formulair bac
TRANSCRIPT
1300 Math Formulas
fp_k VVQVNMTTQN
`çéóêáÖÜí « OMMQ ^KpîáêáåK ^ää oáÖÜíë oÉëÉêîÉÇK
http://fribok.blogspot.com/
ii
Preface
qÜáë Ü~åÇÄççâ áë ~ ÅçãéäÉíÉ ÇÉëâíçé êÉÑÉêÉåÅÉ Ñçê ëíì-ÇÉåíë ~åÇ ÉåÖáåÉÉêëK fí Ü~ë ÉîÉêóíÜáåÖ Ñêçã ÜáÖÜ ëÅÜççäã~íÜ íç ã~íÜ Ñçê ~Çî~åÅÉÇ ìåÇÉêÖê~Çì~íÉë áå ÉåÖáåÉÉêáåÖIÉÅçåçãáÅëI éÜóëáÅ~ä ëÅáÉåÅÉëI ~åÇ ã~íÜÉã~íáÅëK qÜÉ ÉÄççâÅçåí~áåë ÜìåÇêÉÇë çÑ Ñçêãìä~ëI í~ÄäÉëI ~åÇ ÑáÖìêÉë ÑêçãkìãÄÉê pÉíëI ^äÖÉÄê~I dÉçãÉíêóI qêáÖçåçãÉíêóI j~íêáÅÉë~åÇ aÉíÉêãáå~åíëI sÉÅíçêëI ^å~äóíáÅ dÉçãÉíêóI `~äÅìäìëIaáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåëI pÉêáÉëI ~åÇ mêçÄ~Äáäáíó qÜÉçêóKqÜÉ ëíêìÅíìêÉÇ í~ÄäÉ çÑ ÅçåíÉåíëI äáåâëI ~åÇ ä~óçìí ã~âÉÑáåÇáåÖ íÜÉ êÉäÉî~åí áåÑçêã~íáçå èìáÅâ ~åÇ é~áåäÉëëI ëç áíÅ~å ÄÉ ìëÉÇ ~ë ~å ÉîÉêóÇ~ó çåäáåÉ êÉÑÉêÉåÅÉ ÖìáÇÉK
http://fribok.blogspot.com/
iii
Contents
1 krj_bo pbqp NKN pÉí fÇÉåíáíáÉë 1 NKO pÉíë çÑ kìãÄÉêë 5 NKP _~ëáÅ fÇÉåíáíáÉë 7 NKQ `çãéäÉñ kìãÄÉêë 8 2 ^idb_o^ OKN c~ÅíçêáåÖ cçêãìä~ë 12 OKO mêçÇìÅí cçêãìä~ë 13 OKP mçïÉêë 14 OKQ oççíë 15 OKR içÖ~êáíÜãë 16 OKS bèì~íáçåë 18 OKT fåÉèì~äáíáÉë 19 OKU `çãéçìåÇ fåíÉêÉëí cçêãìä~ë 22 3 dbljbqov PKN oáÖÜí qêá~åÖäÉ 24 PKO fëçëÅÉäÉë qêá~åÖäÉ 27 PKP bèìáä~íÉê~ä qêá~åÖäÉ 28 PKQ pÅ~äÉåÉ qêá~åÖäÉ 29 PKR pèì~êÉ 33 PKS oÉÅí~åÖäÉ 34 PKT m~ê~ääÉäçÖê~ã 35 PKU oÜçãÄìë 36 PKV qê~éÉòçáÇ 37 PKNM fëçëÅÉäÉë qê~éÉòçáÇ 38 PKNN fëçëÅÉäÉë qê~éÉòçáÇ ïáíÜ fåëÅêáÄÉÇ `áêÅäÉ 40 PKNO qê~éÉòçáÇ ïáíÜ fåëÅêáÄÉÇ `áêÅäÉ 41
http://fribok.blogspot.com/
iv
PKNP háíÉ 42 PKNQ `óÅäáÅ nì~Çêáä~íÉê~ä 43 PKNR q~åÖÉåíá~ä nì~Çêáä~íÉê~ä 45 PKNS dÉåÉê~ä nì~Çêáä~íÉê~ä 46 PKNT oÉÖìä~ê eÉñ~Öçå 47 PKNU oÉÖìä~ê mçäóÖçå 48 PKNV `áêÅäÉ 50 PKOM pÉÅíçê çÑ ~ `áêÅäÉ 53 PKON pÉÖãÉåí çÑ ~ `áêÅäÉ 54 PKOO `ìÄÉ 55 PKOP oÉÅí~åÖìä~ê m~ê~ääÉäÉéáéÉÇ 56 PKOQ mêáëã 57 PKOR oÉÖìä~ê qÉíê~ÜÉÇêçå 58 PKOS oÉÖìä~ê móê~ãáÇ 59 PKOT cêìëíìã çÑ ~ oÉÖìä~ê móê~ãáÇ 61 PKOU oÉÅí~åÖìä~ê oáÖÜí tÉÇÖÉ 62 PKOV mä~íçåáÅ pçäáÇë 63 PKPM oáÖÜí `áêÅìä~ê `óäáåÇÉê 66 PKPN oáÖÜí `áêÅìä~ê `óäáåÇÉê ïáíÜ ~å lÄäáèìÉ mä~åÉ c~ÅÉ 68 PKPO oáÖÜí `áêÅìä~ê `çåÉ 69 PKPP cêìëíìã çÑ ~ oáÖÜí `áêÅìä~ê `çåÉ 70 PKPQ péÜÉêÉ 72 PKPR péÜÉêáÅ~ä `~é 72 PKPS péÜÉêáÅ~ä pÉÅíçê 73 PKPT péÜÉêáÅ~ä pÉÖãÉåí 74 PKPU péÜÉêáÅ~ä tÉÇÖÉ 75 PKPV bääáéëçáÇ 76 PKQM `áêÅìä~ê qçêìë 78 4 qofdlkljbqov QKN o~Çá~å ~åÇ aÉÖêÉÉ jÉ~ëìêÉë çÑ ^åÖäÉë 80 QKO aÉÑáåáíáçåë ~åÇ dê~éÜë çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 81 QKP páÖåë çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 86 QKQ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë çÑ `çããçå ^åÖäÉë 87 QKR jçëí fãéçêí~åí cçêãìä~ë 88
http://fribok.blogspot.com/
v
QKS oÉÇìÅíáçå cçêãìä~ë 89 QKT mÉêáçÇáÅáíó çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 90 QKU oÉä~íáçåë ÄÉíïÉÉå qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 90 QKV ^ÇÇáíáçå ~åÇ pìÄíê~Åíáçå cçêãìä~ë 91 QKNM açìÄäÉ ^åÖäÉ cçêãìä~ë 92 QKNN jìäíáéäÉ ^åÖäÉ cçêãìä~ë 93 QKNO e~äÑ ^åÖäÉ cçêãìä~ë 94 QKNP e~äÑ ^åÖäÉ q~åÖÉåí fÇÉåíáíáÉë 94 QKNQ qê~åëÑçêãáåÖ çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ bñéêÉëëáçåë íç mêçÇìÅí 95 QKNR qê~åëÑçêãáåÖ çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ bñéêÉëëáçåë íç pìã 97 QKNS mçïÉêë çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 98 QKNT dê~éÜë çÑ fåîÉêëÉ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 99 QKNU mêáåÅáé~ä s~äìÉë çÑ fåîÉêëÉ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 102 QKNV oÉä~íáçåë ÄÉíïÉÉå fåîÉêëÉ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 103 QKOM qêáÖçåçãÉíêáÅ bèì~íáçåë 106 QKON oÉä~íáçåë íç eóéÉêÄçäáÅ cìåÅíáçåë 106 5 j^qof`bp ^ka abqbojfk^kqp RKN aÉíÉêãáå~åíë 107 RKO mêçéÉêíáÉë çÑ aÉíÉêãáå~åíë 109 RKP j~íêáÅÉë 110 RKQ léÉê~íáçåë ïáíÜ j~íêáÅÉë 111 RKR póëíÉãë çÑ iáåÉ~ê bèì~íáçåë 114 6 sb`qlop SKN sÉÅíçê `ççêÇáå~íÉë 118 SKO sÉÅíçê ^ÇÇáíáçå 120 SKP sÉÅíçê pìÄíê~Åíáçå 122 SKQ pÅ~äáåÖ sÉÅíçêë 122 SKR pÅ~ä~ê mêçÇìÅí 123 SKS sÉÅíçê mêçÇìÅí 125 SKT qêáéäÉ mêçÇìÅí 127 7 ^k^ivqf` dbljbqov TKN låÉ -aáãÉåëáçå~ä `ççêÇáå~íÉ póëíÉã 130
http://fribok.blogspot.com/
vi
TKO qïç -aáãÉåëáçå~ä `ççêÇáå~íÉ póëíÉã 131 TKP píê~áÖÜí iáåÉ áå mä~åÉ 139 TKQ `áêÅäÉ 149 TKR bääáéëÉ 152 TKS eóéÉêÄçä~ 154 TKT m~ê~Äçä~ 158 TKU qÜêÉÉ -aáãÉåëáçå~ä `ççêÇáå~íÉ póëíÉã 161 TKV mä~åÉ 165 TKNM píê~áÖÜí iáåÉ áå pé~ÅÉ 175 TKNN nì~ÇêáÅ pìêÑ~ÅÉë 180 TKNO péÜÉêÉ 189 8 afccbobkqf^i `^i`rirp UKN cìåÅíáçåë ~åÇ qÜÉáê dê~éÜë 191 UKO iáãáíë çÑ cìåÅíáçåë 208 UKP aÉÑáåáíáçå ~åÇ mêçéÉêíáÉë çÑ íÜÉ aÉêáî~íáîÉ 209 UKQ q~ÄäÉ çÑ aÉêáî~íáîÉë 211 UKR eáÖÜÉê lêÇÉê aÉêáî~íáîÉë 215 UKS ^ééäáÅ~íáçåë çÑ aÉêáî~íáîÉ 217 UKT aáÑÑÉêÉåíá~ä 221 UKU jìäíáî~êá~ÄäÉ cìåÅíáçåë 222 UKV aáÑÑÉêÉåíá~ä léÉê~íçêë 225 9 fkqbdo^i `^i`rirp VKN fåÇÉÑáåáíÉ fåíÉÖê~ä 227 VKO fåíÉÖê~äë çÑ o~íáçå~ä cìåÅíáçåë 228 VKP fåíÉÖê~äë çÑ fêê~íáçå~ä cìåÅíáçåë 231 VKQ fåíÉÖê~äë çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 237 VKR fåíÉÖê~äë çÑ eóéÉêÄçäáÅ cìåÅíáçåë 241 VKS fåíÉÖê~äë çÑ bñéçåÉåíá~ä ~åÇ içÖ~êáíÜãáÅ cìåÅíáçåë 242 VKT oÉÇìÅíáçå cçêãìä~ë 243 VKU aÉÑáåáíÉ fåíÉÖê~ä 247 VKV fãéêçéÉê fåíÉÖê~ä 253 VKNM açìÄäÉ fåíÉÖê~ä 257 VKNN qêáéäÉ fåíÉÖê~ä 269
http://fribok.blogspot.com/
vii
VKNO iáåÉ fåíÉÖê~ä 275 VKNP pìêÑ~ÅÉ fåíÉÖê~ä 285 10 afccbobkqf^i bnr^qflkp NMKN cáêëí lêÇÉê lêÇáå~êó aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåë 295 NMKO pÉÅçåÇ lêÇÉê lêÇáå~êó aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåë 298 NMKP pçãÉ m~êíá~ä aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåë 302 11 pbofbp NNKN ^êáíÜãÉíáÅ pÉêáÉë 304 NNKO dÉçãÉíêáÅ pÉêáÉë 305 NNKP pçãÉ cáåáíÉ pÉêáÉë 305 NNKQ fåÑáåáíÉ pÉêáÉë 307 NNKR mêçéÉêíáÉë çÑ `çåîÉêÖÉåí pÉêáÉë 307 NNKS `çåîÉêÖÉåÅÉ qÉëíë 308 NNKT ^äíÉêå~íáåÖ pÉêáÉë 310 NNKU mçïÉê pÉêáÉë 311 NNKV aáÑÑÉêÉåíá~íáçå ~åÇ fåíÉÖê~íáçå çÑ mçïÉê pÉêáÉë 312 NNKNM q~óäçê ~åÇ j~Åä~ìêáå pÉêáÉë 313 NNKNN mçïÉê pÉêáÉë bñé~åëáçåë Ñçê pçãÉ cìåÅíáçåë 314 NNKNO _áåçãá~ä pÉêáÉë 316 NNKNP cçìêáÉê pÉêáÉë 316 12 mol_^_fifqv NOKN mÉêãìí~íáçåë ~åÇ `çãÄáå~íáçåë 318 NOKO mêçÄ~Äáäáíó cçêãìä~ë 319
http://fribok.blogspot.com/
1
Chapter 1
Number Sets
1.1 Set Identities
pÉíëW ^I _I `råáîÉêë~ä ëÉíW f`çãéäÉãÉåí W ^′mêçéÉê ëìÄëÉíW _^⊂bãéíó ëÉíW ∅råáçå çÑ ëÉíëW _^∪fåíÉêëÉÅíáçå çÑ ëÉíëW _^∩aáÑÑÉêÉåÅÉ çÑ ëÉíëW _y^
1. f^⊂
2. ^^⊂
3. _^ = áÑ _^⊂ ~åÇ ^_⊂ .
4. bãéíó pÉí^⊂∅
5. råáçå çÑ pÉíë{ }_ñçê^ñöñ_^` ∈∈=∪=
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 1. NUMBER SETS
2
Figure 1.
6. `çããìí~íáîáíó^__^ ∪=∪
7. ^ëëçÅá~íáîáíó( ) ( ) `_^`_^ ∪∪=∪∪
8. fåíÉêëÉÅíáçå çÑ pÉíë{ }_ñ~åÇ^ñöñ_^` ∈∈=∪=
Figure 2.
9. `çããìí~íáîáíó^__^ ∩=∩
10. ^ëëçÅá~íáîáíó( ) ( ) `_^`_^ ∩∩=∩∩
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 1. NUMBER SETS
3
11. aáëíêáÄìíáîáíó( ) ( ) ( )`^_^`_^ ∪∩∪=∩∪ I( ) ( ) ( )`^_^`_^ ∩∪∩=∪∩ K
12. fÇÉãéçíÉåÅó^^^ =∩ I^^^ =∪
13. açãáå~íáçå∅=∅∩^ I
ff^ =∪
14. fÇÉåíáíó^^ =∅∪ I
^f^ =∩
15. `çãéäÉãÉåí{ }^ñöfñ^ ∉∈=′
16. `çãéäÉãÉåí çÑ fåíÉêëÉÅíáçå ~åÇ råáçå f^^ =′∪ I∅=′∩^^
17. aÉ jçêÖ~å∞ë i~ïë
( ) _^_^ ′∩′=′∪ I
( ) _^_^ ′∪′=′∩
18. aáÑÑÉêÉåÅÉ çÑ pÉíë { }^ñ~åÇ_ñöñ^y_` ∉∈==
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 1. NUMBER SETS
4
Figure 3.
19. ( )_^y_^y_ ∩=
20. ^_^y_ ′∩=
21. ∅=^y^
22. ^_y^ = áÑ ∅=∩_^ .
Figure 4.
23. ( ) ( ) ( )`_y`^`_y^ ∩∩=∩ 24. ^yf^ =′ 25. `~êíÉëá~å mêçÇìÅí
( ){ }_ó~åÇ^ñöóIñ_^` ∈∈=×=
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 1. NUMBER SETS
5
1.2 Sets of Numbers
k~íìê~ä åìãÄÉêëW ktÜçäÉ åìãÄÉêëW Mk
fåíÉÖÉêëW wmçëáíáîÉ áåíÉÖÉêëW +wkÉÖ~íáîÉ áåíÉÖÉêëW −wo~íáçå~ä åìãÄÉêëW noÉ~ä åìãÄÉêëW o`çãéäÉñ åìãÄÉêëW `
26. k~íìê~ä kìãÄÉêë `çìåíáåÖ åìãÄÉêëW { }KIPIOINk = K
27. tÜçäÉ kìãÄÉêë
`çìåíáåÖ åìãÄÉêë ~åÇ òÉêçW { }KIPIOINIMkM = K
28. fåíÉÖÉêë tÜçäÉ åìãÄÉêë ~åÇ íÜÉáê çééçëáíÉë ~åÇ òÉêçW
{ }KIPIOINkw ==+ I
{ }NIOIPIw −−−=− K I
{ } { }KK IPIOINIMINIOIPIwMww −−−=∪∪= +− K
29. o~íáçå~ä kìãÄÉêë oÉéÉ~íáåÖ çê íÉêãáå~íáåÖ ÇÉÅáã~äëW
≠∈∈== MÄ~åÇwÄ~åÇw~~åÇ
Ä
~ñöñn K
30. fêê~íáçå~ä kìãÄÉêë kçåêÉéÉ~íáåÖ ~åÇ åçåíÉêãáå~íáåÖ ÇÉÅáã~äëK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 1. NUMBER SETS
6
31. oÉ~ä kìãÄÉêëråáçå çÑ ê~íáçå~ä ~åÇ áêê~íáçå~ä åìãÄÉêëW oK
32. `çãéäÉñ kìãÄÉêë { }oó~åÇoñöáóñ` ∈∈+= I
ïÜÉêÉ á áë íÜÉ áã~Öáå~êó ìåáíK
33. `onwk ⊂⊂⊂⊂
Figure 5.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 1. NUMBER SETS
7
1.3 Basic Identities
oÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI Å
34. ^ÇÇáíáîÉ fÇÉåíáíó~M~ =+
35. ^ÇÇáíáîÉ fåîÉêëÉ( ) M~~ =−+
36. `çããìí~íáîÉ çÑ ^ÇÇáíáçå~ÄÄ~ +=+
37. ^ëëçÅá~íáîÉ çÑ ^ÇÇáíáçå( ) ( )ÅÄ~ÅÄ~ ++=++
38. aÉÑáåáíáçå çÑ pìÄíê~Åíáçå( )Ä~Ä~ −+=−
39. jìäíáéäáÅ~íáîÉ fÇÉåíáíó~N~ =⋅
40. jìäíáéäáÅ~íáîÉ fåîÉêëÉ
N~
N~ =⋅ I M~ ≠
41. jìäíáéäáÅ~íáçå qáãÉë M MM~ =⋅
42. `çããìí~íáîÉ çÑ jìäíáéäáÅ~íáçå~ÄÄ~ ⋅=⋅
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 1. NUMBER SETS
8
43. ^ëëçÅá~íáîÉ çÑ jìäíáéäáÅ~íáçå( ) ( )ÅÄ~ÅÄ~ ⋅⋅=⋅⋅
44. aáëíêáÄìíáîÉ i~ï( ) ~Å~ÄÅÄ~ +=+
45. aÉÑáåáíáçå çÑ aáîáëáçå
Ä
N~
Ä
~⋅=
1.4 Complex Numbers
k~íìê~ä åìãÄÉêW åfã~Öáå~êó ìåáíW á`çãéäÉñ åìãÄÉêW òoÉ~ä é~êíW ~I Åfã~Öáå~êó é~êíW ÄáI ÇájçÇìäìë çÑ ~ ÅçãéäÉñ åìãÄÉêW êI Nê I Oê^êÖìãÉåí çÑ ~ ÅçãéäÉñ åìãÄÉêW ϕ I Nϕ I Oϕ
ááN = ááR = áá NåQ =+
NáO −= NáS −= Ná OåQ −=+
ááP −= ááT −= áá PåQ −=+
46.
NáQ = NáU = Ná åQ =
47. Äá~ò +=
48. `çãéäÉñ mä~åÉ
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 1. NUMBER SETS
9
Figure 6.
49. ( ) ( ) ( ) ( )áÇÄÅ~ÇáÅÄá~ +++=+++
50. ( ) ( ) ( ) ( )áÇÄÅ~ÇáÅÄá~ −+−=+−+
51. ( )( ) ( ) ( )áÄÅ~ÇÄÇ~ÅÇáÅÄá~ ++−=++
52. áÇÅ
~ÇÄÅ
ÇÅ
ÄÇ~Å
ÇáÅ
Äá~OOOO⋅
+−
+++
=++
53. `çåàìÖ~íÉ `çãéäÉñ kìãÄÉêë
Äá~Äá~|||||||
−=+
54. ϕ= Åçëê~ I ϕ= ëáåêÄ
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 1. NUMBER SETS
10
Figure 7.
55. mçä~ê mêÉëÉåí~íáçå çÑ `çãéäÉñ kìãÄÉêë( )ϕ+ϕ=+ ëáåáÅçëêÄá~
56. jçÇìäìë ~åÇ ^êÖìãÉåí çÑ ~ `çãéäÉñ kìãÄÉêfÑ Äá~ + áë ~ ÅçãéäÉñ åìãÄÉêI íÜÉå
OO Ä~ê += EãçÇìäìëFI
~
Ä~êÅí~å=ϕ E~êÖìãÉåíFK
57. mêçÇìÅí áå mçä~ê oÉéêÉëÉåí~íáçå( ) ( )OOONNNON ëáåáÅçëêëáåáÅçëêòò ϕ+ϕ⋅ϕ+ϕ=⋅
( ) ( )[ ]ONONON ëáåáÅçëêê ϕ+ϕ+ϕ+ϕ=
58. `çåàìÖ~íÉ kìãÄÉêë áå mçä~ê oÉéêÉëÉåí~íáçå
( ) ( ) ( )[ ]ϕ−+ϕ−=ϕ+ϕ ëáåáÅçëêëáåáÅçëê|||||||||||||||||||||
59. fåîÉêëÉ çÑ ~ `çãéäÉñ kìãÄÉê áå mçä~ê oÉéêÉëÉåí~íáçå
( ) ( ) ( )[ ]ϕ−+ϕ−=ϕ+ϕ
ëáåáÅçëê
N
ëáåáÅçëê
N
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 1. NUMBER SETS
11
60. nìçíáÉåí áå mçä~ê oÉéêÉëÉåí~íáçå( )( ) ( ) ( )[ ]ONON
O
N
OOO
NNN
O
N ëáåáÅçëê
ê
ëáåáÅçëê
ëáåáÅçëê
ò
òϕ−ϕ+ϕ−ϕ=
ϕ+ϕϕ+ϕ
=
61. mçïÉê çÑ ~ `çãéäÉñ kìãÄÉê
( )[ ] ( ) ( )[ ]ϕ+ϕ=ϕ+ϕ= åëáåáåÅçëêëáåáÅçëêò ååå
62. cçêãìä~ ±aÉ jçáîêÉ≤
( ) ( ) ( )ϕ+ϕ=ϕ+ϕ åëáåáåÅçëëáåáÅçë å
63. kíÜ oççí çÑ ~ `çãéäÉñ kìãÄÉê
( )
π+ϕ
+π+ϕ
=ϕ+ϕ=å
âOëáåá
å
âOÅçëêëáåáÅçëêò ååå I
ïÜÉêÉNåIIOINIMâ −= K K
64. bìäÉê∞ë cçêãìä~ñëáåáñÅçëÉáñ +=
http://fribok.blogspot.com/
12
Chapter 2
Algebra
2.1 Factoring Formulas
oÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI Åk~íìê~ä åìãÄÉêW å
65. ( )( )Ä~Ä~Ä~ OO −+=−
66. ( )( )OOPP Ä~Ä~Ä~Ä~ ++−=−
67. ( )( )OOPP Ä~Ä~Ä~Ä~ +−+=+
68. ( )( ) ( )( )( )OOOOOOQQ Ä~Ä~Ä~Ä~Ä~Ä~ ++−=+−=−
69. ( )( )QPOOPQRR Ä~ÄÄ~Ä~~Ä~Ä~ ++++−=−
70. ( )( )QPOOPQRR Ä~ÄÄ~Ä~~Ä~Ä~ +−+−+=+
71. fÑ å áë çÇÇI íÜÉå( )( )NåOåOPåOåNååå Ä~ÄÄ~Ä~~Ä~Ä~ −−−−− +−−+−+=+ K K
72. fÑ å áë ÉîÉåI íÜÉå( )( )NåOåOPåOåNååå Ä~ÄÄ~Ä~~Ä~Ä~ −−−−− +++++−=− K I
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 2. ALGEBRA
13
( )( )NåOåOPåOåNååå Ä~ÄÄ~Ä~~Ä~Ä~ −−−−− −+−+−+=+ K K
2.2 Product Formulas oÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI ÅtÜçäÉ åìãÄÉêëW åI â
73. ( ) OOO Ä~ÄO~Ä~ +−=−
74. ( ) OOO Ä~ÄO~Ä~ ++=+
75. ( ) POOPP Ä~ÄPÄ~P~Ä~ −+−=−
76. ( ) POOPP Ä~ÄPÄ~P~Ä~ +++=+
77. ( ) QPOOPQQ Ä~ÄQÄ~SÄ~Q~Ä~ +−+−=−
78. ( ) QPOOPQQ Ä~ÄQÄ~SÄ~Q~Ä~ ++++=+
79. _áåçãá~ä cçêãìä~
( ) IÄ`~Ä`Ä~`Ä~`~`Ä~ åå
åNåNå
åOOåO
åNåN
ååM
åå +++++=+ −−
−− K
ïÜÉêÉ ( )>âå>â
>å`â
å
−= ~êÉ íÜÉ Äáåçãá~ä ÅçÉÑÑáÅáÉåíëK
80. ( ) ÄÅO~ÅO~ÄOÅÄ~ÅÄ~ OOOO +++++=++
81. ( ) ++++++=+++++ OOOOOO îìÅÄ~îìÅÄ~ KK
( )ìîÄîÄìÄÅ~î~ì~Å~ÄO +++++++++++ KKK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 2. ALGEBRA
14
2.3 Powers
_~ëÉë EéçëáíáîÉ êÉ~ä åìãÄÉêëFW ~I ÄmçïÉêë Eê~íáçå~ä åìãÄÉêëFW åI ã
82. åãåã ~~~ +=
83. åã
å
ã
~~
~ −=
84. ( ) ããã Ä~~Ä =
85. ã
ãã
Ä
~
Ä
~=
86. ( ) ãååã ~~ =
87. N~M = I M~ ≠
88. N~N =
89. ã
ã
~
N~ =−
90. å ãå
ã
~~ =
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 2. ALGEBRA
15
2.4 Roots
_~ëÉëW ~I ÄmçïÉêë Eê~íáçå~ä åìãÄÉêëFW åI ã
MÄI~ ≥ Ñçê ÉîÉå êççíë E âOå = I kâ∈ F
91. ååå Ä~~Ä =
92. åã åããå Ä~Ä~ =
93. å
å
å
Ä
~
Ä
~= I MÄ ≠
94. åãå
ã
åã å
åã ã
ã
å
Ä
~
Ä
~
Ä
~== I MÄ ≠ K
95. ( ) å ãéé
å ã ~~ =
96. ( ) ~~åå =
97. åé ãéå ã ~~ =
98. å
ãå ã ~~ =
99. ãåã å ~~ =
100. ( ) å ããå ~~ =
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 2. ALGEBRA
16
101. ~
~
~
N å Nå
å
−
= I M~ ≠ K
102. O
Ä~~
O
Ä~~Ä~
OO −−±
−+=±
103. Ä~
Ä~
Ä~
N
−=
±m
2.5 Logarithms
mçëáíáîÉ êÉ~ä åìãÄÉêëW ñI óI ~I ÅI âk~íìê~ä åìãÄÉêW å
104. aÉÑáåáíáçå çÑ içÖ~êáíÜãñäçÖó ~= áÑ ~åÇ çåäó áÑ ó~ñ = I M~ > I N~ ≠ K
105. MNäçÖ~ =
106. N~äçÖ~ =
107.
<∞+>∞−
=N~áÑ
N~áÑMäçÖ~
108. ( ) óäçÖñäçÖñóäçÖ ~~~ +=
109. óäçÖñäçÖó
ñäçÖ ~~~ −=
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 2. ALGEBRA
17
110. ( ) ñäçÖåñäçÖ ~å
~ =
111. ñäçÖå
NñäçÖ ~
å~ =
112. ÅäçÖñäçÖ~äçÖ
ñäçÖñäçÖ ~Å
Å
Å~ ⋅== I MÅ > I NÅ ≠ K
113. ~äçÖ
NÅäçÖ
Å~ =
114. ñäçÖ~~ñ =
115. içÖ~êáíÜã íç _~ëÉ NMñäçÖñäçÖNM =
116. k~íìê~ä içÖ~êáíÜãñäåñäçÖÉ = I
ïÜÉêÉ KTNUOUNUOUKOâ
NNäáãÉ
â
â=
+=
∞→
117. ñäåQPQOVQKMñäåNMäå
NñäçÖ ==
118. ñäçÖPMORURKOñäçÖÉäçÖ
Nñäå ==
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 2. ALGEBRA
18
2.6 Equations
oÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI ÅI éI èI ìI îpçäìíáçåëW Nñ I Oñ I Nó I Oó I Pó
119. iáåÉ~ê bèì~íáçå áå låÉ s~êá~ÄäÉ
MÄ~ñ =+ I~
Äñ −= K
120. nì~Çê~íáÅ bèì~íáçå
MÅÄñ~ñO =++ I~O
~ÅQÄÄñ
O
OIN
−±−= K
121. aáëÅêáãáå~åí
~ÅQÄa O −=
122. sáÉíÉ∞ë cçêãìä~ë
fÑ MèéññO =++ I íÜÉå
=−=+
èññ
éññ
ON
ON K
123. MÄñ~ñ O =+ I MñN = I~
ÄñO −= K
124. MÅ~ñ O =+ I~
Åñ OIN −±= K
125. `ìÄáÅ bèì~íáçåK `~êÇ~åç∞ë cçêãìä~KMèéóóP =++ I
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 2. ALGEBRA
19
îìóN += I ( ) ( ) áîìO
Pîì
O
Nó PIO +±+−= I
ïÜÉêÉ
P
OO
P
é
O
è
O
èì
+
+−= I P
OO
P
é
O
è
O
èî
+
−−= K
2.7 Inequalities s~êá~ÄäÉëW ñI óI ò
oÉ~ä åìãÄÉêëW
åPON ~II~I~I~
ÇIÅIÄI~
KI ãI å
aÉíÉêãáå~åíëW aI ña I óa I òa
126. fåÉèì~äáíáÉëI fåíÉêî~ä kçí~íáçåë ~åÇ dê~éÜë
fåÉèì~äáíó fåíÉêî~ä kçí~íáçå dê~éÜÄñ~ ≤≤ [ ]ÄI~
Äñ~ ≤< ( ]ÄI~
Äñ~ <≤ [ )ÄI~
Äñ~ << ( )ÄI~
Äñ ≤<∞− IÄñ ≤
( ]ÄI∞−
Äñ <<∞− IÄñ <
( )ÄI∞−
∞<≤ ñ~ I~ñ ≥
[ )∞I~
∞<< ñ~ I~ñ >
( )∞I~
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 2. ALGEBRA
20
127. fÑ Ä~ > I íÜÉå ~Ä < K
128. fÑ Ä~ > I íÜÉå MÄ~ >− çê M~Ä <− K
129. fÑ Ä~ > I íÜÉå ÅÄÅ~ +>+ K
130. fÑ Ä~ > I íÜÉå ÅÄÅ~ −>− K
131. fÑ Ä~ > ~åÇ ÇÅ > I íÜÉå ÇÄÅ~ +>+ K
132. fÑ Ä~ > ~åÇ ÇÅ > I íÜÉå ÅÄÇ~ −>− K
133. fÑ Ä~ > ~åÇ Mã > I íÜÉå ãÄã~ > K
134. fÑ Ä~ > ~åÇ Mã > I íÜÉåã
Ä
ã
~> K
135. fÑ Ä~ > ~åÇ Mã < I íÜÉå ãÄã~ < K
136. fÑ Ä~ > ~åÇ Mã < I íÜÉåã
Ä
ã
~< K
137. fÑ Ä~M << ~åÇ Må > I íÜÉå åå Ä~ < K
138. fÑ Ä~M << ~åÇ Må < I íÜÉå åå Ä~ > K
139. fÑ Ä~M << I íÜÉå åå Ä~ < K
140. O
Ä~~Ä
+≤ I
ïÜÉêÉ M~ > I MÄ > X ~å Éèì~äáíó áë î~äáÇ çåäó áÑ Ä~ = K
141. O~
N~ ≥+ I ïÜÉêÉ M~ > X ~å Éèì~äáíó í~âÉë éä~ÅÉ çåäó ~í N~ = K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 2. ALGEBRA
21
142. å
~~~~~~ åONå
åON
+++≤
KK I ïÜÉêÉ M~II~I~ åON >K K
143. fÑ MÄ~ñ >+ ~åÇ M~ > I íÜÉå~
Äñ −> K
144. fÑ MÄ~ñ >+ ~åÇ M~ < I íÜÉå~
Äñ −< K
145. MÅÄñ~ñ O >++
M~ > M~ <
Ma>
Nññ < I Oññ > ON ñññ <<
Ma=
ññN < I Nññ > ∅∈ñ
Ma<
∞<<∞− ñ ∅∈ñ
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 2. ALGEBRA
22
146. Ä~Ä~ +≤+
147. fÑ ~ñ < I íÜÉå ~ñ~ <<− I ïÜÉêÉ M~ > K
148. fÑ ~ñ > I íÜÉå ~ñ −< ~åÇ ~ñ > I ïÜÉêÉ M~ > K
149. fÑ ~ñO < I íÜÉå ~ñ < I ïÜÉêÉ M~ > K
150. fÑ ~ñO > I íÜÉå ~ñ > I ïÜÉêÉ M~ > K
151. fÑ( )( ) MñÖ
ñÑ> I íÜÉå
( ) ( )( )
≠>⋅
MñÖ
MñÖñÑK
152. ( )( ) MñÖ
ñÑ< I íÜÉå
( ) ( )( )
≠<⋅
MñÖ
MñÖñÑK
2.8 Compound Interest Formulas
cìíìêÉ î~äìÉW ^fåáíá~ä ÇÉéçëáíW `^ååì~ä ê~íÉ çÑ áåíÉêÉëíW êkìãÄÉê çÑ óÉ~êë áåîÉëíÉÇW íkìãÄÉê çÑ íáãÉë ÅçãéçìåÇÉÇ éÉê óÉ~êW å
153. dÉåÉê~ä `çãéçìåÇ fåíÉêÉëí cçêãìä~åí
å
êN`^
+=
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 2. ALGEBRA
23
154. páãéäáÑáÉÇ `çãéçìåÇ fåíÉêÉëí cçêãìä~fÑ áåíÉêÉëí áë ÅçãéçìåÇÉÇ çåÅÉ éÉê óÉ~êI íÜÉå íÜÉ éêÉîáçìëÑçêãìä~ ëáãéäáÑáÉë íçW
( )íêN`^ += K
155. `çåíáåìçìë `çãéçìåÇ fåíÉêÉëífÑ áåíÉêÉëí áë ÅçãéçìåÇÉÇ Åçåíáåì~ääó E ∞→å FI íÜÉå
êí`É^ = K
http://fribok.blogspot.com/
24
Chapter 3
Geometry
3.1 Right Triangle
iÉÖë çÑ ~ êáÖÜí íêá~åÖäÉW ~I ÄeóéçíÉåìëÉW Å^äíáíìÇÉW ÜjÉÇá~åëW ~ã I Äã I Åã
^åÖäÉëW α Iβo~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW oo~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê^êÉ~W p
Figure 8.
156. °=β+α VM
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
25
157. β==α ÅçëÅ
~ëáå
158. β==α ëáåÅ
ÄÅçë
159. β==α ÅçíÄ
~í~å
160. β==α í~å~
ÄÅçí
161. β==α ÉÅÅçëÄ
ÅëÉÅ
162. β==α ëÉÅ~
ÅÉÅÅçë
163. móíÜ~ÖçêÉ~å qÜÉçêÉãOOO ÅÄ~ =+
164. ÑÅ~O = I ÖÅÄO = I
ïÜÉêÉ Ñ ~åÇ Å ~êÉ éêçàÉÅíáçåë çÑ íÜÉ äÉÖë ~ ~åÇ ÄI êÉëéÉÅ-íáîÉäóI çåíç íÜÉ ÜóéçíÉåìëÉ ÅK
Figure 9.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
26
165. ÑÖÜO = IïÜÉêÉ Ü áë íÜÉ ~äíáíìÇÉ Ñêçã íÜÉ êáÖÜí ~åÖäÉK
166. Q
~Äã
OOO
~ −= IQ
Ä~ã
OOO
Ä −= I
ïÜÉêÉ ~ã ~åÇ Äã ~êÉ íÜÉ ãÉÇá~åë íç íÜÉ äÉÖë ~ ~åÇ ÄK
Figure 10.
167. O
ÅãÅ = I
ïÜÉêÉ Åã áë íÜÉ ãÉÇá~å íç íÜÉ ÜóéçíÉåìëÉ ÅK
168. ÅãO
Åo ==
169. ÅÄ~
~Ä
O
ÅÄ~ê
++=
−+=
170. ÅÜ~Ä =
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
27
171. O
ÅÜ
O
~Äp ==
3.2 Isosceles Triangle
_~ëÉW ~iÉÖëW Ä_~ëÉ ~åÖäÉW βsÉêíÉñ ~åÖäÉW α^äíáíìÇÉ íç íÜÉ Ä~ëÉW ÜmÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p
Figure 11.
172. O
VMα
−°=β
173. Q
~ÄÜ
OOO −=
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
28
174. ÄO~i +=
175. α== ëáåO
Ä
O
~Üp
O
3.3 Equilateral Triangle
páÇÉ çÑ ~ Éèìáä~íÉê~ä íêá~åÖäÉW ~^äíáíìÇÉW Üo~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW oo~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW êmÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p
Figure 12.
176. O
P~Ü =
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
29
177. P
P~Ü
P
Oo ==
178. O
o
S
P~Ü
P
Nê ===
179. ~Pi =
180. Q
P~
O
~Üp
O
==
3.4 Scalene Triangle E^ íêá~åÖäÉ ïáíÜ åç íïç ëáÇÉë Éèì~äF
páÇÉë çÑ ~ íêá~åÖäÉW ~I ÄI Å
pÉãáéÉêáãÉíÉêWO
ÅÄ~é
++=
^åÖäÉë çÑ ~ íêá~åÖäÉW γβα II^äíáíìÇÉë íç íÜÉ ëáÇÉë ~I ÄI ÅW ÅÄ~ ÜIÜIÜ
jÉÇá~åë íç íÜÉ ëáÇÉë ~I ÄI ÅW ÅÄ~ ãIãIã
_áëÉÅíçêë çÑ íÜÉ ~åÖäÉë γβα II W ÅÄ~ íIíIí
o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW oo~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê^êÉ~W p
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
30
Figure 13.
181. °=γ+β+α NUM
182. ÅÄ~ >+ I~ÅÄ >+ IÄÅ~ >+ K
183. ÅÄ~ <− I
~ÅÄ <− I
ÄÅ~ <− K
184. jáÇäáåÉ
O
~è = I ~ööè K
Figure 14.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
31
185. i~ï çÑ `çëáåÉë
α−+= ÅçëÄÅOÅÄ~ OOO I
β−+= Åçë~ÅOÅ~Ä OOO I
γ−+= Åçë~ÄOÄ~Å OOO K
186. i~ï çÑ páåÉë
oOëáå
Å
ëáå
Ä
ëáå
~=
γ=
β=
αI
ïÜÉêÉ o áë íÜÉ ê~Çáìë çÑ íÜÉ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉK
187. pQ
~ÄÅ
ÜO
~Ä
ÜO
~Å
ÜO
ÄÅ
ëáåO
Å
ëáåO
Ä
ëáåO
~o
ÅÄ~
====γ
=β
=α
=
188. ( )( )( )é
ÅéÄé~éêO −−−= I
ÅÄ~ Ü
N
Ü
N
Ü
N
ê
N++= K
189. ( )( )ÄÅ
ÅéÄé
Oëáå
−−=
αI
( )ÄÅ
~éé
OÅçë
−=
αI
( )( )( )~éé
ÅéÄé
Oí~å
−−−
=α
K
190. ( )( )( )ÅéÄé~éé~
OÜ~ −−−= I
( )( )( )ÅéÄé~ééÄ
OÜÄ −−−= I
( )( )( )ÅéÄé~ééÅ
OÜÅ −−−= K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
32
191. β=γ= ëáåÅëáåÄÜ~ I
α=γ= ëáåÅëáå~ÜÄ I
α=β= ëáåÄëáå~ÜÅ K
192. Q
~
O
ÅÄã
OOOO~ −
+= I
Q
Ä
O
Å~ã
OOOOÄ −
+= I
Q
Å
O
Ä~ã
OOOOÅ −
+= K
Figure 15.
193. ~ãP
O^j = I Äã
P
O_j = I Åã
P
O`j = EcáÖKNRFK
194. ( )( )O
O~
ÅÄ
~éÄÅéQí
+−
= I
( )( )O
OÄ
Å~
Äé~ÅéQí
+−
= I
( )( )O
OÅ
Ä~
Åé~ÄéQí
+−
= K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
33
195. O
ÅÜ
O
ÄÜ
O
~Üp ÅÄ~ === I
O
ëáåÄÅ
O
ëáå~Å
O
ëáå~Äp
α=
β=
γ= I
( )( )( )ÅéÄé~éép −−−= EeÉêçå∞ë cçêãìä~FI
éêp = I
oQ
~ÄÅp = I
γβα= ëáåëáåëáåoOp O I
Oí~å
Oí~å
Oí~åép O γβα
= K
3.5 Square páÇÉ çÑ ~ ëèì~êÉW ~aá~Öçå~äW Ço~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW oo~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW êmÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p
Figure 16.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
34
196. O~Ç =
197. O
O~
O
Ço ==
198. O
~ê =
199. ~Qi =
200. O~p =
3.6 Rectangle
páÇÉë çÑ ~ êÉÅí~åÖäÉW ~I Äaá~Öçå~äW Ço~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW omÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p
Figure 17.
201. OO Ä~Ç +=
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
35
202. O
Ço =
203. ( )Ä~Oi +=
204. ~Äp =
3.7 Parallelogram
páÇÉë çÑ ~ é~ê~ääÉäçÖê~ãW ~I Äaá~Öçå~äëW ON ÇIÇ`çåëÉÅìíáîÉ ~åÖäÉëW βαI^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ Çá~Öçå~äëW ϕ^äíáíìÇÉW ÜmÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p
Figure 18.
205. °=β+α NUM
206. ( )OOOO
ON Ä~OÇÇ +=+
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
36
207. β=α= ëáåÄëáåÄÜ
208. ( )Ä~Oi +=
209. α== ëáå~Ä~Üp I
ϕ= ëáåÇÇO
Np ON K
3.8 Rhombus
páÇÉ çÑ ~ êÜçãÄìëW ~aá~Öçå~äëW ON ÇIÇ`çåëÉÅìíáîÉ ~åÖäÉëW βαI^äíáíìÇÉW eo~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW êmÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p
Figure 19.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
37
210. °=β+α NUM
211. OOO
ON ~QÇÇ =+
212. ~O
ÇÇëáå~Ü ON=α=
213. O
ëáå~
~Q
ÇÇ
O
Üê ON α
===
214. ~Qi =
215. α== ëáå~~Üp O I
ONÇÇO
Np = K
3.9 Trapezoid
_~ëÉë çÑ ~ íê~éÉòçáÇW ~I ÄjáÇäáåÉW è^äíáíìÇÉW Ü^êÉ~W p
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
38
Figure 20.
216. O
Ä~è
+=
217. èÜÜO
Ä~p =⋅
+=
3.10 Isosceles Trapezoid
_~ëÉë çÑ ~ íê~éÉòçáÇW ~I ÄiÉÖW ÅjáÇäáåÉW è^äíáíìÇÉW Üaá~Öçå~äW Ço~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o^êÉ~W p
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
39
Figure 21.
218. O
Ä~è
+=
219. OÅ~ÄÇ +=
220. ( )OO ~ÄQ
NÅÜ −−=
221. ( )( )Ä~ÅOÄ~ÅO
Å~ÄÅo
O
−++−+
=
222. èÜÜO
Ä~p =⋅
+=
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
40
3.11 Isosceles Trapezoid with Inscribed Circle
_~ëÉë çÑ ~ íê~éÉòçáÇW ~I ÄiÉÖW ÅjáÇäáåÉW è^äíáíìÇÉW Üaá~Öçå~äW Ço~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW oo~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW êmÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p
Figure 22.
223. ÅOÄ~ =+
224. ÅO
Ä~è =
+=
225. OOO ÅÜÇ +=
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
41
226. O
~Ä
O
Üê ==
227. ~
ÄS
Ä
~
U
Ä~ÅÜ
ÜO
Å
~Ä
ÅN
O
Å
êQ
ÅÇ
ÜO
ÅÇo OO
O
+++
=+=+===
228. ( ) ÅQÄ~Oi =+=
229. ( )O
iêÅÜèÜ
O
~ÄÄ~Ü
O
Ä~p ===
+=⋅
+=
3.12 Trapezoid with Inscribed Circle
_~ëÉë çÑ ~ íê~éÉòçáÇW ~I Äi~íÉê~ä ëáÇÉëW ÅI ÇjáÇäáåÉW è^äíáíìÇÉW Üaá~Öçå~äëW ON ÇIÇ^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ Çá~Öçå~äëW ϕo~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW êo~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW omÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
42
Figure 23.
230. ÇÅÄ~ +=+
231. O
ÇÅ
O
Ä~è
+=
+=
232. ( ) ( )ÇÅOÄ~Oi +=+=
233. èÜÜO
ÇÅÜ
O
Ä~p =⋅
+=⋅
+= I
ϕ= ëáåÇÇO
Np ON K
3.13 Kite
páÇÉë çÑ ~ âáíÉW ~I Äaá~Öçå~äëW ON ÇIÇ^åÖäÉëW γβα IImÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
43
Figure 24.
234. °=γ+β+α PSMO
235. ( )Ä~Oi +=
236. O
ÇÇp ON=
3.14 Cyclic Quadrilateral páÇÉë çÑ ~ èì~Çêáä~íÉê~äW ~I ÄI ÅI Çaá~Öçå~äëW ON ÇIÇ^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ Çá~Öçå~äëW ϕfåíÉêå~ä ~åÖäÉëW δγβα IIIo~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW omÉêáãÉíÉêW ipÉãáéÉêáãÉíÉêW é^êÉ~W p
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
44
Figure 25.
237. °=δ+β=γ+α NUM
238. míçäÉãó∞ë qÜÉçêÉã
ONÇÇÄÇ~Å =+
239. ÇÅÄ~i +++=
240. ( )( )( )( )( )( )( )ÇéÅéÄé~é
ÅÇ~ÄÄÅ~ÇÄÇ~Å
Q
No
−−−−+++
= I
ïÜÉêÉO
ié = K
241. ϕ= ëáåÇÇO
Np ON I
( )( )( )( )ÇéÅéÄé~ép −−−−= I
ïÜÉêÉO
ié = K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
45
3.15 Tangential Quadrilateral
páÇÉë çÑ ~ èì~Çêáä~íÉê~äW ~I ÄI ÅI Çaá~Öçå~äëW ON ÇIÇ^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ Çá~Öçå~äëW ϕo~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW êmÉêáãÉíÉêW ipÉãáéÉêáãÉíÉêW é^êÉ~W p
Figure 26.
242. ÇÄÅ~ +=+
243. ( ) ( )ÇÄOÅ~OÇÅÄ~i +=+=+++=
244. ( ) ( )
éO
éÄ~Ä~ÇÇê
OOOO
ON −+−−
= I
ïÜÉêÉO
ié = K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
46
245. ϕ== ëáåÇÇO
Néêp ON
3.16 General Quadrilateral
páÇÉë çÑ ~ èì~Çêáä~íÉê~äW ~I ÄI ÅI Çaá~Öçå~äëW ON ÇIÇ^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ Çá~Öçå~äëW ϕfåíÉêå~ä ~åÖäÉëW δγβα IIImÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p
Figure 27.
246. °=δ+γ+β+α PSM
247. ÇÅÄ~i +++=
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
47
248. ϕ= ëáåÇÇO
Np ON
3.17 Regular Hexagon
páÇÉW ~fåíÉêå~ä ~åÖäÉW αpä~åí ÜÉáÖÜíW ão~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW êo~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW omÉêáãÉíÉêW ipÉãáéÉêáãÉíÉêW é^êÉ~W p
Figure 28.
249. °=α NOM
250. O
P~ãê ==
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
48
251. ~o =
252. ~Si =
253. O
PP~éêp
O
== I
ïÜÉêÉO
ié = K
3.18 Regular Polygon
páÇÉW ~kìãÄÉê çÑ ëáÇÉëW åfåíÉêå~ä ~åÖäÉW αpä~åí ÜÉáÖÜíW ão~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW êo~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW omÉêáãÉíÉêW ipÉãáéÉêáãÉíÉêW é^êÉ~W p
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
49
Figure 29.
254. °⋅−
=α NUMO
Oå
255. °⋅−
=α NUMO
Oå
256.
åëáåO
~o
π=
257. Q
~o
åí~åO
~ãê
OO −=
π==
258. å~i =
259. å
Oëáå
O
åop
O π= I
Q
~oééêp
OO −== I
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
50
ïÜÉêÉO
ié = K
3.19 Circle
o~ÇáìëW oaá~ãÉíÉêW Ç`ÜçêÇW ~pÉÅ~åí ëÉÖãÉåíëW ÉI Ñq~åÖÉåí ëÉÖãÉåíW Ö`Éåíê~ä ~åÖäÉW αfåëÅêáÄÉÇ ~åÖäÉW βmÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p
260. O
ëáåoO~α
=
Figure 30.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
51
261. ONON ÄÄ~~ =
Figure 31.
262. NN ÑÑÉÉ =
Figure 32.
263. NO ÑÑÖ =
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
52
Figure 33.
264. O
α=β
Figure 34.
265. ÇoOi π=π=
266. O
io
Q
Çop
OO =
π=π=
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
53
3.20 Sector of a Circle
o~Çáìë çÑ ~ ÅáêÅäÉW o^êÅ äÉåÖíÜW ë`Éåíê~ä ~åÖäÉ Eáå ê~Çá~åëFW ñ`Éåíê~ä ~åÖäÉ Eáå ÇÉÖêÉÉëFW αmÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p
Figure 35.
267. oñë =
268. °απ
=NUM
oë
269. oOëi +=
270. °απ
===PSM
o
O
ño
O
oëp
OO
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
54
3.21 Segment of a Circle
o~Çáìë çÑ ~ ÅáêÅäÉW o^êÅ äÉåÖíÜW ë`ÜçêÇW ~`Éåíê~ä ~åÖäÉ Eáå ê~Çá~åëFW ñ`Éåíê~ä ~åÖäÉ Eáå ÇÉÖêÉÉëFW αeÉáÖÜí çÑ íÜÉ ëÉÖãÉåíW ÜmÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p
Figure 36.
271. OÜÜoOO~ −=
272. OO ~oQO
NoÜ −−= I oÜ <
273. ~ëi +=
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
55
274. ( )[ ] ( )ñëáåñO
oëáå
NUMO
oÜo~ëo
O
Np
OO
−=
α−
°απ
=−−= I
Ü~P
Op ≈ K
3.22 Cube
bÇÖÉW ~aá~Öçå~äW Ço~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ëéÜÉêÉW êo~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ëéÜÉêÉW êpìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
Figure 37.
275. P~Ç =
276. O
~ê =
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
56
277. O
P~o =
278. O~Sp =
279. P~s =
3.23 Rectangular Parallelepiped
bÇÖÉëW ~I ÄI Åaá~Öçå~äW ÇpìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
Figure 38.
280. OOO ÅÄ~Ç ++=
281. ( )ÄÅ~Å~ÄOp ++=
282. ~ÄÅs =
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
57
3.24 Prism
i~íÉê~ä ÉÇÖÉW äeÉáÖÜíW Üi~íÉê~ä ~êÉ~W ip^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW _pqçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
Figure 39.
283. _i pOpp += K
284. i~íÉê~ä ^êÉ~ çÑ ~ oáÖÜí mêáëã( )ä~~~~p åPONi ++++= K
285. i~íÉê~ä ^êÉ~ çÑ ~å lÄäáèìÉ mêáëãéäpi = I
ïÜÉêÉ é áë íÜÉ éÉêáãÉíÉê çÑ íÜÉ Åêçëë ëÉÅíáçåK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
58
286. Üps _=
287. `~î~äáÉêáDë mêáåÅáéäÉdáîÉå íïç ëçäáÇë áåÅäìÇÉÇ ÄÉíïÉÉå é~ê~ääÉä éä~åÉëK fÑ ÉîÉêóéä~åÉ Åêçëë ëÉÅíáçå é~ê~ääÉä íç íÜÉ ÖáîÉå éä~åÉë Ü~ë íÜÉ ë~ãÉ~êÉ~ áå ÄçíÜ ëçäáÇëI íÜÉå íÜÉ îçäìãÉë çÑ íÜÉ ëçäáÇë ~êÉ Éèì~äK
3.25 Regular Tetrahedron
qêá~åÖäÉ ëáÇÉ äÉåÖíÜW ~eÉáÖÜíW Ü^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW _ppìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
Figure 40.
288. ~P
OÜ =
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
59
289. Q
~Pp
O
_ =
290. O~Pp =
291. OS
~Üp
P
Ns
P
_ == K
3.26 Regular Pyramid
páÇÉ çÑ Ä~ëÉW ~i~íÉê~ä ÉÇÖÉW ÄeÉáÖÜíW Üpä~åí ÜÉáÖÜíW ãkìãÄÉê çÑ ëáÇÉëW åpÉãáéÉêáãÉíÉê çÑ Ä~ëÉW éo~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ëéÜÉêÉ çÑ Ä~ëÉW ê^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW _pi~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W ipqçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
60
Figure 41.
292. Q
~Äã
OO −=
293.
åëáåO
~å
ëáåÄQÜ
OOO
π
−π
=
294. éã~ÄQå~Q
Nå~ã
O
Np OO
i =−==
295. éêp_ =
296. i_ ppp +=
297. éêÜP
NÜp
P
Ns _ ==
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
61
3.27 Frustum of a Regular Pyramid
_~ëÉ ~åÇ íçé ëáÇÉ äÉåÖíÜëW
åPON
åPON
ÄIIÄIÄIÄ
~II~I~I~
K
K
eÉáÖÜíW Üpä~åí ÜÉáÖÜíW ã^êÉ~ çÑ Ä~ëÉëW Np I Opi~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W ipmÉêáãÉíÉê çÑ Ä~ëÉëW Nm I OmpÅ~äÉ Ñ~ÅíçêW âqçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
Figure 42.
298. â~
Ä
~
Ä
~
Ä
~
Ä
~
Ä
å
å
P
P
O
O
N
N ====== K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
62
299. O
N
O âp
p=
300. ( )O
mmãp ON
i
+=
301. ONi pppp ++=
302. ( )OONN ppppP
Üs ++=
303. [ ]ON
O
N ââNP
Üp
~
Ä
~
ÄN
P
Üps ++=
++=
3.28 Rectangular Right Wedge
páÇÉë çÑ Ä~ëÉW ~I Äqçé ÉÇÖÉW ÅeÉáÖÜíW Üi~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W ip^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW _pqçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
63
Figure 43.
304. ( ) ( )OOOOi Å~ÜÄÄÜQÅ~
O
Np −++++=
305. ~Äp_ =
306. i_ ppp +=
307. ( )Å~OS
ÄÜs +=
3.29 Platonic Solids
bÇÖÉW ~o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW êo~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW opìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
64
308. cáîÉ mä~íçåáÅ pçäáÇëqÜÉ éä~íçåáÅ ëçäáÇë ~êÉ ÅçåîÉñ éçäóÜÉÇê~ ïáíÜ Éèìáî~äÉåíÑ~ÅÉë ÅçãéçëÉÇ çÑ ÅçåÖêìÉåí ÅçåîÉñ êÉÖìä~ê éçäóÖçåëK
pçäáÇ kìãÄÉêçÑ sÉêíáÅÉë
kìãÄÉêçÑ bÇÖÉë
kìãÄÉêçÑ c~ÅÉë
pÉÅíáçå
qÉíê~ÜÉÇêçå Q S Q PKOR`ìÄÉ U NO S PKOO
lÅí~ÜÉÇêçå S NO U PKOTfÅçë~ÜÉÇêçå NO PM OM PKOT
açÇÉÅ~ÜÉÇêçå OM PM NO PKOT
Octahedron
Figure 44.
309. S
S~ê =
310. O
O~o =
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
65
311. P~Op O=
312. P
O~s
P
=
Icosahedron
Figure 45.
313. ( )NO
RPP~ê
+=
314. ( )RROQ
~o +=
315. P~Rp O=
316. ( )NO
RP~Rs
P +=
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
66
Dodecahedron
Figure 46.
317. ( )O
RNNORNM~ê
+=
318. ( )Q
RNP~o
+=
319. ( )RORR~Pp O +=
320. ( )Q
RTNR~s
P +=
3.30 Right Circular Cylinder
o~Çáìë çÑ Ä~ëÉW oaá~ãÉíÉê çÑ Ä~ëÉW Ç
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
67
eÉáÖÜíW ei~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W ip^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW _pqçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
Figure 47.
321. oeOpi π=
322. ( )
+π=+π=+=
O
ÇeÇoeoOpOpp _i
323. eoeps O_ π==
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
68
3.31 Right Circular Cylinder with an Oblique Plane Face
o~Çáìë çÑ Ä~ëÉW oqÜÉ ÖêÉ~íÉëí ÜÉáÖÜí çÑ ~ ëáÇÉW NÜqÜÉ ëÜçêíÉëí ÜÉáÖÜí çÑ ~ ëáÇÉW OÜi~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W ip^êÉ~ çÑ éä~åÉ ÉåÇ Ñ~ÅÉëW _pqçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
Figure 48.
324. ( )ONi ÜÜop +π=
325. O
ONOO_ O
ÜÜooop
−
+π+π=
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
69
326.
−
++++π=+=O
ONOON_i O
ÜÜooÜÜoppp
327. ( )ON
O
ÜÜO
os +
π=
3.32 Right Circular Cone o~Çáìë çÑ Ä~ëÉW oaá~ãÉíÉê çÑ Ä~ëÉW ÇeÉáÖÜíW epä~åí ÜÉáÖÜíW ãi~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W ip^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW _pqçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
Figure 49.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
70
328. OO oãe −=
329. O
ãÇoãpi
π=π=
330. O_ op π=
331. ( )
+π=+π=+=
O
ÇãÇ
O
Noãoppp _i
332. eoP
Nep
P
Ns O
_ π==
3.33 Frustum of a Right Circular Cone
o~Çáìë çÑ Ä~ëÉëW oI êeÉáÖÜíW epä~åí ÜÉáÖÜíW ãpÅ~äÉ Ñ~ÅíçêW â^êÉ~ çÑ Ä~ëÉëW Np I Opi~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W ipqçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
71
Figure 50.
333. ( )OO êoãe −−=
334. âê
o=
335. O
O
O
N
O âê
o
p
p==
336. ( )êoãpi +π=
337. ( )[ ]êoãêopppp OOiON +++π=++=
338. ( )OONN ppppP
Üs ++=
339. [ ]ON
O
N ââNP
Üp
ê
o
ê
oN
P
Üps ++=
++=
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
72
3.34 Sphere
o~ÇáìëW oaá~ãÉíÉêW ÇpìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
Figure 51.
340. OoQp π=
341. poP
NÇ
S
Neo
P
Qs PP =π=π=
3.35 Spherical Cap o~Çáìë çÑ ëéÜÉêÉW oo~Çáìë çÑ Ä~ëÉW êeÉáÖÜíW Ü^êÉ~ çÑ éä~åÉ Ñ~ÅÉW _p^êÉ~ çÑ ëéÜÉêáÅ~ä Å~éW `p
qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
73
Figure 52.
342. ÜO
Üêo
OO +=
343. O_ êp π=
344. ( )OO` êÜp +π=
345. ( ) ( )OOO`_ êoÜOêOÜppp +π=+π=+=
346. ( ) ( )OOO ÜêPÜS
ÜoPÜS
s +π
=−π
=
3.36 Spherical Sector
o~Çáìë çÑ ëéÜÉêÉW oo~Çáìë çÑ Ä~ëÉ çÑ ëéÜÉêáÅ~ä Å~éW êeÉáÖÜíW Üqçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
74
Figure 53.
347. ( )êÜOop +π=
348. ÜoP
Os Oπ=
kçíÉW qÜÉ ÖáîÉå Ñçêãìä~ë ~êÉ ÅçêêÉÅí ÄçíÜ Ñçê ±çéÉå≤ ~åDZÅäçëÉÇ≤ ëéÜÉêáÅ~ä ëÉÅíçêK
3.37 Spherical Segment
o~Çáìë çÑ ëéÜÉêÉW oo~Çáìë çÑ Ä~ëÉëW Nê I OêeÉáÖÜíW Ü^êÉ~ çÑ ëéÜÉêáÅ~ä ëìêÑ~ÅÉW pp
^êÉ~ çÑ éä~åÉ ÉåÇ Ñ~ÅÉëW Np I Opqçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
75
Figure 54.
349. oÜOpp π=
350. ( )OO
ONONp êêoÜOpppp ++π=++=
351. ( )OOO
ON ÜêPêPÜ
S
Ns ++π=
3.38 Spherical Wedge
o~ÇáìëW oaáÜÉÇê~ä ~åÖäÉ áå ÇÉÖêÉÉëW ñaáÜÉÇê~ä ~åÖäÉ áå ê~Çá~åëW α^êÉ~ çÑ ëéÜÉêáÅ~ä äìåÉW ipqçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
76
Figure 55.
352. ñoOVM
op O
O
i =απ
=
353. ñoOoVM
oop OO
OO +π=α
π+π=
354. ñoP
O
OTM
os P
P
=απ
=
3.39 Ellipsoid
pÉãá-~ñÉëW ~I ÄI ÅsçäìãÉW s
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
77
Figure 56.
355. ~ÄÅP
Qs π=
Prolate Spheroid
pÉãá-~ñÉëW ~I ÄI Ä E Ä~ > FpìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
356.
+π=
É
É~êÅëáå~ÄÄOp I
ïÜÉêÉ~
Ä~É
OO −= K
357. ~ÄP
Qs Oπ=
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 3. GEOMETRY
78
Oblate Spheroid
pÉãá-~ñÉëW ~I ÄI Ä E Ä~ < FpìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
358.
+π=~LÄÉ
~
ÄÉ~êÅëáåÜ~
ÄÄOp I
ïÜÉêÉÄ
~ÄÉ
OO −= K
359. ~ÄP
Qs Oπ=
3.40 Circular Torus
j~àçê ê~ÇáìëW ojáåçê ê~ÇáìëW êpìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
http://fribok.blogspot.com/
80
Chapter 4
Trigonometry
^åÖäÉëW α I βoÉ~ä åìãÄÉêë EÅççêÇáå~íÉë çÑ ~ éçáåíFW ñI ótÜçäÉ åìãÄÉêW â
4.1 Radian and Degree Measures of Angles
362. ?QRDNTRTNUM
ê~ÇN °≈π°
=
363. ê~ÇMNTQRPKMê~ÇNUM
N ≈π
=°
364. ê~ÇMMMOVNKMê~ÇSMNUM
DN ≈⋅π
=
365. ê~ÇMMMMMRKMê~ÇPSMMNUM
?N ≈⋅π
=
366. ^åÖäÉEÇÉÖêÉÉëF
M PM QR SM VM NUM OTM PSM
^åÖäÉEê~Çá~åëF M
S
πQ
πP
πO
ππ
O
PππO
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
81
4.2 Definitions and Graphs of Trigonometric Functions
Figure 58.
367. ê
óëáå =α
368. ê
ñÅçë =α
369. ñ
óí~å =α
370. ó
ñÅçí =α
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
82
371. ñ
êëÉÅ =α
372. ó
êÅçëÉÅ =α
373. páåÉ cìåÅíáçåñëáåó = I NñëáåN ≤≤− K
Figure 59.
374. `çëáåÉ cìåÅíáçåñÅçëó = I NñÅçëN ≤≤− K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
83
Figure 60.
375. q~åÖÉåí cìåÅíáçå
ñí~åó = I ( )O
NâOñπ
+≠ I Kñí~å ∞≤≤∞−
Figure 61.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
84
376. `çí~åÖÉåí cìåÅíáçåñÅçíó = I π≠ âñ I ∞≤≤∞− ñÅçí K
Figure 62.
377. pÉÅ~åí cìåÅíáçå
ñëÉÅó = I ( )O
NâOñπ
+≠ K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
85
Figure 63.
378. `çëÉÅ~åí cìåÅíáçåñÉÅÅçëó = I π≠ âñ K
Figure 64.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
86
4.3. Signs of Trigonometric Functions
379.
nì~Çê~åípáåα
`çëα
q~åα
`çíα
pÉÅα
`çëÉÅα
f H H H H H Hff H Hfff H Hfs H H
380.
Figure 65.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
87
4.4 Trigonometric Functions of Common Angles 381. °α ê~Çα αëáå αÅçë αí~å αÅçí αëÉÅ αÅçëÉÅ
M M M N M ∞ N ∞
PMS
πO
N
O
PP
NP
P
OO
QRQ
π
O
O
O
ON N O O
SMP
π
O
PO
NP
P
NO
P
O
VMO
πN M ∞ M ∞ N
NOMP
Oπ
O
PO
N− P−
P
N− O−
P
O
NUM π M N− M ∞ N− ∞
OTMO
PπN− M ∞ M ∞ N−
PSM πO M N M ∞ N ∞
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
88
382. °α ê~Çα αëáå αÅçë αí~å αÅçí
NRNO
π
Q
OS −Q
OS +PO− PO+
NUNM
π
Q
NR −Q
RONM+R
ROR−ROR+
PSR
π
Q
RONM−Q
NR +NR
RONM
+−
RONM
NR
−
+
RQNM
Pπ
Q
NR +Q
RONM−RONM
NR
−
+NR
RONM
+−
TOR
Oπ
Q
RONM+Q
NR −ROR+ R
ROR−
TRNO
Rπ
Q
OS +Q
OS −PO+ PO−
4.5 Most Important Formulas
383. NÅçëëáå OO =α+α
384. Ní~åëÉÅ OO =α−α
385. NÅçíÅëÅ OO =α−α
386. αα
=αÅçë
ëáåí~å
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
89
387. αα
=αëáå
ÅçëÅçí
388. NÅçíí~å =α⋅α
389. α
=αÅçë
NëÉÅ
390. α
=αëáå
NÅçëÉÅ
4.6 Reduction Formulas
391. β βëáå βÅçë βí~å βÅçí
α− α− ëáå α+ Åçë α− í~å α− Åçí
α−°VM α+ Åçë α+ ëáå α+ Åçí α+ í~å
α+°VM α+ Åçë α− ëáå α− Åçí α− í~å
α−°NUM α+ ëáå α− Åçë α− í~å α− Åçí
α+°NUM α− ëáå α− Åçë α+ í~å α+ Åçí
α−°OTM α− Åçë α− ëáå α+ Åçí α+ í~å
α+°OTM α− Åçë α+ ëáå α− Åçí α− í~å
α−°PSM α− ëáå α+ Åçë α− í~å α− Åçí
α+°PSM α+ ëáå α+ Åçë α+ í~å α+ Åçí
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
90
4.7 Periodicity of Trigonometric Functions
392. ( ) α=π±α ëáååOëáå I éÉêáçÇ πO çê °PSM K
393. ( ) α=π±α ÅçëåOÅçë I éÉêáçÇ πO çê °PSM K
394. ( ) α=π±α í~ååí~å I éÉêáçÇ π çê °NUM K
395. ( ) α=π±α ÅçíåÅçí I éÉêáçÇ π çê °NUM K
4.8 Relations between Trigonometric Functions
396. ( ) NQO
ÅçëOOÅçëNO
NÅçëNëáå OO −
π
−α
=α−±=α−±=α
Oí~åN
Oí~åO
O α+
α
=
397. ( ) NO
ÅçëOOÅçëNO
NëáåNÅçë OO −
α=α+±=α−±=α
Oí~åN
Oí~åN
O
O
α+
α−
=
398. αα−
=α+
α=−α±=
αα
=αOëáå
OÅçëN
OÅçëN
OëáåNëÉÅ
Åçë
ëáåí~å O
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
91
Oí~åN
Oí~åO
OÅçëN
OÅçëN
O α+
α
=α+α−
±=
399. α−
α=
αα+
=−α±=αα
=αOÅçëN
Oëáå
Oëáå
OÅçëNNÅëÅ
ëáå
ÅçëÅçí O
Oí~åO
Oí~åN
OÅçëN
OÅçëNO
α
α−
=α−α+
±=
400.
Oí~åN
Oí~åN
í~åNÅçë
NëÉÅ
O
O
O
α−
α+
=α+±=α
=α
401.
Oí~åO
Oí~åN
ÅçíNëáå
NÅëÅ
O
O
α
α+
=α+±=α
=α
4.9 Addition and Subtraction Formulas
402. ( ) αβ+βα=β+α ÅçëëáåÅçëëáåëáå
403. ( ) αβ−βα=−α ÅçëëáåÅçëëáåóëáå
404. ( ) βα−βα=β+α ëáåëáåÅçëÅçëÅçë
405. ( ) βα+βα=β−α ëáåëáåÅçëÅçëÅçë
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
92
406. ( )βα−β+α
=β+αí~åí~åN
í~åí~åí~å
407. ( )βα+β−α
=β−αí~åí~åN
í~åí~åí~å
408. ( )β+αβα−
=β+αí~åí~å
í~åí~åNÅçí
409. ( )β−αβα+
=β−αí~åí~å
í~åí~åNÅçí
4.10 Double Angle Formulas
410. α⋅α=α ÅçëëáåOOëáå
411. NÅçëOëáåONëáåÅçëOÅçë OOOO −α=α−=α−α=α
412. α−α
=α−α
=αí~åÅçí
O
í~åN
í~åOOí~å
O
413. O
í~åÅçí
ÅçíO
NÅçíOÅçí
O α−α=
α−α
=α
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
93
4.11 Multiple Angle Formulas
414. α−α⋅α=α−α=α POP ëáåëáåÅçëPëáåQëáåPPëáå
415. α⋅α−α⋅α=α ÅçëëáåUÅçëëáåQQëáå P
416. α+α−α=α RP ëáåNSëáåOMëáåRRëáå
417. α⋅α−α=α−α=α OPP ëáåÅçëPÅçëÅçëPÅçëQPÅçë
418. NÅçëUÅçëUQÅçë OQ +α−α=α
419. α+α−α=α ÅçëRÅçëOMÅçëNSRÅçë PR
420. α−α−α
=αO
P
í~åPN
í~åí~åPPí~å
421. α+α−α−α
=αQO
P
í~åí~åSN
í~åQí~åQQí~å
422. α+α−α+α−α
=αQO
PR
í~åRí~åNMN
í~åRí~åNMí~åRí~å
423. NÅçíP
ÅçíPÅçíPÅçí
O
P
−αα−α
=α
424. α−αα+α−
=αP
QO
í~åQí~åQ
í~åí~åSNQÅçí
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
94
425. α+α−α
α+α−=α
í~åRí~åNMí~å
í~åRí~åNMNRÅçí
PR
QO
4.12 Half Angle Formulas
426. O
ÅçëN
Oëáå
α−±=
α
427. O
ÅçëN
OÅçë
α+±=
α
428. α−α=αα−
=α+
α=
α+α−
±=α
ÅçíÅëÅëáå
ÅçëN
ÅçëN
ëáå
ÅçëN
ÅçëN
Oí~å
429. α+α=αα+
=α−
α=
α−α+
±=α
ÅçíÅëÅëáå
ÅçëN
ÅçëN
ëáå
ÅçëN
ÅçëN
OÅçí
4.13 Half Angle Tangent Identities
430.
Oí~åN
Oí~åO
ëáåO α+
α
=α
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
95
431.
Oí~åN
Oí~åN
ÅçëO
O
α+
α−
=α
432.
Oí~åN
Oí~åO
í~åO α−
α
=α
433.
Oí~åO
Oí~åN
Åçí
O
α
α−
=α
4.14 Transforming of Trigonometric Expressions to Product
434. O
ÅçëO
ëáåOëáåëáåβ−αβ+α
=β+α
435. O
ëáåO
ÅçëOëáåëáåβ−αβ+α
=β−α
436. O
ÅçëO
ÅçëOÅçëÅçëβ−αβ+α
=β+α
437. O
ëáåO
ëáåOÅçëÅçëβ−αβ+α
−=β−α
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
96
438. ( )β⋅α
β+α=β+α
ÅçëÅçë
ëáåí~åí~å
439. ( )β⋅α
β−α=β−α
ÅçëÅçë
ëáåí~åí~å
440. ( )β⋅α
α+β=β+α
ëáåëáå
ëáåÅçíÅçí
441. ( )β⋅α
α−β=β−α
ëáåëáå
ëáåÅçíÅçí
442.
α+π
=
α−π
=α+αQ
ëáåOQ
ÅçëOëáåÅçë
443.
α+π
=
α−π
=α−αQ
ÅçëOQ
ëáåOëáåÅçë
444. ( )β⋅α
β−α=β+α
ëáåÅçë
ÅçëÅçíí~å
445. ( )β⋅α
β+α−=β−α
ëáåÅçë
ÅçëÅçíí~å
446. O
ÅçëOÅçëN O α=α+
447. O
ëáåOÅçëN O α=α−
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
97
448.
α
−π
=α+OQ
ÅçëOëáåN O
449.
α
−π
=α−OQ
ëáåOëáåN O
4.15 Transforming of Trigonometric Expressions to Sum
450. ( ) ( )O
ÅçëÅçëëáåëáå
β+α−β−α=β⋅α
451. ( ) ( )O
ÅçëÅçëÅçëÅçë
β+α+β−α=β⋅α
452. ( ) ( )O
ëáåëáåÅçëëáå
β+α+β−α=β⋅α
453. β+αβ+α
=β⋅αÅçíÅçí
í~åí~åí~åí~å
454. β+αβ+α
=β⋅αí~åí~å
ÅçíÅçíÅçíÅçí
455. β+αβ+α
=β⋅αí~åÅçí
Åçíí~åÅçíí~å
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
98
4.16 Powers of Trigonometric Functions
456. O
OÅçëNëáåO α−
=α
457. Q
PëáåëáåPëáåP α−α
=α
458. U
POÅçëQQÅçëëáåQ +α−α
=α
459. NS
RëáåPëáåRëáåNMëáåR α+α−α
=α
460. PO
SÅçëQÅçëSOÅçëNRNMëáåS α−α+α−
=α
461. O
OÅçëNÅçëO α+
=α
462. Q
PÅçëÅçëPÅçëP α+α
=α
463. U
POÅçëQQÅçëÅçëQ +α+α
=α
464. NS
RÅçëPëáåRÅçëNMÅçëR α+α+α
=α
465. PO
SÅçëQÅçëSOÅçëNRNMÅçëS α+α+α+
=α
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
99
4.17 Graphs of Inverse Trigonometric Functions
466. fåîÉêëÉ páåÉ cìåÅíáçå
ñ~êÅëáåó = I NñN ≤≤− IO
ñ~êÅëáåO
π≤≤
π− K
Figure 66.
467. fåîÉêëÉ `çëáåÉ cìåÅíáçåñ~êÅÅçëó = I NñN ≤≤− I π≤≤ ñ~êÅÅçëM K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
100
Figure 67.
468. fåîÉêëÉ q~åÖÉåí cìåÅíáçå
ñ~êÅí~åó = I ∞≤≤∞− ñ IO
ñ~êÅí~åO
π<<
π− K
Figure 68.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
101
469. fåîÉêëÉ `çí~åÖÉåí cìåÅíáçåñÅçí~êÅó = I ∞≤≤∞− ñ I π<< ñÅçí~êÅM K
Figure 69.
470. fåîÉêëÉ pÉÅ~åí cìåÅíáçå
( ] [ ) KIOO
IMñëÉÅ~êÅIINNIñIñ~êÅëÉÅó
ππ
∪
π
∈∞∪−∞−∈=
Figure 70.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
102
471. fåîÉêëÉ `çëÉÅ~åí cìåÅíáçå
( ] [ ) KO
IMMIO
ñÅëÅ~êÅIINNIñIñ~êÅÅëÅó
π
∪
π−∈∞∪−∞−∈=
Figure 71.
4.18 Principal Values of Inverse Trigonometric Functions 472. ñ M
O
N
O
O
O
PN
ñ~êÅëáå °M °PM °QR °SM °VMñ~êÅÅçë °VM °SM °QR °PM °M
ñO
N−
O
O−
O
P− N−
ñ~êÅëáå°−PM °− QR °− SM
°− VM
ñ~êÅÅçë°NOM °NPR °NRM
°NUM
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
103
473. ñ M
P
PN P
P
P− N− P−
ñ~êÅí~å °M °PM °QR °SM °−PM°− QR °− SM
ñÅçí~êÅ °VM °SM °QR °PM °NOM°NPR °NRM
4.19 Relations between Inverse Trigonometric Functions
474. ( ) ñ~êÅëáåñ~êÅëáå −=−
475. ñ~êÅÅçëO
ñ~êÅëáå −π
=
476. OñN~êÅÅçëñ~êÅëáå −= I NñM ≤≤ K
477. OñN~êÅÅçëñ~êÅëáå −−= I MñN ≤≤− K
478. OñN
ñ~êÅí~åñ~êÅëáå
−= I NñO < K
479. ñ
ñNÅçí~êÅñ~êÅëáå
O−= I NñM ≤< K
480. π−−
=ñ
ñNÅçí~êÅñ~êÅëáå
O
I MñN <≤− K
481. ( ) ñ~êÅÅçëñ~êÅÅçë −π=−
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
104
482. ñ~êÅëáåO
ñ~êÅÅçë −π
=
483. OñN~êÅëáåñ~êÅÅçë −= I NñM ≤≤ K
484. OñN~êÅëáåñ~êÅÅçë −−π= I MñN ≤≤− K
485. ñ
ñN~êÅí~åñ~êÅÅçë
O−= I NñM ≤< K
486. ñ
ñN~êÅí~åñ~êÅÅçë
O−+π= I MñN <≤− K
487. OñN
ñÅçí~êÅñ~êÅÅçë
−= I NñN ≤≤− K
488. ( ) ñ~êÅí~åñ~êÅí~å −=−
489. ñÅçí~êÅO
ñ~êÅí~å −π
=
490. OñN
ñ~êÅëáåñ~êÅí~å
+=
491. OñN
N~êÅÅçëñ~êÅí~å
+= I Mñ ≥ K
492. OñN
N~êÅÅçëñ~êÅí~å
+−= I Mñ ≤ K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
105
493. ñ
N~êÅí~å
Oñ~êÅí~å −
π= I Mñ > K
494. ñ
N~êÅí~å
Oñ~êÅí~å −
π−= I Mñ < K
495. ñ
NÅçí~êÅñ~êÅí~å = I Mñ > K
496. π−=ñ
NÅçí~êÅñ~êÅí~å I Mñ < K
497. ( ) ñÅçí~êÅñÅçí~êÅ −π=−
498. ñ~êÅí~åO
ñÅçí~êÅ −π
=
499. OñN
N~êÅëáåñÅçí~êÅ
+= I Mñ > K
500. OñN
N~êÅëáåñÅçí~êÅ
+−π= I Mñ < K
501. OñN
ñ~êÅÅçëñÅçí~êÅ
+=
502. ñ
N~êÅí~åñÅçí~êÅ = I Mñ > K
503. ñ
N~êÅí~åñÅçí~êÅ +π= I Mñ < K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
106
4.20 Trigonometric Equations
tÜçäÉ åìãÄÉêW å
504. ~ñëáå = I ( ) å~~êÅëáåNñ å π+−=
505. ~ñÅçë = I åO~~êÅÅçëñ π+±=
506. ~ñí~å = I å~~êÅí~åñ π+=
507. ~ñÅçí = I å~Åçí~êÅñ π+=
4.21 Relations to Hyperbolic Functions
fã~Öáå~êó ìåáíW á
508. ( ) ñëáåÜááñëáå =
509. ( ) ñí~åÜááñí~å =
510. ( ) ñÅçíÜááñÅçí −=
511. ( ) ñëÉÅÜáñëÉÅ =
512. ( ) ñÅëÅÜááñÅëÅ −=
http://fribok.blogspot.com/
107
Chapter 5
Matrices and Determinants
j~íêáÅÉëW ^I _I `bäÉãÉåíë çÑ ~ ã~íêáñW á~ I áÄ I áà~ I áàÄ I áàÅ
aÉíÉêãáå~åí çÑ ~ ã~íêáñW ^ÇÉíjáåçê çÑ ~å ÉäÉãÉåí áà~ W áàj
`çÑ~Åíçê çÑ ~å ÉäÉãÉåí áà~ W áà`
qê~åëéçëÉ çÑ ~ ã~íêáñW q^ I ^ú
^Çàçáåí çÑ ~ ã~íêáñW ^~Çàqê~ÅÉ çÑ ~ ã~íêáñW ^íê
fåîÉêëÉ çÑ ~ ã~íêáñW N^−
oÉ~ä åìãÄÉêW âoÉ~ä î~êá~ÄäÉëW áñk~íìê~ä åìãÄÉêëW ãI å
5.1 Determinants
513. pÉÅçåÇ lêÇÉê aÉíÉêãáå~åí
NOONOO
NN Ä~Ä~Ä~
Ä~^ÇÉí −==
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
108
514. qÜáêÇ lêÇÉê aÉíÉêãáå~åí
−++== POONNPPNOPNOPPOONN
PPPOPN
OPOOON
NPNONN
~~~~~~~~~
~~~
~~~
~~~
^ÇÉí
PNOONPPPONNOPOOPNN ~~~~~~~~~ −−−
515. p~êêìë oìäÉ E^êêçï oìäÉF
Figure 72.
516. k-íÜ lêÇÉê aÉíÉêãáå~åí
åååàOåNå
áåáàOáNá
åOàOOOON
åNàNNONN
~~~~
~~~~
~~~~
~~~~
^ÇÉí
KK
KKKKKK
KK
KKKKKK
KK
KK
=
517. jáåçêqÜÉ ãáåçê áàj ~ëëçÅá~íÉÇ ïáíÜ íÜÉ ÉäÉãÉåí áà~ çÑ å-íÜ çêÇÉê
ã~íêáñ ^ áë íÜÉ ( )Nå− -íÜ çêÇÉê ÇÉíÉêãáå~åí ÇÉêáîÉÇ Ñêçã
íÜÉ ã~íêáñ ^ Äó ÇÉäÉíáçå çÑ áíë á-íÜ êçï ~åÇ à-íÜ ÅçäìãåK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
109
518. `çÑ~Åíçê
( ) áààá
áà jN` +−=
519. i~éä~ÅÉ bñé~åëáçå çÑ å-íÜ lêÇÉê aÉíÉêãáå~åíi~éä~ÅÉ Éñé~åëáçå Äó ÉäÉãÉåíë çÑ íÜÉ á-íÜ êçï
∑=
=å
Nàáàáà`~^ÇÉí I åIIOINá K= K
i~éä~ÅÉ Éñé~åëáçå Äó ÉäÉãÉåíë çÑ íÜÉ à-íÜ Åçäìãå
∑=
=å
Nááàáà`~^ÇÉí I åIIOINà K= K
5.2 Properties of Determinants
520. qÜÉ î~äìÉ çÑ ~ ÇÉíÉêãáå~åí êÉã~áåë ìåÅÜ~åÖÉÇ áÑ êçïë ~êÉÅÜ~åÖÉÇ íç Åçäìãåë ~åÇ Åçäìãåë íç êçïëK
OO
NN
ON
ON
Ä~
Ä~
ÄÄ
~~=
521. fÑ íïç êçïë Eçê íïç ÅçäìãåëF ~êÉ áåíÉêÅÜ~åÖÉÇI íÜÉ ëáÖå çÑíÜÉ ÇÉíÉêãáå~åí áë ÅÜ~åÖÉÇK
NN
OO
OO
NN
Ä~
Ä~
Ä~
Ä~−=
522. fÑ íïç êçïë Eçê íïç ÅçäìãåëF ~êÉ áÇÉåíáÅ~äI íÜÉ î~äìÉ çÑ íÜÉÇÉíÉêãáå~åí áë òÉêçK
M~~
~~
OO
NN =
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
110
523. fÑ íÜÉ ÉäÉãÉåíë çÑ ~åó êçï Eçê ÅçäìãåF ~êÉ ãìäíáéäáÉÇ Äó~ Åçããçå Ñ~ÅíçêI íÜÉ ÇÉíÉêãáå~åí áë ãìäíáéäáÉÇ Äó íÜ~íÑ~ÅíçêK
OO
NN
OO
NN
Ä~
Ä~â
Ä~
âÄâ~=
524. fÑ íÜÉ ÉäÉãÉåíë çÑ ~åó êçï Eçê ÅçäìãåF ~êÉ áåÅêÉ~ëÉÇ EçêÇÉÅêÉ~ëÉÇFÄó Éèì~ä ãìäíáéäÉë çÑ íÜÉ ÅçêêÉëéçåÇáåÖ ÉäÉãÉåíëçÑ ~åó çíÜÉê êçï Eçê ÅçäìãåFI íÜÉ î~äìÉ çÑ íÜÉ ÇÉíÉêãáå~åíáë ìåÅÜ~åÖÉÇK
OO
NN
OOO
NNN
Ä~
Ä~
ÄâÄ~
ÄâÄ~=
++
5.3 Matrices
525. aÉÑáåáíáçå^å åã× ã~íêáñ ^ áë ~ êÉÅí~åÖìä~ê ~êê~ó çÑ ÉäÉãÉåíë Eåìã-ÄÉêë çê ÑìåÅíáçåëF ïáíÜ ã êçïë ~åÇ å ÅçäìãåëK
[ ]
==
ãåOãNã
åOOOON
åNNONN
áà
~~~
~~~
~~~
~^
K
MMM
K
K
526. pèì~êÉ ã~íêáñ áë ~ ã~íêáñ çÑ çêÇÉê åå× K
527. ^ ëèì~êÉ ã~íêáñ [ ]áà~ áë ëóããÉíêáÅ áÑ àááà ~~ = I áKÉK áí áë
ëóããÉíêáÅ ~Äçìí íÜÉ äÉ~ÇáåÖ Çá~Öçå~äK
528. ^ ëèì~êÉ ã~íêáñ [ ]áà~ áë ëâÉï-ëóããÉíêáÅ áÑ àááà ~~ −= K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
111
529. aá~Öçå~ä ã~íêáñ áë ~ ëèì~êÉ ã~íêáñ ïáíÜ ~ää ÉäÉãÉåíë òÉêçÉñÅÉéí íÜçëÉ çå íÜÉ äÉ~ÇáåÖ Çá~Öçå~äK
530. råáí ã~íêáñ áë ~ Çá~Öçå~ä ã~íêáñ áå ïÜáÅÜ íÜÉ ÉäÉãÉåíë çåíÜÉ äÉ~ÇáåÖ Çá~Öçå~ä ~êÉ ~ää ìåáíóK qÜÉ ìåáí ã~íêáñ áëÇÉåçíÉÇ Äó fK
531. ^ åìää ã~íêáñ áë çåÉ ïÜçëÉ ÉäÉãÉåíë ~êÉ ~ää òÉêçK
5.4 Operations with Matrices
532. qïç ã~íêáÅÉë ^ ~åÇ _ ~êÉ Éèì~ä áÑI ~åÇ çåäó áÑI íÜÉó ~êÉ ÄçíÜçÑ íÜÉ ë~ãÉ ëÜ~éÉ åã× ~åÇ ÅçêêÉëéçåÇáåÖ ÉäÉãÉåíë ~êÉÉèì~äK
533. qïç ã~íêáÅÉë ^ ~åÇ _ Å~å ÄÉ ~ÇÇÉÇ Eçê ëìÄíê~ÅíÉÇF çÑI ~åÇçåäó áÑI íÜÉó Ü~îÉ íÜÉ ë~ãÉ ëÜ~éÉ åã× K fÑ
[ ]
==
ãåOãNã
åOOOON
åNNONN
áà
~~~
~~~
~~~
~^
K
MMM
K
K
I
[ ]
==
ãåOãNã
åOOOON
åNNONN
áà
ÄÄÄ
ÄÄÄ
ÄÄÄ
Ä_
K
MMM
K
K
I
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
112
íÜÉå
+++
++++++
=+
ãåãåOãOãNãNã
åOåOOOOOONON
åNåNNONONNNN
Ä~Ä~Ä~
Ä~Ä~Ä~
Ä~Ä~Ä~
_^
K
MMM
K
K
K
534. fÑ â áë ~ ëÅ~ä~êI ~åÇ [ ]áà~^ = áë ~ ã~íêáñI íÜÉå
[ ]
==
ãåOãNã
åOOOON
åNNONN
áà
â~â~â~
â~â~â~
â~â~â~
â~â^
K
MMM
K
K
K
535. jìäíáéäáÅ~íáçå çÑ qïç j~íêáÅÉëqïç ã~íêáÅÉë Å~å ÄÉ ãìäíáéäáÉÇ íçÖÉíÜÉê çåäó ïÜÉå íÜÉåìãÄÉê çÑ Åçäìãåë áå íÜÉ Ñáêëí áë Éèì~ä íç íÜÉ åìãÄÉê çÑêçïë áå íÜÉ ëÉÅçåÇK
fÑ
[ ]
==
ãåOãNã
åOOOON
åNNONN
áà
~~~
~~~
~~~
~^
K
MMM
K
K
I
[ ]
==
åâOåNå
âOOOON
âNNONN
áà
ÄÄÄ
ÄÄÄ
ÄÄÄ
Ä_
K
MMM
K
K
I
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
113
íÜÉå
==
ãâOãNã
âOOOON
âNNONN
ÅÅÄ
ÅÅÅ
ÅÅÅ
`^_
K
MMM
K
K
I
ïÜÉêÉ
∑=λ
λλ=+++=å
NàáåàáåàOOáàNNááà Ä~Ä~Ä~Ä~Å K
E ãIIOINá K= X âIIOINà K= FK
qÜìë áÑ
[ ]
==
OPOOON
NPNONNáà ~~~
~~~~^ I [ ]
==
P
O
N
á
Ä
Ä
Ä
Ä_ I
íÜÉå
=
⋅
=
POPOOONON
PNPONONNN
P
O
N
OPOOON
NPNONN
Ä~Ä~Ä~
Ä~Ä~Ä~
Ä
Ä
Ä
~~~
~~~^_ K
536. qê~åëéçëÉ çÑ ~ j~íêáñfÑ íÜÉ êçïë ~åÇ Åçäìãåë çÑ ~ ã~íêáñ ~êÉ áåíÉêÅÜ~åÖÉÇI íÜÉåíÜÉ åÉï ã~íêáñ áë Å~ääÉÇ íÜÉ íê~åëéçëÉ çÑ íÜÉ çêáÖáå~ä ã~íêáñKfÑ ^ áë íÜÉ çêáÖáå~ä ã~íêáñI áíë íê~åëéçëÉ áë ÇÉåçíÉÇ q^ çê
^ú
K
537. qÜÉ ã~íêáñ ^ áë çêíÜçÖçå~ä áÑ f^^q = K
538. fÑ íÜÉ ã~íêáñ éêçÇìÅí ^_ áë ÇÉÑáåÉÇI íÜÉå
( ) qqq ^_^_ = K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
114
539. ^Çàçáåí çÑ j~íêáñfÑ ^ áë ~ ëèì~êÉ åå× ã~íêáñI áíë ~ÇàçáåíI ÇÉåçíÉÇ Äó ^~Çà Iáë íÜÉ íê~åëéçëÉ çÑ íÜÉ ã~íêáñ çÑ ÅçÑ~Åíçêë áà` çÑ ^W
[ ]qáà`^~Çà = K
540. qê~ÅÉ çÑ ~ j~íêáñfÑ ^ áë ~ ëèì~êÉ åå× ã~íêáñI áíë íê~ÅÉI ÇÉåçíÉÇ Äó ^íê I áëÇÉÑáåÉÇ íç ÄÉ íÜÉ ëìã çÑ íÜÉ íÉêãë çå íÜÉ äÉ~ÇáåÖ Çá~Öçå~äW
ååOONN ~~~^íê +++= K K
541. fåîÉêëÉ çÑ ~ j~íêáñfÑ ^ áë ~ ëèì~êÉ åå× ã~íêáñ ïáíÜ ~ åçåëáåÖìä~ê ÇÉíÉêãáå~åí
^ÇÉí I íÜÉå áíë áåîÉêëÉ N^− áë ÖáîÉå Äó
^ÇÉí
^~Çà^ N =− K
542. fÑ íÜÉ ã~íêáñ éêçÇìÅí ^_ áë ÇÉÑáåÉÇI íÜÉå
( ) NNN ^_^_ −−− = K
543. fÑ ^ áë ~ ëèì~êÉ åå× ã~íêáñI íÜÉ ÉáÖÉåîÉÅíçêë u ë~íáëÑóíÜÉ Éèì~íáçå
u^u λ= IïÜáäÉ íÜÉ ÉáÖÉåî~äìÉë λ ë~íáëÑó íÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ Éèì~íáçå
Mf^ =λ− K
5.5 Systems of Linear Equations
s~êá~ÄäÉëW ñI óI òI Nñ I KIñO
oÉ~ä åìãÄÉêëW KI~I~IÄI~I~I~ NONNNPON
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
115
aÉíÉêãáå~åíëW aI ña I óa I òa
j~íêáÅÉëW ^I _I u
544.
=+=+
OOO
NNN
ÇóÄñ~
ÇóÄñ~I
a
añ ñ= I
a
aó ó= E`ê~ãÉê∞ë êìäÉFI
ïÜÉêÉ
NOONOO
NN Ä~Ä~Ä~
Ä~a −== I
NOONOO
NNñ ÄÇÄÇ
ÄÇ
ÄÇa −== I
NOONOO
NNó Ç~Ç~
Ç~
Ç~a −== K
545. fÑ Ma≠ I íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë ~ ëáåÖäÉ ëçäìíáçåW
a
añ ñ= I
a
aó ó= K
fÑ Ma= ~åÇ Mañ ≠ Eçê Maó ≠ FI íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë åç
ëçäìíáçåKfÑ Maaa óñ === I íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë áåÑáåáíÉäó ã~åó
ëçäìíáçåëK
546.
=++=++=++
PPPP
OOOO
NNNN
ÇòÅóÄñ~
ÇòÅóÄñ~
ÇòÅóÄñ~
I
a
añ ñ= I
a
aó ó= I
a
aò ò= E`ê~ãÉê∞ë êìäÉFI
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
116
ïÜÉêÉ
PPP
OOO
NNN
ÅÄ~
ÅÄ~
ÅÄ~
a= I
PPP
OOO
NNN
ñ
ÅÄÇ
ÅÄÇ
ÅÄÇ
a = I
PPP
OOO
NNN
ó
ÅÇ~
ÅÇ~
ÅÇ~
a = I
PPP
OOO
NNN
ò
ÇÄ~
ÇÄ~
ÇÄ~
a = K
547. fÑ Ma≠ I íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë ~ ëáåÖäÉ ëçäìíáçåW
a
añ ñ= I
a
aó ó= I
a
aò ò= K
fÑ Ma= ~åÇ Mañ ≠ Eçê Maó ≠ çê Maò ≠ FI íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã
Ü~ë åç ëçäìíáçåKfÑ Maaaa òóñ ==== I íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë áåÑáåáíÉäó
ã~åó ëçäìíáçåëK
548. j~íêáñ cçêã çÑ ~ póëíÉã çÑ å iáåÉ~ê bèì~íáçåë áåå råâåçïåëqÜÉ ëÉí çÑ äáåÉ~ê Éèì~íáçåë
=+++
=+++=+++
ååååOOåNNå
OååOOOONON
NååNONONNN
Äñ~ñ~ñ~
Äñ~ñ~ñ~
Äñ~ñ~ñ~
K
KKKKKKKKKKKK
K
K
Å~å ÄÉ ïêáííÉå áå ã~íêáñ Ñçêã
=
⋅
å
O
N
å
O
N
ååOåNå
åOOOON
åNNONN
Ä
Ä
Ä
ñ
ñ
ñ
~~~
~~~
~~~
MM
K
MMM
K
K
I
áKÉK_u^ =⋅ I
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
117
ïÜÉêÉ
=
ååOåNå
åOOOON
åNNONN
~~~
~~~
~~~
^
K
MMM
K
K
I
=
å
O
N
ñ
ñ
ñ
uM
I
=
å
O
N
Ä
Ä
Ä
_M
K
549. pçäìíáçå çÑ ~ pÉí çÑ iáåÉ~ê bèì~íáçåë åå×_^u N ⋅= − I
ïÜÉêÉ N^− áë íÜÉ áåîÉêëÉ çÑ ^K
http://fribok.blogspot.com/
118
Chapter 6
Vectors
sÉÅíçêëW ìr
I îr
I ïr
I êr
I→
^_ I £sÉÅíçê äÉåÖíÜW ì
rI îr
I £
råáí îÉÅíçêëW ár
I àr
I âr
kìää îÉÅíçêW Mr
`ççêÇáå~íÉë çÑ îÉÅíçê ìr
W NNN wIvIu`ççêÇáå~íÉë çÑ îÉÅíçê î
rW OOO wIvIu
pÅ~ä~êëW λ IµaáêÉÅíáçå ÅçëáåÉëW αÅçë I βÅçë I γÅçë^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íïç îÉÅíçêëW θ
6.1 Vector Coordinates
550. råáí sÉÅíçêë
( )MIMINá =r
I
( )MINIMà =r
I
( )NIMIMâ =r
I
Nâàá ===rrr
K
551. ( ) ( ) ( )âòòàóóáññ^_ê MNMNMN
rrrr−+−+−==
→
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 6. VECTORS
119
Figure 73.
552. ( ) ( ) ( )OMNO
MNO
MN òòóóññ^_ê −+−+−==→r
553. fÑ ê^_r
=→
I íÜÉå ê_^r
−=→
K
Figure 74.
554. α= Åçëêur
I
β= Åçëêvr
I
γ= Åçëêwr
K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 6. VECTORS
120
Figure 75.
555. fÑ ( ) ( )NNNN wIvIuêwIvIuêrr
= I íÜÉå
Nuu = I Nvv = I Nww = K
6.2 Vector Addition
556. îìïrrr
+=
Figure 76.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 6. VECTORS
121
Figure 77.
557. åPON ììììïr
Krrrr
++++=
Figure 78.
558. `çããìí~íáîÉ i~ïìîîìrrrr
+=+
559. ^ëëçÅá~íáîÉ i~ï( ) ( )ïîìïîì
rrrrrr++=++
560. ( )ONONON wwIvvIuuîì +++=+rr
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 6. VECTORS
122
6.3 Vector Subtraction
561. îìïrrr
−= áÑ ìïîrrr
=+ K
Figure 79.
Figure 80.
562. ( )îìîìrrrr
−+=−
563. ( )MIMIMMìì ==−rrr
564. MM =r
565. ( )ONONON wwIvvIuuîì −−−=−rr
I
6.4 Scaling Vectors
566. ìïrr
λ=
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 6. VECTORS
123
Figure 81.
567. ìïrr
⋅λ=
568. ( )wIvIuì λλλ=λr
569. λ=λ ììrr
570. ( ) ìììrrr
µ+λ=µ+λ
571. ( ) ( ) ( )ìììrrr
λµ=λµ=µλ
572. ( ) îìîìrrrr
λ+λ=+λ
6.5 Scalar Product
573. pÅ~ä~ê mêçÇìÅí çÑ sÉÅíçêë ìr
~åÇ îr
θ⋅⋅=⋅ Åçëîìîìrrrr
I
ïÜÉêÉ θ áë íÜÉ ~åÖäÉ ÄÉíïÉÉå îÉÅíçêë ìr
~åÇ îr
K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 6. VECTORS
124
Figure 82.
574. pÅ~ä~ê mêçÇìÅí áå `ççêÇáå~íÉ cçêãfÑ ( )NNN wIvIuì =r
I ( )OOO wIvIuî =r
I íÜÉå
ONONON wwvvuuîì ++=⋅rr
K
575. ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç sÉÅíçêëfÑ ( )NNN wIvIuì =r
I ( )OOO wIvIuî =r
I íÜÉå
OO
OO
OO
ON
ON
ON
ONONON
wvuwvu
wwvvuuÅçë
++++
++=θ K
576. `çããìí~íáîÉ mêçéÉêíóìîîìrrrr⋅=⋅
577. ^ëëçÅá~íáîÉ mêçéÉêíó( ) ( ) îìîì
rrrr⋅λµ=µ⋅λ
578. aáëíêáÄìíáîÉ mêçéÉêíó( ) ïìîìïîì
rrrrrrr⋅+⋅=+⋅
579. Mîì =⋅rr
áÑ ìr
I îr
~êÉ çêíÜçÖçå~ä EO
π=θ FK
580. Mîì >⋅rr
áÑO
Mπ
<θ< K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 6. VECTORS
125
581. Mîì <⋅rr
áÑ π<θ<πO
K
582. îìîìrrrr
⋅≤⋅
583. îìîìrrrr
⋅=⋅ áÑ ìr
I îr
~êÉ é~ê~ääÉä E M=θ FK
584. fÑ ( )NNN wIvIuì =r
I íÜÉåO
NO
NO
N
OO wvuìììì ++===⋅rrrr
K
585. Nââààáá =⋅=⋅=⋅rrrrrr
586. Máââààá =⋅=⋅=⋅rrrrrr
6.6 Vector Product
587. sÉÅíçê mêçÇìÅí çÑ sÉÅíçêë ìr
~åÇ îr
ïîìrrr
=× I ïÜÉêÉ
• θ⋅⋅= ëáåîìïrrr
I ïÜÉêÉO
Mπ
≤θ≤ X
• ìïrr
⊥ ~åÇ îïrr
⊥ X• sÉÅíçêë ì
rI îr
I ïr
Ñçêã ~ êáÖÜí-Ü~åÇÉÇ ëÅêÉïK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 6. VECTORS
126
Figure 83.
588. OOO
NNN
wvu
wvu
âàá
îìï
rrr
rrr=×=
589.
−=×=
OO
NN
OO
NN
OO
NN
vu
vuI
wu
wuI
wv
wvîìïrrr
590. θ⋅⋅=×= ëáåîìîìprrrr
EcáÖKUPF
591. ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç sÉÅíçêë EcáÖKUPF
îì
îìëáå rr
rr
⋅×
=θ
592. kçåÅçããìí~íáîÉ mêçéÉêíó( )ìîîì
rrrr×−=×
593. ^ëëçÅá~íáîÉ mêçéÉêíó( ) ( ) îìîì
rrrr×λµ=µ×λ
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 6. VECTORS
127
594. aáëíêáÄìíáîÉ mêçéÉêíó( ) ïìîìïîì
rrrrrrr×+×=+×
595. Mîìrrr
=× áÑ ìr
~åÇ îr
~êÉ é~ê~ääÉä E M=θ FK
596. Mââààáárrrrrrr
=×=×=×
597. âàárrr
=× I áâàrrr
=× I àáârrr
=×
6.7 Triple Product
598. pÅ~ä~ê qêáéäÉ mêçÇìÅí[ ] ( ) ( ) ( )îìïìïîïîìïîì
rrrrrrrrrrrr×⋅=×⋅=×⋅=
599. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]îïììîïïìîìïîîìïïîìrrrrrrrrrrrrrrrrrr
−=−=−===
600. ( ) [ ]ïîìâïîìârrrrrr
=×⋅
601. pÅ~ä~ê qêáéäÉ mêçÇìÅí áå `ççêÇáå~íÉ cçêã
( )PPP
OOO
NNN
wvu
wvu
wvu
ïîì =×⋅rrr
I
ïÜÉêÉ( )NNN wIvIuì =
rI ( )OOO wIvIuî =r
I ( )PPP wIvIuï =r
K
602. sçäìãÉ çÑ m~ê~ääÉäÉéáéÉÇ( )ïîìs
rrr×⋅=
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 6. VECTORS
128
Figure 84.
603. sçäìãÉ çÑ móê~ãáÇ
( )ïîìS
Ns
rrr×⋅=
Figure 85.
604. fÑ ( ) Mïîì =×⋅rrr
I íÜÉå íÜÉ îÉÅíçêë ìr
I îr
I ~åÇ ïr
~êÉ äáåÉ~êäóÇÉéÉåÇÉåí I ëç îìï
rrrµ+λ= Ñçê ëçãÉ ëÅ~ä~êë λ ~åÇ µ K
605. fÑ ( ) Mïîì ≠×⋅rrr
I íÜÉå íÜÉ îÉÅíçêë ìr
I îr
I ~åÇ ïr
~êÉ äáåÉ~êäóáåÇÉéÉåÇÉåíK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 6. VECTORS
129
606. sÉÅíçê qêáéäÉ mêçÇìÅí( ) ( ) ( )ïîìîïìïîì
rrrrrrrrr⋅−⋅=××
http://fribok.blogspot.com/
130
Chapter 7
Analytic Geometry
7.1 One-Dimensional Coordinate System
mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW Mñ I Nñ I Oñ I Mó I Nó I Oó
oÉ~ä åìãÄÉêW λaáëí~åÅÉ ÄÉíïÉÉå íïç éçáåíëW Ç
607. aáëí~åÅÉ _ÉíïÉÉå qïç mçáåíë
ONNO ññññ^_Ç −=−==
Figure 86.
608. aáîáÇáåÖ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí áå íÜÉ o~íáç λ
λ+λ+
=N
ñññ ON
M I`_
^`=λ I N−≠λ K
Figure 87.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
131
609. jáÇéçáåí çÑ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí
O
ñññ ON
M
+= I N=λ K
7.2 Two-Dimensional Coordinate System
mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW Mñ I Nñ I Oñ I Mó I Nó I Oó
mçä~ê ÅççêÇáå~íÉëW ϕIêoÉ~ä åìãÄÉêW λmçëáíáîÉ êÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI ÅIaáëí~åÅÉ ÄÉíïÉÉå íïç éçáåíëW Ç^êÉ~W p
610. aáëí~åÅÉ _ÉíïÉÉå qïç mçáåíë
( ) ( )ONOO
NO óóññ^_Ç −+−==
Figure 88.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
132
611. aáîáÇáåÖ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí áå íÜÉ o~íáç λ
λ+λ+
=N
ñññ ON
M Iλ+λ+
=N
óóó ON
M I
`_
^`=λ I N−≠λ K
Figure 89.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
133
Figure 90.
612. jáÇéçáåí çÑ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí
O
ñññ ON
M
+= I
O
óóó ON
M
+= I N=λ K
613. `ÉåíêçáÇ EfåíÉêëÉÅíáçå çÑ jÉÇá~åëF çÑ ~ qêá~åÖäÉ
P
ññññ PON
M
++= I
P
óóóó PON
M
++= I
ïÜÉêÉ ( )NN óIñ^ I ( )OO óIñ_ I ~åÇ ( )PP óIñ` ~êÉ îÉêíáÅÉë çÑ
íÜÉ íêá~åÖäÉ ^_` K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
134
Figure 91.
614. fåÅÉåíÉê EfåíÉêëÉÅíáçå çÑ ^åÖäÉ _áëÉÅíçêëF çÑ ~ qêá~åÖäÉ
ÅÄ~
ÅñÄñ~ññ PON
M ++++
= IÅÄ~
ÅóÄó~óó PON
M ++++
= I
ïÜÉêÉ _`~ = I `^Ä = I ^_Å = K
Figure 92.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
135
615. `áêÅìãÅÉåíÉê EfåíÉêëÉÅíáçå çÑ íÜÉ páÇÉ mÉêéÉåÇáÅìä~ê_áëÉÅíçêëF çÑ ~ qêá~åÖäÉ
Nóñ
Nóñ
Nóñ
O
Nóóñ
Nóóñ
Nóóñ
ñ
PP
OO
NN
POP
OP
OOO
OO
NON
ON
M
+++
= I
Nóñ
Nóñ
Nóñ
O
Nóññ
Nóññ
Nóññ
ó
PP
OO
NN
OP
OPP
OO
OOO
ON
ONN
M
+++
=
Figure 93.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
136
616. lêíÜçÅÉåíÉê EfåíÉêëÉÅíáçå çÑ ^äíáíìÇÉëF çÑ ~ qêá~åÖäÉ
Nóñ
Nóñ
Nóñ
Nóññó
Nóññó
Nóññó
ñ
PP
OO
NN
OPONP
OONPO
ONPON
M
+++
= I
Nóñ
Nóñ
Nóñ
Nñóóñ
Nñóóñ
Nñóóñ
ó
PP
OO
NN
PONOP
ONPOO
NPOON
M
+++
=
Figure 94.
617. ^êÉ~ çÑ ~ qêá~åÖäÉ
( ) ( )NPNP
NONO
PP
OO
NN
óóññ
óóññ
O
N
Nóñ
Nóñ
Nóñ
O
Np
−−−−
±=±=
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
137
618. ^êÉ~ çÑ ~ nì~Çêáä~íÉê~ä
( ) ( )( ) ( )( )[ ++−++−±= POPOONON óóññóóññO
Np
( )( ) ( )( )]NQNQQPQP óóññóóññ +−++−+
Figure 95.
kçíÉW få Ñçêãìä~ë SNTI SNU ïÉ ÅÜççëÉ íÜÉ ëáÖå EHF çê E¥F ëçíÜ~í íç ÖÉí ~ éçëáíáîÉ ~åëïÉê Ñçê ~êÉ~K
619. aáëí~åÅÉ _ÉíïÉÉå qïç mçáåíë áå mçä~ê `ççêÇáå~íÉë
( )NOONOO
ON ÅçëêêOêê^_Ç ϕ−ϕ−+==
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
138
Figure 96.
620. `çåîÉêíáåÖ oÉÅí~åÖìä~ê `ççêÇáå~íÉë íç mçä~ê `ççêÇáå~íÉëϕ= Åçëêñ I ϕ= ëáåêó K
Figure 97.
621. `çåîÉêíáåÖ mçä~ê `ççêÇáå~íÉë íç oÉÅí~åÖìä~ê `ççêÇáå~íÉë
OO óñê += Iñ
óí~å =ϕ K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
139
7.3 Straight Line in Plane
mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW uI vI ñI Mñ I Nñ I Mó I Nó I N~ I O~ I £
oÉ~ä åìãÄÉêëW âI ~I ÄI éI íI ^I _I `I N^ I O^ I £^åÖäÉëW α I β^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íïç äáåÉëW ϕkçêã~ä îÉÅíçêW å
r
mçëáíáçå îÉÅíçêëW êr
I ~r
I Är
622. dÉåÉê~ä bèì~íáçå çÑ ~ píê~áÖÜí iáåÉM`_ó^ñ =++
623. kçêã~ä sÉÅíçê íç ~ píê~áÖÜí iáåÉqÜÉ îÉÅíçê ( )_I^å
ráë åçêã~ä íç íÜÉ äáåÉ M`_ó^ñ =++ K
Figure 98.
624. bñéäáÅáí bèì~íáçå çÑ ~ píê~áÖÜí iáåÉ EpäçéÉ-fåíÉêÅÉéí cçêãFÄâñó += K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
140
qÜÉ Öê~ÇáÉåí çÑ íÜÉ äáåÉ áë α= í~åâ K
Figure 99.
625. dê~ÇáÉåí çÑ ~ iáåÉ
NO
NO
ññ
óóí~åâ
−−
=α=
Figure 100.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
141
626. bèì~íáçå çÑ ~ iáåÉ dáîÉå ~ mçáåí ~åÇ íÜÉ dê~ÇáÉåí( )MM ññâóó −+= I
ïÜÉêÉ â áë íÜÉ Öê~ÇáÉåíI ( )MM óIñm áë ~ éçáåí çå íÜÉ äáåÉK
Figure 101.
627. bèì~íáçå çÑ ~ iáåÉ qÜ~í m~ëëÉë qÜêçìÖÜ qïç mçáåíë
NO
N
NO
N
ññ
ññ
óó
óó
−−
=−−
çê
M
Nóñ
Nóñ
Nóñ
OO
NN = K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
142
Figure 102.
628. fåíÉêÅÉéí cçêã
NÄ
ó
~
ñ=+
Figure 103.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
143
629. kçêã~ä cçêãMéëáåóÅçëñ =−β+β
Figure 104.
630. mçáåí aáêÉÅíáçå cçêã
v
óó
u
ññ NN −=
−I
ïÜÉêÉ ( )vIu áë íÜÉ ÇáêÉÅíáçå çÑ íÜÉ äáåÉ ~åÇ ( )NNN óIñm äáÉëçå íÜÉ äáåÉK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
144
Figure 105.
631. sÉêíáÅ~ä iáåÉ~ñ =
632. eçêáòçåí~ä iáåÉÄó =
633. sÉÅíçê bèì~íáçå çÑ ~ píê~áÖÜí iáåÉ
Äí~êrrr
+= IïÜÉêÉl áë íÜÉ çêáÖáå çÑ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉëIu áë ~åó î~êá~ÄäÉ éçáåí çå íÜÉ äáåÉI~r
áë íÜÉ éçëáíáçå îÉÅíçê çÑ ~ âåçïå éçáåí ^ çå íÜÉ äáåÉ I
Är
áë ~ âåçïå îÉÅíçê çÑ ÇáêÉÅíáçåI é~ê~ääÉä íç íÜÉ äáåÉIí áë ~ é~ê~ãÉíÉêI
→
=luêr
áë íÜÉ éçëáíáçå îÉÅíçê çÑ ~åó éçáåí u çå íÜÉ äáåÉK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
145
Figure 106.
634. píê~áÖÜí iáåÉ áå m~ê~ãÉíêáÅ cçêã
+=+=
OO
NN
íÄ~ó
íÄ~ñI
ïÜÉêÉ( )óIñ ~êÉ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉë çÑ ~åó ìåâåçïå éçáåí çå íÜÉ äáåÉI( )ON ~I~ ~êÉ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉë çÑ ~ âåçïå éçáåí çå íÜÉ äáåÉI( )ON ÄIÄ ~êÉ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉë çÑ ~ îÉÅíçê é~ê~ääÉä íç íÜÉ äáåÉIí áë ~ é~ê~ãÉíÉêK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
146
Figure 107.
635. aáëí~åÅÉ cêçã ~ mçáåí qç ~ iáåÉqÜÉ Çáëí~åÅÉ Ñêçã íÜÉ éçáåí ( )ÄI~m íç íÜÉ äáåÉ
M`_ó^ñ =++ áë
OO _^
`_Ä^~Ç
+
++= K
Figure 108.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
147
636. m~ê~ääÉä iáåÉëqïç äáåÉë NN Äñâó += ~åÇ OO Äñâó += ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ
ON ââ = Kqïç äáåÉë M`ó_ñ^ NNN =++ ~åÇ M`ó_ñ^ OOO =++ ~êÉé~ê~ääÉä áÑ
O
N
O
N
_
_
^
^= K
Figure 109.
637. mÉêéÉåÇáÅìä~ê iáåÉëqïç äáåÉë NN Äñâó += ~åÇ OO Äñâó += ~êÉ éÉêéÉåÇáÅìä~ê áÑ
NO â
Nâ −= çêI Éèìáî~äÉåíäóI Nââ ON −= K
qïç äáåÉë M`ó_ñ^ NNN =++ ~åÇ M`ó_ñ^ OOO =++ ~êÉéÉêéÉåÇáÅìä~ê áÑ
M__^^ ONON =+ K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
148
Figure 110.
638. ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç iáåÉë
ON
NO
ââN
ââí~å
+−
=ϕ I
OO
OO
ON
ON
ONON
_^_^
__^^Åçë
+⋅+
+=ϕ K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
149
Figure 111.
639. fåíÉêëÉÅíáçå çÑ qïç iáåÉëfÑ íïç äáåÉë M`ó_ñ^ NNN =++ ~åÇ M`ó_ñ^ OOO =++ áåíÉê-ëÉÅíI íÜÉ áåíÉêëÉÅíáçå éçáåí Ü~ë ÅççêÇáå~íÉë
NOON
NOONM _^_^
_`_`ñ
−+−
= INOON
NOONM _^_^
`^`^ó
−+−
= K
7.4 Circle
o~ÇáìëW o`ÉåíÉê çÑ ÅáêÅäÉW ( )ÄI~mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñI óI Nñ I Nó I £oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI bI cI í
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
150
640. bèì~íáçå çÑ ~ `áêÅäÉ `ÉåíÉêÉÇ ~í íÜÉ lêáÖáå Epí~åÇ~êÇcçêãF
OOO oóñ =+
Figure 112.
641. bèì~íáçå çÑ ~ `áêÅäÉ `ÉåíÉêÉÇ ~í ^åó mçáåí ( )ÄI~ ( ) ( ) OOO oÄó~ñ =−+−
Figure 113.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
151
642. qÜêÉÉ mçáåí cçêã
M
Nóñóñ
Nóñóñ
Nóñóñ
Nóñóñ
PPOP
OP
OOOO
OO
NNON
ON
OO
=
++++
Figure 114.
643. m~ê~ãÉíêáÅ cçêã
==
íëáåoó
íÅçëoñI π≤≤ OíM K
644. dÉåÉê~ä cçêã Mcbóañ^ó^ñ OO =++++ E^ åçåòÉêçI ^cQba OO >+ FK
qÜÉ ÅÉåíÉê çÑ íÜÉ ÅáêÅäÉ Ü~ë ÅççêÇáå~íÉë ( )ÄI~ I ïÜÉêÉ
^O
a~ −= I
^O
bÄ −= K
qÜÉ ê~Çáìë çÑ íÜÉ ÅáêÅäÉ áë
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
152
^O
^cQbao
OO −+= K
7.5 Ellipse
pÉãáã~àçê ~ñáëW ~pÉãáãáåçê ~ñáëW ÄcçÅáW ( )MIÅcN − I ( )MIÅcO
aáëí~åÅÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ ÑçÅáW OÅbÅÅÉåíêáÅáíóW ÉoÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI bI cI ímÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p
645. bèì~íáçå çÑ ~å bääáéëÉ Epí~åÇ~êÇ cçêãF
NÄ
ó
~
ñO
O
O
O
=+
Figure 115.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
153
646. ~Oêê ON =+ I ïÜÉêÉ Nê I Oê ~êÉ Çáëí~åÅÉë Ñêçã ~åó éçáåí ( )óIñm çåíÜÉ ÉääáéëÉ íç íÜÉ íïç ÑçÅáK
Figure 116.
647. OOO ÅÄ~ +=
648. bÅÅÉåíêáÅáíó
N~
ÅÉ <=
649. bèì~íáçåë çÑ aáêÉÅíêáÅÉë
Å
~
É
~ñ
O
±=±=
650. m~ê~ãÉíêáÅ cçêã
==
íëáåÄó
íÅçë~ñI π≤≤ OíM K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
154
651. dÉåÉê~ä cçêã Mcbóañ`ó_ñó^ñ OO =+++++ I
ïÜÉêÉ M^`Q_O <− K
652. dÉåÉê~ä cçêã ïáíÜ ^ñÉë m~ê~ääÉä íç íÜÉ `ççêÇáå~íÉ ^ñÉë Mcbóañ`ó^ñ OO =++++ I
ïÜÉêÉ M^` > K
653. `áêÅìãÑÉêÉåÅÉ ( )É~bQi = I
ïÜÉêÉ íÜÉ ÑìåÅíáçå b áë íÜÉ ÅçãéäÉíÉ ÉääáéíáÅ áåíÉÖê~ä çÑíÜÉ ëÉÅçåÇ âáåÇK
654. ^ééêçñáã~íÉ cçêãìä~ë çÑ íÜÉ `áêÅìãÑÉêÉåÅÉ ( )( )~ÄÄ~RKNi −+π= I
( )OO Ä~Oi +π= K
655. ~Äp π=
7.6 Hyperbola
qê~åëîÉêëÉ ~ñáëW ~`çåàìÖ~íÉ ~ñáëW ÄcçÅáW ( )MIÅcN − I ( )MIÅcO
aáëí~åÅÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ ÑçÅáW OÅbÅÅÉåíêáÅáíóW É^ëóãéíçíÉëW ëI íoÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI bI cI íI â
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
155
656. bèì~íáçå çÑ ~ eóéÉêÄçä~ Epí~åÇ~êÇ cçêãF
NÄ
ó
~
ñO
O
O
O
=−
Figure 117.
657. ~Oêê ON =− I ïÜÉêÉ Nê I Oê ~êÉ Çáëí~åÅÉë Ñêçã ~åó éçáåí ( )óIñm çåíÜÉ ÜóéÉêÄçä~ íç íÜÉ íïç ÑçÅáK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
156
Figure 118.
658. bèì~íáçåë çÑ ^ëóãéíçíÉë
ñ~
Äó ±=
659. OOO Ä~Å +=
660. bÅÅÉåíêáÅáíó
N~
ÅÉ >=
661. bèì~íáçåë çÑ aáêÉÅíêáÅÉë
Å
~
É
~ñ
O
±=±=
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
157
662. m~ê~ãÉíêáÅ bèì~íáçåë çÑ íÜÉ oáÖÜí _ê~åÅÜ çÑ ~ eóéÉêÄçä~
==
íëáåÜÄó
íÅçëÜ~ñI π≤≤ OíM K
663. dÉåÉê~ä cçêã Mcbóañ`ó_ñó^ñ OO =+++++ I
ïÜÉêÉ M^`Q_O >− K
664. dÉåÉê~ä cçêã ïáíÜ ^ñÉë m~ê~ääÉä íç íÜÉ `ççêÇáå~íÉ ^ñÉë Mcbóañ`ó^ñ OO =++++ I
ïÜÉêÉ M^` < K
665. ^ëóãéíçíáÅ cçêã
Q
Éñó
O
= I
çê
ñ
âó = I ïÜÉêÉ
Q
Éâ
O
= K
få íÜáë Å~ëÉ I íÜÉ ~ëóãéíçíÉë Ü~îÉ Éèì~íáçåë Mñ = ~åÇMó = K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
158
Figure 119.
7.7 Parabola
cçÅ~ä é~ê~ãÉíÉêW écçÅìëW csÉêíÉñW ( )MM óIñj
oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI bI cI éI ~I ÄI Å
666. bèì~íáçå çÑ ~ m~ê~Äçä~ Epí~åÇ~êÇ cçêãF éñOóO =
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
159
Figure 120.
bèì~íáçå çÑ íÜÉ ÇáêÉÅíêáñ
O
éñ −= I
`ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ ÑçÅìë
MIO
éc I
`ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ îÉêíÉñ( )MIMj K
667. dÉåÉê~ä cçêã Mcbóañ`ó_ñó^ñ OO =+++++ I
ïÜÉêÉ M^`Q_O =− K
668. O~ñó = I~O
Né = K
bèì~íáçå çÑ íÜÉ ÇáêÉÅíêáñ
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
160
O
éó −= I
`ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ ÑçÅìë
O
éIMc I
`ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ îÉêíÉñ( )MIMj K
Figure 121.
669. dÉåÉê~ä cçêãI ^ñáë m~ê~ääÉä íç íÜÉ ó-~ñáëMcbóañ^ñ O =+++ E^I b åçåòÉêçFI
ÅÄñ~ñó O ++= I~O
Né = K
bèì~íáçå çÑ íÜÉ ÇáêÉÅíêáñ
O
éóó M −= I
`ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ ÑçÅìë
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
161
+
O
éóIñc MM I
`ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ îÉêíÉñ
~O
ÄñM −= I
~Q
Ä~ÅQÅÄñ~ñó
O
MOMM
−=++= K
Figure 122.
7.8 Three-Dimensional Coordinate System
mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW Mñ I Mó I Mò I Nñ I Nó I Nò I £
oÉ~ä åìãÄÉêW λaáëí~åÅÉ ÄÉíïÉÉå íïç éçáåíëW Ç^êÉ~W psçäìãÉW s
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
162
670. aáëí~åÅÉ _ÉíïÉÉå qïç mçáåíë
( ) ( ) ( )ONOO
NOO
NO òòóóññ^_Ç −+−+−==
Figure 123.
671. aáîáÇáåÖ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí áå íÜÉ o~íáç λ
λ+λ+
=N
ñññ ON
M Iλ+λ+
=N
óóó ON
M Iλ+λ+
=N
òòò ON
M I
ïÜÉêÉ
`_
^`=λ I N−≠λ K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
164
672. jáÇéçáåí çÑ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí
O
ñññ ON
M
+= I
O
óóó ON
M
+= I
O
òòò ON
M
+= I N=λ K
673. ^êÉ~ çÑ ~ qêá~åÖäÉqÜÉ ~êÉ~ çÑ ~ íêá~åÖäÉ ïáíÜ îÉêíáÅÉë ( )NNNN òIóIñm I( )OOOO òIóIñm I ~åÇ ( )PPPP òIóIñm áë ÖáîÉå Äó
O
PP
OO
NN
O
PP
OO
NN
O
PP
OO
NN
Nóñ
Nóñ
Nóñ
Nñò
Nñò
Nñò
Nòó
Nòó
Nòó
O
Np ++= K
674. sçäìãÉ çÑ ~ qÉíê~ÜÉÇêçåqÜÉ îçäìãÉ çÑ ~ íÉíê~ÜÉÇêçå ïáíÜ îÉêíáÅÉë ( )NNNN òIóIñm I( )OOOO òIóIñm I ( )PPPP òIóIñm I ~åÇ ( )QQQQ òIóIñm áë ÖáîÉå Äó
Nòóñ
Nòóñ
Nòóñ
Nòóñ
S
Ns
QQQ
PPP
OOO
NNN
±= I
çê
QPQPQP
QOQOQO
QNQNQN
òòóóññ
òòóóññ
òòóóññ
S
Ns
−−−−−−−−−
±= K
kçíÉW tÉ ÅÜççëÉ íÜÉ ëáÖå EHF çê E¥F ëç íÜ~í íç ÖÉí ~ éçëáíáîÉ~åëïÉê Ñçê îçäìãÉK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
165
Figure 126.
7.9 Plane
mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñI óI òI Mñ I Mó I Mò I Nñ I Nó I Nò I £
oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI N^ I O^ I ~I ÄI ÅI N~ I O~ I λ I éI íI £kçêã~ä îÉÅíçêëW å
rI Når
I Oår
aáêÉÅíáçå ÅçëáåÉëW αÅçë I βÅçë I γÅçëaáëí~åÅÉ Ñêçã éçáåí íç éä~åÉW Ç
675. dÉåÉê~ä bèì~íáçå çÑ ~ mä~åÉMa`ò_ó^ñ =+++
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
166
676. kçêã~ä sÉÅíçê íç ~ mä~åÉqÜÉ îÉÅíçê ( )`I_I^å
ráë åçêã~ä íç íÜÉ éä~åÉ
Ma`ò_ó^ñ =+++ K
Figure 127.
677. m~êíáÅìä~ê `~ëÉë çÑ íÜÉ bèì~íáçå çÑ ~ mä~åÉMa`ò_ó^ñ =+++
fÑ M^ = I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ñ-~ñáëKfÑ M_ = I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ó-~ñáëKfÑ M` = I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ò-~ñáëKfÑ Ma= I íÜÉ éä~åÉ äáÉë çå íÜÉ çêáÖáåK
fÑ M_^ == I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ñó-éä~åÉKfÑ M`_ == I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ óò-éä~åÉKfÑ M`^ == I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ñò-éä~åÉK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
167
678. mçáåí aáêÉÅíáçå cçêã( ) ( ) ( ) Mòò`óó_ññ^ MMM =−+−+− I
ïÜÉêÉ íÜÉ éçáåí ( )MMM òIóIñm äáÉë áå íÜÉ éä~åÉI ~åÇ íÜÉ îÉÅ-íçê ( )`I_I^ áë åçêã~ä íç íÜÉ éä~åÉK
Figure 128.
679. fåíÉêÅÉéí cçêã
NÅ
ò
Ä
ó
~
ñ=++
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
168
Figure 129.
680. qÜêÉÉ mçáåí cçêã
M
òòóóññ
òòóóññ
òòóóññ
POPOPO
PNPNPN
PPP
=−−−−−−−−−
I
çê
M
Nòóñ
Nòóñ
Nòóñ
Nòóñ
PPP
OOO
NNN = K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
169
Figure 130.
681. kçêã~ä cçêãMéÅçëòÅçëóÅçëñ =−γ+β+α I
ïÜÉêÉ é áë íÜÉ éÉêéÉåÇáÅìä~ê Çáëí~åÅÉ Ñêçã íÜÉ çêáÖáå íçíÜÉ éä~åÉ I ~åÇ αÅçë I βÅçë I γÅçë ~êÉ íÜÉ ÇáêÉÅíáçå ÅçëáåÉëçÑ ~åó äáåÉ åçêã~ä íç íÜÉ éä~åÉK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
170
Figure 131.
682. m~ê~ãÉíêáÅ cçêã
++=++=++=
íÅëÅòò
íÄëÄóó
í~ë~ññ
ONN
ONN
ONN
I
ïÜÉêÉ ( )òIóIñ ~êÉ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉë çÑ ~åó ìåâåçïå éçáåí çåíÜÉ äáåÉ I íÜÉ éçáåí ( )NNN òIóIñm äáÉë áå íÜÉ éä~åÉI íÜÉ îÉÅíçêë( )NNN ÅIÄI~ ~åÇ ( )OOO ÅIÄI~ ~êÉ é~ê~ääÉä íç íÜÉ éä~åÉK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
171
Figure 132.
683. aáÜÉÇê~ä ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç mä~åÉëfÑ íÜÉ éä~åÉë ~êÉ ÖáîÉå Äó
Maò`ó_ñ^ NNNN =+++ IMaò`ó_ñ^ OOOO =+++ I
íÜÉå íÜÉ ÇáÜÉÇê~ä ~åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉã áë
OO
OO
OO
ON
ON
ON
ONONON
ON
ON
`_^`_^
``__^^
åå
ååÅçë
++⋅++
++=
⋅⋅
=ϕ rr
rr
K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
172
Figure 133.
684. m~ê~ääÉä mä~åÉëqïç éä~åÉë Maò`ó_ñ^ NNNN =+++ ~åÇ
Maò`ó_ñ^ OOOO =+++ ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ
O
N
O
N
O
N
`
`
_
_
^
^== K
685. mÉêéÉåÇáÅìä~ê mä~åÉëqïç éä~åÉë Maò`ó_ñ^ NNNN =+++ ~åÇ
Maò`ó_ñ^ OOOO =+++ ~êÉ éÉêéÉåÇáÅìä~ê áÑM``__^^ ONONON =++ K
686. bèì~íáçå çÑ ~ mä~åÉ qÜêçìÖÜ ( )NNN òIóIñm ~åÇ m~ê~ääÉä qçíÜÉ sÉÅíçêë ( )NNN ÅIÄI~ ~åÇ ( )OOO ÅIÄI~ EcáÖKNPOF
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
173
M
ÅÄ~
ÅÄ~
òòóóññ
OOO
NNN
NNN
=−−−
687. bèì~íáçå çÑ ~ mä~åÉ qÜêçìÖÜ ( )NNNN òIóIñm ~åÇ ( )OOOO òIóIñm I~åÇ m~ê~ääÉä qç íÜÉ sÉÅíçê ( )ÅIÄI~
M
ÅÄ~
òòóóññ
òòóóññ
NONONO
NNN
=−−−−−−
Figure 134.
688. aáëí~åÅÉ cêçã ~ mçáåí qç ~ mä~åÉqÜÉ Çáëí~åÅÉ Ñêçã íÜÉ éçáåí ( )NNNN òIóIñm íç íÜÉ éä~åÉ
Ma`ò_ó^ñ =+++ áë
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
174
OOO
NNN
`_^
a`ò_ó^ñÇ
++
+++= K
Figure 135.
689. fåíÉêëÉÅíáçå çÑ qïç mä~åÉëfÑ íïç éä~åÉë Maò`ó_ñ^ NNNN =+++ ~åÇ
Maò`ó_ñ^ OOOO =+++ áåíÉêëÉÅíI íÜÉ áåíÉêëÉÅíáçå ëíê~áÖÜíäáåÉ áë ÖáîÉå Äó
+=+=+=
Åíòò
Äíóó
~íññ
N
N
N
I
çê
Å
òò
Ä
óó
~
ññ NNN −=
−=
−I
ïÜÉêÉ
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
175
OO
NN
`_
`_~ = I
OO
NN
^`
^`Ä = I
OO
NN
_^
_^Å = I
OOO
OO
NN
OO
NN
N ÅÄ~
_a
_aÅ
`a
`aÄ
ñ++
−= I
OOO
OO
NN
OO
NN
N ÅÄ~
`a
`a~
^a
^aÅ
ó++
−= I
OOO
OO
NN
OO
NN
N ÅÄ~
^a
^aÄ
_a
_a~
ò++
−= K
7.10 Straight Line in Space
mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñI óI òI Nñ I Nó I Nò I £aáêÉÅíáçå ÅçëáåÉëW αÅçë I βÅçë I γÅçëoÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI ~I ÄI ÅI N~ I O~ I íI £aáêÉÅíáçå îÉÅíçêë çÑ ~ äáåÉW ë
rI Nër
I Oër
kçêã~ä îÉÅíçê íç ~ éä~åÉW år
^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íïç äáåÉëW ϕ
690. mçáåí aáêÉÅíáçå cçêã çÑ íÜÉ bèì~íáçå çÑ ~ iáåÉ
Å
òò
Ä
óó
~
ññ NNN −=
−=
−I
ïÜÉêÉ íÜÉ éçáåí ( )NNNN òIóIñm äáÉë çå íÜÉ äáåÉI ~åÇ ( )ÅIÄI~ áëíÜÉ ÇáêÉÅíáçå îÉÅíçê çÑ íÜÉ äáåÉK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
176
Figure 136.
691. qïç mçáåí cçêã
NO
N
NO
N
NO
N
òò
òò
óó
óó
ññ
ññ
−−
=−−
=−−
Figure 137.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
177
692. m~ê~ãÉíêáÅ cçêã
γ+=β+=α+=
Åçëíòò
Åçëíóó
Åçëíññ
N
N
N
I
ïÜÉêÉ íÜÉ éçáåí ( )NNNN òIóIñm äáÉë çå íÜÉ ëíê~áÖÜí äáåÉIαÅçë I βÅçë I γÅçë ~êÉ íÜÉ ÇáêÉÅíáçå ÅçëáåÉë çÑ íÜÉ ÇáêÉÅíáçå
îÉÅíçê çÑ íÜÉ äáåÉI íÜÉ é~ê~ãÉíÉê í áë ~åó êÉ~ä åìãÄÉêK
Figure 138.
693. ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç píê~áÖÜí iáåÉë
OO
OO
OO
ON
ON
ON
ONONON
ON
ON
ÅÄ~ÅÄ~
ÅÅÄÄ~~
ëë
ëëÅçë
++⋅++
++=
⋅⋅
=ϕ rr
rr
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
178
Figure 139.
694. m~ê~ääÉä iáåÉëqïç äáåÉë ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ
ON ëööërr
Içê
O
N
O
N
O
N
Å
Å
Ä
Ä
~
~== K
695. mÉêéÉåÇáÅìä~ê iáåÉëqïç äáåÉë ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ
Mëë ON =⋅rr
Içê
MÅÅÄÄ~~ ONONON =++ K
696. fåíÉêëÉÅíáçå çÑ qïç iáåÉë
qïç äáåÉëN
N
N
N
N
N
Å
òò
Ä
óó
~
ññ −=
−=
−~åÇ
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
179
O
O
O
O
O
O
Å
òò
Ä
óó
~
ññ −=
−=
−áåíÉêëÉÅí áÑ
M
ÅÄ~
ÅÄ~
òòóóññ
OOO
NNN
NONONO
=−−−
K
697. m~ê~ääÉä iáåÉ ~åÇ mä~åÉ
qÜÉ ëíê~áÖÜí äáåÉÅ
òò
Ä
óó
~
ññ NNN −=
−=
−~åÇ íÜÉ éä~åÉ
Ma`ò_ó^ñ =+++ ~êÉ é~ê~ääÉä áÑMëå =⋅
rrI
çêM`Å_Ä^~ =++ K
Figure 140.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
180
698. mÉêéÉåÇáÅìä~ê iáåÉ ~åÇ mä~åÉ
qÜÉ ëíê~áÖÜí äáåÉÅ
òò
Ä
óó
~
ññ NNN −=
−=
−~åÇ íÜÉ éä~åÉ
Ma`ò_ó^ñ =+++ ~êÉ éÉêéÉåÇáÅìä~ê áÑëööårr
Içê
Å
`
Ä
_
~
^== K
Figure 141.
7.11 Quadric Surfaces
mçáåí ÅççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ èì~ÇêáÅ ëìêÑ~ÅÉëW ñI óI òoÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I ~I ÄI ÅI PON âIâIâ I £
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
181
699. dÉåÉê~ä nì~Çê~íáÅ bèì~íáçåMaoòOnóOmñOeñóOdòñOcóòO`ò_ó^ñ OOO =+++++++++
700. `ä~ëëáÑáÅ~íáçå çÑ nì~ÇêáÅ pìêÑ~ÅÉë
`~ëÉ o~åâEÉF o~åâEbF ∆ â ëáÖåë qóéÉ çÑ pìêÑ~ÅÉ
N P Q M< p~ãÉ oÉ~ä bääáéëçáÇ
O P Q M> p~ãÉ fã~Öáå~êó bääáéëçáÇ
P P Q M> aáÑÑÉêÉåí eóéÉêÄçäçáÇ çÑ N pÜÉÉí
Q P Q M< aáÑÑÉêÉåí eóéÉêÄçäçáÇ çÑ O pÜÉÉíë
R P P aáÑÑÉêÉåí oÉ~ä nì~ÇêáÅ `çåÉS P P p~ãÉ fã~Öáå~êó nì~ÇêáÅ `çåÉT O Q M< p~ãÉ bääáéíáÅ m~ê~ÄçäçáÇ
U O Q M> aáÑÑÉêÉåí eóéÉêÄçäáÅ m~ê~ÄçäçáÇ
V O P p~ãÉ oÉ~ä bääáéíáÅ `óäáåÇÉêNM O P p~ãÉ fã~Öáå~êó bääáéíáÅ `óäáåÇÉêNN O P aáÑÑÉêÉåí eóéÉêÄçäáÅ `óäáåÇÉêNO O O aáÑÑÉêÉåí oÉ~ä fåíÉêëÉÅíáåÖ mä~åÉëNP O O p~ãÉ fã~Öáå~êó fåíÉêëÉÅíáåÖ mä~åÉëNQ N P m~ê~ÄçäáÅ `óäáåÇÉêNR N O oÉ~ä m~ê~ääÉä mä~åÉëNS N O fã~Öáå~êó m~ê~ääÉä mä~åÉëNT N N `çáåÅáÇÉåí mä~åÉë
eÉêÉ
=
`cd
c_e
de^
É I
=
aonm
o`cd
nc_e
mne^
b I ( )bÇÉí=∆ I
PON âIâIâ ~êÉ íÜÉ êççíë çÑ íÜÉ Éèì~íáçåI
M
ñ`cd
cñ_e
deñ^
=−
−−
K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
182
701. oÉ~ä bääáéëçáÇ E`~ëÉ NF
NÅ
ò
Ä
ó
~
ñO
O
O
O
O
O
=++
Figure 142.
702. fã~Öáå~êó bääáéëçáÇ E`~ëÉ OF
NÅ
ò
Ä
ó
~
ñO
O
O
O
O
O
−=++
703. eóéÉêÄçäçáÇ çÑ N pÜÉÉí E`~ëÉ PF
NÅ
ò
Ä
ó
~
ñO
O
O
O
O
O
=−+
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
183
Figure 143.
704. eóéÉêÄçäçáÇ çÑ O pÜÉÉíë E`~ëÉ QF
NÅ
ò
Ä
ó
~
ñO
O
O
O
O
O
−=−+
Figure 144.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
184
705. oÉ~ä nì~ÇêáÅ `çåÉ E`~ëÉ RF
MÅ
ò
Ä
ó
~
ñO
O
O
O
O
O
=−+
Figure 145.
706. fã~Öáå~êó nì~ÇêáÅ `çåÉ E`~ëÉ SF
MÅ
ò
Ä
ó
~
ñO
O
O
O
O
O
=++
707. bääáéíáÅ m~ê~ÄçäçáÇ E`~ëÉ TF
MòÄ
ó
~
ñO
O
O
O
=−+
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
185
Figure 146.
708. eóéÉêÄçäáÅ m~ê~ÄçäçáÇ E`~ëÉ UF
MòÄ
ó
~
ñO
O
O
O
=−−
Figure 147.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
186
709. oÉ~ä bääáéíáÅ `óäáåÇÉê E`~ëÉ VF
NÄ
ó
~
ñO
O
O
O
=+
Figure 148.
710. fã~Öáå~êó bääáéíáÅ `óäáåÇÉê E`~ëÉ NMF
NÄ
ó
~
ñO
O
O
O
−=+
711. eóéÉêÄçäáÅ `óäáåÇÉê E`~ëÉ NNF
NÄ
ó
~
ñO
O
O
O
=−
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
187
Figure 149.
712. oÉ~ä fåíÉêëÉÅíáåÖ mä~åÉë E`~ëÉ NOF
MÄ
ó
~
ñO
O
O
O
=−
713. fã~Öáå~êó fåíÉêëÉÅíáåÖ mä~åÉë E`~ëÉ NPF
MÄ
ó
~
ñO
O
O
O
=+
714. m~ê~ÄçäáÅ `óäáåÇÉê E`~ëÉ NQF
Mó~
ñO
O
=−
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
188
Figure 150.
715. oÉ~ä m~ê~ääÉä mä~åÉë E`~ëÉ NRF
N~
ñO
O
=
716. fã~Öáå~êó m~ê~ääÉä mä~åÉë E`~ëÉ NSF
N~
ñO
O
−=
717. `çáåÅáÇÉåí mä~åÉë E`~ëÉ NTFMñO =
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
189
7.12 Sphere
o~Çáìë çÑ ~ ëéÜÉêÉW omçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñI óI òI Nñ I Nó I Nò I £`ÉåíÉê çÑ ~ ëéÜÉêÉW ( )ÅIÄI~oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I aI bI cI j
718. bèì~íáçå çÑ ~ péÜÉêÉ `ÉåíÉêÉÇ ~í íÜÉ lêáÖáå Epí~åÇ~êÇcçêãF
OOOO oòóñ =++
Figure 151.
719. bèì~íáçå çÑ ~ `áêÅäÉ `ÉåíÉêÉÇ ~í ^åó mçáåí ( )ÅIÄI~ ( ) ( ) ( ) OOOO oÅòÄó~ñ =−+−+−
720. aá~ãÉíÉê cçêã
( )( ) ( )( ) ( )( ) Mòòòòóóóóññññ ONONON =−−+−−+−− I
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
190
ïÜÉêÉ( )NNNN òIóIñm I ( )OOOO òIóIñm ~êÉ íÜÉ ÉåÇë çÑ ~ Çá~ãÉíÉêK
721. cçìê mçáåí cçêã
M
Nòóññóñ
Nòóññóñ
Nòóññóñ
Nòóññóñ
Nòóñòóñ
QQQOQ
OQ
OQ
PPPOP
OP
OP
OOOOO
OO
OO
NNNON
ON
ON
OOO
=
++++++++++
722. dÉåÉê~ä cçêã Mjcòbóañ^ò^ó^ñ OOO =++++++ E^ áë åçåòÉêçFK
qÜÉ ÅÉåíÉê çÑ íÜÉ ëéÜÉêÉ Ü~ë ÅççêÇáå~íÉë ( )ÅIÄI~ I ïÜÉêÉ
^O
a~ −= I
^O
bÄ −= I
^O
cÅ −= K
qÜÉ ê~Çáìë çÑ íÜÉ ëéÜÉêÉ áë
^O
j^Qcbao
OOOO −++= K
http://fribok.blogspot.com/
191
Chapter 8
Differential Calculus
cìåÅíáçåëW ÑI ÖI óI ìI î^êÖìãÉåí EáåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉFW ñoÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI ÅI Çk~íìê~ä åìãÄÉêW å^åÖäÉW αfåîÉêëÉ ÑìåÅíáçåW NÑ −
8.1 Functions and Their Graphs
723. bîÉå cìåÅíáçå( ) ( )ñÑñÑ =−
724. lÇÇ cìåÅíáçå( ) ( )ñÑñÑ −=−
725. mÉêáçÇáÅ cìåÅíáçå( ) ( )ñÑåqñÑ =+
726. fåîÉêëÉ cìåÅíáçå( )ñÑó = áë ~åó ÑìåÅíáçåI ( )óÖñ = çê ( )ñÑó N−= áë áíë áåîÉêëÉ
ÑìåÅíáçåK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
192
Figure 152.
727. `çãéçëáíÉ cìåÅíáçå( )ìÑó = I ( )ñÖì = I ( )( )ñÖÑó = áë ~ ÅçãéçëáíÉ ÑìåÅíáçåK
728. iáåÉ~ê cìåÅíáçåÄ~ñó += I oñ∈ I α= í~å~ áë íÜÉ ëäçéÉ çÑ íÜÉ äáåÉI Ä áë
íÜÉ ó-áåíÉêÅÉéíK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
193
Figure 153.
729. nì~Çê~íáÅ cìåÅíáçåOñó = I oñ∈ K
Figure 154.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
194
730. ÅÄñ~ñó O ++= I oñ∈ K
Figure 155.
731. `ìÄáÅ cìåÅíáçåPñó = I oñ∈ K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
195
Figure 156.
732. ÇÅñÄñ~ñó OP +++= I oñ∈ K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
196
Figure 157.
733. mçïÉê cìåÅíáçååñó = I kå∈ K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
198
734. pèì~êÉ oççí cìåÅíáçå
ñó = I [ )∞∈ IMñ K
Figure 160.
735. bñéçåÉåíá~ä cìåÅíáçåëñ~ó = I M~ > I N~ ≠ IñÉó = áÑ É~ = I KSTNUOUNUOUQKOÉ =
Figure 161.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
199
736. içÖ~êáíÜãáÅ cìåÅíáçåëñäçÖó ~= I ( )∞∈ IMñ I M~ > I N~ ≠ I
ñäåó = áÑ É~ = I Mñ > K
Figure 162.
737. eóéÉêÄçäáÅ páåÉ cìåÅíáçå
ñëáåÜó = IO
ÉÉñëáåÜ
ññ −−= I oñ∈ K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
200
Figure 163.
738. eóéÉêÄçäáÅ `çëáåÉ cìåÅíáçå
ñÜÅçëó = IO
ÉÉñÜÅçë
ññ −+= I oñ∈ K
Figure 164.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
201
739. eóéÉêÄçäáÅ q~åÖÉåí cìåÅíáçå
ñí~åÜó = Iññ
ññ
ÉÉ
ÉÉ
ñÅçëÜ
ñëáåÜñí~åÜó −
−
+−
=== I oñ∈ K
Figure 165.
740. eóéÉêÄçäáÅ `çí~åÖÉåí cìåÅíáçå
ñÜÅçíó = Iññ
ññ
ÉÉ
ÉÉ
ñëáåÜ
ñÅçëÜñÜÅçíó −
−
−+
=== I oñ∈ I Mñ ≠ K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
202
Figure 166.
741. eóéÉêÄçäáÅ pÉÅ~åí cìåÅíáçå
ñÜëÉÅó = Iññ ÉÉ
O
ñÅçëÜ
NñÜëÉÅó −+
=== I oñ∈ K
Figure 167.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
203
742. eóéÉêÄçäáÅ `çëÉÅ~åí cìåÅíáçå
ñÅëÅÜó = Iññ ÉÉ
O
ñëáåÜ
NñÅëÅÜó −−
=== I oñ∈ I Mñ ≠ K
Figure 168.
743. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ páåÉ cìåÅíáçåñ~êÅëáåÜó = I oñ∈ K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
204
Figure 169.
744. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ `çëáåÉ cìåÅíáçåñ~êÅÅçëÜó = I [ )∞∈ INñ K
Figure 170.
745. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ q~åÖÉåí cìåÅíáçåñ~êÅí~åÜó = I ( )NINñ −∈ K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
205
Figure 171.
746. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ `çí~åÖÉåí cìåÅíáçåñ~êÅÅçíÜó = I ( ) ( )∞∪−∞−∈ INNIñ K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
206
Figure 172.
747. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ pÉÅ~åí cìåÅíáçåñ~êÅëÉÅÜó = I ( ]NIMñ∈ K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
207
Figure 173.
748. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ `çëÉÅ~åí cìåÅíáçåñ~êÅÅëÅÜó = I oñ∈ I Mñ ≠ K
Figure 174.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
208
8.2 Limits of Functions
cìåÅíáçåëW ( )ñÑ I ( )ñÖ^êÖìãÉåíW ñoÉ~ä Åçåëí~åíëW ~I â
749. ( ) ( )[ ] ( ) ( )ñÖäáãñÑäáãñÖñÑäáã~ñ~ñ~ñ →→→
+=+
750. ( ) ( )[ ] ( ) ( )ñÖäáãñÑäáãñÖñÑäáã~ñ~ñ~ñ →→→
−=−
751. ( ) ( )[ ] ( ) ( )ñÖäáãñÑäáãñÖñÑäáã~ñ~ñ~ñ →→→
⋅=⋅
752. ( )( )
( )( )ñÖäáã
ñÑäáã
ñÖ
ñÑäáã
~ñ
~ñ
~ñ→
→
→= I áÑ ( ) MñÖäáã
~ñ≠
→K
753. ( )[ ] ( )ñÑäáãâñâÑäáã~ñ~ñ →→
=
754. ( )( ) ( )( )ñÖäáãÑñÖÑäáã~ñ~ñ →→
=
755. ( ) ( )~ÑñÑäáã~ñ
=→
I áÑ íÜÉ ÑìåÅíáçå ( )ñÑ áë Åçåíáåìçìë ~í ~ñ = K
756. Nñ
ñëáåäáã
Mñ=
→
757. Nñ
ñí~åäáã
Mñ=
→
758. Nñ
ñëáåäáã
N
Mñ=
−
→
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
209
759. Nñ
ñí~åäáã
N
Mñ=
−
→
760. ( )N
ñ
ñNäåäáã
Mñ=
+→
761. Éñ
NNäáã
ñ
ñ=
+
∞→
762. âñ
ñÉ
ñ
âNäáã =
+
∞→
763. N~äáã ñ
Mñ=
→
8.3 Definition and Properties of the Derivative
cìåÅíáçåëW ÑI ÖI óI ìI îfåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉW ñoÉ~ä Åçåëí~åíW â^åÖäÉW α
764. ( ) ( ) ( )Çñ
Çó
ñ
óäáã
ñ
ñÑññÑäáãñó
MñMñ=
∆∆
=∆
−∆+=′
→∆→∆
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
210
Figure 175.
765. α= í~åÇñ
Çó
766. ( )Çñ
Çî
Çñ
Çì
Çñ
îìÇ+=
+
767. ( )Çñ
Çî
Çñ
Çì
Çñ
îìÇ−=
−
768. ( )Çñ
Çìâ
Çñ
âìÇ=
769. mêçÇìÅí oìäÉ( )
Çñ
Çîìî
Çñ
Çì
Çñ
îìÇ⋅+⋅=
⋅
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
211
770. nìçíáÉåí oìäÉ
OîÇñ
Çîìî
Çñ
Çì
î
ì
Çñ
Ç ⋅−⋅=
771. `Ü~áå oìäÉ( )( )ñÖÑó = I ( )ñÖì = I
Çñ
Çì
Çì
Çó
Çñ
Çó⋅= K
772. aÉêáî~íáîÉ çÑ fåîÉêëÉ cìåÅíáçå
Çó
ÇñN
Çñ
Çó= I
ïÜÉêÉ ( )óñ áë íÜÉ áåîÉêëÉ ÑìåÅíáçå çÑ ( )ñó K
773. oÉÅáéêçÅ~ä oìäÉ
OóÇñ
Çó
ó
N
Çñ
Ç−=
774. içÖ~êáíÜãáÅ aáÑÑÉêÉåíá~íáçå( )ñÑó = I ( )ñÑäåóäå = I
( ) ( )[ ]ñÑäåÇñ
ÇñÑ
Çñ
Çó⋅= K
8.4 Table of Derivatives
fåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉW ñoÉ~ä Åçåëí~åíëW `I ~I ÄI Åk~íìê~ä åìãÄÉêW å
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
212
775. ( ) M`Çñ
Ç=
776. ( ) NñÇñ
Ç=
777. ( ) ~Ä~ñÇñ
Ç=+
778. ( ) Ä~ñÅÄñ~ñÇñ
Ç O +=++
779. ( ) Nåå åññÇñ
Ç −=
780. ( )Nå
å
ñ
åñ
Çñ
Ç+
− −=
781. Oñ
N
ñ
N
Çñ
Ç−=
782. ( )ñO
Nñ
Çñ
Ç=
783. ( )å Nå
å
ñå
Nñ
Çñ
Ç−
=
784. ( )ñ
Nñäå
Çñ
Ç=
785. ( )~äåñ
NñäçÖ
Çñ
Ç~ = I M~ > I N~ ≠ K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
213
786. ( ) ~äå~~Çñ
Ç ññ = I M~ > I N~ ≠ K
787. ( ) ññ ÉÉÇñ
Ç=
788. ( ) ñÅçëñëáåÇñ
Ç=
789. ( ) ñëáåñÅçëÇñ
Ç−=
790. ( ) ñëÉÅñÅçë
Nñí~å
Çñ
Ç O
O==
791. ( ) ñÅëÅñëáå
NñÅçí
Çñ
Ç O
O−=−=
792. ( ) ñëÉÅñí~åñëÉÅÇñ
Ç⋅=
793. ( ) ñÅëÅñÅçíñÅëÅÇñ
Ç⋅−=
794. ( )OñN
Nñ~êÅëáå
Çñ
Ç
−=
795. ( )OñN
Nñ~êÅÅçë
Çñ
Ç
−−=
796. ( )OñN
Nñ~êÅí~å
Çñ
Ç
+=
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
214
797. ( )OñN
NñÅçí~êÅ
Çñ
Ç
+−=
798. ( )Nññ
NñëÉÅ~êÅ
Çñ
ÇO −
=
799. ( )Nññ
NñÅëÅ~êÅ
Çñ
ÇO −
−=
800. ( ) ñÅçëÜñëáåÜÇñ
Ç=
801. ( ) ñëáåÜñÅçëÜÇñ
Ç=
802. ( ) ñëÉÅÜñÅçëÜ
Nñí~åÜ
Çñ
Ç O
O==
803. ( ) ñÅëÅÜñëáåÜ
NñÅçíÜ
Çñ
Ç O
O−=−=
804. ( ) ñí~åÜñëÉÅÜñëÉÅÜÇñ
Ç⋅−=
805. ( ) ñÅçíÜñÅëÅÜñÅëÅÜÇñ
Ç⋅−=
806. ( )Nñ
Nñ~êÅëáåÜ
Çñ
ÇO +
=
807. ( )Nñ
Nñ~êÅÅçëÜ
Çñ
ÇO −
=
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
215
808. ( )OñN
Nñ~êÅí~åÜ
Çñ
Ç
−= I Nñ < K
809. ( )Nñ
Nñ~êÅÅçíÜ
Çñ
ÇO −
−= I Nñ > K
810. ( )Çñ
Çîìäåì
Çñ
Çìîìì
Çñ
Ç îNîî ⋅+⋅= −
8.5 Higher Order Derivatives
cìåÅíáçåëW ÑI óI ìI îfåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉW ñk~íìê~ä åìãÄÉêW å
811. pÉÅçåÇ ÇÉêáî~íáîÉ
( )O
O
Çñ
óÇ
Çñ
Çó
Çñ
Ç
Çñ
ÇóÑÑ =
=′
=′′=′′
812. eáÖÜÉê-lêÇÉê ÇÉêáî~íáîÉ
( ) ( ) ( )( ) ′=== −Nåå
å
åå Ñó
Çñ
óÇÑ
813. ( )( ) ( ) ( )ååå îìîì +=+
814. ( )( ) ( ) ( )ååå îìîì −=−
815. iÉáÄåáíò∞ë cçêãìä~ë
( ) îìîìOîììî ′′+′′+′′=′′
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
216
( ) îìîìPîìPîììî ′′′+′′′+′′′+′′′=′′′
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )åOåNååå ìîîìON
Nååîåìîììî ++′′
⋅−
+′+= −− K
816. ( )( )
( )åãåã ñ
>åã
>ãñ −
−=
817. ( )( )>åñ
åå =
818. ( )( ) ( ) ( )~äåñ
>NåNñäçÖ
å
Nåå
~
−−=
−
819. ( )( ) ( ) ( )å
Nåå
ñ
>NåNñäå
−−=
−
820. ( )( )~äå~~ åñåñ =
821. ( )( ) ñåñ ÉÉ =
822. ( )( )~äå~ã~ åãñååãñ =
823. ( )( )
π
+=O
åñëáåñëáå å
824. ( )( )
π
+=O
åñÅçëñÅçë å
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
217
8.6 Applications of Derivative
cìåÅíáçåëW ÑI ÖI ómçëáíáçå çÑ ~å çÄàÉÅíW ësÉäçÅáíóW î^ÅÅÉäÉê~íáçåW ïfåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉW ñqáãÉW ík~íìê~ä åìãÄÉêW å
825. sÉäçÅáíó ~åÇ ^ÅÅÉäÉê~íáçå( )íÑë = áë íÜÉ éçëáíáçå çÑ ~å çÄàÉÅí êÉä~íáîÉ íç ~ ÑáñÉÇ
ÅççêÇáå~íÉ ëóëíÉã ~í ~ íáãÉ íI( )íÑëî ′=′= áë íÜÉ áåëí~åí~åÉçìë îÉäçÅáíó çÑ íÜÉ çÄàÉÅíI
( )íÑëîï ′′=′′=′= áë íÜÉ áåëí~åí~åÉçìë ~ÅÅÉäÉê~íáçå çÑíÜÉ çÄàÉÅíK
826. q~åÖÉåí iáåÉ( )( )MMM ñññÑóó −′=−
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
218
Figure 176.
827. kçêã~ä iáåÉ
( )( )M
M
M ñññÑ
Nóó −
′−=− EcáÖ NTSF
828. fåÅêÉ~ëáåÖ ~åÇ aÉÅêÉ~ëáåÖ cìåÅíáçåëKfÑ ( ) MñÑ M >′ I íÜÉå ÑEñF áë áåÅêÉ~ëáåÖ ~í Mñ K EcáÖ NTTI Nññ < I
ññO < FIfÑ ( ) MñÑ M <′ I íÜÉå ÑEñF áë ÇÉÅêÉ~ëáåÖ ~í Mñ K EcáÖ NTTI
ON ñññ << FIfÑ ( )MñÑ ′ ÇçÉë åçí Éñáëí çê áë òÉêçI íÜÉå íÜÉ íÉëí Ñ~áäëK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
219
Figure 177.
829. içÅ~ä ÉñíêÉã~^ ÑìåÅíáçå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ã~ñáãìã ~í Nñ áÑ ~åÇ çåäó áÑíÜÉêÉ Éñáëíë ëçãÉ áåíÉêî~ä Åçåí~áåáåÖ Nñ ëìÅÜ íÜ~í( ) ( )ñÑñÑ N ≥ Ñçê ~ää ñ áå íÜÉ áåíÉêî~ä EcáÖKNTTFK
^ ÑìåÅíáçå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ãáåáãìã ~í Oñ áÑ ~åÇ çåäó áÑíÜÉêÉ Éñáëíë ëçãÉ áåíÉêî~ä Åçåí~áåáåÖ Oñ ëìÅÜ íÜ~í( ) ( )ñÑñÑ O ≤ Ñçê ~ää ñ áå íÜÉ áåíÉêî~ä EcáÖKNTTFK
830. `êáíáÅ~ä mçáåíë^ ÅêáíáÅ~ä éçáåí çå ÑEñF çÅÅìêë ~í Mñ áÑ ~åÇ çåäó áÑ ÉáíÜÉê
( )MñÑ ′ áë òÉêç çê íÜÉ ÇÉêáî~íáîÉ ÇçÉëå∞í ÉñáëíK
831. cáêëí aÉêáî~íáîÉ qÉëí Ñçê içÅ~ä bñíêÉã~KfÑ ÑEñF áë áåÅêÉ~ëáåÖ E ( ) MñÑ >′ F Ñçê ~ää ñ áå ëçãÉ áåíÉêî~ä( ]NñI~ ~åÇ ÑEñF áë ÇÉÅêÉ~ëáåÖ E ( ) MñÑ <′ F Ñçê ~ää ñ áå ëçãÉáåíÉêî~ä [ )ÄIñN I íÜÉå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ã~ñáãìã ~í NñEcáÖKNTTFK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
220
832. fÑ ÑEñF áë ÇÉÅêÉ~ëáåÖ E ( ) MñÑ <′ F Ñçê ~ää ñ áå ëçãÉ áåíÉêî~ä( ]OñI~ ~åÇ ÑEñF áë áåÅêÉ~ëáåÖ E ( ) MñÑ >′ F Ñçê ~ää ñ áå ëçãÉáåíÉêî~ä [ )ÄIñ O I íÜÉå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ãáåáãìã ~í Oñ KEcáÖKNTTFK
833. pÉÅçåÇ aÉêáî~íáîÉ qÉëí Ñçê içÅ~ä bñíêÉã~KfÑ ( ) MñÑ N =′ ~åÇ ( ) MñÑ N <′′ I íÜÉå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ã~ñáãìã~í Nñ KfÑ ( ) MñÑ O =′ ~åÇ ( ) MñÑ O >′′ I íÜÉå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ãáåáãìã~í Oñ K EcáÖKNTTF
834. `çåÅ~îáíóKÑEñF áë ÅçåÅ~îÉ ìéï~êÇ ~í Mñ áÑ ~åÇ çåäó áÑ ( )ñÑ ′ áë
áåÅêÉ~ëáåÖ ~í Mñ EcáÖKNTTI ññ P < FK
ÑEñF áë ÅçåÅ~îÉ Ççïåï~êÇ ~í Mñ áÑ ~åÇ çåäó áÑ ( )ñÑ ′ áë
ÇÉÅêÉ~ëáåÖ ~í Mñ K EcáÖKNTTI Pññ < FK
835. pÉÅçåÇ aÉêáî~íáîÉ qÉëí Ñçê `çåÅ~îáíóKfÑ ( ) MñÑ M >′′ I íÜÉå ÑEñF áë ÅçåÅ~îÉ ìéï~êÇ ~í Mñ K
fÑ ( ) MñÑ M <′′ I íÜÉå ÑEñF áë ÅçåÅ~îÉ Ççïåï~êÇ ~í Mñ K
fÑ ( )ñÑ ′′ ÇçÉë åçí Éñáëí çê áë òÉêçI íÜÉå íÜÉ íÉëí Ñ~áäëK
836. fåÑäÉÅíáçå mçáåíëfÑ ( )PñÑ ′ Éñáëíë ~åÇ ( )ñÑ ′′ ÅÜ~åÖÉë ëáÖå ~í Pññ = I íÜÉå
íÜÉ éçáåí ( )( )PP ñÑIñ áë ~å áåÑäÉÅíáçå éçáåí çÑ íÜÉ Öê~éÜ çÑ
( )ñÑ K fÑ ( )PñÑ ′′ Éñáëíë ~í íÜÉ áåÑäÉÅíáçå éçáåíI íÜÉå ( ) MñÑ P =′′EcáÖKNTTFK
837. i∞eçéáí~ä∞ë oìäÉ
( )( )
( )( )ñÖ
ñÑäáã
ñÖ
ñÑäáã
ÅñÅñ ′′
=→→
áÑ ( ) ( )∞
==→→
MñÖäáãñÑäáã
ÅñÅñK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
221
8.7 Differential
cìåÅíáçåëW ÑI ìI îfåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉW ñaÉêáî~íáîÉ çÑ ~ ÑìåÅíáçåW ( )ñó′ I ( )ñÑ ′oÉ~ä Åçåëí~åíW `aáÑÑÉêÉåíá~ä çÑ ÑìåÅíáçå ( )ñÑó = W ÇóaáÑÑÉêÉåíá~ä çÑ ñW Çñpã~ää ÅÜ~åÖÉ áå ñW ñ∆pã~ää ÅÜ~åÖÉ áå óW ó∆
838. ÇñóÇó ′=
839. ( ) ( ) ( ) ññÑñÑññÑ ∆′+=∆+
Figure 178.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
222
840. pã~ää `Ü~åÖÉ áå ó( ) ( )ñÑññÑó −∆+=∆
841. ( ) ÇîÇìîìÇ +=+
842. ( ) ÇîÇìîìÇ −=−
843. ( ) `Çì`ìÇ =
844. ( ) ìÇîîÇììîÇ +=
845. Oî
ìÇîîÇì
î
ìÇ
−=
8.8 Multivariable Functions
cìåÅíáçåë çÑ íïç î~êá~ÄäÉëW ( )óIñò I ( )óIñÑ I ( )óIñÖ I ( )óIñÜ^êÖìãÉåíëW ñI óI ípã~ää ÅÜ~åÖÉë áå ñI óI òI êÉëéÉÅíáîÉäóW ñ∆ I ó∆ I ò∆ K
846. cáêëí lêÇÉê m~êíá~ä aÉêáî~íáîÉëqÜÉ é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉ ïáíÜ êÉëéÉÅí íç ñ
ñÑñ
Ñ=
∂∂
E~äëç ñòñ
ò=
∂∂
FI
qÜÉ é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉ ïáíÜ êÉëéÉÅí íç ó
óÑó
Ñ=
∂∂
E~äëç óòó
ò=
∂∂
FK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
223
847. pÉÅçåÇ lêÇÉê m~êíá~ä aÉêáî~íáîÉë
ññO
O
Ññ
Ñ
ñ
Ñ
ñ=
∂∂
=
∂∂
∂∂
I
óóO
O
Ñó
Ñ
ó
Ñ
ó=
∂∂
=
∂∂
∂∂
I
ñó
O
Ññó
Ñ
ñ
Ñ
ó=
∂∂∂
=
∂∂
∂∂
I
óñ
O
Ñóñ
Ñ
ó
Ñ
ñ=
∂∂∂
=
∂∂
∂∂
K
fÑ íÜÉ ÇÉêáî~íáîÉë ~êÉ ÅçåíáåìçìëI íÜÉå
óñ
Ñ
ñó
Ñ OO
∂∂∂
=∂∂
∂K
848. `Ü~áå oìäÉëfÑ ( ) ( )( )óIñÜÖóIñÑ = EÖ áë ~ ÑìåÅíáçå çÑ çåÉ î~êá~ÄäÉ ÜFI íÜÉå
( )( )ñ
ÜóIñÜÖ
ñ
Ñ
∂∂′=
∂∂
I ( )( )ó
ÜóIñÜÖ
ó
Ñ
∂∂′=
∂∂
K
fÑ ( ) ( ) ( )( )íóIíñÑíÜ = I íÜÉå ( )Çí
Çó
ó
Ñ
Çí
Çñ
ñ
ÑíÜ
∂∂
+∂∂
=′ K
fÑ ( ) ( )( )îIìóIîIìñÑò = I íÜÉå
ì
ó
ó
Ñ
ì
ñ
ñ
Ñ
ì
ò
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
Iî
ó
ó
Ñ
î
ñ
ñ
Ñ
î
ò
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
K
849. pã~ää `Ü~åÖÉë
óó
Ññ
ñ
Ñò ∆
∂∂
+∆∂∂
≈∆
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
224
850. içÅ~ä j~ñáã~ ~åÇ jáåáã~( )óIñÑ Ü~ë ~ äçÅ~ä ã~ñáãìã ~í ( )MM óIñ áÑ ( ) ( )MM óIñÑóIñÑ ≤
Ñçê ~ää ( )óIñ ëìÑÑáÅáÉåíäó ÅäçëÉ íç ( )MM óIñ K
( )óIñÑ Ü~ë ~ äçÅ~ä ãáåáãìã ~í ( )MM óIñ áÑ ( ) ( )MM óIñÑóIñÑ ≥Ñçê ~ää ( )óIñ ëìÑÑáÅáÉåíäó ÅäçëÉ íç ( )MM óIñ K
851. pí~íáçå~êó mçáåíë
Mó
Ñ
ñ
Ñ=
∂∂
=∂∂
K
içÅ~ä ã~ñáã~ ~åÇ äçÅ~ä ãáåáã~ çÅÅìê ~í ëí~íáçå~êó éçáåíëK
852. p~ÇÇäÉ mçáåí^ ëí~íáçå~êó éçáåí ïÜáÅÜ áë åÉáíÜÉê ~ äçÅ~ä ã~ñáãìãåçê ~ äçÅ~ä ãáåáãìã
853. pÉÅçåÇ aÉêáî~íáîÉ qÉëí Ñçê pí~íáçå~êó mçáåíë
iÉí ( )MM óIñ ÄÉ ~ ëí~íáçå~êó éçáåí E Mó
Ñ
ñ
Ñ=
∂∂
=∂∂
FK
( ) ( )( ) ( )MMóóMMóñ
MMñóMMññ
óIñÑóIñÑ
óIñÑóIñÑa = K
fÑ Ma> I ( ) MóIñÑ MMññ > I ( )MM óIñ áë ~ éçáåí çÑ äçÅ~ä ãáåáã~K
fÑ Ma> I ( ) MóIñÑ MMññ < I ( )MM óIñ áë ~ éçáåí çÑ äçÅ~ä ã~ñáã~K
fÑ Ma< I ( )MM óIñ áë ~ ë~ÇÇäÉ éçáåíK
fÑ Ma= I íÜÉ íÉëí Ñ~áäëK
854. q~åÖÉåí mä~åÉqÜÉ Éèì~íáçå çÑ íÜÉ í~åÖÉåí éä~åÉ íç íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ( )óIñÑò =~í ( )MMM òIóIñ áë
( )( ) ( )( )MMMóMMMñM óóóIñÑññóIñÑòò −+−=− K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
225
855. kçêã~ä íç pìêÑ~ÅÉqÜÉ Éèì~íáçå çÑ íÜÉ åçêã~ä íç íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ( )óIñÑò = ~í( )MMM òIóIñ áë
( ) ( ) N
òò
óIñÑ
óó
óIñÑ
ññ M
MMó
M
MMñ
M
−−
=−
=−
K
8.9 Differential Operators
råáí îÉÅíçêë ~äçåÖ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉ ~ñÉëW ár
I àr
I âr
pÅ~ä~ê ÑìåÅíáçåë EëÅ~ä~ê ÑáÉäÇëFW ( )òIóIñÑ I ( )åON ñIIñIñì K
dê~ÇáÉåí çÑ ~ ëÅ~ä~ê ÑáÉäÇW ìÖê~Ç I ì∇
aáêÉÅíáçå~ä ÇÉêáî~íáîÉWä
Ñ
∂∂
sÉÅíçê ÑìåÅíáçå EîÉÅíçê ÑáÉäÇFW ( )oInImcr
aáîÉêÖÉåÅÉ çÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇW cÇáîr
I cr⋅∇
`ìêä çÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇW cÅìêär
I cr
×∇i~éä~Åá~å çéÉê~íçêW O∇
856. dê~ÇáÉåí çÑ ~ pÅ~ä~ê cìåÅíáçå
∂∂
∂∂
∂∂
=∇=ò
ÑI
ó
ÑI
ñ
ÑÑÑÖê~Ç I
∂∂
∂∂
∂∂
=∇=åON ñ
ìII
ñ
ìI
ñ
ìììÖê~Ç K K
857. aáêÉÅíáçå~ä aÉêáî~íáîÉ
γ∂∂
+β∂∂
+α∂∂
=∂∂
Åçëò
ÑÅçë
ó
ÑÅçë
ñ
Ñ
ä
ÑI
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
226
ïÜÉêÉ íÜÉ ÇáêÉÅíáçå áë ÇÉÑáåÉÇ Äó íÜÉ îÉÅíçê
( )γβα ÅçëIÅçëIÅçëär
I NÅçëÅçëÅçë OOO =γ+β+α K
858. aáîÉêÖÉåÅÉ çÑ ~ sÉÅíçê cáÉäÇ
ò
o
ó
n
ñ
mccÇáî
∂∂
+∂∂
+∂∂
=⋅∇=rr
859. `ìêä çÑ ~ sÉÅíçê cáÉäÇ
onmñññ
âàá
ccÅìêä∂∂
∂∂
∂∂
=×∇=
rrr
rr
âó
m
ñ
nà
ñ
o
ò
má
ò
n
ó
o rrr
∂∂
−∂∂
+
∂∂
−∂∂
+
∂∂
−∂∂
=
860. i~éä~Åá~å léÉê~íçê
O
O
O
O
O
OO
ò
Ñ
ó
Ñ
ñ
ÑÑ
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
861. ( ) ( ) MccÅìêäÇáî ≡×∇⋅∇=rr
862. ( ) ( ) MÑÑÖê~ÇÅìêä ≡∇×∇=
863. ( ) ( ) ÑÑÑÖê~ÇÇáî O∇=∇⋅∇=
864. ( ) ( ) ( ) ccccÇáîÖê~ÇcÅìêäÅìêä OOrrrrr
∇−⋅∇∇=∇−=
http://fribok.blogspot.com/
227
Chapter 9
Integral Calculus
cìåÅíáçåëW ÑI ÖI ìI îfåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉëW ñI íI ξ
fåÇÉÑáåáíÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ ÑìåÅíáçåW ( )∫ ÇññÑ I ( )∫ ÇññÖ I £
aÉêáî~íáîÉ çÑ ~ ÑìåÅíáçåW ( )ñó′ I ( )ñÑ ′ I ( )ñc′ I £oÉ~ä Åçåëí~åíëW `I ~I ÄI ÅI ÇI âk~íìê~ä åìãÄÉêëW ãI åI áI à
9.1 Indefinite Integral
865. ( ) ( ) `ñcÇññÑ +=∫ áÑ ( ) ( )ñÑñc =′ K
866. ( )( ) ( )ñÑÇññÑ =′∫
867. ( ) ( )∫∫ = ÇññÑâÇññâÑ
868. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ +=+ ÇññÖÇññÑÇññÖñÑ
869. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ −=− ÇññÖÇññÑÇññÖñÑ
870. ( ) ( ) `~ñc~
NÇñ~ñÑ +=∫
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
228
871. ( ) ( ) `Ä~ñc~
NÇñÄ~ñÑ ++=+∫
872. ( ) ( ) ( ) `ñÑO
NÇññÑñÑ O +=′∫
873. ( )( ) ( ) `ñÑäåÇññÑ
ñÑ+=
′∫
874. jÉíÜçÇ çÑ pìÄëíáíìíáçå
( ) ( )( ) ( )∫∫ ′= ÇííìíìÑÇññÑ áÑ ( )íìñ = K
875. fåíÉÖê~íáçå Äó m~êíë
∫∫ −= îÇììîìÇî I
ïÜÉêÉ ( )ñì I ( )ñî ~êÉ ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ ÑìåÅíáçåëK
9.2 Integrals of Rational Functions
876. `~ñ~Çñ +=∫
877. `O
ññÇñ
O
+=∫
878. `P
ñÇññ
PO +=∫
879. `Né
ñÇññ
Néé +
+=
+
∫ I Né −≠ K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
229
880. ( ) ( )( ) `
Nå~
Ä~ñÇñÄ~ñ
Nåå +
++
=++
∫ I Nå −≠ K
881. `ñäåñ
Çñ+=∫
882. `Ä~ñäå~
N
Ä~ñ
Çñ++=
+∫
883. `ÇÅñäåÅ
~ÇÄÅñ
Å
~Çñ
ÇÅñ
Ä~ñO
++−
+=++
∫
884. ( )( ) `~ñ
Äñäå
Ä~
N
Äñ~ñ
Çñ+
++
−=
++∫ I Ä~ ≠ K
885. ( ) `Äñ~äå~Äñ~Ä
N
Äñ~
ñÇñO
++−+=+∫
886. ( ) ( ) `Äñ~äå~Äñ~~OÄñ~O
N
Ä
N
Äñ~
Çññ OO
P
O
+
+++−+=
+∫
887. ( ) `ñ
Äñ~äå
~
N
Äñ~ñ
Çñ+
+=
+∫
888. ( ) `ñ
Äñ~äå
~
Ä
~ñ
N
Äñ~ñ
ÇñOO
++
+−=+∫
889. ( )
`Äñ~
~Äñ~äå
Ä
N
Äñ~
ñÇñOO +
+++=
+∫
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
230
890. ( )
`Äñ~
~Äñ~äå~OÄñ~
Ä
N
Äñ~
Çññ O
PO
O
+
+
−+−+=+∫
891. ( ) ( ) `
ñ
Äñ~äå
~
N
Äñ~~
N
Äñ~ñ
ÇñOO
++
++
=+∫
892. `Nñ
Nñäå
O
N
Nñ
ÇñO
++−
=−∫
893. `ñN
ñNäå
O
N
ñN
ÇñO
+−+
=−∫
894. `ñ~
ñ~äå
~O
N
ñ~
ÇñOO
+−+
=−∫
895. `~ñ
~ñäå
~O
N
~ñ
ÇñOO
++−
=−∫
896. `ñí~åñN
Çñ N
O+=
+−∫
897. `~
ñí~å
~
N
ñ~
Çñ N
OO+=
+−∫
898. ( ) `~ñäåO
N
~ñ
ñÇñ OO
OO++=
+∫
899. `~
Äñ~êÅí~å
~Ä
N
Äñ~
ÇñO
+
=
+∫ I M~Ä > K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
231
900. `Ä
~ñäå
ÄO
N
Äñ~
ñÇñ O
O++=
+∫
901. ( ) `Äñ~
ñäå
~O
N
Äñ~ñ
ÇñO
O
O+
+=
+∫
902. `Äñ~
Äñ~äå
~ÄO
N
ñÄ~
ÇñOOO
+−+
=−∫
903. `~ÅQÄÄ~ñO
~ÅQÄÄ~ñOäå
~ÅQÄ
N
ÅÄñ~ñ
ÇñO
O
OO+
−++
−−+
−=
++∫ I
M~ÅQÄO >− K
904. `Ä~ÅQ
Ä~ñO~êÅí~å
Ä~ÅQ
O
ÅÄñ~ñ
ÇñOOO+
−
+
−=
++∫ I
M~ÅQÄO <− K
9.3 Integrals of Irrational Functions
905. `Ä~ñ~
O
Ä~ñ
Çñ++=
+∫
906. ( ) `Ä~ñ~P
OÇñÄ~ñ O
P++=+∫
907. ( )`Ä~ñ
~P
ÄO~ñO
Ä~ñ
ñÇñO
++−
=+∫
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
232
908. ( )( ) `Ä~ñ~NR
ÄO~ñPOÇñÄ~ññ O
P
O++
−=+∫
909. ( )
`~ÅÄÄ~ñ
~ÅÄÄ~ñäå
~ÅÄ
N
Ä~ñÅñ
Çñ+
−++−−+
−=
++∫ I
M~ÅÄ >− K
910. ( )
`Ä~Å
Ä~ñ~êÅí~å
Ä~Å
N
Ä~ñÅñ
Çñ+
−+
−=
++∫ I
M~ÅÄ <− K
911. ( )( ) −++=++
∫ ÇÅñÄ~ñÅ
NÇñ
ÇÅñ
Ä~ñ
( ) ( ) `Ä~ñÅÇÅñ~äå~ÅÅ
ÄÅ~Ç++++
−− I M~ > K
912. ( )( ) −++=++
∫ ÇÅñÄ~ñÅ
NÇñ
ÇÅñ
Ä~ñ
( )( ) `
Ä~ñÅ
ÇÅñ~~êÅí~å
~ÅÅ
ÄÅ~Ç+
++−
− I E M~ < I MÅ > FK
913. ( ) ( ) `Äñ~ÄNMR
ñÄNR~ÄñNO~UOÇñÄñ~ñ P
P
OOOO ++
+−=+∫
914. ( )`Äñ~
ÄNR
ñÄP~ÄñQ~UO
Äñ~
ÇññP
OOOO
+++−
=+∫
915. `~Äñ~
~Äñ~äå
~
N
Äñ~ñ
Çñ+
++−+
=+∫ I M~ > K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
233
916. `~
Äñ~~êÅí~å
~
O
Äñ~ñ
Çñ+
−+
−=
+∫ I M~ < K
917. ( )( ) ( ) `Ä~
Äñ~êÅëáåÄ~ñÄñ~Çñ
ñÄ
ñ~+
++
+++−=+−
∫
918. ( )( ) ( ) `Ä~
ñÄ~êÅëáåÄ~ñÄñ~Çñ
ñÄ
ñ~+
+−
+−−+−=−+
∫
919. `ñ~êÅëáåñNÇññN
ñN O ++−−=−+
∫
920. ( )( )
`~Ä
~ñ~êÅëáåO
~Ä~ñ
Çñ+
−−
=−−∫
921. +−+−
=−+∫ OO ÅñÄñ~ÅQ
ÄÅñOÇñÅñÄñ~
`~ÅQÄ
ÄÅñO~êÅëáå
ÅU
~ÅQÄOP
O
++
−−+
922. ( ) `ÅÄñ~ñ~OÄ~ñOäå~
N
ÅÄñ~ñ
Çñ O
O+++++=
++∫ I
M~ > K
923. `~ÅQÄ~Q
Ä~ñO~êÅëáå
~
N
ÅÄñ~ñ
Çñ O
O+−
+−=
++∫ I M~ < K
924. `~ññäåO
~~ñ
O
ñÇñ~ñ OO
OOOOO +++++=+∫
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
234
925. ( ) `~ñP
NÇñ~ññ O
POOOO ++=+∫
926. ( ) −++=+∫ OOOOOOO ~ñ~ñOU
ñÇñ~ññ
`~ññäåU
~ OOQ
+++−
927. `~ññäåñ
~ñÇñ
ñ
~ñ OOOO
O
OO
+++++
−=+
∫
928. `~ññäå~ñ
Çñ OO
OO+++=
+∫
929. `~ñ~
ñäå~~ñÇñ
ñ
~ñOO
OOOO
+++
++=+
∫
930. `~ñ~ñ
ñÇñ OO
OO++=
+∫
931. `~ññäåO
~~ñ
O
ñ
~ñ
Çññ OOO
OO
OO
O
+++−+=+∫
932. `~ñ~
ñäå
~
N
~ññ
ÇñOOOO+
++=
+∫
933. `~ññäåO
~~ñ
O
ñÇñ~ñ OO
OOOOO +−+−−=−∫
934. ( ) `~ñP
NÇñ~ññ O
POOOO +−=−∫
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
235
935. `ñ
~~êÅëáå~~ñÇñ
ñ
~ñ OOOO
++−=−
∫
936. `~ññäåñ
~ñÇñ
ñ
~ñ OOOO
O
OO
+−++−
−=−
∫
937. `~ññäå~ñ
Çñ OO
OO+−+=
−∫
938. `~ñ~ñ
ñÇñ OO
OO+−=
−∫
939. `~ññäåO
~~ñ
O
ñ
~ñ
Çññ OOO
OO
OO
O
+−++−=−∫
940. `ñ
~~êÅëáå
~
N
~ññ
ÇñOO
+−=−∫
941. ( )
`~ñ
~ñ
~
N
~ñ~ñ
ÇñOO
++−
=−+∫
942. ( )
`~ñ
~ñ
~
N
~ñ~ñ
ÇñOO
+−+
−=−−∫
943. `ñ~
~ñ
~ññ
ÇñO
OO
OOO+
−=
−∫
944. ( )
`~ñ~
ñ
~ñ
ÇñOOOO
POO
+−
−=−
∫
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
236
945. ( ) ( ) +−−−=−∫ OOOOOP
OO ~ñ~RñOU
ñÇñ~ñ
`~ññäåU
~P OOQ
+−++
946. `~
ñ~êÅëáå
O
~ñ~
O
ñÇññ~
OOOOO ++−=−∫
947. ( ) `ñ~P
NÇññ~ñ O
POOOO +−−=−∫
948. ( ) `~
ñ~êÅëáå
U
~ñ~~ñO
U
ñÇññ~ñ
QOOOOOOO ++−−=−∫
949. `ñ~~
ñäå~ñ~Çñ
ñ
ñ~OO
OOOO
+−+
+−=−
∫
950. `~
ñ~êÅëáå
ñ
ñ~Çñ
ñ
ñ~ OO
O
OO
+−−
−=−
∫
951. `ñ~êÅëáåñN
ÇñO
+=−
∫
952. `~
ñëáå
ñ~
ÇñOO
+=−
∫
953. `ñ~ñ~
ñÇñ OO
OO+−−=
−∫
954. `~
ñ~êÅëáå
O
~ñ~
O
ñ
ñ~
Çññ OOO
OO
O
++−−=−∫
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
237
955. ( )
`ñ~
ñ~
O
N
ñ~~ñ
ÇñOO
++−
−=−+∫
956. ( )
`ñ~
ñ~
O
N
ñ~~ñ
ÇñOO
+−+
−=−−∫
957. ( ) ( ) `
Äñ~
~Äñ~êÅëáå
~Ä
N
ñ~Äñ
Çñ O
OOOO+
++
−=
−+∫ I ~Ä > K
958. ( )
I`Äñ~ñ~Ä~
Äñäå
Ä~
N
ñ~Äñ
ÇñOOOOOOOOO
+++−−
+
−=
−+∫~Ä < K
959. `ñ~
ñ~
ñ~ñ
ÇñO
OO
OOO+
−−=
−∫
960. ( ) ( ) `~
ñ~êÅëáå
U
~Pñ~ñO~R
U
ñÇññ~
QOOOOO
POO ++−−=−∫
961. ( )
`ñ~~
ñ
ñ~
ÇñOOOO
POO
+−
=−
∫
9.4 Integrals of Trigonometric Functions
962. `ñÅçëñÇñëáå +−=∫
963. `ñëáåñÇñÅçë +=∫
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
238
964. `ñOëáåQ
N
O
ñÇññëáåO +−=∫
965. `ñOëáåQ
N
O
ñÇññÅçëO ++=∫
966. `ñÅçëQ
PñPÅçë
NO
N`ñÅçëñÅçë
P
NÇññëáå PP +−=+−=∫
967. `ñëáåQ
PñPëáå
NO
N`ñëáå
P
NñëáåÇññÅçë PP ++=+−=∫
968. `O
ñí~åäåÇññÅëÅ
ñëáå
Çñ+== ∫∫
969. `QO
ñí~åäåÇññëÉÅ
ñÅçë
Çñ+
π
+== ∫∫
970. `ñÅçíÇññÅëÅñëáå
Çñ O
O+−== ∫∫
971. `ñí~åÇññëÉÅñÅçë
Çñ O
O+== ∫∫
972. `O
ñí~åäå
O
N
ñëáåO
ñÅçëÇññÅëÅ
ñëáå
ÇñO
P
P++−== ∫∫
973. `QO
ñí~åäå
O
N
ñÅçëO
ñëáåÇññëÉÅ
ñÅçë
ÇñO
P
P+
π
++== ∫∫
974. `ñOÅçëQ
NÇññÅçëñëáå +−=∫
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
239
975. `ñëáåP
NÇññÅçëñëáå PO +=∫
976. `ñÅçëP
NÇññÅçëñëáå PO +−=∫
977. `ñQëáåPO
N
U
ñÇññÅçëñëáå OO +−=∫
978. `ñÅçëäåñÇñí~å +−=∫
979. `ñëÉÅ`ñÅçë
NÇñ
ñÅçë
ñëáåO
+=+=∫
980. `ñëáåQO
ñí~åäåÇñ
ñÅçë
ñëáåO
+−
π
+=∫
981. `ññí~åÇññí~åO +−=∫
982. `ñëáåäåñÇñÅçí +=∫
983. `ñÅëÅ`ñëáå
NÇñ
ñëáå
ñÅçëO
+−=+−=∫
984. `ñÅçëO
ñí~åäåÇñ
ñëáå
ñÅçëO
++=∫
985. `ññÅçíÇññÅçíO +−−=∫
986. `ñí~åäåñëáåñÅçë
Çñ+=∫
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
240
987. `QO
ñí~åäå
ñëáå
N
ñÅçëñëáå
ÇñO
+
π
++−=∫
988. `O
ñí~åäå
ñÅçë
N
ñÅçëñëáå
ÇñO
++=∫
989. `ñÅçíñí~åñÅçëñëáå
ÇñOO
+−=∫
990. ( )( )
( )( ) `
åãO
ñåãëáå
åãO
ñåãëáåÇñåñëáåãñëáå +
−−
+++
−=∫ I
OO åã ≠ K
991. ( )( )
( )( ) `
åãO
ñåãÅçë
åãO
ñåãÅçëÇñåñÅçëãñëáå +
−−
−++
−=∫ I
OO åã ≠ K
992. ( )( )
( )( ) `
åãO
ñåãëáå
åãO
ñåãëáåÇñåñÅçëãñÅçë +
−−
+++
=∫ I
OO åã ≠ K
993. `ñëÉÅñÇñí~åñëÉÅ +=∫
994. `ñÅëÅñÇñÅçíñÅëÅ +−=∫
995. `Nå
ñÅçëÇññÅçëñëáå
Nåå +
+−=
+
∫
996. `Nå
ñëáåÇññÅçëñëáå
Nåå +
+=
+
∫
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
241
997. `ñNñ~êÅëáåñÇññ~êÅëáå O +−+=∫
998. `ñNñ~êÅÅçëñÇññ~êÅÅçë O +−−=∫
999. ( ) `NñäåO
Nñ~êÅí~åñÇññ~êÅí~å O ++−=∫
1000. ( ) `NñäåO
NñÅçí~êÅñÇññÅçí~êÅ O +++=∫
9.5 Integrals of Hyperbolic Functions
1001. `ñÅçëÜñÇñëáåÜ +=∫
1002. `ñëáåÜñÇñÅçëÜ +=∫
1003. `ñÅçëÜäåÇññí~åÜ +=∫
1004. `ñëáåÜäåÇññÅçíÜ +=∫
1005. `ñí~åÜñÇñëÉÅÜO +=∫
1006. `ñÅçíÜñÇñÅëÅÜO +−=∫
1007. `ñëÉÅÜñÇñí~åÜñëÉÅÜ +−=∫
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
242
1008. `ñÅëÅÜñÇñÅçíÜñÅëÅÜ +−=∫
9.6 Integrals of Exponential and Logarithmic Functions
1009. `ÉÇñÉ ññ +=∫
1010. `~äå
~Çñ~
ññ +=∫
1011. `~
ÉÇñÉ
~ñ~ñ +=∫
1012. ( ) `N~ñ~
ÉÇññÉ
O
~ñ~ñ +−=∫
1013. `ññäåñÇññäå +−=∫
1014. `ñäåäåñäåñ
Çñ+=∫
1015. ( )
`Nå
N
Nå
ñäåñÇññäåñ O
Nåå +
+
−+
= +∫
1016. `ÉÄ~
ÄñÅçëÄÄñëáå~ÇñÄñëáåÉ ~ñ
OO
~ñ ++−
=∫
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
243
1017. `ÉÄ~
ÄñëáåÄÄñÅçë~ÇñÄñÅçëÉ ~ñ
OO
~ñ +++
=∫
9.7 Reduction Formulas
1018. ∫∫ −−= ÇñÉñã
åÉñ
ã
NÇñÉñ ãñNåãñåãñå
1019. ( ) ∫∫ −− −
+−
−= Çññ
É
Nå
ã
ñNå
ÉÇñ
ñ
ÉNå
ãñ
Nå
ãñ
å
ãñ
I Nå ≠ K
1020. ∫∫ −− −−= ñÇñëáåÜ
å
NåñÅçëÜñëáåÜ
å
NñÇñëáåÜ OåNåå
1021. ( ) ∫∫ −− −−
−−
−=ñëáåÜ
Çñ
Nå
Oå
ñëáåÜNå
ñÅçëÜ
ñëáåÜ
ÇñOåNåå
I Nå ≠ K
1022. ∫∫ −− −+= ñÇñÅçëÜ
å
NåñÅçëÜñÅçëÜñëáåÜ
å
NñÇñÅçëÜ OåNåå
1023. ( ) ∫∫ −− −−
+−
−=ñÅçëÜ
Çñ
Nå
Oå
ñÅçëÜNå
ñëáåÜ
ñÅçëÜ
ÇñOåNåå
I Nå ≠ K
1024. ãå
ñÅçëÜñëáåÜñÇñÅçëÜñëáåÜ
NãNåãå
+=
−+
∫
∫ −
+−
+ ñÇñÅçëÜñëáåÜãå
Nã Oãå
1025. ãå
ñÅçëÜñëáåÜñÇñÅçëÜñëáåÜ
NãNåãå
+=
+−
∫
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
244
∫ −
+−
− ñÇñÅçëÜñëáåÜãå
Nå ãOå
1026. ∫∫ −− +−
−= ñÇñí~åÜñí~åÜNå
NñÇñí~åÜ OåNåå I Nå ≠ K
1027. ∫∫ −− +−
−= ñÇñÅçíÜñÅçíÜNå
NñÇñÅçíÜ OåNåå I Nå ≠ K
1028. ∫∫ −−
−−
+−
= ñÇñëÉÅÜNå
Oå
Nå
ñí~åÜñëÉÅÜñÇñëÉÅÜ Oå
Oåå I Nå ≠ K
1029. ∫∫ −− −+−= ñÇñëáå
å
NåñÅçëñëáå
å
NñÇñëáå OåNåå
1030. ( ) ∫∫ −− −−
+−
−=ñëáå
Çñ
Nå
Oå
ñëáåNå
ñÅçë
ñëáå
ÇñOåNåå
I Nå ≠ K
1031. ∫∫ −− −+= ñÇñÅçë
å
NåñÅçëñëáå
å
NñÇñÅçë OåNåå
1032. ( ) ∫∫ −− −−
+−
=ñÅçë
Çñ
Nå
Oå
ñÅçëNå
ñëáå
ñÅçë
ÇñOåNåå
I Nå ≠ K
1033. ãå
ñÅçëñëáåñÇñÅçëñëáå
NãNåãå
+=
−+
∫
∫ −
+−
+ ñÇñÅçëñëáåãå
Nã Oãå
1034. ãå
ñÅçëñëáåñÇñÅçëñëáå
NãNåãå
+−=
+−
∫
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
245
∫ −
+−
+ ñÇñÅçëñëáåãå
Nå ãOå
1035. ∫∫ −− −−
= ñÇñí~åñí~åNå
NñÇñí~å OåNåå I Nå ≠ K
1036. ∫∫ −− −−
−= ñÇñÅçíñÅçíNå
NñÇñÅçí OåNåå I Nå ≠ K
1037. ∫∫ −−
−−
+−
= ñÇñëÉÅNå
Oå
Nå
ñí~åñëÉÅñÇñëÉÅ Oå
Oåå I Nå ≠ K
1038. ∫∫ −−
−−
+−
−= ñÇñÅëÅNå
Oå
Nå
ñÅçíñÅëÅñÇñÅëÅ Oå
Oåå I Nå ≠ K
1039. ∫∫ −+
+−
+= ñÇñäåñ
Nå
ã
Nå
ñäåññÇñäåñ Nãå
ãNåãå
1040. ( ) ∫∫
−
− −+
−−= Çñ
ñ
ñäå
Nå
ã
ñNå
ñäåÇñ
ñ
ñäåå
Nã
Nå
ã
å
ã
I Nå ≠ K
1041. ∫∫ −−= ñÇñäååñäåññÇñäå Nååå
1042. ∫∫ −−= ñÇñÅçëÜñåñÅçëÜññÇñëáåÜñ Nååå
1043. ∫∫ −−= ñÇñëáåÜñåñëáåÜññÇñÅçëÜñ Nååå
1044. ∫∫ −+−= ñÇñÅçëñåñÅçëññÇñëáåñ Nååå
1045. ∫∫ −−= ñÇñëáåñåñëáåññÇñÅçëñ Nååå
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
246
1046. ∫∫ −+−
+=
+−
+− Çñ
ñN
ñ
Nå
Nñëáå
Nå
ññÇñëáåñ
O
NåN
NåNå
1047. ∫∫ −++
+=
+−
+− Çñ
ñN
ñ
Nå
NñÅçë
Nå
ññÇñÅçëñ
O
NåN
NåNå
1048. ∫∫ ++−
+=
+−
+− Çñ
ñN
ñ
Nå
Nñí~å
Nå
ññÇñí~åñ
O
NåN
NåNå
1049. ∫∫ +−=
+ Ä~ñ
Çñ
~
Ä
~
ñ
Ä~ñ
Çññåå
å
1050. ( ) ( )( )( ) NåOOåO ÅÄñ~ñ~ÅQÄNå
Ä~ñO
ÅÄñ~ñ
Çñ−
++−−
−−=
++∫
( )( )( ) ( )∫ −
++−−−
−NåOO
ÅÄñ~ñ
Çñ
~ÅQÄNå
~PåOOI Nå ≠ K
1051. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I~ñ
Çñ
~NåO
PåO
~ñ~NåO
ñ
~ñ
ÇñNåOOONåOOOåOO ∫∫ −−
+−−
++−
=+
Nå ≠ K
1052. ( ) ( ) ( ) NåOOOåOO ~ñ~NåO
ñ
~ñ
Çñ−
−−−=
−∫
( ) ( )∫ −−−
−−
NåOOO~ñ
Çñ
~NåO
PåOI Nå ≠ K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
247
9.8 Definite Integral
aÉÑáåáíÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ ÑìåÅíáçåW ( )∫Ä
~
ÇññÑ I ( )∫Ä
~
ÇññÖ I £
oáÉã~åå ëìãW ( )∑=
∆ξå
Nááá ñÑ
pã~ää ÅÜ~åÖÉëW áñ∆^åíáÇÉêáî~íáîÉëW ( )ñc I ( )ñdiáãáíë çÑ áåíÉÖê~íáçåëW ~I ÄI ÅI Ç
1053. ( ) ( )∑∫=→∆
∞→∆ξ=
å
Nááá
Mñã~ñå
Ä
~
ñÑäáãÇññÑá
I
ïÜÉêÉ Nááá ñññ −−=∆ I ááNá ññ ≤ξ≤− K
Figure 179.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
248
1054. ~ÄÇñNÄ
~
−=∫
1055. ( ) ( )∫∫ =Ä
~
Ä
~
ÇññÑâÇññâÑ
1056. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ +=+Ä
~
Ä
~
Ä
~
ÇññÖÇññÑÇññÖñÑ
1057. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ −=−Ä
~
Ä
~
Ä
~
ÇññÖÇññÑÇññÖñÑ
1058. ( ) MÇññÑ~
~
=∫
1059. ( ) ( )∫∫ −=~
Ä
Ä
~
ÇññÑÇññÑ
1060. ( ) ( ) ( )∫∫∫ +=Ä
Å
Å
~
Ä
~
ÇññÑÇññÑÇññÑ Ñçê ÄÅ~ << K
1061. ( ) MÇññÑÄ
~
≥∫ áÑ ( ) MñÑ ≥ çå [ ]ÄI~ K
1062. ( ) MÇññÑÄ
~
≤∫ áÑ ( ) MñÑ ≤ çå [ ]ÄI~ K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
249
1063. cìåÇ~ãÉåí~ä qÜÉçêÉã çÑ `~äÅìäìë
( ) ( ) ( ) ( )~cÄcñcÇññÑÄ
~
Ä
~
−==∫ áÑ ( ) ( )ñÑñc =′ K
1064. jÉíÜçÇ çÑ pìÄëíáíìíáçåfÑ ( )íÖñ = I íÜÉå
( ) ( )( ) ( )∫∫ ′=Ç
Å
Ä
~
ÇííÖíÖÑÇññÑ I
ïÜÉêÉ( )~ÖÅ N−= I ( )ÄÖÇ N−= K
1065. fåíÉÖê~íáçå Äó m~êíë
( ) ∫∫ −=Ä
~
Ä
~
Ä
~
îÇììîìÇî
1066. qê~éÉòçáÇ~ä oìäÉ
( ) ( ) ( ) ( )
++
−= ∑∫
−
=
Nå
NááåM
Ä
~
ñÑOñÑñÑåO
~ÄÇññÑ
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
250
Figure 180.
1067. páãéëçå∞ë oìäÉ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ++++−
=∫ PONM
Ä
~
ñÑQñÑOñÑQñÑåP
~ÄÇññÑ
( ) ( ) ( )]åNåQ ñÑñÑQñÑO ++++ −K IïÜÉêÉ
áå
~Ä~ñ á
−+= I åIIOINIMá K= K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
251
Figure 181.
1068. ̂ êÉ~ råÇÉê ~ `ìêîÉ
( ) ( ) ( )~cÄcÇññÑpÄ
~
−== ∫ I
ïÜÉêÉ ( ) ( )ñÑñc =′ K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
252
Figure 182.
1069. ̂ êÉ~ _ÉíïÉÉå qïç `ìêîÉë
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )~d~cÄdÄcÇññÖñÑpÄ
~
+−−=−= ∫ I
ïÜÉêÉ ( ) ( )ñÑñc =′ I ( ) ( )ñÖñd =′ K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
253
Figure 183.
9.9 Improper Integral
1070. qÜÉ ÇÉÑáåáíÉ áåíÉÖê~ä ( )∫Ä
~
ÇññÑ áë Å~ääÉÇ ~å áãéêçéÉê áåíÉÖê~ä
áÑ• ~ çê Ä áë áåÑáåáíÉI• ( )ñÑ Ü~ë çåÉ çê ãçêÉ éçáåíë çÑ ÇáëÅçåíáåìáíó
áå íÜÉ áåíÉêî~ä [ ]ÄI~ K
1071. fÑ ( )ñÑ áë ~ Åçåíáåìçìë ÑìåÅíáçå çå [ )∞I~ I íÜÉå
( ) ( )∫∫ ∞→
∞
=å
~å
~
ÇññÑäáãÇññÑ K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
254
Figure 184.
1072. fÑ ( )ñÑ áë ~ Åçåíáåìçìë ÑìåÅíáçå çå ( ]ÄI∞− I íÜÉå
( ) ( )∫∫ ∞−→∞−
=Ä
åå
Ä
ÇññÑäáãÇññÑ K
Figure 185.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
255
kçíÉ W qÜÉ áãéêçéÉê áåíÉÖê~äë áå NMTNI NMTO ~êÉ ÅçåîÉêÖÉåíáÑ íÜÉ äáãáíë Éñáëí ~åÇ ~êÉ ÑáåáíÉX çíÜÉêïáëÉ íÜÉ áåíÉÖê~äë ~êÉÇáîÉêÖÉåíK
1073. ( ) ( ) ( )∫∫∫∞
∞−
∞
∞−
+=Å
Å
ÇññÑÇññÑÇññÑ
Figure 186.
fÑ Ñçê ëçãÉ êÉ~ä åìãÄÉê ÅI ÄçíÜ çÑ íÜÉ áåíÉÖê~äë áå íÜÉ êáÖÜí
ëáÇÉ ~êÉ ÅçåîÉêÖÉåíI íÜÉå íÜÉ áåíÉÖê~ä ( )∫∞
∞−
ÇññÑ áë ~äëç
ÅçåîÉêÖÉåíX çíÜÉêïáëÉ áí áë ÇáîÉêÖÉåíK
1074. ̀ çãé~êáëçå qÜÉçêÉãëiÉí ( )ñÑ ~åÇ ( )ñÖ ÄÉ Åçåíáåìçìë ÑìåÅíáçåë çå íÜÉ ÅäçëÉÇáåíÉêî~ä [ )∞I~ K pìééçëÉ íÜ~í ( ) ( )ñÑñÖM ≤≤ Ñçê ~ää ñ áå[ )∞I~ K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
256
• fÑ ( )∫∞
~
ÇññÑ áë ÅçåîÉêÖÉåíI íÜÉå ( )∫∞
~
ÇññÖ áë ~äëç
ÅçåîÉêÖÉåíI
• fÑ ( )∫∞
~
ÇññÖ áë ÇáîÉêÖÉåíI íÜÉå ( )∫∞
~
ÇññÑ áë ~äëç ÇáîÉêÖÉåíK
1075. ̂ ÄëçäìíÉ `çåîÉêÖÉåÅÉ
fÑ ( )∫∞
~
ÇññÑ áë ÅçåîÉêÖÉåíI íÜÉå íÜÉ áåíÉÖê~ä ( )∫∞
~
ÇññÑ áë ~Äëç-
äìíÉäó ÅçåîÉêÖÉåíK
1076. aáëÅçåíáåìçìë fåíÉÖê~åÇiÉí ( )ñÑ ÄÉ ~ ÑìåÅíáçå ïÜáÅÜ áë Åçåíáåìçìë çå íÜÉ áåíÉêî~ä[ )ÄI~ Äìí áë ÇáëÅçåíáåìçìë ~í Äñ = K qÜÉå
( ) ( )∫∫ε−
+→ε=
Ä
~M
Ä
~
ÇññÑäáãÇññÑ
Figure 187.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
257
1077. iÉí ( )ñÑ ÄÉ ~ Åçåíáåìçìë ÑìåÅíáçå Ñçê ~ää êÉ~ä åìãÄÉêë ñ áåíÜÉ áåíÉêî~ä [ ]ÄI~ ÉñÅÉéí Ñçê ëçãÉ éçáåí Å áå ( )ÄI~ K qÜÉå
( ) ( ) ( )∫∫∫δ+
+→δ
ε−
+→ε+=
Ä
ÅM
Å
~M
Ä
~
ÇññÑäáãÇññÑäáãÇññÑ K
Figure 188.
9.10 Double Integral
cìåÅíáçåë çÑ íïç î~êá~ÄäÉëW ( )óIñÑ I ( )îIìÑ I £
açìÄäÉ áåíÉÖê~äëW ( )∫∫o
ÇñÇóóIñÑ I ( )∫∫o
ÇñÇóóIñÖ I £
oáÉã~åå ëìãW ( )∑∑= =
∆∆ã
Ná
å
Nààáàá óñîIìÑ
pã~ää ÅÜ~åÖÉëW áñ∆ I àó∆oÉÖáçåë çÑ áåíÉÖê~íáçåW oI pmçä~ê ÅççêÇáå~íÉëW ê I θ
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
258
^êÉ~W ^pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉ çÑ ~ ëçäáÇW sj~ëë çÑ ~ ä~ãáå~W ãaÉåëáíóW ( )óIñρcáêëí ãçãÉåíëW ñj I ój
jçãÉåíë çÑ áåÉêíá~W ñf I óf I Mf
`Ü~êÖÉ çÑ ~ éä~íÉW n`Ü~êÖÉ ÇÉåëáíóW ( )óIñσ`ççêÇáå~íÉë çÑ ÅÉåíÉê çÑ ã~ëëW ñ I ó^îÉê~ÖÉ çÑ ~ ÑìåÅíáçåW µ
1078. aÉÑáåáíáçå çÑ açìÄäÉ fåíÉÖê~äqÜÉ ÇçìÄäÉ áåíÉÖê~ä çîÉê ~ êÉÅí~åÖäÉ [ ] [ ]ÇIÅÄI~ × áë ÇÉÑáåÉÇíç ÄÉ
( )[ ] [ ]
( )∑∑∫∫= =→∆
→∆×
∆∆=ã
Ná
å
Nààáàá
Móã~ñMñã~ñ
ÇIÅÄI~
óñîIìÑäáãÇ^óIñÑà
á
I
ïÜÉêÉ ( )àá îIì áë ëçãÉ éçáåí áå íÜÉ êÉÅí~åÖäÉ
( ) ( )àNàáNá óIóñIñ −− × I ~åÇ Nááá ñññ −−=∆ I Nààà óóó −−=∆ K
Figure 189.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
259
qÜÉ ÇçìÄäÉ áåíÉÖê~ä çîÉê ~ ÖÉåÉê~ä êÉÖáçå o áë
( ) ( )[ ] [ ]∫∫∫∫×
=ÇIÅÄI~o
Ç^óIñÖÇ^óIñÑ I
ïÜÉêÉ êÉÅí~åÖäÉ [ ] [ ]ÇIÅÄI~ × Åçåí~áåë oI( ) ( )óIñÑóIñÖ = áÑ ( )óIñÑ áë áå o ~åÇ ( ) MóIñÖ = çíÜÉêïáëÉK
Figure 190.
1079. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ +=+ooo
Ç^óIñÖÇ^óIñÑÇ^óIñÖóIñÑ
1080. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ −=−ooo
Ç^óIñÖÇ^óIñÑÇ^óIñÖóIñÑ
1081. ( ) ( )∫∫∫∫ =oo
Ç^óIñÑâÇ^óIñâÑ I
ïÜÉêÉ â áë ~ Åçåëí~åíK
1082. fÑ ( ) ( )óIñÖóIñÑ ≤ çå oI íÜÉå ( ) ( )∫∫∫∫ ≤oo
Ç^óIñÖÇ^óIñÑ K
1083. fÑ ( ) MóIñÑ ≥ çå o ~åÇ op⊂ I íÜÉå
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
260
( ) ( )∫∫∫∫ ≤op
Ç^óIñÑÇ^óIñÑ K
Figure 191.
1084. fÑ ( ) MóIñÑ ≥ çå o ~åÇ o ~åÇ p ~êÉ åçå-çîÉêä~ééáåÖ
êÉÖáçåëI íÜÉå ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ +=∪ popo
Ç^óIñÑÇ^óIñÑÇ^óIñÑ K
eÉêÉ po∪ áë íÜÉ ìåáçå çÑ íÜÉ êÉÖáçåë o ~åÇ pK
Figure 192.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
261
1085. fíÉê~íÉÇ fåíÉÖê~äë ~åÇ cìÄáåá∞ë qÜÉçêÉã
( ) ( )( )
( )
∫ ∫∫∫ =Ä
~
ñè
ñéo
ÇóÇñóIñÑÇ^óIñÑ
Ñçê ~ êÉÖáçå çÑ íóéÉ fI( ) ( ) ( ){ }ñèóñéIÄñ~öóIño ≤≤≤≤= K
Figure 193.
( ) ( )( )
( )
∫ ∫∫∫ =Ç
Å
óî
óìo
ÇñÇóóIñÑÇ^óIñÑ
Ñçê ~ êÉÖáçå çÑ íóéÉ ffI( ) ( ) ( ){ }ÇóÅIóîñóìöóIño ≤≤≤≤= K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
262
Figure 194.
1086. açìÄäÉ fåíÉÖê~äë çîÉê oÉÅí~åÖìä~ê oÉÖáçåë
fÑ o áë íÜÉ êÉÅí~åÖìä~ê êÉÖáçå [ ] [ ]ÇIÅÄI~ × I íÜÉå
( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∫∫∫
=
=
Ç
Å
Ä
~
Ä
~
Ç
Åo
ÇóÇñóIñÑÇñÇóóIñÑÇñÇóóIñÑ K
få íÜÉ ëéÉÅá~ä Å~ëÉ ïÜÉêÉ íÜÉ áåíÉÖê~åÇ ( )óIñÑ Å~å ÄÉ ïêáí-íÉå ~ë ( ) ( )óÜñÖ ïÉ Ü~îÉ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
== ∫∫∫∫∫∫
Ç
Å
Ä
~oo
ÇóóÜÇññÖÇñÇóóÜñÖÇñÇóóIñÑ K
1087. ̀ Ü~åÖÉ çÑ s~êá~ÄäÉë
( ) ( ) ( )[ ] ( )( )ÇìÇî
îIì
óIñîIìóIîIìñÑÇñÇóóIñÑ
po ∂∂
= ∫∫∫∫ I
ïÜÉêÉ( )( ) M
î
ó
ì
óî
ñ
ì
ñ
îIì
óIñ≠
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂
áë íÜÉ à~ÅçÄá~å çÑ íÜÉ íê~åë-
Ñçêã~íáçåë ( ) ( )îIìóIñ → I ~åÇ p áë íÜÉ éìääÄ~Åâ çÑ o ïÜáÅÜ
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
263
Å~å ÄÉ ÅçãéìíÉÇ Äó ( )îIìññ = I ( )îIìóó = áåíç íÜÉ ÇÉÑáåá-íáçå çÑ oK
1088. mçä~ê `ççêÇáå~íÉëθ= Åçëêñ I θ= ëáåêó K
Figure 195.
1089. açìÄäÉ fåíÉÖê~äë áå mçä~ê `ççêÇáå~íÉë
qÜÉ aáÑÑÉêÉåíá~ä ÇñÇó Ñçê mçä~ê `ççêÇáå~íÉë áë
( )( ) θ=θθ∂
∂= êÇêÇÇêÇ
Iê
óIñÇñÇó K
iÉí íÜÉ êÉÖáçå o áë ÇÉíÉêãáåÉÇ ~ë ÑçääçïëW( ) ( )θ≤≤θ≤ ÜêÖM I β≤θ≤α I ïÜÉêÉ π≤α−β O K
qÜÉå
( ) ( )( )
( )
∫ ∫∫∫β
α
θ
θ
θθθ=Ü
Öo
êÇêÇëáåêIÅçëêÑÇñÇóóIñÑ K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
264
Figure 196.
fÑ íÜÉ êÉÖáçå o áë íÜÉ éçä~ê êÉÅí~åÖäÉ ÖáîÉå ÄóÄê~M ≤≤≤ I β≤θ≤α I ïÜÉêÉ π≤α−β O I
íÜÉå
( ) ( )∫ ∫∫∫β
α
θθθ=Ä
~o
êÇêÇëáåêIÅçëêÑÇñÇóóIñÑ K
Figure 197.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
265
1090. ̂ êÉ~ çÑ ~ oÉÖáçå
( )
( )
∫ ∫=Ä
~
ñÑ
ñÖ
ÇóÇñ^ EÑçê ~ íóéÉ f êÉÖáçåFK
Figure 198.
( )
( )
∫ ∫=Ç
Å
óè
óé
ÇñÇó^ EÑçê ~ íóéÉ ff êÉÖáçåFK
Figure 199.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
266
1091. sçäìãÉ çÑ ~ pçäáÇ
( )∫∫=o
Ç^óIñÑs K
Figure 200.
fÑ o áë ~ íóéÉ f êÉÖáçå ÄçìåÇÉÇ Äó ~ñ = I Äñ = I ( )ñÜó = I( )ñÖó = I íÜÉå
( ) ( )( )
( )
∫ ∫∫∫ ==Ä
~
ñÖ
ñÜo
ÇóÇñóIñÑÇ^óIñÑs K
fÑ o áë ~ íóéÉ ff êÉÖáçå ÄçìåÇÉÇ Äó Åó = I Çó = I ( )óèñ = I( )óéñ = I íÜÉå
( ) ( )( )
( )
∫ ∫∫∫ ==Ç
Å
óè
óéo
ÇñÇóóIñÑÇ^óIñÑs K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
267
fÑ ( ) ( )óIñÖóIñÑ ≥ çîÉê ~ êÉÖáçå oI íÜÉå íÜÉ îçäìãÉ çÑíÜÉ ëçäáÇ ÄÉíïÉÉå ( )óIñÑòN = ~åÇ ( )óIñÖòO = çîÉê o áëÖáîÉå Äó
( ) ( )[ ]∫∫ −=o
Ç^óIñÖóIñÑs K
1092. ̂ êÉ~ ~åÇ sçäìãÉ áå mçä~ê `ççêÇáå~íÉëfÑ p áë ~ êÉÖáçå áå íÜÉ ñó-éä~åÉ ÄçìåÇÉÇ Äó α=θ I β=θ I
( )θ= Üê I ( )θ= Öê IíÜÉå
( )
( )
∫ ∫∫∫β
α
θ
θ
θ==Ö
Üp
êÇêÇÇ^^ I
( )∫∫ θθ=p
êÇêÇIêÑs K
Figure 201.
1093. pìêÑ~ÅÉ ^êÉ~
ÇñÇóó
ò
ñ
òNp
o
OO
∫∫
∂∂
+
∂∂
+=
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
268
1094. j~ëë çÑ ~ i~ãáå~
( )∫∫ρ=o
Ç^óIñã I
ïÜÉêÉ íÜÉ ä~ãáå~ çÅÅìéáÉë ~ êÉÖáçå o ~åÇ áíë ÇÉåëáíó ~í~ éçáåí EñIóF áë ( )óIñρ K
1095. jçãÉåíëqÜÉ ãçãÉåí çÑ íÜÉ ä~ãáå~ ~Äçìí íÜÉ ñ-~ñáë áë ÖáîÉå Äó Ñçê-ãìä~
( )∫∫ ρ=o
ñ Ç^óIñój K
qÜÉ ãçãÉåí çÑ íÜÉ ä~ãáå~ ~Äçìí íÜÉ ó-~ñáë áë
( )∫∫ ρ=o
ó Ç^óIññj K
qÜÉ ãçãÉåí çÑ áåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñ-~ñáë áë
( )∫∫ ρ=o
Oñ Ç^óIñóf K
qÜÉ ãçãÉåí çÑ áåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ó-~ñáë áë
( )∫∫ ρ=o
Oó Ç^óIññf K
qÜÉ éçä~ê ãçãÉåí çÑ áåÉêíá~ áë
( ) ( )∫∫ ρ+=o
OOM Ç^óIñóñf K
1096. ̀ ÉåíÉê çÑ j~ëë
( )( )
( )∫∫
∫∫∫∫ ρ
ρ=ρ==
o
o
o
ó
Ç^óIñ
Ç^óIññ
Ç^óIññã
N
ã
jñ I
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
269
( )( )
( )∫∫
∫∫∫∫ ρ
ρ=ρ==
o
o
o
ñ
Ç^óIñ
Ç^óIñó
Ç^óIñóã
N
ã
jó K
1097. ̀ Ü~êÖÉ çÑ ~ mä~íÉ
( )∫∫σ=o
Ç^óIñn I
ïÜÉêÉ ÉäÉÅíêáÅ~ä ÅÜ~êÖÉ áë ÇáëíêáÄìíÉÇ çîÉê ~ êÉÖáçå o ~åÇ áíëÅÜ~êÖÉ ÇÉåëáíó ~í ~ éçáåí EñIóF áë ( )óIñσ K
1098. ̂ îÉê~ÖÉ çÑ ~ cìåÅíáçå
( )∫∫=µo
Ç^óIñÑp
NI
ïÜÉêÉ ∫∫=o
Ç^p K
9.11 Triple Integral
cìåÅíáçåë çÑ íÜêÉÉ î~êá~ÄäÉëW ( )òIóIñÑ I ( )òIóIñÖ I £
qêáéäÉ áåíÉÖê~äëW ( )∫∫∫d
ÇsòIóIñÑ I ( )∫∫∫d
ÇsòIóIñÖ I £
oáÉã~åå ëìãW ( )∑∑∑= = =
∆∆∆ã
Ná
å
Nà
é
Nââàáâàá òóñïIîIìÑ
pã~ää ÅÜ~åÖÉëW áñ∆ I àó∆ I âò∆iáãáíë çÑ áåíÉÖê~íáçåW ~I ÄI ÅI ÇI êI ëoÉÖáçåë çÑ áåíÉÖê~íáçåW dI qI p`óäáåÇêáÅ~ä ÅççêÇáå~íÉëW ê I θ I òpéÜÉêáÅ~ä ÅççêÇáå~íÉëW ê I θ I ϕsçäìãÉ çÑ ~ ëçäáÇW s
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
270
j~ëë çÑ ~ ëçäáÇW ãaÉåëáíóW ( )òIóIñµ`ççêÇáå~íÉë çÑ ÅÉåíÉê çÑ ã~ëëW ñ I ó I òcáêëí ãçãÉåíëW ñój I óòj I ñòj
jçãÉåíë çÑ áåÉêíá~W ñóf I óòf I ñòf I ñf I óf I òf I Mf
1099. aÉÑáåáíáçå çÑ qêáéäÉ fåíÉÖê~äqÜÉ íêáéäÉ áåíÉÖê~ä çîÉê ~ é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ [ ] [ ] [ ]ëIêÇIÅÄI~ ××áë ÇÉÑáåÉÇ íç ÄÉ
( )[ ] [ ] [ ]
( ) IòóñïIîIìÑäáãÇsòIóIñÑã
Ná
å
Nà
é
Nââàáâàá
Mòã~ñMóã~ñMñã~ñ
ëIêÇIÅÄI~
â
à
á∑∑∑∫∫∫= = =
→∆→∆→∆
××
∆∆∆=
ïÜÉêÉ ( )âàá ïIîIì áë ëçãÉ éçáåí áå íÜÉ é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ
( ) ( ) ( )âNâàNàáNá òIòóIóñIñ −−− ×× I ~åÇ Nááá ñññ −−=∆ I
Nààà óóó −−=∆ I Nâââ òòò −−=∆ K
1100. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫∫∫∫∫∫∫ +=+ddd
ÇsòIóIñÖÇsòIóIñÑÇsòIóIñÖòIóIñÑ
1101. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫∫∫∫∫∫∫ −=−ddd
ÇsòIóIñÖÇsòIóIñÑÇsòIóIñÖòIóIñÑ
1102. ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ =dd
ÇsòIóIñÑâÇsòIóIñâÑ I
ïÜÉêÉ â áë ~ Åçåëí~åíK
1103. fÑ ( ) MòIóIñÑ ≥ ~åÇ d ~åÇ q ~êÉ åçåçîÉêä~ééáåÖ Ä~ëáÅêÉÖáçåëI íÜÉå
( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫∫∫∫ +=∪ qdqd
ÇsòIóIñÑÇsòIóIñÑÇsòIóIñÑ K
eÉêÉ qd∪ áë íÜÉ ìåáçå çÑ íÜÉ êÉÖáçåë d ~åÇ qK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
271
1104. bî~äì~íáçå çÑ qêáéäÉ fåíÉÖê~äë Äó oÉéÉ~íÉÇ fåíÉÖê~äëfÑ íÜÉ ëçäáÇ d áë íÜÉ ëÉí çÑ éçáåíë ( )òIóIñ ëìÅÜ íÜ~í( ) ( ) ( )óIñòóIñIoóIñ ON χ≤≤χ∈ I íÜÉå
( ) ( )( )
( )
ÇñÇóÇòòIóIñÑÇñÇóÇòòIóIñÑo
óIñ
óIñd
O
N
∫∫ ∫∫∫∫
=
χ
χ
I
ïÜÉêÉ o áë éêçàÉÅíáçå çÑ d çåíç íÜÉ ñó-éä~åÉK
fÑ íÜÉ ëçäáÇ d áë íÜÉ ëÉí çÑ éçáåíë ( )òIóIñ ëìÅÜ íÜ~í( ) ( ) ( ) ( )óIñòóIñIñóñIÄñ~ ONON χ≤≤χϕ≤≤ϕ≤≤ I íÜÉå
( ) ( )( )
( )
( )
( )
ÇñÇóÇòòIóIñÑÇñÇóÇòòIóIñÑÄ
~
ñ
ñ
óIñ
óIñd
O
N
O
N
∫ ∫ ∫∫∫∫
=
ϕ
ϕ
χ
χ
1105. qêáéäÉ fåíÉÖê~äë çîÉê m~ê~ääÉäÉéáéÉÇfÑ d áë ~ é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ [ ] [ ] [ ]ëIêÇIÅÄI~ ×× I íÜÉå
( ) ( ) ÇñÇóÇòòIóIñÑÇñÇóÇòòIóIñÑÄ
~
Ç
Å
ë
êd∫ ∫ ∫∫∫∫
= K
få íÜÉ ëéÉÅá~ä Å~ëÉ ïÜÉêÉ íÜÉ áåíÉÖê~åÇ ( )òIóIñÑ Å~å ÄÉïêáííÉå ~ë ( ) ( ) ( )òâóÜñÖ ïÉ Ü~îÉ
( ) ( ) ( ) ( )
= ∫∫∫∫∫∫
ë
ê
Ç
Å
Ä
~d
ÇòòâÇóóÜÇññÖÇñÇóÇòòIóIñÑ K
1106. ̀ Ü~åÖÉ çÑ s~êá~ÄäÉë
( ) =∫∫∫d
ÇñÇóÇòòIóIñÑ
( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) IÇñÇóÇò
ïIîIì
òIóIñïIîIìòIïIîIìóIïIîIìñÑ
p∫∫∫ ∂
∂=
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
272
ïÜÉêÉ( )( ) M
ï
ò
î
ò
ì
òï
ó
î
ó
ì
óï
ñ
î
ñ
ì
ñ
ïIîIì
òIóIñ≠
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂
áë íÜÉ à~ÅçÄá~å çÑ
íÜÉ íê~åëÑçêã~íáçåë ( ) ( )ïIîIìòIóIñ → I ~åÇ p áë íÜÉ éìää-Ä~Åâ çÑ d ïÜáÅÜ Å~å ÄÉ ÅçãéìíÉÇ Äó ( )ïIîIìññ = I
( )ïIîIìóó =( )ïIîIìòò = áåíç íÜÉ ÇÉÑáåáíáçå çÑ dK
1107. qêáéäÉ fåíÉÖê~äë áå `óäáåÇêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉëqÜÉ ÇáÑÑÉêÉåíá~ä ÇñÇóÇò Ñçê ÅóäáåÇêáÅ~ä ÅççêÇáå~íÉë áë
( )( ) ÇòêÇêÇÇòÇêÇ
òIIê
òIóIñÇñÇóÇò θ=θ
θ∂∂
= K
iÉí íÜÉ ëçäáÇ d áë ÇÉíÉêãáåÉÇ ~ë ÑçääçïëW( ) ( ) ( )óIñòóIñIoóIñ ON χ≤≤χ∈ I
ïÜÉêÉ o áë éêçàÉÅíáçå çÑ d çåíç íÜÉ ñó-éä~åÉK qÜÉå
( ) ( )∫∫∫∫∫∫ θθθ=pd
ÇòêÇêÇòIëáåêIÅçëêÑÇñÇóÇòòIóIñÑ
( )( )
( )
( )θ
θθ= ∫∫ ∫
θ
θθχ
θθχ
êÇêÇÇòòIëáåêIÅçëêÑIêo
ëáåêIÅçëê
ëáåêIÅçëê
O
N
K
eÉêÉ p áë íÜÉ éìääÄ~Åâ çÑ d áå ÅóäáåÇêáÅ~ä ÅççêÇáå~íÉëK
1108. qêáéäÉ fåíÉÖê~äë áå péÜÉêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉëqÜÉ aáÑÑÉêÉåíá~ä ÇñÇóÇò Ñçê péÜÉêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉë áë
( )( ) ϕθθ=ϕθ
ϕθ∂∂
= ÇÇêÇëáåêÇÇêÇIIê
òIóIñÇñÇóÇò O
( ) =∫∫∫d
ÇñÇóÇòòIóIñÑ
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
273
( )∫∫∫ ϕθθθϕθϕθ=p
O ÇÇêÇëáåêÅçëêIëáåëáåêIÅçëëáåêÑ I
ïÜÉêÉ íÜÉ ëçäáÇ p áë íÜÉ éìääÄ~Åâ çÑ d áå ëéÜÉêáÅ~ä ÅççêÇá- å~íÉëK qÜÉ ~åÖäÉ θ ê~åÖÉë Ñêçã M íç πO I íÜÉ ~åÖäÉ ϕê~åÖÉë Ñêçã M íç π K
Figure 202.
1109. sçäìãÉ çÑ ~ pçäáÇ
∫∫∫=d
ÇñÇóÇòs
1110. sçäìãÉ áå `óäáåÇêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉë
( )ÇòêÇêÇs
òIIêp∫∫∫θ
θ=
1111. sçäìãÉ áå péÜÉêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉë
( )ϕθθ= ∫∫∫
ϕθ
ÇÇêÇëáåêsIIêp
O
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
274
1112. j~ëë çÑ ~ pçäáÇ
( )∫∫∫ µ=d
ÇsòIóIñã I
ïÜÉêÉ íÜÉ ëçäáÇ çÅÅìéáÉë ~ êÉÖáçå d ~åÇ áíë ÇÉåëáíó ~í~ éçáåí ( )òIóIñ áë ( )òIóIñµ K
1113. ̀ ÉåíÉê çÑ j~ëë çÑ ~ pçäáÇ
ã
jñ
óò= Iã
jó ñò= I
ã
jò
ñó= I
ïÜÉêÉ
( )∫∫∫ µ=d
óò ÇsòIóIññj I
( )∫∫∫ µ=d
ñò ÇsòIóIñój I
( )∫∫∫ µ=d
ñó ÇsòIóIñòj
~êÉ íÜÉ Ñáêëí ãçãÉåíë ~Äçìí íÜÉ ÅççêÇáå~íÉ éä~åÉë Mñ = IMó = I Mò = I êÉëéÉÅíáîÉäóI ( )òIóIñµ áë íÜÉ ÇÉåëáíó ÑìåÅíáçåK
1114. jçãÉåíë çÑ fåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñó-éä~åÉ Eçê Mò = FI óò-éä~åÉE Mñ = FI ~åÇ ñò-éä~åÉ E Mó = F
( )∫∫∫ µ=d
Oñó ÇsòIóIñòf I
( )∫∫∫ µ=d
Oóò ÇsòIóIññf I
( )∫∫∫ µ=d
Oñò ÇsòIóIñóf K
1115. jçãÉåíë çÑ fåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñ-~ñáëI ó-~ñáëI ~åÇ ò-~ñáë
( ) ( )∫∫∫ µ+=+=d
OOñòñóñ ÇsòIóIñóòfff I
( ) ( )∫∫∫ µ+=+=d
OOóòñóó ÇsòIóIññòfff I
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
275
( ) ( )∫∫∫ µ+=+=d
OOóòñòò ÇsòIóIññófff K
1116. mçä~ê jçãÉåí çÑ fåÉêíá~
( ) ( )∫∫∫ µ++=++=d
OOOñòóòñóM ÇsòIóIñòóñffff
9.12 Line Integral
pÅ~ä~ê ÑìåÅíáçåëW ( )òIóIñc I ( )óIñc I ( )ñÑpÅ~ä~ê éçíÉåíá~äW ( )òIóIñì`ìêîÉëW `I N` I O`iáãáíë çÑ áåíÉÖê~íáçåëW ~I ÄI α I βm~ê~ãÉíÉêëW íI ëmçä~ê ÅççêÇáå~íÉëW ê I θsÉÅíçê ÑáÉäÇW ( )oInImc
r
mçëáíáçå îÉÅíçêW ( )ëêr
råáí îÉÅíçêëW ár
I àr
I âr
I τr
^êÉ~ çÑ êÉÖáçåW piÉåÖíÜ çÑ ~ ÅìêîÉW ij~ëë çÑ ~ ïáêÉW ãaÉåëáíóW ( )òIóIñρ I ( )óIñρ`ççêÇáå~íÉë çÑ ÅÉåíÉê çÑ ã~ëëW ñ I ó I òcáêëí ãçãÉåíëW ñój I óòj I ñòj
jçãÉåíë çÑ áåÉêíá~W ñf I óf I òf
sçäìãÉ çÑ ~ ëçäáÇW stçêâW t
j~ÖåÉíáÅ ÑáÉäÇW _r
`ìêêÉåíW fbäÉÅíêçãçíáîÉ ÑçêÅÉW εj~ÖåÉíáÅ ÑäìñW ψ
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
276
1117. iáåÉ fåíÉÖê~ä çÑ ~ pÅ~ä~ê cìåÅíáçåiÉí ~ ÅìêîÉ ` ÄÉ ÖáîÉå Äó íÜÉ îÉÅíçê ÑìåÅíáçå ( )ëêê
rr= I
pëM ≤≤ I ~åÇ ~ ëÅ~ä~ê ÑìåÅíáçå c áë ÇÉÑáåÉÇ çîÉê íÜÉ ÅìêîÉ `KqÜÉå
( )( ) ( ) ∫∫∫ ==``
p
M
cÇëÇëòIóIñcÇëëêcr
I
ïÜÉêÉ Çë áë íÜÉ ~êÅ äÉåÖíÜ ÇáÑÑÉêÉåíá~äK
1118. ∫∫∫ +=∪ ONON ````
ÇëcÇëcÇëc
Figure 203.
1119. fÑ íÜÉ ëãççíÜ ÅìêîÉ ` áë é~ê~ãÉíêáòÉÇ Äó ( )íêêrr
= Iβ≤≤α í I íÜÉå
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )∫∫β
α
′+′+′= ÇííòíóíñíòIíóIíñcÇëòIóIñc OOO
`
K
1120. fÑ ` áë ~ ëãççíÜ ÅìêîÉ áå íÜÉ ñó-éä~åÉ ÖáîÉå Äó íÜÉ Éèì~íáçå( )ñÑó = I Äñ~ ≤≤ I íÜÉå
( ) ( )( ) ( )( )∫∫ ′+=Ä
~
O
`
ÇññÑNñÑIñcÇëóIñc K
1121. iáåÉ fåíÉÖê~ä çÑ pÅ~ä~ê cìåÅíáçå áå mçä~ê `ççêÇáå~íÉë
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
277
( ) ( )∫∫β
α
θ
θ+θθ= Ç
Ç
ÇêêëáåêIÅçëêcÇëóIñc
OO
`
I
ïÜÉêÉ íÜÉ ÅìêîÉ ` áë ÇÉÑáåÉÇ Äó íÜÉ éçä~ê ÑìåÅíáçå FEê θ K
1122. iáåÉ fåíÉÖê~ä çÑ sÉÅíçê cáÉäÇiÉí ~ ÅìêîÉ ` ÄÉ ÇÉÑáåÉÇ Äó íÜÉ îÉÅíçê ÑìåÅíáçå ( )ëêê
rr= I
pëM ≤≤ K qÜÉå
( )γβα=τ= ÅçëIÅçëIÅçëÇë
êÇ rr
áë íÜÉ ìåáí îÉÅíçê çÑ íÜÉ í~åÖÉåí äáåÉ íç íÜáë ÅìêîÉK
Figure 204.
iÉí ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇ ( )oInImcr
áë ÇÉÑáåÉÇ çîÉê íÜÉ ÅìêîÉ `K
qÜÉå íÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä çÑ íÜÉ îÉÅíçê ÑáÉäÇ cr
~äçåÖ íÜÉ ÅìêîÉ` áë
( )∫∫ γ+β+α=++p
M`
ÇëÅçëoÅçënÅçëmoÇònÇómÇñ K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
278
1123. mêçéÉêíáÉë çÑ iáåÉ fåíÉÖê~äë çÑ sÉÅíçê cáÉäÇë
( ) ( )∫∫ ⋅−=⋅− ``
êÇcêÇcrrrr
I
ïÜÉêÉ -` ÇÉåçíÉ íÜÉ ÅìêîÉ ïáíÜ íÜÉ çééçëáíÉ çêáÉåí~íáçåK
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ ⋅+⋅=⋅=⋅∪ ONON `````
êÇcêÇcêÇcêÇcrrrrrrrr
I
ïÜÉêÉ ` áë íÜÉ ìåáçå çÑ íÜÉ ÅìêîÉë N` ~åÇ O` K
1124. fÑ íÜÉ ÅìêîÉ ` áë é~ê~ãÉíÉêáòÉÇ Äó ( ) ( ) ( ) ( )íòIíóIíñíê =r
I
β≤≤α í I íÜÉå
=++∫̀ oÇònÇómÇñ
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )∫β
α
++= Çí
Çí
ÇòíòIíóIíño
Çí
ÇóíòIíóIíñn
Çí
ÇñíòIíóIíñm
1125. fÑ ` äáÉë áå íÜÉ ñó-éä~åÉ ~åÇ ÖáîÉå Äó íÜÉ Éèì~íáçå ( )ñÑó = IíÜÉå
( )( ) ( )( )∫∫
+=+
Ä
~`
ÇñÇñ
ÇÑñÑIñnñÑIñmnÇómÇñ K
1126. dêÉÉå∞ë qÜÉçêÉã
∫∫∫ +=
∂∂
−∂∂
`o
nÇómÇñÇñÇóó
m
ñ
nI
ïÜÉêÉ ( ) ( ) àóIñnáóIñmcrrr
+= áë ~ Åçåíáåìçìë îÉÅíçê ÑìåÅ-
íáçå ïáíÜ Åçåíáåìçìë Ñáêëí é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉëó
m
∂∂
Iñ
n
∂∂
áå ~
ëçãÉ Ççã~áå oI ïÜáÅÜ áë ÄçìåÇÉÇ Äó ~ ÅäçëÉÇI éáÉÅÉïáëÉëãççíÜ ÅìêîÉ `K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
279
1127. ̂ êÉ~ çÑ ~ oÉÖáçå o _çìåÇÉÇ Äó íÜÉ `ìêîÉ `
∫∫∫ −==`o
óÇññÇóO
NÇñÇóp
1128. m~íÜ fåÇÉéÉåÇÉåÅÉ çÑ iáåÉ fåíÉÖê~äë
qÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ îÉÅíçê ÑìåÅíáçå âoànámcrrrr
++= áëë~áÇ íç ÄÉ é~íÜ áåÇÉéÉåÇÉåíI áÑ ~åÇ çåäó áÑ mI nI ~åÇ o ~êÉÅçåíáåìçìë áå ~ Ççã~áå aI ~åÇ áÑ íÜÉêÉ Éñáëíë ëçãÉ ëÅ~ä~êÑìåÅíáçå ( )òIóIñìì = E~ ëÅ~ä~ê éçíÉåíá~äF áå a ëìÅÜ íÜ~í
ìÖê~Çc =r
I çê mñ
ì=
∂∂
I nó
ì=
∂∂
I oò
ì=
∂∂
K
qÜÉå
( ) ( ) ( )^ì_ìoÇònÇómÇñêÇêc``
−=++=⋅ ∫∫rrr
K
1129. qÉëí Ñçê ~ `çåëÉêî~íáîÉ cáÉäÇ
^ îÉÅíçê ÑáÉäÇ çÑ íÜÉ Ñçêã ìÖê~Çc =r
áë Å~ääÉÇ ~ ÅçåëÉêî~íáîÉ
ÑáÉäÇK qÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ îÉÅíçê ÑìåÅíáçå âoànámcrrrr
++=áë é~íÜ áåÇÉéÉåÇÉåí áÑ ~åÇ çåäó áÑ
M
onmòóñ
âàá
cÅìêär
rrr
r=
∂∂
∂∂
∂∂
= K
fÑ íÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä áë í~âÉå áå ñó-éä~åÉ ëç íÜ~í
( ) ( )^ì_ìnÇómÇñ`
−=+∫ I
íÜÉå íÜÉ íÉëí Ñçê ÇÉíÉêãáåáåÖ áÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇ áë ÅçåëÉêî~íáîÉÅ~å ÄÉ ïêáííÉå áå íÜÉ Ñçêã
ñ
n
ó
m
∂∂
=∂∂
K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
280
1130. iÉåÖíÜ çÑ ~ `ìêîÉ
( ) ∫∫∫β
α
β
α
+
+
=== Çí
Çí
Çò
Çí
Çó
Çí
ÇñÇíí
Çí
êÇÇëi
OOO
`
r
I
ïÜÉêÉ ` á~ ~ éáÉÅÉïáëÉ ëãççíÜ ÅìêîÉ ÇÉëÅêáÄÉÇ Äó íÜÉ éçëá-íáçå îÉÅíçê ( )íê
rI β≤≤α í K
fÑ íÜÉ ÅìêîÉ ` áë íïç-ÇáãÉåëáçå~äI íÜÉå
( ) ∫∫∫β
α
β
α
+
=== Çí
Çí
Çó
Çí
ÇñÇíí
Çí
êÇÇëi
OO
`
r
K
fÑ íÜÉ ÅìêîÉ ` áë íÜÉ Öê~éÜ çÑ ~ ÑìåÅíáçå ( )ñÑó = áå íÜÉ ñó-éä~åÉ ( )Äñ~ ≤≤ I íÜÉå
∫
+=
Ä
~
O
ÇñÇñ
ÇóNi K
1131. iÉåÖíÜ çÑ ~ `ìêîÉ áå mçä~ê `ççêÇáå~íÉë
∫β
α
θ+
θ
= ÇêÇ
Çêi O
O
I
ïÜÉêÉ íÜÉ ÅìêîÉ ` áë ÖáîÉå Äó íÜÉ Éèì~íáçå ( )θ= êê Iβ≤θ≤α áå éçä~ê ÅççêÇáå~íÉëK
1132. j~ëë çÑ ~ táêÉ
( )∫ρ=`
ÇëòIóIñã I
ïÜÉêÉ ( )òIóIñρ áë íÜÉ ã~ëë éÉê ìåáí äÉåÖíÜ çÑ íÜÉ ïáêÉK
fÑ ` áë ~ ÅìêîÉ é~ê~ãÉíêáòÉÇ Äó íÜÉ îÉÅíçê ÑìåÅíáçå ( ) ( ) ( ) ( )íòIíóIíñíê =r
I íÜÉå íÜÉ ã~ëë Å~å ÄÉ ÅçãéìíÉÇ Äó
íÜÉ Ñçêãìä~
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
281
( ) ( ) ( )( )∫β
α
+
+
ρ= Çí
Çí
Çò
Çí
Çó
Çí
ÇñíòIíóIíñã
OOO
K
fÑ ` áë ~ ÅìêîÉ áå ñó-éä~åÉI íÜÉå íÜÉ ã~ëë çÑ íÜÉ ïáêÉ áë ÖáîÉåÄó
( )∫ρ=`
ÇëóIñã I
çê
( ) ( )( )∫β
α
+
ρ= Çí
Çí
Çó
Çí
ÇñíóIíñã
OO
Eáå é~ê~ãÉíêáÅ ÑçêãFK
1133. ̀ ÉåíÉê çÑ j~ëë çÑ ~ táêÉ
ã
jñ
óò= Iã
jó ñò= I
ã
jò
ñó= I
ïÜÉêÉ
( )∫ ρ=`
óò ÇëòIóIññj I
( )∫ ρ=`
ñò ÇëòIóIñój I
( )∫ ρ=`
ñó ÇëòIóIñòj K
1134. jçãÉåíë çÑ fåÉêíá~qÜÉ ãçãÉåíë çÑ áåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñ-~ñáëI ó-~ñáëI ~åÇ ò-~ñáë~êÉ ÖáîÉå Äó íÜÉ Ñçêãìä~ë
( ) ( )∫ ρ+=`
OOñ ÇëòIóIñòóf I
( ) ( )∫ ρ+=`
OOó ÇëòIóIñòñf I
( ) ( )∫ ρ+=`
OOò ÇëòIóIñóñf K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
282
1135. ̂ êÉ~ çÑ ~ oÉÖáçå _çìåÇÉÇ Äó ~ `äçëÉÇ `ìêîÉ
∫∫∫ −=−==```
óÇññÇóO
NóÇññÇóp K
Figure 205.
fÑ íÜÉ ÅäçëÉÇ ÅìêîÉ ` áë ÖáîÉå áå é~ê~ãÉíêáÅ Ñçêã( ) ( ) ( )íóIíñíê =r
I íÜÉå íÜÉ ~êÉ~ Å~å ÄÉ Å~äÅìä~íÉÇ Äó íÜÉ Ñçê-ãìä~
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫β
α
β
α
β
α
−=−== Çí
Çí
Çñíó
Çí
Çóíñ
O
NÇí
Çí
ÇñíóÇí
Çí
Çóíñp K
1136. sçäìãÉ çÑ ~ pçäáÇ cçêãÉÇ Äó oçí~íáåÖ ~ `äçëÉÇ `ìêîÉ~Äçìí íÜÉ ñ-~ñáë
∫∫∫ +π
−=π−=π−=`
O
``
O ÇñóñóÇóOO
ñóÇóOÇñós
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
283
Figure 206.
1137. tçêâ
tçêâ ÇçåÉ Äó ~ ÑçêÅÉ cr
çå ~å çÄàÉÅí ãçîáåÖ ~äçåÖ ~ ÅìêîÉ` áë ÖáîÉå Äó íÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä
∫ ⋅=`
êÇctrr
I
ïÜÉêÉ cr
áë íÜÉ îÉÅíçê ÑçêÅÉ ÑáÉäÇ ~ÅíáåÖ çå íÜÉ çÄàÉÅíI êÇr
áëíÜÉ ìåáí í~åÖÉåí îÉÅíçêK
Figure 207.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
284
fÑ íÜÉ çÄàÉÅí áë ãçîÉÇ ~äçåÖ ~ ÅìêîÉ ` áå íÜÉ ñó-éä~åÉI íÜÉå
∫∫ +=⋅=``
nÇómÇñêÇctrr
I
fÑ ~ é~íÜ ` áë ëéÉÅáÑáÉÇ Äó ~ é~ê~ãÉíÉê í Eí çÑíÉå ãÉ~åëíáãÉFI íÜÉ Ñçêãìä~ Ñçê Å~äÅìä~íáåÖ ïçêâ ÄÉÅçãÉë
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) IÇíÇí
ÇòíòIíóIíño
Çí
ÇóíòIíóIíñn
Çí
ÇñíòIíóIíñmt ∫
β
α
++=
ïÜÉêÉ í ÖçÉë Ñêçã α íç β K
fÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇ cr
áë ÅçåëÉêî~íáîÉ ~åÇ ( )òIóIñì áë ~ ëÅ~ä~êéçíÉåíá~ä çÑ íÜÉ ÑáÉäÇI íÜÉå íÜÉ ïçêâ çå ~å çÄàÉÅí ãçîáåÖÑêçã ^ íç _ Å~å ÄÉ ÑçìåÇ Äó íÜÉ Ñçêãìä~
( ) ( )^ì_ìt −= K
1138. ̂ ãéÉêÉ∞ë i~ï
fêÇ_ M
`
µ=⋅∫rr
K
qÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ ã~ÖåÉíáÅ ÑáÉäÇ _r
~êçìåÇ ~ ÅäçëÉÇ é~íÜ` áë Éèì~ä íç íÜÉ íçí~ä ÅìêêÉåí f ÑäçïáåÖ íÜêçìÖÜ íÜÉ ~êÉ~ÄçìåÇÉÇ Äó íÜÉ é~íÜK
Figure 208.
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
285
1139. c~ê~Ç~ó∞ë i~ï
Çí
ÇêÇb
`
ψ−=⋅=ε ∫
rr
qÜÉ ÉäÉÅíêçãçíáîÉ ÑçêÅÉ EÉãÑF ε áåÇìÅÉÇ ~êçìåÇ ~ ÅäçëÉÇäççé ` áë Éèì~ä íç íÜÉ ê~íÉ çÑ íÜÉ ÅÜ~åÖÉ çÑ ã~ÖåÉíáÅ Ñäìñ ψé~ëëáåÖ íÜêçìÖÜ íÜÉ äççéK
Figure 209.
9.13 Surface Integral
pÅ~ä~ê ÑìåÅíáçåëW ( )òIóIñÑ I ( )óIñòmçëáíáçå îÉÅíçêëW ( )îIìê
rI ( )òIóIñêr
råáí îÉÅíçêëW ár
I àr
I âr
pìêÑ~ÅÉW p
sÉÅíçê ÑáÉäÇW ( )oInImcr
aáîÉêÖÉåÅÉ çÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇW ccÇáîrr⋅∇=
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
286
`ìêä çÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇW ccÅìêärr
×∇=
sÉÅíçê ÉäÉãÉåí çÑ ~ ëìêÑ~ÅÉW pÇr
kçêã~ä íç ëìêÑ~ÅÉW år
pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W ^j~ëë çÑ ~ ëìêÑ~ÅÉW ãaÉåëáíóW ( )òIóIñµ`ççêÇáå~íÉë çÑ ÅÉåíÉê çÑ ã~ëëW ñ I ó I òcáêëí ãçãÉåíëW ñój I óòj I ñòj
jçãÉåíë çÑ áåÉêíá~W ñóf I óòf I ñòf I ñf I óf I òf
sçäìãÉ çÑ ~ ëçäáÇW s
cçêÅÉW cr
dê~îáí~íáçå~ä Åçåëí~åíW dcäìáÇ îÉäçÅáíóW ( )êî
rr
cäìáÇ ÇÉåëáíóW ρmêÉëëìêÉW ( )êé
r
j~ëë ÑäìñI ÉäÉÅíêáÅ ÑäìñW ΦpìêÑ~ÅÉ ÅÜ~êÖÉW n`Ü~êÖÉ ÇÉåëáíóW ( )óIñσ
j~ÖåáíìÇÉ çÑ íÜÉ ÉäÉÅíêáÅ ÑáÉäÇW br
1140. pìêÑ~ÅÉ fåíÉÖê~ä çÑ ~ pÅ~ä~ê cìåÅíáçåiÉí ~ ëìêÑ~ÅÉ p ÄÉ ÖáîÉå Äó íÜÉ éçëáíáçå îÉÅíçê
( ) ( ) ( ) ( )âîIìòàîIìóáîIìñîIìêrrrr
++= I
ïÜÉêÉ ( )îIì ê~åÖÉë çîÉê ëçãÉ Ççã~áå ( )îIìa çÑ íÜÉ ìî-éä~åÉKqÜÉ ëìêÑ~ÅÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ ëÅ~ä~ê ÑìåÅíáçå ( )òIóIñÑ çîÉêíÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë ÇÉÑáåÉÇ ~ë
( ) ( ) ( ) ( )( )( )∫∫∫∫ ∂
∂×
∂∂
=îIìap
ÇìÇîî
ê
ì
êîIìòIîIìóIîIìñÑÇpòIóIñÑ
rr
I
ïÜÉêÉ íÜÉ é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉëì
ê
∂∂r
~åÇî
ê
∂∂r
~êÉ ÖáîÉå Äó
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
287
( ) ( ) ( )âîIìì
òàîIì
ì
óáîIì
ì
ñ
ì
ê rrrr
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
I
( ) ( ) ( )âîIìî
òàîIì
î
óáîIì
î
ñ
î
ê rrrr
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
~åÇî
ê
ì
ê
∂∂
×∂∂
rr
áë íÜÉ Åêçëë éêçÇìÅíK
1141. fÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë ÖáîÉå Äó íÜÉ Éèì~íáçå ( )óIñòò = ïÜÉêÉ( )óIñò áë ~ ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ ÑìåÅíáçå áå íÜÉ Ççã~áå ( )óIña I
íÜÉå
( ) ( )( )( )∫∫∫∫
∂∂
+
∂∂
+=óIña
OO
p
ÇñÇóó
ò
ñ
òNóIñòIóIñÑÇpòIóIñÑ K
1142. pìêÑ~ÅÉ fåíÉÖê~ä çÑ íÜÉ sÉÅíçê cáÉäÇ cr
çîÉê íÜÉ pìêÑ~ÅÉ p• fÑ p áë çêáÉåíÉÇ çìíï~êÇI íÜÉå
( ) ( )∫∫∫∫ ⋅=⋅pp
ÇpåòIóIñcpÇòIóIñcrrrr
( ) ( ) ( )( )( )∫∫
∂∂
×∂∂
⋅=îIìa
ÇìÇîî
ê
ì
êîIìòIîIìóIîIìñc
rrrK
• fÑ p áë çêáÉåíÉÇ áåï~êÇI íÜÉå
( ) ( )∫∫∫∫ ⋅=⋅pp
ÇpåòIóIñcpÇòIóIñcrrrr
( ) ( ) ( )( )( )∫∫
∂∂
×∂∂
⋅=îIìa
ÇìÇîì
ê
î
êîIìòIîIìóIîIìñc
rrrK
ÇpåpÇrr
= áë Å~ääÉÇ íÜÉ îÉÅíçê ÉäÉãÉåí çÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉK açíãÉ~åë íÜÉ ëÅ~ä~ê éêçÇìÅí çÑ íÜÉ ~ééêçéêá~íÉ îÉÅíçêëK
qÜÉ é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉëì
ê
∂∂r
~åÇî
ê
∂∂r
~êÉ ÖáîÉå Äó
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
288
( ) ( ) ( ) âîIìì
òàîIì
ì
óáîIì
ì
ñ
ì
ê rrrr
⋅∂∂
+⋅∂∂
+⋅∂∂
=∂∂
I
( ) ( ) ( ) âîIìî
òàîIì
î
óáîIì
î
ñ
î
ê rrrr
⋅∂∂
+⋅∂∂
+⋅∂∂
=∂∂
K
1143. fÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë ÖáîÉå Äó íÜÉ Éèì~íáçå ( )óIñòò = I ïÜÉêÉ( )óIñò áë ~ ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ ÑìåÅíáçå áå íÜÉ Ççã~áå ( )óIña I
íÜÉå• fÑ p áë çêáÉåíÉÇ ìéï~êÇI áKÉK íÜÉ â-íÜ ÅçãéçåÉåí çÑ íÜÉ
åçêã~ä îÉÅíçê áë éçëáíáîÉI íÜÉå
( ) ( )∫∫∫∫ ⋅=⋅pp
ÇpåòIóIñcpÇòIóIñcrrrr
( )( )∫∫
+
∂∂
−∂∂
−⋅=óIña
ÇñÇóâàó
òá
ñ
òòIóIñc
rrrrI
• fÑ p áë çêáÉåíÉÇ Ççïåï~êÇI áKÉK íÜÉ â-íÜ ÅçãéçåÉåí çÑ íÜÉåçêã~ä îÉÅíçê áë åÉÖ~íáîÉI íÜÉå
( ) ( )∫∫∫∫ ⋅=⋅pp
ÇpåòIóIñcpÇòIóIñcrrrr
( )( )∫∫
−
∂∂
+∂∂
⋅=óIña
ÇñÇóâàó
òá
ñ
òòIóIñc
rrrrK
1144. ( ) ∫∫∫∫ ++=⋅pp
oÇñÇónÇòÇñmÇóÇòÇpåcrr
( )∫∫ γ+β+α=p
ÇpÅçëoÅçënÅçëm I
ïÜÉêÉ ( )òIóIñm I ( )òIóIñn I ( )òIóIño ~êÉ íÜÉ ÅçãéçåÉåíë çÑ
íÜÉ îÉÅíçê ÑáÉäÇ cr
KαÅçë I βÅçë I γÅçë ~êÉ íÜÉ ~åÖäÉë ÄÉíïÉÉå íÜÉ çìíÉê ìåáí
åçêã~ä îÉÅíçê år
~åÇ íÜÉ ñ-~ñáëI ó-~ñáëI ~åÇ ò-~ñáëI êÉëéÉÅí-áîÉäóK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
289
1145. fÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë ÖáîÉå áå é~ê~ãÉíêáÅ Ñçêã Äó íÜÉ îÉÅíçê( ) ( ) ( )( )îIìòIîIìóIîIìñê
rI íÜÉå íÜÉ ä~ííÉê Ñçêãìä~ Å~å ÄÉ
ïêáííÉå ~ë
( )( )
IÇìÇî
î
ò
î
ó
î
ñì
ò
ì
ó
ì
ñonm
oÇñÇónÇòÇñmÇóÇòÇpåcîIìapp∫∫∫∫∫∫
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=++=⋅rr
ïÜÉêÉ ( )îIì ê~åÖÉë çîÉê ëçãÉ Ççã~áå ( )îIìa çÑ íÜÉ ìî-éä~åÉK
1146. aáîÉêÖÉåÅÉ qÜÉçêÉã
( )∫∫∫∫∫ ⋅∇=⋅dp
ÇscpÇcrrr
I
ïÜÉêÉ
( ) ( ) ( ) ( )òIóIñoIòIóIñnIòIóIñmòIóIñc =r
áë ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇ ïÜçëÉ ÅçãéçåÉåíë mI nI ~åÇ o Ü~îÉÅçåíáåìçìë é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉëI
ò
o
ó
n
ñ
mc
∂∂
+∂∂
+∂∂
=⋅∇r
áë íÜÉ ÇáîÉêÖÉåÅÉ çÑ cr
I ~äëç ÇÉåçíÉÇ cÇáîr
K qÜÉ ëóãÄçä
∫∫ áåÇáÅ~íÉë íÜ~í íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ áåíÉÖê~ä áë í~âÉå çîÉê ~ ÅäçëÉÇ
ëìêÑ~ÅÉK
1147. aáîÉêÖÉåÅÉ qÜÉçêÉã áå `ççêÇáå~íÉ cçêã
∫∫∫∫∫
∂∂
+∂∂
+∂∂
=++dp
ÇñÇóÇòò
o
ó
n
ñ
moÇñÇónÇñÇòmÇóÇò K
1148. píçâÉ∞ë qÜÉçêÉã
( )∫∫∫ ⋅×∇=⋅p`
pÇcêÇcrrrr
I
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
290
ïÜÉêÉ
( ) ( ) ( ) ( )òIóIñoIòIóIñnIòIóIñmòIóIñc =r
áë ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇ ïÜçëÉ ÅçãéçåÉåíë mI nI ~åÇ o Ü~îÉÅçåíáåìçìë é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉëI
âó
m
ñ
nà
ñ
o
ò
má
ò
n
ó
o
onmñññ
âàá
crrr
rrr
r
∂∂
−∂∂
+
∂∂
−∂∂
+
∂∂
−∂∂
=∂∂
∂∂
∂∂
=×∇
áë íÜÉ Åìêä çÑ cr
I ~äëç ÇÉåçíÉÇ cÅìêär
K
qÜÉ ëóãÄçä ∫ áåÇáÅ~íÉë íÜ~í íÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä áë í~âÉå çîÉê
~ ÅäçëÉÇ ÅìêîÉK
1149. píçâÉ∞ë qÜÉçêÉã áå `ççêÇáå~íÉ cçêã
∫ ++`
oÇònÇómÇñ
∫∫
∂∂
−∂∂
+
∂∂
−∂∂
+
∂∂
−∂∂
=p
ÇñÇóó
m
ñ
nÇòÇñ
ñ
o
ò
mÇóÇò
ò
n
ó
o
1150. pìêÑ~ÅÉ ^êÉ~
∫∫=p
Çp^
1151. fÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë é~ê~ãÉíÉêáòÉÇ Äó íÜÉ îÉÅíçê
( ) ( ) ( ) ( )âîIìòàîIìóáîIìñîIìêrrrr
++= IíÜÉå íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~ áë
( )∫∫ ∂
∂×
∂∂
=îIìa
ÇìÇîî
ê
ì
ê^
rr
I
ïÜÉêÉ ( )îIìa áë íÜÉ Ççã~áå ïÜÉêÉ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ( )îIìêr
áëÇÉÑáåÉÇK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
291
1152. fÑ p áë ÖáîÉå ÉñéäáÅáíäó Äó íÜÉ ÑìåÅíáçå ( )óIñò I íÜÉå íÜÉ ëìê-Ñ~ÅÉ ~êÉ~ áë
( )∫∫
∂∂
+
∂∂
+=óIña
OO
ÇñÇóó
ò
ñ
òN^ I
ïÜÉêÉ ( )óIña áë íÜÉ éêçàÉÅíáçå çÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p çåíç íÜÉ ñó-éä~åÉK
1153. j~ëë çÑ ~ pìêÑ~ÅÉ
( )∫∫µ=p
ÇpòIóIñã I
ïÜÉêÉ ( )òIóIñµ áë íÜÉ ã~ëë éÉê ìåáí ~êÉ~ EÇÉåëáíó ÑìåÅ-íáçåFK
1154. ̀ ÉåíÉê çÑ j~ëë çÑ ~ pÜÉää
ã
jñ
óò= Iã
jó ñò= I
ã
jò
ñó= I
ïÜÉêÉ
( )∫∫ µ=p
óò ÇpòIóIññj I
( )∫∫ µ=p
ñò ÇpòIóIñój I
( )∫∫ µ=p
ñó ÇpòIóIñòj
~êÉ íÜÉ Ñáêëí ãçãÉåíë ~Äçìí íÜÉ ÅççêÇáå~íÉ éä~åÉë Mñ = IMó = I Mò = I êÉëéÉÅíáîÉäóK ( )òIóIñµ áë íÜÉ ÇÉåëáíó ÑìåÅíáçåK
1155. jçãÉåíë çÑ fåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñó-éä~åÉ Eçê Mò = FI óò-éä~åÉE Mñ = FI ~åÇ ñò-éä~åÉ E Mó = F
( )∫∫ µ=p
Oñó ÇpòIóIñòf I
( )∫∫ µ=p
Oóò ÇpòIóIññf I
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
292
( )∫∫ µ=p
Oñò ÇpòIóIñóf K
1156. jçãÉåíë çÑ fåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñ-~ñáëI ó-~ñáëI ~åÇ ò-~ñáë
( ) ( )∫∫ µ+=p
OOñ ÇpòIóIñòóf I
( ) ( )∫∫ µ+=p
OOó ÇpòIóIñòñf I
( ) ( )∫∫ µ+=p
OOò ÇpòIóIñóñf K
1157. sçäìãÉ çÑ ~ pçäáÇ _çìåÇÉÇ Äó ~ `äçëÉÇ pìêÑ~ÅÉ
∫∫ ++=p
òÇñÇóóÇñÇòñÇóÇòP
Ns
1158. dê~îáí~íáçå~ä cçêÅÉ
( )∫∫µ=p
PÇp
ê
êòIóIñdãcrr
I
ïÜÉêÉ ã áë ~ ã~ëë ~í ~ éçáåí MMM òIóIñ çìíëáÇÉ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉI
MMM òòIóóIññê −−−=r
I
( )òIóIñµ áë íÜÉ ÇÉåëáíó ÑìåÅíáçåI~åÇ d áë Öê~îáí~íáçå~ä Åçåëí~åíK
1159. mêÉëëìêÉ cçêÅÉ
( )∫∫=p
pÇêécrrr
I
ïÜÉêÉ íÜÉ éêÉëëìêÉ ( )êér
~Åíë çå íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p ÖáîÉå ÄóíÜÉ éçëáíáçå îÉÅíçê ê
rK
1160. cäìáÇ cäìñ E~Åêçëë íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ pF
( )∫∫ ⋅=Φp
pÇêîrrr
I
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
293
ïÜÉêÉ ( )êîrr
áë íÜÉ ÑäìáÇ îÉäçÅáíóK
1161. j~ëë cäìñ E~Åêçëë íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ pF
( )∫∫ ⋅ρ=Φp
pÇêîrrr
I
ïÜÉêÉ îcrr
ρ= áë íÜÉ îÉÅíçê ÑáÉäÇI ρ áë íÜÉ ÑäìáÇ ÇÉåëáíóK
1162. pìêÑ~ÅÉ `Ü~êÖÉ
( )∫∫σ=p
ÇpóIñn I
ïÜÉêÉ ( )óIñσ áë íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ÅÜ~êÖÉ ÇÉåëáíóK
1163. d~ìëë∞ i~ïqÜÉ ÉäÉÅíêáÅ Ñäìñ íÜêçìÖÜ ~åó ÅäçëÉÇ ëìêÑ~ÅÉ áë éêçéçêíáçå~äíç íÜÉ ÅÜ~êÖÉ n ÉåÅäçëÉÇ Äó íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ
Mp
npÇb
ε=⋅=Φ ∫∫
rrI
ïÜÉêÉΦ áë íÜÉ ÉäÉÅíêáÅ ÑäìñI
br
áë íÜÉ ã~ÖåáíìÇÉ çÑ íÜÉ ÉäÉÅíêáÅ ÑáÉäÇ ëíêÉåÖíÜI
ã
cNMURIU NO
M−×=ε áë éÉêãáííáîáíó çÑ ÑêÉÉ ëé~ÅÉK
http://fribok.blogspot.com/
294
Chapter 10
Differential Equations
cìåÅíáçåë çÑ çåÉ î~êá~ÄäÉW óI éI èI ìI ÖI ÜI dI eI êI ò^êÖìãÉåíë EáåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉëFW ñI ócìåÅíáçåë çÑ íïç î~êá~ÄäÉëW ( )óIñÑ I ( )óIñj I ( )óIñk
cáêëí çêÇÉê ÇÉêáî~íáîÉW ó′ I ì′ I ó& IÇí
ÇóI £
pÉÅçåÇ çêÇÉê ÇÉêáî~íáîÉëW ó ′′ I ó&& IO
O
Çí
fÇI £
m~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉëWí
ì
∂∂
IO
O
ñ
ì
∂∂
I £
k~íìê~ä åìãÄÉêW åm~êíáÅìä~ê ëçäìíáçåëW Nó I éó
oÉ~ä åìãÄÉêëW âI íI `I N` I O` I éI èI α I βoççíë çÑ íÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ Éèì~íáçåëW Nλ I OλqáãÉW íqÉãéÉê~íìêÉW qI pmçéìä~íáçå ÑìåÅíáçåW ( )ímj~ëë çÑ ~å çÄàÉÅíW ãpíáÑÑåÉëë çÑ ~ ëéêáåÖW âaáëéä~ÅÉãÉåí çÑ íÜÉ ã~ëë Ñêçã ÉèìáäáÄêáìãW ó^ãéäáíìÇÉ çÑ íÜÉ Çáëéä~ÅÉãÉåíW ^cêÉèìÉåÅóW ωa~ãéáåÖ ÅçÉÑÑáÅáÉåíW γmÜ~ëÉ ~åÖäÉ çÑ íÜÉ Çáëéä~ÅÉãÉåíW δ^åÖìä~ê Çáëéä~ÅÉãÉåíW θmÉåÇìäìã äÉåÖíÜW i
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
295
^ÅÅÉäÉê~íáçå çÑ Öê~îáíóW Ö`ìêêÉåíW foÉëáëí~åÅÉW ofåÇìÅí~åÅÉW i`~é~Åáí~åÅÉW `
10.1 First Order Ordinary Differential Equations
1164. iáåÉ~ê bèì~íáçåë
( ) ( )ñèóñéÇñ
Çó=+ K
qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë
( ) ( )( )ñì
`Çññèñìó
+= ∫ I
ïÜÉêÉ
( ) ( )( )∫= ÇññéÉñéñì K
1165. pÉé~ê~ÄäÉ bèì~íáçåë
( ) ( ) ( )óÜñÖóIñÑÇñ
Çó==
qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë ÖáîÉå Äó
( ) ( ) `ÇññÖóÜ
Çó+= ∫∫ I
çê( ) ( ) `ñdóe += K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
296
1166. eçãçÖÉåÉçìë bèì~íáçåë
qÜÉ ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~íáçå ( )óIñÑÇñ
Çó= áë ÜçãçÖÉåÉçìëI áÑ
íÜÉ ÑìåÅíáçå ( )óIñÑ áë ÜçãçÖÉåÉçìëI íÜ~í áë( ) ( )óIñÑíóIíñÑ = K
qÜÉ ëìÄëíáíìíáçåñ
óò = EíÜÉå òñó = F äÉ~Çë íç íÜÉ ëÉé~ê~ÄäÉ
Éèì~íáçå
( )òINÑòÇñ
Çòñ =+ K
1167. _Éêåçìääá bèì~íáçå
( ) ( ) åóñèóñéÇñ
Çó=+ K
qÜÉ ëìÄëíáíìíáçå åNóò −= äÉ~Çë íç íÜÉ äáåÉ~ê Éèì~íáçå
( ) ( ) ( ) ( )ñèåNòñéåNÇñ
Çò−=−+ K
1168. oáÅÅ~íá bèì~íáçå
( ) ( ) ( ) OóñêóñèñéÇñ
Çó++=
fÑ ~ é~êíáÅìä~ê ëçäìíáçå Nó áë âåçïåI íÜÉå íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäì-íáçå Å~å ÄÉ çÄí~áåÉÇ ïáíÜ íÜÉ ÜÉäé çÑ ëìÄëíáíìíáçå
Nóó
Nò
−= I ïÜáÅÜ äÉ~Çë íç íÜÉ Ñáêëí çêÇÉê äáåÉ~ê Éèì~íáçå
( ) ( )[ ] ( )ñêòñêóOñèÇñ
ÇòN −+−= K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
297
1169. bñ~Åí ~åÇ kçåÉñ~Åí bèì~íáçåëqÜÉ Éèì~íáçå( ) ( ) MÇóóIñkÇñóIñj =+
áë Å~ääÉÇ Éñ~Åí áÑ
ñ
k
ó
j
∂∂
=∂∂
I
~åÇ åçåÉñ~Åí çíÜÉêïáëÉK
qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë
( ) ( ) `ÇóóIñkÇñóIñj =+ ∫∫ K
1170. o~Çáç~ÅíáîÉ aÉÅ~ó
âóÇí
Çó−= I
ïÜÉêÉ ( )íó áë íÜÉ ~ãçìåí çÑ ê~Çáç~ÅíáîÉ ÉäÉãÉåí ~í íáãÉ íI âáë íÜÉ ê~íÉ çÑ ÇÉÅ~óK
qÜÉ ëçäìíáçå áë( ) âí
MÉóíó −= I ïÜÉêÉ ( )MóóM = áë íÜÉ áåáíá~ä ~ãçìåíK
1171. kÉïíçå∞ë i~ï çÑ `ççäáåÖ
( )pqâÇí
Çq−−= I
ïÜÉêÉ ( )íq áë íÜÉ íÉãéÉê~íìêÉ çÑ ~å çÄàÉÅí ~í íáãÉ íI p áë íÜÉ
íÉãéÉê~íìêÉ çÑ íÜÉ ëìêêçìåÇáåÖ ÉåîáêçåãÉåíI â áë ~ éçëá-íáîÉ Åçåëí~åíK
qÜÉ ëçäìíáçå áë( ) ( ) âí
M Épqpíq −−+= I
ïÜÉêÉ ( )MqqM = áë íÜÉ áåáíá~ä íÉãéÉê~íìêÉ çÑ íÜÉ çÄàÉÅí ~í
íáãÉ Mí = K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
298
1172. mçéìä~íáçå aóå~ãáÅë EiçÖáëíáÅ jçÇÉäF
−=
j
mNâm
Çí
ÇmI
ïÜÉêÉ ( )ím áë éçéìä~íáçå ~í íáãÉ íI â áë ~ éçëáíáîÉ Åçåëí~åíIj áë ~ äáãáíáåÖ ëáòÉ Ñçê íÜÉ éçéìä~íáçåK
qÜÉ ëçäìíáçå çÑ íÜÉ ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~íáçå áë
( ) ( ) âíMM
M
Émjm
jmím −−+= I ïÜÉêÉ ( )MmmM = áë íÜÉ áåáíá~ä éçéì-
ä~íáçå ~í íáãÉ Mí = K
10.2 Second Order Ordinary Differential Equations
1173. eçãçÖÉåÉçìë iáåÉ~ê bèì~íáçåë ïáíÜ `çåëí~åí `çÉÑÑáÅáÉåíëMèóóéó =+′+′′ K
qÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ Éèì~íáçå áëMèéO =+λ+λ K
fÑ Nλ ~åÇ Oλ ~êÉ ÇáëíáåÅí êÉ~ä êççíë çÑ íÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅÉèì~íáçåI íÜÉå íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë
ñO
ñN
ON É`É`ó λλ += I ïÜÉêÉ
N` ~åÇ O` ~êÉ áåíÉÖê~íáçå Åçåëí~åíëK
fÑO
éON −=λ=λ I íÜÉå íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë
( ) ñO
é
ON Éñ``ó−
+= K
fÑ Nλ ~åÇ Oλ ~êÉ ÅçãéäÉñ åìãÄÉêëW
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
299
áN β+α=λ I áO β−α=λ I ïÜÉêÉ
O
é−=α I
O
éèQ O−=β I
íÜÉå íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë( )ñëáå`ñÅçë`Éó ON
ñ β+β= α K
1174. fåÜçãçÖÉåÉçìë iáåÉ~ê bèì~íáçåë ïáíÜ `çåëí~åí`çÉÑÑáÅáÉåíë
( )ñÑèóóéó =+′+′′ K
qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë ÖáîÉå Äó
Üé óóó += I ïÜÉêÉ
éó áë ~ é~êíáÅìä~ê ëçäìíáçå çÑ íÜÉ áåÜçãçÖÉåÉçìë Éèì~íáçå
~åÇ Üó áë íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå çÑ íÜÉ ~ëëçÅá~íÉÇ ÜçãçÖÉåÉ-çìë Éèì~íáçå EëÉÉ íÜÉ éêÉîáçìë íçéáÅ NNTPFK
fÑ íÜÉ êáÖÜí ëáÇÉ Ü~ë íÜÉ Ñçêã( ) ( ) ( )( )ñëáåñmñÅçëñmÉñÑ NN
ñ β+β= α IíÜÉå íÜÉ é~êíáÅìä~ê ëçäìíáçå éó áë ÖáîÉå Äó
( ) ( )( )ñëáåñoñÅçëñoÉñó ONñâ
é β+β= α I
ïÜÉêÉ íÜÉ éçäóåçãá~äë ( )ñoN ~åÇ ( )ñoO Ü~îÉ íç ÄÉ ÑçìåÇÄó ìëáåÖ íÜÉ ãÉíÜçÇ çÑ ìåÇÉíÉêãáåÉÇ ÅçÉÑÑáÅáÉåíëK• fÑ áβ+α áë åçí ~ êççí çÑ íÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ Éèì~íáçåI íÜÉå
íÜÉ éçïÉê Mâ = I• fÑ áβ+α áë ~ ëáãéäÉ êççíI íÜÉå Nâ = I• fÑ áβ+α áë ~ ÇçìÄäÉ êççíI íÜÉå Oâ = K
1175. aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåë ïáíÜ ó jáëëáåÖ( )óIñÑó ′=′′ K
pÉí óì ′= K qÜÉå íÜÉ åÉï Éèì~íáçå ë~íáëÑáÉÇ Äó î áë( )ìIñÑì =′ I
ïÜáÅÜ áë ~ Ñáêëí çêÇÉê ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~íáçåK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
300
1176. aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåë ïáíÜ ñ jáëëáåÖ( )óIóÑó ′=′′ K
pÉí óì ′= K páåÅÉ
Çó
Çìì
Çñ
Çó
Çó
Çì
Çñ
Çìó ===′′ I
ïÉ Ü~îÉ
( )ìIóÑÇó
Çìì = I
ïÜáÅÜ áë ~ Ñáêëí çêÇÉê ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~íáçåK
1177. cêÉÉ råÇ~ãéÉÇ sáÄê~íáçåëqÜÉ ãçíáçå çÑ ~ j~ëë çå ~ péêáåÖ áë ÇÉëÅêáÄÉÇ Äó íÜÉ Éèì~-íáçå
Mâóóã =+&& IïÜÉêÉã áë íÜÉ ã~ëë çÑ íÜÉ çÄàÉÅíIâ áë íÜÉ ëíáÑÑåÉëë çÑ íÜÉ ëéêáåÖIó áë Çáëéä~ÅÉãÉåí çÑ íÜÉ ã~ëë Ñêçã ÉèìáäáÄêáìãK
qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë( )δ−ω= íÅçë^ó M I
ïÜÉêÉ^ áë íÜÉ ~ãéäáíìÇÉ çÑ íÜÉ Çáëéä~ÅÉãÉåíI
Mω áë íÜÉ ÑìåÇ~ãÉåí~ä ÑêÉèìÉåÅóI íÜÉ éÉêáçÇ áëM
Oq
ωπ
= I
δ áë éÜ~ëÉ ~åÖäÉ çÑ íÜÉ Çáëéä~ÅÉãÉåíKqÜáë áë ~å Éñ~ãéäÉ çÑ ëáãéäÉ Ü~êãçåáÅ ãçíáçåK
1178. cêÉÉ a~ãéÉÇ sáÄê~íáçåëMâóóóã =+γ+ &&& I ïÜÉêÉ
γ áë íÜÉ Ç~ãéáåÖ ÅçÉÑÑáÅáÉåíKqÜÉêÉ ~êÉ P Å~ëÉë Ñçê íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçåW
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
301
`~ëÉ NK âãQO >γ EçîÉêÇ~ãéÉÇF
( ) íí ON _É^Éíó λλ += IïÜÉêÉ
ãO
âãQO
N
−γ−γ−=λ I
ãO
âãQO
O
−γ+γ−=λ K
`~ëÉ OK âãQO =γ EÅêáíáÅ~ääó Ç~ãéÉÇF
( ) ( ) íÉ_í^íó λ+= IïÜÉêÉ
ãO
γ−=λ K
`~ëÉ PK âãQO <γ EìåÇÉêÇ~ãéÉÇF
( ) ( )δ−ω=γ
−íÅçë^Éíó
íãO I ïÜÉêÉ
OâãQ γ−=ω K
1179. páãéäÉ mÉåÇìäìã
Mi
Ö
Çí
ÇO
O
=θ+θ
I
ïÜÉêÉ θ áë íÜÉ ~åÖìä~ê Çáëéä~ÅÉãÉåíI i áë íÜÉ éÉåÇìäìãäÉåÖíÜI Ö áë íÜÉ ~ÅÅÉäÉê~íáçå çÑ Öê~îáíóK
qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå Ñçê ëã~ää ~åÖäÉë θ áë
( ) íi
Öëáåí ã~ñθ=θ I íÜÉ éÉêáçÇ áë
Ö
iOq π= K
1180. oi` `áêÅìáí
( ) ( )íÅçëbísf`
N
Çí
Çfo
Çí
fÇi MO
O
ωω=′=++ I
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
302
ïÜÉêÉ f áë íÜÉ ÅìêêÉåí áå ~å oi` ÅáêÅìáí ïáíÜ ~å ~Å îçäí~ÖÉëçìêÅÉ ( ) ( )íëáåbís M ω= K
qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë( ) ( )ϕ−ω++= íëáå^É`É`íf íê
Oíê
NON I
ïÜÉêÉ
iO`
iQoo
ê
O
OIN
−±−= I
OOO
O
M
o`
Ni
b^
ω+
−ω
ω= I
ω−
ω=ϕ
o`
N
o
i~êÅí~å I
N` I O` ~êÉ Åçåëí~åíë ÇÉéÉåÇáåÖ çå áåáíá~ä ÅçåÇáíáçåëK
10.3. Some Partial Differential Equations
1181. qÜÉ i~éä~ÅÉ bèì~íáçå
Mó
ì
ñ
ìO
O
O
O
=∂∂
+∂∂
~ééäáÉë íç éçíÉåíá~ä ÉåÉêÖó ÑìåÅíáçå ( )óIñì Ñçê ~ ÅçåëÉê-î~íáîÉ ÑçêÅÉ ÑáÉäÇ áå íÜÉ ñó-éä~åÉK m~êíá~ä ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~-íáçåë çÑ íÜáë íóéÉ ~êÉ Å~ääÉÇ ÉääáéíáÅK
1182. qÜÉ eÉ~í bèì~íáçå
í
ì
ó
ì
ñ
ìO
O
O
O
∂∂
=∂∂
+∂∂
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
303
~ééäáÉë íç íÜÉ íÉãéÉê~íìêÉ ÇáëíêáÄìíáçå ( )óIñì áå íÜÉ ñó-éä~åÉ ïÜÉå ÜÉ~í áë ~ääçïÉÇ íç Ñäçï Ñêçã ï~êã ~êÉ~ë íç ÅççäçåÉëK qÜÉ Éèì~íáçåë çÑ íÜáë íóéÉ ~êÉ Å~ääÉÇ é~ê~ÄçäáÅK
1183. qÜÉ t~îÉ bèì~íáçå
O
O
O
O
O
O
í
ì
ó
ì
ñ
ì
∂∂
=∂∂
+∂∂
~ééäáÉë íç íÜÉ Çáëéä~ÅÉãÉåí ( )óIñì çÑ îáÄê~íáåÖ ãÉãÄê~åÉë~åÇ çíÜÉê ï~îÉ ÑìåÅíáçåëK qÜÉ Éèì~íáçåë çÑ íÜáë íóéÉ ~êÉÅ~ääÉÇ ÜóéÉêÄçäáÅK
http://fribok.blogspot.com/
304
Chapter 11
Series
11.1 Arithmetic Series
fåáíá~ä íÉêãW N~kíÜ íÉêãW å~aáÑÑÉêÉåÅÉ ÄÉíïÉÉå ëìÅÅÉëëáîÉ íÉêãëW ÇkìãÄÉê çÑ íÉêãë áå íÜÉ ëÉêáÉëW åpìã çÑ íÜÉ Ñáêëí å íÉêãëW åp
1184. ( )ÇNå~ÇO~Ç~~ NOåNåå −+==+=+= −− K
1185. áNåáNåOåN ~~~~~~ −+− +==+=+ K
1186. O
~~~ NáNá
á+− +
=
1187. ( )å
O
ÇNå~Oå
O
~~p NåN
å ⋅−+
=⋅+
=
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 11. SERIES
305
11.2 Geometric Series
fåáíá~ä íÉêãW N~kíÜ íÉêãW å~`çããçå ê~íáçW èkìãÄÉê çÑ íÉêãë áå íÜÉ ëÉêáÉëW åpìã çÑ íÜÉ Ñáêëí å íÉêãëW åppìã íç áåÑáåáíóW p
1188. NåNNåå è~è~~ −
− ==
1189. áNåáNåOåN ~~~~~~ −+− ⋅==⋅=⋅ K
1190. NáNáá ~~~ +− ⋅=
1191. ( )Nè
Nè~
Nè
~è~p
åNNå
å −−
=−−
=
1192. èN
~päáãp N
åå −
==∞→
cçê Nè < I íÜÉ ëìã p ÅçåîÉêÖÉë ~ë ∞→å K
11.3 Some Finite Series
kìãÄÉê çÑ íÉêãë áå íÜÉ ëÉêáÉëW å
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 11. SERIES
306
1193. ( )O
NåååPON
+=++++ K
1194. ( )NåååOSQO +=++++ K
1195. ( ) OåNåORPN =−++++ K
1196. ( ) ( ) ( ) ( )O
NåâOåNåâOâNââ
−+=−+++++++ K
1197. ( )( )S
NåONåååPON OOOO ++
=++++ K
1198. ( ) OPPPP
O
NåååPON
+
=++++ K
1199. ( ) ( )P
NåQåNåORPN
OOOOO −=−++++ K
1200. ( ) ( )NåOåNåORPN OOPPPP −=−++++ K
1201. OO
N
U
N
Q
N
O
NN
å=++++++ KK
1202. ( ) NNåå
N
QP
N
PO
N
ON
N=+
+++
⋅+
⋅+
⋅KK
1203. ( ) É>Nå
N
>P
N
>O
N
>N
NN =+
−+++++ KK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 11. SERIES
307
11.4 Infinite Series
pÉèìÉåÅÉW { }å~cáêëí íÉêãW N~kíÜ íÉêãW å~
1204. fåÑáåáíÉ pÉêáÉë
KK ++++=∑∞
=åON
Nåå ~~~~
1205. kíÜ m~êíá~ä pìã
åON
å
Nååå ~~~~p +++==∑
=
K
1206. ̀ çåîÉêÖÉåÅÉ çÑ fåÑáåáíÉ pÉêáÉë
i~Nå
å =∑∞
=
I áÑ ipäáã åå
=∞→
1207. kíÜ qÉêã qÉëí
• fÑ íÜÉ ëÉêáÉë ∑∞
=Nåå~ áë ÅçåîÉêÖÉåíI íÜÉå M~äáã å
å=
∞→K
• fÑ M~äáã åå
≠∞→
I íÜÉå íÜÉ ëÉêáÉë áë ÇáîÉêÖÉåíK
11.5 Properties of Convergent Series
`çåîÉêÖÉåí pÉêáÉëW ^~Nå
å =∑∞
=
I _ÄNå
å =∑∞
=
oÉ~ä åìãÄÉêW Å
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 11. SERIES
308
1208. ( ) _^Ä~Ä~Nå
åNå
åNå
åå +=+=+ ∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=
1209. Å^~ÅÅ~Nå
åNå
å == ∑∑∞
=
∞
=
K
11.6 Convergence Tests
1210. qÜÉ `çãé~êáëçå qÉëí
iÉí ∑∞
=Nåå~ ~åÇ ∑
∞
=NååÄ ÄÉ ëÉêáÉë ëìÅÜ íÜ~í åå Ä~M ≤< Ñçê ~ää åK
• fÑ ∑∞
=NååÄ áë ÅçåîÉêÖÉåí íÜÉå ∑
∞
=Nåå~ áë ~äëç ÅçåîÉêÖÉåíK
• fÑ ∑∞
=Nåå~ áë ÇáîÉêÖÉåí íÜÉå ∑
∞
=NååÄ áë ~äëç ÇáîÉêÖÉåíK
1211. qÜÉ iáãáí `çãé~êáëçå qÉëí
iÉí ∑∞
=Nåå~ ~åÇ ∑
∞
=NååÄ ÄÉ ëÉêáÉë ëìÅÜ íÜ~í å~ ~åÇ åÄ ~êÉ éçëá-
íáîÉ Ñçê ~ää åK
• fÑ ∞<<∞→
å
å
å Ä
~äáãM íÜÉå ∑
∞
=Nåå~ ~åÇ ∑
∞
=NååÄ ~êÉ ÉáíÜÉê ÄçíÜ
ÅçåîÉêÖÉåí çê ÄçíÜ ÇáîÉêÖÉåíK
• fÑ MÄ
~äáã
å
å
å=
∞→íÜÉå ∑
∞
=NååÄ ÅçåîÉêÖÉåí áãéäáÉë íÜ~í ∑
∞
=Nåå~ áë
~äëç ÅçåîÉêÖÉåíK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 11. SERIES
309
• fÑ ∞=∞→
å
å
å Ä
~äáã íÜÉå ∑
∞
=NååÄ ÇáîÉêÖÉåí áãéäáÉë íÜ~í ∑
∞
=Nåå~ áë
~äëç ÇáîÉêÖÉåíK
1212. é-ëÉêáÉë
é-ëÉêáÉë ∑∞
=Nåéå
NÅçåîÉêÖÉë Ñçê Né > ~åÇ ÇáîÉêÖÉë Ñçê
NéM ≤< K
1213. qÜÉ fåíÉÖê~ä qÉëíiÉí ( )ñÑ ÄÉ ~ ÑìåÅíáçå ïÜáÅÜ áë ÅçåíáåìçìëI éçëáíáîÉI ~åÇÇÉÅêÉ~ëáåÖ Ñçê ~ää Nñ ≥ K qÜÉ ëÉêáÉë
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) KK +++++=∑∞
=
åÑPÑOÑNÑåÑNå
ÅçåîÉêÖÉë áÑ ( )∫∞
N
ÇññÑ ÅçåîÉêÖÉëI ~åÇ ÇáîÉêÖÉë áÑ
( ) ∞→∫å
N
ÇññÑ ~ë ∞→å K
1214. qÜÉ o~íáç qÉëí
iÉí ∑∞
=Nåå~ ÄÉ ~ ëÉêáÉë ïáíÜ éçëáíáîÉ íÉêãëK
• fÑ N~
~äáã
å
Nå
å<+
∞→íÜÉå ∑
∞
=Nåå~ áë ÅçåîÉêÖÉåíK
• fÑ N~
~äáã
å
Nå
å>+
∞→íÜÉå ∑
∞
=Nåå~ áë ÇáîÉêÖÉåíK
• fÑ N~
~äáã
å
Nå
å=+
∞→íÜÉå ∑
∞
=Nåå~ ã~ó ÅçåîÉêÖÉ çê ÇáîÉêÖÉ ~åÇ
íÜÉ ê~íáç íÉëí áë áåÅçåÅäìëáîÉX ëçãÉ çíÜÉê íÉëíë ãìëí ÄÉìëÉÇK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 11. SERIES
310
1215. qÜÉ oççí qÉëí
iÉí ∑∞
=Nåå~ ÄÉ ~ ëÉêáÉë ïáíÜ éçëáíáîÉ íÉêãëK
• fÑ N~äáã åå
å<
∞→íÜÉå ∑
∞
=Nåå~ áë ÅçåîÉêÖÉåíK
• fÑ N~äáã åå
å>
∞→íÜÉå ∑
∞
=Nåå~ áë ÇáîÉêÖÉåíK
• fÑ N~äáã åå
å=
∞→íÜÉå ∑
∞
=Nåå~ ã~ó ÅçåîÉêÖÉ çê ÇáîÉêÖÉI Äìí
åç ÅçåÅäìëáçå Å~å ÄÉ Çê~ïå Ñêçã íÜáë íÉëíK
11.7 Alternating Series
1216. qÜÉ ^äíÉêå~íáåÖ pÉêáÉë qÉëí EiÉáÄåáò∞ë qÜÉçêÉãF
iÉí { }å~ ÄÉ ~ ëÉèìÉåÅÉ çÑ éçëáíáîÉ åìãÄÉêë ëìÅÜ íÜ~í
åNå ~~ <+ Ñçê ~ää åKM~äáã å
å=
∞→K
qÜÉå íÜÉ ~äíÉêå~íáåÖ ëÉêáÉë ( )∑∞
=
−Nå
åå ~N ~åÇ ( )∑
∞
=
−−Nå
åNå ~N
ÄçíÜ ÅçåîÉêÖÉK
1217. ̂ ÄëçäìíÉ `çåîÉêÖÉåÅÉ
• ^ ëÉêáÉë ∑∞
=Nåå~ áë ~ÄëçäìíÉäó ÅçåîÉêÖÉåí áÑ íÜÉ ëÉêáÉë
∑∞
=Nåå~ áë ÅçåîÉêÖÉåíK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 11. SERIES
311
• fÑ íÜÉ ëÉêáÉë ∑∞
=Nåå~ áë ~ÄëçäìíÉäó ÅçåîÉêÖÉåí íÜÉå áí áë Åçå-
îÉêÖÉåíK
1218. ̀ çåÇáíáçå~ä `çåîÉêÖÉåÅÉ
^ ëÉêáÉë ∑∞
=Nåå~ áë ÅçåÇáíáçå~ääó ÅçåîÉêÖÉåí áÑ íÜÉ ëÉêáÉë áë
ÅçåîÉêÖÉåí Äìí áë åçí ~ÄëçäìíÉäó ÅçåîÉêÖÉåíK
11.8 Power Series
oÉ~ä åìãÄÉêëW ñI Mñ
mçïÉê ëÉêáÉëW ∑∞
=Må
ååñ~ I ( )∑
∞
=
−Må
åMå ññ~
tÜçäÉ åìãÄÉêW åo~Çáìë çÑ `çåîÉêÖÉåÅÉW o
1219. mçïÉê pÉêáÉë áå ñ
KK +++++=∑∞
=
åå
OONM
Må
åå ñ~ñ~ñ~~ñ~
1220. mçïÉê pÉêáÉë áå ( )Mññ −
( ) ( ) ( ) ( ) KK +−++−+−+=−∑∞
=
åMå
OMOMNM
Må
åMå ññ~ññ~ññ~~ññ~
1221. fåíÉêî~ä çÑ `çåîÉêÖÉåÅÉqÜÉ ëÉí çÑ íÜçëÉ î~äìÉë çÑ ñ Ñçê ïÜáÅÜ íÜÉ ÑìåÅíáçå
( ) ( )∑∞
=
−=Må
åMå ññ~ñÑ áë ÅçåîÉêÖÉåí áë Å~ääÉÇ íÜÉ áåíÉêî~ä çÑ
ÅçåîÉêÖÉåÅÉK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 11. SERIES
312
1222. o~Çáìë çÑ `çåîÉêÖÉåÅÉfÑ íÜÉ áåíÉêî~ä çÑ ÅçåîÉêÖÉåÅÉ áë ( )oñIoñ MM +− Ñçê ëçãÉ
Mo ≥ I íÜÉ o áë Å~ääÉÇ íÜÉ ê~Çáìë çÑ ÅçåîÉêÖÉåÅÉK fí áë ÖáîÉå~ë
åå
å ~
Näáão
∞→= çê
Nå
å
å ~
~äáão
+∞→
= K
11.9 Differentiation and Integration of Power Series
`çåíáåìçìë ÑìåÅíáçåW ( )ñÑ
mçïÉê ëÉêáÉëW ∑∞
=Må
ååñ~
tÜçäÉ åìãÄÉêW åo~Çáìë çÑ `çåîÉêÖÉåÅÉW o
1223. aáÑÑÉêÉåíá~íáçå çÑ mçïÉê pÉêáÉë
iÉí ( ) K+++==∑∞
=
OONM
Må
åå ñ~ñ~~ñ~ñÑ Ñçê oñ < K
qÜÉåI Ñçê oñ < I ( )ñÑ áë ÅçåíáåìçìëI íÜÉ ÇÉêáî~íáîÉ ( )ñÑ ′Éñáëíë ~åÇ
( ) K+++=′ OONM ñ~
Çñ
Çñ~
Çñ
Ç~
Çñ
ÇñÑ
∑∞
=
−=+++=Nå
Nåå
OPON ñå~ñ~Pñ~O~ K K
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 11. SERIES
313
1224. fåíÉÖê~íáçå çÑ mçïÉê pÉêáÉë
iÉí ( ) K+++==∑∞
=
OONM
Må
åå ñ~ñ~~ñ~ñÑ Ñçê oñ < K
qÜÉåI Ñçê oñ < I íÜÉ áåÇÉÑáåáíÉ áåíÉÖê~ä ( )∫ ÇññÑ Éñáëíë ~åÇ
( ) K+++= ∫∫∫∫ Çññ~ñÇñ~Çñ~ÇññÑ OONM
`Nå
ñ~
P
ñ~
O
ñ~ñ~
Må
Nå
å
P
O
O
NM ++
=+++= ∑∞
=
+
K K
11.10 Taylor and Maclaurin Series
tÜçäÉ åìãÄÉêW åaáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ ÑìåÅíáçåW ( )ñÑoÉã~áåÇÉê íÉêãW åo
1225. q~óäçê pÉêáÉë
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )K+
−′′+−′+=
−=∑
∞
= >O
~ñ~Ñ~ñ~Ñ~Ñ
>å
~ñ~ÑñÑ
O
Må
åå
( ) ( )( )å
åå
o>å
~ñ~Ñ+
−+ K
1226. qÜÉ oÉã~áåÇÉê ^ÑíÉê åHN qÉêãë áë ÖáîÉå Äó( )( )( )
( )>Nå
~ñÑo
NåNå
å +−ξ
=++
I ñ~ <ξ< K
1227. j~Åä~ìêáå pÉêáÉë
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 11. SERIES
314
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )å
ååO
Må
åå o
>å
ñMÑ
>O
ñMÑñMÑMÑ
>å
ñMÑñÑ +++
′′+′+==∑
∞
=
K
11.11 Power Series Expansions for Some Functions
tÜçäÉ åìãÄÉêW åoÉ~ä åìãÄÉêW ñ
1228. KK ++++++=>å
ñ
>P
ñ
>O
ññNÉ
åPOñ
1229. ( ) ( ) ( )KK ++++++=
>å
~äåñ
>P
~äåñ
>O
~äåñ
>N
~äåñN~
åPOñ
1230. ( ) ( )KK ±
+−
++−+−=++
Nå
ñN
Q
ñ
P
ñ
O
ñññNäå
NååQPO
I NñN ≤<− K
1231.
++++=
−+
KT
ñ
R
ñ
P
ññO
ñN
ñNäå
TRP
I Nñ < K
1232.
+−
+
+−
++−
= KRP
Nñ
Nñ
R
N
Nñ
Nñ
P
N
Nñ
NñOñäå I Mñ > K
1233. ( )( ) KK ±−
++−+−=>åO
ñN
>S
ñ
>Q
ñ
>O
ñNñÅçë
åOåSQO
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 11. SERIES
315
1234. ( )( ) KK ±
+−
++−+−=+
>NåO
ñN
>T
ñ
>R
ñ
>P
ñññëáå
NåOåTRP
1235. K+++++=OUPR
ñSO
PNR
ñNT
NR
ñO
P
ñññí~å
VTRP
IO
ñπ
< K
1236.
++++−= K
QTOR
ñO
VQR
ñO
QR
ñ
P
ñ
ñ
NñÅçí
TRP
I π<ñ K
1237. ( )( )( ) K
K
KK +
+⋅⋅−⋅⋅
++⋅⋅
⋅+
⋅+=
+
NåOåOSQO
ñNåORPN
RQO
ñPN
PO
ñññ~êÅëáå
NåORP
I
Nñ < K
1238. ( )( )( ) I
NåOåOSQO
ñNåORPN
RQO
ñPN
PO
ññ
Oñ~êÅÅçë
NåORP
+
+⋅⋅−⋅⋅
++⋅⋅
⋅+
⋅+−
π=
+
KK
KK
Nñ < K
1239. ( )KK ±
+−
++−+−=+
NåO
ñN
T
ñ
R
ñ
P
ñññ~êÅí~å
NåOåTRP
I Nñ ≤ K
1240. ( ) KK ++++++=>åO
ñ
>S
ñ
>Q
ñ
>O
ñNñÅçëÜ
åOSQO
1241. ( ) KK ++
+++++=+
>NåO
ñ
>T
ñ
>R
ñ
>P
ñññëáåÜ
NåOTRP
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 11. SERIES
316
11.12 Binomial Series
tÜçäÉ åìãÄÉêëW åI ãoÉ~ä åìãÄÉêW ñ`çãÄáå~íáçåëW ã
å `
1242. ( ) åãå
ãOO
åN
åå ññ`ñ`ñ`NñN ++++++=+ KK
1243. ( ) ( )[ ]>ã
NãåNåå`ã
å −−−=
KI Nñ < K
1244. K+−+−=+
PO ñññNñN
NI Nñ < K
1245. K++++=−
PO ñññNñN
NI Nñ < K
1246. K+⋅⋅⋅
⋅⋅−
⋅⋅⋅
+⋅
−+=+USQO
ñRPN
SQO
ñPN
QO
ñ
O
ñNñN
QPO
I Nñ ≤ K
1247. K+⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅⋅
+⋅⋅
−+=+NOVSP
ñURON
VSP
ñRON
SP
ñON
P
ñNñN
QPOP I Nñ ≤ K
11.13 Fourier Series
fåíÉÖê~ÄäÉ ÑìåÅíáçåW ( )ñÑcçìêáÉê ÅçÉÑÑáÅáÉåíëW M~ I å~ I åÄ
tÜçäÉ åìãÄÉêW å
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 11. SERIES
317
1248. ( ) ( )∑∞
=
++=Nå
ååM åñëáåÄåñÅçë~
O
~ñÑ
1249. ( )∫π
π−π= ÇñåñÅçëñÑ
N~å
1250. ( )∫π
π−π= ÇñåñëáåñÑ
NÄå
http://fribok.blogspot.com/
318
Chapter 12
Probability
12.1 Permutations and Combinations
mÉêãìí~íáçåëW ãå m
`çãÄáå~íáçåëW ãå `
tÜçäÉ åìãÄÉêëW åI ã
1251. c~Åíçêá~ä( )( )åNåOåPON>å −−⋅⋅= K
N>M =
1252. >åmåå =
1253. ( )>ãå
>åmã
å
−=
1254. _áåçãá~ä `çÉÑÑáÅáÉåí
( )>ãå>ã
>å
ã
å`ã
å
−=
=
1255. ãåå
ãå `` −=
1256. NãNå
Nãå
ãå ``` +
++ =+
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 12. PROBABILITY
319
1257. åå
åO
åN
åM
å O```` =++++ K
1258. m~ëÅ~ä∞ë qêá~åÖäÉ
oçï M Noçï N N Noçï O N O Noçï P N P P Noçï Q N Q S Q Noçï R N R NM NM R Noçï S N S NR OM NR S N
12.2 Probability Formulas
bîÉåíëW ^I _mêçÄ~ÄáäáíóW mo~åÇçã î~êá~ÄäÉëW uI vI ws~äìÉë çÑ ê~åÇçã î~êá~ÄäÉëW ñI óI òbñéÉÅíÉÇ î~äìÉ çÑ uW µ^åó éçëáíáîÉ êÉ~ä åìãÄÉêW εpí~åÇ~êÇ ÇÉîá~íáçåW σs~êá~åÅÉW OσaÉåëáíó ÑìåÅíáçåëW ( )ñÑ I ( )íÑ
1259. mêçÄ~Äáäáíó çÑ ~å bîÉåí
( )å
ã^m = I
ïÜÉêÉã áë íÜÉ åìãÄÉê çÑ éçëëáÄäÉ éçëáíáîÉ çìíÅçãÉëIå áë íÜÉ íçí~ä åìãÄÉê çÑ éçëëáÄäÉ çìíÅçãÉëK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 12. PROBABILITY
320
1260. o~åÖÉ çÑ mêçÄ~Äáäáíó s~äìÉë( ) N^mM ≤≤
1261. ̀ Éêí~áå bîÉåí( ) N^m =
1262. fãéçëëáÄäÉ bîÉåí( ) M^m =
1263. ̀ çãéäÉãÉåí( ) ( )^mN^m −=
1264. fåÇÉéÉåÇÉåí bîÉåíë( ) ( )^m_L^m = I( ) ( )_m^L_m =
1265. ̂ ÇÇáíáçå oìäÉ Ñçê fåÇÉéÉåÇÉåí bîÉåíë( ) ( ) ( )_m^m_^m +=∪
1266. jìäíáéäáÅ~íáçå oìäÉ Ñçê fåÇÉéÉåÇÉåí bîÉåíë( ) ( ) ( )_m^m_^m ⋅=∩
1267. dÉåÉê~ä ^ÇÇáíáçå oìäÉ( ) ( ) ( ) ( )_^m_m^m_^m ∩−+=∪ I
ïÜÉêÉ_^∪ áë íÜÉ ìåáçå çÑ ÉîÉåíë ^ ~åÇ _I_^∩ áë íÜÉ áåíÉêëÉÅíáçå çÑ ÉîÉåíë ^ ~åÇ _K
1268. ̀ çåÇáíáçå~ä mêçÄ~Äáäáíó
( ) ( )( )_m
_^m_L^m
∩=
1269. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )^L_m^m_L^m_m_^m ⋅=⋅=∩
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 12. PROBABILITY
321
1270. i~ï çÑ qçí~ä mêçÄ~Äáäáíó
( ) ( ) ( )∑=
=ã
Nááá _L^m_m^m I
ïÜÉêÉ á_ áë ~ ëÉèìÉåÅÉ çÑ ãìíì~ääó ÉñÅäìëáîÉ ÉîÉåíëK
1271. _~óÉë∞ qÜÉçêÉã
( ) ( ) ( )( )^m
_m_L^m^L_m
⋅=
1272. _~óÉë∞ cçêãìä~
( ) ( ) ( )
( ) ( )∑=
⋅
⋅=
ã
Nâáá
ááá
_L^m_m
_L^m_m^L_m I
ïÜÉêÉ
á_ áë ~ ëÉí çÑ ãìíì~ääó ÉñÅäìëáîÉ ÉîÉåíë EÜóéçíÜÉëÉëFI^ áë íÜÉ Ñáå~ä ÉîÉåíI( )á_m ~êÉ íÜÉ éêáçê éêçÄ~ÄáäáíáÉëI( )^L_m á ~êÉ íÜÉ éçëíÉêáçê éêçÄ~ÄáäáíáÉëK
1273. i~ï çÑ i~êÖÉ kìãÄÉêë
Må
pm å →
ε≥µ− ~ë ∞→å I
Nå
pm å →
ε<µ− ~ë ∞→å I
ïÜÉêÉ
åp áë íÜÉ ëìã çÑ ê~åÇçã î~êá~ÄäÉëIå áë íÜÉ åìãÄÉê çÑ éçëëáÄäÉ çìíÅçãÉëK
1274. ̀ ÜÉÄóëÜÉî fåÉèì~äáíó
( ) ( )O
usum
ε≤ε≥µ− I
ïÜÉêÉ ( )us áë íÜÉ î~êá~åÅÉ çÑ uK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 12. PROBABILITY
322
1275. kçêã~ä aÉåëáíó cìåÅíáçå
( )( )
O
O
O
ñ
ÉO
Nñ σ
µ−−
πσ=ϕ I
ïÜÉêÉ ñ áë ~ é~êíáÅìä~ê çìíÅçãÉK
1276. pí~åÇ~êÇ kçêã~ä aÉåëáíó cìåÅíáçå
( ) O
ò O
ÉO
Nò
−
π=ϕ
^îÉê~ÖÉ î~äìÉ M=µ I ÇÉîá~íáçå N=σ K
Figure 210.
1277. pí~åÇ~êÇ w s~äìÉ
σµ−
=u
w
1278. ̀ ìãìä~íáîÉ kçêã~ä aáëíêáÄìíáçå cìåÅíáçå
( )( )
∫∞−
σ
µ−−
πσ=
ñ
O
í
ÇíÉO
Nñc
O
O
I
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 12. PROBABILITY
323
ïÜÉêÉñ áë ~ é~êíáÅìä~ê çìíÅçãÉIí áë ~ î~êá~ÄäÉ çÑ áåíÉÖê~íáçåK
1279. ( )
σµ−β
−
σµ−α
=β<<α ccum I
ïÜÉêÉu áë åçêã~ääó ÇáëíêáÄìíÉÇ ê~åÇçã î~êá~ÄäÉIc áë Åìãìä~íáîÉ åçêã~ä ÇáëíêáÄìíáçå ÑìåÅíáçåI( )β<<α um áë áåíÉêî~ä éêçÄ~ÄáäáíóK
1280. ( )
σε
=ε<µ− cOum I
ïÜÉêÉu áë åçêã~ääó ÇáëíêáÄìíÉÇ ê~åÇçã î~êá~ÄäÉIc áë Åìãìä~íáîÉ åçêã~ä ÇáëíêáÄìíáçå ÑìåÅíáçåK
1281. ̀ ìãìä~íáîÉ aáëíêáÄìíáçå cìåÅíáçå
( ) ( ) ( )∫∞−
=<=ñ
ÇííÑñumñc I
ïÜÉêÉ í áë ~ î~êá~ÄäÉ çÑ áåíÉÖê~íáçåK
1282. _Éêåçìääá qêá~äë mêçÅÉëëåé=µ I åéèO =σ I
ïÜÉêÉå áë ~ ëÉèìÉåÅÉ çÑ ÉñéÉêáãÉåíëIé áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ ëìÅÅÉëë çÑ É~ÅÜ ÉñéÉêáãÉåíëIè áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ Ñ~áäìêÉI éNè −= K
1283. _áåçãá~ä aáëíêáÄìíáçå cìåÅíáçå
( ) âåâèéâ
åèIéIåÄ −
= I
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 12. PROBABILITY
324
åé=µ I åéèO =σ I
( ) ( )åñéÉèñÑ += IïÜÉêÉå áë íÜÉ åìãÄÉê çÑ íêá~äë çÑ ëÉäÉÅíáçåëIé áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ ëìÅÅÉëëIè áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ Ñ~áäìêÉI éNè −= K
1284. dÉçãÉíêáÅ aáëíêáÄìíáçå( ) éèàqm Nà−== I
é
N=µ I
OO
é
è=σ I
ïÜÉêÉq áë íÜÉ Ñáêëí ëìÅÅÉëëÑìä ÉîÉåí áë íÜÉ ëÉêáÉëIà áë íÜÉ ÉîÉåí åìãÄÉêIé áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó íÜ~í ~åó çåÉ ÉîÉåí áë ëìÅÅÉëëÑìäIè áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ Ñ~áäìêÉI éNè −= K
1285. mçáëëçå aáëíêáÄìíáçå
( ) λ−λ≈= É
>ââum
â
I åé=λ I
λ=µ I λ=σO IïÜÉêÉλ áë íÜÉ ê~íÉ çÑ çÅÅìêêÉåÅÉIâ áë íÜÉ åìãÄÉê çÑ éçëáíáîÉ çìíÅçãÉëK
1286. aÉåëáíó cìåÅíáçå
( ) ( )∫=≤≤Ä
~
ÇññÑÄu~m
1287. ̀ çåíáåìçìë råáÑçêã aÉåëáíó
~Ä
NÑ
−= I
O
Ä~ +=µ I
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 12. PROBABILITY
325
ïÜÉêÉ Ñ áë íÜÉ ÇÉåëáíó ÑìåÅíáçåK
1288. bñéçåÉåíá~ä aÉåëáíó cìåÅíáçå( ) íÉíÑ λ−λ= I λ=µ I OO λ=σ
ïÜÉêÉ í áë íáãÉI λ áë íÜÉ Ñ~áäìêÉ ê~íÉK
1289. bñéçåÉåíá~ä aáëíêáÄìíáçå cìåÅíáçå( ) íÉNíc λ−−= I
ïÜÉêÉ í áë íáãÉI λ áë íÜÉ Ñ~áäìêÉ ê~íÉK
1290. bñéÉÅíÉÇ s~äìÉ çÑ aáëÅêÉíÉ o~åÇçã s~êá~ÄäÉë
( ) ∑=
==µå
Náááéñub I
ïÜÉêÉ áñ áë ~ é~êíáÅìä~ê çìíÅçãÉI áé áë áíë éêçÄ~ÄáäáíóK
1291. bñéÉÅíÉÇ s~äìÉ çÑ `çåíáåìçìë o~åÇçã s~êá~ÄäÉë
( ) ( )∫∞
∞−
==µ ÇñññÑub
1292. mêçéÉêíáÉë çÑ bñéÉÅí~íáçåë( ) ( ) ( )vbubvub +=+ I( ) ( ) ( )vbubvub −=− I( ) ( )uÅbÅub = I( ) ( ) ( )vbubuvb ⋅= I
ïÜÉêÉ Å áë ~ Åçåëí~åíK
1293. ( ) ( ) OO usub µ+= IïÜÉêÉ
( )ub=µ áë íÜÉ ÉñéÉÅíÉÇ î~äìÉI( )us áë íÜÉ î~êá~åÅÉK
http://fribok.blogspot.com/
CHAPTER 12. PROBABILITY
326
1294. j~êâçî fåÉèì~äáíó
( ) ( )â
ubâum ≤> I
ïÜÉêÉ â áë ëçãÉ Åçåëí~åíK
1295. s~êá~åÅÉ çÑ aáëÅêÉíÉ o~åÇçã s~êá~ÄäÉë
( ) ( )[ ] ( )∑=
µ−=µ−==σå
Náá
Oá
OO éñubus I
ïÜÉêÉ
áñ áë ~ é~êíáÅìä~ê çìíÅçãÉI
áé áë áíë éêçÄ~ÄáäáíóK
1296. s~êá~åÅÉ çÑ `çåíáåìçìë o~åÇçã s~êá~ÄäÉë
( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∞
∞−
µ−=µ−==σ ÇññÑñubus OOO
1297. mêçéÉêíáÉë çÑ s~êá~åÅÉ( ) ( ) ( )vsusvus +=+ I( ) ( ) ( )vsusvus +=− I( ) ( )usÅus =+ I
( ) ( )usÅÅus O= IïÜÉêÉ Å áë ~ Åçåëí~åíK
1298. pí~åÇ~êÇ aÉîá~íáçå
( ) ( ) ( )[ ]Oubusua µ−==
1299. ̀ çî~êá~åÅÉ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( )vuuvbvvuubvIuÅçî µµ−=µ−µ−= I
ïÜÉêÉu áë ê~åÇçã î~êá~ÄäÉI( )us áë íÜÉ î~êá~åÅÉ çÑ uI
µ áë íÜÉ ÉñéÉÅíÉÇ î~äìÉ çÑ u çê vK
http://fribok.blogspot.com/