control ii clase 1

UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI

FACULTAD INGENIERIAS

PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRONICA

CONTROLES II

Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.

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SISTEMAS AUTOMTICOS DE CONTROL II Primera Edicin Material de clase Universidad Santiago de Cali

2013

Msc. JAVIER ALONSO MURILLO MURILLO




CONTROLES II


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1. INTRODUCCION

En el curso de SISTEMAS AUTOMATICOS DE CONTROL I, usted vio

como el control automtico ha desempeado una funcin vital en el

avance de la ingeniera y la ciencia. Adems de su extrema

importancia en los sistemas de vehculos espaciales, de guiado de

misiles, robots y similares; el control automtico se ha vuelto una

parte importante e integral de los procesos modernos industriales y

de manufactura. Por ejemplo, el control automtico es esencial en

el control numrico de las mquinas herramienta de las industrias

de manufactura, en el diseo de sistemas de pilotos automticos en

la industria aeroespacial, y en el diseo de automviles y camiones

en la industria automotriz. Tambin es esencial en las operaciones

industriales como el control de presin, temperatura, humedad,

viscosidad y flujo en las industrias de proceso.

Para entender todos estos procesos se enfatiz inicialmente en

reconocer los componentes de un sistema de control:

COMPONENTES DE UN SISTEMA DE CONTROL

Regulador: Es el elemento ms importante.

Transductor o captador: Transforma una magnitud o seal de

entrada en otra de salida.




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Comparador o detector de error: Proporciona la diferencia

entre la seal de salida deseada y la obtenida realmente.

Accionador o actuador: Acta sobre el proceso segn la seal

de mando que reciba del regulador.

El regulador constituye el elemento fundamental de un sistema,

pues determina el comportamiento del bucle, ya que condiciona la

accin del elemento actuador en funcin del error obtenido. La

forma en que el regulador genera la seal de control se denomina

accin de control. Las recordamos a continuacin.

Accin proporcional.

El tratamiento consiste en una amplificacin de la seal de error. En

este tipo de control el elemento final se modifica de manera

proporcional al error: si el error es pequeo, el controlador dar

origen a un pequeo cambio en la salida; si es grande, el cambio en

la salida tambin ser elevado.

La funcin de transferencia de este regulador es una constante:

G(s) = Kp

Accin integral.

El regulador suministra una accin de control cuyo valor es

proporcional a la integral de la seal de error. En este tipo de

control la accin vara segn la desviacin de la seal de salida y el

tiempo durante el que esta desviacin se mantiene.

La funcin de transferencia del regulador de accin integral es:

G(s) = Ki / s




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Accin diferencial.

La accin diferencial es de tipo anticipativo, detecta si va a existir

una sobreoscilacin excesiva, proporcionando la accin de control

adecuada para evitarla antes de que tenga lugar.

Las acciones de control se pueden presentar combinadas de la

forma siguiente:

- Accin proporcional y diferencial: controlador PD.

- Accin proporcional e integral: controlador PI.

- Accin proporcional integral y diferencial: controlador PID.

ACCIONES DE CONTROL

En el mismo curso se vio todo lo relacionado a los

TRANSDUCTORES y CAPTADORES o SENSORES.

TRANSDUCTORES Y CAPTADORES




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El transductor tiene la misin de transformar una magnitud de

entrada en otra de salida que sea ms fcil de procesar.

El captador o sensor tiene la misin de captar una determinada

informacin del sistema, para realimentarla.

A pesar de su diferente utilidad, la naturaleza de ambos dispositivos

es la misma; de hecho su nica diferencia est en el lugar en que

se colocan en el sistema.

Actualmente se suele utilizar el ordenador como elemento de

control, pues permite realizar funciones de control mucho ms

complejas que los reguladores convencionales y es aqu donde

damos inicio a nuestro curso de SISTEMAS AUTOMATICOS DE

CONTROL II.

2. REPRESENTACIN DE SISTEMAS USANDO

VARIABLES DE ESTADO

2.1. MODELOS MATEMTICOS

Los modelos matemticos pueden adoptar muchas formas distintas.

Dependiendo del sistema del que se trate y las circunstancias

especficas, un modelo matemtico puede ser ms conveniente que

otro. Por ejemplo, en problemas de control ptimo, es provechoso

usar representaciones en el espacio de estados. En cambio, para los

anlisis de la respuesta transitoria o de la respuesta en frecuencia

de sistemas lineales con una entrada y una salida invariante en el

tiempo, la representacin mediante la funcin de transferencia




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puede ser ms conveniente que cualquier otra. Una vez obtenido un

modelo matemtico de un sistema, se usan diversos recursos

analticos, as como computadoras.

MODELADO EN EL ESPACIO DE ESTADOS

Para el ejemplo consideremos el sistema mecnico que aparece en

la figura. Se supone que el sistema es lineal. La fuerza externa es

la entrada del sistema y el desplazamiento de la masa es la

salida. Este sistema tiene una sola entrada y una sola salida.

Trataremos de encontrar las ecuaciones en el espacio de estados y

construiremos su diagrama de bloques.

Aplicando la segunda ley de Newton tenemos:

F m a . F F F m ak b .

F kx bv m a . F m a kx bv .

Pero sabemos que ad x

dt

2

2 y v

dx

dt por lo tanto:

F md x

dtbdx

dtkx

2

2




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Otra forma de escribir la expresin es F mx bx kx

El sistema es de segundo orden, lo cual significa que tiene dos

elementos integradores.

Con este modelo es que podemos hacer control.

Tambin podemos encontrar su funcin de transferencia en el

dominio de la frecuencia as:

F s ms x s bsx s kx s( ) ( ) ( ) ( ) 2

F s ms bs k x s( ) ( ) ( ) 2

kbsmssF

sx

2

1

)(

)(

Construimos ahora los respectivos diagramas de bloques as:

Las variables de estado son x y x es decir posicin y velocidad. Las

variables de estado son variables que conocidas las condiciones




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iniciales del sistema dan idea del comportamiento del sistema.

Estas variables se pueden escribir as x

x

.

El orden del sistema es el nmero de variables de estado.

Cualquier ecuacin de orden puede escribirse como ecuaciones

de orden 1.

Sea x x

x x

1

2

Tenemos entonces que

x x

x x

1 2

2

pero

x

kx

m

bx

m

F

m

con lo que

tendramos:

m

F

m

xb

m

kxx

xx

2

21

Estas ecuaciones se pueden escribir en forma matricial.

.

Re sen var

x

xk

m

b

m

x

xm

F

yx

x

pre tacion en iables de estado

1

2

1

2

1

2

0 1 01

1 0

Se dice que un sistema viene representado en variables de estado

cuando se escribe en la forma x Ax BF

y Cx DF

.

Donde es el vector de estado, es la entrada, y es la salida y ,

, y son matrices.




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El polinomio sI A Se denomina polinomio caracterstico del

sistema y su solucin origina los polos del sistema. I es la matriz

idntica.

2.2. TRANSFORMACION DE MODELOS

MATEMATICOS USANDO MATLAB

Matlab es bastante til para transformar el modelo de funcin de

transferencia al espacio de estados y viceversa. Comenzaremos con

el anlisis de la funcin de transferencia al espacio de estados.

Sea la funcin de transferencia en lazo cerrado:

den

num

sU

sY

)(

)(

Donde num y den son los polinomios del numerador y el

denominador respectivamente.

Una vez que se tiene esta expresin de la funcin de transferencia,

la instruccin en matlab para obtener las matrices de estado es

[A, B, C, D]=tf2ss(num, den)

Con esta instruccin matlab calcular La representacin en el

espacio de estados. La representacin en variables de estado de un

sistema no es nica. Existen infinitas soluciones.

EJEMPLO 1:

Considere la funcin de transferencia




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160561416410)()(

232

sss

s

sss

s

sU

sY

Hay muchas representaciones posibles en el espacio de estados

para el sistema. Una representacin posible en el espacio de

estados es

u

x

x

x

x

x

x

14

1

0

1456160

100

010

3

2

1

3

2

1

ux

x

x

y 0001

3

2

1

Otra posible representacin en el espacio de estados es

u

x

x

x

x

x

x

0

0

1

010

001

1605614

3

2

1

3

2

1

ux

x

x

y 0010

3

2

1

Veamos cmo se hace con Matlab

>>num=[0 0 1 0]

>>den=[1 14 56 160]

>>[A, B, C, D]=tf2ss(num,den)

Matlab tambin puede trasformar del espacio de estados a funcin

de transferencia. Para obtener la funcin de transferencia a partir




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de las ecuaciones en el espacio de estados se utiliza la siguiente

instruccin:

[num, den]=ss2tf(A,B,C,D, )

La instruccin se debe especificar para sistemas con ms de una

entrada. Si el sistema tiene solamente una entrada, la instruccin

no es necesaria.

EJEMPLO 2:

Obtenga la funcin de transferencia para el sistema:

u

x

x

x

x

x

x

120

25

0

5255

100

010

3

2

1

3

2

1

ux

x

x

y 0001

3

2

1

Con Matlab haramos:

>>A=[0 1 0; 0 0 1;-5 -25 -5]

>>B=[0; 25; -120]

>>C=[1 0 0]

>>D=[0]

>>[num, den]=ss2tf(A,B,C,D)




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EJEMPLO 3:

Consideremos un sistema con entradas y salidas mltiples.

Recordemos que cuando el sistema tiene ms de una salida, estas

se asignan a la variable .

El sistema es

Ntese que este sistema tiene 2 entradas y y dos salidas y

. Existen cuatro funciones de transferencia implcitas:

,

,

y

. Al consideras la entrada , se considera nula la entrada

y viceversa.

Las instrucciones en Matlab son:

>> A=[0 1; -25 -4];

>> B=[1 1; 0 1];

>> C=[1 0; 0 1];

>> D=[0 0; 0 0];

Para obtener las funciones de transferencia se debe escribir 2

instrucciones, una para y otra para .

>> [num1,den]=ss2tf(A, B, C, D, 1);

>> [num2,den]=ss2tf(A, B, C, D, 2);

Para ver las funciones de transferencia escribimos:




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>> G1=tf(num1(1,:),den)

>> G2=tf(num1(2,:),den)

>> G3=tf(num2(1,:),den)

>> G4=tf(num2(2,:),den)

Las funciones de transferencia respectivas son:

EJERCICIOS:

1. Considere el sistema representado en el siguiente diagrama de

bloques:

a. Asigne variables y obtenga la representacin en variables de

estado.

b. Obtenga la funcin de transferencia en el dominio de la

frecuencia.

c. Analice la estabilidad del sistema.




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2. Escriba la ecuacin de estados para los sistemas mostrados a

continuacin:

3. Considere el sistema dado por

2

1

2

1

2

1

10

.2

1

43

21

x

xy

Fx

x

x

x

a. Con las variables indicadas, obtenga la representacin en

variables de estado.


frecuencia.


4. Las ecuaciones linealizadas de un satlite en rbita ecuatorial

circular son dadas por x Ax BU

y cx

donde:

A B C

0 1 0 0

3 0 0 2

0 0 0 1

0 2 3 0

0

1

0

0

1 0 0 0

Las variables de estado son:




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x1 : Distancia desde el centro de la tierra.

x2 : Rata de cambio de x1

x3 : Desplazamiento angular en el plano ecuatorial

x4 : Rata de cambio de x3

a. Con las variables indicadas, obtenga la representacin en

variables de estado.


frecuencia.


5. Considere el sistema de la figura:

a. Utilizando las variables indicadas, obtenga la representacin

en las variables de estado.


frecuencia.

c. Determine los polos del sistema.

d. Analice la estabilidad del sistema.




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6. Considere el sistema dado por

Dibuje el diagrama de bloques respectivo y escriba las funciones

de transferencia. Cules son los polos del sistema?

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