capitulo 6 (poligonal perimetrica teoria)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIATopografía Básica CAPITULO VI: Métodos Planimetricos Para Efectuar

un Levantamiento Topográfico

METODOS PLANIMETRICOS PARA EFECTUAR UNMETODOS PLANIMETRICOS PARA EFECTUAR UN LEVANTAMIENTO TOPOGRAFICOLEVANTAMIENTO TOPOGRAFICO

Para efectuar un buen levantamiento topográfico es imprescindible conocer el objetivo del trabajo final, ello nos permitirá definir la precisión que se necesita y por ende el método a usar y los equipos mejores apropiados para el caso.Se tiene dos métodos básicos que permiten determinar una red de apoyo:

Método de Radiación Método de la Poligonal Perimétrica.

METODO DE RADIACION

Consiste en una Red de Apoyo constituido por un solo punto de control de coordenadas conocidas.

PROCESO:

1. Se ubica en el terreno los puntos por levantar. 2. Se elige el punto de control (Teóricamente deberá ser el centro de la

figura geométrica por levantar), o tratar en lo posible de cercarse a dicho objetivo, además desde dicho punto se debe tener visibilidad a todos los puntos a levantar.

3. Se estaciona el Teodolito en el punto de control y con la ayuda de la brújula se ubica el 0º 00´ 00” del limbo horizontal en la dirección Norte.

4. Luego se miden los Azimut de las líneas radiales ( ZA1 , ZA2 ZA3 , ZA4 , ZA5 ).

Es importante que una vez medido el último azimut, se mida nuevamente el azimut del primer punto (Z*A1) , para chequear el Error de Cierre Angular el cual deberá ser menor o igual a la precisión del Teodolito.

Z*A1 - ZA1 ≤ Precisión del Teodolito

Ing. Juan Vidal Campomanes pág. 222

1 N

2

5 A

3 4



5.- Se miden las distancias radiales con la mayor precisión.




∆ X = dA1 x Sen ZA1 ∆ Y = dA1 x Cos ZA1

1

dA1 ∆ X

ZA1 A ∆ Y

Ejemplo:Si las coordenadas del punto “A” son: ( 100, 100 m. ), la precisión del teodolito es de 20”. Calcular las coordenadas de los puntos: 1, 2, 3, 4. 5, si se han obtenidos los respectivos datos de campo:

ZA1 = 20º 30’ 10” (Azimut de inicio) Z*A1 = 20º 30’ 20” (Azimut de llegada)

Solución:

20º 30´ 20” - 20º 30´ 10” = 10” < 20” ok ¡

CALCULO DE LAS COORDENADAS DE LOS PUNTOS




PUNTO AZIMUT DISTAN ∆ X ∆ Y X Y

A 100.00 100.00

1 20º 30’ 10”

85.61 +29.98 +80.19 129.98 180.19

2 82º 45’ 30” 72.56 +71.98 +9.15 171.98 109.15

3 148º 25’ 40” 98.74 +51.70 -84.13 151.70 15.87

4 240º 10’ 20” 55.80 -48.41 -27.76 51.59 72.24

5 305º 20’ 30” 67.36 -54.95 +38.96 45.05 138.96

LEVANTAMIENTO TOPOGRÁFICO POR MEDIO DELEVANTAMIENTO TOPOGRÁFICO POR MEDIO DE UNA POLIGONAL PERIMÉTRICAUNA POLIGONAL PERIMÉTRICA

Este método se usa cuando los terrenos son bastante grandes o existen obstáculos que impiden la visibilidad de lograr mediciones desde un punto interior.

El polígono se traza aproximadamente en los linderos del terreno y desde cuyos vértices se levantan los detalles complementarios para obtener un mejor relieve del terreno.

CONDICIONES:

1. Los vértices deben estar sobre puntos topográficos fijos y que permitan la puesta en estación del teodolito.

2. Debe existir visibilidad sobre los vértices adyacente ( anterior y el siguiente ).

3. Desde los vértices se determinara el área del terreno.




DATOS QUE DEBEMOS OBTENER DEL CAMPO:

MEDIR EL AZIMUT DE UN LADO ANGULOS HORIZONTALES: Pueden ser ángulos interiores o exteriores. DISTRANCIAS DE LOS LADOS: Se debe realizar con wincha y con gran

presición

TRABAJOS EN GABINETETRABAJOS EN GABINETE

CALCULO Y AJUSTECALCULO Y AJUSTE

1.- CALCULO DEL ERROR ANGULAR (E∝)

Para ángulos Interiores: S = ∑∢ INTERIORES (teorizo) = 180 (n – 2)Para ángulos Exteriores: S = ∑∢ EXTERIORES (teórico) = 180 (n + 2)

AZIMUT DE LOS LADOS DE UNA POLIGONAL AZIMUT DE LOS LADOS DE UNA POLIGONAL


E∝ = ∑∢ INTERIOR(observados) – ∑∢ INTERIOR(teórico) EXTERIOR. EXTERIOR.



N

ZEA N N

ZAB ZDE

N N

ZCD

ZBC

ERROR ANGULAR MAXIMO PERMITIDO




E∝ (max) = ± a √n

a = Precisión del Teodolito. n = número de Ángulos

Si: E∝ ≤ E∝ (max.) ⇒ se compensa. E∝ > E∝ (max.) ⇒ se repite todo o parte del trabajo

CORRECCION ANGULAR (C∝) C∝ = E∝

Si se llega por

Exceso ⇒ – C∝ / n para cada ángulo Defecto ⇒ + C∝ / n para cada ángulo

2.- CALCULO DEL ERROR LINEAL

- CÁLCULO DE LOS AZIMUT DE TODOS LOS LADOS.

- CÁLCULOS DE LAS PROYECCIONES DE TODOS LOS LADOS.

CÁLCULOS DE LAS PROYECCIONES DE TODOS LOS LADOS.CÁLCULOS DE LAS PROYECCIONES DE TODOS LOS LADOS. Y




D

∆Y ZCD

ZCD

X C ∆X△ X = CD X Sen ZCD

△ Y = CD X Cos X ZCD

A ZAB ∆X X

∆Y

B

Y△ X = CD X Sen ( 180 – ZAB ) ⇒ △ X = CD X Sen ZAB

△ Y = CD X Cos ( 180 – ZAB ) ⇒ △ Y = CD X Cos ZAB

E X ∆X




ZAB

∆Y

A

Y△ X = EA X Sen ( ZEA - 180 ) ⇒ △ X = EA X Sen ZEA

△ Y = EA X Cos ( ZEA - 180) ⇒ △ Y = EA X Cos ZEA

Y

∆X E

∆Y

X D ZDE

△ X = DE X Sen ( 360 – ZDE ) ⇒ △ X = DE X Sen ZDE

△ Y = DE X Cos ( 360 – ZDE ) ⇒ △ Y = DE X Cos ZDE

⇒

En una poligonal cerrada la sumatoria de las proyecciones en el eje X y en el eje Y deben ser cero.∑ proyecciones. ( eje X ) = 0


△X = Li x Sen Z Li

△Y = Li x Cos Z Li



∑ proyecciones. ( eje Y ) = 0

Y B

C

AEY

A’

D

E

EX X

∑ Proyecciones. ( eje X ) = AE + BC – CD – DE - EA’ = EX ∑ Proyecciones. ( eje Y ) = AE – CD – DE - ED + EA’ = EY

ERROR LINEAL.

∑ Proyecciones. ( eje X ) = EX ∑ Proyecciones. ( eje Y ) = EY

______________




E TOTAL = √ EX2 + EY

2

1 E RELATIVO = ──────────────────

PERIMETRO / E TOTAL

DE ACUERDO A LA APROXIMACIÓN DEL

TEODOLITO.

ERRORMÁXIMO.

TOLERANCIALINEAL

1’ ± 1’ √ n 1 / 1000

20’’ ± 20” √ n 1 / 5000

10’’ ± 10” √ n 1 / 7500

6’’ ± 6” √ n 1 / 10000

Ejemplo

Tolerancia lineal :

1 / 5000 el error que se tiene es de 1 cm. Por cada 50 m.

Error máximo: para n = 5 entonces: ± 20” √ 5 E max. = ± 44.8’’

CORECCION LINEAL

Ex CX = ──────────────── x Li Perímetro Poligonal




Ey Cy = ──────────────── x Li Perímetro Poligonal

CALCULO DE LAS COORDENADAS DE LOS VERTICESCALCULO DE LAS COORDENADAS DE LOS VERTICES

C C XC = XB + ∆ X YYC = YB + ∆ Y

XB = XA + ∆ X YB = YA + ∆ Y B ∆X

∆Y D

XD = XC + ∆ X

A YD = YC + ∆ Y XA

YA

CALCULO DEL AREACALCULO DEL AREA

Para calcular el área se utiliza el método de las coordenadas.

Y




Xb B b

Xa A a Xc c C

Xe e E Yb

Ya Yc Ye

Xd d D

Yd X

ABCDEA = □ bBCc + □cCDd - □BbAa - □aAEe - □eEDd

= Xb + Xc Yb – Yc + Xc + Xd Yc – YD – XB + XA YB - YA

2 2 2




– Xa + Xe Ya – Ye – Xe + Xd Ye - Yd 2 2

2 ABCDEA = Xa ( Ye – Yb ) + Xb ( Ya – Yc ) + Xc ( Yb – Yd ) + Xd ( Yc – Ye)

+ Xe ( Yd + Ya )

∑ (Productos ↘ ) - ∑ (Producto ↙)AREA = ───────────────────────

2

DIBUJO.DIBUJO.

Para el dibujo de la poligonal se usa el método de las coordenadas que es mas recomendable que ya cada vértice se dibuja en forma independiente. Si se comete un error en uno de los vértices no afecta al otro.


YAXA YEXE XDXDYCXC YBXB YAXA

ABCDE =Area2



Para trazar los ejes rectangulares se ubican los valores menores en X y en Y en función a ellos se determina el origen.

EJEMPLO.- X = 9850 Y = 8730

** 9000

**

8900

**

8800

**

8700 * * 9800 9900 10000 10100

EJERCICIO ( 2 ) .

Graficar y determinar el área y el perímetro del polígono de apoyo cuyos datos de campo son:




VERTICECOORDENADAS

DE ESTE ( X ) COORDENADAS DE NORTE ( Y)

A a AB b AC c BD a C

Si a < b , b < c Además ( b-a ) = X/2 ( c-d ) = x + x

( c-b ) = X/2 2 X = 12 ( c-a ) = 3x

2

AREA.

2

S = ( a²+b²+c²+a² ) – ( ba+ca+ab+ac )a²+b²+c²+a²-ab-ac-ab-ac

a²+b²+c²+a²-2ab-2ac( b-a ) ²+( c-a ) ²

2DONDE:

S = (12 ) ²+( 3(12/2)) ² → 144+9 ( 144 ) = 468 → 234 2 4 2

PERÍMETRO.- 18+12+13.4+18.9 → 62.3 Por esto a < b < c.


aa cabc ab aa

=1

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