diferensial total dan diferensial fungsi dari fungsi

7172019 Diferensial Total Dan Diferensial Fungsi Dari Fungsi

httpslidepdfcomreaderfulldiferensial-total-dan-diferensial-fungsi-dari-fungsi 113

Nama Rika Juliani

Kelas 3A

Nim 2011121037

Dosen Dra Lusiana MPd

Mata kuliah Kalkulus Lanjut



983090

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT berkat limpahan rahmat karunia dan hidayah

Nyalah kita dapat di beri kesehatan dan kekuatan sehingga dapat menyelesaikan makalah ini

Shalawat serta salam semoga tercurahkan kepada baginda dan junjungan kita nabiMuhammad SAW keluarga sahabatdan pengikut nya semoga kita semua mendapat safaat

kelak yaumul akhir

Penyusun mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang membantu dalam

pembuatan makalah ini Terutama kepada Dosen Pengasuh Mata Kuliah Kalkulus Lanjut

yaitu Ibu DraLusianaMpdKami meminta masukannya demi perbaikan pembuatan makalah

kami dimasa depan

Penyusun berharap Semoga makalah ini dapat memberikan wawasan yang lebih luas

bagi para pembaca mengenai diferensial total dan diferEnsial dari fungsi ke fungsi Saran Dan

Kritik dari para pembaca pun kami harapkan

Sekian yang dapat kami sampaikankurang lebihnya kami mohon maaf dan Pada Allah

SWT kami mohon ampun

Palembang Oktober 2012

Penyusun

ii



983091

DAFTAR ISI

KATA PENGANTARhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip ii

DAFTAR ISI helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip iii

BAB I DIFERENSIAL TOTAL

Diferensial Total helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 4

Soal-Soal Latihan 1helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 6

BAB II DIFERENSIAL FUNGSI DARI FUNGSI

Diferensial Fungsi Dari Fungsi helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 7

Soal-Soal Latihan 2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12

DAFTAR PUSTAKAhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13

iii



983092

BAB I

DIFERENSIAL TOTALLENGKAP

Persamaan Diferensial adalah persamaan yang mengandung beberapa turunan fungsi

Diferensial TotalLengkap Definisi f (xy) df = dxdx

df + dy

dy

df

df disebut diferensial total f(xy) ke x dan ke y

Dalam bentuk turunan parsial y

zdan

x

z

part

part

part

partperubahan ∆x dan ∆y ditinjau berasingan

Sekarang kita tinjau pengaruh perubahan x dan y bersama-sama Persamaan linier dari ∆x dan

∆y berbentuk a ∆x + b∆y disebut diferensial total dari z di titik (x y) dan dinyatakan oleh dz

dz = a ∆∆∆∆ x + b ∆∆∆∆y

Jika x = f(xy) mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di D maka z

mempunyai diferensial total

dz = rarrpart

part+

part

partdy

y

zdx

x

zdi setiap titik (xy) dari D

Untuk fungsi dari 3 variabel atau lebih misalnya w = f (x y u v ) maka

dw = dvv

wdu

u

wdy

y

wdx

x

w

part

part+

part

part+

part

part+

part

part

Contoh 111

Tentukan dw jika w =

Jawab

Jadi dw= dx + dy+ 983218 dz

Contoh 112

Tentukan df jika f = x2

+ y3

Jawab xdx

df 2= 23 y

dy

df =

Jadi df = 2x dx + 3 y2dy



983093

Contoh 113

Tentukan dz = x3 x

2 y

3 + y

4 5x + 3y

Jawab =dx

dz3x

2 ndash 2xy

3- 5 =

dy

dz-3x

2y

2+ 4y

3+3

Jadi dz = (3x2

ndash 2xy3

ndash 5) dx + (-3x2

y2

+ 4y3

+3)dy

Contoh 114

Radius dan tinggi sebuah silinder lingkaran yang tegak diukur sebagai 4 dan 10 cm

dengan kemungkinan kesalahan pengukuran plusmn 005 cm Gunakan diferensial total untuk

menaksir kesalahan maksimum dalam volume yang diukur

Penyelesaian

Diketahui v = π r2h

r = 4cm

h = 10 cm

dr = dh = plusmn 005 cm

Ditanya dv =

Jawab dv = dhh

vdr

r

v

part

part+

part

part

= 2 π r h dr + πr2 dh

Subtitusikan r = 4 h = 10 cm dan dr = dh = plusmn 005 cm sehingga

menghasilkan dv = 2π (40) (plusmn 05) + 16 π (plusmn 005)

= plusmn 48 π cm3



983094

Soal-soal latihan 1

1 Jika z = 3x2

- 2xy + 5ysup2 maka tentukan dz

2 Diberikan r = x4-x

3 y + x

2y

2 - x

2y

2 +y

4 tentukanlah dr

3 Tentukan df jika f = x2

ey

4 Diberikan z = arc cos ( x ne 0 ) maka tentukanlah d

5 Jika g = exy

tentukanlah dg

6 Diketahui w = 3xsup3 - xysup2 dan w = f() berubah dari (12) menjadi (102 198)

Berapakah perubahan total dw

7 Sebuah balok kayu memiliki ukuran 6 12 dan 20 cm dengan kemungkinan kesalahan

05 cm dalam pengukuran Taksirlah kesalahan terbesar dalam luas permukaan balok

dan peresentasikan kesalahan dalam luas permukaan disebabkan karena tiap-tiap

pengukuran

8 Gunakan deferensial total dz untuk menghampiri pengukuran V jika ( xy) bergerak

dari S ke T

a V = 2x2ysup3 S (1-1) T (099 -102)

b V = xsup2 - 5xy + ysup3 S (23) T (-198 297)

c V = ln (xsup2y) S (-2 4) T (-197 396)

9 Tentukanlah dz dari z = log sin (xsup2 ysup2 -1)

10

Berapakah perubahan total dw dari ( 21 ) menjadi (201 098) untuk w = f(xy)

dengan w = xsup2 - 2xy + 3ysup2



983095

BAB II

DIFERENSIAL FUNGSI DARI FUNGSI

Aturan rantai untuk fungsi-fungsi komponen satu peubah sekarang sudah mulai

dikenal semua pembacajika y = f (x (t))dengan f dan kedua fungsi yang terdiferensialkan

maka

=

`untuk memperoleh perluasan fungsi-fungsi beberapa peubah dapat dilihat pada versi berikut

Versi pertama

Jika z = f (xy) dengan x dan y adalah fungsi tmaka ditanyakan

Teorema A ( Aturan Rantai )

Andaikan X = x (t) dan Y = y (t) terdiferensialkan di t dan andaikan z = f (x(t) y(t))

terdiferensialkan di t dan

=

+

Bukti

Untuk penyederhanaan cara penulisan

andaikan P = (xy) ∆ P = (∆ x ∆ y) dan ∆ z = f ( P +

∆ P ) ndash f(P) maka ∆ z = f (P + ∆ P) ndash f (P) = nabla f (P)

∆ P + ∆ (∆ P)(1)

Dengan (∆ P ) rarr 0 jika ∆ P rarr 0

Jika kedua ruas dibagi dengan ∆ t maka

(1)

∆∆ = f ( P )

∆∆ + ( P )

∆∆ +

∆∆ ( ∆ )

Sekarang

∆∆ = (∆)(∆)

∆ = ∆∆ + ∆

∆

Data yang belakangan mendekati

+

983080983160983083

983120983080983160983084983161983081

983128 983128983083



983096

Jika ∆ rarr 0 ∶ ∆ dan ∆ keduanya mendekati 0 ( untuk x (t) dan y (t) kontinu

terdiferensialkan ) hal ini dapat di simpulkan jika ∆ rarr 0 Sebagai akibatnya pada saat kita

biarkan jika ∆ rarr pada (1) maka akan kita dapat

=

( )

()

Contoh 2 1 1

Diketahui z = x3 y

x = 2t

y = t2

Ditanya Tentukan

Jawab =

+

= ( 3 x2

y2 ) ( 2 ) + ( 2x

2y ) ( 2t )

= 6 ( 2t )2 ( t

2 )

2 + 2 ( 2t )

3 t

2 2t

= 24 t2 + 32 t

6

= 56 t6

Contoh 2 1 2

Sebuah tabung lingkaran tegak pejal dipanasi radiusnya bertambahpada laju 01 dan

fungsinya bertambah pada laju 04 Tentukan waktu pada saat radius sama dengn 10

cm dan tinngi sama dengan 200cm

Jawab

Rumus total permukaan tabung S = 2π r h + 2π r2

=

+

= ( 2π h + 4π r ) ( 01 ) + ( 2π r ) ( 04 )

Pada r = 10 dan h = 200

= ( 2π 200 + 4π 10 ) ( 01 ) + ( 2π 10 ) ( 04 )

= 44π + 8π = 52π 2



983097

Cara kedua

Jika z = f ( x y ) dengan X = x ( s t ) dan Y = y ( s t ) maka yang di nyatakan dan

Teorema B (Aturan Rantai )

Misalkan X = x ( s t ) dan Y= y ( s t ) mempunyai turunan pertama di (s t ) dan

misalkan z = f ( x y ) terdiferensialkan di ( ( ) ( )) maka z = f ( x ( s t ) y ( s t ))

mempunyai turunan parsial pertama yang diberikan oleh

983080 983145 983081 983101

983083

983080 983145983145 983081

983101

983083

Bukti Jika s di pertahankan tetap maka x ( s t ) dan y ( s t ) menjadi fungsi ndash fungsi t saja

yang bearti bahwa teorema A berlaku Pada waktu kita menggunakan dho menggantikan

lambang d untuk menunjukkan bahwa s tetap kita peroleh rumus ( ii ) untuk ) Rumus

untuk diperoleh dengan cara serupa mempertahankan t tetap

Contoh 213

Diketahui w =22 y xe

+

x = s sin t

y = t sin s

Ditanya t

z

part

part

Jawab

t

y

y

z

t

x

x

z

t

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part

t

z

part

part= 2x

22 y xe

+ S cos t + 2y22 y x

e + Sin s

t

z

part

part= ( 2 2

s sin t cos t + 2t sin s sin s )22 y x

e +

t

z

part

part= ( 2

s sin 2t + 2t sin 2 s ) )sinsin( 2222 st t se

+



983089983088

Contoh 214

Diketahui z = 3 22 y x minus

x = 2s + 7t

y = 5 st

Ditanya t

z

part

part

Jawab

t

y

y

z

t

x

x

z

t

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part

t

z

part

part= (6x) (7) + (-2y) (5s)

t

z

part

part

= 42 ( 2s + 7t ) ndash 10 st (5s)

t

z

part

part= 84 s + 294 t ndash 50 2

s t

Berikut ini jika kita bertemu dengan keadaan lain seperti skema berikut

s

x

part

part s

x

z

part

part x

Zt

x

part

part

t

y

z

part

part

ds

dy

y s

Maka diperoleh rumusan sebagai berikut

s

y

y

z

s

x

x

z

s

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part



983089983089

Contoh 215

Diketahui z = 2 x

x = 3u + 2v

y = 5v

Ditanya v

z

part

part

Jawab

v

y

y

z

v

x

x

z

v

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part

dv

dy

y

y x

v

vu

x

y x

v

z

part

part+

part

+part

part

part=

part

part )()23()(33

v

z

part

part = 3 2 x y(2) + 3

x (5) = 6 2 x y + 5 3

x



983089983090

Soal ndash soal latihan 2

1 Tentukanlah dengan menggunakan aturan rantai tuliskan jawaban akhir anda

dalam bentuk t

a

w = x

2

y

3

x = t

2

y = t

3

b w = e

x cos y + e

y sin x x = 4t 2t

c w = cos (xy2z) x = t

3 y = tsup2 z = t

d w = x2

y ndash y2 x x = sin t dan y = cos t

2 Tentukan dengan menggunakan jawaban aturan rantai Tuliskan jawaban dengan

akhir anda dalam bentuk s dan t

a g = x2 y x = s-t y = st

b

g = + + sup2 x = s ndash t y = s+t z = tsup2 + 2s

c g = ex+yz

x = s+t y = s+t z = t2 ndash 2s

3 Jika z = x2 y x = 2t-s y = 1-s

2t tentukan

s = -1 t = 2

4 Jika w = u2

tan v u = x dan v = x tentukanlah x =

5 Jika w = xy2 ndash z

2 x = p cos sin

y = p sin sin z = p cos

tentukanlah p = 3 = =



983089983091

DAFTAR PUSTAKA

Frank Ayres 1972 Diferensial and Integral Calculus Newyork McGraw Hill

Gazali Wikaria 2005 Kalkulus Lanjut Graha Ilmu

Riogialng RH 1979 Persamaan diferensial Bina Cipta

Soemartojo Noenik 1990 Kalkulus Lanjutan Jakarta Erlangga



983090

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT berkat limpahan rahmat karunia dan hidayah

Nyalah kita dapat di beri kesehatan dan kekuatan sehingga dapat menyelesaikan makalah ini

Shalawat serta salam semoga tercurahkan kepada baginda dan junjungan kita nabiMuhammad SAW keluarga sahabatdan pengikut nya semoga kita semua mendapat safaat

kelak yaumul akhir

Penyusun mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang membantu dalam

pembuatan makalah ini Terutama kepada Dosen Pengasuh Mata Kuliah Kalkulus Lanjut

yaitu Ibu DraLusianaMpdKami meminta masukannya demi perbaikan pembuatan makalah

kami dimasa depan

Penyusun berharap Semoga makalah ini dapat memberikan wawasan yang lebih luas

bagi para pembaca mengenai diferensial total dan diferEnsial dari fungsi ke fungsi Saran Dan

Kritik dari para pembaca pun kami harapkan

Sekian yang dapat kami sampaikankurang lebihnya kami mohon maaf dan Pada Allah

SWT kami mohon ampun

Palembang Oktober 2012

Penyusun

ii



983091

DAFTAR ISI










iii



983092

BAB I




df + dy

dy

df



zdan

x

z

part

part

part




dz = a ∆∆∆∆ x + b ∆∆∆∆y



dz = rarrpart

part+

part

partdy

y

zdx

x



dw = dvv

wdu

u

wdy

y

wdx

x

w

part

part+

part

part+

part

part+

part

part

Contoh 111


Jawab


Contoh 112


+ y3

Jawab xdx

df 2= 23 y

dy

df =




983093

Contoh 113

Tentukan dz = x3 x

2 y

3 + y

4 5x + 3y

Jawab =dx

dz3x

2 ndash 2xy

3- 5 =

dy

dz-3x

2y

2+ 4y

3+3

Jadi dz = (3x2

ndash 2xy3

ndash 5) dx + (-3x2

y2

+ 4y3

+3)dy

Contoh 114




Penyelesaian


r = 4cm

h = 10 cm


Ditanya dv =

Jawab dv = dhh

vdr

r

v

part

part+

part

part




= plusmn 48 π cm3



983094

Soal-soal latihan 1

1 Jika z = 3x2



3 y + x

2y

2 - x

2y

2 +y

4 tentukanlah dr


ey


5 Jika g = exy

tentukanlah dg






pengukuran


dari S ke T

a V = 2x2ysup3 S (1-1) T (099 -102)

b V = xsup2 - 5xy + ysup3 S (23) T (-198 297)

c V = ln (xsup2y) S (-2 4) T (-197 396)


10





983095

BAB II




maka

=


Versi pertama





=

+

Bukti




∆ P + ∆ (∆ P)(1)



(1)

∆∆ = f ( P )

∆∆ + ( P )

∆∆ +

∆∆ ( ∆ )

Sekarang

∆∆ = (∆)(∆)

∆ = ∆∆ + ∆

∆


+

983080983160983083

983120983080983160983084983161983081

983128 983128983083



983096




=

( )

()

Contoh 2 1 1

Diketahui z = x3 y

x = 2t

y = t2

Ditanya Tentukan

Jawab =

+

= ( 3 x2

y2 ) ( 2 ) + ( 2x

2y ) ( 2t )

= 6 ( 2t )2 ( t

2 )

2 + 2 ( 2t )

3 t

2 2t

= 24 t2 + 32 t

6

= 56 t6

Contoh 2 1 2




Jawab


=

+

= ( 2π h + 4π r ) ( 01 ) + ( 2π r ) ( 04 )

Pada r = 10 dan h = 200

= ( 2π 200 + 4π 10 ) ( 01 ) + ( 2π 10 ) ( 04 )

= 44π + 8π = 52π 2



983097

Cara kedua






983080 983145 983081 983101

983083

983080 983145983145 983081

983101

983083





Contoh 213


+

x = s sin t

y = t sin s

Ditanya t

z

part

part

Jawab

t

y

y

z

t

x

x

z

t

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part

t

z

part

part= 2x

22 y xe


e + Sin s

t

z

part

part= ( 2 2


e +

t

z

part

part= ( 2


+



983089983088

Contoh 214


x = 2s + 7t

y = 5 st

Ditanya t

z

part

part

Jawab

t

y

y

z

t

x

x

z

t

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part

t

z

part

part= (6x) (7) + (-2y) (5s)

t

z

part

part

= 42 ( 2s + 7t ) ndash 10 st (5s)

t

z

part

part= 84 s + 294 t ndash 50 2

s t


s

x

part

part s

x

z

part

part x

Zt

x

part

part

t

y

z

part

part

ds

dy

y s


s

y

y

z

s

x

x

z

s

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part



983089983089

Contoh 215

Diketahui z = 2 x

x = 3u + 2v

y = 5v

Ditanya v

z

part

part

Jawab

v

y

y

z

v

x

x

z

v

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part

dv

dy

y

y x

v

vu

x

y x

v

z

part

part+

part

+part

part

part=

part

part )()23()(33

v

z

part

part = 3 2 x y(2) + 3

x (5) = 6 2 x y + 5 3

x



983089983090



dalam bentuk t

a

w = x

2

y

3

x = t

2

y = t

3

b w = e

x cos y + e

y sin x x = 4t 2t


3 y = tsup2 z = t

d w = x2





b


c g = ex+yz


3 Jika z = x2 y x = 2t-s y = 1-s

2t tentukan

s = -1 t = 2

4 Jika w = u2



2 x = p cos sin





983089983091

DAFTAR PUSTAKA







983091

DAFTAR ISI










iii



983092

BAB I




df + dy

dy

df



zdan

x

z

part

part

part




dz = a ∆∆∆∆ x + b ∆∆∆∆y



dz = rarrpart

part+

part

partdy

y

zdx

x



dw = dvv

wdu

u

wdy

y

wdx

x

w

part

part+

part

part+

part

part+

part

part

Contoh 111


Jawab


Contoh 112


+ y3

Jawab xdx

df 2= 23 y

dy

df =




983093

Contoh 113

Tentukan dz = x3 x

2 y

3 + y

4 5x + 3y

Jawab =dx

dz3x

2 ndash 2xy

3- 5 =

dy

dz-3x

2y

2+ 4y

3+3

Jadi dz = (3x2

ndash 2xy3

ndash 5) dx + (-3x2

y2

+ 4y3

+3)dy

Contoh 114




Penyelesaian


r = 4cm

h = 10 cm


Ditanya dv =

Jawab dv = dhh

vdr

r

v

part

part+

part

part




= plusmn 48 π cm3



983094

Soal-soal latihan 1

1 Jika z = 3x2



3 y + x

2y

2 - x

2y

2 +y

4 tentukanlah dr


ey


5 Jika g = exy

tentukanlah dg






pengukuran


dari S ke T

a V = 2x2ysup3 S (1-1) T (099 -102)

b V = xsup2 - 5xy + ysup3 S (23) T (-198 297)

c V = ln (xsup2y) S (-2 4) T (-197 396)


10





983095

BAB II




maka

=


Versi pertama





=

+

Bukti




∆ P + ∆ (∆ P)(1)



(1)

∆∆ = f ( P )

∆∆ + ( P )

∆∆ +

∆∆ ( ∆ )

Sekarang

∆∆ = (∆)(∆)

∆ = ∆∆ + ∆

∆


+

983080983160983083

983120983080983160983084983161983081

983128 983128983083



983096




=

( )

()

Contoh 2 1 1

Diketahui z = x3 y

x = 2t

y = t2

Ditanya Tentukan

Jawab =

+

= ( 3 x2

y2 ) ( 2 ) + ( 2x

2y ) ( 2t )

= 6 ( 2t )2 ( t

2 )

2 + 2 ( 2t )

3 t

2 2t

= 24 t2 + 32 t

6

= 56 t6

Contoh 2 1 2




Jawab


=

+

= ( 2π h + 4π r ) ( 01 ) + ( 2π r ) ( 04 )

Pada r = 10 dan h = 200

= ( 2π 200 + 4π 10 ) ( 01 ) + ( 2π 10 ) ( 04 )

= 44π + 8π = 52π 2



983097

Cara kedua






983080 983145 983081 983101

983083

983080 983145983145 983081

983101

983083





Contoh 213


+

x = s sin t

y = t sin s

Ditanya t

z

part

part

Jawab

t

y

y

z

t

x

x

z

t

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part

t

z

part

part= 2x

22 y xe


e + Sin s

t

z

part

part= ( 2 2


e +

t

z

part

part= ( 2


+



983089983088

Contoh 214


x = 2s + 7t

y = 5 st

Ditanya t

z

part

part

Jawab

t

y

y

z

t

x

x

z

t

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part

t

z

part

part= (6x) (7) + (-2y) (5s)

t

z

part

part

= 42 ( 2s + 7t ) ndash 10 st (5s)

t

z

part

part= 84 s + 294 t ndash 50 2

s t


s

x

part

part s

x

z

part

part x

Zt

x

part

part

t

y

z

part

part

ds

dy

y s


s

y

y

z

s

x

x

z

s

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part



983089983089

Contoh 215

Diketahui z = 2 x

x = 3u + 2v

y = 5v

Ditanya v

z

part

part

Jawab

v

y

y

z

v

x

x

z

v

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part

dv

dy

y

y x

v

vu

x

y x

v

z

part

part+

part

+part

part

part=

part

part )()23()(33

v

z

part

part = 3 2 x y(2) + 3

x (5) = 6 2 x y + 5 3

x



983089983090



dalam bentuk t

a

w = x

2

y

3

x = t

2

y = t

3

b w = e

x cos y + e

y sin x x = 4t 2t


3 y = tsup2 z = t

d w = x2





b


c g = ex+yz


3 Jika z = x2 y x = 2t-s y = 1-s

2t tentukan

s = -1 t = 2

4 Jika w = u2



2 x = p cos sin





983089983091

DAFTAR PUSTAKA







983092

BAB I




df + dy

dy

df



zdan

x

z

part

part

part




dz = a ∆∆∆∆ x + b ∆∆∆∆y



dz = rarrpart

part+

part

partdy

y

zdx

x



dw = dvv

wdu

u

wdy

y

wdx

x

w

part

part+

part

part+

part

part+

part

part

Contoh 111


Jawab


Contoh 112


+ y3

Jawab xdx

df 2= 23 y

dy

df =




983093

Contoh 113

Tentukan dz = x3 x

2 y

3 + y

4 5x + 3y

Jawab =dx

dz3x

2 ndash 2xy

3- 5 =

dy

dz-3x

2y

2+ 4y

3+3

Jadi dz = (3x2

ndash 2xy3

ndash 5) dx + (-3x2

y2

+ 4y3

+3)dy

Contoh 114




Penyelesaian


r = 4cm

h = 10 cm


Ditanya dv =

Jawab dv = dhh

vdr

r

v

part

part+

part

part




= plusmn 48 π cm3



983094

Soal-soal latihan 1

1 Jika z = 3x2



3 y + x

2y

2 - x

2y

2 +y

4 tentukanlah dr


ey


5 Jika g = exy

tentukanlah dg






pengukuran


dari S ke T

a V = 2x2ysup3 S (1-1) T (099 -102)

b V = xsup2 - 5xy + ysup3 S (23) T (-198 297)

c V = ln (xsup2y) S (-2 4) T (-197 396)


10





983095

BAB II




maka

=


Versi pertama





=

+

Bukti




∆ P + ∆ (∆ P)(1)



(1)

∆∆ = f ( P )

∆∆ + ( P )

∆∆ +

∆∆ ( ∆ )

Sekarang

∆∆ = (∆)(∆)

∆ = ∆∆ + ∆

∆


+

983080983160983083

983120983080983160983084983161983081

983128 983128983083



983096




=

( )

()

Contoh 2 1 1

Diketahui z = x3 y

x = 2t

y = t2

Ditanya Tentukan

Jawab =

+

= ( 3 x2

y2 ) ( 2 ) + ( 2x

2y ) ( 2t )

= 6 ( 2t )2 ( t

2 )

2 + 2 ( 2t )

3 t

2 2t

= 24 t2 + 32 t

6

= 56 t6

Contoh 2 1 2




Jawab


=

+

= ( 2π h + 4π r ) ( 01 ) + ( 2π r ) ( 04 )

Pada r = 10 dan h = 200

= ( 2π 200 + 4π 10 ) ( 01 ) + ( 2π 10 ) ( 04 )

= 44π + 8π = 52π 2



983097

Cara kedua






983080 983145 983081 983101

983083

983080 983145983145 983081

983101

983083





Contoh 213


+

x = s sin t

y = t sin s

Ditanya t

z

part

part

Jawab

t

y

y

z

t

x

x

z

t

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part

t

z

part

part= 2x

22 y xe


e + Sin s

t

z

part

part= ( 2 2


e +

t

z

part

part= ( 2


+



983089983088

Contoh 214


x = 2s + 7t

y = 5 st

Ditanya t

z

part

part

Jawab

t

y

y

z

t

x

x

z

t

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part

t

z

part

part= (6x) (7) + (-2y) (5s)

t

z

part

part

= 42 ( 2s + 7t ) ndash 10 st (5s)

t

z

part

part= 84 s + 294 t ndash 50 2

s t


s

x

part

part s

x

z

part

part x

Zt

x

part

part

t

y

z

part

part

ds

dy

y s


s

y

y

z

s

x

x

z

s

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part



983089983089

Contoh 215

Diketahui z = 2 x

x = 3u + 2v

y = 5v

Ditanya v

z

part

part

Jawab

v

y

y

z

v

x

x

z

v

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part

dv

dy

y

y x

v

vu

x

y x

v

z

part

part+

part

+part

part

part=

part

part )()23()(33

v

z

part

part = 3 2 x y(2) + 3

x (5) = 6 2 x y + 5 3

x



983089983090



dalam bentuk t

a

w = x

2

y

3

x = t

2

y = t

3

b w = e

x cos y + e

y sin x x = 4t 2t


3 y = tsup2 z = t

d w = x2





b


c g = ex+yz


3 Jika z = x2 y x = 2t-s y = 1-s

2t tentukan

s = -1 t = 2

4 Jika w = u2



2 x = p cos sin





983089983091

DAFTAR PUSTAKA







983093

Contoh 113

Tentukan dz = x3 x

2 y

3 + y

4 5x + 3y

Jawab =dx

dz3x

2 ndash 2xy

3- 5 =

dy

dz-3x

2y

2+ 4y

3+3

Jadi dz = (3x2

ndash 2xy3

ndash 5) dx + (-3x2

y2

+ 4y3

+3)dy

Contoh 114




Penyelesaian


r = 4cm

h = 10 cm


Ditanya dv =

Jawab dv = dhh

vdr

r

v

part

part+

part

part




= plusmn 48 π cm3



983094

Soal-soal latihan 1

1 Jika z = 3x2



3 y + x

2y

2 - x

2y

2 +y

4 tentukanlah dr


ey


5 Jika g = exy

tentukanlah dg






pengukuran


dari S ke T

a V = 2x2ysup3 S (1-1) T (099 -102)

b V = xsup2 - 5xy + ysup3 S (23) T (-198 297)

c V = ln (xsup2y) S (-2 4) T (-197 396)


10





983095

BAB II




maka

=


Versi pertama





=

+

Bukti




∆ P + ∆ (∆ P)(1)



(1)

∆∆ = f ( P )

∆∆ + ( P )

∆∆ +

∆∆ ( ∆ )

Sekarang

∆∆ = (∆)(∆)

∆ = ∆∆ + ∆

∆


+

983080983160983083

983120983080983160983084983161983081

983128 983128983083



983096




=

( )

()

Contoh 2 1 1

Diketahui z = x3 y

x = 2t

y = t2

Ditanya Tentukan

Jawab =

+

= ( 3 x2

y2 ) ( 2 ) + ( 2x

2y ) ( 2t )

= 6 ( 2t )2 ( t

2 )

2 + 2 ( 2t )

3 t

2 2t

= 24 t2 + 32 t

6

= 56 t6

Contoh 2 1 2




Jawab


=

+

= ( 2π h + 4π r ) ( 01 ) + ( 2π r ) ( 04 )

Pada r = 10 dan h = 200

= ( 2π 200 + 4π 10 ) ( 01 ) + ( 2π 10 ) ( 04 )

= 44π + 8π = 52π 2



983097

Cara kedua






983080 983145 983081 983101

983083

983080 983145983145 983081

983101

983083





Contoh 213


+

x = s sin t

y = t sin s

Ditanya t

z

part

part

Jawab

t

y

y

z

t

x

x

z

t

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part

t

z

part

part= 2x

22 y xe


e + Sin s

t

z

part

part= ( 2 2


e +

t

z

part

part= ( 2


+



983089983088

Contoh 214


x = 2s + 7t

y = 5 st

Ditanya t

z

part

part

Jawab

t

y

y

z

t

x

x

z

t

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part

t

z

part

part= (6x) (7) + (-2y) (5s)

t

z

part

part

= 42 ( 2s + 7t ) ndash 10 st (5s)

t

z

part

part= 84 s + 294 t ndash 50 2

s t


s

x

part

part s

x

z

part

part x

Zt

x

part

part

t

y

z

part

part

ds

dy

y s


s

y

y

z

s

x

x

z

s

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part



983089983089

Contoh 215

Diketahui z = 2 x

x = 3u + 2v

y = 5v

Ditanya v

z

part

part

Jawab

v

y

y

z

v

x

x

z

v

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part

dv

dy

y

y x

v

vu

x

y x

v

z

part

part+

part

+part

part

part=

part

part )()23()(33

v

z

part

part = 3 2 x y(2) + 3

x (5) = 6 2 x y + 5 3

x



983089983090



dalam bentuk t

a

w = x

2

y

3

x = t

2

y = t

3

b w = e

x cos y + e

y sin x x = 4t 2t


3 y = tsup2 z = t

d w = x2





b


c g = ex+yz


3 Jika z = x2 y x = 2t-s y = 1-s

2t tentukan

s = -1 t = 2

4 Jika w = u2



2 x = p cos sin





983089983091

DAFTAR PUSTAKA







983094

Soal-soal latihan 1

1 Jika z = 3x2



3 y + x

2y

2 - x

2y

2 +y

4 tentukanlah dr


ey


5 Jika g = exy

tentukanlah dg






pengukuran


dari S ke T

a V = 2x2ysup3 S (1-1) T (099 -102)

b V = xsup2 - 5xy + ysup3 S (23) T (-198 297)

c V = ln (xsup2y) S (-2 4) T (-197 396)


10





983095

BAB II




maka

=


Versi pertama





=

+

Bukti




∆ P + ∆ (∆ P)(1)



(1)

∆∆ = f ( P )

∆∆ + ( P )

∆∆ +

∆∆ ( ∆ )

Sekarang

∆∆ = (∆)(∆)

∆ = ∆∆ + ∆

∆


+

983080983160983083

983120983080983160983084983161983081

983128 983128983083



983096




=

( )

()

Contoh 2 1 1

Diketahui z = x3 y

x = 2t

y = t2

Ditanya Tentukan

Jawab =

+

= ( 3 x2

y2 ) ( 2 ) + ( 2x

2y ) ( 2t )

= 6 ( 2t )2 ( t

2 )

2 + 2 ( 2t )

3 t

2 2t

= 24 t2 + 32 t

6

= 56 t6

Contoh 2 1 2




Jawab


=

+

= ( 2π h + 4π r ) ( 01 ) + ( 2π r ) ( 04 )

Pada r = 10 dan h = 200

= ( 2π 200 + 4π 10 ) ( 01 ) + ( 2π 10 ) ( 04 )

= 44π + 8π = 52π 2



983097

Cara kedua






983080 983145 983081 983101

983083

983080 983145983145 983081

983101

983083





Contoh 213


+

x = s sin t

y = t sin s

Ditanya t

z

part

part

Jawab

t

y

y

z

t

x

x

z

t

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part

t

z

part

part= 2x

22 y xe


e + Sin s

t

z

part

part= ( 2 2


e +

t

z

part

part= ( 2


+



983089983088

Contoh 214


x = 2s + 7t

y = 5 st

Ditanya t

z

part

part

Jawab

t

y

y

z

t

x

x

z

t

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part

t

z

part

part= (6x) (7) + (-2y) (5s)

t

z

part

part

= 42 ( 2s + 7t ) ndash 10 st (5s)

t

z

part

part= 84 s + 294 t ndash 50 2

s t


s

x

part

part s

x

z

part

part x

Zt

x

part

part

t

y

z

part

part

ds

dy

y s


s

y

y

z

s

x

x

z

s

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part



983089983089

Contoh 215

Diketahui z = 2 x

x = 3u + 2v

y = 5v

Ditanya v

z

part

part

Jawab

v

y

y

z

v

x

x

z

v

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part

dv

dy

y

y x

v

vu

x

y x

v

z

part

part+

part

+part

part

part=

part

part )()23()(33

v

z

part

part = 3 2 x y(2) + 3

x (5) = 6 2 x y + 5 3

x



983089983090



dalam bentuk t

a

w = x

2

y

3

x = t

2

y = t

3

b w = e

x cos y + e

y sin x x = 4t 2t


3 y = tsup2 z = t

d w = x2





b


c g = ex+yz


3 Jika z = x2 y x = 2t-s y = 1-s

2t tentukan

s = -1 t = 2

4 Jika w = u2



2 x = p cos sin





983089983091

DAFTAR PUSTAKA







983095

BAB II




maka

=


Versi pertama





=

+

Bukti




∆ P + ∆ (∆ P)(1)



(1)

∆∆ = f ( P )

∆∆ + ( P )

∆∆ +

∆∆ ( ∆ )

Sekarang

∆∆ = (∆)(∆)

∆ = ∆∆ + ∆

∆


+

983080983160983083

983120983080983160983084983161983081

983128 983128983083



983096




=

( )

()

Contoh 2 1 1

Diketahui z = x3 y

x = 2t

y = t2

Ditanya Tentukan

Jawab =

+

= ( 3 x2

y2 ) ( 2 ) + ( 2x

2y ) ( 2t )

= 6 ( 2t )2 ( t

2 )

2 + 2 ( 2t )

3 t

2 2t

= 24 t2 + 32 t

6

= 56 t6

Contoh 2 1 2




Jawab


=

+

= ( 2π h + 4π r ) ( 01 ) + ( 2π r ) ( 04 )

Pada r = 10 dan h = 200

= ( 2π 200 + 4π 10 ) ( 01 ) + ( 2π 10 ) ( 04 )

= 44π + 8π = 52π 2



983097

Cara kedua






983080 983145 983081 983101

983083

983080 983145983145 983081

983101

983083





Contoh 213


+

x = s sin t

y = t sin s

Ditanya t

z

part

part

Jawab

t

y

y

z

t

x

x

z

t

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part

t

z

part

part= 2x

22 y xe


e + Sin s

t

z

part

part= ( 2 2


e +

t

z

part

part= ( 2


+



983089983088

Contoh 214


x = 2s + 7t

y = 5 st

Ditanya t

z

part

part

Jawab

t

y

y

z

t

x

x

z

t

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part

t

z

part

part= (6x) (7) + (-2y) (5s)

t

z

part

part

= 42 ( 2s + 7t ) ndash 10 st (5s)

t

z

part

part= 84 s + 294 t ndash 50 2

s t


s

x

part

part s

x

z

part

part x

Zt

x

part

part

t

y

z

part

part

ds

dy

y s


s

y

y

z

s

x

x

z

s

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part



983089983089

Contoh 215

Diketahui z = 2 x

x = 3u + 2v

y = 5v

Ditanya v

z

part

part

Jawab

v

y

y

z

v

x

x

z

v

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part

dv

dy

y

y x

v

vu

x

y x

v

z

part

part+

part

+part

part

part=

part

part )()23()(33

v

z

part

part = 3 2 x y(2) + 3

x (5) = 6 2 x y + 5 3

x



983089983090



dalam bentuk t

a

w = x

2

y

3

x = t

2

y = t

3

b w = e

x cos y + e

y sin x x = 4t 2t


3 y = tsup2 z = t

d w = x2





b


c g = ex+yz


3 Jika z = x2 y x = 2t-s y = 1-s

2t tentukan

s = -1 t = 2

4 Jika w = u2



2 x = p cos sin





983089983091

DAFTAR PUSTAKA







983096




=

( )

()

Contoh 2 1 1

Diketahui z = x3 y

x = 2t

y = t2

Ditanya Tentukan

Jawab =

+

= ( 3 x2

y2 ) ( 2 ) + ( 2x

2y ) ( 2t )

= 6 ( 2t )2 ( t

2 )

2 + 2 ( 2t )

3 t

2 2t

= 24 t2 + 32 t

6

= 56 t6

Contoh 2 1 2




Jawab


=

+

= ( 2π h + 4π r ) ( 01 ) + ( 2π r ) ( 04 )

Pada r = 10 dan h = 200

= ( 2π 200 + 4π 10 ) ( 01 ) + ( 2π 10 ) ( 04 )

= 44π + 8π = 52π 2



983097

Cara kedua






983080 983145 983081 983101

983083

983080 983145983145 983081

983101

983083





Contoh 213


+

x = s sin t

y = t sin s

Ditanya t

z

part

part

Jawab

t

y

y

z

t

x

x

z

t

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part

t

z

part

part= 2x

22 y xe


e + Sin s

t

z

part

part= ( 2 2


e +

t

z

part

part= ( 2


+



983089983088

Contoh 214


x = 2s + 7t

y = 5 st

Ditanya t

z

part

part

Jawab

t

y

y

z

t

x

x

z

t

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part

t

z

part

part= (6x) (7) + (-2y) (5s)

t

z

part

part

= 42 ( 2s + 7t ) ndash 10 st (5s)

t

z

part

part= 84 s + 294 t ndash 50 2

s t


s

x

part

part s

x

z

part

part x

Zt

x

part

part

t

y

z

part

part

ds

dy

y s


s

y

y

z

s

x

x

z

s

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part



983089983089

Contoh 215

Diketahui z = 2 x

x = 3u + 2v

y = 5v

Ditanya v

z

part

part

Jawab

v

y

y

z

v

x

x

z

v

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part

dv

dy

y

y x

v

vu

x

y x

v

z

part

part+

part

+part

part

part=

part

part )()23()(33

v

z

part

part = 3 2 x y(2) + 3

x (5) = 6 2 x y + 5 3

x



983089983090



dalam bentuk t

a

w = x

2

y

3

x = t

2

y = t

3

b w = e

x cos y + e

y sin x x = 4t 2t


3 y = tsup2 z = t

d w = x2





b


c g = ex+yz


3 Jika z = x2 y x = 2t-s y = 1-s

2t tentukan

s = -1 t = 2

4 Jika w = u2



2 x = p cos sin





983089983091

DAFTAR PUSTAKA







983097

Cara kedua






983080 983145 983081 983101

983083

983080 983145983145 983081

983101

983083





Contoh 213


+

x = s sin t

y = t sin s

Ditanya t

z

part

part

Jawab

t

y

y

z

t

x

x

z

t

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part

t

z

part

part= 2x

22 y xe


e + Sin s

t

z

part

part= ( 2 2


e +

t

z

part

part= ( 2


+



983089983088

Contoh 214


x = 2s + 7t

y = 5 st

Ditanya t

z

part

part

Jawab

t

y

y

z

t

x

x

z

t

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part

t

z

part

part= (6x) (7) + (-2y) (5s)

t

z

part

part

= 42 ( 2s + 7t ) ndash 10 st (5s)

t

z

part

part= 84 s + 294 t ndash 50 2

s t


s

x

part

part s

x

z

part

part x

Zt

x

part

part

t

y

z

part

part

ds

dy

y s


s

y

y

z

s

x

x

z

s

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part



983089983089

Contoh 215

Diketahui z = 2 x

x = 3u + 2v

y = 5v

Ditanya v

z

part

part

Jawab

v

y

y

z

v

x

x

z

v

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part

dv

dy

y

y x

v

vu

x

y x

v

z

part

part+

part

+part

part

part=

part

part )()23()(33

v

z

part

part = 3 2 x y(2) + 3

x (5) = 6 2 x y + 5 3

x



983089983090



dalam bentuk t

a

w = x

2

y

3

x = t

2

y = t

3

b w = e

x cos y + e

y sin x x = 4t 2t


3 y = tsup2 z = t

d w = x2





b


c g = ex+yz


3 Jika z = x2 y x = 2t-s y = 1-s

2t tentukan

s = -1 t = 2

4 Jika w = u2



2 x = p cos sin





983089983091

DAFTAR PUSTAKA







983089983088

Contoh 214


x = 2s + 7t

y = 5 st

Ditanya t

z

part

part

Jawab

t

y

y

z

t

x

x

z

t

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part

t

z

part

part= (6x) (7) + (-2y) (5s)

t

z

part

part

= 42 ( 2s + 7t ) ndash 10 st (5s)

t

z

part

part= 84 s + 294 t ndash 50 2

s t


s

x

part

part s

x

z

part

part x

Zt

x

part

part

t

y

z

part

part

ds

dy

y s


s

y

y

z

s

x

x

z

s

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part



983089983089

Contoh 215

Diketahui z = 2 x

x = 3u + 2v

y = 5v

Ditanya v

z

part

part

Jawab

v

y

y

z

v

x

x

z

v

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part

dv

dy

y

y x

v

vu

x

y x

v

z

part

part+

part

+part

part

part=

part

part )()23()(33

v

z

part

part = 3 2 x y(2) + 3

x (5) = 6 2 x y + 5 3

x



983089983090



dalam bentuk t

a

w = x

2

y

3

x = t

2

y = t

3

b w = e

x cos y + e

y sin x x = 4t 2t


3 y = tsup2 z = t

d w = x2





b


c g = ex+yz


3 Jika z = x2 y x = 2t-s y = 1-s

2t tentukan

s = -1 t = 2

4 Jika w = u2



2 x = p cos sin





983089983091

DAFTAR PUSTAKA







983089983089

Contoh 215

Diketahui z = 2 x

x = 3u + 2v

y = 5v

Ditanya v

z

part

part

Jawab

v

y

y

z

v

x

x

z

v

z

part

part

part

part+

part

part

part

part=

part

part

dv

dy

y

y x

v

vu

x

y x

v

z

part

part+

part

+part

part

part=

part

part )()23()(33

v

z

part

part = 3 2 x y(2) + 3

x (5) = 6 2 x y + 5 3

x



983089983090



dalam bentuk t

a

w = x

2

y

3

x = t

2

y = t

3

b w = e

x cos y + e

y sin x x = 4t 2t


3 y = tsup2 z = t

d w = x2





b


c g = ex+yz


3 Jika z = x2 y x = 2t-s y = 1-s

2t tentukan

s = -1 t = 2

4 Jika w = u2



2 x = p cos sin





983089983091

DAFTAR PUSTAKA







983089983090



dalam bentuk t

a

w = x

2

y

3

x = t

2

y = t

3

b w = e

x cos y + e

y sin x x = 4t 2t


3 y = tsup2 z = t

d w = x2





b


c g = ex+yz


3 Jika z = x2 y x = 2t-s y = 1-s

2t tentukan

s = -1 t = 2

4 Jika w = u2



2 x = p cos sin





983089983091

DAFTAR PUSTAKA







983089983091

DAFTAR PUSTAKA





diferensial total dan diferensial fungsi dari fungsi

Documents