fem c8 example
TRANSCRIPT
1
4 m 4 m
3 m
P = 1000 N
- Cho kết cấu phẳng như hình vẽ
7 23.10 /
0.3
E N m
- Dùng FEM để tính chuyển vị của hệ phẳng
1. Rời rạc miền bài toán
4 m 4 m
3 m
P = 1000 N
1 2
3
4 5 6
(1)
(2)
(3)
(4)
- Rời rạc thành 4 phần tử tam giác và 6
nút tương ứng
1 2 4 1
2 5 4 2
2 3 5 3
3 6 5 4
phan tu
phan tunodes
phan tu
phan tu
- Ma trận phần tử
- Ma trận tọa độ nút
0 4 8 0 4 8
0 0 0 3 3 3
Tphuong x
gcoordphuong y
1. Rời rạc miền bài toán
4 m 4 m
3 m
P = 1000 N
1 2
3
4 5 6
(1)
(2)
(3)
(4)
- Điều kiện biên chuyển vị
1 1
3
Nút1: 0; 0
Nút 3: 0
x y
y
u u
u
- Điều kiện biên lực
5Nút 5: 1000 yf
Vấn đề cần giải quyết
d d d
t
T T T
I I I
K F
B DB d N b N t
4
1d d
e
T T
I J I Je
K B DB B DB
1d K F K và F
y, v
x, u
1(x ,y )1 1
11(u ,v )
(u ,v )2 2
222(x ,y )
3
3(x ,y )
(u ,v )3
3 3
i
e
O
2. Hàm chuyển vị và hàm dạng phần tử
Chuyển vị nút
( ) ( )e e eu x N x d
31 2
31 2
Nút thu 1 Nút thu 2 Nút thu 3
( ) 0( ) 0 ( ) 0
0 ( )0 ( ) 0 ( )
ee e
e
ee e
NN N
NN N
xx xN x
xx x
1e
1
2
e
2
3
e3
chuyên vi tai nút 1 cua phân tu Ω
chuyên vi tai nút 2 cua phân tu Ω
chuyên vi tai nút 3 cua phân tu Ω
x
y
xe
y
x
y
u
u
u
u
u
u
d
1 1 2 3 3 2 2 3 3 2
2 2 3 1 1 3 3 1 1 3
3 3 1 2 2 1 1 2 2 1
1( ) ( , )
2
1( ) ( , )
2
1( ) ( , )
2
e e
e
e e
e
e e
e
N N x y x y x y y y x x x yA
N N x y x y x y y y x x x yA
N N x y x y x y y y x x x yA
x
x
x
2. Hàm chuyển vị và hàm dạng phần tử y, v
x, u
1(x ,y )1 1
11(u ,v )
(u ,v )2 2
222(x ,y )
3
3(x ,y )
(u ,v )3
3 3
i
e
O
Xấp xỉ hàm chuyển vị
1 T
u a bx cy x y a b c
1 1 1
2 2 2
3 3 3
Nút1:
Nút 2 :
Nút 3:
u a bx cy
u a bx cy
u a bx cy
1 1 1
2 2 2
3 3 3
1
1
1
u x y a
u x y b
u x y c
1
1
1 1 1
1 1
2 2 2
3 3 3
1
1 1
1
a x y u
b x y u u x y
c x y u N
dC
C d C d Nd
2. Hàm chuyển vị và hàm dạng phần tử
Tính hàm dạng cho phần tử thứ nhất
1 1 2 3 3 2 2 3 3 2
2 2 3 1 1 3 3 1 1 3
3 3 1 2 2 1 1 2 2 1
1 1( ) ( , ) 12 3 4
2 12
1 3( ) ( , )
2 12
1 4( ) ( , )
2 12
e e
e
e e
e
e e
e
N N x y x y x y y y x x x y x yA
xN N x y x y x y y y x x x y
A
xN N x y x y x y y y x x x y
A
x
x
x
0 4 8 0 4 8
0 0 0 3 3 3
Tphuong x
gcoordphuong y
1 2 4 1
2 5 4 2
2 3 5 3
3 6 5 4
phan tu
phan tunodes
phan tu
phan tu4 m 4 m
3 m
P = 1000 N
1 2
3
4 5 6
(1)
(2)
(3)
(4)
2. Hàm chuyển vị và hàm dạng phần tử
Diện tích phần tử
IN
Ix
1
y, v
x, u
1(x ,y )1 1
11(u ,v )
(u ,v )2 2
222(x ,y )
3
3(x ,y )
(u ,v )3
3 3
i
e
O
1 1
2 2
3 3
11
det 12
1
e
x y
A x y
x y
Hàm dạng
( ) ( , ) ; 1, 2, 3 e e
I I I I IN N x y a b x c y Ix
1 2 3 3 2 1 2 3 1 3 2
2 3 1 1 3 2 3 1 2 1 3
3 1 2 2 1 3 1 2 3 2 1
1 1 1; ;
2 2 2
1 1 1; ;
2 2 2
1 1 1; ;
2 2 2
e e e
e e e
e e e
a x y x y b y y c x xA A A
a x y x y b y y c x xA A A
a x y x y b y y c x xA A A
3. Ma trận biến dạng phần tử
Vector biến dạng
131 2
1
231 2
2
33 31 1 2 2
3
0 0 0
( ) 0 0 0
xx
y
xye
y
xyx
y
uu NN Nux x x xuu NN N
uy y y y
uu N NN N N Nu
y x y x y x uy x
B d
ε x Bd
1
1
1 2 2 3 3
1 2 2 3 3
x x x x
y y y y
u N u N u N u
u N u N u N u
3. Ma trận biến dạng phần tử
Vector biến dạng
31 2
1 2 3
31 21 2 3
1 1 2 2 3 3
3 31 1 2 2
( )( ) ( )0 0 0
0 0 0( )( ) ( )
( ) 0 0 0 0 0 0
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
ee e
ee ee
e ee e e e
NN N
x x xb b b
NN Nc c c
y y yc b c b c b
N NN N N N
y x y x y x
xx x
xx xB x
x xx x x x
( ) ( , ) ; 1, 2, 3 e e
I I I I IN N x y a b x c y Ix Hằng số
Tính biến dạng cho phần tử 1
3. Ma trận biến dạng phần tử
4 m 4 m
3 m
P = 1000 N
1 2
3
4 5 6
(1)
(2)
(3)
(4) 1 2 3
1 1 2 3
1 1 2 2 3 3
0 0 0
0 0 0
e
b b b
c c c
c b c b c b
B
1 2 3 1 3 2
2 3 1 2 1 3
3 1 2 3 2 1
1 1 1 1;
2 4 2 3
1 1 1; 0
2 4 2
1 1 10 ;
2 2 3
e e
e e
e e
b y y c x xA A
b y y c x xA A
b y y c x xA A
1
3 0 3 0 0 01
0 4 0 0 0 412
4 3 0 3 4 0
eB
0 4 8 0 4 8
0 0 0 3 3 3
Tphuong x
gcoordphuong y
1 2 4 1
2 5 4 2
2 3 5 3
3 6 5 4
phan tu
phan tunodes
phan tu
phan tu
Tính độ cứng cho phần tử 1
3. Ma trận biến dạng phần tử
1
3 0 3 0 0 01
0 4 0 0 0 412
4 3 0 3 4 0
eB
d
e
T Te e e e e eA tK B DB B DB
7
2 2
1 1 0.32 2
1 0 1 0.3 03.10
1 0 0.3 1 01 1 0.3
0 0 0 0
ED
7
1 1
2.0055 1.0714 1.2363 0.5769 0.7692 -0.4945
1.0714 2.6305 -0.4945 -0.4327 -0.5769 -2.1978
1.2363 -0.4945 1.2363 0 0 0.494510
0.5769 -0.4327 0 0.4327 0.5769 0
0.7692 -0.5769 0 0.5769 0.7692 0
-0.4945 -2.1978 0.4
Te e e eA tK B DB
945 0 0 2.1978
Bậc tự do toàn cục
1 2 3 4 7 8index
0 4 8 0 4 8
0 0 0 3 3 3
Tphuong x
gcoordphuong y
Tính biến dạng cho phần tử 2
3. Ma trận biến dạng phần tử
4 m 4 m
3 m
P = 1000 N
1 2
3
4 5 6
(1)
(2)
(3)
(4) 1 2 3
2 1 2 3
1 1 2 2 3 3
0 0 0
0 0 0
e
b b b
c c c
c b c b c b
B
1 2 3 1 3 2
2 3 1 2 1 3
3 1 2 3 2 1
1 1 10 ;
2 2 3
1 1 1 1;
2 4 2 3
1 1 1; 0
2 4 2
e e
e e
e e
b y y c x xA A
b y y c x xA A
b y y c x xA A
1 2 4 1
2 5 4 2
2 3 5 3
3 6 5 4
phan tu
phan tunodes
phan tu
phan tu
2
0 0 3 0 3 01
0 4 0 4 0 012
4 0 4 3 0 3
eB
Tính độ cứng cho phần tử 2
3. Ma trận biến dạng phần tử
d
e
T Te e e e e eA tK B DB B DB
7
2 2
1 1 0.32 2
1 0 1 0.3 03.10
1 0 0.3 1 01 1 0.3
0 0 0 0
ED
7
2 2
0.7692 0 -0.7692 0.5769 0 0.5769
0 2.1978 -0.4945 -2.1978 0.4945 0
-0.7692 -0.4945 2.0055 1.0714 -1.2363 -0.576910
-0.5769 -2.1978 1.0714 2.6305 -0.4945 -0.4327
0 0.4945 -1.2363 -0.4945 1.2363 0
0.5769 0 -0.5769 -0.
T
e e e eA tK B DB
4327 0 0.4327
Bậc tự do toàn cục
3 4 9 10 7 8index
2
0 0 3 0 3 01
0 4 0 4 0 012
4 0 4 3 0 3
eB
Tính biến dạng cho phần tử 3
3. Ma trận biến dạng phần tử
4 m 4 m
3 m
P = 1000 N
1 2
3
4 5 6
(1)
(2)
(3)
(4) 1 2 3
3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
0 0 0
0 0 0
e
b b b
c c c
c b c b c b
B
1 2 3 1 3 2
2 3 1 2 1 3
3 1 2 3 2 1
1 1 1 1;
2 4 2 3
1 1 1; 0
2 4 2
1 1 10 ;
2 2 3
e e
e e
e e
b y y c x xA A
b y y c x xA A
b y y c x xA A
3
3 0 3 0 0 01
0 4 0 0 0 412
4 3 0 3 4 0
eB
0 4 8 0 4 8
0 0 0 3 3 3
Tphuong x
gcoordphuong y
1 2 4 1
2 5 4 2
2 3 5 3
3 6 5 4
phan tu
phan tunodes
phan tu
phan tu
Tính độ cứng cho phần tử 3
3. Ma trận biến dạng phần tử
d
e
T Te e e e e eA tK B DB B DB
7
2 2
1 1 0.32 2
1 0 1 0.3 03.10
1 0 0.3 1 01 1 0.3
0 0 0 0
ED
7
3 3
2.0055 1.0714 -1.2363 -0.5769 -0.7692 -0.4945
1.0714 2.6305 -0.4945 -0.4327 -0.5769 -2.1978
-1.2363 -0.4945 1.2363 0 0 0.494510
-0.5769 -0.4327 0 0.4327 0.5769 0
-0.7692 -0.5769 0 0.5769 0.7692 0
-0.4945 -2.1978 0.4
T
e e e eA tK B DB
945 0 0 2.1978
Bậc tự do toàn cục
3 4 5 6 9 10index
3
3 0 3 0 0 01
0 4 0 0 0 412
4 3 0 3 4 0
eB
Tính biến dạng cho phần tử 4
3. Ma trận biến dạng phần tử
4 m 4 m
3 m
P = 1000 N
1 2
3
4 5 6
(1)
(2)
(3)
(4) 1 2 3
4 1 2 3
1 1 2 2 3 3
0 0 0
0 0 0
e
b b b
c c c
c b c b c b
B
1 2 3 1 3 2
2 3 1 2 1 3
3 1 2 3 2 1
1 1 10 ;
2 2 3
1 1 1 1;
2 4 2 3
1 1 1; 0
2 4 2
e e
e e
e e
b y y c x xA A
b y y c x xA A
b y y c x xA A
4
0 0 3 0 3 01
0 4 0 4 0 012
4 3 4 3 0 3
eB
0 4 8 0 4 8
0 0 0 3 3 3
Tphuong x
gcoordphuong y
1 2 4 1
2 5 4 2
2 3 5 3
3 6 5 4
phan tu
phan tunodes
phan tu
phan tu
Tính độ cứng cho phần tử 4
3. Ma trận biến dạng phần tử
d
e
T Te e e e e eA tK B DB B DB
7
2 2
1 1 0.32 2
1 0 1 0.3 03.10
1 0 0.3 1 01 1 0.3
0 0 0 0
ED
7
4 4
0.7692 0 -0.7692 -0.5769 0 0.5769
0 2.197 -0.4945 -2.1978 0.4945 0
-0.7692 -0.4945 2.0055 1.0714 -1.2363 -0.576910
-0.5769 -2.1978 1.0714 2.6305 -0.4945 -0.4327
0 0.4945 -1.2363 -0.4945 1.2363 0
0.5769 0 -0.5769 -0.
T
e e e eA tK B DB
4327 0 0.4327
Bậc tự do toàn cục
5 6 11 12 9 10index
4
0 0 3 0 3 01
0 4 0 4 0 012
4 3 4 3 0 3
eB
4. Vector tải
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1000 0 0 F
4 m 4 m
3 m
P = 1000
N
1 2
3
4 5 6
(1)
(2)
(3)
(4)
5. Khử bậc tụ do
- Điều kiện biên chuyển vị
1 1
3
Nút1: 0; 0
Nút 3: 0
x y
y
u u
u
1 2 6index
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
K
5. Khử điều kiện biên
4 m 4 m
3 m
P = 1000
N
1 2
3
4 5 6
(1)
(2)
(3)
(4)
1 2 6index
4 m 4 m
3 m
P = 1000
N
1 2
3
4 5 6
(1)
(2)
(3)
(4)
1U K F
4
0
-0.6981
-0.541110
-0.3940
-0.8085
0
xU 4
0
-0.8904
010
-0.5890
-0.7284
-0.8085
yU
6. Giải chuyển vị nút
7. Mô hình chuyển vị
4 m 4 m
3 m
P = 1000 N
1 2
3
4 5 6
(1)
(2)
(3)
(4)
mo hinh ban dau
mo hinh bien dang
FEM
8. Tính ứng suất
σ = Dε DBd
Ung suat x
-600
-400
-200
0
200
Ung suat y
-800
-600
-400
-200
Ung suat xy
-400
-200
0
Ung suat Von Mises
400
600
800
1000
4 m 4 m
3 m
P = 1000 N
1 2
3
4 5 6
(1)
(2)
(3)
(4)
