1

DOĞRUSAL HEDEF PROGRAMLAMA İLE BÜTÇELEME

Hazırlayan: Ozan Kocadağlı

Danışman: Prof. Dr. Nalan Cinemre

2

BİRİNCİ BÖLÜM

HEDEF PROGRAMLAMA

1.1 Giriş

Karar problemleri amaç sayısına göre “tek amaçlı” ve “çok amaçlı” olmak üzere iki

gruba ayrılmaktadır. Tek amaçlı problemler, tek bir amaç fonksiyonunun optimizasyonuyla

karakterize edilebilirler. Gerçek hayat problemlerinde optimize edilmek istenen amaç fonksiyonu

sayısı genellikle 1’den büyüktür. Bu gibi durumlarda, genellikle en önemli görünen amaç

öncelikle dikkate alınır diğerler amaçlar probleme ya kısıt olarak eklenir ya da başka bir

optimizasyon problemi olarak değerlendirilir. Bir başka yaklaşım ise, çok sayıdaki amacın tek bir

amaca dönüştürülmesidir. Bu yaklaşım, birbiriyle çelişen amaçların zorlamayla tek bir amaca

dönüştürülmesi yönüyle eleştirilmektedir. Birbiriyle çelişen amaçların aynı ölçekte

değerlendirilmesi, dolayısıyla tek bir amaç fonksiyonu olarak ele alınması oldukça zordur.

Ayrıca, gerçek hayat problemlerinde bu her zaman gerçekleştirilemeyebilir. Problemde çelişen

amaçlar aynı ölçekte değerlendirilmiş olsalar da, çelişen bu amaçları optimum kılan tek bir

çözümün bulunması olanaksız olabileceği gibi bulunan çözüm uygun olmayabilir (Cinemre,

2003:325). Böyle durumlarda her amacın önem derecesini temel alan uzlaşık çözümler

bulunabilir (Baray-Esnaf, 2000: 343)1.

Burada, çok amaçlı durumları içeren problemler için hedef programlama tekniği

tanıtılacaktır. Hedef programlamada ana düşünce, orjinali çok amaçlı olan problemi tek amaçlı

probleme dönüştürmektir.

1.2 Hedef programlamanın tanımı ve gelişimi

Çok amaçlı karar probleminin hedef programlama olarak ifade edilebilmesi için

amaçlar arasında önemlerine göre bir öncelik sırası oluşturulmalıdır. Problemin hedef

1 Baray, Ş. Alp ve Şakir Esnaf. Yöneylem Araştırması (Taha, A. Hamdy. Operation Research An

İntroduction 6. Basımdan Çeviri). Birinci Baskı. İstanbul: Literatür Yayınları, 2000

3

programlamaya dönüştürülebilmesinde, her bir amaç için erişilmek istenen birer hedef değer

belirlenmesi gerekir. Burada, amaç ve hedefin birbirlerinden farklı kavramlar olduğu göz ardı

edilmemelidir. Amaç, bir eylemin karar verici tarafından hangi doğrultuda gerçekleştirilmek

istendiğini, hedef ise bu eylemin niceliğini ifade eder. Örneğin bir şirketin kârını arttırmak

istemesi amaç, kârın söz gelimi 1500’den az olmaması hedeftir. Hedef programlamada amaç

hedeflerden istenmeyen yöndeki sapmaların (p = Pozitif Sapma, n = Negatif Sapma) en küçük

olmasıdır. Bu yüzden hedef programlama orantısız ve genellikle birbirleri ile çelişen hedeflerin

bulunduğu problemlerde başarı ile uygulanabilmektedir (Ringuest, 1992:19).

Hedef programlama ilk kez Charnes and Cooper tarafından 1961 yılında ortaya atılmış,

1965 yılında Ijiri tarafından “genelleştirilmiş ters alma tekniği” ile çözüm elde edilebilen daha

kullanışlı bir hale getirilmiş (Wu, 1981:358), 1968 yılında da Contini hedef programlamayı

belirsizlik durumlarına, Jaaskelainen ise toplu üretim planlamasına uyarlamıştır. Daha sonraları

hedef programlama akademik, finans, işletme yönetimi, medya gibi bir çok değişik dalda

uygulama alanı bulmuştur. Bunların çoğu Sang Lee’nin “Goal Programming for Decision

Analysis” isimli kitabı ve Lee ve Jaaskelainen’in geliştirdiği bilgisayar programları sayesinde

gerçekleştirilmiştir (Wu, 1981:358).

Gerçek hayata uyarlanabilirliği bakımından çok etkin olan hedef programlama

günümüzde de; üretim planlaması, iş gücü planlaması, akademik kaynak tahsisi, finansal

planlama, bütçeleme, nakliye, performans tahminlemesi gibi bir çok alanda kullanılmaktadır.

1.3 Hedef programlamanın yapısı

Hedef programlama;

1. Karar değişkenleri

2. Sistem kısıtları

3. Hedef kısıtları

4. Amaç fonksiyonları

5. Birleşik amaç (Başarı) fonksiyonu

olmak üzere beş bileşenden oluşur.

4

● Karar değişkenleri: Modelde karar verici tarafından değeri belirlenmek istenen

bilinmeyenlere karar değişkeni adı verilir. Karar değişkenleri ix ’ler ile ifade edilmiştir.

● Sistem kısıtları: Doğrusal programlamadaki kısıtlara karşılık gelirler. Bunlar mutlak olan ve

değişmelerine izin verilmeyen kısıtlardır. Doğrusal programlamadaki gibi formüle edilirler ve

öncelikle bunların gerçekleştirilmesine çalışılır.

● Hedef kısıtları: Ulaşılmak istenen hedef değerlerini gösteren fonksiyonlardır. Bunlar sistem

kısıtları kadar katı ve değişmez değildir. Sistem kısıtları sağlandıktan sonra hedef kısıtlarının

sağlanması süreci başlar. Hedeflenen başarı ile gerçekleşen başarı arasındaki farka sapma denir.

Hedef tam anlamıyla sağlanmışsa sapma sıfırdır. Hedefe ulaşılamamışsa negatif sapma, hedefin

üzerinde bir başarı sağlanmışsa pozitif sapma meydana gelir. Pozitif sapmalar ip , negatif

sapmalar in ile gösterilir.

● Amaç fonksiyonları: Herhangi bir amaç için belirlenen hedeften olabilecek sapmaları en

küçükleyen fonksiyona amaç fonksiyonu adı verilir. Bu çalışmada amaç fonksiyonları G ile

gösterilecektir. Bu bağlamda istenmeyen sapmaların bir fonksiyonu olan ( , )i i iG n p , i ’inci amaç

fonksiyonunu göstermektedir.

● Birleşik amaç (Başarı) fonksiyonu: Birleşik amaç fonksiyonu, diğer bir adıyla başarı

fonksiyonu, tüm amaç fonksiyonlarının belirli bir öncelik seviyesi ve/veya ağırlığa göre toplam

şeklinde yazılmasıyla oluşturulur. Başarı fonksiyonun oluşturulmasındaki temel ilke, çok amaçlı

modeli tek amaçlı bir modele indirgemektir. Böylelikle, asıl amaç hedeflerden olabilecek

istenmeyen sapmalar toplamını en küçüklemek olacaktır. Başarı fonksiyonu “s” ile

gösterilecektir.

1.4 Hedef programlamanın varsayımları

Hedef programlamanın varsayımları aşağıda açıklanmıştır.

Hedeflerin önceliklendirilmesi:

Hedeflerin önceliklerinin belirlenmesinde kullanılan üç farklı algoritma vardır. Bunlar; “Ordinal

Sıralama”, “Kardinal Sıralama” ve “Ordinal ve Kardinal Sıralama” dır. Üçü de çok sayıda amaç

fonksiyonun tek bir amaç fonksiyonuna indirgenmesini sağlar.

5

1. Ordinal sıralama:

Karar verici, hedefleri arasında önem bakımından bir öncelik sırası oluşturmalıdır. Hedefler

arasındaki en yüksek dereceden öncelik 1P , sonraki 2P ,…, ile gösterilmelidir. Sözgelimi kâr,

pazar payından önemli olabilir, yani kâr hedefi pazar payı hedefinden önce gelir (Cinemre,

2003:326). Bu varsayım oldukça sınırlayıcı görünmekle birlikte uygulamada pek çok durum bu

varsayımı sağlar hale getirilebilir. Model daha sonra, yüksek öncelikli hedefin optimum değerinin

küçük öncelikli hedef tarafından kötüleştirilmesine izin vermeyecek şekilde, her seferinde bir

hedef değerini optimum kılar (Baray-Esnaf, 2000: 348). Ordinal sıralamada problemin h sayıda

hedefi, karar vericinin amaçlarının önemine göre bir sıraya sokulur.

Min 1G = 1β (1. Dereceden veya en yüksek öncelik seviyesi, 1P ) ………….. Min iG = iβ .…………. Min nG = hβ (h. Dereceden veya en düşük öncelik seviyesi, hP )

iβ ’ler (i = 1,2,…..,h), i. hedefi tanımlayan in veya ip sapma değişkenlerinin bir bileşenidir.

Burada önemle vurgulanması gereken, i. hedef için tanımlanmış eşitsizliğin (kısıtın) yönü ≥

biçimindeyse, iG amaç fonksiyonun ip (i. pozitif sapma) değişkenini, eşitsizliğin yönü ≤

biçimindeyse, in değişkenini en küçükleyeceğidir. Birinci durumda Min iG = ip , ikinci durumda

da Min iG = in geçerlidir. Dolayısıyla birinci durumda (1.1) birleştirilmiş amaç fonksiyonunda

iG yerine ip , ikinci durumda da in gelmelidir. Tüm amaç fonksiyonlarını (h adet) içeren

birleştirilmiş amaç fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanabilir:

Min s = 1 1 2 2 n hP G P G .......... P G+ + + (1.1)

Algoritma, 1. dereceden öncelikli 1G hedefinden çözüme başlayarak, en düşük öncelikli nG

hedefiyle çözümü sonlandırır. Süreç, düşük öncelikli hedefler için bulunan optimum değerlerin,

yüksek öncelikli hedefleri kötüleştirmesine izin vermeyecek şekilde işler. Yani tüm i’ler için

s( jG ), i. hedeften daha düşük bir öncelikli (i < j) j. hedefin optimum değeri olmak üzere;

s( jG )’nin optimizasyonu, s( iG )’nin değerini kötüleştiremez.

Aslında öncelik sıralaması düşüncesi doğrusal programlama gibi geleneksel tek amaçlı

modellere de uyarlanabilir. Bir doğrusal programlama, sistem kısıtları olarak bilinen doğrusal

6

kısıtlar ve sınırlamalar altında, tek bir doğrusal amaç fonksiyonun en iyilenmesi olarak yazılır.

Burada sistem kısıtları, kullanılan kaynakların sınırlarını ifade ederler. Bu bağlamda, bir doğrusal

programlama, birinci öncelik olarak kısıtların sağlanmasını, ikinci öncelik olarak da amaç

fonksiyonunun en iyilenmesini amaç edinen bir hedef programlama olarak değerlendirilebilir.

2. Kardinal sıralama (Ağırlıklandırma):

Bu yöntemde hedeflerden olacak istenmeyen her sapmaya belirli bir ağırlık verilmelidir. Bu

ağırlıklar her sapmanın görece önemini gösterir. Modelde tek bir amaç fonksiyonu, problemin

hedeflerini temsil eden fonksiyonların ağırlıklandırılmış toplamı haline getirilir. Bu yaklaşım

özellikle sapmaların boyutları birbirlerinden farklı olduğunda önem kazanır. Bu yaklaşımın belli

başlı iki zorluğu vardır. Birincisi hedeflerin ağırlıklandırılmasının zor olması, ikincisi ağırlıkların

hem hedeflerin görece önemlerini hem de sapmalar arasındaki boyut ilişkisini açıklamasıdır. iG ,

i ’inci amaç fonksiyonu, iw ’ler i ’inci amaç fonksiyonun ağırlık çarpanı olmak üzere; n hedefli

bir modelin amaç fonksiyonları aşağıdaki gibidir:

Min iG , i = 1, 2,…., h

Ağırlıklandırma yönteminde kullanılan birleştirilmiş amaç fonksiyonu en genel haliyle

Min s = 1 1 2 2 n hw G w G .......... w G+ + + (1.2)

biçiminde tanımlanır. Burada da, i. hedef için tanımlanmış kısıtın yönü ≥ biçimindeyse, iG amaç

fonksiyonun ip (i. pozitif sapma) değişkenini, eşitsizliğin yönü ≤ biçimindeyse, in değişkenini en

küçükleyeceğidir. Birinci durumda Min iG = ip , ikinci durumda Min iG = in geçerlidir.

Dolayısıyla birinci durumda (1.2) birleştirilmiş amaç fonksiyonunda iG yerine ip , ikinci

durumda da in gelmelidir.

3. Ordinal ve kardinal sıralama:

Ordinal ve kardinal sıralama, belirli bir hedef için tanımlanan sapmaların her ikisinin birden

istenmemeleri durumunda kullanılabilir. Böyle bir durumda aynı öncelik seviyesinde bulunan

sapmalardan hangisinin daha önemli olduğunu belirlenmelidir. Örneğin iG hedefine ait olan in

ve ip sapmalarının her ikisi de istenmiyor ise, hangisinin daha önemli olduğu belirlenmelidir.

Eğer ikisi de aynı öneme sahip ise, iG fonksiyonu birleştirilmiş amaç fonksiyonunda

7

i iP G = iP ( i in p+ ) biçiminde ifade edilebilir. İki sapmanın önemleri farklı ise, bu farklılık ifade

edilmelidir. Örneğin negatif sapma, pozitif sapmadan daha önemli ise, in sapması i. öncelik

seviyesinde, ip sapmasında (i+1). öncelik seviyesinde ifade edilebilirse ( iG = i iP n + i 1 iP p+ ) de bu

durum bir karışıklığa yol açabilir. Çünkü, ordinal sıralamada bahsedildiği gibi iP başka bir

hedefin, i 1P + başka bir hedefin öncelik seviyesini ifade etmektedir. Böyle bir karışıklıktan

kurtulabilmek için, aynı öncelik seviyesinde bulunan i in ve p sapmaları önemlerine göre

ağırlıklandırılabilir. Mesela, i. hedefe ait pozitif sapma negatif sapmadan iki kat önemli ise, hedef

fonksiyonu birleşik amaç fonksiyonunda i iP G = iP i i in 2P p+ biçiminde ifade edilebilir.

Negatif olmama varsayımı:

Hedef programlamanın ikinci varsayımı, tıpkı doğrusal programlamada olduğu gibi, tüm karar

değişkenlerinin sıfır veya pozitif olması varsayımıdır. Hedef programlamanın çözümünde

kullanılan Simpleks çözüm yöntemi negatif olmayan değişkenler gerektirdiği için bu varsayım

zorunludur. Negatif olmama koşulu bir varsayım olmasına rağmen başlangıçta bu varsayımı

sağlamayan durumlar kolayca bu varsayımı sağlar hale getirilebilir (Cinemre, 2003: 328).

1.5 Hedef programlamanın formülasyonu

Bir karar modelinin oluşturulmasında ilk olarak karar değişkenleri belirlenmeli ve

sırasıyla “karar vericinin istekleri”, “kısıtlı kaynaklar” ve “karar değişkenleri üzerindeki

kısıtlamalar” göz önünde bulundurulmalıdır. Kısıtlı kaynaklar ve karar değişkenleri üzerindeki

kısıtlamalar negatif olmama koşulu ile birlikte problemin uygun çözüm bölgesini oluşturur.

Karar vericinin tamamen karşılanmasını istediği amaçları birinci öncelik seviyesine

ayrılır. Hiç bir sapmaya izin verilmeyen türden amaçlar ise modele uygun çözüm bölgesini

belirleyen birer sınırlayıcı olarak da alınabilir. Tamamen karşılanması zorunlu olmayan diğer tüm

amaçlar önem sırasına göre sıralanır. Amaçların belirlenmesinde dikkat edilmesi gereken bir

konu amaç sayısının olabildiğince azaltılmasıdır. Bunun yolu amaçların tek tek incelenerek birisi

karşılandığında, kendiliğinden karşılanmış olan diğer amaçların elimine edilmesidir. Amaçların

mümkün olan en az sayıya indirgenmesinden sonra sıra, geride kalan amaçları matematiksel

8

olarak ifade etmeye gelir. Karar vericinin amaçları için bazı tipik örnekler; en büyük kar, en

küçük maliyet, en az fazla mesai, personelden en yüksek düzeyde faydalanma, en küçük risk vb

olarak sıralanabilir.

Bir sonraki adım ise, belirlenen amaçlar için ulaşıldığı takdirde karar vericiyi tatmin

edecek hedef değerlerinin belirlenmesidir. Örneğin, modelde herhangi bir i. amaç için ilgili karar

değişkenlerinin kullanılmasıyla oluşturulmuş hedef fonksiyonu if (x) olsun. Bu fonksiyon ile

ifade edilen bir amaç için belirlenen hedef değeri ε olsun. 0d> olmak üzere; problemin

çözümünde if (x) ’in değeri e d+ ise, pozitif sapma değişkeninin değeri δ ( ip =δ ) ve negatif

sapma değişkeninin değeri sıfır olur. if (x) ’in değeri ε δ− ise, pozitif sapma değişkeninin

değeri sıfır ve negatif sapma değişkeninin değeri δ ’dır ( in =δ ). Çözümde if (x) = ε olması ise

negatif ve pozitif sapmaların ikisinin de sıfır değeri aldığı anlamına gelir( in = 0, ip = 0). Hedef

değeri belirlenmiş olduğundan sıra, bu değerden olabilecek sapmaları gösteren hedef kısıtlarını

yazmaya gelir. Bu kısıtlardan sonra da, istenmeyen sapmaları en küçükleyecek olan amaç

fonksiyonları ( iG ) belirlenmelidir. Karar modelinin oluşturulmasının son adımı da, önceliklerine

göre sıralanmış tüm amaç fonksiyonlarının fonksiyonunun oluşturulmasıdır. Oluşturulan bu

fonksiyona “başarı fonksiyonu” adını vermiştik. Buraya kadar bahsedilen adımlar aşağıda

ayrıntılandırılmıştır.

Hedeflerin ve hedef fonksiyonlarının belirlenmesi: Bu kısımda karar verici, her bir amacı için

istediği hedefler belirler. Bundan sonra her bir hedef için ilgili karar değişkenlerinin

kullanılmasıyla bir hedef fonksiyonu oluşturulur. Hedefler, herhangi bir hedef fonksiyonunun

değerinin belirli bir değerin altında kalmaması, üstüne çıkmaması veya belirlenen değere eşit

olması şeklinde olabilir. Örneğin bir fabrikada belirli bir zaman diliminde üretilen, farklı kalitede

A, B ve C ürünlerinin toplamının en az 1000 adet olması. Sistem kısıtlarını ifade eden hedef

fonksiyonlarında bu hedef değerleri kendiliğinden ortaya çıkar. Ancak diğer amaçlar için karar

vericinin makul hedefler belirlemesi beklenir. Sözgelimi i. amaç için belirlenen hedef ib olmak

üzere, her hedef fonksiyonu aşağıdaki durumlardan birine uyacak şekilde ifade edilir.

9

i if (x) b≥ (1.3)

i if (x) b= (1.4)

i if (x) b≤ (1.5)

Sapma değişkenlerinin belirlenmesi: Daha önce ifade edildiği gibi hedeflenen değerlerden

sapmaları gösteren değişkenlere sapma değişkenleri kısaca sapma denir. if (x) hedef

fonksiyonunun, bi değerini aşma miktarını gösterecek olan negatif sapma değişkeni ni, bi

değerinin altında kalma miktarını gösterecek olan pozitif sapma değişkeni de pi ile

gösterilecektir. Bu sapma değişkenleri aşağıdaki gibi tanımlanabilir.

( ) ; ( )

0 ; ( )i i i i

ii i

f x b f x bp

f x bì - >ïï= íï £ïî

(1.6)

( ) ; ( )

0 ; ( )i i i i

ii i

b f x f x bn

f x bì - <ïï= íï ³ïî

(1.7)

İstenmeyen sapma değişkenleri yukarıda (1,3), (1,4) ve (1,5) ile açıklanan durumlara bağlı olarak

aşağıdaki gibi belirlenir.

● (1,3) şeklinde ise ni

● (1,4) şeklinde ise ni ve pi

● (1,5) şeklinde ise pi

Hedef kısıtlarının belirlenmesi: Sapma değişkenlerinin ait oldukları hedef fonksiyonlarının sol

tarafına eklenmesi ile elde edilen hedef kısıtları, herhangi bir i. amaç için aşağıdaki gibidir.

fi(x) +ni – pi = bi (i = 1,2,…..,) (1.8)

10

Mutlak amaçların belirlenmesi: Herhangi bir amaç için belirlenen hedef değerinin

tutturulabilmesi, o hedef için belirlenen n ve p istenmeyen sapma değişkenlerinin değerlerinin

sıfır olmasına bağlı ise, bu bir mutlak amaçtır. Karar vericinin bu tür amaçları olduğunda, ki bu

çok sık rastlanan bir durumdur, öncelikle bunların karşılanmasına çalışır. Bunun için bu tür

hedefler, en yüksek dereceden önem düzeyini gösteren P1 ile ağırlıklandırılmalıdır. Mutlak

amaçların P1 ile ağırlıklandırılması, bu amaçların daha düşük önem düzeyindeki amaçlardan daha

önce karşılanmasını sağlar.

Amaçların öncelik seviyelerine ayrılması: Mutlak amaçların birinci öncelik seviyesine ( 1P )

ayrılmasından sonra geriye kalan mutlak olmayan amaçlar için de karar vericinin tercih sırasına

göre önem seviyeleri belirlenir. Aralarında önem bakımından bir doğru orantı mevcut olan

amaçlar aynı önem seviyesine ayrılabilir. Farklı ölçülerle açıklanan amaçlar ancak ortak bir ölçek

ile ifade edilebildiklerinde aynı öncelik seviyesinde bir araya getirilebilirler.

Ağırlık faktörlerinin belirlenmesi: Aynı önem seviyesindeki iki amaç veya aynı hedefe ait olan

sapmalar (n,p) arasında tercih bakımından farklılık olması sorun yaratabilir. Söz konusu sorunun

üstesinden gelebilmek için aynı önem seviyesindeki amaçlara ve/veya istenmeyen sapmalara

birer ağırlık çarpanı atanır. Ağırlık çarpanlarının büyüklükleri, amaçların kendi aralarındaki

ve/veya istenmeyen sapmaların kendi aralarındaki bağıntıya ve karar vericinin tercihine göre

belirlenir.

Amaç fonksiyonlarının oluşturulması: Bu adımda (1.8) ile ifade edilen tipik bir hedef kısıtının

oluşturulmasında kullanılan hedef için, aşağıdaki üç durumdan biri söz konusudur. Böylelikle bu

üç durumdan birine uyan x çözüm değeri belirlenir.

1. bi ye eşit ya da daha büyük

2. bi ye eşit ya da daha küçük

3. bi ye eşit

Bu üç olası durumda yapılacak işlem Tablo 1.1 de gösterilmiştir. Tablo 1.1’ den de anlaşılacağı

gibi başarı fonksiyonunun bileşenleri olan fonksiyonlar istenmeyen sapmaların fonksiyonlarıdır.

11

Tablo 1.1: Amaç Fonksiyonu Oluşturma Tablosu2 Amaç Yapılacak İşlem

1. f (x), bi ye eşit ya da daha büyük enk ni

2. f (x), bi ye eşit ya da daha küçük enk pi

3. f (x), bi ye eşit enk ni + pi

Başarı fonksiyonunun oluşturulması:

Son olarak da s ile gösterilecek olan başarı fonksiyonu aşağıdaki formda ifade edilebilir.

[ ] [ ] [ ]{ }1 1 2 2( , ) , ( , ) ,..., ( , )h henk s P G n p P G n p P G n p= (1.9)

Yukarıda ifade edilen başarı fonksiyonunda “h”, amaçlar arasındaki farklı önem düzeylerinin

sayısı, ( , )jG n p (j = 1,2,….h)), j. öncelikli olarak en küçüklenmesi beklenen istenmeyen sapma

değişkenlerinin bir fonksiyonu (Amaç fonksiyonu) ve hP de ( , )hG n p fonksiyonunun önceliğini

göstermektedir. Açıktır ki toplam amaç fonksiyonu sayısı m ise h m£ olacaktır.

Eğer s ’nin bileşenleri olan ( , )hG n p fonksiyonları, başarı fonksiyonunda önem sırasını

koruyacak şekilde yerleştirilmişler ise, 1 2, ,..., hP P P ’lerin kullanılmaması bir sorun

yaratmayacaktır. Bu durumda başarı fonksiyonu birinci bileşen birinci öncelikte, ikinci bileşen

ikinci öncelikte,..., olmak üzere aşağıdaki gibi daha yalın bir biçimde ifade edilebilir. Bu

çalışmada da bu gösterim tercih edilmiştir.

{ }1 2( , ), ( , ),..., ( , )henk s G n p G n p G n p= (1.10)

(1.10) ( , )h hs G n p= olmak üzere aşağıdaki gibi ifade edilir. 2 Ignizio, J. P., (1979); Goal Programming and Extensions, Second Edition, Lexington Books, Massachusest.

12

( )1 2, ,..., Henk s s s s= (1.11)

Verilen bir hedef programlama modeli için en iyi çözüm noktası olan bir x noktası *x

ile, bu noktaya karşılık amaç fonksiyonunun aldığı değer *s ile gösterilir. Açıktır ki *s , diğer tüm

uygun çözüm noktalarına karşılık elde edilen başarı fonksiyonlarından daha fazla tercih edilen

veya aynı olandır. Farklı x değerlerine göre elde edilen başarı fonksiyonları arasında tercih

yapma işlemi aşağıdaki gibi tanımlanabilir.

Farklı iki 1x ve 2x uygun çözüm noktasına karşılık elde edilen iki başarı fonksiyonunun

iki değeri sırasıyla (1)s ve (2)s olsun. Bu sonuçlardan (1)s in (2)s ye göre tercih edilir

olabilmesi için (1) (2)s s− vektörünün sıfır olmayan ilk bileşeninin negatif olması gerekir.3

1.6 Genel hedef programlama modeli

Buraya kadar bahsedilen adımların izlenmesi ile çok amaçlı karar verme problemi

istenen formda modellenmiş olur. Hedef programlama olarak tanımlanan bu modelin genel

görünümü aşağıdaki gibidir.

{ }1 2( , ), ( , ),..., ( , )henk s G n p G n p G n p= (1.12)

( ) ( 1,2,..., )i i i if x n p b i m+ − = = (1.13)

, , 0 ( 1,2,..., ; 1, 2,..., )j i ix n p i m j n³ = = (1.14)

3 Bu durum, lexicographic minimum olarak adlandırılır. Örneğin ( )(1) 0, 2,50s = , ( )(2) 0,3, 2s = ye tercih edilir.

13

Burada (1.12) başarı fonksiyonunu, (1.13) kısıtları ve (1.14) negatif olmama koşulunu ifade

etmektedir.

1.7 Doğrusal hedef programlama modeli

Genel hedef programlama modelini oluşturan fonksiyonların doğrusal olması ve

doğrusal programlamanın koşullarının sağlanması durumunda doğrusal hedef programlama söz

konusu olur. Bu bağlamda, sözü edilen koşulları sağlayan bir genel hedef programlama modeli

doğrusal hedef programlama olarak aşağıdaki gibi modellenir.

{ }1 2( , ), ( , ),..., ( , )Henk s g n p g n p g n p=

1

( 1, 2,..., )n

ij j i i ij

c x n p b i m=

+ - = =å (1.15)

, , 0 ( 1,2,..., ; 1, 2,..., )j i ix n p i m j n³ = =

Söz konusu hedef programlama olduğunda doğrusal programlama için verilen tanımlar

aşağıdaki gibi değiştirilmelidir.

Tanım 1.1 (Temel Çözüm): Karar değişkeni sayısı n ve amaç sayısı m olmak üzere ( 2 )n m m+ −

değişkeninin değeri sıfır olan çözüme temel çözüm denir. Değeri sıfır olan (n + m) değişkene

“temel olmayan değişkenler”, geri kalan m değişkene de “temel değişkenler” denir.

Tanım 1.2 (Uygun Çözüm): Mutlak amaçların tümünü karşılayan bir çözüme “uygun çözüm”

denir.

Tanım 1.3 (En İyi Çözüm): Eğer bir x noktası için elde edilen başarı fonksiyonu s, diğer tüm

uygun çözümler için elde edilenlere tercih ediliyor veya aynı kalıyor ise x “en iyi çözüm” olarak

adlandırılır.

14

İKİNCİ BÖLÜM

DOĞRUSAL HEDEF PROGRAMLAMA İLE BÜTÇELEME

GİRİŞ

Pek çok işletme problemi gibi, bütçeleme problemleri de uygun optimizasyon

teknikleriyle çözülmelidir. Bu amaçla kullanılabilecek pek çok optimizasyon tekniği vardır.

Bunlardan en bilineni ve yaygın biçimde kullanılanı doğrusal programlamadır. Bu çalışmada bir

çeşit doğrusal programlama olan doğrusal hedef programlama kullanılmış ve özel bir dershanenin

sermaye bütçelemesi gerçekleştirilmiştir. Bu amaçla dershanenin kendine has özellikleri göz

önüne alınmış ve dikkate alınan özelliklere uygun bir model geliştirilmiştir. Model oluşturmada

dershanenin 2004-2005 dönemi verileri kullanılmış, oluşturulan modelle 2005-2006 dönemi

bütçelenmiştir.

2.1 Dershane hakkında bilgiler

Uygulamaya konu olan dershane Lise 1, 2 ve 3 için ders takviyesi, ÖSS ve LGS için

hazırlık dersleri vermektedir. 2004-2005 döneminde açılmış kurs tipleri, öğrenci sayıları,

öğrencilerden alınan kurs bedelleri ile 2005-2006 için alınabilecek maksimum öğrenci sayısı

Tablo 2.1’de özetlenmiştir. Dershane gelecek dönemde tam kapasite ile çalışacağını

öngörmektedir.

Tablo 2.1 2004-2005 Dönemi için öğrenci sayısı ve kurs ücreti

Kurs Tipi 2004-2005 Öğrenci Sayısı

Yıllık Ücret (YTL)

Ücret Ağırlık Faktörü

Alınabilecek Maksimum

Öğrenci

LGS 100 2000 2 120 ÖSS ve Takviye 165 3000 3 180

15

Dershanede, çeşitli branşlardan toplam 15 öğretmen görev yapmaktadır. Branşlara göre öğretmen

sayıları, bunların ders saat ücretleri ile yıl bazında girmeleri zorunlu ders saati toplamı (GGD) ile

girilebilecek maksimum ders saati toplamı (DÜS) Tablo 2.2’de gösterilmiştir.

Tablo 2.2 Ders bilgileri

Branşlar Öğretme

n Sayısı

Ders Saat Ücreti (YTL)

Öngörülen ders ücreti

(YTL)

GGD (Haftalık)

GGD (Yıl /saat)

DÜS (Yıl /saat) P.P

Matematik 3 15 17.25 75 2400 2800 8 Fizik 2 10 11.5 40 1280 1400 7 Kimya 1 10 11.5 20 640 800 8 Biyoloji 1 10 11.5 20 640 800 7 Türkçe 2 10 11.5 40 1280 1400 10 Coğrafya 1 9 10.35 20 640 800 9 Tarih 2 9 10.35 20 640 800 9 Felsefe 1 9 10.35 20 640 800 8 İngilizce 1 10 11.5 20 640 800 7 Bilgisayar 1 12 13.8 20 640 800 6

Öğretmenlerin dışındaki personelin sayısı hakkında gerekli bilgiler Tablo 2.3’de verilmiştir.

Tablo 2.3 Sabit maaş karşılığı çalışanlara ait aylık ve yıllık tutarlar (YTL).

Yönetim ve Personel (Kişi)

2004-2005 Aylık

2004-2005 Yıllık

2005-2006 Hedefi

Müdür 2000 24000 28800 Müdür Yrd. 1500 18000 21600 Sekreter 750 9000 10350 Güvenlik Gör. 450 5400 6210 Temizlik Gör. 450 5400 6210 Yıllık Toplam 61800 73120

Yönetim, en az giderle en yüksek kârı amaçlamakla birlikte öğrenci memnuniyetinden

ve kaliteli eğitim politikasından ödün vermek istememektedir. Bunun için, gerekli temel

harcamalardan ve öğrencileri başarıya götürecek yeterlilikte branş derslerinden tasarrufa

16

gidilmesi düşünülmemektedir. Her branş için toplam ders saati; yasal sınırlamalar, dershane

olanakları, geçmiş deneyimler, yıl içinde yapılan anketler ve deneme sınavlarının sonuçları

dikkate alınarak belirlenmektedir. Aşırı ders saati dershanenin giderlerini arttırdığı gibi sınıf,

zaman ve öğretmen yetersizliğine yol açtığından istenmemektedir. Yapılan anket sonuçları ve

deneme sınavlarındaki genel başarı göz önünde bulundurularak her branş için 10 üzerinden bir

performans puanı (PP)* hesaplanmıştır. Bu puanlar öğrenci isteği ile ders saatleri arasında denge

kurmak için kullanılmıştır. Ayrıca, öğrenci sayısının hedeflenenden az olmaması için kayıt

dönemi öncesinde reklam ve tanıtımlara ağırlık verilmelidir. Her yıl olduğu gibi vergiler düzenli

bir şekilde ödenmelidir. Öğrencilere dönem başında ve yıl içinde verilen kaynak kitaplar, testler,

uygulanan deneme sınavları, tadilat, gerekli araç-gereç ve cihazlar için belirli bir kaynak

ayrılmalıdır. Tüm bu giderler saptandıktan sonra, istenen kar hedefinin yakalanması için

öğrencilerden uygun bir ücret alınması gerektiği açıktır.

2004-2005 öğretim yılı itibariyle öğrenci sayıları, ders saatleri, yapılan çeşitli

harcamalar ve 2005-2006 öğretim yılı hedefleri aşağıda özetlenmiştir:

Öğrenci sayısı ve ücret:

Halihazırda ÖSS ve takviye kursu öğrencilerinden yıllık 3000 YTL, LGS kursu

öğrencilerinden de 2000 YTL ücret alınmaktadır. 2005-2006 yılında da kurs ücretleri arasındaki

2/3 oranın sabit kalması istenmektedir. Bu koşul sistem kısıtı olarak, K(23) no’lu denklemde

sağlanmış ve Tablo 2.1’de ücret ağırlık faktörü olarak gösterilmiştir.

Çalışanlara verilen ücretler, ders yükü ve ders ücreti hakkında bilgiler:

Gelecek yıl ders saati ücretlerine %15, Müdür ve yardımcısının maaşlarına %20, diğer

çalışanların maaşlarına da %15 zam yapılması öngörülmektedir. Öğretmenlerin yıllık toplam

ücreti, yıllık ders yüklerine göre hesaplanacaktır. Ders yükleri yıldan yıla değişebildiğinden

öğretmenlere ödenecek tutarın hesaplanması için öncelikle gelecek yıl her branş için öngörülen

yıllık ders yükünün belirlenmesi gerekmektedir. Ders yüklerinin belirlenmesi modelimizde 1.

* Bu puanlar Tablo 2.2’nin son sütununda gösterilmiştir.

17

dereceden amaç olarak ele alınmıştır. 2004-2005 döneminde, her branş için öğrencilere verilmesi

gereken en az ve verilebilecek en fazla ders yükü ile saat ücretleri Tablo 2.2’de öngörülen ders

ücreti başlıklı sütunda verilmiştir.

Vergiler ve Muhasebe Ücretleri:

Yılda bir kez olmak üzere harç vergisi verilmektedir. Tüm öğretmenlerin sigorta primleri

tutarı, ortalama maaşları toplamının %15’ine eşittir. 2004-2005 dönemine ait bu değer, her branş

için girilmesi gereken saat ile o branşa karşılık gelen bir saatlik ücretin çarpımları toplamına

eşittir. Bu değerin gelecek yılki tutarı, her branş için kaç saat ders yapılacağına bağlıdır. Gelecek

öğretim yılında da sigorta primlerinin toplam maaş tutarlarının %15’ine karşılık geleceği

öngörülmektedir. 2005-2006 döneminin sigorta primi bu dönemin ders yükleri belirlendikten

sonra hesaplanacaktır. Her ay düzenli bir şekilde muhasebe ücreti verilmektedir. Bu ücret yıllık

olarak hesaplanmıştır. Bu öğretim yılına ait veriler ve gelecek yılki öngörüler Tablo 2.4’de

gösterilmiştir.

Tablo 2.4 Vergiler ve muhasebe ücreti (YTL)

Yıllık Tutar Harcama Kalemleri 2004-2005 2005-2006

Harç Vergisi 800 920

Sigorta Primi 15864 -

Muhasebe Ücreti 5000 5750

Zorunlu Giderler:

Gelecek yıl için %10 artacağı öngörülen zorunlu giderlerin, içinde bulunduğumuz dönemdeki

değerleri ile 2005-2006 dönemi değerleri aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.

18

Tablo 2.5 Zorunlu giderler (YTL)

2004-2005 Yıllık Tutar

2005-2006 Yıllık Tutar

Elektrik 3600 3960 Su 600 660 Telefon 1800 1980 Temizlik Malzemeleri 1000 1100

Yakıt 10000 11000 Toplam 17000 18700

Kitap, test, deneme sınavı, kırtasiye, cihaz ve malzeme giderleri (yayın ve cihaz):

Bu tür giderlerin gelecek yıl %5 artacağı öngörülerek hesaplanan değerleri aşağıda

gösterilmiştir.

Tablo 2.6 Yayın ve cihaz giderleri (YTL)

Yıllık Tutar (2004-2005)

Yıllık Tutar (2005-2006)

Kitap 4000 4200 Yaprak Test 2500 2625 Sınav Kitapçığı 3000 3150 Kırtasiye 180 189 Cihaz ve malzeme 5000 5250

Toplam 14680 15414

Reklam ve Tadilat giderleri:

Bu yıl reklam ve tanıtım için 7500 YTL harcanmış olup bu değerin gelecek yıl en az

15000 YTL olması planlanmaktadır. Ayrıca bu yıl için 5000 YTL tutarında olan tadilat

harcamalarının gelecek dönemde en az 7500 YTL olması öngörülmektedir.

19

Tablo 2.7 Reklam ve tadilat giderleri (YTL)

2004-05 Yıllık Tutar

2005-06 Yıllık en az

Reklam 7500 15000 Tadilat 5000 7500 Toplam 12500 22500

Sabit maaş karşılığı çalışanların, zorunlu giderlerin, yayın ve cihaz giderlerinin gelecek yılki

tutarının toplam 125,934 YTL olması öngörülmektedir.

2.2 Modelin kurulması ve modelin çözülmesi

Problemin çözüm aşamaları aşağıdaki gibidir:

2.2.1 Karar değişkenlerinin tanımlanması

xi = i nolu dersin saati (saat/yıl) i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Burada 1 (Matematik), 2 (Fizik), 3 (Kimya), 4 (Biyoloji), 5 (Türkçe), 6 (Coğrafya), 7 (Tarih), 8

(İngilizce), 9 (Felsefe), 10 (Bilgisayar) derslerinin numaralarını ifade etmektedir. Ayrıca,

11x = Vergi Giderleri (YTL/yıl)

12x = Reklam ve tadilat giderleri(YTL/yıl)

13x =Tüm öğrencilerinden alınması gereken ortalama ücret (YTL/yıl)

14x = LGS kursu öğrencilerinden alınması gereken ücret (YTL/yıl)

15x = ÖSS ve Takviye kursu öğrencilerinden alınması gereken ücret (YTL/yıl)

2.2.2 Sistem kısıtlarının belirlenmesi

Sistem kısıtları beş bölümden oluşmaktadır. K(i) kısıt denklem numarası olmak üzere,

birinci bölümdeki kısıtlar (K1-K10) dershanenin öğrencilere karşı olan yükümlülüklerini ifade

etmektedir. Tablo 1’den görüldüğü gibi her branş için yıllık belirli bir ders yükünün altına

20

inilmemelidir. İkinci bölümdeki kısıtlar ise (K11-K20) her hangi bir branş için yapılabilecek ders

yükünün üst sınırını ifade etmektedir. Üçüncü bölümdeki kısıt (K21) ise, LGS kursu

öğrencilerinden alınan ücretin ÖSS ve takviye kursu öğrencilerinden alınan ücretin 2/3’ü

( 14

15

x 2x 3

= ) olmasını ifade etmektedir. Dördüncü bölümdeki kısıt (K22) ise, ortalama ücretin, LGS

kursu öğrencilerinden alınan ücret ile ÖSS ve takviye kursu öğrencilerinden alınan ücretin

ortalamasına ( 14 1513

x x x2+

= ) eşit olduğudur. Bu iki kısıt yardımıyla ilgili kursların ücretleri

belirlenmektedir. Son kısıt da (K23) reklam ve tadilat giderlerinin 22500 YTL’den az olmaması

gerektiğini ifade etmektedir.

1. Bölüm kısıtları (Öğrencilere karşı

yükümlülükler):

1x ≥ 2400 K(1)

2x ≥ 1280 K(2)

3x ≥ 640 K(3)

4x ≥ 640 K(4)

5x ≥ 1280 K(5)

6x ≥ 640 K(6)

7x ≥ 640 K(7)

8x ≥ 640 K(8)

9x ≥ 640 K(9)

10x ≥ 640 K(10)

2. Bölüm kısıtları (Ders

saatlerinin üst sınırları):

1x ≤ 2800 K(11)

2x ≤ 1400 K(12)

3x ≤ 800 K(13)

4x ≤ 800 K(14)

5x ≤ 1400 K(15)

6x ≤ 800 K(16)

7x ≤ 800 K(17)

8x ≤ 800 K(18)

9x ≤ 800 K(19)

10x ≤ 800 K(20)

3. Bölüm: LGS kursu ücretiyle, ÖSS ve takviye kursu ücreti arasında 2/3 oranı olmalıdır.

3 14x - 2 15x = 0 K(21)

21

4. Bölüm: 14x + 15x - 2 13x = 0 K(22)

5. Bölüm: Reklam ve tadilat gideri 22500 YTL’den az olmamalıdır.

12x ≥ 22500 K(23)

2.2.3 Amaçların belirlenmesi ve hedeflerin saptanması

Bu bölümde dershanenin genel ilkelerine bağlı kalınarak ve sorumlulukları göz önünde

bulundurularak, belirlenen amaçlar doğrultusunda gelecek dönem hedefleri saptanacaktır.

Hedefler belirlendikten sonra, sırasıyla bu hedeflerden olabilecek sapmalar tanımlanıp (negatif =

in , pozitif = ip ), ilgili amaç için amaç fonksiyonu (g( in , ip )) oluşturulacaktır.

1. Amaç: Dershane yönetimi için en hassas konu öğrencilere her branş için verilecek yıllık

ders yüklerinin belirlenmesidir.

2. Hedef: Ders yükünün arttığında öğrenci memnuniyetinin yanı sıra eğitim-öğretim

maliyeti de artmaktadır. Maliyetin artması istenmediğinden amaç fonksiyonu maliyeti

azaltıp memnuniyeti arttıracak şekilde kurulmalıdır.

Gelecek yılda %15 zamlanması planlanan ders saati ücreti ortalaması, performans puanları

ortalamasına bölünerek branşlara göre öğrenci memnuniyeti 1.51 YTL ile sayısallaştırılmıştır. Bu

değer amaç fonksiyonunda ağırlık faktörü olarak kullanımıştır.

Gelecek yıl için ders saati hedefi, bu yıl her branş için ayrı ayrı verilen yıllık ders

saatinin altına düşülmemesidir. Bu hedefler (K1-K10) ile tanımlandıklarından; in = 0, i =

1,…..10 olacaktır.

Hedefler: Hedefler aynı zamanda sistem kısıtı olduklarından, bir kez daha tanımlanmamışlardır.

Sapma değişkenleri ve hedef kısıtlayıcıları denklemleri: Hedef kısıt denklemleri ile

istenmeyen sapmalar dersler göre aşağıdaki gibidir.

22

1x =Toplam Matematik ders saati (saat / yıl)

1x - 2400 ; 1x > 2400 1p = 0 ; 1x ≤ 2400

1x - 1p = 2400 K(24)

2x = Toplam Fizik ders saati (saat / yıl)

2x - 1280 ; 2x > 1280 2p = 0 ; 2x ≤ 1280

2x - 2p = 1280 K(25)

3x = Toplam Kimya ders saati (saat / yıl)

3x - 640 ; 3x > 640 3p = 0 ; 3x ≤ 2400

3x - 3p = 640 K(26)

4x = Toplam Biyoloji ders saati (saat / yıl)

4x - 640 ; 4x > 640 4p = 0 ; 4x ≤640

4x - 4p = 640 K(27)

23

5x =Toplam Türkçe ders saati (saat / yıl)

5x - 2400 ; 5x > 2400 5p = 0 ; 5x ≤ 2400

5x - 5p = 2400 K(28)

6x =Toplam Coğrafya ders saati (saat / yıl)

6x - 640 ; 6x > 640 6p = 0 ; 6x ≤ 640

6x - 6p = 640 K(29)

7x = Toplam Tarih ders saati (saat / yıl)

7x - 640; 7x > 640 7p = 0 ; 7x ≤ 640

7x - 7p = 640 K(30)

8x = Toplam Felsefe ders saati (saat / yıl)

8x - 640 ; 8x > 640 8p = 0 ; 8x ≤ 640

24

8x - 8p = 640 K(31)

9x = Toplam İngilizce ders saati (saat / yıl)

9x - 640; 9x > 640

9p = 0 ; 9x ≤640

9x - 9p = 640 K(32)

10x = Toplam Bilgisayar ders saati (saat / yıl)

10x - 640 ; 10x > 640

10p = 0 ; 10x ≤ 640

10x - 10p = 640 K(33)

Amaç fonksiyonu:

)p,n(g ii1 = [ 17.25 1p + 11.5( 2p + 3p + 4p + 5p ) + 10.35( 6p + 7p + 8p ) + 11.5 9p +

13.8 10p ] - 1.51 [ 8 1p + 7 2p + 8 3p + 7 4p + 10 5p + 9 6p + 9 7p + 8 8p + 7 9p + 6 10p ] G(1)

ya da

1( , )i iG n p = 5.17 1p + 0.93 2p - 0.58 3p + 0.93 4p - 3.6 5p - 3.24 6p - 3.24 7p - 1.73 8p + 0.93 9p

+ 4.74 10p

2. Amaç: Harç vergisi yılda bir kez olmak üzere, sigorta primleri, muhasebe ücretleri her ay

düzenli bir şekilde ödenmelidir.

25

Hedef: 2005-2006 öğretim yılında ödenecek sigorta primlerinin, öğretmenlere ödenen yıllık

toplam ders saati ücretlerinin %15’ne karşılık gelmesi öngörülmektedir. Muhasebe ücreti ve harç

vergisinin de enflasyonla beraber %15 artacağı öngörülmüştür (bkz Tablo 2.4). Dolayısıyla

hedef, yılık vergi ve muhasebe tutarından olabilecek sapmaları en küçüklemektir. Hedef

denklemi, sigorta primlerinin %15 ile harç vergisinin ve muhasebe ücretinin gelecek yıl olması

öngörülen tutarlarının toplamının 16x ’ya (Vergi Giderleri) eşit olması şeklinde ifade edilebilir.

0.15(17.25 1x + 11.5 2x + 11.5 3x + 11.5 4x + 11.5 5x + 10.35 6x + 10.35 7x + 10.35 8x + 11.5 9x

+ 13.8 10x ) + (920+5720) = 11x H(1)

ya da

[ 2.58 1x +1.725( 2x + 3x + 4x + 5x + 9x ) +1.55( 6x + 7x + 8x ) +2.07 10x + 6640 ] - 11x = 0

Sapma değişkenleri ve hedef kısıt denklemleri:

[ 2.58 1x +1.725( 2x + 3x + 4x + 5x + 9x )+1.55( 6x + 7x + 8x )+2.07 10x + 6640 ] - 11x + 11n - 11p = 0

K(34)

Amaç fonksiyonu:

2 ( , )i iG n p = 11n + 11p G(2)

3. Amaç: Öğrenci potansiyelinin korunması için reklam ve tadilat giderleri önemli rol

oynamaktadır. Bunun için dönem başında etkili bir reklam ve tadilat çalışmalarına girilmelidir.

Ancak bu giderler aşırı maliyete yol açmamalıdır.

Hedef: Gelecek yıl reklam ve tadilat giderinin, öğrencilerden alınacak toplam kurs ücretinin %2

olması istenmektedir. Gelecek yıl toplam 300 kişi öngörüldüğünden hedef denklemi aşağıdaki

gibi olmalıdır.

0.02(300 13x ) - 12x = 0 H(2)

ya da

6 13x - 12x = 0

26

Sapma değişkenleri ve hedef kısıtlayıcıların denklemleri:

6 13x - 12x + 12n - 12p = 0 K(35)

Amaç fonksiyonu:

3 i iG (n ,p ) = 12n + 12p G(3)

4. Amaç: Gelecek yıl zarar edilmemelidir. Bu da dershane öğrencilerden uygun bir ücret

alınmasını gerektirmektedir.

Hedef: Gelecek yıl %100 kar hedeflenmektedir. Bu da toplam giderin, öğrencilerden elde

edilecek gelirin yarısı olmasıyla mümkündür. Sabit maaş karşılığı çalışanların, zorunlu giderlerin,

yayın ve cihaz giderlerinin gelecek yılki tutarının toplam 125,934 YTL olacağı göz önünde

bulundurulmakla birlikte vergi giderleri ( 11x ), reklam ve tadilat giderleri ( 12x ) ve toplam ders

saati ücretleri, toplam giderleri oluşturmaktadır.

300 13x - 2 [ 125,934 + 12x + 11x + 13.8 10x + 11.5 9x + 10.35 8x + 10.35 7x +10.35 6x + 11.5 5x

+11.5 4x +11.5 3x + 11.5 2x +17.25 1x ] = 0 (H3)

Sapma değişkenleri ve hedef kısıtlayıcıların denklemleri:

Bu denklem, alınan ücretin %50’nin tüm giderlere eşit olması gerektiğini ifade eden ve kar

hedefine ulaşılabilmesi için öğrencilerden alınması gereken ücretin belirleneceği denge

fonksiyonudur.

300 13x -2 [ 125,934 + 12x + 11x + 13.8 10x + 11.5 9x + 10.35 8x +10.35 7x +10.35 6x +11.5 5x + 11.5 4x + 11.5 3x + 11.5 2x + 17.25 1x ] + 13n - 13p = 0 K(36)

27

Amaç fonksiyonu: Amaç fonksiyonu istenmeyen sapmaların en küçüklenmesi şeklinde

kurulmalıdır.

4 i iG (n ,p ) = 13n + 13p G(4)

2.2.4 Başarı fonksiyonun oluşturulması

Tüm amaç fonksiyonları öncelik seviyelerine göre oluşturulduktan sonra, bu amaç

fonksiyonlarının önceliklerine göre en küçüklenmesini sağlayacak aşağıdaki başarı fonksiyonu

oluşturulmalıdır:

s = { 1 2 3 4( , ), ( , ), ( , ), ( , )i i i i i i i iG n p g n p g n p g n p }

Buraya kadar elde edilen sistem kısıtlayıcıları, hedef kısıtlayıcıları ve başarı fonksiyonuna negatif

olamama koşulunun da eklenmesiyle problem hedef programa olarak aşağıdaki gibi elde edilir.

Enk s = { 1 2 3 4( , ), ( , ), ( , ), ( , )i i i i i i i iG n p g n p g n p g n p }

K(j) (j = 1, 2,…………..,36)

0p,n,x iii ≥

Burada dikkat edilmesi gereken husus, modelin kısıtlarıyla beraber tek amaç fonksiyonuna sahip

doğrusal programlamaya dönüşmüş olmasıdır. Bunun için problem doğrusal programlamanın

bilinen yöntemleriyle kolaylıkla çözülebilir. Modelimizin WinQSB programıyla elde edilen

çıktıları aşağıdaki gibidir ve problemin karar değişkenlerinin aldığı değerler Tablo 2.8’de

özetlenmiştir.

28

2.2.5 Uygulamanın karma raporu

Amaç fonksiyonlarının aldığı değerler WinQSB çıktısı olarak aşağıdaki gibidir. Bu

değerlerin başarı fonksiyonunda yerine yazılmasıyla başarı fonksiyonu elde edilir.

G1 Goal Value (Min.) = -1.406,40

G2 Goal Value (Min.) = 0

G3 Goal Value (Min.) = 0

G4 Goal Value (Min.) = 0

Enk s = (-1.406, 0, 0, 0)

Tablo 2.8 Çözüm değerleri

DEĞİŞKENLER ÇÖZÜM P N X1 2.400,00 0 0 X2 1.280,00 0 0 X3 800,00 160 0 X4 640,00 0 0 X5 1.400,00 0 0 X6 800,00 160 0 X7 800,00 160 0 X8 800,00 160 0 X9 640,00 0 0 X10 640,00 0 0 X11 26.087,80 0 0 X12 22.500,00 0 0 X13 3.750,00 0 0 X14 3.000,00 0 0 X15 4.500,00 0 0

2.2.6 SONUÇ

Çıktılar; Kimya, Coğrafya ve Felsefe derslerinin 2005-2006 döneminde 160’şar saat

arttırılmasını, diğer derslerde bir değişiklik yapılmaması gerektiğini ortaya koymaktadır. Ders

29

yükleri için belirlenen değerlerin dikkate alınmasıyla gelecek dönemde 26.087,80 YTL vergi

verileceği hesaplanmıştır. Dershane yönetiminin hedefi %100 kar ise LGS kursu öğrencilerinden

3000 YTL, ÖSS ve Takviye öğrencilerinden de 4500 YTL ücret talep etmelidir.

30

KAYNAKÇA

Akbilgiç, Oğuz. Çok Amaçlı Karar Verme Teknikleri. Yüksek Lisans Tezi. İstanbul:

MSGSÜ, 2005

Baray, Ş. Alp ve Şakir Esnaf. Yöneylem Araştırması (Taha, A. Hamdy. Operation

Research An İntroduction 6. Basımdan Çeviri). Birinci Baskı. İstanbul: Literatür Yayınları, 2000

Cinemre, Nalan. Yöneylem Araştırması. İkinci Baskı. İstanbul: Beta yayınları, 2004

Ignizio, J. P., Goal Programming and Extensions. Second Edition, Massachusest,

Lexington Books,1979

Jeffrey, L. Ringuest, Multiobjective Optimiztation: Behavioral and Computational

Considerations. Boston: Kluwer Academic Publishhers, 1992

Yalçın, Ebru. Çok Amaçlı Karar Verme Yöntemleri ve Bir Uygulama. Yüksek Lisans

Tezi. İstanbul: İstanbul Üni., 1996

Wu, Nesa and Richard Coppins. Linear Programming and Extensions. New York:

McGraw-Hill Inc., 1981

Taha, A. Hamdy. Operation Research An İntroduction. Sixth Edition. New York.

Prentice-Hall, Inc. 1997