fem lecturenotes ms

Phương phápphan tu huu

han

NGUYEN TIEN DŨNGB® môn Cơ hoc ket cau - Đai hoc Xây

dnng Hà n®i Hà n®i 06-2009

Mnc lnc

1 Mó đau 11.1 Phương pháp phan tu huu han........................11.2 Cơ sõ ten sơ.......................................21.3 Chuyen trnc toa đ®.................................51.4 Giãi tích véc tơ...................................71.5 Đai so tuyen tính..................................91.6 Cơ sõ lý thuyet đàn hoi............................91.7 Bài t¾p...........................................11

2 Phương trình cơ só và phương trình bien thiên 132.1 Phương trình cơ sõ................................13

2.1.1 Thanh ch%u kéo nén...........................132.1.2 Thanh ch%u uon ngang phang...................142.1.3 V¾t the đàn hoi..............................152.1.4 Tam ch%u uon.................................16

2.2 Thiet l¾p phương trình bien thiên tù nguyên lý công khã dĩ............................................182.2.1 Nguyên lý công khã dĩ........................182.2.2 Thanh ch%u kéo nén...........................192.2.3 Thanh ch%u uon ngang phang...................192.2.4 V¾t the đàn hoi..............................192.2.5 Tam ch%u uon.................................19

2.3 Thiet l¾p phương trình bien thiên tù phương pháp hàm thu...............................................192.3.1 Thanh ch%u kéo nén...........................202.3.2 Thanh ch%u uon ngang phang...................202.3.3 V¾t the đàn hoi..............................212.3.4 Tam ch%u uon.................................21

2.4 Bài t¾p...........................................22

ii Mnc lnc

3 H¾ thanh 233.1 Hàm chuyen v%.....................................23

3.1.1 Thanh ch%u kéo nén doc trnc..................233.1.2 Thanh ch%u uon ngang phang...................253.1.3 Thanh ch%u xoan thuan tuý....................29

3.2 Dang ma tr¾n cua các bài toán cơ bãn..............303.2.1 Thanh ch%u kéo nén doc trnc..................313.2.2 Thanh ch%u uon ngang phang...................323.2.3 Thanh ch%u xoan thuan tuý....................35

3.3 Dàn phang.........................................373.4 Khung phang.......................................38

3.4.1 Thanh hai đau nút cúng (N-N)................393.4.2 Thanh đau trái là khóp, đau phãi là nút cúng (K-

N)...........................................403.4.3 Thanh đau trái là nút cúng, đau phãi là khóp (N-

K)...........................................413.5 Khung không gian..................................423.6 Ma tr¾n đ® cúng và véc tơ lnc nút cua h¾ ket cau. .443.7 Xác đ%nh chuyen v% và n®i lnc.....................453.8 Bài t¾p...........................................45

4 Bài toán phang cúa lý thuyet đàn hoi 494.1 Hàm chuyen v%.....................................49

4.1.1 Phan tu tam giác ba điem nút................504.1.2 Phan tu tú giác bon điem nút................524.1.3 Phan tu huu han b¾c cao.....................53

4.2 Phan tu cơ sõ và hoán chuyen đang hưóng...........544.2.1 Phan tu cơ sõ tú giác.......................574.2.2 Phan tu cơ sõ tam giác......................58

4.3 Ma tr¾n đ® cúng và véc tơ lnc nút.................594.4 Tích phân so......................................604.5 Bài t¾p...........................................62

5 Tam và vó 635.1 Tam ch%u uon......................................64

5.1.1Hàm chuyen v%................................645.1.2Bien dang....................................655.1.3 Ma tr¾n đ® cúng và véc tơ lnc nút...........66

Mnc lnc ii

5.1.4 Ví dn phân tích tam . .... ... .... ... ... . 665.2 Võ mõng . . . . . . .. . . . . . . .

. .... ... .... ... ... . 665.2.1 Phan tu võ phang . .. . . .

. .... ... .... ... ... . 685.2.2 Phan tu võ cong .. . . . .

. .... ... .... ... ... . 685.2.3 Phan tu võ n®i suy . . . . .

. .... ... .... ... ... . 695.3 Bài t¾p . . . . . . .. . . . . . . . .

. .... ... .... ... ... . 71

6 Bài toán đ®ng lnc hoc 756.1 Phương trình đ®ng lnc hoc

. . . .. .... ... .... ... ... . 75

6.2 Dang ma tr¾n . . . . .. . . . . . .

. .... ... .... ... ... . 766.3 Dao đ®ng tn do không có lnc cãn .

. .... ... .... ... ... . 786.4 Bài t¾p . . . . . . .. . . . . . . . .

. .... ... .... ... ... . 79

Tài li¾u tham kháo 81

8 Mõ đau

Chương 1

Mó đau

Chương này giói thi¾u m®t so khái ni¾m mõ đau, các kýhi¾u, quy uóc, cơ sõ toán hoc và cơ hoc đưoc su dnng trongtài li¾u.

1.1 Phương pháp phan tú huu hanPhương pháp phan tu huu han (the Finite Element Method- FEM) là m®t phương pháp so đe phân tích nhung phươngtrình vi phân đao hàm riêng đưoc su dnng đe mô tã các bàitoán trong cơ hoc. Quá trình tính theo phương pháp phantu huu han thưòng thưòng dan đen vi¾c giãi m®t h¾ phươngtrình đai so tuyen tính, đưoc bieu dien theo ngôn ngu matr¾n, và có the đưoc tn đ®ng hoá trên máy tính. Đe bietthêm ve l%ch su, cơ sõ lý thuyet và úng dnng cua phươngpháp phan tu huu han, ngưòi đoc có the tham khão thêm cáctài li¾u cua các tác giã Zienkiewicz (1971), Bathe (1996),Bernadou (1996), Hughes (2000), Engel et al. (2002),Chapelle and Bathe (2003) và Wells (2006).

Trong phân tích ket cau bang Phương pháp phan tu huuhan, v¾t the liên tnc đưoc xap xi bang to hop cua cácphan tu huu han. Các phan tu này có kích thưóc huu han vàđưoc liên ket vói nhau bang m®t so huu han các điem nút.Sau khi moi quan h¾ úng suat - bien dang cua các phan tuhuu han đưoc thiet l¾p và lap ghép vói nhau, trang tháiúng suat - bien dang cua h¾ ket cau có the đưoc xác đ%nh.

Các công thúc cơ bãn cua phương pháp phan tu huu han

thưòng đưoc thiet l¾p trên nen tãng cua các nguyên lý nănglưong ho¾c các công thúc bien thiên. Khi thiet l¾p côngthúc, có the chon trưòng bien dang hay trưòng úng suatlàm an so chính, và tương úng vói nó phương pháp phan tuhuu han mô hình

1

10

Mõ đau

chuyen v% và mô hình úng suat đưoc su dnng. Trong thnchành, phương pháp phan tu huu han mô hình chuyen v% thưòngđưoc su dnng.

Vi¾c phân tích ket cau bang phương pháp phan tu huu hantheo mô hình chuyen v% thưòng gom các bưóc sau:

• Ròi rac hoá ket cau thành các phan tu huu han;

• Chon các hàm chuyen v% mô tã chuyen v% cua phan tu huu han;

• L¾p ma tr¾n đ® cúng và véc tơ lnc nút cua các phan tu huu han trong h¾ toa đ® đ%a phương;

• L¾p ma tr¾n đ® cúng và véc tơ lnc nút cua các phan tu huu han trong h¾ toa đ® chung;

• L¾p ma tr¾n đ® cúng và véc tơ lnc nút cua h¾ ket cau;

• Thi hành các đieu ki¾n biên;

• Giãi h¾ phương trình cân bang đe tìm véc tơ chuyen v% nút trong h¾ toa đ® chung;

• Tìm véc tơ chuyen v% nút trong h¾ toa đ® đ%a phương;

• Tính n®i lnc, bien dang, úng suat trong các phan tu.

Đ® chính xác cua ket quã tính phn thu®c vào đ® m%n cualưói chia, b¾c cua các hàm xap xi su dnng đe mô tã cácphan tu huu han và đ® chính xác cua vi¾c giãi h¾ phươngtrình đai so.

1.2 Cơ só ten sơTrong phân tích ket cau thưòng g¾p các đai lưong véc tơ vàten sơ. Ví dn chuyen v% hay ngoai lnc tai m®t điem là m®tđai lưong véc tơ, úng suat hay bien dang tai m®t điem làm®t đai lưong ten sơ. M®t đai lưong véc tơ ho¾c ten sơ cóthe đưoc bieu dien trong các h¾ toa đ® (hay h¾ cơ sõ) khácnhau. Trong phan lón n®i dung tài li¾u này, h¾ toa đ® đecác (Cartesian), trnc chuan (orthonormal) đưoc su dnng.Đieu này làm đơn giãn hoá các trien khai. M®t đai lưongvéc tơ và ten sơ do đó có the đưoc bieu dien đay đu quacác thành phan cua chúng, vói các véc tơ cơ sõ có chieudài bang đơn v%.

1.2. Cơ sõ ten sơ3

x3

a3

e3(0, 0, 1)

e1(1, 0, 0)

a

e2(0, 1, 0)x2a2

a1x1

Hình 1.1: H¾ cơ sõ trnc chuan.

Trong tài li¾u, các đai lưong vô hưóng đưoc ký hi¾u bangcác ký tn in thưòng (l, a, E ...), các đai lưong véc tơ,ten sơ và ma tr¾n đưoc ký hi¾u bang các ký tn in đ¾m (u,σ, M, ...).

M®t véc tơ a trong không gian thnc d chieu Rd thưòng đưocbieu dien qua các thành phan véc tơ ai , i = 1 → d, như sau:

a =

a1a2...ad

.

(1.1)

Nhân vô hưóng hai véc tơ a và b có cùng chieu d đưoc đ%nh nghĩa là m®t đai lưong vô hưóng:

d

s = a · b = ∑ aibi,

(1.2)i=1

trong đó (·) ký hi¾u phép nhân vô hưóng.Einstein (1916) đã đe xuat ký hi¾u phép tong (Einstein

summation) đe bieu dien rút gon các phép tính véc tơ và

1 Mõ

ten sơ dưói dang chi so, xem thêm Hughes (2000). Đe bieudien so hang sau cùng cua bieu thúc trên, ký hi¾u phéptong đưoc bõ qua. Khi các chi so cua các thùa so trongphép tính trùng nhau (chi so i), phép tong đưoc thnc hi¾nl¾p lai theo chi so đó (i = 1 → d). Ví dn, khi d = 3:

s = aibi = a1 b1 + a2b2 + a3 b3.

(1.3)

A

Chieu dài cua m®t véc tơ đưoc đ%nh nghĩa tù ket quã phép nhân vô hưóng cua véc tơ vói chính nó:

a = "a" = √

a · a = √

aiai . (1.4)Tương tn như các véc tơ, m®t ten sơ b¾c hai A trong không gian thnc d chieu

Rd thưòng đưoc bieu dien qua các thành phan véc tơ Aij, i, j = 1→ d, như sau:

A = Aij =

A11 A12 ...A1d A21 A22... A2d

... ... ... .

..Ad1 Ad2 ...

Add

. (1.5)

Véc tơ và ten sơ có the liên h¾ vói nhau như sau:

a = ai = Ab = Aijbj, (1.6)

C = Cik = AB = Aijbjk. (1.7)

M®t ten sơ b¾c hai A có chuyen v% đưoc ký hi¾u bõi AT và đưoc đ%nh nghĩa bõi:

b · Ac = Ac · b = c · AT b, (1.8)Hay ký hi¾u dưói dang chi so:

bi (Aijcj) = (Aijcj)bi = cj(Ajibi). (1.9)

Dang tưòng minh: ij = Aji.

(1.10)Phép tính sau hay đưoc su dnng, liên quan tói chuyen v% ten sơ:

(AB)T = BT AT . (1.11)

M®t ten sơ b¾c hai có the nh¾n đưoc tù phép nhân ten sơ cua hai véc tơ:

ha

y

1 Mõ A =a ⊗

b, (1.12)

Aij = aibj. (1.13)Vet cua m®t ten sơ b¾c hai đưoc đ%nh nghĩa là tong cua

các so hang trên đưòng chéo chính:tr (A) = Aii, (1.14)

×

1.3. Chuyen trnc toa đ®5

Tích vô hưóng cua hai ten sơ b¾c hai có the đ%nh nghĩa bõi:

s = A : B = tr .

AT B. = Aij Bij.

(1.15)

Ten sơ b¾c hai đơn v% I đưoc đ%nh nghĩa bõi:

a = I · a,

(1.16)và có the xác đ%nh bõi: I = δijei ⊗ ej,

(1.17)trong đó δij là Kronecker-delta, δij = 1 khi i = j và δij = 0 khi iƒ= j.

Nhân huu hưóng (nhân véc tơ) giua hai véc tơ trong không gian R3 đưocđ%nh nghĩa bõi:

c = a b =

a2 b3 −a3 b2 a3b1 − a1b3 a1 b2− a2 b1

.

(1.18)

M®t ten sơ b¾c ba có the đ%nh nghĩa tù phép nhân ten sơcua m®t ten sơ b¾c hai và m®t véc tơ. Ten sơ b¾c ba hayđưoc su dnng là ten sơ hoán v% vòng quanh (permutation) E:

E = Eijk = ei · .

ej × ek .

.

(1.19)Ten sơ này có đ¾c điem: khi các chi so l¾p lai, Eijk = 0; neusn hoán v% (i, j, k) là chan (thu¾n), Eijk = 1; neu sn hoán v% (i, j, k) là le (ngh%ch), Eijk = −1. Su dnng ten sơ hoán v%vòng quanh, phép nhân có hưóng hai véc tơ có the đ%nhnghĩa bõi:

c = a × b = E : (a ⊗ b)

j

j

1 Mõ

(1.20) Ten sơ b¾c bon thưòng g¾p là ten sơ đàn hoi cua v¾t li¾u:

C = Cijkl .

(1.21)

1.3 Chuyen trnc toa đ®Trong tính toán thnc hành, ngoài h¾ trnc toa đ® chung(tong the) cho toàn h¾ ket cau, moi phan tu huu han đưocgan vói m®t h¾ toa đ® riêng (đ%a phương). Moi quan h¾ giuacác đai lưong trong h¾ toa đ® chung và riêng đưoc thnc hi¾nqua m®t ma tr¾n chuyen trnc toa đ®. Xét hai h¾ toa đ® ei vàe′, i = 1 → d. Matr¾n chuyen trnc T giua hai h¾ toa đ® đưoc đ%nh nghĩa:

Tij = ei · e′.

(1.22)

x

′

x

x

′

1

2 3

1 2 3

j

j

k

i

′2

x2x1

e2(0, 1, 0)

e2(−sinα, cosα, 0)

α e′

e1(cosα, sinα, 0)′1

e3(0, 0, 1)x3 e3(0, 0, 1)′3

1(1, 0, 0)

Hình 1.2: Chuyen trnc toa đ®.

Trong pham vi bài toán phang, ma tr¾n chuyen trnc có dang:

e1 · e′ e1 · e′

e1 · e′

cosα sinα 0

T = e2 ·e′ e2 ·e′ e2 ·e′ = −sinα cosα0

. (1.23) 1e3 · e′

2e3 · e

′

3 e3 · e′

0 0 1

Chú ý là ma tr¾n T là ma tr¾n trnc giao:

TT T = T T T = I, (1.24)

hay T T = T −1. (1.25)M®t đai lưong véc tơ đưoc bieu dien trong hai h¾ toa đ® ei và e′ qua hai véc tơa và a′ có moi quan h¾ sau:

a = Ta′ = Tija′, (1.26)

vàa′ = T T a = Tjiaj. (1.27)

M®t đai lưong ten sơ b¾c hai đưoc bieu dien trong hai h¾ toa đ® qua hai ten

sơ A và A′ có moi quan h¾ sau:

A = TA′ T T = Aij = Tik A′ Tjm, (1.28)

và A′ = T T AT =

1 Mõ A′

= Tki Akm Tmj. (1.29)

i

i

1.4. Giãi tích véc tơ7

1.4 Giái tích véc tơKý hi¾u đao hàm riêng ∂u

u,x = ∂x ,

(1.30)∂2u

u,xx = ∂x2 ,

(1.31)∂4u

u,xxxx = ∂x4 ,

(1.32)∂2u

u,xy = ∂x∂y .

(1.33)Toán tu Laplace, ký hi¾u bõi ∇, đưoc đ%nh nghĩa bõi

∂∇ =

∂x .

(1.34)

Trong không gian R3, ∇ đưoc trien khai: ∂

∇ = ∂x1 ∂ ∂x2

∂ ∂x3

.(1.35)

M®t trien khai quan trong là vi phân cua m®t hàm. Vi phân cua m®t trưòng véc tơ a là m®t đai lưong vô hưóng, đưoc ký hi¾u bõi ∇ · a:

∂aiTrong không

gian R3,

2 Mõ 1

+

∇ · a = ∂x

= ai,i .

∂a1∇ · a =

∂x+ ∂a2∂x2

+ ∂a3∂x3

.

(1.37)

Vi phân cua m®t trưòng ten sơ b¾c hai là m®t đai lưong véc tơ:

Trong không gianR2,

∇ · A =

∂Aij

∂xj

= Aij,j.

(1.38)

. ∂ A 11 + ∂ A 12

.∇ · A = ∂x1∂A11

∂x1

∂x2∂A12∂x2

.

(1.39)

i

∇

j

·

Ω Ω ∇

M®t trien khai quan trong khác là gradient cua m®t hàm. Gradient cua m®t đai lưong vô hưóng là m®t véc tơ:


∂a∇a =

∂x= a,i . (1.40)

∂ a

∂x1a = ∂a∂x2 ∂ a ∂x3

. (1.41)

Gradient cua m®t véc tơ là m®t đai lưong ten sơ b¾c hai:


∂ai∇a =

∂x= ai,j. (1.42)

∇a =.∂ a 1∂x

1∂a2∂x1

∂ a 1∂x2∂a2∂x2

.. (1.43)

Các công thúc cơ bãn cua phương pháp phan tu huu hanđưoc xây dnng trên lý thuyet vi phân (lý thuyet Gauss). Lýthuyet này chuyen đoi m®t tích phân trên the tích ve tíchphân trên be m¾t. Xét m®t v¾t the có the tích Ω và biên ∂Ω.M®t điem trên biên có véc tơ pháp tuyen n. Lý thuyet viphân chi ra rang, cho m®t trưòng véc tơ a,

Vói m®t trưòng tensơ A,

¸

Ω ∇ · a

d

Ω = ¸ a n d

∂Ω

Γ. (1.44)

¸

Ω ∇ · A dΩ = ¸ An

d∂Ω

Γ. (1.45)

Công thúc tích phân tùng phan thưòng xuyên đưoc su dnng trong thiet l¾pcông thúc phan tu huu han. Cho m®t trưòng véc tơ a và m®t trưòng ten sơ B, ta có:¸ ¸

a · (∇ · B) dΩ = −¸

a : B dΩ + ∂Ω

Ω Ω Ω

2 Mõ a · Bn dΓ. (1.46)Tương tn, cho m®t trưòng vô hưóng a và m®t trưòng véc tơ b,

¸ ¸a (∇ · b) dΩ = −

¸∇a · b dΩ +

∂a (b · n) dΓ, (1.47)

1.5. Đai so tuyen tính9

1.5 Đai so tuyen tínhCác giá tr% rieng và véc tơ riêng cua m®t ma tr¾n là các tính chat cua nó. Cho ma tr¾n A và véc tơ b, đai lưong vô hưóng λ đưoc goi là tr% riêng cua ma tr¾n neu:

(A − λI) b = 0,

(1.48)

véc tơ b tưong úng vói λ goi là véc tơ riêng. Phương trình trên tương đương vói phương trình sau:

det (A − λI) = 0,

(1.49)H¾ phương trình đai so tuyen tính n an so có the bieu dienbõi:

Ku = f .

(1.50)

Trong phương pháp phan tu huu han, K là ma tr¾n đ® cúng cuah¾ ket cau, f là véc tơ lnc nút. Véc tơ chuyen v% nút tìm đuoc:

u = K−1 f .

(1.51)

1.6 Cơ só lý thuyet đàn hoiPhương trình cân bang (Navier-Cauchy):

∇ · σ + f = 0,

(1.52)

hay σij,j + fi = 0.

2 Mõ

(1 .53)Phương trình cân bang trên be m¾t:

σn = t,

(1.54)

hay

trong đó t là véc tơ lnc be m¾t

σijnj = ti ,

(1.55)Liên h¾ bien dang chuyen v% (công thúc Cauchy):

ǫ = ∇Su,

(1.56)

hay 1

ǫij = 2 .

ui,j + uj,i.

, (1.57)là m®t ten sơ b¾c hai đoi xúng.

Phương trình v¾t lý (đ%nh lu¾t Hooke):

σ = Cǫ,

(1.58)

hay σij = Cijklǫkl , (1.59)

trong đó C là ten sơ đàn hoi b¾c bon cua v¾t li¾u,

Cijkl = µ .

δikδjl + δilδjk. + λδijδkl , (1.60)

trong đó

và

λ =νE

(1 + ν) (1 − 2ν)

, (1.61)

µ =E

2 (1 + ν). (1.62)

E là mô đun Young, ν là h¾ so Poisson, λ và µ là các h¾ so Lamé.

Trong thnc hành, các ten sơ bien dang ǫ và úng suat σthưòng đưoc viet lai dưói dang véc tơ. Do tính chat đoixúng cua các ten sơ này, các véc tơ bien dang và úng suatchi có 6 so hang đ®c l¾p:

ǫ11

ǫ22

ǫ33

ǫ11

ǫ22

ǫ33

u1,1

u2,2

u3,3

ǫ =

=

=

, (1.63)

2ǫ12

2ǫ23

2ǫ31

γ12

γ23

γ31

u1,2 + u2,1

u2,3 + u3,2

u3,1 + u1,3

và

σ =

σ11σ22σ3

3 σ12 σ23 σ31

2 Mõ

. (1.64)

λ + 2µ

λ λ 0 0 0λ λ +

2µλ 0 0 0

λ λ λ + 2µ

0 0 00 0 0 µ 0 00 0 0 0 µ 00 0 0 0 0 µ

1.7. Bài t¾p 11

Phương trình v¾t lý đưoc viet lai dưói dang ma tr¾n:

trong đó ma tr¾n đàn hoi D:

D =

σ = Dǫ,

(1.65)

.

(1.66)

Trong thnc hành, thưòng g¾p các bài toán phang: úng suatphang, bien dang phang và đoi xúng trnc.

1.7 Bài t¾pBài 1: L¾p m®t sơ đo tính tam phang tuỳ chon và phân tíchket cau đã chon bang m®t chương trình phan tu huu hanthông dnng (Sap2000, Etabs ...). Khão sát sn h®i tn cuaket quã khi thay đoi lưói chia các phan tu huu han theothú tn sau:

• Chon m®t lưói chia m%n nhat có the, phân tích ket cau,xác đ%nh chuyen v% tai m®t điem tuỳ chon trên ket cauvà su dnng làm ket quã đe so sánh ure f ;

• Thay đoi lưói chia, tính chuyen v% tai điem đã an đ%nh ui, tính sai soe = ure f − ui ;

• Ve đo th% liên h¾ giua so lưong phan tu n và sai so e;

• Ve đo th% liên h¾ giua log(n) và log(e);

• Nh¾n xét ket quã.

Bài 2: Trong không gian 3 chieu (d = 3), trien khai cácbieu thúc sau:

2 Mõ

a) aibib) aibj

Ω

c) Aij Bijd)Aij Bjke) Aijbif) Aijbjg) ∇ · ah)∇ai) A : Bj) (∇a) : B

Bài 3: Chúng minh công thúc tích phân tùng phan (1.46).

Bài 4: Áp dnng công thúc tích phân tùng phan cho bieu thúcsau:

¸u · (∇ · σ) dΩ (1.67)

và viet lai ket quã dưói dang chi so.

Bài 5: Viet ma tr¾n đàn hoi D cho các bài toán úng suat phang σ33 = 0 và bien dang phang ǫ33 = 0.

3 Phương trình

Chương 2

Phương trình cơ só và phương trình bien thiên

Bưóc quan trong trưóc khi thiet l¾p các công thúc cơ bãncua phương pháp phan tu huu han là bien đoi các phươngtrình cơ sõ (strong form) mô tã các van đe cơ hoc ve cácphương trình bien thiên (weak form). Vi¾c su dnng cácphương trình bien thiên cho phép giãm b¾c cua các phươngtrình cơ sõ, và đe thu¾n ti¾n cho vi¾c trien khai phươngpháp so trong các bưóc tiep sau.

Chương này trình bày các phương trình cơ sõ cua m®t sobài toán cơ hoc thưòng g¾p, và hai phương pháp đe xâydnng các phương trình bien thiên: su dnng nguyên lý côngkhã dĩ và su dnng hàm thu (hàm trong so).

2.1 Phương trình cơ sóCác phương trình cơ sõ (phương trình goc) mô tã các đieuki¾n cân bang lnc, cân bang đ®ng hoc, đieu ki¾n v¾t lý vàcác đieu ki¾n biên cua các bài toán cơ hoc. Phan này gióithi¾u lai các phương trình cơ sõ cua các van đe thanh ch%ukéo nén, thanh ch%u uon, v¾t the đàn hoi ch%u tãi trong vàtam ch%u uon.

2.1.1Thanh ch%u kéo nénXét thanh thang đàn hoi tuyen tính có tiet di¾n ngang

A, chieu dài l, xem Hình 2.1. Ký hi¾u E là mô đun đàn hoi

kéo nén cua v¾t li¾u. Chon trnc toa đ® x trùng vói trncthanh. M®t đau thanh (x = 0) đưoc co đ%nh và đau còn lai (x= l) đưoc tác dnng m®t lnc F. Thanh ch%u tãi trong phân

bo theo phương

13

EAxl

3 Phương trình

f F

Hình 2.1: Thanh ch%u kéo nén

trnc thanh có cưòng đ® f . Phương trình cân bang và các đieu ki¾n biên cua h¾ có the viet:

Aσ,x + f = 0 x = 0 ÷ l, (2.1)u = 0 x =

0,(2.2)Aσn = F x = l. (2.3)Khi h¾ thanh đàn hoi tuyen tính, đ%nh lu¾t Hooke đưoc su

dung, σ = Eǫ = Eu,x . Bài toán kéo thanh có the viet: tìm trưòng chuyen v% u thoã mãn

EAu,xx + f = 0 x = 0 ÷ l, (2.4)u = 0 x =

0,(2.5)EAu,x = F x = l. (2.6)

2.1.2Thanh ch%u uon ngang phangXét thanh thang đàn hoi tuyen tính chieu dài l, xem Hình2.2. Tiet di¾n ngang cua thanh có đ® cúng chong uon EI.Chon trnc toa đ® x trùng vói trnc thanh và trnc y vuônggóc vói trnc thanh. M®t đau thanh (x = 0) đưoc co đ%nh vàđau còn lai (x = l) đưoc tác dnng lnc F vuông góc vói trncthanh và mô menM. Thanh ch%u tãi trong vuông góc vói trnc thanh có cưòngđ® f . Ký hi¾u u là chuyen v% theo phương y và φ là góc xoay,m và q là mô men uon và lnc cat tai tiet di¾n. Phương trìnhcân bang và các đieu ki¾n biên cua h¾ có the viet:

m,x − q = 0 x = 0 ÷ l, (2.7)q,x − f = 0 x = 0 ÷ l, (2.8)u = 0 x =

0,(2.9)φ = 0 x =

0,(2.10)m = M x = l, (2.11)

q = −F x = l. (2.12)

2.1. Phương 1

yF

f

EI Mxl

Hình 2.2: Thanh ch%u uon ngang phang

Khi su dnng giã thiet tiet di¾n phang Bernoulli-Euler, ta cócác liên h¾

φ = u,x ,

(2.13)m = EIκ = EIu,xx ,

(2.14)

trong đó κ là đ® cong cua thanh. Khi thanh có tiet di¾n không đoi, EI = constant, bài toán uon thanh có the viet: tìm trưòng chuyen v% u thoã mãn

EIu,xxxx − f = 0 x = 0 ÷ l, (2.15)u = 0 x =

0,(2.16)u,x = 0 x =

0,(2.17)EIu,xx = M x = l, (2.18)EIu,xxx = −F x = l.

(2.19)

2.1.3V¾t the đàn hoiXét v¾t the đàn hoi Ω có m¾t biên đưoc ký hi¾u là Γ (Hình2.3). Các đieu ki¾n biên đưoc chia thành đieu ki¾n biênchuyen v% và đieu ki¾n biên lnc. Véc tơ chuyen v% chotrưóc đưoc ký hi¾u là gg trên m¾t biên Γu và véc tơ lnc đưocký hi¾u là gh trên m¾t biên Γh. Ký hi¾u n là véc tơ pháptuyen trên biên Γh . Bài toán v¾t the đàn hoi ch%u tãitrong phân bo the tích f đưoc phát bieu: tìm trưòng chuyenv% u và trưòng úng suat σ thoã mãn

∇ · σ + f = 0 inΩ,

(2.20)

1 Phương trình σ = C∇su in

Ω,(2.21)u = gu on Γu, (2.22)o · n = gh on Γh , (2.23)

σij =

i

i

2.1. Phương 1

f gh

guΩ

Γu Γh

Hình 2.3: V¾t the đàn hoi

Trong đó C là ten sơ đàn hoi b¾c bon chúa các đ¾c trưng đànhoi cua v¾t li¾u. Dưói dang chi so:

σij,j + fi = 0 in Ω, (2.24)k,l in Ω, (2.25)

ui = gu

σijnj = gh

on Γu, (2.26)on Γh. (2.27)

Ten sơ đàn hoi đưoc xác đ%nh bõi bieu thúc

Cijkl = µ .

δikδjl + δilδjk. + λδijδkl , (2.28)

trong đó

và

λ =νE

(1 + ν) (1 − 2ν)

, (2.29)

µ =E

2 (1 + ν). (2.30)

2.1.4Tam ch%u uonXét m®t tam phang đa giác có m¾t trung gian đưoc ký hi¾ubõi Ω và chieu dày t (Hình 2.4). Canh biên cua tam đưoc kýhi¾u là Γ và đưoc chia thành các biên lnc và biên chuyenv% Γw ∪ ΓQ = Γθ ∪ ΓM = ∂Ω and Γw ∩ ΓQ = Γθ ∩ ΓM = ∅. Su dnngh¾ toa đ® đe các x1 x2 x3, trong đó phương x3 vuông góc vóim¾t phang cua tam. Ký hi¾u α, β, δ và γ là các chi so cuahai phương x1 và x2. Ký hi¾u nα và sα lan lưot là các véc tơpháp tuyen và tiep tuyen đơn v% vuông góc vói biên cuaphan tu.

t

t

Γ

Q

1 Phương trình x1

u Fx3 MΓθ

x2 M Q

t

ΓQ ΓM

Hình 2.4: Tam ch%u uon.

Bài toán uon tam có the đưoc phát bieu là: cho tãi trongphân bo F vuông góc vói m¾t phang tam, và cho các chuyen v% thang, góc xoay, mô men uon pháp tuyen, và lnc tác dnngtrên các biên, ký hi¾u lan lưot là gu, gθ , M, và Q; tìmtrưòng chuyen v% u thoã mãn

mαβ,αβ = F in Ω, (2.31)u = gu on Γu, (2.32)u,αnα = gθ on Γθ , (2.33)mαβnαnβ = M on ΓM, (2.34)−mαβ,βnα −

.mαβnβsα

.,s = Q on Γ, (2.35)

mαβnβsα |c+ − mαβnβsα |c− = 0 ∀ c ∈ ΓQ, (2.36)

trong đó c+ và c− là các điem lân c¾n cua điem góc c trênđưòng biên lnc cat ΓQ. Phương trình cuoi cùng bieu th%phương trình cân bang cua lnc góc tam. Trong h¾ phươngtrình trên, ten sơ mô men mαβ liên h¾ vói chuyen v% thangcua tam qua liên h¾

mαβ = cαβγδ u,γδ, (2.37)

trong đó cαβγδ là ten sơ đàn hoi b¾c bon bieu th% các đ¾trưng v¾t li¾u. Khi v¾t li¾u là đàn hoi đang hưóng,

3

cαβγδ = 12 .

µ .

δαγδβδ + δαδδβγ. + λ¯ δαβδγδ

. , (2.38)

trong đó δαβ là Kronecker delta và các h¾ so Lamé đ%nhnghĩa tù mô đun đàn hoi Young E và h¾ so Poisson ν,

λ¯ =Eν

1 − ν2, (2.39)µ =

E

2 (1 + ν). (2.40)

n

n

2.1. Phương 1

Ngưòi đoc có the tham khão thêm ve bài toán uon tam trongcác tài li¾u ve tam võ, ví dn Hughes (2000) và Hughes andGarikipati (2004).

2.2 Thiet l¾p phương trình bien thiên tù nguyên lý công khá dĩ

2.2.1Nguyên lý công khá dĩCông khã dĩ là công sinh ra bõi các lnc trên nhung chuyenv% và bien dang vô cùng bé do nguyên nhân bat kỳ nào đógây ra. Các chuyen v% và bien dang vô cùng bé thoã mãn cácđieu ki¾n đ®ng hoc cua h¾ goi là chuyen v% khã dĩ và biendang khã dĩ.

Theo nguyên lý công khã dĩ, đieu ki¾n can và đu đe v¾tthe bien dang õ trang thái cân bang là công khã dĩ cua cácngoai lnc bang năng lưong bien dang khã dĩ,

δT = δU, (2.41)

trong đó δT ký hi¾u công khã dĩ cua ngoai lnc và δU ký hi¾u the năng bien dang.

Xét m®t h¾ đàn hoi cân bang dưói tác dnng cua trưòng lncphân bo the tích pV , trưòng lnc phân bo be m¾t pS, các lnct¾p trung Pk, k = 1 → n. Ký hi¾u σ là trưòng úng suat xuathi¾n trên h¾. Goi δu là trưòng chuyen v% khã dĩ, và δǫ làtrưòng bien dang khã dĩ bat kỳ. Công khã dĩ cua các ngoailnc trên các chuyen v% khã dĩ xác đ%nh bõi bieu thúc

δT = ∑ δuk · Pk +¸

k=1 V

δu · pV dV +¸

S

δu · pSdS, (2.42)

và the năng bien dang khã dĩ tưong úng

δU = ¸ δǫ · σdV. (2.43)V

Nguyên lý công khã dĩ viet dưói dang chi so có dang:

∑ δuk Pk + ¸

δu pVdV + ¸

¸2 Phương trình δu · pSdS = δǫ σ

dV.(2.44)

i i i ik=1 V i i i j ij

S V

2.3. Thiet l¾p phương trình bien thiên tù 1

i

∀

∀

Ω

2.2.2Thanh ch%u kéo nénÁp dnng nguyên lý công khã dĩ cho thanh ch%u kéo nén:

¸ lδu F +0

¸ lδu f dx = A0

δǫxxσxx dx ∀δǫxx .(2.45)

Lưu ý đen các phương trình v¾t lý, bài toán thanh ch%u kéo nén có the viet: tìm trưòng chuyen v% u thoã mãn

¸ lδu F +0

¸ lδu f dx = EA0

δu,xu,x dx ∀δu.(2.46)

2.2.3Thanh ch%u uon ngang phangPhương trình bien thiên cho bài toán uon thanh: tìm trưòngchuyen v% u thoã mãn

¸lδu,x M + δuF +

0δu f dx =

¸lδu,xx EIu,xxdx δu. (2.47)0

(2.48)

2.2.4V¾t the đàn hoiPhương trình bien thiên cho bài toán v¾t the đàn hoi: tìm trưòng chuyen v% uthoã mãn¸ ¸

δui fidΩ +Ω

Γh

δuighdΓ

=

¸δui,jσijdΩ δu.

(2.49)Ω

2.2.5Tam ch%u uonTìm trưòng chuyen v% u thoã mãn¸ ¸

δu,n MdΓ +ΓM ΓQ

δuQdΓ +¸

Ω

δu f dΩ =

¸δu,αβCαβγδu,γδdΩ ∀δu.

(2.50)

2.3 Thiet l¾p phương trình bien thiên tù phương pháp hàm thú

Phương pháp hàm thu là phương pháp tong quát hơn cho phépbien đoi các phương trình cơ sõ thành các phương trìnhbien thiên. Phương pháp hàm thu su dnng m®t hàm thu đưoc đ

2 Phương trình %nh nghĩa trong m®t không gian khã tích phù hop, và ápdnng tích phân tùng phan đe giãm b¾c cua các phương trìnhcơ sõ.

| 0−

0

−


2.3.1Thanh ch%u kéo nén

Giã su trưòng chuyen v% u là nghi¾m cua các phương trình(2.4) đen (2.6). Xét hàm thu w ∈ V, trong đó V là khônggian cua các hàm khã tích phù hop đ%nh nghĩa trên mienđang xét. Chú ý là hàm w phãi thoã mãn đieu ki¾n w = 0 taix = 0. Nhân hai ve cua phương trình (2.4) vói w và tích phântrên toàn h¾, ta có

¸ l ¸lwEAu,xxdx +

0 0

w f dx = 0 ∀w ∈ V. (2.51)

Tích phân tùng phan cho so hang thú nhat, ta đưoc

¸ ll

¸l

(2.52)w,x EAu,xdx + wEAu,x 0+

0

w f dx = 0 ∀w ∈ V.

Lưu ý w = 0 tai x = 0 và EAu,x = F tai x = l; bài toán thanh ch%u kéo nén đưoc đ%nh nghĩa: tìm trưòng chuyen v% u thoã mãn

¸l w,x EAu,xdx =

0

¸ lw f dx + wF|x=l ∀w ∈ V. (2.53)

2.3.2Thanh ch%u uon ngang phangTương tn như vói trưòng hop thanh ch%u kéo nén, xét hàm thuw ∈ V. Nhân hai ve cua phương trình (2.15) vói hàm thu w vàtích phân trên toàn h¾ ta đưoc:

¸ l ¸lwEIu,xxxxdx

0 0

w f = 0 ∀w ∈ V. (2.54)

Tích phân tùng phan so hang thú nhat cua phương trình trênhai lan liên tiep, ta đưoc:¸ l ¸

lw,xx EIu,xxdx + wEIu,xxx |l − w,x EIu,xx |l −w f = 0 ∀w ∈ V, (2.55)

0 00 0

Lưu ý w = 0 tai x = 0, EIu,xx = M tai x = l và EIu,xxx = −Ftai x = l. Bài toán thanh ch%u uon ngang phang đưoc đ%nh

0

2 Phương trình nghĩa: tìm trưòng chuyen v% u thoã mãn:

¸ lw,xx EIu,xxdx =

0

¸ lw f dx + w,x M|x=l + wF|x=l ∀w ∈ V. (2.56)


i

i

k¸

C

Ω

−

2.3.3V¾t the đàn hoiNhân vô hưóng cã hai ve cua phương trình (2.20) vói véc tơhàm thu wi ∈ V và tích phân trên toàn mien Ω, ta có

¸ ¸wiσij,jdΩ +

Ω Ωwi fidΩ = 0 ∀wi ∈ V.

(2.57)Tích phân tùng phan so hang thú nhat, ta đưoc:

¸wi,jσijdΩ =

Ω

¸¸

wi fidΩ +Ω

Γ

wiσi jnjdΓ ∀wi ∈ V.(2.58)

Lưu ý wi = 0 trên biên chuyen v% Γu và σijnj = gh trên biênlnc Γh , và liên h¾ úng suat bien dang. Phương trình bienthiên cho bài toán v¾t the đàn hoi: tìm trưòng chuyen v%u thoã mãn

wi,j ijklus Ω =

Ω¸

¸wi fidΩ +

Ω

Γh

wighdΓ ∀wi ∈ V.

(2.59)

2.3.4Tam ch%u uonNhân cã hai ve cua phương trình (2.31) vói véc tơ hàm thu w ∈ V và tích phân trên toàn mien Ω, ta có

¸wmαβ,αβdΩ =

Ω

¸wFdΩ ∀w ∈ V,

(2.60)

Tích phân tùng phan so hang thú nhat hai lan liên tiep, ta đưoc¸

w,αβmαβdΩ =

Ω

¸¸

wFdΩΩ

Γ

¸wmαβ,βnαdΓ +

Γw,αmαβ nβdΓ ∀w ∈ V.

(2.61)

Tiep tnc bien đoi so hang cuoi cùng cua phương trình trên

ha

y ¸w,αmαβ nβdΓ =

Γ

¸

¸ ¸w,αnαmαβ nβnαdΓ +Γ Γ

¸

2 Phương trình

,s A

−

w,αsα mαβ nβsαdΓ,(2.62) ¸

w,αmαβ nβdΓ=

Γ

w,nmαβ nβnαdΓ+

Γ

w,smαβ nβsαdΓ.

(2.63)Γ

Sau khi tích phân tùng phan so hang cuoi cùng cua bieu thúctrên, ta đưoc¸

w,αmαβ nβdΓ=

Γ

¸¸

w,nmαβ nβnαdΓΓ

Γ

w .

mαβ nβsα .

dΓ + w .

mαβ

nβsα. |B .

(2.64)

B

−

−

Q

C


Thay the phương trình (2.64) vào phương trình (2.61), ta có¸

w,αβmαβdΩ =

Ω

¸wFdΩ + ¸

Ω

Γ

¸w,nmαβ nβnαdΓ

Γwmαβ,βnαdΓ

¸

w .Γ

mαβ nβsα

.,s dΓ + w

.mαβ

nβsα . |A.

(2.65)

Lưu ý đ%nh nghĩa w = 0 trên biên chuyen v% Γu và w,n = 0trên biên góc xoay Γθ . Su dnng liên h¾ v¾t lý và các đieuki¾n biên mαβnαnβ = M trên ΓM

và −mαβ,βnα − .

mαβnβsα .,s = Q

trên Γ

, mαβnβsα |c+ − mαβnβsα |c− = 0 trên ΓQ.

Phương trình bien thiên cho bài toán uon tam đưoc đ%nh nghĩa: tìm trưòngchuyen v% u thoã mãn¸

w,αβ αβγδu,γδdΩ=

Ω

¸wFdΩ +

¸

Ω ΓM

¸w,n MdΓ +

ΓQ

wQdΓ ∀w ∈ V. (2.66)

2.4 Bài t¾pBài 1: So sánh các phương trình bien thiên l¾p tù nguyênlý công khã dĩ và tù phương pháp hàm thu.

Bài 2: L¾p phương trình bien thiên cho phương trình Poisson (bài toán truyen nhi¾t, dòng tham...): tìm trưòng vô hưóng u thoã mãn

∇ · q + f = 0 in Ω, (2.67)q = −κ∇u in Ω, (2.68)u = g on Γu, (2.69)q · n = h on Γh , (2.70)hay dưói dang chi so:

qi,i

+f = 0 in

Ω,(2.71)qi = −κiju,j in

Ω,(2.72)u = g on Γu, (2.73)qini = h on Γh , (2.74)

2 Phương trình trong đó κij là ten sơ b¾c hai cho trưóc.

Bài 3: Cho σ là ten sơ b¾c hai có chieu bang 3. Chúng minh rang neu σ là đoi xúng thì ∇w : σ = ∇Sw : σ.

Chương 3

H¾ thanh

Khi áp dnng phương pháp phan tu huu han mô hình chuyen v%cho bài toán h¾ thanh, ket cau đưoc ròi rac hoá thành cácphan tu thanh thang, các thanh liên ket vói nhau tai nút.Các chuyen v% nút cua h¾ là các an so chính; bien dang vàn®i lnc trong các thanh se đưoc xác đ%nh đưoc tù chuyen v%tai đau thanh.

Trên cơ sõ các phương trình bien thiên cho thanh ch%ukéo nén, ch%u uon ngang phang và ch%u xoan thuan tuý, cáccông thúc cơ bãn cua phương pháp phan tu huu han mô hìnhchuyen v% áp dnng cho bài toán h¾ thanh đưoc thiet l¾p.Các ket quã cho các bài toán cơ bãn này đưoc áp dnng đephân tích các h¾ ket cau thưòng g¾p như h¾ dàn khóp, h¾khung phang và h¾ khung không gian.

3.1 Hàm chuyen v%Hàm chuyen v% đưoc su dnng đe mô tã liên h¾ giua chuyen v%tai m®t điem trên trnc thanh (hay chuyen v% cua tiet di¾n)và các chuyen v% tai các nút đau thanh. Liên h¾ giua véctơ chuyen v% nút δe và véc tơ chuyen v% tai m®t tiet di¾ntrên trnc thanh đưoc viet dưói dang

u = Nδe,

(3.1)trong đó N là ma tr¾n chúa các hàm hình dang (hay hàm chuyen v%) cua phan tu.

3.1.1Thanh ch%u kéo nén doc trnc

2 H¾

Xét phan tu thanh có chieu dài bang l, di¾n tích tiet di¾nA, các nút đau thanh đưoc ký hi¾u là i và j. Su dnng trnc

toa đ® x có phương trùng vói trnc thanh,

23

2

l

uii j uj

x

E, A

Hình 3.1: Phan tu thanh ch%u kéo nén

chieu tù i đen j và goc toa đ® tai i (Hình 3.1). Khi thanh ch%u kéo nén doc trnc, véc tơ chuyen v% tai m®t tiet di¾n trên thanh có dang

u = ,

u(x) ,

,

(3.2)

và véc tơ chuyen v% nútcó dang

δe =

.

u

i uj

.. (3.3)

Giã thiet hàm chuyen v% u (x) tai các tiet di¾n là hàm b¾c nhat,

u (x) = α1 + α2 x, (3.4)trong đó α1 và α2 là các h¾ so, se đưoc xác đ%nh tù đieu ki¾nchuyen v% nút cua h¾. Tai x = 0 và x = l, chuyen v% tai các nút i và j là

ui =α1,

uj = α1 + α2l, (3.5)hay

α1 = ui ,

α = uj −

uil

. (3.6)

Do v¾y, hàm chuyen v% cua thanh ch%u kéo nén làuj − ui

u (x) = ui + x. (3.7)l

So sánh bieu thúc trên vói phương trình (3.1), ma tr¾n hàm

2 H¾ chuyen v% N cua phan tu thanh ch%u kéo nén là

trong đó

N = .

N1 N2

.

, (3.8)

xN1 = 1 − , (3.9)

lN2 =

x . (3.10)

l

3.1. Hàm 2

y

vi vj

i j x, I

φiE

φjz

l

Hình 3.2: Phan tu thanh ch%u uon ngang phang

3.1.2Thanh ch%u uon ngang phang

Xét phan tu thanh có chieu dài l, di¾n tích tiet di¾n A, mômen quán tính I, hai nút đau thanh đưoc ký hi¾u là i và j.Su dnng h¾ trnc toa đ® x0y, goc toa đ® tai i (Hình 3.2). Khithanh ch%u uon ngang phang, véc tơ chuyen v% tai m®t tietdi¾n trên thanh có dang

u = ,

v(x) ,

,

(3.11)

và véc tơ chuyen v% nút cua phan tu

viφiδe =

vjφj

.

(3.12)

Véc tơ chuyen v% nút bao gom 4 thành phan đ®c l¾p, do v¾y hàm chuyen v% là m®t đa thúc b¾c ba chúa 4 h¾ so chưa biet

v (x) = α1 + α2 x + α3 x2 + α4 x3.

(3.13)

Các h¾ so αi đưoc xác đ%nh tù đieu ki¾n liên ket và các chuyen v% tai hai đau thanh.

H¾ 2Thanh hai đau nút cúng (N-N)

Xét thanh hai đau nút cúng như Hình 3.3. Tai x = 0 và x = l,hàm chuyen v%

α

3.1. Hàm 2

N Ni j

Hình 3.3: Thanh hai đau nút cúng

phãi thoã mãn các đieu ki¾n sau:

Rút ra

vi = α1,∂v

φi = ∂x |x=0 = α2,

vj = α1 + α2l + α3l2 + α4l3,

∂ v 2φj = ∂x

|x=l = α2 + 2α3l + 3α4l

. (3.14)

α1 = vi,α2 = φi,

3 v i

3 − l2

−2 φ i +l

3vj

l2 −

φj ,l

2 v i φi 2vj φjα4 =

l3 +

l2−

l3 +

l2 . (3.15)

Ma tr¾n hàm chuyen v% cua thanh hai đau nút cúng ch%u uon ngang phang có dang

trong đó

N = .

N3 N4 N5 N6

.

, (3.16)

N3 = 1 −

N4 = x −3x2

N5 =l2

3x2

l2 +2x2 +

l2x3

− l3

2x3

l3 ,

x3

l2

,

,

x2 N6 = − l +x3

l2 . (3.17)

H¾ 2Thanh đau trái là khóp, đau phái là nút cúng (K-N)

Xét thanh có đau i là khóp và đau j là nút cúng như Hình 3.4. Tai x = 0 và x = l,

0 =

2

3.1. Hàm 2

K Ni j

Hình 3.4: Thanh đau trái là khóp, đau phãi là nút cúng

hàm chuyen v% phãi thoã mãn các đieu ki¾n sau:

Rút ra

vi = α1,2

∂x2 |x=0 = 2α3,

vj = α1 + α2l + α3l2 + α4l3,

∂ v 2φj = ∂x

|x=l = α2 + 2α3l + 3α4l

.

(3.18)

α1 = vi,

α = − 3 v i +

α3 = 0,

3vj

2l − φj

,2

α4 = vi

2l3vj−

2l3

φj+

2l2

.

(3.19)

Ma tr¾n hàm chuyen v% cua thanh đau trái là khóp, đau phãi là nút cúng ch%u uon ngang phang có dang

N = .

N7 0 N8 N9 . , (3.20)

trong đó

3x x3N7 = 1 −

3x+ ,

2l 2l3x3N8 = 2l

− 2l3

,x x3

N9 = − 2 +

2l2 .

(3.21)

H¾ 3Thanh đau trái là nút cúng, đau phái là khóp (N-K)

Xét thanh có đau i là khóp và đau j là nút cúng như Hình 3.5. Tai x = 0 và x = l,

3.1. Hàm 2

0 =

N Ki j

Hình 3.5: Thanh đau trái là nút cúng, đau

phãi là khóp hàm chuyen v% phãi thoã mãn các đieu

ki¾n sau:

vi = α1,∂v

φi = ∂x |x=0 = α2,

vj = α1 + α2l + α3l2 + α4l3,2

∂x2 |x=l = 2α3 + 6α4l. (3.22)

Rút ra

α1 = vi,α2 = φi,

3 v i 3 φ i

3vj

α3 = − 2l2 − 2l

+ 2l2,

vjα4 =

vi

2l3 + φi2l2

−

2l3

. (3.23)

Ma tr¾n hàm chuyen v% cua thanh đau trái là nút cúng, đau phãi là khóp ch%u uon ngang phang có dang

N = .

N10 N11 N12 0 .

, (3.24)

trong đó

3x2 x3N10 = 1 − 2l2

+ 2l3

,3x2 x3

N11 = x −3x2

2l +

2l2 ,

x3N12 = 2l2 −

2l3 . (3.25)

2 H¾ Các hàm chuyen v% N3 → N12 là các hàm đa giác Hermite b¾c ba.

0 =

0 =

2

3.1. Hàm 2K K

i j

Hình 3.6: Thanh hai đau khóp

Thanh hai đau khóp (K-K)

Xét thanh có hai đau i và j là khóp như Hình 3.6. Tai x = 0 và x = l, hàm chuyen v% phãi thoã mãn các đieu ki¾n sau:

Rút ra

vi = α1,2

∂x2 |x=0 = 2α3,

vj = α1 + α2l + α3l2 + α4l3,2

∂x2 |x=l = 2α3 + 6α4l.

(3.26)

α1 = vi,

α = vj − vi ,l

α3 = 0,α4 = 0.

(3.27)

Ma tr¾n hàm chuyen v% cua thanh hai đau khóp ch%u uon ngangphang có dang

N = .

N1 0 N2 0 .

. (3.28)

3.1.3Thanh ch%u xoan thuan tuýXét phan tu thanh có chieu dài cua thanh bang l, di¾n tíchtiet di¾n A, hai nút đau thanh đưoc ký hi¾u là i và j. Sudnng trnc toa đ® x có phương trùng vói trnc thanh, chieutù i đen j và goc toa đ® tai i (Hình 3.7). Khi thanh ch%ukéo nén doc trnc, véc tơ chuyen v% tai m®t tiet di¾n trênthanh có dang

u = ,

θ(x) ,

,

2 H¾

(3.29)


δe =

.

θ

i θj

..

(3.30)

3 H¾

2

l

θi i j θj x

G, A

Hình 3.7: Phan tu thanh ch%u xoan

thuan tuý Giã thiet hàm chuyen v% u (x) tai

tiet di¾n là b¾c nhat:

θ (x) = α1 + α2 x. (3.31)

Tai x = 0 và x = l, chuyen v% tai các nút i và j là:

θi = α1θj = α1 + α2l, (3.32)

rút ra

α1 = θi

α = θj − θi

l . (3.33)

Hàm chuyen v% cua thanh ch%u kéo nén là:

θ (x) = θi + θj − θi x. (3.34)

l

Dưói dang ma tr¾n θ (x) = Nδe, (3.35)

trong đó

N = .

N1 N2

.

. (3.36)

3.2 Dang ma tr¾n cúa các bài toán cơ bán

3.2. Dang ma tr¾n cua các bài 3Trên cơ sõ các phương trình bien thiên đã trình bày trong Chương 2, các phương trình cân bang cho các bài toán cơ bãn đưoc thiet l¾p dưói dang ma tr¾n.

e

γ Bl

3 H¾

3.2.1Thanh ch%u kéo nén doc trncHàm chuyen v% u và hàm thu w đưoc viet dưói dang

u = Nδe,

(3.37)w = Nγe,

(3.38)

trong đó

N = .

N1 N2 .

. (3.39)

Các đao hàm b¾c nhat cua chuyen v% theo toa đ® x, u,x và w,x, do v¾y có the viet dưói dang

u,x = Bδe,

(3.40)w,x = Bγe,

(3.41)

trong

đó vàB =

. B1 B2

. , (3.42)

1B1 = − l

,1

B2 = .(3.43)

l

Phương trình bien thiên cho thanh ch%u kéo nén viet lai dưói dang ma tr¾n

T ¸ l

Te

0

EA B dx δ = γT ¸

N T

0

f dx + γT NT

F|x=l ∀γT

.(3.44)

e e

e

|

|

3.2. Dang ma tr¾n cua các bài 3Do phương trình trên đúng cho ∀γT , ta có

hay

¸l

BT EA B dx δe =0

¸l

N T f dx + N TF x=l ,

(3.45)0

trong đó

Ke δe = Fe,

(3.46)

¸ lKe =

và

BTEABdx,

(3.47)0

Fe = F f + F N

=

¸l N T f dx + N TF x=l .

(3.48)0

γ

e

e e

e

eDl

0

3 H¾

Trong phương trình trên, Ke là ma tr¾n đ® cúng cua thanh ch%u kéo nén đúng tâm, F f là véc tơ lnc nút quy đoi, F N làvéc tơ lnc đ¾t tai nút và Fe là véc tơ lnc nút tong c®ngcua phan tu. Sau khi thnc hi¾n tích phân, ta có

Ke =.

E A

l − E A l., (3.49)E A

− l

và

E A l

.f l .

Fe = f l 2 . (3.50)

2 + F

3.2.2Thanh ch%u uon ngang phangHàm chuyen v% v và hàm thu w đưoc viet dưói dang

v = Nδe, (3.51)w = Nγe, (3.52)

trong đó N là ma tr¾n hàm chuyen v%. Các đao hàm b¾c nhatvà b¾c hai cua chuyen v% theo toa đ® x, w,x, v,xx và w,xx, dov¾y có the viet dưói dang

w,x = Bδe , (3.53)v,xx = Dδe, (3.54)w,xx = Dγe, (3.55)

trong đó B và D là các ma tr¾n chúa các đao hàm b¾c nhat vàb¾c hai cua chuyen v%. Phương trình bien thiên cho thanhch%u uon ngang phang viet lai dưói dang ma tr¾n

T ¸ l

Te

0

EI D dx δ = γT ¸

N T

0

f dx + γT

BTM|x=l + γT NT

F|x=l ∀γT .(3.56)

Do phương trình trên đúng cho ∀γT , ta có

hay

¸l DT EI D dx δe =0

¸ lN T f dx + BT M|x=l + N TF|x=l , (3.57)

Ke δe = Fe , (3.58)

l

3.2. Dang ma tr¾n cua các bài 3

trong đó

và

Ke =¸

DTEI Ddx,

(3.59)0

vói

Fe = F f + F N ,

(3.60)

lF f =

¸

0N T f dx,

F N = BT M|x=l + N TF|x=l .

Trong phương trình trên, Ke là ma tr¾n đ® cúng cua thanhch%u uon ngang phang, F f là véc tơ lnc nút quy đoi, F N làvéc tơ lnc đ¾t tai nút và Fe là véc tơ lnc nút tong c®ngcua phan tu. Dưói đây là các ma tr¾n B,D, Ke và véc tơ Fecho các trưòng hop thanh có liên ket hai đau khác nhau ch%u uon ngang phang.

Thanh hai đau nút cúng (N-N)

B = .

B3 B4 B5 B6 . , (3.61)

trong đó

6x

B3 = − l2

+4x

6x2

l3 ,

3x2

B4 = 1 −6x

+l6x2 l2

,

B5 =l2

− l3

,B6 = −2x

+l3x2

l2 .

(3.62)

trong đó

D = .

D3 D4 D5 D6

.

, (3.63)

3 H¾ 6D3 = − l2

+4

D4 = − l +

12x

l3

,6x

l2

,D5 = 6

l2 −2

12x

l3

,6x

D6 = − l +

l2 .

(3.64)

+

f

0

0

−

−

3.2. Dang ma tr¾n cua các bài 3 12 E I

l36 E I

6 E I l2 −4 E I

12 E Il36 E I

6 E I l22 E I

Ke =

l2

l − l2

l . (3.65)

12 E I

l3 −6 E Il2

12 E I l3 −

6 E I

l2

6 E I l2

2 E I l −

f l 2

f l2

6 E I l2

4 E I l

Fe =

12

2 +F

f l2

− 12 M

. (3.66)

Thanh đau trái là khóp, đau phái là nút cúng (K-N)

B = .

B7 0 B8 B9 .

, (3.67)trong đó 3 3x2

B7 = − 2l +

2l3 ,

3B8 = 2l

−1

3x22l3 ,3x2

B9 = − 2 +2l2

. (3.68)

trong đó

D = .

D7 0 D8 D9

.

, (3.69)

3xD7 = ,

l33x

D8 = − l3

,3x

D9 = . (3.70)l23 E I

l3 −3 E Il3

3 E I

l2

0 0 0 0

Ke =

. (3.71)

0

+

3 H¾ 3EI

l3

3EIl3 − 3EI

l23 E I

l2 −3 E Il2

3 E I l

Fe =

3 f l 80

5 f l8f l2

. (3.72)

− 8 + M

0

0

+

−


Thanh đau trái là nút cúng, đau phái là khóp (N-K)

B = .

B10 B11 B12 0 .

, (3.73)

trong đó

3x

B10 = − l2

+3x

3x22l3,

3x2B11 = 1 −

3x+ ,

l 2l23x2

B12 =l2 −

2l3. (3.74)

trong đó

D = .

D10 D11 D12 0 .

, (3.75)

3D10 = −

l2 +

3D11 = − l

+

3x

l3

,3x

l2

,3

D12 = l2 −3x

l3

.(3.76)

3 E I l3

3 E I

l2 − 3 E I

l3Ke =

3 E Il2

3 E I l − 3 E

Il2

0 .(3.77)3 E I

l3 −3 E

Il2

3 E I

l3

0 0 0 0

Fe =

5f l 8

f l28

3 f l8

M

.

(3.78)

3.2.3Thanh ch%u xoan thuan tuýHàm chuyen v% θ và hàm thu w đưoc viet dưói dang

4 H¾ θ = Nδe,

(3.79)w = Nγe,

(3.80)

e e

e

γ Bl

l

l


trong đó

N = .

N1 N2

.

. (3.81)Các đao hàm b¾c nhat cua chuyen v% theo toa đ® x, θ,x và w,x, do v¾y có the viet dưói dang

θ,x = Bδe, (3.82)w,x = Bγe, (3.83)

trong

đó vàB =

. B1 B2

.

, (3.84)

1B1 = −

l ,

1B2 = . (3.85)

lPhương trình bien thiên cho thanh ch%u xoan thuan tuý

dưói dang ma tr¾n có dang

T ¸ l

Te

0GJ B dx δ = γT

¸N

T

0

m dx ∀γT, (3.86)

trong đó J là mô men quán tính cnc đoi vói trong tâm cua tietdi¾n ngang và mlà mô men xoan phân bo trên thanh. Do phương trình trên đúng cho ∀γT , ta có

hay

¸ lBT GJ B dx δe =

0

¸N Tmdx,

(3.87)0

trong đó

Ke δe = Fe , (3.88)

¸ l

Ke =và

BTGJBdx, (3.89)0

Fe =¸

N Tmdx.(3.90)

0

4 H¾ Trong phương trình trên, Ke là ma tr¾n đ® cúng cua thanh ch%u xoan thuan tuý và Fe là véc tơ lnc nút tương đương cua phan tu. Sau khi thnc hi¾n tích phân, tacó

Ke =.

G J l − G

J l

., (3.91)

G J − l

G J l

0 0

0 0

−

y

vjj

vii xui uj

EAl

3.3. Dàn phang 37

và

Fe =.

m l 2

m l 2

..

(3.92)

3.3 Dàn phangXét phan tu thanh dàn phang như Hình 3.8.

Hình 3.8: Phan tu thanh dàn phang

Véc tơ chuyen v% nút có dang

uiviδe =

ujvj

.

(3.93)

Ma tr¾n đ® cúng và véc tơ lnc nút trong h¾ toa đ® đ%a phương xy cua phan tu đưoc thiet l¾p tù bài toán thanh ch%u kéo nén doc trnc

E A

l − E A l

0 0 0 0

Ke =

.

(3.94)

EA EA l l

0 0 0 0

4 H¾ K

Ma tr¾n đ® cúng cua phan tu trong h¾ toa đ® chung x′y′ đưoc thiet l¾p dna trên ma tr¾n chuyen trnc toa đ® T:

e = TT Ke T,

(3.95)

cos α sin α 0 0−sin α cos α 0 0

0 0 cos α sin α0 0 −sin α cos α

trong đó

T =

. (3.96)

Véc tơ lnc nút trong h¾ toa đ® chung:

F′ Te = Te Fe . (3.97)

3.4 Khung phang

Xét phan tu thanh dàn phang như Hình 3.9.

y

vivj

ui i j ujx

φiEA, EI φj

z l

Hình 3.9: Phan tu khung phang


ui vi

φiδe = uj

vjφj

. (3.98)

Ma tr¾n đ® cúng cua phan tu trong h¾ toa đ® đ%a phương xy đưoc thiet l¾p tù bài toán thanh ch%u kéo nén doc trnc và thanh ch%u uon ngang phang.

3.4. Khung 3

0 00

0

00

00

¸

0 0

−

0 0

l

3.4.1Thanh hai đau nút cúng (N-N)E A

l − E A

l12 E I l3

6 E I l2 − 12 E

Il3

6 E I l2

Ke =

6 E I l2E A

4 E Il

6 E I l2E A

2 E Il

.

(3.99) − l 00 l 0 0

12 E I

l3 − 6 E I l2

12 E I l3 −

6 E I

l2

6 EIl2

2 E I l − 6 E

Il2

4 E I l

Khi thanh ch%u tãi trong phânbo,

p =

.

p

x py

.,

(3.100)

véc tơ lnc nút tương đương xác đ%nh tù bieu thúc

Fe =

N1 pxN3 py N4 py

dx.

(3.101)

0

N2 px

N5 py

N6 py

Trong trưòng hop tãi trong phân bo đeu:

pxl/2

pyl/2

Fe =

pyl2/12

pxl/2pyl/2

−pyl2/12

.

(3.102)

Khi phan tu ch%u các lnc t¾p trung Px, Py và mô men t¾p trung M tai các hoành đ® a, b và c trên phan tu, véc tơ lnc

4 H¾

nút tương đương có dang

N1(a)Px

N3(b)Py + N3,x

(c)M

Fe =

N4(b)Py + N4,x (c)M N2(a)Px

N5(b)Py + N5,x (c)M

.

(3.103)

N6(b)Py + N6,x

(c)M

0 0 0 0 0 0E A 0 0 E A 0 0

0 0

3 0 0

0 0

¸

0 0

−

−

0

l

y

3.4. Khung 4

Khi a = b = c = l/2:

Fe =

Px /2Py /2 −

3M/2l Pyl/8− M/4 Px

/2Py /2 + 3M/2l

Pyl/8 −M/4

. (3.104)

−

3.4.2Thanh đau trái là khóp, đau phái là nút cúng (K-N)

E A

l − E A

lKe =

0 3 E I l

3 E Il3

3 E Il2

. (3.105)

l

3 E

Il 3 E I

3 E I

0 l3 00

l3 − l2

3 E I

l2 −3 E Il2

3 E I l

Khi tãi trong phân bo trên thanh, véc tơ lnc nút tương đương có dang

Fe =

N1pxN7

py 0

dx. (3.106)

0

N2 px

N8 py

N9 py


pxl/2

3p

l/8

Fe =

0

4 H¾ pxl/2 5pyl/8pyl2/8

. (3.107)

−

3.4. Khung 4

0 0 0 00 0 0

0 0

0 0

−

0

Khi tãi trong t¾p trung trên phan tu, véc tơ lnc nút tương đương có dang

N1(a)Px

Fe =

N7(b)Py

+ N7,x

0

(c)M

.

(3.108) N2(a)Px

N8(b)Py + N8,x (c)M

N9(b)Py + N9,x

(c)M

Khi a = b = c = l/2:

Fe =

Px /25Py/16 −9M/8l

0Px /2

11Py/16 +9M/8l3Pyl/16 −M/8

.

(3.109)

−

3.4.3Thanh đau trái là nút cúng, đau phái làkhóp (N-K)

E A l − E A

l3 E I

l33 E I l2 − 3 E I

l3 Ke =

3 E I l2E A

3 E Il

3 E I l2E A 0

.

(3.110) − l 00 l 0 0 3 E I

l3 −

3 E I l2

3 E I

l3

0 0 0 0 0 0

Khi tãi trong phân bo trên phan tu, véc tơ lnc nút tương đương có dang:

4 H¾

¸

N1 px

N10 py

Fe =

N11 py

dx,

(3.111)0

N2 px

N12 py

0

0

Khi a = b = c = l/2:

cos α sin α 0 0 0 0−sin α cos α 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 cos α sin α 00 0 0 −sin α cos α 00 0 0 0 0 1

y

3.4. Khung 4


pxl/2

5p l/8 Fe =

pyl2/8

pxl/23pyl/8 0

, (3.112)

Khi tãi trong t¾p trung, véc tơ lnc nút tương đương có dang

N1(a)Px

N10(b)Py + N10,x

(c)M

Fe =

N11(b)Py + N11,x (c)M N2(a)Px

N12(b)Py + N12,x (c)M

. (3.113)

Fe =

Px /211Py /16 −9M/8l

3Pyl/16 −M/8 Px /25Py /16 +9M/8l

0

. (3.114)

Ma tr¾n chuyen trnc cho h¾ khung phang có dang

T =

. (3.115)

3.5 Khung không gian

4 H¾ Xét phan tu thanh không gian có hai nút là i và j, chieu dàibang l. Su dnng m®t h¾ trnc toa đ® đ%a phương xyz như Hình3.10. Theo h¾ toa đ® đ%a phương, tai m®t điem trên trncthanh có véc tơ chuyen v%

j

3.5. Khung không gian 43

y

ϕi ϕj

θi uivi

vj

i j θj uj x

wiEA, GJ, EIy, GJz wj

φi φil

z

Hình 3.10: Phan tu khung không gian

ue =

u(x)v(x)w(x)

,

(3.116)

và m®t phan tu thanh có 12 thành phan chuyen v% nút, bao gom 6 thành phan chuyen v% thang và 6 thành phan chuyen v%xoay

ui vi

wi

θi

ϕi φi

δe = u

vj wj

θj

j

φj

.

(3.117)

4 H¾

Ma tr¾n đ® cúng và véc tơ lnc nút cua phan tu khungkhông gian trong h¾ toa đ® đ%a phương đưoc l¾p trên cơ sõto hop các ket quã cua bài toán thanh ch%u kéo nén, thanhch%u uon ngang phang và thanh ch%u xoan thuan tuý. Changhan

..

....

.

.0 0 0

0 0 − l3 0 l2 0 0 0 0l3

0 0 0 − GJ 0 0 0 0 0 G

0 06 E I y

− l20 lE I y 6 E I y

l 0 0 0 l20 6 E I z l3 0 0 2 E I z

l 0 − 6 E I z l3 0 0

00

E

E E

3 0 0 0 − 0 0 0

0

K

2

K

12

6

l

l

cho trưòng hop thanh hai đau nút cúng E A E A

l 0 0 0 0 0 − l 0 0 0 0 03 0 0 0 6 E I z

2 − 3 0 0 0 6 E I z l12EIy l6EIy l 12EIy l6EIy 0

0 l3 0 − l2 0 0 0 − l3 0 −l2

0 0 0 0 GJ 0 0 0 0 0 − GJ 0 0

l

0 0 − 2 0 4 E I y 0 00 6 E I

yl0 2 E I y 0

l l l2 l

0 6EIz 0 0 0 4EIz 0 − 6EIz

0 0 0 2EIz

Ke =

l3

l l3l ,

− l 0 0 0 0 0 l 0 0 0 0 0 0 − 12EIz 6EIz212EIz

3 − 6EIz2 l12 E

I y l6 E I y l 12 E I y 6 E I y

l2

0 0 0

2 4 E I y

l

4 E I z 0 l(3.118)

Trong đó EA là đ® cúng chong kéo nén, GJ là đ® cúng chong xoanquang trncx, EIy và EIz là các đ® cúng chong uon quanh các trnc y và z cua thanh.

3.6 Ma tr¾n đ® cúng và véc tơ lnc nút cúa h¾ ket cau

Lap ghép các ma tr¾n đ® cúng phan tu:

1 0 0 0

K′ =

0 K′

0 0...

′n

. (3.119)

Liên h¾ giua ma tr¾n K′ và ma tr¾n sau khi khu trùng l¾p Kqua ma tr¾n nh¾n dang ket cau H. Ma tr¾n H đưoc thiet l¾pdna vào moi quan h¾ giua véc tơ chuyen v% nút δ′ và véc tơchuyen v% nút đã khu trùng l¾p δ:

δ′ = Hδ. (3.120)

Ma tr¾n sau khi khu trùng l¾p K tìm đưoc qua bieu thúc:

K = H T K′ H. (3.121)

Ma tr¾n đ® cúng K∗ sau khi thi hành các đieu ki¾n biên tìm đưoc đưoc tù ma tr¾n K bang cách loai bõ các hàng và c®t thú i có chuyen v% bang không.

Lap ghép các véc tơ lnc nút quy đoi cua phan tu:

FF

F

4 H¾ F′ =

′1′2...′n

, (3.122)

e

3.7. Xác đ%nh chuyen v% và n®i lnc 45

và véc tơ lnc nút sau khi khu trùng l¾p:

F = H T F′, (3.123)

Véc tơ lnc nút quy đoi F∗ sau khi thi hành các đieu ki¾n biên tìm đưoc đưoc tù véc tơ F bang cách loai bõ các hàng thú i có chuyen v% bang không.

Véc tơ lnc nút cua h¾ ket cau bao gom véc tơ lnc nút quyđoi và véc tơ lnc đ¾t tai nút

F∗ = F f ∗ + F N ∗. (3.124)

3.7 Xác đ%nh chuyen v% và n®i lncVéc tơ chuyen v% nút tìm đưoc tù vi¾c giãi h¾ phương trình:

δ∗ = K∗−1 F∗ (3.125)

Lưu ý tói các đieu ki¾n biên, tìm đưoc các véc tơ chuyen v% nút δ, δ′ và δe

′ trong h¾ toa đ® chung. Véc tơ chuyen v%trong h¾ toa đ® đ%a phương tìm đưoc qua liên h¾:

δe = Tδ′.

(3.126)

N®i lnc đau thanh cua các phan tu xác đ%nh bõi bieu thúc:

Re = Keδe − Fe ,

(3.127)

trong đó Fe là véc tơ lnc nút quy đoi trên phan tu e.

3.8 Bài t¾pBài 1: L¾p véc tơ lnc nút tương đương cho phan tu thanhch%u uon ngang phang, có các liên ket đau thanh khácnhau, ch%u tai trong phân bo dang tam giác.

Bài 2: Xác đ%nh lnc doc trong các thanh cua h¾ dàn khóp ch

5 H¾

%u tãi trong như Hình 3.11. Các thanh có tiet di¾n trònđ¾c đưòng kính d.

a a

PP

a

P

P

Hình 3.11: H¾ dàn khóp

Biet:

E = 2.5x108KN/m2 ,a = 2m,d = 0.1m,P = 100KN.

Bài 3: Ve các bieu đo n®i lnc cho h¾ khung phang ch%u tãitrong như Hình 3.12.

qM

S1l1 P

S2l1

l2 l2

Hình 3.12: H¾ khung phang

5 H¾ 3.8. Bài t¾p 47

Biet:

E = 2x107KN/m2,l1 = 2m,l2 = 3m,

S1 = b1 xh1 =0.2mx0.2m, S2 = b2xh2 = 0.2mx0.3m,P = 50KN,q = 10KN/m, M = 100KNm.

5 Bài toán phang cua lý

Chương 4

Bài toán phang cúa lý thuyet đàn hoi

Khi úng suat ho¾c bien dang theo m®t phương nào đó trongv¾t the đàn hoi là duy nhat bang không, trang thái úngsuat hay bien dang cua v¾t the là phang. Ví dn, trongtrưòng hop cua tam tưòng mõng ch%u tãi trong trong m¾tphang cua tam, các thành phan úng suat ngoài m¾t phangcua tam bang không. Trưòng hop cua đê chan nưóc có chieudài lón, ch%u tãi trong phân bo ngang thân đê, các thànhphan bien dang theo phương doc thân đê bang không. Trongthnc te, hai bài toán phang cua lý thuyet đàn hoi thưòngg¾p là bài toán úng suat phang và bài toán bien dangphang. Trong hai ví dn trên, trưòng hop thú nhat là bàitoán úng suat phang, trưòng hop thú hai là bài toán biendang phang.

4.1 Hàm chuyen v%Su dnng pháp chuyen v%, h¾ ket cau liên tnc se đưoc ròi rachoá thành các phan tu huu han, các phan tu liên ket vóinhau tai chi tai các điem nút. Khác vói trưòng hop h¾thanh có các phan tu tiep xúc vói nhau tai nút, các phantu huu han lân c¾n trong bài toán phang cua lý thuyet đànhoi tiep xúc vói nhau tai đưòng biên phan tu. Do v¾y, cáchàm chuyen v% can đưoc thiet l¾p sao cho thoã mãn đieu

ki¾n liên tnc chuyen v% không chi tai các nút mà còn trêncác đưòng biên chung cua phan tu.

Các loai phan tu huu han hay g¾p trong bài toán phang làphan tu huu han tam giác và tú giác, trong đó phan tudang tam giác đơn giãn hơn và thưòng đưoc su dnng nhieuhơn.

49

5 Bài toán phang cua lý vk

uk(x , y )k k

ky

v(x, y)viu(x, y) vj

ui i(xi, yi )

x

j uj

(xj, yj )

Hình 4.1: Phan tu tam giác 3 điem nút

Trưòng chuyen v% trong m®t phan tu huu han cho bõi moiliên h¾

u = Nδe, (4.1)

trong đó N là ma tr¾n các hàm chuyen v% và δe là véc tơ chuyenv% nút.

4.1.1Phan tú tam giác ba điem nútXét phan tu phang tam giác 3 nút như Hình 4.1. Véc tơ chuyen v% tai m®t điem có toa đ® (x, y) trên phan tu có dang .

u(x, y)u =

v(x, y)

., (4.2)


ui vi

ujδ = vj

ukvk

. (4.3)

Các thành phan chuyen v% đưoc xap xi bang các hàm đa giác b¾c nhat có dang

u (x, y) = α1 + α2 x + α3y,v (x, y) = α4 + α5 x + α6y. (4.4)

4.1. Hàm 5

2

1 .

trong đó αi là các h¾ so đưoc xác đ%nh tù các đieu ki¾n:

ui = α1 + α2 xi + α3yi,uj = α1 + α2 xj + α3yj,

uk = α1 + α2 xk + α3yk,

(4.5)

và

vi = α4 + α5 xi + α6yi,vj = α4 + α5 xj + α6yj,

vk = α4 + α5 xk + α6yk.

(4.6)

Sau khi giãi h¾ phương trình trên, tìm đưoc

u (x, y) = Niui + Njuj + Nkuk,v (x, y) = Nivi + Njvj + Nkvk,

(4.7)

trong đó Ni, Nj và Nk là các hàm chuyen v% tương úng vói các nút i, j và k. Hàm chuyen v% Ni có dang:

vói

Ni = ai + bix + ciy,

(4.8)

xjyk − xkyjai =

bi =

ci =

,2Ayj − yk

2A= yjk,

xk − xj

2A= xkj,(4.9)

và A là di¾n tích cua phan tu tam giác:.

.A =.

..

.

1 xi yi1 xj yj1 xk yk

... .

(4.10)...

5 Bài toán phang cua lý Các hàm chuyen v% Nj và Nk có the tìm đưoc m®t cách tương tnbang cách hoán v% vòng quanh các chi so i, j, k. Ma tr¾n cáchàm chuyen v% N có dang.

Ni 0 Nj 0Nk 0

N =0 Ni 0 Nj 0 Nk

..

(4.11)

k

4.1. Hàm 5

Ket quã trên có the nh¾n đưoc tù vi¾c nh¾n xét tính chatcua hàm chuyen v% tai m®t điem nút i nào đó: Ni = 1 tai (xi,yi ), và Ni = 0 tai (xj, yj) và tai (xk, yk ). Dưói dang matr¾n:

Ni (xi , yi) = ai + bixi + ciyi = 1,Ni (xj, yj) = ai + bixj + ciyj = 0,Ni (xk, yk) = ai + bixk + ciyk = 0, (4.12)

hay

do đó

1 xi yi 1 xj yj1 xk yk

ai bi

ci

=

1

1

0 , (4.13)

0

ai

1 xi yi

− 1

bi = 1 xj yj 0 . (4.14)

Tương tn, ta có:

và

ci

aj

bj

cj

1 xk yk

1 xi yi

= 1 xj yj1 xk yk

0

−1 0 1 0

1

, (4.15)

ak

bk

ck

1 xi yi

−

= 1 xj yj

1 xk yk

0 0 . (4.16) 1

4.1.2Phan tú tú giác bon điem nútXét phan tu phang tú giác 4 nút như Hình 4.2. Véc tơ chuyen v% nút có dang

ui vi

ujδ =

vj

u

vk ul

vl

5 Bài toán phang cua lý . (4.17)

=

u

j j

4.1. Hàm 5vl

ul(xl , yl ) vkl

ky v(x, y)

k

(x , y )

vi

ui i

k ku(x, y)

vj

j uj

(xi, yi )x (xj, yj )

Hình 4.2: Phan tu tú giác 4 nút

Các thành phan chuyen v% đưoc xap xi bang các hàm đa giác bán b¾c nhat có dang

u (x, y) = α1 + α2 x + α3y + α4 xy,v (x, y) = α5 + α6 x + α7y + α8 xy.

(4.18) Ma tr¾n các hàm chuyen v% N có dang. Ni 0 Nj 0 Nk 0

Nl 0N =

0 Ni 0 Nj 0 Nk 0 Nl

..

(4.19)

Hàm chuyen v% Nm có dang

Nm = am + bmx + cmy + dmxy,

(4.20) trong đó các h¾ so am, bm, cm và dm xác đ%nh tù

phương trình1

am

1 xi yi xiyi

−

δmi

bm

1 x yxjyj

δmj ,

(4.21) cm

dm

1 xk yk xkyk 1 xl yl xlyl

δmk δml

vói δmk là Kronecker delta.

4.1.3Phan tú huu han b¾c cao

5 Bài toán phang cua lý Ngoài các phan tu b¾c nhat, các phan tu tam giác và túgiác b¾c cao thưòng đưoc su dnng trung thnc te. Hình 4.3ví dn các phan tu tam giác 6 điem nút và phan tu tú giác 9điem nút.

4.1. Hàm 5

Hình 4.3: Phan tu tam giác 6 điem nút và phan tu tú giác 9điem nút

1x y

x2 xy y2

x3 x2y xy2 y3

x4 x3y x2y2 xy3 y4

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Bãng 4.1: Tam giác Pascal cho ho phan tu tam giác

Trong trưòng hop các phan tu huu han b¾c cao, hàm chuyenv% cho các phan tu huu han tam giác và tú giác có thethiet l¾p dna trên các ‘tam giác Pascal’ như trên Bãng4.1 và Bãng 4.2.

Ví dn, hàm chuyen v% cua phan tu tam giác 6 điem nút có dang:

u (x, y) = α1 + α2 x + α3y + α4 x2 + α5 xy + α6y2,

(4.22) và hàm chuyen v% cua phan tu tú giác 9 điem nút có

dang:

u (x, y) = α1 + α2 x + α3 xy + α4y + α5 x2 + α6 x2y + α7 x2y2 + α8 xy2

+ α9y2.(4.23)

4.2 Phan tú cơ só và hoán chuyen đanghưóng

Trong thnc hành, các phan tu huu han cơ sõ thưòng đưoc sudnng đe l¾p trình tính toán. Các phan tu cơ sõ này thưòng

5 Bài toán phang cua lý có các hình dang đơn giãn (chang han có các canh có chieudài đơn v%, các canh song song vói các h¾ trnc toa đ® đ%aphương, các h¾ toa đ® đ%a phương đưoc lna chon đơn giãn phùhop ...). Các hàm đe xác đ%nh hình dang và chuyen v% cuaphan tu do v¾y se đơn giãn và các hàm

4.2. Phan tu cơ sõ và hoán 5

x (ξ, η) = ∑ Ni (ξ, η) xi (4.26)i=1

ny (ξ, η) = ∑ Ni (4.2

7)i=1

1x y

x2 xy y2

x3 x2y xy2 y3

x4 x3y x2y2 xy3 y4

· · · x4y x3y2 x2y3 xy4 · · ·· · · x4y2 x3y3 x2y4 · · ·

· · · x4y3 x3y4 · · ·· · · x4y4 · · ·

· · · · · ·· · ·

Bãng 4.2: Tam giác Pascal cho ho phan tu tú giác

này có the đưoc thi hành chung cho các phan tu huu hankhác nhau cua h¾ ket cau. Ngoài ra, vi¾c su dnng các phantu cơ sõ còn cho phép đơn giãn hoá vi¾c tính toán cáctích phân so, cũng như cho phép tính toán các đưòng biêncong b¾c cao.

Xét phan tu cơ sõ và phan tu huu han tú giác như Hình4.4. Can thiet l¾p moi quan h¾ chuyen đoi toa đ® đe hoánchuyen các toa đ® cua phan tu huu han tú giác và phan tusơ sõ đơn v%, và ngưoc lai. M®t điem trong phan tu cơ sõcótoa đ®

. ξ .

ξ =η

tương úng vói m®t điem có toa đ®.

x .

x =y

(4.24)

(4.25)

trong phan tu huu han thnc qua moi quan h¾ hoán chuyen đanghưóng có dang

n

trong đó n là so điem nút cua phan tu huu han (n = 4 cho

5 Bài toán phang cua lý phan tu tú giác),(xi, yi) là toa đ® cua điem nút thú i, (ξ, η) là các toa đ® tn nhiên cua phan tu

, 1) (1, 1)

(ξ, η)

=


η(−1

ξ(ξ,η) (xl ,

yl ) (x , y )

(−1, −1) (1,

−1)

y

i(xi, yi )

l

(x,y)

k k

k

j(x , y )

x j j

x(x, y)

Hình 4.4: Phan tu tú giác: phan tu cơ sõ và phan tu huuhan thnc

cơ sõ, và Ni (ξ, η) là các hàm chuyen v% xây dnng trên phantu cơ sõ. M®t thành phan chuyen v% tai m®t điem trên phantu huu han có the đưoc viet dưói dang tương tn

n

u = ∑ Ni (ξ, η) ai (4.28)i=1

trong đó ai là giá tr% chuyen v% tai nút i cua phan tu huu han.M®t van đe nãy sinh khi su dnng phép hoán chuyen đang

hưóng là vi¾c tính các đao hàm cua m®t hàm theo h¾ toa đ®thnc (x, y) trong khi hàm chuyen v% Ni là hàm so cua h¾ toađ® tn nhiên (ξ, η). Xét m®t hàm so f tuỳ ý, lý thuyet đaohàm chi ra rang

∂ f =

∂ f ∂ x +

∂ f ∂ y , (4.29)∂ξ ∂x ∂ξ ∂y ∂ξ

∂ f =

∂ f ∂ x +

∂ f ∂ y

(4.30)

η∂ ∂x η∂ ∂y η∂

hay .

∂ f∂ξ∂ f ∂η

. .

∂x∂ξ∂ x ∂η

∂y . .

∂ f∂ξ

∂x∂ y ∂ f∂η

∂y

5 Bài toán phang cua lý . , (4.31)

s ¸J¸ x

trong đó J đưoc biet như ma tr¾n jacobian. Nghich đão ma tr¾n jacobian, ta có

∑

j

i

i

i


mot quan h¾ ngưoc.

∂ f . .

∂y∂x . . ∂ f .

1∂x = ∂η − η∂ ∂ξ ,(4.32)

∂ f ∂y

∂ y ∂ x− ∂ξ ∂ξ

sJ¸−¸1x

∂ f η∂

trong đó j là đ%nh thúc cua ma tr¾n jacobian, j = det(J).Tù các phương trình (4.26) và (4.27), ta có

∂x n ∂Ni= xi =n∑ Ni,ξ

xi,

(4.33)∂ξ i=1 ∂ξ

ni=1

n∂x

= ∑ ∂Ni x =

∑ Ni,ηxi,(4.34)

η∂ i=1 η∂n

i=1n

∂y = ∑

∂Ni y =∑ Ni,ξ

yi ,(4.35)

∂ξ i=1 ∂ξn

i=1n

∂y = ∑

∂Ni y =∑ Ni,η

yi.(4.36)

η∂ i=1 η∂ i=1

Tù phương trình (4.37), đao hàm riêng cua các hàm chuyen v%Nj theo các toa đ® thnc x, y có dang

∂Nj

.

∑n

n.−1 ∂Nj

∂x

= i=1 Ni,ξ xi ∑i=1

Ni,ξyi

∂ξ

.

(4.37)∂ N j∑

n n ∂ N j ∂y

i=1 Ni,ηxi ∑i=1 Ni,ηyi

η∂

M¾c dù các công thúc dna trên phép hoán chuyen đang hưóngnêu trên dưòng như là phúc tap, phương pháp này cho phépthi hành các thu¾t toán phan tu huu han rat đơn giãn vàti¾n loi.


4.2.1Phan tú cơ só tú giác

Hàm chuyen v% tai nút thú i cho phan tu tú giác trên Hình 4.4có dang

1Ni (ξ, η) =

4 (1 + ξiξ) (1 + ηiη)

(4.38)

Hàm chuyen v% cho các phan tu tú giác b¾c cao có the xem Hughes (2000).


k

(x, y)y

i(xi, yi ) jx

(0, 1)

(r, s)2 r

s (r,s)

(xk, yk )

3

1(0, 0) (1,0) (xj, yj )

x(x, y)

Hình 4.5: Phan tu tam giác: phan tu cơ sõ su dnng toa đ®di¾n tích (toa đ® tn nhiên) và phan tu huu han thnc

4.2.2Phan tú cơ só tam giácPhan tu huu han tam giác có the suy ra tù phan tu huu hantú giác bang vi¾c cho hai điem nút trùng nhau, xem thêmHughes (2000). Tuy nhiên, có the thiet l¾p công thúc trnctiep cho phan tu huu han tam giác, dna vào h¾ toa đ® di¾ntích như trên Hình 4.5. V% trí m®t điem trên phan tu cơ sõđưoc xác đ%nh thông qua ba toa đ® r, s, t, trong đó

t = 1 − r − s. (4.39)Hàm chuyen v% cho phan tu cơ sõ tam giác tuyen tính có 3 điemnút có dang

N1 = t, (4.40)N2 = r, (4.41)N3 = s. (4.42)

Hàm chuyen v% cho phan tu cơ sõ tam giác b¾c hai có 6 điemnút có dang

N1 = 2t2 − t, (4.43)N2 = 2r2 − r, (4.44)N3 = 2s2 − s, (4.45)N4 = 4rt, (4.46)N5 = 4rs, (4.47)N6 = 4st. (4.48)


Ni,x 0 Nj,x 0 Nk,x 00 Ni,y 0 Nj,y 0 Nk,y

Ni,y Ni,x Nj,y Nj,x Nk,y Nk,x

Ni,x 0 Nj,x 0 Nk,x 0 Nl,x 00 Ni,y 0 Nj,y 0 Nk,y 0 Nl,y

Ni,y Ni,x Nj,y Nj,x Nk,y Nk,x Nl,y Nl,x

4.3. Ma tr¾n đ® cúng và véc tơ lnc nút59

Công thúc tương tn cho các phan tu tam giác b¾c bat kỳ có the xem Hughes (2000).

4.3 Ma tr¾n đ® cúng và véc tơ lnc nútTrong pham vi bài toán phang, do tính chat đoi xúng, ten sơ bien dang và ten sơ úng suat đưoc viet lai dưói dang véc tơ

ǫxx

ǫxx

ux,x

ǫ = ǫyy = ǫyy = uy,y

,

(4.49) 2ǫxy

và

γxy

σxx

ux,y + uy,x

σ = σyy

σxy

.(4.50)

Véc tơ bien dang có the viet dưói dang ma tr¾n

ǫ = Bδe ,

(4.51)trong đó B là ma tr¾n chúa các đao hàm b¾c nhat cua hàm chuyen v% theo các toa đ® x, y. Cho phan tu tam giác 3 điemnút:

B =

,

(4.52)

và cho phan tu tú giác 4điem nút:

B =

.

(4.53)

e

e Γ

γ¸

e

Véc tơ úng suat có dang σ = Dǫ,

(4.54)trong đó D là ma tr¾n đàn hoi cua bài toán phang cua lý thuyet đàn hoi.

Tù phương trình bien thiên, dang ma tr¾n cua bài toán phang cua lý thuyet đàn hoi có dang

T BT D B dΩ δe

Ωe

= γT ¸

Ωe

N T f dΩ + γT ¸

h e

N T gh dΓ ∀γe.(4.55)

Γ

¸

Γ

e

e

¸

e

¸

Ω


Do phương trình trên đúng cho ∀γe, ta có

hay

BT D B dΩ δe =

Ωe

¸N T f dΩ + ¸

Ωe

h

N T gh dΓ. (4.56)

trong đó

và

Ke =

Ke δe = Fe , (4.57)

BT D B dΩ, (4.58)Ωe

Fe = F f + Fg = N T f dΩ +¸N T gh dΓ. (4.59)

e e he e

Trong phương trình trên, Ke là ma tr¾n đ® cúng, F f

là véc tơ lnc nút quy đoi

cho tãi trong phân bo the tích, Fg là véc tơ lnc nút quy đoi

cho tãi trong phânbo trên biên, và Fe là véc tơ lnc nút tong c®ng cua phantu. Trong tinh toán thnc hành, các tích phân so đưoc sudnng đe thnc hi¾n các tích phân trên.

4.4 Tích phân soTrong thnc hành tính toán, tích phân so đưoc áp dnng đetính tích phân cua các hàm đa giác đ%nh nghĩa trên phan tuhuu han. Xét phan tu huu han thanh thang trong trưòng hopbài toán m®t chieu. Giã su, can tính tích phân I có dang

¸ 1I = f (ξ)dξ. (4.60)−1

Tích phân I se đưoc tính toán theo tích phân so qua bieu thúcNint

I = ∑i=1

f (ξi )wi, (4.61)

trong đó ξi là các điem chia trên mien đang xét, Nint là sođiem chia (so điem lay tích phân), wi là trong so tai điem

chia thú i. Chú ý là so điem lay tích phân Nint tuỳ thu®c vàob¾c cua hàm f (ξ) và phương pháp tích phân. Dưói đây trình

bày hai phương pháp tích phân so: tích phân Newton-Cotes vàtích phân Gauss. Tích phân Newton-Cotes su dnng các điem

tích phân có khoãng cách đeu nhau trên mien đang xét. Đetích phân chính xác m®t hàm đa giác f có b¾c n, can su

dnng n + 1 điem lay tích phân Newton-Cotes. Bãng 4.3 gióithi¾u các

điem lay tích phân và giá tr% hàm trong so cho tích phân Newton-Cotes.

6 Bài toán phang cua lý 4.4. Tích phân so61

So điem n

V% tríξi

Trong so wi1 0 2

2 −1 11 1

3 −10

1343

1 13

4 −1 141

− 334

1 33 41 1

4

Bãng 4.3: Tích phân Newton-Cotes cho mien [-1,1]

So điem n

V% tríξi

Trong so wi1 0 2

2 1−√

31

1 √3 1

3 .3− 5

59

0.

895

5 9

Bãng 4.4: Tích phân Gauss cho mien [-1,1]

Trong thnc hành tính toán, tích phân Gauss thưòng đưocsu dnng. Đây là phương pháp tích phân toi ưu, đòi hõi sođiem lay tích phân toi thieu. Cho m®t hàm đa giác f có b¾c2n, can su dnng n + 1 điem tích phân Gauss đe đat đưoc ketquã tích phân chính xác. Ngưoc lai, su dnng n điem lay tíchphân có the tích phân chính xác m®t hàm đa giác có b¾c 2n −1. Bãng 4.4 giói thi¾u các điem lay tích phân và giá tr%hàm trong so cho tích phân Gauss.

Ví dn, trong các bãng trên, su dnng 4 điem tích phânNewton-Cotes se tích phân chính xác đưoc hàm đa giác m®tchieu b¾c 3, trong khi su dnng 3 điem tích phân Gauss setích phân chính xác đưoc hàm đa giác m®t chieu b¾c 5.

Đe tính các tích phân cua hàm so f cho các bài toán nhieu

chieu, có the úng

Fe


dnng tích phân so theo tùng chieu riêng le. Cho trưòng hop phan tu tam giác, các điem tích phân và hàm trong có the tra bãng, xem thêm Hughes (2000).

Đe thiet l¾p ma tr¾n đ® cúng và véc tơ lnc nút cua m®tphan tu huu han, vi¾c su dnng phan tu cơ sõ vói h¾ toa đ®ξ, η cho phép thnc hi¾n tích phân so m®t cách đơn giãn. Matr¾n đ® cúng cua phan tu sau khi đoi bien có dang

Ke =¸

BT D B dΩ

=Ωe

¸ 1¸ 1

−1−1

BT D B j dξ dη, (4.62)

Trong đó j là đ%nh thúc cua ma tr¾n jacobian. Lưu ý rang j= dΩ/ (dξ dη). Tương tn, véc tơ lnc nút quy đoi sau khi đoi bien có the viet dưói dang

= ¸

N T f dΩ

=Ωe

¸ 1¸ 1

−1−1

N T f j dξ dη. (4.63)

Thnc hi¾n tích phân so, ma tr¾n đ® cúng và véc tơ lnc nút cua phan tu đưoc xác đ%nh theo bieu thúc

Ke =

và

Nint

∑ B (ξi , ηi )T D B (ξi , ηi ) j (ξi , ηi ) wi,

(4.64)i=1

NintF f

∑ i ii i i i i

e =i=1

N (ξ , η )T f (ξ , η ) j (ξ , η ) w , (4.65)

trong đó (ξi , ηi ) là toa đ® điem lay tích phân thú i và wi làtrong so tai điem lay tích phân i.

4.5 Bài t¾pBài 1: Cho phan tu huu han hình vuông có toa đ® các điemnút là i(−1, −1), j(1, −1) , k(1, 1), l(−1, 1). Trien khaicác công thúc (4.20) và (4.21) đe thiet l¾p các hàmchuyen v% Ni, Nj, Nk và Nl cua phan tu.

Bài 2: Su dnng các tam giác Pascal, viet hàm chuyen v%tong quát cho phan tu huu han tam giác 10 điem nút và phan

tu huu han tú giác 16 điem nút.

Bài 3: Chon m®t hàm đa giác b¾c hai f (x) tuỳ ý xác đ%nhtrong khoãng [-1,1]. Hãy tính chính xác tích phân trên vàtính lai theo các phương pháp tích phân so Newton-Cotes vàGauss. So sánh và nh¾n xét ket quã.

7 Tam và

Chương 5

Tam và

vó

Tam ch%u uon là ket cau phang có kích thưóc theo m®t phương(phương chieu dày) rat nhõ hơn kích thưóc theo hai phươngcòn lai (các phương trong m¾t phang) và tãi trong tácdnng theo phương vuông góc vói m¾t phang cua tam. Tuỳthu®c vào chieu dày cua tam, lý thuyet tam mõng ho¾c tamdày đưoc su dnng đe tính toán.

Trong bài toán tam mõng, giã thiet m¾t cat phang vàvuông góc vói m¾t trung gian thưòng đưoc su dnng (giãthiet Kirchhoff), các thành phan bien dang trưot do đó đãđưoc bõ qua; đai lưong duy nhat can xác đ%nh là chuyen v%theo phương vuông góc vói m¾t phang cua tam. Khi các thànhphan bien dang trưot đưoc xét tói, giã thiet Mindlin đưocsu dnng; ngoài thành phan chuyen v% thang theo phươngvuông góc vói m¾t phang cua tam, góc xoay tai các tiet di¾nlà các an so đ®c l¾p.

Trên cơ sõ các lý thuyet tính tam uon, nhieu loai phantu hùu han đã đưoc đe xuat, ví dn phan tu tương thích C1

(Clough and Tocher, 1965; Zlámal, 1968; Zienkiewicz, 1971;Ciarlet and Raviart, 1972), phan tu không tương thích(Baze- ley et al., 1965; Babusˇka and Zlámal, 1973), phantu C0 su dnng phương pháp hon hop (Mindlin and Cooper,1960; Brezzi et al., 1989; Arnold and Falk, 1989), phan tuC1 su dnng các hàm cơ sõ có cau trúc đ¾c bi¾t (Krysl andBelytschko, 1995; Cirak et al., 2000; On˜ ate and Zarate,

2000; Hughes et al., 2005) hay gan đây là phan tu khôngtương thích C0 su dnng phương pháp Galerkin không liên tnc(Engel et al., 2002; Hughes and Garikipati, 2004).

Khác vói phan tu tam có m¾t trung gian là phang và chicó các thành phan n®i lnc mô men uon ngoài m¾t phang(bending forces), phan tu võ có m¾t trung gian là cong vàton tai cã các thành phan n®i lnc uon và kéo nén(membrane

63

7 Tam và

forces). M®t cách đơn giãn khi xây dnng phan tu huu han cho ket cau võ mõng là ket hop bài toán toán phang cua lý thuyet đàn hoi và bài toán uon tam.

Chương này trình bày m®t so khía canh can lưu ý khi tính tam và võ mõng trong pham vi su dnng giã thiet Kirchhoff.

5.1 Tam ch%u uon

5.1.1Hàm chuyen v%

Phan tú tam giác 3 điem nút

Tai moi nút có 3 thành phan chuyen v%: m®t chuyen v% thang và hai chuyen v% xoay. Véc tơ chuyen v% nút có dang:

δ =

uiφ1iφ2i ujφ1jφ2jukφ1kφ2k

. (5.1)

Hàm chuyen v% can thiet phãi là hàm b¾c ba vói 10 h¾ so có dang:

u (x, y) = α1 + α2 x + α3y + α4 x2 + α5 xy + α6y2 + α7 x3 + α8 x2y + α9 xy2 + α10y3.

(5.2)

Tuy nhiên, vói 9 chuyen v% nút không the xác đ%nh duy nhat 10 h¾ so αi, ngưòi ta thưòng su dnng hàm chuyen v% có dang sau:

u (x, y) = α1 + α2 x + α3y + α4 x2 + α5 xy + α6y2 + α7 x3 + α8 .

x2y

+ xy2. + α9y3.

(5.3)

H¾ toa đ® di¾n tích thưòng đưoc su dnng đe thiet l¾p hàm chuyen v% cho phan tu tam giác.

7 Tam và

5.1. Tam ch%u uon 65

Phan tú tú giác 4 điem nút


δ =

uiφ1iφ2i ujφ1jφ2jukφ1kφ2kulφ1lφ2l

.

(5.4)

Can chon m®t đa thúc b¾c bon cho hàm chuyen v%. Do chi có 12 chuyen v% nút, hàm chuyen v% đưoc chon có dang

u (x, y) = α1 + α2 x + α3y + α4 x2 + α5 xy + α6y2 + α7 x3 + α8 x2y + α9 xy2

+ α10y3 + α11 x3y + α12 xy3.(5.5)

Su dnng các hàm chuyen v% trên, chuyen v% thang là liêntnc qua biên phan tu. Tuy nhiên, đieu ki¾n liên tnc ve gócxoay không thoã mãn, do v¾y phan tu là liên tnc C0 và làphan tu không tương thích.

5.1.2Bien dangBien dang cua m¾t trung bình cua tam đưoc bieu dien qua

véc tơ đ® cong như sau:

κ =

u,xxu,yy2u,xy

.

(5.6)

Đ® cong cua tam liên h¾ vói véc tơ lnc nút theo moi quan h¾

κ = Dδe.

(5.7)

2

7 Tam và

Mô men trên m®t đơn v% chieu dài cua tam đưoc xác đ%nh qualiên h¾

M =

Mxx

Myy

Mxy

= Dκ, (5.8)

trong đó ma tr¾n đàn hoi D cho tam đang hưóng có dang

Et3 1 ν

0

, (5.9)

D = 12 (1 −

ν2)

ν 1 0

0 0 1−ν

trong t là chieu dày cua tam.

5.1.3Ma tr¾n đ® cúng và véc tơ lnc nút

Ma tr¾n đ® cúng:

và véc tơ lnc nút quy đoi

Ke =

F f

¸DT D D dΩ,

(5.10)Ωe

¸e = N T f dΩ. (5.11)

Ωe

5.1.4Ví dn phân tích tam uonXét tam hình vuông có canh L = 2 m, chieu dày t = 0.01 m,kê bon canh. V¾t li¾u tam có mô đun đàn hoi E = 2 × 108N/m2 và h¾ so Poisson ν = 0.3. Do tam kê 4 canh, Γu = ΓM =∂Ω, gu = 0 và M = 0. Tãi trong phân bo đeu F = 10 N/m2 tácdnng vuông góc vói m¾t phang cua tam. Su dnng các phan tuhuuhan tam giác, luói chia phan tu như trên Hình 5.1.

Bien dang cua tam đưoc minh hoa như trên Hình 5.2.

5.2 Vó móng

Ket cau võ thưòng có m¾t trung gian là cong. Đe tính ketcau võ, có the su dnng phan tu huu han võ phang, phan tuhuu han võ cong ho¾c phan tu huu han võ n®i suy.

5.2. Võ 6

L

L

Hình 5.1: Lưói chia phan tu huu han cua tam kê bon canh

Hình 5.2: Bien dang cua tam ch%u uon.

ξ

6 Tam và

ξ3

ξ2

X3 k A31

A2 A1

E3 ji

E2 X2

E1

X1

Hình 5.3: Phan tu võ phang.

5.2.1Phan tú vó phang

Hình 5.3 mô tã phan tu võ phang tam giác. H¾ toa đ® đ%a phương đưoc xác đ%nh bõi:

˙ijA1 =

˙ ,

(5.12) ij ˙ ˙

A3 = ij × ik

. (5.13) ˙ ˙ ij × ik

vàA2 = A3 × A1. (5.14)

5.2.2Phan tú vó cong

Hình 5.4 minh hoa phan tu võ cong. Các toa đ® liên h¾ vói nhau qua các bieu thúc:

ξ1 = X1 0 ≤ X1 ≤ L, (5.15)

5.2. Võ 6ξ2 = R φ − θ ≤ φ ≤ θ, (5.16)

i

i

. .

. .

ξ1

ξ2

ω

θθ X3

ΩX1

R Lφθ θ

X2

L

7 Tam và

ξ2

ξ1

s2 (0, 1)

(0, 0)s1

(1, 0)

Hình 5.4: Phan tu võ cong.

trong đó φ = arcsin (X2/R). Ngưoc lai,

X1 = ξ1 0 ≤ ξ1 ≤ L, (5.17)

X2 = R sin .

ξ2 .

R.

ξ2 .

− θ R ≤ ξ2

≤ θ R, (5.18)

X3 = R cosR − θ R ≤ ξ2 ≤ θ R. (5.19)

Hình 5.5 là ví dn vi¾c xác đ%nh mien tích phân cho các võ cong.

5.2.3Phan tú vó n®i suyCác toa đ® nút và chuyen v% nút có the đưoc n®i suy như sau:

n

Xi ξ1, ξ2 = Xi (s1, s2, s3) = ∑ Nj (s1, s2, s3) Xj, (5.20)

j=1n

ui ξ1, ξ2 = ui (s1, s2, s3) = ∑ Nj (s1, s2, s3) uj, (5.21)

j=1

trong đó Nj ký hi¾u hàm hình dang tai nút j. Hình 5.6 minh

5.2. Võ 7hoa m®t phan tu võ n®i suy.

Hình 5.7, Hình 5.8 và Hình 5.9 là ket quã tính m®t so ketcau võ trong trang thái phi tuyen hình hoc (Dung, 2008). Các sơ đo tính này đưoc biet như các sơ

7 Tam và

n

(a) (b)

Hình 5.5: Ví dn tính võ cong: (a) Võ trn; (b) Bán cau. M¾tcong là các mien v¾t lý và mien phang là các mien tham so.

s2, ξ2′

A3L A2 n

(0, 1) s = 0

l

ωE

A1

n ss′

ΩEs

s = l X

(0, 0) (1,0)

s1, ξ1

Hình 5.6: Phan tu võ n®i suy.

5.3. 7

đo kiem tra tiêu chuan, thưòng đưoc su dnng đe kiem tra,đánh giá khã năng cua thích dnng các phan tu võ đưoc đexuat.

Hình 5.7: Vành tròn khía canh.

5.3 Bài t¾pBài 1: Viet phương trình bien thiên cho bài toán võ phangch%u tãi trong phân bo trong và ngoài m¾t phang cua võ.

Bài 2: Su dnng m®t chương trình phan tu huu han thôngdnng (Sap2000, Etabs ...), phân tích võ mái Scordelis-Lo(Hình 5.10). Võ có goi tna cúng (rigidly supported) taihai biên cong và tn do tai hai biên thang. Các kích thưóccua võ: canh L = 50 m, bán kính R = 25 m, chieu dày t =0.25 m, góc φ = 2/9π rad, Mô đun đàn hoi E = 4.32 × 108

N/m2 và h¾ so Poisson ν = 0. Tãi trong phânbo trên mái cưòng đ® F = −90 N/m2 theo phương đúng (hưóngxuong).

Thay đoi lưói chia phan tu huu han, l¾p đo th% liên h¾ giua sai so cua chuyen v% đúng e = ure f − u tai điem giua canh biên thang cua võ và so phan tu n.

L

RX3 X1

X2

7 Tam và

(a) (b)

Hình 5.8: Bán cau - (a) sơ đo ban đau và (b) sơ đo bien dang.

(a) (b)

Hình 5.9: Kéo võ trn - (a) sơ đo ban đau và (b) sơ đo bien dang.

Hình 5.10: Võ mái Scordelis-Lo

5.3. 7

L¾p đo th% liên h¾ giua log(n) và log(e). Chuyen v% đe so sánh ure f = 0.3024 m(Belytschko et al., 1985).

Chương 6

Bài toán đ®ng lnc hoc

Trong bài toán đ®ng lnc hoc, bên canh vi¾c xét tói các tãi trong tác dnng tĩnh, các lnc quán tính và lnc cãn tác dnng lên ket cau cũng can phãi ke đen.

6.1 Phương trình đ®ng lnc hoc

Xét bài toán v¾t the đàn hoi ch%u tãi trong tĩnh và đ®ng. Phương trình chuyen đ®ng tai m®t chat điem có dang

ρu¨ + cu˙ = ∇ · σ + f in Ω, (6.1)u = g on Γu, (6.2)o · n = h on Γh, (6.3)u (x, 0) = u0 (x) in

Ω,(6.4)u˙ (x, 0) = v0 (x) in

Ω,(6.5)

trong đó ρ là m¾t đ® khoi lưong, c là h¾ so cãn, u˙ và u¨ là các đao hàm b¾c nhat và b¾c hai cua chuyen v% theo thòi gian,

u˙ = ∂u

,

(6.6)∂t2

7 Bài toán đ®ng

u¨ = ∂ u

,

(6.7)∂t2

75

w

e

u0 và v0 là các chuyen v% tai thòi điem ban đau t = 0. Viet lai dưói dang chi so, ta có

ρuï + cu˙ i = σij,j + fi in Ω, (6.8)ui = gi on Γu, (6.9)σijnj = hi on Γh , (6.10)ui (xi, 0) = ui |0 (xi ) in Ω, (6.11)uï (xi, 0) = vi |0 (xi ) in Ω. (6.12)Các phương trình trên là phương trình cơ sõ cho bài toán

đ®ng lnc hoc cua v¾t the đàn hoi.Phương trình bien thiên đưoc thiet l¾p bang cách nhân cã

hai ve cua phương trình cân bang (6.8) vói hàm thu wi đ®cl¾p thòi gian và tích phân trên mien Ω, ta có¸ ¸

wi ρuï dΩ +Ω Ω

wi cu˙ i dΩ=

¸¸

wiσij,j dΩ +Ω Ω

wi fi dΩ ∀wi ∈ V. (6.13)

Sau khi tích phân tùng phan so hang thú ba cua phươngtrình trên và thi hành đieu ki¾n biên, ta có phương trìnhbien thiên cho bài toán đ®ng lnc hoc như sau: tìm trưòngchuyen v% ui và trưòng úng suat σij thoã mãn:¸ ¸

wi ρuï dΩ +Ω Ω

¸wi cu˙ i dΩ +

Ωs i,j

σij dΩ¸ ¸

= wi hi dΓ +Γh Ω

wi fi dΩ ∀wi ∈ V. (6.14)

6.2 Dang ma tr¾nSu dnng phương pháp phan tu huu han, các hàm chuyen v%, hàm thu và các đao hàm cua chúng đưoc thay the như sau

u = Nδe, (6.15)u˙ = Nδ˙e, (6.16)u¨ = Nδ¨ , (6.17)

σ = DBδe ,

(6.18)và

w = Nγe, (6.19)∇s · w = Bγe, (6.20)

7 Bài toán đ®ng

N T gh

dΓ,(6.23)

(6.24)

(6.25)(6.26)(6.2

γ e e

e

e Γ

e¸

Γ

e

ee

¸

e

e

¸D

6.2. Dang ma tr¾n 77

trong đó N và B là ma tr¾n chúa các hàm chuyen v% và cácđao hàm b¾c nhat cua chúng theo không gian, δe là véc tơchuyen v% tai nút và γe là véc tơ các giá tr% hàm thu tainút cua phan tu huu han. Thay the các liên h¾ trên vàophương trình bien thiên, xét phan tu e, ta có

T ¸

N T ρ N dΩ

δ¨Ωe

+ γT ¸

ΩeN T c N dΩ δ˙e

+ γT ¸

ΩeBT D B dΩ δe

= γT ¸

Ωe

N T f dΩ + γT ¸

h e

N T gh dΓ ∀γe. (6.21)

Do phương trình trên đúng cho ∀γe, ta có¸

N T ρ N dΩ δ¨ +¸

Ωe Ωe

N T c N dΩ δ˙e

+ BT D B dΩ δeΩe

= N T f dΩ + ¸

Ωe

h

N T gh dΓ.

(6.22)

Xét cho toàn h¾ ket cau, ta có¸

N T ρ N dΩ δ¨Ω

+ ¸

N T c N dΩ δ˙

Ω

+ BT B dΩ δeΩ ¸ ¸

= N T f dΩ +Ω Γh

hay M δ¨ + C δ˙ + K δ = F,

trong đó

M = ∑ ¸

e Ωe

C = ∑ ¸

e Ωe

K = ∑ ¸

e Ωe

N

T

ρ

N dΩ, N T

c N dΩ,

BT D B

dΩ,

vàF = ∑

¸

e ΩeN T f dΩ + ¸

Γh

N T gh dΓ.

(6.28)Trong phương trình trên, M là ma tr¾n khoi lưong, C là ma tr¾n cãn, K là ma tr¾n đ® cúng, và F là véc tơ lnc nút tong c®ng cua h¾ ket cau.

8 Bài toán đ®ng

M®t phương pháp đơn giãn đe thiet l¾p ma tr¾n cãn là tohop tù ma tr¾n khoi lưong và ma trân đ® cúng,

C = τ M + ψK,

(6.29)

trong đó τ và ψ là các h¾ so tuỳ thu®c vào các đ¾c trưngcua v¾t li¾u và ket cau. Phương pháp xác đ%nh ma tr¾n cãnnày đưoc biet đen như phương pháp Rayleigh.

6.3 Dao đ®ng tn do không có lnc cánKhi dao đ®ng cua h¾ ket cau là tn do và không có lnc cãn,chuyen đ®ng cua h¾ là đieu hoà. Chuyen v% tai các nút cuah¾ có the mô tã như sau:

δ = δ0 cos (ωt + α) , (6.30)

trong đó ω là tan so góc và δ0 là biên đ® dao đ®ng cua daođ®ng tn do. Gia toc chuyen đ®ng tai nút đưoc xác đ%nh bõibieu thúc

δ¨ = −ω2 δ0 cos (ωt + α) .

(6.31) Thay các phương trình trên vào phương trình (6.24)

và rút gon, ta đưoc.

K − ω2 M.

δ0 = 0,

(6.32)

Khi dao đ®ng tn do, vì biên đ® dao đ®ng tai các nútkhông đong thòi bang không, rút ra

det .

K − ω2 M. = 0.

(6.33)

Phương trình trên là phương trình đe xác đ%nh tan so cua dao đ®ng tn do cua h¾ ket cau.

Khi h¾ có n b¾c tn do, phương trình (6.33) dan tói vi¾cgiãi m®t h¾ phương trình đai so gom n phương trình đe xácđ%nh n tan so dao đ®ng riêng ω. Moi giá tr% cua tan so daođ®ng riêng tương úng vói m®t véc tơ chúa các biên đ® daođ®ng tai các nút.

Phương trình (6.32) có the viet dưói dang

ω2 M δ0 = Kδ0; (6.34)

8 Bài toán đ®ng

1

6.4. Bài t¾p 79

và nhân cã hai ve cua phương trình trên vó K−1, ta có

K−1 M δ0 = K−1Kδ0 = λδ0,

(6.35)ω2

trong đó λ = 1/ω2. Phương trình trên có dang phương trình tr% riêng thưòng g¾p

Hx = λx.

(6.36)

Nhìn chung, K−1 M không phãi ma tr¾n đoi xúng, do v¾y vi¾ctìm các tr% riêng λ là khá phúc tap. Ngưòi ta thưòng bienđoi phương trình trên ve dang chúa các ma tr¾n đoi xúng(Lnu, 2000). Ma tr¾n đ® cúng K (đoi xúng) có the đưoc phântích như sau

K = L LT ,

(6.37)

trong đó L là ma tr¾n tam giác dưói K. Do v¾y

K−1 = .

LT .−1

L−1.

(6.38)

Nhân cã hai ve cua phương trình (6.35) vói LT , lưu ý tói phương trình (6.38), ta có

L−1 Mδ0 = λLT δ0.

(6.39)

Đ¾t LT δ0 = x và thay vào phương trình trên, ta đưoc phương trình (6.36), trong đó

H = L−1 M .

LT .−1

(6.40)

là ma tr¾n đoi xúng. Phương pháp bien đoi trên cho phép xácđ%nh đưoc các tr% riêng λ, các dang dao đ®ng riêng x và δ0

m®t cách de dàng hơn.Các phương trình đã nêu trên đưoc áp dnng cho bài toán

đ®ng lnc hoc cua v¾t the đàn hoi. Khi xét nhung h¾ ket caukhác, chang han như h¾ thanh, h¾ tam võ ..., vi¾c thietl¾p các phương trình đ®ng lnc hoc và dang ma tr¾n theophương pháp phan tu huu han có the đưoc thnc hi¾n m®t cáchtương tn.

6.4 Bài t¾pBài 1: Cho các phan tu tam giác 3 điem nút và tú giác 4điem nút có các toa đ® nút tuỳ chon. Cho m¾t đ® khoi lưonglà ρ, l¾p ma tr¾n khoi lưong cho các phan tu su dnng trongbài toán phang cua lý thuyet đàn hoi.

8 Bài toán đ®ng

Bài 2: Su dnng m®t chương trình phan tu huu han thông dnng(Sap2000, Etabs...), phân tích dao đ®ng riêng cua tam uon đã đe c¾p trongmnc 5.1.4. Cho m¾t đ® khoi luong ρ = 1 × 104 Ns2/m4.

Tài li¾u tham kháo

Arnold, D. N. and Falk, R. S. (1989). A uniformly accuratefinite element method for the reissner-mindlin plate.SIAM Journal on Numerical Analysis, 26(6):1276– 1290.

Babusˇka, I. and Zlámal, M. (1973). Nonconformingelements in finite-element method with penalty. SIAMJournal on Numerical Analysis, 10(5):863–875.

Bathe, K. J. (1996). Finite Element Procedures. Prentice-Hall,Inc., Englewood Cliffs, New Jersey 07632, USA.

Bazeley, G. P., Cheung, Y. K., Irons, B. M., andZienkiewicz, O. C. (1965). Tri- angular elements inbending-conforming and nonconforming solutions. InConference on Matrix Methods in Structural Mechanics, WrightPatterson A. F. B., Ohio.

Belytschko, T., Stolarski, H., Liu, W. K., Carpenter, N.,and Ong, J. S. J. (1985). Stress projection formembrane and shear locking in shell finite elements.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 51(1–3):221–258.

Bernadou, M. (1996). Finite element methods for thin shell problems.John Wiley & Sons, New York.

Brezzi, F., Bathe, K., and Fortin, M. (1989). Mixed-interpolated elements for Reissner-Mindlin plates.International Journal for Numerical Methods in Engi- neering, 28:1787–1801.

Chapelle, D. and Bathe, K. J. (2003). The Finite Element Analysisof Shells - Funda- mentals. Springer-Verlag, Berlin.

Ciarlet, P. G. and Raviart, P. A. (1972). General lagrangend hermite interpola- tion in Rn with applications to

8 Bài toán đ®ng

finite element methods. Archive for Rational Mechanics andAnalysis, 46:177–199.

81

82 Tài li¾u tham khão

Cirak, F., Ortiz, M., and Schro¨ der, P. (2000).Subdivision surfaces: a new paradigm for thin-shellfinite-element analysis. International Journal for Nu- mericalMethods in Engineering, 47(12):2039–2072.

Clough, R. W. and Tocher, J. L. (1965). Finite elementstiffness matrices for analysis of plates in bending.In Conference on Matrix Methods in Structural Mechanics, WrightPatterson A. F. B., Ohio.

Dung, N. T. (2008). Discontinuous Galerkin formulations for thin bending problems.PhD thesis, Delft University of Technology, Delft.

Engel, G., Garikipati, K., Hughes, T. J. R., Larson, M. G.,and Taylor, R. L. (2002). Continuous/discontinuous finiteelement approximations of fourth-order el- lipticproblems in structural and continuum mechanics withapplications to thin beams and plates, and straingradient elasticity. Computer Methods in Ap- plied Mechanics andEngineering, 191(34):3669–3750.

Hughes, T. J. R. (2000). The finite element method - Linear anddynamic finite element analysis. Dover Publications, Inc.,Mineola, New York.

Hughes, T. J. R., Cottrell, J. A., and Bazilevs, Y.(2005). Isogeometric analysis: CAD, finite elements,NURBS, exact geometry and mesh refinement. ComputerMethods in Applied Mechanics and Engineering, 194(39–41):4135–4195.

Hughes, T. J. R. and Garikipati, K. (2004). On thecontinuous/discontinuous Galerkin (CDG) formulation ofPoisson-Kirchhoff plate theory. In Mathisen,K. M., Kvamsdal, T., and Okstad, K. M., editors, Computational Mechanics - Theory and Practice. CIMNE, Barcelona.

Krysl, P. and Belytschko, T. (1995). Analysis of thinplates by the element-free Galerkin method. ComputationalMechanics, 17:26–35.

Lnu, N. X. (2000). Phương pháp phan tu hñu han. Trưòng Đai hoc

Giao thông v¾n tãi, Hà n®i.

Mindlin, R. D. and Cooper, H. L. (1960). On the equationof extensional motion of crystal plates. TechnicalReport 36, Columbia University, New York.

On˜ ate, E. and Zarate, F. (2000). Rotation-free triangular plate and shell elements.

International Journal for Numerical Methods in Engineering, 47(1–3):557–603.

Tài li¾u tham khão 83

Wells, G. N. (2006). The Finite Element Method: An introduction (CT5123). Delft University of Technology.

Zienkiewicz, O. C. (1971). The finite element method in engineering science. McGraw- Hill, London.

Zlámal, M. (1968). On the finite element method. Numerische Mathematik, 12:394– 409.

fem lecturenotes ms

Documents