CONCRETO ARMADO 1

DIAGRAMA TRILINEAL

ING. MARDONIO EUSCATIGUE ASENCIOS

COMPORTAMIENTO A LA FLEXIÓN DE SECCIONES DE VIGADiagrama Momento Curvatura (Diagrama Trilineal)Comportamiento de una sección de viga.

A. Condición de inicio del agrietamiento del concreto.B. Condición de inicio de fluencia del acero en tracción.C. Inicio del aplastamiento del concreto.

M

A

B C

DIAGRAMA TRILINEAL MOMENTO CURVATURA

Punto A: Condición de inicio del agrietamiento del concreto (cr ’ Mcr )

cr = Curvatura de agrietamiento.

Mcr = Momento de agrietamiento.

Momento de Agrietamiento:Para los momentos no mayores que el Mcr la sección de viga no está agrietada. Se considera que el comportamiento corresponde al estado elástico. Se tiene:

donde,fr = Módulo de rotura del concreto.Ig = Momento de inercia de la sección no agrietada.

Yt = Distancia del centroide de la sección a la fibra extrema en tracción.

t

gcr Y

IM rfIMy

2/'2 cmKgf c

Determinación de Ig.

a) Sección transformada

h

b

Yo = h/2

A’s

As

xC.G.

b

Yt = h/2

)NormalConcreto(cm/kg'f15000E

cm/kg10*2E

EEn

2cc

26s

c

s

b) Sección “Bruta”

h

b

A’s

As

d

d’(n – 1)

A’s

xC.G.

(n – 1) As

yo

yt

2os

2os

2

o3

g

ss

sso

)'dy('A)1n()yd(A)1n(2hybh12

bhI

'A)1n(A)1n(bh'd'A)1n(dA)1n()2/h(bhy

123bhIg

Curvatura Agrietamiento:

Punto B: Condición de inicio de Fluencia (y ’ My )

Determinación de la profundidad del eje neutro:

Resolviendo calculamos kd.Determinación de la curvatura de fluencia, y :

yt

t

cr

'd'A)1n(dAn2kdkdbkd'A)1n(nA)kd(b ssss

kddE/f

kddε syy

y

tc

r

t

tcr yE

fyε

Momento de Fluencia:

d

b

(n – 1) A’s

n As

d’

φy

s = y

(d – kd)

T = As fy

Cc

C’s

c fc

´s kd

)d'(dC'3kddCM

kddkdεε,kd

d'kdεε'

fεEf´donde,

f´A´C´

kdbf21Cfigura,laDe

scy

yccs

ysss

sss

cc

Punto C: Condición de inicio del Aplastamiento (nu’ Mnu )

Concreto “no calificado”, cu = 0.004

Concreto “confinado”, cu > 0.004

Código de Nueva Zelanda, cu 0.01

a = 1* c Cc = 0.85 f’c ab c’s = A’s f’s

Mu = Cc (d – a/2) + C’s (d – d’)

d

b

d’

nu

s > y

(d – kd)

T = As fy

Cc

C’s

cu 0.85f´c

’s c a

d – a/2d – d’

Mnu sigue el análisis normal para la obtención de momento resistente de una sección.

Capacidad de ductilidad por Curvatura,

cεcu

nu

y

nucμ

APLICACIONES:APLICACIÓN Nº 01:

Para la sección de la viga que se muestra en la figura, determine el diagrama momento-curvatura, f’c = 280 kg/cm2, fy = 4200 kg/cm2 considere el efecto del refuerzo con el criterio del área transformada, y para el inicio del aplastamiento cu = 0.004, As = 4 1’’; estribos del N° 3

M

AB C

cr

y nu

65

25

Solución:Punto A: Inicio del agrietamiento (cr , Mcr)

xC.G.

(n – 1) As

yo

yt

d

yt

t

cr

7.97280*1500010*2

EEn

.cm24.56)54.2*5.195.04(65d

cm/kg47.33'f2f

yIfM

6

c

s

2cr

t

grcr

mt06.710*6.30

6.645423*47.33M

cm6.645423I

)yd(A)1n(2hybh12

bhI

cm60.3040.3465y

cm40.3425.141*65*2524.56*25.1415.32*65*25y

cm25.141A*)1n(

cm28.2007.5*4A

5cr

4g

2os

2

o3

g

t

o

2s

2s

Punto B: Inicio de la fluencia del acero en tracción, (y , My)

d

b

n As

φy

s = y

(d – kd)

T = As fy

Cc

c fc

kd

cm/rad10*36.4

6.3028015000/2802

yE/f

y

6cr

t

cr

t

tcr

c2

ccc

6y

y

syyy

2

2

2

'fcm/kg320*Ef

cm/rad10*03.60

26.2124.260021.0

kddE/f

kdd

cm26.2173.2747.6kd

021.727)kd(93.12)kd(

007.9090kd*63.161)kd(5.12

kd)63.161kd25(24.56*63.1612)kd(25

Entonces la hipótesis no es confiable, por lo que el momento lo determinaremos mediante el bloque equivalente rectangular de esfuerzos.

Punto C: Inicio del aplastamiento

f’c

cc

T = As fy

c

a

mtM

adfAM

cmkda

y

ysy

20.40

21827.05624.02.4*28.202

07.1826.21*85.0*1

cmaac

cmbf

fAa

c

ys

85.1685.0

32.1425*28.0*85.02.4*28.20

*'*85.0

1

nu

c = 0.004

c

mt80.412adfAM

cm/rad10*53.23784.16004.0

c

ysnu

6cunu

Capacidad de ductibilidad:

M (t – m)

AB

C

4.36 60.03 237.53X 10-6 (rad/cm)

7.0640.2041.80

96.303.6053.237

y

nuc

APLICACIÓN Nº 02:Para la sección de viga que se muestra en la figura, considerando sección confinada, cu = 0.006 determine la capacidad de ductibilidad mc.

A’s = As=2 Nº 8f’c = 280 kg/cm2fy = 2800 kg/cm2

Estribos 3/8

Solución:A’s = As = 2 * 5.07 = 10.14 cm2

d = 40 – (4 + 0.95 + 1.27) = 33.78 cmd’= 6.22 cm

40

25

A’s

As

i) Curvatura Última nu:

028.643a*29.93a*95.5

a*39.2928.643a*68.121ba'f*85.0

T´CC

'A*'f'Ca44.63a*12'f

a)22.6*85.0a(12c

'dc*12'f

c'dc

006.0'

006.0

2

2c

sc

ssss

c

s

cu

ii) Curvatura de Primera Fluencia y:

d

25

n A s = 80.80 cm2

y (d – kd)

d’ (n-1)A’s = 70.68 cm2

cmradc

cmac

conformefcmtf

cmaaa

cunu

ys

/10*85.9

09.685.018.5

2/25.0'

18.5011.108*68.15

4

1

2

0.0014Efεs

yy

iii) Capacidad de Ductibilidad por curvatura:

cm/rad10*614.098.1078.330014.0

cm98.10kd052.253kd*12.12)kd(

05.3169)kd(5.12kd*48.151)kd(*25

22.6*68.7078.3*8.802)kd(225kd*70.68)0.8kd*(25

7.97280*1500010*2

EEn

4y

2

22

6

c

s

04.16: y

nucLuego