: a) d(0, P) = 12' d(0, d) = -7-; b) dreapta mtersecteaza planul P m

punctul M ( -~ , 0, 0); c) dreapta nu intresecteaza axele de coordonate.815. Se dau dreptele x y-l z-2d1 : " 2 = -3- = -5-

d . { X+Y -Z+ l=O2 2x - y = O .

a) Scrieti valoarea sinusului unghiului dintre cele doua drepte;b) Precizati daca cele doua drepte determina un plan, si, in caz afirmativ,

scrieti ecuatia planului.23. V 3 9 9R: a) cosL(d1,d2) = - v ' 1 3 3 : : : : } smL(d1,d2) = --; b) P: x+y-z+2 133 266

1 = O .16. Un observator "fix" este situat in punctul A(2, 1, 1). Un mobil M se afia

la momentul t in punctul (2t + 1, 3t - 1, t + 2). Sa se arate c a mobilul Mdeserie 0dreapta isa sedetermine la ce moment el este la distanta minimade A.

1R: La momentul t = " 2 mobilul M se afia la distanta minima de A.

17. Scrieti ecuatia planului ce determina pe axele Ox i Oy segmente egaleOA = OB = lcm i care face cu planul yOz un unghi de 45.R: P : x + y - 1 = O.

18. Fie dreapta d : ~ = ' ! j _ = z - 1 si punctul A(I, 1, 1). Determinati ecuatia3 3 2planului ce contine simetrica dreptei d i simetricul punctului A fata dedreapta Oz.R: P: x - y = o .

dreapta plan

Documents