diferensial total - aswhat.files.wordpress.com · diferensial total mk. kalkulus lanjut mkmat3315 1...

33
DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 ©Aswad2016 1

Upload: lydiep

Post on 06-Sep-2018

226 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

DIFERENSIAL

TOTAL MK. Kalkulus Lanjut

MKMAT3315

©Aswad2016 1

Page 2: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

Definisi 4.1

Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y.

Diferensial total dari z adalah:

𝑑𝑧 =𝜕𝑧

𝜕𝑥𝑑𝑥 +

𝜕𝑧

𝜕𝑦𝑑𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦

©Aswad2016

2

By definisi 1, misalkan w = f(x, y, z) dengan dx =

∆x, dy = ∆y, dan ∆z = dz, maka diferensial total

dari u adalah

𝑑𝑤 =𝜕𝑤

𝜕𝑥𝑑𝑥 +

𝜕𝑤

𝜕𝑦𝑑𝑦 +

𝜕𝑤

𝜕𝑧𝑑𝑧

Page 3: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

Berdasarkan Definisi 4.1, Misalkan dx = Δx dan

dy = Δy yang masing-masing menyatakan

perubahan kecil dari x dan y. Aproksimasi

yang baik bagi Δz adalah dz.

©Aswad2016

3

Page 4: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

©Aswad2016

4

Contoh 1

Misalkan z = f(x, y) = x2 + 3xy – y2

a. Tentukan fungsi dz

b. Jika x berubah dari 2 ke 2,05 dan y

berubah dari 3 ke 2,96, tentukanlah dz

nya. Bandingkan dengan besar Δz yang

sesungguhnya.

Page 5: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

©Aswad2016

5

Penyelesaian

E.o.E.1

Page 6: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

©Aswad2016

6

Contoh 2

Tentukan diferensial total dari

a. z = 2x sin y – 3x2y2

b. w = x2 + y2 + z2

Page 7: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

©Aswad2016

7

Penyelesaian

E.o.E.2

Page 8: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

Definisi 4.2

Fungsi f yg dituliskan sebagai z = f(x, y) dapat

diturunkan (differentiable) di (x0, y0) apabila ∆z

dapat dituliskan ke dalam bentuk:

∆z = fx(x0, y0)∆x + fy(x0, y0)∆y + ε1∆x + ε2∆y

dengan ε1 → 0 dan ε2 → 0 untuk (x0, y0) → (0, 0).

Fungsi f terdiferensial di daerah R apabila f

terdiserensial di setiap titik di R.

©Aswad2016

8

Page 9: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

©Aswad2016

9

Contoh 3

Tunjukkan bahwa fungsi

f(x, y) = x3 + 3y

Terdirensial di setiap titik (x, y).

Page 10: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

©Aswad2016

10

Penyelesaian

Perhatikan bahwa ε1 = ∆x dan ε1 = 0.

Karena ε1 → 0 dan ε2 → 0 untuk (∆x, ∆x) → 0

maka jelas bahwa f terdirensial di setiap titik (x, y).

E.o.E.3

Page 11: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

Perhatikan bahwa pada fungsi satu

variabel, f dikatakan terdiferensialkan

di satu titik apabila f memiliki turunan di

titik tersebut. Pada fungsi dua variabel,

eksistensi turunan parsial fx dan fy tidak

menjadi jaminan bahwa fungsi

tersebut terdiferensialkan di (x, y).

©Aswad2016

11

Page 12: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

©Aswad2016

12

Contoh 4

Tunjukkan bahwa fx(0, 0) dan fy(0, 0)

keduanya ada tetapi fungsi f tidak

terdiferensialkan di (0, 0)

Page 13: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

©Aswad2016

13

Penyelesaian

Dapat ditunjukkan bahwa nilai limit f untuk y = x dan y

= -x berbeda.

Untuk y = x, diperoleh

Untuk y = -x, diperoleh

Artinya, f tidak memilki turunan di (x, y)

Page 14: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

©Aswad2016

14

Padahal turunan parsial terhadap x dan y ada yakni:

E.o.E.4

Page 15: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

Latihan 1

©Aswad2016

15

Page 16: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

©Aswad2016

16

Tentukan diferensial total dari bentuk

berikut:

Page 17: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

©Aswad2016

17

(a). Hitunglah f(2, 1) dan f(2.1, 1.05)

kemudian hitunglah ∆z. (b). Tentukan pula

dz dan bandingkan hasilnya dengan ∆z

Page 18: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

Aturan Rantai / Chain Rule

©Aswad2016

18

Page 19: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

Chain Rule: 1 variabel independent

Misalkan w = f(x, y) dengan f

terdiferensialkan di x dan y. Apabila x = g(t)

dan y = h(t) dengan g dan h keduanya

terdiferensialkan di t, maka w

terdiferensialkan di t dan

𝑑𝑤

𝜕𝑡=𝜕𝑤

𝜕𝑥

𝑑𝑥

𝜕𝑡+𝜕𝑤

𝜕𝑦

𝑑𝑦

𝜕𝑡

©Aswad2016

19

Page 20: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

©Aswad2016

20

Contoh 5

Misalkan w = x2y – y2 dengan x = sin t dan y

= et, tentukan dw/dt dengan t = 0

Page 21: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

©Aswad2016

21

Untuk t = 0, maka jelas bahwa dw/dt = -2

Cara 1

Page 22: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

©Aswad2016

22

Terlebih dahulu, ubah fungsi w kedalam t

menjadi

Selanjutnya, d didiferensialkan terhadap t

diperoleh

E.o.E.5

Cara 2

Page 23: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

©Aswad2016

23

Misalkan w = f(x1, x2, ..., xn) maka dengan x1,

x2, ..., xn adalah fungsi dengan satu variabel

𝑑𝑤

𝜕𝑡=𝜕𝑤

𝜕𝑥1

𝑑𝑥1𝜕𝑡

+𝜕𝑤

𝜕𝑥2

𝑑𝑥2𝜕𝑡

+⋯+𝜕𝑤

𝜕𝑥𝑛

𝑑𝑥𝑛𝜕𝑡

Page 24: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

Chain Rule: 2 variabel independent

Misalkan w = f(x, y) dengan f

terdiferensialkan di x dan y. Apabila x = g(s,

t) dan y = h(s, t) sedemikian sehingga ∂x/∂s,

∂x/∂t, ∂y/∂s, dan ∂y/∂t semuanya ada, maka

∂w/∂s dan ∂w/∂t ada yakni 𝑑𝑤

𝜕𝑠=𝜕𝑤

𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝑠+𝜕𝑤

𝜕𝑦

𝜕𝑦

𝜕𝑠

dan 𝑑𝑤

𝜕𝑡=𝜕𝑤

𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝑡+𝜕𝑤

𝜕𝑦

𝜕𝑦

𝜕𝑡

©Aswad2016

24

Page 25: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

©Aswad2016

25

Contoh 6

Gunakan Chain Rule untuk menentukan

∂w/∂s dan ∂w/∂t dari

w = 2xy

dengan x = s2 + t2 dan y = s/t

Page 26: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

©Aswad2016

26

E.o.E.6

Page 27: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

©Aswad2016

27

Misalkan w = f(x1, x2, ..., xn) dengan x1, x2, ...,

xn adalah suatu fungsi dengan m variabel

yakni t1,, t2, ..., tm.

𝑑𝑤

𝜕𝑡1=𝜕𝑤

𝜕𝑥1

𝑑𝑥1𝜕𝑡1

+𝜕𝑤

𝜕𝑥2

𝑑𝑥2𝜕𝑡1

+⋯+𝜕𝑤

𝜕𝑥𝑛

𝑑𝑥𝑛𝜕𝑡1

𝑑𝑤

𝜕𝑡2=𝜕𝑤

𝜕𝑥1

𝑑𝑥1𝜕𝑡2

+𝜕𝑤

𝜕𝑥2

𝑑𝑥2𝜕𝑡2

+⋯+𝜕𝑤

𝜕𝑥𝑛

𝑑𝑥𝑛𝜕𝑡2

⋮ 𝑑𝑤

𝜕𝑡𝑚=𝜕𝑤

𝜕𝑥1

𝑑𝑥1𝜕𝑡𝑚

+𝜕𝑤

𝜕𝑥2

𝑑𝑥2𝜕𝑡𝑚

+⋯+𝜕𝑤

𝜕𝑥𝑛

𝑑𝑥𝑛𝜕𝑡𝑚

Page 28: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

Latihan 2

©Aswad2016

28

Page 29: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

©Aswad2016

29

Gunakan Chain Rule untuk menentukan

dw/dt dari setiap bentuk berikut:

Page 30: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

©Aswad2016

30

Gunakan Chain Rule untuk menentukan

∂w/∂s dan ∂w/∂t dari setiap bentuk berikut:

Page 31: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

©Aswad2016

31

9. Misalkan w = f(x, y), x = g(t), dan y = h(t),

dengan f, g, dan h differentiable. Gunakan

Chain Rule untuk menentukan dw/dt

dengan t = 2 apabila diketahui:

Page 32: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

©Aswad2016

32

10. Misalkan w = f(x, y), x = g(s, t), dan y =

h(s, t), dengan f, g, dan h differentiable.

Gunakan Chain Rule untuk menentuakn

ws(1, 2) dan wt(1, 2) apabila diketahui:

Page 33: DIFERENSIAL TOTAL - aswhat.files.wordpress.com · DIFERENSIAL TOTAL MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 1 ©Aswad2016 . Definisi 4.1 Misalkan z = f(x, y), dengan dx = ∆x dan dy = ∆y

Selesai

©Aswad2016

33