teoria de control ii-cap iii clase 11

8/19/2019 Teoria de Control II-CAP III Clase 11

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ANÁLISIS DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS

RAÍCES

Ing. Ricardo Cajo Díaz

INTRODUCCIÓN

En labores de diseño es interesante conocer como varía laubicación de los polos del sistema en función de un parámetroque el ingeniero pueda modificar a su arbitrio. Con esta

información se puede saber que especificaciones de régimentransitorio se pueden imponer en la respuesta del sistema.Habitualmente el parámetro de diseño es una gananciaproporcional dentro del lazo de control. El cálculo de los polos essencillo con una función de transferencia de segundo orden:


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RAÍCES


GENERALIDADES

Se llama lugar de las raíces de un sistema al lugargeométrico de los puntos del plano S que satisfacen suecuación característica cuando se va modificando un

determinado parámetro. Se trata por tanto de los polos delsistema en función de dicho parámetro.

Sistema de Control en lazo cerrado


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RAÍCES


GENERALIDADES

Si el parámetro es una ganancia proporcional K dentro de unlazo de control, con realimentación negativa no unitaria , ellugar de las raíces es la ubicación de los polos en lazo

cerrado del sistema. La función de transferencia en lazocerrado de este sistema es:

Los puntos q del lugar de las raíces anulan el denominadorde la función de transferencia:


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ANÁLISIS DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LASRAÍCES


GENERALIDADES

Dado que Gla(q) es un número complejo, la ecuacióncaracterística se puede descomponer en su módulo yargumento:

Se observa que la condición del argumento es independientedel parámetro K variable. Por tanto, los puntos q del plano

complejo S que cumplen la condición del argumento sonaquellos que pertenecen al lugar de las raíces. En cambio, lacondición del módulo sirve para calcular el valor delparámetro K necesario para que un determinado punto q seapolo del sistema en lazo cerrado.


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MÉTODO PARA DIBUJAR EL LUGAR D E LAS RAÍCES

Para dibujar el lugar de las raíces no es necesario evaluar lacondición del argumento en todos los puntos del plano S. Sepropone seguir los siguientes pasos:

Polos y Ceros en lazo abiertoSe calculan los polos y los ceros de la función detransferencia en lazo abierto y se sitúan en el plano S. Ellugar de las raíces es un conjunto de líneas simétricasrespecto al eje real que nacen en los polos en lazo abierto y

acaban en los ceros en lazo abierto (si el número de polos yceros coincide).


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La característica de simetría se debe a que si un númerocomplejo es raíz de la ecuación característica, también lo essu conjugado. En cuando a los puntos de salida, son los polos

del sistema cuando K = 0:


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Se observa que los polos del sistema en lazo cerrado cuandoK = 0 coinciden con los polos del sistema en lazo abierto. Lospuntos de llegada del lugar de las raíces se obtienen cuando

K = ∞ y coinciden con los ceros en lazo abierto:

Por tanto, si hay tantos polos como ceros, el lugar de lasraíces describe un conjunto de curvas cerradas, que partende los polos y acaban en los ceros. Si no hay suficientesceros, algunas ramas no describen curvas cerradas y vanhacia el infinito.


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AsíntotasSi el número de polos no coincide con el número de ceros,aparecen en el lugar de las raíces tantas asíntotas como

diferencia entre polos y ceros. Es decir, el números deasíntotas es n-m. Todas las asíntotas se cortan en un únicopunto del eje real, que se calcula de la forma:

Los ángulos que forman las asíntotas respecto al eje realson:


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Puntos del eje real que pertenecen al lugar de las raíces

Los intervalos de la parte del eje real que pertenecen al lugar

de las raíces, son aquellos que dejan a su derecha un númeroimpar de ceros y polos. Esto se puede justificar aplicando lacondición angular.

Puntos de ruptura

En un punto del lugar de las raíces se pueden juntar variospolos del sistema. Se juntan siguiendo una dirección y seseparan siguiendo otra diferente. Son los llamados puntos deruptura y se buscan entre las raíces de la ecuación:


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Puntos de ruptura

Sólo las raíces de la ecuación que pertenezcan al lugar de lasraíces son puntos de ruptura del mismo. Como lo habitual esque los puntos de ruptura aparezcan en el eje real, essuficiente comprobar si las raíces se encuentran dentro de lostramos del eje real que pertenecen al lugar de las raíces.


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Puntos de corte con el eje imaginario

Para encontrar los puntos del lugar de las raíces que cortan

el eje imaginario se emplea el criterio de Routh-Hurwitz.Primero se encuentra la ganancia crítica del sistema, siexiste. Posteriormente se sustituye este valor en la tabla delmétodo de Routh-Hurwitz. Se anularía una de las filas de latabla y, con la fila inmediatamente superior, se construye elpolinomio auxiliar en s, cuyas raíces son los puntos de corte

con el eje imaginario.


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Ángulos de salida y llegada

Es interesante conocer el ángulo con que salen las ramas del

lugar de las raíces desde los polos en lazo abierto y el ángulocon que llegan a los ceros. Para ello se aplica la condición delargumento en un punto q muy próximo al polo o cero objetode estudio.

Esta condición se puede leer como: "la suma de los ángulosvistos desde los ceros menos la suma de los ángulos vistosdesde los polos es igual a 180± o un ángulo equivalente".


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Cálculo de la Ganancia

Con los pasos del apartado anterior es posible dibujar

fácilmente el lugar de las raíces del sistema. Con dicharepresentación se eligen los polos en lazo cerrado másadecuados para satisfacer una determinada condición dediseño. En este caso el requerimiento del diseño suele ser undeterminado comportamiento transitorio de la salidacontrolada del sistema. La ganancia que hace que los polos

del sistema sean los puntos elegidos del lugar de las raíces,se calcula con la condición del módulo:


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Cálculo de la Ganancia

Esta condición se puede leer como: "la ganancia total del

sistema en lazo abierto, la que introduce el controladorproporcional y la propia del sistema, es igual al producto delas distancias desde los polos en lazo abierto hasta el poloobjetivo dividido por el producto de las distancias desde losceros". En el caso de que la función de transferencia en lazoabierto no tenga ceros, la condición del módulo no se divide

por nada:


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EJERCICIO

Dado el sistema de la , dibujar su lugar de las raíces yobtener el valor de la ganancia K para que la salidacontrolada sea críticamente estable

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