BAB 2 DIFERENSIAL

A. Definisi/pengertian diferensial

Kuosien Diferensi (difference quotient) dari y = f(x) mencerminkan tingkat perubahan rata-rata variabel terikat y terhadap variabel bebas x.

Jika y = f(x) dan ∆x (dibaca ”delta x”) adalah penambahan nilai variabel x, maka : - Bentuk persamaan dapat dituliskan menjadi → y = f(x) - Jika x bertambah sebesar ∆x, maka nilai y bertambah sebesar ∆y → y + ∆y = f(x + ∆x) - Pertambahan nilai y (∆y) dapat ditentukan dengan → ∆y = f(x + ∆x) – y - Karena y = f(x) maka menjadi → ∆y = f(x + ∆x) – f(x)

- Jika ruas kiri dan kanan dibagi dengan ∆x → x

)x(f)xx(fxy

∆−∆+

=∆∆

Bentuk x

)x(f)xx(fxy

∆∆

∆∆ −+

= inilah yang disebut dengan hasil bagi perbedaan (kuosien diferensi)

Diferensiasi merupakan proses pendiferensian yaitu penentuan Limit dari kuosien diferensi dimana ∆x → 0. Hasil yang diperoleh dari proses pendiferensian dinamakan Turunan atau Derivatif. Derivatif dari y = f(x) terhadap variabel x dilambangkan dengan y’ = f’(x) Sehingga dapat kita tuliskan :

y' = f’(x) =dxdy =

x)x(f)xx(f

Limxy

Lim0x0x ∆

∆∆∆

∆∆

−+=

→→

Contoh : 1. Tentukan derivatif dari y = f(x) = 3x + 5

Jawab :

y' = f’(x) = x

)x(f)xx(fLim

0x ∆∆

∆

−+→

=x

)5x3()5)xx(3(Lim

0x ∆∆

∆

+−++→

= x

5x35x3x3Lim

0x ∆∆

∆

−−++→

= xx3

Lim0x ∆

∆∆ →

= 33Lim0x

=→∆

2. Tentukan Derivatif dari y = f(x) = 4x2 + 5x – 1

Jawab :

y' = f’(x) = x

)x(f)xx(fLim

0x ∆∆

∆

−+→

= x

)1x5x4()1)xx(5)xx(4(Lim

22

0x ∆∆∆

∆

−+−−+++→

= x

)1x5x4()1x5x5)xxx2x(4(Lim

222

0x ∆∆∆∆

∆

−+−−++++→

= x

1x5x41x5x5x4xx8x4Lim

222

0x ∆∆∆∆

∆

+−−−++++→

= x

x5x4xx8Lim

2

0x ∆∆∆∆

∆

++→

=

)5x4x8( Lim0x

++→

∆∆

= 8x + 5

7

Latihan : Tentukan turunan fungsi berikut :

a. f(x) = x3 c. f(x) = 3x 2 + 3x e. xy = b. f(x) = 3x –2 d. f(x) = 4x –3 f. f(x) = x3 + 2x – 5

B. Kaidah-kaidah diferensiasi Diferensial memenuhi beberapa kaidah : 1. Derivatif fungsi konstanta

Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka y’ = 0 Contoh : y = 5 maka

y’ = 0

2. Derivatif fungsi linier Jika y = ax + b dimana b adalah konstanta, maka y’ = a Contoh : y = 6x + 8, maka

y’ = 6

3. Derivatif fungsi pangkat Jika y = axn, dimana a adalah koefisien dari xn, maka y = n.axn-1. Contoh : y = 5x3 maka

y’ = 3.5x3-1 y’ = 15x2

4. Derivatif penjumlahan fungsi Jika y = u ± v, dimana u = g(x) dan v = h(x), maka y’ = u’ ± v’ Contoh : y = 3x2 + 8x, maka

y’ = 6x + 8

5. Derivatif perkalian fungsi a. Perkalian fungsi dan konstanta

Jika y = k.u, dimana k adalah konstanta dan u = g(x), maka y’ = k.u’ Contoh : y = 3(5x2 – 4x + 1), maka y’ = 3(10x – 4) y’ = 30x – 12

b. Perkalian fungsi Jika y = u.v, dimana u = g(x) dan v = h(x), maka y’ = u’v + uv’ Contoh : y = (2x5 – 7)(3x2 + 4), maka u = (2x5 – 7) maka u’ = 10x4 v = (3x2 + 4) maka v’ = 6x y’ = u’v + uv’ y’ = (10x4)( 3x2 + 4) + (2x5 – 7)(6x) y’ = 30x6 + 40x4 + 12x6 – 42x y’ = 42x6 + 40x4 – 42x

6. Derivatif hasil bagi fungsi

Jika y = vu , dimana u = g(x) dan v = h(x) , maka y’ =

2v'uvv'u −

Contoh : y = 2

6

x4)x3x( + , maka

u = (x6 + 3x) maka u’ = 6x5 + 3 v = 4x2 maka v’ = 8x

y’ = 22

625

)x4()x8)(x3x()x4)(3x6( +−+

y’ = 4

2727

x16x24x8x12x24 −−+

8

y’ = 4

27

x16x12x16 −

y’ = 2

5

x43x4 −

7. Derivatif fungsi komposisi (dalil rantai)

Jika y = f(u) sedangkan u = g(x), atau y = f(g(x)), maka dxdu

dudy

dxdy

⋅=

Contoh : y = (4x2 + 5)2, maka

u = 4x2 + 5 maka dxdu = 8x

y = u2 maka dudy = 2u

y’ = dxdu

dudy

dxdy

⋅= = 2u . 8x

= 2(4x2 + 5) . 8x = 64x3 + 80x

8. Derivatif fungsi berpangkat jika y = un dimana u = g(x), maka y’ = n.u’.un-1 Contoh : Jika y = (4x2 + 5)2 maka Misalkan u = 4x2 + 5 sehingga u’ = 8x y' = n.u’.un-1 y’ = 2.(8x). (4x2 + 5)1 y’ = 16x (4x2 + 5)1 y’ = 64x3 + 80x

9. Derivatif tingkat tinggi Derivatif ke n dari fungsi f(x) diperoleh dari mendiferensialkan sebanyak n kali

Derivatif ke-n dari fungsi y = f(x) dilambangkan dengan y(n) = f(n)(x) = n

n

dx

yd

Contoh : y = 6x5 + 3x4 – 2x3 + 6x2 – 5x + 8

y' = f’(x) =dxdy = 30x4 + 12x3 – 6x2 + 12x – 5

y”= f”(x) = 2

2

dx

yd = 120x3 + 36x2 – 12x + 12

y”’= f”’(x) = 3

3

dx

yd = 360x2 + 72x – 12

10. Derivatif Fungsi Logaritmik

Jika y = alog x, maka y’ = alnx

1

Contoh : y = 5log x, maka y’ = 5lnx

1

11. Derivatif fungsi logaritmik - Napier

Jika y = ln x maka y’ = 1/x

Jika y = ln u, dimana u = g(x) maka y’ = dxdu

dudy

dxdy

⋅= = dxdu

u1

⋅ = u'u

Contoh : y = ln(3 – 4x2) Misal u = 3 – 4x2 maka u’ = dxdu = – 8x

y' = u'u =

2x43

x8

−

−

9

12. Derivatif fungsi eksponensial Jika y = ax maka y’ = ax ln a Jika y = au dimana u = g(x) maka y’ = u’.au.ln a Jika y = ex maka y’ = ex (karena ln e = 1) Jika y = eu dimana u = g(x) maka y’ = u’.eu (karena ln e = 1) Contoh : b. y = 56x maka y’ = 6.56x.ln 5

a. y = 2e3x maka y’ = 3.2e3x = 6e3x

13. Derivatif fungsi Implisit Jika f(x,y) = 0 merupakan fungsi implisit sejati (tidak dapat dieksplisitkan), maka y’ dapat diperoleh dengan mendiferensiasikan suku demi suku dengan menganggap y sebagai fungsi dari x. Contoh :

a. Diketahui 4xy2 – x2 + 2y = 0, tentukan dxdy !

Jawab : Dalam contoh ini 4xy2 dianggap sebagai perkalian dua buah fungsi yaitu u = 4x dan v = y2 sehingga

u' = 4 dan v’ = 2ydxdy

derivatif dari u.v adalah u’v + uv’ = 4y2 + 4x(2ydxdy ) = 4y2 + 8xy

dxdy

derivatif dari – x2 adalah –2x

derivatif dari 2y adalah 2dxdy

Diperoleh :

4y2 + 8xydxdy – 2x + 2

dxdy = 0

4y2 – 2x + (8xy + 2) dxdy = 0

(8xy + 2) dxdy = 2x – 4y2

dxdy =

2xy8y4x2 2

+− =

1xy4y2x 2

+−

b. Diketahui x2y – ex – ey = 5, tentukan dxdy

Derivatifnya adalah :

2xy + x2

dxdy – ex – ey

dxdy = 0

2xy – ex + (x2 – ey) dxdy = 0

(x2 – ey) dxdy = ex – 2xy

dxdy =

y2

x

ex

xy2e

−

−

14. Derivatif fungsi trigonometrik Jika y = sin x ⇒ y’ =cos x Jika y = cos x ⇒ y’ = –sin x Catatan :

Jika y = tg x ⇒ y’ = sec2 x Sec x = xcos

1 dan Cosec x = xsin

1

Jika y = ctg x ⇒ y’ = – cosec2 x Jika y = sec x ⇒ y’ = sec x. tg x Jika y = cosec x ⇒ y’ = –cosec x. ctg x

10

Latihan : 1. Tentukan turunan fungsi berikut ini dengan kaidah turunan hasil kali fungsi

a. f(x) = (2x+4)(3x – 2) b. f(x) = (x2 – 2)(4x) c. f(x) = (4x – 2)(2x2 + 4) d. f(x) = 3x(x + 2) e. f(x) = (2 – 3x)(√x)

2. Tentukan turunan fungsi berikut ini dengan kaidah turunan pembagian fungsi

a. 1x

x2)x(f−

= d. 4x3

1)x(f

2 −=

b. 1x1x)x(f

+−

= e.2x3x2)x(f

++

=

c. 1x

5x2)x(f

2 −

+= f.

9x

1x)x(f

2

2

+

−=

3. Tentukan dxdy fungsi berikut :

a. y = 2x3 – 4x2 + 7x5 b. y = 9 – 3x –1 + 6x –2 c. y = (3x – 2)3 d. y = 3(2x + 4)5 e. y = 8(x2 + x)1/2

f. y = 4x3

12 −

g. y = (4x – 1)7 h. y = (4x3 – x2)3

i. y = 2𝑒𝑒𝑥𝑥2

j. xy – x2 + y2 = 0

C. Hakikat derivatif dan diferensial Pada pembahasan sebelumnya, telah dijelaskan :

Kuosien Diferensi xy

∆∆ adalah lereng/kemiringan/gradien dari kurva y = f(x) sedangkan

Derivatif dxdy adalah nilai Lim

xy

∆∆ untuk ∆x → 0. (

dxdy =

xy

Lim0x ∆

∆→

)

Jika ∆x sangat kecil maka nilai Lim xy

∆∆ sama dengan

xy

∆∆ , dengan kata lain Kuosien diferensi sama dengan

derivatifnya (dxdy =

xy

∆∆ ).

Lebih jelas dapat dipahami dari uraian berikut :

Notasi derivatif dxdy terdiri dari dua suku, yaitu dy dan dx.

Suku dy dinamakan diferensial dari y yang mencerminkan taksiran perubahan pada veriabel terikat y berkenaan dengan perubahan sangat kecil pada variabel bebas x. Sedangkan suku dx dinamakan diferensial dari x yang mencerminkan perubahan sangat kecil dari variabel x.

Dengan demikian, dxdy merupakan lereng taksiran (approximated slope) dari kurva y = f(x) pada kedudukan x

tertentu. Sedangkan lereng yang sesungguhnya (true slope) adalah kuosien diferensi xy

∆∆ .

Lereng taksiran ini dapat lebih besar (over estimated) atau lebih kecil (lower estimated), atau sama dengan lereng sesungguhnya. Hal ini tergantung pada jenis fungsi dan besar kecilnya berubahan pada variabel bebas.

11

Pada fungsi linier : Untuk fungsi non linier : Semakin besar ∆x maka semakin besar perbedaan antara lereng taksiran dan lereng sesungguhnya. Lerang taksiran dy lebih kecil dari (under estimated) Lereng taksiran lebih besar (over estimated) lerang sesungguhnya dari lereng sesungguhnya

D. Derivatif dari derivatif

Turunan pertama terhadap x dari fungsi y = f(x) adalah

y’ = f’(x) = dxdy

= dx

xdf )(= fx

Turunan dari turunan pertama dinamakan turunan kedua dan dilambangkan dengan

y’’ = f’’(x) = 2

2

dxyd = 2

2 )(dx

xfd = fxx

Turunan dari turunan kedua dinamakan turunan ketiga dan dilambangkan dengan

y’’’ = f’’’(x) = 3

3

dxyd = 3

3 )(dx

xfd = fxxx

Contoh : Fungsi y = f(x) Turunan pertama Turunan kedua Turunan ketiga

y = 3x + 5

y = 3x2 + 4x – 7

y = 4x3 + x2 – 3x + 10

y = 3 Sin x

y = 2 Cos 3x

∆y = dy

∆x = dx

y = f(x)

x

y Perubahan x = ∆x Perubahan y = ∆y Diferensial x = dx Diferensial y = dy

Kuosien diferensi = xy

∆∆

dxdy =

xy

∆∆

Derivatif = dxdy

∆y ≠ dy QR = dy QS = ∆y

∆x = dx

y = f(x)

x

y

P

S

R

Q

∆y ≠ dy QR = dy QS = ∆y ∆x = dx

y = f(x)

x

y

P

S R

Q

12

Latihan :

1. Tentukan 3

3

dxyd jika diketahui y = (2x + 5)4

2. Tentukan fxx jika f(x) = 232x

3. Tentukan y’’’ jika diketahui a. y = x2 + 3x + 4 b. y = 2x3 – ½ x2 + 2x + 9 c. y = 3e2x d. y = x2 e3x e. y = 5 Cos x f. y = 4 Sin 2x

g. y = x

x3

12 2 −

E. Hubungan Antara Fungsi dan Derivatifnya

1. Menentukan persamaan Garis singgung dan Garis Normal Langkah – langkah untuk mencari Garis singgung dan Garis normal adalah : 1) Tentukanlah titik singgung ( x1 , y1 ) 2) Cari koefisien arah m = f’(x1) 3) Cari Garis singgung dengan rumus : y – y1 = m (x – x1)

4) Cari Garis Normal dengan rumus : y – y1 = m1− ( x – x1)

Contoh : Diketahui kurva dengan persamaan y = x2 – x – 6. Tentukan :

a. Persamaan garis singgung di x = 2 b. Persamaan garis normal di titik tersebut

Jawab : y = x2 – x – 6 dengan x = 2 y = (2)2 – (2) – 6 y = – 4 Diperoleh titik singgung di (2, –4)

y’ = f’(x) = 2x – 1 m = f’(2) = 2(2) – 1 = 4 – 1 = 3 Diperoleh gradien garis singgung m = 3

a. Persamaan garis singgung y – y1 = 3 (x – x1) y – (–4) = 3(x – 2) y + 4 = 3x – 6 y = 3x – 10 atau 3x –y – 10 = 0

b. Persamaan garis normal y – y1 = m1− (x – 2)

y + 4 = 31− (x – 2)

3y + 12 = –x + 2 x + 3y + 10 = 0

Catatan : Garis Normal adalah garis yang tegak lurus pada garis singgung kurva

13

2. Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun Diketahui titik (a, b) pada grafik fungsi y = f(x) 1) Jika f’ (a) > 0, maka fungsi naik pada titik tersebut 2) Jika f’ (a) > 0, maka fungsi turun pada titik tersebut 3) Jika f’ (a) = 0, maka titik (a,b) merupakan titik stasioner/ titik ekstrim/ titik balik

Jenis-jenis titik stasioner adalah : • Jika f’’(a) > 0, maka (x,y) merupakan titik balik minimum • Jika f’’(a) < 0, maka (x,y) merupakan titik balik maksimum • Jika f’’(a) = 0, maka (x,y) merupakan titik belok

Contoh 1 :

Diketahui fungsi y = x2 + 6x – 24. Tentukan apakah pada titik-titik dengan absis berikut maka fungsinya naik, turun, atau stasioner (Jika stasioner maka tentukan apakah minimum, maksimum, atau titik belok) a. x = 2 b. x = –5 c. x = –3 Jawab : y = x2 + 6x – 24 maka y’ = f’(x) = 2x + 6 a. x = 2

f’(2) = 2(2) + 6 f’(2) = 4 + 6 f’(2) = 10 Karena f’(2) > 0 maka pada x = 2 berupa fungsi naik

b. x = –5 f’(–5) = 2(–5) + 6 f’(–5) = –10 + 6 f’(–5) = –4 Karena f’(–5) < 0 maka pada x = –5 berupa fungsi turun

c. x = –3 f’(–3) = 2(–3) + 6 f’(–3) = –6 + 6 f’(–3) = 0 Karena f’(–3) = 0 maka pada x = –3 merupakan titik stasioner Karena berupa titik stasioner, maka perlu diselidiki apakah maksimum, minimum, atau titik belok. f'(x) = 2x + 6 maka f’’(x) = 2 dan f’’(–3) = 2 Karena f’’(–3) = 2 > 0 maka pada x = –3 merupakan titik stasioner yang minimum.

Contoh 2 :

Pada fungsi y = 2x2 – 16x + 10 tentukan titik stasioner, interval naik dan interval turun Jawab : y = 2x2 – 16x + 10 maka y’ = f’(x) = 4x – 16 Fungsi akan diperoleh stasioner jika y’ = f’(x) = 0 Yaitu f’(x) = 4x – 16 = 0 4x = 16 x = 4 Karena x = 4 maka y = 2(4)2 – 16(4) + 10 y = 32 – 56 + 10 y = – 14 Diperoleh titik stasioner di (4, –14)

Untuk x < 4 misal dipilih x = 1 maka y’ = f’(1) = 4(1) – 16 y’ = f’(1) = –11 f’(a) < 0 merupakan fungsi turun Sehingga fungsi turun pada interval x < 4

14

Untuk x > 4 misal dipilih x = 6 maka y’ = f’(6) = 4(6) – 16 y’ = f’(6) = 8 f’(a) > 0 merupakan fungsi naik Sehingga fungsi naik pada interval x > 4

Latihan : 1. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada fungsi-fungsi berikut :

a. y = 2x2 – 3x – 9 pada x = –1 b. y = –3x2 + 10x + 8 pada x = 3 c. y = x3 + 2x2 – 4x – 10 pada x = 2

2. Tentukan titik stasioner dan jenisnya pada fungsi-fungsi berikut : a. y = x2 + 4x – 6 b. y = –2x2 + 12x + 7 c. y = x3 – 3x + 1 d. y = 2x3 – 3

F. Aplikasi Dalam Bisnis dan Ekonomi 1. Elastisitas

Elastisitas dari suatu fungsi y = f(x) merupakan Limit dari rasio antara perubahan relatif dalam y terhadap perubahan relatif dalam x, untuk perubahan x yang sangat kecil (mendekati nol). Elastisitas dilambangkan dengan η (eta)

η = yx

dxdy

)x/x()y/y(Lim

ExEy

x⋅=

∆∆

=→∆ 0

Dengan terminologi lain, elastisitas y terhadap x dapat dikatakan sebagai rasio antara persentase perubahan y terhadap persentase perubahan x. a. Elastisitas Harga

Adalah perbandingan antara perubahan relatif dari jumlah dengan perubahan relatif dari harga. Untuk menentukan elastisitas harga, ada dua macam cara yang digunakan, yaitu : 1) Elastisitas Titik (Point Elasticity)

η = QP

PQ

P/PQ/Q

⋅∆∆

=∆∆

2) Elastisitas Busur (Arc Elasticity) Merupakan elastisitas pada dua titik atau elastisitas pada busur kurva.

η = PQ

QP

∆∆

⋅1

1

η = PQ

QP

∆∆

⋅2

2

η = PQ

QQPP

∆∆

⋅++

21

21

Elastisitas Titik dan Busur dipakai untuk menghitung : 1. Elastisitas Harga Permintaan 2. Elastisitas Harga Penawaran

Dari hasil perhitungan , nilai elastisitas akan menunjukkan : • |η| > 1 => Elastis • |η| < 1 atau 0 < η < 1 => Inelastis (elastis sebagian) • |η| = 1 => Unitary Elastis • |η| = ∞ => Elastis sempurna • |η| = 0 => Inelastis Sempurna

15

b. Elastisitas Permintaan Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f ( P ), maka elastisitas permintaannya

ηd = Qd’ . dQ

P

Contoh 1 : Diketahui Fungsi permintaan Qd =25 – 3P2. Tentukan elastisitas pada P = 5 Penyelesaian : Qd =25 – 3P2 maka Qd’ = –6P

Sehingga ηd = Qd’ . dQ

P

ηd = –6P . 2325 P

P−

ηd = –6(5) . 2)5(325

5−

ηd = –30 . 7525

5−

ηd = 3 Karena ηd > 1 => elastik Contoh 2 : Permintaan akan suatu barang dicerminkan oleh D = 5 – P, (D=jumlah barang yang diminta, P = harga/unit). Hitunglah elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 3 dan pada tingkat permintaan D = 3 Penyelesaian : D = 5 – P maka D’ = –1

Untuk P = 3 → D = 5 – 3 = 2 → ηd = D’ . DP = –1 .

23 =

23

− (elastik)

Untuk D = 3 → P = 2 → ηd = D’ . DP = –1 .

32 =

32

− (inelastik)

c. Elastisitas Penawaran

Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan akibat adanya perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qs = f (P), maka elastisitas permintaannya

ηs = Qs’ . sQ

P

Contoh 1 : Diketahui Fungsi permintaan Qd = 7P2 – 200. Tentukan elastisitas pada P = 10 Penyelesaian : Qs = 7P2 – 200 maka Qs’ = 14P

Sehingga ηs = Qs’ . sQ

P

ηs = 14P . 2007 2 −P

P karena P = 10 maka

ηs = 14(10) . 200)10(7

102 −

ηs = 140 . 200700

10−

ηs = 2,8 Karena ηd > 1 => elastik

ηd = 3 berarti apabila dari kedudukan P = 5 , harga naik sebesar 1% maka barang yang diminta akan berkurang sebanyak 3%.

ηd = 2,8 berarti apabila dari kedudukan P = 5 , harga naik sebesar 1% maka barang yang ditawarkan akan bertambah sebanyak 2,8%.

16

d. Elastisitas Produksi

Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Bisa juga dikatakan sebagai rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran terhadap persentase perubahan jumlah keluaran. Jika fungsi produksi dinyatakan dengan P = f(x) dengan x menyatakan jumlah faktor produksi yang digunakan maka elastisitas produksinya :

ηp = P’ . Px

Contoh : Diketahui Fungsi produksi P = 6x2 – x3. Hitunglah elastisitas pada x = 5 dan x = 3 Penyelesaian : P = 6x2 – x3 maka P’ = 12x – 3x2

ηp = P’ . Px =

322

6).312(

xxxxx−

−

ηp = 2

2

32

32

)6()312(

6312

xxxx

xxxx

−

−=

−

−

ηp = )6()312(

xx

−−

Untuk x = 5 untuk x = 3

ηp = 56

)5(312−

− ηp = 36

)3(312−

−

ηp = –3 ηp = 1 (elastis) (elastis sempurna)

2. Biaya a. Biaya Total (Total Cost, TC)

Adalah seluruh biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi/memasarkan sejumlah barang/jasa, baik yang merupakan biaya tetap (Fixed Cost, FC) atau biaya variabel (Variable Cost, VC) TC = f(Q) atau TC = FC + VC

b. Biaya Rata-rata (Average Cost, AC) Adalah biaya per unit yang dibutuhkan untuk memproduksi suatu barang/jasa pada tingkat produksi total AC = TC/Q

c. Biaya Marjinal Biaya Marginal (Marginal Cost, MC) adalah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan produk. Secara matematik, fungsi biaya marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi biaya total (Total Cost, TC) terhadap jumlah produk (Quantity, Q).

MC = TC’ = dQdTC

Contoh : Diketahui Biaya Total adalah TC = 150 + 15Q2, tentukan biaya marjinal pada jumlah produksi 20 unit ! Penyelesaian : TC = 150 + 15Q2 maka MC = TC’ = 30Q Untuk Q = 20 maka MC = 30(20) = 600 Jadi diperoleh biaya marjinal = 600

3. Penerimaan a. Penerimaan Total (Total Revenue, TR)

Adalah total hasil penerimaan penjualan dari produk yang diproduksi

TR = f(Q) = P . Q

17

b. Penerimaan Rata-rata (Average Revenue, AR) Adalah hasil dari penerimaan per unit yang diperoleh dari penjualan suatu barang/jasa pada kuantiats tertentu. Fungsi Average Revenue sama dengan fungsi permintaan dari harga barang tersebut.

AR = QTR =

QQP × = P

c. Penerimaan Marjinal (Marginal Revenue, MR)

Adalah penerimaan tambahan yang diperoleh akibat bertambahnya penjualan satu unit barang. Secara matematik, fungsi penerimaan marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi penerimaan total (Total Revenue, TR) terhadap jumlah produksi.

MR = TR’ = dQdTR

Contoh : Diketahui fungsi penerimaan total TR = Q2 + 14Q + 1000, tentukan penerimaan marjinal pada Q = 50 unit! Penyelesaian : TR = Q2 + 14Q + 1000 maka MR = TR’ = 2Q + 14 Untuk Q = 50 maka MR = 2(50) + 14 = 114 Jadi diperoleh penerimaan marginal = 114

4. Utilitas Marjinal Utilitas Marjinal (Marginal Utility, MU) adalah utilitas tambahan yang diperoleh akibat satu unit tambahan barang yang dikonsumsi. Secara matematik, merupakan derivatif pertama dari fungsi Utilitas Total (Total Utility, TU).

MU = TU’ = dQdTU

Contoh : Diketahui fungsi Utilitas Total TU = f(Q) = 90Q – 5Q2. Tentukan Utilitas Marginal pada saat Utilitas total mencapai maksimum ! Penyelesaian : Utilitas total mencapai maksimum pada saat TU’ = MU = 0 TU = f(Q) = 90Q – 5Q2 maka TU’ = 90 – 10Q = 0 10Q = 90 Q = 9

Latihan Soal : 1. Fungsi Permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 50 – 2P2 . Tentukan elastisitas

permintaan pada saat harga Rp 6 / unit. Bagaimana sifat elastis permintaan tersebut, analisislah !

2. Fungsi Penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P2 = 80 + Qs . Tentukan elastisitas penawaran pada saat harga Rp 4 / unit. Bagaimana sifat elastisitas penawaran tersebut, analisislah !

3. Fungsi Permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan 2P = 60 – Q . Tentukanlah tingkat penjualan

yang menghasilkan penerimaan total, carilah harga jualnya, hitunglah penerimaan jika terjual 10 unit, analisislah !

4. Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan mobil PT Honda di tunjukkan oleh persamaan

TC = 43Q3 + 35Q2

– 44Q + 45. Tentukanlah besarnya biaya total, biaya rata-rata, dan biaya marginal pada saat kuantitas 4 unit? Berikan analisisnya!

5. Fungsi permintaan perusahaan makanan ringan ditunjukkan oleh P = 45Q + 3. Bagaimanakah persamaan

penerimaan totalnya? Berapa besarnya penerimaan total, penerimaan rata-rata, dan penerimaan marginal jika penjualan sebesar 4 unit? Berikan analisisnya!

18

5. Produk Marjinal

Marginal Product (MP) adalah produk tambahan yang dihasilkan dari satu unit tambahan faktor produksi yang digunakan. Merupakan derivatif pertama dari fungsi produk total (Total Product, P). Jika produk total dilambangkan dengan P = f(X) dengan X penyatakan jumlah masukan, maka Produk Marjinalnya :

MP = P’ = dXdP

Fungsi produk total yang non linier pada umumnya berbentuk fungsi kubik sehingga produk marginalnya akan berbentuk fungsi kuadrat yang titik ekstrim (maksimum)-nya tepat pada saat kurva produk total berada pada titik belok (kedudukan ini menunjukkan hukum penambahan hasil yang semakin berkurang ”the law of deminishing return”) Produk total mencapai puncaknya ketika produk marginalnya nol. Sesudah kedudukan ini, produk total menurun bersamaan produk marginal negatif (dibawah sumbu x). Produk marginal negatif menunjukkan penambahan penggunaan masukan yang bersangkutan justru akan mengurangi jumlah produk total (disefisiensi dalam kegiatan produksi). Jka produk total hendak ditingkatkan maka jumlah masukan yang digunakan harus dikurangi. Contoh kasus : Diketahui fungsi produksi total P = f(X) = 9X2 – X3. Tentukan : a. Fungsi produk marginalnya b. Jumlah masukan pada saat produk total mencapai maksimum dan tentukan produksi maksimumnya! c. Jumlah masukan pada saat produk marginal mencapai maksimum dan tentukan produk marginalnya! d. Gambarkan grafiknya Penyelesaian : Diketahui Produksi total P = 9X2 – X3 a. Produk marginalnya = MP = P’ = 18X – 3X2 b. P mencapai maksimum pada saat P’ = 0

P’ = 18X – 3X2 = 0 X(18 – 3X) = 0 X = 0 atau 18 – 3X = 0 3X = 18 X = 6 Untuk X = 6 maka P = 9(6)2 – (6)3 = 9(36) – 216 = 324 – 216 = 108 Jadi pada saat jumlah masukan = 6 produksi total mencapai maksimum yaitu 108

c. MP mencapai maksimum pada saat MP’ = 0 MP = 18X – 3X2 maka MP’ = 18 – 6X = 0 6X = 18 X = 3

Jadi MP maksimum pada saat jumlah masukan = 3 dengan produk marginal = 27

d. Grafik

MP = 18(3) – 3(3)2 MP = 18(3) – 3(9) MP = 54 – 27 MP = 27

108

54

27

3 6 19

6. Analisis Keuntungan/Laba Maksimum

Laba/Rugi (π) diperoleh dari Penerimaan Total (TR) dikurangi dengan Biaya Total (TC) Laba/Rugi akan mencapai maksimum jika π’ = 0 Karena π = TR – TC maka π’ = TR’ – TC’ = 0 π’ = MR – MC = 0 Sehingga MR = MC Jadi laba/rugi akan mencapai maksumum pada saat Penerimaan Marginal sama dengan Biaya Marginal Hal ini merupakan syarat perlu agar laba/rugi mencapai maksimum. Untuk mengetahui π’ mencerminkan keuntungan maksimum atau kerugian maksimum perlu diuji dengan derivatif kedua dari fungsi π.

π optimum apabila π’ = 0 atau MR = MC Jika π” < 0 → π maksimum ≡ keuntungan maksimum Jika π” > 0 → π minimum ≡ kerugian maksimum

π” = MR’ – MC’ dan untuk mencapai keuntungan maksimum maka π” < 0 sehingga MR’ – MC’ < 0 ≡ MR’ < MC’

Dengan demikian, syarat perlu dan cukup agar diperoleh keuntungan maksimum adalah : π’ = 0 atau MR = MC (syarat perlu/necessary condition) π” < 0 atau MR’ < MC’ (syarat cukup/sufficient condition) Contoh : Diketahui fungsi Pendapatan total TR = –2Q2 + 1000 Q dan Fungsi Biaya Total TC = Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000 Tentukan tingkat produksi pada saat keuntungan mencapai maksimum dan tentukan besarnya keuntungan maksimumnya! Penyelesaian : π = TR – TC π = (–2Q2 + 1000 Q) – (Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000) π = –2Q2 + 1000 Q – Q3 + 59Q2 – 1315Q – 2000 π = – Q3 + 57Q2 – 315Q – 2000 Syarat perlu agar keuntungan maksimum :

π’ = 0 –3Q2 + 114Q – 315 = 0 –3(Q2 – 18Q + 105) = 0 (Q – 3) (Q – 35) = 0 Q – 3 = 0 atau Q – 35 = 0 Q = 3 atau Q = 35

Syarat cukup agar keuntungan maksimum : π” < 0 π” = –6Q + 114 Jika Q = 3 maka π” = –6(3) + 114 = –18 + 114 = 96 > 0 Jika Q = 35 maka π” = –6(35) + 114 = –210 + 114 = –96 < 0 Karena π” < 0 untuk Q = 35, maka tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum adalah Q = 35 unit. Besarnya keuntungan maksimum : π = – Q3 + 57Q2 – 315Q – 2000 π = –(35)3 + 57(35)2 – 315(35) – 2000 π = –42875 + 57(1225) – 11025 – 2000 π = –42875 + 69825 – 13025 π = 13925

20

Latihan :

1. Perusahaan “ BIORE “ tengah mengembangkan dan memasarkan paket dari produk “ AMWA “. Pada saat ini bisnis tersebut sangat pesat dan menguntungkan karena mereka menggunakan sistem pemasaran personal selling. Dari hasil laporan bagian produksi menginformasikan bahwa fungsi produksi menunjukkan Y = 150X2 – 2X3 , dimana Y adalah jumlah produk yang dihasilkan dan X adalah jumlah input yang digunakan. Berdasarkan informasi diatas : a. Berapa produk total jika digunakan 7 unit input. b. Berapa produk marginal maksimumnya.

2. Sebuah perusahaan sepatu terkenal menghadapi fungsi permintaan 4Q = 100 – P dan TC = 50 + 20Q.

a. Hitunglah produksi yang menghasilkan laba maksimum. b. Besarnya laba maksimum. c. Harga jual barangnya perunit.

3. Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = –250Q + 20.000 dengan biaya

variabel VC = 20Q2 – 2.000Q. Biaya tetap yang dikeluarkan perusahaan sebesar 25.000. Tentukanlah pada tingkat penjualan berapa perusahaan bisa mendapatkan laba maksimum dan berapakah besarnya laba tersebut?

4. Suatu perusahaan yang menghasilkan suatu komoditas tertentu dengan fungsi biaya total TC = 1/3 Q3 – 6Q2 + 49 Q + 16, di mana Q adalah jumlah output yang dihasilkan. Permintaan yang dihadapi perusahaan adalah Q=40 – P. Berdasarkan informasi tersebut : a. Carilah fungsi penerimaan marjinal (marginal revenue) b. Carilah fungsi biaya marjinal (marginal cost) ! c. Berapa jumlah output yang dihasilkan supaya keuntungannya maksimum ? d. Berapa harga jual output pada saat keuntungan maksimum ?

21