dicembre 2013 di sette in sette: ieri, oggi domani...un anno – il 2013 – ricco di iniziative...

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  • percorsi nella matematica

    ISSN 1971-0445

    Un format chiamatomate...

    In mostra a Genovale rette curve!

    Giocando,s'impara

    n. 42 dicembre 2013

    Di sette in sette:ieri, oggi... domani

  • Direzione

    Gilberto BiniAngelo Lissoni direttore responsabile

    Comitato scientifico

    Manuel Arala Chaves

    Marina Cazzola

    Maria Dedò

    Simonetta Di Sieno

    Marco Liverani

    Ana Millán Gasca

    Piergiorgio Odifreddi

    Giuliano Spirito

    Italo Tamanini

    Gian Marco Todesco

    Carlo Toffalori

    Pasquale Tucci

    Redazione

    Silvia BenvenutiAnna BettiGiovanna DimitoloPaola Testi Saltini

    Editore

    Kangourou ItaliaSede legale: Via Cavallotti 153 - 20900 Monza (MB)www.[email protected]

    Grafica e impaginazione

    Giovanni Querques [email protected]

    Stampa

    Arti Grafiche Bianca & Volta S.r.l. Trucazzano, Milano

    Segreteria di redazione

    Dipartimento di Matematica “F. Enriques”Università degli Studi di MilanoVia Saldini 50, MilanoE-mail: [email protected]: 02 50316090www.xlatangente.it

    Autorizzazione del Tribunale di Milano del 3 luglio 2008Registro di Stampa n. 427

    XlaTangente è l’edizione italiana di

    Tangente. L’aventure mathématique

    Hanno collaborato a questo numero

    Atractor Anita EusebiGiulia Bernardi Leonardo GariboldiPaolo Caressa Maurizio GiaffredoEmanuela Ciotti Alice LemmoDonatella De Tommaso Valentina MalossiDaniela Della Volpe Giuliano SpiritoSimonetta Di Sieno Antonella Testa

    Traduzioni a cura della RedazioneIllustrazione della rubrica punto fisso di Luca Usai

    XlaTangente pubblica sia lavori su invito dei redattori sia materialeinviato alla redazione – che si riserva la decisione di pubblicarlo. Lapubblicazione è subordinata a una revisione redazionale. La responsa-bilità del contenuto scientifico di ogni lavoro è esclusivamente degliautori. I lavori vanno inviati su cd-Rom alla segreteria di redazione,accompagnati da una versione cartacea e indicando nella prima pagi-na titolo, nome e cognome del/degli autore/i (per esteso), eventualeIstituto di appartenenza, indirizzo, numero di telefono, numero di fax eindirizzo e-mail a cui spedire le bozze ed eventuali comunicazioni.

    Per quanto riguarda le fonti iconografiche e letterarie, l’editore è

    a disposizione degli aventi diritto che non è riuscito a contattare.

    Questo numero è stato chiuso in redazione il 30 gennaio.

  • 42 = 6 × 7 = 7 × 6; 42 come questo numero di XlaTangente, 6 come i numeri che

    avete ricevuto ogni anno negli ultimi 7 anni.

    Fondata nel 2006, la rivista è cresciuta nel tempo (dando vita, ad esempio, al

    sito www.xlatangente.it) grazie al lavoro di squadra di una redazione dinamica

    e pronta a recepire le esigenze del momento. Ora, come Andreas Matt ci

    racconta alle pp. 18-19, è diventata anche partner del progetto “The Translation

    Project” che favorisce lo scambio di articoli fra 4 riviste di comunicazione della

    matematica: Divulgamat, Plus, Images des Maths e, appunto, XlaTangente.

    Un bel riconoscimento, lasciatecelo dire!

    Questa europea è solo una delle sfide che ci stanno coinvolgendo, anche in

    questo periodo in cui, come tutti, facciamo sempre più fatica a trovare risorse

    economiche sufficienti a sostenere l’impresa. Ma non vogliamo tirarci indietro

    e, come primo passo, abbiamo quindi deciso di affrontare questo secondo

    settennato (non vi preoccupate, non puntiamo alla Presidenza della

    Repubblica!) studiando forme economicamente più leggere per continuare a

    proporvi della bella matematica. XlaTangente passa quindi in rete e questo n.

    42 che avete ora in mano è l’ultimo della sua serie cartacea. Ci prendiamo i

    prossimi tre mesi per costruire una proposta che sia all’altezza delle nostre e

    delle vostre aspettative. Se avete voglia e/o tempo usateli anche voi per farci

    sapere quali temi, quali punti di vista vi piacerebbe trovare nella nuova

    versione: potete farlo compilando il questionario che troverete sul sito, ma

    anche scrivendo direttamente: alla redazione ([email protected]) o a

    me ([email protected]).

    Comunque noi ci faremo risentire a breve con tutti – abbonati e no, per lettera o

    direttamente su www.xlatangente.it – per raccontare l’evoluzione del progetto:

    rimanete sintonizzati!

    Per cominciare, non perdetevi i fuochi d’artificio di questo numero, ricco di

    novità e di spunti per riflettere, imparare e approfondire. Continua il

    mateturismo (iniziato nel n. 41) a Bergamo, a Bologna e in Portogallo. Si parla

    ancora del MiC con le guide per la città e con Valentina Malossi che ha reso

    possibile la realizzazione del progetto nella città di Bolzano. La matematica ci

    accompagna anche nello skyline delle metropoli con l’articolo di Paolo Caressa.

    Termina in questo numero “118 a Matelandia”, la storia di Mago Rigore e Fata

    Kreattiva. Dopo la fuga della Strega Pedante, i nostri eroi sono alle prese –

    pazientemente – con la ricostruzione della loro bella città, Matelandia.

    E poi le rubriche di sempre, quelle storiche e quelle più recenti.

    Con un grazie a tutti i collaboratori che ci hanno accompagnato in questa

    avventura!

    Arrivederci

    Gilberto Bini

    Come editore di XlaTangente, mi piace ringraziare qui la Redazione e il suo

    Direttore per il bel lavoro che hanno compiuto in questi anni.

    Angelo Lissoni

  • Un grande progetto mondiale. Un anno – il 2013 – ricco di iniziative scientifiche, convegni di ricerca e attività per tutti.Una mostra particolarissima, open source, modulare, al contempo materiale e virtuale, fruibile in tutto il mondo. E unagara, aperta a chiunque voglia partecipare – singoli o strutture – per la realizzazione della mostra.Se vuoi proporre la tua idea per uno o più moduli, partecipa anche tu, inviando delle istruzioni per realizzare un ogget-to materiale, o un exhibit interattivo virtuale, o, ancora, un film o una serie di immagini.C’è tempo fino al 15 settembre 2012!

  • 3

    punto fisso

    a cura di LUCA USAI

    Luca Usai è illustratore e vignettista.

    Collabora con le case editrici Disney Italia e Piemme

  • so

    mm

    ari

    o

    1 editoriale

    3 punto fisso

    6 MPE2013Mathematics of Planet Earth 2013+

    8 Tu immagini, noi... “Immagini della Matematica”

    10 dal mondo di MATh.en.JEANS MeJ: via alla quinta edizione!

    11 fuoribordo TesLab

    12 Il miglior GPS per non perdersi: la matematica in città! (II)GuidaMiC: a spasso con il matematico!La matematica è dappertuttoOltre l’Italia... dal PortogalloCi passa o non ci passa?

    18 La matematica... all around the world

    21 Rette... Rotonde

    24 Grattacieli e crisi economiche

    28 Che cos’è la Teoria dei Giochi?

    30 uomini che contanoDavid Hilbert

    32 Sui problemi futuri della matematica. I 23 problemi

    34 David Hilbert. Ma chi era davvero costui?

    35 118 a MatelandiaInduzione, esaustione, tassellazione!!!

    38 a tutto volume

    40 i giochi dei canguriLe gare di matematica hanno una compagna inglese

    42 le isole del sapereLa misura dell’accelerazione di gravità tra storiae didattica

    45 popcorn e celluloideLa creatività al servizio dei dati scientifici: le infografiche

    46 un gioco nell’ariaLe suggestioni dell’infinito

    48 la Via delle Immagini

    Immagine di copertina

    di Giovanni Querques

    2013dicembre

    42

  • 6

    numero 42

    dicembre 2013N

    AS

    A/

    JPL

    Si conclude con un pizzico di nostal-gia questo lungo anno ricchissimo diiniziative ed eventi in tutto il mondonello spirito del progetto mondialeMathematics of Planet Earth 2013(MPE2013). Abbiamo girovagato e cu-riosato andando da un continente al-l’altro, da esposizioni di exhibit a con-vegni accademici, da seminari nellescuole a conferenze per il pubblicogenerico tenute dai maggiori espertimondiali. E in tutte queste occasionidue sono stati i veri protagonisti: ilnostro Pianeta e la matematica, stru-mento utile, se non essenziale, per af-frontare al meglio le serie problemati-che che riguardano la Terra. E per ri-solverle del tutto là dove possibile.Come abbiamo visto, in generale sicerca di ridurre, con non poca fatica,tali problematiche a modelli matema-tici. Le componenti in gioco sono peròvarie e le loro interazioni sono moltocomplesse: i confini disciplinari non

    sono netti ed è richiesta molto spessola comprensione di processi fisici e bio-logici, oltre che matematici, sui qualipoggiano a loro volta processi politicied economici propri della vita del ge-nere umano sulla Terra.È necessario, allora, un impegno serioe significativo, teorico e pratico, che siesprima su piani differenti, intrinseca-mente multidisciplinari. Un impegnoche risponda in modo adeguato in ter-mini di sostenibilità e impatto sull’am-biente. Un impegno, infine, che non siesaurisca con quest’anno ma riesca acoinvolgere matematici e scienziatiben oltre il 2013. Questo il significato di Mathematicsof Planet Earth 2013+, un programmaspeciale organizzato dal Center forDiscrete Mathematical and Theoreti-cal Computer Science (DIMACS) dellaRutgers University, prestigioso centrodella scienza e della tecnologia dellaNational Science Foundation (NSF)

    statunitense, che dispone di 13 orga-nizzazioni come partner e di circa 360scienziati affiliati. Il coordinamentodelle attività spetterà a Fred Roberts,direttore emerito del DIMACS. Poichéi problemi che affliggono il Pianetanon scompariranno certo con il nuovoanno, è importante proseguire le atti-vità anche in futuro, sulla base delgrande lavoro fatto durante il 2013, ea tale scopo la NSF, che si preoccupadi promuovere la scienza e l’ingegne-ria attraverso programmi di ricerca eprogetti educativi, ha stanziato più di450 mila dollari.Il progetto MPE2013+ sarà organizza-to intorno a cinque grandi temi di ri-cerca nell’ambito della sostenibilità: lagestione delle risorse naturali (comel’acqua, le foreste, le scorte di cibo),gli ambienti per l’uomo sostenibili (intermini di città “intelligenti” e sistemidi sicurezza), i disastri naturali (con at-tività di monitoraggio e di risposta

    di ANITA EUSEBI

    Mathematics of Planet Earth 2013+

    Il delta della Dvina e la città di Arkhangelsk nella Russia europeaLinea che separa il giorno dalla notte sulle Americhe. Isole Galapagos (Ecuador)

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    dicembre 2013

    MPE2013

    alle conseguenze), l’uso consapevoledell’energia (considerando i portafoglidi investimento in energia alternativa,veicoli elettrici, case “intelligenti”) e ilcambiamento globale (includendol’osservazione e l’adattamento agli ef-fetti del cambiamento).Sulla scia dei grandi risultati ottenutida MPE2013, il progetto MPE2013+,che è parte della Sustainability Initia-tive DIMACS, prevede workshop acca-demici, cicli di conferenze, sessioniorientate all’educazione e mini-labo-ratori volti a incoraggiare la ricerca ead affrontare le criticità fondamenta-li presenti nelle aree in questione. Inparticolare, in ciascun ambito si orga-nizzeranno gruppi di lavoro interdisci-plinari nei quali scienziati e ricercatoricoinvolgeranno studenti, dottorandi ecolleghi. L’idea è che i gruppi di lavorovadano poi a formare dei Researchand Education Forum (REF), ciascunoassociato a ogni area di ricerca, che aloro volta saranno organizzati come le“SQuaREs” dell’American Institute ofMathematics (AIM), che hanno costi-tuito un grande vantaggio logistico-organizzativo nell’ambito di MPE2013. Saranno attivati anche dei pre-work-shop rivolti a dottorandi, dottori di ri-cerca e giovani docenti, con particola-re attenzione agli incontri sulle scien-ze matematiche, per fornire le basinecessarie a coloro che sono digiunidi conoscenze e competenze specifi-che nelle cinque macro-aree di studioindicate. I temi di questi tutorial sa-ranno in particolare i sistemi critto-grafici fondamentali (come le funzionihash), la sicurezza nel caso di nuoviparadigmi (come il cloud computing),alcuni elementi di Teoria dell’Informa-zione e di Teoria dei codici che stannoalla base dei moderni protocolli di co-municazione.Un pre-workshop di presentazione delprogramma speciale MPE2013+ èstato il Workshop on Urban Planningfor Climate Events, tenutosi lo scorso23-24 settembre presso la Rutgers

    University. Sono stati esaminati stru-menti algoritmici in grado di gestiregrandi quantità di dati, utilizzati neiprocessi di adattamento e mitigazio-ne di eventi climatici come le tempe-ste e le inondazioni, o nel funziona-mento della metropolitana, nella pia-nificazione di servizi relativi alla forni-tura di energia, nei settori della comu-nicazione, del monitoraggio dei servi-zi di emergenza considerati in terminidi modellazione matematica e analisialgoritmica.Ma il primo vero e proprio MPE2013+Workshop è Challenge and Opportu-nities, che si terrà il 7-10 gennaio 2014presso l’Arizona State University. Ilworkshop si propone di coinvolgerestudenti e giovani ricercatori nellesfide relative al nostro Pianeta, alruolo della matematica nell’affrontar-le e alle opportunità conseguenti allapartecipazione a queste attività. Poi sarà la volta del Workshop on Su-stainable Human Environments, il 23-25 aprile 2014, alla Rutgers Universitynel New Jersey, del Workshop on Glo-bal Change, il 19-21 maggio 2014 all’U-niversity of California a Berkeley e delWorkshop on Data-aware Energy Use,previsto per settembre 2014 semprepresso l’University of California a SanDiego. Altri workshop sono già in pro-gramma persino per il 2015, come ilWorkshop on Natural Disasters il 13-15 maggio a Georgia Tech, il Workshop

    on Management of Natural Resourcesil 4-6 giugno presso l’Howard Univer-sity a Washington e il Workshop onEducation for the Planet Earth of To-morrow all’University of Tennessee.Il programma MPE2013+ si presentadunque fin d’ora ricco e interessante,e merita senz’altro di essere seguitocon attenzione. Dalla simbiosi tra ma-tematica e informatica a cui è im-prontato ci si possono aspettaregrandi passi avanti, sia nella compren-sione profonda dei meccanismi cheregolano la dinamica del Pianeta, sianell’implementazione di una rete dimonitoraggio e controllo a livelloglobale. Infatti, la straordinaria po-tenza di calcolo dei supercomputergià consente di raccogliere ed elabo-rare enormi quantità di informazioniprovenienti da tutto il globo, ma solograzie a sofisticati modelli teorici èpossibile interpretare in modo signifi-cativo tali informazioni e fornire indi-cazioni utili per interve nire tempesti-vamente sui parametri sensibili. Lamessa a punto e la validazione di que-sti modelli costituiscono un compitonel quale i matematici hanno tanto daoffrire, ma anche tanto da imparare:la buona matematica, anche la piùastratta, porta sempre ad applicazio-ni interessanti, e queste ultime a lorovolta sono sempre state preziosefonti di ispirazione per nuove teoriematematiche.

    Anita EusebiHa conseguito la Laurea in Matematica e il Dottorato in InformationScience and Complex Systems presso l’Università di Camerino, occupando-si di Crittografia Quantistica. Da diversi anni svolge attività di animazionee divulgazione scientifica; è responsabile per l’Università di Camerino delprogetto Colors of Math. È iscritta al master in Comunicazione dellaScienza alla Sissa di Trieste, fa parte della redazione di Maddmaths! e col-labora con Zanichelli nell’ambito dell’editoria [email protected]

    Per approfondire

    • http://mpe2013.org/mpe2013index/• http://dimacs.rutgers.edu/

    Il fiume Napo (Ecuador)

    NA

    SA

    /JP

    L

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    numero 42

    dicembre 2013

    Comprendo, intendo, capisco; fiuto,colgo, intuisco: vedo! Il libro Immagi-ni della Matematica di Georg Glaesere Konrad Polthier, tradotto in italianoa cura del Centro “matematita”, è unarassegna di immagini che sembra par-lare da sola e che accompagna i letto-ri a “vedere” risultati, metodi e idee diquella fantastica disciplina che è lamatematica.

    Sono 15 capitoli, suddivisi in brevi pa-ragrafi, con immagini, testi e rimandisitografici. Pochissime formule, nes-sun enunciato e ampio spazio all’im-maginazione del lettore, che può im-mergersi nel mondo virtuale di moltediscipline, dalla geometria all’algebra,all’analisi, fino alle applicazioni negliambiti più disparati.

    Non si può che rimanere fortementecolpiti da questo libro che non solopresenta una grande varietà di imma-gini – davvero bellissime! – ma pro-pone anche un percorso affascinanteattivando un nuovo canale di comuni-cazione. Le immagini irrompono sulla

    scena con una tale efficacia che spes-so sembrano dettare il filo logico deldiscorso, come se il testo fosse sol-tanto un utile accessorio.

    Apro il libro a caso e a p. 130 leggo “Iltoro di Császár. Un toro poliedralecon un numero minimo di vertici”.Sotto c’è una grande figura colorata eparticolarmente elegante (figura 1). Asinistra si vedono tre triangoli grandi,tre più piccoli e – con uno zoom sul-l’immagine – una fessura. È la rappre-

    sentazione di un toro poliedrale la cuisuperficie è costituita da un’unione ditriangoli. A destra, invece, compaiono dei ver-tici numerati: sette, per la precisione.I vertici numerati con 1,2,3 e 7 sonoanche segnati, senza etichetta, sultoro di sinistra; gli altri non si vedono:saranno sul retro? Così si può pensarenotando la trasparenza delle superfi-ci. Incredibile come due figure con-tengano in sé tante informazioni darendere necessari due capoversi(come quelli che sto scrivendo), se levoglio descrivere più da vicino. Esenza capirci poi molto…

    Volgendo lo sguardo sulla pagina 131a destra, trovo una successione di di-segni, che inizia con un toro simile aquello in figura 1 a sinistra e finiscecon uno sviluppo piano (figura 2). Masì: con quattro immagini si vede addi-rittura il toro poliedrale che si aprefino ad appiattirsi. Una didascalia midice che si tratta di uno svilupposenza sovrapposizione. Ritorno al-l’immagine e vedo che, in effetti, non

    Tu immagini, noi... “Immagini della Matematica”

    Le immagini del libro “Bilder der Mathematik” parlano ora anche in Italiano: “leggerle” èdiventato più facile

    Figura 1

    Figura 2

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    dicembre 2013

    ci sono sovrapposizioni. Come saràuno con sovrapposizioni? Vediamo seviene raffigurato nel resto della pagi-na. No, trovo solo figure con delle dida-scalie: non sono sviluppi. Leggo iltesto e trovo informazioni di tipo sto-rico e matematico, ma niente di cosìdivertente come lo “spulciare” le fi-gure alla ricerca delle loro proprietà.Non pensavo che l’immagine potessesolleticare la curiosità al punto di di-ventare un tramite di comprensione.

    Il libro è tutto strutturato in questomodo. Ogni paragrafo prende al mas-simo due pagine con molte immaginie poco testo. Al lettore la libertà difermarsi caparbiamente su una o duepagine per cercare di comprendere,lasciandosi affascinare dalle diverseproposte in modo da ricavarne unosguardo d’insieme.

    Provo di nuovo ad aprire il libro acaso e mi capita il capitolo 14, intito-lato “Carte geografiche e altre rap-presentazioni”. Problema teoricamen-te complicato quello di disegnarecarte geografiche: ha da sempre ri-chiesto la collaborazione di geometrie cartografi. Sfoglio le pagine succes-sive e mi trovo immerso in mappa-mondi, planisferi disegnati su sviluppidi poliedri, modelli di varie proiezionicartografiche come quella cilindrica equella di Mercatore. Sembra unsogno: ti viene voglia di approfondire,navigare sui siti indicati in fondo allapagina, documentarti.

    Si possono anche realizzare dei per-corsi trasversali a seconda dei proprigusti e delle proprie curiosità. Adesempio, chi ama la teoria dei nume-ri può partire da La funzione zeta diRiemann, saltare poi a La sfera diRiemann e infine concludere con Ilrovesciamento della sfera, passandocosì per la geometria complessa e fi-

    nendo con la topologia. Chi invece silascia incuriosire dalla geometriaproiettiva può collegare il paragrafoModelli del piano proiettivo conquello su Il teorema di Desargues eancora con quello su Le trasforma-zioni di Moebius a partire dai movi-

    menti della sfera. Tappe diverse di unviaggio che attraversa molti confini...Invece di partire da una formula dellamatematica, si parte così da un’imma-gine della matematica e poi si innescaun’indagine che la analizza e la rico-struisce in base a quanto scoperto at-

    traverso la spinta a conoscere e i sup-porti – testuali e sitografici – indicati.

    L’immagine come nuovo canone di co-municazione: “Mi piace”, come si dice suFacebook! A parte gli scherzi, è facile pre-vedere che nei prossimi anni dovremotutti fare i conti con questi nuovi canoniper coglierne le potenzialità che sonostate finora sviluppate soltanto in parte.

    ddt

    Proiezione gnonomica

    Inventato dal matematico ungherese Ákos Császár nel 1949, si tratta diun poliedro con 7 vertici, 21 spigoli e 14 facce. Ha quindi caratteristicadi Eulero 0 ed è perciò topologicamente equivalente a un toro (da cuiil nome). È privo di diagonali, cioè ogni coppia di vertici è collegata dauno spigolo. Il suo duale è un toro con 7 facce, 21 spigoli e 14 vertici;come nel toro senza diagonali due vertici qualsiasi sono uniti da unospigolo, così in questo toro due qualsiasi facce si toccano lungo unospigolo… e quindi occorrono 7 colori diversi per colorarlo.

    Il toro di Császár

    Proiezione stereografica

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    numero 42

    dicembre 2013

    MeJ: via alla quinta edizione!

    dal mondo di MATh.en.JEANS

    a cura di PAOLA TESTI SALTINI

    Con 21 classi di scuola secondaria diI grado che lavorano su 12 Progetti e13 classi di scuola secondaria di IIgrado che lavorano su 7 Progetti, laquinta edizione di MeJ ha preso il via!Raccolgo i dati di questa edizione nelbox qui a fianco e trascrivo due pro-blemi che sono stati proposti ai ra-gazzi: un’ottima occasione di rifles-sione anche per il lettore di XlaTan-gente...

    Un Erasmus nello spazio

    Uno studente di architettura vive estudia su un pianeta "piano" e decidedi andare a studiare su un altro pia-neta formato da migliaia di asteroidimolto piccoli, e dove ogni edificio oc-cupa un intero asteroide. Subito gliviene assegnato un compito: disegna-re il progetto di alcuni pavimenti fattidi piastrelle tutte uguali fra loro e diforma regolare. Si sente molto fortu-nato perché lo stesso compito gli eragià stato assegnato nella sua vecchiauniversità "piana". Consegna lo stesso

    lavoro che aveva già svolto e che nelsuo pianeta era stato valutato moltobene, ma glielo bocciano subito.Riuscite a immaginare che tipi di pa-vimento può aver disegnato? Perchévengono subito bocciati? Come devecorreggere il suo compito? [ricercato-re MeJ: Chiara Bollati, sec. di I grado]

    Shields Up!

    Gli scudi dell’Enterprise si sono disat-tivati. Dobbiamo ricorrere alla ge-stione manuale remota. Lo scudo dienergia deve essere una sfera attornoalla nave, ma i singoli distorsori dicampo subspaziale possono generaresolo porzioni di scudo, sotto forma dipoligoni sferici. È possibile combinarei poligoni sferici per comporre la sferaprotettiva? Quali poligoni è meglioscegliere? Come vanno disposti? [ri-cercatore MeJ: Lorenzo Caviglia, sec.di II grado]

    La Redazione mi ha lasciato pochissi-mo spazio in questo numero, cosìposso soltanto comunicare che il Con-vegno finale di MeJ è fissato per saba-to 12 aprile 2014 presso il Dipartimen-to di Matematica (via Saldini 50, Mila-no) e che una delegazione di MeJ par-teciperà all’evento UNIMI_under18nei giorni 8-11 maggio 2014.

    Chiudo con una bella notizia: un no-stro ricercatore MeJ – Matteo Borto-lotto – ha vinto il “Premio per unatesi di laurea magistrale in Matemati-ca” bandito dall’Università degliStudi di Trento e dedicato al dott.Domenico (Mimmo) Luminati. La tesiriguarda “La geometria del compas-so” che è anche argomento del pro-blema che quest’anno Matteo ha pro-posto ai suoi ragazzi di MeJ. Complimenti a Matteo anche da que-ste pagine... un sorriso a Mimmo. Buon lavoro a tutti!

    8 Regioni Abruzzo, Emilia-Romagna, Liguria, Lombardia, Piemonte, Si-cilia, Trentino Alto Adige e Veneto14 Provincie Milano, Agrigento, Bergamo, Bolzano, Chieti, Como, Ge-nova, La Spezia, Lecco, Monza Brianza, Parma, Torino,Trento e Varese27 scuole di cui 16 di primo grado e 11 di se-condo grado (Licei scientifici, Istituti di Istru-zione Superiore)34 gruppi di lavoro di cui 21 classi/gruppidi scuola secondaria di I grado e 13 clas-si/gruppi di scuola secondaria di II grado19 progetti di ricerca800 studenti, 35 docenti, 18 ricercatori

    Chiara Bollati

    Lorenzo Caviglia

  • 11

    numero 42

    dicembre 2013

    Nel 2012, con la riqualificazione di un’ala del centro giova-ni “Arciragazzi” di Bolzano, nasce TesLab – Science, Art &Culture, un progetto che indirizza ragazzi e ragazze verso laricerca dei propri interessi e delle proprie aspirazioni, for-nendo gli strumenti necessari per perseguirli e promuoven-do in particolare la divulgazione della cultura scientifica.“Arciragazzi” è un’associazione attiva a livello nazionale i cuiprincipali obiettivi sono educativi, formativi, culturali e diprevenzione delle diverse forme di disagio. Al suo interno,a livello locale, è sorta l’esigenza di lasciare un’impronta ca-ratteristica. Ecco quindi TesLab, un progetto con un ap-proccio multidisciplinare volto allo sviluppo di competen-ze nei giovani, che si propone come veicolo per fornire sti-moli e favorire l’acquisizione di competenze spendibilianche in campo lavorativo e/o extra-scolastico, partendoda un unico comune denominatore: la scienza.Il nome TesLab prende spunto da Nikola Tesla, brillante, fa-moso, controverso, discusso e amato scienziato serbo vis-suto a cavallo tra ‘800 e ‘900, nonché cuore pulsante dellarivoluzione tecnologica dell’elettricità.TesLab, come Nikola, sperimenta e progetta. L’idea consisteinfatti nel dar forma a un laboratorio creativo, autonomo eversatile con corsi e workshop proposti dallo staff internoo direttamente dai frequentatori e fruitori dello spazio.I laboratori svolti finora hanno affrontato diverse temati-che: dalla fisica ottica alla quarta dimensione, passando perle reazioni esotermiche e oltre.Il primo corso proposto, il Pinhole Photo Lab, cavallo di bat-taglia per il lancio dei successivi progetti firmati TesLab,aveva come tema la stenoscopia, un procedimento fotogra-fico che sfrutta il principio della camera oscura per la ri-produzione d’immagini. In poche parole si tratta di un con-tenitore a prova di luce con un piccolo foro su una faccia(totalmente oscurabile) e un materiale fotosensibile (pelli-cola o carta) posizionato al suo interno. Il foro funge daobiettivo; scoprendolo, la luce penetra proiettando e im-primendo sul materiale fotosensibile l’immagine visibile al-l’esterno: un dispositivo fotografico rudimentale ma effica-ce e molto creativo. Durante il corso, sono stati illustrati lastruttura e il funzionamento della macchina fotograficastenopeica (compresa la sua costruzione), e sono stati for-niti alcuni principi base di fotografia e di stampa. I parteci-panti hanno appreso l’importanza di alcuni principi della fi-sica e della chimica, concentrandosi in particolare sull’ap-plicazione dei principi dell’ottica a contesti tangibili comela fotografia e sulle reazioni chimiche legate al processo distampa in bianco e nero.

    Un altro esempio di workshop pensato per fornire stimolidal punto di vista artistico e professionale è Screen PrintingLovers, un laboratorio di serigrafia, realizzato in collabora-zione con Odd, in cui è stato spiegato il processo fotochi-mico che sta alla base della preparazione dei telai (incisio-ne mediante raggi ultravioletti), oltre agli aspetti fonda-mentali della tecnica di stampa serigrafica, dalla racla agliinchiostri, dai telai ai supporti ecc.TesLab si è occupato anche di matematica: l’ipercubo e la quar-ta dimensione, così come altri argomenti matematici, vengonoillustrati in rapporto al contesto urbano grazie a MiC – Mate-matica in Città, un progetto che invita a osservare con l’occhiodel matematico alcuni aspetti della realtà quotidiana. XlaTan-gente se ne è già occupata nel numero scorso e nelle pagineche seguono Maurizio Giaffredo continua a raccontarlo.Un ultimo esempio è l’incursione di TesLab in eventi a séstanti, slegati da progetti specificamente formativi ma otti-mi contesti in cui diffondere la scienza in modo divertentee curioso. È il caso della festa di quartiere Insieme a Casa-nova, in cui il fluido non newtoniano e le reazioni esotermi-che hanno avvicinato bambini e bambine alla chimica e delfestival bolzanino Art May Sound, in cui la serigrafia ha affa-scinato i partecipanti alla manifestazione.

    fuoribordo

    TesLabdi VALENTINA MALOSSI

    A Bolzano un progetto di divulgazione scientifica dentro un centro giovanile!

    Valentina MalossiLaureata in Conservazione e Diagnostica diOpere d’Arte a Ferrara, per lavoro fa tutt’altro:coordina progetti, si occupa di eventi e didat-tica per TesLab. Tiene il blog [email protected]

    La pagina di TesLab sul sito del centro giovani “Arciragazzi” a Bolzano

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    Il miglior GPS per non perdersi:la matematica in città! (II)

    “Per lo studente medio – si sa – la matematica è una rot-tura di scatole: una serie di noiosi calcoli da mettere in filaper risolvere problemi che, il più delle volte, risultano as-surdi e lontani dalla realtà, se non completamente inutili”.Si potrebbe discutere a lungo sulla veridicità e sulla sensa-tezza di queste affermazioni, sulla loro vaghezza, sul fattoche ciò che si studia non debba necessariamente essere le-gato a un’applicazione “pratica”, e via dicendo… Ma questoci porterebbe lontano, facendoci dimenticare il fatto cheuna fetta importante degli studenti (italiani ma non solo) lapensi così. Se si vuole sradicare questa opinione, un buonmodo può essere quello di far emergere la sua totale in-consistenza. Ed è importante che ciò accada quando si è

    giovani, perché poi rischia di essere troppo tardi. Già, per-ché della stessa idea – purtroppo – è la maggior parte dellepersone che incrociamo tutti i giorni per strada, annoiate,se non addirittura terrorizzate, dai propri ricordi (per lo piùscolastici) legati alla materia. La differenza è che, in genera-le, gli “adulti” sono meno disposti a cambiare punto di vista.Sono profondamente convinto che questa concezione dellamatematica sia un appiattimento inaccettabile, che priva glistudenti (indipendentemente dall’ordine e grado della loroscuola) di esperienze estremamente interessanti, formativee culturalmente stimolanti. Chi condivide queste valutazio-ni, dunque, non può che guardare con favore a un cambia-mento, a una novità. Scardinare quella percezione, oramaiassurta a stereotipo, per alcuni è una sfida: una battaglia che– ne sono convinto – vale la pena di combattere, nel tenta-tivo di proporre a tutti uno sguardo alternativo, e possibil-mente meno “traumatizzato”, sulla “nostra” disciplina.

    Quando ho potuto collaborare, seppur marginalmente, allaparte operativa di MiC, sono stato dunque entusiasta: MiCè esattamente ciò di cui c’è bisogno per dare un seguito allebuone intenzioni.Tra me e me pensavo che, in fin dei conti, sarebbe stato sintroppo facile: avrei dovuto “semplicemente” scarrozzare ingiro per Bolzano delle scolaresche, raccontando di qualchefatto matematico. Chiaramente, sottovalutavo il problema.Ma quando il momento del dunque si stava avvicinando, hoiniziato a chiedermi sempre più spesso (e non senza un velodi preoccupazione) se l’esperimento avrebbe mai funziona-to. In fondo – riflettevo – perché mai un gruppo di dicias-settenni avrebbe dovuto dare retta a uno che gli avrebbeparlato di matematica per un’ora e mezza? A quell’età si haaltro per la testa!Immaginate quindi il timore con il quale scrutavo le lorofacce quando, dopo averli incontrati nei pressi della stazio-ne, ho proposto loro di fare un giro della città “indossandogli occhiali del matematico”. In effetti, assumevano delleespressioni che sprigionavano scetticismo e una certa diffi-denza nei miei confronti: che cosa ci poteva essere dibuono in uno strano individuo che esordiva raccontandodella propria passione per la barbosissima matematica?Come se non bastasse, aveva da poco cominciato a piovere.L’aria era fredda e il cielo cupo: quale peggiore cornice? A

    GUIDAMIC: A SPASSO CON IL MATEMATICO!

    Nel numero 41 di XLaTangente, Ester Dalvit ci ha parlato di “Matematica in Città” (MiC), il progetto altoatesinoche mira a valorizzare gli aspetti culturali della matematica attraverso alcune “provocazioni” sparse per la città di Bolzano. Sfidando le intemperie, i temerari della classe IV A dell’Istituto Tecnico Commerciale di Ora mi hanno seguito in una full immersion di MiC. Come se la sono cavata questi “eroi”?

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    guardarli bene – notavo – il morale della “truppa” sembravagià essere sotto le scarpe. E non ci eravamo ancora mossi!Viste le premesse, c’è qualcosa di misterioso in quello che èsuccesso in seguito. Una strana “magia”, che a dire la verità micapita di osservare abbastanza spesso nelle esperienze fuoridalle mura di scuola. È come un risveglio generale, una cadutaimprovvisa dalle nuvole. Non succede sempre e ognuno ha ipropri tempi di carburazione, ma se accade, c’è un momentopreciso in cui chi conduce il gioco se ne accorge. In quel mo-mento sa di avercela fatta: da lì in poi, la strada è in discesa.Con questi ragazzi alla scoperta di MiC, qualcosa si è inizia-to a smuovere già alla prima sosta: alcuni mostravano uncerto interesse per il problema dei ponti in versione bolza-nina. In partenza erano molto spiazzati, ma parevano ancheincuriositi. Effettivamente, per loro non doveva avere lesembianze di un problema matematico, se non altro di unodi quelli che si fanno a scuola: non ci sono x e y e mancanoi numeri, le operazioni, le equazioni. Come poteva esserematematica, quella cosa lì? C’era anche un po’ di timidezzanell’aria: nessuno osava azzardare risposte. Ci voleva perforza il solito, un po’ più coraggioso degli altri, che rompes-se il ghiaccio. Puntualmente, come spesso accade, non ètardato ad arrivare un primo tentativo, che ha scatenatouna serie di risposte alternative. In men che non si dica era-vamo in mezzo alla piazza principale di Bolzano, a chiac-chierare di matematica e – miracolo – a qualcuno piaceva!

    A onor del vero, ho deciso di rimanere con i piedi per terrae di tenere ben presente che non stava funzionando contutti. Una certa dose di colpa era probabilmente mia: avreipotuto cercare un modo migliore per arrivare anche a loro.L’altra parte di colpa, però, era loro: non avrebbero dato anessuno la possibilità di lasciarsi coinvolgere. Ma quelloche mi dava soddisfazione era che i totalmente disinteres-sati si potevano davvero contare sulle dita di una mano,mentre invece la maggioranza sembrava reagire positiva-mente alle mie provocazioni.

    La pioggia aumentava di intensità, ma il giro proseguiva tratassellazioni del tetto del duomo e chicchi di riso su unascacchiera, per arrivare a curvature e torsioni. GuardavamoBolzano da questa nuova prospettiva, con questi “occhialidel matematico” che facevano risaltare aspetti diversi dellacittà e dei suoi elementi. Stavamo proprio “facendo” mate-matica! Io mi nutrivo del loro stupore mentre apprezzava-

    no da un nuovo punto di vista quelle questioni che avevanoa suo tempo affascinato anche me.

    Verso la fine, pioveva davvero forte. Ho proposto ai ragazzidi rifugiarci nell’atrio dell’università, dove abbiamo termi-nato il nostro tour parlando di Flatlandia, ipercubi e quartadimensione. La partecipazione è stata notevole, anche sedurante gli ultimi minuti alcuni erano troppo stanchi perpotermi dare re tta. Ci siamo salutati così, tra l’entusiasmodelle insegnanti (compresa quella di inglese) e il tempo cheera impietosamente volato.

    Spero di essere riuscito a regalare a quei ragazzi uno sguardo di-verso sulla materia più odiata per antonomasia. Non è soloun’ottima palestra per la loro formazione, ma può diventare,soprattutto, un’inesauribile fonte di piacere.

    Tutti i meriti della riuscita di questo grande esperimentovanno a chi l’ha pensato, l’ha voluto, l’ha curato e ci ha cre-duto. Senza dubbio, MiC è sorgente di buona Cultura (quel-la con la C maiuscola). La mia speranza è che ci sia sempre,per ognuno, prima o poi, un paio di “occhiali del matemati-co” da prendere in prestito, anche solo per un’ora e mezza.

    Maurizio Giaffredo

    Maurizio GiaffredoÈ studente di Matematica presso l’Universitàdegli Studi di Milano, appassionato di geome-tria e dintorni. Interessato, tra gli altri, ancheagli aspetti divulgativi della matematica, colla-bora con il Centro “matematita”"[email protected]

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    I progetti “MateBergamo” e “MateBologna” sono nati per ri-scoprire la matematica come occasione per esercitare la ra-zionalità, per godere la bellezza, per fare prove di immagi-nazione.Percorrendo le stradine del centro storico di una qualsiasicittà, si possono osservare dettagli architettonici, decorati-vi e urbanistici della città che svelano aspetti matematici.La città stessa parla e la matematica diventa una chiave dilettura: coniche, simmetrie, tassellazioni, numeri comples-si… intrecciano la loro storia con quella culturale e socialedella città; una passeggiata per il centro storico rivelaforme, geometrie, scelte, leggende e storie di personaggigeniali.Ciò è vero, in particolare, per Bergamo e Bologna.

    A Bergamo, Piazza Vecchia , per secoli cuore politico eamministrativo della città, è il punto di partenza naturaleper una visita... da turisti. Attraverso le logge di Palazzodella Ragione, si apre Piazza del Duomo che raccoglie igrandi edifici religiosi della città. Addossata alla Basilica,sorge la Cappella Colleoni , opera rinascimentale di Gio-vanni Antonio Amadeo. Il movimento dei volumi e la lorotensione verso l’alto alleggeriscono la costruzione, mentrela composizione di figure sulla facciata, accostata alla scel-ta cromatica dei marmi, crea un gioco di effetti ottici cherestituiscono un’impressione di tridimensionalità. I rombi eil quadrato adiacenti vengono visti come le facce di uncubo, che possono alternativamente essere interpretatecome sporgenti o rientranti: sono i famosi cubi reversibili.In matematica, una composizione come quella osservata suquesta facciata si chiama tassellazione: è un modo di rico-prire il piano (ne vediamo qui solo una porzione) con uno opiù poligoni ripetuti senza sovrapposizioni e senza spazi la-sciati vuoti e disposti in modo che ogni lato di un poligonocombaci perfettamente con un lato di un altro.

    L’uso delle tassellazioni in arte e in architettura è assai fre-quente: a quanti di questi esempi ci siamo trovati davanti!

    Quella che potremmo definire la matematica delle forme cipermette di leggere “con altri occhi”, per ricordare un librodi qualche anno fa, l’aspetto di una città.

    A Bologna, la Basilica di Santo Stefano è una delle più af-fascinanti strutture di culto dell’intera città. La sua peculia-rità deriva dal fatto di essere costituita da sette edificisacri, incastonati l’uno nell’altro, da cui prende il nome dicomplesso delle sette chiese. Sulle pareti del cortile si tro-vano diversi simboli disegnati con i mattoni, tra cui variestelle a 5, 6 e 7 punte. Pochi simboli hanno avuto nella storia il potere d’attrazio-ne della stella a 5 punte, spesso nominata stella pitagorica.Essa si ottiene tracciando le diagonali di un pentagono re-golare. Tante sono le curiosità che si possono raccontare suquesta figura mistica e affascinante: dalla successione tele-scopica di stelle concentriche che è possibile costruire alsuo interno al rapporto aureo delle componenti, fino ad ar-rivare a un esempio di numero irrazionale. Pensate che èpossibile costruirla anche con un origami!Ancora più curioso però è il caso della stella a 7 punte chesi costruisce a partire da un ettagono regolare operando inmodo analogo a quello per la stella a 5 punte. La costruibi-lità dei poligoni regolari è uno dei “problemi classici” dellamatematica. Così, nel nostro viaggio per la città, arte e architetturahanno messo in rilievo la matematica delle forme che a suavolta conduce alla matematica nella storia.L’ideale estetico-matematico portava i Greci a ricercare larisoluzione di un problema geometrico attraverso costru-zioni che utilizzassero solamente una riga (non graduata) eun compasso. La costruibilità o meno con riga e compassoè stato per secoli un cruccio per matematici di ogni epocae cultura; tra i tanti ricordiamo Lorenzo Mascheroni (1750-1800). Matematico e letterato bergamasco, viene ricorda-to soprattutto per il suo capolavoro Geometria del com-passo, del 1797 in cui l’autore dimostra come tutte le co-

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    LA MATEMATICA È DAPPERTUTTO

    Bergamo e Bologna: due città ricche di fascino e cultura, storia e arte, riscoperte attraverso gli occhiali dellamatematica

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    struzioni della geometria classica, fatte secondo la regoladella riga e del compasso, si possano eseguire usando soloil compasso.

    La matematica nella storia ha infinite sfaccettature: ognicittà porta con sé intrecci e storie di matematica e di ma-tematici. Bologna, che ha dato i natali all’università italiana,è una città pulsante di cultura. Le piazze del suo centroerano teatro di discussioni anche scientifiche; tra le più fa-mose ricordiamo le matematiche disfide. Molto in voga trai matematici del Cinquecento, erano gare pubbliche in cui icontendenti si sfidavano reciprocamente a risolvere pro-blemi matematici, mettendo in gioco non solo gloria e pre-stigio ma anche denari, discepoli, addirittura cariche scien-tifiche! Lo sfidante proponeva all’avversario un numero sta-bilito di quesiti, detti cartelli, di diverso ambito e grado didifficoltà. Ogni cartello veniva depositato presso un notaio,stampato e distribuito agli studiosi italiani più prestigiosi.Lo sfidato, o un suo allievo, dovevano risolvere i problemiproposti in un tempo preventivamente stabilito, proponen-do a loro volta all’avversario nuovi quesiti. I giudici, scelti dicomune accordo, dichiaravano vincitore chi riusciva a risol-vere il maggior numero di quesiti. Tra le disfide più famosericordiamo quella tra Tartaglia e Antonio Maria del Fioreche concerneva la risoluzione di una generica equazione diterzo grado; essa avvenne sotto ilPortico dei Servi, straordinariacornice della Basilica di SantaMaria dei Servi da cui prende ilnome.

    Le piazze dei centri delle cittàospitavano anche mercati e centri di scambio. Prove tangi-bili di queste presenze si trovano non solo sui libri di storiae nei racconti popolari ma sugli stessi edifici. Piazza delDuomo e Piazza Maggiore erano il fulcro della vita com-merciale, rispettivamente, della provincia bergamasca e bo-lognese. Su un lato della Basilica di Santa Maria Maggiore diBergamo e ai piedi delle mura di Palazzo d’Accursio a Bolo-gna, sono ancora infisse le antiche misure delle città. Os-servandole attentamente si riconoscono: il cavezzo, il brac-cio, il pettine del tessitore, … il piede, la pertica… Il braccio era una delle misure più utilizzate, ma quello bo-lognese misurava 64 cm, quello fiorentino 58,6 cm, quellobergamasco 53,1 cm, … Insomma non c’erano due città in cuiavesse la stessa misura: immaginate il caos al momentodello scambio delle merci! Le scanalature e i segni nellepiazze dei mercati servivano come sistema di riferimento, inmodo che tutti potessero commerciare senza confondersi.

    Sia a Bergamo che a Bologna, la ricchezza della matematicanascosta in città si è rivelata fonte inesauribile di suggeri-menti per i due progetti “MateBergamo” e “MateBologna”.

    Adulti, ragazzi e bambini, armati di carta, matita, funi e stru-menti di ogni tipo, hanno osservato e indagato, per ricercaree rappresentare gli aspetti matematici incontrati durante i

    percorsi. Origami, misure e scru-polose osservazioni attraverso gliocchi della matematica hannopermesso ai partecipanti di met-tere in risalto molteplici aspettidella disciplina offrendo un picco-lo assaggio di quanto può essere

    affascinante e curioso scoprire una città da un punto di vistamatematico. Non si tratta semplicemente di una matematicache spiega i perché, che aiuta a risolvere i problemi, che for-malizza le strutture, che detta gli assiomi. Si tratta piuttostodi una matematica colta e ispirata, immersa in tutte le nume-rose attività dell’essere umano; in altre parole, una chiave dilettura per scoprire e interpretare la realtà che ci circonda: lamatematica delle forme, della storia e della vita.

    Alice Lemmo e Emanuela Ciotti

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    Ilar

    io

    ForMATHFormath Project (www.formath.it) è un gruppo digiovani matematici che si dedicano alla forma-zione, comunicazione e divulgazione della Ma-tematica. Collabora con enti di ricerca, fonda-zioni, istituzioni scolastiche, enti locali. Ha pro-gettato i percorsi e i laboratori “MateBologna”con la Fondazione Marino Golinelli e “MateBer-gamo” per BergamoScienza.

    Emanuela CiottiÈ laureata in Matematica, si occupa di comu-nicazione e divulgazione [email protected]

    Alice LemmoDottoranda presso l’Università di Palermo, sioccupa di Comunicazione e Didattica dellaMatematica. Studia in particolare i problemidella valutazione [email protected]

    Sebbene la matematica sia ovunque,non tutti sembrano vederla, neppurenei suoi aspetti più stimolanti e attraenti

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    Cosmologia, geografia, ingegneria, ma-tematica, idraulica, … No, non stiamosfogliando l’indice della nuova enciclo-pedia scientifica Treccani, siamo solo aspasso per Lisbona! Anche qui, come daaltre parti in Europa, la scienza è arriva-ta per strada! O meglio, c’è già da unsacco di tempo, solo che fino ad ora erapassata un po’ inosservata. Il fatto è chetanti luoghi, tante città, sono una mi-niera di “tesori” scientifici, ma una vec-chia – anche se, ahimè, non ancora su-perata! – concezione di scienza comearea assolutamente separata da quelladell’arte non consente di vederli e ap-prezzarli. Che cosa può dunque svelarsi agli occhidel turista curioso di scienza? Non sitratta certo di andare a caccia di straneformule nascoste per la città; invece,mappe alla mano, si può fare qualchebella passeggiata alla scoperta di mo-numenti o zone urbane interessanti daun punto di vista scientifico. Il Pavilhãodo Conhecimento – Ciência Viva di Li-sbona ha messo a punto quattro itine-rari tematici che accompagnano i visi-tatori lungo percorsi appositamentestudiati e offrono, per ciascun punto diinteresse, una spiegazione degna di unavera e propria guida turistica, completadi informazioni storiche e corredata difoto. Si va dalla sfera armillare, presen-te su molti edifici della città e rappre-sentazione dell’universo, all’antico me-ridiano zero, linea immaginaria lungo lariva del fiume cittadino e importanteriferimento per determinare ora legalee longitudine, ai marciapiedi e passaggipedonali realizzati in basalto e calcaredisposti a formare simmetrie tantobelle quanto interessanti dal punto divista della matematica, agli uccelli ra-paci (addomesticati e non!), che volano

    nel cielo di Lisbona, a tartarughe, rane elucertole che abitano i giardini dellacittà. Oppure ci si può semplicementefermare un attimo ad ammirare la luceincantatrice di Lisbona scoprendoanche il perché della sua bellezza. È proprio vero che anche solo passeg-giando si può fare una bella full immer-sion di scienza! Certo, a volte bisognamettersi a naso all’insù e guardare inalto, o, al contrario, abbassare lo sguar-do fin sotto i piedi, ma di sicuro ne valela pena.

    Un altro gruppo portoghese, nell’ambi-to del progetto mondiale MPE2013 (acui XlaTangente ha dedicato una rubri-ca per tutto il 2013), ha promosso l’ini-ziativa Matemática Urbana, partendoancora una volta dal desiderio di mo-strare – e così valorizzare – la matema-tica presente, spesso senza che il turistase ne renda conto, in diversi angolidelle città. Il progetto, realizzato a cura del Museodella Scienza dell’Università di Coim-bra e dell’Associazione degli Insegnantidi Matematica, presenta una strutturapiù variegata rispetto a quello del Pa-vilhão do Conhecimento, visto che

    offre diversi tipi di proposte, comeconferenze, mostre, percorsi, ecc., ma èspecificamente dedicato alla matema-tica. I suoi itinerari si concentrano prin-cipalmente su quel nodo fondamenta-le del pensiero che è la simmetria e of-frono la possibilità di scoprirne le varietipologie attraverso i molti fregi cheabbelliscono le città portoghesi. Dalsito di Matemática Urbana si accedeagevolmente a un sito che si occupa in-teramente delle decorazioni dei mar-ciapiedi di Lisbona, offrendo percorsidettagliati, belle immagini e spiegazio-ni matematiche accessibili. Oppure sipuò scegliere uno dei tanti itinerariproposti sulle Isole Azzorre: a giudica-re dalle foto, con le regole che gover-nano la simmetria si può disegnare unamiriade di forme diverse (stemmi, vola-tili, frutti, ancore), con linee così mor-bide che sembrerebbero essere statetracciate con un gessetto! Altro cheformule astratte da studiare, faticosa-mente seduti a un tavolo: la matemati-ca è una parte di noi e i progetti “Ma-tematica in città”, per dirla all’italiana,sono un modo originale ed efficace perraccontarlo.

    ab

    Per approfondire• http://www.pavconhecimento.pt/noticias/index.asp?id_obj=1628• http://www.mat.uc.pt/mpt2013/matematica-urbana.html• http://www.math.ist.utl.pt/~acannas/Simetria/

    OLTRE L’ITALIA... DAL PORTOGALLO

    Ecco due proposte per vedere una Lisbona nascosta e... scientifica

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    CI PASSA O NON CI PASSA?Per dieci anni, l’exhibit che vedete fo-tografato qui sotto è stato parte in-tegrante della mostra “MatemáticaViva” a Lisbona, ed era l’unico ad es-

    sere collocato all’esterno; oggi, a mo-stra ormai chiusa si trova sotto il por-tico dell’edificio centrale dell’Uni-versità di Porto, in una zona centralee molto movimentata della città. Sefosse rimasto chiuso in uno dei museicittadini, le persone poco abituate afrequentarli non l’avrebbero maivisto.Costituito da due aste rettilinee in-clinate, fissate a una piastra circolareche ruota di continuo intorno a unasse verticale, l’exhibit è inserito inun cubo con le pareti di vetro, al cui

    interno, una grande lastra rettangola-re verticale, collocata su una diago-nale del quadrato di base, presenta(soltanto!) due fessure curve. A priorici si aspetterebbe che le due aste ret-tilinee non possano passare dalle duefessure curve senza urtare i bordi. Einvece no! L’osservatore può vedere,con evidente sconcerto, che le asterettilinee passano attraverso la lastrasenza toccare i bordi della fessuracurva. In tutti questi anni, i suoi ideatorihanno assistito alle reazioni di moltiosservatori e hanno potuto verificarequanto restino sorprese anche perso-ne dotate di preparazione matemati-ca a livello universitario, ma che nonavevano mai pensato a questo feno-meno immaginandoselo in una situa-zione concreta. La prima indicazionedel fatto che, anche per queste per-sone, l’exhibit avrebbe raggiunto ilsuo scopo – cioè quello di risvegliarela curiosità e di stimolare la riflessio-ne sui motivi geometrici del suo fun-zionamento – era arrivata dal fabbroche lo avrebbe costruito, un eccel-lente professionista del suo settore.Questi aveva manifestato una certaincredulità sul comportamento fina-le dell’oggetto e la sua reazione erastata più o meno del tipo: “Io lo fac-

    cio, ma non mi prendo la responsabi-lità che poi funzioni come voi diteche dovrebbe funzionare”. La mattinadopo però avrebbe confessato: “Ciho pensato, e credo che possa fun-zionare”... Questo ripensamento si èverificato senza che la persona ve-desse alcun disegno dell’oggetto, néavesse l’aiuto di qualche animazionevirtuale del tipo di quelle che oggi sitrovano in rete e, naturalmente,senza l’aiuto di strumenti matematicidi alcun tipo; la ragione principaledel suo nuovo convincimento erastata proprio l’iniziale incredulità,che aveva generato una grande curio-sità che a sua volta aveva stimolatouna riflessione, sufficiente per sco-prire le ragioni del comportamentoprevisto per l’asta. Per chi si dedicaalla comunicazione della matemati-ca, ottenere questo tipo di reazioneè sicuramente il massimo a cui puòaspirare quando progetta un exhibit!

    a cura di Atractorwww.atractor.pt

    La matematica coinvoltaImmaginiamo una retta verticale (fissa) eun’altra che gira intorno alla prima. Se ledue rette sono parallele, e se si considera-no tutti i punti dello spazio “toccati” dallarotazione della retta, otteniamo un cilin-dro. Se le rette sono incidenti, si ottiene un(doppio) cono, con il vertice nel punto diincontro delle due rette. Ma c’è un terzocaso, che è quello che interessa qui: se ledue rette sono sghembe, la superficie ge-nerata è un iperboloide di rivoluzione. Ciòsignifica che un punto dello spazio vienetoccato dalla rotazione della retta solo sesta sull’iperboloide e quindi i punti della la-stra verticale che vengono toccati dall’astain qualche momento della sua rotazionesono i punti di intersezione fra la lastra e l’i-perboloide; questi punti rappresentanouna curva (un’iperbole) e, se la lastra verti-cale presenta una fessura in corrisponden-za di questa iperbole, ecco spiegato comela retta passa dalla fessura, anche se questaè curva!

    Un filmato che consentirà di vederel'exhibit in movimento sarà disponibi-le a breve alla pagina: http://www.atractor.pt/mat/Fen-daHiperbolica".

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    XTG Come è nata l’idea di mettere in contatto siti webe riviste cartacee (specializzate in comunicazione dellamatematica) di varie nazioni europee?

    Andreas Daniel Matt In effetti, l’idea è così naturalee importante da chiedersi piuttosto perché non sia statarealizzata prima. Probabilmente c’era bisogno di mescola-re alcuni “ingredienti chiave” al momento giusto.

    XTG Puoi illustrarci quali sono secondo te questi in-gredienti?

    Matt Certamente. Innanzitutto, la mia passione per lelingue straniere. Mi piace navigare in rete e leggere rivisteche fanno comunicazione della matematica. Sono moltocurioso di capire come la matematica venga presentata inlingue e formati differenti. Mi imbatto spesso in begli ar-ticoli in francese, saggi interessanti in spagnolo, spiega-zioni illuminanti in italiano. Io stesso scrivo articoli in te-

    desco e uso molto – come tutti noi, del resto – la linguainglese per la ricerca e per comunicazioni più o menoinformali. Per non parlare di tutto quello che si può leg-gere in portoghese, russo, rumeno...In secondo luogo, per lavoro ho potuto rendermi contodell’importanza della lingua di ciascun Paese in questoambito, in particolare grazie al progetto IMAGINARY,che è iniziato come una mostra itinerante nel 2008 eora è diventato una piattaforma globale per la comuni-cazione interattiva della matematica [vedi box nella pa-gina a fianco]. Per essere recepito da un pubblico il piùvasto possibile, il messaggio di qualunque mostra deveessere fornito nella lingua del Paese in cui la si allesti-sce. Per questo motivo abbiamo tradotto il materialedella mostra, con l’aiuto della comunità locale, in cata-lano, basco, serbo, polacco, norvegese, russo, ucrainoecc. E ci siamo resi conto che poter offrire il materiale

    La matematica... all around the world

    Nel numero 41 XlaTangente ha pubblicato un articolo apparso per la prima volta sul sitoImages des Maths. Nello stesso tempo un articolo edito per la prima volta su XlaTangente èstato tradotto in portoghese. Non è un gioco: è il progetto europeo, The Translation Project. Ce ne parla in questa intervista il suo responsabile, Andreas Daniel Matt

    Un vero cosmopolita

    Andreas Daniel Matt studia Matematica,Informatica e Filosofia a Innsbruck,Vienna, Siviglia e Buenos Aires. Comincia a occuparsi di comunicazionedella Matematica dai tempi del dot-toratoin processi stocastici e in machine learning.Lavora dal 2007 presso il MathematischesForschungsinstitut Oberwolfach, per con-to del quale sta curando IMAGINARY e ilMiMA, Museo di Matematica e Minerali.

    a cura della REDAZIONE

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    nelle varie lingue è stato davvero un elemento crucialeper il successo della mostra stessa!

    XTG Sembra davvero emozionante. Qual è stata, però,la molla che ha dato inizio al progetto di traduzione?

    Matt Direi che a fare da catalizzatore sono stati l’in-contro con i membri del Comitato “Raising Public Aware-ness” della Società Matematica Europea e la riflessionesull’idea che soggiace al sito del comitato, Mathematics inEurope www.mathematics-in-Europe.eu. È infatti quandoErhard Behrends, presidente del Comitato, mi ha invitatoa partecipare a uno dei loro incontri, che l’idea del pro-getto di traduzione ha iniziato a prendere forma. Volendofare comunicazione della matematica in Europa, è neces-sario lavorare tutti insieme, mantenendo allo stessotempo anche un focus locale. Per questo il sito Mathema-tics in Europe si pone l’obiettivo di essere disponibile inmolti linguaggi europei. L’idea, cioè, è quella di partire daun materiale comune, e di veicolarlo nei vari Paesi dell’U-nione grazie alla traduzione nelle diverse lingue. Il tran-slation project è concepito proprio in quest’ottica: parlan-do con alcuni membri del comitato, tra cui Sara Santos eMaria Dedò, abbiamo pensato che alcuni siti web e rivistespecializzate in comunicazione della matematica di Paesidiversi avrebbero potuto segnalare, con una certa periodi-cità, un loro articolo interessante, da tradurre in altre lin-gue e pubblicare su altre riviste. A quel punto il gioco era praticamente fatto. Il progettoè stato proposto a quattro candidati in Europa: Divulga-mat in Spagna, Images des Maths in Francia, Plus Magazi-ne nel Regno Unito e XlaTangente in Italia; la loro reazio-ne è stata molto positiva! In poco tempo abbiamo co-minciato ad avere i primi articoli da tradurre.

    XTG Come avete fatto a trovare i traduttori?Matt Trovarli non è stato difficile grazie ai nostri ca-

    nali e a Facebook. Ora abbiamo addirittura un database dipersone – tra cui molti matematici – pronte a tradurre invarie lingue. Ma ne cerchiamo ancora, quindi non esitatea contattarci, se conoscete bene le lingue e, possibilmen-te, anche un po’ di matematica!

    XTG Qual è il vantaggio, per le riviste partecipanti al

    progetto?Matt Per chi fornisce il pezzo, il vantaggio è quello di

    potersi far leggere da un pubblico molto più vasto, chenon sarebbe possibile raggiungere se l’articolo fosse di-sponibile solo in lingua originale. Per chi pubblica le tra-duzioni, invece, il vantaggio è quello di avere a disposizio-ne del materiale sicuramente buono, perché fornito dauna rivista attendibile, già tradotto nella propria lingua.Lo scambio degli articoli è possibile grazie alle cosiddettelicenze aperte, tramite le quali i partecipanti al progettosi garantiscono mutuamente il diritto di ripubblicare gliarticoli tradotti, a patto che siano fornite precise referen-ze all’editore e all’autore dell’articolo originale.

    XTG Chi copre i costi?Matt Questo progetto non sarebbe possibile senza il

    sostegno di “Munich Re”, compagnia assicurativa sponsordel sito Mathematics in Europe, grazie al quale i tradutto-ri vengono remunerati per il loro lavoro. Speriamo in que-sto modo di mantenerlo e, anzi, di espanderlo anche in fu-turo, trovando nuovi collaboratori, nuovi contenuti enuove idee.

    XTG Grazie mille Andreas, anzi, per par condicio, Mu-chas gracias, Thank you very much, Merci beaucoup, limi-tandoci alle lingue delle quattro riviste coinvolte nel pro-getto!

    Si tratta di un centro internazionale di ricerca in Matematica(www.mfo.org) situato nel mezzo della Foresta Nera. Fondatonel 1944, ha raggiunto una fama mondiale per la qualità delleattività che vi si svolgono. In primo piano, l’attenzione alloscambio di idee attraverso la comunicazione de visu. Infatti, ilCentro organizza incontri per piccoli gruppi (Research in Pairs)oppure per gruppi più grandi con workshop su invito, che du-rano al massimo cinque giorni. Da pochi anni, MFO ha svilup-pato un’attenzione sempre crescente ai problemi della comu-nicazione e della divulgazione della Matematica con progetticome IMAGINARY o il MIMA, il Museo di Matematica e Mine-rali (www.mima.museum), che fa scoprire la matematica lega-ta ai minerali.

    Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach (MFO)

    Piattaforma interattiva della Matematica, ilsito www.imaginary.org (di cui abbiamo giàraccontato alcuni aspetti nel n. 36 di XlaTan-gente a p. 18), non finisce mai di stupire e di af-fascinare. Chiunque può esplorare programmifantastici e, soprattutto, creare mostre di ma-tematica con il materiale messo a disposizione.Per ora in inglese e in spagnolo (ma alcuni do-cumenti sono anche in altre lingue), il sito hale potenzialità per diventare un mezzo di im-portazione ed esportazione di idee e prodottimatematici.

    IMAGINARY

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    XlaTangente. Percorsi nella matematicawww.xlatangente.it

    plus magazine... living mathematicshttp://plus.maths.org/content/

    divulgaMATCentro virtual de divulgación de las matematicáswww.divulgamat.net

    +plus magazine... living mathematicshttp://plus.maths.org/content/

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    Rette... Rotondea cura della REDAZIONE

    XTG Cari RAF, innanzitutto, come state? Che cosa potetedirci di questo Festival?

    RAF Un po’ stanchi, ma molto soddisfatti! Questo Festivalè stato per noi un grande successo di partecipazione e di ap-prezzamento; abbiamo ricevuto molti commenti entusiasti perla nostra mostra. È stata la prima realizzata interamente da Cur-vilinea, l’associazione che abbiamo fondato lo scorso anno eche si occuperà di divulgazione scientifica, con particolare at-tenzione all’allestimento di mostre e di laboratori nelle scuolee alla comunicazione della matematica a persone che dellamatematica hanno sempre avuto paura. L’ottimo risultato cheabbiamo ottenuto ci fa sperare di essere sulla strada giusta!

    XTG Diteci qualcosa in più.RAF “Rette... Rotonde?!” è stata senza dubbio una mostra

    difficile da realizzare, complici la ricchezza di contenuti e ladifficoltà dell’argomento affrontato: la geometria iperbolica.La mostra è di tipo hands-on, cioè, accanto a un percorso tra-dizionale, fatto di poster che raccontano i principali aspettimatematici, ci sono esperienze laboratoriali ed exhibit,anche di tipo virtuale. Siccome la geometria iperbolica è un argomento piuttostoastratto, abbiamo deciso di iniziare da un problema – deci-samente concreto – di costruzione: creare un “pavimento”seguendo alcune regole fissate. Si devono usare solo pia-strelle a forma di poligono regolare, cioè con tutti i lati etutti gli angoli uguali, e solo copie della stessa piastrella, co-struendo così una pavimentazione (o, come si dice anche,una tassellazione) composta tutta da quadrati, piuttosto cheda pentagoni regolari e così via. Se vogliamo che attorno a un vertice di una tassellazione stia-no q triangoli, sappiamo che i loro angoli interni devono vale-re esattamente 360°/q. Ad esempio, se volessimo mettere 8triangoli attorno a un vertice… avremmo bisogno di triangoliequilateri con tutti gli angoli di 45°! E sappiamo bene che sulpiano questo non è possibile: tutti i triangoli equilateri hannoangoli interni di 60°. Ci si accorge presto che sul piano la co-struzione riesce soltanto per le piastrelle a forma di triango-lo equilatero, di quadrato o di esagono regolare.

    Da qui, la mostra procede intorno alla domanda se sia pos-sibile utilizzando ancora piastrelle che abbia senso chiama-re “poligoni regolari”, modificare le “regole del gioco” perrealizzare delle tassellazioni regolari che non si possano co-struire sul piano.

    XTG Non è difficile per i visitatori immaginarsi una situa-zione del genere?

    RAF Effettivamente il problema, soprattutto se lo si af-fronta subito dopo l’esempio sul piano euclideo, può sem-brare spiazzante. Per superare questa difficoltà ci è stato di grande aiuto unlaboratorio in cui si fa uso di mattoncini chiamati “knüpfer-li”, con i quali si possono costruire dei pavimenti “deforma-ti” realizzando alcuni piccoli pezzi di tassellazioni iperboli-

    Anche quest’anno il Festival della Scienza di Genova ha visto la presenza di una mostraorganizzata da Riccardo, Alessandro e Filippo (RAF), tre vecchie conoscenze della nostrarivista. Qui ci facciamo raccontare come è andata

    180° · (n – 2)

    Alcuni poligoni regolari piani messi attorno a un vertice e inbasso, la formula della somma degli angoli interni di un po-ligono con n lati

    n

    La pseudosfera della mostra “Rette… Rotonde”

    [ ]

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    che. Questa parte costruttiva della mostra è fondamentaleperché permette di spostarsi dal problema ideale “esisteuna maniera di cambiare le regole in modo da poter co-struire tassellazioni regolari diverse dalle tre euclidee?” alproblema, più pratico, di giustificare un fatto che si vedeavvenire su un esempio concreto. Queste costruzioni sug-geriscono di spostarsi nel mondo delle superfici diverse dalpiano. Oltre alla sfera, che conosciamo tutti bene, si fa co-noscenza con una superficie a "sella" che assomiglia moltoa uno dei modelli che si possono costruire con gli knüpfer-li. Dopodiché ci si interroga sul significato della parola “seg-mento” su una superficie, arrivando a parlare di “geodeti-che”, cioè di quelle curve che, sulla superficie, sono l’analo-go della retta sul piano. Come aiuto per capire che cosasono, c’è un’isola multimediale che disegna le geodetichesu alcune superfici come il cilindro e una ciambella.

    XTG Come prosegue la mostra dopo la descrizione dellegeodetiche su una superficie?

    RAF Prima di introdurre il piano iperbolico – l’ambientedove effettivamente alla fine della mostra costruiamo lenuove tassellazioni – abbiamo scelto di parlare di “curvatu-ra”. Senza entrare nei dettagli di una definizione moltocomplessa, basti sapere che la curvatura è un numero chedice quanto e come una superficie è “curva” vicino a unpunto. Ad esempio, una sfera ha curvatura sempre uguale inogni punto perché è curva “allo stesso modo”, mentre unuovo – pur continuando ad avere, come si dice, curvatura“positiva” ovunque – ce l’ha ben diversa in punta rispetto aquella che ha alla base. Non è facile trovare una superficieche abbia in ogni punto curvatura negativa: anche la “sella”è solo una porzione di superficie a curvatura negativa. Ilpiano iperbolico è invece una superficie a curvatura negati-va in ogni punto. In mostra ne descriviamo un modello,quello del disco di Poincaré, su cui si può procedere alla co-struzione delle nuove tassellazioni che stiamo cercando.Abbiamo scelto di non approfondire in modo particolare lasua costruzione, limitandoci agli enti che servono per dareun senso alla parola “tassellazione”, cioè limitandoci a seg-menti, distanze e angoli. Per aiutare l’immaginazione del visitatore, abbiamo realizzatoun programma che permette di disegnarvi punti, geodetichee poligoni regolari e di calcolare distanze e angoli. E di osser-vare che i triangoli iperbolici hanno somma degli angoli inter-ni minore di 180°!

    XTG Come reagiscono i visitatori di fronte a questo model-lo così “astratto”?

    RAF Il timore che i visitatori si facessero spaventare daquesti modelli ci ha portato a realizzare qualcosa di concretoche li sostenesse nell’indagine. Abbiamo subito pensato allapseudosfera, una superficie nello spazio che modellizza unaporzione del piano iperbolico e ne abbiamo realizzata una

    Screenshot di un programma

    Foto di knüpferli

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    che fosse possibile toccare con mano e sulla quale si potesseanche disegnare come su una lavagna! Un secondo program-ma aiuta poi i visitatori a fare il passaggio dalla pseudosfera almodello del disco: permette infatti di disegnare sulla prima evedere che cosa succede sull’altro.

    XTG Per poi finire con le tassellazioni?RAF Quelle e non solo! Una volta costruito un poligono

    regolare che serve per realizzare una tassellazione, come sifa a costruire il resto della tassellazione? Operiamo comesiamo abituati a fare sul piano euclideo: iniziamo a copiareil poligono riflettendolo rispetto a un suo lato creando cosìle piastrelle adiacenti e poi andiamo avanti… all’infinito. Nelpiano iperbolico si può fare la stessa cosa se riflettiamo ri-spetto a... geodetiche. In mostra, descriviamo come sonofatte queste “riflessioni” usando un inversore di Peaucellier(una macchina che realizza un’inversione circolare) e alcunisoftware e poi, finalmente, vediamo il prodotto finito: c’èun programma dedicato a visualizzare le varie tassellazioniiperboliche e a vedere come sono fatte le trasformazioniche le lasciano invariate. Infine chiudiamo la mostra ritornando alla geometria euclideae ai suoi postulati.

    XTG Un percorso ambizioso. Come hanno reagito i visi-tatori?

    RAF Le reazioni variavano a seconda dell’età dei visitatori:mentre i più grandi tendevano ad approfondire il modo in cuisi costruiscono le tassellazioni regolari iperboliche, i più gio-vani spesso si fermavano più a lungo sulla parte iniziale percostruire porzioni di tassellazioni con gli knüpferli.

    XTG E le tassellazioni sferiche?RAF Benché le tassellazioni sferiche si possano ricostruire

    nei laboratori e nella mostra ci sia la possibilità di affrontare ilproblema, abbiamo deciso di dedicarci solamente alle tassel-lazioni iperboliche. Il motivo principale è che i mondi in cui sipossono costruire queste due famiglie di tassellazioni sono di-versi tra di loro, e quindi abbiamo scelto di concentrarci in par-ticolare solo sulla geometria iperbolica.

    XTG Come mai la scelta di partire da un problema comequesto e non, piuttosto, dagli assiomi di Euclide?

    RAF Storicamente la geometria iperbolica nasce dalla ne-

    gazione del quinto postulato di Euclide, ma non è sicuramen-te questo l’unico modo per presentarla! Scegliendo di affron-tarla in questa maniera, proponiamo un punto di vista più or-ganico sul concetto di poligono su una superficie qualsiasi equindi su ciò che significa “fare” geometria. In ogni caso, una parte della mostra – quella finale – è dedi-cata proprio ai postulati: invece di usarli come punto di par-tenza, li usiamo come punto di arrivo per riesaminare gli argo-menti trattati.

    XTG Come mai, visto che il tema del Festival di quest’annoera la bellezza, avete scelto di parlare di questo argomento?

    RAF La spinta principale ci è venuta dall’eleganza dei di-segni che si ottengono quando si costruisce una tassella-zione regolare iperbolica. Si può trovare un notevole esem-pio nei lavori di M.C. Escher, ma anche in molte altre operedi artisti che realizzano disegni simili. Un aspetto un po’ piùfilosofico riguarda invece la possibilità, che si ha in mate-matica, di “modificare le regole del gioco”, mantenendoperò il controllo su quello che si sta facendo. In questomodo si osserva la comparsa di fenomeni inaspettati (dallerette ultraparallele ai triangoli ideali) e spesso stupefacen-ti. È come assistere a una specie di magia, sicuri però chedietro non c’è alcun trucco.

    Foto di gruppo degli animatori

    Riccardo MoschettiÈ dottorando in Matematica e Statistica pressol’Università degli Studi di Pavia. Ha studiato Ma-tematica a Milano, dove ha conosciuto il centromatematita con il quale tutt'ora [email protected]

    Filippo FavaleÈ postdoc presso la Fondazione Bruno Kessler. Dadiversi anni collabora con la rivista XlaTangente econ il centro matematita di Milano. È uno deifondatori dell’associazione culturale Curvilinea,attiva nell’ambito della divulgazione [email protected]

    Alessandro CattaneoIscritto al corso di Laurea magistrale in Mate-matica all’Università degli Studi di Milano, col-labora dal 2008 con il centro [email protected]

    Screenshot di un programma

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    Più precisamente, il concetto di relazione causale si gene-ralizza nel concetto di correlazione: due eventi sono corre-lati se ciascuno influenza l’altro, e la stima di questa in-fluenza si può effettuare con dei calcoli empirici, misuran-do gli effetti lineari di un evento sull’altro.Determinare la correlazione fra eventi richiede semplice-mente la misurazione di occorrenze diverse dei due eventiai medesimi istanti. Per esempio, si potrebbe cercare unacorrelazione tra il prodotto interno lordo di un Paese e iltasso di inflazione, ma anche tra il consumo di alcolici el’insorgere di patologie epatiche, fra l’indice di abbandonoscolastico e il tasso di criminalità nei centri urbani o persi-no tra l’altezza dei grattacieli e l’insorgere di crisi economi-che.Per quanto possa sembrare bizzarro, l’ultimo esempio èstato oggetto di studio da parte di alcuni economisti negliultimi dieci anni!

    CORRELAZIONE E CAUSALITÀLa relazione di causa-effetto fra due fenomeni, X e Y sancisceche in presenza di X si ha necessariamente la presenza di Y e,

    Grattacieli e crisi economichedi PAOLO CARESSA

    Grattacieli a Chicago (USA)

    Sempre più spesso i modelli matematici, specie quando sono applicati a sistemi complessicome quelli meteorologici, biologici, economici ecc., rinunciano esplicitamente alladescrizione causale dei fenomeni per sostituirla con una descrizione non deterministica eprobabilistica: potremmo dire che dalla causalità si è passati alla casualità...Fo

    to d

    i R

    ob

    Car

    ris

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    viceversa, mancando Y, viene a mancare anche X. Diciamo cheX è la causa di Y in questo caso, e che Y ne è l’effetto.In teoria, per verificare che X causa Y è quindi necessario ve-rificare che ogni volta che si verifica X si verifica anche Y, cioè,equivalentemente, che in assenza di Y deve mancare anche X.Evidentemente, una tale verifica è impossibile empiricamen-te: a meno di non avere la possibilità di verificare tutti i pos-sibili casi di occorrenze dei due fenomeni in questione, nonpossiamo dedurre che X causa Y. In altri termini, se è vero chela presenza di X ha sempre implicato la presenza di Y fino aun dato istante, nulla ci garantisce che sarà ancora così.La critica filosofica al principio di causa-effetto risale al-meno al Settecento: il filosofo scozzese David Hume, peresempio, esibì delle penetranti osservazioni in proposito. Etuttavia, il principio di causa-effetto ha continuato a esse-re utilizzato per tutto l’Ottocento nei modelli matematicideterministici del mondo reale. Tuttavia molti fenomeninon si prestano a questa modellizzazione e richiedono mo-delli probabilistici.In quest’ultimo caso, piuttosto che stabilire un legame cau-sale fra due fenomeni X e Y, si calcola la loro correlazioneρXY, che si esprime come

    dove il simbolo Z indica il valore atteso della quantità Z(in pratica la media dei suoi valori) e vz denota la devia-zione standard, che misura la dispersione delle misurazio-ni di Z rispetto alla sua media. In altre parole, la correla-zione è direttamente proporzionale alla media degli scar-ti delle quantità X e Y, ed inversamente proporzionale alledispersioni dei valori di queste quantità attorno alle loromedie (si noti che se una delle quantità assume sempre lostesso valore, cioè non ha affatto dispersione ma coincidecon la propria media, sia il numeratore che il denomina-tore si annullano e il calcolo della correlazione perdesenso).

    Il coefficiente di correlazione ρXY è un numero reale com-preso fra –1 e +1: quando è 0 vuol dire che le due quantitànon sono linearmente correlate, quando è –1 vuol dire chele quantità sono anticorrelate, cioè l’una ha l’andamento

    opposto dell’altra, quando è +1 vuol dire che le quantitàsono correlate, cioè hanno esattamente lo stesso anda-mento.In generale, un valore positivo della correlazione indica chei due fenomeni tendono ad avere lo stesso comportamen-to, in modo sempre più netto quanto più la correlazionetende a +1, mentre una correlazione negativa indica la ten-denza ad avere il comportamento opposto.

    Un paio di esempi potranno chiarire la questione. Suppo-niamo di avere tre quantità X, Y, Z per le quali tre misura-zioni abbiano dato luogo alle seguenti serie: X1 = 1, X2 = 0,5,X3 = 1; Y1 = 10, Y2 = 5, Y3 = 10; Z1 = 1, Z2 = 2, Z3 = 1. A contifatti troviamo che ρXY = 1 e ρXZ = ρYZ = –1. E in effetti l’an-damento della serie X e della serie Y è lo stesso, sono lega-te dalla relazione lineare 2X = Y, mentre l’andamento dellaserie X e della serie Z è l’opposto; visto che quando X si di-mezza, Z raddoppia e viceversa.

    Consideriamo ora due fenomeni X e Y che possano misu-rarsi solo con i valori 0 e 1, e immaginiamo che il valore 0voglia dire che il fenomeno non si verifica e il valore 1 chesi verifica. Se X causa Y, allora ogni volta che si ha X = 1 siha anche Y = 1: per esempio X potrebbe essere il fenomeno“piove” e Y il fenomeno “la strada è bagnata”. La pioggia ècausa di una strada bagnata, ma ovviamente non la sola. Peresempio supponiamo di avere misurato tre volte i due fe-nomeni: una volta pioveva, e la strada era bagnata; un’altravolta non pioveva e la strada non era bagnata; un’altra voltanon pioveva ma la strada era bagnata (perché un idrante erarotto). Le serie sono dunque X1 = 1, X2 = 0, X3 = 0; Y1 = 1, Y2 = 0, Y3 = 1. La correlazione fra i due fenomeni, stanti que-sti dati, è di 0.5.

    In generale, una relazione di causa effetto fra i due feno-meni implica una correlazione non negativa, ma non neces-sariamente una correlazione pari a uno: quest’ultimo caso siverifica solo se X è l’unica causa di Y.In questo senso diciamo che la correlazione generalizza lacausalità, in quanto quest’ultima genera una correlazionepositiva fra i due eventi. Ma attenzione: la presenza di unacorrelazione positiva non implica necessariamente un nesso

    ρXY = ,[(X – X)(Y – Y)]

    (vXvY)

    Supponiamo di disporre di misurazioni dei due fe-nomeni in certi istanti passati: precisamente, sup-poniamo di avere N istanti t1, ..., tN nei quali ab-biamo misurato entrambi i fenomeni, ottenendo ledue serie di misure (che per semplicità supponiamosi riducano ciascuna alla rilevazione di un numero)X1, ..., XN e Y1, ..., YN. Sulla base di questi dati, glistatistici stimano la correlazione fra i due eventi permezzo della seguente formula:

    Questa formula apparentemente complicata è facil-mente programmabile su un calcolatore (per esem-pio Excel la mette a disposizione), il che consente

    di calcolare la correlazione fra eventi per i quali sisiano raccolti un numero ingente di misurazioni,per esempio rilevazioni di indici azionari, valori me-teorologici, numero di accessi a social network, etc.Al numeratore compare la somma dei prodottidegli scarti medi delle due serie di misure: a ciascu-na misura Xi viene sottratta la media dei valori X1,..., XN, cioè la quantità Xi/N, e a ciascuna misuraYi viene sottratta la media dei valori Y1, ..., YN, cioè

    Yi/N. A denominatore invece figurano le radiciquadrate delle somme degli scarti quadratici medidelle due serie di misure. Come si vede da questeformule, il calcolo della correlazione dipende sensibil-mente dalla serie dei valori registrata per le due quan-tità X e Y.

    Come si calcola la correlazione

    N

    i=1R

    :ρXY = .

    (Xi – X)(Yi – Y )N

    i=1R (Xi – X)2: Ni=1R (Yi – Y )

    2

    N

    i=1R

    N

    i=1R

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    causale (abbiamo appena lo spazio per menzionare il fattoche il premio Nobel per l’Economia Clive Granger ha defini-to un test statistico di “causalità” fra due eventi, basandosisu una idea dovuta al grande matematico Norbert Wiener).

    I CICLI ECONOMICI...La correlazione è una delle quantità che viene bene calco-lare quando si dispone di grandi masse di dati rilevati misu-rando fenomeni diversi, e un esempio tipico di disciplina incui ciò accade è l’Economia. La misurazione di indicatorieconomici e finanziari produce al giorno d’oggi, mercé icomputer e le reti di computer, un diluvio di dati rilevatianche con frequenze altissime, uno ogni minuto per esem-pio. Ciò consente di compilare lunghissime liste di rileva-zioni e di studiare le correlazioni fra i fenomeni che hannogenerato quei numeri.Uno dei fenomeni che interessano maggiormente gli eco-nomisti è il ciclo economico, cioè l’alternarsi periodico, manon sempre con lo stesso periodo, di fasi espansive e re-cessive nelle economie di singoli paesi o nelle economieglobali. Per esempio negli ultimi anni le economie europeestanno vivendo una fase recessiva, che per alcuni paesi è giàpassata, per altri è ancora presente. Finita la recessione, ri-prenderà una fase di espansione economica fino al punto incui una nuova recessione si verificherà e così via.

    Poiché questi cicli economici influiscono drammaticamen-te sulla vita quotidiana dei cittadini e delle imprese, è im-portante cercare di capirli e possibilmente cercare di tro-vare dei fattori correlati all’insorgere delle crisi, in modo da

    correre per tempo ai ripari. Solitamente le grandezze che sicorrelano all’andamento del ciclo economico sono indica-tori economici e finanziari come il prodotto interno lordo,il tasso di inflazione, etc.

    ... E I GRATTACIELI!Una delle più singolari spiegazioni per le recessioni econo-miche è stata proposta nel 1999 da Andrew Lawrence, unanalista finanziario che pubblicò un rapporto di ricerca nelquale poneva in correlazione le altezze dei grattacieli e l’in-sorgere delle crisi economiche. Precisamente, Lawrenceconsidera i seguenti due fenomeni misurabili: è l’elencodelle date in cui è stato costruito un grattacielo più grandedi tutti quelli fino ad allora esistenti; è l’elenco delle datein cui sono scoppiate le crisi economiche globali.Gli eventi citati da Lawrence sono per esempio la coinci-denza fra la costruzione del Singer Building e il “panico deibanchieri” del 1907, una crisi che durò un paio d’anni re-cando danni enormi alla borsa di New York. Un altro esem-pio è la costruzione dell’Empire State Building a ridossodella Grande Depressione del 1929. Anche la costruzionedel World Trade Center e delle Sears Towers avvenne incoincidenza con la crisi petrolifera e azionaria del 1973. Unulteriore e significativo esempio è la costruzione delle Pe-tronas Twin Tower in Malesia proprio in corrispondenzadella “crisi delle tigri asiatiche” del 1997.Naturalmente si pone il problema della plausibilità di que-sta ipotesi: la questione è stata studiata da economisti di

    La moderna teoria dei cicli economici è esposta nel celebre libro di Arthur Burns e Wesley Mit-chell, Measuring Business Cycles (1946): l’idea di base è che gli indicatori macroeconomici ten-dono a muoversi assieme, insomma presentano delle correlazioni. Per esempio, in una fase diespansione economica, aumenta non solo la produzione ma anche l’occupazione (o se sivuole la produzione è anticorrelata alla disoccupazione) e, viceversa, in una fase recessiva laproduzione cala e la disoccupazione cresce, come è stato drammaticamente sperimentatonegli ultimi anni anche in Italia. Secondo la definizione di Burns e Mitchell, una fase del cicloeconomico si connota come recessiva se per almeno sei mesi la maggior parte degli indicato-ri economici decresce. Le cause dei cicli economici sono molteplici e non tutti gli economisticoncordano sul loro peso, così che la teoria dei cicli economici rimane in gran parte una mi-surazione empirica di correlazioni senza che sia chiaro se, dietro di esse, ci siano realmentedelle relazioni causali con indicatori misurabili.

    Cicli economici e correlazione

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    numero 42

    dicembre 2013

    tutto rispetto, come Mark Thornton, che in un articolo del2005 ha sostenuto la validità dell’ipotesi di Lawrence, pro-ponendo un nesso fra gli indicatori economici e i fattoriche spingono alla costruzione dei grattacieli, e le tecnolo-gie che li rendono possibili.In sostanza, Thornton lega al calo del tasso di interesse, ti-pico della fase espansiva dei cicli economici, la necessità ela possibilità di costruire un grattacielo più alto di tuttiquelli attualmente esistenti. In primo luogo l’impatto deitassi di interesse sul valore dei terreni e dei capitali: l’idea èche in una fase espansiva dell’economia, con i tassi che ten-dono a scendere, il prezzo dei terreni tende a salire e quin-di si cerca di costruire “in verticale” più che in orizzontale.Un’altra conseguenza del calo dei tassi di interesse è l’e-spansione delle imprese, che possono permettersi ufficicentrali nelle grandi capitali finanziarie, spesso ubicati ingrattacieli per motivi di convenienza e prestigio. Infine,Thornton evidenzia come nelle fasi positive del ciclo eco-nomico le innovazioni tecnologiche mettono a disposizio-ne tecniche più efficienti per costruire anche i grattacieli.Naturalmente queste sono tutte “spiegazioni” a posteriori:come abbiamo detto, determinare una correlazione fraeventi non consente di dedurre un nesso causale.C’è da dire che altri hanno studiato in modo critico, per nondire scettico, la questione: un recente lavoro (Barr, Mizrach,Mundra, Skyscraper Height and the Business Cycle: Interna-

    tional Time Series Evidence, 2011), dati alla mano, laddoveThornton si limita a spiegazioni teoriche, sembra ridimen-sionare drasticamente il “potere predittivo” dell’altezza deigrattacieli sulle crisi economiche.

    LA PAROLA AI NUMERINon c’è nulla di male se anche noi proviamo a trattare,matematicamente, la questione, calcolando la correlazio-ne fra la costruzione di grattacieli da record e l’iniziodelle crisi economiche. Si tratta di applicare quantodetto prima a dei dati facilmente reperibili su Internet:quello che abbiamo fatto (e che il lettore curioso potràtrovare in dettaglio nella pagina internethttp://www.caressa.it/dati/skyscraper.html) è statoconsiderare l’elenco degli anni delle principali crisi eco-nomiche a partire dal 1901 e l’elenco degli anni in cui èstato costruito un grattacielo più alto degli altri, otte-nendo così una lista di date t1, ..., tN. Poi abbiamo co-struito due serie numeriche, una X1, ..., XN dove Xk = 1 sein quell’anno c’è stata una crisi economica e Xk = 0 altri-menti, e un’altra Y1, ..., YN dove Yk = 1 se in quell’anno èstato costruito un grattacielo più alto di quelli esistenti eYk = 0 altrimenti. Il risultato della correlazione fra questedue serie numeriche è molto deludente: un valore dicirca –0,218, cioè una lieve anticorrelazione! A pesare suquesto risultato sono le molte crisi economiche occorsenegli ultimi vent’anni del ventesimo secolo a fronte dellequali nessun record di altezza di grattacieli è stato battu-to: limitand