diferensial total - aswhat.files.wordpress.com · 1 | kalkulus lanjut email: [email protected]...

1 | Kalkulus Lanjut Email: [email protected]

Blog: aswhat.wordpress.com

DIFERENSIAL TOTAL

1. Pendahuluan

Ingat kembali konsep diferensial pada fungsi satu variabel y = f(x). suatu diferensial dx

terhadap variabel bebas didefinisikan sebagai:

dy = f’(x) dx

selanjutnya, misalkan suatu fungsi dua fariabel z = f(x, y). suatu diferensial dz , biasa

juga disebut dengan diferensial total, didefinisikan sebagai:

, ,x y

z zdz f x y dx f x y dy dx dy

x y

Misalkan dx = Δx dan dy = Δy yang masing-masing menyatakan perubahan kecil dari x

dan y. Aproksimasi yang baik bagi Δz adalah dz. Perhatikan contoh berikut:

Contoh 4.1.

Misalkan z = f(x, y) = x2 + 3xy – y2,

a. Tentukan fungsi dz.

b. Jika x berubah dari 2 ke 2,05 dan y berubah dari 3 ke 2,96, tentukanlah dz nya.

Bandingkan dengan besar Δz yang sesungguhnya.

Penyelesaian:

a. 2 3 3 2z z

dz dx dy x y dx x y dyx y

b. Diketahui x = 2, dx = Δx = 0,05, y = 3, dy = Δy = -0,04.

2 2 3 3 0,05 3 2 2 3 0,04 0,65dz

, , 2,05, 2,96 2,3 0,6449z f x x y y f x y f f

Perhatikan bahwa dz ≈ Δz. █



2. Aturan Rantai (Chain Rule)

Misalkan y = f(x) dan x = g(t), dengan f dan g keduanya adalah fungsi yang

terdiferensial. Maka y terdiferensial di t seperti yang terlihat pada aturan rantai berikut:

dy dy dx

dt dx dt

Untuk fungsi lebih dari satu variabel, aturan rantai terbagi kedalam dua versi sebagai

berikut:

Aturan rantai versi 1.

Misalkan bahwa z = f(x, y) suatau fungsi yang terdiferensial, dimana x = g(t) dan y = h(t)

keduanya fungsi yang terdiferensial di t. Fungsi z adalah fungsi yang terdiferensial di t

dan

dz f dx f dy

dt x dt y dt

Karena z = f(x, y), maka aturan rantai versi 1 dapat ditulis kembali menjadi

dz z dx z dy

dt x dt y dt

Contoh 4.2.

Misalkan z = x2y + 3xy4, dimana x = sin 2t dan y = cos t.

Tentukan dz/dt dengan t = 0.

Penyelesaian:

4 2 32 3 2cos2 12 sindz z dx z dy

xy y t x xy tdt x dt y dt

Untuk t = 0, maka x = sin 0 = 0 dan y = cos 0 = 1. Sehingga:

0 3 2 0 6dz

dt █

Selanjutnya, misalkan z = f(x, y) dengan x dan y masing-masing adalah suatu fungsi

dengan dua variabel yakni s dan t, dalam hal ini x = g(s, t) dan y = h(s, t). Aturan rantai

untuk kasus ini kemudian disebut dengan aturan rantai versi 2 sebagai berikut:



Aturan rantai versi 2

Misalkan bahwa z = f(x, y) suatau fungsi yang terdiferensial, dimana x = g(s, t) dan y =

h(s, t) keduanya fungsi yang terdiferensial di s dan t.

z z x z y z z x z y

s x s y s t x t y t

Contoh 4.3.

Misalkan z = 3x2 – y2 dengan x = 2s + 7t dan y = 5st. Tentukan zt

.

Penyelesaian:

2 26 7 2 5 42 2 7 50 84 294 50z z x z y

x y s s t s t s t s tt x t y t

█

Aturan rantai versi umum

Misalkan u suatu fungsi yang terdiferensial dengan n variabel x1, x2, ..., xn, dan setiap xn

merupakan suatu fungsi yang terdiferensial pada m variabel t1, t2, ..., tm. Maka u adalah

suatu fungsi dari t1, t2, ..., tm dan

1 2

1 2

... n

i i i n i

x x xu u u u

t x t x t x t

dengan i = 1, 2, ..., m.

Contoh 4.4.

Tuliskan aturan rantai untuk kasus dimana w = f(x, y, z, t) dengan x = x(u, v), y = y(u, v),

z = z(u, v), dan t = t(u, v).

Penyelesaian:

Persoalan tersebut dapat digambarkan sebagai berikut:

Dengan menerapkan aturan rantai versi umum dimana n = 4 dan m = 2, maka diperoleh:

w w x w y w z w t

u x u y u z u t u

dan

w w x w y w z w t

v x v y v z v t v

. █



3. Fungsi Implisit

Misalkan F(x, y) = 0 mendefinisikan y secara implisit sebagai suatu fungsi x, katakan y =

g(x), tetapi fungsi g sukar untuk ditentukan. Suatu dy/dx dari kasus ini masih dapat

ditentukan dengan menerapakan aturan rantai sebagai berikut:

0F dx F dy

x dx y dx

Dari sini mudah untuk ditunjukkan bahwa

Fdy x

Fdxy

Contoh 4.5.

Tentukan dy/dx jika x3 + x2y – 10y4 = 0.

Penyelesaian:

Dengan aturan rantai diperoleh:

2

2 3

3 2

40

Fdy x xyx

Fdx x yy

Dengan cara biasa, kedua ruas diturunkan terhadap x sehingga diperoleh

2 2 33 2 40 0dy dy

x x xy ydx dx

⇔ 2

2 3

3 2

40

dy x xy

dx x y

█

Selanjutnya, misalkan z suatu fungsi implisit dari f(x, y, z) = 0, maka diferensiasi kedua

ruas terhadap x dengan mempertahankan y tetap adalah sebagai berikut:

0F x F y F z

x x y x z x

Karena y tetap maka 0y

x

, sehingga

0F F z

x z x

Dengan menyelesaikan persamaan tersebut diperoleh



Fz x

Fxz

Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa

F

z yFyz

Contoh 4.6.

Tentukan z

x

dan

z

y

dari x3 + y3 + z3 + 6xyz = 1.

Penyelesaian:

Misalkan F(x, y, z) = dari x3 + y3 + z3 + 6xyz – 1. Maka:

2 2

2 2

3 6 2

3 6 2

Fz x yz x yzx

Fx z xy z xyz

dan 2 2

2 2

3 6 2

3 6 2

F

z y xz y xzyFy z xy z xyz

█

diferensial total - aswhat.files.wordpress.com · 1 | kalkulus lanjut email: [email protected]...

Documents