estado solido, ashcroft, traduzido

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    Contents

    1 Teoria de Drude para os Metais 31.1 Hipteses Bsicas do Modelo de Drude . . . . . . . . . . . . 41.2 Condutividade Eltrica DC de um Metal . . . . . . . . . . . 71.3 Efeito Hall e Magnetorresistncia . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Condutividade Eltrica AC de um Metal . . . . . . . . . . . 151.5 Condutividade Trmica de um Metal . . . . . . . . . . . . . 201.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2 Teoria de Sommerfeld de Metais 292.1 Propriedades do Estado Fundamental do Gs de Eltrons . 312.2 Propriedades Trmicas do Gs de Eltron Livre: A Dis-

    tribuio de Fermi-Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3 Propriedades Trmicas do Gs de Eltron Livre: Aplicaes

    da Distribuio de Fermi-Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4 Teoria de Sommerfeld da Conduo em Metais . . . . . . . 482.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    3 Redes Cristalinas 573.1 Rede de Bravais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.2 Redes Infinitas e Cristais Finitos . . . . . . . . . . . . . . . 593.3 Mais Ilustraes e Exemplos Importantes . . . . . . . . . . 603.4 Convenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.5 Nmero de Coordenao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.6 Clula Unitria Primitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

  • ii Contents

    3.6.1 Clula Unitria; Clula Unitria Convencional . . . 633.6.2 Clulas Primitivas de Wigner-Seitz . . . . . . . . . . 63

    3.7 Estrutura Cristalina; Rede com uma Base . . . . . . . . . . 643.8 Alguns Exemplos Importantes de Estruturas Cristalinas e

    Redes com Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.8.1 Estrutura do Diamante . . . . . . . . . . . . . . . . 653.8.2 Estrutura Hexagonal com Agrupamento Compacto . 653.8.3 Outras Possibilidades de Empacotamento Compacto 663.8.4 Estrutura do Cloreto de Sdio . . . . . . . . . . . . 673.8.5 Estrutura do Cloreto de Csio . . . . . . . . . . . . . 673.8.6 Estrutura do Sulfeto de Zinco (Zincblende) . . . . . 67

    3.9 Outros Aspectos das Redes Cristalinas . . . . . . . . . . . . 673.10 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    4 Rede Recproca 714.1 Definio de Rede Recproca . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.2 Rede Recproca uma Rede de Bravais . . . . . . . . . . . 724.3 Recproca da Rede Recproca . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.4 Exemplos Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.5 Volume da Clula Primitiva da Rede Recproca . . . . . . . 744.6 Primeira Zona de Brillouin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.7 Planos de Rede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.8 ndices de Miller dos Planos de Rede . . . . . . . . . . . . . 764.9 Algumas Convenes para Direes Especficas . . . . . . . 784.10 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    5 Determinao de Estruturas Cristalinas por Difrao deRaio-X 815.1 Formulao de Bragg da Difrao de Raio-X por um Cristal 825.2 Formulao de von Laue da Difrao de Raio-X por um Cristal 835.3 Equivalncia das Formulaes de Bragg e von Laue . . . . . 845.4 Geometrias Experimentais Sugeridas pela Condio de Laue 865.5 Construo de Ewald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.6 Difrao por uma Rede Monoatmica com Base; Fator de

    Estrutura Geomtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.6.1 Rede Cbica de Corpo Centrado Considerada como

    Cbica Simples com Base . . . . . . . . . . . . . . . 895.6.2 Rede Monoatmica do Diamente . . . . . . . . . . . 90

    5.7 Difrao por um Cristal Poliatmico; Fator de Forma Atmico 915.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    6 Classificao das Redes de Bravais e Estruturas Cristalinas 956.1 Classificao das Redes de Bravais . . . . . . . . . . . . . . 966.2 Os Sete Sistemas Cristalinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.3 As Quatorze Redes de Bravais . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

  • Contents iii

    6.4 Enumerao dos Sete Sistemas Cristalinos e Quatorze RedesDe Bravais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    6.5 Grupos Puntuais e Grupos Espaciais Cristalogrficos . . . . 1016.6 Nomenclatura dos Grupos Puntuais . . . . . . . . . . . . . 103

    6.6.1 Notao de Schenflies para Grupos Puntuais Crista-logrficos No-Cbicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    6.6.2 Notao Internacional para Grupos Puntuais Crista-logrficos No-Cbicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    6.6.3 Nomenclatura para os Grupos Puntuais Cristalogr-ficos Cbicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    6.7 Os 230 Grupos Espaciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.8 Exemplos entre os Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.9 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    7 Nveis Eletrnicos num Potencial Peridico: PropriedadesGerais 1117.1 O Potencial Peridico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.2 Teorema de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

    7.2.1 Primeira Demonstrao do Teorema de Bloch . . . . 1147.2.2 Condies de Contorno de Born-von Karman . . . . 1157.2.3 Segunda Demonstrao do Teorema de Bloch . . . . 117

    7.3 Observaes Gerais sobre o Teorema de Bloch . . . . . . . . 1207.4 Superfcie de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.5 Densidade de Nveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

    8 Eltrons num Potencial Peridico Fraco 1338.1 Aproximao Geral da Equao de Schrdinger quando o

    Potencial Fraco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348.1.1 Nveis de Energia Prximos de um nico Plano de

    Bragg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1388.1.2 Bandas de Energia em uma Dimenso . . . . . . . . 141

    8.2 Curvas Energia-Vetor de Onda em Trs Dimenses . . . . . 1428.3 O Gap de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.4 Zonas de Brillouin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1438.5 Fator de Estrutura Geomtrico em Redes Monoatmicas com

    Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1458.6 Importncia do Acoplamento Spin-rbita em Pontos de Alta

    Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1468.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

    9 Mtodo das Ligaes Fortes 1519.1 Formulao Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

    9.1.1 Aplicao a uma banda-s originria de um nico nvelatmico-s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

  • Contents 1

    9.2 Observaes Gerais sobre o Mtodo de Ligaes fortes . . . 1589.3 Funes de Wannier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1629.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

  • 2 Contents

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    1Teoria de Drude para os Metais

    Os metais ocupam uma posio muito especial no estudo dos slidos, ex-ibindo uma variedade de propriedades que outros slidos (tais como, oquartzo, enxofre ou sal comum) no possuem.So excelentes condutores de calor e eletricidade, so dcteis e maleveis,

    apresentam brilho, etc. O desafio de encontrar explicaes para essas car-actsticas foi o ponto de partida para o desenvolvimento da teoria modernados slidos.Embora a maioria dos slidos comumente encontrados sejam no-metlicos,

    os metais continuam exercendo um papel importante na teoria dos slidosdesde o sculo XIX at os dias atuais. De fato, o estado metlico provou serum dos estados mais fundamentais da matria. Os elementos, por exem-plo, definitivamente favorecem o estado metlico: mais de dois teros sometais. Mesmo para entender os no-metais, devemos tambm entender osmetais, pois ao explicar porque o cobre um bom condutor, comea-se aaprender porque o sal comum no o .Durante os ltimos cem anos, os fsicos tentam construir modelos sim-

    ples do estado metlico que expliquem, qualitativa e quantitativamenteas propriedades metlicas caractersticas. Nesta busca, tem-se conseguidorepetidamente muitos sucessos acompanhados de fracassos aparentementeirremediveis. Mesmo os modelos mais antigos, embora errados em algunsaspectos, so de grande valia para os fsicos atuais de estado slido, quandousados adequadamente.

  • 4 1. Teoria de Drude para os Metais

    Neste captulo, examinaremos a teoria da conduo metlica introduzidapor P. Drude1 na virada do sculo. Os sucessos do modelo de Drude foramconsiderveis, e ainda hoje usado como um modo prtico e rpido deformar idias e estimativas aproximadas de propriedades, cuja compreen-so mais precisa requer anlise de considervel complexidade. As falhasdo modelo de Drude para explicar alguns resultados experimentais e o au-mento do quebra-cabea conceitual definiram os problemas que a teoriados metais teria de atacar naqueles prximos vinte e cinco anos. Essesproblemas foram resolvidos somente com a rica e sutil estrutura da teoriaquntica dos slidos.

    1.1 Hipteses Bsicas do Modelo de Drude

    A descoberta do eltron por J. J. Thomson em 1897 teve um impactoimediato nas teorias sbre a estrutura da matria, e sugeriu um mecanismobvio para a conduo em metais. Trs anos aps a descoberta de Thomson,Drude construiu sua teoria de condu o eltrica e trmica, aplicando ateoria cintica dos gases ao metal, considerado como um gs de eltrons.Na sua forma mais simples, a teoria cintica trata as molculas de um gs

    como esferas slidas idnticas, que se movem em linha reta at colidiremcom uma outra.2 Admite-se que o tempo de durao de uma nica colisoseja desprezvel, e, se considera que nenhuma outra fora atue entre aspartculas, com exceo das foras que agem momentaneamente durantecada coliso.Embora esteja presente somente um tipo partcula, num metal deve h