disertacion de estado solido (2)

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Estructura electrónica de sistemas extendidos. Parte 1

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  • Estructura electronica de sistemas extendidos

    Parte 1

  • Bases de funciones

  • Autofunciones y Operadores

  • Autofunciones y Operadores

  • Series de Fourier

    Base de ondas planas

    Expansion de f (r) como combinacion lineal en una base de ondas planas

    f (r) con periodo L

    Base ortogonal

    L n = m

    0 n m0

    L

    -

  • Series de Fourier

    1D

  • Series de Fourier en 3D

    a1

    a2a3

    3D

    Que es Gn?

  • La red reciproca

    vectores de la red reciproca

    vectores de la red real

    a1

    a3a2 b2 b3

    b1red real red reciproca

    Primera zona de Brillouin

    definida por b1 , b2 , b3

  • Autofunciones del Hamiltoniano electronicoEcuacion de Schrdinger

    1) Particula libre. V = 0

    Distribucion de probabilidad y

    Energia

    Cualquier valor de k es aceptable

  • Autofunciones del Hamiltoniano electronico

  • Autofunciones del Hamiltoniano electronico

  • Autofunciones en un potencial periodico

    + + +

    L

    V(x) puede representarse como serie de Fourier

    ?

  • Las soluciones de la ecuacin de Schrdinger en un potencial periodico tienen la siguiente forma:

    Teorema de Bloch

    Autofunciones en un potencial periodico

    O equivalentemente:

    con k un vector de la red reciproca

  • Autofunciones en un potencial periodico

    Operador traslacion TR

    En un potencial periodico, TR conmuta con H = 2 + V(r)

    Por lo tanto ambos operadores tienen una base comun de autofunciones

  • Notar:

    Luego, la forma mas general para los autovalores es

    Autofunciones en un potencial periodico

    La C.L. de autofunciones con igual autovalor eikR es tambien autofuncion, y por tanto la solucion mas general resulta:

    uk funcion periodica en L

    En 3D:

  • La red reciproca

    vectores de la red reciproca

    vectores de la red de Bravais

    Por ejemplo

    Red de Bravais Red reciproca

    FCC BCC

    Primera zona de Brillouin definida por

    b1 , b2 , b3

  • La red reciproca y los puntos k

    Bloch

    En un solido infinito existe pues un continuo de autofunciones

    asociadas a cada vector k del espacio reciproco

    Para obtener la estructura electronica de un sistema periodico, debe hallarse uik para todo k dentro de la primera zona de Brillouin

  • 4) Arreglo periodico de quantum wells (pozos de potencial)V(x)

    L b

    IV = 0

    IIV 0

    Autofunciones en un potencial periodico

    -w

  • Para el electron libre todas las energias son accesibles

    El confinamiento introduce cuantizacion

    Un arreglo periodico produce zonas de energia

    accesibles (bandas) y zonas prohibidas (gaps)

    Confinamiento y periodicidad

  • Orbitales moleculares en el limite de un arreglo infinito de atomos

    H2 H8

    *

    H24 H84 H168

    HOMO

    LUMO

  • H8

    Orbitales moleculares en el limite de un arreglo infinito de atomos

    Los orbitales de energia

    creciente pueden

    representarse como

    combinacion de funciones 1s

    modulada por un coseno

  • Orbitales moleculares, funciones de Bloch, y bandas en 1D

  • orbitales s en 1D

    Orbitales moleculares, funciones de Bloch, y bandas en 1D

    energia y numero de nodos aumenta con k

    Re ( (k, x) ) = n cos(nka) . s(x na)

  • *

    *

    E

    k k

    E

    k

    E

    La magnitud de la interaccion determina la dispersion (el ancho de la banda)

    Orbitales moleculares, funciones de Bloch, y bandas en 1D

  • Recapitulacion

    Los electrones libres tienen accesible todo el espectro de energias. El confinamiento impone la cuantizacion. La periodicidad establece una situacion intermedia, con bandas permitidas y regiones prohibidas.

    Los estados electronicos del cristal estan descriptos por una onda plana multiplicada por una funcion con la periodicidad del cristal. Dichos estados estan caracterizados por un indice k y conforman una banda continua.

    Los orbitales atomicos pueden combinarse para satisfacer el teorema de Bloch (sumas de Bloch). Las interacciones mas intensas dan lugar a bandas con mayor dispersion.

    En cada banda, la dependencia de la energia con el indice k depende de la topologia de los orbitales atomicos que le dan origen: aumenta para los estados derivados de funciones s y disminuye para los estados derivados de funciones p.

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