Control Automático De Procesos

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    -fil-

    A Y PRCTICA

    CARLOS A. SMITH

  • CONTROLTE

    EDITORIAIMXICO l

  • CONTROL AUTOMTlCO DEPROCESOSTEORA Y PRCTICA

    Carlos A. SmithUniversity of South Florida

    Armando B. CorripioLouisiana State University

    Versin espaiiola:

    SERGIO D. MANZANARES BASURTOIngeniero en Comunicaciones y Electrnica

    de la Escuela Superior de IngenieraMecnica y Electrnica del Instituto

    Politcnico Nacional de Mxico

    Revisin:

    CARLOS A. SMITHARMANDO B. CORRIIIO

    EDITORIAL LIMUSAMXICO l ESPAA l V E N E Z U E L A l ARGENTINA

    COLOMBIA l PUERTO RICO

  • Versin autorizada en

    espaol de la obra

    publicada en ingls por

    John Wiley & Sons, Inc.

    con el ttulo:

    PRINCIPLES AND PRACTICE OF

    AUTOMATIC PROCESS CONTROL

    0 John Wiley & Sons, Inc.ISBN 0-47 1-88346-8

    Elaboracin: SISTEMAS EDITORIALES TCNICOS, S.A. de C. V.

    La presentacin y disposicin en conjunto deCONTROL AUTOMTICO DE PROCESOSTeora y prcticason propiedad del editor . Ninguna parte de esta obrapuede ser reproducida o transmitida, mediante ningn sistemao mtodo, electrnico o mecnico (INCLUYENDO EL FOTOCOPIADO,ki grabacin o cualquier sistema de recuperacin y almacenamientode informacin) , sin consentimiento por escnto del editor .

    Derechos reservados:

    @ 1991, EDITORIAL LIMUSA, S.A. de C.V.Balderas 95, Primer piso, 06040 Mxico, D.F.Telfono 52 1-50-98Fax 5 12-29-03Tlex 1762410 ELIME

    Miembro de la Cmara Nacional de laIndustria Editorial Mexicana. Registro nmero 12 1

    Primera edicin: 1991Impreso en Mxico(5942)

    ISBN 968-18-3791-6

  • Con todo cario a

    los Smith:

    Cristina, Cristina M.,Carlos A., Jr. ySr. Ren Smith y Sra.

    los Corripio:

    Connie, Bernie, Mary, Michael yConsuelo

    y a nuestra querida tierra natal, Cuba

  • Prlogo

    El propsito principal de este libro es mostrar la prctica del control automtico de proce-so, junto con los principios fundamentales de la teora del control. Con este fin se incluyeen la exposicin una buena cantidad de anlisis de casos, problemas y ejemplos tomadosdirectamente de la experiencia de los autores como practicantes y como consultores enel rea. En opinin de los autores, a pesar de que existen muchos libros buenos en losque se tratan los principios y la teora del control automtico de proceso, en la mayorade ellos no se proporciona al lector la prctica de dichos principios.

    Los apuntes a partir de los cuales se elabor este libro se han utilizado durante variosaos en los cursos finales de ingeniera qumica y mecnica en la University of South Flo-rida y en la Louisiana State University. Asimismo los autores han utilizado muchas partesdel libro para impartir cursos cortos a ingenieros en ejercicio activo en los Estados Uni-dos y en otros pases.

    El inters se centra en el proceso industrial y lo pueden utilizar los estudiantes delnivel superior de ingeniera, principalmente en las ramas de qumica, mecnica, metalur-gia, petrleo e ingeniera ambiental; asimismo, lo puede utilizar el personal tcnico deprocesos industriales. Los autores estn convencidos de que, para controlar un proceso,el ingeniero debe entenderlo primero; a ello se debe que todo el libro se apoye en losprincipios del balance de materia y energa, el flujo de lquidos, la transferencia de calor,los procesos de separacin y la cintica de la reaccin para explicar la respuesta dinmicadel proceso. La mayora de los estudiantes de los grados superiores de ingeniera tienenlas bases necesarias para entender los conceptos al nivel que se presentan. El nivel de lasmatemticas que se requieren se cubre en los primeros semestres de ingeniera, principal-mente el calculo operacional y las ecuaciones diferenciales.

    En os captulos 1 y 2 se definen los t&minos y los conceptos matemticos que seutilizan en el estudio de los sistemas de control de proceso. En los captulos 3 y 4 se expli-can los principios de la respuesta dinmica del proceso. En estos captulos se utilizan nu-

    7

  • 8 PRLOGO

    merosos ejemplos para demostrar el desarrollo de modelos de proceso simples y para ilustrarel significado fsico de los parmetros con que se describe el comportamiento dinmicodel proceso.

    En el captulo 5 se estudian algunos componentes importantes del sistema de control;a saber: sensores, transmisores, vlvulas de control y controladores por retroalimenta-cin. Los principios de operacin prctica de algunos sensores, transmisores y vlvulasde control comunes se presentan en el apndice C, cuyo estudio se recomienda a los estu-diantes que se interesen en conocer el funcionamiento de los instrumentos de proceso.

    En los captulos 6 y 7 se estudian el diseo y anlisis de los sistemas de control porretroalimentacin. El resto de las tcnicas importantes del control industrial se tratan enel captulo 8; stas son: control de razn, control en cascada, control por accin precalcu-lada, control por sobreposicin, control selectivo y control multivariable. Se usan nume-rosos ejemplos para ilustrar la aplicacin industrial de dichas tcnicas.

    Los principios de los modelos matemticos y la simulacin por computadora de losprocesos y sus sistemas de control se presentan en el captulo 9. En este captulo se pre-senta una estructura modular de programa muy til, la cual se puede utilizar para ilustrarlos principios de respuesta dinmica, estabilidad y ajuste de los sistemas de control.

    De acuerdo con la experiencia de los autores, en un curso de un semestre se debenincluir los primeros seis captulos del libro, hasta la seccin 6-3, as como la seccin acer-ca de control por accin precalculada del captulo 8; posteriormente, segn la disponibili-dad de tiempo y las preferencias del instructor, se, pueden incluir las secciones sobre relsde cmputo, control de razn, control en cascada, lugar de raz y respuesta en frecuencia,las cuales son independientes entre s. Si en el curso se incluye un laboratorio, el materialdel captulo 5 y del apndice C es un excelente apoyo para los experimentos de laboratorio.Los ejemplos del captulo 9 se pueden usar como gua para experimentos de simulacinpor computadora que complementarn a los experimentos reales de laboratorio.

    Si se dispone de dos semestres o cuatro trimestres para el curso es posible cubrir todoel texto en detalle. En el curso se debe incluir un proyecto final en el cual se pueden utili-zar los problemas de control de proceso del apndice B, que son problemas industrialesreales yproporcionan al estudiante la oportnidad de disear desde el principio, el siste-ma de control para un proceso. Los autores estamos convencidos de que dichos problemasson una contribucin importante de este libro.

    En la presente obra se prefiri el uso exclusivo del mtodo de funcin de transferen-cia en lugar del de variable de estado, por tres razones: pri)ilera, consideramos que esms factible hacer comprender los conceptos del control de proceso mediante las funcio-nes de. transferencia; segunda, no tenemos conocimiento de algn plan de control cuyodiseo se basa en el mtodo de variable de estado y que actualmente se utilice en la indus-tria; finalmente, el mtodo de variable de estado requiere una base matemtica ms slidaque las funciones de transferencia.

    En una obra de este tipo son muchas las personas que contribuyen, apoyan y ayudana los autores de diferentes maneras; nuestro caso no fue la excepcin y nos sentimos ben-decidos por haber tenido a estas personas a nuestro alrededor. En el camp industrial am-bos autores deseamos agradecer a Charles E. Jones de la Dow Chemica USA, LouisianaDivision, por fomentar nuestro inters en la prctica industrial del control de proceso y

  • PRLOGO 9

    por alentarnos a buscar una preparacin acadmica superior. En el campo acadmico, en-contramos en nuestras universidades la atmsfera necesaria para completar este proyecto;deseamos agradecer al profesorado y al alumnado de nuestros departamentos por despertaren nosotros un profundo inters en la instruccin acadmica, as como por las satisfaccio-nes que hemos recibido de ella. Ser el instrumento para la preparacin y desarrollo delas mentes jvenes en verdad es una labor muy gratificante.

    El apoyo de nuestros alumnos de posgrado y de licenciatura (las mentes jvenes) hasido invaluable, especialmente de Tom M. Brookins, Vanessa Austin, Sterling L. Jordan,Dave Foster, Hank Brittain, Ralph Stagner, Karen Klingman, Jake Martin, Dick Balhoff,Terrell Touchstone, John Usher, Shao-yu Lin y A. (Jefe) Rovira. En la University of SouthFlorida, Carlos A. Smith desea agradecer al doctor L. A. Scott su amistad y su consejo,que han sido de gran ayuda durante estos ltimos diez aos. Tambin agradece al doctorJ. C. Busot su pregunta constante: iCundo van a terminar ese libro?, la cual realmen-te fue de ayuda, ya que proporcion el mpetu necesario para continuar. En la LouisianaState University, Armando B. Corripio desea agradecer a los doctores Paul W. Murrilly Cecil L. Smith su intervencin cuando l se inici en el control automtico de proceso;no solo le ensearon la teora, sino tambin inculcaron en l su amor por la materia yla enseanza de la misma.

    Para terminar, los autores deseamos agradecer al grupo de secretarias de ambas uni-versidades por el esmero, la eficiencia y la paciencia que tuvieron al mecanografiar elmanuscrito. Nuestro agradecimiento para Phyllis Johnson y Lynn Federspeil de la USF,as como para Janet Easley, Janice Howell y Jimmie K,eebler de la LSU.

    Carlos A. SmithTampa, Florida

    Armando B CorripioBaton Rouge, Louisiana

  • Contenido

    Captulo 1

    l - l1-2

    1-31-41-5

    1-61-71-8

    Introduccin

    El sistema de control de procesosTrminos importantes y objetivo del control automticode procesoControl regulador y servocontrolSeales de transmisinEstrategias de control

    Control por retroalimentacinControl por accin precalculada

    Razones principales para el control de procesoBases necesarias para el control de procesoResumen

    Captulo 2 Matemticas necesarias para el anlisis de lossistemas de control

    2-1 Transformada de LaplaceDefinicinPropiedades de la transformada de Laplace

    2-2 Solucin de ecuaciones diferenciales mediante el usode la transformada de Laplace

    Procedimiento de solucin por la transformada de LaplaceInversin de la transformada de Laplace mediante

    expansin de fracciones parcialesEigenvalores y estabilidadRaces de los polinomiosResumen del mtodo de la transformada de Laplace

    para resolver ecuaciones diferenciales

    17

    17

    202021212123252526

    27

    272731

    4142

    445959

    64

    l l

  • 12 CONTENIDO

    2-3

    2-4

    2-5

    Linealizacin y variables de desviacin 65Variables de desviacin 66Linealizacin de funciones con una variable 67Linealizacin de funciones con dos o ms variables 71

    Repaso del lgebra de nmeros complejos 76Nmeros complejos 76Operaciones con nmeros complejos 78

    Resumen 81Bibliografa 82Problemas 82

    Captulo 3

    3-13-23-3

    3-43-53-63-1

    Sistemas dinmicos de primer orden

    Proceso trmicoProceso de un gasFunciones de transferencia y diagramas de bloques

    Funciones de transferenciaDiagramas de bloques

    Tiempo muertoNivel en un procesoReactor qumicoRespuesta del proceso de primer orden a diferentes tiposde funciones de forzamiento

    Funcin escalnFuncin rampa

    91

    92101104104105114116121

    3-8Funcin senoidal

    ResumenProblemas

    126126127128129131

    Captulo 4

    4-14-24-34-4

    . -;B

    Sistemas dinmicos de orden superior 139

    Tanques en serie-sistema no interactivo 139Tanques en serie-sistema interactivo 147Proceso trmico 152

    4-5

    Respuesta de los sistemas de orden superior a diferentes tiposde funciones de forzamiento

    Funcin escalnFuncin senoidal

    ResumenBibliografaProblemas

    160161167169170170

    Captulo 5 Componentes bsicos de los sistemas de control

    5-1 Sensores y transmisores5-2 Vlvulas de control

    177

    177180180Funcionamiento de la vlvula de control

  • C O N T E N I D O 1 3

    Dimensionamiento de la vlvula de controlSeleccin de la cada de presin de diseoCaractersticas de flujo de la vlvula de controlGanancia de la vlvula de controlResumen de la vlvula de control

    5-3 Controladores por retroalimentacinFuncionamiento de los controladoresTipos de controladores por retroalimentacinReajuste excesivoResumen del controlador por retroalimentacin

    5-4 ResumenBibliografaProblemas

    181186190196198198201203216219219219220

    Captulo 6 Diseo de sistemas de control por retroalimentacincon un solo circuito 225

    6-1 Circuito de control por retroalimentacin 226Funcin de transferencia de circuito cerrado 229Ecuacin caracterstica del circuito 230Respuesta de circuito cerrado en estado estacionario 238

    6-2 Estabilidad del circuito de control 251Criterio de estabilidad 252Prueba de Routh 253Efecto de los parmetros del circuito sobre

    la ganancia ltimaMtodo de substitucin directaEfecto del tiempo muerto

    6-3 Ajuste de los controladores por retroalimentacinRespuesta de razn de asentamiento de un cuarto

    mediante el mtodo de ganancia ltimaCaracterizacin del procesoPrueba del proceso de escalnRespuesta de razn de asentamiento de un cuartoAjuste mediante los criterios de error de integracin mnimoAjuste de controladores por muestreo de datosResumen

    257259263265

    6-4 Sntesis de los controladores por retroalimentacinDesarrollo de la frmula de sntesis del controladorEspecificacin de la respuesta de circuito cerradoModos del controlador y parmetros de ajusteModo derivativo para procesos con tiempo muertoResumen

    6-5 Prevencin del reajuste excesivo6-6 Resumen

    266270272283285294296297297298299304311311316

  • 1 4 CONTENIDO

    Bibliografa 316Problemas 317

    Captulo 7 Diseo clsico de un sistema de control porretroalimentacin

    7-1 Tcnica de lugar de razEjemplosReglas para graticar los diagramas de lugar de razResumen del lugar de raz

    7-2 Tcnicas de respuesta en frecuenciaDiagramas de BodeDiagramas polaresDiagramas de NicholsResumen de la respuesta en frecuencia

    7-3 Prueba de pulsoRealizacin de la prueba de pulsoDeduccin de la ecuacin de trabajoEvaluacin numrica de la integral de la transformada

    de Fourier7-4 Resumen

    BibliografaProblemas

    341

    343343349361361370393401401402403405

    407410411411

    Captulo 8 Tcnicas adicionales de control8-1 Rels de cmputo8-2 Control de razn8-3 Control en cascada8-4 Control por accin precalculada

    Ejemplo de un procesoUnidad de adelanto/retardoDiseo del control lineal por accin precalculada

    mediante diagrama de bloquesDos ejemplos adicionalesRespuesta inversaResumen del control por accin precalculada

    8-5 Control por sobreposicin y control selectivo8-6 Control de proceso multivariable

    Grficas de flujo de seal (GFS)

    419

    420430439447448457

    459465471472472479479

    Seleccin de pares de variables controladas y manipuladas 490Interaccin estabilidady . 503Desacoplamiento 505

    8-7 Resumen 515Bibliografa 515Problemas 516

  • CONTENIDO 1 5

    Captulo 9 Modelos y simulacin de los sistemas de controlde proceso

    9-1 Desarrollo de modelos de proceso complejos9-2 Modelo dinmico de una columna de destilacin

    Ecuaciones de bandejaBandeja de alimentacin y superiorRehervidorModelo de condensadorTambor acumulador del condensadorCondiciones inicialesVariables de entradaResumen

    9-3 Modelo dinmico de un horno9-4 Solucin de ecuaciones diferenciales parciales9-5 Simulacin por computadora de los modelos de

    procesos dinmicosEjemplo: Simulacin de un tanque de reaccin con

    agitacin continuaIntegracin numrica mediante el mtodo de EulerDuracin de las corridas de simulacinEleccin del intervalo de integracinDespliegue de los resultados de la simulacinMuestra de resultados para el mtodo de EulerMtodo de Euler modificadoMtodo Runge-Kutta-SimpsonResumen

    9-6 Lenguajes y subrutinas especiales para simulacin9-7 Ejemplos de simulacin de control9-8 Rigidez

    Fuentes de rigidez en un modeloIntegracin numrica de los sistemas rgidos

    9-9 ResumenBibliografaProblemas

    Apndice A Smbolos y nomenclatura para los instrumentos

    Apndice B Casos para estudio

    Caso 1 Sistema de control para una planta de granulacinde nitrato de amonio

    Caso II Sistema de control para la deshidratacin degas natural

    Caso III Sistema de control para la fabricacin deblanqueador de hipoclorito de sodio

    537

    538540541544545 *549551554555556556561

    563

    564568569571572574576583584584587601602609613613613

    627

    633

    633

    635

    636

  • 1 6 C O N T E N I D O

    Caso IV Sistema de control en el proceso de refinacindel azcar

    Caso V Eliminacin de CO2 de gas de sntesisCaso VI Proceso del cido sulfrico

    Apndice C Sensores, transmisores y vlvulas de control

    Sensores de presinSensores de flujoSensores de nivelSensores de temperaturaSensores de composicinTransmisores

    Transmisor neumticoTransmisor electrnico

    Tipos de vlvulas de controlVstago recprocoVstago rotatorio

    Accionador de la vlvula de controlAccionador de diafragma con operacin neumticaAccionador de pistnAccionadores electrohidrulicos y electromecnicosAccionador manual con volante

    Accesorios de la vlvula de controlPosicionadoresMultiplicadoresInterruptores de lmite

    Vlvulas de control, consideraciones adicionalesCorrecciones de viscosidadVaporizacin instantnea y cavitacin

    ResumenBibliografa

    Apndice D Programa de computadora para encontrar racesde polinomios

    ndice

    638639644

    6476476 5 16596636696 7 16 7 16746746756786 8 06 8 06826826836 8 46 8 46886886886886926 9 97 0 1

    703

    711

  • CAPTULO

    1Introduccin

    El propsito principal de este captulo es demostrar al lector la necesidad del control auto.-mtico de procesos y despertar su inters para que lo estudie. El objetivo del controlautomtico de procesos es mantener en determinado valor de operacin las variables delproceso tales como: temperaturas, presiones, flujos y compuestos. Como se ver en las p-ginas siguientes, los procesos son de naturaleza dinmica, en ellos siempre ocurren cam-bios y si no se emprenden las acciones pertinentes, las variables importantes del proceso,es decir, aquellas que se relacionan con la seguridad, la calidad del producto y los ndicesde produccin, no cumplirn con las condiciones de diseo.

    En este captulo se presentan asimismo, dos sistemas de control, se examinan algu-nos de sus componentes, se definen algunos de los trminos que se usan en el campo delcontrol de procesos y finalmente, se exponen las bases necesarias para su estudio.

    l - l . EL SISTEMA DE CONTROL DE PROCESOS

    Para aclarar ms las ideas expuestas aqu, considrese un intercambiador de calor en elcual la corriente en proceso se calienta mediante vapor de condensacin, como se ilustraen la figura l-l.

    El propsito de la unidad es calentar el fluido que se procesa, de una temperaturadada de entrada T(t), a cierta temperatura de salida, T(t), que se desea. Como se dijo,el medio de calentamiento es vapor de condensacin y la energa que gana el fluido enproceso es igual al calor que libera el vapor, siempre y cuando no haya prdidas de caloren el entorno, esto es, el intercambiador de calor y la tubera tienen un aislamiento per-fecto; en este caso, el calor que se libera es el calor latente en la condensacin del vapor.

    En este proceso existen muchas variables que pueden cambiar, lo cual ocasiona quela temperatura de salida se desve del valor deseado, si esto llega a suceder, se deben

    1 7

  • 1 8 INTRODUCCIN

    Figura l-l. Intercambiador de calor.

    emprender algunas acciones para corregir la desviacin; esto es, el objetivo es controlarla temperatura de salida del proceso para mantenerla en el valor que se desea.

    Una manera de lograr este objetivo es primero, medir la temperatura T(t), despuscomparar sta con el valor que se desea y, con base en la comparacin, decidir quse debe hacer para corregir cualquier desviacin. Se puede usar el flujo del vapor paracorregir la desviacin, es decir, si la temperatura est por arriba del valor deseado,entonces se puede cerrar la vlvula de vapor para cortar el flujo del mismo (energfa)hacia el intercambiador de calor. Si la temperatura est por abajo del valor qye se de-sea, entonces se puede abrir un poco ms la vtivula de vapor para aumentar el flujode vapor (energia) hacia el intercambiador.. Todo esto lo puede hacer manualmente eloperador y puesto que el proceso es bastante sencillo no debe representar ningn pro-blema. Sin embargo, en la mayora de las plantas de proceso existen cientos de variablesque se deben mantener en algn valor determinado y con este procedimiento de correc-cin se requerira una cantidad tremenda de .operarios, por ello, sera preferible realizarel control de manera automtica, es decir, contar co? instrumentos que controlen lasvariables sin necesidad de que intervenga el operador. Esto es lo que sigkica el controlautomtico de proceso.

    Para lograr este objetivo se debe disear e implementar un sistema de control. Enla figura 1-2 se muestra un sistema de control y sus compone@es bsicos. (En el apndiceA se presentan los simbolos e identificacin de los diferentes instrumentos utilizados enel sistema de control automtico.} El primer paso es medir la temperatura de salida dela corriente del proceso, esto se hke mediante un sensor (termopar, dispositivo de resis-tencia trmica, termmetros de sistema lleno, termistores, etc.). El sensor se conecta fsi-camente al transmisor, el cual capta la salida del sensor yV la convierte en una seal losuficientemente intensa como para transmitirla al controlador, El controlador recibe laseal, que est en relacin con la temperatura, la compara con el valor que se deseay, segn el resultado de la comparacin, decide qu hacer para mantener la temperatura enel valor deseado. Con base en la decisin, el controlador enva otra seal al elementojnulde control, el cual, a su vez, maneja el flujo de vapor.

  • EL SISTEMA DE CONTROL DE PROCESOS

    Elemento final de control

    Figura 1-2. Sistema de control del intercambiador de calor.

    En el parrafo anterior se presentan los cuatro componentes bsicos de todo sistemade control, stos son:

    1. Sensor, que tambkn se conoce como elemento primario.2. Trunsmisor, el cual se conocecomo elemento secundario.3. Contrdtzdor, que es el cerebro! del sistema de control.

    4. Elementojkul de control, frecuentemente se trata de una vlvula de control aun-que no siempre. Otros elementos finales de control comnmente utilizados sonlas bombas de velocidad variable, los transportadores y los motores elctricos.

    /La importancia de estos componentes estriba en que reulizun las tres operaciones bd-

    sicas que deben estar presentes en todo sistema de control; ,estas operaciones son:, $8

    1. Medicin (M): la medicin de la variable que se controla se hace generalmentemediante la,combinacin de sensor y transmisor.

    2. Decisibn (D): con base en la medicin, el controlador decide qu6 hacer para man-tener la variable en el valor que se desea.

    3. Accin (A): como resultado de la decisin del controlador se debe efectuar una., acci6n en el sistema, generahnente sta es reahzada por el elemento final de control.

    Como se dijo, estas tres operaciones, M, D y A son obligatorias para rodo sistemade control. En,.algunos sistemas, la toma de decisin es sencilla, mientras que en otroses ms compleja: en este libro se estudian muchos de tales sistemas. El ingeniero quedisea el sistema de control debe asegurarse que las acciones que se emprendan tengansu efecto en la variable controlada, es decir, que la accin emprendida repercuta en elvalor que se mide; de lo contrario el sistema nocontrola y puede ocasionar ms perjuicioque beneficio.

  • 20 INTRODUCCIdN

    1-2. TRMINOS IMPORTANTES Y OBJETIVO DEL CONTROLAUTOMATICO DE PROCESO

    Ahora es necesario definir algunos de los t&minos que se usan en el campo del controlautomtico de proceso. El primer t&mino es variable controlada, sta es la variable que sedebe mantener o controlar dentro de algn valor deseado. En el ejemplo precedente lavariable controlada es la temperatura de salida del proceso T(t). El segundo trmino espunto de control, el valor que se desea tenga la variable controlada. La variable manipu-lada es la variable que se utiliza para mantener a la variable controlada en el punto decontrol (punto de fijacin o de rgimen); en el ejemplo la variable manipulada es el flujode vapor. Finalmente, cualquier variable que ocasiona que la variable de control se des-ve del punto de control se define como perturbacin o trastorno; en la mayora delos procesos existe una cantidad de perturbaciones diferentes, por ejemplo, en el inter-cambiador de calor que se muestra en la figura 1-2, las posibles perturbaciones sonla temperatura de entrada en el proceso, T(t), el flujo del proceso, q(t), la calidad de laenergfa del vapor, las condiciones ambientales, la composjcin del fluidoqtiese procesa,la contaminacin, etc. Aqu lo importante es comprender que en la industria de procesos,estas perturbaciones son la causa mas comn de que se requiera el control automticode proceso; si no hubiera alteraciones4 prevakcerfan las condiciones de operaci6n del di-seo y no se necesitarfa supervisar continuamente~el proceso. L

    Los siguientes t&minos tambin son importaz~&~. Circuito abierto o lazo ubiefto, serefiere a la situacin en la cual se desconecta el controlador del sistema, es decir, d con-trolador no realiza ninguna funcin relativa a c&nomantener la variable controlada enel punto de control; otro ejemplo en el que existe control de circuito abierto es cuandola accin (A) efectuada por el controlador no afecta a la medicin (M). De hecho, sta .Ies una deficiencia t?mdamental del diseo del sistema de control. Confrol de circuito ce-rrado se refiere a la situacin en la cual- se conecta el controlador al proceso; .elcgntrola-dor compara el punto de control (la referencia) con la variable controlada y determinala accin correctiva. c> _

    Con la definicin de estos tkminos, el objetivo del control automatice de procesose puede.establecer como sigue: .,

    IEl objetivo del sistema de control automtico de proceso es utitizar.la.variable mani-pulada para mantener a la variable controlada.en el punto de control a pesar de lasperturbaciones.

    / /

    ld. CQNTROL,iEGi$ADOR Y SWOCChf4fiii)L

    En algunos procesos la variable controlada se desva, del punto, dec&&l a causa de iasperturbaciones. El @mino control reguZq&r se utiliza para referirse a los sistemas dise-ados para compensar las perturbaciones. A veces la perturbacin ms ~mportkte es elpunto de control mismo, esto es, el punto de control puede cambiar en funcin dei tiempo(lo cual es tpico de los procesos por lote), y en consecuencia, la variable controlada debe

  • < .
  • ac ww!22 INTRODUCCI6N

    industrial; consistfa en mantener constante la velocidad de una mquina de vapor con cargavariable; se trataba de una aplicacin del control regulador. En ese procedimiento setoma la variable controlada y se retroalimenta al controlador para que este pueda tomaruna decisin. Es necesario comprender el principio de operacin del control por retroali-mentacibn para conocer sus ventajas y desventajas; para ayudar a dicha comprensin sepresenta el circuito de control del intercambiador de calor en la figura 1-2.

    Si la temperatura de entrada al proceso aumenta y en consecuencia crea una perturba-cin, su efecto se debe propagar a todo el intercambiador de calor antes de que cambiela temperatura de salida. Una vez que cambia la temperatura de salida, tambin cambia laseal del transmisor al controlador, en ese momento el controlador detecta que debecompensar la perturbacin mediante un cambio en el flujo de vapor, el controlador sealaentonces a la vAlvula cerrar su apertura y de este modo decrece el flujo de vapor. En lafigura 1-4 se ilustra gr&icamente el efecto de la perturbacin y la accin del controlador.

    Es interesante hacer notar que la temperatura desalida primero aumenta a causa delincremento en la temperatura de entrada, pero luego desciende incluso por debajo del puntode control y oscila alrededor de este hasta que finalmente se estabiliza. Esta respuestaoscilatoria demuestra que la operacin del sistema de control por retroalimentaci6n es esen-cialmente una operacin de ensayo y error, es decir,, cuando el controlador~detecta quela temperatura de salida aument por arriba del punto de control, indica a la vlvulaque cierre, pero sta cumple con la orden ms allde Jo necesario, en Consecuenciala temperatura de salida desciende por abajo del ptmto de control; al notar esto, el con-

    TU)

    Figura 1-4. Respuesta del sistema de control del intercambiador de calor.

  • E S T R A T E G I A S D E C O N T R O L 23

    trolador seala a la vlvula que abra nuevamente un tanto para elevar la temperatura. Elensayo y error continua hasta que la temperatura alcanza el punto de control donde per-manece posteriormente.

    La ventaja del control por retroalimentacin consiste en que es una tcnica muysimple, como se muestra en la figura 1-2, que compensa todas las perturbaciones. Cual-quier perturbacin puede afectar a la variable controlada, cuando sta se desva del puntode control, el controlador cambia su salida para que la variable regrese al punto de control.El circuito de control no detecta qu tipo de perturbacin entra al proceso, nicamentetrata de mantener la variable controlada en el punto de control y de esta manera compensarcualquier perturbacin. La desventaja del control por retroalimentacibn estriba en quenicamente puede compensar la perturbacin hasta que la variable controlada se ha des-viado del punto de control, esto es, la perturbaci6n se debe propagar por todo el procesoantes de que la pueda compensar el control por retroalimentacin.

    El trabajo del ingeniero es disear un sistema de control que pueda mantener la varia-ble controlada en el punto de control. Cuando ya ha logrado esto, debe ajustar el contro-lador de manera que se reduzca al mnimo la operacin de ensayo y error que se requierepara mantener el control. Para hacerun buen trabajo, el ingeniero debe conocer las carac-tersticas o personalidad del proceso que se va a controlar, una vez que se conoce lapersonalidad del proceso el ,ingeniero puede disear el sistema de control y obtenerla personalidad del controlador que mejor combine con la del proceso. El significadode personalidad~ se explica en los pr&mos captulos, sin embargo, para aclarar loexpuesto aquf se puede imaginar que el lector trata de convencer a alguien de que se com-porte de cierta. manera,. es decir, controlar el comportamiento de alguien; el lector es elcontrolador y ese alguien es el proceso. Lo ,nus prudente.es que el lector conozca la per-sonalidad de ese alguien para poder adaptarse a su personalidad. si pretende efectuarun buen trabajo de persuasin o de control. Esto es lo que significa el ajuste del contro-lador, es decir, el controlador se adapta o ,ajus@al proceso. En la mayorfa de los con-troladores se utilizan hasta tres parmetros .para su ajuste, como se ver en los capitulos5 y 6.

    Control por accin precalculada

    El control por retroalimentacin es la estrategia de control ms comtin en las industriasde proceso, ha logrado tal aceptacin por su simplicidad;,sin*embargo, en algunos proce-sos el control por retroalimentacin no proporciona la funcin de control que se requiere,para esos procesos se deben disear otros tipos de control. En el capitulo 8 se presentanestrategias de control que han demostrado ser tiles; una de tales estrategias es el controlpor accin precalculada. El objetivo del control por accin precalculada es medir las per-turbaciones y compensarlas antes de que la variable controlada se desvie del punto decontrol; si se aplica de manera correcta, la variable controlada no se desvfa del puntode control.

    Un ejemplo concreto de control por accin precalculada es el intercambiador de calorque aparece en la figura l-l. Sup@ase que las perturbaciones ~ms serias son la tem-peratura de entrada, Ti(t), y el flujo del proceso, q(t); para establecer ei control por ac-

  • 2 4 INTRODUCCIN

    cufafla

    +

    as,

    2 I 5; j, ,*.,

    1. Evitar lesiones al personal de la planta o d&o al equipo. La seguridad siempre debe estar en la mente!le todos, *sta es-la considercin ms importante.2. Mantener la calidad del producto~composicidi, pureza, color, etc:) en un nivel

    continuo y con un costo mfnimo? 3 . Mantener, la, tasa de produccin d Ia planta al costo rnfnimo .

    ,

  • 26 INTRODUCCI6N

    ciones que describe diferentes procesos, esto se conoce como modelacin; para desarrollarmodelos es preciso conocer los principios que se mencionan en el prrafo precedente ytener conocimientos matemticos, incluyendo, ecuaciones diferenciales. En el control deproceso se usan bastante las transformadas de Laplace, con ellas se simplifica en granmedida la solucin de las ecuaciones diferenciales y el amlisis de los procesos y sus sistemasde control. En el capftulo 2 de este hbro el inters se centra en el desarrollo y utilizacibn delas transformadas de Laplace y se hace un repaso del lgebra de nmeros com$ejos.

    Otro recurso importante para el estudi0.y prctica del control de proceso es la simu-lacin por computadora. Muchas de las ecuaciones que se desarrollan para describir losprocesos son de naturaleza no lineal y , en consecuencia, la manera ms exacta de resol-verlas es mediante mtodos numrcos, es decir; solucin por computadora. La solucinpor computadora de los modelos de proceso se llama simzhcin. b los captulos 3 y4 se hace la introduccin al modelo de algunos procesos simples y en el captulo 9 sedesarrollan modelos para procesos ms complejos, asimismo, se presenta la introduccina la simulacin.

    En este captulo se trat la necesidad del control autom&ico.de proceso. Los procesosindustriales no son estticos, por el c.onkrio, son muy din@icos, cambian continuamen-te debido .a los, muchos ,tipos de perturbaciones y precisamente por eso se necesita quelos sistemas de control vigilen continua y automaticamepte las variaciones que se debencontrolar.

    Los principios de funcionamiento del sistema de control se pueden resumir con tresletras M, D, A. M se refiere a la medicin de las variables del proceso: D s,e relere a ladecisin que se toma con base en las mediciones de las variables del proceso. Fmalmente,A se refiere a la accin que se debe realizar,de.acuerdo con, la decisin tomada.

    Tambin se explic lo relativo a los componentes bsicos del sistema de control:sensor, transmisor, controlador y elemento final de control. Los tipos m&s comunesde seales: neumiitica, electrnica o elctrica y digital, se introdujeron junto con la expo-sicin del propsito de los transductores.

    Se expusieron dos estrategias de control: control por retroalimentaci& y por accinprecalculada. Se expusieron brevemente las .ventajas y desventajas de ambas estrategias.El tema de los capftulos 6 y 7 es el diseo y analisis de los circuitos de control por retroa-limentacin. El control por accin precalculada se presenta con ms detalle en el capitulo 8,junto con otras estrategias de control. ,: : 5

    AI escribir este libro siempre se tuvo conciencia de que, para tener xito, el ingenierodebe aplicar los principios que aprende. En el libro se cubren los principios, necesariospara ,la prctica exitosa del control automtico de proceso. En l abundan los ejemplosde casos reales producto de la experiencia de los autores como .ingenieros activos en elcontrol de procesos o como consultores. Se espera que este libro despierte un mayor inte-rs en el estudio del control automtico de proceso, ya que es un rea muy dinmica,

    Zdesafiante y llena de satisfacciones de la ingeniera de proceso.

  • CAPTULO

    2Matemticas necesariaspara el tinlisis de los.sistemas ,d,e control

    Se ha comprobado que las tcnicas de transformada de Laplace y linealizacin son parti-cularmente tiles para el anlisis de la dinmica de los procesos y diseo de sistemas decontrol, debido a que proporcionan una visi6n general del comportamiento de gran varie-dad de procesos e instrumentos. Por el contrario; la t6cnica de simulacin por computa-dora permite realizar un anAlisis preciso y detallado del comportamiento dinmico desistemas especificos, pero rara vez es posible generahzar para otros procesos los resulta-dos obtenidos. i *

    En este captulo se revisar el mtodo de la transformada de Laplace para resolverecuaciones diferenciales lineales. Mediante este mtodo se puede convertir una ecuacindiferencial lineal en una algebraica, que, a su vez, permite el desarrollo del til conceptode funciones de transferencia, el cual se introduce en este capftulo y se utiliza ampliamen-te en los subsecuentes. Puesto que las ecuaciones diferenciales que representan la mayo-ra de los procesos son no lineales, aqu se introduce el mtodo de linealizacin paraaproximarlas a las ecuaciones diferenciales lineales, de manera que se les pueda aplicarla tecnica de transformadas de Laplace. Para trabajar con las transformadas de Laplacese requiere cierta familiaridad con los nmeros complejos, por ello se incluye como unaseccin separada, una breve explicacin del lgebra de los nmeros complejos, El cono-cimiento de la transformada de Laplace es esencial para entender los fundamentos de ladinmica del proceso y del diseo de los sistemas de control.

    2-1. TRANSFORMADA DE LAPLACE

    Definicibn

    La transformada de Laplace de una funcin del tiempo,f(t), se define mediante la siguientefrmula:

  • 28 MATEMTICAS NECESARIAS PARA EL ANLISIS DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

    donde:

    J(f) es una funci6n deitiempo

    F(i) es la transformada de Laplce correspondiente s es la variable de la, transformada de Laplace2 es el tiempo

    En la aplicaci6n de la transformada,deLaplace al diseo de sistemas de control, lasfunciones del tiempo son las variables del sistema, inclusive la variable manipulada y lacontrolada, las seales del transmisor, las perturbaciones, las posiciones de la vlvula decontrol, el flujo a travs de las vlvulas de control y cualquier otra variable o seal inter-media. Por lo tanto, es muy importante darse cuenta que la transformada de Laplace seaplica a las variables y seales, y no a los procesos o instrumentos.

    Para lograr la familiarizacin con la definicin de la transformada de Laplace, se bus-car la transformada de varias seales de entrada comunes. -

    Ejelllpb 2-1: En el anlisis de los sistemas decontrol se aplican seales a la entrada,del sistema (por ejemplo, perturbaciones, cambios en el punto de control, etc.) pqra estu-diar su respuesta. A pesar de que en la prctica, generalmente, es difcil o incluso imposi-ble lograr algunos tipos de sea@, stas proporcionan herramientas tiles para compararlas respuestas. En este ejemplo se obtendr la transformada de Laplace de ,

    a) Una funcin de escal6n unitario. ! ;* .)

  • TRANSFORMADA DE LAPLACE

    Su transformada de Laplace est dada por:

    Y[u(r)] = I

    xo u(t)FJ df = - i e-\

    Y[u(t)] = f

    I

    0

    = -f (0 - 1)

    b) Pulso de magni&d H y duracin T

    29

    El pulso se muestra grficamente en l figura 2-lb y su representacin algebraica es:

    ,fW = II,t < 0, t 2 T0 s r < T

    Su transformada de Laplace est dada por

    Ca) (h)

    1 t=o t

    Onda senoidal, sen wt (w = 2a/7).

  • 30 MATEMATICAS NECESARIAS PARA EL ANLISIS DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

    H T= --e-sr = -5 (e-sT - 1)s 0 S

    z![f(t)] = ; (1 - e-sT)

    c) Funcin de impulso unitario

    sta es un pulso ideal de amplitud infinita y duracin cero, cuya krea es la unidad, enotras palabras, un pulso de rea unitaria con toda ella concentrada es un tiempo igual acero. Esta funcin se esboza en la figura 2-1~. Generalmente se usa el sfmbolo S(t) pararepresentarla, y se le conoce como funcin delta Dirac. Su expresin algebraica sepuede obtener mediante el uso de los limites de la funcin pulso de la parte (b):

    b(f) = plp

    con:

    HT = 1 (el rea) o H = l/T

    La transformada de Laplace se puede obtener tomando el lmite del resultado de la parte b):

    Ahora se requiere la aplicacin de la regla de L,Hopital para lmites indefinidos:

    ste es un resultado muy significativo, pues indica que la transformada de Laplace delimpulso unitario es la unidad.

    d) Onda senoidal de amplitud y frecuencia w

    La onda senoidal se muestra en la figura 2-ld, y su representacin en forma exponencial es

    pr _ e-,w,

    senwr =2i

  • TRANSFORMADA DE LAPLACE 31

    donde i = J-i es la unidad de los nmeros imaginarios.Su transformada de Laplace est dada por

    I

    xCelsen wtl = o sen wl e-3 clt

    = e - ) dt

    1 x2; [i I

    x=- e--c.\ - ,0,1 & _ e - CJ + !V (.Jf

    0 1

    1 ,-,.,-iwr e-(r+iwlr ==-2; [--+-

    s - io lls+iw Izz-2 i [ -o-I+ O-Is - io s + io 1

    I 2io=--2i .G + WI

    Con el ejemplo precedente se ilustra en parte el manejo algebraico que implica laobtencin de la transformada de Laplace de una seal. En la mayora de los manualesde matemticas e ingeniera aparecen tablas de las transformadas de Laplace; la tabla 2- 1es una breve lista de la transformada de algwi&? de las funciones m8s comunes.

    Propiedades de la transformada de Laplace

    En esta seccin se explican alguna6 propiedades impotintes de la transformada de Lapla-ce, las cuales son tiles porque permiten obtener la transformada de algunas funcionesa partir de las ms simples, como las que aparecen en la tabla 2-1; establecer la relacinde la transformada de una funcidn con sus derivadas e Integrales; as como la determina-cin de los valores inicial y final de una funcin a partir de su transformada.

    /Linealidad. Esta propiedad, la ms importante, establece que la transformada de Lapla-ce es lineal; es decir, si k es una constante

    Ce[/q-(t)] = k.Yl.Ar)l = kF(.s) (2-2)

    Puesto que es lineal, la prhpiedad distributiva tambin es vilida para la transformadade Laplace:

    celfctj + g(t)] = YIJlN + ~Lru)l (2-3)= F(s) + G(s)

  • 3 2 MATEMTICAS NECESARIAS PARA EL ANLISIS DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

    Tabla 2-1 Transformada de Laplace de funciones ms usuales.

    f(t) F(s) = aw)lw 1

    144

    S

    t

    t

    1

    2n!7

    e-al

    te at

    te -al

    sen wt

    1-s ta

    1

    (s + iTi)2n!

    (s + a)0

    sz + 02

    cos ots2 : lo2 .-

    e-send

    emafcos wt

    w

    (s + a)Z + O*s+a

    (s + a)2 + o2

    Ambas propiedades se pueden demostrar fcilmente mediante la aplicacin de.la defini-cin de transformada de Laplace, ecuacin (2-1).

    :.t I , ,Teorema de la diferenciacin real. Este teorema establece la relacin de la transfor-mada de Laplace de una funcin con la de,su ,derivacl+ Su expresin matemtica es

    :,*#

    1 ._

    Demostracin. De la definicin de transformada de Laplace, ecuacin (2-1). . !l:

    Integrando por partes:

  • TRANSFORMADA.DE LAPLACE : _

    y[!y] =;,,,,-,s;~yi [j-@) (-se-d,)

    = [O- f(O)] + s: Io*f(t)e- dt= - f(O) + s ce[f(t,]: i.,

    = Sm) - f(O)

    .,.,

    La extensin a derivadas de orden superior eS directa:

    +f+$(f~)], :

  • 34 MATEMATICAS NECESARIAS PARA EL ANALISIS DE LOS SiSTEMAS DE CONTROL

    Demostfacidn. De la definicin de transformada de Laplace, ecuacin (2-1)

    Y [6/(t)dt] = l [r,o,dt] e-dt

    Integrando por partes:

    du = f(t) dtI = _ -c-s

    = 3, Y l.fWl = f F(s) q.e.d. . ?

    Ntese que en esta derivacin se supone que el valor inicial de la integral es cero; entales condiciones, la integral II de una funcin es la transformada de la funcin entre $2

    .

    Teorema de la diferenciacidn compleja. Con este teorema se facilita la evaluacinde las transformadas que implican la variable de tiempo t, y se expresa mediante

    Denio~tracidn. A partir de la definicih de transfotmada de Lafiiace, .&iien: Q-l),se tiene que .,*, . I ,

    8 ._ Toma@ !a derivada de es;ta ecq@n respecfy a s;, ,_: , i:/.,1 ,;/ a .I r , . i

    Al reacomodar este resultado se obtiene la expresia del teorema mencionado.

  • TRANSFORMADA DE LAPLACE .i J xi

    Teomn d la 4faslacidn m/. J En este teortia %e trabaja. con Mraslaki&-de rmafuncin en el eje del tiempo, como se ilustra &la fi@ra 2-2. La ftmcinrtraslsdadaesla funcin original con retardo en tiempo. Como se ver en el capitulo 3, el retardo detransporte ocasiona retardos de tiempo en\ el proceso; este fenmeno se conoce comn-mente como tiempo muerto.

    Puesto que la trtutsformada deLapia noeontiene infrmacih acerca& la timci6noriginal para tiempo negativo, se supone que la funcin retardada es cero, para todos lostiempos menores al tiempo de retardo (ver figura 2-2). El teorema se expresa mediantela siguiente frmula: . $, ( J &-4) L&-Cr) J 7 e? CCl 1

    2 [[Cr 2 f

  • Sb MATEMATICAS NECESARIAS PARA EL ANALISIS DE LOS SISTEMA&,DE CONTROL

    T9onune deia trrrslacibn~comp/eta,~..Este teorema&cilltkl~wtluaci~ de 14 Qans:formadhde. funcione9 que implican al;tiempo como exponente. .a .aj 3

    . ..., ,; ti.g (2-10)

    : ,.itt

  • TRANSFORbjADA.,QE,~AP@iCE _ 1 3 7

    Solucidn. Al aplicar la propiedad de lineahdad de la transformada de Laplace, ecus-ciones (2-2) y (2-3), se obtiene la trztnsformadade cada trmino; posteriormente se aplicael teorema de la diferenciacin real, ecuacin (2-5):

    ! _,

    -i, i::!. :: :

    = 25w,, ].sX(.s) - x(O)]

    = 2&ll,, sX(s)

    De la substitucin en la ecuacin original se obtiene . .

    resolviendo para X(S), se tiene :, . . . . ..

    X(s) =K >:, +-R(ij ,as ,^, ,, I: . t.

    ..L,. : >i> ,: i.,,: .&&!a&?Ps Y 0; ., 7 ,: ; , _

    :, (:-r ,I_/

    En el ejemplo precedente se ilustra el hechode que la transformada de Laplace conviertela ecuacin diferencial original en una ecuacin algebraica, en esto estriba la gran ntilidadde la transfbrmada de Laplace, ya que el manejo de las ecuaciones algebraicas es muchoms facil que el de las diferenciales. #in embargo, el precio de esta ventaja, es que esnecesario transformar y despues invertir la transformadaIjara obtener la solucin en eldominio del tiempo, esto es, con el tiempo como variable independiente.r / .I $j :Ejemplo 2-3. Obtngase la transformada de Laplace de la siguiente funcin:

    y ( t ) = te-O/, ,8 ,

    donde a es una constante.,s :r; ,

  • 38 MATEMTICAS NECESARIAS PARA EL ANLISIS DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

    Se puede obtener el mismo resultado mediante la aplicacin del teorema de la trasla-cin compleja, ecuacin (2-10):

    Sea

    f(r) = f F(.s) = f (de la tabla 2-1)

    entonces

    Ce [e-[ f] = Y [e-y(t)] = F [s - (-n)] , .

    I= F(s + 0) = -(s + oy .. :

    Con esto se verifica el resultado anterior.Ahora se comprueba la validez de la transformada mediante la aplicacin de los teo-

    remas del valor inicial y final.4 .: - , I

    Valor inicial: ,

    lm y(t) = Oe-U(o = 01+0

    De la regla de LHopital

    lm Y(s) = !? & = 0 (se comprueba)s-x

    ,

    lm y(r)t-* = F% f = ;

  • TRANSFORMADA DE LAPLACE 39

    De la regla de LWopital

    1myw =!Lt-$=Ot-x

    lm sY = !% * = f = 0. r -0 (se comprueba)

    Desafortunadamente cero no es una comprobacin muy confiable, ya que no permite ladeteccin de errores de signo.

    Ejemplo 2-4. Obtngase la transformada de Laplace de la siguiente funcin en retardode tiempo:

    m(t) = u(t - 3) e--3) cos o(r - 3)

    donde o es una constante.

    Nota: En esta expresin se incluye el t&mino u(t - 3) para aclarar explfcitamenteque la funcin vale cero cuando t < 3. Rwukdese que u (t - 3) es la funcin de escalnunitario en t = 3, la cual se puede escribir como

    u(t - 3) ={

    0 te31ta3

    Por lo tanto, u(t - 3) no altera al resto de la funcin para t 2 3.

    Solucibn. Sea

    entonces

    f(t - 3) = ewctT3) coi &(t - 3).-_ . .

    f(t) = e- cos ofi

    (s + 1)F(s) = (s + 1)2 + 02 (de la tabla 2-1)

    Por aplicacin del teorema de la traslacin real, ecuacin (2-9)

    M(s) = Ce [u(t - 3)f(t - 3)]=e -3s @)

    M(s) =(s + I)e-

    (s + 112 + 02

  • 40 MATEMATICAS NECESARIAS PARA EL ANLISIS DE ~0s sistemas DE CONTROL

    Ahora se verifica la validez de este resultado mediante la aplicacin de 10s teoremas delvalor inicial y final.

    Valor inicial

    lfmom(f) = ~(-3) (+j)cos (-361) = 0

    yii que u(- 3) = 0_! 1

    Se puede separar la parte indefinida y aplicar la regla de LHopital:

    lm .sM(.s) =h-+X

    =

    Valor jhl

    ;

    [ 1lfm $ (01 = 0 (se comprueba)S-T

    En principio, el teorema del valor final no se puede aplicar a las funciones, peridicas,debido a que dichas funciones oscilan siempre, sin llegar a alcanzar un punto estaciona-rio; sin embargo, la aplicacin del teorema del valor final a las funciones peridicas dapor resultado el valor final alrededor del cual oscila la funcin.

    lmm(r) = (I)(O)COS(~) = 0,+=

    lfm SM(S) = w = 0 (se comprueba).P+O

    Ejemplo 2-5. Obtngase la transformada de Laplace de la siguiente funcin:i _,

    c(t) = [u(t) - e-1

    En la que r es una constante.

  • SOLUCl6N DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 4 1

    Solucin. Aplicando la propidad de 1inealidad:kcuacin (2-3):

    C(s) = ce (u(t) - e-q= ce [u(t)] - Y (e-T]

    1. 1,=-- (de la tabla 2-1)s. s +1/7

    C(s) = -.S(TS + 1 )

    Valor inicial

    lm ((1) = I - eo = 0-o

    lm SC(S) = l$ & = L = 0 (se comprueba)\ I

    Valor final

    lm c(t) = 1 - emx = 1

    lm SC(S) = kn ;- = 1 (se comprueba)1-0 . :

    2-2. SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTEEL USO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

    .

    Para ilustrar el uso de la transformada de,Laplace en la iesolucin de ecuacibnes diferen-ciales lineales ordinarias, considrese la siguiente ecuacin diferencial de segundo orden:

    .m

    a df? + al 9 + ao y(i) = h(r) (2-13)

    El problema de resolver esta ecuacin se puede plantear como sigue: dados los coefi-cientes %, al, a2 y b, las condiciones iniciales. apropiadas y la funcin x(t), encuntresela funcin y(t) que satisface la ecuacin (2-13).

    La funcin x(f) se conoce generalmente como , funcin de forzamiento o variablede entrada, y y(r) como la funcin de salida o variable dependiente; la variable t, tiem-po, es la variable independiente. Generalmente, en el diseo de los sistemas de controluna ecuacin diferencial como la (2-13) representa la,forma en que se relaciona la sealde salida, y(t), con la seal de eutrada, x(t), en un proceso particular.

  • 42 MATEMTICAS NECESARIAS PARA .EL ANLISIS DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

    Procedimiento de solucin por Iq. transformada de Laplace

    La solucin de una ecuacin diferencial mediante ~1 uso de la transformada de Laplaceimplica bsicamente tres pasos:

    Paso 1. Transformacin de la ecuacin diferencial en una ecuacin algebraica con lavariable s de la transformada de Laplace, lo cual se logra al obtener la transformada deLaplace de cada miembro de la ecuacin:

    y la2 d2y (0-p + al y + a,y(t)l = Y [h(r)] (2-14)

    Entonces, al usar la propiedad distributiva de la transformada, ecuacin (2-2), y elteorema de la diferenciacin real, ecuacin (2-3, se ve que

    cedy0)

    [ 1a dr= al [sY - y(O)1 -

    3 la0 y(t)1 = ao Y(s)

    2 [b x(r)] = b X(s)

    Posteriormente se substituyen estos trminos en la ecuacin (2-14) y se reordena:

    (a2s2 + up + %) Y(s) - ta23 + aI) y(O) - a2 d;dy (0). = b X(s)

    Ntese que sta es una ecuacin algebraica y que la variable s de 1; transformada de Lapla-ce se puede tratar comg cualquier otra cantidad algebraica.

    Paso 2. Se emplea la ecuxin algebraica que se resuelve para la variable de salida Y(s),en trminos de la variable de entrada y de las condiciones iniciales:

    bx(s) + (w + 4) ~(0) + 02 2 (0)Y(s) = $9 f a,s + ao

    (2-15)

    .

    Paso 3. Inversin de la ecuacin resultante para obtener la variable de salida en funcindel tiempo y(t):

    y(t) = ce- IYWI

    Zr ye-1b X(s) + lw + 4 ~(8) + 02 $ (0)

    a2s2 + ap + ao 1(2-16)

  • SOLUCl6N DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 43

    En este procedimiento los dos primeros pasos son relativamente fciles y directos,todas las dificultades se concentran en el tercer paso. La utilidad de la transformada deLaplace en el diseo de sistemas de control tiene como fundamento el hecho de que raravez es necesario el paso de inversin, debido a que todas las caractersticas de la respuestaen tiempo y(t) se pueden reconocer en l&t&minos de Y(s); en otras palabras, el analisiscompleto se puede hacer en el dominio de Laplace o en el dominio s, sin invertir latransformada en el dominio del tiempo. En la clusula precedente se usa el trminodominio para designar a la variable independiente del campo en el que se realiza elanalisis y diseo.

    En el paso de inversin se establece la relacin entre la transformada de Laplace,Y(s), y su inversa, y(t). El paso de inversin se puede demostrar mediante el mtodo dela expansin de fracciones parciales, sin embargo, primero se generalizar la ecuacin(2-15) para el caso de una ecuacin de orden n.

    Para la ecuacin diferencial lineai ordinaria de, orden n con coeficientes constantes

    dY(4 + a _ dS YU)4, dt &--i + . . + a,y(t) =

    I, (2-17)

    _ b. dx(t) + b _ d!- x(r)m dr < m .I d,,n-, + : , + b(r)

    ien condiciones iniciales cero. 2

    ,

    Y(O) = 0;d v2 (0) = 0 ; . ; s (0) = 0

    x(O) = 0 ; 2 (0) = 0 ; . . . ; s (0) = 0

    es fcil demostrar que la ecuacin de la transformada de Laplace esta dada por

    Y(s)! =[

    b& + b,-, s- + - . : . + b;

    3a,,s.-b a,,-, s- + . . + UJJX(s) (2-18)

    El caso de condiciones iniciales cero es el ms comn en el diseo de sistemas decontrol, ya que las seales se definen generalmente como desviaciones respecto a un esta-do inicial estacionario (ver seccin 2-3). Cuando se hace esto, el valor inicial de la pertur-bacin, por definiciSn, es cero; los valores iniciales de las derivadas del tiempo son tambincero, pues se supone que el sistema esta inicialmente en un estado estacionario; es decir,no cambia con el tiempo.

    Funcin de transferencia. Si las variables X(s) y Y(S) de la ecuacin (2-18) son lasrespectivas transformadas de las seales de entrada y de salida de un proceso, instrumen-to o sistema de control, el trmino entre corchetes representa por definicin, la funcinde transferencia del proceso, instrumento o sistema de control. Dicha funcin es la ex-presin que, al multiplicarse por la transformada de la seal de entrada, da como resulta-

  • 4 4 MATEMTICAS NECESARIAS PARA EL ANLISIS DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

    do ia.transformada de la funcin de salida. La funcin de transferencia proporciona unmecanismo til para el anlisis del comportamiento dinhico y el diseo de sistemas decontrol. Se tratar con mayor detalle en el captulo 3.

    Inversin de la transformada de Laplace medianteexpansin de fracciones parciales .

    El ltimo paso en el proceso de solucin de una ecuacin diferencial mediante la transfor-mada de Laplace es la inversin de la ecuacin algebraica de la variable de salida, Y(s),la cual se puede representar mediante

    y(t) = ce- [Y(s)] (2-19)

    Puesto que ste es el paso ms difcil del procedimiento de. solucin, esta seccin tie-ne por objetivo establecer la relacin general entre la transformada de la variable de sali-da Y(s) y su inversa y(t). Con este procedimiento se puede realizar el anAisis de la respuestadel sistema mediante el anlisis de su funcin transformada Y(s), sin tener que invertirlarealmente. A continuacin se establece la relacin entre Y(s) y y(t) &r medio del mtodo deexpansin de fracciones parciales, el cual fue introducido por primera vez por el fsico bri-tnico Oliver Heaviside (1850-1925) como parte de su revolucionario clculo operacional.

    Como se vio en la seccin precedente, la transformada de.Laplace de la salida o va-riable dependiente de una ecuacin diferencial lineal de orden n con coeficientes constan-tes, se puede expresar mediante

    y(.s) = [

    bs + b -,s- + . < + b,a s + a _, s- + , + U 1

    X(s)II >I

    (2-18)

    donde:

    Y(s) es la transformada de Laplace de la variable de salidaX(s) es la transformada de Laplace de la variable, de entradaao9 al, * * * > u, son los coeficientes constantes de la variable de salida y sus derivadasbo, h, . . . > b,,, son los coeficientes constantes de la variable de entrada y sus derivadas.

    Si se.observa la tabla 2- 1, se puede ver que la transformada de Laplace de las funcio-nes ms comunes es una relacin de polinomios en las variables de la transformada deLaplace. Si se supone que ste es el caso de X(s), se puede demostrar fhcilmente que Y(s)tambih es la relacin de dos polinomios:

    Y(s) =

    =

    (b,,p + b,-l P-l + . . . + bo) [numeklor de X(s)](UnSR + in- P-l + . . + ao) [denominador d X(s)]

    (2-20)

  • SOLUClbN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 45

    donde:

    N(s) = pp + p,-, .s/- + . . . . + p,s + p

    -D(s) = 2 + ci-(.s~- + + a,s + a

    Po, PI, * f . , fij son los coeficientes constantes del polinomio numerador N(s) de gra-do jo 2 m)

    ao, al, . . . 9

  • 46 MATEMATICAS NECESARIAS PARA EL ANALISIS DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

    donde Al, AZ, . . . , Ak son una serie de coeficientes constantes que se evalan mediante:un procedimiento de series. Este paso se conoce como expansin en fracciones parciales.

    Una vez que se expande la transformada de la salida, como se hizo en la ecuacin(2-24), se puede usar la propiedad distributiva de la transformada inversa para obtenerla funcin inversa:

    (2-25)

    Las inversas individuales generalmente se pueden determinar mediante eluso de unatabla de transformadas de Laplace como la tabla 2- 1.

    Para evaluar los coeficientes de las fracciones parciales y completar el proceso deinversin, se deben considerar cuatro casos:

    1. Races reales no repetidas.2. Pares no repetidos de races complejas conjugadas. :

    3. Races repetidas.4. Presencia de tiempo muerto.

    A continuacin se expone cada uno de estos casos.

    Caso 1. Races reales no repetidas

    Para evaluar el coeficiente Ai de una fraccin que contiene una raz real no repetidari, se multiplican ambos miembros de la ecuacin (2-24) por el factor (s - rJ, lo queda como resultado la siguiente ecuacin, despus de reordenar:

    ,

    (s - r,) Y($) = AAs - r,) + +Ai+ . . + Ak(s - ri) (2-26)s - r, s - r,

    Ntese que, como la rafz ri no se repite., no hay cancelaci6n de los factores, a excepcinde los de la fraccin i. Al hacer s = ri en la ecuacin (2-26), se obtiene la siguiente fr-mula para el coeficiente Ai:

    A, = lm (s - r,) Y(s) = lm (s - ri) g (2-27)A-., \>I

    Esta frmula se utiliza para evaluar los coeficientes de todas las fracciones que contienenraces reales no repetidas. La inversa de los tkrninos correspondientes de Y(S) en la ecua-cin (2-25) es, segn la tabla 2-1:

  • SOLUCIdN OE ECUACIONES DIFERENCIALES CON LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 47

    (2-28)

    Si todas las de D(s) son races reales no repetidas, la funcin inversa es

    y(t) = Alerif + AZer? + . . . + AkeV (2-29)

    A continuacin se ilustra este procedimiento por medio de un ejemplo.

    Ejemplo 2-6. De la ecuacin diferencial de segundo orden

    d2c(r)7

    + 3 y + 2c(r) = k(t)

    en la que u(t) es la funcin escaln unitario (ver ejemplo 2-la), encuntrese la funcinc(t) que satisface a la ecuacin para el caso en el que las condiciones iniciales son cero:

    - c(O) = 0; 2 (0) = 0

    Solucidn.

    Paso 1. Se obtiene la transformada de Laplace de la ecuacin., . : :.

    SQS) + 3sC(s) + 2C(s) = W(s)

    Paso 2. Se resuelve para C(s).

    * C(s) = s2 + Il, + .2 .u(.s) :

    5 1=s2 + 3s + 2 s

    U(s) = l/s se obtiene de la tabla 2-1.

    Paso 3. Se invierte, C(s).Las races del polinomio denominador son

    s(s? + 3s + 2) = 0 :1 ,tras$palabras, si ties una raz compleja de D(s), entonces existe otra raz compleja que es el conjugado der;, esto es, tiene las mismas partes real e imaginaria, pero de signo contrario. A fin desimplificar, se puede decir que estas dos races son rl y r2:

    rl = r + iw r2 = r - iw

    donde:

    i = 6i es la unidad de los nmeros imaginariosr es la parte real de ii y r2 !w es la parte imaginaria de rl

    Por lo tanto, la expansin en fracciones parciales de Y(s) es

    Us) = (s _ N(s)r - iw)(s - r + iw) (s - rk)

    Al + A2Zr Aks - r - i w s - r + iw

    + . + -s - rk

    (2-30)

  • SOLUCIN DE ECUACtONES DIFERENCIALES CON LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 49

    Mediante el uso del lgebra de nmeros c%pkjos (ver seccin 2-4), se puede aplicarla ecuacin (2-27) para evaluar Al y AT:

    A, = lm (s - r - w) Y(s)< -r + h, (2-31)

    AZ = lm, (s - r + iw) Y(s).I \-1-,w

    Se puede demostrar que A, y A2 son un par de nmeros complejos conjugados:

    A , =B + iC A, = B ,- iC (2-32)

    donde B y C son la parte real e imaginaria de Al, respectivamente.Una vez que se determin el valor de los coeficientes Al y AZ, se ver el inverso de

    estos trminos; por el momento no se tomar en cuenta que son complejos. El inverso seobtiene mediante la aplicacin de la ecukin (2-28):

    y-1 [.s _ ;;i.] = A#-! _ &r,e-,W

    = A# (cos wt - i senwt) (2-34)

    Aqu se utiliz la identidad del exponencial de un nmero imaginario puro:, , ,,$.,

    p ,= cos ,y .+,afs&x : (2-35)

    .n-l l- . ., +1 Ak

    (s - rdm2 + . + -s - r, s -, rk

    Para evaluar los coeficientes Al, AZ, . . . , A, se aplican en orden las siguientes frmulas:

    A, = lm l(s - rl) WIs-r,

    A2 = h, $ [(s - rl)ln Y(s)]

    A, = lm L - [(s - r,) Y(s)]s-tr, 2! das*

    (2-40)

    Una vez que se evalan los coeficientes, la inversin de la ecuacin (2-39) con eluso de la tabla 2-1 da como resultado lo siguiente:

    yO) =A,F A2tm-*- ~

    (m - l)! + (m - 2)! + . .+ A,] e + . + Ake (2-41)

    Para el raro caso de los pares repetidos de races complejas conjugadas se puede aho-rrar trabajo si se considera que los coeficientes son pares de complejos conjugados. Dela ecuacin (2-32) se tiene

    A, = B, + iC, AI = B, - iC,

    donde Af es el conjugado de Al.Por lo tanto, de la combinacin de la ecuacin (2-36) y (2-41) se puede escribir

    . . . + 2B,, cos wt1 (2-42)

    + 2c,, 1 1sen$vt + : . f AkwkEjemplo 2-8. Dada la ecuacin diferencial

    d3c(t)dt3

    + 3 d2c(t)- -dt

    + 3 y + c(t), y 2&) ~

  • SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 53

    con condiciones iniciales cero

    c(O) = 0; $ (0) = 0; $ !O = 0

    encontrar, mediante la aplicacin del mtodo de transformada de Laplace, la funcin c(t)que satisface a la ecuacin.

    Solitcin.

    Paso 1. Se transforma la ecuacA.

    s3 C(s) + 39 C(s) + 3s C(s) + C(s) = 2U(s)

    Paso 2. Se resuelve para C(s) y se substituye U(s) de la tabla 2-1.

    ; C(s) =2 1

    ($3 -l- 39 + 3s + 1) s

    Paso 3. Se invierte para obtener:c(t).Las raices son:

    ,.(s3 + 39 + 3s + ,j., s = 0r1.2.5 = - 1 , - 1 , -11, = 0 i

    Se expande en fracciones parciales

    2c(s) = (s + 1)s

    Al(s + 1)3 +

    A2 A3 A4-=- - -(s + l)* + (s + 1) + T

    Se evalan los coeficientes mediante el uso de la ecuacin (2-40):

    =lfmI 4 =-.2[1$d-, 2 s3

  • 54 MATEMTICAS NECESARIAS PARA EL ANLISIS DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

    A4 = lm s2

    r+O (s+=2

    2 2 2 2C(s) = - ------...--+-

    (s + 1) (s + I)? (s + I ) s

    Al invertir, con ayuda de la ecuacin (241) y de la tabla 2-1, se obtiene

    c(t) = - [t? + 2t + 21 e- + 2u(t)

    Ntese que con el uso de la tabla 2-1 se puede obtener el mismo resultado mediante lainversin directa de cada trmino.

    Caso 4. Tiempo muerto

    El uso de la t6cnica de expansin en fracciones parciales se restringe a los casos enque la transformada de Laplace se puede expresar como una relacin de dos polinomios.Como se vio en el teorema de traslacin real, ecuacin (2-9), cuando la transformada deLaplace contiene tiempo muerto (retardo de transporte o tiempo de retraso), en la funcintransformada aparece el tfkmino exponencial e -% donde t. es el tiempo muerto y, puestoque el exponencial es una funcin trascendental,el procedimiento de inversin se debmodificar de manera apropiada. . ,

    Si la funcin exponencial aparece en el denominador de la transformada de Laplace,no se puede hacer la inversin por expansin en fracciones parciales, porque ya no setiene un nmero finito de rafces y, en consecuencia, habr un nmero infinito de fraccio-nes en la expansin. Por otro lado, los trminos exponenciales en el numerador se puedenmanejar, como se ver enseguida.

    Considrese primeramente el caso en que la transformada de Laplace consta de untermino exponencial que se multiplica por la relacin de dos polinomios:

    e-r',l = [Y,(s)] e-"'(' (2-43)El procedimiento consiste en expandir en fracciones parciales nicamente la relacin delos polinomios.

    Y,(s) = Ng =4-+

    4 4-f + - (2-44)

    s - r, s - r, s - rl

    Para esta expansin se requiere la aplicacin de alguno de los tres primeros casos; a conti-nuacin se invierte la ecuacin (2-44) para obtener

    Y,(t) = Ale + AId + . . . + A@-.

  • SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 55

    Para invertir la ecuacin (2-43) se hace uso del teorema de traslacin real, ecuacin (2-9).

    Y(s) = e-s( Y,(s) = ce [y,(r - ro)] (2-45)

    Al invertir esta ecuacin resulta

    y(t) = ce- [Y(s)1 = y,(r - t) {2-46)= A,e~- + A2er2-d . . + ,,Q-o

    Es importante subrayar el efecto de la eliminacin del t&mino exponencial del proce-dimiento de expansin en fracciones parciales; si se expande la funcin original, ecuacin(2-43), se obtiene

    Ale-rlO

    Y(s) =A,e-c Ake -rn

    -+-=--+...+-s - r, s - r7 s - rk

    A pesar de que parece funcionar en ciertos casos, esto es fundamentalmente incorrecto.A continuacin se considera el caso de mltiples retardos, lo que introduce ms de

    una funcin exponencial en el numerador de la transformada de Laplace, cuyo procedi-miento implica manejar la funcin algebraicamente como una suma de tkminos, de ma-nera que cada uno comprenda el producto de un exponencial por la relacin de dospolinomios.

    = [Y,(s)] e -m + jY2(.s)] e-(~2 + .(2-47)

    Porteriormente se expande cada relacin de polinomios en fracciones parciales y se in-vierte para obtener un resultado de la forma

    y(r) = y,(t -,f",) + ygt - t"?) + . (2-48).

    Los retardos mltiples pueden ocurrir cuando el sistema se sujeta a diferentes funcio-nes de forzamiento, cada una con diferente periodo de retardo.

    Ejemplo 2-9. Dada la ecuacin diferencial

    y + 2c(t) = J(f)

    con c(O) = 0, encontrar la respuesta de salida para:

    a) El cambio de un escaln unitario-en t = 1: f(t) = u(t - 1)

  • 56 MATEMTICAS NECESARIAS PARA EL ANALISISDE LOS SISTEMAS DE CONTROL

    b) Una funcin secuencial de escalones unitarios que se repiten cada unidad de tiempo

    f(f) = u(t - 1) + u(t - 2) + u(t - 3) +

    Estas funciones se muestran en la figura 2-3.

    Solucidn .

    Paso 1. Se transforma la ecuacin diferencial y la funcin de entrada:

    SC(s) + 2cy.s) = F(s)

    Se utilizan el teorema de la traslacin real y la tabla 2- ,l , de donde se obtiene

    :

    1 I I I3 4 5 6 t

    (b)

    Figura 2-3. Funciones de entrada para el ejemplo 2-9. a) Escaln unitario con retardo. b) Secuen-cia de escalones unitarios.

  • SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 57

    (b) F(s) = Y!(u(t - 1) f u(t - 2) + u(t - 3) + -. . .1

    = J-t + e-2 + e-3r + . ,)s

    Paso 2. Se resuelve para C(s).

    C(s) = -$ F(s)

    Paso 3. Se invierte para obtener c(t).

    (a) C(s) = &!c-,s = C,(s)e-S

    A2 1 1=lms- = - 2 4 1 - 13 g+ _--: -+S-MI (s + 2)s 2 _j

    C,(s) = LL+-112

    s+2 s

    Se invierte para obtener

    c,(t) = -b +2 f UO)

    Se aplica la ecuacin (2-46): .

    c(t) = c,(t - 1) = &t - l)[l - cT-3-)1

    Ntese que el escaln unitario u (t - 1) se debe multiplicar tambiCn por el tbrmino expo-nencial, para indicar que c(r) = 0 cuando t < 1.

    b) Para la funcin escalera se ve que

    C(s) =[ 1& 3 (Cs + e-2s + ee3,$ + . . .)

    = C,(s)e- +-C,(s)edZs + Cl(s)em3 + . , .-

  • 58 MATEMTICAS NECESARIAS PARA EL ANLISIS DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

    Es notorio que C,(s) es la misma de la parte (u) y, por tanto, el resultado de los pasosde expansin e inversin es el mismo. De la aplicacin de la ecuacin (2-46) a cada miem-bro resulta

    c(r) = c,(t - 1) + c,(t - 2) + c,(t - 3) + . * .

    = iu(t - l)[l - e- 2kIl] + + - 2)(, - e-2(r-2)]

    + iu(t - 3)[1 - e-2(r-3)] + .

    Si ahora se desea evaluar la funcin en t = 2.5, la respuesta es

    42.5) = k(l),1 - e-2(2.5-1)] + -!-(l)[l - e-2(2.5-2)]

    + -+)[l - e-22.5-3] + . . .

    = i(O.950) + i(O.632) = 0.791 -

    Ntese que, despus de los dos primeros, todos los trminos son cero.En la tabla 2-2 se resumen los cuatro casos precedentes. Puesto que con todos estos

    casos se cubren esencialmente todas las posibilidades de solucin de ecuaciones diferen-ciales lineales con coeficientes constantes, la correspondencia uno a uno en la tabla 2-2hace innecesaria la inversin real de la transformada de Laplace de la variable dependien-te, debido a que generalmente se pueden reconocer los trminos de la funcin del tiempoy(t) en la transformada de Laplace Y(s).

    Tabla 2-2 Relacin entre la transformada de Laplace Y(s) y su inversa y(t).,

    Denominador de Y(s)

    1. Raz real no repetida

    TBrmino de lafraccidn parcial

    As - r

    Trmino de y(t)

    Ae

    2. Par de races complejasconjugadas

    3. Raiz real que se repite m ,,veces

    B(s - r) + Cw(s - r) + w*

    $,=, (s - r)

    ,en(6 cos wt + C sen W)

    :t/-1

    ,(g A-T,=, (1 - l)!

    TBrmino de tiempo muerto enel numerador de Y(s)

    4. Y,(s)eeoS

    TRrmino de y(t)

    Y,U - 44

  • SOLUCIdN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 5 9

    Eigenvalores y estabilidad

    Al revisar la tabla 2-2 es evidente que las raices del denominador de la transformada deLaplace Y(s) determinan la respuesta y(t); tambin se puede ver que, de la ecuacin(2-20), algunas de las races del denominador de Y(s) son las de la siguiente ecuacin:

    a,,s + a ,,-, Sr- + . < . f UlS + ao = 0 (2-49)

    donde ,a, al; . . . , a, son los coeficientes, de, la variable dependiente y sus derivadas enla ecuacin diferencial (2-17). El balance. de las races del polinomio denominador pro-vienen de la funcin de entrada o de forzamiento X(s).

    Se dice que la ecuaciq (2-49) es la eczuzcih curucter?sticu de la ecuacin diferencialy del sistema cuya respuesta dinmica representa. Sus races se conocen como eigenvalo-res (del alemn eigenvulues, que significa valores caracterhticos o propios) de laecuacin diferencial, y cuyo significado es que son, por definicin, caracterstic.qs. de la ecua-cin diferencial e independientes de la funcin de forzamiento de entrada. En la tabla 2-2se puede ver que los eigenvalores determinan si la respuesta en tiempo va a ser montona(casos 1 y 3) u oscilatoria (caso 2), independientemente de que la funcin de forzamientotenga o no tales caracteristicas. Ntese que en el caso 2 las funciones seno y coseno cau-san las respuesta oscilatqria (ver figura 2-1). Los eigenvalores tambin determinan si larespuesta es estable o no es estable.

    Se dice que una ecuacin diferencial es estable cuando su respuesta en tiempo perma-nece limitada (finita) para una funcin de forzamiento limitante. En la tabla 2-2 se ve quepara que se cumpla esta condicin a fin de -tener la estabilidad, todos los eigenvuloresdeben tener partes reales r negutivus, debido a que el thnino en aparece en ca& unode los trminos de la posible respuesta; y, para que este drmino exponencial permanezcafinito conforme se incrementa el tiento, r debe :ser neg&va (en cada caso r es, o bienla raiz real o la parte real de la raz). La estabilidad se trat@ con ms; detalle en el captu-lo 6, cuando se estudie la respuesta de los sistemas de control por retroalimentacin.

    /, ,!Races de los polinomios +

    La operacin que mh tiempo requiere en la inversin es encontrar las races del polino-mio denominador, D(s), cuando este es de tercer grado o supqior, debido a que el proce-dimiento para encontrar las races es un procedimiento iterativo o de ensayo y error. Comoel tiempo es valioso, es importante utilizar mtodos eficientes para encontrar las racesdel polinomio; tres de los mttodos ms eficaces son:

    1. Mtodo de Newton para rafces reales. = 0; S(O) = 0

    encuntrese la respuesta c(f) mediante la transformada de Laplace.

    Solucidn. .Paso 1. Se transforman la ecuacin diferencial y la funcin de entrada.

    K(s) + 2sT(s) + 3sC(s) + ,4C(s) = 43qqf)l .-

    -m(t)1 = 1 (de la ,tabla 2-1)

    _Paso 2. Se resuelve para C(s)

    C(s)4=

    s3 + 29 + 3s + 4

    Para factorizar el polinomio es necesario encontrar sus rafces

    f(s) = s3 + 29 + 3s + 4

    Procedimiento de iteracin de Newton

    Aproximacin inicial SO = - 1

    Iteracin 1

    (3) : (2) (1) (0)q= 1 a2 = 2 a, = 3 aO = 4

    sO= -1 s.b3s = -1 bzs = - 1 b,s = - 2b3 = 1 bz = 7 b , =-i b,, = 2 =f(-1)

    so= - 1 cjs = - 1 c*s = 0

    c3 = 1 c2 = c, = - 2 = j-s* = - 1 - (2/2) = -2

  • SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 63

    (3) (2)as = 1 az= 2

    s, = - 2 - 2

    b3 = 1 bz= 0

    s, = - 2 - 2cj = I c2 = -2

    SI = - 2 - (-2/7) = - 1.714

    Iteracin 2

    (1) (0)al = 3 ao= 4

    c! - 6b, = 3 b, = - 2 = f( - 2 )

    4

    Cl = 7 =f(-2)

    S? = - 1.714

    S? = 1.714

    ss = - 1.714 -

    Iteracin 3

    (3) (2) (1) (0)a3 = I a2= 2 a, = 3 ao= 4

    - 1.714 - 0 . 4 9 0 - 4 . 3 0 3b, = I bz =c 0.286 b, = 2.510 b, = - 0 . 3 0 3 = f(- 1 . 7 1 4 )

    - 1 . 7 1 4 2.448

    c3 = 1 - c? = - 1.428 c, + 4 . 9 5 8 =, f( - 1 . 7 1 4 )

    ( - 0.303/4.958) = - 1.653

    Iteracin 4

    (3) (2) (1) (0)as = I a?= 2 0, = ,3 a,,= 4

    sj = - 1.653

    S) = - 1.653

    -1 6 5 3 - 0 . 5 7 3 - 4 . 0 1 2

    bj = 1 bz = 0 . 3 4 7 b, = 2.42; b. = - 0 . 0 1 2

    =f(--1.653)

    - 1.653 2.159

    c3 = 1 c2 = - 1.306

  • 64 MATEMTICAS NECESARIAS PARA EL ANLISIS DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

    Ntese que los coeficientes son las b que se calculan en la iteracin 5. Las races de estepolinomio se pueden encontrar mediante el uso de la frmula cuadrtica

    -0.349 IT do.1218 -. 4(2.423)r2.3 = =

    2-0.174 ? i1.547

    4

    '(') = (s + 1.651)(s + 0.174 - il.S47)(.s + 0.174 + il.547)

    Als + 1.651 +

    4 A3Zrs + 0.174 - il.547 + s + 0.174 + il.547

    A, = 0.875

    Al = -0.437 - iO.

    A, = -0.437 + iO.

    0.875C(s) =

    s + 1.651 +

    -0.437 - iO. + -0.437 + iO.

    s + 0.174 - il.547 s + 0.174 + il.547

    Al invertir se obtiene

    c(t) = 0.875e-'.h"' + c-0.174f

    , . I-O.874 cm (1.5471) + 0.834 sin (1.54701

    Resumen del mtodo de la transformada de Laplace pararesolver ecuaciones diferenciales

    El procedimiento para resolver ecuaciones diferenciales mediante la utilizacin de la trans-formada de Laplace y de la expansin de fracciones parciales se resume como sigue.

    Se tiene una ecuacin diferencial de orden n, de la forma de la ecuacin (2-17, convariable de salida y(t) y variable de entrada x(t).

    Paso 1. Con la transformada de Laplace se convierte la ecuacin, trmino a trmino,en una ecuacin algebraica en Y(s) y X(s).

    Paso 2. La transformada de Laplace de la variable de salida Y(s) se resuelve algebraica-mente y se substituye la transformada de la variable de entrada X(s), paraobtener unarelacin de dos polinomios: 3

    y(r) = N oD(s) )

    (2-20)

    Paso 3. Se invierte mediante la expansin en fracciones parciales, de la siguiente manera:

  • LINEACIZACl6N Y VARIABLES DE DESVlAClbN 65

    a) Se encuentran las races del denominador de Y(s) mediante un mtodo como elde Newton (subseccin anterior) o un programa de computadora (apndice D).

    b) Se factoriza el denominadorI

    D(s) = (s -- r, )(s - r:) * . (s - r-i)I...s

    c) Se expande la transformada en fracciones parciales., ,.

    AIY(s) = - A7+L...t.- 4 +.+ +-s - r, s - r,I s - rk

    (2-21)

    (2-24)

    donde:

    ,A = lm(,s - r)N(s) (2-27)

    ; x-r, D(s) *

    si ninguna de las races, reales o complejas, se repite. Si existen races repetidas,entonces los coeficientes correspondientes se deben evaluar mediante el uso delsistema de frmulas que constituye la ecuacin (2-40).

    6) Se invierte la ecuacin (2-24) con ayuda de una tabla de transformadas de Laplace(tabla 2-1 o 2-2). Para races no repetidas la solucin es de la forma

    y(t) = Ale + Aje? 3 . . : + Ake (2-29), ,

    Para el caso de races complejas conjugadas, la solucin tiene la forma de las ecua-ciones (2-36) o (2-37). En cuanto al caso de!,races repetidas, la soluci6n tienela forma de las ecuaciones (2-41) 0,(2-42); ( .,

    .0) u oscilan (T, es compleja)se determina completamente por las races de la ecuacin caracterstica. Este concepto seutilizar en la siguiente seccin para determinar la estabilidad del circuito. j

    Con los dos ejemplos siguientes se ilustra el efecto de un controlador puramente pro-porcional y de uno puramente integral sobre la respuesta de circuito cerrado de un procesode primer orden; se ver que con el controlador puramente proporcional se acelera la res-puesta de primer orden, lo que da por resultado una desviacin o error de estado estacio-nario, como se estableci en el capwlo 5. Por otro lado, con el controlador integralse produce una respuesta de segundo orden que cambia de sobreamortiguada a subarnorti-guada conforme se incrementa la ganancia del controlador y, como se estableci .en elcaptulo 4, la respuesta subamortiguada es oscilatoria. * .,$ .;,

    Dos races reales y diferentes:Sea

    - 1 + VI - 4KK,7r, =

    27: ,, .i.,"

    -l?dl-4KK,~r2 =

    27 :

    i;,

  • 236

    Por expansin de

    DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL POR RETROALIMENTACIN

    fracciones parciales\:

    C(s) = f + KK,1

    -+ KK 1Trlb.1 - r2) s - rl 7r2(r2 - r,) s - rz

    Al invertir la transformada de Laplace, se tiene

    c(r) = 1 + KK, ei + KK,Trdr1 - r2) Tr2@2 - rl)

    e2

    Puesto que tanto rl como r2 son negativas para K, positiva, en esta respuesta lostrminos exponenciales tienden a cero conforme el tiempo se incrementa (t - 00 ), yentonces el valor de estado estacionario de c es 1 .O, o igual al punto de control. Este tipode respuesta, que se conoce como sobreamortiguada, se ilustra enla figura 6-5~. Con-forme la ganancia K, del controlador se incrementa, la respuesta se vuelve m8s rapida,hasta que se torna crticamente amortiguada en KKJ = 1/4; a continuacin se consideraeste caso. *

    Caso B.

    Races reales repetidas: KK,r = 1/4Entonces

    1r, = r2 s --

    27

    Se substituye KK, = 1/(47) y se sigue el procedimiento de expansin de fracciones par-ciales para rafces repetidas (captulo 2):

    Ir

    C(s) =1/(49)

    s(s+~)=~-~(s~~)-(s~~)

    Al invertir, con ayuda de una tabla de transformadas de Laplace (tabla 2-l), resulta

    c(t) = 1 -

    Esta respuesta crfticamente amortiguada se ilustra en la figura 6-5~. Si la gananciadel controlador se incrementa an ms, se obtiene una respuesta subamortiguada, quees el siguiente y ltimo caso.

  • CIRCUITO DE CONTROL POR RETROALIMENTACIN 2 3 7

    0

    I I 1 I I I1 0 2 0 3 0 40 50 t

    0

    Figuka 6-5~. Respuesta del circtiito a un cambio escaln del punto de control en el controladorintegral del ejemplo 6-2. Casos sobreamortiguado y crticamente amortiguado (T = 1).

    Caso C.

    Races complejasSiXi

    Entonces

    con&adas: KKg > 114

    _1

    ,,=,d ,

    De este ltimo resultado se observa que, conforme se incrementa la ganancia KK, del cir-cuito, la respuesta oscila alrededor del punto de control (1 .O) con frecuencia creciente

  • 238 DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL POR RETROALIMENTACIdN

    (w); sin embargo, la amplitud de estas oscilaciones siempre decae a cero, a causa del tr-mino exponencial e - 7, lo cual se ilustra en la figura 6-5b.

    En los ejemplos anteriores, el circuito de control que se muestra en la figura 6-4~ esun circuito por retroalimentacin unitaria, es decir, un cjrcuito en el que no hayelementos en la trayectoria de retroalimentacin; en esto se supone que las ganancias del trans-misor se incluye en la funcin de transferencia del proceso G(S) (tambi6n se incluye laganancia de la vlvula), de manera que se puede suponer que todas las seales son por-centajes o fracciones del rango.

    En el ejemplo 6-2 se ilustra el punto que se trat en el capitulo 4, referente al hechode que, a pesar de que la mayora de los procesos son inherentemente sobreamortiguados,su respuesta puede ser subamortiguada cuando forma parte de un circuito cerrado de controlpor retroalimentacin. : i

    Respuesta de circuito cerrado en estado estacionario

    En el ejemplo precedente se vio que el valor final o estado estacionario (o esttico) esun aspecto importante de la respuesta de circuito cerrado, lo cual se debe a que, en laprctica del control de procesos industriales, la presencia del error de estado estacionario odesviacin es generalmente inaceptable. En esta seccin se estudiar la manera de calcularla desviacin cuando est presente y, para hacerlo, se retorna el intercambiador de la figu-ra 6-1, con el correspondiente diagrama de bloques de la figura 6-3, que, como se vioantes, es una representacin linealizada del intercambiador de calor. El objetivo es obte-ner las relaciones de circuito en estado estacionario entre la variable de salida y cada unade las entradas al circuito, mediante la aplicacin del teorema del valor final a la funcin detransferencia de circuito cerrado. En la ecuacin (6-8) la funcin de transferencia de cir-cuito cerrado entre la temperatura de salida y el flujo del fluido que se procesa se expresamediante

    T&) _ G(S)F(s) 1 + H(s) C,WG,.b)G,.(s)

    (6-8)

    I I I 1

    5 1 0 1 5 20 t

    Figura 6-5b. Respuesta del circuito a un cambio escaln del punto. de contol en el controladorintegral del ejemplo 6-2. Caso subamortiguado (7 = .l).

  • CIRCUITO DE CONTROL POR RETROALIMENTACI6N 239

    Se recordar que, en esta expresin,, se supone que las variables de desviacin para latemperatura de entrada & y el punto de control ej son cero cuando estas entradas per-manecen constantes. Tambin, como se vio en la seccin 3-3, la relacin de estado esta-cionario entre la entrada y la salida, con una funcin de transferencia, se obtiene al hacers = 0 en la funcin de transferencia, lo cual se deduce del teorema del valor final delas transformadas de Laplace. Al. aplicar este m6todo a la ecuacin (2-8), se obtiene:

    AT, GF.(O)AF, - 1 + H(O~G,(O)G,(O)G,(O)

    C/(kg/s),

    (6-17)

    donde: .,

    AT, es el cambio de estado estacionario en la temperatura de salida, CAF, es el cambio de estado estacionario en el flujo del fluido que se procesa, kg/s

    Si se supone, como generalmente ocurre, que el proceso es estable, entonces:

    GF(0) = KF ganancia de circuito abierto para un cambio en el flujo del fluido que seprocesa, C/(kg/s)

    G,(O) = KS ganancia del proceso a circuito abierto para un cambio en el flujo de vapor,q&)

    De manera similar, para la vlvula y el sensor-transmisor:

    G,(O) = iu,, ganancia de la v$lvu!a, .kgjslmAH(O) = Kh ganancia del sensor-transmisor, mMC

    Finalmente, si el controlador no tiene accin integrativa:

    G,(O) = K, Ganancia proporcional, mA/mA.

    Al substituir estos trminos en la ecuacin (6-l?), se obtiene

    4 KFAF, f 1 + K,&K,.K,.

    C/(kg/s) (6-18)

    Puesto que el .cambio en el punto d control s cero, el error de estado estacionario 0.desviaci6n se expresa mediante.

    e = A@ - AT0 = - AT0 C

    y, de la combinacin de esta relacin con la ecuacin (6-18), se tiene>

    (12p)(68.0)(0.80) s

    = (2.1)(241.5) + (15)(68)(0.80)

    265 .7= 0 . 5 2 4 min

    = (2.1)(241.5) ,, ,

    (68)(0.80)( 100 - 1 5 0 )

    KF = (2.1)(241,5) + (15)(6qJ(O.80)

    (15)(68)(0.80)Kr = (2.1)(241.5) + (15)(68)(0.80)

    (2.1)(241.5)

    Ks = (2.1)(241.5) + (15)(68)(0.80)

    966

    Kw = (2.1)(241.5)= 1.905F/(lb/min)

    = 2 6 5 . 7 Btu/F

    = 493 tiin

    = - 2.06PF/(pies3/min)

    = 0.617FIF

    = 0.383FlF

    Para dimensionar la vtivula de control se aprovecha el hecho,de qe las condiciones dediseo son, en estado estacionario:

    T = (15)(68)(0.8W-l50 - ,100). s

    ;.I< + 150 1.2.3QF .._

    (2.1)(241:$.i .s

    w = (2.1)(241.5)(230 - 1 5 0 ) = 42 2 ;b,min966

    1.652 Ibmimin-%

    Y

    -7W,., = 2U = 84.4 Ibimm (* :: ~.

  • ESTABILIDAD DEL CIRCUITO DE CONTROL 251

    con -estos nmeros la ecuah5n caracterstica es,,,

    i ~(0.75.~ t'l)(O.20.(~ + lfl(4.93.s + 1)(0.524.s ;-I- 1) T 0.383] .'

    (1.,6~2)(1.905)(0.383) = 0 ,,: .- . ,~!

    0 . 3 8 7 s t 3.172~ + .!.8$9.s t ( 6 . 0 4 3 + 1.205K,.~,)s~., j j

    .' + (0 .617 + 1.205K,.)s + 1:205K,.h, = 0, 25

    En este ejemplo se muestra la manera en que se pueden utilizar los principios bsicos dela ingeniera de proceso para analizht%ircuitos simples de control por retroalimentacin.A partir de la ecuacin caracterstica se puede estudiar la estabilidad del circuito y, conbase en las funciones de transferencia de circuito cerrado es posible calcular la respuestadel circuito cerrado a varias funciones de forzamientwde entrada, para diferentes valores delos parmetros de ajuste del controlador K,, rl y Q.

    6-2. ESTABILIDAD DEL CIRCUITO DE CONTROL 2

    Como se defini en el captulo 2, un sistema es estable si su salida permanece,limitadapara unalentrada limitada. La mayora de los procesos industr;iales son estables a circuitoabierto, es decir, son estables cuando no forman parte de un circuito de control por re-troalimeptacin; esto equivale. a decir que la mayorfa de kwprocesos son autorregulables , osea,, la salida se mueve de++n estado est&le.a otro, debido ,a los cambios en las sealesde entra&,Un ejemplo tpica de proceso inestable a circuito abierto es el .tasqve exotkr--mico de,reaw$.n con .agitacin, en el cuaL,algunaw~es existe un !punto de. operacininestable en el que, al incrementar la temperatura, se produce un incremento en la tasade reaccin, con el consecuwb incremento en la tasa de liberacin de calor, 1~ cual, a suvez, ocasiona un mayor increyent? en la temperatura. .

    Aun para los.procesos,estables a circuito abierto, la estabiiidqd vuelve a ser conside-rable cuando el proceso forma parte de un circuito de control por retroalimentacin, debido:a que las variaciqnes, en las @ales. se r@erzan uqas a otras.conforme vigan sobre elcircuito, y ocasionw que la salida -y @las las otras sealep en el circuito: se.welvanilimitadas. .Como s oQser$ en eljiap$ulo; J ,-el corr?portamie$o del circhito Qe controlpor re{roalimw@cin es esencialmen!e ~+l+&i~,,, es becir, de epsay0.y error. Ewlgunascircunstapc&,,las oscilacipnes se pueden incrementar en,,qag&ud,,de lo cual resultaunp+eso inestable: La jlustracin ms se,n&lla de un circuito de retroalimentacin inesta-ble es $1 coqtrolador cUye &ccin de accin es opw+a a la, que debera ser; por ejemplo,en el intercambiador de calor que se esboz en la seccin precedente,. si la salida delcontrolador se incrementara al aumentar la temperatura (controlador de. ac+& directa),el circuito es inestable, porque al abrir la vtivula de vapor se provoca un mayor incre-mento en Ja temperatura.. J$ este caso,, lo que se necesita es un controlador de accininyersa wya salida ,se dec;-rne$e cuan&.la ternper$ura ,& incremente, de, manera quese cierre la vlvula de vapor y baje la temperatura. Sin embargo, aun cosiel controlador

  • 262 DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL POR RETROALIMENTACION

    de accin adecuada, el sistema se puede volver inestable, debido a los retardos en el cir-cuito, lo cual ocurre generalmente cuando se incrementa la ganancia del circuito. Enconsecuencia, la ganancia;del controlador a la que el circuito alcanza el umbral de inesta-bilidad es de gran importancia en el diseo de un circuito de control con retroalimen-tacin. Esta ganancia mxima se conoce como ganancia dlha.

    En esta seccin se determina el criterio de estabilidad para sistemas dinmicos y seexponen dos m&odos para calcular la ganancia ltima: la- prueba de Routh y la substi-tucin directa; por lo tanto, aqui se estudiad el efecto de los diferentes parmetros delcircuito sobre su estabilidad.

    *Para qLfe el circuito de control con retroalmentaMn s& estable, tdds las iacel desu ecuactin caracteristica debetwer nmeros reales negativos o nmeros oomplejscon partesmales negativas. * , i ,1..

  • ESTABILIDAD DEL CM3JlT0, DE CONTROL 253

    Si ahora se detine,el plano complejo s como una,grfica de dos dimensiones, con el ejehorizontal para la parte real .de las races y. el vertical para la parte imaginaria, se puedehacer el siguiente enunciado grfico del criterio de estabilidad (ver figura 6-8):

    Para que el circuito de control con retroalimentacin sea estable, todas las racesde su ecuacin caracterstica deben caer en la mitad izquierda del plano s, que tam-bien se conoce como plano izquierdo.

    Cabe hacer notar que ambos enunciados del criterio de estabilidad en el dominio de&place se aplican en general a cualquier, sistema fsico, y no solamente .a circuitos de con-trol con retroalimentacin. En cada caso la ecu&in caracterkica se obtiene por igualacina cero del denominador de la forma lineal de la funcin de transferencia del sistema.

    Una vez que se enunci el criterio de estabilidad se puede volver la atencin a la de-terminacin de la estabilidad de un circuito de control.

    Prueba de Routh

    La prueba de Routh es un procedimiento para determinar el nmero de races de un poli-nomio con parte real positiva sin necesidad de encontrar realmente las races por m6todositerativos. puesto que para que un sistema sea estable se requiere que ninguna de las ra-ces de su ecuacin caracterstica tenga parte real positiva, la prueba de Routh es bastantetil para determinar la estabilidad.

    Con la disponibilidad que se tieneactualmente de programas de computadora y cal-culadora para encontrar las races de los polinomios, la prueba de Routh no sera til siel problema fuera exclusivamente encontrar si un circuito de retroalimentacin es estableo no, una vez quese especifican todos los parmetros del circuito; sin embargo, el proble-ma ms importante es determinar los lmites de un parmetro especfico del circuito

    Plano s Imaginario

    Plano izquierdo Plano derecho, _. / A : . , . .:. .

    . ,. . .~ .,. . .._. .

    fila II #.,id, d2 0 de la ganancia ltima de un controlador de temperaturamediante la prueba de Routh.

    Se supone que las Eunciones de:transferencia dalas,difereties element? del circuito.decontrol de temperatura de la figura 6-3 son como%gue:

  • ESTABILIDAD DEL CIRCUITO DE CONTROL 255

    Intercambiador

    La respuesta del intercambiador al flujo de vapor tiene una ganancia de SOC/(kg/s) yuna constante de tiempo de 30 s:

    Sensor-transmisor

    El sensor-transmisor tiene una escala calibrada de 50 a 150C y una constante de tiempode 10 s.

    100%ganancia = ( ,50 l 5o)c = 1.0 %IC

    -H(s) = 1.0~ %iC10s + I

    Nota: en ste y otros ejemplos se utiliza el porbentaje de rango (%) como unidadesde las seales del transmisor y el controlador. Para seales electrnicas 100% = 16 mA,y para seales neumticas, 100% = 12 psi.

    Vlvula de control

    La vlvula de control tiene una capacidad mxima de 1,.6 kg/s de vapor, caractersticaslineales y constqntes de tiempo de 3 s.

    I .6 (kg/s)ganancia = 100~~ = 0.016 (kgls)/%0

    G,.(s) = +$& (kg/s)l% ,,..:.,_ L

    7 . 1 8, ;

    (se supone que la cada de piesin a travs de la vlvula es constante.)_

    Controlador

    El controlador es proporcional..:.

    i f ,G,.(.s) = K;, %/Q

    Entonces, el problema es determinar la ganancia ltima del controlador, es decir, el palorde K, al cual el circuito sc vuelve marginalmente. estable.

  • 256 DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL POR RETROALIMENTACI6N

    Solucin. La ecuacin caracterstica se obtiene de la ecuacin (6-10):

    , 1 + H(s)G,~(s)G,(s)G,.(s) 7 0 Cl,.

    0

    1 50 0.0161+-.-.-* =10s 0+ 1 30s + 1 3s + 1 K,.

    Ahora se debe reordenar la ecuacin en forma polinmica: a !

    (10s + 1)13Os + 1)(3s + 1) + OJOK,. = 0:*

    9OOs-' + 420~~ + 43s + 1 + OAOK,. = 0

    El siguiente paso es preparar el arreglo de Routh:

    fila 1 900 43 0tila 2 420 1 + 0.8OK,. . 0tila 3 b, 0 0fila 4 1 + 0.8OK,. 0 0

    donde:

    b = (420)(43) - 900(1 + 0.80~0 = 17160 - 72OK,420 42

    Para que el circuito de control sea estable, todos 1os:trminos de la columna izquierdadeben tener el mismo signo, positivo en este-caso, y para esto se requiere que :

    b,ZO o 17160 - 72OK,. 2 0 KC 5 23.81 + 0.80K,. 2 0 o 0.8OK,. 2 - 1 K,.Z -1.25

    En este caso, el lmite inferior de K, es negativo, pero no tiene importancia, puesto queuna ganancia negativa indica que la accin del controlador no es la correcta (se abre lavlvula de vapor al incrementarse la temperatura). Ei lfmite superior de la ganancia delcontrolador es la ganancia ltima que se busca:

    K,, = 23.8 c/ool%

    Esto indica que, al ajustar el controlador proporcional para este circuito, la ganancia nodebe exceder de 23.8 ni reducirse la banda proporcional por debajo de 100/23.8 = 4.2 % .

    En la seccin precedente se vio que la desviacin o error.de estadoestacionario inhe-rente a los controladores proporcionales se puede reducir mediante el incremento de la

  • ESTABILIDAD DEL CIRCUITO DE CONTROL 2 5 7

    ganancia del controlador; aqu se ve que la estabilidad impone un lmite a la magnitudde la ganancia. Es de inters estudiar la manera en que afectan a la ganancia los otrosparmetros del circuito.

    Efecto de los parhmetros del circuito sobre la ganancia ltima

    Si se supone que la escala de calibracin del sensor-transmisor de temperatura se reducea 75125T, entonces la nueva ganancia y funcin de transferencia del transmisor es

    1 0 0 %ganancia = ( ,25 _ 75)C = 2.0 %/C

    H(s) =2.0

    ~ %/CIOS + 1

    Si se repite la prueba de Routb con esta nueva ganancia, se obtiene una ganancia ltima de

    _ K,.,, = II.9 %/% (PB = 8.4%)

    sta es exactamente la mitad de la ganancia ltima original, con lo que se demuestra quela ganancia ltima del circuito permanece igual. La ganancia del circuito se define comoel producto de las ganancias de todos los bloques del circuito:

    K,. = K,,K,K,.K,. (6-25)

    donde:

    KL = ganancia del circuito (sin dimensiones)Kh = ganancia del sensor transmisor, %/CK, = ganancia del proceso, C/(kg/s)KV = ganancia de la vlvula de control, (kg/s)/%K, = ganancia del controlador,. %/ %

    Para los dos casos considerados hasta el momento, las ganancias ltimas de circuito son

    K ,.,, = (1.0)(5Q)(O.Ol6)(23.8) = 1 9 . 0 4

    K,,, = (2.0)(50)(0.016)( I I .9) = 19.04

    De manera semejante, si se duplica el tamao de la vlvula de control y, por tanto,su ganancia, la ganancia ltima del controlador se reduce a la mitad de su valor original.

    A continuacin se supone que se instala un sensor-transmisor ms rpido, con unaconstante de tiempo de 5 s para reemplazar al instrumento de 10 s; la nueva funcin detransferencia se expresa mediante

  • 258 DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL POR RETROALIMENTACIN

    H(s), = fi %/C

    Se repite la prueba de Routh con esta nueva funcin de transferencia:., :

    1.0 50 0.0161+--.-.-5s + 1 30s + 1 3s + 1 .K,.=O

    450~~ + 2%~~ + 38s + 1 + 0.80K,. = 0

    fila 1 450 38 0fila 2 255 1 + 0.80K,. 0fila 3 b, 0 0fila 4 1 + 0.8OK, 0 0

    donde:

    b = (255)(38) - (450)(1 + 0.8OK,) = 9240 - 36OK,255 255

    Y la ganancia ltima del controlador es

    9240K,, = - = 25.1 %/%

    360 -~ -

    La reduccin en la constante de tiempo del sensor da como resultado un ligero incrementoen la ganancia ltima, debido a que se reduce el retardo de medicin en el circuito decontrol. Si se reduce la constante de tiempo de la vlvula de control, se obtiene unresultado similar, sin embargo, el incremento en la ganancia ltima es an menor; por-que la vlvula no es tan lenta como el sensor-transmisor; queda al lector la verificacinde esto.

    Finalmente, se considera el caso donde un cambio en el diseo del intekambiadorda como resultado una constante de tiempo del proceso ms corta; a saber,. de 30 a 20 s.La nueva funcin de transferencia es

    G,(s) = j$& WWs)

    Nuevamente se repite el procedimiento de la prueba de Routh:

    ,1.0 50 0.016

    + -.-.-.lOs'+ 1 20s + 1 3s + 1

    K,. ='O

    600s' + 290~~ + 33s + 1 + 0.80K,. = 0 .

  • ESTABILIDAD. DEL CIRCUITO DE CONTROL 259

    fila 1 600 33 0fila 2 290 1 + 0.80K,. 0fila 3 h .O 0fila 4 1 + 0.80K, 0 0

    donde:

    b = (290)(33) - 600(1 + 0.80K,.) 8 9 7 0 - 480K,.I =

    290 290

    Entonces la ganancia ltima es:

    K,., = g = 1 8 . 7 YoI%

    Curiosamente, la ganancia ltima se reduce con una disminucin en la constantede tiempo del proceso, lo cual es contrario al efecto que se obtiene al reducir la constante detiempo del sensor-transmisor; esto se debe a que, cuando se reduce la constante de tiempoms larga o dominante, el efecto relativo de los otros retardos del circuito se vuelve mspronunciado. En otras palabras, en trminos de la ganancia ltima, reducir la constantede tiempo ms larga equivale a incrementar proporcionalmente las otras constantes de tiem-po del circujto. Lo que.no se puede demostrar mediante la prueba de Routh es que elcircuito con la constante de tiempo ms corta responde ms rpido que el original, perose puede demostrar mediante el mtodo de substitucin directa.

    Mtodo de substitucin directa

    El mtodo de substitucin directa se basa en el hecho de que las races de la ecuacincaracterstica varan continuamente con los parmetros del circuito; el punto en que elcircuito se vuelve inestable, al menos una, y generalmente dos, de las races se encuentraen el eje imaginario del plano complejo, es decir, deben existir races puramente imagina-rias. Otra manera de ver esto es que, para que las races se muevan del plano izquierdoal derecho, deben cruzar el eje imaginario; en este punto se dice que el circuito es mar-ginalmente estable y el trmino correspondiente de la salida del circuito en el dominiode Laplace es

    b,.s + b2C(s) = ~

    .s= + w2 + (otros trminos)(6-26)

    o, al invertir este trmino con la tabla 2-1, se ve que es una onda senoidal en el dominiodel tiempo:

    c(t) = b; sin (w,,T + 8) + (otros trminos) (6-27)

  • 2 6 0 DISENO DE SISTEMAS DE CONTROL POR R~TROALIMENTACIN

    donde:

    (44 = frecuencia de la onda senoidal8 = ngulo de fase de la onda senoidal

    b; = amplitud de la onda senoidal (constante)

    Esto significa que, en el punto de estabilidad marginal, la ecuacin caracterstica debetener un par de races puramente imaginarias

    La frecuencia o, con que oscila el circuito es la frecuencia ltima. Justo antes de alcan-zar el punto de inestabilidad marginal, el sistema oscila con una amplitud que tiende adecaer, mientras que despu& de ese punto la amplitud de la oscilacin se incrementa conel tiempo. En el punto de estabilidad marginal, la amplitud de la oscilacin permanececonstante en el tiempo. Esto se ilustra en la figura 6-9, donde la relacin entre el perodoltimo, Tu, y la frecuencia ltima, o,,, en rad/s se expresa mediante

    -2Tr

    .w,, = -Tu

    (6-28)

    El mtodo de la substitucin directa consiste en substituir s = w, en la ecuacin carac-terstica, de donde resulta una ecuacin compleja que se puede convertir en dos ecuacio-nes simultneas:

    Parte real = 0Parte imaginaria = 0

    A partir de esto se pueden resolver dos incgnitas: una s la frecuencia ltima w,,, la otraes cualquier parmetro del circuito, generalmente la ganancia ltima. A continuacin seilustra esto mediante el tratamiento del ejemplo de control de temperatura con el mtodode substitucin directa.

    : :,

    Ejemplo 6-6. Se debe determinar la ganancia y frecuencia ltimas parai el controladorde temperatura del ejemplo 6-5, mediante el mktodo de substitucin directa.

    Solucin. Del ejemplo 6-5 se toma la ecuacin caracterstica para el caso bsico,en forma de polinomio: ,

    YOOs3 + 42Os? + 43.~ + I + O.XOK, = 0

    Ahora se substituye s = iw,, at K, = K,,,:

    YOUiko; + 420i?w,; + 43iw,, + 1 + 0.8OK,,, = 0

  • ESTABILIDAD DEL CIRCUITO DE CONTROL 261

    c(t)

    t

    Figura 6-9~. Respuesta de un sistema estable.,

    I t

    Figura 6-96. Respuesta de un sistema marginalmente estable con perodo ltimo TU.

    FIgunt 6-9~. Respuesta de un sistema inestable.

  • 2 6 2 DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL POR RETROALIMENTACIN

    Entonces se substituye i* = -1 y se separan la parte real e imaginaria:

    (-42Ow; + I + 0.80K,,,) + i(-9oow,: + 43w,,) = 0 + io

    De esta ecuacin compleja se obtienen las dos siguientes, puesto que tanto la parte realcomo la imaginaria deben ser cero:

    -4200; + 1 + 0.80K,.,, = 0

    -9oowy + gy,, = 0

    Se tienen las siguientes posibilidades de solucin para este sistema:

    Para o,, = 0 K,.,, - I .25 %I%

    Para w,, = 9.2186 rad/s K,.,, = 23.8 %/%

    La primera solucin corresponde a la inestabilidad mono nica que causa la accin inco-rrecta del controlador; en este cso el sistema no oscila, SI o que se mueve monotnica-

    Bmente en una direccin u otra; el cruce con el eje imaginari ocurre en el origen (s = 0).La ganancia ltima que se obtiene para la segunda solucin es idntica a la que se

    obtiene mediante la prueba de Routh, pero en esta ocasin se obtiene como informacinadicional que, con esta ganancia, el circuito oscila con una frecuencia de 0.2186 rad/s(0.0348 hertz) o un perodo de

    Tu =2.n- = 2 8 . 7 s0 . 2 1 8 6

    A continuacin se tabulan los resultados del mtodo de substitucin directa para los otroscasos que se consideraron antes.

    KCO o,, radls Tu, s1. C a s o blsico 23.6 0.2186 28.7

    2 . H ( s ) = & : 11.9 0.2186 28.7

    3. H ( s ) = fi 25.7 a 0.2906 21.6

    4 . G , ( s ) = & 0.2345

    Se ve que las ganancias ltimas son las mismas que se obtienen con la prueba de Routh,sin embargo, en los resultados del mtodo de substitucin directa se aprecia que el circuito

  • ESTABILIDAD DEL CIRCUITO DE CONTROL 263

    puede oscilar significativamente ms rpido cuando la constante de tiempo del sensor-transmisor se reduce de 10 a 5 s. Estos resultados tambin indican que el circuito oscilaligeramente ms rpido cuando se reduce la constante de tiempo del intercambiadorde 30 a 20 s, a pesar de la reduccin significativa en la ganancia ltima. Tambin se puedeobservar que el cambio de las ganancias de los bloques del circuito no tiene efecto sobre lafrecuencia de oscilacin.

    Efecto del tiempo muerto

    Ya se vio la manera en que la prueba de Routh y la substitucin directa permiten estudiarel efecto de los diferentes parmetros del circuito sobre la estabilidad del circuito de con-trol por retroalimentacin; desafortunadamente, estos mtodos fallan cuando en cualquierade los bloques del circuito existe un ttknino de tiempo muerto (retraso de transporte oretardo en tiempo), debido a que el tiempo muerto introduce una funcin exponencial dela variable de la transformada de Laplace en la ecuacin caracterstica, lo cual significaque la ecuacin ya no es un polinomio y que los mtodos que se aprendieron en esta sec-cin ya no se aplican. Un incremento en el tiempo muerto tiende a reducir rpidamentela ganancia ltima del circuito, este efecto es, similar al que resulta de incrementar la cons-tante de tiempo no dominante del circuito, puesto que esta en relacin con la magnitudde la constante de tiempo dominante. Cuando se estudie el mtodo de la respuesta en fre-cuencia en el siguiente capitulo,estabilidad del circuito.

    se podra estudiar el efecto del tiempo muerto sobre la

    Se debe hacer notar que el intercambiador que se utiliz como ejemplo en este captuloes un sistema de parmetros distribuidos, es decir, la temperatura del fluido que se procesaesta distribuida a lo largo del intercambiador. Las funciones de transferencia de tales siste-mas generalmente contienen al menos un trmino de tiempo muerto, el cual se desprecipara efectos de simplicidad.

    Mediante una aproximacin a la funcin de transferencia de tiempo muerto, se puedeobtener una estimacin de la ganancia y frecuencia ltimas de un circuito con tiempo muerto.Una aproximacin usual es la aproximacin de Pade d primer orden(g) que se expresamediante

    (6-29)

    donde t. es el tiempo muerto. Tambien existen aproximaciones de orden superior msprecisas, pero son muy complejas y no son prcticas. Con el siguiente ejemplo se ilustrala utilizacin de la aproximacin de Pad con el mtodo de substitucin directa.

    Ejemplo 6-7. Ganancia y frecuencia ltimas de un proceso de primer orden con tiempomuerto.

    La funcin de transferencia de proceso del circuito en la figura 64~ se expresa mediante

  • 264 DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL POR RETROALIMENTACI6N

    donde:

    K es la gananciat, es el tiempo muerto7 es la constante de tiempo

    Si el controlador es proporcional, se deben determinar la ganancia y frecuencia ltimasdel circuito en funcin de los parmetros del proceso:

    G,.(s) = K,.

    Solucibn: Del ejemplo 4-1, se tiene que la ecuacin caracterstica del circuito es

    I + G,.(s) G(s) = .O

    o para las funciones de transferencia consideradas aqu

    , + KKp-ti %-=()7s + 1.

    IHI substituir la aproximacin de Pad de primer orden, ecuacin (6-29), se tiene

    Se elimina la fraccin

    KK,.( 1 - V+v)-l + (7s + 1)(1 + 1/2fS) =

    o

    %tow2 + (T + %t, - /IKK,t,)s + 1 + KK,. = 0

    Por el mtodo de substitucin directa, s = iw, da

    htoTi2W; + (7 + / tz o - %KK,.r,) iw,, + 1 + KK,. = 0

    ( - /ztOTW; + 1 + KK,.) + i(T + /do - SKK,.to)w,, = 0

    DespuBs de reordenar, la solucin es

    (KK,), = 1 + 2 ;0

    -. r2

    w, = -J

    -+1to 7

  • AJUSTE DE LOS CONTROLADORES POR RETROALIMENTACIdN 265

    En estas frmulas se aprecia que la ganancia ltima del circuito tiende a infinito -sinlmite de estabilidad- conforme el tiempo muerto se acerca a cero, lo cual concuerdacon el resultado del ejemplo 6- 1, sin embargo, cualquier cantidad finita de tiempo muertoimpone un lmite de estabilidad a la ganancia del circuito. La ganancia ltima se in-crementa cuando el tiempo muerto decrece, y se vuelve muy pequea conforme se incremen-ta el tiempo muerto; esto significa que el tiempo muerto hace que la respuesta del circuitosea lenta.

    A partir de los resultados del anlisis de la substitucin directa, del ejemplo prece-dente se pueden resumir los siguientes efectos generales de los diversos parmetros delcircuito:

    1. La estabilidad impone un lmite a la ganancia total del circuito, de manera queun incremento en la ganancia de la v&lvula de control, el transmisor o el procesoda como resultado un decremento en la ganancia ltima del controlador.

    2. Un incremento en el tiempo muerto, o en cualquiera de las constantes de tiempono dominantes (las ms pequeas) del,circuito, da como resultado una reduccinen la ganancia ltima del circuito, as como en la frecuencia ltima.

    3 . Un incremento en ia constante de tiempo dominante (la mayor) del circuito da comoresultado un incremento en la ganancia ltima del circuito y un decremento enla frecuencia ltima del circuito.

    A continuacin se aborda la importante tarea del ajuste de los controladores por retroali-mentacin.

    6-3. AJUSTE DE LOS CONTROLADORE$ POR RETROALIMENTACIN

    El ajuste es el procedimiento mediante el cual se adecan los parmetros del controladorpor retroalimentacin para obtener una respuesta especifica de circuito cerrado. El ajuste deun circuito de control por retroalimentaci6n es anlogo al del motor de un automvil ode un televisor; en cada caso la dificultad del problema se incrementa con el nmero deparmetros que se deben ajustar; por ejemplo, el ajuste de un controlador proporcionalsimple o de uno integral es similar al del volumen de un televisor, ya que ~610 se necesitaajustar un parmetro 0 perilla; el procedimiento consiste en moverlo en una direccinu otra, hasta que se obtiene la respuesta (o volumen) que se desea. El siguiente gradode dificultad es ajustar el controlador de dos modos o proporcional-integral (PI), que seasemeja al proceso de ajustar el brillo y el contraste de un televisor en blanco y negro,puesto que se deben ajustar dos parmetros: la ganancia y el tiempo de reajuste; el proce-dimiento de ajuste es significativamente ms complicado que cuando ~610 se necesita ajustarun parmetro. Finalmente, el ajuste de los controladores de tres modos o pr,oporcional-integral-derivativo (PID) representa el siguiente grado de dificultad, debido a que serequiere ajustar tres parmetros: la ganancia, el tiempo de reajuste y el tiempo de deri-vacin, lo cual es anlogo al ajuste de los haces verde, rojo y azul en un televisor acolor.

  • 266 DISENO DE SISTEMAS DE CONTROL-POR RETROALIMENTACIN

    A pesar de que se plante6 la analogia entre el ajuste de un televisor y un circuitode control con retroalimentacin, no se trata de dar la impresin de que en ambas tareasexiste el mismo grado de dificultad. La diferencia principal estriba en la velocidad de res-puesta del televisor contra la del circuito del proceso; en el televisor se tiene una retroali-mentacin casi inmediata sobre el efecto del ajuste. Por otro lado; a pesar de que en algunoscircuitos de proceso se tienen respuestas relativamente rpidas, en la mayora de los pro-cesos se debe esperar varios minutos, o aun horas, para apreciar la respuesta que resultadelajuste, lo cual hace que el ajuste de los controladores con retroalimentacin sea unatarea tediosa que lleva tiempo; a pesar de ello, ste es el mtodo que ms comnmenteutilizan los ingenieros de control e instrumentacin en la industria. Para ajustar los con-troladores a varios criterios de respuesta se han introducido diversos procedimientos yfrmulas de ajuste. En esta secci6n se estudiarn algunos de ellos,ya que cada uno dauna visin acerca del procedimiento de ajuste; sin embargo, se debe tener en mente queningn procedimiento da mejor resultado que los dems paratodas las situaciones de con-trol de proceso.

    Los valores de los parmetros de ajuste dependen de la respuesta de circuito cerradoque se desea, as como de las caracterfsticas dinmicas o personalidad de los otros ele-mentos del circuito de control y, particularmente, del proceso. Se vio anteriormente que, siel proceso no es lineal, como generalmente ocurre, estas caractersticas cambian de unpunto de operacin al siguiente, lo cual significa que un conjunto particular de parmetrosde ajuste puede producir la respuesta que se desea nicamente en un punto de operacin,debido a que los controladores con retroalimentacin estndar son dispositivos bsicamentelineales. A fin de operar en un rango de condiciones de operacin, se debe establecerun arreglo para lograr un conjunto aceptable de parmetros de ajuste, ya que la respuestapuede ser lenta en un extremo del rango, y oscilatoria en el otro. Con lo anterior enmente, a continuaci6n se exponen a&&s de los procedimientos propuestos para ajustarlos controladores industriales.

    Respuesta de iaz6n de asentamiento de un cuaftomediante el mbtodo de ganancia ltima

    Este mtodo, uno de los primeros, que tambin se conoce como mtodo de circuito cerradoo ajuste en linea, lo propusieron Ziegler y Nichols, en 1942; consta de dos pasos, aligual que todos los otros mtodos de ajuste:

    Paso 1. Determinacin de las caracterfsticas dinmicas o personalidad del circito decontrol.

    :Paso 2. Estimacin de los parmetros de ajuste del controlador con los que se producela respuesta deseada para las caracterfsticas dinmicas que se determinaron en el primerpaso -en otras palabras, hacer coincidir la personalidad del controlador con la de losdems elementos del circuito.

    En este mtodo, los parmetros mediante los cuales se representan las caractersticas di-nmicas del proceso son: la ganancia ltima de un controlador proporcional, y el perodo

  • AJUSTE DE LOS CONTROLADORES POR RETROALIMENTACIN 267

    ltimo de oscilacin; estos parmetros, que se introdujeron en la seccin precedente, sepueden determinar mediante el mtodo de substitucin directa, si se conocen cuantitativa-mente las funciones de transferencia de todos los componentes del circuito, ya que gene-ralmente ste no es el caso. La ganancia y el periodo ltimos se deben determinarfrecuentemente de manera experime,ntal, a partir del sistema real, mediante el siguienteprocedimiento:

    1. Se desconectan las acciones integral y derivativo del controlador por retroalimen-tacin, de manera que se tiene un controlador proporcional. En algunos modelosno es posible desconectar la accin integral, pero se puede desajustar mediantela simple igualacin dela tiempo de integracin al valor mximo -0 de maneraequivalente, la tasa de integracin al valor mnimo.

    2. Con el controlador en automtico (esto es, el circuito cerrado), se incrementa laganancia proporcional (o se reduce la banda proporcional), hasta que el circuitooscila con amplitud constante; se registra eLvalor de.la ganancia con que se pro-duce la oscilacin sostenida como K,,, ganancia ltima; Este paso se debe efectuarcon incrementos discretos de la ganancia,, alterando el sistema con la aplicacinde pequeos cambios en el punto decontrol a cada cambio en el establecimiento dela ganancia. Los incrementos-de la ganancia deben ser menores conforme sta

    se aproxime a la ganancia ltima. : /i :! 13. Del registro .de tiempo de la variable controlada, se registra y mide el perodo

    de oscilacin como Tu, perodo ltimo, segn se muestra en la figura 6-10.

    Para la respuesta que se desea del circuito cerrado, Ziegler y Nichols() especificaronuna razn de asentamiento de un cuarto. L,a razn de asentamiento (disminucin gradual)es la ,razbn de amplitud entre dos oscilaciones sucesivas; debe ser independiente.de lasentradas al sistema, y depender nicamente de 4as races de la ecuacin caracterstica delcircuito. En la figura 6-11 se muestran las respuestas tpicas de raz6n de asentamientode un cuarto para una perturbacin y un cambio en el punto de control.

    .Figura 6-10. Respuesta del circuito cuando la ganancia del controlador se hace igual a la ganancialtima K,,; el perodo ltimo es TU.

  • 268 DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL POR RETROALIMENTACl6N

    --l----F -c---lEntrada de perturbac& Cambio del punto de control

    Figura 6-11. Respuesta de razn de disminucin gradual de un cuarto al cambio en la entrada deperturbacin y el punto de control.

    Una vez que se determinan la,ganancia ltima y el perodo ltimo, se utilizan lasfrmulas de la tabla 6-1 para calcular @s par+metros de ajuste del controlador con los cua-les se producen respuestas de la rezn de asentamiento de un ,cuarto.

    Ntese que, cuando se introduce la acci6n integrd, se fuerza una reduccin del 10%en la ganancia del cqntrblador PI, en comparacin cQn la del controlador proporcional.Por otro lado, la accin derivativa propicia un incremento, tanto en la ganancia pro-porcional como en la tasa de integracin (un decremento en el tiempo de integracin) delcontrolador PID, en comparacin con las del controlador PI, debido a que la accin inte-gral introduce un retardo en la operacin del chtrolador por retroalimentacin, mientrasque con la accin derivativa se introduce un avance o adelanto. Esto.se trata con msdetalle en el captulo 7.

    La respuesta con asentamiento de un cuarto no es deseable para cambios escaln enel punto de control, porque produce un sobrepaso del 50% (A/ACfij=i6n = OS), debidoa que la desviacin mxima del nuevo punto de control en cada direccin es un medio dela desviacin mxima precedente en la direccin opuesta (ver figura 6-11). Sin embargo, larespuesta de la razn de asentamiento de un cuarto es muy deseable para las perturbacio-nes, porque se evita una gran desviacin inicial del punto de control sin que se tenga de-masiada oscilacin. La mayor dificultad de la respuesta de razn de asentamiento de uncuarto es que el conjunto de parmetros de ajuste requerido para obtenerla no es nico,

    Tabla 6-1 Frmula4 para ajuste de razch de asentamiento de un cuarto.

    Tipo de controlador

    PrqporcionalProporcional-integralProporcional-integral-derivativo

    PPI

    P I D

    Gananciaproporcional

    ;Kc

    Kw12K,,12.2

    K,,ll.7

    Tiempo deintegracidn

    7,-

    T11.2

    Tul2

    Tiempo dederivacidn

    70--

    Tu I 8

  • AJUSTE DE LOS CONTROLADORES POR RETROALIMENTACIN 269

    a excepcin del caso del controlador proporcional; en el caso de los controladores PI sepuede verificar fcilmente que, para cada valor del tiempo de integracin, es posible en-contrar un valor de ganancia con el cual se produce una respuesta de razn de asentamientode un cuarto y viceversa; lo mismo es vlido para el controlador PID. Las puestas apunto que proponen Ziegler y Nichols son valores de campo que producen una respues-ta rpida en la mayora de los circuitos industriales.

    Ejemplo 6-8. A partir de la ecuacin caracterstica del tanque de calentamiento con agi-tacin continua que se obtuvo en el ejemplo 6-4, se deben determinar los parmetros deajuste de razn de asentamiento de un cuarto para el controlador PID, mediante el metodode la ganancia ltima; tambin se deben calcular las races de la ecuacin caractersticacuando el controlador se ajusta con esos parmetros.

    Solucin. En el ejemplo 6-4 se obtuvo la siguiente ecuacin caracterstica para elcalentador :

    0.387s' + 3.272~~ + 7.859~~ + (6.043 + 1.205 K,. T&'

    +*(0.617 + 1.205KJs + 1.205 K,h, = 0

    Primeramente se utiliza el mtodo de substitucin directa para calcular la ganancia y elperodo de oscilacin ltimos de un controlador proporcional. Con 70 = 0 y 117, = 0,la ecuacin caracterstica se reduce a:

    0.387~~ + 3.272.~~ + 7.859s: + 6.043s + 0.617 + 1.205K,. = 0

    A continuacin se substituye s = io, y K; = K,, para obtener, despus de simplificar,el siguiente sistema de ecuaciones:

    -3.2720; + 6.043w,, = 0

    0.387~; - 7.8590; + 0.617 +: 1.205K,,, = 0

    A partir de ste, se pueden obtener la frecuencia y ganancia ltimas:

    J 6.043% = -3.272 = I .359 radiminK,, =& (-0.387~; + '1.859~;: - 0.617) = 10.44 %/%.

    El perodo ltimo es T,, =2a- = 4.62 min. De acuerdo con la tabla 6-1, los par-

    1.359metros de ajuste para la respuesta a un cuarto de la razn de asentamiento para un contro-lador PID son

  • 270 DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL POR RETROALIMENTACIN

    K,. = K,.,,ll.l =, 6.14 %l%

    71 = T,,/2 = 2.31 min.

    TLJ = T,,/8 = 0.58 min.

    Con estos parmetros de ajuste la ecuacin caracterstica es

    0.387s' + 3.272~~ + 7.858.~~ + 10.34.~~ + 8.017s + 3.20 = 0

    Con el programa de! apndice D, se encuentra que las races de esta ecuacin carac-terstica son -,

    -0.42 +- i0.99. " - 1.03 t io.49. -5.55

    La respuesta de escaln unitario del circuito cerrado tiene la siguiente forma:

    T(t) = bou(f) + b,C""~'sen(0.99f + 01)

    + h,r-' "" sen(O.49f + 01).

    + WSSS'

    donde los parmetros ba, b,, O,, bZ, O2 y b3 se deben evaluar mediante la expansin defracciones parciales para la entrada particular (punto de rgimen, flujo de entrada o tem-peratura de entrada) considerada. La tcnica de expansin de fracciones parciales se aborden el captulo 2.

    Caracterizacin del proceso

    El mtodo de Ziegler-Nichols para ajuste en lnea que se acaba de presentar es el nicocon que se caracteriza al proceso mediante la ganancia y perodo ltimos. Con la mayorade los dems mtodos para ajuste del controlador, se caracteriza al proceso mediante unmodelo simple de primer o segundo orden con tiempo muerto. Para una mejor compren-sin de las suposiciones que entran en tal caracterizacin, considrese el diagrama de

    Figura 6-12a. Diagrama de bloques del cortocircuito tpico de control por retroalimentacin.

  • AJUSTE DE LOS CONTROLAPOR~S POR RETROALIMENTACdN 2 7 1

    bloques de un circuito de control por retroalimentacin que se muestra en la figura 6-12~:los smbolos que aparecen en el diagrama son

    G,(d

    G,(s)

    H(s)

    transformada de Laplace de la seal del punto de controltransformada, de Laplace de la. seal de salida del controladortransformada de Laplace de la seal de salida del transmisortransformada de Laplace de la seal de errortransformada de Laplace de la seal de perturbacinfuncin de transferencia del controladorfuncin de .transferencia de la vtivula de control (o elemento final decontrol)funcin de transferencia del proceso entre la variable controlada y lavariable manipuladafuncin de transferencia del proceso entre la variable controlada y eldisturbiofuncin de transferencia del sensor-transmisor

    Para dibujar el diagrama equivalente. de bloques que se muestra en la figura 6-12b,se utiliza el lgebra simple de diagramas de bloques que se expuso en el captulo 3; eneste diagrama slo hay dos bloques en el circuito de control, uno para el controlador yotro para el resto de los componentes del circuito. La ventaja de esta representacinsimplificada estriba en que se destacan las dos seales del circuito que generalmente seobservan y registran: la sal@ del controlador M(s) y la seal del transmisor C(s). Enla mayora de los circuitos no se puede observar alguna seal o variable, a excepcin deesas dos; por lo tanto, la concentracin de las funciones de transferencia de la vlvulade control, del proceso y del sensor-transmisor, no se hace slo por conveniencia, sinopor razones prcticas; si a esta combinacin de funciones de transferencia se le designacomo G(s):

    C(s) = G,.(s) G,,,(.s)H(.s)

    Es precisamente esta funcin de transferencia combinada la que se aproxima mediantelos modelos de orden inferior con el objeto de caracterizar la respuesta dinmica del

    Figura 6-12b. Diagrama de bloques equivalente y simplificado en el cual todos los instrumentosde campo y el proceso se concentran en bloques individual?!,

  • 272 DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL POR RETROALIMENTACIN

    proceso. Lo importante es que en el proceso caracterizado se incluye el comportamientodinmico de la vlvula de control y del sensorkransmisor . Los modelos que comnmentese utilizan para caracterizar al proceso son los siguientes:

    Modelo de primer orden m& tempb muerto (POMTM)

    (6-31)

    Modelo de segundo orden mhs tiempo muerto (SOMTM)

    G(s) =Ke- 4r .

    (7,s + I )(?pY + I )(6-32)

    G(s) =Ke - 'IV'

    6s + 25 7s + 1(6-33)

    para procesos subamortiguados (4 < l), donde:

    K = ganancia del proceso en estado estacionariot. = tiempo muerto efectivo del proceso

    r, Ti, r2 = constantes de tiempo efectivas del proceso4 = razon de amortiguamiento efectiva del proceso

    De stos, el modelo POMTM es en el que se basan la mayora de las frmulas de,ajustede controladores. En este modelo el proceso se caracteriza mediante tres parmetros:la ganancia K, el tiempo muerto t0 y la constante de tiempo 7. De modo que el problemaconsiste en la manera en que se pueden determinar dichos parmetros para un circuitoparticular; la solucin consiste en realizar algunas pruebas dinmicas en el sistema realo la simulacin del circuito en una computadora; la prueba ms simple que se puede realizares la de escaln.

    Prueba del proceso de escaln

    El procedimiento de la prueba de escaln se lleva a cabo como sigue:

    1. Con el controlador en la posicin manual (es decir, el circuito abierto), se aplicaal proceso un cambio escaln en la seal de salida del controlador m(t). La magni-tud del cambio debe ser lo suficientemente grande como para que se pueda medir -el cambio consecuente en la seal de salida del transmisor, pero no tanto comopara que las no linealidades del proceso ocasionen la distorsin de la respuesta.

    2. La respuesta de la seal de salida del transmisor c(t) se registra con un grafcadorde papel continuo o algn dispositivo equivalente; se debe tener la seguridad deque la resolucin es la adecuada, tanto en la escala de amplitud como en la d tiem-

  • AJUSTE DE LOS CONTROLADORES POR RETROALIMENTACIN 2 7 3

    po. La graficacin de c(t) contra el tiempo debe cubrir el perodo completo de laprueba, desde la introduccin de la prueba de escaln hasta que el sistema alcanzaun nuevo estado estacionario. La prueba generalmente dura entre unos cuantosminutos y varias horas, segn la velocidad de respuesta del proceso.

    Naturalmente, es imperativo que no entren perturbaciones al sistema mientras se realizala prueba de escaln. En la figura 6- 13 se muestra una grfica tpica de la prueba, la cualse conoce tambin como curva de reaccin del proceso; como se vio en el captulo 4,la respuesta en forma de S es caracterstica de los procesos de segundo orden o superior, cono sin tiempo muerto. El siguiente paso es hacer coincidir la curva de reaccin del proce-so con el modelo de un proceso simple para determinar los parmetros del modelo;a continuacin se hace esto para un modelo de primer orden ms tiempo muerto(POMTM) .

    En ausencia de perturbaciones y para las condiciones de la prueba, el diagrama debloques de la figura 6-12b se puede redibujar de la manera en que aparece en la figura6-14. La respuesta de la seal de salida del transmisor se expresa mediante

    C(s) = G(s) M(s)

    Para un cambio escaln de magnitud Am en la salida del controlador y un modelo POMTM,ecuacin (6-31), se tiene

    KY@ A mC(S) Tz - . -7s + 1 s

    m(t) tAm

    1------------__--------------- ___-

    II

    0 t

    Figura 6-13. Curva de reaccin del proceso o respuesta escaln de circuito abierto.

  • 274 DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL POR RETROALIMENTAC16N

    Al expandir esta expresin en fracciones parciales, se obtiene

    (6-35)

    Se invierte, con ayuda de la tabla de transformada de Laplace (tabla 2-l), y se aplica elteorema de la traslacin real (ver captulo 2) para obtener

    Ac = KAm u(t - t,,) 11 - e-c'y'o)'r] (6-36)

    se incluye la funcin escaln unitario u(t - t,), para indicar explcitamente que

    Ac = 0 para t I t.

    El trmino Ac es la perturbacin o cambio de salida del transmisor respecto a su svalorinicial:

    Ac = c(t) - c(O) (6-37)

    En la figura 6-15 se muestra una grfica de la ecuacin (6-36), en sta el trmino Ac,es el cambio, en estado estacionario, de c(t). De la ecuacin (6-36) se tiene que

    Ac, = lm Ac = Kbm (6-38)r-t=

    A partir de esta ecuacin, y si se tiene en cuenta que la respuesta del modelo debe coinci-dir con la curva de reaccin del proceso en estado estable, se puede calcular la ganancia deestado estacionario del proceso, la cual es uno de los parmetros del modelo:

    KA& (6-39)

    Este resultado tambin se obtuvo en el captulo 3.El tiempo muerto t0 y la constante de tiempo 7 se pueden determinar al menos me-

    diante tres mtodos, cada uno de los Cuales da diferentes valores.

    Mtodo 1. En este mtodo se utiliza la lnea tangente a la curva de reaccin del pro-ceso, en el punto de razn mxima de cambio; para el modelo POMTM esto ocurre en

    Figura 6-14. Diagrama de bloques para la pruelh escaln con circito abierto.

  • AJUSTE DE LOS CONTROLADORES POR RETROALIMENTACIN 275

    I t0

    Figura 6-15. Respuesta escaln de un proceso de primer orden ms tiempo muerto en la que sei lustra la definicin grfica de t iempo muerto, t,, y constante de t iempo, 7.

    t = t,, como resulta evidente al observar la respuesta del modelo en la figura 6-15. Dela ecuacin (6-36) se encuentra que esta razn inicial (mxima) de cambio es

    (6-40)

    En la figura 6-15 se aprecia que tal resultado indica que la lnea de razn mxima decambio interseca la lnea de valor inicial en t f fo, y a la lnea de valor final ent = t. + T. De este descubrimiento se deduce el trazo para determinar t. y T que se ilus-tra en la figura.-16a; la lnea se traza tangente a la curva de reaccin del proceso real,en el punto de reaccin mxima de cambio. La respuesta del modelo en que se empleanlos valores de t. y 7 se ilustra con la linea punteada en la figura. Evidentemente, la res-

    Figura 6-16~. Parmetros del modelo POMTM que se obt iene mediante el mtodo 1.

  • 276 DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL POR RETROALIMENTACIN

    I f Realb

    Figura 6-16b. Parmetros del modelo POMTM que se obtienen con el mtodo 2.

    puesta del modelo que se obtiene con este mtodo no coincide muy bien con la respuestareal.

    Mtodo 2. En este mtodo t, se determina de la misma manera que en el mtodo 1,pero con el valor de r se fuerza a que la respuesta del modelo coincida con la respuestareal en t = te + r. De acuerdo con la ecuacin (6-36) este punto es

    Ac(t, + T) = KAm [ 1 - e- 1 = 0.632 AC, (6-4 1)

    Se observa que la comparacin entre la respuesta del modelo y la real es mucho mscercana que con el metodo 1, figura 6-16b. El valor de la constante de tiempo que seobtiene con el mtodo 2 es generalmente menor al que se obtiene con el mtodo 1.

    IbModo 3. Al determinar tO y T con los dos mtodos anteriores, el paso de menor pre-cisin es el trazo de la tangente en el punto de razn mxima de cambio de la curvade reaccin del proceso. Aun en el mtodo 2, donde el valor de (t, + r) es independien-te de la tangente, los valores que se estiman para t0 y 7 dependen de la lnea. Para eliminar

    0

    Figura 6-16~. Partietros del modelo POMTM que se obtienen por medio del mtodo 3.

  • AJUSTE DE LOS CONTROLADORES POR RETROALIMENTACIN 277

    esa dependencia, el doctor Cecil L. Smid~~ propone que los valores de r, y r se selec-cionen de tal manera que la respuesta del modelo y la real coincidan en la regin de altatasa de cambio. Los dos puntos que se recomiendan son (t, + 1/3 r) y (lo + r), y paralocalizar dichos puntos se utiliza la ecuacin (6-36):

    Ac(t,, + 7) = KAm [l - e-l] = 0.632 Ac, (6-42)

    Ac = KAm 11 - e-13] = 0.283 Ac,

    Estos dos puntos, en la figura 6-16c, se denominan t2 y tl, respectivamente. Los va-lores de t. y r se pueden obtener fcilmente mediante la simple resolucin del siguientesistema de ecuaciones:

    to + 7 = t2

    1t + 3 = t

    Lo cual se reduce a .

    7 = ; (t* - t,)

    ro = tz - 7

    donde:

    (6-44)

    tl = tiempo en el cual Ac = 0.283 Ac,t2 = tiempo en el cual Ac = 0.632 Ac,

    Con la experiencia se demostr que los resultados obtenidos con este mtodo sonms fciles de reproducir que los que se obtienen mediante los otros dos y, por lo tanto,se recomienda este mtodo para hacer la estimacin de t, y r a partir de la curva dereaccin del proceso. Sin embargo, se debe tener en cuenta que algunas correlacionespara los parmetros de ajuste del controlador se basan en diferentes ajustes de mode-los POMTM.

    En la bibliografa sobre el tema se proponen varios mtodos para estimar los par-metros de un modelo de segundo orden ms tiempo muerto (SOMTM) para la curva dereaccin del proceso, pero~por experiencia se sabe que tales m6todos son poco precisos,debido a que la prueba con escaln no proporciona suficiente informacin para obtenerel parmetro adicional -constante de tiempo o razn de amortiguamiento- que se requie-re para el SOMTM. En otras palabras, la mayor complejidad del modelo requiere unaprueba din&nica ms elaborada. La prueba con pulsos es un metodo adecuado para obte-ner los parmetros de modelos de segundo orden y superiores. Esta prueba se presenta enla seccin 7.3.

  • 278 DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL POR RETROALIMENTACIN

    Puesto que las formulas de ajuste del controlador que se presentan a continuacinse basan en parmetros de modelos POMTM, se pueden encontrar algunas situacionesdonde existen parmetros de un modelo de orden superior y se necesita estimar el equiva-lente a modelos de primer orden; a pesar de que no existe un procedimiento generalpara hacer esto, con la siguiente regla prctica se puede obtener una estimacin somera parauna primera aproximacin:

    Si una de las constantes de tiempo del modelo de orden superior es mucho msgrande que las otras, es posible estimar que la constante de tiempo efectiva del mo-delo de primer orden es igual a la constante de tiempo mayor. Entonces, se puedeaproximar el tiempo muerto efectivo del modelo de primer orden mediante la sumade todas las constantes de tiempo menores ms el tiempo muerto del modelo de ordensuperior.

    Ejemplo 6-9. Se deben estimar los parmetros POMTM para el circuito de control detemperatura del intercambiador del ejemplo 6-5. La funcin de transferencia combinadapara la vvula de control, el intercambiador y el sensor-transmisor de este ejemplose expresa mediante

    G(s) = -.50+1 0.016loS+ 1 3os+ 1 3s + 1

    S&cin. Si se supone que la constante de tiempo de 30 s es mucho mayor que lasotras dos, se puede aproximar en, ms o menos:

    7 = 3 0 s

    t(J = 10 + 3 = 13 s

    naturalmente, la ganancia es la misma; es decir, K = 0.80. La funcin de transferenciadel modelo POMTM que resulta es, entonces

    G(s) = 0.80 e-3r30 s + I (Modelo A)

    Ahora se compara esta aproximacin con los parmetros POMTM que se determinanexperimentalmente a partir de la curva de reaccin del proceso. En la figura 6~17 seilustra la curva de reaccin de proceso para los tres retardos de primer orden en serie,los cuales se supone representan el intercambiador de calor, la valvula de control y elsensor-transmisor. La respuesta de la figura 6-17 se obtiene mediante la simulacin de lostres retardos de primer orden en una microcomputadora analgica; se aplic un *cambioescaln de 5 % a la sena1 de salida del controlador y se registr ,la salida del sensor trans-misor contra el tiempo; a partir de este resultado es posible calcular los parmetrosPOh4TM, para lo cual se utilizan los tres metodos presentados anteriormente.

  • AJUSTE DE LOS CONTROLADORES POR RETROALIMENTACt6N

    Gananci del mxeso

    K=oc=iE. 100%A m 5 % (150-5O)C

    = 0.80;

    Mtodo 1

    to = 1.2 s t3 = 61.5 s (ver figura 6-17)

    T = 61.5 - 1.2 = 54.3 s

    G(s) 0.80 e-7.2J=54.3 s + 1

    Mtodo 2

    t,, = 7.2 s

    En Ac = 0.632 (4 C) = 2.53 C

    7 = 45.0 - 1.2 = 37.8 s

    c(s) 0.80 e-7.2r=37.8 s + 1

    (modelo B)

    t2 = 45.0 s

    (modelo C)

    tm(t) Am=5k,

    Ac

    A

    Ac,,= C

    III I I I v I l

    t t t50 t 1 0 0 1 5 0 200 250

    17.2 1122.51145.Ofl61.51 ts

    Figura 6-17. Curva de reaccin de proceso para el ejemplo 6-9.

  • 280 DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL POR RETROALIMENTACIN

    Mtodo 3

    En AN) = 0.283 (4 c) = 1.13 c I, = 22.5 s

    7 = + (I? - f,) = ; (45.0 - 22.5) = 33.8 s

    ro = 45.0 - 33.8 = ll.2 s

    G(s) = 0.80 e-.133.8 s + I (modelo D)

    Como se ver en las secciones siguientes, en trminos de ajuste, un parmetro importantees la relacin del tiempo muerto con la constante de tiempo. Los valores para los cuatromodelos de aproximacin POMTM son los siguientes:

    M o d e l o A(aproximado) B(m&odo 1) C(m&odo 2) D(m&odo 3)

    to,s 13.0 7.2 7 . 2 l l .27,s 30.0 54.3 37.0 - 33.8foI7 0.433 0.133 0.190 0.331

    Se supone que la razn fo/7 es el parmetro ms sensible, y que vara con un factorligeramente superior a 3: 1. A pesar de que con-los mtodos 2 y 3 se obtienen las aproxi-maciones ms cercanas a la respuesta escaln real, se debe tener en cuenta que algunascorrelaciones de ajuste se basan en mtodos especficos.

    Ejemplo 6-10. Para el siguiente proceso de segundo orden

    G(s) = co = KM(s (7,s + l)(T>S + 1) 7, * 72

    se deben determinar los parmetros de un modelo de primer orden ms tiempo muerto(POMTM)

    se debe utilizar el mtodo tres en funcin de la relacin r2/r1.

    Solucidn: Primeramente se obtiene la respuesta escaln unitario para el proceso real:6

    M(s) = f-

  • AJUSTE DE LOS CONTROLADORES POR RETROALIMENTACl6N 281

    K 1C(s) = -

    (7,s + 1)(7g + 1) s

    Por expansin de fracciones parciales, para el caso T] > r2:

    KT, 1C(s) = 5 - -+-- + A-

    71 _. l Tl - 72 s+ IIr2

    Se invierte, con ayuda de una tabla de transformada de Laplace (tabla 2-l), para obtener

    Como

    I--+X

    y puesto que .

    Am = I

    Para el mtodo 3, en tl = ti + 713

    Ac=< -e - ~)K = K 1[

    yent2 = t + 7

    r

    Ac -+ K

    K+K

    Para el caso en que r1 = r2, mediante expansin de fracciones parciales

    (4

    (B)

    C(S) =K KK I I

    (T,S + I )G = s - 5,-K-

    1s + -

    71

  • 282 DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL POR RETROALIMENTACION

    Se invierte, con ayuda de una tabla de transformadas de Laplace (tabla 2-l), para obtener

    1de lo que resulta

    e- 113 = ?l[ 17, + ' e -"'T'e-1 = t2[ 17, + l e-'Z'T'(C)

    (D)

    A partir de las ecuaciones (A) y (B) o (C) y (D), se debe resolver, por ensayo y error,para tl y r2. Entonces, de la ecuacin (6-44)

    37 = -* 02 - fl)

    t; = t2 - 7

    Para resolver este problema, Martinc3) utiliz un programa de computadora; los resulta-dos se grafican en la figura 6-18. Como se puede ver en esta figura, el mximo tiempomuerto efectivo tiene lugar cuando las dos constantes de tiempo son iguales:

    Figura 6-18. Modelo POMTM del tiempo muerto y la constante de tiempo para la aproximacindel mtodo 3 al sistema sobreamortiguado de segundo orden. (Se reproduce con la debida autoriza-cin de la referencia bibl iogrfica 3.)

  • AJUSTE DE LOS CONTROLADORES POR RETROALIMENTACIN 2 8 3

    Para 7, = 7? th = 0.505T, 7.= 1.641 7,

    Para Ti

  • 284 DISEI\IO DE SISTEMAS DE CONTROL POR RETROALIMENTACIN

    Como se puede ver en la tabla 6-2, las magnitudes relativas de la ganancia, el tiempode integracin y el de derivacin en los controladores P, PI y PID, son las mismas quelas de las frmulas de ajuste en lnea, las cuales se basan en el perodo y ganancia ltimos(tabla 6-1). En las frmulas se observa que la ganancia del circuito, KK,, es inversamenteproporcional a la razn del tiempo muerto efectivo, a la constante de tiempo efectiva.

    Para utilizar estas frmulas se debe tener en cuenta que son empricas y ~610 se.apli-can a un rango limitado de razones de tiempo muerto contra constante de tiempo, lo cualsignifica que no se debe extrapolar fuera de un rango de to/r entre 0.10 y 1.0.

    Como se seal6 al estudiar el ajuste en lnea, la dificultad para especificar el desem-peo de los controladores PI y PID con una razn de asentamiento de un cuarto, estribaen que existe un nmero infinito de conjuntos de valores de los parmetros del controladorque pueden producir ese desempeo. Las frmulas que se dan son justamente uno de talesconjuntos.

    Ejemplo 6-11. Se deben comparar los valores de los parmetros de ajuste para controlarla temperatura del intercambiador del ejemplo 6-5, mediante la utilizacin del ajuste enlnea para una razn de asentamiento de un cuarto y los parmetros POMTM que se esti-maron en el ejemplo 6-8. En los ejemplos anteriores se encontraron los siguientes resulta-dos para el circuito de control de temperatura del intercambiador:

    Por el mtodo de substitucin directa:(ver ejemplo 6-6)

    Por aproximacin con el mtodo 1:(ver ejemplo 6-9)

    K,., = 23.8 %/%.Tu = 28.7 s.K = 0.80 Yo/%t. = 7.2 s7 = 54.3 s

    Solucin. Los parmetros de ajuste para una razbn de asentamiento de un cuarto sonlos siguientes:

    Ajuste en lnea (tabla 6-1)

    Proporcional

    (Curva de reaccih del proceso (tabla 6-2)

    1KC = - (23.8) = ll.9 %/%

    2

    Proporcional-integral

    -1= 9.4 %/%

    23.8KC = - =

    2.210.8%/%

    28.771 = 1.2 = 23.9 s (0.40 min) 71 = 3.33 (7.2) = 24.0 s (0.40 min)

  • AJUSTE DE LOS CONTROLADORES POR RETROALIMENTACIN

    Proporcional-integral-derivativo

    23.8K, = - = 14 %/%

    1.7-Io 7

    285

    1

    = 11.3%/%

    14.3 s (0.24 min), r1 = 2.0(7.2) = 14.4 s (0.24 min)

    28.771) = -

    8= 3.6 s (0.06 min) Ti = 0.5(7.2) = 3.6 s (0.06 min)

    La concordancia,es evidente, sin embargo, cabe aclarar que esta concordancia dependede la utilizacin de los parmetros del mtodo 1, los cuales fueron utilizados por Zieglery Nichols. .

    Ajuste mediante los criterios de error de integracin mnimo

    Puesto que los parmetros de ajuste de la razn de asentamiento de un cuarto no son ni-cos, en la Universidad deLEstado de Louisiana se realiz un proyecto substancial de in-vestigacin bajo la direccin de los profesores Paul W. Murrill y Cecil L. Smith, para

    Entrada de perturbacin

    Cambio del punto de control

    Figura 6-19. Definicin de las integrales de error para cambios en la perturbacin y al punto decontrol.

  • 286 DISEfiO DE SISTEMAS DE CONTROL POR RETROALIMENTACI6N

    desarrollar relaciones de ajuste nicas. A fin de caracterizar el proceso se.utilizaron par-metros de modelos de primer orden ms tiempo muerto (POMTM), la especificacin dela respuesta, en circuito cerrado es un error o desviacin mnima de la variable controlada,respecto al punto de control. Debido a que el error esta en funcin del tiempo que durala respuesta, la suma del error en cada instante se debe minimizar; dicha suma es, pordefinicin, la integral del error en tiempo y se representa mediante el rea sombreadaen la figura 6-19. Puesto que la integral del error se trata de minimizar mediante la utili-zacin de las relaciones de ajuste, stas se conocen como ajuste del error de integracinmnimo; sin embargo, la integral de error no se puede minimizar de manera directa, yaque un error negativo muy grande se volvera mnimo. Para evitar los valores negativosen la funcin de desempeo, se propone el siguiente planteamiento de la integral:

    Integral del valor absoluto del error (IAE)

    IAE = (6-45)

    Integral del cuadrado del error (ICE)

    ICE = e(t) df (6-46)

    Las integrales se extienden desde el momento en que ocurre la perturbacin o cambioen el punto de control (t = 0), hasta un tiempo posterior muy largo (t = OO), debido aque no se puede fijar de antemano la duracin de las respuestas. El nico problema conesta definicin de la integral, es que se vuelve indeterminada cuando no se fuerza el errora cero, lo cual ocurre nicamente cuando no hay accin de integracin en el controlador,debido a la desviacin o el error de estado estacionario; en este caso, en la definicinse reemplaza el error por la diferencia entre la variable controlada y su valor final deestado estacionario.

    La diferencia entre el criterio IAE y el ICE, consiste en que con el ICE se tiene msponderacin para errores grandes, los cuales se presentan generalmente al inicio de larespuesta, y menor ponderacin para errores pequeos, los cuales ocurren hacia el final dela respuesta. Para tratar de reducir el error inicial, el criterio de ICE mnima da por resul-tado una alta ganancia del controlador y respuestas muy oscilatorias (es decir, una raznde asentamiento alta), en las cuales el error oscila alrededor del cero por un tiempo rela-tivamente largo. De este fenmeno se deduce que en tal criterio de des,empeo debeexistir una compensacin para el tiempo que transcurre desde el inicio de la respuesta.En las siguientes integrales de error se incluye dicha compensacin mediante la pondera-cin del tiempo transcurrido.

    Integral del valor absoluto del error ponderado en tiempo (IAET)

    IAET = f le(t)1 dr (6-47)

  • AJUSTE DE LOS CONTROLADORES POR RETROALIMENTACl6N 287

    Integral del cuadrado del error ponderado en tiempo (ICET)

    ICET = t e2(t) dt (6-48)

    Las ecuaciones (6-45) a (6-48) constituyen las cuatro integrales bsicas de error que sepueden minimizar para un circuito particular, mediante el ajuste de los parmetros delcontrolador. Desafortunadamente, el conjunto ptimo de valores paramtricos no estnicamente en funcin de cul de las cuatro definiciones de integral se elige, sino quetambin depende del tipo de entrada, esto es, perturbacin o punto de control y de suforma; por ejemplo, cambio escaln, rampa, etc. Respecto a la forma de la entrada, gene-ralmente se elige el cambio escaln, porque es el ms molesto de los que se presentan enla prctica; por lo que toca al tipo de entrada, para el ajuste se selecciona el punto decontrol o perturbacin, en funcin de cul se espera que afecte al circuito con ms fre-cuencia. Cuando el punto de control, como entrada, es lo ms importante, el propsitodel controlador es hacer que la variable controlada siga la seal del punto de control ya dicho controlador se le conoce como servorregulador . Cuando el objeto del controladores mantener a la variable controlada en un punto de control constante, en presencia delas entradas de perturbaciones, se dice que el controlador es un regulador. En trminosde la integral mnima de error, los parmetros de ajuste ptimos son diferentes para cadacaso. La mayora de los controladores de proceso se consideran como reguladores, a excep-cin de los controladores esclavos en las estructuras de control en cascada, los cuales sonservorreguladores; el control en cascada se estudiar en la seccin 8-3.

    Cuando se ajusta el controlador para la respuesta ptima a una entrada de pertur-bacin, se debe hacer una decisin adicional respecto a la funcin de transferencia delproceso para esa perturbacin en particular. Esto es complicado, debido a que la respuestadel controlador no puede ser ptima para cada perturbacin, si es ,que existe ms deuna perturbacin que entre en el circuito. Puesto que la funcin de transferencia del pro-ceso es diferente para cada perturbacin y la seal de salida del controlador, los parmetrosptimos de ajuste dependen de la velocidad relativa de respuesta de la variable controladaa la perturbacin; mientras ms lenta sea la respuesta a la perturbacin, con ms rigorse puede, ajustar. el controlador y su ganancia puede ser ms alta; en el otro extremo, sila variable controlada responde instantneamente a la perturbacin, el ajuste del controla-dor ser lo menos riguroso posible, lo cual equivale al ajuste para cambios en el punto de

    Figura 6-20~~. Diagrama de bloques para respuesta instantnea a la entrada de una perturbacin.

  • 288 DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL POR RETROALIMENTACIN

    Entrada de perturbacin

    tCambio del punto de control

    .

    Figura 6-20b. La respuesta instantnea a una perturbacin es idntica a la respuesta a un cambioen el punto de control, con excepcin del signo.

    control. Lo anterior es evidente cuando se examina el diagrama de bloques para el casoen que la respuesta a la entrada de la perturbacin es instantnea. Lo anterior se muestra enla figura 6-20~; como se puede ver, ia perturbacin entra en el mismo punto del circuitoque el punto de control, lo cual hace que las respuestas a cambios escaln en la perturba-cin y en el punto de control sean iddnticas, excepto por el signo; esto se ilustra en lafigura 6-20b.

    Ldpez y asociados@) desarrollaron frmulas de ajuste para el criterio de integral m-nima de error con base en la suposicin de que la funcin de transferencia del procesopara las entradas de perturbaciones es idntica a la funcin de transferencia para la sealde salida del controlador. En la figura 6-2 1 se muestra el diagrama de bloques del circuitopara este caso, y en la tabla 6-3 se dan las frmulas de ajuste.

    Figura 6-21. Diagrama de bloques para que la respuesta del proceso a la variable manipulada seaidntica a la respuesta a una perturbacin.

  • AJUSTE DE LOS CONTROLADORES POR RETROALIMENTACIN 289

    En estas frmulas se aprecia la misma tendencia que en las de razn de asentamien-to de un cuarto, con la excepcin de que el tiempo de integracin, depende, hasta ciertopunro, de la constante de tiempo efectiva del proceso, y menos del tiempo muerto del pro-ceso. Se debe tener en mente que estas f6rmulas son empricas y no se deben hacerextrapolaciones ms all de un rango de {tdr) entre 0.1 y 1 .O. (Dicho rango de valores esel que utiliz Lpez en sus correlaciones.) Como en el caso de las frmulas de ajuste para

    Tabla 63. Frmulas de ajuste de integral mnima de error para entrada de perturbaciones.

    Modelo del proceso : G(S) = $$

    Controlador proporcional (PI: G,(s) = K,

    Integral del error ICE

    /+; !!0

    b a = 1.4117 .

    b = -0.917

    Controlador proporcional-integral (PI) i f. I?, r\+* \ ,\- h

    Integral de error ICE5 a, = 1.305

    b, = -0.959

    7 to 62 = 0 . 4 9 27,= - (i - a,

    a2 7 ba = 0 . 7 3 9

    Contro lador proporc ional - in tegra l -der ivat ivo IPIDI:

    IAE _ IAh

    0.902 0 . 4 9 0

    - 0.9s5 -1.084

    I A E IAET

    0.984 0.859

    - 0.986 - 0.977

    0.608 0.674

    0.707 0.680

    Integral de error ICE I A E IAET

    ,+; !0

    bl a, = 1.495 1.435 1.357b, = - 0 . 9 4 5 -0.921 - 0.947

    7 t.Tl=-

    a20 - b2 ,832 = 1 .101 0.878 0.8427

    b, = 0 . 7 7 1 0 . 7 4 9 0.738

    0%Ti= a37 ?sT a3 = 0.560b3 = 1.006 0.4821.137 0.3810.995

  • 290 DISEE) DESISTEMAS DE CONTROL POR RETROLIMENTACl6N

    la razn de asentamiento de un cuarto, con estas frmulas se predice que, tanto la accinproporcional como la de integracin, tienden, a infinito conforme el proceso se acerca aun proceso de primer orden sin tiempo muerto y este comportamiento es tpico de: lasfrmulas de ajuste para entrada de disturbios. i

    Rovira y asociados- desarrollaron las frmulas de ajuste para cambios del puntode control de la tabla 6-4; ellos consideraron que el criterio de,ICE mnima era inaceptablepor su naturaleza altamente oscilatoria; tambin omitieron las relaciones para los contro-ladores proporcionales, con base en la suposicin de que el criterio de integral minimade error no es apropiado para las aplicaciones donde se recomienda el usode uu Comroldofproporcional; por ejemplo, obtener el flujo promedio mediante d control phborcionalde nivel. Estas frmulas tambin son empricas y no se debetr extrapolar ms al14 del ran-go de (&,/T) entre 0.1 y 1 .O; con ellas se predice que, parti mi proceso con una sola capa-citancia, y sin tiempo muerto, el tiempo de integracin se aproxima a la constante de tiempo

    Tabla 6-4. Fbrmulas de ajuste de integral mnima de error para cambios.efl. ,@zpunto de2,

    Modelo del proceso: G(S) = Fe foS7s + ,l

    Controlador proporcional-integral (PI):

    G,(s) = K, 1 + ;( 1

    Integral del error: I A E IAET

    Kc=; 0 fo 7 9 a, = b.758 0.586

    b, = -0.861 -0.918

    7 a2 = 1.02 -1.03

    * = a2 + b2(fOh)b2 = - 0 . 3 2 3 -0.165

    Contro lador proporc ional - in tegra l -der ivat ivo (PIDI:

    Integral del error

    ,+; 0 ! bl

    7

    = a2 + b2(f0h)

    b3

    I A E

    a, = 1.086

    b, = - 0 . 8 6 9

    a2 = 0.740

    b2 = -0 .130

    a3 = 0.348

    b3 = 0.914

    ., :SAET

    0.965

    - 0.855

    0.796

    -0.147

    0.308

    0.9292

  • AJUSTE DE LOS CONTROLADORES POR RETROALIMENTACIN 2 9 1

    del proceso; mientras que la ganancia proporcional del proceso tiende a ,iQfinito, y el tiem-po de derivacin a cero. Estas tendencias son tpicas de las frmulas de ajuste del punto decontrol.

    Ejemplo 6-12. Se deben comparar los parmetros de ajuste que se obtienen con los di-ferentes criterios de integral de error para entrada de perturbaciones en el controladorde temperatura del intercambiador de calor; se debe utiliear la funcin de transferencia delmodelo POMTM del ejemplo 6-9. Se considera a) tin controlador P, b) un controladorPI y c) un controlador PID.

    Sofucih. Los parmetros para el modelo POMTM del ejemplo 6-9 son, para el m-todo 3 , ,..

    ,P . 1,

    K = 0.80 %J%; 7 = 33.8,s; t,) = 11.2s

    Los parmetros de ajuste de integrak mhna~de error para entrada de perturbaciones sepueden calcular con las frmulas de la tabla 6-3:

    \,a) Controlador P p q

    1. \

    1.411 ll.2 -OY=- -( )0.80. 33,.8

    = 4.9 %l%j 1.

    0.902 -yxs 1AE: K,. = - 7d%K

    0 3 = 3.3T

    IAET: K,, = y- I 84

    = 2.0.,7oI%

    b) Controlador PI

    Al aplicar de manera semejante las frmulas de la tabla 6-3, se obtienen los siguientesparmetros:

    Criterio

    K,., hl%ICE I A E IAET

    4.7 3.7 3.2

    71, s 30.3 25.5 23.7

    I

    (min) (0.51) (6.423 (0.39)

  • 292 DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL POR RETROALIMENTACIN

    c) Controlador PID

    CriterioK,, Yo/%71, s(min)TL,> s(min)

    ICE IAE IAET5.3 5.0 4.813.1: 16.8 17.8(0.22) (0.28) (0.30)6.2 4.6 4.3(0.104) (0 .077) (0.072)

    La primera conclusin que se obtiene al comparar estos parmetros de ajuste esque, de todas estas frmulas, resultau valores del mismo orden de magnitud o encasilla-dos. La segunda es que, del criterio de desempeo ICE, resultan parmetros de controlms aproximados a lo real (ganancia ms alta y tiempo de integracin ms corto); mien-tras que con el IAET generalmente se 8btienen los resultados menos aproximados a lo real.

    Ejemplo 6-13. Se deben comparar las respuestas a los cambios de escaln unitario en -los disturbios y en el punto de control, que se obtienen cuando se ajusta un controladorPI a IAE mnima, para las entradas de perturbaciones, contra las respuestas que se obtie-nen con el mismo criterio, pero respecto a cambios en el punt de control. El circuitose puede representar mediante el diagrama de bloques de la figura 6-2 1, y el proceso me-diante el siguiente modelo POMTM:

    G(s) = 1 .o e-o.5ss+ 1

    %/%

    donde los parmetros de tiempo estn en minutos.

    Solucibn. Los parmetros POMTM son

    K = 1 .O Yo/%; 7 = 1.0 min; fo = 0.5 min

    Ahora se pueden calcular los parhnetros de ajuste para un controlador PI con las frrnu-las de las tablas 6-3 y 64:

    Criterio ZAE para perturbaciones (tabla 6-3)

    K, = 0 . 9 8 4 3 -986

    - 0K T0 .984= 7 (0.5)-0.986 = 1.95'%/%

  • AJUSTE DE LOS CONTROLADORES POR RETROALIMENTACl6N 293

    Criterio IAE para punto de control (tabla 64)

    - 0 . 8 6 1 .

    0.758= 10 (0.50)-0.~6 = 1.38 %/%

    7 = 1.02 - 0.323 (r&)

    1.0 min := 1.02 - 0.323(0.50)

    = 1.16min

    Para calcular las respuestas, se debe resolver para la variable de salida del diagrama debloques de la figura 6-2 1.

    Entrada de perturbacibn

    W G(s)-z

    U(s) 1 + G(s) G,(s);U(s) = f

    Entrada del punto de control

    C(s)-= G(s) G,.(s)

    R(s) I + G(s) G,.(s)'R(s) = L

    s

    Sin embargo, la presencia de tiempo muerto en la funcin de transferencia POMTM [G(S)]hace imprctico invertir la transformada de Laplace mediante la expansin de fraccionesparciales. Un mtodo ms prctico es resolver las ecuaciones del circuito con una compu-tadora digital; las ecuaciones diferenciales para este circuito son las siguientes:

    proceso POMTM

    T y + c(r) = K [m(t - t,,) + U(r - ro)]

    Controlador PID

    e(t) dt + Q y 1e(r) = r(f) - c(r)

    Entrada de disturbio/

    / U(r) = u(t) (escalh unitario)

  • 294 DISEO DE SISTEMAS DE CON,TROL POR RETROALIMENTACIN

    Entrada del punto de control ).

    r(r) = u(t) (escaln unitario)

    Condiciones iniciales

    c(O) = 0

    m(O) = 0

    Para resolver estas ecuaciones, Rovira@) utiliz un programa de computadora, con elcual gener las grficas de respuesta que se muestran en la figura 6-22. La grfica dela figura 6-22a es para un cambio de escal6n unitario en la perturbacin; se observaque con los parmetros de ajuste para perturbacin se obtiene una desviacin inicial lige-ramente menor, y un retorno al punto de control nn& rpido .que con los parmetrosde ajuste para el punto de control. La figura 6-226 muestra un cambio de escaln unitarioen el punto de control, y se observa que con los parmetros de ajuste se obtiene un sobre-paso significativamente menor para el punto de control, menos comportamiento oscilatorioy un tiempo de asentamiento menor que con los parmetros de ajuste para perturbacin.Como se esperaba, el desempeo,de cada conjunto de parmetros de ajuste es mejor enla entrada para la cual se disean. Las respuestas que se obtuvieron son resultado directode la alta ganancia y del tiempo de reposicin corto que se logran con el ajuste paraperturbacin.

    Ajuste de controladores por muestreo de datos. .

    La tendencia actual de la industria es hacia la implantacin de funciones de control me-diante la utilizacin de microprocesadores (controladores distribuidos) 1 ~minicomputado-

    ,_ < I

    2 . 0 0 I I I I :- ,

    1.00 - t,/r=0.5mI3

    Ajuste para cambios del punto de control

    ::cz

    0.00f ,..: . . ~

    Ajuste para perturbaciones

    -l~ooo.ooI I .I

    2.00 4.00 6.00 8 . 0 0 1 0 . 0 0

    Tiempo

    Figura 6-22~. Respuesta a un cambio en la per turbacin; perturbacip cocontrol. El controlador es PI y se utiliza criterio de IAE minima. (Se rebibliogrfica 6 con la debida autorizacin).

  • AJUSTE DE LOS CONTROLADORES POR RETROALIMENTACIN 295

    Ajuste para perturbaciones

    Aluste para cambios del punto de control

    tO/T=0.5

    - ~ooo.ooI

    2.00I I I

    4.00 6.00 8.00 1 0 . 0 0

    T i e m p o

    Figura 6-22b. Respuestrde un cambio en el punto de control; perturbacin contra ajuste del puntode control. El coritrolador es PI y se utiliza criterio de IAE mnima. (Reproduccin autorizada dela referencia bibliogrfica 6).

    ras y computadoras digitales regulares. La caracterstica comn de estos equiposes que 1s clculos de control se realizl a intervalos regulares de tiempo T, el tiempode muestreo; esto contrasta con los instrumentos analgicos (electrnicos y neumti-cos) donde ls funciones w+ realizan continuamente en el tiempo. El muestreo tambines caracterstico de algunos analizadores, por ejemplo, los cromatgrafos de gas enlnea., , , > i j,

  • 296 DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL POR RETROALIMENTACIN

    /I

    . .

    I

    i

    1 1I

    /I

    I l i.i iII

    I I I I 1> 6T 7T 8T .9T 10T 1lT f

    Figura 6-23. La respuesta de un controlador por muestreo de datos (computadora) se mantieneconstante durante cada perodo de muestreo Ti , . . , : :

    _

  • SNTESIS DE LOS CONTROLADORES POR RETROALIMENTACIN 297

    de prueba escaln o curva de reaccin, del proceso. Tambin se present un conjunto defrmulas de ajuste para el mtodo de ganancia ltima y tres conjuntos de frmulas paralos parmetros del modelo de primer orden ms tiempo muerto. Se observ que, para unproceso dado, con los cuatro conjuntos de frmulas de ajuste se obtienen parmetros delcontrolador que se encuentran en el mismo encajonamiento; estos parmetros de ajusteson nicamente valores iniciales que se deben ajustar en el campo, de manera que el con-trolador coincida con la personalidad verdadera del proceso especfico. Se debe recordaruna observaci6n que se hizo al principio de esta seccin: segn se expuso en los captulosanteriores, la mayorfa de los procesos no son lineales, y sus caractersticas dinmicas (i, e.,ganancia ltima y frecuencia ltima, parmetros del modelo POMTM) varan de un puntode operacin a otro, de aqu se concluye que, en el mejor de los casos, los par-metros del controlador a los que se llega mediante el procedimiento de ajuste, sonun arreglo entre el comportamiento lento en un extremo del rango de operacin y elcomportamiento oscilatorio en el otro; en resumen, el ajuste no es una ciencia exacta.Sin embargo, tambin se debe tener en cuenta que con las frmulas de ajuste se tieneuna visin de la manera en que los diferentes parmetros del controlador dependen delos parmetros del proceso, tales como la ganancia, la constante de tiempo y el tiempomuerto. *

    6-4. SNTESIS DE LOS CONTROLADORES POR RETROALIMENTACl6N

    En la seccin precedente laatenci6n se centr en el ajuste de un controlador por retroali-mentacin mediante el ajste de los parmetros en la estmctura de control proporcional-integral-derivativa (PID). En esta seccin se har un enfoque diferente del diseo delcontrolador, la sfntesis del mismo:

    Dadas las funciones d trrrsferencia de las componentes de un circuito de retroali-mentacin, se debe sintetizar el controlador que se requiere para producir una res-puesta especfica de circuito cerrado.

    A pesar de que no se tiene la seguridad de que el controlador resultante del procedi-miento de sntesis se pueda construir en la prctica, se espera obtener alguna visin queaporte elementos para la seleccin de los diferentes modos del controlador y su ajuste.

    Desarrollo de la frmula de sntesis del controlador

    A continuacin se considera el diagrama de bloques simplificado de la figura 6-24, enel cual las funciones de transferencia de todas las componentes del circuito, diferentes delcontrolador, se concentran en un solo bloque, G(S); del lgebra de diagramas de bloquesse tiene que la funcin de transferencia ra el circuito cerrado es

    pC(S) G,.(s) G(s)-=R(s) 1 + G,(s)G(s)

    (6-50)

  • 298 DISEO DE, SISTEMAS DE CONTROL POR RETROALIMENTACI~N

    Figura 6-24. Diagrama de bloques simplificado para ikk sintesis deun controlador.: I I

    -. TEntonces, a partir de esta expresin, para la funcin de transferencia del contrdador sepuede resolver: , :

    G,.(s) = J- .C(.s)/R(.s)

    G(s) 1 - [C(s)/R(s)]

    sta es la frmula de sntesis del controador, la cual da por resultado la funcin de trans-ferencia del controlador GJs), a partir de la. funcin de transferencia del proceso f&)y la respuesta de circuito cerrado que,se especifique, C(s)lR(s). Para ilustrar la formaen que se utiliza esta frmula, a continuacin se considera la especificacin del controlperfecto, es decir, C(s) = R(s) o C(s)lR(s) = 1; el controlador que resulta es ,

    1G,(s) = L.-

    1 1

    - j : i G(s) 1 - 1 = G(s)

    Esto indica que, para que la salida sea siempre igual al. punto de control, la gananciadel controlador debe ser infinita; en kas palabras, el control perfe@o .nQ se puede lograrcon la retroaliment@n, debido a que cualquier correccin por r&oaliment+n se basaen un error.

    De la frmula de sntesis de controlador, ecuacin (6-51), resultan diferentes con-troladores para diferentes combinaciones de especificaciones de respuesta de circuitocerrado y funciones de transfererkia de proceso. A continua&+ se aborda ca& UBO deestos elementos a la vez.. i

    Especificacin de la respuesta de circuito cerrado

    La respuesta de circuito cerrado ms. simple que se puede lograr es la de retardo deprimer orden, en ausencia de tiempo muerto en el proceso; esta respuesta es la que semuestra en la figura 6-25, y resulta de la funcin de transferencia de cicuito cerrado:

    C(s) 1 .,. ,. \-=R(s) 7,s -t- 1

    (6-53)

    ;1 . . Ldonde 7c es la constante de tiempo de la respuesta de circuito cerrado y, si se ajusta, seconvierte en el nico parmetro de ajuste del controlador sintetizado; mientras ms pe-quea es T,, el ajuste del controlador es ms estricto.

  • SiNTESIS DE LOS CONTROLADORES POR R6TR6ALIMENtACI~N 299

    Figura 6-25. Especificacin de retardo de primer orden para la respuesta de circuito cerrado deun controlador sintetizado. i

    / * 1 +--

    TS

    ste es un controlad& PI con el siguiente ajuste:

    K,.= ,UT,. + 41)

    7, = 7 (6-67)

    La aproximacin de primer orden por expansin de Taylor slo es vlida mientras eltiempo muerto es pequea en comparacin con velocidad de respuesta en circuito cerra-do; en otras palabras, un controlador PI sin compensacin de tiempo muerto es una buenaaproximacin de un controlador sintetizado, siempre y cuando el tiempo muerto del pro-ceso sea pequeo en comparacin con la constante de tiempo. En general, ste es el casocuando el proceso no tiene un tiempo muerto verdadero; con e tiempo muerto del modelo setoma en cuenta principalmente la parte de orden superior del proceso.

    La conclusin ms importante que se tiene de las relaciones de ajuste de la ecua-cin (6-67) es que, al incrementar el tiempo muerto, resulta una reduccin en la gananciadel controlador para una cierta espeGficaci6n de la consta?& de tiempo en circuito cerrado.Si se comparan las ecuaciones (6-57) y (6-67), se observa que con la presencia del tiempomuerto se impone un lmite-a la ganancia del controlador; en otras palabras, para elproceso de primer orden sin tiempo muerto, ecuacin (6-59, la ganancia se puede aumentarsin lmite para obtener respuestas (7 c - 0) cada vez ms rpidas; sin embargo,,para pro-cesos con tiempo muerto efectivo, ecuacin (6-67), se tiene el siguiente lmite para laganancia del controlador:

    Fc,,ax = lm = &c-o K(T, + 4,)

    (6-68),I

    Conforme se incrementa la ganancia del controlador, la respuesta en lazo cerrado se des-va de la respuesta de primer orden especificada; esto es, del incremento de la gananciapuede resultar al final un sobrepaso e incluso una inestabilidad de la respuesta de circuitocerrado, debido a que el error de la aproximacin de primer orden por expansin de Tay-lor se incrementa con la v locidad de respuesta, ya que s se incrementa con la velocidad.(Se recordar que s, varia le de la transformada de Laplace, est en unidades recprocasde tiempo o frecuencia y, IT tanto, mientras ms altas son las velocidades de respuesta ofrecuencias, mayor es la magnitud de s.)

  • 304 DtSEO DE SISTEMAS DE CONTROL POR RETROALIMENTACt6N

    Modo derivgtivo para procesos con tiempo muerto

    Si se utiliza un modelo de segundo orden ms tiempo muerto para aproximar un procesode orden superior, se sigue un proceso similar al que se utiliz para el modelo. de primerorden ms tiempo muerto con que se obtuvo el controlador sintetizado, el cual es equiva-lente a un controlador PID industrial, ecuacin (6-59); esta deduccin se deja como ejer-cicio para el lector. Sin embargo a causa de que es difcil determinar los parmetros deun modelo de segundo orden, es ms atractivo derivar las frmulas de ajuste para uncontrolador PID con base en los parmetros de un modelo de primer orden ms tiempomuerto, lo cual se puede hacer mediante la utilizacin de una aproximacin diferente altrmino en tiempo muerto de la ecuacin (6-63). La aproximacin de primer ordende Pad a la exponencial, la cual se presento anteriormente, se expresa con

    (6-69)

    Si se efecta la divisin indicada en esta expresin, resulta la siguiente serie infinita:

    - =

    1 +2s1 - tos + ;(r,s)2 - -&s)? + (6-70)

    Por comparacin con la ecuacin (6-64), se notar que esta expresin coincide en los tresprimeros trminos con la expansibn de la exponencial por series de Taylor y, por tanto,es un poco ms precisa que la.aproximaci6n que se da en la ecuacin (6-65). Esto significaque la ecuacin (6-69) es ms cercana a la expresin exponencial verdadera para -procesoscon tiempo muerto superior y razn de tiempo constante.

    Se substituye la ecuacin (6-69) en la (6-63) y se simplifica para obtener el siguientecontrolador sintetizado:

    (6 -71)

    donde:

    7,. h* = 2(T,. + ro)

    ste es equivalente a un controlador PID industrial, ecuacion (6-59), con rmetios deajuste:

  • sbmsts OE Los ~ONTR~LAD~~WS POR FETR~FMVIENTACIN 305

    Kc - - . 7, = 7 32WT, + ro)

    70 =2

    (6-72)

    Aunque en la funcin de transferencia del controlador industrial existe un trmino de re-tardo para evitar la amplificacin de ruido de alta frecuencia, generalmente la constantede tiempo r es fija y mucho ms pequea que un. Para interpretar el significado del tr-mino (1 + rs), primero se debe observar que para tiempos muertos pequeos (t, 4 7,)

    to71 = -2

    (6-73)

    De la substitucin de esta ecuacin en la (6-71), resulta exactamente el mismo controla-dor PI que expresa la ecuacin (6-66), con lo cual se confirma la conclusin anterior deque el controlador PI es el adecuado cuando el tiempo muerto es corto. Para tiempos muertoslargos y control estricto (7, - 0), el valor de r se convierte en

    7 =zc,(-j- . .I 2 . .

    (6-74)

    _ ._

    Por lo,tanto,.paratiempos muertos largos, rnienfras nukestrictoes el control, ms cercanoes, el.algoritmo sintetizado,,.ecuaci6n(6,71), al controlador industrial PIDcuyos parme-tros de ajuste son los de la> ecuacin (6-72). .,

    Es interesante notar que el tiempo de derivacin de la ecuacin (6-72) es exactamenteel mismo que el obtenido mediante las formulas de Ziegler-Nichols para razn de asenta-miento de un cuarto (ver tabla 6-2). Sin embargo, la ganancia proporcional para raznde asentamiento de un cuarto es 20% ims alta que la ganancia mxima por sntesis(rC = 0), y el tiempo de integracin de la frmula de sntesis se relaciona con la cons-tante de tiempo del modelo; por su parte, en la frmula para la razn de asentamientode un cuarto se relaciona con el tiempo muerto del modelo.

    En la tabla 6-5 se resume la seleccitin de modos del controlador y parmetros deajuste que resulta del procedimiento de sntesis para la respuesta de Dahlin. El hechode que la ganancia del controlador sea una funcin del parmetro de ajuste rC es tantouna ventaja como una desventaja de las frmulas de ajuste que se obtienen con el proce-dimiento de sntesis. Es una ventaja porque permite al ingeniero lograr una respuestaespecfica mediante el ajuste de un solo parmetro, la ganancia, sin importar cuntosmodos existan del controlador; sin embargo, la ganancia ajustable es una desventaja, por-que con las frmulas no se obtiene un valor encajonado para sta. Para remediar talsituacin, se dan las siguientes guas:

    IAE mnima. Para entrada de perturbaciones, con rC = 0 se minimiza aproximadamentela IAE cuando tJr esta entre 0.1 y 3 para loscontroladores PI (ro = O), y entre 0.1y 1.5 para los controladores PID.

    ,PPa a cambios en el punto de control, con las siguientes

    frmulas se obtiene una IAE aproxmadamente mnima cuando to/r esta en el rangode 0.1 a 1.5: ; :.

  • 306 DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL POR RETROALIMENTACl6N

    Tabla 6-5. Modos de controlador y frmulas de ajusJe para sntesis Dahlin.

    PahmetrosProceso Controlador de ajuste

    G(s) = K I : .

  • SNTESIS DE LOS CONTROLADORES POR RETROALIMENTACIN 307

    Sobrepaso del 5%. ..Para entradas delpunto de control es deseable tener una respuestacon sobrepaso de 5 % del valor del cambio en el punto de control. Para este tipo de res-puesta, Martin y asociados@) recomiendan que rC se iguale con el tiempo muerto efectivodel modelo POMTM, de lo cual resulta la siguiente formula para la ganancia del controladorcon que se produce un sobrepaso de 5% de los cambios en el punto de control:

    0.5 7K,.,= - -

    0K fu(6-76)

    Al comparar esta frmula con la de la tabla 6-2, se observa que esto es aproximadamente40% de la ganancia que se requiere en el PID para razn de asentamiento de un cuarto(sobrepaso del 50 %) .

    Un punto interesante acerca del mtodo de sntesis de controladores es que, si loscontroladores se hubieran diseado desde un principio de este modo, en la evolucinde los modos de los controladores se habra seguido el patrn 1, PI, PID, el cual se deducea partir de la consideracin del modelo de proceso ms simple hasta el ms complejo.Esto contrasta con la evolucin real de los controladores industriales: P, PI, PID, es de-cir, del controlador ms simple hasta el ms complejo.

    Una visin importante que se puede obtener con base en el procedimiento de sn-tesis del controlador es que el efecto principal de aadir el modo proporcional al modointegral bsico, es compensar el ratardo ms largo o dominante del proceso; mientrasque el del modo derivativo es compensar el segundo retardo ms largo o el tiempo muertoefectivo del proceso. El procedimiento entero de sntesis se basa en la suposicin deque la especificacin principal de la respuesta de circuito cerrado tiene como funcineliminar la desviacin o el error de estado estacionario, lo cual hace que la accin integralsea el modo bsico del controlador.

    Ejemplo 6-14. Para el intercambiador de calor del ejemplo 6-5 se deben determinarlos parmetros de ajuste mediante la utilizacin de las frmulas que se obtuvieron conel mtodo de sntesis de controlador. Se deben comparar estos resultados con los obtenidosmediante las frmulas de ajuste de IAE mnima para entradas del punto de control.

    Soltlcidn. Los parmetros POMTM que se obtuvieron para el intercambiador de calormediante el mtodo 3 en el ejemplo 6-9 sn

    K = 0.80 Ql% 7 = 33.8 s f,, = 11.2s

    Mediante la substitucin de estos valoresen la ecuacin (6-71) se obtiene la funcin detransferencia del controladoi

    :

    sintetizado:,>, I

    G,(s) = 33.8 1 + 5.6s0.8O(T, + 1 I .2)

    I +5.6~~

    7, + I 1 .2s

  • 308 DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL POR RETROALIMENTiACIN

    Puesto que en este caso el tiempo muerto es mayor que-un cuarto de la constante de tiempo,lo recomendable es utilizar un controlador PID. La ganancia de IAE mnima~para pertur-bacin se obtiene con T= = 0: :3

    > ./

    K, = 33.8/

    (0.80)( Il .2)= 3.8 %l%

  • SNTESIS DE LOS CONTROLADORES POR RETROALIMENTACIN 309

    Se deben comparar las respuestas de un controlador PI a un cambio en el punto de controltipo escaln, con ajuste mediante a) la razn de asentamiento de un cuarto de Ziegler-Nichols, b) IAE mnima para cambios en el punto de control, c) sntesis de controladorcon ajuste de ganancia para un sobrepaso del 5%, Se utilizarla figura 6-18 para obtenerlos parmetros del modelo de primer orden ms tiempo muerto (POMTM).

    Solucin. El primer pas es aproximar la funcin de transferencia de segundo ordencon un modelo POMTM; se empieza por factorizar el denoniidador en dos constantes detiempo:

    (7,s + 1)(72s + 1) = T,T$ + (7, + 72)s + 1

    = s2 + 4s f 17172 = 1 7, + 72 = 4

    T,+ - 4 = 0 - =or + 1 071

    Ti 47,

    _ 4+m7, = n = 3.73 min

    72 = 4 - 3.73 = 0.27 min,

    Entonces, la funcin de transferencia se puede escribir como

    1 oyO.26~

    '(') = (3.73s + 1)(0.27s + 1)

    El segundo paso consiste en aproximar el retardo de segundo orden con un modeloPOMTM, si se usa la figura 6-18:

    . t; = Ti. El tiempomuerto efectivo del modelo POMTM se debe aadir al tiempo muerto del proceso real,para obtener el tiempo muerto total;.

    / t. = 0.26 + t = 0.53 min

    Entonces, los parmetros POMTM son

    K = 1.0 7 = 3.73 min t. = 0.53 min

  • 310 DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL POR RETROALIMENTACIN

    El tercer paso es calcular los parmetros de ajuste a partir de las~frmulas que seespecificaron. Para un controladar PI: j .

    a) Razn de asentarhientd de un cuarto {de la tablh 6-2)

    = 6.3 %/% (16% P.B.)

    7, = 3.33to = 3.33(0.53) = 1.76 min

    b) IAE mnima para cambios en el punto de control (de la tabla 6-4)

    = 4.1 %I% (24.6% P.B.)

    = 1.02 - 0.323(0.53/3.73)= 3.83 min

    c) Sntesis del controlador con ajuste para un sobrepaso del 5% (de la ecuacin 6-67).

    7, = 7 = 3.73 min

    De la ecuacin (6-76) se tiene que, para un sobrepaso del 5%

    i:.

    c * fo = 0:53 min3 . 7 3

    Kc 2(0.53)3 = -L = 3.57 %/% (28.4% PB)

    ,< .

    El ltimo paso cpnsiste en comparar las respuestas al escaln unitario en el puntode control, mediante la utilizacin de cada uno de estos tres juegos-de parmetros de ajus-te. Martn y asociadosC8) publicaron la solucin a este problema, misma que obtuvieronmediante la utilizacin de una comp$adora analgica para ~~~~lar el siguiente sistemade ecuaciones (ver figura 6-22, dondk aparece el diagrama ,a,blogues correspoidiente):

    :

    d%(t)8, . )

    - f 4y + c(r) = m(tdt2 - 0.26) .c(O)=O

    m(Q = K,[dt~ + !-\e(t)dt] m(O) = 0 /

    e(r) = r(r) - c(t) r(oj = 0; L

    / r(t) = 1 for t > 0

  • PREVENCIN DEL REAJUSTE EXCESIVO 3 1 1

    Ajuste para la razn de asentamiento de un cuartorc/-$E mnima pa;a cambiar el punto de cont;ol

    -9;!iiSintesIs (5% del sobrepaso)

    .- zj I 4. . b. : 28 1 0 12

    Tiempo, min. , t

    Figura 6-27. Respuesta de circuito cer&do, de un& planta de segundo orden y controlador PI a uncambio en el punto de control. Los parmetros del modelo son: r = 3.7 min, r, = 0.53 min,K = 1. (Reproduccin autorizada de la referencia bibliogrfica 8, 0, ISA, 1976).

    Se utiliz una aproximacin estndar dePad para simular el tiempo muerto.En la figura 6-27 se ilustran las repuestas que resultan. En la comparacin de las

    respuestas se observa que con las f&&las ie sntesis del controlador para un sobrepasodel 5 % se obtiene una respuesta muy cehna a la respuesta de IAE mnima para el punto decontrol. Estas respuestas son superiores a la. de razn de asentamiento de un cuarto,en trminos de estabilidad y tiempo de,sentamiento para cambios en el punto de control.

    En esta seccin se present la tcnica de sfntesis. De los controladores sintetizados resul-tantes se obtuvo una nueva visin de las funcines de los modos proporcional, integral yderivativo; tambin se obtuvo un conjutito de relaciones de ajuste para los controladores PID.

    /

    1 . i p.>

    Figura 6-+., Tanque .calen,tado por v+por,

  • PREVENCl6N DEL REAJUSTE EXCESIVO 313

    Sobrepaso debido a

    3 - -la vly~la

    Cerrado0 t

    . Figura 6-2% Reajuste excesivb al inicializar el tanque calentado p& vapor.

    lador esta al valor de la presin de alimentacin, que es de 20 psig. A pesar de que elcontrolador se satura, la vlvula de vapor se mantiene completamente abierta; .esta estra-tegia s la correcta para calentar en tiempo mfnimo el contenido del tanque hasta el puntode controi. El problema de exceso empieza a aparecer cuando la temperatura del tanquealcanza el punto de control (punto de rdgimen, refere-ncia o fijaci6n) y en ese instante lasalida del controlador es

    m(r) = Z + K,.e(t) + -. e ( r ) drI71.

    = 20 psig

    Esto se debe a que, con la accin de integracin, la salida del controlador se lleva alvalor de la presin de alimentacin. (Se notara que esto equivale a igualar con 20 psigel valor de desviacin y el t6rmino de integracin a cero.) Puesto que la vlvula de controldel vapor no se empieza a cerrar sino hasta que la salida del controlador alcanza 15 psig,se requiere un error negativo grande para provocar un descenso de 5 psig en la salidadel controlador. Por ejemplo, cuando se tiene nicamente accin proporcional y se suponeuna banda de proporcionalidad de 25 % (K, = 4), el error mnimo requerido para empezara cerrar la vlvula es

    M = 20 + K,.e psig

    m - 20e = - =

    K,psig (- 10.4% de rango)

    ste es un error significativo e indica que la temperatura continuar subiendo por arribadel punto de control mientras la vlvula de vapor permanezca completamente abierta; pa-

  • 314 DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL POR R~TROALIMENTACIN

    recer que el controlador no responde a la elevacin en la temperatura, entonces se diceque est excedido .

    Con la accin de integracin se puede empezar a,,reducir la salida del controladortan pronto como el error se hace negativo, de manera que el error puede alcanzar un picocon valor inferior al que se estim con anterioridad (- 10.4%). Sin embargo, si no fuerapor la accin de integracin, en primer lugar, el valor de desviacin TFi no hubiera llegadoa 20 psig. Como se vio en el captulo 5, la frmula para un controlador proporcional es

    m(t) = iii + K+?(r)

    Si se considera un valor de desviacin Zi de 9, con el controlador proporcional se empiezaa cerrar la vlvula de vapor antes de que la temperatura alcance el punto de control. Porlo tanto, la accin de integracin es la causa de que exista un gran sobrepaso de tempera-tura, como se ilustra en la figura 6-28b y, puesto que ese efecto es allente indeseable,jcmo se puede evitar?

    Una forma de evitar el gran sobrepaso que ocasiona el reajuste excesivo es man-tener el controlador en manual hasta que la temperatura llegue al punto de control, ycambiarlo entonces a automtico. En este caso la vlvula de vapor se mantiene comple-tamente abierta mediante el ajuste manual de la salida del controlador,a 15 psig, conlo cual se garantiza que la vlvula de control se comenzar a cerrar tan pront?como elcontrolador se cambia a autmtico. Una segunda alternativa es instalar un limitador dela salida del controlador para evitar que llegue a valores ms all del rango de la vlvulade control, es decir, arriba de 15 psig o abajo de 3 psig, pero, Les que esto funciona? Pararesponder esta pregunta se divide el diagrama de bloques del controlador en sus respectivaspartes. La funcin de transferencia del controlador PI se expresa mediante

    / M(s) = K, 1 + & E(s)[ 3I

    = K,.E(s) + M,(sj

    donde: i r

    , r7i

    -,m -,,.*c:

    J$, tTjs + 1) i .< i, . ... : j::

  • TCNICA DE LUGAR DE RAZ 343

    0

    FTCA =

    1.Kl s,d

    ikl (. 1Ti

    1 ,( 1

    S+-j=l ri

    n>

    donde:

    m

    K n 7;K - :;-, *

    , .

    (7-6)

    De la ecuacin (7-6), se observa inmediatamente que los polos son iguales a - l/rj,para J = 1 a n; de manera, semejante, los ceros se.expresan con,- l/ri, para. i = 1 am.y ,a s = 0. Estas ,definiciones se util@an frecuentemente en el estudio de las tcnicasde lugar de raz y respuesta en frecuencia.

    7-1 i TCNICA ,DIEi LlJJAR DE RAZ

    El lugar de rafz es una tcnica grfica que consiste en graficar las raices de la ecuacincaracterstica, esto es, los eigenvalores, cuando una ganancia o cualquier otro de los par-metros del circuito de control cambia. En la grfica que resulta se puede apreciar de unvistazo si alguna rafz de la ecuacin caracterfstica cruza el eje imaginario del lado izquierdodel plano s al lado derecho, lo cual sera indicacin de alguna posibilidad de inestabilidaden el circuito de control.

    A continuacin se presentan varios ejemplos de la manera en que se puede dibujarel lugar de raz; posteriormente, con base en estos ejemplos, se darn las reglas generalespara la graficacin. Con estos ejemplos se logra que se entiendan mejor los efectos delos diferentes parmetros del circuito de control sobre la estabilidad del mismo; dichosefectos ya se presentaron en el capitulo 6 y, por lo tanto, lo que sigue sirve tambien comorepaso para el lector.

    ;^-_. ..Ejemplos

    Ejemplo 7-1. En el diagrama de bloques de un determinado circuito de control comoel que se muestra en la figura 7-2, se tiene la siguiente ecuacin caracterfstica para el sistema

    K + (3s + f)(.s + I) = 0 (7-7)

    Y

    FTCA = K,,: /;, _ . 43s + I)(s -4- 1)

  • DISEO CLSICO DE UN SISTEMA DE CONTROL POR RETROALItiENTACI6N

    Figura 7-2. Diagrama de bloques del circuito de control -ejemplo 7- 1.

    Se notar que en esta FTCA existen dos polos, - ll3 y - 1, y que no hay ceros. A partirde la ecuacin (7-7) se obtiene el siguiente polinomio en s

    3s: + 4s + (1 + K, ) = 0 (7-8),_ : :, ; .

    Puesto queeste polinomio es de segundo orden, tine dos rafees. Se utlizala f&mMa.general para resolver ecuaciones euaditics, ohtener las rafces, y se desa&lla la sigienteexpresin: ,.j li.-

    Kcw _ -1-V

    Figura 7-3. Diagrama del lugar de raz para el sistema de la figura 7-2.

  • T&XlCA DE LUQAR DE RAiZ 345

    En la ecuacin 7-9 se observa que las rafces de la ecuacin, caracterstica dependen delvalor de K,, lo cual equivale a decir que la estabilidad del circuito de control dependedel ajuste del controlador por retroalimentacin. Naturalmente, en el captulo 6 se vioque tambin ste era el caso. Los lugares de las raices se determinan mediante la asigna-cin de valores a K,; en la figura 7-3 se muestra la grfica de las races o lugar de raz,de la cual, al examinarla, se pueden aerender varias cosas:

    1 . El punto ms im&tante es, que este circuito de control particular nunca se vuelve. _inestable, ,,no importa $6 tan grande se haga el valor de KV Conforme se incre-menta el valor deKi, la respuesta del circuito se hace ms oscilatoria o subamor-tiguad, pero jams irkstable. La-respuesta subamortiguada se reconoce porquelas races de la ecuacin caracterstica se alejan del eje re+ conforme se incre-menta Ki: El hecho de que,un circuito de control con una ecuacin pura de se-gundo orden (o primer orden)no se !&elva inestable; se demostr6tambiCn en elcaptulo 6, mediante los metodos de prueba de Routh y de substitucin directa.

    2. Cuando K, = 0, los lugares derafz s originan en los polos de la ETCA: - 1/3y -1.

    - , /.

    3. La cantidadde lugaresde raz o ramas es iguai al nmero de polos de la FTCA,n = 2. .i, !,

    4. Conforme se incrementa K,, los lugares de raz tienden a infinito.

    Ejemplo 7-2. Si ahora se Ipone que la combinacin de sensor-transmisor en el ejem-plo anterior tiene una constante de tiempo de 0.5 unidades de tiempo, el diagrama de blo-ques es el que se muestra en la figura 7-4, y la nueva ecuacin caracterstica y funcinde transferencia de circuito abierto son

    .Ecu+in caracterktica

    4 + (3s + I)(s + 1)(0.5.s + 1) 7

    0

    3

    0

    1.5.~ + 5~; + 4.5s + (1 + K , . ) = 0

    Figura 7-4. Diagrama de bloques: del circuito de control -ejemplo 7-2.

  • En este caso la ecuacin caracterstica es un polinomio de tercer orden y, por lo tan-to, el clcu!o de las races no es directo, se debe utilizar el mtodo de Newton que seestudio en el cafiftulo 2, o el programa de computadora del p6ndice D; sin embargo, comose ver: kiste un mtodo ms faci para trazar el lugar de rafz 8in necesidad de calcularninguna rafz .

    , c

    En la figura 7-5 se muestra el diagrama de lugar derafz y,, nuvamente,se puedenaprender varias cosas de la simple observacin de ste.. II

    1 .

    : *I

    El aspecto ms importante es que este sistema de control se puede volver inesta-ble. Con algunos valores de K,,' en este caso Kc i.14, los lugares de rafz cruzanel eje imaginario; para valores de K, mayores de 14, lasraces de Ia ecuaci6n ca-racterkuca estarn en el lado derecho del plano s, lo que ocasiona que el sistema

    / ,- ./

    . ,;: _

    ..I ;

    ,'

    346 DISEO CLASICO DE UN SISTEMA DE CONTROL POR RETf3OALIMENTACIN

    FTCA = KI

    (3s,+ I)(s +~l)(oss + 1) i

    con polos: -i ( -I,-?;~ n=3 _< , !

    ceros: ninguno; m = 0 ,

    Kp20 Kc=10 Kc'2 Kc'OI I .l I I

    -4' Kc=14-3 Kc=1-2 12

    @PW 7-5. Diagrama del lugar de ratz para el sistema de la figura 7-4.

  • TCNICA DE LUGAR DE RA/2 : * 347

    1 de control sea inestable. El valor de K, con que al lugar de rah cruza el eje ima-ginario se conoce como ganancia ltima, K,,, lo que da lugar a un sistema condi-cionalmente estable, tal como se vio en el capitulo 6. La frecuencia ltima, w,,, seexpresa por la ordenada en que la rama cruza el eje imaginario. Cualquier circuitocuya ecuacin Ckrct&fstica sea de tercer orden o superior se puede volver inesta-ble; los sistemas puros de primer o segundo orden no se vuelven inestables, comose vio en e.Pejemplo 7-1. Cualquien si8tema con tiempo ,muerto se puede~xolverinestable, como se ver en este captulo.

    2. Con K, = 0, los lugares de raz tienen su origen, nuevamente, en los polos de la,, FTCA - 1/3, ?.~:l,it 2:: : ).

    3. Nuevamente, la cantidad de lugares de rah! es igual al nmero de polos de la FTCA,g n.= 3. j I 3 ,_ 1 ,:.

    ir 4. Finalmente9 conforme se incrementa K,,. nuevamente los lugares de rafz se apro-ximan,& infinito. .

  • 348 DISEO CLSICO DE UN SISTEMA DE CONTROL POR RETROALIMENTACIN

    -Puesto que la ecuacin caracterstica es.de segundo orden, sus ,races se determinan me-diante la f6rmula general para resolver ecuaciones cuadrticas , ,

    0 ,

  • TCNICA DE LUGAR DE RAZ . . 349

    trmino de retardo se remueve Jaestabilidad de lossistemas de control, comose. vio ,en .el ejemplo 7-2.

    2., Los lugares de raz tienen su origen en los polos de la FTCA: - 1/3 y - 1, locual es similar en los ejemplos anteriores.

    3. La cantidad de lugares de raz es igual al nmero de polos de la FTCA, n = 2.ste es tambin el caso en los ejemplos anteriores.

    4. Conforme se incrementa K,, uno de los lugares de raz se aproxima al cero dela FTCA, - 5, y los otros se aproximan a menos infinito.

    Reglas para graficar los diagramas de lugar de raz

    En los ejemplos anteriores se mostr el desarrollo de los ~agrarnas de lugar de raz. Mien-tras la ecuacin caracterstica sea de segundo orden, es bastante facil desarrollar el dia-grama, pero en sistemas de orden superior, la obtencinde las races de la ecuacincaracterstica se vuelve bastante tediosa.

    Se han desarrollado varias reglas para ayudar al ingeniero a trazar los diagramas delugar de raz; para utilizar tales reg)as, la ecuacin caracterstica y la funcin de transfe-rencia de circuito abierto se escriben en la siguiente forma:

    Ecuacin caracterstica

    (7-10)

    111 :K n 6s -,z,)

  • 360 DISEO CLASCO DE UN SISTEMA DE CONTROL POR RETROALIMENTACl6N

    Las reglas que sepresentn aquse dekarrollarbn con base en el hecho de que,el lugarde rafz debe satisfacer lo que se conoce como condiciones de magnitud y ngulo. Conla finalidad de explicar en que consisten dichas condiCiones, se considera nuevamente laecuacin caracterstica que expresa la ecuacin (7-10): la cual tambin se puede escribircomo sigue: ,. . . ,/

    /: K ; (s - zi)

    3

    i=t =n - 1

    Puesto que la eduacin es de naturaleza compleja, se puede separar en dos partes: magni-tud y ngulo de fase; si se ializa la multiplicacin y la divisin j en forma polar, comose present en la seccin 2-3, se.,-obtinnk 1

    -, ;

    : . . . .I. , K j; !s:- iI =,fi, Is - Pjl

    1. (7-1;)

    ..i , ; > . .Y

    34 (. - P,) = -T * 2d (7-13)

    donde k es un entero positivo con valores k = 0, 1, 2,. . ., n-m-l.La ecuaci6n (7- 12) se conoce coino condicin de magnitud y la ecuacin (7- 13) como

    condicin de ngulo. Las races o eigenvalores de la ecuacin caracterstica deben satisfa-cer ambos criterios.

    La condicin de ngulo se utiliza para ubicar los lugares de raz en el plano s; la demagnitud se usa entonces para calcular el valor de K , con el que se le asigna a la razun punto especfico en el diagrama de lugar de raz.

    Mediante un ejemplo simple se muestraahora cmo se utilizan las condiciones demagnitud y de ngulo para localizar una raz, para ello se considera la figura 7-8 en lacual se ilustra un sistema donde hay dos polos de la FTCA, los cuales se marcan con x,y un cero de la FTCA, el cual se marca como (k Se,.elige un valor de s, por ejemplosl, y se trata de determinar si es una raz y, por tanto, es parte del lugar de raz. El pri-mer paso consiste en verificar la condicin de ngulo, para esto se trazan segmentos delnea que unen al punto s1 con cada polo y cada cero, como se ve en la figura 7-8; enton-ces se mide el ngulo que forma cada uno de estos segmentos con el eje real; si se satisfacela condicin de ngulo, el punto s1 forma parte del lugar de raz; si no se satisface lacondici6n de ngulo, se debe elegir otro punto en el plano s y probar -ste es un procedi-miento de ensayo y error. Con,esto ~&aumentah importancia de la utilizacin de lasreglas que se presentan.- Una vez quese identifica un punto en el plano s como parte del

  • TCNICA DE LUGAR DE RAfZ 3 5 1

    Imaginario

    Real

    ::

    .I . 1

    Fig&~;tL Determinacin de las races de la ecuacion caracterstica.^ ,_ *. ,f *

    lugar de raz, entonces se utiliza la condicin de magnitud para calcular el valor de Kque corresponde a la raz. Dicho clculo se muestra posteriormente en un ejemplo.

    En elprrafo precedente se explic brevemente la manera en que las condiciones demagnitud y ngulo sirven como base para dibujar el lugar de raz. Las reglas que, se desa-rrollaron a partir de tales condiciones se pueden utiiizar para esbozar de manera cualita-tiva el lugar de rafz; es posible determinar ciertos puntos tales como la ganancia y lafrecuencia ltimas, as como la ganancia que se requiere para obtener una cierta raznde amortiguamiento. Se debe tener presente que los lugares de raz siempre son simetricosrespecto al eje real, lo cual es consecuencia,el hecho de que las races de la ecuacincaracterstica son reales o complejas conjugadas. A continuacin se dan las reglas corres-pondientes:

    , ! SRegla 1. Sobre el eje real el lugar de raz existe en el punto en que hay una cantidadimpar de,polos y ceros a la drecha\del.punto.

    Regla 2. Para una ganancia total de lazo = 0, los lugares de raz se originan siempreen los polos de la FTCA. Los polos repetidos dan origen a lugares de raz repetidos, esdecir, un polo de orden 4 da origen a q lugares o ramas.

    Regk 3. La cantidad de lugares o ramas:es igual al numero de polos de la FTCA, 12.i.

    Regla 4. Conforme se incrementa la ganancia total del lazo, los lugares o ramas se apro-ximan a los ceros de la FTCA o a infinito. La cantidad de lugares que tienden a ~infinitola expresa n-m. Los ceros repetidos atraen lugares repetidos, esto es, un cero de, ,ordenq atrae q lugares 0 ramas.

  • 352 DISEO CLASICO DE UN SISTEMA DE CONTROL POR RETROALIMENTACIN

    Regla 5. Los lugares que tienden a infinito lo hacen sobre asntotas. Todas las asntotasdeben pasar por el centro de gravedad. de los polos y ceros de la FTCA. La ubicacin delcentro de gravedad (CG) se calcula como sigue:

    .g PI,- $, 4CG z? 1-1

    n - m(7-14)

    Estas asntotas forman los siguientes ngulos con el eje real positivo:

    +=180 + (360)k

    n - m

    donde k = 0, 1,. . ., n - m - 1

    Regla 6. Los puntos en que los lugares se juntan y separan sobre el eje real, o llegandesde la regin compleja del plano s, se conocen como puntos de ruptura, los cualesse determinan, frecuentemente, por ensayo y error, con base en la solucin de la ecuacin

    ,- e p pie&5 c\j b:

    2 L =, ,$ &, ; \ _ .~cs-j,=, s - zi (7-16)

    ..674).f-k~=En los puntos de ruptura los lugares siempre se a1ejn.o llegan al eje r;ll con ngulosd e +90.

    Cuando un lugar se aleja de un polo conjugado com$ejo, &, el angula de alejamientoen relacin al eje real se encuentra con base, en > .

    . :.ngulo de alejamiento = 180 + ,,$, & (pk - zi) - j% i$ (pt

    2.- p,);, i::

    j#k 1 *- i

    [El smbolo 4 bk - zJ indica el ngulo, en relacin con el eje real, entre el polo pky el cero Za]

    Cuando un lugar llega a un cero conjugado complejo, zk, el ngulo deUegada res-pecto al eje real se encuentra a partir de

    . !.. i! ,

    ngulo de llegada = - 180 +,,$, 4 (zp - p,) - +$, 4 (zk - q)*;#k

    A continuacin se presenta la utilizacin de estas -reglas para la graficacin de losdiagramas de lugar de raz.

    .,:. Ejemplo 7-4. Se considera el circuito de control de temperatura del intercambiador decalor que se present en el cap&ulo 6. El,diagrama de bloques de la figura 6-3 se dibujanuevamente en la figura 7-9, con cada una de las funciones de transferencia.

  • TCNICA DE LUGAR DE RAZ 3 5 3

    Figura 7-9. Diagrama de bloques del circuito de control de temperatura para el intercambiadorde calor -controlador P.

    Ecuacin caracterstica

    1+ OAK,

    (10s + 1)(3OS + 1)(3s + 1) =0

    \ FTCA = 0.8K,(10s + 1)(3Os + 1)(3s + 1)

    Como se observa en la ecuacin (7-1 l), la FTCA se puede escribir tambin como sigue:>FTCA= (.s++.)(.s:$&+$

    con polos: -i, -$ -i; n=3

    ceros: ninguno; m=o

    0.8K,

    K = (10)(30)(3)= 0 . 0 0 0 8 8 8 K,

    En la figura 7-10 se muestra la ubicacin de los polos (x) en el plano s.

    l De la regla 1 se tiene que la porcin negativa del eje real entre los polos - 1/30y - l/lO, y del polo - 1/3 a - 03 forma parte del lugar de raz.

    l Con base en la regla 2, se sabe que los lugares de raz tienen su origen en los polosde la FTCA: - MO, - 1/30 y - 1/3.

    l Puesto que hay tres polos, n = 3, de la regla 3, se tiene que existen tres lugares0 ramas.

    l Puesto que no hay ceros, m = 0, la regla 4 indica que, conforme se incrementaK,, todos los lugares tienden a infinito. ._

    l Con la regla 5 se puede obtener el centro de gravedad a travs del cual deben pasarlas asntotas, as como los ngulos que stas forman con el eje real positivo. -Puesto

  • DISEO CLSICO DE UN SISTEMA DE CONTROL POR RETROALIMENTACIN

    Figura 7-10. Diagrama de lugar de raz para el circuito de control del intercambiador de calor.

    que hay tres ramas que tienden a infinito, tambin debe haber tres asntotas, dela ecuacin (7-14) se tiene

    1 1 1

    CC =10 30 3

    3= -0.t55

    y de la ecuacin (7-19 se tiene

    +=180 + 360(0) 180 + 360(1) 180 + 360(2)

    3 ? 3 3+ = 60. 180, 300

    Los ngulos y las asntotas se muestran en la figura 7-10. Una de las asntotas coin-cide con el eje real, 4 = 180; y se mueve del centro de gravedad hacia menosinfinito; las otras dos asntotas se alejan del eje real hacia la regin compleja del

  • TCNICA DE LUGAR DE RAiZ 355

    plano s y cruzan el eje imaginario, lo cual indica que existe la posibilidad de inesta-bilidad, ya que los lugares se acercan a infinito sobre estas asntotas.

    l La regla 6 se utiliza para calcular los puntos de ruptura; al aplicar la ecuacin (7-16),se obtiene

    1 1 1-+- -1 I+ 17

    0

    s + 30 s + los + -

    3

    de donde se tienen dos posibilidades: - 0.247 y - 0.063. El nico punto de ruptu-ra valido es - 0.063, ya que esta en la regin del eje real donde los dos lugaresse acercan el uno al otro.

    Antes de dibujar el diagrama final del lugar de raz es conveniente conocer el puntoen que los lugares cruzan el eje imaginario, con el cual se tiene un punto ms para dibujarlos lugares de raz, lo que aumenta la precisin del diagrama. Dicho punto es la frecuencialtima, wU, y se encuentra fcilmente mediante la aplicacin del mtodo de substitucindirecta que se estudi en el captulo 6. Al aplicar este mtodo al problema, se encuentraque 0, = ~0.22. El mtodo de substitucin directa tambin se puede utilizar para en-contrar la ganancia del controlador a la cual se produce este estado de estabilidad condi-cional; dicho valor es K,, = 24.0. En la figura 7-10 se muestra el diagrama completodel lugar de raz.

    Con este ejemplo se demostr que el trazado del lugar de raz es bastante simple yque no es necesario encontrar ninguna raz del sistema. Los lugares entre el punto de rup-tura y la frecuencia de cruce se dibujaron a mano, lo cual, por lo regular, es suficientepara la mayor parte del trabajo de control de proceso. Al graficar los lugares de raz,es conveniente utilizar un instrumento de dibujo que se conoce como curvgrafo, el cual esutilizado principalmente por los ingenieros electricistas.

    El diagrama que se muestra en la figura 7-10 sirve como ayuda para ilustrar otrouso del lugar de raz. Se puede suponer que se desea ajustar el controlador por retroali-mentacin de modo que la respuesta de circuito cerrado del sistema de control sea oscila-toria con una razn de amortiguamiento de 0.707, [ = 0.707.

    En el captulo 4 se defini la razn de amortiguamiento como parmetro de un siste-ma de segundo orden. Al utilizar, tal especificacin de desempeo; 4, se supone que elproceso es de segundo orden o que hay dos constantes de. tiempo considerablemente mslargas que las otras. Estas dos constantes de tiempo pueden dominar la dinmica delproceso y son el origen de las races que se encuentran n-k hacia la derecha (las mscercanas al eje imaginario) y que se conocen como races dominantes. El ajustarun controlador ,por retroalimentacin para las especificaciones anteriores significaque con las dos ralees dominantes de la ecuacin caracterstica se debe satisfacer laecuacin

    72.s: + 2TLS, + 1 = 0

  • 356 DISEO CLSICO DE UN SISTEMA DE CONTROL POR RETROALIMENTACIN

    9 Imaginario

    Figura 7-11. Races s, y s: de un sistema de segundo orden.

    con 4 = 0.707, estas races son

    En la figura 7-11 se muestran grficamente dichas races. A partir de esta figura sepuededeterminar lo siguiente:

    8 = cos- .$

    entonces, para

    5 = 0.707

    e*= cos- 0.707 = 45

    En la figura 7-12 se muestra cmo encontrar lasrafces, s y s*, del sistemacon este factorde amortiguamiento. En tal caso las rafces se localizan, de manera aproximada, en - 0.06f 0.6i. Ahora se-debe calcular la ganancia del controlador con que se obtiene dicho com-

    portamiento de lazo cerrado, para lo cual se utiliza el criterio de magnitud, ecuacin (7-12),y, por tanto, se debe medir la distancia entre la raz s, cada polo y cero; la medicin sepuede hacer simplemente con una regla (utilizando la misma escala de magnitud que enel eje) o mediante el teorema de Pitgoras, se prefiere este ltimo, ya que se minimizanlos errores de medicin. Para tal sistema, el criterio de magnitud es

  • TCNICA DE LUGAR DE RAiZ 357

    Figura 7-12. Utilizacin del diagrama de lugar de rafz para ajustar un controlador.

    Puesto que el primer polo se presenta en p1 = - 0.033 + Oi, se tiene que, al calcularla distancia 1s - p1 1 mediante el teorema de Pitgoras, sta es

    Is - p,I = d(O.060 - 0.033)2 + (0.06 - 0)2 = 0.066

    de manera semejante

    1s - p2( = d(O.060 - 0.1) + (0.06 - 0)2 = 0.072

    Is - p31 = d(O.060 - 0.33)2 + (0.06 - O)l = 0.276

    entonces

    K'(0.066)(0.072)(0.276) = '

    K' = 0.00131y puesto que

    K' = 0.000888K,

  • 358 DISEO CLSICO DE UN SISTEMA DE CONTROL POR RETROALIMENTACIdN

    la ganancia del controlador es

    K< = 1.415

    Esta ganancia del controlador da lugar a una respuesta oscilatoria del circuito de control,con un factor de amortiguamiento de 0.707.

    A continuacin se presenta un ejemplo ms detallado.l

    Ejemplo 7-5. Se desea utilizar un controlador PI para controlar el intercambiador decalor del ejemplo 7-4. Grafquese el diagrama de lugar de raz para este nuevo sistemade control, para lo cual se utiliza un tiempo de reajuste de 1 min. iCul es el efecto deaadir la accin de reajuste al controlador?

    El diagrama de bloques se muestra en l figura 7-13; se notar que el tiempo de rea-juste est dado en segundos (60), en lugar de minutos (1 min), a fin de mantener la consis-tencia en las unidades.

    Ecuacin caracterstica.

    OAK,.

    I +(10s + 1)(3Os + 1)(3s + 1) =

    0

    0

    FTCA =

    s(s+g(s+$J(s+$

    Figura 7-13. Diagrama de bloques del circuito de control de temperatura para el intercambiadorde calor -controlador PI.

  • TCNICA DE LUGAR DE RAZ

    donde:

    359

    con polos: 0, --!-, -J-, 71; n=4

    1ceros: -60;

    m=l

    En la figura 7-14 se muestra la ubicacin de los polos (x) y los ceros (0) en el plano S.

    l De la raz 1, se tiene que el eje real negativo forma parte del lugar de raz, entreel polo en 0 y el cero en - MO. ste es tambien el caso entre los polos en - 1/30y - MO, y del polo en - 1/3 a - OO.

    l De la regla 2, se tiene que el origen del lugar de raz esta en 0, - l/ 10, - 1/30y - 1/3, que son los polos de la FTZA.

    l Puesto que hay cuatro polos, II = 4, en la regla 3 se establece que existen cuatrolugares 0 ramas. e

    Imaginar

    180 //

    \\\\\

    \\\\

    t Kc-=oem wr

  • 3 6 0 DISEO CLSICO DE UN SISTEMA DE CONTROL POR RETROALIMENTACIN

    l Puesto que existe un cero, m = 1, en la regla 4 se establece que una de las ramasdebe terminar en este cero; en tal caso, es la rama que se origina en el polo iguala cero. Las otras ramas, n - m = 3, tendern a infinito conforme se incrementeKC

    l El centro de gravedad se determina mediante la regla 5, as como los ngulos queforman las asntotas con el eje real positivo. Puesto que hay tres ramas que se apro-ximan a infinito, debe haber tres asntotas. De acuerdo con la ecuacin (7-14)

    1 ICC =

    -lo -30 -i+k=

    3-0.15

    y, de la ecuacin (7-13), se tiene

    o= 1 8 0 + 360(0) 180 + 360(1) :) 180 + 360(2j3 ( -3 3 3.I+ = 60, 180. 300 .

    En la figura 7-14 se muestran estas asntotas y los ngulos; una de las asntotascoincide con el eje real y se mueve del centro de gravedad hacia menos infinito;las otras dos asntotas se alejan del eje real, cruzan el eje imaginario y entran enla regin compleja del plano s, lo cual indica una posible inestabilidad.

    l Con la regla 6 se obtienen los puntos de ruptura; al aplicar la ecuacin (7-16), seobtiene

    1 1 1 1 1-=-+-+ - -1 s+o 1 I+ 1

    s+60 s+Kl s+30s+-

    3

    De las cuatro posibilidades que se obtuvieron: - 0.0137 f O.O149i, - 0.0609,- 0.245, el nico punto de ruptura vlido est en - 0.0609, ya que es el nicoque coincide con la regin del eje real donde se acercan dos lugares de raz.

    Al aplicar el mtodo de substitucin directa a la ecuacin caracterstica de este siste-ma, se determina que la frecuencia de cruce o ltima es w, = 0.202, y la ganancia delcontrolador con que se produce esta condicin es K,, = 20.12. En la figura 7-14 se mues-tra el diagrama final del lugar de raz.

    Al comparar la figura 7-10 con la 7-14, se observa que, al aadir la accin de reajusteal controlador proporcional, no se afecta significativamente la forma del lugar de raz.El efecto ms importante es el decremento en la ganancia ltima y en la frecuencia ltima.Se puede decir que con la accin de reajuste se hace que el circuito de control sea msinestable, ya que no tolera mucha ganancia del controlador antes de que se vuelva inesta-ble. iCual es el efecto de hacer rI ms grande o ms pequea?

  • TCNICAS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA 3 6 1

    Resumen del lugar de raz

    En esta seccin se present la tcnica de lugar de raz para el anlisis y diseo del controlde proceso. Se mostr que el desarrollo del diagrama de lugar de raz es simple y no serequiere de matemticas complicadas. Probablemente la mayor ventaja de este mtodoes su naturaleza grfica; por otro lado, su mayor desventaja es que no se puede aplicara los procesos donde hay tiempo muerto. En este aspecto es similar a las tcnicas queya se estudiaron: prueba de Routh y substitucin directa. En los ejemplos que se utiliza-ron se mostr tambitn el efecto de las acciones derivativa y de reajuste sobre la estabili-dad del circuito de control.

    7-2. TCNICAS i3E RESPUESTA EN FRECUENCIA

    Las de respuesta en frecuencia son algunas de las tcnicas ms populares para el anlisisy diseo de sistemas de control de sistemas lineales. En esta seccin se presenta el signif-cado de respuesta en frecuencia y la forma en que se utiliza tal tcnica para analizar ysintetizar los sistemas de control.

    Para empezar, se considera el diagrama de bloques general que se muestra en la figu-ra 7-15; el circuito de control se abre antes de la vlvula y despues del transmisor. Laseal de entrada a la vlvula se obtiene de un generador de frecuencia variable,x(f) = X, sen ot; la seal de salida del transmisor y la de entrada a la vlvula se registran enun dispositivo de registro; en la figura 7-16 se muestran ambos registros. Despus de quecesan los transitorios, la respuesta de la salida del transmisor se hace senoidal,y(t) = YO sen (ot + 13). Este experimento se conoce como prueba senoidal.

    Generador def r e c u e n c i a

    var iab le

    +4Y(tFYosen(

  • 362 DISEO CLSICO DE UN SISTEMA DE CONTROL POR RETROALIMENTACIN

    l _ Selial da entradaSeflal de salida

    Figura 7-16. Registros para la prueba senoidal.

    Ahora se realiza el mjsmo experimento, pero se utilizan las funciones de transfe-rencia con que se describe al proceso. Se propne la siguiente funcin de transferenciasimple:

    K,Js) = $$ = ~7s + 1 : (7-17)

    Con esta funcin de transferencia se describe la cmbinaci6n de vlvula, proceso y trans-misor. La seal de entrada a la vQvula es

    x(f) = X,senot

    0

    X(s) = xoos2 + cO2 (7-18)

    En consecuencia

    Y(s) = KX, 0(7s + l)(s2 + 02)

    Para obtener la expresin en el dominio del tiempo se utilizan las tcnics que se estudia-ron en el captulo 2:

    YCO =KX WT K X

    Le-UT + l+w272[ -1 + 627207 cos wt + sen wtJ

    Finalmente, se utiliza la identidad

    A cos uf + B serrar = r Sen(at + 8)

  • TCNICAS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA 363

    donde:

    Y

    8=tan- i0

    para cambiar la expresin de y(t) a

    sen(ot + 0) (7-19)

    con

    0 = tan-(-6x) = - t a n - ( w ) (7-20).

    En la ecuacin (7-19) se observa que, conforme se incrementa el tiempo, el trminoexponencial se hace cero; ste es el trmino transitorio que caduca. Cuando esto ocurre,la expresin de salida se convierte en

    VO If nyy grande = sen(ot + 0) (7-21)

    la cual constituye el comportamiento senoidal de la seal de salida. La amplitud de estasalida es

    Y,, = KX,,1 + 6972

    En la ecuacin (7-20), con el signo negativo se indica que la seal de salida se retar-da, respecto a la seal de entrada, en una cantidad 8, que se calcula a partir de la ecua-cin. En la figura 7-16 se muestra toda esta informacin en forma grfica.

    Aqu se hace necesaria una advertencia: se debe tener cuidado cuando se calcula elt&mino seno en la ecuacin (7-21); el tknino w est dado en radianeskiempo, y el t&mi-no wt, en radianes; por lo tanto, para que el resultado de la operacin (wt + t9) est expre-sado en las unidades correctas, 0,debe estar en radianes. Si se utilizan grados, el t6rminose debe escribir como

    : - (y,, + e)en breve, se debe estar alerta y ser cuidadoso con estas unidades.

  • 364 DISEO CLSICO DE UN SISTEMA DE CONTROL POR RETROALIMENTACI~N

    A continuacin se definen algunos trminos utilizados en el estudio de la respuestaen frecuencia.

    Razn de amplitud (RA) se define como la razn de la amplitud de la seal de salidarespecto a la amplitud de la seal de entrada. Esto es

    YRA=X

    Razn de magnitud (RM) se define como la divisibn de la razn de amplitud entrela ganancia de estado estacionario

    RM = y

    ngulo de fase (0) es la cantidad, en grados o radianes, en que la seal de salida seretarda o adelanta respecto a la seal de entrada. Cuando 8 es positiva, se trata de unngulo de adelanto; cuando f3 es negativa, se trata de un ngulo de retardo.

    De la funai6n de transferencia de primer orden que se vio anteriormente:

    ~=&+ luM= &+ 0 = tan-

    Cabe hacer notar que los tres trminos estn en funcin de la frecuencia de entrada. Natu-ralmente, cuando los procesos son diferentes, la forma en que RA (RM) y 19 dependende w, tambidn es diferente.

    Lu respuesta en frecuencia es esencialmente el estudio de la manera en que se com-portan la RA (RM) y 0 de diferentes componentes o sistemas cuando se cambia lafrecuen-cia de entrada. En los prrafos siguientes se muestra que la respuesta en frecuencia esuna tcnica eficaz para analizar y sintetizar los sistemas de control. Primero se cubre eldesarrollo de la respuesta en cuanto a frecuencia de los sistemas de proceso y se continacon su utilizacin para el anlisis y la sntesis.

    En general, existen dos forinas diferentes para generar la respuesta en frecuencia:

    1. Mtodos experimentales. Esto consiste esencialmente en el experimento que semostr anteriormente, con el generador de frecuenciavariable y el dispositivo de regis-tro. La idea es realizar el experimento con diferentes frecuencias, para obtener una tablade RA VS w y de 8 VS w. Dichos mtodos experimentales se cubren, posteriormente eneste captulo; con los mismos se tiene tambin una forma para identificar el sistema de proceso.

    2 . Transformacin de la funcin de transferencia de circuito abierto despuesde una perturbacin senoldal. Este mtodo consiste en utilizar la funcin de trans-ferencia de lazo abierto para obtener la respuesta del sistema a una entrada senoidal. Laamplitud y el ngulo de fase de la salida se pueden determinar a partir de la respuesta.

  • TCNICAS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA 365

    / stas son esencialmente las manipulaciones matemticas que se vieron anteriormente yde las que resultan las ecuaciones (7-20) y (7-21).

    Afortunadamente, con las matemticas operacionales se tiene un mtodo muy simplepara determinar RA (RM) y 8. Las matemticas que se necesitan se presentaron en el ca-ptulo 2. Ahora en esta seccin se desarrollar el mtodo general para determinar RA (RM)y 13. Si se considera

    Y(s)- = G(s)X(s)

    para x(t) = X, sen ot, con base en la tabla 2-1, se tiene

    X(s) = xows2 i- w2

    Entonces

    i Y(S) = G(s)-$J

    De la expansin por fracciones parciales, resulta

    A BY(s) = - + -s + io s - io

    + [trminos para los polos de G(s)] (7-22)

    Para obtener A, se utiliza

    A = lim(s + io)X,,wG(s) 1 = G( - iwK,,wP - io (s? + co?) - 2iw

    Como se demostr en el captulo 2, cualquier nmero complejo se puede representar me-diante una magnitud y un argumento, entonces

    A = X,#Xo)le-~gG~~ml = X,,JG(iw)le-tH- 2 i - 2 i

    Para obtener B se utiliza

    B = lim(s - iw)X,,wG(s) 1 = X,,IG(iw)l e'"F+," ($2 + 02) 2;

    Entonces, al substituir las expresiones para A y B en la ecuacin (7-22) se obtiene

    1 + [trminos de G(s)].J

  • 366 DISEO CLSICO DE UN SISTEMA DE CONTROL POR RETROALIMENTACIN

    Al regresar al dominio del tiempo se tiene

    )ft) = KJlG(Wl [-e-iee-iWr2i

    + #Pr] + [trminos transitorios]

    Despus de un tiempo muy largo cesan los trminos transitorios y entonces

    Y(r) = X,IG(iw)le""'+e> _ ,-i

  • TCNICAS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA 3 6 7

    Como se vio, la RA es igual a la magnitud de este nmero complejo:

    (7-27)

    la cual es la misma RA que se obtuvo anteriormente.La 0 es igual al argumento del ntimero complejo:

    (7-35)7rCon estas ecuaciones se indica que la magnitud del vector siempre ser unitaria y

    que, conforme se incremente w, el vector empezar a girar. En la figura 7-29 se muestra queel diagrama polar resultante es un crculo unitario.

    Mapeo de conformacin. Se han mostrado algunos ejemplos de diagramas polares,sin embargo, antes de continuar con este tema, es importante mencionar el mapeo de con-formacin, ya que los diagramas polares se apoyan bastante en esta teora. Se presenta

    Imaginario

    Reat

    0=0,360

    8=270

    Figura 7-29. Diagrama polar para tiempo muerto puro.

  • 396 DISEO CLSICO DE UN SISTEMA DE CONTROL POR RETROALIMENTACl6N

    una breve introduccin al mapeo de conformacin para lograr un mejor entendimientode los diagramas polares.

    Ahora se considera la funcin de transferencia general G(s); como ya se vio, la varia-ble s es la variable independiente, la cual puede ser real, imaginaria o compleja; es decir,en general, s = u + iw. Esta variable se puede graficar en el plano s de la forma quese muestra en la figura 7-30~. Al substituir el valor de s en la funcin de transferenciaG(s), es posible obtener el valor de dicha funcin para una cierta S. Tal valor de G(s),el cual puede ser real, imaginario o complejo, G(s) = 6 + iy, se puede graticar en elplano G(s), como se muestra en la figura 7-3Ob. Para todo punto en el plano S, existeun punto correspondiente en el plano G(s); es decir, con la funcin G se puede llevara cabo el mapeo del plano s en el plano G(s). Con la funcin G no nicamente se lograel mapeo de los puntos, sino tambin las trayectorias o regiones.

    Se utiliza la palabra conformacin porque al realizar el mapeo, el plano G(s) seconforma con el plano s. Para explicar el significado de esto, se suponeque una tra-yectoria del plano s se debe mapear en el plano G(s); adems, si en el plano s la trayecto-ria tiene una vuelta marcada, al mapearla en el plano G(s), tambin tendr una vueltamarcada; esto es, el plano G(s) se conforma con el plano s.

    I m a g i n a n 0plano G(s)

    X Y-G(s)=h+Yi

    I R e a l

    6

    Figura 730. Mapeo de un punto del plano s al plano G(s).

  • TCNICAS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA 397

    Para que sea ms especfico el concepto de mapeo de conformacin, a continuacinse considera la siguiente funcin de transferencia:

    1 0G(s) = (2s + 1)(4s + 1)

    En la figura 7-3 1 se muestra el mapeo de una regin en el plano S, la cual se expresacon los puntos 1-2-3-4-1, y en el plano G(s) por los puntos l -2-3-4-1. En la tabla7-1 se muestra el manejo matemtico con que se produce.

    sta fue una explicacin breve del mapeo de conformacin y, como se mencionantes, los diagramas polares se basan en dicha teora. El mapeo, de conformacin tam-bin ser importante cuando se presente el uso de los diagramas polares, en el estudiode la estabilidad del control de proceso.

    Criterio de estabilidad de Nyquist (1. Los diagramas polares son muy tiles paraanalizar la estabilidad de los circuitos de control de proceso. En esta seccin se presenta el

    , , lf-:a,plaoa

    -2 - 1

    1

    D 4 3-1

    2

    l(4

    Imaginario

    plano G(s)

    I R e a l

    12 1

    4

    (b) 34

    Figura 7-31. Mapeo del plano s al plano G(s).

  • 398 DISEO CLSICO DE UN SISTEMA DE CONTROL POR RETROALIMENTACIN

  • TCNICAS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA 399

    criterio de estabilidad de Nyquist, en el cual se utilizan tales diagramas. No se da ningunaprueba del teorema, sin embargo, se recomienda que el lector consulte el documento ori-ginal. Puesto que el presente criterio se basa en la utilizacin de los diagramas polares, aestos se les llama frecuentemente diagramas de Nyquist.

    El criterio de Nyquist se puede enunciar como sigue:

    Un sistema de control de circuito cerrado es estable si al mapear la regin R (la cualconsiste en toda la mitad derecha del planos, incluyendo el eje imaginario) en el planoG(s), el plano de la fund6n de transferencia de circuito abierto da por resultado laregin R, en la cual no se incluye el punto (- l,O).

    El siguiente ejemplo demuestra la aplicacin de este criterio.

    Ejemplo 7-14. Se considera el circuito de control para el intercambiador de calor quese present en el captulo 6 y que se utiliz en el ejemplo 7-4. En la figura 7-9 se muestrael diagrama de bloques de circuito cerrado para el circuito de control en cuestin, y lafuncin de transferencia de circuito abierto es

    F T C A =0.8 K,

    (10s + 1)(3O.s + 1)(3s + 1)

    Con el criterio de Nyquist es preciso mapear todo el plano derecho (PD) del plano s, comose muestra en la figura 7-32, en el plano G(s). Para una mejor apreciacin el mapeo sedivide en tres pasos.

    ImaginarioIi plano sPaso lit

    Paso 2

    Real

    I Regi6n R /Lsemiclrculol

    Paso 3v oFigura 7-32. Regin R del plano 8.

  • 400 DISEO CLSICO DE UN SISTEMA DE CONTROL POR RETROALIMENTACl6N

    Paso 1.

    La frecuencia w va de 0 a OO, sobre el eje imaginario positivo, y, por tanto, s = iw. Alsubstituir esta expresin de s en la expresin de G(s), se obtiene

    0.S K,G(s) = (ilO + l)(i300 + l)(i3w + 1)

    Entonces, el diagrama empieza con o = 0, sobre el eje real positivo, en el valor 0.8K,,y termina con o- 09, en el origen (RA = 0), con un ngulo de fase de - 270, comose muestra en la figura 7-33. La frecuencia a la que el lugar cruza el ngulo de - 1 80 sepuede encontrar fcilmente mediante la solucin de la ecuacin (7-52). Una vez que se ob-tiene el valor de w, se puede calcular el valor de RA con la ecuacin (7-51).

    Paso 2.

    En este paso la frecuencia se mueve de w = OO a o = - OO, a !CI largo de la trayectoriaque se muestra en la figura 7-32; en dicha trayectoria s = re?, u va de 90 a Oo y a- 90. Al substituir tal expresin de s en la expresin de G(S), se tiene

    G(s) =0.8 K,

    (IOre + 1)(3Ore + 1) (3re + 1)

    Puesto que r- 00, entonces se puede despreciar el trmino +l en cada parentesis y

    0.8 K,( 10rei)(30rei0)(3rei) 10.8 K.

    lm G (iw) = EI aw = 0l--+x [ 1

    Imaginario

    Paso 3

    Real

    Figura 7-33. Diagrama polar de G(s) = (0.8K,)l[(10~ + 1)(3& + 1)(3~ + l)].

  • TCNICAS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA 4 0 1

    lo cual indica que el semicrculo con r -0~ se mapea en el plano G(s) como un puntoen el origen.

    Paso 3.

    En este paso la frecuencia se mueve de - 00 a 0, a lo largo del eje imaginario negativoy, por tanto, s = - iw. Nuevamente se substituye esta expresin de s en la expresinde G(s), para obtener

    G(h) =0.8K,

    (-ilOo + l)(-i3Oco + I)(-i3w + 1)

    El diagrama empieza en el origen, w = - 03, y termina con o = 0, sobre el eje realpositivo, en el valor 0.8K,, con un ngulo de fase de Oo. La trayectoria se muestra enla figura 1-33.

    Es interesante notar que el paso 3 es justamente la imagen de espejo del paso 1,lo cual es comprensible si se tiene en cuenta que G(s) es una funcin compleja conjugada, loque significa que el mapeo es simtrico, respecto al eje de las abscisas, en el plano G(s).

    En el paso 1 se explic cmo se obtiene el valor de FU para un ngulo de fasede - 1 80, el cual es la distancia al origen en que la trayectoria cruza el eje real negativo.Si el punto de cruce esta antes de - 1, entonces el sistema es estable [en la regin quese mapea no se incluye el punto (- 1 ,O)]; si el punto de cruce esta ms all de - 1, enton-ces el sistema es inestable [en la regin que se mapea se incluye el punto (- 1 ,O)]. Con-forme se incrementa K,, tambin RA se incrementa, de lo que resulta un sistema menosestable. Esta afirmacin es la misma que para el criterio de estabilidad de respuesta enfrecuencia.

    En esta seccin se present una breve introduccin a los diagramas polares y d c&e-rio de estabilidad de Nyquist. Sin duda el lector not la equivalencia entre el criterio deestabilidad de Nyquist y el de respuesta en frecuencia.

    Diagramas de Nichols

    El diagrama de Nichols es otra manera de representar grficamente la respuesta en fre-cuencia de los sistemas. Esencialmente es un diagrama de la razn de amplitud (o de mag-nitud) contra el ngulo de fase.En la figura 7-34 se muestra este tipo de diagrama paraalgunos sistemas tpicos, en los cuales la frecuencia es el parmetro a lo largo de la curva.

    Resumen de la &~ue&i en frecuencia

    Esta presentacitrde la respuesta en frecuencia fue ms bien extensa y se esperaba mostrarla eficacia.de la tkcnica. Las ecuaciones (7-39) y (7-40) son las ecuaciones generales paradeterminar RA ~8; con ellas se~puedezrealizar el anzlisis y diseo de los sistemas decontrol. Se mostraron diferentes formas de graficar la respuesta en frecuencia de lossistemas. t

  • DISEO CLSICO DE UN SISTEMA DE CONTROL POR RETiWALIMENTACI6N

    M R

    (h)

    I-360 -270-180 -90 0

    i 8.

    *r: , (c) :,

    Figura 7-34. Diagramas de Nichols. u) Retardo de pkner orden. b) Tiemponruer&>) Retardode segundo orden. ,; *: / Ib..

    Una de las aplicaciones ms prcticas e ir&&antes de la respuesta en frecuencia es lautilizacin de la prueba de-pulso para deternk$,rJa funcin ,de transferencia del proceso,instrumentos y otros dispositivos de controE Rougen (*)- lke la descripcin de variasaplicaciones de la prueba de.pulso en la industria; -en estaseceinseldescribe~~la tcnicarespectiva y se deducen las frmulas bsicas que~se requieren para su aplicacin,. ,,

    En el captulo 6 se estudi el mtodo de la prueba, escaan +ra determinar los, par-metros debmodelo de primer orden mk%. tiempo muerto del proceso. Las ventajas de. laprueba escaln son su simplicidad y los requerimientos mnimos de clculo; su mayor

  • PRUEBA DE PULSO 403

    desventaja es que, por precisin, se limita a los modelos de primer orden ms tiempomuerto.

    Con la ttcnica de prueba senoidal que se describi en la seccin 7-2 es posible deter-minar, en principio, la funcin de transferenciade un proceso de cualquier orden. A pe-sar de que la prueba senoidal se utiliza extensamente en la determinacin de las funcionesde transferencia de sensores, transmisores y actuadores de vlvulas de control, rara vezse utiliza para probar procesos reales, debido a que la mayora de los procesos son muylentos para la prueba senoidal. Si se considera un proceso donde la constante de tiempoms larga es de un minuto, en el diagrama de Bode del proceso de frecuencia de rupturaest, con base en la ecuacin (7-42), en

    10,. = - = 1 .O rad; min7

    Para localizar la asntota de baja frecuencia del proceso se deben hacer al menos dos prue-bas a frecuencias ms bajas que la de ruptura; sean stas 0.5 y q.25 rad/mhr, el perodode la segunda de estas seales senoidales es

    T = 271 = 6.28 rad0.25 rad/ min

    = 25.1 miri! !w :

    i , . . : /

    No s610 es difcil encontrar un generador de onda senoidal capaz de gene%& consistente-mente una seal tan lenta, sino que 1a:prueba tomara al menos un par:de:hras, ya quese necesita completf un mnimo de cuatro 8 cinco ciclos para la prueba. Adems, conla prueba se obtendra ~610 un punto en el diagrama de Bode y, si la constante de tiempodel proceso fuera de 10 minutos, se tendra que aplicar al p!oceso una onda senoidalcon perodo superior a 4 horas. Yx = K, I x(r) dr

  • P R O B L E M A S

    0 TD t

    Figura 7-38. Manejo del pulso de respuesta del proceso de integracin.

    minar cuantitativamente los parmetros dinmicos del proceso que se utilizan en el meto-do de prueba de pulso. Como se,vio en este capillo; a partir de ,los resultados de unasola prueba de pulso es posible determinar la respuesta en frecuencia completa.

    Ya que se estudi el diseo y anlisis de los sistemas de control por retroalimenta-cin, a continuacin se abordaran otras t&nicas importantes de control, las cuales se usancomnmente en la industria. ste es el tema del prximo captulo.

    .

    BIBLIOCRAFA . 3, .:

    1. Nyquist, H., Regeneration Theory, Bel1 System Technical Joumal, Vol. ll(1932), pp. 126-147. !2. Hougen, Joel O., Experiences and Experiments with Process Dynamics, CEP

    Monograph Services, Vol. 60, No. 4, AIChE, Nueva York, 1964.3. Luyben, William L., Process Modeling, Simulatiori,, and Control foi Chemical

    Engineers, McGraw-Hill, Nueva York, 1973, seccin 9-3.

    PROBLEMAS

    7-1. Se debe dibujar el diagrama de lugar de razpara cada una de las siguientes funcio-nes de transferencia de circuito abierto (se utilizar una aproximacin de Pad parael trmino de tiempo muerto):

  • 412 DISEO CL&lCO DE UN SISTEMA DE CONTROL POR RETROALIMENTACI6N

    Ku) G(s) = (s + 1)(2s + l)(lOs + 1)

    b) G(s) =K(3s + 1)

    (s + 1)(2s + &lOs + 1)Ke-

    c) G(s) =(s + 1)(2s + l)(lOs + 1)

    d) G(s) =K(3s + l)ems

    (s + 1)(2s + l)(lOs + 1)

    7-2. Dibujar el diagrama de lugar de raz para cada una de las siguientes funciones detransferencia de lazo abierto:

    Ku) G(s) = s(s + 1)(4s + 1)

    K(3s + 1)b) G(s) = (Zs + 1)

    - :

    7-3. Ahora se considera la siguiente, funcin de transferencia para un cierto proceso:

    G(s)H(s) =1 . 5

    (s + 1)(5s + l)(lOs c .1) 1.

    a) Se debe ajustar un controlador proporcional para un margen de ganancia de 2.b) Se debe determinar el factor de amortiguamiento, 4, para la respuesta oscilato-

    ria del circuito de control mediante la utilizacin del parmetro de ajuste quese obtuvo en la parte (a).

    ,.

  • P R O B L E M A S 413

    para los, casos:

    7, = 2, 72=1 i

    Y

    7, = I, 72 = 1

    7-5. Ahora se considera el sistema de control de proceso que se muestra en la figura7-39; la presin en el tanque se expresa por

    P(s) 0 .4-=F(s) (0.15s + 1)(0.8s + 1)

    pdscfm

    La descripcin de la vlvula se puede hacer mediante la siguiente funcin de trans-ferencia:

    F(s) 5 .-=M(s)

    ~ scfm/psi0.1s + I

    El rango del transmisor de presin es de 0 psig a 30 psig y la dinmica del transmi-sor es despreciable.

    Dibujar el diagrama de bloques para este sistema e incluir todas las funcionesde transferencia.Se debe esbozar el diagrama de lugar de rafz.Se debe determinar la ganancia del controlador en el punto de ruptura.Se debe determinar la ganancia ltima y el periodo ltimo.Calcular el parmetro de ajuste de un controlador P con el que se obtenga unfactor de amortiguamiento de 0.707,

    S a l i d a

    Corriente 1 C o r r i e n t e 2>

    Figura 7-39.. Croquis para el problema 7-5.

  • 414 DISEO CLASICO DE UN SISTEMA DE CONTROL POR RETROALIMENTACI6N

    f) Explicar grficamente la forma en que la adicin de la accin de reajuste al con-trolador afecta a la estabilidad del circuito de control.

    g) Explicar grficamente la forma en que afecta a la estabilidad del circuito de controlel aadir accin derivativa al controlador PI del inciso v>.

    7-6. Se repite el problema 7-3 con la siguiente funcin de transferencia:

    G(s)H(s) = +g+

    7-7. Para el proceso que aparece en el problema 6-20, se debe elaborar el diagrama delugar de raz, para ello se utilizar una aproximacin de Pad de primer orden,como se ve en la ecuacin (6-29), a fin de aproximar el trmino de tiempo muerto.

    7-8. Para las funciones de transferencia del problema 7- 1, se deben dibujar las asntotasdel diagrama de Bode de razn de magnitud (o de la razn de amplitud) y graficara grandes rasgos el diagrama del ngulo de fase. _

    7-9. Se debe repetir el problema 7-8 para las funciones de transferencia del problema 7-2.

    7-10. Para las siguientes funciones de transferencia::

    2s + 1G(s) = -

    1 +,s

    s+ I- .Y bs!.. = (2s + I)(s + 1) .:?.,

    . . I. ;

    a) Esbozar las asintotas de la parte de razn de magnitud. del diagrama de Bode,marcando las frecuencias de ruptura. .,

    b) Indicar el retardo de fase (o adelanto) para frecuencias altas &oo).

    7-11. Se debe graficar el diagrama de Bode para las funciones de transferencia que apa-recen en el problema 7-4.

    7-12. En la figura 7-40 se muestra el diagrama de Bode de un sistema de circuito abierto;se debe obtener la bncin de transferencia de este sistema. Qu ganancia del con-trolador se puede tolerar si se desea un margen de ganancia de 2? Cu&l es el margende fase con una ganancia de controlador de 0.6?

    7-13. Ahora se considera el proceso de filtro de vaco que aparece en la figura 6-30. Eneste proceso se utilizan los datos del problema 6-15 y se aplican las tcnicas derespuesta en frecuencia para:

    a) Grafcar las asntotas del diagrama de Bode y el diagrama del ngulo de fase.b) Obtener la ganancia ltima, Kcu, y el periodo ltimo, T,,.

  • 415P R O B L E M A S

    / L-L-.

    0.1 L I0.01 0.1 OJ- 1 . 0 1 0 .

    e -80

    0

    -40

    -160-180

    1 1 I IIIIII l I I Ihllll

    Figura 7-40. Grficas para el problema 7-12.

    c) Ajustar el tiempo de reajuste de un controlador PI mediante el metodo de snte-sis del controlador y determinar la ganancia del controlador con la cual se lograun margen de ganancia de 2.

    7- 14. Para este problema se Considerael absorbedor que se present en el problema 6- 16;en la parte (a) de ese problema se diseo un circuito de control por retroalimen-tacin con el fin de controlar la concentracin de amoniaco a la salida. Para dichocircuito de control se debe:u) Dibujar las asntotas del diagrama de Bode y del diagrama de ngulo de fase.b) Obtener la ganancia ltima, K,,, y el perodo ltimo, Tu.c) Ajustar un controlado P para un margen de fase de 45.

  • 416 DISEO CLSICO DE UN SISTEMA DE CONTROL POR RETROALIMENTACl6N

    7-15. Ahora se considera el diagrama de bloques que aparece en la figura 7-41~ en elcual la entrada N(s) representa el ruido con que se contamina a la seal de salida;si tal ruido.del proceso es significativo, se puede dificultar el control de proceso.Generhnente, para mejorar el control en procesos ruidosos se filtra la seal quese retroalimenta; una manera tpica de filtrar las seales es mediante un dispositivode filtraje con una funcin de transferencia de primer orden. Este dispositivo, yasea neumtico, electrnico o digital, se instala entre el transmisor y el controlador,como se muestra en la figura 7-41b; la ganancia del filtro es uno (1) y la constantede tiempo, que se conoce como constante de tiempo del filtro, es +. Se deben uti-lizar las tcnicas de respuesta en frecuencia para explicar la forma en que Q afec-ta al filtraje de la seal ruidosa y al desempeo del circuito de control. Se debegraficar, especficamente, el margen de ganancia como una funcin de +.

    7-16. Ahora se considera un proceso trmico con la siguiente funcin de transferenciapara la salida del proceso contra la seal que sale del controlador:

    C(s) 0,65e-0 35~-=M(s) (5.1s + 1)(1.2s + 1)

    Al proceso se le aplica una onda senoidal de amplitud unitaria y frecuencia 0.80rad/min; las constantes de tiempo y el tiempo muerto esth en minutos. Se debecalcular la amplitud y el retardo de fase de la onda senoidal que sale del procesodespu& de que cesa la respuesta transitoria.

    I N(s)

    (b)

    Figura 741. Croquis para el problema 7-15.

  • P R O B L E M A S 417

    Figura 7-42. Grfica para el problema 7-17.

    7- 17. Con el pulso rectangular simktrico que se muestra en la figura 7-42 se tiene la ven-taja de poder promediar el efecto de las alinealidades sobre el resultado de la pruebadinmica.

    a) Se debe deducir la transformada de Fourier para el pulso, Q(h).b) Se deben escribir las fhnulas para la magnitud, lQ(iw)l , y el ngulo de fase,

    d Q(h), como funciones de la frecuencia.

    7-18. Para la prueba pulso de un proceso se utiliza un pulso rampa de duracin To y am-plitud final x,. Se debe determinar la integral de la transformada de Fourier delpulso.

    7-19. En un proceso, el diagrama de razn de amplitud contra frecuencia da por resultadola grfica que aparece en la figura 7-43. En el diagrama de ngulo de fase no sealcanza una asntota de alta frecuencia, pero se vuelve ms negativo conformese incrementa la frecuencia. Con una frecuencia de 1 .O radhnin, el ngulo de fase es

    Figura 7-43. Grfica para el problema 7-19.

  • 418 DISEO CLSICO DE UN SISTEMA DE CONTROL POR RETROALIMENTACIN

    de - 246 grados. Se debe postular una funcin de transferencia para el procesoy estimar la ganancia, las constantes de tiempo y el tiempo muerto, si lo hay.

    7-20. El diagrama de Bode que aparece en la figura 7-44 se obtuvo para la funcin detransferencia de temperatura contra razn de agua para enfriamiento en un reactortubular, mediante el mtodo de prueba de pulso. Se debe determinar:

    a) La ganancia de estado estacionario del proceso.b) La constante de tiempo.c) Una estimacin del tiempo muerto en el sistema.

    7-21. Para los cuatro pulsos que aparecen en la figura 7-35, se debe obtener la transfor-mada de Fourier, la razn de magnitud y el ngulo de fase.

    107 1 I I I I I I l

    0

    e

    I0 -lO-

    8

    z

    -2o-

    ,-30

    0 . 1 0.2 0.4 1 . 0 2.0 4.0 10.0 20 40 100

    Frecuencia, radlmin

    Figura 7-44. Grficas para el problema 7-FO.

  • CAPTULO

    8Tcnicas adicionales de

    control

    En los captulos anteriores se hizo nfasis principalmente en el control de los procesosmediante la tcnica que se conoce como control por retroalimentacin. En el captulo 1se expusieron los principios de dicha tcnica, junto con algunas de sus ventajas y desven-tajas; en el captulo 5 se presentaron los componentes bsicos yel equipo (hardware) ne-cesario para estructurar un sistema de control; finalmente, en los captulos 6 y 7 se hizola presentacin, estudio y aplicacin prctica de las diferentes tcnicas para disear y ana-lizar los sistemas de control con circuito sencillo de retroalimentacin. Como se mencio-n en el captulo 1, el control por retroalimentaci6n es la tcnica que ms comnmentese utiliza en las industrias de proceso.

    En muchos procesos, mediante la aplicacin de otras tcnicas de control, es posibley ventajoso mejorar el desempeo logrado con el control por retroalimentacin. En estecaptulo se tiene como objetivo presentar algunas de las tcnicas que se han desarrollado,y frecuentemente utilizado, con el fin de mejorar el desempeo del control que se lograpor medio del control por retroalimentacin. Para estas tcnicas se requiere una mayorcantidad de ingeniera y equipo que en el control por retroalimentacin solo y, en conse-cuencia, es de suponerse que, antes de aplicar tales tcnicas, se requiera realizar un estu-dio de factibilidad tcnica econmica.

    Las tcnicas que se presentan en el presente captulo son: control de razn, controlen cascada, control por accin precalculada, control por superposicin, control selectivoy control multivariable. A lo largo del captulo se muestran muchos ejemplos industrialesreales, a fin de ayudar al lector a comprender los principios y aplicacin de las tecnicas.

    Para la implementacin de las tcnicas que se presentan en este capitulo se requierecierta capacidad de cmputo, que en el pasado se obtuvo mediante la utilizacin de relsde cmputo, ya fuera neumticos o elctricos. En los ltimos aos, con el advenimiento delas micro, mini o computadoras de gran escala, se reemplazaron muchos de estos rels

  • 420 TCNICAS ADICIONALES DE CONTROL

    de cmputo analgicos. El captulo se inicia con el estudio de los rels de cmputo anal-gicos y de los bloques de cmputo con base en microprocesadores.

    8-1. RELS DE CMPUTO

    Como ya se mencion, para estructurar las tcnicas que se presentan en este captulo serequiere cierta capacidad de cmputo, la cual generalmente se obtiene mediante la utiliza-cin de rels de cmputo, ya sea neumticos o elktricos, o bloques de cmputo con baseen microprocesadores. Los rels son cajas negras en las que se realiza algn manejo ma-temtico de las seales; en software, los bloques son el equivalente de los rels. Algunosde los manejos tpicos que se pueden realizar con estos rels de cmputo analgicos obloques de cmputo son los siguientes:

    1. Adicin/substracch. La seal que se obtiene a la salida es la adicin o substrac-cin de las seales de entrada.

    2. Multiplicaci6n/divisi6n. La seal de salida es el producto,0 el cociente de las se-ales de entrada, o ambos.

    3. Raiz cuadrada. La seal de salida es la extraccin de la raz cuadrada de la sealde entrada.

    4 . Selector de alto/bajo. La seal de salida es la mxima/mnima de dos o ms sea-les de entrada.

    5. Limitador de alto/bajo. La seal de salida es la seal de entrada que se limita aun valor mximo/mnimo precalculado.

    8. Generador de funcin. La seal de salida es una funcin de la seal de entrada.Esta funcin generalmente se aproxima mediante una serie de lneas rectas.

    7 . Integrador. La seal de salida es la integral, en tiempo, de la seal de entrada. Parael integrador se usan otros t&minos, como el de totalizador.

    8 . Retardo lineal. La seal de salida es la solucin de una ecuacin diferencial de pri-mer orden cuya funcin de forzamiento es la seal de entrada; dicho calculo se describeen forma matemtica como sigue:

    Entrada

    Este calculo se utiliza frecuentemente para filtrar una seal ruidosa; la cantidad de filtra-cin depende de la constante de tiempo r; mientras ms grande es la constante de tiempo,mayor es la filtracin que se hace.

  • RELS DE C6MPUTO 421

    9. Adelantohetardo. La seal de salida es la siguiente funcin de transferekia:

    Tabla 8-1. ReI& de chputo*

    Las seales de esta tabla se dan en fracciones del intervalo.

    V,, = seal de salidaV,, V,, Vs = sefales de entrada

    Adlci6nlsubstraccin

    V, = a,(ka,V, + V, t a,V, 2 a,V,) + B0

    donde

    V, = entrada de referencia (0 a 1)a,,a3,a4 = 0.11 to 1.0a, = 0.2 to 8.56, = -0.5 to 1.0 -

    Multiplicador

    Vo = 4a,(V, V,) + B.

    Div isor

    Multiplicador y divisor

    donde (para los tres reles anteriores)

    80 = 0.1 a 8.06, = 0 a 0.5

    Estacin de rezn

    donde

    v, = kR(V, - Si) + 6,

    R = 0 . 3 a 3.0Bi = desviacin de entrada, 0 a 1B. = desviacibn a la salida, 0 a 1

    ?

    Adelantolretardo

    Vo = a,

  • 4 2 2 1 tLI\Iw+> AUICIUNALES DE CONTROL

    Tabla 8-1. Continuacidn

    dondeao = O.la2Bi = Oal6, = OalTI = constante de tiempo de retardo, segundos (0 a 3000)T2 = constante de tiempo de adelanto, segundos (0 a 3000)

    Raz cuadradaVo = vq

    a stos son ejemplos de los rels de cmputo electrbnicos que tiene Fisher Controls en el mercado.

    Tabla 8-2. Bloques de c6mputoa

    Las senales en esta tabla se dan en porcentaje del intervalo.

    OUT = seal de salidaX, V, Z = seales de entrada

    - ISumador

    dondeO U T = K,X + KyY + K,Z + B,,

    Kx,K,,Kz = -9.999 a + 9.999B. = -100% a +lOO%

    OUT =KA(KxX + 4)(KyY + B,) +

    UW + &)

    B0

    donde

    KA= OaK,,K,,K, = 0.1 a 9.999&B,~&~o = -IOOYO a 100%

    Suma de las raices cuadradasO U T = K,fl + Kyfl + K,fl + B.

    I

    ,. .

    Producto de las ralces cuadradasOUT = K,vm + B.

    donde (para ambas races cuadradas)

    K,,Kx,K,,Kz = -9.999 a + 9.999BO = -100% a 100%

    Flujo de masa

    OUT = KA . XSQRT

  • R E L S D E C M P U T O

    Tabla 8-2. (Continuacin).

    d o n d e

    XSQRT = raiz cuadrada del diferencial de presin.Se debe introducir en el algoritmo.

    K,=Oa2K,,K, = 0.1 a 1.00

    B,,B, = 0.0% a 100%

    Sumador de adelantohetardo

    OUT = KA(srz + )(Sr, + l)(sT, + 1)

    (X - Y) + K,Z t B.

    Adelantolretardo con multlpllcador

    KA(ST, + 1)QUT = (sT, + l)(sr, + ,) V - WC-3 + Bo

    donde (para ambos adelantoslretardos)

    KA = 0.1 a 99.99 _K, = - 9 . 9 9 9 a +9.9998, = -100% a 100%T2 = constante de tiempo de retardo, min

    = 0.02 a 99.99; 0 = desconectadoTI = primera constante de tiempo de retardo, min

    = 0 a 91.4; 0 = desconectado4 = segunda constante de tiempo de retardo, min

    = 0 a 91.02; 0 = desconectado

    Razn externa y derlvaclnOUT = Y(raz6n efectiva) + (derivaci6n efectiva)

    razn efectiva = KJ + B, cuando se configura una entrada X= RAZN cuando no se configura una entrada X

    derivacibn efectiva = KJ + B, cuando se configura una entrada Z= DERIVACIN cuando no se configura una entrada Z

    d o n d e

    K,,K, = -9.999 a + 9.999

    B,,B, = -100% a 100%

    RAZN = -9.999 a +9.999DERIVACIN = -100% a +lOO%

    Selector

    d o n d e

    OUT = mximo de entradas que se utiliza X, Y, Z, M, A, COUT = mnimo de entradas que se utiliza X, V, Z, M, A, C

    X, Y,Z, M,A, C = seales de entrada

    B stos son ejemplos de los bloques de c6mputo del sistema de control con base en microprocesadores Honey-

  • 4 2 4 TCNICAS ADICIONALES DE CONTROL

    Esta ecuacin es la misma que la ecuacin (4-78), su comportamiento y el significado de rti yQ, se explicaron en el captulo 4. Este cAculo se utiliza frecuentemente en los planes de con-trol como el control con accin precalculada, en el cual se requiere compensacin dinhmica.

    Con el advenimiento de los sistemas de control con base en microprocesadores seincrement tremendamente la disponibilidad de manejos matemticos ms complejos; enla tabla 8-1 se ilustran algunas de las ecuaciones que se resuelven mediante los rels decmputo electrnicos de un fabricante; en las tablas 8-2 y 8-3 se muestran algunas de las

    Tabla 8-3. Bloques de cmputo*

    En esta tabla las seiales se expresan en porcentajes del intervalo.

    1. Sumadorkubstractor

    OUT = K,X, + K,X, + K,X, + K,X, + K5

    2. Multiplicador

    3. Divisor

    4. Ralz cuadrada

    5. Cdlculo del flujo de masa

    6. Estacidn de razn

    7. Selector de mximos

    8. Selector de mnimos

    OUT = K,[X,X,X,X.,] + K,

    O U T = K, s + K5[ 12 3OUT=K,vm+K, .j

    OUT = K,J

    &XI& + KS + K& + &

    5

    OUT = K,X, + KS

    OUT = Mhx de (X,, X,, Xs, X,) + KS

    OUT = Min de (X,, X,, X,, X,) + K5

    donde (para todos los bloques)

    X,, X,, X,, X, = entrada- 100 I K,, Kz, KS> K4 I 100- 4 0 0 % < K, < + 4 0 0 %

    STOS s o n ejemplos de los bloques de cmputo de los sistemas con base en microprocesadores Beckman MV8000.

  • RELS DE CdMPUTO 425

    ecuaciones que se resuelven mediante dos sistemas de control basados en microprocesa-dores diferentes. Es interesante notar que en todos los casos las constantes se limitan den-tro de algunos valores prefijados y, puesto que se limita a las constantes, stas se debenelegir de modo que el clculo matemtico requerido se realice de manera correcta. Enesta seccin se muestra la manera de elegir los valores de las constantes, lo cual tambinse conoce como escalamiento y que es necesario para asegurar la compatibilidad entrela seal de entrada y la de salida.

    El mtodo que se utiliza para escalar se conoce como mtodo de escala unitaria; suutilizacin es muy simple y se aplica igualmente a los instrumentos analgicos, neumti-cos o elctricos, as como a los sistemas con base en microprocesadores. El mtodo cons-ta de los tres pasos siguientes:

    1 . La ecuacin a resolver se escribe junto con el rango de cada variable del proceso,a cada una de las cuales se le asigna un nombre de seal.

    2 . Cada variable del proceso se relaciona con su nombre de seal mediante una ecua-cin normalizada.

    3. El sistema de ecuaciones normalizadas se substituye en la ecuacin original y seresuelve para la seal de salida.

    A continuacin se muestra la aplicacin de este mtodo mediante un ejemplo tpico.

    Ejemplo 8-1. Se supone que se necesita calcular la razn de flujo de masa de un ciertogas que fluye a travs de una tubera de proceso, como se muestra en la figura 8- 1, dondese aprecia un orificio en la tuberfa. En el apndice C se presenta una ecuacin simplepara calcular la masa que fluye atravts de un orificio, sta es:

    m = K[hp]2

    donde:

    ti = flujo de masa, lbm/hh = presin diferencial a travs del orificio, pulg HzOO

    Figura 8-1. Flujo de gas a travts de una tuberfa de proceso.

  • 426 TCNICAS ADICIONALES DE CONTROL

    p = densidad del gas, lbm/pies3K = coeficiente del orificio

    La densidad del gas prxima a las condiciones de operacin se expresa mediante la si-guiente ecuacin linealizada (ver ejemplo 2-13):

    p = 0.13 + O.O03(P'- 30) - O.O0013(T - 500) (8-2)

    Entonces, la ecuacin con que se obtiene .el flujo de masa es

    m = K[h(0.13 + O.O03(P - 30) - 0,00013(T. - 500))]"* (8-3)

    El rango de las variables para este proceso es el siguiente:,.

    Seal Variable Rango * Estado estacionario

    Sl h 0-100 pulg H@ 50 pulg H20s2 T 300-700F 500Fs3 P 0- 50 psig x 30 psigs4 m 0-700 ibm/hr 500 lbm/hr

    El coeficiente del orificio es K = 196.1 lbm/[h(pulg, -lbm/pies3) 12].

    La ecuacin (8-3) y los rangos anteriores constituyen elpaso 1 del mtodo de escalaunitaria. Esta informacin la debe conocer el ingeniero de proceso; se notar que a cadavariable del proceso se le asigna un nombre de seal.

    En el paso 2 se necesita relacionar, mediante una ecuacin normalizada, cada varia-ble de proceso con su nombre de seal, lo cual significa que, conforme la variable deproceso vara entre los valores mximo y mnimo del rango, la seal debe variar entrelos valores 0 y 1; una ecuacin simple para cumplir con esto es

    Seal =Variable del proceso - Valor inferior del rango

    Rango 03-4)

    Al aplicar esta ecuacin, se obtiene

    SI ==A 0 h = 1ooSl

    T - 300s2 = -

    400 0T = 300 + 4OOS2

    s3 = f 0 P = sos3

    (8-5)

    (8-7)

  • R E L S D E C M P U T O 427

    Y

    s4 = $j 0 i7=lOOS4 - (8-8)

    Finalmente, de acuerdo con el paso 3, se substituyen las ecuaciones anteriores, dela (8-5) a la (8-8), en la ecuacin (8-3) y se resuelve para la seal de salida 54.

    7OOS4 = 196.1[1OOSI(O.l3 + O.O03(5OS3 - 30)

    - 0.00013(300 + 400 s2 - 500))]"2

    Mediante la utilizacin del lgebra se simplifica esta ecuacin a

    S4 = l.O8[Sl(S3 - 0.35 S2 + 0.44)]"2 (8-9)

    sta es la ecuacin normalizada que se debe componer con los rels o bloques de cmputo.Ahora se utilizan los rels de cmputo de la tabla 8-1 para formar la ecuacin (8-9).

    Puesto que esta ecuacin no se puede formar con un solo rel, se hace por partes; en laprimera se calcula el trmino entre parntesis y para ello se utiliza una unidad de adi-cin/substraccin, como sigue:

    0

    v; = (S3 - 0.35 S2) + 0.44

    Sea VI = s3, v, = S2, y V, = 0; entonces, al igualar las dos ltimas ecuaciones, seobtiene

    a() = 1; u, = 1; v2 = 0: UJ = 0.35; B. = 0.44

    El signo que se elige para al debe ser positivo, y para u3, negativo. Ahora se multiplicala salida de esta primera unidad por la seal Sl y por el factor (1.08)*:

    V" = 4qdV,V?) + Bo

    0

    Vo = (1 .08)z(Sl)V,',

    Sea VI = Sl y V2 = V; entonces, al igualar las dos ltimas ecuaciones, se tiene

    (1.08)?UlJ = ~ = 0.292;

    4 Bu = 0

    Finalmente se extrae la raz cuadrada de la seal que sale de este ltimo rel. En la figura8-2 se muestra el diagrama de bloques de los instrumentos que se requiere emplear.

  • 428 TCNICAS ADICIONALES DE CONTROL

    Figura 8-2. CAlculo del flujo de masa de gas.

    La seal que sale de FYSC, el extractor de raz, se relaciona linealmente con el flujode masa de gas. Conforme el flujo de masa vare entre 0 y 700 lbm/h, la seal variarentre 4 y 20 mA; ahora se puede utilizar esta seal para realizar cualquier funcin decontrol o de registro.

    Se notar que en la figura 8-1 las seales se representan con lneas continuas parahacer nfasis en la aplicacin del mtodo de escala unitaria, independientemente del tipode seal. Cuando se hace el escalamiento, no es necesario espec&ar si la seal es elctri-ca, neumtica o digital, el mtodo de escala unitaria se aplica de la misma forma a lastres y en esto estriba la eficacia del mismo.

    Para completar el ejemplo, ahora se muestra la implementacin en el sistema con baseen microprocesadores que aparece en la tabla 8-2. La ecuacin que se debe formar tam-bien es la (8-9), pero antes de hacer la implementacin se notar que en la tabla 8-2 seespecifica que las seales de entrada y salida deben estar expresadas en porcentaje de ran-go; en la ecuacin (8-9) las seales Sl, S2, S3 y S4 son fracciones de rango que resultandel mtodo de escala unitaria y, por tanto, primero se deben convertir a porcentaje derango las seales, lo cual se hace fcilmente al multiplicar ambos lados de la ecuacin(8-9) por 100%.

    IOO(S4) = l.O8(1OO)[SI(S3 - 0.35 S2 + 0.44)]"?lOO(S4) = I.O8[lOOSl(lOO S3 - 0.35(IOO)S2 + 44)]"2

    0

    .S4' = 1.08[Sl'(S3' - 0.35 S2' + 44)]"*

    Ahora todas las seales, SI , S2 , S3 y S4, estn en porcentaje de rango.Al igual que antes, primero se implementa el trmino entre parkntesis. Se utiliza el

    bloque sumador:

    OUT = K,X + K,.Y + K,Z + B,,

    El trmino es

    OUT = S3 - 0.35 S2 + 44

  • RELS DE CdMPUTO 429

    Sea X = S3 y Y = S2 ; la entrada Z no se utiliza. De igualar las dos ecuaciones ante-riores se obtiene entonces

    K, = 1; K, = -0.35; K, = 0; B,) = 44%

    El siguiente bloque se utiliza para completar la implementacin:

    OUT = K,.,dm + B.

    La ecuacin que se debe implementar es

    S4' = I.OSv'm

    Sea X = Sl y Y = OUT . Puesto que la entrada Z no se necesita, se le fija manualmentea un valor de 1% y, entonces, se igualan las dos ltimas ecuaciones para obtener

    KA = 1.08; B" = 0%

    De manera que, al utilizar este sistema con base en microprocesadores, se ahorra unamanipulacin, nicamente se requieren dos bloques. Como se mencion anteriormente,los sistemas con base en microprocesadores generalmente cuentan con una capacidad decmputo mayor que la de los instrumentos analgicos; adems, con estos sistemas la fja-cin de las constantes se hace ms rpido y con ms precisin.

    Como se vio, el mtodo de escala unitaria es simple y eficaz. Es importante subrayarnuevamente que, cuando se utiliza este mtodo, no es necesario considerar si se trabajacon rels analgicos, elctricos o neumticos, o con bloques de cmputo; el mtodo seaplica de igual manera a todos ellos como resultado de la normalizacin. Por ejemplo,en el caso que se present anteriormente, el flujo de estado estacionario es una fraccinde 0.714 (500/700) del rango de la seal; si se utiliza instrumentacin neumtica, la salida deestado estacionario del ltimo re16 sera de ll 57 psig, lo cual resulta de 3 + 0.714( 12); sise utiliza instrumentacin electrnica, la salida de estado estacionario del ltimo rel, FYSCen la figura 8-2, sera de 15.42 mA; si se utiliza un sistema con base en microprocesado-res, la salida de estado estacionario del ltimo bloque sera una fraccin de 0.714 del ran-go ms el valor cero.

    Antes de concluir esta seccin es conveniente un comentario final: siempre es impor-tante revisar la ecuacin normalizada, ecuacin (8-9), antes de la implementacin, lo cualse hace fcilmente si se utilizan los valores de estado estacionario. Por ejemplo, los valo-res de estado estacionario de las seales, con base en las ecuaciones normalizadas, son

    Tl = 0.5; s;! = 0.5; 5 = 0.6; s4 = 0.714

    Al substituir Sl, S2 y S3 en la ecuacin (8-9), se obtiene

    i-i = 1.08[0.5(0.6 - 0.35(0.5) + 0.44)]"

    s4 = 0.710

  • 430 TCNICAS ADICIONALES DE CONTROL

    La diferencia entre este valor calculado de S4 y el que se obtiene de la ecuacin norma-lizada es pequeo (5%) y se debe principalmente a error de truncamiento; ciertamente,en procesos de gran volumen aun este error se puede hacer significativo, lo cual puedeser un incentivo para utilizar computadoras, ya que tienen mejor precisin que los instrumen-tos analgicos. Sin embargo, se debe recordar que, en el campo de la instrumentacin,los sensores y transmisores son aun analgicos y con limitaciones de precisin.

    En las secciones siguientes se presentan varias tcnicas de control con las que se me-jora el desempeo de control logrado mediante el control por retroalimentacin. En losdiagramas con que se ilustra la implementacin se utilizan smbolos de instrumentacinanalgica. Sin embargo, el lector debe recordar que la implementacin se puede hacermediante sistemas con base en microprocesadores; adems, con la utilizacin de estos nue-vos sistemas se simplijca en gran medida la implementacin. Los principios de las tcnicasque se presentan son los mismos, no importa qu tipo de sistema se utilice para imple-mentarlas.

    8-2. CONTROL DE RAZN

    Una tcnica de control muy comn en los procesos industrial& es el control de razn.En esta seccin se presentan dos casos industriales de control de razn para ilustrar elsignificado y la implementacin. El primer caso es simple, pero con l se explica clara-mente la necesidad del control de razn.

    Para ordenar las ideas expuestas, se supone que se deben mezclar dos corrientes delquidos, A y B, en cierta proporcin o razn, R, esto es,

    El proceso se muestra en la figura 8-3. En la figura 8-4 se expone una manera fcil decumplir con dicha tarea; cada flujo se controla mediante un circuito de flujo en el cualel punto de control de los controladores se fija de manera tal que los lquidos se mezclanen la proporcin correcta. Sin embargo, si ahora se supone que no se puede controlar

    Figura 8-3. Mezcla de dos corrientes lquidas.

  • CONTROL DE RAZN 4 3 1

    Figura 8-4. Control de la mezcla de dos corrientes lquidas.

    uno de los flujos (la corriente A), sino bnicamente medirlo, flujo que se conoce comoflujo salvaje, se maneja generalmente para controlar alguna otra cosa, por ejemplo,el nivel o la temperatura corriente arriba, y, por lo tanto, ahora la tarea de control esms difcil. De alguna manera, la corriente B debe variar conforme vara la corrienteA, para mantener la mezcla en la razn correcta; en la figura 8-5 se muestran dos esque-mas posibles de control de razn.

    El primer esquema, el cual aparece en la figura 8-5a, consiste en medir el flujo salva-je y multiplicarlo por la razn que se desea (en FY 102B) para obtener el flujo que se re-quiere de la corriente B. Esto se expresa matemticamente como sigue:

    B = R A

    La salida del multiplicador o estacin de razn, FY102B, es el flujo que se requiere dela corriente B y, por lo tanto, sta se utiliza como punto de control bar%el controladorde la corriente B, FIClOl; de manera que, conforme vara la corriente A, el punto decontrol del controlador de la corriente B variar en concordancia con aqulla para mante-ner ambas corrientes en la razn que se requiere. Se notar que, si se requiere una nuevarazn entre las dos corrientes, la R nueva se debe fijar en el multiplicador o estacinde razn. Tambin se notar que el punto de control del controlador de la corriente B

  • 432 TCNICAS ADICIONALES DE CONTROL

    r-----------**ti

    Figura 8-5. Control de razn del sistema de mezcla.

    se fija desde otro dispositivo, y no desde el frente del panel del controlador; en conse-cuencia, como se explic en la seccin 5-3, el controlador debe tener el conmutador re-moto/local en la posicin de remoto.

  • CONTROL DE RAZN 433

    El segundo esquema de control de razn, figura 8-5b, consiste en medir ambas co-rrientes y dividirlas (en FY102B) para obtener la razn de flujo real a travCs del sistema. Larazn que se calcula se enva entonces a un controlador, RIClOl, con el cual se manipulael flujo de la corriente B para mantener el punto de control. El punto de control de estecontrolador es la razn que se requiere, y se fija desde el panel frontal.

    En este ejemplo se utilizaron sensores diferenciqes de presin para medir los flujos.Como se muestra en el apndice C, la salida del sensor-transmisor mencionado guardarelacin con el cuadrado del flujo y, por tanto, se utilizaron extractores de raz cuadradapara obtener el flujo; sin embargo, como se menciona en el apndice C, actualmentela mayora de los fabricantes incluyen un extractor de raz cuadrada en sus transmisoresdiferenciales de presin, por lo cual la seal que sale de dicho transmisor ya esta en rela-cin lineal con el flujo y no se necesita el extractor de rafz cuadrada separado. Ambosesquemas de control se pueden implementar sin los extractores de raz cuadrada, sin em-bargo, se utilizan para hacer que el circuito de control se comporte de manera ms lineal,de lo cual resulta un sistema ms estable.

    En la industria se utilizan ambos esquemas de control, sin embargo, se prefiere elque aparece en la figura 8-5a, porque es ms lineal que el mostrado en la figura 8-5b.Lo anterior se demuestra mediante el analisis de los manejos matemticos en ambos es-quemas; en el primero se resuelve la siguiente ecuacin, con FY102B:

    B = RA

    La ganancia de este dispositivo, es decir, la cantidad en que cambia la salida por cadamodificacin en la corriente de entrada A se expresa con

    el cual es un valor constante. En el segundo esquema se.resuelve la siguiente ecuacin,con FY 102B:

    . < R=;

    La ganancia se expresa mediante

    dR B-= - -dA AZ

    de manera que, al cambiar el flujo de la corriente A, sta tambin cambia, lo cual da lugara una no linealidad,

    Un hecho definitivo acerca de este proceso. de mezcla. es que, aun cuando se puedancontrolar ambos flujos, es ms conveniente implementar el control de razn, en compara-cin con el sistema de control que aparece en la figura 8-4; en la figura 8-6 se muestra

  • 4 3 4 TCNICAS ADICIONALES DE CONTROL

    44Figura 8-6. Control de razn del sistema de mezcla -se manipulan ambos circuitos.

    un esquema de control de razn para este caso. Si. se tuviera que incrementar el flujo total, eloperador slo tiene que cambiar un flujo, el punto de control de FIClOl ; mientras queen el sistema de control de la figura 8-4 el operador necesita cambiar dos flujos, tantoel punto de control de FIClOl como el de FIC102.

    En las figuras 8-5 y 8-6 se empiezan a utilizar puntas de flecha para indicar la direc-cin de transmisin de las seriales (flujo de la informacin); aun cuando esto no,esta nor-malizado, se logra que sea ms fcil seguir tales diagramas complejos. Tambin se utilizala abreviacin SP para indicar la seal del punto de control de un controlador; se deberecordar que es necesario colocar en remoto la opcin localkemoto del controlador.

    El esquema que se ilustra en la figura 8-5~ es muy comn en la industria de proceso.Los fabricantes han desarrollado, principalmente para los sistemas con base en micropro-cesadores, un controlador en el que se recibe una seal, se multiplica por un nmero (razn)y el resultado se utiliza como punto de control, esto significa que la estacin de razn,FYlMB en la figura 8-5a, se puede incluir en el mismo controlador. De manera similar, enla figura 8-6 FY 101C se puede incluir en FIC102.

    Como se puede ver, a partir de este sistema de mezclado se inici el desarrollo deesquemas de control ms complejos que el simple control por retroalimentacin. En eldesarrollo de estos planes es til recordar que toda seal debe tener un significado fsico,en las figuras 8-5 y 8-6 se etiquet cada seal con su significado, por ejemplo, en la figura8-5~ la seal que sale de FT102 se relaciona con el cuadrado del flujo de la corriente A,A2, entonces la salida del extractor de raz cuadrada FY 102A es el flujo de la corriente A.

  • CONTROL DE RAZN 435

    Si ahora se multiplica .esta seal por la razn BA, la seal que sale de FY102B esel flujo que se requiere de la corriente B. A pesar de que esto no es un estndar, en losucesivo se etiquetarn las seales con su significado a lo largo del captulo; se recomien-da que el lector haga lo mismo.

    Ejemplo 8-2. Otro ejemplo comn de control de razn que se utiliza en la industria deproceso es el control de la razn aire/combustible que entra a una caldera o a un horno.El aire se introduce en una cantidad superior a la que se requiere estequeomtricamentepara asegurar la combustin completa del combustible; el exceso de aire que se introducedepende del tiempo de combustible y del equipo que se utilicen; sin embargo, a una cantidadmayor de aire en exceso corresponde una mayor prdida de energa, debido a los gasesde escape; por lo tanto, el control del aire que entra es muy importante para una operacinadecuadamente econmica.

    Generalmente se utiliza el flujo de los combustibles como variable manipulada paramantener en el valor que se desea la presin del vapor que se produce en la caldera. Enla figura 8-7 se muestra una forma de controlar la presin de vapor, as como el esquemapara controlar la razn de airekombustible; este esquema se conoce como control porcolocacin en paraleloo* !T 12) con ajuste manual de la razn aire/combustible. La pre-sin devapor se transmite mediante PT101 al controlador de presin PIClOl, con el cual

    Escapade gases

    Figura 8-7. Control de posicioaamiento paralelo con ajuste manual de la razn airelcombustible.

  • 436 TCNICAS ADICIONALES DE CONTROL

    Figura 8-8. Control de medicin completa con ajuste manual de la razn airekombtistible.

    se maneja ia vSilvula de combustible para mantener la presin; simultineamente, con elcontrolador se maneja tambin el regulador de aire a travs de la estacin de razn FY 101C;asimismo, con dicha estacin se fija la razn airekombustible que se requiere.

    Con el esquema de control que se muestra en la figura 8-7 no se mantiene realmenteuna razn de flujo aire/combustible, sino ms bien una razn de seales para los elemen-tos finales de control. El flujo a travs de dichos elementos depende de estas seales yde la cafda de presin a travh de ellos; en consecuencia, con cualquier fluctuacin depresin a travs de la vlvula o del regulador de aire, se cambia el flujo aunque no secambie la abertura, y esto, a su vez, afecta al proceso. de combustin y a la presin

  • CONTROL DE RAZN 437

    de vapor. En la figura 8-8 se muestra un esquema de un mejor control, que se conocecomo control por medicin completa() y con el cual se evita este tipo de perturbaciones;la razn aire/combustible todava se ajusta manualmente. En el esquema mencionado, elflujo de combustible se fija mediante el controlador de presin, y el de aire se racionaa partir del flujo de combustible. Cualquier perturbacin en el flujo se corrige por mediode los circuitos de flujo.

    Una extensin interesante de estos esquemas de control es la siguiente: puesto queel exceso de aire es tan importante para la operacin econmica de las calderas, se propo-ne analizar los gases de escape, a los cuales se les conoce tambin como gases de combus-tin o desecho, para el exceso de 02. La razn airekombustible se puede ajustar o afinarcon base en este anlisis; en-la figura 8-9 se muestra este nuevo esquema de control,donde se aprecia un analizador transmisor, ATlOl, y un controlador, AIClOl, con elcual se mantiene el exceso que se requiere de O2 en los gases de escape, mediante laderivacin (en FYlOlD) de la seal de la estacin de razn, que es el punto de control,al controlador de flujo de aire. Otra forma posible de controlar el exceso de 02 es per-mitir que la razn requerida se fije con AIClOl; en este caso la salida de FYlOlA semultiplica por la seal de salida de AIC 101. En la figura 8-9 se ilustra tambitn la utiliza-cin de los limitadores de. mximo y mfnimo, FYlOlE y FYlOlF; estas dos unidadesse utilizan principalmente por razones de seguridad, ya que con ellas se asegura que elpunto de control del flujo de aire estara siempre entre un cierto valor superior e inferiorprefijado.

    En el esquema de control que aparece en la figura 8-8 el flujo de aire siempre sigueal flujo de combustible; esto es, con el controlador de presin se cambia primero el flujode combustible y, entonces, el flujo de aire sigue al de combustible. En las industrias deproceso la forma ms comn para implementar el control de razn aire/combustible espor medio del mtodo que se conoce como control por limitacin cruzada; la imple-mentacin mencionada es de forma tal que,kuando la presin de vapor decrece y se re-quiere ms combustible, primero se incrementa el flujo de aire y, posteriormente, le sigueel flujo de combustible; cuando se incrementa la presin de vapor y se requiere menoscombustible primero se decrementa el flujo de combustible y, enseguida el flujo de aire.Con esta estrategia de control se asegura que, durante los transitorios, la mezcla de com-bustible siempre se enriquezca con aire, con lo cual se logra la combustin completa yse minimiza la probabilidad de humeo de los gases de escape y cualquier otra condi-cin peligrosa que resulte de las porciones de combustible puro que entren en la cmarade combustin. La implementacin de esta estrategia es el tema de uno de los problemas deejercicio al final del captulo.

    En esta seccin se ilustraron dos aplicaciones del control de razn.- Como se mencio-n6 al principio de esta seccin, el control de razn es una tecnica que se utiliza comn-mente en las industrias de proceso; es simple y fcil de aplicar. Junto con los principiosdel control de razn, tambin se ilustr en las aplicaciones la utilizacin de los re& decmputo tales como los extractores derafz cuadrada y los limitadores de mximo y mfni-mo. En el desarrollo y explicacin de estos esquemas de control algunas veces se utiliza-ron ms bloques de los que se requieren en la prctica real; en la figura 8-9 se muestraun ejemplo de esto. Los c&ulos matemticos que se hacen en FYlOlB y FYlOlD se

  • 438 TCNICAS ADICIONALES DE CONTROL

    V a p o r

    A i r espr

    ---------------_------1

    Aii-----_-1

    !

  • CONTROL EN CASCADA 439

    8-3. CONTROL EN CASCADA

    El control en cascada es una tknica de control muy comn, ventajosa y til en las indus-trias de proceso; en esta seccin se presentan. sus principios e implementacin mediantedos casos prcticos. En la mayora de los procesos se pueden encontrar ejemplos de siste-mas de control en cascada.

    Ejemplo 8-3. Se considera el proceso de regeneracin cataltica@ que aparece en la ti-gura 8-10. En este proceso, como su nombre lo indica, se regenera el catalizador de unreactor qumico. El catalizador se utiliza en un ,reactor donde se deshidrogena uu hidro-carburo; despus de un cierto perodo, el carbn (C) se deposita sobre el catalizador ylo contamina; cuando esto ocurre, el catalizador pierde su actividad y se debe regenerar.La etapa de regeneracin consiste en qnemar el carbn que se deposita, para lo cual sesopla aire caliente sobre la capa de catalizador; el oxgeno del aire reacciona con el car-b6n para formar CO*:

    c + 02--+CO*~

    Despus de que se quema todo el carbn, el catalizador queda listo para ser utilizado nueva-mente. ste es un proceso por lotes, sin embargo, la quema del carbn puede tardar variashoras.

    Gases calientes

    < ,& I

    A i r e Combustible

    Figura 8-10. Sistema de regeneracin de catalizador -control simple por retroalimentacin.

  • 440 TCNICAS ADICIONALES DE CONTROL

    Durante el proceso de regeneracin ,del catalizador una variable importante que sedebe controlar es la temperatura de la capa de catalizador, TC. Con una temperatura muyalta se pueden destruir las propiedades del catalizador; por el contrario, con una tempera-tura baja el tiempo de combustin resulta largo. La temperatura de la capa se controlamediante el flujo de combustible que llega al calentador de aire (un horno pequeo), comose muestra en la figura 8-10; por razones de simplificacin no se muestran los controlesde la razn airekombustible, y por lo mismo ~610 se muestra un sensor de temperatura,aunque en la prctica se utilice como variable controlada un promedio de temperatura ola temperatura ms alta en la capa. En la seccin 8-5 aparece un ejemplo donde se elige latemperatura ms alta como variable controlada.

    A pesar de que el esquema de control mostrado en la figura 8-10 funciona, se debereconocer que existen varios retardos de sistema en serie. En el calentador mismo se pre-sentan retardos tales como los de la cmara de combustin y los de los tubos. En el rege-nerador puede haber una cantidad significativa de retardos en funcin del volumen y laspropiedades del catalizador. Todos estos retardos del sistema dan lugar a un circuito decontrol por retroalimentacin lento (constantes de tiempo grandes y tiempo muerto).

    Si se supone que al calentador entra una perturbacin tal como un cambio en la tem-peratura del aire que entra o un cambio en la eficiencia de la combusti6n, la temperaturacon que sale el aire del calentador, TH, se afecta con cualquiera de estas perturbaciones.-Al haber un cambio en TH, eventualmente se tiene como resultado un cambio en la tem-peratura de la capa del catalizador. Con tantos retardos en el sistema, transcurre un tiempoconsiderable para que en el circuito de control se detecte un cambio en Tc. A causa dedichos retardos, en el circuito simple de control de temperatura se tender a sobrecom-pensar, de lo cual resulta un control ineficiente, cclico y en general lento.

    Un mejor mtodo o estrategia de control es aplicar un sistema de control en cascada,como el que se muestra en la figura 8- ll. En este esquema de control se mide la temperatu-ra TH y se utiliza como una variable controlada intermedia; por lo tanto, el sistema constade dos sensores, dos transmisores, dos controladores y un elemento final de control; deesta instrumentacin resultan dos circuitos de control. Con uno de ellos se controla la tem-peratura con que sale el aire del calentador, TH; con el otro se controla la temperatura dela capa de catalizador, Tc. De las dos variables controladas, la temperatura de la capade catalizador es la ms importante; la temperatura de salida del calentador ~610 se utilizacomo una variable para satisfacer los requerimientos de temperatura de la capa de cata-lizador . . .

    La forma en que funciona este esquema es la siguiente: con el controlador TIC101se supervisa la temperatura de la capa de catalizador, Tc; y se decide la forma de manejarla temperatura de salida del calentador, TH, para mantener TC en el punto de control. Estadecisin se enva al controlador TIC 102 en forma de un punto de control; este controladormanipula entonces el flujo de combustible para mantener TH en.4 valor requerido porTIC101 . Si en el calentador se introduce alguna de las perturbaciones que se mencionaronanteriormente, TH se desva del punto de control y se inicia una accin correctiva en elcontrolador TIC102, antes de que cambie Tc. Lo que se hace es dividir el retardo totaldel sistema en dos, para compensar las perturbaciones antes de que se afecte a la variablecontrolada primaria.

  • 441CONTROL EN CASCADA

    Gases calientesCL

    1

    ICombustible

    Figura 8-11. Sistema para regenerar un catalizador -control en cascada.

    En general, el controlador con que se controla a la variable controlada principal,TIC101 en este caso, se conoce como controlador maestro, controlador externo o contro-lador principal. Al controlador con que se controla a la variable controlada secundariageneralmente se le conoce como controlador esclavo, controlador interno o controladorsecundario. Comnmente~se prefiere la terminologa de primariokcundario, porque parasistemas con ms de dos circuitos en cascada la extensin se hace de manera natural.

    La consideracin ms importante al disear un sistema de control en cascada es queel circuito interno o secundario debe ser ms rpido que el externo o primario, lo cuales un requisito lgico. Esta consideracin se puedeextender a cualquier cantidad de cir-cuitos en cascada; en un sistema con tres circuitos en cascada, el circuito terciario debeser ms rpido que el secundario, y ste debe ser ms rpido que el primario.

    Ahora se estudiar la representacin en diagrama de bloques de un sistema de controlen cascada, lo cual ayudar a entender ms esta estrategia tan importante. En la figura8-12 se muestra la representacin en diagrama de bloques para el circuito de control porretroalimentacin que se ilustra en la figura 8-10; se eligieron funciones de transferenciasimples para representar al sistema. En la figura 8-13 aparece el diagrama de bloquesdel sistema en cascada que se ilustra en la figura 8-11; como se aprecia en este ltimodiagrama, en el circuito secundario se empieza a compensar cualquier perturbacin, o

  • 442 TCNICAS ADICIONALES DE CONTROL

    TAire da entrada

    combust ib le

    Figura 8-12. Diagrama de bloques del sistema de la figura 8-10.

    sea, la temperatura de entrada del aire, Tentair, que afecta a la variable controlada secun-daria, TH, antes de que su efecto se resienta ,qn la variable controlada primaria, Tc

    Se notar& que, con la implementacin de un esquema de control en cascada, se cambiala ecuacin caracterstica del sistema de control de proceso y, en consecuencia, se modif-ca la estabilidad. A continuacin se da un ejemplo para estudiar el efecto de la implemen-tacin de un sistema de control en cascada sobre ia estabilidad total del circuito. Sean

    TV = 0.2 min71 = 3 min7 4 = 4 min

    K, = 0.5 %TO/C

    KV = 3,gpml%CO7 2 = 1 minTs = 1 min

    K, = 1 UgpmK3 = 0 . 8 C/C

    KT, = 0 . 5 %TO/C

    Se Supone que todos los controladores son proporcionales.

    Figura 8-13. Diagrama de bloques del sistema de la figura 8-11.

  • CONTROL EN CASCADA 443

    Se aplica el mtodo de substitucin directa que se expuso en el captulo 6, o las tcni-cas de respuesta en frecuencia que se expusieron en el capitulo 7, al circuito de controlpor retroalimentacin que aparece en la figura 8-12, para obtener

    K,.,,, = 4.33 %COI%TO y W,, = 0.507 ciclos/min

    donde el porcentaje de salida del transmisor se designa con %TO, y el de la salida delcontrolador, con %CO.

    Para determinar la ganancia y frecuencia ltimas del controlador primario del esque-ma en cascada, primero se debe obtener el ajuste del controlador secundario, lo cual sepuede hacer mediante la determinacin de la ganancia ltima del circuito interno de lafigura 8-13.

    K,.,,. = 17.06 %COI%TO: se muestra un reactor qumico en el.cual se necesita controlar latemperatura de salida y la composici6n;en este proceso las variables manipuladas sonel flujo de agua para enfriamiento y el flujodesalida.del proceso. En la figura 8-45~ seilustra un evaporador en-el :que elnivel y la concentracin a la salida son las variablescontroladas, y el flujo de salida del proceso y el flujo de vapor, las variables manipuladas.En la figura 845d se muestra una mquina secadora de papel, las variables controladas sonla humedad y el peso del pfoducto final (fibraskea), las dos variables manipuladas son elflujo del depsito a la mquina y el flujo de vapor que llega al ltimo grupo de tamboresde secado. Por ltimo, en la figura 8-45e se describe una columna tpica de destilacincon las variables controladas necesarias; presin en la columna, composicin del destila-do, nivel del acumulador, nivel bisico :y temperatura de la charola; para completar estecontrol se utilizan cinco variablesnranipuladasi, flujo de agua para enfriamiento -la cualllega al condensador-, flujo del destilado, reflujo, flujo de los sedimentos y flujo de va-por que llega al rehervidor.

    En los ejemplos anteriores se observa qe el control de estos procesos puede ser com-pletamente complejo y motivante para el ingeniero de proceso. Generalmente, el ingenierose debe hacer tres preguntas cuando se enfrenta con un problema de control de este tipo:

    %. .1. Cul es la mejor agrupacin por pares de variables controladas y manipuladas?2. Cunta interaccin existe entre los diferentes circuitos de control y cmo afecta

    a la estabilidad de los circuitos?3. $e puede hacer algo para reducir la interaccin entre los circuitos?

    En esta seccin se muestra cmo responder tales preguntas mediante tcnicas simples yprobadas. Para empezar se presenta una breve explicacin sobre grficas de flujo de seal(GFS) (SFGpor sus siglas eningls); GFS es un metodo conveniente y fcil para reducira funciones de transferencia los diagramas de bloques complicados, y ser til para con-testar la pregunta 2. A continuacin se analizan las preguntas individualmente.

    .&Bficas de flujo de seal (GFS)

    Las grcas de flujo de seal (GFS) son representaciones grficas de las funciones detransferencia con que se describre a los sistemas de control. Para sistemas complejos es

  • 480 TCNICAS ADICIONALES DE CONTROL

    .

    (4

    Fluyo de salida

    Figura 8-45. Procesos multivariable. a) Sistema de mezcla&. b) Reactor qumico. c) Evaporador.,&) Mquina para papel. e) Columna de dgstilacih.

  • CONTROL DE PROCESO MULTIVARIABLE 4 8 1

    Destilado

    mucho ms fcil desarrollar la funcin de transferencia de circuito cerrado y la ecuacincaracterstica mediante la utilizacin de tcnicas GFS que mediante la utilizacin de losmtodos de diagramas de bloques que se estudiaron en el captulo 3. En esta seccin sepresenta la tcnica GFS, pero para una presentacin ms detallada se remite al lector ala referencia bibliogrfica 6.

    En la figura 8-46~1 se muestra la representacin grfica de una funcin de transferen-cia en diagrama de bloques y en grfica de flujo de seal. La figura 8-46b es la represen-tacin de un sistema de control por retroalimentacin en ambas formas.

    Antes de pasar a las reglas de GFS es importante definir algunos trminos.

    l La variable se representa mediante un nodo.l La funcin de transferencia se representa ,por medio de una rama, una lnea con

    una flecha, la cual relaciona los nodos que une.l Una truyectoriu es una sucesin unidireccional y continua de ramas, a lo largo de

    la cual no se pasa por ningn nodo ms de una vez.l La funcin de transferencia de la trayectoria es el producto de las ramas de las

    funciones de transferencia que se encuentran al recorrer la trayectoria.l Un circuito es una trayectoria que se origina y termina en el mismo nodo.

    En la GFS de la figura 8-46b se en.cuentran los siguientes valores:

    Trayectoria:

    R(s) -+ E(s) -+ M(.s), -+ F(s) -j C(s) + C(s)Funcin de transferencia de la trayectoria = G,(.s)G,&)Gp,(.s)

  • 482 TCNICAS ADICIONALES DE CONTROL

    X2W=G,(s) x,oX,(s)

    G,(s)Rama

    Ecuacin Diagrama de bloques

    Cd

    Grfica de flujo de seiial

    I

    Diagrama de bloques

    M(s) F(s)G,(s) G,(s) G,(s)

    Grfica da flujo de serlal

    (b)

    Figura 8-46. Diagrama de bloques y reprsentacin en grtificas de flujo de seal.

    Circuito:

    E(s) -+ M(s) + F(s) -+ C(s) + E(.s)

    Funcin de transferencia del circuito = - Gc(.s)G~(~)Gp,(.~)H(.~)

    En la figura 8-47 se nuestran algunas de las reglas que se necesitan en el lgebra de lasgrficas de flujo de seal.

    Con dichas reglas y las definiciones anteriores se puede determinar la funcin de trans-ferencia que se requiere, a partir de la gifica de flujo de seal. Con este propsito seutiliza la fbrmula de ganancia de Mason.

  • C O N T R O L D E P R O C E S O M U L T I V A R I A B L E 483

    1. Regla de adicin

    Y(s) = C,(s)X,(s) + GZW&W

    - G,(.y)X,W

    2. Regla de transmisin.,

    Y,(s) = G,(s)X(s)

    Yz(s) = G2(s)X(s)

    y,W = - GJ(s)X(S)

    3. Regla de multiplicacin

    x,(s) = G3(s)X3(.s) = G3(s)G+)X#) = G&)G(W,WXI(~)

    Figura 8-47. Reglas del lgebra de las grficas de flujo de seal.

  • 484 TCNICAS ADICIONALES DE CONTROL

    CPAj-Z-

    a (8-27)

    donde:

    T = factor de transmisin (funcin de transferencia) entre el nodo de entrada yel de salida.

    Pi = producto de la funcin de transferencia en la iava trayectoria hacia adelanteentre el nodo de entrada y el de salida

    A = determinante de la grfica de flujo de seal o ecuacin caracterstica= 1 - (-l)+ CC Lix

    kj= 1 - c ci, + 2 &;* - 2 Lj3 -t . . .

    Ljr = prodicto de todas las mnciones de transferencia en el circuito individual jLP = producto de todas las funciones de transferencia en el grupo j de 2 circuitos

    que no se tocanLi3 = producto de todas las funciones de transferencia en el grupo j de 3 circuitos

    que no se tocan

    Ljk = producto de todas las funciones de transferencia en el grupo j de k circuitosque no se tocan

    Ai = evaluacin de A con circuitos que tocan Pi eliminados

    Los circuitos que se tocan son aquellos que al menos tienen un nodo en comn.Ahora se vern varios ejemplos acerca de la utilizacin de GFS para obtener las fun-

    ciones de transferencia que se desean.

    Ejemplo 8-7. Se considera el diagrama de bloques que aparece en la figura 8-466 y seutiliza la grfica de flujo de seal para determinar las funciones de transferencia de circui-to cerrado.

    C(S) C(s)-R(s) y L(s)

    En la figura 8-466 se muestra la grfica de flujo de seal para este diagrama de bloques.Para la primera de las funciones de transferencia que se requieren

    ,=c(s)R(s)

  • CONTROL DE PROCESO MULTIVARIABLE 485

    ~610 hay una trayectoria hacia adelante entre el nodo de entrada, R(s), y el nodo de salida,C(S). Tambin existe un solo circuito, por lo tanto

    Trayectoria

    PI = Gc(sPW)W)

    Circuito4, = - GcWGv(W,(W(d

    A = 1 + Gc(s)Gv(s)G,(s)H(s)

    Puesto que ~610 con un circuito se toca la trayectoria hacia adelante, Ar = 1; entonces,se puede determinar que

    &Ai = Gc(s)GvWG,(s)i

    Finalmente, se encuentra -

    C(s) G&)&(WI(~R(s)= 1 + GcWv(s)G,(s)H(s)

    el cual es el resultado que se esperaba.Para la otra funcin de transferencia que se requiere

    T - C(s)L(s)

    tambin en este caso ~610 hay una trayectoria entre el nodo de entrada, L(s), y el nodode salida, C(s), y ~610 un laxo de este sistema toca a la trayectoria, de manera que

    Trayectoria

    PI = G(S)

    Circuito

    LI, = - GcWGvWG, (W(s)

    A = 1 + Gc(s)Gv(s)G,(s)H(s)

    A, = 1

    Entonces, se encuentra que

    C Pini = G*(S)i

  • 466 TCNICAS ADICIONALES DE CONTROL

    Y, finalmente, se obtiene

    C(s) CAS)-=U.7) 1 + Gc(s)G,(s)G,(s)H(s)

    el cual es nuevamente el resultado que se esperaba.

    Ejemplo 8-8. Ahora se considera el diagrama de bloques del sistema de control en cas-cada que aparece en la figura 8-48a, y se debe obtener

    Para determinar

    C,(s)

    Ro

    T _ C?W

    R(s)

    el primer paso es dibujar la grfica de flujo de seal, como se muestra en la figura 8-486.S610 existe una trayectoria entre R(s) y C,(s) con la cual se tocan los dos circuitos delsistema; adems, ambos circuitos se tocan entre si.

    R(s) E,(s) E,(s) M, 6) F(S) C,(s) C,(s) C:(S)

    (b)

    Figura 843. Diagrama de bloques y grfica de flujo de seal de un sistema de control en cascada.

  • C O N T R O L D E P R O C E S O M U L T I V A R I A B L E

    Trayectoria

    P, = G,,(s)G,,(s)G,(s)C;,(S)GZ(S)

    Circuitos

    L,, = -Gc,(s)G,(s)G,(s)H,(s)

    152, = - Gcz(s)Gc,(s)G~(s)G,(.~)G(s)~,(.~)

    A = 1 + Gc,(s)G~(s)G,(s)H,(s)

    + Gcz(s)Gc,(.s)Gv(s)G,(s)Gz(s)Hz(s)

    Puesto que se toca la trayectoria nica con ambos circuitos, AI

    487

    = 1, y se encuentra que

    CPiAi = Gc2(s)Gc,(s)GV(s)G,(s)G2(s)I

    Y, finalmente, se obtiene

    C,(s) Gcz(s)Gc,(s)G~(s)G,(s)Gz(s)-=R(s) 1 + Gc,(s)G,(s)G,(s)H,(s) + Gcz(s)Gc,(s)Gv(s)G,(s)GzoHz(s)

    Ejemplo 8-9. Se considcrti ei diagrama de bloques de la figura 8-49a, con el cualse describe un sistema multivariable 2 x 2. Para simplificar el diagrama de bloques sepuede definir lo siguiente:

    GEY, = G,,W,,(W,(s)Gpds) = G,,(s)G,,(.W,(4

    GP,z(s) = G,d.Wdd~,(~)

    Gp22W = GdWnW~h)

    Por lo tanto, el diagrama de bloques es el que se muestra en la figura 8-49b. Se debedeterminar

    C,(s)R,(s)

    C,CdR,(s)

    Como se hace generalmente, primero se dibuja el diagrama de bloques en forma degrfica de flujo de seal, como se muestra en la figura 8-50.

    Primero se obtiene

    ,=c,(s)R,(s)

    En este sistema existen varios circuitos y trayectorias posibles.

  • 488 TCNICAS ADICIONALES DE CONTROL

    (6)

    Figura 849. Diagrama de bloques de un sistema multivariable 2 X 2.

    Trayectorias

    P, = Gc,WGP,,(.~

    Pz = - G~,(s)G~?,(s)Gc?(s)G~?I(s)

  • C O N T R O L D E P R O C E S O M U L T I V A R I A B L E 489

    R,(s) C(S)1 Gc, (s) 1

    Figura 8-50. Grfica de flujo de seal para un sistema multivariable 2 X 2.

    Circuitos

    - L,, = -G&)Gp,,(.s)

    L,, = - Gc2(.s)Gp,,(.s)

    L,, = Gc,(.s)Gpr,(~)Gc~(.~)Gp120

    L,> = Gc,(.s)Gp,,(.s)Gc~(.s)G~~~(.s)

    Los circuitos LI1 y Ll* son los de retroalimentacin que ya se conocen. El circuito b1es ms complicado y pasa a travs de ambos circuitos de retroalimentacin. El circuitoLl2 es el producto de multiplicar los circuitos LlI y I&, ya que son circuitos que no setocan. Entonces, se obtiene

    A A 1 + Gc,(.s)Gp,,(.s) 4 Gc2(s)Gp2v(.s) - G~,(s)G~~,(s)G~~(s)G~,~(.s)

    + GdsGp, ,b)Gc~(.s)Gp~~b),i

    Si se utiliza lgebra, la A se puede escribir como sigue:

    LI = Il + G(dG,,,(s)l Il + G&GmC~)1 - Gc,(s)G,,,(.s)G,z(s)Gp,~(~)

    Este ltimo paso no es necesario, sin embargo, se ver que es til en el estudio de la esta-bilidad del control multivariable que se har posteriormente en este capitulo. Se continapara encontrar

    n, = 1 + GczWG~zz(4

    n2 = 1

  • 490 TCNICAS ADICIONALES DE CONTROL

    De lo anterior, se ve que

    CpA = GCIWpllW 11 + GC2WGp22WI - Gcl(~)Gp21(~)GC2(~)Gp12(~)

    Y, finalmente, se obtiene

    C,(s)-= Gc, WP, I(S) Il + Gc2(4G~22Wl - CC,(~)GP~I(~)GCZ(~)GPI~(~)R,(s) I 1 + Gc,CW,,,Wl Ii + Gc2WG,,,C~)l - Gc,(s)GP,zI(s)Gcz(s)GPIz(s)

    Para la otra funcin de transferencia que se busca

    T - Cl(S)R2W

    10s circuitos son 10s mismos, pero las trayectorias cambianI

    TrayectoriaP, = GczWG~,z(d -,

    Por lo tanto, Ar = 1 y

    &4 = Gc~WGP,Z(.~I

    Finalmente, se ve que

    Ch) GczWG~d4- ZrR,(s) 11 + Gc,(s)GP,,~.~)I Il + GczGmzWl - Gc,(~)GP~,(~)G,~(~)GP,~(s)

    Como se vio en estos ejemplos, la tcnica de grfica de flujo de seal es una herramientasimple y poderosa, la cual representa una manera de obtener las funciones de transferen-cia de circuito cerrado que sern difciles de obtener mediante el lgebra de diagramasde bloques.

    Seleccin de pares de variables controladas y manipuladas

    La primera pregunta que se hizo al principio de esta seccin se relaciona con la formade agrupar por pares (parear) las variables controladas y las manipuladas. La mayora delas veces, la decisin sobre la agrupacin por pares es simple, pero algunas veces es msdifcil. Ejemplos de casos difciles son el sistema de mezcla que aparece en la figura 8-452y el reactor qumico que se muestra en la figura 8-456. Para estos ejemplos existe unatcnica con la que se tiene xito en numerosos procesos industriales; se utiliza un procedi-miento 2 x 2 para presentar los fundamentos de la tcnica (ver figura 8-51); despus dehacer esto, se extiende el mtodo a procesos n X n. En esta notacin la primera nes la cantidad de variables controladas, y la segunda n es la cantidad de variables mani-puladas.

  • C O N T R O L D E P R O C E S O M U L T I V A R I A B L E 4 9 1

    Figura 8-51. Diagrama de bloques parcial de un proceso multivariable 2 x 2.

    Para empezar, tiene sentido que cada variable controlada se controle mediante la va-riable manipulada que ejerce mayor influencia sobre aqulla. En este contexto, la in-fluencia y la ganancia tienen el mismo significado y, en consecuencia, para tomar unadecisin se deben encontrar todas las ganancias del proceso (4 ganancias para un sistema2 X 2). Especficamente, las ganancias de estado estacionario de circuito abierto de inte-rCs son las siguientes:

    Ac,K,, = - K =nc,

    Am ,,,? Am2 ,n,

    AcK2, = - AcAmI II,?

    K22 = nm= m ,

    donde KV es la ganancia que relacha la variable controlada i con la variable manipula-daj.

    Las cuatro ganancias se pueden ordenar en forma de matriz, a fin de tener una des-cripcin grfica de su relacin con las variables controlada y wnipulada. La matriz seconoce como matriz de ganancia de estado estacionario (MGEE) (SSGM por sus siglasen ingls), y se muestra en la figura 8-52.

    Con base en esta MGEE, parecerfa que debiera elegirse la combinacin de variablecontrolada y manipulada con que se obtiene el valor absoluto ms grande en cada lnea;es decir, si 1 Klz ) es mayor que 1 K1, 1, entonces se debe elegir m2 para controlar a cl; sin

    Figura 8-52. Matriz de ganancia de estado estacionario (MGEE).

  • 492 TCNICAS ADICIONALES DE CONTROL

    embargo, esta manera de elegir el par de variable controlada y manipulada no es comple-tamente correcta, ya que las ganancias Ku pueden tener diferentes unidades y, conse-cuentemente, no es posible hacer la comparacin. Como se ve, la matriz depende de lasunidades y, por lo tanto, no es til para este propsito.

    Para normalizar la MGEE y hacerla independiente de las unidades, se propone unatecnica que desarroll Bristol), cuyos resultados probaron ser buenos; dicha tcnica sedenomina ganancia relativa de la matriz (GRM) o medida de interaccin.

    En la forma en que la propuso Bristol, los trminos de la GRM se definen como sigue:

    0, en general

    (8-28)

    Para asegurar que se entienda el significado e importancia de todos los trminos dela ecuacin (828), se analizan a continuacin. El numerador

    es la ganancia de estado estacionario, KV, que se defini anteriormente; es decir, es laganancia de mj sobre ci cuando todas las dems variables manipuladas se mantienen cons-tantes , El denominador

    es otro tipo de ganancia, K{ ; sta es la ganancia de mj sobre ci cuando se cierran todoslos dems circuitos, y se supone que los dems controladores tienen accin integral; por lotanto, todas las dems variables controladas regresan a su punto de control. En conse-cuencia, se puede escribir

    ganancia cuando se abren los dems circuitosPij =

    _ Kiiganancia cuando se cierran los dems circuitos K;

  • , CONTROL DE PROCESO MULTIVARIABLE 493

    Figura 8-53. Matriz de ganancia relativa (MGR).

    Como se aprecia en esta definicin, el trmino de ganancia relativa es una cantidad sindimensiones, la cual se puede utilizar para decidir la agrupacin por pares de las variablescontrolada y manipulada.

    Una vez que se evalan los t&minos de ganancia relativa, es posible formar la matrizde ganancia relativa que se muestra en la figura 8-53; a partir de dicha matriz se puedehacer la agrupacin por pares de variables controlada y manipulada. Antes de presentarla regla de agrupacin por pares se tratara de lograr una mejor comprensin de los trmi-nos de ganancia relativa.,

    Una propiedad de la matriz de ganancia relativa es que la suma de todos los trminosen cada columna debe ser igual a uno, lo cual quiere decir que, para un sistema 2 X 2,nicamente se requiere evamar un trmino, y los otros se pueden obtener mediante estapropiedad. En un sistema 3 X' 3, en el cual existen nueve trminos en la matriz, ~610se necesita evaluar cuatro tCrminos independientes, y los otros se obtienen mediante arit-mtica simple. Esta propiedad se probar posteriormente en la presente seccin.

    Antes de proceder a la evaluacin de pti se debe comprender su significado. A partirde la definicin de pcLij, se observa que es una medida del efecto de cerrar todos los de-ms circuitos sobre la ganancia de proceso para un cierto par de variable controlada ymanipulada. Por lo tanto, el valor numrico de pcLii es una medida de la interaccin entrelos circuitos.

    Si cc, = 1, esto significa que, cuando se abren todos los dems circuitos, la ganan-cia del proceso es la misma que cuando se cierran; esto~indica que entre el circuito deinters y los dems circuitos no hay- interaccin o posible interaccin que elimine la des-viacin. Cuanto ms se,desva pti de 1, tanto mayor es la interaccin entre los circuitos.

    Si clti = 0, esto puede deberse a dos posibilidades: primera, la ganancia de circuito

    ac. . ,

    Figura 8-57. Sistema interactivo general 2 x 2 con .desacoplador.

  • CONTROL DE PROCESO MULTIVARIABLE 507

    I /M,(S) I

    Figura 8-58. Diagrama de bloques simplificado de un sistema interactivo 2 x 2 con desacoplador..C

    y, por lo tanto, la idea es disear un controlador interactivo para producir un sistemano interactivo. I In

    EMagrama de bloques de la figura 8-57 se puede simplificar si se combinan las fin-ciones de transferencia del proceso de la siguiente manera

    Gpi,b) = G&)G,(s)

    El-nuevo diagrama de bloques se muestra en la figura 8-58: En la figura 8-59 se muestrael diagrama de bloques de circuito abierto para el desacoplador y el proceso; a partir deeste ,ltimo diagrama se pueden disear los desacopladores para un sistema 2 x 2.

    La salida del segundo controlador, h&(s), afecta a ia primera variable controlada,C,(S), de la forma en que se expresa en la siguiente ecuacibn:

    C,(s) = W,AS)GP,,(S) + 4zWGmWlMd4 (8-46)

    De manera semejante, con MI(s) se afecta a C,(S), como se expresa en la siguienteecuacin:

    c,(s) = lD&)Gi&) + ~,ddGd~)l~~W (8-47)

    Como se ve, ahora se tienen dos ecuaciones, (8-46) y (8-47), y cuatro incgnitas,Dll(s), D.&), L&(S) y II&); por consiguiente, se tienen dos gradowde libertad, lo quesignifica que dos de las incgnitas se diben fijar antes de calcular el resto; un procedi-

  • 5 0 8 TCNICAS ADICIONALES DE CONTROL

    _ _Figura 8-59. Diagrama de bloques de circuito abierto para un sistema interactivo 2 x 2 con desa-copiador.

    i: . /

    miento comn es fijarlas a la unidad. Generalmente los elementos que se eligen sonDrt(s) y &(s). De acuerdo con este procedimiento, las dos ecuaciones, se hacen

    C d . 4 = L&z(WP,,W + G,&)MW (8-48)

    YC2(4 1= [D21WGp22(4 + Gpds)lM,(s) i (8-49)

    Ahora el objetivo es disear &(s) de manera que, cuando ,la salida4delsegundocontrolador cambie, la primera variable controlada permanezca.constant& Si lavariable con-trolada tiene que permanecer constante, su variable de desviacin es cero, C;,(S) .= 0; en-tonces, a partir de la ecuacin (8-48), se tiene

    0 = IDdWp,,b) + 3,,2(4lM2(4

    ,

    y, finalmente, se obtiene

    D,*(s) = -GPl2(4

    CPI I(S)(8-50)

    . L

    De manera similar, D&) se puededisear de modo que, cuando MI(s) camba, Cs(s)permanezca en cero;. de la ecuacin (849) se tiene -

  • CONTROL DE PROCESO MULTIVARIABLE 509

    Figura 8-60. Evaporador..

    (8-51).i >

    Las ecuaciones (8-50) y (8-51) son las ecuaciones de diseo del desacoplador para unsistema 2 x 2. Se debe recordar que Drr(s) y D&) se fijan a la unidad. Ahora se utili-zar un ejemplo para mostrar con ms detalle los clculos y las implementaciones.

    Ejemplo 8-10. Ahora se cnsidera el evaporador que,.aparece en la figura 8-60, en elcual una solucin acuosa de NaOH se concentra de 0.2 a 0.5 fracciones de masa de NaOH;existen dos variables controladas, el nivel del liquido y la salida de fraccin de masa deNaOH, y dos variables manipuladas, el caudal de entrada y el del producto. Los datosque aparecen en la tabla 8-5 se obtuvieron por medio de prueba dinmica. El rango deltransmisor de nivel es de 1-5 m, y el del transmisor de concentracin, de 0.2-0.8 fraccio-nes de masa de NaOH. Se debe decidir la agrupacin por pares correcta de las variablesy disear el sistema para desacoplamiento; asimismo, es necesario dibujar el diagramacon la instrumentacin que se requiere para implementar el desacoplador; toda la instru-mentacin, con excepcin de las vlvulas, es electrnica.

    Lo primero que se debe hacer es dibujar el diagrama de bloques de circuito abiertogeneral para este sistema, como semuestra en la figura 8-61~. Con base en los datos deque se dispone, se observa que el diagrama se puede simplificar al que se muestra en lafigura 8-61b. La informacin que aparece en la tabla 8-6 se utiliza en conjunto con elmtodo de clculo 3 que se estudi en el captulo 6, para determinar las siguientes funcio-nes de transferencia:

    G (~) = o.o72c-3 m PLI 2.7s + t % de salida del controlador 1

  • 510 TCNICAS ADICIONALES DE CONTROL

    Tabla 8-5. Datos dinmicos del evaporador

    Tiempo, min m,, %CO* x, fraccidn de masa L, m00

    0 . 2 50.500.751 .oo1.251.502.002.503.004.005.006.007.008.009.00

    10.00l l .oo

    Tiempo, min

    50757575757575757575757575757575 : $757575

    m2, %CO*

    0.5000.5000.4930.4770.4640.4530.4470.4390.4270.4190.4160.4160.4160.4160.4160.4160.4160.416 _0.416

    x, fraccidn de masa

    3.003.003 . 1 03 . 2 2

    3.48

    3.72

    3.144.484.504.624.704.764.794.804.80

    L, m0 50 0.500 3.000 75 0.500 3.00

    0.5 7 5 1 0 . 4 9 7 3.121.0 75 0.488 3.251.5 75 0.483 3.352.0 75 0.479 3.423.0 75 j 0.470 3.574.0 76 0.466 3 . 7 05.0 75 0.465 3.806 . 0 , .> ,75 0.464 3.857.0 75 _i 0.464 3.898.0 75 0.464 3.909.0 75 0.464 3 . 9 0> h

    %CO significa porcentaje de la salida del controlador.I / ..I i I

    _i

    -0.0033rje-0"' fraccidn de masGrds) =

    1.05s + I % de palida del controlador 1 :I ,i

    Gp,-( s) L 0.036e-0,3\1 .

    2.97s t

    m % de salida del controlador 2

    -0 00144e-"~J'G,&s) =

    fraccin de masa1.65s + I- ,< ' % de salida del controlador 2

  • C O N T R O L D E P R O C E S O M U L T I V A R I A B L E 5 1 1

    6n de masa

    Figura 8-61~. Diagrama de bloques de circuito abierto para el evaporador.

    Figura 8-61b.: Simplificacin del diagrama de bloques de circuito abierto del evaporador.

    Ahora, con esta informacin se puede decidir sobre la agrupacin por pares correctay el diseo de los sistemas de desacoplamiento. La matriz de ganancia de estado estacio-nario es la siguiente: 3.

  • 512 TCNICAS ADICIONALES DE CONTROL

    Se aplican las ecuaciones (8-37) a (8-40) para obtener la matriz de ganancia relativa:

    de lo que resulta la agrupacin por pares: .L-m2 y n-ml.Para disear el sistema de desacoplamiento se utilizan las ecuaciones (8-50) y (8-5 1);

    con el fin de evitar cualquier problema al seguir dichas ecuaciones, se desarrolla el dia-grama de bloques de circuito cerrado que se muestra en la figura 8-62. A partir de laecuacin (8-51), se tiene

    De la ecuacin (8-50) se tiene

    I

    Figura 8-62. Diagrama de bloques de circuito cerrado con desacoPlador para el evaporador.

  • CO/JTROL DE PROCESO MULTIVARIABLE 513

    i Ahora se tienen las ecuaciones de los dos desacopladores; se observa que ambas constande un thnino de ganancia, n&mino de adelantofrehrdo y una compensackhde tiempomuerto. C&no se mencioh al estu&& el control por accih precalculada, la implementa-cin de lawmpensacibn de tiempo muertii coa instrumentacin analgica es difcil; pero,por otro lado, con los contioladores actuales con base en microprocesadores, e bastantefcil. Las ecuaciones que generalmente se implementan para desacopladores, so&

    / , .:.

  • 514 TECNICAS ADICIONALES DE CONTROL

    no debe afectar al de composici6n, y viceversa; una forma de verificar esto es derivarlas ,funciones de transferencia del. sistema de, desacoplamiento mediante las grficas, deflujo de seial; ste sera el tema de uno de los problemas al final del captulo.

    Hasta aquf se vio cmo disear sistemas de desacoplamiento para procesos 2 X, 2,pero, iqu pasa con los procesos 3 X .3, o ms complejos? A continuacin se muestrala forma de disefartales sistemas. ,

    Se considera un proceso con IZ variables controladas y n variables manipuladas; larelacin de desacoplamiento que se desea entre las variables controladas, C(s), y las sali-das del conyador, M(s), se puede escribir en forma de matriz, de la manera siguiente:

    donde Nr(s),:.N&), . . . , N,(s) son cualquiera de las funciones que se desean.Con la primera matriz, a la derecha de2 signo igual, se representa la combinacin

    procesodesacoplador; mas especificamente, *esta matriz es -

    0

    Si se multiplican ambos lados por $l, se obtiene la matriz del desacoplador:

    D = &-l . (8-56). _

    En esta ecuacin hay n2 + n parametros desconocidos, pero solamente n2 ecuaciones;por lo tanto, existen n grados de libertad que se deben fijar antes de calcular los otrosparmetros. Como se dijo anteriormente, los grados de libertad qwge+rerelmente se eli-gen son los elementos en diagonal de la matriz de desacoplarmento, D(s); los cuales seigualan a uno.

    Antes de concluir con este tema de desacoplamiento es importante subrayar que el di-seo del desacoplador es equivalente al diseo de un controlador por accin irecalculadaen el que cada variable manipulada es la perturbacin mayor para los dems circuitos. Enel ejemplo que se acaba de presentar, el t6rmino.D2t(s) sirve como controlador con accinprecalculada en el circuito de .composicin; se observa que los t&minos en 4,(s) son exac-tamente los terminos que hay en muchos de los controladores con accin precalculada, unaganancia y un adelanto/retardo; es decir, compensacin dinmica y de estado estacionario.El termino D12(s) sirve como controlador por accin precalculada para el circuito de nivel.

  • RESUMEN 515

    Finalmente, tambin es importante tenei en cuenta que, a diferencia del control poraccin precalculada, los desacopladores forman parte de la ecuacin caracterstica de loscircuitos de control y, por lo tanto, afectan la estabilidad de circuito de control.

    1

    ~7: +~ESVMEN,_ :

    En este captulo se presentaron varias t6cnicas que sirven como auxiliares en el controlde procesos. Todas estas tcnicas, con excepcin del control,multivariable, son completa-mente usuales en la industria actur& %Pra el control multivariable se requiereun mayorgrado de elaboracin y comprensin, lo cual ha retrasado su aplicaci6ri: se remite al lec-tor a la referencia bibliografica 15 parauna presentacin detallada de este tema tan inte-r e s a n t e .

    Todas las tcnicas se preseti&&~iy e.$ic&& sin itipO& la instrumentacibn quese utiliza para implementartis. Se utilizan itist&ments tanto analgicos como digitales,sin embargo, con la creciente utiliza&n d los sistemas con base en microprocesadores,la implementacin se torna ms fcil y1 en consecuencia, la aplicacibn de es& tcnicasse vuelv cada vei mas popul&. Tambiisn es importante tener en cuenta que con ningunade las tcnicas se substituye completamenteal cont%i por retroalimentacir&t, siemprese requiere algn tipo de control por retroalimentacin para completar el control. Como semencion al principio del captulo, para, aplicar estas tdcnicas se requiere una cantidadmayor de ingeniera y equipo, en comparaci6ncon el control por retroalimentacin sim-ple, y, en consecuencia, debe existir una justificacin de su empleo antes de aplicarlas.Adems, para aplicar estas t6cnicas s, requiere mayor entrenamiento del personal deoperacin; si el operarlo no entiende las tircnicas, habriiditicultad en su aplicacin. Loms recomendble es desarrollar l tdcnica de con&1 ms simple, con la que. se logreel desmpo de control que se requiere. : l i

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  • 516 TCNICAS ADICIONALES DE CONTROL

    8.

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    Multivariable,

    PRO&Ef+AS ;( ,,

    ,,,I :- 1 _

    j Se considera el sistema de tubera que se muestra en la figura 8-64, en la cual,fluyegas natural,hacia,un proceso; se necesita medir. el flujo,de gas y ,totalizarlo,.de ma-nera que cada 24 horas se sepai la cantidad total. Se propone sumar la salida deambos transmisores y entonces totalizar (integrar) el resultado. La razn de flu-jo en cada medidor, como diferencial de presin, se expresa de la siguiente ma-nera:

    Gas natural 1. .!

    I l Hada el @oceso

    ., .> ..!

    .; .

    2as natural Hacia el procesa1

    >,, j. j

    Figura 8-64. Croquis para el problema 8-1,

  • P R O B L E M A S .I 517

    DPT21:Q(MSCFH) = 44.73 fi

    DPT22:Q(MSCFH).~i48.10 fi

    donde h es el diferenciaLde presin en-pulgadas de H20. El rango de ambos trans-misores es de 0-100 pulg de H20. Se debe especificar la instrumentacin que serequiere para calcular la razn total de flujo, para lo cual se utiliza la tabla 8-2.Se deben determinar los factores de escalamiento.

    8-2. Ahora se considera el-intercambiador de calor de la figura 8-15, en-el cual se ca-lienta el fluido bajo proceso mediante .condensacin de vapor. Para el esquema decontrol se requiere calcular la energa :que se transfiere al fluido bajo proceso, me-diante la siguiente ecuacin; . 07d -h r

    Se supone que la densidad y la capacidad calorfica son constantes, y que se produ-cen 202.3 Btu/gpm-F-h. Se debe utilizar la tabla 8-1, para especificar la- instru-mentacin que se requiere para calcular la energfa que, se transfiere. Se debenespecificar los factores de escalamento. 8

    8-3. En la figura 8-65 se muestra el reflujo hacia la parte superior de una columna dedestilacin. En la computadorade reflujo interno se calcula el punto de con-trol, I@, del controlador de reflujo externo, de modo que se mantenga el reflujointerno, LI, en un valor fijo, LIfijo El reflujo interno es mayor que el reflujo exter-.no, debido a la condensacin de los vapores en la charola superior, los cuales serequieren para llevar hasta su punto de brbujeo, TV, el reflujo subenfriado contemperatura TL. La siguiente ecuacin se obtiene a partir del balance de energapara la charola superior:

    CL, - LeN = W,U, - Td

    Se debe dibujar la instrumentacin que se requiere para la computadora de re-flujo interno y, adems; utilizar la tabla 8-3 para calcular los coeficientes de escala-miento. Las especificaciones de diseo son las siguientes:

    C,, =. 0;76~Btu/lbm-F; h = 285 Btu/lbm

  • 518 TiCNICAS ADICIONALES DE CONTROL

    Reflujo delacumulador

    .?. -ql. t) for i= 1,2,...,n (9-68)

    3. Los valores de las variables de estado se calculan despus de un incremento detiempo At (frmula de Euler). Para i = 1, 2,. . . , n se calcula:

    XJt+At = 4, + f,At (9-69)

    Let t = t + At (9-70)

    4. Si t es menor que tmax, se repite a partir del paso 2; de otro modo, se terminala corrida.

    Una caracterstica esencial de este programa es que todas las funciones derivadas secalculan en el paso 2, antes de incrementar cualquiera de las variables de estado en elpaso 3, con lo cual se garantiza que todas las funciones derivadas corresponden al estadodel sistema en el tiempo t, como debe ser.

  • SIMULAC16N POR COMPUTADORA DE LOS MODELOS 569

    Antes de correr el programa que se plante arriba, se debe elegir un tiempo inicialtO, un tiempo final tmx y un intervalo de integracin At. Tambin se debe decidir conqu frecuencia se imprimirn las variables que son de inters en la simulacin.

    Duracin de las corridas de simulacin

    La duracin en tiempo de problemas de cada corrida de simulacin es tm, - to; lasunidades de esta cantidad las determinan las unidades de la razn y las constantes de tiem-po de las ecuaciones del modelo; por ejemplo, en las ecuaciones del modelo del reactortodas las razones son por segundo y todas las constantes de tiempo estn dadas en segun-dos, por lo tanto, las unidades de tiempo son segundos.

    En la mayora de las simulaciones el tiempo inicial t. se puede fijar a cero, con ex-cepcin de los casos muy raros donde los parmetros del modelo son funciones del tiem-po; por ejemplo, a causa de viciamiento de las superficies de transferencia de calor y otrascircunstancias parecidas.

    Una vez que se fija el valor de to, la duracin de cada corrida de simulacin sedetermina con tm,; dicha duracin debe ser lo suficientemente larga como para quese complete la respuesta del sistema, pero no tanto como para que la respuesta se com-prima en una fraccin muy pequea de la duracin total de la corrida. Por tanto, el valorcorrecto de t,,,x depende de, la velocidad de respuesta del proceso que se simula; paraprocesos rpidos se necesita que tmx sea de unos cuantos segundos; en cambio, para pro-cesos lentos puede ser del orden de horas. En la figura 9-9 se muestran los tiemposde respuesta para corridas muy largas (comprimido), muy cortas (incompleto) y el apro-piado.

    Con qu se determina la velocidad de respuesta del proceso? Estrictamente hablan-do, con el eigenvalor dominante, es decir, el recproco de la constante de tiempo mslarga del proceso, se controla el tiempo que se requiere para completar la respuesta. Des-afortunadamente, el eigenvalor es difcil de determinar en modelos de procesos complejosno lineales como los que se desarrollaron anteriormente en este captulo. Por otro lado,algunas veces es posible estimar la constante de tiempo ms larga, ya sea con base enla familiaridad con procesos similares o en la intuicin ingenieril; por ejemplo, para elreactor que se considera aqu, la constante de tiempo mslarga es probablemente del or-den de magnitud del tiempo de residencia del reactor, V/F, o alrededor de 1CKKl segun-dos. Una vez que se tiene la estimulacin de la constante ms larga, la duracin de lacorrida se puede fijar en aproximadamente cinco veces la constante de tiempo. Esta reglaprctica se basa en el hecho de que, en un proceso de primer orden, la respuesta se com-pleta en cinco constantes de tiempo; en procesos de orden superior se puede esperar quese tome ms tiempo, y para los de circuito cerrado, un tiempo ms corto. En muchoscasos no se dispone de un mtodo conveniente para estimar la duracin de la corrida,la cual se debe elegir mediante ensayo y error; al seleccionar t,ax, se debe recordar que:

    Sin importar el mtodo utilizado para estimar la duracin de las corridas de simula-cin, sta se debe ajustar siempre con base en la observacin de las respuestas quese obtienen en las primeras corridas.

  • MODELOS Y SIMULACIN DE LOS SISTEMAS DE CONTROL DE PROCESO

    0.20010 5000 10000 15000 20000 25000

    Tiempo, seg

    90.00

    r

    2m 0.450-0z

    0 . 4 4 0 10.0 50.0 100.0 150.0 200.0 250.0

    Tiempo, seg

    Figura 9-9~. Respuesta del reac-tor a una elevacin de 2C en elpunto de control. Ejemplo de unacorrida demasiado larga.

    Figura 9-9b. Respuesta del reac-tor a una elevacin de 2C en elpunto de control. Ejemplo de unacorrida demasiado corta.

  • SIMULACl6N POR COMPUTADORA DE LOS MODELOS 571

    0.200( I I I I0. 500.

    11 0 0 0 . 1500. 2000. 2500.

    Tiempo, seg

    Figura 9-9~. Respuesta del reactor a una elevacin de 2C en el punto de control. Ejemplo de unacorrida con la duracin correcta.

    Rara vez es una buena idea hacer la duracin de la corrida mucho ms larga de lo quese necesita, ya que de esto resulta un desperdicio de tiempo de computadora.

    Eleccin del intervalo de integracin

    Con el intervalo de integracin, At, se afecta la precisin de la integracin numricade las ecuaciones diferenciales y el tiempo de mquina que se requiere para realizarlos crSlculos. El efecto sobre el tiempo de mquina es simplemente que la cantidad declculos es inversamente proporcional al intervalo de integracin; esto es, proporcionalal nmero de pasos de integracin, N:

    N = txA; t(9-71)

    Respecto a la precisin de la integracin numrica, un concepto errneo es que, mien-tras ms corto es el intervalo de integracin At, ms precisa es la solucin; aunque, comose ver a continuacin, tericamente es verdad que el error por tnrncumiento es mayorpara un intervalo de integracin mayor, en la prctica, debido a la precisin limitada de

  • 572 MODELOS Y SIMULACldN DE LOS SISTEMAS DE CONTROL DE PROCESO

    los clculos en la computadora, existe un lmite respecto a lo pequeo que puede ser elintervalo de integracin; abajo de este lmite, conforme decrece el intervalo de integra-cin, aumenta el error de redondeo. El error de redondeo es aquel en el cual se incurreen los clculos por computadora, debido a que se acarrea un nmero finito de dgitos sig-nificativos. A pesar de que el tamao mnimo del intervalo de integracin se puede redu-cir mediante la especificacin de que los clculos se realicen con doble precisin, esdecir, de que se duplique la cantidad de dgitos significativos que acarrea la computadora,pocas veces vale la pena desperdiciar el tiempo de mquina para hacer corridas con unintervalo de integracin mucho ms pequeo de lo que se requiere para el error por trun-camiento. En otras palabras, se debe seleccionar un intervalo de integracin cercanoal mximo permitido por la precisin que se requiera en los clculos de la integracinnumrica.

    En un procedimiento de integracin numrica, el error por truncamiento es aquel enque se incurre cuando las derivadas continuas se aproximan a valores discretos de la va-riable independiente. Por ejemplo, en el mtodo de Euler se supone que los valores delas derivadas en el tiempo t son una buena aproximacin de las derivadas continuas desdet hasta (t + At), de donde resulta la ecuacin (9-69), de la cual se puede pensar que esuna expansin por series de Taylor de la funcin xi(t) truncada despus del primer tr-mino de derivacin. Puesto que la frmula de Euler es ms simple, de ella resulta un errorpor truncamiento ms grande para un cierto intervalo de integracin At. Como se mencio-n anteriormente, el error por truncamiento se incrementa con el intervalo de integracinAt; si el intervalo de integracin es suficientemente grande, la solucin numrica se puedevolver inestable, es decir, se producir una respuesta inestable, aun para un proceso esta-ble. Un riesgo que se relaciona con esto es que, al calcular una respuesta para un procesoinestable, el efecto acumulativo del error por truncamiento puede hacer que los resultadossean intiles despus de unos cuantos pasos de integracin.

    Cuando se elige la duracin de las corridas de simulacin, el intervalo de integracinse debe ajustar con base en la precisin que se observa en las primeras corridas. Un pro-cedimiento simple es correr el mismo caso con diferentes intervalos de integracin y revi-sar que los resultados estn dentro de un error tolerable, es decir, con una cantidad aceptablede dgitos significativos, por ejemplo, cuatro o cinco. El intervalo ms largo con el cualse obtengan resultados aceptables es el que se debe elegir.

    Para el mtodo de Euler y un modelo de proceso con buen comportamiento, una esti-macin de intervalo de integracin correcta es aquella donde se requieren de 1000 a 5000pasos para completar una corrida de simulacin. Un modelo con buen comportamientoes aquel donde todos los eigenvalores (constantes de tiempo) tienen casi el mismo ordende magnitud; en cambio, un modelo rigido es aquel donde la razn del eigenvalor mayoral menor (o constantes de tiempo) es grande. La rigidez se tratar en una seccin al finaldel captulo.

    Despliegue de los resultados de la simulacin

    Los resultados de una simulacin dinmica son generalmente las respuestas en tiempode las variables del modelo. En una solucin numrica, estas respuestas se calculan como

  • SIMULACldN POR COMPUTADORA DE LOS MODELOS 5 7 3

    los valores de las variables de estado y auxiliares de cada paso del procedimiento de inte-gracin numrica; dichos resultados se pueden desplegar en forma tabular o grfica. Laforma grfica es ms informativa para el estudio de la respuesta de los sistemas de con-trol; se puede tener la presentacin de grficas de baja, media o alta resolucin. Para lasgrficas de baja resolucin se requiere nicamente una impresora regular de caracte-res con resolucin de 6 a 10 puntos por pulgada; en las grficas de resolucin media serequiere una impresora de matriz de puntos o pantalla, con una resolucin de casi 80 pun-tos por pulgada; para las grficas de alta resolucin se requiere un graficador digital espe-cial o una terminal grfica, con lo cual se obtiene una calidad comparable a la de los dibujosde ingeniera. Para la generacin de grficas por computadora, generalmente se requiereun paquete de subprogramas de trazado. En la figura 9-9 se presentan ejemplos de grti-cas de alta resolucin, mientras que en la figura 9-10 se muestra un ejemplo de una gr-fica de baja resolucin.

    Cuando los resultados de la simulacin se imprimen en forma tabular, no tiene senti-do imprimir las variables a cada paso de integracin, ya que as no slo se desperdiciapapel y los rboles que se utilizan para producirlo, sino que tambin se dificulta la lecturae interpretacin de los resultados. La solucin que se recomienda es imprimir las varia-

    SIMULACI6N DE UN TANQUE! DE REACCIN CON AGITACIN CONTINUA

    PARMETROS DEL CONTROLADOR, KC = 2.00 TAUI= 600. S

    CAMBIOS EN LA ENTRADA, TASA DE ALIMENTACIN = .O M3/S PUNTO DE CONTROL 2.00 C

    1*#.1

    9.03E+Ol+.........+r*~....~rrr........+.........+.........+

    TEM 8.96E+OPERAT 6.90E+OURA

    C 8.84E+Ol+..*......+.........+.........+.........+.........+. i. ***I

    8.78E+Ol;.........;.........+.........+.........+.........+0 . 0 1 .25E+03 2.5OE+03

    TIEMPO, SEGUNDOS

    Figura 9-10. Respuesta del reactor a una elevacin de 2C en el punto de control. Ejemplo de unagrf ica con baja resolucin cuando se ut i l iza una impresora .

  • 574 MODELOS Y SIMULACIN DE LOS SISTEMAS DE CONTROL DE PROCESO

    bles del modelo con intervalos de tiempo AtP, intervalo de impresin; este intervalodebe ser un mltiplo del intervalo de integracin At. El intervalo de impresin se debeelegir de tal manera que se imprima un total de casi 50 entradas para una corrida de simu-lacin completa; en otras palabras

    t mx- toAtp = -y--

    Se elige el numero 50 porque una hoja tpica de computadora contiene aproximadamente50 lneas; esta seleccin es arbitraria y se puede cambiar a 25 6 100, segn sea el gradode resolucin que se requiera para la respuesta en tiempo.

    Cuando se buscan errores en el programa de la computadora, generalmente se hacenecesario imprimir las variables en cada paso de integracin; en este caso, AtP se debehacer temporalmente igual a At, el intervalo de integracin; se puede economizar papelsi se hace tmex igual a 50 At para las corridas de deteccin de error.

    Muestra de resultados para el mtodo de Euler

    En la figura 9-11 se presenta el listado para el programa en FORTRAN con que se simulael tanque de reaccin con agitacin continua mediante el mtodo de Euler. El intervalo

    tcccccccccccctcccccccct

    ccc

    tcc

    TO INITIAL T I M E OF T H E RUN. 5TMAX F I N A L T I M E OF T H E RUN. SDTIiIE INTECP ON I N T E R V A L . 5OPRNT PRIN: ,dG INTERVAL, S

    SEil!D L I N E

    KC C O N T R O L L E R PROFORTIONAL GAIN, DIMENSIONLE5STAUI C O N T R O L L E R I N T E G R A L T I M E . SDF CHANGE I N FEEO RATE. MWSDTSET CHANGE I N S E T POINT. C

    N O T E A ZERO O R NECAT:E V A L U E F TMAX XOPS EXECUTION.

    IMPLICIT REAL.* IA-.O-XIR E A L . 8 I?. K, K O , KC

    D A T A STATEMENTS FOR P A R A M E T E R V A L U E S

    D A T A T A - T . A L P H A , FCMAX, T M . DTT / 20.. CO.. O.T)ZO, 80.. 20. /UATA T O . TMAX. DTIME, DPRNT / 0.. 2500., 0 . 5 . 50. /

    D A T A STATEI*ENTS F3R DESICN CONDITIONS

    DATA F O . C A , , T i . TCI, TSETO / 7.c,:D--3, 2 . 8 8 , 66.. i7.. 88. /

    Figura 9-11. Listado de un programa en FORTRAN para simular un tanque de reaccin con agita-cin continua. Mtodo de integracin de Euler.

  • SIMULACIN POR COMPUTADORA DE LOS MODELOS 575

    cc READ AND PRINT INPUT DATALI WRITE~6.200~200 FORMAT(' ENTER TO. TMAX, DTIPIE. DPRNT')

    READ 1 5. * ) TQ. TMAX, DTIME. DPRNTIF ( T"AX .LT. 0. ) STOP

    cWRITE ( 4, 300 ) TO. TMAX, DTI"E

    300 FORMAT(/lOX.'RUN PARAMETERS. TQ=',1PG,0.3,5X.'TMAX=',C,0.3,5XF 'DTIME=',G10.31

    cWRITE(6.2,Ql

    210 FORMATC' ENTER KC. TAUI. DF. DTSET')READ ( 5. n ) KC. TAUI. DF. DTSET

    L

    WRITE ( 6, 100 ) KC. TAUI. DF. DTSETWRITE ( 4, 100 , KC, TAUI. DF, DTSET

    100 FORMAT(//IOX,'CONTIN"Q"S STIRRED TANK REACTOR SIMULATION',1 1 lOX,'CONTROLLER PARAMETERS. KC='.GIO.3.2 SX,'TAUI='.10.3,' S',3 ,' iOX.'INPUT CHANGES, FEED RATE='.C*0.3.' "3/S',4 5X;SET POINT='.C10.3.' C'l

    cc CALCULATE STEADY-STATE INITIAL CONDITIQNS AND CONSTANTS1.

    TINE = TOB = ( TSETQ - TM ) / DTTT = TSETOK = KO * DEXP ( - E / ( R w (T+273.16) ) )CA = C -FO+ DSQRT: FO..2 + 4.. K * V . FO " CAI ) ) / ( 2.mK.V

    1TC = T - : :",m,R~O * CP I (TI - Tl - " " DHR I K . CA".2 1 ,

    FC = U n A 9 ( T - TC ) / ( RHOC * CPC * < TC - TC1 ) 1N = - DLOG ( FC / FCMAX 1 / DLOG ( ALPHA 1Y =M'

    tEOR = E / RDHRC = DHR / ( RH0 n CP 1"AIC = " . A / ( " . RH0 * CP 1Ilr\OC = l A J C "C * RHOC * CPC )

    cC PRINT HEADER FOR OUTPUT TABLE AND INITIAL CONDITIONSc

    WRITE ( 6. 110 1WRITE ( 4. 110 )

    110 FORMAT(//iOX,'TIME. S',BX.'T. C'.IlX:M'.9X,'FC. M3,S',1 ZX.'CA. KMOL/M3'/)URITE ( 6. 120 ) TIME, T. M. FC, CAWRITE ( 4, IZO 1 TIME, T. M. FC, CA

    IZO FORMAT(lOX.SG12.4)

    cC

    C

    CCc

    CCC

    CCC

    INITIALIZATION FOR EULER INTECRATION

    F = FO + DFTSET = TSETO + DTSETNSTEPS = < TMAX - TO ) / DTIME + 0.99NPSTPS = DPRNT / DTIME + 0.5KP = NPSTPS

    DO 90 I=l.NSTEPS

    CALCULATE AUXILIARY VARIABLES

    K = KO l DEXP( - EOR / ( T + 273.16 ) 1N = DMAXIC O.DO. DMINI[ j.00.

    F Y + KC l ( ( TSET-TM )/DTT - B 1 ) )FC = FCMAX . ALPHA . . ( - " )

    EVALUATE DERIVATIVE FUNCTIONS

    DCA = F * C CA1 - CA ) / V - K . CA..2DT = F m ( TI - T ) / V - DHRC * K m CAeg2 - UAIC . (T-TC)DTC = UAOC l ( T - TC 1 - FC . ( TC - TCI ) , "CDB = ( (T-TPo/DTT - B 1 / TAUTDY = ( M - Y 1 / TA"1

    INCREMENT STATE VARIABLES BY EULER INTEGRAIIION

    CA = CA + DCA w DTIMET =T +DT = DTIMETC = TC + OK * DTINEB =B +DB * DTIMEY =Y +m * DTIMETIME = TO + I . DTIME

    Figura 9-11. (Continuacin)

  • 576 MODELOS Y SIMULACl6N DE LOS SISTEMAS DE CONTROL DE PROCESO

    Figura 9-11. (Continuacin)

    de integracin es de 0.25 segundos, la duracin de la corrida de 2500 segundos y el inter-valo de impresin de 50 segundos. En la figura 9-12 se presenta una tabla con los resultadosde la respuesta del reactor a una subida de 2 C en el punto de control. Las grficas dela figura 9-9 son para la misma corrida. Una ventaja obvia de la tabla sobre las grficases que se pueden desplegar ms variables. Como se aprecia en la figura 9-9, cuando seanaliza el desempeo del sistema de control, las variables importantes para la graficacinson la controlada y la manipulada.

    El diseo del programa que se lista en la figura 9-11 es para utilizarlo a travs deuna terminal de tiempo compartido; a esto se debe que se impriman mensajes en la termi-nal (unidad 6) para alertar al usuario. Los datos se introducen a traves de la terminal (uni-dad 5) y los resultados se despliegan en la terminal y se imprimen en la impresora (unidad4). El diseo de los dems programas que se listan en este captulo es similar.

    Mtodo de Euler modificado

    El mtodo ms simple para programar en una computadora es el de Euler, pero tambines el menos eficiente. Con el mtodo de Euler modificado, el cual se basa en la reglatrapezoidal de la integracin numrica, se tiene una representacin ms precisa de las de-rivadas, es decir, un error por truncamiento menor para un cierto intervalo de integra-cin. El planteamiento para el mtodo de Euler modificado es el siguiente:

    1. Inicializacin: se hace t = t. y xi = Xi(to) para i = 1, 2,. . ., n.2. Evaluacin de las funciones derivadas:

    a) Para i = 1, 2,. . ., Iz, se calcula

    1, ,,l = /,

  • R U N P A R A M E T E R S . T O = . O TMAX= 2.50D+03 DTIME= .250

    CONTINUOUS STIRRED TANK REACTOR SIMULATION

    CONTROLLER PARAMETERS, KC= 2.00

    INPUT CHANCES. FEED RATE= .O

    TIME, S T. C n FC, M3/S CA, KMOL/MB

    .O 8 8 . 0 0 -2544 .7392D-02 1 . 1 3 35 0 . 0 0 8 8 . 0 5 .4687 .3197D-02 1 . 1 3 31 0 0 . 0 8 8 . 1 7 .4753 .3116D-02 1 . 1 3 31 5 0 . 0 8 8 . 3 6 .4741 .313lD-02 1 . 1 3 22 0 0 . 0 8 8 . 5 9 .4662 .3228D-02 1 . 1 3 22 5 0 . 0 8 8 . 8 5 .4531 .3398D-02 1 . 1 3 13 0 0 . 0 8 9 . 1 2 6 4 3 5 9 .3634D-02 1 . 1 3 13 5 0 . 0 8 9 . 3 8 .4161 .3928D-02 1 . 1 3 04 0 0 . 0 8 9 . 6 4 .3948 .4269D-02 1 . 1 2 94 5 0 . 0 8 9 . 8 8 .3733 .4643D-02 1 . 1 2 85 0 0 . 0 9 0 . 0 8 .3527 .5033D-02 1 . 1 2 75 5 0 . 0 9 0 . 2 4 .3339 .5417D-02 1 . 1 2 66 0 0 . 0 9 0 . 3 7 .3177 .5771D-02 1 . 1 2 66 5 0 . 0 9 0 . 4 5 .3045 .6076D-02 1 . 1 2 57 0 0 . 0 9 0 . 5 0 .2946 a6317D-02 1 . 1 2 47 5 0 . 0 9 0 . 5 1 .2879 .6485D-02 1 . 1 2 38 0 0 . 0 9 0 . 4 9 .2841 .658lD-02 1 . 1 2 38 5 0 . 0 9 0 . 4 6 .2830 .661 lD-02 1 . 1 2 39 0 0 . 0 9 0 . 4 0 .2839 .6587D-02 1 . 1 2 29 5 0 . 0 9 0 . 3 4 .2864 .6522D-02 1 . 1 2 21 0 0 0 . 9 0 . 2 8 .2901 .6430D-02 1 . 1 2 21 0 5 0 . 9 0 . 2 1 .2944 .6322D-02 1 . 1 2 21 1 0 0 . 9 0 . 1 5 .2990 .6210D-02 1 . 1 2 21 1 5 0 . 9 0 . 1 0 .3035 .610lD-02 1 . 1 2 21 2 0 0 . 9 0 . 0 5 .3077 .6001D-02 1 . 1 2 31 2 5 0 . 9 0 . 0 1 .3115 .5912D-02 1 . 1 2 31 3 0 0 . 8 9 . 9 8 .3147 .5839D-02 1 . 1 2 31 3 5 0 . 8 9 . 9 6 .3173 .5780D-02 1 . 1 2 31 4 0 0 . 8 9 . 9 5 .3192 .5737D-02 1 . 1 2 31 4 5 0 . 8 9 . 9 4 .3205 .5707D-02 1 . 1 2 31 5 0 0 . 8 9 . 9 4 .3213 .569lD-02 1 . 1 2 31 5 5 0 . 8 9 . 9 5 .3216 .5685D-02 1 . 1 2 31 6 0 0 . 8 9 . 9 5 .3214 .5688D-02 1 . 1 2 31 6 5 0 . 8 9 . 9 6 .3209 .5698D-02 1 . 1 2 31 7 0 0 . 8 9 . 9 7 .3203 .5714D-02 1 . 1 2 41 7 5 0 . 8 9 . 9 8 .3194 .5733D-02 1 . 1 2 41 8 0 0 . 8 9 . 9 9 .3185 .5753D-02 1 . 1 2 41 8 5 0 . 9 0 . 0 0 .3176 .5773D-02 1 . 1 2 41 9 0 0 . 9 0 . 0 1 .3167 .5793D-02 1 . 1 2 31 9 5 0 . 9 0 . 0 2 .3160 o.581 lD-02 1 . 1 2 32 0 0 0 . 9 0 . 0 2 .3153 .5826D-02 1 . 1 2 32 0 5 0 . 9 0 . 0 2 .3147 .5838D-02 1 . 1 2 32 1 0 0 . 9 0 . 0 3 .3143 .5848D-02 1 . 1 2 32 1 5 0 . 9 0 . 0 3 .3140 .5854D-02 1 . 1 2 32 2 0 0 . 9 0 . 0 2 .3139 .5858D-02 1 . 1 2 32 2 5 0 . 9 0 . 0 2 .3138 .5859D-02 1 . 1 2 32 3 0 0 . 9 0 . 0 2 .3138 .5859D-02 1 . 1 2 32 3 5 0 . 9 0 . 0 2 .3139 .5857D-02 1 . 1 2 32 4 0 0 i 9 0 . 0 1 .3141 .5854D-02 1 . 1 2 32 4 5 0 . 9 0 . 0 1 .3142 .5850D-02 1 . 1 2 32 5 0 0 . 9 0 . 0 1 .3144 .5845D-02 1 . 1 2 3

    TAUI= 600. S

    M3/S SET POINT= 2.00 C

    Figura 9-12. Respuesta del reactor a una elevacin de 2C en el punto de control. Tabla de resulta-dos impresos.

    5 7 7

  • CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

    CCC

    C

    CCC

    CCC

    10CCC

    20

    CCC

    3090

    CCC

    SUBROUTINE INT( TO. X, TF. DT, DPRNT, N, XT, RK. F )

    PURPOSE - TO INTEGRATE A SET OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS

    METHOD - MODIFIED EULER (TRAPEZOIDAL RULE, OR RUNGE-KUTTAORDER 2)

    VARIABLES IN ARCUMENT LIST

    VARIABLE TYPE I/O DIMENSION

    T O RW8 I/O -

    X RM8 I/O N

    TF Raa 1D T R*8 1DPRNT Rr8 1N I IX T RN8 w NRK RI*8 w NF Rr8 w N

    DESCRIPTION

    INDEPENDENT VARIABLEINPUT - INITIAL VALUEOUTPUT - FINAL VALUE

    VEC,TOR OF STATE VARIABLESINPUT - INITIAL VALUESOUTPUT - FINAL VALUES

    FINAL VALUE OF INDT. VARIABLEINTEGRATION INTERVALFRINTINC INTERVALNUMBER OF DIFFTL. EQUATIONSWORKING STATE VECTORWORKING STEP VECTORWORKINC DERIVATIVE VECTOR

    SUBROUTINES CALLED - DERIV - TO CALCULATE DERIVATIVE FUNCTIONSOUTPUT- TO PRINT INTERMEDIATE RESULTS

    IMPLICIT REALm8 (A-H.O-Z)DIMENSION X(l). XT(I), RK(I). F(l)

    INITIALIZATION FOR STEP INTEGRATION

    NSTEPS = ( TF - TO 1 / DT + 0.99NPSTPS = DPRNT / DT + 0.5KP =0

    DO 90 I=l.NSTEPS

    FIRST DERIVATIVE EVALUATION

    CALL DERIV( N, TO, X, F. 1 )

    PRINT INTERMEDIATE RESULTS EVERY NPSTPS

    KP = KP - 1IF ( KP .GT. 0 ) COTO 10

    KP = NPSTPSCALL OUTPUT

    CONTINUE

    SECOND DERIVATIVE EVALUATION

    T = TO + DTDO 20 J=l.N

    RK(J) = F(J) I( DTXT(J) = X(J) + RK(J)

    CONTINUECALL DERIV( N, T. XT, F, 2 )

    MODIFIED EULER STEP ON STATE VARIABLES

    TO = TO + DTDO 30 J=l,N

    X(J) = X(J) + 0.5 * ( RK(J) + F(J) * DT )CONTINUE

    CONTINUE

    PRINT FINAL VALUES

    CALL DERIV( N, TO, X. F. 0 1CALL OUTPUTRETURNEND

    Figura 9-13. Listado de una subrutina FORTRAN para el mtodo de integracin de Euler modif-cado (Runge-Kutta de orden 2).

    578

  • SIMULACIN POR COMPUTADORA DE LOS MODELOS 579

    Sea t = t + At (9-76)

    4. Si t es menor o igual que tmax, se repite desde el paso 2; de otro modo, se termi-na la corrida.

    En este procedimiento las funciones derivadas se deben evaluar dos veces para cada pasode integracin: una en el tiempo t y otra en el tiempo (t + At). En la segunda evaluacinlas variables de estado se incrementan con los valores de las funciones derivadas de laprimera evaluacin. Finalmente, el incremento en la variable de estado se calcula a partirdel promedio aritmtico de las dos evaluaciones de las funciones derivadas. Puesto quela evaluacin de las funciones derivadas es el paso de los clculos que consume tiempo,con el metodo de Euler modificado se tienen dos veces ms c&lculos por paso de integracinque con el mtodo de Euler; la ventaja es que se reduce el error por truncamiento, locual permite incrementar el intervalo de integracin a ms de dos veces el valor que serequiere con el mtodo de Euler y mantener la misma precisin. De aqu resultan menosevaluaciones totales de las funciones derivadas, ya que el nmero de pasos que resultaes menor de la mitad de los que se requieren con el mtodo de Euler.

    Ya que las mismas funciones derivadas se deben evaluar dos veces, es convenienteubicar los clculos de las funciones derivadas en una subrutina, la cual es invocada porel mtodo de integracin. Una vez que se hace esto, las ecuaciones del modelo se separande la rutina de evaluacin numrica, de manera que esta ltima se pueda cambiar sin afec-tar al subprograma que contiene las ecuaciones del modelo; de manera similar, los mis-mos subprogramas de integracin numrica se pueden utilizar con diferentes subprogramasde ecuaciones de algn modelo.

    La subrutina para la integracin de Euler modificada se muestra en la figura 9-13,con ella se llama a la subrutina DERIV dos veces por paso de integracin, una vez porcada evaluacin de las funciones derivadas. En la figura 9-14 se lista el programa princi-pal, y la subrutina MODEL se lista en la figura 9-15. La subrutina MODEL consta detres secciones diferentes, cada una con su propio punto de entrada y retorno; la primeraseccin se invoca desde el programa principal con el nombre de MODEL; en esta sec-cin se leen los parmetros del modelo y se calculan y fijan las condiciones iniciales yel nmero de ecuaciones diferenciales que se integraran, asimismo se calculan los tkminosconstantes de las ecuaciones del modelo. Las condiciones iniciales se pasan al programa prin-cipal como argumentos. En el programa principal se fija el resto de los parmetros dela corrida y se llama a la subrutina INT para integrar numricamente las ecuaciones diferenciales.

    Desde la subrutina INT se llama a la segunda seccin de la subrutina MODEL, bajoel nombre de DERIV; el propsito de sta es evaluar las funciones derivadas a partirde las ecuaciones del modelo cada vez que se le llama desde la subrutina de integracincon un nuevo grupo de valores de variable de estado. ste es el planteamiento para elsegundo paso del procedimiento de Euler modificado. Se observara que, a pesar de quenicamente se llama a la subrutina MODEL una vez por corrida en el primer punto deentrada, a DERIV se le llama dos veces por paso de integracin durante la corrida; enotras palabras, cuando se llama a DERIV, la ejecucin comienza en el enunciado ENTRYDERIV. . .> y no al principio de la subrutina MODEL.

  • 580

    CCCCCCCCCccCcCCCcCCCC

    C

    CCC

    1200

    C

    300

    CCC

    CCC

    C

    MODELOS Y SIMULAClON DE LOS SISTEMAS DE CONTROL DE PROCESO

    PROGRAM FOR GENERAL PURPOSE SIMULATION OF DYNAMIC SYSTEMS

    BY ARMANDO B. CORRIPIO ON MAY ll, 1983

    VARIABLES IN INPUT DATA

    VARIABLE TYPE DESCRIPTION

    TO R*8 INITIAL TIME OF THE RUNTMAX R*8 FINAL TIME OF THE RUN'DTIME R*8 INTEGRATION INTERVALDPRNT R*8 PRINTING INTERVAL FOR INTERMEDIATE RESULTS'

    TO STOP, ENTER A ZERO OR NECATIVE VALUE FOR TMAX

    SUBROUTIp!ES CALLED

    MODEL - TO ACCEPT INPUT DATA AND SET UP INITIAL CONDITIONSINT - FOR NUMERICAL INTECRATION OF THE DIFFERNTIAL EQNS.

    IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z)DIMENSION X(lOO), XT(lOO), RK(lOO), F(l00)

    DATA TO, TMAX, DTIME. DPRNT / 0.. lo., 7.81258-3. .25 /-READ AND PRINT RUN PARAMETERS

    WRITE(6,ZOO)FORMATC' ENTER TO, TMAX, DTIME, DPRNT. (TMAX = 0 TO STOP).' )READ ( 5, * ) TO. TMAX, DTIME, DPRNTIF( TMAX .LE. ODO 1 STOP

    WRITE ( 6, 300 1 TO. TMAX. DTIMEWRITE ( 4, 300 ) TO, TMAX. DTIMEFORMAT(/7X,'RUN PARAMETERS, TO=',1PG10.3,2X,'TMAX='.G10.3,2X,

    F DTIME=,G11.5)

    ACCEPT MODEL INPUT DATA AND INITIALIZE

    TIME = TOCALL MODEL( N, TIME, x, F. DTIME )

    CALL INTEGRATION SUBROUTINE

    CALL INT( TIME, X, TMAX, DTIME, DPRNT, N, XT, RK, F 1

    COTO 1END

    Figura 9-14. Listado del programa FORTRAN que se utiliza con una rutina de integracin de pro-psito general (INT) para sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias.

    A la tercera seccin de la subrutina MODEL se le llama desde la subrutina INT conel nombre de OUTPUT; el objetivo de esta seccin es imprimir las entradas en la tablade tiempo de respuesta. Desde la subrutina de integracin INT se llama a OUTPUT conintervalos de tiempo Atp (DPRNT), despu& de que se llama por primera vez a DERIVdurante el paso de integracin apropiado, porque nicamente en este punto de cada paso

  • CCCcCcCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

    CCC

    CCC

    CCC

    2 1 0

    1 0 0

    SUBROUTINE MODEL( NODE, TIME, XS. DXS, DTIME )

    CONTINUOUS STIRRED TANK REACTOR SIMULATION

    TH15 SUBROUTINE HAS THREE ENTRY POINTS. THE PURPOSE OF EACH IS

    MODEL - TO ACCEPT INPUT DATA AND COMPUTE CONSTANT COEFFNTS.AND INITIAL CONDITIONS.

    DERIV - TO COMPUTE THE DERIVATIVE FUNCTIONS FROM THE STATEVARIABLES.

    OUTPUT - TO PRINT INTERMEDIATE VALUES OF SELECTED VARIABLES.

    VARIABLES IN ARGUMENT LIST

    VARIABLE TYPE I/O DIMENSION DESCRIPTION

    NODE 1 0 NUMBER OF DIFFRNTL. EQUATIONST I M E R*8 1 INDEPENDENT VARIABLExs R*8 O/I NODE STATE VARIABLE VECTORD X S RB8 0 NODE VECTOR OF DERIVATIVE FUNCTIONSDTIME R*8 I INTEGRATION INTERVAL

    VARIABLES IN INPUT DATA

    K C CONTROLLER PROPORTIONAL GAIN, DIMENSIONLESSTAU1 CONTROLLER INTEGRAL TIME, SD F CHANCE IN FEED RATE. M3/SDTSET CHANCE IN SET POINT, C

    IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-2)REAL-8 M. K, KO, KCDIMENSION XS(1). DXS(I)

    DATA STATEMENTS FOR PARAMETER VALUES

    D A T A V. U. A / 7.08. 3550.. 5.40 /D A T A KO, E. DHR. RH0 / 0.0744. 1.182D7, -9.86D7. 19.2,D A T A CF. VC, RHOC, CPC / 1.815D5, 1.82. 1000.. 4184. /D A T A R / 8314.39 /D A T A TAUT. ALPHA, FCMAX. TM, DTT / 20.. SO., 0.020, 80.. 2 0 . /

    DATA STATEMENTS FOR DESIGN CONDITIONS

    DATA FO, CAI. TI. TCI, TSETO / 7.55D-3, 2.88, 66.. 27.. 88. /

    READ IN CONTROLLER PARAMETERS AND INPUT CHANCES

    WRITE(6.210)FORMAT(' ENTER KC, TAUI. DF, DTSET')READ ( 5, * ) KC, TAUI, DF. DTSETWRITE ( 6, 100 ) KC. TAUI, DF. DTSETWRITE ( 4. 100 ) KC, TAUI. DF, DTSETFORMAT(//lOX.'CONTINUOUS STIRRED TANK REACTOR SIMULATION'/

    1 / 10X;CONTROLLER PARAMETERS, KC=',G10.3.2 5X.'TAUI='.G10.3.' S'/3 / lOX, 'INPUT CHANCES, FEED RATE=',C10.3,' M3/S'.4 5X;SET POINT='.G10.3.' C')

    CC CALCULATE STEADY-STATE INITIAL CONDITIONS AND CONSTANTSC

    B = ( TSETO - TM 1 / DTTT = TSETOK = KO n DEXP ( - E / ( R * (T+273.16) 1 1CA = ( -FO+ DSQRT( FO**2 + 4.~ K * V * FO I CA1 ) 1 / (2.rKmV 1TC = T - ( FO * RH0 . CP I (TI - T) - V * DHR I K * CAra ) /1 (U*A)FC=U*A * ( T - TC ) / ( RHOC . CPC * ( TC - TC1 ) )M = - DLOG < FC / FCMAX ) / DLOC ( ALPHA )Y =M

    CXS(1) = CAXS(2) = TXS(3) = TCXS(4) = BXS(5) = YNODE = 5

    C

    Figura 9-15. Listado de una subrutina en FORTRAN para la simulacin dinmica de un tanquede reaccin con agitacin continua. La rutina es independiente del mtodo de integracin numkica.

    581

  • MODELOS Y SIMULACIN DE LOS SISTEMAS DE CONTROL DE PROCESO

    EOR = E , RDHRC = DHR / ( RH0 I* CP )UAIC = " l A/(V m RH0 . CP )UAOC = " * A / ( VC * RHOC * CPC )

    cc PRINT HEADER FOR OUTPUT TABLE AND INITIAL CONDITIONSc

    WRITE < 6. 110 )WRITE ( 4. 110 )

    110 FORHAT(//lOX.'TIME. S'.BX.'T. C',llX,'M'.9X.'FC. "S/S'.I ZX.'CA. KMOL/MS'/)WRITE ( 6. IZO 1 TIME, T, H. FC. CAWRITE < 4. 120 ) TIPIE. T. N. FC, CA

    120 FORMAT(10X.SG12.4)CC INITIALIZATION OF INPUT VARIABLESc

    c

    ccc

    cCC

    CcC

    Ccc

    c

    ccc

    C

    c

    F = FO + DFTSET = TSETO + DTSET

    RETURN

    ENTRY TO CALCULATE DERIVATIVE FUNCTIONS

    ENTRY DERIV( NODE. TIME, XS. DXS. NEVAL )

    STORE STATE VARIABLE INTO LOCAL VARIABLES

    CA = XSCI)T = XS(2)TC = XS(31B = XS(4)Y = XS(S)

    CALCULATE AUXILIARY VARIABLES

    K = KO * DEXP( - EOR , ( T + 275.,6 ) 1M = DMAXl( O.DO. DMINl( I.DO,

    F Y + KC . t (TSET-TM)/DTT - B ) ) )FC = FC"AX . ALPHA . . c - M ,

    EVALUATE DERIVATIVE FUNCTIONS

    DXS(1) = F * f CAI - CA ) / V - K I CA**2DXS(21 = F.( TI - T 1 / V - DHRC . K l CAern - UAICm(T-TC)DXS(3) = UAOC . ( T - TC 1 - FC . ( TC - TC1 J / VCDXS(4) = ( CT-TPo/DTT - B ) / TAUTDXS(5) = ( M - Y 1 / TAUI

    R E TURN

    ENTRY TO OUTPUT SELECTED VARIABLES

    ENTRY OUTPUT

    WRITE ( 6, 120 ) TIME. 1, M. FC, CAWRITE ( 4. 120 ) TI"E, T. M. FC, CA

    RETURNE N D

    Figura 9-15. (Continuacin)

    de integracin es donde las variables de estado y las auxiliares tienen los valores quecorresponden al estado real del sistema, ya que a las variables de estado se les asignanvalores aproximados para la segunda evaluacin; sta es tambin la razn por la cual sedebe llamar a DERIV antes que a OUTPUT al completar la corrida (en la subrutina INT)para imprimir las condiciones finales.

    En esta estructura de programa es de notar que el programa principal y las subrutinasde integracin se pueden utilizar con cualquier subrutina de modelo. Todos los enun-ciados que se especifican para el modelo estn aislados en la subrutina MODEL. Al utili-zar puntos de entrada mltiples en la subrutina, se pueden transferir los valores de los

  • SIMULACIN POR COMPUTADORA DE LOS MODELOS 5 8 3

    parmetros y las variables de una seccin de la subrutina a otra sin necesidad de utilizarenunciados COMMON o argumentos adicionales.

    Para el ejemplo del tanque de reaccin con agitacin continua se requiere un interva-lo de integracin de 2.5 segundos para cubrir la precisin de cuatro digitos significativosen los resultados del m&odo de Euler. Este valor, comparado con los 0.25 segundos quese requieren para el mtodo de Euler, significa que el nmero total de evaluaciones de lafuncin que se requiere para el mktodo de Euler modificado es la quinta parte .del quese requiere para el mtodo de Euler simple.

    Wtodo Runge-Kutta-Simpson

    Para la Runge-Kutta de cuarto orden se requieren cuatro evaluaciones de las funcionesderivadas por paso de integracin. El planteamiento de un programa donde se utiliza elmtodo Runge-Kutta-Simpson es el siguiente:

    1. Inicializacin: se fija t = ro y xi = xi(to) para i = 1, 2, . .2. Se evalan las funciones derivadas:

    a) Para i = 1, 2,. . ., n, se calcula

    b) Para i = 1, 2,. . ., n, se calcula

    k2,; = Atfi(x, + %k ,.,> . . , x, + %k ,,> t + YzAt)

    c) Para i = 1, 2,. . ., n, se calcula

    k3, = Atfi(xl + %k2,,, . . . , x, + %k2,n> t + %At)

    d) Para i = 1, 2,. . ., IZ, se calcula

    k4,; = Atfi(x, + kj.,, . . > x, + k3.m t + At)

    3. Se incrementan las variables de estado:Para i = 1, 2,. . ;, n, sea

    ~il,+~, = xiI, + $,,i + 2kz.i + 2k3,i + k4,i)

    sea t = t + At

    , n.

    (9-77)

    (9-78)

    (9-79)

    (9-80)

    (9-81)

    (9-82)

    4. Si t es menor 0 igual a tmaX, se repite a partir del paso 2; de otra manera, se fna-liza la corrida

  • 584 MODELOS Y SIMULACIN DE LOS SISTEMAS DE CONTROL DE PROCESO

    Se notar que el incremento final de las variables de estado. es un promedio de lascuatro evaluaciones de las funciones derivadas, una en t, dos en (t + 1/2 At) y una en(t + At). En la figura 9-16 se lista una subrutina para el mktodo Runge-Kutta-Simpson,la cual se puede substituir por la subrutina para Euler modificada de la figura 9-13 sinafectar el programa principal o la subrutina MODEL de las figuras 9-14 y 9-15. Esta mo-dalidad es bastante til, ya que se ahorra considerable tiempo de reprogramacin y el es-fuerzo asociado para encontrar y corregir errores de programacin.

    En el Runge- Kutta de cuarto orden se requiere el doble de evaluaciones de derivadaspor paso de integracin, en comparacin con el de Euler modificado, y, en consecuencia,para economizar tiempo de rnhquina debe ser posible hacer el intervalo de integracin AZalgo ms del doble del que se necesita para el Euler modificado, a fin de lograr la mismaprecisin en los resultados. En el caso del tanque de reaccin con agitacin continua, parael mtodo de Runge-Kutta-Simpson se requiere un intervalo de integracin de 25 segun-dos del cual resulta un ahorro de 80% en el total de evaluaciones de derivadas respectoa la solucin mediante Euler modificado.

    Resumen

    Los estudiantes pueden utilizar los mtodos num&icos que se presentaron en esta seccinpara estudiar los sistemas de control de procesos sencillos. Cuando se simulan procesosms complejos probablemente es conveniente utilizar subrutinas ms elaboradas, de lascuales se dispone generalmente en la biblioteca de software de la mayora de las instala-ciones de cmputo grandes; en la siguiente seccin se describen algunas de stas.

    9-6. LENGUAJES Y SUBRUTINAS ESPECIALES PARA SIMULACIN

    Se dispone de varios lenguajes de simulacin y subrutinas de integracin numrica de pro-psito general, los cuales se pueden utilizar para simular el comportamiento dinmico delos sistemas de control de proceso. Con estas subrutinas se substituyen las de Euler modi-ficado y Runge-Kutta-Simpson que se presentaron en la seccin precedente. Las principa-les ventajas que se tienen con stas son las siguientes:

    1. Ajuste automtico del intervalo de integracin para cumplir con una tolerancia es-pecfica del error por truncamiento.

    2. Mtodos numkicos ms eficientes que el Runge-Kutta-Simpson de cuarto ordenque se present en la seccin precedente.

    3. En algunos casos se dispone de mCtodos para manejar eficientemente sistemas r-gidos de ecuaciones diferenciales (ver la seccin 9-8 para una exposicin acercade la rigidez).

    El diseo (Ie estas subrutinas de propsito general es similar al de las subritinas para Eulermodificado y Runge-Kutta-Simpson que se presentaron en la seccin anterior; en un pro-grama principal se fijan los parmetros de la cokla y las condiciones iniciales y se llama

  • CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

    CCC

    C

    CCC

    CCC

    10

    CCC

    2 0

    SUBROUTINE INT( TO, X. TF, DT, DPRNT, N, XT, RK. F )

    PURPOSE - TO INTEGRATE A SET OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS

    METHOD - RUNCE-KUTTA ORDER 4, SIMPSON'S RULE

    VARIABLES IN ARGUMENT LIST

    VARIABLE TYPE I/O DIMENSION

    TO RR8 1/0 -

    X

    TF R*8 1DT R*8 1DPRNT R*8 1N 1 1XT R*8 w NRK RN8 w NF Ra8 w N

    Ri8 I/O N

    SUBROUTINES CALLED - DERIV - TO CALCULATE DERIVATIVE FUNCTIONSOUTPUT- TO PRINT INTERMEDIATE RESULTS

    DESCRIPTION

    INDEPENDENT VARIABLEINPUT - INITIAL VALUEOUTPUT - FINAL VALUE

    VECTOR OF STATE VARIABLESINPUT - INITIAL VALUESOUTPUT - FINAL VALUES

    FINAL VALUE OF INDT. VARIABLEINTECRATION INTERVALPRINTING INTERVALNUMBER OF DIFFTL. EQUATIONSWORKING STATE VECTORWORKING STEP VECTORWORKING DERIVATIVE VECTOR

    IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-2)DIMENSION X(l), XT!l). RK(l),'F(l)

    INITIALIZATION FOR STEP INTECRATION

    NSTEPS = ( TF - TO ) / DT + 0.99NPSTPS = DPRNT / DT + 0.5KP =0

    DO 90 I=l,NSTEPS

    FIRST DERIVATIVE EVALUATION

    CALL DERIV( N, TO, X, F, 1 )

    PRINT INTERMEDIATE RESULTS EVERY NPSTPS

    KP = KP - 1IF ( KP .GT. 0 ) GOTO 10

    KP = NPSTPSCALL OUTPUT

    CONTINUE

    SECOND DERIVATIVE EVALUATION

    T = TO + 0.5 * DTDO 20 J = l.N

    RK(J) = F(J) *I DTXT(J) = X(J) + 0.5 a F(J) w DT

    CONTINUECALL DERIV( N, T, XT, F, 2 )

    Figura 9-16. Listado de una subrutina en FORTRAN para la integracin Runge-Kutta-Simpsonde ecuaciones diferenciales ordinarias.

    5 8 5

  • 588 MODELOS Y SIMULACldN OE LOS SISTEMAS DE CONTROL DE PROCESO

    CC THIRD DERIVATIVE EVALUATIONC

    DO 30 J = l,NRK(J) = RK(J) + 2. * F(J) * DT

    30

    CCC

    40

    CCC

    5 090

    CCC

    XT(J) = X(J) + 0.5 * F(J) * DTCONTINUECALL DERIV( N, T, XT, F, 3 )

    FOURTH DERIVATIVE EVALUATION

    T = TO + DTDO 40 J = 1.N

    RK~J) = RK(J) + 2. I F(J) I DTXT(J) = X(J) + F(J) w DT

    CONTINUECALL DERIV( N. T. XT, F, 4 )

    HUNCE-KUTTA-SIMPSON INTEGRATION STEP

    TO = TO + DTDO 50 J = 1,N

    RK(J) = RK(J) + F(J) * DTX(J) = X(J) + ( RK(J) / 6. )

    CONTINUECONTINUE

    PRINT FINAL VALUES

    CALL DERIV( N. TO, X, F, 0 1CALL OUTPUTRETURNEND

    Figura 9-16. (Continzu~i6n)

    a la subrutina de integracin, la cual a su vez llama a una subrutina de modelo para eva-luar las funciones derivadas. Generalmente, el usuario debe ordenar una impresin inter-media de los resultados desde el programa lkincipal -mediante retornos iterativos desdela rutina de integracin- o desde la subrutina de modelo.

    En la tabla 9-1 se presenta una lista de las subrutinas de integracin numrica de lasque se dispone comnmente; para utilizarlos se debe consultar el manual de usuario decada paquete particular del que forman parte.

    Tambin se desarrollaron varios lenguajes de simulacin de propsito general parasistemas cuyos modelos se expresan con ecuaciones diferenciales. Algunos de estos pro-qramas se disearon para simular la respuesta dimnica de procesos qumicos y sus sistemasde control. Adems de las ventajas que se enlistaron para las subrutinas de integracin,con los lenguajes de simulacin se tienen las siguientes:

    1. Un conjunto de subprogramas modulares para hacer el modelo de instrumentosespecificos y elementos de respuesta dinknica; por ejemplo, interruptores, selec-tores, tiempo muerto y retardos de primer orden.

  • EJEMPLOS DE SIMlJLAC16N DE CONTROL 587

    Tabla 9-1. Subrutinas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias

    Nombre Caracterst icas

    DVERKa Ajuste automtico del intervalo de integractinmetodo Runge Kutta-Verner

    LSODE* Ajuste automtico del intervalo de integracin,Algoritmo implcito para sistemas rgidos,Se utiliza el mhtodo de Gear

    LSODl* Similar al LSODE, con capacidad adicional para manejar ecuacionesalgebraicas impllcitas y, a la vez, las ecuaciones diferenciales.

    PDECOL* Igual al LSODE, pero para ecuaciones diferenciales parciales con dosvariables independientes.

    IMSL, lnc., Edificio de la NBC 6O- piso, 7500 Bellair Boulevard, Houston, Tex.b Hindmarsh, Alan C., Mathematics and Statisttics Sectlon, L-300 Lawrence Livermore Laboratories, Livermore, Calif.

    2. Subprogramas para resolver de manera iterativa las ecuaciones algebraicas delmodelo.

    3. Caractersticas para facilitar el control de la corrida y para la impresin y grafica-cin de los resultados de la simulacin.

    En la tabla 9-2 aparece una lista de los lenguajes de simulacin de que se disponecomnmente. Como se puede apreciar en las caractersticas, el DSS/2 se dise para ma-nejar sistemas de ecuaciones diferenciales parciales; varios programas se orientan a pro-cesos. En los manuales de estos programas aparecen las instrucciones especficas parasu utilizacin. ,

    9-7. EJEMPLOS DE SIMULACIN DE CONTROL

    Normalmente, al simular sistemas de control de proceso se encuentran varios elemen-tos dinmicos o mdulos que son comunes a muchos sistemas; ejemplos de estos mdu-los son los retardos de primer y segundo orden, el tiempo muerto, los controladoresproporcional-integralderivativo, compensadores dinmicos de adelanto/retardo, entre otros.En esta seccin se presentarn varios ejemplos de tales modelos y despus se conjuntarnpara simular un circuito de control por retroalimentacin.

    Ejemplo g-l(a). Simulacin de los retardos de primer y segundo orden.Retardo de primer orden:

    Y(s) K-=-X(s) TS + 1-

  • 588 MODELOS Y SIMULACl6N DE LOS SISTEMAS DE CONTROL DE PROCESO

    Tabla 9-2. Lenguajes de simulacinLenguaje Caractersticas

    CSMP* Precompilador FORTRANMbdulos para bloques dintimicos y 16gicosCapacidad interconstruida para graficacibn

    ACSLb

    DSS/2C

    DYNSYLd

    Mismas que el CSMP

    Se pueden resolver ecuaciones diferenciales parciales y ordinarios

    Orientado al proceso con mdulos de control y procesoOperacin interactiva en tiempo realSa l i da grdficaAlgoritmo de integracin implcito para sistemas rigidos

    DYFL02e

    EPRI-MMS

    Orientado al proceso con mdulos de proceso y control

    Orientado al proceso con mdulos de planta de fuerza y control.

    aContinuous System Modeling Program, IBM Corporation, ll 33 Westchester Avenue, White Plains,N.Y.

    bAdvanced Cont inuous S imula t ion Language, Mi tche l l and Gauth ier , Assoc ia tes , 1337 Old Mar lboroRoad, Concord, Mass.

    Distributed System Simulator-Version 2, W.E. Schiesser, Lehigh University, Bethlehem, Pa.dDYNSYL: A General Purpose Dynamic Simulator for Chemical Processes, Chemical Engineering

    Division, Lawrence Livermore Laboratory, Livermore, Calif.DYFL02, R.G.E. Franks, E. 1, duPont de Nemours and Company, Wilmington, Del. EPRI-Modular Modeling System, Electric Power Research Institute, P.O. Box. 10412, Palo Alto,

    Ca l i f .

    donde:

    Y(s) es la salidaX(s) es la entrada

    K es la gananciaT es la constante de tiempo

    Solucih. Para simular la funcin de transferencia, primero se despejan las fracciones:

    7s Y(s) + Y(s) = Kx(s)

    Se supone que las condiciones iniciales son cero y se utiliza el teorema de la diferencia-cin real de la transformada de Laplace, ecuacin (2-3), para escribir las ecuaciones enttrminos de las variables de tiempo:

    Ty + y(r) = K x(t)

  • EJEMPLOS DE SIMULACIN DE CONTROL 589

    Finalmente, se resuelve para la derivada mhs alta:

    dYW 1- = ; [K x(t) - y(t)1d t

    Lz forma en que queda la ecuacin es la apropiada para incorporarla a un programa desimulacin. La variable x(t) es la entrada al retardo de primer orden.

    Ejemplo g-l(b). Retardo de segundo orden.

    Us) Kx(s)= 72s2 + 257s + 1

    T es la constante de tiempo caractersticat es la razn de amortiguamiento

    Sohcibn. Se despejan las fracciones:

    T.S2Y(.S) + 25TSY(S) + Y(s) = KX(sj

    Se suponen condiciones iniciales cero y se invierte al dominio del tiempo:

    d%(t)T= + 2+) + y(t) = K.r(t)

    Se resuelve para la,derivada ms alta:

    d\(t) I-L=-dt? T?

    K.r(t) - 2&? - y(t) 1Ahora se debe transformar esta ecuacin en dos ecuaciones diferenciales de primer or-den, mediante el siguiente procedimiento:

    Sea

    Entonces

    d%(t)>=-- z--z.---dt

  • 590 MODELOS Y SIMULACl6N DE LOS SISTEMAS DE CONTROL DE PROCESO

    De la combinacin de estas tres ltimas ecuaciones resultan las siguientes ecuaciones di-ferenciales de primer orden, las cuales ya se pueden introducir a un programa de simulacin:

    440-=dt YzW

    MO- = jjmw - 257y,(t) - y(t)]d t

    La variable x(t) es la variable de entrada, y2(t) es una variable intermedia, y y(r) es lasalida del retardo de segundo orden.

    Ejemplo g-l(c). Dos retardos de segundo orden en serie.

    Us) K-=X(s) (7,s + l)(T*S + 1)

    donde r1 y 72 son las constantes de tiempo.

    Esta funcin de transferencia es equivalente a la de la parte (b), cuando la razn deamortiguamiento ,$ es igual o mayor a uno. Las relaciones entre estos dos grupos de par-metros son

    Solucin. Una forma conveniente para simular esta funcin de transferencia es divi-dir el diagrama de bloques en dos bloques en serie, como se muestra en la figura 9-17.Cada uno de los dos bloques es ahora un retardo de primer orden que se puede simularcomo en la parte (a) del ejemplo g-l(a).

    (b)

    Figura 9-17. Separacin de un retardo de segundo orden en dos retardos de primer orden en serie.(a) Diagrama de bloques de la funcin de transferencia original. (b) Diagrama de bloques equivalente.

  • -EJEMPLOS DE SIMULACI6N DE CONTROL 5 9 1

    En este sistema x(f) es la variable de entrada, yI es una variable intermedia, y y(t) esla variable de salida. La ganancia K se puede asignar a cualquiera de los dos bloques sinafectar la respuesta de la variable de salida y(t).

    La programacin de las ecuaciones en el dominio del tiempo para los retardos de pri-mer orden se ilustra en el ejemplo 9-5.

    Ejemplo 9-2. Simulacin del tiempo muerto, retardo de transportacin o tiempo deretardo.

    Y(s)- = y,os

    X(s)

    o, en el dominio del tiempo

    donde t, es el tiempo muerto.

    SoZucidn. Una manera de simular el tiempo muerto es almacenar la respuesta de en-trada x(t) y reproducirla ro unidades de tiempo ms tarde para generar la salida y(r). Puestoque la respuesta almacenada no se necesita despus de que se reproduce, ~610 se necesi-ta almacenar los valores de la respuesta durante t. unidades de tiempo; las localidadesde almacenamiento se deben refrescar constantemente con valores de entrada. La formaen que funciona el programa para simular el tiempo muerto es la siguente.

    Se supone que el valor de la entrada se debe almacenar en cada intervalo de integra-cin At y, por lo tanto, el nmero de valores que se deben almacenar es

    k=fOAt

    Para almacenar los valores se utiliza un arreglo dimensional Z con dimensin k o mayor;10s pasos del programa son los siguientes:

    Paso 1. Se inicializan todas las k localidades de 2 con el valor inicial de n, xo (general-mente cero) :

    Para i = 1, 2,. . ., k, sea 2; = x.

    Paso 2. Se inicializa el ndice i de la tabla de valores:

    Sea i = 1

  • 592 MODELOS Y SIMULACl6N DE LOS SISTEMAS DE CONTROL DE PROCESO

    Paso 3. En cada paso de integracin

    a) De la tabla se toma el valor Zi como la salida, y se almacena el valor de la entra-da en esa localidad

    Sea JJ = ZiZi = X

    b) Se incrementa el ndice:

    Sea i = i + 1

    c) Cuando el ndice excede a k, se regresa a uno para volver a utilizar las mismaslocalidades de almacenamiento:

    Si i es mayor que k, sea i = 1

    Se observar que la segunda vez, y las posteriores, que el programa pasa por las localida-des de almacenamiento, se toma el valor que se almacen ah k pasos antes; puesto quecada paso representa At unidades de tiempo, el valor que se utiliza como salida es el deentrada kAt o t. unidades de tiempo antes. El proceso de almacenamiento y extraccinse ilustra grficamente en la figura 9-18.

    La lgica del programa de simulacin de tiempo muerto se complica algo cuando seutiliza con una subrutina de integracin numrica para Euler modificado o Runge-Kutta,debido a que los enunciados de simulacin de tiempo muerto se deben ejecutar junto con

    1 2 3l I l

    Figura 9-18. Simulacin del t iempo muerto mediante el almacenamiento de valores muestra dela funcin y la aplicacion de los mismos tO unidades de tiempo despus. En este caso se utilizancinco local idades de almacenamiento (k = 5).

  • EJEMPLOS DE SIMULACIdN DE CONTROL 593

    la evaluacin de las funciones derivadas; esta ejecucin se realiza dos o cuatro veces porpaso de integracin; en cambio, la operacin de almacenamiento del programa de tiempomuerto se debe efectuar nicamente una vez por paso de integracin. Para eliminar estadificultad es necesario que en la subrutina de integracin se ponga una bandera para indi-car al programa de tiempo muerto que se debe almacenar el valor de entrada; la banderade almacenamiento se debe poner nicamente para la evaluacin de la primera derivada,ya que en ese momento las variables de estado tienen el valor ms exacto despus delpaso de integracin precedente.

    El procedimiento de simulacin de tiempo muerto que se describi en el ejemploprecedente se utiliza en el ejemplo 9-5 en la simulacin por computador de un circuitode control por retroalimentacin.

    Ejemplo 9-3. Simulacin de una unidad de compensacin dinmica de adelanto/retardo.

    Us) 7,s + 1-=-X.7) 72s + 1

    donde r1 y r2 son las constantes de tiempo del adelanto y del retardo, respectivamente.

    Solucidn. Se despejan las fracciones:

    72s Y(s) + Y(s) = 7,s X(s) + X(s)

    Se invierte la transformada de Laplace y se suponen condiciones iniciales cero:

    4W W)72~ + Y(t) = 71 dr + x(t)

    Como es evidente, en esta ecuacin se requiere la derivada de la variable de entradax(t) y, debido a que la diferenciacin numrica generalmente es una operacin muy im-precisa, se debe evitar siempre que sea posible.

    Ahora se regresa a la ecuacin en el dominio de Laplace y se agrupan los terminosen s despus de dividir entre r2:

    s[Yw - ;xw] = A[X(s) - Y(s)]

    Se define

    Y , ( s ) = Y(s) - :x(s)

  • 594 MuDELOS Y SIMULACI6N DE LOS SISTEMAS DE CONTROL DE PROCESO

    y se substituye:

    s Y,(s) = ;Ix(J, - Y(s)]

    Se suponen condiciones iniciales cero y se invierte:

    dY,W 1- = $X(t) - Y(f)1d t

    Y, a partir de la definicin de Yi( la variable de salida se expresa mediante

    YO) = YdO + p)

    En el ejemplo 9-5, esta ecuacin de una unidad de adelanto retardo se programa en lasimulacin de un controlador PID.

    Ejemplo 9-4. Simulacin de un controlador industrial proporcional-integral-derivativo(PID) .

    E(s) = R(s) - C(s)

    donde:

    K, es la ganancia del controladorr1 es el tiempo de integracin

    un es el tiempo de derivacinE(s) es la seal de errorR(s) es la seal del punto de control

    01 es el parmetro del filtro para ruido (generalmente 0.05 a 0.10)M(s) es la salida del controladorC(s) es la variable controlada

    Esta funcin de transferencia se ajusta a la mayora de los controladores analgicos fue-ra de repisa (off-the-shelf) que se utilizan en la industria.

    Solucin. En la figura 9-19~ se muestra un diagrama de bloques del controlador.Como en el caso de los retardos de primer orden en serie [ejemplo 9-l(c)], es convenienteseparar las funciones de transferencia en dos bloques, como se ilustra en la figura 9-19b;en la figura es evidente que la seccin de derivacin es una unidad de adelantolretardodonde la constante de tiempo de adelanto es el tiempo de derivacin, y el retardo es unafraccin fija, o, del adelanto.

  • EJEMPLOS DE SIMULACl6N DE CONTROL 595

    Generalmente se considera indeseable que existan dos acciones de derivacin sobrela seal del punto de control, porque ocasionan grandes golpes (kicks) derivativos so-bre los cambios que hace el operador en el punto de control. Para evitar estos golpes seinstala la unidad de derivacin sobre la variable que se mide, antes de que se calcule elerror, como se muestra en la figura 9- 19~. En este diagrama de bloques tambin se ilustrala utilizacin del esquema de retroalimentacin de reajuste para realizar la accin de inte-gracin. Como se expuso en la seccin 6-5, cuando se utiliza la retroalimentacin de rea-juste es ms fcil imponer lmites sobre la salida del controlador. Las ecuaciones con quese representa el diagrama de bloques de la figura 9-19~ son

    Unidad derivativa (adelantohetardo)

    C,(s) 70s + I-=-C(s) wT,s + 1

    (Al

    Figura 9-19. Diagrama de bloques de un controlador proporcional-integracional-derivativo (PID).(a) Diagrama de bloques del controlador (PID) industrial. (b) Diagrama de bloques despus de se-parar el bloque derivativo y el bloque proporcional ms integral. (c) Diagrama de bloques en elcual el bloque derivativo est sobre la variable de proceso y la accin integracional se realiza atravs de la retroalimentacin de reajust.

  • 596 MODELOS Y SIMULACl6N DE LOS SISTEMAS DE CONTROL DE PROCESO

    Chlculo de error

    E,(s) = Ns) - C,(s) (B)

    Accin proporcional

    M(s) = K,E,(s) + Y(s)

    Retroalimentacin de reajuste

    (CI

    Y(s) =$zMCs)

    La ecuacin (A) es para una unidad de adelantohetardo y se puede simular como se expli-c6 en el ejemplo 9-3:

    dc,W- =d t -$ ICO) - c,(t)1D

    c , ( t ) = Q(t) + ic

    Las ecuaciones (B) y (C) se pueden invertir de una manera directa:

    90) = r(t) - c,(t)

    m(t) = KAO) + YO)

    La ecuacin (D) es un retardo de primer orden con ganancia unitaria y se puede simularde la forma que se expuso en el ejemplo 9-l(a):

    44)- = ~lm(t) - y(t)1d t

    En este modelo del controlador, r(t) es la seal del punto de control (entrada), c(t) es laseal de la variable controlada (entrada), m(r) es la variable manipulada (salida), el(t)es el error y cl(r), cz(t) y y(t) son variables intermedias. Se notar que c*(t) y y(t) sonlas dos variables de estado del modelo.

    La programacin de las ecuaciones para el controlador PID se ilustra en el siguienteejemplo.

    Ejemplo 9-5. Simulacin del circuito de control por retroalimentacin de la figura 9-2Oacon las siguientes funciones de transferencia.

    P r o c e s o

    G(s) =(7,s + l)(TzS + 1)

  • EJEMPLOS DE SIMULACl6N DE CONTROL

    Controlador PID

    597

    donde los smbolos tienen el mismo significado que en los ejemplos 9-l(c), 9-2 y 94,L(S) es una entrada de perturbacin.

    Solucidn. En la figura 9-20 se separan en componentes de primer orden los bloquesdel circuito de control por retroalimentaci6n; tambin se movi el elemento derivativo delcontrolador, de manera que no acte sobre la seal del punto de control, y se utiliza laretroalimentacin de reajuste para la accin integracional (ver ejemplo 9-4).

    El controlador PID se puede simular como en el ejemplo 9-4; debido a que los nom-bres de las variables son los mismos que en el ejemplo, no se necesita repetir aqu las ecua-ciones en el dominio del tiempo. Las ecuaciones para el resto del circuito son las siguientes:

    (b)Figura 9-20. Diagrama de bloques de un circuito de control por retroalimentacin. (u) Diagramade bloques del circuito de control por retroalimentacin. (b) Diagrama de bloques modificado paraprocesos proporcional-integral-derivativo (PID) y de segundo orden.

  • 599 MODELOS Y SIMULACI6N DE LOS SISTEMAS DE CONTROL DE PROCESO

    El tiempo muerto se simula mediante el almacenamiento de los valores de x2(t) y su re-produccin t. unidades de tiempo ms tarde, como se explic en el ejemplo 9-2, ya que

    c(r) = +(t - ro)

    Estas ecuaciones, junto con las del controlador que se dan en el ejemplo 9-4, constituyenel modelo de circuito de control por retroalimentacin. En la figura 9-21 se lista unasubrutina FORTRAN para hacer el modelo del circuito; esta subrutina se denomina MO-DEL y se utiliza con el programa principal de la figura 9-14 y las subrutinas de integra-cin numrica de las figuras 9-13 6 9-16. Se observar que se utiliza el argumento IEVALen la simulacin del tiempo muerto; dicho argumento se fija en la subrutina de integracincon el nmero de secuencia de cada evaluacin de derivada, durante cada paso de inte-

    cc

    :ccccccccc

    c

    ccc

    2 1 0

    Ccc

    230

    ccc

    240

    S U B R O U T I N E PIODEL( NODE, T I M E . X S , D X , D T I M E )

    P U R P O S E - T O A C C E P T I N P U T D A T A , C A L C U L A T E T H E DERIVATIVES(ENTRY DERIV). A N D P R I N T T H E R E S U L T S (BNTRY OUTPVT)

    FOR A PID FEEDBACK LOOP WITH A SECOND-ORDER PLUSDEAD TIHE P L A N T .

    NOTES : 1. SECOND TIPIE CONSTANT CAN BE SET TO ZERO.

    2 . D E R I V A T I V E TIHE C A N B E S E T T O ZERO.

    3 . I F I N T E G R A L TIPIE IS S E T T O ZERO, A PURE I N T E C R A LCONTROLLER WITH GAIN KC RESULTS.

    I M P L I C I T REAL-8 cA-H.O-2)REAL.8 ll. K, KC, LDIMENSION XS(l). DX(l). 2(104)

    D A T A I D I S T / D /

    ACCEPT PROCESS PARAMETERS

    WRITE( 6 , 2 0 0 )FORMATC E N T E R K , TAUI, TAUZ, A N D 10. TAU1 D E F A U L T S T O 1.0)REALC 5. I ) K. TAUI. TAUZ. T O

    IF < TAU, .LE. 0. ) TAU, = 1.WRITE( 6 , 2 1 0 ) K. T A U , , TAUZ, T OWRITE( 4 . 2 1 0 1 K . T A U , . TAUZ. T OFORMAT(/lOX.PROCESS GAIN =, IPG9.1.5X:TIIlE CONSTANTS,ZG12.5/

    F /SBX.DEAD TINE.5X.G12.5 )

    ACCEPT CONTROLLER PARAMETERS

    WRITE( 6 . 2 2 0 )FORMAT( E N T E R K C . TAUI. AND TAUD. I N T E G R A L C O N T R . TF TAI=O)READ( 5 . * ) K C , TAUI. T A U DALPWA 5 0.10WRITE( 6;.2iO J K C . TAUI. T A U D . A L P H AWRITE( 4 . 2 3 0 ) K C , TAUI. T A U D . A L P H AFORMAT(/lOX.CONTROLLER GAIN =.lPGl2.5/

    F /lOX,INTEGRAL T I M E =.G12.5/0 /lOX.DERIVATIVE T I M E =.G12.5,2X,(ALPHA =,C,2.5,) )

    ACCEPT TYPE OF INPUT. SET POINT OR DISTURBANCE

    WRITE( 6 . 2 4 0 )FORNAT( S E T P O I N T

  • EJEMPLOS DE SIMULACIN DE CONTROL 599

    260 FORMAT(/lZX.'RESPONSE TO DISTURBANCE STEP')COTO 20

    10 L = 0.R = 1.URITEC 6. 270 )

    270 FORMAT(/l2X.'RESPONSE TO SET POINT STEP' )20 CONTINUE

    cc INITIALIZE DBAD-TIME VECTOR Z AND INDEX ITO.r

    KTO = TO / DTIPIE + 0.5IF ( KTO .CT. 0 , KTO = KTO / ( (KTO + 99) / 100 )DO 30 I=l.K*O

    30 Z(I) = 0.ITO = 1

    cc SET INITIAL CONDITIONS TO ZERO (DEVIATION VARIABLES).c

    NODE = 8DO 40 I=l,NODE

    40 XSCI) = 0.r

    DXZ = 0.DC2 = 0.

    L PRINT "EADER FOR RESPONSE TABLE.c

    WRITE< 6. 280 1WRITE( 4. 280 )

    280 FORMAT~/IOX,4X.'TIHE',1,X,'C',,1X.'PI'.7X.'INPUT'.10X.'X2',F ,X.'DERIV'/)RETURN

    CCC

    50CCC

    OCcc

    70

    80cCc

    EVALUATION OF DERIVATIVE FUNCTIONS.

    ENTR'; DERIV( NODE. TIME, XS, DX, IEVAL )

    XI = XSCI)X2 = XS(2)c2 = XS(3)Y = XS(I1,IF ( TAU2 .LE. 0. ) XZ = XI

    DEAD TIME SIMULATION. STORE ONLY ON FIRST EVALUATION.

    c = x2IF ( TO .LE. 0. 1 COTO 50

    c = Z(IT0,IF ( IEVAL .NE. 1 1 COTO 50

    Z(ITO) = X2ITO = ITO + 1IF ( 170 .tT. KTO ) ITO = 1

    CONTINUE

    DERIVATIVE ACTION ON MEASUREMENT ONLY.

    Cl =CIF ( TAUD .LE. 0. ) COTO 60

    Cl = C2 + C / ALPHADC2 = ( C - C1 J / ( ALPHA = TAVD 1

    CONTINUE

    PROPORTIONAL-INTEGRAL EY RESET FEEDBACK OR PURE INTEGRAL.

    E = R - CEl = R - ClIF ( TAU1 . LE. 0. ) COTO 70

    M = KC " El + YDY = ( M - Y 1 / TAU1COTO 80

    M = YDY = KC * ECONTINUE

    FIRST-ORDER LAGS.

    X =M+LDX, = ( K . X - X1 ) / TAU,IF ( TAU2 .GT. 0. 1 DX2 = < X, - XZ ) / TAU.2

    Figura 9-21. (Continzuzcibn)

  • 600

    CCc

    c

    C

    CCC

    350CCC

    MODELOS Y SIMULACl6N DE LOS SISTEMAS DE CONTROL DE PROCESO

    SET VECTOR OF DERIVATIVES. INCLUDING IAE. ISE. ITAE 8 ITSE.

    DX(l) = DXlDX(2) = DX2DX(3) = DC2DX(4) = DY

    DX(51 = DABS( E 1DX(61 = E**2DX(7) = TIME * DABS( E 1DX(B) = TIME l E**2

    PRINT ENTRIES ON RESPONE TABLE.

    ENTRY OUTPUTWRITE( 6. 350 1 TIME. C, M, X. X2, C,WRITE( 4, 350 1 TIME, C. M, X. X2, C,FORMAT(IOX.lP6GI2.4)

    PRINT ERROR INTEGRALS. IAE. ISE. ITAE AND ITSE.

    IF ( iEVAL .NE. 0 1 GOTO 99WRITE( 6. 120 1 ( XS

  • RIGIDEZ

    0.300 r

    6 0 1

    Figura 9-22. Respuesta del circuito de control Por retroalimentacin de la figura 9-20b a un cam-bio escaln unitario en la perturbacin. Proceso: K = 1, r1 = 1 seg, r2 = 0.50 seg, t0 = 0.25seg. Controlador: K, = 2.82, r1 = 0.822 seg, 7D = 0.261 seg.

    L4ET e ICET. Para esta estructura se requiere la adicin de cuatro variables de estado -unapor cada error de integracin- a las cuatro variables de estado con que se simula el circuito.

    En este ejemplo se ilustr la simulacin de los modelos dinmicos que se describie-ron en los ejemplos precedentes; dichos modelos son tiles en la simulacin de sensores,controladores y vlvulas de control que se asocian generalmente con el modelo dinmicodel propio proceso.

    9-8. RIGIDEZ

    Como se vio en la seccin 9-5, se dice que un sistema de ecuaciones diferenciales es rgi-do si la razn de su eigenvalor mayor respecto al menor es grande. En el captulo 2, loseigenvalores de un sistema dinmico se definen como las races de la ecuacin caracters-tica de la funcin de transferencia del sistema. Mientras ms grande es la rigidez de unmodelo, mayor es la cantidad de pasos de integracin y, en consecuencia, el tiempo decomputadora que se requiere para simular el sistema en una computadora digital. En estaseccin se estudiaran las fuentes de rigidez que se pueden eliminar cuando se hace el mo-

  • 6 0 2 MODELOS Y SIMULACIN DE LOS SISTEMAS DE CONTROL DE PROCESO

    delo de un sistema. Tambin se abordaran brevemente algunos de los mtodos de integra-cin numkrica que se han diseado para manejar eficientemente los sistemas rgidos deecuaciones diferenciales.

    Fuentes de rigidez en un modelo

    De un modelo que consta de n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, sedice que es de orden n, debido a que, en ausencia de los elementos de tiempo muerto,las ecuaciones linealizadas se pueden reducir a una sola funcin de transferencia to-tal, cuyo denominador es un polinomio de grado n en la variable s de la transformadade Laplace. De aqu se tiene que la ecuacin caracterstica de tal sistema tiene n races,las cuales son los n eigenvalores del sistema y, por lo tanto, por cada ecuacin diferencialordinaria de primer orden que se escribe para el modelo del sistema, se aade un eigenva-lor a la respuesta del modelo.

    Debido a la interaccin entre las ecuaciones diferenciales que constituyen el modelode un sistema, en principio la respuesta de cada variable de estado se puede afectar concada eigenvalor de las ecuaciones del modelo. La respuesta del sistema linealizado se puederepresentar mediante la siguiente ecuacin:

    xi(t) = 6,e~ + &ez + . + b,e+ + (trminos de entrada) (9-83)

    xi(t) es la respuesta de la variable de estado ih, b2,. . ., b, son los coeficientes que dependen del sistema y de su funcin de for-

    zamiento de entradar1, 7-2,. * ., r,, son los eigenvalores del sistema, Utiempo

    y los trminos de entrada dependen de la funcin de forzamiento de entrada especficaque se aplica al sistema.

    Nota: La ecuacin (9-83) se puede obtener mediante la transformacin de Laplacede las ecuaciones linealizadas del sistema, la eliminacin algebraica de todas las varia-bles de estado, excepto Xi(s), y la inversin mediante expansin de fracciones parciales,como se estudi en el captulo 2.

    Si el sistema es estable, las partes reales de todos los eigenvalores son negativas (verseccin 6-2), lo cual significa que, con el tiempo, cada t&nino de la ecuacin (9-83) tiendeexponencialmente a cero. Cuando ms grande es la magnitud de la parte real negativadel eigenvalor, tanto ms rpido decae a cero el tkrnino correspondiente de la ecuacin(9-83); en cambio, el trmino con el eigenvalor cuya parte real es la ms pequea (enmagnitud) es el que tiene el tiempo ms largo para tender a cero y, en consecuencia, stees el eigenvalor dominante con el que se controla el tiempo al cual el modelo alcanzael estado estacionario. Como se ver en breve, en las frmulas de integracin explcitas,

  • RIGIDEZ 6 0 3

    con el eigenvalor ms grande se impone un lmite de estabilidad superior para el intervalode integracin; de aqu que el nmero de pasos de integracin (clculos) necesarios pararesolver las ecuaciones diferenciales se incremente con la razn del eigenvalor mayor al menor.

    En un sistema rgido de ecuaciones diferenciales, la magnitud de algunos de los eigen-valores es mucho mayor que la del dominante; sin embargo, se observa que los trminosde la ecuacin (9-83) correspondientes a esos eigenvalores grandes deben tender necesa-riamente a cero mucho ms rpidamente que el eigenvalor dominante y, por lo tanto, suefecto dinamico sobre la respuesta total es de corta duracin; de hecho, su duracin esuna fraccin muy pequea de la duracin de la respuesta, y generalmente se puede des-preciar. Con esto se sugiere que la rigidez de un modelo se reduce si se eliminan de lasecuaciones del modelo los eigenvalores que en magnitud son mucho mayores que el eigen-valor dominante.

    Una suposicin mediante la cual se pueden eliminar los eigenvalores del sistema deecuaciones de un modelo es la suposicin de estado cuasi-estacionario, la cual consis-te en despreciar el trmino de acumulacin de una ecuacin de balance, de manera queCsta se convierta en una ecuacin algebraica del modelo, en lugar de una de las ecuacio-nes diferenciales de primer orden, con lo cual se reduce el orden del sistema en uno; porlo tanto, se elimina uno de los eigenvalores. Sea xj la variable de estado que se asociacon la ecuacin diferenciai que se elimina, entonces la suposicin de estado cuasiestacio-nario consiste en la siguiente aproximacin de la ecuacin del modelo.

    = jj(x,, x2, . . . , X, 0 = 0

    donde:

    4 es la funcin derivadaXI> x2,. . ., x,, son las variables de estado

    Se notar que la aproximacin que se indica en la ecuacin (9-84) no afecta a la solu-cin de estado estacionario de las ecuaciones del modelo, sino que nicamente se despreciael efecto transitorio. Tambin se observa que la variable XjO deja de ser una variablede estado y se convierte en una variable auxiliar del modelo. La situacin ideal es aquelladonde la variable Xj se puede calcular explcitamente a partir de la ecuacin (9-84); sinembargo, aun cuando la ecuacin (9-84) se deba resolver iterativamente para Xj, se ob-tiene una ventaja computacional si con la reduccin en la rigidez del sistema se logra unincremento significativo en el intervalo de integracin. La razn de lo anterior es que,a pesar de que en el mtodo de solucin iterativa se requieren unas cuantas evaluacionesde la ecuacin (9-84) en cada paso de integracin, en el sistema rfgido se requiere la eva-luacin de todas las ecuaciones del modelo, tantas veces como pasos se requieren en elmodelo rgido.

    Ahora que se sabe que es posible reducir la rigidez mediante la aplicacin de la suposi-cin de estado cuasiestacionario a algunas de las ecuaciones diferenciales del modelo, setiene el problema de reconocer las ecuaciones con que se introducen los eigenvalores grandes

  • 6 0 4 MODELOS Y SIMULACl6N OE LOS SISTEMAS DE CONTROL DE PROCESO

    que ocasionan la rigidez. La solucin de este problema es parte del arte de la simulacin;pero antes de proceder a la explicacin se debe enfatizar el hecho de que no siemprees posible aislar las ecuaciones con que se produce la rigidez.

    En la prctica se encuentra que muchas de las ecuaciones diferenciales de primerorden que constituyen el modelo actan como retardos de primer orden; es decir, la varia-ble de estado que aparece en el trmino derivativo retarda a las dems variables del mode-lo. Si ste es el caso, existir un eigenvalor que se asocia con la ecuacin diferencial bajoconsideracin, cuya magnitud es del orden del recproco de la constante de tiempo delretardo; una manera sencilla para estimar tal eigenvalor es derivar parcialmente la fun-cin derivada respecto de la variable de estado en el tkrnino derivativo. Respecto a laecuacin (9-84), el eigenvalor se estima mediante

    (9-85)

    donde rj es el eigenvalor que se asocia con la ecuacin en cuestin. El problema de estaestimacin es que puede ser lejana cuando el acoplamiento entre las ecuaciones del mode-lo es alto, como en el caso de las ecuaciones de balance de un equipo de flujo a contraco-rriente, por ejemplo, las columnas de destilacin (ver seccin 912).

    Los siguientes son algunos ejemplos de ecuaciones con las que se pueden introducireigenvalores grandes en la solucin de las ecuaciones del modelo; se observa que en cadacaso se sospecha que el efecto dinmico considerado es mucho ms rpido que los eigen-valores dominantes del sistema.

    1 . El retardo de vlvula o de transmisor cuya constante de tiempo es de unos cuantossegundos cuando las otras constantes de tiempo son del orden de minutos u horas.

    2. La acumulacin en la fase de vapor cuando la acumulacin en la fase lquida tam-bin se considera. La masa de la fase de vapor generalmente es mucho mas pequeaque la masa en la fase lquida.

    3. La aceleracin de un fluido en un conducto corto, en relacin con la acumulacinde fluido en los tanques. Esto es anlogo al efecto de la aceleracin sobre un autosubcompacto cuando choca contra un camin de 18 ruedas completamente carga-do: se puede suponer que el subcompacto alcanza instantneamente la velocidaddel camin en el momento del impacto.

    Con el siguiente ejemplo se ilustra el efecto de la suposicin de estado cuasiestacio-nario sobre la respuesta dinmica de un sistema.

    Ejemplo 9-6. Simulacin del drenado de un tanque mediante gravedad, a travs de untubo de descarga vertical.

    Se tiene un tanque cilndrico (ver figura 9-23) de dimetro D, y altura H, el cual ini-cialmente esta lleno de agua y se descarga a travs de un tubo vertical de longitud L ydimetro Dp. Tanto el tanque como el tubo de descarga estn abiertos a la atmsfera

  • RIGIDEZ 6 0 5

    Figura 9-23. Esquema de un tanque con drenaje por gravedad.

    y la friccin de la cada en el tubo, incluyendo prdidas por contraccin y expansin, seexpresa mediante

    donde:

    kf es un coeficiente de friccin = 4fi~ + k, + k,DP

    Apf es la cada de presin por friccin, N/m*p es la densidad del agua, kg/m3v es la velocidad promedio en el tubo, m/sf es el factor de friccin de Fanning y se supone constante

    k, es el coeficiente de prdida por contraccink, es el coeficiente de prdida por expansin (= 1.0)

    Se debe determinar el tiempo que toma vaciar el tanque.

    Sohcibn. Del balance de masa alrededor del tanque resulta la siguiente ecuacin:

    1 ecuacin, 2 incgnitas (v, y) (B)

  • 606 MODELOS Y SIMULACldN DE LOS SISTEMAS DE CONTROL DE PROCESO

    donde:

    Dp es el dimetro del tubo, mD, es el dimetro del tanque, my es el nivel en el tanque, m

    Puesto que la densidad es constante, la ecuacin (B) se simplifica a

    ((2

    La siguiente ecuacin se obtiene del balance de fuerzas en el tubo:

    suma de fuerzas = d (momento)d t

    7FDj 2 TD2--tp - p,) + ppT~ - +Api = f 0%

    2 ecuaciones, 3 incgnitas (p)

    donde:

    p es la presin en el fondo del tanque, N/m2pa es la presin atmosferica, N/m*g es la aceleracin de la gravedad, 9.8 m/s*L es la longitud del tubo, m

    La presin en el fondo del tanque se relaciona con el nivel del tanque en cualquierinstante, mediante la frmula

    P = Pa + PgY 3 ecuaciones, 3 incgnitas (E)

    Ahora se substituyen las ecuaciones (A) y (E) en (D), para obtener

    (F)

    Las ecuaciones (C) y (F) son suficientes para determinar la respuesta dinmica del niveldel agua en el tanque y la velocidad en el tubo. Las condiciones iniciales son tanque llenoy velocidad cero en el tubo:

    y(O) = x. = H

    v(O) = 0

  • RIGIDEZ 6 0 7

    Se resuelven las ecuaciones (C) y (F) para determinar el tiempo tf que se requierepara vaciar el tanque:

    Y(tf) = 0

    Un posible problema es que el sistema de ecuaciones (C) y (F) sea rgido, lo cualocurrira si el tiempo requerido para que el lquido en el tubo se acelere hasta un valorde equilibrio, a un cierto nivel en el tanque fuera significativamente menor que el tiemponecesario para vaciar desde ese nivel.

    Si el trmino de aceleracin en el miembro derecho de la ecuacin (D) es desprecia-ble, entonces

    y+L-kLZ=4!!z02g g dt

    k d2gC.v + L)lk, U-U

    Por tanto, si el sistema de ecuaciones (C) y (F) resulta ser severamente rgido, la ecuacin(F) se puede substituir porsu aproximacin, ecuacin (H). Fsicamente, esto equivale adespreciar la aceleracin del fluido en el tubo en la ecuacin de balance de fuerzas, ecua-cin (D); esto es la suposicin de estado cuasiestacionario.

    Los parmetros son los siguientes:

    Altura del tanque: H = 0.762 m (30 pulg)Dimetro del tanque: D, = 0.1397 m (5.5 pulg)Dimetro del tubo: Dp = 6.83 x lOe3 m(0.269 pulg)Longitud del tubo: L = 0.4572 m (18 pulg)Aceleracin de la gravedad: g = 9.8 m/s2 (32.2 pies@)Coeficiente de friccin: kf = 4.2 (sin dimensiones)Densidad del agua: p = 1000 kg/m3 (62.3 lb/pies3)

    En la figura 9-24 se muestra un listado de la subrutina MODEL en FORTRAN pararesolver este problema. Con esta subrutina se simulan los dos modelos del tanque simul-tneamente, con la finalidad de comparar las respuestas dinmicas. Las primeras dos va-riables de estado corresponden a y y v de las ecuaciones (C) y (F); mientras que la terceracorresponde al nivel y (yp) de la ecuacin (C) cuando se utiliza la ecuacin (J-L) para calcularla velocidad v (VI).

    La subrutina de la figura 9-24 se combina con la subrutina Runge-Kutta-Simpsonde la figura 9-16 y el programa principal de la figura 9-24 para producir las respuestasque se tabulan en la figura 9-25. Se tabulan los resultados de dos corridas; en la primerase presenta en detalle la respuesta durante los primeros 0.5 segundos de operacin y seobserva cmo la velocidad v que se calcula mediante el modelo exacto se inicia en cero,se acelera hasta la velocidad de estado cuasiestacionaria VP y entonces la retarda; en estoestriba la diferencia entre los dos modelos. En la segunda corrida se observa cmo, ala larga, de los dos modelos se obtienen esencialmente los mismos tiempos de vaciado

  • CCCCCCCCCCCCCCC

    C

    CCC

    2 1 0

    1 0 0

    SUBROUTINE MODEL( NODE, TIME, XS, DXS, DTIME 1

    CRAVITY DRAINAGE TANK SIMULATION

    THIS SUBROUTINE SIMULATES AN EXACT MODEL THAT INCLUDES THEINERTIA OF THE LIQUID IN THE DISCHARGE PIPE. A N D AQUASI-STEADY-STATE MODEL THAT NEGLECTS THE INERTIA.

    VARIABLES

    DPDTLKFYO

    IN INPUT DATA

    DIAMETER OF PIPE, MDIAMETER OF TANK, MLENGTH OF PIPE, MDISCHARGE FRICTION COEFFICIENT IN VELOCITY HEADSINITIAL HEIGHT OF LIQUID IN TANK, M

    IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z)REAL*8 L. KFREAL*4 XYCOMMON/ PLOTD / MP, XY(205.3)DIMENSION XS(I), DXS(1)

    DATA G / 9.8 /, VO / 0. /

    ACCEPT INPUT DATA

    MP = 0WRITE(6,ZlO)FORMATC' ENTER DP, DT, L, KF, YO')READ ( 5, * 1 DP. DT, L, KF. YOWRITE ( 6, 100 ) DP, DT, L, KFWRITE ( 4, 100 ) DP, DT, L. KFFORMAT(//IOX,'GRAVITY DRAINAGE TANK SIMULATION'/

    1 / lOX,'PIPE DIAMETER =',lPG12.5,' M',2 5X,'TANK DIAMETER ='.C12.5,' M'/3 / 10X;PIPE LENCTH ='.G12.5,' M',4 5X,'PIPE FRICTION =',G12.5 )

    CC CALCULATE CONSTANTS AND SET INITIAL CONDITIONSC

    Cl = ( DP / DT ) ** 2CZ=KF/ (2. *G 1

    CXS(I) = YOXSC.2) = VOXS(3) = YONODE = 3

    c PRINT HEADER FOR OUTPUT TABLEC

    WRITE ( 6, 110 )WRITE ( 4. 110 )

    110 FORMAT(//IOX,'TIME, S',BX,'Y. M',7X,'V. M/S',7X,'YP, M',1 6X,VP, M/S/)

    1 2 0 FORMAT(lOX,5G12.5)C

    RETURNCC ENTRY TO CALCULATE DERIVATIVE FUNCTIONSC

    ENTRY DERIV( NODE, TIME, XS, DXS, NEVAL )CC STORE STATE VARIABLE INTO LOCAL VARIABLESr

    Figura 9-24. Listado de la subrutina en FORTRAN con la que se simula el tanque con drenajepor gravedad.

  • RIGIDEZ

    CCC

    CCC

    C

    CCC

    C

    C

    C

    609

    Y = XS(I)V = XS(2)YP = XS(3)

    CALCULATE DERIVATIVES FOR EXACT (STIFF) MODEL

    DXS(1) = -Cl * VDXS(2) = ( C / L ) * (Y+L-C2*Vr*2)

    CALCULATE DERIVATIVE FOR QUASI-STEADY-STATE MODEL

    VP=DSQRT( (YP+L 1 /C2 1DXS(3) = -Cl * VP

    RETURN

    ENTRY TO OUTPUT SELECTED VARIABLES

    ENTRY OUTPUT

    WRITE ( 6. 120 ) TIME, Y, V, YP, VPWRITE ( 4, 120 1 TIME, Y, V, YP, VP

    MP = MP + 1XY(MP.1) = TIMEXY(MP.Z).= YXY(MP.3) = V

    RETURNEND

    Figura 9-24. (Contuluacin)

    y niveles; aqu la diferencia consiste en que con el modelo exacto, que es algo rgido,se requiere un intervalo de integracin (DTIME) mucho m& pequeo que con el modelode estado cuasiestacionario. En las condiciones iniciales, los eigenvalores para el modelo exactose calculan mediante la linealizacin de las ecuaciones (C) y (F); stos son, respectiva-mente, -0.0023 y -21.9 seg-, y representan un grado de rigidez cercano a 10,000.

    En el ejemplo precedente se ilustra que mediante la suposicin de estado cuasiesta-cionario se obtienen esencialmente los mismos resultados dinmicos que con el modelooriginal; la ventaja de este hecho es que, tanto mayor es el grado de rigidez del sistema,cuanto menor es el error que ocasiona la suposicin de estado cuasiestacionario.

    Integracin numrica de los sistemas rgidos

    Se dice que los tres mtodos de integracin numrica que se consideraron en la seccin9-5, Euler, Euler modificado y Runge-Kutta-Simpson, son metodos explfcitos; esto sedebe a que las variables de estado se calculan de manera explcita en cada paso de integra-cin, con base en los valores que resultan en el- paso precedente. En esa misma- seccinse mencion que, para un paso de integracin bastante grande, la solucin numrica sepuede hacer inestable aun cuando la respuesta de las ecuaciones del modelo es dinmica-

  • R U N P A R A M E T E R S . T O = . O TFAX= .500 DTIME= 1.5625D-02

    G R A V I T Y D R A I N A G E T A N K S I M U L A T I O N

    P I P E D I A M E T E R = 6.8300D-03 M T A N K D I A M E T E R = .13790 M

    P I P E L E N G T H = .45720 M P I P E F R I C T I O N = 4 . 2 0 0 0

    T I M E , S y, M Q, M/S

    . O 7 6 2 0 0:76lee

    0.625OOD-01 ; .4182. 1 2 5 0 0 :76126 76161 2 . 0 9 5 4

    : 25000 18750 7609 1.31250 : 7 6 0 5 4

    2.3076 2 .36462 . 3 7 9 0

    .37500 7 6 0 1 8

    : .75945 7598 1

    2 . 3 8 2 5

    : 43750 50000 2.3831 2.3830

    R U N P A R A M E T E R S , T O = . O TMAX=

    GRAQiTY D R A I N A G E T A N K S I M U L A T I O N

    P I P E D I A M E T E R = 6.8300D-03 M

    P I P E L E N C T H = .45720 M

    T I M E , S Y, M V , M/S Y P . M Q P , M/S

    0i.00001 0 . 0 0 01 5 . 0 0 02 0 . 0 0 02 5 . 0 0 03 0 . 0 0 03 5 . 0 0 04 0 . 0 0 04 5 . 0 0 05 0 . 0 0 05 5 . 0 0 06 0 . 0 0 06 5 . 0 0 07 0 . 0 0 07 5 . 0 0 08 0 . 0 0 08 5 . 0 0 09 0 . 0 0 09 5 . 0 0 01 0 0 . 0 01 0 5 . 0 01 1 0 . 0 01 1 5 . 0 01 2 0 . 0 01 2 5 . 0 01 3 0 . 0 01 3 5 . 0 01 4 0 . 0 01 4 5 . 0 01 5 0 . 0 01 5 5 . 0 01 6 0 . 0 01 6 5 . 0 0

    .?G200

    .733287 0 4 5 4

    :676166 4 8 1 2

    : 6 2 0 4 45 9 3 1 0

    :566125 3 9 4 9

    :51321.48728.46170

    4 3 6 4 7:4l 1 6 0

    3 8 7 0 7: 3 6 2 9 0

    3 3 9 0 7:31560

    2 9 2 4 8: 2 6 9 7 1.24729

    2 2 5 2 2: 2 0 3 5 1

    1 8 2 1 4:16112. 1 4 0 4 6

    1 2 0 1 5: 1 0 0 1 9.80575D-01.61315D-01.42406D-01

    23848D-0 1:56413~-02

    -.12214D-01

    . O2 . 3 5 7 32 . 3 2 8 72 . 3 0 0 12 . 2 7 1 42 . 2 4 2 82 . 2 1 4 22 . 1 8 5 62 . 1 5 7 02 . 1 2 8 32 . 0 9 9 72 . 0 7 1 12 . 0 4 2 52 . 0 1 3 91 . 9 8 5 21 .95661 .92801 .89941 .87081 .84211 .81351 .78491 .75631 .72771 . 6 9 9 01 .67041 .64181 .61321 . 5 8 4 61 . 5 5 6 01 . 5 2 7 31 .49871 . 4 7 0 11 . 4 4 1 5

    .76200

    .73292

    .70419

    .6758 1

    .64778

    .62010

    .59278

    .56580

    .53918

    .51291.48699.4614l

    4 3 6 1 9:41133.3868 1

    3 6 2 6 4: 3 3 8 8 3.31536.29225.26949.24707.22501.20330

    1 8 1 9 5: 1 6 0 9 4. 14028

    l l 9 9 8: 1 0 0 0 2.80419D-OI..61166D-01.42265D-01.23715D-01.55157D-02

    -.12332D-01

    2 . 3 8 5 32 . 3 5 6 72 . 3 2 8 02 . 2 9 9 42 . 2 7 0 82 . 2 4 2 22 . 2 1 3 62 . 1 8 5 02 . 1 5 6 32 . 1 2 7 72 . 0 9 9 12 . 0 7 0 52 . 0 4 1 92 . 0 1 3 21 .98461 . 9 5 6 0I .92741 . 8 9 8 81 . 8 7 0 11 .84151 . 8 1 2 91 . 7 8 4 31 . 7 5 5 71 .72701 .69841 .66981 . 6 4 1 21 .61261 .58391 . 5 5 5 3l .52671 .49811 . 4 6 9 51 . 4 4 0 8

    Y P , M V P . M/S

    .76200 2 . 3 8 5 3

    .76163 2 . 3 8 4 9

    .76127 2 . 3 8 4 6.76090 2 . 3 8 4 2.76054 2 . 3 8 3 9.76017 2 . 3 8 3 5.7598 1 2 . 3 8 3 1

    7 5 9 4 4: 7 5 9 0 8

    2 . 3 8 2 82 . 3 8 2 4

    1 6 5 . DTIME= 1 . 5 6 2 5 0 - 0 2

    T A N K D I A M E T E R = .13790 M

    P I P E F R I C T I O N = 4 . 2 0 0 0

    Figura 9-25. Resultados de dos corridas del programa con que se simula el tanque con drenajepor gravedad.

    6 1 0

  • RIGIDEZ 6 1 1

    mente estable. En esta seccin se presentar brevemente un tipo de mtodos implcitosde integracin numrica en los que no hay limitaciones de estabilidad.

    Para afirmar las ideas acerca de la estabilidad numrica, a continuacin se considerala siguiente ecuacin diferencia! lineal de primer orden:

    dxclr = rx (9-86)

    donde:

    x es la variable de estador es el eigenvalor, Utiempo

    La solucin analtica de esta ecuacin, que esta sujeta a alguna condicin inicial nO, es

    x(t) = x(+? (9-87)

    Evidentemente, esta respuesta es estable si la parte real de r es negativa, o es un n-mero negativo. Ahora se considera la solucin numrica de la ecuacin (9-86) medianteel metodo de Euler; de la ecuacin (9-69) se obtiene

    XI,+&, = XI, + r XI, At = (1 + rAt)xl, (9-88)

    donde At es el intervalo de integracin, siempre real y positivo. En la ecuacin (9-88)es evidente que, si la magnitud de cada valor de x debe ser menor que el precedente, sedebe cumplir la siguiente condicin:

    I l + rAtI < 1 (9-89 j

    0 si r es un nmero real

    -2 < rAt < 0 (9-90)

    La ecuacin (9-89) es la condicin de estabilidad numrica para el mtodo de Euler,y la ecuacin (9-90) representa los lmites de estabilidad de rAt cuando ste es un nmeroreal. Para el caso en que r es un nmero real negativo, los valores de At para los cualesla solucin numrica de Euler es estable son:

    At

  • 612 MODELOS Y SIMULACIN DE LOS SISTEMAS DE CONTROL DE PROCESO

    con una cierta tolerancia, es generalmente mucho ms pequeo que el lmite de estabili-dad que se obtiene con la ecuacin (9-91).

    En la seccin 9-5 se vio cmo con las frmulas de Qrler modificada y Runge-Kutta-Simpson se obtiene la misma exactitud que con el mtodo de Euler, pero con intervalosde integracin cuyo orden de magnitud es mayor. Sin embargo, en t&minos de los lmi-tes de estabilidad de At, los de los mtodos explcitos Euler y Runge-Kutta son casi losmismos que los del mtodo de Euler y se expresan con la ecuacin (9-91). Esto es signif-cativo porque, para un sistema de ecuaciones diferenciales rgido, el lmite de estabilidaddel intervalo de integracin es menor que el limite total de exactitud, debido a que, comose vio anteriormente, los eigenvalores grandes, los cuales hacen que la solucin se vuelvainestable, tienen poco efecto sobre la exactitud total de la respuesta que se calcula. Enotras palabras, en tkminos de los eigenvalores grandes que ocasionan la rigidez, nica-mente se necesita que haya estabilidad, no precisin.

    Los mtodos implcitos de integracin numrica se desarrollaron para sistemas rgi-dos de ecuaciones diferenciales; una propiedad de estos mtodos es que no existe limita-cin de estabilidad en el tamao del intervalo de integracin, lo cual significa que la nicaconsideracin para elegir el intervalo de integracin es la exactitud de la respuesta total.Para ilustrar uno de los mtodos ms simples, a continuacin se considera la solucinnum&ica de la ecuacin (9-86) mediante el mtodo de Euler modificado implcito; la~frmulade la integracin numrica es

    x(,+A, = XI, + Wxl, Ar + rxJ,+b, At1 (9-92)

    La diferencia entre esta frmula y la explcita, ecuacin (9-75), consiste en que sta seencuentra implcita en la variable de estado x 1 t + At; es decir, la aproximacin al tkrninoxlt+AI en el miembro derecho no se hace con una frmula diferente. En este caso simplede una sola ecuacin lineal de primer grado, la solucin implcita es directa. Al resolverla ecuacin (9-92) para xlt + At, se obtiene

    (9-93)

    La condicin de estabilidad para esta frmula es

    (9-94)

    Se puede demostrar fcilmente que con todos los valores positivos de At se satisface estacondicin, siempre y cuando. la parte real del eigenvalor, r, sea negativa; en otras pala-bras, la solucin numerca es estable en tanto que el sistema original es estable.

  • PROBLEMAS 6 1 3

    La forma general de la ecuacin de Euler modificada implcita, contraparte real dela ecuacin (9-75), es la siguiente:

    Para i = 1, 2,. . ., n, se calcula

    xil,ti = XiI, + %[fi(Xl, xz> . . . > xn, II, (9-95)+ fi(Xl, x2, . . . , xn, r)I,+&,l

    dondej son las funciones derivadas. Es de notar que, para resolver de manera implcitaeste sistema de rz ecuaciones algebraicas no lineales correspondientes a los valores de lasvariables de estado, XiJt+bt> i = 1, 2,. . . , rr, se requiere una solucin reiterativa, es de-cir, la evaluacin repetida de todas las ecuaciones del modeio en cada paso de inte-gracin. La ventaja de este mtodo estriba en la reduccin de la cantidad total de pasosde integracin en un factor mayor que el numero de evaluaciones de la funcin por paso;obviamente esta ventaja es mayor conforme ms rgido es el sistema, y nula cuando el siste-ma no es rfgido. En la subrutina LSODE, una de la tabla 9-1, se utiliza el mtodo implcitode Gearc3) para sistemas rgidos; ste es un mtodo de orden y tamao de pasos variables.

    _

    9-9. RESUMEN

    En este captulo se present el desarrollo de los modelos dinmicos de los sistemas decontrol de proceso y los mtodos para simular dichos sistemas en computadoras digitales.Tambin se presentaron los modelos de una columna de destilacin de componentes ml-tiples, de un horno de proceso, de un tanque de reaccin qumica con agitacin continuay varios elementos dinmicos que se encuentran comnmente en los sistemas de controlde proceso. En el capitulo se incluye el estudio de la rigidez, su fuente y los mtodospara manejarla cuando se resuelven sistemas de ecuaciones diferenciales.

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    PROBLEMAS _,

    9-1. Se debe verificar si el circuito de control de concentracin del problema 6-24 sepuede poner en marcha en automtico; esto se puede hacer mediante la programa-

  • 614 MODELOS Y SIMULACl6N DE LOS SISTEMAS DE CONTROL DE PROCESO

    cin de las ecuaciones no lineales del modelo en una computadora y la simulacindel procedimiento de arranque. Se supone que inicialmente ambos reactores estn lle-nos de la solucin de alimentacin, a una concentracin de 0.80 lbmol/gal, y quela reaccin empieza tan pronto como la solucin alcanza la temperatura de opera-cin. Tambin se debe ajustar el controlador de concentracin; primero se debesimular la operacin de los reactores con sus condiciones de diseo. Con estose tiene la oportunidad de ajustar el controlador y verificar si la simulacin cumplecon las condiciones de operacin de estado estacionario.

    a) Se deben escribir las ecuaciones del modelo y programarlas para su resolucinen una computadora. Es necesario fijar las condiciones iniciales a las condicio-nes de operacin de diseo, y verificar que con ellas se logre un estado esta-cionario .

    b) El controlador de composicin se debe ajustar para IAE mfnimo con un cambioescaln del 10% en el flujo de los reactivos.

    c) Ahora, con las condiciones de arranque como iniciales, se debe simular puestaen marcha.

    iVota: Para evitar el reajuste excesivo y limitar la salida del controladora un rango entre 0 y lOO%, es necesario utilizar la retroalimentacin de reajusteen el controlador por retroalimentacin (ver ejemplo 9-4).

    d) Se debe observar el efecto del reajuste excesivo cuando la salida del controladorse limita a -25 y 125%.

    Precuucidn. Los lmites de la vlvula de control se deben fijar de maneraque el flujo varfe de cero al mximo, es decir, no debe haber flujo negativo.Los lmites del controlador corresponden a 0 y 24 mA, respectivamente, en elrango de 4 a 20 mA.Los resultados se deba comentar brevemente.

    9-2. Se necesita que el calentador de aceite del problema 6-26 funcione a la mitad dela razn de produccin de diseo, y se debe verificar si es necesario o no reajustarlos parmetros de ajuste de los controladores de nivel y temperatura. Se decide ha-cer esto mediante la simulaci6n de las ecuaciones no lineales del modelo en compu-tadora y el ajuste de los controladores tanto del flujo de diseo como a la mitaddel flujo de diseo. Los controladores se ajustaran para IAE mfnimo cuando entranperturbaciones.

    a) Se deben escribir y programar las ecuaciones del modelo para resolverlas enuna computadora, as como verificar que con las condiciones de diseo se lo-gre un estado estacionario.

    b) Los controladores se deben ajustar para cambios escaln de 5% en la posicinde la vlvula de salida con flujo de diseo completo.

  • PROBLEMAS 615

    c) Se debe reducir el flujo a la mitad, mediante el cierre de la v&lvula de salida,y observar la respuesta.

    d) Ahora se fijarn las condiciones iniciales a las condiciones finales de estado es-tacionario de la parte (c), o sea, a las condiciones de medio flujo, y se ajustarnlos controladores a estas condiciones, jexiste alguna diferencia? Los resultadosse comentarn brevemente.

    9-3. Un tanque que contiene 20,000 litros de solucin se utiliza para neutralizar unacorriente de cido clorhdrico (HCl) con un reactivo, que consiste en una solucinde 0.1 N de hidrxido de sodio. El flujo y la concentracin de diseo del HCl son500 litros/min y 0.01 N.

    En la figura 9-26 se presenta un esquema del tanque con el controlador de pH.La seal del transmisor de pH es lineal respecto al pH de la solucin en el tanque,el cual se define mediante

    pH = -log,, [Hf]

    donde [H+] es la concentracin de iones de hidrgeno, gmol/litro. El electrodopH se puede simular mediante un retardo lineal de primer orden de 15 seg; el con-trolador es proporcional-integral (PI) y el punto de control de diseo del pH es 7.El transmisor se calibra para un rango de pH de 1 a 13. En la vabula de controlse tiene una cada constante de presin de 10 psi y un dimensionamiento para unasobrecapacidad del 100% ; se tienen caracterfsticas de porcentaje igual con un pa-rmetro de ajuste en rango de 50. Para simular el actuador de la vabula se puedeutilizar un retardo de primer orden con una constante de tiempo de 5 seg.

    Se puede suponer que la reaccin de neutralizacin alcanza el equilibrio inme-diatamente y, por tanto, las concentraciones de iones de hidrgeno e hidrxido serelacionan mediante la constante de disociacin del agua:

    NaOH

    HCI

    Figura 9-26. Esquema para el neutralizador de agua de desecho del problema 9-3.

  • 616 MODELOS Y SIMULACIN DE LOS SISTEMAS DE CONTROL DE PROCESO

    El tanque se encuentra inicialmente en las condiciones de diseo de estado esta-cionario .

    a) Se deben escribir las ecuaciones necesarias para expresar el modelo del tanquesi se supone que en l la mezcla de la solucin es perfecta y el volumen constan-te. Tambin se deben calcular las condiciones iniciales.

    b) Se deben programar las ecuaciones para resolverlas en una computadora y ajus-tar el controlador a IAE mnimo (integral del valor absoluto del error) para uncambio escaln en la concentracin de HCl de 0.005 gmol/litro.

    c) Se deben obtener las respuestas cuando el controlador se ajusta para cambiosen el punto de control de fo.5 unidades de pH y de 10% en el flujo de la solu-cin de HCl.

    9-4. El evaporador que se ilustra en la figura 9-27 se utiliza para concentrar una solu-cin de azcar desde una fraccin de masa de alimentacin X, hasta una fraccinde masa de producto XP. Como medio de calefaccin se dispone de vapor saturadoa 20 psia; el agua de enfriamiento entra al condensador baromtrico con una tem-peratura Tw. Se puede suponer que la presin en el evaporador es la presinde vapor del agua a la temperatura de salida del condensador, Tc, que la mezcladel contenido del evaporador es perfecta y que la temperatura de los tubos de ca-landria es igual a la del vapor,que se condensa, Ts. Las prdidas de calor se pue-den despreciar.

    El rea de transferencia del evaporador es de 309.5 pies2, y su capacidad esde 4.2 pies3 de solucin por pie de nivel. La capacidad calrica de los tubos de

    Agua para enfriamtento

    salimentacih a P = 2 0

    Figura 9-27. Evaporador de efecto nico para el problema 9-4.

  • P R O B L E M A S 617

    calandria es 154 Btu/OF, el coeficiente de transferencia de calor es 150 Btu/h-pie2-F. El volumen de la solucin abajo de los tubos de transferencia de calores de 4.68 pies3.

    Las vabulas de control tienen caractersticas lineales, constantes de tiempo de5 seg y se dimensionan para una sobrecapacidad del 100%. La cada de presina travs de la vlvula de control de alimentacin es constante a 16 psi, y a travsde la vlvula de producto es igual a la presin en el evaporador, debido a que conun soporte baromtrico se hace que la presin, en el lado corriente abajo oela vlvula de producto, sea cero absoluto. El sensor de nivel es un flotador conrango de 0 a 2 pies por arriba del fondo de los tubos. El rango del transmisor deconcentracin (AT20) es de 0.3 a 0.8 unidades de fraccin de masa, y la constan-te de tiempo, de 25 seg. El controlador de nivel (LC20) es proporcional, con unpunto de control de 25% del rango, y se ajusta para un control estricto de nivel(banda proporcional entre 1 y 10%). El controlador de concentracin (ARC20) esproporcional-integra (PI).

    Las condiciones de diseo son:

    Fraccin de masa de alimentacin: 0.10Temperatura de alimentacin: 90FFraccin de masa del producto (punto de control): 0.70Temperatura de salida del condensador: 105OFTemperatura de entrada del agua de enfriamiento: 90F

    Las siguientes correlaciones se pueden utilizar para calcular las propiedadesfsicas de la solucin y del vapor:

    Entalpia de la solucin: H = (1 - 0.7x)(T - TR) Btu/lbDensidad de la solucin: p = 62.384 + 23.14~ + 11.27~~ lb/pies3Elevacin del punto de ebullicin: BPR = 1.13 - 6.59~ + 26.9~~ F

    donde: x es la fraccin de masa de azcarT es la temperatura, OFTR es la temperatura de referencia, OF

    La capacidad calrica del agua lquida es 1.0 Btu/lb-F, y la del vapor de aguaes 0.46 Btu-lb-OF; estas capacidades se pueden suponer constantes y se utilizanpara corregir el calor de vaporizacin latente del agua por cambios en la temperatura.

    La ecuacin de Antoine se puede utilizar para calcular la presin de vapor delagua en funcin de la temperatura, y viceversa:

    para agua: InP = 18.3036 - 3816.44T + 227

    donde Po esta en mm de mercurio y T en C.

  • 618 MODELOS Y SIMULACIN DE LOS SISTEMAS DE CONTROL DE PROCESO

    El evaporador se encuentra inicialmente a las condiciones de diseo de estadoestacionario. Las posibles perturbaciones son la razn del vapor, la fraccin de masade alimentacin, la razn de agua para enfriamiento que entra al condensador, latemperatura del agua para enfriamiento y el punto de control de la composicindel producto.

    a) Se deben escribir las ecuaciones del modelo y calcular las condiciones de diseode estado estacionario. Se deben programar las ecuaciones para resolverlas enuna computadora y verificar que las condiciones iniciales constituyen un estadoestacionario.

    b) El controlador de nivel se debe ajustar para una respuesta de razn de asenta-miento de un cuarto mediante ensayo y error. El controlador de composicinse debe ajustar con el mtodo de ganancia tltima de Ziegler-Nichols.

    c) Se deben obtener las respuestas a entradas escaln en el punto de control dela composicin y en cada una de las perturbaciones que se listan en el enunciadodel problema. Los resultados se deben comentar brevemente.

    9-5. En la figura 9-28 se muestra el diagrama de un evaporador de efecto triple conalimentacin hacia adelante. Las condiciones de entrada y salida y cada uno de losefectos son iguales a los del problema 9-4; los coeficientes de transferencia de ca-lor para cada uno de los efectos son 400, 300 y 130 Btu/h-pie*-OF, respectivamen-te. En las condiciones de diseo, existe una cada de presin de 1 psi en las lneasde vapor entre los efectos 1 y 2 y entre los efectos 2 y 3. Se puede suponer queesta cada de presin varia proporcionalmente respecto al cuadrado del flujo de va-por en la lnea.

    Agua

    4 P=O

    Figura 9-28. Evaporador de triple efecto para el problema 9-5.

  • P R O B L E M A S 619

    Adems de los tres controladores de nivel y el controlador de la fraccin demasa de producto, se instala un controlador con accin precalculada, con un com-pensador dinmico de adelantohetardo para compensar los cambios en la composi-cin de entrada.

    a) Se deben escribir las ecuaciones del modelo y programarlas para su resolucinen una computadora digital.

    b) Se debe simular el arranque suponiendo que las concentraciones y temperaturasiniciales en los efectos son las de la alimentacin, para ello se utilizarn los mis-mos parmetros de ajuste del controlador que se determinaron en el problema 9-4.

    Nota: Para evitar el reajuste excesivo se necesita utilizar el reajuste porretroalimentacin en el controlador PI (ver ejemplo 9-4) y limitar la salida delcontrolador a un rango entre 0 y 100%.

    c) Se debe realizar la parte (c) del problema 9-4 para el evaporador de efecto ml-tiple, con las condiciones finales de estado estacionario de la parte (b) comocondiciones iniciales; tambin se debe ajustar el controlador con accin pre-calculada. Los resultados se deben comentar brevemente.

    9-6. Se debe vaporizar parcialmente una mezcla de benceno y tolueno mediante un tam-bor de evaporacin calentado por vapor, como el que se ilustra en la figura 9-29.

    Alimentacin

    1~ Lfquido

    Figura 9-29. Tambor de vaporizacin parcial calentado por vapor para el problema 9-6.

  • 6 2 0 MODELOS Y SIMULACl6N DE LOS SISTEMAS DE CONTROL DE PROCESO

    En el tambor se deben procesar 20,&1 lb/h de lquido saturado que contiene 40mol% de benceno. El dimetro del tambor es de 5 pies; y la altura de 5 pies, normal-mente se llena de lquido hasta la mitad; se dispone de vapor a 30 psia, saturado. Sedebe disear un serpentn de calefaccin con un coeficiente total de transferen-cia de calor de 200 Btu/h-pie2-F, de manera que se tenga capacidad para evapo-rar la alimentacin total a las condiciones de diseo; el serpentn se har con tubode acero de 2 pulgadas, catalogo 40.

    a) Se debe disear un sistema de control para controlar la presin y el nivel dellquido en el tambor, as como la composicin de la corriente de vapor. La inter-accin entre estos objetivos de control se debe minimizar.

    b) .Se deben escribir las ecuaciones del modelo, calcular las condiciones inicialesde estado estacionario, simular el tambor, ajustar los controladores y analizarel desempeflo del sistema de control cuando hay variaciones en la razn de ali-mentacin, de composicin y de temperatura. Se puede suponer que la solucinse rige por la Ley de Raoult.

    9-7. La columna de destilacin que se esquematiza en la figura 9-1 se alimenta con unamezcla de benceno y tolueno; en las condiciones de diseo, la razn de alimenta-cin es de 3500 lbmol/h, la composicin es de 44 mol% de benceno y es lquidaen el punto de burbujeo. La columna se compone de seis bandejas de criba, cadauna de las cuales contiene 450 lbmol de lquido y tiene una eficiencia de Murphreede 70%. La alimentacin entra por la cuarta bandeja.

    Se puede suponer que el rehervidor es una etapa de separacin de equilibrio;ste tiene un coeficiente total de transferencia de calor de 350 Btu/h-pie*-OF y unrea de transferencia de calor de 2000 pies*. Se dispone de vapor saturado a 75psia. El controlador del nivel de sedimentos (LIC202) es un controlador proporcio-nal con banda proporcional del 100%. El transmisor de nivel (LT202) se calibrade manera que el lquido que se retiene en el rehervidor y el fondo de la columnaes de 600 lbmol en el lmite inferior y 1000 lbmol en el lmite superior. El puntode control esta en el 50% de este rango; la vlvula de control para la produccin desedimentos es lineal y se dimensiona para una sobrecapacidad del 100 % con retar-do despreciable.

    Se puede suponer que con el condensador la presin en la columna se mantieneconstante a 1 atmsfera y el reflujo a su punto de burbujeo. La capacidad del tam-bor acumulador del condensador varia de 500 a 1500 lbmol de lquido entre loslmites superior e inferior del transmisor de nivel (LT201). El controlador de niveles proporcional con una banda proporcional de 100% y punto de control de 50%del rango. La vlvula de control para el reflujo es lineal y se dimensiona para unasobrecapacidad de 1 OO % con retardo despreciable.

    A las condiciones de diseo, la composicin del producto debe ser de 82 mol %de benceno y los sedimentos que se producen no deben contener ms del 15 % debenceno. La composicin de los sedimentos se debe controlar mediante la ma-nipulacin del flujo de vapor al rehervidor, y la composicin del destilado median-

  • P R O B L E M A S 6 2 1

    te la manipulacin del flujo del mismo. Para dimensionar las vlvulas de controlse debe utilizar una razn de reflujo de 2.0.

    a) Se deben disear dos circuitos de control de composicin e incluir el rango delos transmisores, las dimensiones de las vilvulas de control y los modos de loscontroladores. Se puede suponer que ambas composiciones se pueden medir con-tinuamente con un retardo (de primer orden) de un minuto en los transmisoresde composicin, AT201 y AT202.

    b) Se deben escribir las ecuaciones del modelo con la suposicin de que el sobre-flujo es equimolar; esto es, las razones de lfquido y vapor no cambian de bandejaa bandeja. Tambin se puede suponer que en cada bandeja la mezcla es perfec-ta, al igual que en el rehervidor y el tambor acumulador, y que las propiedadesffsicas son constantes. Para el benceno-tolueno se puede suponer que a la pre-sin atmosfrica la volatilidad relativa es constante a 2.43, es decir,

    Y* (1 -4 =243-&l-y*) .

    donde y* es la fraccin molar del benceno en el vapor, lo que esta en equilibriocon el lquido de la fraccin molar x.

    c) Se debe simular el arranque de la columna con todas las bandejas, con el fondoy el tambor acumulador llenos inicialmente con un lquido de la misma compo-sicin y a la misma temperatura que el de alimentacin.

    d) Las condiciones finales de estado estacionario de la parte (c) se utilizan comocondiciones iniciales para estudiar el desempeo del sistema de control con cam-bios en la razn de alimentacin y fraccin de mol y en los puntos de controlde la composicin. Los controladores de composicin se deben ajustar median-te el mtodo de sntesis de controladores.

    Nota: Puede ser necesario hacer reiteraciones entre las partes (c) y (d) de esteproblema, ya que la simulaci6n del arranque es una forma conveniente de calcularlas condiciones de estado estacionario con el programa, mientras que los con-troladores se deben ajustar a las condiciones de operacin de estado estacionario.

    9-8. Se debe simular el horno del modelo que se hizo en la seccin 9-3. El tubo delhorno es de acero, de 4 pulgadas, catalogo 40, con una longitud de 120 pies. Elfluido que se calienta es aire con una capacidad calrica de 6.96 Btu/lbmol-F apresin constante, y de 4.98 Btu/lbmol-OF a volumen constante. El combustiblees gas natural con un valor calrico de 990 Btu/pies3 (a 60 F, 30 pulg de Hg),y la eficiencia del horno es de 78 % .

    En las condiciones de diseo, la temperatura de entrada del aire es de 80 OF,y su razn de flujo es 85 lbmol/h. El punto de control para la temperatura de salidaes 1000 OF. El coeficiente interno de transferencia de calor se puede suponer constan-

  • 622 MODELOS Y SIMULACIN DE LOS SISTEMAS DE CONTROL DE PROCESO

    te a 100 Btu/h-pie2-oF, y la emisividad de la superficie del tubo como constante a0.75. La densidad del acero es 480 lb/pie3, y su calor especfico 0.12 Btu/lb-OF. Lamasa efectiva del fogn es de 1750 Ib, y su calor especfico de 0.32 BtuAb-OF.

    Para el transmisor de temperatura (TT42 en la figura 9-5) se tiene un rangocalibrado entre 500 y 1500 OF y una constante de tiempo de 50 seg. En la vlvulade control se tiene una cada de presin de diseo de 15 psi con caractersticas deporcentaje igual y parmetro de ajuste en rango de 50; se dimensiona para una so-brecapacidad del 100 % con base en las condiciones de diseo. El tiempo de retardodel actuador de la vlvula es despreciable.

    Se debe dividir el tubo en 5, 10 y 20 secciones iguales en longitud y compararlos resultados de una respuesta sin control (Kc = 0) a un incremento del 10% enel flujo de aire, a partir de las condiciones iniciales de estado estacionario; enton-ces se utiliza el nmero de secciones con que se obtiene una precisin aceptablepara ajustar el controlador de temperatura (TRC42 en la figura 9-5) y estudiar larespuesta del controlador a cambios escaln en el flujo de alimentacin, la tem-peratura de entrada y el punto de control de la temperatura. La simulacin del arran-que se puede utilizar para obtener los perfiles de estado estacionario de temperaturadel gas y del tubo, es decir, las condiciones iniciales. .

    9-9.

    9-10.

    Para el problema 9-8 se debe estudiar el desempeo de un controlador con accinprecalculada bien ajustado, el cual consta de un compensador dinmico de ganan-cia y adelanto/retardo. Con el controlador de accin precalculada se mide el flujode aire que entra al horno, y su salida se aade a la salida del controlador por re-troalimentacin.

    El calentador de vapor de la figura 9-30 se utiliza para calentar una corriente enproceso que tiene una capacidad calrica de 4200 J/kg-C y una densidad de 850

    ?i?ii-*y .

    Figura 9-30. Control en cascada del calentador de vapor para e l problema 9-10.

  • P R O B L E M A S 623

    kg/m3. El calentador consta de 86 tubos dispuestos en dos pasos (43 tubos por pa-so). Los tubos son de cobre de 1 pulg (0.0254 m), calibre 18 (densidad = 8920kg/m3, calor especfico = 394 J/kg-C), de 48 m de largo. El coeficiente de conden-sacin del vapor se puede suponer lo suficientemente grande como para considerarque los tubos estn a la misma temperatura del vapor que se condensa; la acumula-cin por condensacin se puede despreciar. Se dispone de vapor saturado a 350kN/m2. El coeficiente interno de transferencia de calor es de 1400 J/s-m2-C.

    A las condiciones de diseo, se deben calentar 25 kg/seg del fluido que se pro-cesa, de 60 a 80C.

    El sistema de control es un circuito en cascada en el cual el controlador detemperatura manipula el punto de control del controlador de presin en el casqui-llo. La presin en el casquillo es la presin de vapor del agua a la temperatura decondensacin del vapor; se puede calcular mediante la ecuacin de Antoine paraagua (ver problema 9-4).

    El rango de calibracin del transmisor de temperatura (TTlOO) es de 50 a 15OOCy el de transmisor de presin (PTlOO) es de 0 a 500 kN/m2. El controlador de tem-peratura (TRClOO) es proporcional-integral-derivativo (PID) y el de presin(PIC 1 OO) es proporcjonal-integral (PI). La vtivula de control es de porcentaje igual,con un parmetro de ajuste en rango de 50 y se dimensiona para una sobrecapaci-dad del 100%) con base en las condiciones de diseo; la constante de tiempo delactuador es de 5 seg. La constante de tiempo del sensor de temperatura es de 35seg y el retardo del sensor de presin es despreciable.

    a) Se deben escribir las ecuaciones del modelo, para lo cual se divide el tubo deintercambio de calor en 10 secciones de longitud igual. Las ecuaciones se debenprogramar para su resolucin en una computadora y, adems, se debe simularel arranque para obtener los perfiles de diseo correspondientes a la temperatu-ra de estado estacionario.

    b) El controlador de presin se debe ajustar para un sobrepaso del 5 % , medianteel m&odo de sntesis del controlador; entonces se debe ajustar el controladorde temperatura para un IAE mnimo cuando entren perturbaciones. Se debe ob-servar la respuesta a cambios del f40% en el flujo del lquido que se procesa.

    c) Se debe remover el controlador de presin; por lo tanto, la vlvula se operadirectamente con la salida del controlador de temperatura; en tales condiciones,se debe ajustar el controlador de temperatura como en la parte (b) y compararlos resultados.

    9-11. En la recuperacin de DMF (dimetil-formamida) deuna solucin acuosa mediantedestilacin, se utiliza un vaporizador para separar los componentes pesados quepueden obstruir la columna de destilacin. El vaporizador se esboza en la figura9-31. La alimentacin consiste en 5-16 % en peso de DMF, 1% de componentespesados y el balance se completa con agua, la cual es el componente ms voltil.En el lquido de purga quedan todos los componentes pesados, ya que no son vol-tiles; 4% del peso de la alimentacin se purga en las condiciones de diseo. Para

  • 624 MODELOS Y SIMULACIdN DE LOS SISTEMAS DE CONTROL DE PROCESO

    DMF +

    PC=1 atm

    Vapor -DMF + agua

    fija1 PH

    XPH

    pesados

    DMF + agua + componentes pesados

    Figura 9-31. Termosifn vaporizador para el problema 9-11.

    calentar el termosifn rehervidor se dispone de vapor saturado a 60 psia, y la raznde recirculacin es lo suficientemente alta como para suponer que el contenido delvaporizador se mezcla perfectamente. A las condiciones de diseo, la raz6n de flu-jo de la solucin que entra al vaporizador es de 2000 lb/h a 25?.C y 10% en pesode DMF. A continuacin se dan las caractersticas del equipo y las propiedadesfsicas; se puede considerar que el vapor esta en equilibrio con el lquido.

    Volumen del vaporizador: se disea para un tiempo de retencin de 1 min,con base en la razn de alimentacin.

    rea transversal: se disea para una velocidad de vapor de 2.0 pies/segRehervidor: el coeficiente de ebullicin de transferencia de calor (limitante) es de

    240 Btu/h-pie-OF; el rea es de 150 pies2; los tubos son de acero de unapulgada, 16 BWG, y se puede considerar que estn a la misma temperaturaque el vapor que se condensa.

    Caida de presin del vaporizador a la cohunna: 0.5 psi, a Ias condiciones dediseo; proporcional al cuadrado del flujo del vapor. La columna se operaa la presin atmosfrica.

    Controlador de nivel: proporcional con una banda proporcional del 100%.Transmisor de nivel: rango de 10 pulg con nivel de diseo a 50% del rango;

    el retardo es despreciable.Transmisor de la composicin de purga: rango de 0 a 100 de porcentaje en

    peso; constante de tiempo de 45 seg.Controlador de la composicin de la purga: proporcional-integral (PI) con un

    punto de control de 25 % en peso de componentes pesados.

  • P R O B L E M A S 625

    Vlvulas de control: se dimensionan para un 100 % de sobrecapacidad; carac-tersticas lineales; el retardo del actuador es despreciable.

    Propiedades fsicas:

    Agua DMF Componentespesados

    Peso molecularCalor latente de vaporizacin

    a 25 OC, Btu/lbVolatilidad relativaCalor especfico, Btullb-OF

    LiquidoVapor

    Gravedad especfica d e l lquido

    1 8

    1 0 5 054.0

    1 .00 .461 .0

    7 3

    2611 .0

    0.530.360.94

    200 (prom)

    -0

    0.45-

    0.90

    Se puede hacer el modelo del equilibrio vapor-liquido mediante la suposicin de que la volatilidad relativa es cons-tante y que la presin parcial del agua obedece la ley de Raoult. La presin de vapor del agua se puede determinara partir de la ecuacin de Antoine que se da en el problema 44.

    a) Se deben escribir las ecuaciones del modelo, calcular las condiciones de diseode estado estacionario y dimensionar el vaporizador. Las ecuaciones se progra-marn para su resolucin en computadora y se verificar que con las condicio-nes iniciales se logra un estado estacionario.

    b) Cada uno de los controladores se debe ajustar para una respuesta de razn dedecaimiento de un cuarto, mientras se mantiene el otro en control manual.Se debe determinar la medida de interaccin entre los dos circuitos (ver captulo8) y corregir los parmetros de ajuste, en caso de que sea necesario.

    c) Se debe obtener la respuesta para cambios escaln en la razn de alimentaciny composicin (de los componentes pesados).

  • APNDICE

    ASmbolos y

    nomenclatura paralos instrumentos

    .

    En este apndice se presentan los smbolos y nomenclatura que se utilizan en los diagra-mas de instrumentacin de este libro. La mayora de las compaas tienen sus propiosmtodos y, aun cuando son muy semejantes entre s, no son exactamente iguales. Lossmbolos y nomenclatura que se utilizan aqu se apegan a la norma publicada por la Zns-trument Society of America (ISA)(): en este apndice se presenta nicamente la informa-cin necesaria para este libro, pero si se desea profundizar ms, se remite al lector a lanorma de la ISA.

    En general, la identificacin de los instrumentos se conoce tambin como nmerode placa, y es de la forma:

    LPrimera

    letra

    R CLetras

    sucesivas

    -707 ANmero Sufijo

    de circuito (no se requiere)

    Ident i f icacin funcional Identificach del circuito

    En la tabla A-l se da el significado de algunas de las letras.Los smbolos que se utilizan para designar la funcin de los relevadores se escribe

    generalmente cerca de la placa del instrumento. Algunos de los smbolos ms comunesse presentan en la tabla A-2, y en la tabla A-3 se ilustra un resumen de otras abreviaturasespeciales; para terminar, en la tabla A-4 se presentan los smbolos de los instrumentos.

    En la figura A-l se ilustra el ejemplo de un circuito de flujo; el elemento de flujo,FE-lo, es una placa perforada con espitas en el borde. El elemento se conecta a un trans-misor electrnico de flujo, FT-10; la salida del transmisor se enva a un extractor de raz

    627

  • 628 APNDICE A

    Tabla A-l. Significado de la8 letras de identificacin.

    Primera letra Letras sucesivas

    ABCDEFHIJKLM0PQRSTvWYZ

    AnlisisFlama del quemadorConductividadDensidad o gravedad especficaVoltajeRazn de flujoMano (arranque manual)CorrientePotencia,Tiempo 0 tabla de tiemposNivelHumedad

    Presin 0 vacoCantidad o eventoRadiactividad o raznVelocidad o frecuenciaTemperaturaViscosidadPeso 0 fuerza

    Posicin

    Alarma

    Control

    Elemento primario

    AltoIndicador

    Estacin de controlLigero o bajoMedio o intermedioOrificioPunto

    Registro 0 impresinInterruptorTransmisibnVlvula, amortiguador o respiraderoDepbsitoRelevador o computadorManejo

    Figura A-l. Circuito de flujo.

  • SMBOLOS Y NOMENCLATURA PARA LOS INSTRUMENTOS 629

    Tabla A-2. Designacin de funciones para relevadores.

    Smbolo Funcidn

    1. I-O o ENCENDIDO-APAGADO Dispositivo con dos posiciones2. C o SUMA Adicinylo substraccin3. A o DIFF Substraccin exclusiva.de seales4. f ; Derivacin5. AVG Promedio6. % 6 1:3 6 2:l (tpico) Ganancia o atenuacin (entrada-salida)7. x Multiplicacin8. + Divisin9. r o SQ. RT. Raz cuadrada

    10. X 0 X Elevacin a una potencia11. f(x) Caracterizacin o generador de funcin12. 1:l Multiplicador (Boost)13. > Seleccin alta14. < SelecQin baja15. > L m i t e s u p e r i o r16. K Lmite inferior17. REV Reversa18. j s Integracin (integral de tiempo)19. D o CV& Derivacin o razn20. UL Unidad de adelantolretardo21. EIP o PII (tpico) Para secuencias de entradahalida:

    Designacin Seal

    E VoltajeH Hidrulico

    I CorrienteP NeumticoR Resistencia0 Electromagn6tico o

    s n i c o

    22. AID o DIA A AnalgicoD Digital

  • 630

    Tabla A-3. Resumen de abreviaturas especiales.

    APNDICE A

    Abreviatura Significado

    AA S

    D

    DIRDEC

    E SF C

    FIFLF OGS

    I

    INCM

    NSP

    R

    REVRTD

    SS . P .

    S ST

    ws

    AnalgicoSuministro de aireControl derivativoSeal digitalAccin directaDecrementoSuministro de electricidadCerrado en fallaIndeterminado en fallaBloqueado en fallaAbierto en fallaSuministro de gasSefial de corrienteInterbloqueoIncrementoActuador de motorSuministro de nitrgeno _Seal neumticaControl proporcionalPurga o dispositivo de desageControl de reajusteResistenciaAccibn inversaDetector de temperatura de resistenciaActuador de solenoidePunto de control .Suministro de vaporTrampaSuministro de agua

  • SMBOLOS Y NOMENCLATURA PARA LOS INSTRUMENTOS 631

    Tabla A-4. Smbolos generales de los instrumentos-significado.

    (4)A(1) 0(2) (3)

    8 0---Montaje local oen campo

    Montaje en tablero o en Montaje detrs Vlvula de globode operacinneumhtica

    el cuarto de control del tablero

    (7)

    AS

    &

    (6) (8)

    %- M9

    Vlvula de controlcon posicionador

    Vlvula de mariposa,amortiguador orespiradero conoperacin neumtica

    (9)

    Vlvula de controlde accibn manual

    cioi

    Cilindro deaccin simple

    (12 Pcv21

    95L(ll)

    t- s7

    Cilindro deaccin doble

    Regulador reductorde presin,independiente

    (15) PSV45b@(14) PSV45de

    Regulador detemperatura deltipo sistema lleno

    Regulador reductor depresin inversa,independiente

    Vlvula de alivio depresin o de segu-ridad, patrn angular

    Vlvula de alivio depresin o seguridad,patrn directo

    (20,

    TIFTll

    3,

    Placa de orificio condispersores de venacontracta, radiales ode tubo

    Wlvula de tres vas,FO a trayectoria A-C

    Placa de orificio condispersores en elborde o en lasesquinas

    Placa de orificiocon dispersores devena contracta,radiales o tubula-res, conectada aun transmisor dife-rencial de presibn

  • 632 APNDICE A

    Tabla A-4. (continuacidn). ,,,

    Tubo de venturi otobera de f l u jo

    (22)+ 8g (23& (24)L&Medidor de turbina Medidor magnetice

    d e f l u j oTransmisor denivel con flotadorexterno 0 elementode desp lazamientode tipo externo

    Transmisor de nivel conelemento del tipo dife-rencial de presi6n

    Elemento de tempe-ratura sin depsito

    cuadrada, FY-lOA, y de ah la seal pasa a un controlador indicador de flujo, FIC-10.La seal de FY-1OA tambin se enva a una alarma de flujo bajo, FLA-10. La salida delcontrolador se manda a un transductor I/P, FY-IOB, para convertir la seal electrnicaen neumtica; entonces, la salida del transductor se enva a la vlvula de control de flujo,FCV-10. El controlador y la alarma se montan en el tablero de instrumentos; mientrasque el extractor de rafz cuadrada se monta detrs del panel; los dems instrumenos semontan en el campo de operacin.

    Nota: Con la finalidad de simplificar, en la mayora de los diagramas de instrumen-tos del libro se omite la placa de identificacin de la vabula de control; por la mismarazn, tambien se omite la del elemento, y nicamente se muestra la del transmisor. Ellector puede suponer que con la placa del transmisor se representa tambin el elemento.

    d

    BIBLIOGRAFiA

    1. Instrumentation Symbols and Identification, Instrument Society of America,Standard ISA-SS-l, Enero 31, 1975, Research Triangle Park, N:C.

  • APNDICE

    BCasos para estudio

    En este apndice se presenta una serie de casos de diseo para su estudio, con los cualesse da al lector la oportunidad de disear sistemas de control de proceso a partir del borra-dor. Cabe aclarar que el primer paso en el diseo de sistemas de control para plantas deproceso es decidir cuales de las variables del proceso se deben controlar; tal decisin ladeben de tomar, conjuntamente, el ingeniero de proceso que disea el proceso y el inge-niero de control o de instrumentacin que disea el sistema de control y especifica la ins-trumentacin. Esto implica un verdadero desafo y requiere un trabajo de equipo. El segundopaso es el diseo del sistema de control propiamente dicho; en los casos para estudio quesiguen ya se realiz el primer paso, y el segundo es el tema de los presentes casos deestudio. El lector debe recordar que puede existir ms de una forma para disear un siste-ma de control.

    Caso 1. Sistema de control para una planta de granulacinde nitrato de amonio()

    El nitrato de amonio es uno de los principales fertilizantes; en la figura B-l se apreciael proceso para su manufactura: Desde un tanque de alimentacin se bombeauna solucindbil de nitrato de amonio (NH,NOs) a un evaporador; en la parte superior del evapora-dor hay un sistema de expulsin por vacio; el vaco se controla con el aire que entra alsistema. La solucin concentrada se bombea a un tanque de agitacin, y de ahf se alimentaa la parte superior de una torre de granulacin (pulverizacin). El desarrollo de esta torrees uno de los mas importantes en la industria de fertilizantes de la postguerra. En estatorre, la solucin concentrada de N&NOs se lanza desde la parte superior contra unacorriente de aire; el aire es suministrado mediante un ventilador situado en el fondo dela torre. Con el aire se enfran las gotas de forma esfrica y se elimina parte de la hume-

    633

  • APNDICE B

    Sistema deeyeccin por vaco

    W.S.

    VI

    Evaporado,

    alimentac16nUSolucl6ndbil deNH4N03

    granulaci6n

    Figura B-l. Planta para granulacin de nitrato de amonio.

    dad, con lo cual quedan grnulos hmedos. ~Despus, los grnulos se llevan a un secadorrotatorio, donde se secan; entonces se enfrfan y se llevan a un mezclador, donde se lesaade un agente antiadherente (arcilla o tierra diatomacea) y se empacan para el embarque.

    A. Se debe dibujar la instrumentacin necesaria para:

    1. Controlar el flujo de la solucin debil de NH4N0s al evaporador.2. Controlar el nivel en el evaporador.3. Controlar la presin en el evaporador, lo cual se puede lograr mediante el control

    del flujo de aire que va al tubo de salida del evaporador.4. Controlar el nivel en el tanque de agitacin.5. Controlar la temperatura de los grnulos secos que salen del secador.6. Controlar la densidad de la solucin fuerte que sale del evaporador.

    Se debe tener la seguridad de que se ilustran todas las alarmas necesarias y quese especifica la accin de todas las vlvulas y controladores.

    B. iCmo se puede controlar la razn de produccin de esta unidad?C. Si la produccin de esta unidad vara frecuentemente, tal vez tambin sea conveniente

    variar el flujo de aire que pasa por la torre de granulacin iCmo se puede lograr esto?

  • CASOS PARA ESTUDIO 635

    D. Uno de los circuitos de difcil ajuste es el de la temperatura de los grnulos secos,por ello se obtuvieron los siguientes datos mediante cambios de + 10% en la salidadel controlador de temperatura

    Tiempo (min) Temperatura (OF)

    0 2 0 01 2 0 03 2 0 25 2086.5 2 1 48.5 2 1 8

    11.0 2 2 013.0 2 2 215.0 221.817.0 223.0

    El transmisor de temperatura de este circuito tiene un rango de 100 a 300 OF. Se debeajustar un controlador PI mediante el mtodo de sntesis de un controlador, y un con-trolador PID mediante el mtodo de IAE mnimo.

    Bibliografa

    1. The Foxboro Co. Aplication engineering data AEC 288-3, Enero, 1972.

    Caso II. Sistema de control para la deshidratacin de gas natural

    Ahora se considera el proceso que aparece en la figura B-2. El objetivo de este procesoes deshidratar el gas natural que entra al absorbedor, lo cual se logra mediante el empleo

    de un deshidratante lquido (glicol). El glicol se introduce por la parte superior del absor-bedor y fluye hacia abajo, en sentido contrario al gas, a la vez que recoge la humedaddel gas. El glicol pasa del absorbedor a un intercambiador de calor y al separador; enel rehervidor, que se encuentra en la base del separador, se extrae la humedad del glicol,la cual se elimina en forma de vapor (de agua). Este vapor sale por la parte superior delseparador, se condensa y se utiliza como agua de reflujo, la cual se utiliza para condensarlos vapores de glicol que de otra manera saldran junto con el vapor de agua.

    El ingeniero que dise el proceso decidi que se debe controlar lo siguiente.

    1. El nivel del lquido en el fondo del absorbedor.2. El reflujo de agua en el separador.3. La presin en el separador.4. La temperatura en el tercio superior del separador.

  • Separador

    APNDICE B

    Figura B-Z. Sistema para deshidratacin de gas natural.

    5. El nivel de lquido en el fondo del separador.6. La operacin eficiente del absorbedor con diferentes cargas de produccin.

    Dibujar el diagrama de instrumentacin completo donde aparezca la instrumentacin ne-cesaria para lograr el control que se desea. La instrumentacin que se debe emplear eselectrnica (4-20 mA), con excepcin de las vlvulas.

    Caso III. Sistema de control para la fabricacin de blanqueador dehipoclorito de sodio

    El hipoclorito de sodio (NaOCl) se forma por

    2NaOH + Cl, -+ NaOCL + HZ0 + NaCI

    En el diagrama de flujo de la figura B-3 se ilustra el proceso para una manufactura, lacual es de la forma siguiente.

  • CASOS PARA ESTUDIO 637

    Reactor

    Dep6sitodel blan-

    Figura B-3. Proceso para blanqueador de hipoclorito de sodio.

    Se prepara constantemente sosa diluida (NaOH), a una concentracin fija, mediantedilucin en agua. La solucin de sosa diluida se almacena en un tanque intermedio, deste se bombea al reactor de hipoclorito; para la reaccin se inyecta cloro en formade gas en el reactor.

    A. Se debe preparar un diagrama detallado de instrumentos para lograr lo siguiente:

    1. Controlar el nivel en el tanque de dilucin.2. Controlar el proceso de dilucin de la solucin custica; la concentracin de esta

    corriente se puede medir mediante una celda de conductividad, cuando disminuyela dilucin en la solucin, aumenta la salida de la celda.

    3. Controlar el nivel en el tanque de depsito del blanqueador.4. Controlar la razn de exceso de NaOH/C$ disponible en la corriente que sale del

    reactor. Esta razn se mide mediante una tcnica de POR (potencial de xido-reduccin), cuando la razn se incrementa, tambin se incrementa la seal POR.

    Se debe tener la seguridad de que se muestran todas las alarmas, registros e indicadoresnecesarios. Toda la instrumentacin (con excepcin de las v&ulas) es electrnica (4-20mA). Se debe especificar la accin de las v&lvulas y los controladores y comentar breve-mente el diseo.

    B. Cmo se puede fijar la razn de produccin de esta unidad?C. Por razones de seguridad, cuando no hay flujo de solucin de sosa diluida del tanque

    al reactor, tambin se debe detener el flujo del cloro; se debe disear el control paratal fin y explicarlo.

  • 638 APNDICE B

    D. Se debe explicar detalladamente, con un ejemplo numrico, cmo se ajustara el con-trolador POR mediante el procedimiento de prueba escaln, y de qu manera se ajus-tara un controlador PI por medio del mtodo de IAE mnimo.

    BIBLIOGRAFA

    1. The Foxboro Co. Application engineering data, Enero de 1972.

    Caso IV. Sistema de control en el proceso de refinacin del azcar

    Las unidades de proceso que se muestran en la figura B-4 forman parte del proceso pararefinar azcar. El azcar cruda se alimenta al proceso a travs de un transportador detornillo y se rocfa agua sobre sta para formar un jarabe, el cual se calienta en el tanquede disolucin, de donde fluye al tanque de preparacin, en el cual se realiza un mayorcalentamiento y la mezcla. Del tanque de preparacin el jarabe se enva al tanque de mez-clado; conforme el jarabe fluye hacia el tanque de mezclado, se le aade cido fosf-rico y, ya en el tanque, cal. Este tratamiento con cido, cal y calor tiene dos objetivos:el primero es la clarificacin, es decir, con el, tratamiento se coagulan y precipitan elcalor de azcar cruda. Despus del tanque de mezclado se contina el proceso del ja-rabe.

    Se piensa que es importante controlar las siguientes variables.

    1. Temperatura en el tanque de disolucin.2. Temperatura en el tanque de preparacin.3. Densidad del jarabe que sale del tanque .de preparacin.4. Nivel en el tanque de preparacin.5. Nivel en el tanque de cido al 50% ; el nivel en el tanque de cido al 75 % se

    puede suponer constante.6 . La fuerza del cido al 50 % ; la fuerza del cido al 75 % se puede suponer constante.7. El flujo de jarabe y cido al 50% que entran al tanque de mezclado.8. El pH de la solucin en el tanque de mezclado.9. La temperatura en el tanque de mezclado.

    10. En el tanque de mezclado se requiere nicamente una alarma de nivel alto.

    Los medidores de flujo que se utilizan en el proceso son magnticos. La unidad de densi-dad que se utiliza en la industria azucarera es el Brix, la cual equivale aproximadamenteal porcentaje, por peso, de slidos de azcar en la solucin.

    Se deben disear los sistemas de control necesarios para controlar todas las variablesanteriores. iCmo se controlara la razn de produccin? El diseo se debe comentar bre-vemente y se debe ilustrar la accin de las vlvulas de control y de los controladores,as como las alarmas necesarias.

  • CASOS PARA ESTUDIO 639

    Ld Tanque da cido

    Tanque da dilucin

    VaporI

    Tanque depreparac in

    Mezcladorke nla lineaICal

    VBlvula deconexi6n-desconexih-

    Tanaue de mezclado

    Figura B-4. Proceso para refinacin de azcar.

    Caso V. Eliminacin de CO2 de gas de sntesis

    Ahora se considera el proceso que se muestra en la figura B-5 para eliminar el COZ delgas de sntesis. En la planta se tratan 1646.12 MSCFH de gas que se alimenta. El gasde alimentacin se suministra a 1526F y 223 psig, con la siguiente composicin:

    Volumen (%)

    Hidrgeno 50.29Nitrgeno 0.16Dixido de carbono 5.60Monxido de carbono 9.94Metano 2.62Vapor de agua 31.39

  • desmineralizada

    Gas da sntesisresultante

    I I - .I18-28 I

    Agua paraenfr iamiento

    fktorno de MEAI

  • CASOS PARA ESTUDIO 6 4 1

    Los productos de esta planta deben ser:

    1. Gas de sntesis a 115OF y 600 psig con una composicin volumtrica mxima de50 ppm de CO.

    2. CO* a 115F y 325 psig.

    El proceso es el siguiente: el gas de alimentacin se introduce en la planta a 1526 OF y223 psig; para eliminar el CO, el gas se debe enfriar a 105 OF antes de entrar al absor-bedor. El enfriamiento se hace en cuatro etapas: primera, el gas de alimentacin se pasaa travs de un supercalentador (E-15) y una caldera (E-14), y con el calor que se le extraese produce una presin media de vapor de 27,320 lb/h. Segunda, el gas de alimentacin sepasa a travs de un economizador (E-24) y se calienta el agua desmineralizada antes dela aireacin. Tercera, el gas de alimentacin se pasa a travs de un rehervidor (E-ll),en el cual el gas proporciona el 84 % del rendimiento del rehervidor en operacin comple-ta. Finalmente, en el intercambiador de calor (E-12), el gas de alimentacin se enfra conel agua de enfriamiento de la planta. Mediante estas cuatro etapas se recupera 75% delos Btu extrados del gas para las necesidades de calentamiento del proceso.

    Los gases ya fros entran a contracorriente al absorbedor (C-6), donde se separa elCO, del gas con etanolamina (MEA). Los gases restantes se comprimen en una compre-sin centrfuga de dos etapas (B-1A y B); el compresor se acciona mediante una turbinade vapor (M-l). Despus del enfriamiento de los gases entre etapas, y a la salida (E-7Ay B) se utilizan tambores de expulsin (C-12A y B) para separar cualquier condensacin.

    El compresor opera con vapor a presin media, del cual el 68 % se obtiene de la cal-dera alimentada por el gas. Noventa y tres por ciento del vapor de baja presin quedadisponible para su utilizacin en la planta, y el 7 % restante se utiliza para calentar unode los rehervidores (E-lo) de la columna de regeneracin (C-7).

    El CO, se lleva junto con la MEA al regenerador (C-7), donde se separa de la MEA.El regenerador se opera a baja presin y alta temperatura, con lo cual se provoca queel CO, se libere junto con el agua en forma de vapor y salga por la parte superior dela torre, mientras que la MEA recircula (P-l) nuevamente al absorbedor. Antes de que laMEA entre a la parte superior del absorbedor, se pasa por cuatro intercambiadores decalor (E-l, E-2, E-3 y E-4) donde se intercambia en forma cruzada con los sedimentosdel absorbedor, mediante lo cual se recuperan 8.8 MM Btu/h; de los intercambiadores,la MEA pasa a travs de otro enfriador (E-5) y, finalmente, se introduce al absorbedor.

    Los gases de CO2 que salen del regenerador se comprimen en un compresor de dosetapas (B-2 y 3) accionado mediante motores elctricos. Los enfriadores entre cada etapay el de salida (E-9A y B) se proveen con tambores de expulsin (C-13A y B).

    En la tabla B-l se tienen las condiciones de las corrientes que aparecen con nmeroen el diagrama de flujo.

    El ingeniero de proceso piensa que se deben controlar las siguientes variables:

    1. Temperatura del vapor sobrecalentado que sale de E-15.2. Presin del vapor sobrecalentado que se produce en E-14/E-15.3. Nivel en la caldera.

  • Tabla El

    Corriente 1 2 3 4 5 6 7 6Gas del

    Gas de Alimentacibn tambor de Gas de sht. Sedimentos Retorno Parte superior CO2 alComponente alimentacidn al absorbedor expulsibn al compresor del absorbedor de MEA del separador compresor

    H,, MSCFHN,, MSCFHCO,, MSCFHCO, MSCFHCH,, MSCFHWV wmH,O vaplvapaguaMSCFHSolucin MEA, MSCFHMasa total del flujo, IblhTemperatura, OFPresin, psig.

    676.91 676.912 . 2 2 2 . 2 2

    7 5 . 3 6 7 5 . 3 6133.80 133.80

    3 5 . 3 3 3 5 . 3 3

    4 2 2 . 5 0 4.61 3 . 6 8

    4 3 8 0 9 . 0 5 24041 .OO1 5 2 6 1 0 5

    2 2 3 2 0 7

    6 7 6 . 3 42 . 2 20 . 0 4

    133.743 5 . 3 0

    3 1 . 1 9

    15593.00 15261 .OO1 0 5 1 0 02 0 7 2 0 5 ,

    0.57

    1 1 8 . 3 6 4 3 . 0 2 7 5 . 3 2 7 5 . 3 20 . 0 6 0 . 0 6 0 . 0 60 . 0 3 0 . 0 3 0 . 0 3

    2 7 4 . 5 0 2 7 4 . 5 0 1 2 9 . 9 3 4.64147034.00 138254.00 13594.00 6 9 1 9 . 0 0

    1 6 0 1 0 0 2 1 7 1 0 62 0 7 2 0 6 l l 5

    0 . 5 7 0 . 5 7

  • Tabla B-l (Conthuacibn)

    Corriente 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6Sedimentos Vapor a Vapora 1

    de/ tambor de pn3Mn presibn mediaexpulsibn del Vapor a media de la h a c i a l a Vapor a baja Vapor a Agua de A g u a

    Componente separador presin media ca ldera turb ina pres. baja pres. enfr iamiento desmin.

    HP, MSCFHNP, MSCFHCO,, MSCFHCO, MSCFHCH4, MSCFH

    H2Q wm 9.35 4 5 1 3 . 0 0 5 5 . 7 4H20 vaplvapagua,

    / MSCFHSolucin MEA, MSCFHMasa total del flujo, Ib lh 4 6 7 5 . 0 0 12719.00 27320.00 40039.00 3 2 7 4 7 . 0 0 7292.00 22565.00 2 7 8 6 8 . 0 0Temperatura, OF 1 0 6 6 0 0 6 0 0 6 0 0 3 7 8 0 3 7 0 8 6 6 0Presin, psig 5 4 0 0 4 0 0 4 0 0 7 5 7 5 2 8 1 0 0

  • 644 APNDICE 6

    4. Presin en el eliminador de aire.5. Nivel en el eliminador de aire.6. Flujo de vapor de ajuste a baja presin para el eliminador de aire.7 . Temperatura del gas de alimentacin que sale de E-l3 y pasa al rehervidor E-l 1.8. Temperatura del gas de alimentacin en el absorbedor C-6.9. Flujo de MEA al absorbedor C-6.

    10. Temperatura en el tercio inferior de C-6.ll. Nivel en el regenerador C-7.12. Temperatura en el fondo del regenerador C-7.13. Temperatura de los gases de COZ que salen de E-8.14. Presin en el area del regenerador.15. Temperatura del gas de sntesis entre las dos etapas del compresor y la tempera-

    tura de salida.16. Presin del gas de sntesis que sale del compresor B-l.17. Temperatura entre las etapas y a la salida de los gases de CO2 cuando pasan a

    travs del compresor B-2.18. Nivel en todos los tambores de expulsin.

    Probablemente stos no son todos los circuitos de control que se necesitan para una opera-cin uniforme, sin embargo, son los primeros que propone el ingeniero de proceso; ellector puede proponer adems los suyos.

    (a) El lector debe disear los circuitos de control anteriores y adems los que crea nece-,sarios. Se debe especificar la accin de las vlvulas y los controladores.

    (b) Se deben especificar las vabulas de retencin y de bloqueo necesarias, as como lasalarmas e indicadores de proceso que se estimen necesarios.

    Caso VI. Proceso del bcido sulfrico

    En la figura B-6 se ilustra el diagrama de flujo simplificado para la manufactura decido sulfrico (H2S04).

    El azufre se carga en un tanque de fundicin donde se mantiene en estado lquido;de ah pasa a un quemador, donde reacciona con el oxgeno del aire y se produce SO2mediante la siguiente reaccin:

    Sm + oz -+ SO2@)

    Del quemador, los gases pasan a travs de una caldera de valor residual, donde se produ-ce vapor mediante la recuperacin del calor de la reaccin anterior. De la caldera, losgases pasan a travs de un convertidor cataltico de cuatro etapas (reactor), en el cualtiene lugar la siguiente reaccin:

    so2(g) + 1/2 02(@ * so3w

  • CASOS PARA ESTUDIO 645

    Azufre

    Quemador

    M Producto final,W04

    Figura B-6. Proceso para producir cido sulfrico.

    Del convertidor, los gases se envan a una columna de absorcin, donde los gases de SO3se absorben con H#04 diluido (93%); el agua del H2S04 reacciona con el SO3 y se pro-duce H$O,:

    %o(l, + s03(@ -, H2S04(l)

    El lquido que sale del absorbedor, HzS04 concentrado (98%), pasa a un tanque de cir-culacin, donde se diluye de nuevo al 93% con H20. Parte del lquido de este tanquese utiliza entonces como medio de absorcin en el absorbedor.

    A. Se piensa que es importante controlar las siguientes variables.

    1. Nivel en el tanque de fhdici6n.2. Temperatura del azufre en el tanque de fundicin.

  • 646 APNDICE B

    3. Aire que entra al quemador.4. Nivel de agua en la caldera de calor residual.5. Concentracin de SO3 en el gas que sale del absorbedor.6. Concentracin de H2S04 en el tanque de disolucin.7. Nivel en el tanque de disolucin.8. Temperatura de los gases que entran a la primera etapa del convertidor.

    Se deben disear los sistemas de control necesarios para lograr lo anterior y tenerla seguridad de que se muestra toda la instrumentacin con la especificacin de la ac-cin de las vlvulas y los controladores. El diseo se debe comentar brevemente.

    B. iCmo se podra fijar la razn de produccin en esta planta?

  • APNDICE

    CSensores, transmisores

    y vlvulas de control

    En este apndice se presenta parte del equipo fsico necesario en la construccin de siste-mas de control, y se relaciona estrechamente con el captulo 5. Se examinan algunos delos sensores ms comunes -de presin, de flujo, de nivel y de temperatura-, asf comodos tipos diferentes de transmisores; uno neumtico y otro electrnico. Al final del apn-dice se presentan los diferentes tipos de vabulas de control y consideraciones adicionalespara el dimensionamiento de las mismas.

    SENSORES DE PRESIN92094

    El sensor de presin ms comn es el tubo de Bourdon, desarrollado por el ingenierofrancs Eugene Bourdon, y el cual se ilustra en la figura C-l; consiste bsicamente enun tramo de tubo en forma de herradura, con un extremo sellado y el otro conectado ala fuente de presin. Debido a que la seccin transversal del tubo es elptica o plana, alaplicar una presin el tubo tiende a enderezarse, y al quitarla, el tubo retorna a su formaoriginal, siempre y cuando no se rebase el limite de elasticidad del material del tubo. Lacantidad de enderezamiento que sufre el tubo es proporcional a la presin que se aplica,y como el extremo abierto del tubo esta fijo, entonces el extremo cerrado se puede conec-tar a un indicador, para sealar la presin; o a un transmisor, para generar una seal neu-mtica 0 elctrica.

    El rango de presin que se puede medir con el tubo de Bourdon depende del espesorde las paredes y del material con que se fabrica el tubo. Posteriormente se desarroll unaversin extendida del tubo de Bourdon en forma de helicoide para dar ms movimientoal extremo sellado; este elemento se denomina hlice y se ilustra en la figura C-2. Conla hlice se pueden manejar rangos de presin de aproximadamente 10: 1, con una exacti-

    647

  • 648 APNDICE C

    Resorte del tubo

    Figura C-l . Tubo de Bourdon senci l lo (cor tesfa de la Instrument Jociety of America).

    tud de f 1% de la escala calibrada(). Otro tipo comn de tubo de Bourdon es el elementoespiral que se muestra en las figuras C-M y C-3.

    Otro tipo de sensor de presin es el defielle, el cual se ilustra en las figuras C-2cy C-4, el cual semeja una cpsula corrugada hecha de algn material elstico, por ejem-plo, acero inoxidable o latn; al aumentar la presin, el fuelle se expande (o se contrae),

    Figura C-2.

  • SENSORES, TRANSMISORES Y VLVULAS DE CONTROL 649

    Figura C-2. Tipos de tubo de Bourdon. (Cortesa de la Foxboro Co.) a) Helicoidal, b) de diafrag-ma, c) de fuelle, d) espiral.

  • APNDICE C

    Tubo de Bourdon

    Bulbo

    \

    Figura C-3. Tubo de Bourdon en espiral. (Cortesia de Taylor Instrument Co.).

    PNESl6N

    PROTECCl6N

    PROTECCl6N L DE SUSRIN

    E SOSRERRANOO

    Figura C-4. Sensor de presin con fuelle. (Cortesa de la Instrument Society of America.)

  • SENSORES, TRANSMISORES Y VALVULAS DE CONTROL 6 5 1

    Contratuerca Purga daai re

    Figura C-5. Sensor de presin con diafragma. (Cortesa de Taylor Instrument Co.).

    y cuando disminuye, se contrae (o expande). La cantidad de expansin o contraccin esproporcional a la presin que se aplica. Un sensor semejante al de fuelle es el de diafrag-ma que se muestra en las figuras C-2b y C-5; cuando se incrementa la presin en el proce-so, el centro del diagrama se comprime; la cantidad de movimiento es proporcional a lapresin que se aplica.

    SENSORES DE FLUJ02g4s59697

    El flujo es una de las dos variables de proceso que se miden ms frecuentemente, la otraes la temperatura; en consecuencia, se han desarrollado muchos tipos de sensores de flu-jo. En esta seccin se tratan los ms utilizados y se mencionanalgunos otros; en la tablaC-l@ aparecen varias caractersticas de algunos de los sensores comunes.

    Probablemente el sensor de flujo ms popular es el medidor de oti.fkk, que es undisco plano con un agujero, como se muestra en la figura C-6. El disco se inserta en lalnea de proceso, perpendicular al movimiento del fluido, con objeto de producir una ca-da de presin, AZ, la cual es proporcional a la razn de flujo volumtrico a traves delorificio. Las ecuaciones para los medidores de flujo de orificio de precisin son comple-jas, y se presentan en diversas referencias bibliogrficas(8,9,10); sin embargo, probable-mente en la mayora de las instalaciones se utiliza la siguiente ecuacin simple:

  • ETabla C-l. Caractersticas de los sensores de flujo tpicos.

    Elemento Tipo deprimario f luido

    Ajuste en TuberiaPerdida de rango del corriente Efecto de la Tipo depresih f lujo Error arriba viscosidad costo lectura

    O r i f i c i oconcntrico

    Orificio desegmento

    O r i f i c i oexcntrico

    Orificio con filode cuadrante

    S e g m e n t ode cua

    Tubo deVentur i

    Tubo Dall

    Boqu i l l a def l u j o

    Medidor decodo

    Lquido, gasy vaporLqu ido conslidos

    (suspensiones)Combinacidn del qu ido-gas

    Lquidosviscosos

    Suspensiones ylquidos viscosos

    Lqu ido y

    gasLquidos

    Lquido, gasy vapor

    Lqu ido

    50-90%

    60-100%

    60-100%

    45-85%

    30-80%

    1 o-20%

    5-10%

    30-70%

    Ninguna

    3:l

    3:l

    3:l

    3:l

    3:l

    3:l

    3:l

    3:l

    3:l

    %% 1 O-30D

    2%% 1 O-30D

    2% 1 O-30D

    1% 20-500

    1% lo-30%

    1% 5-10D

    1% 5-10D

    1/2% 1 O-30D

    1% 300

    Al to

    A l t o

    A l t o

    B a j o

    B a j o

    M u y a l t o

    A l t o

    A l t o

    Despreciable

    B a j o

    B a j o

    B a j o

    M e d i o

    A l t o

    Muy alto

    A l to

    R a zcuadradaR a zcuadrada

    R a zcuadradaR a zcuadradaR a zcuadrada

    R a zcuadrada

    R a zcuadrada D

    R a z 2.cuadrada 6

    R a z Gcuadrada 0

  • RotmetroBarrera conmuesca V

    Barreratrapezoidal

    Garganta deParshal

    Medidor magn&tico de flujo

    Medidor deturbina

    Tubo P i to t

    Venturi de Pitot

    Desplazamientopositivo

    Medidor deremol ino

    Medidor devrtice

    Ultrasnico

    Todos los fluidosLquidos

    Lqu idos

    L iqu ido consdlidos(suspensiones)

    Lquido conslidos

    \ .Lquidos puros

    L qu idos

    Lquidos y gases

    Lquidos

    Gases

    Lquidos y gases

    Lquidos

    1-200WGNinguna

    Ninguna

    Ninguna

    Ninguna

    0-7 psi

    Ninguna

    Ninguna

    0-15 psi

    0-2 psi

    0-5WF

    Ninguna

    1O:l3O:l

    1O:l

    1O:l

    3O:l

    14:l

    3:l

    3:l

    1O:l

    1O:l 0 1OO:l

    3O:l 0 loo:1

    2 %4 %

    4 %

    3 %

    1%

    % %

    1%

    1%

    h-2%

    1 %

    vi %

    NingunaNinguna

    Ninguna

    Ninguna

    Ninguna

    5-10D

    20-30D

    20-300

    Ninguna

    10D

    15-30D

    Ninguna

    M e d i oDespreciable

    Despreciable

    Despreciable

    Ninguna

    Al to

    B a j o

    A l t o

    Ninguna

    Ninguna

    ReynoldsNo. 10,000,m n i m o

    Ninguna

    M e d i o LinealM e d i o 512

    M e d i o 312

    A l to 312

    A l to L ineal

    A l t o

    B a j o

    B a j o

    A l t o

    A l t o

    A l t o

    L ineal

    R a zcuadradaR a zcuadrada

    Tota l i zac inl inea lL ineal

    L ineal

    A l t o L ineal

    Los porcentajes de prdida de presibn se establecen como un porcentaje del diferencial de preiin que se produce.b La tubera corriente arriba se establece con base en la cantidad de dimetro de la tubera recta que se requiere antes del elemento primario.

  • A P N D I C E C

    Ca) (b)

    Figura C-6. Esquemas del medidor de or if ic io: a) F i lo agudo, b) f i lo de cuadrante (cor tes a deTaylor Instrument Co.) ; c) de segmento, c) excntr ico (cortesa de Foxboro Co.).

    donde:

    q = razn de flujoAP = cada de presin a travs del orificio

    C = coeficiente del orificioP = densidad del fluido

    En las referencias bibliogrficas tambin se indica cmo calcular el dimetro del orificioque se requiere, el cual generalmente vara entre el 10 y el 75% del dimetro del tubo.

    Generalmente, la cada de presin a travs del orificio se mide con:

    1. Esptas laterales, figura C-7, las cuales son las ms comunes. La tkcnica consisteen medir la cada de presin en las cejas con que se sostiene al orificio en la lneade proceso.

  • SENSORES, TRANSMISORES Y VALVULAS DE CONTROL 655

    (bldadura

    (C)

    Figura C-7. Espitas laterales: a) unin de rosca, b) unin deslizable, c) unin soldada. (Cortesade la Foxboro Co.)

    Dimensin M: se toma entre % y 2 dihnetros de la tuberfa de corriente ascendente, frente a la placa de orificio.

    Razn entre eldihetro del ori-

    ficio y el de latubera

    0.20.30.40.50.60.70.8

    Ubicacin de la espita de presih corrienteabajo (IV) (Dihnetros de la tuberfa)

    Mnimo Medio Mximo

    0.31 0.85 1.300.44 0.80 1.150.47 0.73 1.000.47 0.66 0.840.42 0.57 0.700.35 0.45 0.550.25 0.33 0.41

    Figura C-8. Espitas de vena contracta. (Cortesa de Foxboro Co.)

  • 656 APNDICE C

    2. Esptas de vena contracta, figura C-8; se indica la cada de presin ms grande.3. Otros tipos en los que se incluyen esptas radiales, angulares y de lnea; stos no

    son tan populares como los dos anteriores.

    La que se coloca antes del orificio se conoce como espta de alta presin, y la quese coloca despus del orificio se denomina espta de baja presin. En la mayor parte delas esptas el dimetro vara entre % y % de pulg. La cada de presin que se mide esfuncin de la ubicacin de la espita y de la razn de flujo.

    Se deben enfatizar varios puntos acerca de la utilizacin de los medidores de orificiopara medir flujos; el primero es que la seal que sale de la combinacin orificiokransmi-sor es la cada de presin a travs del orificio, 120 el flujo. Para medir la cada de presina travs del orificio se utiliza un sensor diferencial de presin, figura C-9. En la ecuacinC-l se observa que la cada de presin se relaciona con el cuadrado del flujo, o

    AP = 5 q20

    (C-2)

    En consecuencia, si se desea el flujo, entonces se debe obtener la raz cuadrada de la cadade presin; en el captulo 8 se presenta la instrumentacin necesaria para hacer lo ante-rior, sin embargo, varios fabricantes ofrecen la opcin de instalar una unidad de extrac-cin de raz cuadrada junto con el transmisor y, en este caso, la seal que sale del transmisorse relaciona de manera lineal con el flujo volumktrico. Un punto en el que se debe hacernfasis es que no toda la cada de presin que se mide es perdida por el fluido en proceso,sino que una cierta cantidad la recupera el fluido en los siguientes tramos de la tubera,

    P I V O T E

    0 (0)

    ALTA

    DIAFRAGMA

    Figura (2-9. Sensor y transmisor de diferencial de presin. a) (Cortesa de la Instnunent Societyof America.)

  • SENSORES, TRANSMISORES Y VALVULAS DE CONTROL 657

    Figura (2-9. (Continuacin) b) (Cortesia de Fisher & Porter.)

    Figura (2-9. (ContUruacibn) c) (Cortesa de Rosemount, Inc.)

  • 656 APNDICE C

    conforme se restablece el Agimen del flujo. Por ltimo, el alcance en rango del medidorde orificio, la razn del flujo mximo y mnimo que se puede medir, es de casi 3: 1, comose indica en la tabla C-l. Es importante saber esto, ya que as se conoce la exactitud que sepuede esperar cuando el proceso se ejecuta con cargas altas o bajas.

    Existen varias causas posibles para evitar la utilizacin de los sensores de orificio,algunas de ellas es que no exista suficiente presin para crear una caida de presin, comoen el caso del flujo por gravedad y el flujo de fluidos corrosivos, con slidos en suspen-sin que puedan bloquear el orificio, o fluidos cercanos a la presin de vapor saturadoque puedan sufrir un cambio rpido cuando se sujetan a una cada de presin, en estoscasos se requiere otro tipo de sensor para medir el flujo.

    Otro tipo comn de sensor es el medidor magntico deBu. que se ilustra en la figuraC-lo. El principio de operacin de este elemento es la ley de Faraday; es decir, cuandoun material conductor (un fluido) se mueve en ngulo recto a travCs de un campo magnti-co, se induce un voltaje, el cual es proporcional a la intensidad del campo magnhco ya la velocidad del fluido. Si la intensidad del campo magntico es constante, entonces elvoltaje nicamente es proporcional a la velocidad del fluido; adems, la velocidad quese mide es la velocidad promedio y, por lo tanto, este sensor se puede utilizar para los

    Figura C-lo. Medidor magntico de flujo. (Cortesia de Fisher & Porter.)

  • SENSORES, TRANSMISORES Y VALVULAS DE CONTROL 659

    dos regmenes: laminar y turbulento. Para la calibracin de este medidor de flujo se debetomar en cuenta el rea de la seccin transversal del tubo, de manera que con la electrni-ca que se asocia al medidor sea posible calcular el flujo volum6trico; por tanto, la salidase asocia linealmente con la razn de flujo volum&rico.

    Puesto que con 61 no se restringe el flujo, el medidor magntico de flujo es un dispo-sitivo con cada de presin cero que se puede utilizar para medir flujo por gravedad, flujoscon variaciones rpidas y flujo de fluidos prximos a su presin de vapor. Sin embargo,en el fluido se debe tener un mnimo de conductividad de aproximadamente 10 pohrn/cm2,por lo cual el medidor no es apropiado para medir ni gases ni hidrocarburos lquidos.

    En la tabla C-l se observa que el ajuste en rango del medidor magntico del flujoes de 30: 1, el cual es significativamente mayor que el de los medidores de orificio, perosu costo tambin es mayor. La diferencia en costo aumenta conforme se incrementa eltamao de la tubera que se utiliza en el proceso.

    Finalmente, una consideracin importante en la aplicacin y mantenimiento de losmedidores magnticos de flujo es el recubrimiento de los electrodos, el cual representaotra resistencia elctrica, de lo que resultan lecturas errneas; los fabricantes ofrecen tc-nicas tales como los limitadores ultrasnicos para mantener los electrodos limpios.

    Otro medidor de flujo importante es el medidor de turbina que se ilustra en la figuraC-l 1. Es uno de los ms precisos de que se dispone comercialmente. Su principio de fun-cionamiento se basa en un rotor que se hace girar con el flujo del lquido; la rotacinde las aspas se detecta mediante una bobina de coleccin magntica, la cual emite pulsosa una frecuencia que es proporcional a la razn de flujo volum&rico; este pulso se con-vierte en una seal equivalente de 4-20 mA, de manera que se pueda utilizar con instru-mentacin electrnica estndar, el convertidor o transductor es generalmente parte integraldel medidor. Uno de los problemas que ms comnmente se asocia con los medidores deturbina es el de los cojinetes (rodamientos), por lo que se requiere que los lfquidos seanlimpios y con algunas propiedades lubricantes.

    Hasta aqu se estudiaron tres de los medidores de flujo que se utilizan ms comn-mente en la industria de proceso, aunque existen muchos otros tipos, que van desde elrotmetro, toberas de flujo, tubos de venturi, tubos pitot y anubares, los cuales se hanutilizado durante muchos aos, hasta los desarrollados ms recientemente, como son losmedidores de vrtice, los ultrasnicos y los medidores de remolino. Por falta de espaciono se tratan estos medidores, pero si desea estudiarlos, se remite al lector a las abundantesreferencias bibliogrficas que aparecen al principio de esta seccin.

    SENSORES DE NIVEL2g5~s*

    Los tres medidores de nivel ms importantes son el de diferencial de presin, el de flotadory el de burbujeo. El mtodo de diferencial de presin consiste en detectar la diferenciade presin entre la presin en el fondo del lquido y en la parte superior del lquido, lacual es ocasionada por el peso que origina el nivel del lquido. Este sensor se ilustra enla figura C-12. El extremo con que se detecta la presin en el fondo del lquido se conocecomo extremo de alta presin, y el que se utiliza para detectar la presin en la parte supe-

  • 660 APNDICE C

    D E T E C T O R

    Figura C-ll. Medidor de flujo de turbina. a) (Cortesfa de la Instrument Society of America.) b)(Cortesa de Fisher & Porter.)

    rior del lquido, como extremo de baja presin. Una vez que se conoce el diferencial depresin y la densidad del lquido, se puede obtener el nivel. En la figura C-l2 se muestrala instalacin del sensor de diferencial de presin en recipientes abiertos y cerrados; silos vapores en la parte superior del lquido no son condensables, entonces la tubera debaja presin, que tambin se conoce como derivacin hmeda, puede estar vaca; sin em-

  • SENSORES, TRANSMISORES Y VALVULAS DE CONTROL 6 6 1

    Vlvula de

    Derivacin seca

    Instalaci6n deb,------,,,,

    condensacv5n(opcional)

    INSTALACl6N C O NDERIVACl6N S E C A

    lDesahogo

    Vlvula de

    ,Derivaci6n hmeda

    Nivel mx.-------__

    Nivel min.

    lNSTALACl6N C O NDERIVACl6N HMEDA

    Figura C-12. Instalacin de transmisores de diferencial de presin en recipientes abiertos y cerra-dos. (Cortesfa de Taylor Instrument Co.)

    bargo, si los vapores se condensan, entonces la derivacin hmeda se debe llenar con unlquido sellador apropiado. Si la densidad del lquido vara, entonces se debe utilizar algu-na tcnica de compensacin.

    Con el SenSor deflotador se detecta el cambio en la fuerza de empuje sobre un cuerposumergido en el lquido. Este sensor se instala generalmente en un ensamble que se montade manera externa al recipiente, como se muestra en la figura (2-13. La fuerza que se

  • 662 APNDICE C

    Figura C-13. Sensor de nivel con flotador. (Cortesia de Taylor Instrument Co.) a) Vista superior,b) vista lateral.

    requiere para mantener al flotador en su lugar es proporcional al nivel del lquido y se con-vierte en una seal en el transmisor. Este tipo de sensor es menos caro que la mayorade los otros sensores de nivel; sin embargo, su mayor desventaja estriba en la incapacidadpara cambiar el cero y la escala; para cambiar el cero se requiere la reubicacin de lacpsula completa.

    El sensor de burbujeo es otro tipo de sensor de presin hidrosttica, y consiste, comose muestra en la figura C-14, en un tubo con gas inerte que se sumerje en el lquido; elaire o gas inerte que fluye a travs del tubo se regula para producir una corriente continuade burbujas, y la presin que se requiere para producir esta corriente continua es una me-dida de la presin hidrostitica o nivel del liquido.

  • SENSORES, TRANSMISORES Y VLVULAS DE CONTROL

    Desahogo

    c- Suministro de aire o gasa presin constante

    603

    Figura C-14. Sensor de nivel de burbujas de aire . (Cortesfa de Taylor Instrument Co.)

    Existen otros mtodos nuevos para medir el nivel en los tanques, algunos de stosson patrones de capacitancia, sistemas ultrasnicos y sistemas de radiacin nuclear; losdos ltimos sensores tambin se utilizan para medir el nivel en materiales slidos. Paraampliar este estudio se recomiendan las referencias bibliogrficas que se citan al principiode esta seccin.

    SENSORES DE TEMPERATURA* 2g396

    La temperatura, junto con el flujo, es la variable que con mayor frecuencia se mide enla industria de proceso; una razn simple es que casi todos los fenmenos fsicos se venafectados por Bsta. La temperatura se utiliza frecuentemente para inferir otras variablesdel proceso; dos de los ejemplos ms comunes son las columnas de destilacin y los reac-

    * Esta seccin se escribi parcialmente con base en las notas que desarroll el Dr. L: A. Scott para sus cursosde instrumentacin dedicados a no graduados en la Universidad del Sur de Florida.

  • 6 6 4 APNDICE C

    tores qumicos. Comnmente, en las columnas de destilacin se utiliza la temperatura pa-ra inferir la pureza de una de las corrientes existentes; en los reactores qumicos latemperatura se utiliza como un indicador de la extensin de la conversin o reaccin.

    A causa de los mltiples efectos que se producen con la temperatura, se han desarro-llado numerosos dispositivos para medirla; con muy pocas excepciones, los dispositivoscaen en cuatro clasificaciones generales, como se observa en la tabla C-2. Termmetrosde cuarzo, conos pirometricos y pinturas especializadas son algunos de los sensores queno entran en la clasificacin de la tabla C-2. En la tabla C-3@) se muestran algunas ca-ractersticas de los sensores tpicos.

    Con los termmetros de vidrio con ltquido se indica el cambio de temperatura quecausa la diferencia entre el coeficiente de temperatura de expansin del vidrio y del lqui-do que se utiliza; los lquidos que se utilizan ms ampliamente son mercurio y alcohol.Los termmetros de mercurio que se fabrican con vidrio ordinario son tiles entre -35OFy 600F, el lmite inferior se debe al punto de congelacin del mercurio y el superiora su punto de ebullicin. Si el espacio que queda arriba del mercurio se llena con un gasinerte, generalmente nitrgeno, para evitar la ebullicin, el rango til se puede extenderhasta los 950OF; tales termmetros llevan generalmente la inscripcin de llenado connitrgeno (nitrogen filled). Para temperaturas por debajo del punto de congelacindel mercurio (-38OF) se debe emplear otro liquido; para temperaturas abajo de -8OFse utiliza ampliamente el alcohol; para temperaturas hasta de -2OOOF se utiliza pentano,y tolueno para temperaturas abajo de -2OOOF.

    Los termmetros de tira bimetdlica trabajan con base en el principio de que los meta-les se expanden con la temperatura y que los coeficientes de expansin no son los mismospara todos los metales; en la figura C-l5 se ilustra un termmetro de tira bimetalica tpi-co. El elemento sensitivo a la temperatura se compone de dos metales diferentes que se

    Tabla C-2. Sensores comunes para mediciones de temperatura.

    1. Termmetro de expansinA. Termmetro de lquido en vidrio6. Term6metro de expansin de slidos (tira bimetzilica)C. Termmetros de sistema lleno (termmetros a presin)

    1. Llenos de gas2. Llenos de lquido3. Llenos de vapor

    II. Dispositivos con sensor de resistenciaA. Term6metros de resistencia6. Termistores

    III. Termopares

    IV. Mhodos sin contactoA. Pirmetros pticos6. Pirmetros por radiacinC. Tbcnicas infrarrojas

  • Tabla C-3. Caractersticas de los sensores de temperatura tpicos.

    Rango, *F Precisidn, o F Ventajas Desventajas

    Termmetros detubo de vidrio

    Termmetrosbimet&licos

    Elementos derelleno t&mico

    Prc t i co : -200 a 600Extremo: -321 a 1100

    Prc t i co : -60 a 600Extremo: -100 a 1000

    Prc t i co : -300 a 1000Extremo: -450 a 1400

    Termdmetro deresistencia

    Termopares

    Pir6metro derad iac in

    Termistores

    -430 a 1600

    -440 a 5000

    0 a 7000

    -150 a 600

    0.1-2.0

    1 .o-20

    + 0.5-2.0%de toda laescala

    0.1 (mejor de)

    0.2 (mejor de)

    *0.5-1 .O%de toda laescala

    0.1 (mejor de)

    Bajo costoS i m p l i c i d a dLarga vida

    Menos sujetos a rupturaLectura en cuadranteMenor costo que el trmico oel elctrico

    Simplicidad No se necesita energa auxiliarTiempos de respuesta suficientes

    Precisin del sistemaSe dispone de rangos bajos(10F)

    Respukta rpida, tamaop e q u e o

    Tamao pequeo, bajo costoMontaje prcticoRango amp l io

    No hay contacto fsicoRango amplio, respuesta rpidaMedici6n en reas pequeas, opromedio en un rea grande

    Tamao pequeo, respuestarp ida

    Bueno para rangos estrechosBajo costo, estableNo hay unin fra

    Qifcil de leerUnicamente para medicin local;no existe capacidad para controlautomtico 0 registro

    Menor precisin que con los detubo de vidrio

    La calibracin cambia con elmanejo rudo

    Tamao del bulbo mayor que enlos sistemas ekitricos, losrangos mnimos son mayores

    La distancia mxima entre el bul-bo y el punto de lectura es de50-200 pies

    El autocalentamiento puede serun problema

    La desviacin a largo plazoexcede a la del termopar

    Algunos modelos son caros;difcil de montarNo tan simple como los term-metros de lectura directa

    El trabajo con alambres frospuede afbctar la calibracin;rango mnimo nominal: 70F

    Ms frgil que otros dispositivoselctricos

    Escala no lineal; se requiere unrango relativamente amplio

    Amplia respuesta no linealLa estabilidad por arriba de600F es problemtica; no sonadecuados para rangos ampliosLa alta resistencia hace que elsistema sea susceptible a lainduccin de ruido de las lineasde energa

  • EXTREMO -

    UBRE

    E X T R E M O - -

    F I J O

    OE EXPANSl6N

    FU0

    0

    APiNDICE C

    VARILLA OIRATORIA

    EXTREMO LIBREC O N E C T A D O A L A

    ARU.A DEL INDICADOR

    EXTREMO FIJO

    8

    Figura C-K Termmetro de tira bimetiica. (Cortesa de la Instrument Society of America.)

    unen en una tira, el coeficiente de expansin de uno de los metales es alto, y el del otroes bajo; una combinacin corriente es el invar (64% Fe, 36% Ni), cuyo coeficiente esbajo, y la aleacin de nquel-hierro, cuyo coeficiente es alto. Generalmente la expansincon la temperatura es baja, y por esta razn la tira bimetlica se enrolla en forma deespiral; conforme la temperatura se incrementa, la espiral tiende a combarse hacia el ladodel metal con bajo coeficiente trmico.

    En la figura C-l6 se muestran los elementos de un termbmetro de sistema lleno tpico;el lquido del sistema se expande o se contrae con las variaciones de temperatura, lo cualse detecta mediante el resorte de Bourdon y se transmite a un indicador o transmisor. Acausa de la simplicidad de su diseo, confiabilidad, bajo costo relativo y seguridad inhe-

    Figura C-16. Termmetro tpico de sistema lleno. (Cortesa de la Instrument Society of America.)

  • SENSORES, TRANSMISORES Y VALVULAS DE CONTROL 667

    Tabla (2-4. Clasificacin de la Scientific Apparatus Manufacturers Association para lostermmetros de sistema lleno.

    IIAIBIIA

    IIB

    IIC

    IID

    IIIAIII8V AV B

    Relleno

    Llquido distinto al mercurioLquido distinto al mercurioLquido distinto al mercurioVapor

    G a sG a sMercurioMercurio

    Cafacterlsticas

    Sin compensac&Contenedor y capilar con compensacinContenedor con compensacinPara aplicaciones del bulbo en condiciones por

    arriba de la temperatura ambientePara aplicaciones del bulbo en condiciones por

    abajo de la temperatura ambientePara aplicaciones del bulbo en condiciones por

    arriba o por abajo de la temperatura ambienteSe utiliza tubo grandePara aplicaciones del bulbo en condiciones por

    arriba o por abajo de la temperatura ambienteSe utiliza liquido no voltil para la transmiskhContenedor y capilar con compensaci6nContenedor con compensacihContenedor y capilar con compensacinContenedor con compensacin

    Note: Para IV no existe clasificaci6n SAMA.

    rente, estos elementos son populares en la industria de proceso. La Scientific ApparatusManufacturers Association (SAMA) estableci cuatro clases principales de sistemas lle-nos, con subclasicaciones, las cuales se listan en la tabla C-4. Las diferencias ms signi-ficativas entre las clasificaciones son el lquido que se utiliza y la compensacin de lasdiferencias de temperatura entre el bulbo, la capilaridad y el resorte de Bourdon; en lafigura C-l7 se muestran varios de estos sistemas llenos. Para una descripcin ms extensade dichos sistemas se remite al lector a las referencias bibliogrficas 2 y 3.

    POR

    POSICION DEL Lk,UIOO VO,.ATIL

    CUANDO LA TEMPERATURA DEL BULBO

    ES SUPERIOR A LA DEL RESTO OEL

    WSICI6N DEL LICUIDO

    VOL&TIL CUANDO IA

    TSMPERATUM OEL

    BULBO ES INFERIOR

    A LA DEL RESTO

    OEL S I S T E M A ,

    Figura C-17. Otros tipos de termmetros de sistema lleno. (Cortesfa de la Instrument Society ofAmerica.)

  • 666 APNDICE C

    P U N T A S

    B A S E P A R A

    CAPSULA TRMICA

    E N R O L L A R E L A L A M B R E

    E S Q U E M A D E LA R R O L L A M I E N T O

    (al (b)

    Figura C-M. Esquema de un termmetro de resistencia. a) Ensamblaje, b) componentes. (Corte-sa de la Instrument Society of America.)

    Los fermmefros de dispositivos resistivos (TDR) son elementos que se basan en elprincipio de que la resistencia elctrica de los metales puros se incrementa con la tempe-ratura y, ya que la resistencia elctrica se puede medir con bastante precisin, esto pro-porciona un medio para medir la temperatura con mucha exactitud. Los metales que seutilizan ms comnmente son platino, nfquel, tungsteno y cobre. En la figura C-l8 se muestrael esquema de un TDR tpico.

    Para la lectura de la resistencia y, en consecuencia, tambin para la de temperaturageneralmente se utiliza un puente de Wheatstone. En la figura C-l9 se ilustra el sistemade los puentes de dos y tres hilos que se utilizan.

    Con los elementos termistores se detectan cambios muy leves de temperatura. Lostermistores se fabrican con la combinacin sinterizada de material cermico y algunaclase de xido metAlico semiconductor, como nquel, manganeso, cobre, titanio o hierro.

    TB

    A>/ // / /

  • SENSORES, TRANSMISORES Y VLVULAS DE CONTROL 669

    k P U N T A S - I I

    MATERIAL SEMICONDUCTOR

    Figura C-20. Construccin de un termistor tpico. (Cortesa de la Instrument Society of America.)

    En los termistores se tiene un coeficiente de resistividad trmica muy negativo, o algunasveces positivo. En la figura C-20 se ilustran algunos termistores tpicos. Los puentes deWheatstone de la figura C-l9 se utilizan generalmente para medir la resistencia y, porlo tanto, tambien la temperatura. Algunas de las ventajas son el tamao pequeo y el bajocosto; sus principales desventajas estriban en que la relacin de la temperatura contra laresistencia no es lineal, as como el hecho de que generalmente se requieren lneas defuerza blindadas.

    El ltimo elemento de-temperatura que se estudiar es el termopar, el cual es el sen-sor de temperatura industrial ms conocido. El principio de funcionamiento del termoparlo descubri T. J. Seebeck, en 1821; en el efecto de Seebeck, o principio de Seebeck,se establece que hay un flujo de corriente elctrica en un circuito de dos metales diferen-tes si las dos uniones estn a temperaturas diferentes. En la figura C-21 se muestra elesquema de un circuito simple; iVf1 y MZ son los dos metales, TH es la temperatura a me-dir, y Tc es la temperatura que generalmente se conoce como de unin fra o de referen-cia. El voltaje que se preduce con este efecto termoelctrico depende de la diferencia detemperatura entre las dos uniones y los metales que se utilicen; en la figura C-22 se mues-tran los voltajes que se generan como metales tpicos. En la figura C-33 se ilustra un es-quema ms realista de un circuito de medicin. El tipo ms comn de termopares sonplatino-platino/rodio, cobre-constantan, hierro-constantan, cromel-alumel y cromel-constantan. En la figura C-24 se muestra el ensamblaje de un termopar industrial; el tubode proteccin, que tambin se conoce como depsito trmico, no es necesario en todaslas instalaciones; con el depsito trmico se tiende a hacer ms lenta la respuesta del siste-ma sensor. Para un estudio ms detallado de los termopares se recomiendan ampliamentelas referencias bibliogrficas 2 y 3.

    SENSORES DE COMPOSIClbN2~25~26~2!,28

    Otra clase importante de sensores son los de composicin, los cuales se utilizan en lasmediciones y control de calidad de producto. Existen muchos tipos diferentes de sensoresde medicin, por ejemplo, los de densidad, viscosidad, cromatografa, pH y POR. Debi-do a la falta de espacio no se presentan estos sensores, sin erdbargo, se desea que el lectorest consciente de su importancia; se proporcionan referencias bibliogrficas para lecturay aprendizaje.

  • 6 7 0 APNDICE C

    Figura C-21. Circuito de termopar sencillo.

    GRADF

    - 1 0 010100

    Ca)

    0 2 4 6 8 10

    -2.699 -2.136 -2.773 -2.810 -2.867 -2.883-0.478 -0.435 -0.392 -0.349 -0.305 -0.262

    1 . 5 2 0 1.566 1.611 1.657 1 . 7 0 3 1.748

    GRAD F 0 2 4 6 8 10

    - 100 -2.581 -2.616 -2.650 -2.665 ~ -2.119 -2.75310 -0.467 -0.425 -0.383 -0.341 -0.299 -0.256100 1.518 1.565 1.611 1.450 1.705 1.152

    (b)

    GRAD F 0 2 4 6 8 10

    - 100 -3.492 -3.541 -3.590 -3.639 -3.688 -3.13110 -0.611 -0.556 -0.501 -0.445 -0.390 -0.334100 1.942 2.000 2.058 2.117 2.175 2.233

    Cc)

    Figura C-22. Voltajes que se generan con diferentes tipos de termopares (milivolts). (Unin dereferencia a 32F.) a) Tipo K: Nquel-cromo con nquel-aluminio (cromel-ahtmel). b) Tipo T: Co-bre con cobre-nquel (cobre-constantan) . c) Tipo J: Hierro con cobre-nquel (hierro-constantan) .

    Restato decalibracin

    Figura C-23. Circuito para medicin con termopar.

  • SENSORES, TRANSMISORES Y VALVULAS DE CONTROL 6 7 1

    Figura C-24. Ensamblaje de los sistemas de termopar. a) (Corteia de la Foxboro Co.)

    TRANSMISORES

    En esta seccin se presentan los ejemplos de un transmisor neumtico y de uno elctrico.El objetivo es presentar al lector los principios de funcionamiento de estos transmisorestpicos. Como se mencion anteriormente en este apndice, el propsito del transmisores convertir la salida de un sensor en una seal lo suficientemente intensa como para quese pueda transmitir a un controlador o cualquier otro dispositivo receptor. En general,la mayora de los transmisores se pueden dividir en dos tipos: de balance de fuerzas yde movimiento-balance, los cuales son los ms comunes y se utilizan extensamente enla industria.

    Transmisor neumdtico

    En todos los transmisores neumticos se utiliza un arreglo de mariposa y boquilla paraproducir una seal de salida proporcional a la salida del sensor. Para ilustrar los princi-pios de funcionamiento se utilizar un transmisor de diferencial de presin(*), el cual esde balance de fuerza y se ilustra en la figura C-25.

  • 672 APNDICE C

    Figura C-24. (Continuacin) b) (Cortesa de Rosemount, Inc.)

  • SENSORES, TRANSMISORES Y VALVULAS DE CONTROL 6 7 3

    TUBO DE REDUCCIN

    RETN DE FLEXl6N le S A L I D A

    1 MARIPOSA

    f?k

    RODAJA DERANGO -APOYO-BASRA DE RANGO

    FUENTES DEfRETROALIMENTACl11

    AJUSTEEXTERNO A CERO

    LACA DE SOPORTEDE LA CPSULA

    DIAFRAGMA SELLADOR

    CO-NI -APOYO-

    Figura C-25. Transmisor neumtico de diferencial de presin. (Cortesfa de la Foxboro Co.)

    La cpsula de diafragma gemelo es el sensor con que se detecta la diferencia de presinentre el lado de alta y el lado de baja presin. Ya anteriormente se vio que este tipo desensor se utiliza para medir el nivel de un liquido y el flujo. El diafragma se une a unabarra de fuerza mediante una conexin flexible; la barra de fuerza se conecta al cuerpodel transmisor mediante un diafragma de acero inoxidable, el cual sirve como sello dela cavidad de medicin y tambin como un apoyo firme para la barra de fuerza. La partesuperior de la barra de fuerza se conecta a la barra de rango mediante una tira de flexih;la barra de rango se apoya en la rodaja de rango. En la parte inferior de la barra de rangose encuentra un diafragma de retroalimentacin y un ajuste a cero. Arriba de la barrade rango se encuentra un arreglo de mariposa-boquilla y un relevador neumfitico y, comose observa, la mariposa se conecta a la combinacin de barra de fuerza y barra de rango.

    Cuando en la cpsula del diafragma se detecta una diferencia de presin, se crea unatensin o fuerza en la parte inferior de la barra de fuerza; ms especficamente, se puedesuponer que la presin en la parte superior se incrementa, con l que se crea una fuerzaque tira de la barra de fuerza, de lo cual resulta un movimiento en el extremo externode la barra, con lo que la mariposa se acerca a la boquilla, en cuyo caso se incrementala salida del relevador y con ello se incrementa la fuerza que se ejerce sobre la barra derango mediante el diafragma de retroalimentacin. Con esta fuerza se balancea la fuerzadel diferencial de presin presente en la cpsula de diafragma; del balance de estas fuer-

  • 674 APNDICE c;

    zas resulta la seal de salida del transmisor, la cual es proporcional a la diferencia depresin.

    El suministro de presin que se recomienda para la mayora de los instrumentos neu-mticos es entre 20 y 25 psig, ya que con ste se asegura el funcionamiento adecuadocon un nivel de salida de 15 psig. Para calibrar estos instrumentos se requiere ajustar elcero y la escala (o rango); en el instrumento de la figura C-25 esto se hace mediante untornillo externo de ajuste a cero y con la rodaja de rango.

    En los purafos precedentes se describi el principio de trabajo de un instrumentoneumtico tpico. Como se mencion al principio, en todos los instrumentos neumticosse utiliza alguna clase de arreglo de boquilla mariposa para producir una seal de salida,la cual es una tcnica confiable y simple con la que se ha tenido 6x30 durante muchos aos.

    Transmisor electrnico

    En la figura C-26 se muestra el diagrama simplificado de un transmisor electrnico dediferencial de presi6n03) del tipo movimiento-balance y se utilizara para ilustrar los prin-cipios de trabajo de la instrumentacin electrnica tfpica.

    Con un incremento en el diferencial de presin se accionan los diafragmas del ele-mento de medicin y se desarrolla una fuerza con la que se mueve la parte inferior dela barra de fuerza hacia la izquierda. Este movimiento se transfiere a la unidad de medi-cinde la fuerza de deformacin a travs de un alambre de conexin; en la unidad demedicin de la fuerza de deformacin se tienen cuatro medidores de fuerza que se conec-tan en configuracin puente; con el movimiento de la barra de fuerza se causa un cambiode resistencia en los medidores de fuerza, mediante el cual se produce una seal diferen-cial proporcional al diferencial de presin que entra, misma que se aplica a las entradasdel amplificador de entrada; un lado de la seal se aplica directamente a la entrada delamplificador con inversin, y el otro a la entrada sin inversin, a travs de una red decero, con la cual se obtiene el ajuste a cero del transmisor.

    Con la seal que sale del amplificador de entrada se maneja al regulador de corrientede salida, por medio del cual se controla la corriente de salida del transmisor a travs dela red de escala y el circuito sensor de corriente de salida. Con la red de escala se obtieneel ajuste de escala del transmisor; la seal de esta red se retroalimenta al circuito de entra-da mediante un amplificador con almacenamiento (buffer) y se utiliza para controlar laganancia del circuito de entrada. Si la corriente de salida del transmisor se incrementams all de 20 mA C.D., el voltaje que pasa a travs de la resistencia de deteccin decorriente activa el limitador de corriente de salida, con el. cual se limita la salida.

    TIPOS DE VALVULAS DE CONTROL4~15167~8,19,20

    Existen muchos tipos diferentes de vlvulas de control en el mercado, casi ca& mes seofrece una nueva v&lvula de control mejorada y, en consecuencia, es difcil clasifi-carlas, sin embargo, aqu se clasificarn en dos categoras principales: de vstago rec-proco y de vstago rotatorio.

  • SENSORES. TRANSMISORES Y VLVULAS DE CONTROL 675

    VBlvula dealivio o drenado

    \

    - Barra de fuerza

    P l v o t e d ee-...- movimiento y sel lo

    Barra del diafragma

    t Sa l ida

    B Ajuste de ALamortiguamiento

    (opcional )

    Figura C-26. Transmisor electrnico de diferencial de presin. (Cortesfa de Taylor Instrument Co.)

    Wstago recproco

    En la figura C-27 se muestra una vlvula de control de vstago recproco tpica, que enparticular se conoce como vlvula de globo con asiento sencillo y vstago deslizable. Lasvlvuhs de globo son una familia de vlvulas que se caracteriza por una parte de cierreque viaja en lnea perpendicular al asiento de la vlvula, y se utilizan principalmente parapropsitos de estrangulamiento y control de flujo en general. En la figura C-27 tambinse muestran en detalle los diferentes componentes de la vlvula; se observa que la v6lvulase divide en dos reas generales: el acfuodor y el CZU~O. El actuador es la parte de lavAlvula con que se convierte en movimiento mecnico la energia que entra a la v6lvula

  • 676 APNDICE C

    AccIonadc li

    Conjunto decuerpo dela vlvula

    .

    1

    Conexin a l apresi6n de carga

    ,mCubieitas del diafragma

    - Placa del diagrama

    - R e s o r t e d e l acclonador

    Vstago del accionador

    Ajuste del resorteAjuste del resorte

    Yugo

    Aslento del resorte

    - V s t a g o d e acoplamlento a l a v l v u l a- V s t a g o d e acoplamlento a l a v l v u l a

    Ceja del empaqueCeja del empaque

    $ - C o n t r a t u e r c a del yugo del actuador

    Empaque

    Capucha

    Oclusor de la vlvula

    -----anillo de asentamiento

    Cuerpo de la vlvula

    Figura C-27. V6lvuta ce globo de asiento sencillo y vstago deslizable. (Cortesa de Fisher Controls.)

    para aumentar o disminuir la restriccin de flujo. En la figura C-28 se muestra una vlvu-lu de globo con asiento doble y vstago deslizable, con las cuales se pueden manejar pre-siones de proceso altas; sin embargo, si se requiere un cierre extremo, generalmente seutilizan vlvulas de asiento sencillo, ya que con las de doble asiento cerradas se tiendea tener mayor escurrimiento que con las de asiento sencillo.

  • SENSORES, TRANSMISORES Y VLVULAS DE CONTROL 677

    Indicador dedesplazamiento

    Escala de mdlcadorde desplazamiento

    Figura C-28. Viilvula de globo con asiento doble y vastago deslizable. (Cortesa de Fisher Controls.)

    Otro tipo de vailvula que se utiliza comnmente es la de cuelpo separado que se muestraen la figura C-29. Se utiliza frecuentemente en lneas de proceso donde se requiere cam-biar con frecuencia el oclusor y el asiento para evitar la corrosin.

    Vlvulas de juula, se ilustra en la figura C-30, el oclusor tiene pasajes internos.

  • 676 APNDICE C

    Figura C-29. Wvula de cuerpo separable. (Cortesfa de Masoneilan division, McGraw-Edison Co.)

    V&Zvulus de @es vhs; Bstas se ilustran en la figura C-31 y son tambin de tipo rec-proco. Las vlvulas de tres vias pueden ser convergentes o divergentes y, en consecuen-cia, con ellas se puede separar una corriente en dos o se pueden mezclar dos corrientesen una sola. Comdnmente se utilizan para propsito de control.

    Existen algunos otros tipos de v5ilvulas de control con vstago reciproco, la mayorade ellas se utilizan en servicios especializados. Algunas de stas son la vlvula estilo Y,la cual se utiliza comnmente en servicio de fundicin de metales o criognico; la vlvulade apriete o diafragma, que posee alguna parte flexible, por ejemplo, un diafragma quese puede mover junto con, o abrir, o cerrar el 4rea de flujo y comnmente se utiliza confluidos altamente corrosivos, suspensiones y lquidos de alta viscosidad, as como en ope-raciones de procesamiento de alimentos tales como la elaboracin de cerveza y vino. Lavlvula de compuerta es otro tipo de v&lvula de vstago recproco que se utiliza principal-mente en servicios donde se necesite una abertura o un cierre completo, sin embargo,por lo regular no se emplea en servicios de estrangulamiento.

    Vdstago rotatorio

    Existen varios tipos usuales de vlvulas de vstago rotatorio; uno de los ms comuneses la vlvula de mariposa que se ilustra en la figura C-32. Estas vivulas constan de un

  • SENSORES, TRANSMISORES Y VALVULAS DE CONTROL 679

    Figura C30. Vlvula de jaula. (Cortesfa de Masoneilan division, McGraw-Ekiison Co.)

    disco que gira alrededor de un eje; se requiere mnimo espacio para su instalacin, y setiene alta capacidad de flujo con caida de presin mnima; se utilizan en servicios de bajapresin. Con los discos covencionales se logra controlar el estrangulamiento hasta en 60grados de giro, pero con discos de nueva patente se puede controlar el estrangulamientopara un giro completo de 90 grados.

    Otra vailvula comn de vstago rotatorio es la vlvula de esfera que se ilustra en lafigura C-33. Con estas vlvulas tambi6n se logra una alta capacidad de flujo con caidamnima de presin; se utilizan comnmente para manejar suspensiones o materiales fibro-sos; la tendencia a escurrimiento es baja y su tamao es pequeo.

    Hasta aqu se present una breve introduccin a varios tipos de vlvulas de control,sin embargo, Bstas no son las tnicas; en el mercado existe un gran nmero de v&ulaspara cubrir los requerimientos de servicios especializados, asi como de seguridad y deotros tipos de regulaciones.

  • 660 APNDICE C

    Figura C31. Vlvula de tres vfas. (Cortesa de Fisher Controls.)

    ACCIONADOR DE LA VALVULA DE CONTROL

    Como se difini previamente, el accionador (o actuador) es la parte de la v6lvula de con-trol con que se convierte la energa de entrada, ya sea neumtica o elctrica, en movi-miento mecnico para abrir o cerrar la vlvula.

    Accionador de diafragma con operacibn neumdtica

    stos son los accionadores ms usuales en la industria de proceso. En la figura C-34 semuestra un accionador de diafragma tipico; estos accionadores consisten en un diafragmaflexible que se coloca entre dos compartimientos; una de las cmaras resultantes de estearreglo debe ser hermtica. A la fuerza que se genera con el accionador se opone un re-

  • SENSORES, TRANSMISORES Y VLVULAS DE CONTROL 6 6 1

    Figura C-32. Vilvula de mariposa. (Cortesia de Fisher Constrols.)

    sorte de rango. La seal neumtica del controlador entra a la cmara hermtica, y conel incremento o decremento de presin se produce una fuerza que se utiliza para vencerla fuerza del resorte de rango del accionador y las del interior del cuerpo de la vl-vula.

    La accin de la vlvula, CF o AF, se determina mediante el accionador. En la figuraC-34~ se muestra una xlvula cerrada en falla o aire para abrir, y en la figura C-34b semuestra una vlvula abierta en falla o de aire para cerrar.

    El tamao del accionador depende de la presin del proceso contra la cual se de-be mover el vstago y de la presin de aire de que se dispone; el rango de presin deaire ms comn es de 3 a 15 psig, pero tambien se utilizan rangos de 6 a 30 y de 3a 27 psig. Estos accionadores de diafragma son de construccin simple, confiables yeconmicos. El fabricante proporciona las ecuaciones para dimensionar los acciona-dores

  • 682 APNDICE C

    Figura C-33. Vhula de esfera con posicionaclor. (Cortesfa de Masoneilan division, McGraw-EdisonCo.)

    Accionador de pistn

    Normalmente, los accionadores de pistn se utilizan cuando se requiere mxima confiabi-lidad junto con una respuesta rpida, lo cual generalmente ocurre cuando es alta la pre-sin de proceso contra la que se trabaja. Estos accionadores operan con un suministrode aire a alta presin, de ms de 150 psig. Los mejores diseos son de accin doble, conel fin de brindar mxima confiabilidad en ambos sentidos.

    Accionadores electrohidr8ulicos y electromecbnicos

    Aunque no son tan usuales como los dos tipos anteriores, en el futuro el uso de acciona-dores electrohidrulicos y electromecnicos se har ms comn debido a la utilizacincreciente de seales elctricas de control. Dichos accionadores se muestran en las figurasC-35 y C-36; requieren energa eltctrica para el motor y una seal elctrica desde el con-trolador .

    Dentro de esta familia de accionadores, probablemente el ms comn es el de sole-noide. Se puede utilizar una vabula de solenoide para accionar un accionador de pistn

  • SENSORES, TRANSMISORES Y VALVULAS DE CONTROL 663

    Figura C-%kz.Controls.)

    Accionador de diafragma: cerrado en falla, aire para abrir. (Cortesfa de Fisher

    de doble accin; mediante la formacin o ruptura de una seal de corriente elctrica seconmuta con el solenoide la salida de una bomba hidrulica para que se conecte a la partesuperior o inferior del accionador de pistn. Con esta unidad se obtiene un control precisosobre la posicin de la vlvula.

    Accionadoi manual con volante

    Estos accionadores se utilizan cuando no se requiere control automtico; en el mercadoexisten modelos tanto para vstago recproco como para vstago rotatorio. En la figuraC-37 se muestra un accionador de volante tpico.

  • 664 APNDICE C

    Figura C3&. Accionador de diafragma: abierto en falla, aire para cerrar. (Cortesia de FisherControls.)

    ACCESORIOS DE LA VALVULA DE CONTROL

    Existen varios dispositivos que se conocen como accesorios y que generalmente se aso-cian con las vlvulas de control, en esta seccin se presenta una breve introduccin a al-gunos de estos accesorios, los ms comunes.

    Posicionadores

    Un posicionador es un dispositivo cuya accin es muy semejante a la de un controlador;su funcin es comparar la seal del controlador con la posicin del vstago de la vailvula.Si el vstago no esta en la posicin que indica el controlador, con el posicionador se aadeo elimina aire de la vlvula hasta que se logra la posicin correcta; es decir, cuando es

  • SENSORES, TRANSMISORES Y VLVULAS DE CONTROL 685

    Figura C35. Accionador electrohidrulico montado en una vtivula rotatoria. (Cortesa de FisherControls.)

    .mportante posicionar el vstago de la vtivula con precisin, normalmente se utiliza unposicionador. En la figura C-38 se muestra una v&ula con un posicionador donde seaprecia el arreglo de barra de acoplamiento mediante el cual se detecta la posicin delvstago en el posicionador. En la figura C-33 se muestra otro posicionador.

    Con la utilizacin de los posicionadores se tiende a minimizar los efectos de:

    1. Retardo en los accionadores de gran capacidad.2. Friccin del vstago debida a cajas de empaque justas.3. Friccin debida a fluidos viscosos o pegajosos.4. Cambios de presin en la linea de proceso.

    Se recomienda un posicionador cuando la respuesta de la combinacin vtivula-posicionador es mucho ms rpida que el proceso mismo; algunos circuitos de control

  • J% ura (2-36. Accionador electrome&nico montado en una v&ula de mariposa. (Cortesfa deher Controls.)

    Fis-

    Figura (2-37. Accionador manual. (Cortesa de Fisher Controls.)

    686

  • SENSORES, TRANSMISORES Y vALVULAS DE CONTROL 687

    Arreglo deeslabonamier

    Figura C-38. Posicionador instalado en una vlvula. (Cortesfa de Taylor Co.)

    en que se da este caso son los de nivel de lquido, de temperatura, de concentracin yde flujo de gas. Los de flujo y los de presin de lquido son algunos circuitos rpidosen los que se puede eliminar la utilizacin de posicionadores.

    Generalmente, los posicionadores son neumticos o electroneumticos. En los neu-mticos se recibe una seal neumtica como entrada y se emite una seal neumtica haciala vAbula; en los electroneumticos se recibe una seal electrica como entrada (1-5 V,4-20 mA o lo-50 mA) y se emite una seal neumtica hacia la vlvula. Con

  • 688 APNDICE C

    los posicionadores tambin se pude determinar la accin de las vlvulas de control (CFo AF).

    Multiplicadores

    Los multiplicadores (boosters), que tambin se conocen como relevadores de aire, se utili-zan con los accionadores de las v&lvulas para acelerar la respuesta de la vlvula a un cam-bio de seal proveniente de un controlador o transductor con baja capacidad de salida.Tambin se debe hacer notar que para los circuitos de control de respuesta rpida, talescomo los de flujo o presin de lquidos, en los cuales no es indicada la utilizacin de posi-cionadores, la utilizacin de multiplicadores puede ser la eleccin adecuada.(14)

    Para los multiplicadores se tienen otros posibles usos:

    1. Amplificacin de una seal neumtica; algunas razones tpicas de amplificacinson 1:2 y 1:3.

    2. Reduccin de una seal neumtica, cuyas razones tpicas son 5: 1, 2: 1 y 3: 1.3. Inversin de una seal neumtica, lo cual significa que, conforme se incrementa

    la seal de entrada, disminuye la seal de salida. Cuando la seal de entrada esde 3 psig, la de salida es de 15 psig; cuando la seal de entrada es de 15 psig,la seal de salida es de 3 psig.

    Interruptores de lmite

    Estos interruptores se montan a un lado de las vlvulas y se disparan mediante la posicindel vstago. Con estos interruptores generalmente se manejan alarmas, vSilvulas de sole-noide, luces o cualquier otro de tales dispositivos.

    VLVULAS DE CONTROL, CONSIDERACIONES ADICIONALES

    En esta seccin se presentan varias consideraciones adicionales que se deben tomar encuenta cuando se dimensiona y elige la vlvula de control; por tanto, con esta seccinse complementa la seccin 5-2.

    En las figuras C-39~ hasta C-39d se muestran ejemplos de catalogos de fabricantes(Masoneilan y Fisher controls). Una vez que se calcula el coeficiente CV mediante lasecuaciones del captulo 5, se utilizan esas cantidades para determinar las dimensiones dela vlvula.

    Correcciones de viscosidad

    En la ecuacin (5-1) no se considera el efecto de la viscosidad del lquido al calcular elcoeficiente CV. Para la mayora de los servicios de lquidos se puede despreciar la co-rreccin de viscosidad, sin embargo, en algunos otros casos esto puede conducir a erroresde dimensionamiento.

  • SENSORES, TRANSMISORES Y VALVULAS DE CONTROI 089

    Serie 20000ANSI Class 150-600 (Sch. 40)

    Figura C-39~. Ejemplo del catlogo de vfdvulas Masoneilan. (Cortesa de Masoneilan division,McGraw-Eklison Co.)

    Masoneilan() propone que se calcule un CV turbulento y uno laminar y que se utili-ce como valor mayor el CV que se requiere.

    Flujo turbulento

    CV =bf

    9JG

    Flujo laminar

    (C-3a)

    213

    C (C-3b)

  • 690

    S e r i e 3 7 0 0 0MiniTork ;i,,

    Factor crltko de flujo-CfF l u j o e n cualquier dhccW-.66

    ANSI Clars l?O-300 (2 to 12)

    ANSI Class 150 (14 to 14..)

    APNDICE C

    I 1 1 5 0

    8 2050

    10 3200

    12 4600 -.34 5600

    +$6 7400

    II 9500-~-

    20 11 6 0 0

    24 17200

    Raf.drse .I talal" 3521

    Serie 38000

    Fac+,, UHIco 4. ffub-C, - 30ANSI Class 150

    Figura C-39b. Ejemplo del cat&logo de vlvulas Masoneilan. (Cortesa de Masoneilan division,McGraw-Edison Co.)

  • SENSORES, TRANSMISORES Y VALVULAS DE CONTROL 891

    COEFICIENTES DE FLUJOPm hbmlamn ddonal AMea ehl,

    anrw WI Ilokfal II. r:fyrq

    ) De porcentaje igual Ceracterktice de

    1 2-1 5,54 t ..-. .-.- .-.-4 9 . 3 9 1 4 . 4 2 0 . 5 i;i ii:

    3/4f

    3/4 1 ,361 1 ,597 1 ,878 1 1.3 1 1 - 13i4 314 I 3 5 4 I 5 5 9 I R7d I

    Figura (2-39~. Ejemplo del catalogo de vlvulas de Fisher: diseo EAB, especificaciones C y D;el cclusor de la vlvula es de Qmxxrtaje igual. (Cortesia de Fisher Controls.)

    donde:

    p = viscosidad, centipois

    En Fisher controls(@ se desarroll una nomograffa y un procedimiento con el cualse puede obtener el factor de correccin Fv que es posible aplicar al coeficiente CV normalpara determinar el coeficiente corregido, CV,. Enla figura C-40 se muestra la nomograffacon las instrucciones para su uso; cuando ya se ha obtenido el factor de correccin, enton-ces el coeficiente corregido se calcula como sigue:

    G, = FVCV (C-4)

  • 692

    COEFICIENTES DE FLUJO

    APiNDICE C

    Fu,. Infamud6n adkbnd .- ddcumpn WI soh, 07.7:.E1701

    I Lineal CaractersticaIlneal

    1-112 3/4 247 382 514 7 4 2 864 986 ,130 1280 3 3 . 22 1-118 3 2 7 5 2 0 9 5 1 ,190 1450 1790 2 1 8 0 2 4 2 0 3 5 . 23 ; :1 : : 482 184 35, 963 1470 557 1 9 5 0 7 6 1 2 4 4 0 9 7 4 2920 1220 3480 1520 4060 1840 4710 2200 2590 5150 337 37.9

    ,.:12 ::: 3 . 3 3 5 . 6 5 19.6 7.95 9 . 8 5 :::: 39.1 14.7 1 7 . 2 50.5 18.8 5;:: 23.5 59.5 37.8 35.4

    3 ' 1:::: 25.6 82 50.0 :t: 2 7 . 7 '3::: 4 9 . 0 5 9 . 0 3:: 193 93.0 2 0 9 9 2 . 0 219 s6.0 35::4 2 3 0 . 5 6 0 . 5 ;::: 125 13 1:: ::9 3 1 5 3 5 5 3 7 4 3 7 . 2

    1 314 2.5S 4 . 9 9 7 . 3 5 9 . 7 6 12.1 1 4 . 5 16.9 1 9 . 9 2 4 . 5 2 8 . 7 3 5 . 4

    ,.:/2 3/4 3/4 26% 12.5 4.99 1 9 . 4 7 . 3 0 2 4 . 9 9 . 7 5 30.7 12.1 37.0 14.6 43.2 17.2 49.0 19.4 23.7 55.5 28.5 82.0 37.7 35.3

    l-Y2 1.1/8 314 6.10 9.54 :;:: 25.0 18.1 J: 30.7 47.6 37.1 59.0 43.2 72.5 49.3 99.5 109 56.5 121 84.0 33.2 35.2

    : 1.118 l-l/2 2 4 9 . 2 0 1 129 22 38.1 980 1 2 2 4 9 . 7 ,*e 61.0 1,3 76.0 2 0 3 9 2 . 0 236 110 218 130 :::9

    Figura C39d .Ejemplo del cat4logo de vlvulas de Fisher: diseo EB, especificaciones C y D;el oclusor de la v&lvula es lineal. (Cortesa de Fisher Controls.)

    Vaporizacin instanthea y cavitacin

    El hecho de que en la vailvula de control exista vaporizacin instantanea o cavitacin, oambas, puede tener efectos significativos sobre la operacin de la vlvula y el procedi-miento de dimensionamiento. Es importante comprender el significado e importancia deestos dos fenmenos; en la figura (2-41 se muestra el perfil de presin de un liquido quefluye a travs de un elemento restrictivo (posiblemente una vlvula de control).

    Para mantener el flujo en estado estacionario la velocidad del liquido se debe incre-mentar conforme disminuye el Area de la seccin transversal para el flujo. La velocidadmxima del lquido se alcanza en un punto inmediatamente posterior al Grea mfnima dela seccin transversal (el Area de puerto para una vlvula de control); el punto de mximavelocidad se conoce como vena contracta*, en este punto se tiene tambin la presinms baja en el liquido. Lo que ocurre es que el incremento de velocidad (energa cintica)se acompaa por un incremento en la energfa de presin, la energa se transforma deuna forma a otra.

  • NDIC :E

    N o m o g r a m a d e comcci6nde viscosidad

    Figura C-40. Nomografla para la correccin de viscosidad. (Cortesfa de Fisher Controls.)

  • 694 APNDICE C

    Figura Cd. Perfii de la presin de un liquido que pasa ti travs de un elemento de restriccin.

    Cuando el liquido pasa por la vena contracta, su velocidad disminuye, y entoncesse recupera parte de la presin. Las vailvulas tales como las de mariposa, de esfera o lamayorfa de las vabulas rotatorias tienen caracterfsticas de recuperacin de presin altas;en cambio, en las vabulas de vstago recfproco esta caracterstica es baja. En las v&lvulasde vstago recfproco la trayectoria del flujo es ms tortuosa que en las vlvulas rotatoriasy, por lo tanto, la cafda de presin del liquido es mayor a travs de esas vailvulas queen las de tipo rotatorio.

    Ahora se utiliza nuevamente la figura C-41 y se supone que la presin de vapor delquido a la temperatura de flujo es Pv; cuando la presin del lquido cae abajo de estapresin Pv, parte del lquido empieza a cambiar de la fase lquida a la de vapor, es de-cir, el lquido se evapora instantaneamente (flashea). Con la vaporizacin instandnea sepueden producir serios danos por erosin en el oclusor de la vlvula y en el asiento, comose muestra en la figura C-42.

    Adems del dao fsico que se ocasiona a la vlvula, la vaporizacin instantnea tien-de a disminuir la capacidad de flujo en la v&ula. Conforme se empiezan a formar burbu-jas, esto tiende a causar una condicin de obstruccin en la vlvula, con lo cual selimita el flujo; adems, esta condicin de obstruccin puede agravarse al grado de ocasio-nar bloqueo del flujo a traves de la vlvula; es decir, ms all de esta condicin debloqueo, el incremento en la cada de presin en la vlvula no dar por resultado un incre-mento en el flujo. Es importante reconocer que con la ecuacin de la v&lvula, ecuacin(53), no se describe esta condicin. Conforme se incrementa la cada de presin, conla ecuacin se predicen razones de flujo ms altas; dicha relacin se muestra grficamenteen la figura C-43, junto con la condicin de bloqueo de flujo.

    En esta figura se observa que para el ingeniero es importante conocer la cada mxi-ma de presin, APti, la cual es efectiva para producir el tlujo. Los fabricantes eligie-ron indicar esta cada mxima de presin mediante una ecuacin para AI,,.,,,; con cadasde presin superiores a esta MF,.,,, se puede ocasionar un bloqueo del flujo. APPnn de-pende en mucho no ~610 del fluido, sino tambin del tipo de viilvula. Varios fabricantes

  • SENSORES, TRANSMISORES Y VALVULAS DE CONTROL 695

    Figura C-42. Dao que se produce en el oclusor de la vlvula a causa de vaporizacin instanthea.(Cortesfa de Masoneilan division, McGraw-Edison Co.)

    han realizado investigaciones tendientes a obtener datos y desarrollar una ecuaci6n parapredecir PP,; Masoneilan() propone la siguiente ecuacin:

    APperm = c$ws (C-5)

    Figura C-43. Condiciones del flujo con bloqueo.

  • 6 9 6 APNDICE C

    Y

    Ms=P, - (0.96-0.28fi)P

    0, si Pv < OSP,,

    Tipo de vlvula Dimensindel a juste

    A

    tB

    AP.7 = P, - P

    FlUjo

    CioAbiertot

    CZ&Abhtot

    .60

    .75

    .60

    .90

    K,*

    .51

    .46

    .52

    .65

    Cc, F,JDld = 1 .50 m a y o r

    .77.72

    .60

    .69

    Encualquier .65 .32 - .60direccin

    I I I

    wAbierto .60 .24 .55 .30

    --*C e n a d o .94 .71 .67

    I I I

    yO / .92 1 .66 1 .69

    Cc-6)

    (C-7)

    X,

    .54

    .47

    .54

    .6a

    .35

    .74

    .71

    vA+to .90 .65 .79 .66

    izz .90 .65 .66 .66

    cao 31 .53 .76 .55Abierto .69 .64 .65 .07t

    Czdo .eot .52t .60 54Abierto .so .65 .90 .66t I

    dlmena*n de Ia "dlvula NOta XT = o.&pc,*

    Figura C-U. Factor de flujo crtico, C, con abertura completa. (Cortesa de Masoneilan division,McGraw-Edison Co.)

  • SENSORES, TRANSMISORES Y VLVULAS DE CONTROL 697

    ITipo de v&nda Qlmrnrin

    de l a justeFlujo

    e

    d

    G, FLP)D/d = 1.50 m a y o r

    Bl

    XT

    .61

    .aa

    tt

    A &zo .66 .35 .65 .39Abierto .a5 .60 .60 .61

    B C%o .70 .39 .70 .41Abierto .m .62 .07 .65-,

    B Puerto vcurvado

    30 .31 BO 54.95 .73 .94 .76

    Nc.ta XT = c.wc p

    Figura C-44. (Continuacin.)

    donde:

    Pv = presin de vapor del liquido, en psiaCr = factor de flujo crftic~(~)PC = presin critica del lquido, en psia

    En la figura C-44 se muestra el factor de flujo critico para diferentes tipos de vlvulas,C estos valores son el resultado de pruebas de flujo sobre las vlvulas.

    Fisher controlso@ propone la siguiente ecuacin:

    donde:

    K,,, = coeficiente de recuperacin de la vlvulao@rc = razn de presin criticao@

    El coeficiente K,,, depende del tipo de vlvula y tambin es un resultado de las pruebasde flujo. En la ltima columna de las figuras C-39~ y C-39d se muestran los valores deK,,, para cada tipo particular de v&ula. El t&mino rc se determina con base en la figuraC-45.

    Si la recuperacin de presin que experimenta el liquido es suficiente como para ele-var la presin por arriba de la presin de vapor del lquido, entonces las burbujas de va-

  • 696 APNDICE C

    Esta curva se usa para agua. Se inicia en la abscisa con el valor de la presindel vapora la entrada de la vhlvula; despues se procede de manera vertical,hasta interceptar la curva; posteriormente se contina hacia la izquierda pa-ra leer la relaci6n de presin crt ica, r,, en la ordenada.

    Presin crit ica dediversos f lu idos. Psia

    Amonaco. . . . . . . . . . .Argn . . . . . . . . . . . . .Butano . . . . . . . . . . . .Di6xido de carbono . . . .Mon6xido de carbono.Cloro . . . . . . . . . . . .Epnherm A,

    Etileno :................... . . . . . . . . .

    Fluor . . . . . . . . . . . .Helio I . . . . . . . . . . . .Hidrgeno . . . . . . . . . .Cloruro de hidrbgeno . . .Isobutano . . . . . . . . . .Isobutileno . . . . . . . . . .M e t a n o . . . . . . . . . . .Nitrgeno . . . . . . . . . .6xido nitroso . . . . . . . .Oxigeno . . . . . . . . . . .Fosgeno . . . . . . . . . . .Propano . . . . . . . . . . .Propileno . . . . . . . . . . .Refrigerante ll . . . . . . .Refrigerante 12 . . . . . . .Refrigerante 22 . . . . . . .Agua- . . . . . . . . . . . . .

    16367 0 5 . 65 5 0 . 41071.65 0 7 . 5ll 16.7

    4 6 57 0 67 3 56 0 6 . 533.2166.21198529.25 6 06 7 3 . 34 9 2 . 41047.6736.5623.26 1 7 . 46 7 0 . 36 3 55 9 6 . 97 1 63 2 0 6 . 2

    Esta curva se usa para liquldos diferentes al agua. Se determina la razn presin de va-poripresin critica. dividiendo la pres14n del vapor del Ilquido en la entrada de la v&lvulaentre la presin critica del Ilquido; con este valor se inicia por la abscisa y se sube unavertical hasta intersecar la curva; despu& se tiende una horizontal hma la izquierda yse lee la razn de presin critica. rC, en la ordenada

    Figura CT-45 Razn de presin crtica segn Fisher. (Cortesa de Fisher Controls.)

    por se empiezan a colapsar 0 a implosionar, lo cual se conoce como cavitacin. Laenerga que se libera durante la cavitacin produce ruido, como si fluyera grava a travsde la valvula(14); en la figura (2-46 se muestra el dao tpico que se produce en la vlvulaal desprenderse material por efecto de la cavitacin. Ciertamente, en las vabulas de vs-tago rotatorio, cuya recuperacin de presin es alta, se tiende a experimentar cavitacinms frecuentemente que en las vlvulas de vstago recproco, las cuales poseen recupera-cin baja de presin.

  • SENSORES, TRANSMISORES Y VALVULAS DE CONTROL 699

    Figura C-46. Dao causado por la cavitacih. (Cortesfa de Masoneilan division, McGraw-EdisonCo.)

    Con las pruebas se ha demostrado que, en las vlvulas con recuperacin de presinbaja, el bloqueo de flujo y la cavitacin se presentan aproximadamente a la misma APy, en consecuencia, las ecuaciones (C-5) y (C-8) tambin se pueden utilizar para calcularla cada de presin a la cual comienza la cavitacin. En las vAbulas con alta recuperacinde presin, la cavitacin puede ocurrir a cadas de presin por abajo de APper,,,; para es-tos tipos de vlvulas, Masoneilan() propone la siguiente ecuacin:

    >,

    donde:

    ~cavitaci6n = KC(pl - h) CC-9

    Kc = coeficiente de cavitaci6n incipiente, el cual se muestra en la figura C-44Fisher controls propone la misma ecuacin y sus trminos Kc se muestran en la figurac-47.

    Los fabricantes de vabulas producen dispositivos especiales anticavitacin con losque se tiende a incrementar el @mino Kc de la vlvula y, por lo tanto, la cada de pre-sin a la cual ocurre la cavitacin.

    RESUMEN

    En este breve apndice se tuvo como propsito familiarizar al lector con algunos de losinstrumentos que se utilizan comnmente. en los circuitos de control de proceso. Entrela instrumentacin que se expone se incluye parte de los instrumentos que se necesitan

  • 700 APNDICE C

    10.6 II

    0.5 \.\0.4 .

    0.2 I

    0.1 I

    '0 20 I 40 60 80 100Porcentaje de abertura de la v8lvula

    Figura C-47. Coeficiente de Fisher para la cavitacin incipiente. (Cortesa de Fisher Controls.)

    para medir (M) las variables, del proceso (elementos primarios) tales como flujo, tem-peratura y presin. Se presentaron dos tipos de transmisores y se expusieron sus prin-cipios de funcionamiento. Finalmente, tambin se presentaron algunos tipos muy comunesde vabulas (elementos finales de control) que se utilizan para ejecutar la accin (A), juntocon sus caractersticas de flujo.

    Como se mencion en la primera frase de este resumen, ste es un apndice breve.En este libro es imposible presentar y abordar todos los detalles que se relacionan conlos diferentes tipos de instrumentos, pero existen manuales completos y colecciones muyexhaustivas de articulos disponibles para este fin. Se remite al lector a la bibliografa queaparece al final de este apndice. Adems de los numerosos tipos diferentes de instru-mentos de que se dispone en la actualidad, cada mes se introducen al mercado nuevosy mejorados tipos de elementos primarios, transmisores y elementos finales de con-trol. En el rea de elementos primarios se desarrollan constantemente nuevos sensorescon los que se puede medir variables difciles con mas exactitud, ms frecuente y msrpidamente, por ejemplo, la concentracin. En el rea de transmisores, la ultima palabrason los transmisores inteligentes .

    Con estos transmisores de hoy en da, en los que se utilizan microprocesadores, sepuede entregar la informacin a los controladores en una forma ms comprensible. Lade los elementos finales de control es otra area de investigacin en la que existe muchaactividad; no solamente se mejoran continuamente las vabulas neUmaticas de control, si-no que abora se desarrollan y mejoran los actuadores el&ricos para lograr la intercone-xin con otros componentes electrnicos, como son los controladores y las computadorasAdems, estn en desarrollo otros elementos finales de control, tales como los manejado-res para bombas y ventiladores de velocidad variable, cuya razn de desarollo es la con-servacin de energa. A causa de la falta de espacio no se presenta en este libro la factibilidady la justificacin para uitlizar estos ventiiadores y bombas de velocidad variable en la re-gulacin del flujo, sin embargo, el lector puede consultar las referencias bibliogrficas21, 22, 23 y 24 para estudiar este tema.

    Ciertamente, en los ltimos p&rrafos, el lector se dara cuenta que se llevan 8 caboinvestigaciones, principalmente por partede los fabricantes, en el ka de inSrumema-

  • SENSORES. TRANSMISORES Y VLVULAS DE CONTROL 701

    cin, cuyos resultados permitirn una mejor medicin y un mejor control. Esta es unarazn por la cual el control es un campo tan dinmico.

    BIBLIOGRAFA

    1. Ryan, J. B., Pressure Control, Chemical Engineering, Febrero 3, 1975.2. Liptak, Beta G., d., Znstnunent Engineers Handbook, Vol. 1, Process Measu-

    rement, Chilton Book Co., Nueva York.3. Considine, D. M., Ed., Process Znstruments and Controls Handbook, McGraw-

    Hill Book Co., Nueva York, 1957.4. Considine, D. M., Ed., Handbook of Znstrumentation and Controls, McGraw-

    Hill Book Co., Nueva York, 1961.5. Smith, c. L., Liquid Measurement Technology, Chemical Engineering, Abril

    3, 1978.6. Zientara, Detis E., Measuring Process Variables, Chemical Engineeting,

    Septiembre ll, 1972.7. Kern, R., How to Size Flowmeters, Chemical Engineering, Marzo 3, 1975.8. Handbook Flowmeter Oritice Sizing, Handbook No. lOB9000, Fischer Por-

    ter Co., Warminster, Pa.9. Spink, L. K., Principies and Practice of Flow Meter Engineering, The Fox-

    boro Co., Foxboro, Mass.10. Kern, R., Measuring Flow in Pipes with Orifices and Nozzles, Chemical En-

    gineering, Febrero 3, 1975.ll. Wallace, L. M., Sighting in on Leve1 Instruments, Chemical Engineering,

    Febrero 16, 1976.12. Process Control Instrumentation, Publicaciones de la Foxboro Co.

    105A-15M-4/71, Foxboro, Mass.13. Taylor Instrument Co., Differential Pressure Transmitter Manual, IB-12B215. 14. Control Valve Handbook, Fisher Controls Co., Marshaltown, Iowa.15. Masoneilan Handbook for Control Valve Sizing, Masoneilan Intemational,

    Inc., Norwood, Mass.16. Fisher Catalog 10, Fisher Controls Co., Marshalltown, Iowa.17. Casey, J. A., and D. Hammitt, How to Select Liquid Flow Control Valves,

    Chemical Engineering, Abril 3, 1978.18. Chalfin, S., Specifying Control Valves, Chemical Engineering, Octubre 14,

    1974.19. Kem, R., Control Valves in Process Plants, Chemical Engineering, Abril 14,

    1975.20. Hutchison, J. W., Ed., ISA Handbook of Control Valves, Instrument Society

    of America.21. Fischer, K. A., y D. J. Leigh, Using Pumps for Flow Control Instruments

    and Control Systems, Marzo, 1983.22. Jarc, D. A., y J. D. Robechek, Control Pump with Adjustable Speed Motors

    Save Energy, Instruments and Control Systems, Mayo 1981.

  • 702 APNDICE C

    23. Pritchett, D. H., Energy-Efficient Pump Drive, Chemicul Engineering Pro-gress, Octubre 1981.

    24. Baumann, H. D., Control Valve VS. VariableSpeed Pump, Chemicd Engi-neering, Jumo 24, 1981.

    25. Utterback, V. C., Online Process Analyzers, Chemical Engineering, Junio21, 1976,

    26. Foster, R. Guidelines for Selecting Outline Process Analyzers, Chemicul En-gineering, Marzo 17, 1975.

    27. Ottmers, D. M., et al., Instruments for Environmental Monitoring, ChemicdEngineering, Octubre 15, 1979

    28. Creason, S. C., Selection and Care of pH Electrodes, Chemicul Engineering,Octubre 23, 1978.

  • APNDICE

    DPrograma de

    computadora paraencontrar races de

    polinomios.

    El programa que se lista en la figura D-l se puede utilizar directamente para encontrartodas las races, reales y complejas, de un polinomio. En dicho programa se utiliza lasubrutina MULLER, con la cual se calculan las races mediante el mtodo de Mller,con base en la interpolacin cuadrtica de Lagrange; para una descripcin completa delmtodo de Mller el lector debe consultar la bibliografa original de Mller( o el textode Conte y de Boor@).

    Mientras que el programa principal y la subrutina POLY son especficos para encon-trar races de polinomios, la subrutina MULLER es general; con ella se pueden encontrarlas races reales y complejas de cualquier funcin no lineal, y no necesariamente de unpolinomio; en sta se utiliza la subrutina DEFLAT para reducir numricamente el polino-mio o funcin, como en la ecuacin (2-5 l), lo cual es una operacin que se conoce comodejkcin y con ella se asegura que no se obtendr la misma raz ms de una vez, conexcepcin del caso de races repetidas.

    En el programa principal se introduce el grado del polinomio y sus coeficientes, enpotencias ascendentes de X, y de ah se pasan a la subrutina POLY, mediante una declara-cin COMMON; tambin se introducen el nmero mximo de reiteraciones por raz, latolerancia relativa de error y las aproximaciones iniciales a las races, y se pasan a la su-brutina MULLER mediante sus argumentos. Mller recomienda fijar las aproximacio-nes iniciales a las races en cero, de manera que las races se encuentren en orden crecientede magnitud; aunque esto da por resultado una aproximacin ms precisa de las races,no siempre se encuentran stas en orden creciente.

    En este programa se define la tolerancia relativa de error como la diferencia mximaque se permite entre dos aproximaciones sucesivas de una raz, dividida entre la magnitudde la misma; por ejemplo, con un valor de 10T6 se asegura que las dos aproximacionessucesivas concuerdan en 6 dgitos significativos, independientemente de la magnitud dela raz.

    703

  • CCCCCCCCCCCCCCCcCC

    CCC10100

    C

    110

    IZO

    C

    C130

    MAfN PROGRAM TO FIND THE ROOTS OF A POLYNOMIAL BY MULLER'SMETHOD

    VARIABLES IN INPUT DATA

    VARIABLE TYPE DIMENSION DESCRIPTION

    NDEG 1 DEGREE OF THE POLYNOMIALMAXIT 1 MAXIMUM NUMBER OF ITERATIONSRTOL R RELATIVE ERROR TOLERANCE ON ROOTSA R NDEG+l POLYNOMIAL COEFFICIENTS ORDERED

    IN ASCENDING POWERS OF Xxs C NDEG INITIAL APPROXIMATIONS TO THE ROOTS

    SUBPROGRAMS CALLED

    MULLER - TO COMPUTE ROQTS OF POLYNOMIAL BY MULLER'S METHOD

    COMPLEX XS(20)COMMON NDEG, A(21)EXTERNAL POLY

    READ AND PRINT INPUT DATA

    WRITE ( 6. 100 )FORMATC' ENTER NDEG. MAXIT, RTOL' 1READ( 5, *I ) NDEG, MAXIT, RTOLIF( NDEG .EQ. 0 ) STOPNC = NDEG + 1

    WRITE( 6. 110 )FORMATC' ENTER POLYNOMIAL COEFFS.. ASCENDING POWERS OF X' 1READ ( 5, * 1 (A(I),I=l,NC)WRITE( 6. 120 )FORMATC' ENTER INITIAL APPROXIMATIONS TO THE ROOTS' )READ ( 5, * ) (XS(I).I=l.NDEG)

    WRITE ( 6. 130 ) NDEG. RTOL. (A(I).I=l.NC)WRITE ( 4; 130 ) NDEG; RTOL; (A(I);I=l.NC)WRITE ( 6, 140 ) (XS(I).I=l,NDEG)WRITE ( 4. 140 ) (XS(I),I=l.NDEG)

    FORMAT('l', lOX,'MULLERS METHOD TO FIND THE ROOTS OF A POLY',1 'NOMIAL OF DEGREE',I3.2 //llX,'RELATIVE ERROR TOLERANCE',lPG10.2,5X3 //llX,'THE COEFFICIENTS OF THE POLYNOMIAL ARE (CONSTANT ',4 'TERM FIRST)'//(l3X,5G13.6))

    140 FORMAT(//IlX,'THE INITIAL APPROXIMATIONS TO THE ROOTS ARE'1 //18X,'REAL'.8X,'IMAGINARY'/(/12X,lP2G15.6))

    CC EVALUATE ROOTS OF POLYNOMIAL BY MULLER'S METHODC

    CALL MULLER( NDEG, XS. MAXIT. RTOL, POLY 1CC PRINT RESULTSC

    WRITE ( 6, 150 ) (XS(I),I=l.NDEG)WRITE ( 4, 150 ) (XS(I).I=l,NDEG)

    150 FORMAT(//llX,'THE FINAL APPROXIMATIONS TO THE ROOTS ARE'1 //18X,'REAL'.8X, 'IMAGINARY'/(/l2X,IP2Gl5.6))GOTO 10ENn

    ciC1-------------------------------------------~--------------------------

    Figura D-l. Programa para calcular todas las races, reales y complejas, de un polinomio.

    7 0 4

  • C*

    CCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

    C

    10

    C

    C*

    SUBROUTINE POLY( X, P 1

    PURPOSE - TO EVALUATE A POLYNOMIAL OF NTH DEGREEFOR SUBROUTINE MULLER

    METHOD - NESTED MULTIPLICATION (SYNTHETIC DIVISION)

    VARIABLES IN COMMON

    NDEG DECREE OF THE POLYNOMIALA(NDEG+l) COEFFICIENTS OF THE POLYNOMIAL ORDERED IN

    ASCENDING POWERS 0F.X

    VARIABLES IN ARGUMENT LIST

    VARIABLE TYPE I/O DESCRIPTION

    X C 1 COMPLEX VALUE AT WHICH THEPOLYNOMIAL IS TO BE EVALUATED

    P C 0 COMPLEX VALUE OF THE POLYNOMIAL

    COMPLEX X, P, BCOMMON NDEG, A(21)

    NC = NDEG + 1B = A(NC)DO 10 I=l.NDEGK=NC-1.B = B * X + A(K)

    P = B

    RETURNEND

    c*----------------------------------------------------------------------CM

    SUBROUTINE MULLER( N, XS, MAXIT, RTOL, FUNCTN 1CC PURPOSE - TO COMPUTE APPROXIMATIONS OF THE ROOTS OFC NONLINEAR EQUATIONSCC REF: CONTE AND DE BOOR. "ELEMENTARY NUMERICAL ANALYSIS",C 3RD ED., MCGRAW-HILL. NEW YORK, 1980, PP. 120-127.CC METHOD: MULLER'S METHOD OF QUADRATIC INTERPOLATIONPcCCCC

    VARIABLES IN ARGUMENT LIST

    VARIABLE TYPE I/O DIMENSION

    N 1 1xs c i/O N

    MAXIT 1 1RTOL R 1

    FUNCTN E 1

    SUBPROGRAMS CALLED

    DESCRIPTION

    NUMBER OF ROOTS TO BE COMPUTEDARRAY CONTG. THE INITL. APPRS.

    AND RETG. THE FINAL VALUESMAXIMUM NUMBER OF ITERATIONSRELATIVE ERROR TOLERANCE ON

    THE ROOTSNAME OF SUBROUTINE USED TO

    EVALUATE THE FUNCTION

    FUNCTN - TO EVALUATE THE NONLINEAR FUNCTIONDEFLAT - TO DEFLATE THE FUNCTION

    Figura D-l. (Conthuacin)

    705

  • CCOMPLEX XS(W, H, X. FX, F, DFP. FP. LAMBDA, DF, DFPL,

    C DELTA, TOP, G. RAD. BOT

    : GUARD AGAINST ZERO OR NECATIVE ERROR TOLERANCEC

    ETOL = AMAXl( RTOL. l.E-6 1C

    :DO

    CCC10

    CCC

    II

    C

    706

    START OF LOOP TO EVALUATE N ROOTS

    100 I=l.NNEVAL = 0

    EVALUATE AND DEFLATE FUNCTION AT FIRST APPROXIMATION

    H = 0 . 5X = XS(I) + HNEVAL = NEVAL + 1CALL FUNCTN( X. FX 1CALL DEFLAT( 1. X, FX, F, XS, IFLG )IF( IFLG .NE. 0 1 GOTO 10

    EVALUATE AND DEFLATE FUNCTION AT SECOND APPROXIMATION

    DFP = FX = XS(I! - HNEVAL = NEVAL + 1CALL FUNCTN( X, FX 1CALL DEFLAT( 1, X. FX. F, XS, IFLC ) .IF( IFLG .NE. 0 1 COTO 10

    INITIALIZATION OF ITERATIVE CALCULATION

    FP =FDFP = FP - DFPX = XS(I)LAMBDA = - 0.5NEV = NEVAL + 1

    ITERATIVE CALCULATION OF THE BOOT

    DO 30 NEVAL=NEV,MAXIT

    CALL FUNCTN( X, FX 1CALL DEFLAT( 1. X. FX, F, XS, IFLG )IF( IFLG .NE. 0 1 GOTO 10

    COMPUTE NEXT ESTIMATE OF ROOT

    DF = F - FPDFPL = DFP * LAMBDADELTA = 1. + LAMBDATOP =-2. *F*DELTA

    R AD= ( DELTA + LAMBDA 1 * DF - LAMBDA * DFPL

    n TOP m LAMBDA N ( DF - DFPL) 1BOT

    ; ;S+R;r;DC"*2 + 2.

    IF( REAL(G) n REALCRAD) + AIMAG(G) m AIMAG(RAD) .LT. 0.)BOT = G - RAD

    LAMBDA = TOPIF( CABS(BOT) .NE. 0. ) LAMBDA = TOP / BOT

    FP = FDFP = DF

    Figura D-l. (Cminuaci6n)

  • H = H *I LAMBDAX = X + H

    CC CHECK FOR CONVERGENCEC

    IF( CABS(H) .LT. ( ETOL * CABS(X) ) 1 GOTO 100C30 CONTINUE

    CC REACHED MAXIMUM NUMBER OF ITERATIONS

    WRITE( 6, 110 ) NEVAL. 1. X, FWRITE( 4, 110 ) NEVAL. 1, X, F

    110 FORMAT(//llX,'FAILED TO CONVERGE AFTER',I3,lX;EVALUATIONS',II' FOR ROOT',I3//11X,'ROOT',lPZGl5.6.5X.'F~ROOT~',ZGl5.6~

    C100 XS(I) = x

    CRETURN

    CEND

    C*C*----------------------------------------------------------------------CM

    SUBROUTINE DEFLAT( 1, X, FX. FDEF, XS, IFLG )P

    k PURPOSE - TO DEFLATE THE FUNCTION F SO THAT THE SAMEC _ ROOT IS NOT ENCOUNTERED MORE THAN ONCECC

    CC

    C

    CCC

    VARIABLES IN ARGUMENT LIST

    VARIABLE TYPE I/O DIMENSION

    1 1 1X C 1FX C 1FDEF C 0xs C 1 1IFLG 1 0

    COMPLEX X, FX, FDEF, XS(l), BOT

    IFLG = 0FDEF = FXIF( 1 .LT. 2 ) RETURN

    DEFLATION OF F(X)

    DO 10 K=2.1BOT = X - XS(K-1)IF( CABS(BOT) .LT. lE-20 ) GOTO 20

    10 FDEF = FDEF / BOTRETURN

    DESCRIPTION

    NUMBER OF ROOT SOUGHTCURRENT APPROXIMATIONFUNCTION VALUE AT XDEFLATED VALUE AT XPREVIOUS ROOTS FOUNDFLAG SET TO ONE IF CURRENTROOT MATCHES PREVIOUS ROOT

    CURRENT APPROXIMATION MATCHES A ROOT. MODIFY AND SET IFLAG.C20 XS(I) = x + 0.001

    IFLG = 1RETURN

    CEND

    Figura D-l. (Continwcibn)

    707

  • 708

    Datos de entrada

    APNDICE D

    Primera lnea

    NDEG, MAXIT, RTOL

    donde:

    NDEG es el grado del polinomioMAXIT es el nmero mximo de iteraciones que se permite por raz.RTOL es la tolerancia relativa de error

    Segunda lnea

    A(Z), Z = 1, NDEG + 1

    donde:

    A(I) son los coeficientes del polinomio, en orden ascendente de potencias de x, esto es:

    p(x) = A(l) + A(2)x + A(3)x2 + . . . + A(NDEG + l)xNDEG

    Tercera lnea

    XS(Z), Z = 1, NDEG

    donde:

    XS(l) son las aproximaciones iniciales a las races

    Despus de que se resuelve cada problema, el programa se regresa al inicio para leer losdatos de otro caso. Para detener la ejecucin se introduce un valor cero en NDEG.

    formato. El formato de los datos de entrada es libre, es decir, las cantidades para cadalnea se introducen y separan por espacios o comas. El programa se escribe con sealesde entrada (prompts) para que se pueda usar en forma interactiva desde una terminal detiempo compartido.

    Resultados. Los resultados consisten en una repeticin de los datos de entrada y lasaproximaciones finales a las races, las cuales aparecen en dos columnas, una para laspartes reales y otra para las imaginarias.

    Precaucin. Generalmente se imprime una pequea parte imaginaria en races reales,debido a inexactitudes numricas; si en varios drdenes de magnitud la parte imaginaria

  • PROGRAMA DE COMPUTADORA PARA RAiCES DE POLINOMIOS 7 0 9

    es menor que la parte real, se debe descartar. De manera similar, la parte real se debedescartar si es menor en varios rdenes de magnitud que la parte imaginaria.

    funciones de la unidad de salida. A causa de la estructura de tiempo compartido,con el programa se escribe cada linea dos veces, una en la unidad 6, la cual se suponeque es la terminal, y otra en la unidad 4 para impresin en papel. Para la utilizacin enlote (batch), se debe eliminar una de las dos instrucciones WRITE.

    Ejemplo Los datos de entrada para encontrar las races de la siguiente ecuacin poli-nmica:

    s5 + 4s4 + 16s3 + 25s2 + 48s + 36 = 0

    MULLERS METHOD TO FIND THE ROOTS OF A POLYNOMIAL OF DECREE 5

    RELATIVE ERROR TOLERANCE l .OE-05

    THE COEFFICIENTS OF T-HE POLYNOMIAL ARE (CONSTANT TERM FIRST)

    3 6 . 0 0 0 0 4 8 . 0 0 0 0 2 5 . 0 0 0 0 1 6 . 0 0 0 0 4 . 0 0 0 01 . 0 0 0 0 0

    THE INITIAL APPROXIMATIONS TO THE ROOTS ARE

    REAL IMAGINARY

    .O .O

    .O .O

    .O .O

    .O .O

    .O .O

    THE FINAL APPROXIMATIONS TO THE ROOTS ARE

    REAL IMAGINARY

    - 1 . 0 0 0 0 0 7.99139E-13

    8.22254E-07 - 2 . 0 0 0 0 0

    3.95433E-07 2 . 0 0 0 0 0

    - 1 . 5 0 0 0 0 - 2 . 5 9 8 0 8

    - 1 . 5 0 0 0 0 2 . 5 9 8 0 8

    Pigura D-2. Ejemplo de los resultados del programa de Mller.

  • 710 APNDICE D

    con 50 reiteraciones por raz, tolerancia de error relativa de 10m5 y cero aproximacio-nes iniciales son

    Primera lnea: 5, 50, IE-Segunda lnea: 36, 48, 25, 1 6 , 4 , 1Tercera lnea: (O,O), (O,O), (O,O), (O,O), (O,O>

    Se sabe que las races son

    3x4 3 3x4- 1, i2, -i2, -i + i 2, -2 -i 2,

    En la figura D-2 aparece la salida del programa para este ejemplo.

    BIBLIOGRAFA

    1. Mller, D. E., A Method for Solving Algebraic Equatiops Using an AutomaticComputer, Mathematical Tables and Other Aidr to Computation, Vol. 10, 1956,pp. 208-215.

    2. Conte, S. D. y C. de Boor, Elementary Numerical Analysis, 3a ed., McGraw-Hill, Nueva York, 1980, pp. 120-127.

  • Accin, IYAccionadores, 680Accin precalculada, control por, 447Acumulacin, 538Acumulador del condensador, modelo del,

    551-554Ajuste:

    computadoras de control, 294-295de controladores por muestreo de datos, 294de controladores por retroalimentacin, 265para cambios del punto de control, 290para error mfnimo de integracin, 289-290para la razn de asentamiento de un cuarto,

    267para perturbaciones, 298para un sobrepaso del 5 % , 307por sntesis, 306Ziegler-Nichols, 266, 283

    Ajuste del error de integracin mnimo, 289-290Ajuste en linea, 266-270Aproximacin Pad, 263-304Argumento de un nmero complejo, 77Asentamiento, tiempo de, 164Avance de primer orden, 166, 167AvanceIretardo, unidad de, 167, 453, 457 459

    programa, 598simulacin, 593

    Balances independientes, 539Bloques de cmputo, 420

    hdice

    Bourdon, Eugenio, 647Bourdon, tubo de, 648

    Caldera, control de una, 435, 464Camara de vapor, modelo, 547Cero:

    de la funcin de transferencia, 341del transmisor, 177

    Circuito abierto, control de, 19Circuito de control, programa para un, 598Circuito de control, simulacin de un, 5%Circuito por retroalimentacin unitaria, 187,

    238Computadora, programa de, ver ProgramaCondensador, modelo de, 549-551Condiciones iniciales:

    en estado estacionario, 554, 567para la operacin de la columna, 554para un horno, 560

    Condiciones limite, 560Conjugado de un nmero complejo, 78Conmutadores de limite, 688

    Conmutador por lotes, 316Conservacin, ecuaciones de, 338Constante de tiempo, 96

    caracterfstica, 161efectiva, 151estimacin, 274-277

    Constante de tiempo dominante, 259Control, 20

    711

  • 712 [NDICE

    Control (conhdacin)de una caldera, 435. 464en cascada, ll 1, 439multivariable, 479por accin precalculada hacia adelante, 23,

    447

    Dahlin, ajuste, 306Dahlin, parmetro de ajuste, 298Dahlin, respuesta, 298Decisin, 19Deflacin, 703

    por limitacin cruzada, 437por retroalimentacin, 20por sobreposicin, 472razn de, 354regulador, 20selectivo, 472servo control, 20

    Control automtico de proceso, 18objetivo, 320razones, 25

    Control de circuito cerrado, 20Control de un evaporador, 616Control distribuido, 294Control en cascada, 439Control multivariable, 479

    desacoplamiento, 505ndice de interaccin, 500interaccin y estabilidad, 503matriz de ganancia relativa, 492pares, agrupacin por, 490teorema de Niederlinski, 494

    Control por computadora, ajuste, 293-295Control selectivo, 472-477Controlador, 18, 19, 198

    accin, 201ajuste, 20, 265, 297, 299, 311auto/manual, 200con banda proporcional, 207desviacin del, 204digital, 2 15ganancia, 204locakemoto, 200por retroalimentacin, 198proporcional, 204proporcional-derivativo (PD), 214proporcional-integral (PI), 209proporcional-integral derivativo (PID), 211rapidez de derivacin, 2 llrapidez de reajuste. 210reajuste-excesivo, 216, 311-316tiempo de derivacin, 211tiempo de reajuste, 209sntesis, 297

    Controlador esclavo, 286Controlador irrealizable, 301Controlador por muestreo de datos, 294Criterios de error de integracin, 285

    Delta Dirac, funcin, 30Densidad de un gas ideal, 74Desacoplador, 703Destilacin, modelo de, 540-556Desviacin, 204

    clculo de, 238-243Desviacin, variables de, 65Detector de burbujeo, 662Diagrama de Bode, 370

    de prueba de pulso. 410Diagramas de bloques, 105

    reglas, 107

    Diagramas polares, 393Diferenciacin compleja, teorema de la, 34

    Diferencial de presin, medidor de, 659Diferencial de presin, transmisor de, 671

    electrnico, 674neumtico, 671

    Diferencias finitas, 561Discretizacin, 561Disturbio, 20Divisin sinttica, 61Dominio, 43Dominio del tiempo, 43Dominio S, 43

    Duracin de las corridas de simulacin, 569

    Ecuacin caracterfstica, 59, 230Ecuacin d Antoine, 69Ecuacin de Arrhenius, 70Ecuacin diferencial, forma general, 563Ecuaciones de balance, 539

    Ecuaciones diferenciales parciales, 558solucin 56 1-562

    Ecuaciones diferenciales, solucin de, 41Ecuacin lineal, 65Eficiencia de Murphree, 543Eigenvalor, 59, 343

    dominante, 596, 602estimacin, 604

    Eigenvalor dominante, 569, 602Elemento final de control, 18-19Entrada, variable de, 41

    a una columna de destilacin, 555a un horno, 560

    Equilibrio, relaciones de, 543

  • NDICE 713

    Error de redondeo, 572Error de truncamiento, 571Escala, 177Escaln unitario, 28Especificacin de respuesta de circuito cerrado,

    298Estabilidad, 59

    criterio, 252de circuito de control por retroalimentacin,

    2 5 1de integracin numrica, 611

    Estabilidad marginal, 259Estado, variables de, 554Euler, integracin de, 568

    estabilidad, 811Evaporador de efecto mltiple, 618Evaporador de efecto triple, 618Expansin de series de Taylor, 67, 71,

    1 1 8

    Factor cuadrtico, 50Factorizacin de polinomios, 44Fase, margen de, 391Fase mnima, sistemas de, 381Fase no mnima, sistemas de, 381Flujo, medidor magntico de, 658 :,Frmula de Francis para vertedores, 544FORTRAN, programa, ver ProgramaFourier, transformada de, 405

    de un pulso rectangular, 406-407evaluacin numrica, 407-410

    Fracciones parciales, expansin de, 9-58Frecuencia, 164

    cclica, 164en radianes, 165natural, 164

    Frecuencia ltima, 260Funcin de deflacin, 703Funcin de forzamiento, 41, 93Funcin de transferencia, 43, 94, 104

    cero de, 342de circuito abierto, 345de circuito cerrado, 110, 229de primer orden, 95de segundo orden, 143de tercer orden, 145polo de, 342propiedades, 105

    Funcin de transferencia de circuito cerrado,229

    Funcin escaln, 28Funcin seno. 31

    Ganancia, 99estimacin, 274

    Ganancia de circuito, 257Ganancia de estado estacionario, 86Ganancia ltima, 252, 266Gear, C. W., 613Grficas de flujo de seal, 479

    Horno, modelo de un, 556-561Hougen, Joel O., 402, 410

    IAE, 286ajuste, 289-290, 305

    ICE, 286ajuste, 289-290

    Ideal, densidad de un gas, 74Impulso, 30Impulso unitario, 30Instrumentacin, nomenclatura, 627Instrumentach, smbolos de la, 627Instrumentacin, smbolos para, 672Integracin de Euler modificada, 576

    implicita, 612subrutina, 578

    Integracin explfcita, 609Integracin implicita, 6f2Integracin numrica, 568-584

    implcita, 612programa principal, 580

    Integracin real, teorema de la, 33Intervalo de integrhh, 569

    seleccin de, 571Inversin de la transformada de Laplace, 44ITAE, 286

    ajuste , 289-290ITCE, 287

    Iteracin, 60

    Laplace, dominio de, 42Laplace, transformada de, 27

    de las derivadas, 31de las integrales, 33inversin, 44-58linealidad, 31mtodo de solucin, 41-59, 64-65propiedades, 31-36Tabla, 32utilidad, 43

    Linealizacin, 65, 118

  • 7 1 4

    Linealizacin (conrinuacin)de funciones con una sola variable, 67de funciones multivariable, 71por expansi6n de series de Taylor, 118valor base, 66

    Mpez, A. M., 288Lugar de raz, 343-361

    criterio de dngulo, 350criterio de ma&tud, 350reglas para graticar el, 349

    Luyben, W.L., 410

    Magnitud, de un nmero complejo, 77Mapeo de conformacin, 395Margen de ganancia, 391Martin, Jacob, 232, 310Medicin, 19Medidor de orificio, 654MBodo 1 de la respuesta escaln, 274M6todo 2 de la respuesta escaln, 276Mtodo 3 de la respuesta escaln, 276Microprocesador, control por, 307Modelo, 25, 540Modelo:

    de cmara de vapor, 547de columna de destilacin, 540-555de condensador, 549-551de controlador de nivel, 547, 552de horno, 556-560de parmetro localizado, 539de presin en la columna, 549-551de primer orden, 272de radiacin de calor, 559de reactor, 563-568desarrollo, 539de segundo orden, 271de tambor acumulador, 551-554distribuido, 539, 555para una bandeja de destilacin, 540-545

    Modelo matemtico, 539Modificada de Euler implfcita, 612Modo derivativo, 211

    programa, 598seleccin, 304-306simulacin, 596

    Modo proporcional, funcin de, 307Modos de controlador, selecci6n de, 299-306Moore. C. F., 295Mller, mktodo de, 59, 703

    subrutina, 705Multiplicaciones anidadas, 61

    Multiplicadores, 688Murrill, P. W., 285

    Newton-Barstow, mtodo de, 59Newton, mtodo de, 61Nichols, diagramas de, 401Nisenfeld, E., 500Nivel, modelo de control de, 547, 552No linealidad, 120Notacin polar, 77Nmero imaginario, 76Nmeros complejos, 76

    argumento, 77conjugado, 79magnitud, 77notacin polar, 77operaciones, 78

    Nyquist, criterio de estabilidad de, 397

    Oscilacin, perodo de, 164

    Parametro distribuido, modelo de, 539-555Parmetro localizado, modelo de, 538Perfodo de oscilacin, 164Periodo ltimo, 260, 266Perturbacin, 20

    ajuste, 289de entrada, 287respuesta, 287

    Perturbacin, variables de, 66pH, control d&l, 615PID, controlador, 212

    ajuste, 268, 283, 289-290, 307programa, 598simulacin, 594

    Plano complejo, 77Plano izquierdo, 253Polinomio reducido, 60Polinomios:

    factorizacin, 45races, 45

    Polinomios, races de, 45, 703programa, 404

    Polo, 342POMTM, 131

    mtodos de la respuesta escaln, 274-277modelo, 272proceso, 30 1respuesta, 276

    Posicin del controlador, 154

  • /NDICE 715

    Posicionadores, 682Posicin manual del controlador, 229Presin en la columna, 549, 551Presin en una columna de destilacin, 550-551Primer orden, avance de, 166, 167Primer orden ms tiempo muerto, ver

    POMTMPrimer orden, retardo de, 95

    proceso de, 95programa, 598simulacin, 588

    Principio de sobreposicin, 106Proceso:

    acoplado, 125caracterizacin, 266, 270curva de reaccin, 273de orden superior, 139de primer orden, 95estable, 105ganancia, 99, 274interactivo, 125,147no interactivo, 139 ino lineal, 120personalidad, 23

    Proceso autorregulado, 152Proceso, control del, 17

    objetivo, 20razones, 25

    Programa:para circuito de control, 598para el drenaje de tanque, 603para el mtodo de Mller, 705para integraci6n general, 580para modificada de Euler, 578para races de polinomios, 704para Runge-Kutta-Simpson, 585para un reactor, 574

    Programacin modular, 579Propiedades fsicas, 544Prueba de escaln, 272-274

    POMTM, m&odos, 273-277racional, 282

    Prueba del proceso:con escaln, 272por pulso, 402410

    Prueba de pulso, 402-411amplitud, 403de proceso de integracin, 410-411duracin, 403

    Prueba senoidal, .361Pulso rectangular, 403Punto de control, 20

    ajuste, 290

    Pulso de control (continuacin)entrada, 287

    Puntos de entrada 579

    Radiaci6n, modelo de, 559Radianes, 50Rafces complejas conjugadas, 48Races de polinomios, 45

    clculo de, 703compleja conjugada, 48determinacin, 59reales no repetidas, 46repetidas, 51

    Races repetidas, 51Rango, 177Razn. control de, 430-439Razn de amortiguamiento, 161Razn de asentamiento de un cuarto, 163Razn de asentamiento de un cuarto, ajuste a, 268,

    283Recuperacin excesiva, 2 16

    eliminacin, 3 llRegla trapezoidal, 576Regulador, 287Regulador, control, 20Rehervidor, modelo, 545-549Relis de cmputo, 420Respuesta, 126-160

    crfticamente amortiguada, 162inversa, 471sobreamortiguada, 162subamortiguada, 161

    Respuesta en frecuencia, 361ngulo de fase, 364criterio de estabilidad de Bode, 381criterio de estabilidad de Nyquist, 397diagrama de Bode, 381diagramas de NiLhols, 401diagramas polares, 393margen de fase, 391margen de ganancia, 391razn de amplitud, 364razn de magnitud, 364

    Respuesta escaln, en dos puntos, 277Respuesta inversa, 471Retardo:

    de primer orden, 95de segundo orden, 143de tercer orden, 145

    Retardo de segundo orden, 143simulaci6n, 589

    Retardo de transporte, ver Tiempo muerto

  • 716 /NDICE

    Retroalimentacin, control por, 21, 226programa, 598simulacin, 596sntesis, 297

    Retroalimentacin de recuperacin, 315, 567programa, 598simulacin, 595

    Rigidez, 601fuente, 601reduccin, 603

    Routh, prueba de, 253Rovira, A. A., 290-294Runge Kutta-Simpson, integracin, 583

    subrutina, 585

    Salida, funcin de, 41Saturacin, 3 12Schultz, G., 500Segundo orden ms tiempo muerto, ver

    SOMTM, modeloSensor, 18, 19, 647

    cero, 178de composicin, 66de flujo, 651de nivel, 659de presin, 647de temperatura, 663escala, 177ganancia, 178rango, 177

    Sensor de flotacin, 662Seales, 21

    digital, 21elctrica, 21neumtica, 2 1

    Servocontrol, 20

    Servorregulador, 287Shinskey, F. G., 503Simulacin, 26, 564-584

    de drenado de tanque, 604-609del circuito de control, 596del tiempo muerto, 591de retardo de primer orden, 587

    de unidad de derivacin, 596dinmica, 537

    Simulacin, corridas de,duracin, 569tipos de, 554

    Simulacin, lenguajes de, 586-588Simulacin por computadora, 563-584Sntesis, ajuste por, 306

    Sntesis de los controladores, 632Sistema de control, 18Sistema de segundo orden, respuesta de un, 162

    criticamente amortiguada, 162sobreamortiguada, 162subamortiguada, 162

    Sis temas:de fase mnima, 381de fase no mnima, 381de orden superior, 139de primer orden, 95interactivos, 125, 147no interactivos, 139

    Sistemas interactivos, 125, 147Sistemas no interactivos, 139Smith, Cecil L., 277, 285Sobrepaso, 164Sobreposicin, control por, 472SOMTM, modelo, 272Subrutina:

    para circuito de control, 598para drenado de tanque, 608para el mtodo de Mller, 705para Runge-Kutta-Simpson, 585para un tanque de reaccin, 581

    Subrutinas de integracin numrica, 584-587Subrutinas de propsito general, 584Subrutinas para integracin numrica, 586Substitucin directa, 259Superposicin, principio de, 106Suposicin de estado cuasiestacionario, 603

    Tanque de reaccin, modelo de un, 564-568Tanque de reaccin, programa para un, 574-581Tanque, simulacin de drenaje de un, 604609Teorema de la diferenciacin, real, 32Termistor, 668Termmetros:

    de dispositivos resistivos (DRT), 668de lquido encapsulado, 664de sistemas llenos, 666de tira bimetalica, 664

    Termopar, 669Tiempo de elevacin, 164Tiempo de mquina, 571Tiempo de muestreo, 295Tiempo de respuesta, despliegue del, 572Tiempo de retardo, ver Tiempo muertoTiempo final, 569Tiempo inicial, 569Tiempo muerto, 34, 5 4 , 1 1 4

    efecto sobre la estabilidad, 263

  • NDICE 717

    Tiempo muerto (conrinuacin)estimacin, 214271simulacin, 591

    Tiempo muerto, programa para, 598Tolerancia, 703Tolerancia de error, 703Tolerancia relativa de error, 703Transductor, 2 1Transmisor, 18, 19, 671

    cero, 178electrnico, 674escala, 177ganancia, 178n e u m t i c o , 6 7 1rango, 177

    Traslacin de complejos, teorema de la, 36Traslacin real, teorema de la, 35Turbina, medidor de, 659

    Unidades de tiempo, 569 _

    Valor inicial, teorema del, 36Valor final, teorema del, 36

    Vlvulas, 180-198, 674-700accin de, 180actuadores, 680ajuste de rango, 186cada de presin, 186caractersticas del flujo, 190

    Vlvulas (continuacin)cavitacin, 698conmutadores de lmite, 688correlacin de viscosidad, 688dimensionamiento, 181flujo crtico, 183ganancia de las, 196multiplicadores, 688posicionador, 684tipos, 674vaporizacin instantnea, 692

    Variable:controlada, 19de desviacin, 65-67, 93de entrada, 93de estado, 554dependiente, 4 1de perturbacikt, 66

    de respuesta, 93de salida, 93independiente, 41manipulada, 19

    Variable auxiliar, 564Variable controlada, 20Variable dependiente, 41Variable independiente, 41Variable manipulada, 20Volatilidad relativa, 69Volumen de control, 538

    Ziagler-Nichols, ajuste de, 266, 283

  • El propsito principal de este libro es mostrar la aplicacin delcontrol automtico de procesos, junto con los principios fundamen-tales de la teora del control. Con este fin se incluye a lo largo delmismo una buena cantidad de anlisis de casos, problemas y ejem-plos tomados directamente de la experiencia de los autores comoprofesionales y como consultores en el rea del control de proce-sos.

    Al principio del libro se definen los trminos y los conceptosmatemticos que se utilizan en los sistemas de control de procesosy se explican los principios de la respuesta dinmica del proceso.Luego se analizan algunos componentes importantes del sistemade control, como sensores, transmisores y vlvulas de controlcomunes. En la segunda parte del libro se trata el diseo y anlisisde los sistemas de control por retroalimentacin. Aqu se estudianlas tcnicas de control industrial ms importantes, como control derazn, control en cascada, control por accin precalculada, controlpor sobreposicin, control selectivo y control multivariable. Al finaldel libro se presenta la simulacin por computadora de los procesosy sus sistemas de control.

    El objetivo de este libro se centra en la industria de procesos.Est dirigido a los estudiantes de nivel superior de Ingeniera,principalmente de las reas Qumica, Mecnica, Petroqumica, Me-taimecnica, Metalurgia e Ingeniera Ambiental. Asimismo, se reco-mienda al personal tcnico de la industria de procesos.

    .

    ISBN 968-18-3791-6

    Contenidocapitulo 1: introduccinCapitulo 2: Matematicas necesarias para el analisis de los sistemas de controlCapitulo 3: Sistemas dinmicos de primer ordenCapitulo 4: Sistemas dinmicos de orden superioscapitulo 5: Compnentes bsicos de los sistemas de controlCapitulo 6: Diseo de sistemas de control por retroalimentacincapitulo 7: Diseo clasico de un sistema de control por retroalimentacinCapitulo 8: Tcnicas adicionales de controlCapitulo 9: modelos y simulacin de los sistemas de control de procesoApendice A: simbolos y nomenclatura para los instrumentosApendice B: Casos para estudioapendice C: sensores, transmisores y vlvulas de controlApendice D: programa de computadora para encontrar races de polinomiosIndice